МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 23.05.2013 Г. – ВАРИАНТ 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори!
1. Най-малко e числото:
()
А) 7 6
()
2
Б) 1
2. Стойността на израза А) 2
()
−1 2
Г) 3 4
1 2
x+3 1 x − 2013 − + за x = 2013 е равна на: 2 x −9 x −3 x+3
Б) 1
3. Допустимите стойности на израза А) ( −∞; + ∞ )
В) 5 3
Б) [ 0; + ∞ )
Г) −2013
В) 0 x x
са: В) ( −∞; 0]
Г) ( −∞; 0 ) ∪ ( 0; +∞ )
4. Числото log 2 3 е корен на уравнението: А) 3x = 2
Б) 2 x = 3
В) 3x =
1 2
Г) 2 x =
1 3
5. На кое от уравненията сборът от реалните корени е 2,5? А) 2 x 2 − 5 x + 5 = 0
Б) 2 x 2 − 5 x + 3 = 0
В) 2 x 2 − 2 x + 5 = 0
Г) 2 x 2 + 5 x − 3 = 0
6. Решенията на неравенството x 2 − 2 x + 3 > 0 са: А) x ∈ ∅ В) x ∈ ( − ∞; − 3) ∪ (1; ∞ )
Б) x ∈ ( − ∞; − 1) ∪ ( 3; ∞ ) Г) x ∈ ( − ∞; ∞ )
1
7. Стойността на sin 240° е: А) − 3 2
Б) − 1 2
В) 1 2
Г)
3 2
8. В равнобедрен △ ABC ( AC = BC ) е вписана окръжност k с център О. Лъчът BO → пресича страната AC в точка Р, като AP = 6 cm и PС = 12 cm . Периметърът на △ ABC е :
А) 72 cm
Б) 45 cm
В) 9 cm
Г) невъзможно да се определи
9. В △ ABC AB = 7 cm, a AC = 5 cm. Ако ∠ACB = 120° , то дължината на страната BC е: А) 3 cm
Б) 6 cm
В) 39 cm
10. Ако общият член на числова редица е an = ( −1) А) –16
Б) –11
n +1
Г) 8 cm
(n + 1) − 3.(−1) n , то a13 е равен на:
В) 10
11.Дадена е крайна геометрична прогресия с a1 = 729 , q =
Г) 17
1 1 и an = . Броят n на 3 9
членовете на прогресията е: А) 5
Б) 7
В) 8
Г) 9
y = 6 − x2 12. Наредените двойки числа ( x; y ) , които са решения на системата , са y = −x разположени: А) само в първи квадрант
Б) само в четвърти квадрант
В) във втори и в четвърти квадрант
Г) в първи и в трети квадрант
2
C
13. Разходите на фирма за един месец са 18 000 лв. Тяхното
заплати O
разпределение е представено чрез кръговата диаграма. Ако ∠AOB = 170° и ∠BOC = 64° , то разходите за заплати са:
А) 3200 лв.
Б) 6000 лв.
В) 6300 лв.
A
други
суровини и материали
Г) 8500 лв.
14. На страната AC на △ ABC е взета точка D , така че ∠DBC = ∠CAB . Ако AD = 16 сm, DC = 2 сm и
BD = 5 сm, то дължината на страната AB е равна на:
А) 6 cm
Б) 15 cm
В)
55 cm 3
Г) 36 cm
15. За △ ABC е дадено, че AB = 5 и sin ∠CAB : sin ∠CBA = 3 : 2 . Ако AC 2 + BC 2 = 117 , то периметърът на триъгълника е:
А) 20
В) 5 + 3 17
Б) 18
Г) 5 + 3 85
16. Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник има дължина 6 cm и сключва с един от катетите ъгъл 30°. Лицето на триъгълника е: А) 18 cm2
Б) 36 cm2
В) 24 3 cm2
Г) 48 3 cm2
17. Около трапеца ABCD с основи AB = 40 cm и CD = 10 cm е описана окръжност. Ако в трапеца е вписана окръжност, то дължината на нейния радиус е: А) 10 cm
Б) 15 cm
В) 20 cm
Г) друг отговор
3
18. Дължината на единия диагонал на ромб е 75% от дължината на другия, а лицето му е 24 cm 2 . Радиусът на вписаната в ромба окръжност е: А) 8 cm
Б) 6 cm
В) 4,8 cm
Г) 2, 4 cm
19. В △ ABC AB = 8, AC = 15 и ∠BAC = 60° . Височината АН ( H ∈ BC ) на триъгълника е: А)
60 13
Б)
60 3 13
В)
60 3 7
Г)
120 3 13
20. Колко са трицифрените четни числа с различни цифри, цифрата на десетиците на които е нула? А) 32
Б) 36
В) 45
Г) 72
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
21. Намерете решенията на неравенството ( x + 6 ) ( 36 − x 2 ) ≤ 0 .
22. Да се реши уравнението
x + x+4 = 2. 2 − x x2 − x − 2
23. В серия от 30 опита участник в стрелба по цел е получил 13,5 наказателни точки. Колко попадения е реализирал участникът, ако за първия пропуск наказанието е една точка, а всеки следващ пропуск се наказва с половин точка повече от предходното наказание?
24. Коефициентът с на квадратното уравнение x 2 − 2 x + c = 0 е цяло число от интервала
[ −2; 3] . Каква е вероятността уравнението да има реални корени? 25. Даден е △ ABC с ъглополовяща BD. Ако ∠ABC = 2∠CAB , AC = 3CD = 18 , намерете S ABC .
4
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
26. Намерете корените на уравнението x 2 − 2 x = t , където t e решение на уравнението
t +1 −
2t − 5 = 1 .
27. Да се докаже, че ако α , β и γ са ъгли в триъгълник, то е изпълнено тъждеството sin α + sin β − sin γ = 4 sin
α 2
sin
β 2
cos
γ 2
.
28. В остроъгълния △ ABC медианата AM ( M ∈ BC ) и височината CH ( H ∈ AB ) са съответно равни на 6 5 сm и 12 сm. Aко страната BC = 20 сm, намерете дължината на радиуса на описаната около △ ABC окръжност.
5
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
D = b 2 − 4ac
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
Формули на Виет:
−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =
Квадратна функция b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; − 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
a2k = a
2 k +1
a 2 k +1 = a
1 = a− m , a ≠ 0 n a m = a m a a x = b ⇔ log a b = x
m n
при k ∈ ℕ n k
a = nk a
a log a b = b
nk
a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ
log a a x = x
при a > 0, b > 0 и a ≠ 1
Комбинаторика Брой на пермутациите на n елемента:
Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =
n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1
Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =
брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи
0 ≤ p ( A) ≤ 1
Прогресии 2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1
Аритметична прогресия:
an = a1 + (n −1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n−1
Формула за сложна лихва:
p K n = K .q = K .1 + 100
Sn =
n
n
Зависимости в триъгълник и успоредник c2 = a2 + b2
Правоъгълен триъгълник: a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1
r=
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
sin α =
a c
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4
mb 2 =
1 1 S = ab = chc 2 2 b cos α = c
a 2 = a1c tg α =
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4
mc 2 =
a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:
a b
b 2 = b1c cotg α =
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4
lc = ab − mn 2
Формула за ъглополовяща:
d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице Триъгълник:
1 S = chc 2 S = pr
Успоредник:
S = aha
1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R
S=
S = ab sin α
p ( p − a )( p − b)( p − c )
S=
Трапец:
a +b h 2
1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr
Четириъгълник:
Тригонометрични функции α°
0°
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
30°
45°
60°
90°
π 6 1 2
π 4 2 2 2 2
π 3 3 2 1 2
π 2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
b a
1 0
−α − sin α cosα − tg α − cotg α
sin cos tg cotg
90°−α cosα sin α cotg α tg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =
cotg (α ± β) =
cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2
α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2
sin α + sin β = 2 sin
180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β
sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2
90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α
α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2
sin α − sin β = 2sin
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 23 май 2013 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор
Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Верен отговор В В Г Б Б Г А Б А Г Г В В Б A В А Г Б А x ∈ [ 6; + ∞ ) ∪ {−6}
Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
22
x1 = − 4 3 24
4
23 24 25 26 27 28
S ABC
2 3 = 54 3
t = 3, x1 = −1, x2 = 3 10 10 R= 3
4
4 4 10 10 10
Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване:
t +1 = 1+
1. Получаване на уравнението
2t − 5
(1 т.)
2. Получаване на уравнението 2 2t − 5 = 5 − t
(2 т.)
3. Получаване на уравнението t 2 − 18 t + 45 = 0
(1 т.)
4. Намиране на корените t1 = 15, t2 = 3 на квадратното уравнение
(2 т.)
5. Проверка дали t1 = 15, t2 = 3 са корени на ирационалното уравнение
(2 т.)
6. Намиране на корените x1 = −1, x2 = 3 на уравнението x 2 − 2 x = 3
(2 т.)
Забележка. Ако решаването на съответните ирационални уравнения е свързано с еквивалентни преобразования, двете точки за проверка се добавят към получените точки за решаване на уравненията. 27. Критерии за оценяване: 1. За използване на α + β + γ = π
(1 т)
2. За изразяване на γ = π − (α + β )
(1 т.)
3. За преобразуване на sin α + sin β или sin α − sin γ в произведение
(2 т.)
4. За изразяване на sin γ = 2sin
α +β
cos
α +β
2 2 5. За изнасяне пред скоби на общ множител 6. За преобразуване на разлика на косинуси в произведение 7. За довършване на преобразуванията и доказване на тъждеството
(1 т.) (1 т.) (2 т.) (2 т.)
28. Критерии за оценяванe: I начин 1. Прилагане на Питагорова теорема за △HBC и намиране HB = 16 сm Означаване AH = x и AC = y 2. Прилагане на формула за медианата АМ 2 1 2 6 5 = 2 ( x + 16 ) + 2 y 2 − 400 4 2 и получаване на уравнението ( x + 16 ) + y 2 − 560 = 0
(
(1 т.)
)
3. Прилагане на Питагорова теорема за △ AHC и получаване на уравнението x 2 + 144 = y 2 x + 144 = y 2
4. Съставяне на системата
( x + 16 )
2
(2 т.) (1 т.)
2
+ y 2 − 560 = 0
(1 т.)
5. Решение на системата и намиране x = 4 и y = 4 10 3 6. Намиране на sin ∠ABC = 5 7. Прилагане на синусова теорема за △ ABC и намиране на R =
(2 т.) (1 т.)
10 10 3
(2 т.)
II начин: 1.Прилагане на Питагорова теорема за △HBC и намиране HB = 16 сm 3 2. Изразяване на sin ∠ABC = 5 4 3. Намиране на cos ∠ABC = 5 4. Прилагане на косинусова теорема за △ ABM и намиране на AB = 20 сm и AH = 16 сm 5. Прилагане на косинусова теорема за △ ABC и намиране на AC = 4 10 сm 6. Прилагане на синусова теорема за △ ABC 10 10 7. Намиране R = 3
(1 т.) (1 т.) (2 т.) (2 т.) (2 т.) (1 т.) (1 т.)