2002-2012 Единый государственный экзамен ЕГЭ by stoyan bordjukov

Математика 11 кл. (1 − 1 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 3 часа (180 минут). В работе 25 заданий. Они расположены по нарастанию трудности и распределены на 3 части. Часть 1 содержит 13 более простых заданий по материалу курса "Алгебры и начал анализа". К каждому из них даны 4 варианта ответа, из которых только один верный. Часть 2 содержит 9 более сложных заданий по материалу курса «Алгебры и начал анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии девятилетней и средней школы. При их выполнении требуется записать только полученный ответ. Часть 3 содержит 3 наиболее сложных задания, при выполнении которых требуется записать полное решение. Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям. Для получения отметки "3" достаточно выполнить верно любые 7 заданий из всей работы. Для получения отметки "4" достаточно выполнить определенное число заданий из Частей 1 и 2. Для получения отметки "5" необходимо выполнять задания из Частей 1,2 и 3, при этом не требуется решить все задания работы, но среди верно выполненных Вами заданий должно быть хотя бы одно из Части 3. За верное выполнение различных по сложности заданий дается один или более баллов. Сумма баллов, полученная Вами за все выполненные задания, выставляется в сертификат, который может быть использован при поступлении в вуз. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно большее количество баллов. Приступайте к выполнению работы. Желаем успеха!

Математика 11 кл. (1 − 2 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

Часть 1 При выполнении заданий этой части укажите в бланке ответов цифру, которая обозначает выбранный Вами ответ, поставив знак « х » в соответствующей клеточке бланка для каждого задания (А1-А13). А1. Упростите выражение

11 12 5

⋅3

−

1 3

1 512

1 54 3

⋅3 3 225

. 5

⋅3

3) 5 − 12 ⋅ 3− 3

4) 512 ⋅ 3 3

Математика 11 кл. (1 − 3 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А2. Найдите значение выражения 1

1) 3 − 5 3

2) 3

х−у 2 х3

1 1 х 3 у3

3) 9

2 у3

1 у3 ,

если х = 27, у = 25. 2

4) 3 + 5 3

Математика 11 кл. (1 − 4 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А3. Вычислите: log 2 0,04 + 2 log 2 5 .

1) 0

2) 3

3) – 1

4) log25

Математика 11 кл. (1 − 5 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

π А4. Упростите выражение sin α sin 2α + cos( + α) + cos α cos 2α . 2 1) 0

2) 2cosα

3) cosα + sinα

4) cosα − sinα

Математика 11 кл. (1 − 6 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А5. Укажите промежуток которому принадлежит корень уравнения ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝8⎠

0, 5 х −1

= 4.

1) [− 3; − 1)

2) [− 1; 1)

3) [1; 3)

4) [3; 5)

Математика 11 кл. (1 − 7 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А6. Решите неравенство log 0,5 (2 − 0,5x ) ≥ −1 . 1) [0; 4)

2) (− ∞; 0]

3) (4; + ∞)

4) (4; 6]

Математика 11 кл. (1 − 8 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А7. Найдите область определения функции у = 5 2 х −3 − 1 . 1) (1,5; + ∞)

2) [2; + ∞)

3) [1,5; + ∞)

4) [5; + ∞)

А8. Функция у = р(х) задана графиком на отрезке [– 4; 2]. Найдите область ее значений. 1) [− 4; 2] 2) [− 2; 0]

-4

-1

1 y = p(x) -1

1 2

3) [− 2; 4] 4) [− 2; 1]

Математика 11 кл. (1 − 9 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А9. Укажите график нечетной функции. 1)

-1

1 0

-1 1

-1

1 x

y 0 -1

-1

1 1

-1

Математика 11 кл. (1 − 10 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А10. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1. 1)

y y=g(x)

y=f(x) 0

-1

1 a

-1 0 1

4) y=h(x)

-1

1 1 a

a 1

-1 1 1 0 a -1

y=p(x)

Математика 11 кл. (1 − 11 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А11. Найдите значение производной функции у = 1) 2

2) 0

3) − 2

х − 18 в точке х 0 = − 3 . х 4) − 3

Единый государственный экзамен 2002

Математика 11 кл. (1 − 12 / 30)

А12. Укажите первообразную функции f ( x ) = 2 − sin x . 1) F(x) = 2x – cosx 2) F(x) = x2 + cos x 3) F(x) = 2x + cosx 4) F(x) = 2 + cosx

Математика 11 кл. (1 − 13 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

А13. Найдите корень уравнения отрезку [2π; 3π]. 7π 5π 2) 1) 3 2

sin2x – 4cosx = 0 , принадлежащий 3)

9π 4

13π 6

Математика 11 кл. (1 − 14 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

Часть 2 Ответом на каждое задание этой части будет некоторое число. Это число надо записать в бланк ответов рядом с номером задания (В1-В9), начиная с первой клеточки. Каждую цифру пишите в отдельной клеточке. Единицы измерений писать не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо округлить до ближайшего целого числа.

В1. Найдите минимум функции f(x) =

1 1 1 3 x + x2 – x4 . 3 2 2

Единый государственный экзамен 2002

Математика 11 кл. (1 − 15 / 30)

В2. Вычислите площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти и ограниченной линиями y = 2 3 х , y = x.

Единый государственный экзамен 2002

Математика 11 кл. (1 − 16 / 30)

В3. Сколько решений имеет уравнение (cos 2 x − sin 2 x ) 1 − x 2 = 0 ?

Единый государственный экзамен 2002

Математика 11 кл. (1 − 17 / 30)

В4. При каком наименьшем значении параметра а функция 1 f(x) = x 3 − x 2 + ax возрастает на всей числовой прямой? 3

Единый государственный экзамен 2002

В5. Пусть (x0; y0) – решение системы уравнений

Математика 11 кл. (1 − 18 / 30)

⎧⎪2 х − 2 − у = 0, ⎨ ⎪⎩ х − 4 − у = 1.

Найдите произведение x0 ⋅ y0.

Единый государственный экзамен 2002

Математика 11 кл. (1 − 19 / 30)

2 В6. Найдите значение выражения 2 5ctg(arcsin ) . 3

Математика 11 кл. (1 − 20 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

В7. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log (4 − x 2 ) 1 4

Единый государственный экзамен 2002

Математика 11 кл. (1 − 21 / 30)

В8. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 2м и 5м.

Математика 11 кл. (1 − 22 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

В9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 6 м, ВС = 8 м, ВВ1 = 1,6 91 м. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой АС и содержащей прямую ВА1 . B

Математика 11 кл. (1 − 23 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

Часть 3 Для ответов на задания этой части используйте специальный бланк. Запишите сначала номер задания (С1 и т.д.), а затем запишите полное решение.

С1. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции sin x + cos x + 3 2 . f(x) = 16 log 1 2 16

Единый государственный экзамен 2002

С2.

Математика 11 кл. (1 − 24 / 30)

Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение 2 x + 5x + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен – 2. 3

Единый государственный экзамен 2002

Математика 11 кл. (1 − 25 / 30)

С3. При каком x ∈ {1, 2, 3, …, 98, 99} значение выражения ⎛⎛ x + 2 ⎞⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 x x ⎞ ⎜⎜ ⎟ : ⎜ 1+ + ⎟ ⎟ : ⎜1 + ⎟ − 1 − − 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟ x x+2⎠ ⎝ x x+2 x + 2 ⎟⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝⎝ ближе всего к 73?

Математика 11 кл. (1 − 26 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

Инструкция по проверке и оценке работ учащихся по математике

В экзаменационной работе используются три типа заданий. Задание Части 1 (с выбором ответа) считается выполненным верно, если в «Бланке ответов» отмечена цифра, которой обозначен верный ответ. Верный ответ в заданиях Части 2 (с кратким ответом) – некоторое число. Такое задание считается выполненным верно, если в «Бланке ответов» записано именно это число. Проверка выполнения этих двух типов заданий осуществляется с помощью компьютера. За каждое верно выполненное задание выставляется 1 балл. Приведем перечень ответов к заданиям Частей 1 и 2 демонстрационного варианта. Часть 1 Номер задания А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 А11 А12 А13 Номер ответа 3 2 1 4 2 1 3 4 4 3 1 3 2 Часть 2 Номер задания Верный ответ

В1 0

В2 2

В3 4

В4 1

В5 2

В6 5

В7 –1

В8 24

В9 80

Математика 11 кл. (1 − 27 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

Часть 3 Выполнение заданий Части 3 (с развернутым ответом) оценивается экспертной комиссией. На основе критериев, представленных в приведенной ниже таблице, за выполнение каждого задания выставляется от 0 до 4 баллов. Оценка в баллах

Критерии оценки выполнения заданий с развернутыми ответами. Приведена верная, логически правильная последовательность шагов решения. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безошибочно. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. Приведена верная, логически правильная последовательность шагов решения. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безошибочно. Возможны 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. При этом возможен неверный ответ. Приведена верная, логически правильная последовательность шагов решения. Обоснованы только некоторые ключевые моменты решения. Возможны негрубые ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в решении. Возможны 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. При этом возможен неверный ответ. При верной последовательности хода решения отсутствуют некоторые этапы решения. Большинство ключевых моментов решения не обосновано. Возможны ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в решении. Возможны 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. При этом возможен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Приведем варианты развернутых ответов к заданиям Части 3.

Математика 11 кл. (1 − 28 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

С1. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции sin x + cos x + 3 2 . f(x) = 16 log 1 2 16 Р е ш е н и е. π Так как sinx + cosx = 2 sin(x+ ), то множество значений этой суммы есть 4 отрезок [– 2 ; 2 ]. Значит, множество значений числителя дроби – это отрезок [2 2 ; 4 2 ], а для всей дроби – это отрезок [2;4]. Так как функция y = log 1 x 16

является монотонно убывающей и непрерывной, то множество значений данной функции – это отрезок [16 log 1 4;16 log 1 2 ]. Вычислив значения логарифмов, 16

получаем , что множеством значений функции f(x) является отрезок [– 8; – 4]. Этому отрезку принадлежат ровно пять целых чисел: – 8; – 7; – 6; – 5; – 4. Ответ: 5.

Единый государственный экзамен 2002

Математика 11 кл. (1 − 29 / 30)

С2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение x3 + 5x2 + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен – 2.

Р е ш е н и е. 1) Подставим х = – 2 в левую часть уравнения. –8 + 20 – 2а + b = 0 ⇒ b = 2a – 12. 2) Так как х = – 2 является корнем, то в левой части уравнения можно вынести общий множитель x + 2. Производим тождественные преобразования, выделяя общий множитель (x + 2), x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 2x2 + 3x2 + ax + (2a – 12) = x2(x + 2) + 3x(x + 2) – 6x + ax + (2a – 12) = x2(x + 2) + 3x(x + 2) + (a – 6)(x + 2) – 2(a – 6) + (2a – 12) = = (x2 + 3x + (a – 6))(x + 2). 3) По условию имеется еще два корня уравнения. Значит, дискриминант первого сомножителя положителен. D = (–3)3 – 4(a – 6) = 33 – 4a > 0 ⇒ a < 8,25. 4) Подставим а = 8 в исходное уравнение x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x2 + 3x + 2)( х + 2) = (х + 1)(х + 2)2 Тогда уравнение имеет только два различных корня. Подставим а = 7 в исходное уравнение x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 5x2 + 7x + 2 = (x2 + 3x + 1)(х + 2) У первого сомножителя корни различны, так как дискриминант D = (–3)2 – 4 = 5 > 0 . Эти корни – иррациональные, так как иррационален 5 . Значит, у уравнения есть три различных корня. Ответ: 7.

Математика 11 кл. (1 − 30 / 30)

Единый государственный экзамен 2002

С3. При каком x ∈ {1, 2, 3, …, 98, 99} значение выражения ⎛⎛ x + 2 ⎞⎞ ⎛ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 x x ⎞⎟ ⎜⎜ − 1− − 2 ⎟ ⎟ : ⎜1 + : 1+ + ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ x x + 2 ⎟⎠ ⎜⎝ x x+2 x + 2 ⎟⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝⎝ ближе всего к 73?

Р е ш е н и е. После тождественных преобразований данного выражения, учитывая, что х принимает только натуральные значения, получаем ⎛⎛ x + 2 ⎞⎞ ⎛ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 x x ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ : ⎜1 + 1 : 1 2 − − + + − ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ x x 2 x x 2 x 2 + + + ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ x ( x + 2) ( x + 2) − x x+2 ⋅ ⋅ = = x ( x + 2) ( x + 2) − 2 x ( x + 2) + x x + 2 + x = =

( x + 2) − x ( x + 2 − x)

x+2 x+2− x

⋅

x+2 x+2+ x

x + x ( x + 2) x + 2( x + 2 + x ) = 1+ . 2 2

Оценим подкоренное выражение x(x + 2) сверху и снизу. Так как x2 < x(x + 2) < (x + 1)2, то 1+

x+x 2

< 1+

x + x ( x + 2) 2

< 1+

x + x +1 2

Значит, исходное выражение больше, чем 1 + x и меньше, чем 1 + x + 0,5. Поэтому, при x = 72 значение этого выражения в интервале (73; 73,5). При х ≥ 73 все значения этого выражения больше 74, а при x ≤ 71 все значения меньше 72,5. Ответ: 72.

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

(1 - 1 )

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2003 г. Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 минут). В работе 30 заданий. Они распределены на 3 части. Часть 1 содержит 16 заданий (А1 – А16) обязательного уровня по материалу курса "Алгебра и начала анализа" 10-11 классов. К каждому из них даны 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении задания в «бланке ответов» надо указать номер выбранного ответа. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В1 – В10) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10 – 11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. При их выполнении в «бланке ответов» надо записать только полученный ответ. Часть 3 содержит 3 самых сложных алгебраических задания (С1, С2, С4) и одно – геометрическое (С3), при выполнении которых требуется записать полное решение. Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям. Для получения отметки "3" достаточно верно выполнить любые 8 заданий из Части 1 или из всей работы. Для получения отметки "4" достаточно верно выполнить определенное число заданий из Частей 1 и 2. Для получения отметки «4» недостаточно верно выполнить даже все задания (А1 – А16) только Части 1. Для получения отметки "5" необходимо выполнить определенное число заданий из Частей 1, 2 и 3. Не требуется решить все задания работы, но среди верно выполненных Вами заданий должно быть хотя бы одно из Части 3. При этом для получения отметки «5» недостаточно верно выполнить даже все задания (С1 – С4) только Части 3. За верное выполнение различных по сложности заданий дается один или более баллов. Баллы, полученные Вами за все выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно большее количество баллов. Желаем вам успеха! © 2002 Министерство образования Российской Федерации Копирование и распространение без письменного разрешения Минобразования РФ не допускается

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

Часть 1 При выполнении заданий этой части укажите в бланке ответов цифру, которая обозначает выбранный Вами ответ, поставив знак «×» в соответствующей клеточке бланка для каждого задания А1-А16. A1

Найдите значение выражения π ⎛π ⎞ 2 sin 2 2α + 2 cos ⎜ − α ⎟ + 2 cos 2 2α при α = . 6 ⎝2 ⎠

1) 0

2) 2 + 3

3) 3

4) 2 − 3

(1 - 2 )

Единый государственный экзамен 2003

Упростите выражение 1) 9m 7

Математика, 11 кл.

1 9m 2

2) 9m

⋅m

m −3

1 2

(1 - 3 )

3) 9

9 m6

Единый государственный экзамен 2003

Сократите дробь

x −3 y

Математика, 11 кл.

x +3 y 2

x − y 2)

1 3

x −3 y

1 x− y

4) x + y

(1 - 4 )

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

Найдите значение log 3 (9b) , если log 3 b = 5. 1) – 8

2) 10

3) 7

4) 25

(1 - 5 )

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

3 ⎛π ⎞ . Решите уравнение cos⎜ + x ⎟ = ⎝2 ⎠ 2 1)

(− 1)n −1 π

+ πn , n ∈ Z

(− 1)n −1 π

+ πn , n ∈ Z

(− 1)n π

6 3

π 3

+ 2πn, n ∈ Z 3

+ πn , n ∈ Z

(1 - 6 )

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 2 ( x + 1) = log 2 (3 x ) . 1)

(− ∞; − 1)

(− 1; 0)

3) [− 1; 0]

4) (0; + ∞ )

(1 - 7 )

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

(1 - 8 )

Решите неравенство 5 2−3 х − 1 ≥ 0 . 2⎞ ⎛ 1) ⎜ − ∞; ⎟ 3⎠ ⎝

2⎤ ⎛ 2) ⎜ − ∞; ⎥ 3⎦ ⎝

⎛2 ⎞ 3) ⎜ ; + ∞ ⎟ ⎝3 ⎠

⎡2 ⎞ 4) ⎢ ; + ∞ ⎟ ⎣3 ⎠

Единый государственный экзамен 2003

Решите неравенство

Математика, 11 кл.

x( x + 3) ≥ 0. 2− x

1) (− ∞;−3] ∪ (2; + ∞ ) 2) [− 3;2) 3) (− ∞;−3) ∪ [0;2 ) 4) (− ∞; − 3] ∪ [0;2 )

(1 - 9 )

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

(1 - 10 )

Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции f ( x) = 4 − 3 x 2 − x .

1) [-1; 1)

2) [1; 2 ]

⎡ 4 ⎞ 3) ⎢− ;1⎟ ⎣ 3 ⎠

4) ( 2 ; 2 ]

Единый государственный экзамен 2003

A10

Математика, 11 кл.

(1 - 11 )

Функция у = f(x) задана на промежутке [–6; 4]. Укажите промежуток, которому принадлежат все точки экстремума. y 1) [– 6; 0] y=f(x) 2) [0; 4] 3) [– 2; 3] 4) [– 3; 1] –6

Единый государственный экзамен 2003

A11

Математика, 11 кл.

Найдите область определения функции y = log 0,3 (x − x 2 ). 1) [0; 1] 2) (0; 1) 3) ( −∞ ; 0) ∪ (1; + ∞ ) 4) (− ∞; 0] ∪ [1; + ∞ )

(1 - 12 )

Единый государственный экзамен 2003

A12

Математика, 11 кл.

(1 - 13 )

Найдите множество значений функции у = sin x + 2 . 1) [– 1; 1]

2) [0; 2]

3) [1; 3]

4) [2; 3]

Единый государственный экзамен 2003

A13

Математика, 11 кл.

(1 - 14 )

Укажите график функции, заданной формулой у = 0,5 х . 1)

0 1

1 0

1 0 1

Единый государственный экзамен 2003

A14

Математика, 11 кл.

(1 - 15 )

Найдите значение производной функции y = x ⋅ e x в точке х0 = 1 . 1) 2e

2) e

3) 1 + e

4) 2 + e

Единый государственный экзамен 2003

A15

Математика, 11 кл.

(1 - 16 )

Для функции у = 2 cos x найдите первообразную, график которой прохо⎛π ⎞ дит через точку М ⎜ ; 24 ⎟ . ⎝2 ⎠ 1) 2) 3) 4)

Y Y Y Y

= 2 sin x + 24 = 2 sin x + 22 = −2 sin x + 26 = 2 cos x + 22

Единый государственный экзамен 2003

A16

Математика, 11 кл.

(1 - 17 )

При движении тела по прямой расстояние S ( в метрах) от начальной точt3 2 ки движения изменяется по закону S(t) = − t + t − 1 (t – время движения 3 в секундах). Найдите скорость (м/с) тела через 4 секунды после начала движения. 1) 1,75

2) 7,5

3) 3

4) 9

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

(1 - 18 )

Часть 2 Ответом на каждое задание этой части будет некоторое число. Это число надо записать в бланк ответов рядом с номером задания (В1 - В10), начиная с первой клеточки. Каждую цифру и знак минус отрицательного числа пишите в отдельной клеточке. Единицы измерений писать не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо округлить до ближайшего целого числа. В1

⎧⎪ 25 − 10 х + х 2 + у = 4, Пусть (х0; у0) - решение системы ⎨ ⎪⎩ у − 3 х + 11 = 0. Найдите произведение х0 ⋅ у0 .

Единый государственный экзамен 2003

В2

Математика, 11 кл.

Функция у = f (x) задана на отрезке [a; b]. На рисунке изображен график ее производной у = f ′(x). Исследуйте на монотонность функцию y = f ′(x) у = f (x). В ответе укажите количество a промежутков, на которых функция возрастает.

(1 - 19 )

b x

Единый государственный экзамен 2003

В3

Математика, 11 кл.

(1 - 20 )

⎛ a 2b ⎞ Найдите значение выражения log π2 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ , если log π a = 3, log π b = 5 . ⎝ π ⎠

Единый государственный экзамен 2003

В4

Математика, 11 кл.

(1 - 21 )

Найдите наименьшее значение функции y = 3 sin 2 x cos x + cos 2 x sin x − 7 .

Единый государственный экзамен 2003

В5

Математика, 11 кл.

Пусть x0 – наименьший положительный корень уравнения cos 2 x − 5 sin x ⋅ cos x + 2 = 0. Найдите tgx0 .

(1 - 22 )

Единый государственный экзамен 2003

В6

При каком значении a функция y =

Математика, 11 кл.

2 ax +7 2

(1 - 23 )

имеет максимум при x = 4 ?

Единый государственный экзамен 2003

В7

Математика, 11 кл.

(1 - 24 )

Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной? (Знак % в ответе не пишите).

Единый государственный экзамен 2003

В8

Математика, 11 кл.

(1 - 25 )

Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288 м 2 . Приобретая опыт, студенты в каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2м 2 больше, чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобится еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м 2 пола, а для замены некачественных плиток понадобится 3 коробки?

Единый государственный экзамен 2003

В9

Математика, 11 кл.

(1 - 26 )

Дана призма АВСDА1В1С1D1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 6 3 + 2 .

(

)

Единый государственный экзамен 2003

В10

Математика, 11 кл.

(1 - 27 )

Площадь треугольника АВС равна 20 3 . Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5.

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

(1 - 28 )

Часть 3 Для записи ответов на задания этой части (С1 – С4) используйте специальный бланк. Запишите сначала номер задания (С1 и т.д.), а затем полное решение.

С1

Решите уравнение

6 ⎞ 2 ⎞ ⎛ ⎛ 3 − 2 log12 ⎜ x + ⎟ = log12 ⎜ ⎟ + 3. x − 5⎠ ⎝ ⎝ x − 2 x − 3⎠

Единый государственный экзамен 2003

С2

Математика, 11 кл.

(1 - 29 )

При каких значениях параметра n уравнение 15 ⋅ 10 x − 20 = n − n ⋅ 10 x +1 не имеет корней?

Единый государственный экзамен 2003

С3

Математика, 11 кл.

(1 - 30 )

Основание пирамиды МАВСD – ромб АВСD, в котором ∠А = 60°. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость α , параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что МР : РО = 2 : 3 . В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью α . Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен 9π 3 .

Единый государственный экзамен 2003

С4

Математика, 11 кл.

(1 - 31 )

Найдите все положительные значения параметра a, при которых в области

(

)

−0, 5

определения функции y = a x − a ax+ 2 есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа.

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

(1 - 32 )

Ответы к заданиям Части 1 Задание Номер ответа

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

Задание Номер ответа

А11

А12

А13

А14

А15

А16

В7 20

В8 124

В9 3

В10 14

Ответы к заданиям Части 2 Задание Ответ

В1 20

В2 2

В3 7

В4 -2

В5 1

В6 8

Единый государственный экзамен 2003

Математика, 11 кл.

(1 - 33 )

Ответы к заданиям Части 3 Задание Ответ

С1 6; 11

С2 [–20; –1,5]

С3 250

С4 (0,8; 0,98]

За выполнение каждого задания Части 3 можно получить от 0 до 4 баллов. Ниже в таблице приведены общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутыми ответами. Оценка в баллах 4

Общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутыми ответами Приведена верная последовательность всех шагов решения. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безошибочно. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безошибочно. Возможны 1 описка и/или негрубая ошибка в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки возможен неверный ответ. Приведена в целом верная последовательность шагов решения. Обоснованы не все ключевые моменты решения. Возможны негрубые ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в решении. Возможны 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. При этом возможен неверный ответ. Общая идея, способ решения верные, но не выполнены некоторые этапы решения или решение не завершено. Большинство ключевых моментов не обосновано или имеются неверные обоснования. Возможны ошибки в чертежах, схемах, приведенных в решении. Имеются негрубые ошибки в вычислениях и/или преобразованиях. В результате этого возможен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 1 )

«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Департамента общего и дошкольного образования Минобразования России _______________________________ А.В.Баранников «_______» ________________________ 2003 г.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2004 г. Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин). В работе 27 заданий. Они распределены на 3 части. Часть 1 содержит 14 заданий (А1 – А14) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому из них даны 4 варианта ответа, из которых только один верный. Часть 2 содержит 9 более сложных заданий (В1 – В9) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. Часть 3 содержит 4 самых сложных задания, три – алгебраических (С1, С2, С4) и одно – геометрическое (С3), при их выполнении требуется записать полное решение. Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В7, В8, В9, С3). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. За верное выполнение различных по сложности заданий дается один или более баллов. Баллы, полученные вами за все выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно большее количество баллов. При выполнении работы вы можете пользоваться справочным материалом, который приведен ниже. Желаем успеха! © 2004 Министерство образования Российской Федерации Копирование и распространение без письменного разрешения Минобразования России не допускается

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 2 )

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

π 6 1 2 3 2 3 3

0 sinα

cosα

tgα

π 4 2 2 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2 1 0 не существует

Формулы сложения: sin ( x + y ) = sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y

cos( x + y ) = cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y Формула перехода к новому основанию: log c x , log x = a log c a

( a, c, x – положительные числа, a ≠ 1, c ≠ 1 ) Производная сложной функции: ( f (kx + b ))′ = kf ′(kx + b )

Формулы площади треугольника:

1 S = (a + b + c ) r 2

abc 4R

( a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности) Площадь боковой поверхности конуса:

Объем конуса: 1 2 S = π Rl V = πR H 3 ( R – радиус основания, l – длина образующей, H – высота) Площадь сферы: S = 4 π R2 .

Объем шара: 4 3 V = πR . 3

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 3 )

ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий части 1 в бланке ответов №1 под номером выполняемого вами задания (А1 – А14) поставьте знак «×» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа. A1

3 Вычислите: 25 2 − 0,25 .

1) 37,25

2) 14,75

3) 124,75

4) 26,25

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 4 )

Упростите выражение 3 cos x + 3 sin x − 6 .

1) 1

2) – 5

3) 3

4) – 3

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Упростите выражение 1) 25m 2

2) 5m 2

Математика, 11 кл.

(2004 - 5 )

625m 8 .

3) − 25m 2

4) − 5m 2

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

log0,3 2

Найдите значение выражения 0,3 1) – 4,91

2) – 4,7

(2004 - 6 )

−5.

3) – 4

4) – 3

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 7 )

Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 7 5 х + 6 = 49 . 1) [ −4; − 1)

2) [−1; 0]

3) (0; 2)

4) [5; 9]

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 8 )

Какому промежутку принадлежит корень уравнения log 2 ( x + 8) = log 2 3 + log 2 5 ? 1) (−8; −5]

2) (−1; 3)

3) (3; 5)

4) [5; 8]

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 9 )

Укажите график функции, возрастающей на отрезке [−3; 2]. 1)

1 0

y 1 0

y 1

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

Укажите множество решений неравенства

(2004 - 10 )

(2 x − 3)(x + 2 ) ≤ 0 .

1) (−∞; − 2] ∪ [1,5; 6)

2) (−∞; − 1,5] ∪ [2; 6)

3) (−∞; − 2] ∪ [3; 6)

4) [−2; 1,5] ∪ (6; + ∞)

х−6

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 11 )

Вычислите значение производной функции у = sin x – 2х в точке х0 = 0. 1) 1

2) 0

3) –3

4) –1

Единый государственный экзамен, 2004 г.

A10

Математика, 11 кл.

Найдите область определения функции y = 6 1 − log 1) [0,7; +∞)

2) (0; 0,7]

3) (–∞; 0,7]

(2004 - 12 )

0,7

4) (0,7; +∞)

Единый государственный экзамен, 2004 г.

A11

Математика, 11 кл.

Найдите множество значений функции 1) (0; +∞)

2) (–12; +∞)

(2004 - 13 )

у = 6х –12.

3) [–12; +∞)

4) (–∞; – 12)

Единый государственный экзамен, 2004 г.

A12

Математика, 11 кл.

(2004 - 14 )

1 Решите уравнение cos 2 x = − . 2

(− 1)n π + πn,

π + πn, n ∈ Z 3

n∈Z

π + πn, n ∈ Z 3 π 4) ± + 2πn, n ∈ Z 3

2) ±

Единый государственный экзамен, 2004 г.

A13

Математика, 11 кл.

На рисунке изображен график функции y = f ( x ) . Какому из следующих промежутков принадлежит корень уравнения f ( x ) = 4 ?

(2004 - 15 )

y 1 0

1) (– 6; –4)

2) (5; 7)

3) (– 2; 0)

4) (0; 2)

Единый государственный экзамен, 2004 г.

A14

Математика, 11 кл.

(2004 - 16 )

Через точку графика функции у = ех – х 2 с абсциссой х0 = 1 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. 1) e – 2

2) – 1

3) e – 1

4) – 2

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 17 )

ЧАСТЬ 2 Ответом на каждое задание этой части должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера задания (В1 – В9), начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней части бланка. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения cos15°(cos 50° sin 65° − cos 65° sin 50°) .

Единый государственный экзамен, 2004 г.

В2

Математика, 11 кл.

Найдите сумму корней уравнения (32 х

− 29

(2004 - 18 )

− 27)4 5 x + 18 = 0.

Единый государственный экзамен, 2004 г.

В3

Математика, 11 кл.

(2004 - 19 )

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8 x − 6 x 2 , x = x = 1, y = 0

1 , 2

Единый государственный экзамен, 2004 г.

В4

Математика, 11 кл.

Функция y = f ( x ) определена на промежутке (–3; 7). График ее производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции y = f ( x ) на промежутке (–3; 7).

(2004 - 20 )

y = f ′(x)

1 0

Единый государственный экзамен, 2004 г.

В5

Математика, 11 кл.

Найдите наибольшее значение функции y =

(2004 - 21 )

40 х

2 +3

на промежутке [1; 7].

Единый государственный экзамен, 2004 г.

В6

Математика, 11 кл.

(2004 - 22 )

Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции у = ln( х − 2 x − 3 ) .

Единый государственный экзамен, 2004 г.

* В7

Математика, 11 кл.

(2004 - 23 )

Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предприятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Далее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану 11000 приборов?

Единый государственный экзамен, 2004 г.

* В8

Математика, 11 кл.

(2004 - 24 )

Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45°, а площадь боковой поверхности равна 36 2 . Найдите объем пирамиды.

Единый государственный экзамен, 2004 г.

* В9

Математика, 11 кл.

(2004 - 25 )

В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 24 3 , вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 26 )

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания этой части (С1 – С4) используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер задания (С1 и т.д.), а затем полное решение.

С1

⎧⎪log 0,9 ( 2 y − 3 x + 1) = 0, Решите систему уравнений ⎨ ⎪⎩ 0,5 log 2 (3 y − x − 1,5) + log 4 (8 x ) = 0 .

Единый государственный экзамен, 2004 г.

С2

Математика, 11 кл.

(2004 - 27 )

Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.

Единый государственный экзамен, 2004 г.

* С3

Математика, 11 кл.

(2004 - 28 )

Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке А. В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка). Найдите высоту конуса, если АC = 1.

Единый государственный экзамен, 2004 г.

С4

Математика, 11 кл.

(2004 - 29 )

Найдите все значения параметра a , при которых множество решений неравенства x( x − 2) ≤ (a + 1)( x − 1 − 1) содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 30 )

Ответы к заданиям демонстрационного варианта по математике. Часть 1 № задания А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7

Ответ 3 4 2 4 2 4 3

№ задания А8 А9 А10 А11 А12 А13 А14

Ответ 1 4 1 2 2 2 1

Часть 2 № задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 B8 B9

Ответ 0,25 0,4 1,25 2 8 12 25 36 3

Часть 3 № задания С1 С2 С3 С4

Ответ (0,5; 0,75) 22/3 4/15 (−∞; 0,7]

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 31 )

ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ

Решения заданий С1 – С4 Части 3 (с развернутым ответом) оценивается экспертной комиссией. На основе критериев, представленных в приведенной ниже таблице, за выполнение каждого задания в зависимости от полноты и правильности данного учащимся ответа выставляется от 0 до 4 баллов. Баллы

Общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом Приведена верная последовательность всех шагов решения. 1 Верно обоснованы все моменты решения. 2 Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безошибочно. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Верно обоснованы все ключевые моменты решения 3 . Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безошибочно. Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате описки или ошибки возможен неверный ответ. Приведена в целом верная, но, возможна, неполная последовательность шагов решения и/или обоснована только часть ключевых моментов решения. 4 При этом допустимы негрубые ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в решении, одна-две негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок возможен неверный ответ. Общая идея, способ решения верные, но не выполнены некоторые промежуточные этапы решения или решение не завершено 5 . Большинство ключевых моментов не обосновано или имеются неверные обоснования. При этом допустимы негрубые ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в решении, негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, перечисляются эти шаги решения. В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, перечисляются эти моменты решения. 3 В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, перечисляются все ключевые моменты решения. 4 В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, перечисляются эти ключевые моменты решения. 5 В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, указываются те действия, которые должен выполнить ученик, чтобы судить о том, что он использовал правильный способ решения. 2

Единый государственный экзамен, 2004 г.

Математика, 11 кл.

(2004 - 32 )

Отметим, что приведенная шкала оценок в 0, 1, 2, 3, 4 балла не является равномерной, т.е. утверждения типа «3 балла ставится, если задача решена на 75%, 2 балла ставится за наполовину решенную задачу,…» являются ошибочными. Решение, оцениваемое 3 баллами, существенно ближе к идеальному, четырехбалльному решению: оно отличается от него лишь наличием неточностей. В свою очередь, оценка «2 балла» ближе к оценке «3 балла», нежели к оценке «1 балл».

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 1)

Внимание! Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта КИМ по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0 (см. Примечание в конце файла). «УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки В.А. Болотов «__24__»_____ноября_______2004г.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2005 г. Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин). В работе 26 заданий. Они распределены на 3 части. Часть 1 содержит 13 заданий (А1 – А10 и В1 – В3) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 – А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 – В11, С1, С2) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 – В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3, С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В9, В10, В11, С4). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха! © 2005 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 2)

ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 – А10 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Вычислите: 1) – 154

Математика, 11 класс.

1 − 15 ⋅ 814 − 19 .

2) 116

3) – 64

4) 26

(стр. 3)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Упростите выражение 1) 5b 2

Математика, 11 класс.

2 4 25b ⋅ 5b .

2) 25b

4) 5b

(стр. 4)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Найдите значение выражения 1) 27

2) 6

Математика, 11 класс.

log5 b , если log5 b3 = 9. 3) 3

4) 12

(стр. 5)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Найдите tg α , если cos α = 1) 0,5

2) 2

1 5

Математика, 11 класс.

и −

π 2

< α < 0.

3) – 0,5

4) – 2

(стр. 6)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

На одном из рисунков изображен график функции y = log x . 3

Укажите этот рисунок. 1)

0 1

1 0 1

0 1

(стр. 7)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Найдите производную функции

Математика, 11 класс.

y = e x + 3x 2 .

x −1 + 6x 1) y ′ = xe x 3 2) y ′ = e + x x 2 3) y ′ = e + 5x x 4) y ′ = e + 6 x

(стр. 8)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 9)

Какое из следующих чисел входит в множество значений функции у = 2х + 4?

1) 5

2) 2

3) 3

4) 4

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Решите неравенство

( х − 2 )(4 х + 3) х+4

Математика, 11 класс.

≥ 0.

3⎤ ∪ [2; + ∞ ) 4 ⎥⎦ ⎡ 3 ⎤ 2) ( − ∞; − 4 ) ∪ ⎢ − ; 2 ⎥ ⎣ 4 ⎦ 3⎤ ⎛ 3) ⎜ − 4; − ⎥ ∪ [2; + ∞ ) 4⎦ ⎝ 3⎤ ⎛ 4) ⎜ − ∞; − ⎥ ∪ [2; + ∞ ) 4⎦ ⎝ ⎡ 1) ⎢ − 4; − ⎣

(стр. 10)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Решите уравнение

sin x −

Математика, 11 класс.

2 = 0. 2

π + 2πn, n ∈ Z 4 nπ + πn, n ∈ Z 2) (− 1) 4 π + πn, n ∈ Z 3) 4 π 4) ± + 2πn, n ∈ Z 4 1)

(стр. 11)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

A10

Укажите область определения функции 1) (0; 3]

2) (0; 1000 ]

Математика, 11 класс.

(стр. 12)

y = 3 − lg x . 3) (3; 1000 ]

4) [1000; + ∞ )

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 13)

Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Решите уравнение

Математика, 11 класс.

34 x + 5 = 81 .

(стр. 14)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Решите уравнение

Математика, 11 класс.

2x - 9x + 5 = 3 .

(стр. 15)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 16)

Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t ) = t 2 + t + 2 , где x(t ) – координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 5?

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

ЧАСТЬ 2 B4

Вычислите:

6 ⋅ log 125 ⋅ log 2 + 2 2

lg 7

⋅5

lg 7

(стр. 17)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 18)

Функция у = f(x) определена на промежутке (– 6; 4). График ее производной изображен на рисунке. Укажите точку минимума функции у = f(x) на этом промежутке.

у = f ′(x) 1 –6

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Вычислите

площадь

Математика, 11 класс.

фигуры,

ограниченной

(стр. 19)

линиями

у = х + 1; х = 1; х = 4 и у = 0 .

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Найдите значение выражения

Математика, 11 класс.

( x − 3) +

( x − 7,5)

(стр. 20)

при x = 10 .

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Найдите y = 25 ⋅ 3

Математика, 11 класс.

наибольшее cos 4 x cos 3 x + sin 4 x sin 3 x − 2

целое

значение

(стр. 21)

функции

Единый государственный экзамен, 2005 г.

*B9

Математика, 11 класс.

(стр. 22)

Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.?

Единый государственный экзамен, 2005 г.

*B10

Математика, 11 класс.

(стр. 23)

Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС равна 14 2 , а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 45º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

*B11

Математика, 11 класс.

(стр. 24)

В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3 2 , ВС = 10, ∠МАС = 45°.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 25)

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

Решите уравнение sin x = sin x ⋅ cos x .

(стр. 26)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

Найдите нули функции y = ln ( x - 3x - 9) +

x - 8x - 8 .

(стр. 27)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 28)

ЧАСТЬ 3

Для записи ответов на задания (С3 – С5) используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Решите систему уравнений

Математика, 11 класс.

⎧ − y + 10 x + 11 ⎪ − 2 y − 5 x = −5 y − 15 x + 22 , ⎪⎪ ⎨ ⎪ − 2 y −5 x + 25 = 26 ⋅ 5 − 2 y ⋅ 5 − 5 x. ⎪25 ⎪⎩

(стр. 29)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

*C4

Математика, 11 класс.

(стр. 30)

Дана правильная призма АВСА1В1С1, где АА1, ВВ1 и СС1 – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА1, пересекает ребро А1С1 в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ1. Известно, что АВ = 12, А1М : МС1 = 3 : 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 31)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

Ответы к заданиям демонстрационного варианта по математике.

Ответы к заданиям с выбором ответа

№ задания А1 А2 А3 А4 А5

Ответ 3 1 3 4 2

№ задания А6 А7 А8 А9 А10

Ответ 4 1 3 2 2

(стр. 32)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

Ответы к заданиям с кратким ответом

№ задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 B8 B9 В10 В11

Ответ – 0,25 4 2 25 2 24 4,5 8 20,2 24 21

(стр. 33)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

Ответы к заданиям с развернутым ответом

№ задания πn, n ∈ Ζ С1 –2 С2 ( 2, 4; − 7 ) С3 С4 С5

Ответ

324 3 – 1,5; – 1

(стр. 34)

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 35)

Инструкция по оценке работ учащихся по математике Первые 10 заданий А1–А10 – с выбором ответа из 4 предложенных вариантов, следующие 11 заданий В1–В11 – с кратким ответом в виде целого числа или числа, записанного в виде десятичной дроби.

Задание с выбором ответа (А1–А10) считается выполненным верно, если указан номер, которым обозначен верный ответ. Задание с кратким ответом (В1–В11) считается выполненным верно, если указано число, которое является верным ответом на данное задание. За верное выполнение заданий с выбором ответа и с кратким ответом выставляется 1 балл. В работу включены 5 заданий с развернутым ответом С1 – С5, при выполнении которых требуется записать полное решение. Эти задания существенно различаются по уровню сложности. Два первых задания (С1 и С2) – повышенного уровня сложности, остальные три (С3 – С5) – высокого уровня сложности. Выполнение этих заданий оценивается экспертами. В зависимости от полноты и правильности ответа за выполнение заданий С1 и С2 выставляется от 0 до 2 баллов, за выполнение заданий С3 – С5 – от 0 до 4 баллов. Критерии оценки выполнения заданий повышенного уровня (С1 и С2) отличаются от критериев оценки заданий высокого уровня сложности. Они не требуют от учащихся обосновывать приведенные ими решения. Это объясняется тем, что задачи С1 и С2 не являются совершенно новыми для учащихся, как это характерно для более сложных заданий С3 – С5. При решении задач С1 и С2 нужно, например, выделить несколько случаев, подлежащих рассмотрению (см. далее задание С1), или выбрать правильный порядок соответствующих преобразований и вычислений (см. задание С2). При этом в каждом из этих случаев надо применить стандартный способ решения, процедура которого достаточно отработана и, понашему мнению, не нуждается в приведении обоснований. Поэтому конкретизированные критерии оценки выполнения этих заданий фиксируют только правильность выделенных шагов решения, но не включают требования к их обоснованию. Далее для каждой задачи С1 – С5 приводится один из возможных вариантов решения, который может быть представлен в работах учащихся, и даются рекомендации по оценке ответов учащихся, выбравших приведенный способ решения. Подчеркнем, что приведенные записи решений не являются эталонами выполнения работы, которым обязаны следовать учащиеся.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 36)

ЗАДАНИЕ С1 Решите уравнение

sin x = sin x Чcos x .

Решение: 1) Пусть sin x і 0 , тогда sin x - sin x Чcos x = 0, sin x (1 - cos x )= 0,

sin x = 0 или 1 - cos x = 0,

х = p п, n О Z или

x = 2p n , n О Z .

Отсюда х = p n, n О Z . 2) Пусть sin x < 0 , тогда sin x + sin x Чcos x = 0; sin x (1 + cos x )= 0; 1 + cos x = 0; cos x = - 1, тогда sin x = 0, что противоречит рассматриваемому случаю sin x < 0 . Ответ: p n, n О Z Баллы

Критерии оценки выполнения задания С1

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) рассмотрение случая sin x і 0 и решение соответствующего уравнения, 2) рассмотрение случая sin x < 0 и решение соответствующего уравнения. Все тождественные преобразования выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность выделенных шагов решения. При решении одного из уравнений допущена одна описка или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой описки или ошибки возможен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 37)

ЗАДАНИЕ С2 2

Найдите нули функции y = ln (x - 3x - 9 )+ x - 8 x - 8 . Решение: 1) Нули функции – это значения x , при которых

(

)

ln 2 x 2 - 3x - 9 і 0 и

y = 0.

x 3 - 8 x - 8 і 0 , значит, их сумма равна 0,

если каждое слагаемое обращается в нуль. м п ln x 2 - 3 x - 9 = 0, п 2) п н п 3 п п о x - 8x - 8 = 0 .

(

)

3) ln x - 3x - 9 = 0 Ы x - 3x - 9 = 1 Ы x - 3x - 10 = 0 ;

x = - 2, x = 5 . 1

4) Проверим, являются ли числа – 2 и 5 корнями второго уравнения системы:

(- 2 )3 - 8 Ч( 2 )- 8 = 0 , верное равенство, значит, – 2 – корень; 3

5 - 8 Ч5 - 8 №0 , значит, 5 – не является корнем 2-го уравнения. Ответ: – 2. Замечания 1. В записи решения возможно отсутствие знака равносильности. Возможны разные способы решения, например, можно решить оба 2. уравнения, а затем сравнить корни. Баллы

Критерии оценки выполнения задания С2

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) оценивание значений выражений, входящих в формулу, задающую функцию; 2) получение системы двух уравнений; 3) решение одного уравнения; 4) проверяется, являются ли найденные корни уравнения решением системы. Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность 2 – 4 выделенных шагов решения. Допускается отсутствие шага 1 решения и/или при решении уравнения допущена одна описка или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла. © 2005 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 38)

ЗАДАНИЕ С3

мy + 10 x + 11 п п = - 5 y - 15 x + 22, п п 2 y 5 x Решите систему уравнений: н п п - 2 y- 5 x п + 25 = 26 Ч5 - 2 y Ч5 - 5 x. п о 25 Решение:

1) Решим уравнение 25

- 2 y- 5 x

+ 25 = 26 Ч5 - 2 y Ч5 - 5 x :

2 5 - 2 y- 5 x - 26 Ч5 - 2 y - 5 x + 25 = 0 .

(

)

2 Пусть t = 5 - 2 y- 5 x . Тогда уравнение примет вид t - 26t + 25 = 0 , значит, t = 1; t = 25 . 1

2) Если t = 1 , то 5 - 2 y- 5 x = 5 0 , - 2 y - 5 x = 0 . Но, - 2 y - 5 x – знаменатель первого уравнения, следовательно, равенство нулю невозможно. 2 + 5x Если t = 25 , то 5 - 2 y- 5 x = 5 2 , - 2 y - 5 x = 2 , y = . 2 2 + 5x 3) Подставим y = в первое уравнение системы. Получим: 2 м 2 + 5x п м 25 x + 24 - 5 x + 54 п + 10 x + 11 п п 2 + 5 x п = , 2 п п = 5Ч - 15 x + 22, п 4 2 п п 2 2 н н п п 2 + 5x п п 2 + 5x y= ; п п ; y = п п п 2 о п п 2 о м35 x = 84, п м п п п п x = 2,4, н 2 + 5x н п ; п y= п о y = - 7. п п 2 о Так как преобразования равносильные, то проверку подстановкой можно не проводить. Ответ: (2, 4; - 7 ). Замечания 1) Проверку подстановкой при наличии ссылки на равносильность преобразований не следует считать недочетом. 2) Возможно решение и без введения новой переменной. 3) При решении квадратного уравнения запись дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения не обязательна.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Баллы

Математика, 11 класс.

(стр. 39)

Критерии оценки выполнения задания С3

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) сведение второго уравнения системы к квадратному уравнению относительно t и его решение; 2) проверка «пригодности» корня t = 1 , выражение y через x в случае t = 25 ; 3) решение системы, в котором приведены необходимые преобразования. Обоснованы моменты решения: а) в п.2 имеется ссылка на знаменатель первого уравнения; б) в п.3 имеется ссылка на равносильность преобразований (словесная или с помощью знака Ы ). Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Обоснован ключевой момент а). Допустима описка, в результате которой может быть получен неверный ответ (например, в записи самого ответа пропущен минус). Приведена верная последовательность всех шагов решения. 2

При этом получено и верно решено уравнение t - 26t + 25 = 0 , значение t = 1 исключено. Обоснован ключевой момент а). Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки или описки в вычислениях в шаге 3, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ. Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не 2

завершено: получено и верно решено уравнение t - 26t + 25 = 0 . Допускается, что значение t = 1 не исключено, а в случае t =25 составлена правильная система уравнений, но ее решение не завершено. Обоснования ключевых моментов отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 40)

ЗАДАНИЕ С4 Дана правильная призма АВСА1В1С1, где АА1, ВВ1 и СС1 – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА1, пересекает ребро А1С1 в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ1. Известно, что АВ = 12, А1М : МС1 = 3 : 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение: 1) Так как призма правильная, то прямая С1 М АА1⊥АВС. По условию центр О сферы L1 лежит на ребре АА1 и поэтому, по В1 А1 свойству плоскости, касательной к Т сфере, сфера с центром в точке О касается плоскости АВС в точке А. О Значит, OA – радиус сферы. С 2) Пусть L и L1 – середины ребер ВС и L В1С1 соответственно. Так как В А треугольник АВС – правильный, то AL ^ BC . А так как AA ^ BC , то BC ^ AA L , т.е. плоскости 1

СВВ1 и АLL1 перпендикулярны. Пусть Т – точка касания сферы с плоскостью СВВ1. Тогда ОТ – радиус сферы, OT ^ CBB , значит, 1

ОТ лежит в плоскости АLL1. Тогда OT || AL , а так как AA || LL , то 1

12 3 = 6 3 как высота 2 правильного треугольника, со стороной 12. 3) Точка М лежит на сфере. Поэтому OM = OT = 6 3 . По условию 3 3 MA = AB . Тогда MA = Ч12 = 9 . Из прямоугольного 1 4 1 4 треугольника ОМА1 находим OT = AL .

Отсюда

OA =

OT = OA = AL =

2 1

OM - MA = 108 - 81 = 3 3 . Отсюда находим высоту

призмы: h = AO + OA = 6 3 + 3 3 = 9 3 . 1

4) Площадь S боковой поверхности призмы найдем по формуле S = 3 AB Чh . Отсюда S = 3 Ч12 Ч9 3 = 324 3 . Ответ: 324 3 .

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 41)

Решение, оцениваемое 3 баллами 1) А – точка касания сферы с плоскостью АВС, OA = R – радиус сферы. AB 3 = 6 3. 2) Пусть OT ^ CBB . Тогда ОТ– радиус сферы, и OT = 1 2 3 3 3) MA = AB = Ч12 = 9 . 1 4 4 OA = 1

OM 2 - MA 2 = 1

(6 3 )

- 92 = 3 3.

Отсюда

высота

призмы h = 9 3 . 4) Площадь S боковой поверхности призмы найдем по формуле S = 3 AB Чh . Отсюда S = 3 Ч12 Ч9 3 = 324 3 . Решение, оцениваемое 2 баллами 1) Точка О – центр, а Т– точка касания сферы с СВВ1 и 12 3 = 6 3. 2) OT = OA = AL = 2 3 3 3) MA = AB = Ч12 = 9 ; 1 4 4 OA = 1

OM 2 - MA 2 = 1

(6 3 )

- 9 2 = 3 21. *

h = AO + OA = 6 3 + 3 21 . 1

4) Площадь S боковой поверхности призмы найдем по формуле S = 3 AB Чh . Отсюда S = 3 Ч12 Ч(6 3 + 3 21) = 36(6 3 + 3 21). * Допущена негрубая ошибка в вычислениях. Замечание Считается недочетом, если точные значения искомых величин заменены приближенными, например, записано, что OT » 10,4.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Баллы

Математика, 11 класс.

(стр. 42)

Критерии оценки выполнения задания C4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) установлено положение точки касания сферы с плоскостью основания; 2) установлено положение точки касания сферы с боковой гранью; 3) найдено соотношение между ребром основания призмы и радиусом сферы; 4) найдена высота призмы; 5) вычислена площадь боковой поверхности призмы. Использованы верные формулы при нахождении искомых величин. Верно обоснованы все ключевые моменты решения: а) положение точки касания сферы с плоскостью основания; б) положение точки касания с боковой гранью. Проведены верные вычисления. Получен верный ответ. Имеются все шаги 1) – 4) решения. Использованы верные формулы. Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а), б) решения. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях 1 , но не грубые ошибки. Допустима описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ. Имеются шаги 2) – 4) решения. Использованы верные формулы. Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустима описка и/или негрубая ошибка в вычислениях или рассуждениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ. Ход решения правильный, но решение не завершено. Верно найдено соотношение между радиусом сферы и ребром основания призмы, то есть в вычислениях и рассуждениях верно использовано положение центра сферы. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обоснованиях. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или рассуждениях, не влияющие на правильность хода решения. Все случаи решения, которые не соответствуют выше указанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Неточностью в обоснованиях являются замена свойства на определение или признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул. © 2005 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 43)

ЗАДАНИЕ С5

Известно, что уравнение (2 p + 3) x 2 + ( p + 3) x + 1 = 0 имеет хотя бы один корень. Найдите все значения параметра p , при которых число различных корней этого уравнения равно числу различных корней 2x + 1 1 = уравнения . 21 - p x- 3 + 3 Решение: 1) Если 2 p + 3 = 0 , p = - 1,5 , то первое уравнение – линейное: 1,5 x + 1 = 0 . У него один корень x = - 2 / 3 . 2) Если 2 p + 3 №0 , то первое уравнение – квадратное. Найдем его дискриминант: D = ( p + 3) 2 - 4(2 p + 3) = p 2 - 2 p - 3 = ( p - 3)( p + 1) . Если - 1 < p < 3 , то D < 0 . Значит, уравнение имеет корни только при p О (- Ґ ; - 1] И [3; + Ґ ) . Причем, при p = - 1 и p = 3 – корень один, а при p О (- Ґ ;- 1) И (3; + Ґ ) – два корня.

3) Пусть t = x - 3, x = t 2 + 3 . Тогда при p № 21 второе уравнение примет вид (t + 3)(2(t 2 + 3) + 1) = 21 - p , 2t 3 + 6t 2 + 7t + p = 0 . Исследуем функцию y (t ) = 2t 3 + 6t 2 + 7t + p . Найдем производную y ' = 6t 2 + 12t + 7 .

4) Так как y ' = 6(t + 1) 2 + 1 > 0 , то y = y (t ) возрастает на всей числовой прямой (- Ґ ; + Ґ ) . Поэтому уравнение y (t ) = 0 или не имеет корней, или имеет только один корень. Первый случай невозможен по условию задачи. Значит, (см. 1) и 2)) или p = - 1 , или p = 3 , или p = - 1,5 . 3

5) Если p = 3 , то получаем уравнение 2t + 6t + 7t + 3 = 0 . По условию t = x - 3 і 0 , и так как y = y (t ) возрастает, то y (t ) і y (0) = 3 . Значит, неотрицательных корней у уравнения

2t 3 + 6t 2 + 7t + 3 = 0 нет. 3 2 Если p = - 1 , то получаем уравнение 2t + 6t + 7t - 1 = 0 . Так как

y (0) = - 1 < 0 , y (1) = 14 > 0 и функция y = 2t 3 + 6t 2 + 7t - 1 непрерывна, 3

то уравнение 2t + 6t + 7t - 1 = 0 имеет корень на промежутке (0; 1) .

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Если

p = - 1,5 ,

то

Математика, 11 класс.

получаем

(стр. 44)

уравнение

2t 3 + 6t 2 + 7t - 1,5 = 0 . Так как y (0) = - 1,5 < 0 , то так же, как и в случае p = - 1 , уравнение имеет корень на промежутке (0; 1) . Ответ: - 1,5 ; - 1 . Замечание. В шагах 4) и 5) допустима ссылка (без доказательства) на наличие у кубической функции хотя бы одного корня. Баллы

Критерии оценки выполнения задания С5

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) разбор случая 2 p + 3 = 0 , нахождение числа корней; 2) разбор случая 2 p + 3 № 0 , нахождение числа корней полученного квадратного уравнения; 3) замена переменной t = x - 3 і 0 во втором уравнении, составление соответствующей функции y = y (t ) , вычисление производной; 4) исследование функции y = y (t ) на монотонность, отбор значений параметра p = - 1 или p = 3 ; 5) нахождение числа корней второго уравнения при отобранных значениях p . Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 3) имеется ссылка на неравенство p № 21 ; б) в шаге 4) при определении знака производной есть ссылка на выделение полного квадрата (или отрицательность дискриминанта); в) в шаге 4) при определении числа корней есть ссылка на монотонность; г) в шаге 5) имеется ссылка на условие t і 0 ; д) в шаге 5) имеется ссылка на непрерывность y = y (t ) . Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допускается, что в шаге 2) после равенства D = ( p - 3)( p + 1) вместо словесного обоснования применен метод интервалов. В шаге 5) допустима лишь краткая ссылка на то, что при p = - 1,5 решение аналогично рассмотренному в случае p = - 1. Обоснованы ключевые моменты б), в), г). Допустима 1 описка, и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 5), в результате которых может быть получен неверный ответ.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 45)

Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Выполнены шаги 2) – 5) решения. Обоснованы ключевые моменты б) и г). Допускается отсутствие шага 1), Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки или описки в вычислениях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения, в результате чего может быть получен неверный ответ. Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Полностью выполнены шаги 2) и 3) решения и верно определен знак производной (часть шага 4). Допустимо, что отбор значений p = - 1 , или p = 3 , или p = - 1,5 не произведен. Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Примечание Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам.

Единый государственный экзамен, 2005 г.

Математика, 11 класс.

(стр. 46)

http://www.dessci.com/en/ Сайт программы Прямой линк (30 дней http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe бесплатно)

«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки

«СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант КИМ 2006 г.

подготовлен Федеральным государственным научным учреждением «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Директор ФИПИ

А.Г. Ершов

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 2)

ВНИМАНИЕ! При ознакомлении с Демонстрационным вариантом КИМ – 2006, следует иметь в виду, что задания, включенные в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью всех вариантов КИМ в 2006 году. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться в КИМ – 2006 приведен в кодификаторе, помещенном на данном сайте. Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить правильное представление о структуре будущих КИМ, числе, форме, уровне сложности заданий базового, повышенного и высокого уровня. Приведенные критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом, включенных в этот вариант, позволят составить правильное представление о требованиях к полноте и правильности записи решения заданий повышенного уровня (С1 и С2) и заданий высокого уровня (С3 – С5). Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки и сдачи ЕГЭ в соответствии с целями, которые они ставят перед собой. Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта КИМ по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0 (см. Примечание в конце файла).

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 3)

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2006 г. Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1 – А10 и В1 – В3) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 – А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 – В11, С1, С2) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 – В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3, С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В9, В10, В11, С4). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 4)

ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 – А10 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак "×" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа. A1

Вычислите: 1) 36

8 25 9

2) 18

3) 6

8 59

Найдите значение выражения 1) 10

48 ⋅ 27 .

Представьте в виде степени выражение 1)

2 53

4) 12 4 ⋅53 .

3) 25 2

1 ⋅ 2 log 2 10 . 2

2) 5

3) log 10

[ − 3; 7 ) [ − 3; − 2 ] ∪ [ 2; 5 ] [ − 4; 3 ] [ − 4; − 1) ∪ ( −1; 3 ]

4) 20

Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. 1) 2) 3) 4)

4) 5 2

y 3 2

–3 –2

7 2

–1

4 5

–3 –4

(

Найдите область определения функции f ( x ) = log 2x − x 0,5 1) 2) 3) 4)

( 0; 2 ) ( − ∞; 0 ) ∪ ( 2; + ∞ ) [ 0; 2 ] ( − ∞; 0 ] ∪ [ 2; + ∞ )

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г. A6

Укажите наибольшее значение функции 1) 1

2) 2

(стр. 5)

y = 1 − cos3 x .

3) 0

На рисунке изображены графики функций y = f (x) и y = g (x), заданных на промежутке [ − 3; 6 ] . Найдите все значения х, для которых выполняется неравенство f (x) ≤ g (x). 1) 2) 3) 4)

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

4) 4

y y = f (x) 1 0 1

[ − 3; − 1] ∪ [1; 6 ] [ − 1; 1] [ − 3; − 2 ] ∪ [ 2; 6 ] [ − 2; 2 ]

y = g (x)

sin 3x = 1 . 2

Решите уравнение

π π 1) (−1) ⋅ + n, n ∈ Z 9 3 π 2π n, n ∈ Z 2) ± + 18 3 n π π 3) (−1) ⋅ + n, n ∈ Z 18 3 π 2π n, n ∈ Z 4) ± + 9 3 n

Решите неравенство 1) (− ∞; 3)

A10

() 1 5

3 х− 7

( −∞; 53 )

> 0,04 .

3) ( 3; + ∞)

( −∞; − 53 ) 2

Укажите абсциссу точки графика функции f ( x) = 5 + 4 x − x , в которой угловой коэффициент касательной равен нулю. 1) 0

2) 2

3) – 2

4) 5

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 6)

Ответом на задания В1–В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Найдите значение выражения

Решите уравнение

Решите уравнение log

)

(

3sin π + α 2 , если α = 7π . 4 2cos ( π − α )

2 х + 37 = x + 1. 1,6

(5 x + 8) − log

1,6

3 = log

1,6

ЧАСТЬ 2

B4 B5

Вычислите:

25 5 + 1,6 5 25

)

− 6 11 .

Функция y = f ( x) определена на промежутке (– 3; 7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку x , в которой функция y = f ( x) значение.

( 3,4

принимает

наибольшее

Найдите наибольшее значение функции [1;3 ] .

у у = f ′(x) 1 –3

y = 2,7 ⋅ e

3x 2 − x 3 −4

на

x +1

отрезке

= 35 + 5 x . В ответе запишите корень уравнения Решите уравнение 0,2 или сумму корней, если их несколько.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г. B8

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 7)

Нечетная функция y = f ( x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g ( x ) = x ( 2 x + 1)( x − 2 )( x − 3 ) . Сколько корней имеет уравнение f ( x ) = 0 ?

*B9

По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 50 000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

*B10

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6 5 и 12 5 . Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.

*B11

Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 15, синус угла ВАС равен 1 , синус 3 5 угла АВD равен . 9

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. C1

Решите уравнение 4 cos x ctg x + 4 ctg x + sin x = 0 .

При каких значениях х соответственные значения функций f ( x) = log x и

g ( x) = log (3 − x) будут отличаться меньше, чем на 1? 2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 8)

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания (С3-С5) используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение. C3

Для монтажа оборудования необходима подставка объёмом 1296 дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а её задняя стенка – в стену цеха. Для соединения подставки по рёбрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.

*C4

Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором ∠ABC = 90° , АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFВ и AFС. Найдите объем пирамиды AMLC .

Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями а остальные неравенства log log x − 11 ≥ 0 , 0,5 x −1 4 x −8 не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.

(

)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс

(стр. 9)

Ответы к заданиям демонстрационного варианта по математике.

Ответы к заданиям с выбором ответа № задания А1 А2 А3 А4 А5

Ответ 3 4 2 3 1

№ задания А6 А7 А8 А9 А10

Ответ 2 2 3 1 2

Ответы к заданиям с кратким ответом № задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 B8 B9 В10 В11

Ответ – 1,5 6 2,6 0,2 1 2,7 –2 5 16550 0,6 12

Ответы к заданиям с развернутым ответом № задания С1 С2 С3 С4 С5

(

Ответ

)

± π − arccos 1 + 2πk , k ∈ Z 3 (1; 2) 12 дм, 12 дм и 9 дм

128 41 ( 2; 2,5 )

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 10)

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТОМ C1

Решите уравнение 4 cos x ctg x + 4 ctg x + sin x = 0 . Решение. 4cos 2 x + 4cos x + sin 2 x 3cos 2 x + 4cos x + 1 = 0, = 0. sin x sin x ⎧ sin x ≠ 0 ⎪⎪ 1 1 2) ⎨ ⎡ cos x = −1 ⇔ cos x = − ⇔ x = ± π − arccos + 2πk , k ∈ Z . 3 3 ⎪ ⎢⎢ cos x = − 1 ⎪⎩ ⎣ 3 Ответ: ± π − arccos 1 + 2πk , k ∈ Z . 3 1)

(

Баллы 2

)

Критерии оценки выполнения задания С1 Приведена верная последовательность шагов решения: 1) представление левой части уравнения в виде дроби; 2) решение полученного уравнения. Все преобразования и вычисления проведены правильно, получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. При решении уравнения в шаге 2) допущена описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой описки и/или ошибки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, не соответствующие указанным выше критериям выставления оценок в 1 или 2 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г. C2

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 11)

При каких значениях х соответственные значения функций f ( x) = log x и

g ( x) = log (3 − x) будут отличаться меньше, чем на 1? 2

Решение. 1) log ( 3 − x ) − log x < 1. 2 2 2) log ( 3 − x ) − 1 < log x < log ( 3 − x ) + 1 ⇔ 3 − x < x < ( 3 − x ) ⋅ 2 ⇔ 2 2 2 2 ⎧x >1 ⇔ 1 < x < 2. 3 − x < 2 x < 12 − 4 x ⇔ ⎨ ⎩x < 2

Ответ: (1;2 ) .

Баллы 2

Критерии оценки выполнения задания С2 Приведена верная последовательность шагов решения: 1) составление неравенства, содержащего модуль; 2) решение неравенства. Все преобразования и вычисления проведены правильно, получен верный ответ. Приведена верная последовательность шагов решения. При решении неравенства в шаге 2) допущена описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой описки и/или ошибки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, не соответствующие указанным выше критериям выставления оценок в 1 или 2 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г. C3

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 12)

Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 1296 дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а ее задняя стенка – в стену цеха. Для соединения подставки по ребрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.

Решение. 1) В основании подставки лежит квадрат. Пусть x – длина его стороны, а y – 2 2 высота подставки. Тогда ее объем равен x y и x y = 1296 , т.е. y = 1296 . 2 x 2) Сварить надо 3 ребра верхнего основания и 2 ребра грани, параллельной стене. Значит, общая длина L сварки равна 3x + 2 y , т.е. L ( x ) = 3 x + 2 ⋅ 1296 , x > 0. 2 x '

3( x 3 − 1728) ⎛ ⎞ 2592 5184 . 3) Найдем производную L ' ( x ) = ⎜ 3x + 2 ⎟ = 3 − 3 = 3 ⎝ x ⎠ x x 3 3 3 Поэтому L ' ( x ) = 0 ⇔ x − 1728 = 0 ⇔ x = 12 ⇔ x = 12 , т.е. функция L ( x ) при x > 0 имеет единственную критическую точку x = 12 . 3

4) Если 0 < x < 12 , то 0 < x < 1728 и L ' ( x ) < 0 . Если x > 12 , то x > 1728 и = L(12) . Тогда L ' ( x ) > 0 . Значит, x = 12 является точкой минимума и L наим

1296 = 9 . = высота подставки равна y = 1296 2 144 x Ответ: 12 дм, 12 дм и 9 дм.

Замечание. Возможно, но маловероятно решение без производных. Для этого используем неравенство a + b + c ≥ 3 ⋅ 3 abc о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех неотрицательных чисел. ⎞ ⎟ = 3⋅ ( )( 23 x ) ⎜⎝⎛ 2592 x ⎠

= 3 x + 3 x + 2592 ≥ 3⋅ 3 3 x L ( x ) = 3 x + 2 ⋅ 1296 2 2 2 2 2 x x

3 3

3 ⋅ 216 = 54.

При этом равенство достигается, только если все три слагаемых равны между собой, т.е. 3 x = 2 ⋅ 1296 , x = 12. 2 2 x

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Критерии оценки выполнения задания С3 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) определение формы подставки, выражение ее высоты через длину стороны основания; 2) выражение общей длины сварки через длину стороны основания; 3) вычисление производной и нахождение критической точки функции длины сварки; 4) проверка того, что найденная критическая точка является точкой минимума. Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 2) перечислены ребра, которые надо сваривать; б) в шаге 3) явно указано, что имеется единственная критическая точка; в) в шаге 4) изменение знаков производной обосновано или неравенствами, или подстановкой значений, или ссылкой на характер монотонности кубической функции. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. 2

(стр. 13)

В шаге 1) допустимо наличие лишь формулы x y = 1296 , в шаге 2) допустимо наличие только равенства L = 3 x + 2 y . Обоснованы ключевые моменты б) и в). Допустима 1 описка, и/или негрубая вычислительная ошибка в шагах 3), 4), не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. Возможен неверный ответ (например, указано верное наименьшее значение длины сварки, а не размеров подставки). Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) – 3). Обоснован ключевой момент б). Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки или описки в вычислениях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате может быть получен неверный ответ. Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнены шаги 1) и 2), т.е. текстовая задача верно сведена к своей математической модели – исследованию функции. Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Обоснования ключевых моментов отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г. C4

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 14)

Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором ∠ABC = 90° , АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFB и AFC. Найдите объем пирамиды AMLC .

Решение. F

L 1) Объем пирамиды AMLC вычислим по формуле 1 VAMLC = SCLM h , где h – высота пирамиды. По 3 C M условию FA⊥АВС. Значит, FA⊥ВС. Но AB ⊥ BC, следовательно, ВС⊥ABF и поэтому AM⊥BC. Значит, АМ – высота пирамиды AMLC , А опущенная на плоскость грани CLM, т.е. h = AM . B Из прямоугольного треугольника ABF: AB ⋅ AF 3 ⋅ 4 12 h= = = . BF 5 5 2) Треугольники CLM и CFM имеют общую высоту, проведенную из S S CL FM вершины М. Поэтому CLM = . Аналогично, CFM = . Следовательно, SCFM CF SCFB BF SCLM CL ⋅ FM CL ⋅ FM = . Отсюда SCLM = ⋅ SCFB . CF ⋅ BF SCFB CF ⋅ BF 3) Отрезки CF и CL, BF и FM найдем соответственно из прямоугольных AC 2 25 2 2 треугольников ACF и ABF. Имеем CF= AF +AC = 41 , CL= , = FC 41 AF2 16 2 2 = . BF= AB +AF = 5 , FM= BF 5 4) Поскольку ВС⊥ABF, то ВС⊥BF. Поэтому площадь треугольника CFB FB ⋅ BC = 10 . найдем по формуле SCFB = 2 Вычислим площадь основания пирамиды AMLC: CL ⋅ FM 25 16 1 1 160 SCLM = ⋅ SCFB = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 10 = . CF ⋅ BF 41 41 5 41 5 1 160 12 128 Искомый объем VAMLC = ⋅ ⋅ = . 3 41 5 41 128 Ответ: . 41

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 15)

Критерии оценки выполнения задания C4 Приведена верная последовательность шагов решения: 1) вычислена высота пирамиды; 2) выражена SCLM через SCFB ; 3) вычислены отрезки CF, CL, BF, FM ; 4) вычислен искомый объем пирамиды AMLC . Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) перпендикулярность отрезка АМ плоскости BCF; б) способ вычисления площади основания пирамиды AMLC . Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях 1 , но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ. Приведены шаги решения 2) – 4). Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. Ход решения правильный, но решение не завершено. На чертеже явно обозначено (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 900) или описано словами, что АМ высота пирамиды, и вычислена ее длина. Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак, или наоборот, а также неверные названия теорем или формул. © Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 16)

Второй способ. 1) Объем пирамиды AMLC вычислим по формуле 1 VAMLC = SALC h M , где h - расстояние от вершины M до М 3 плоскости FAC . Так как FA ⊥ AC и AL ⊥ FC , то

L P hM

2 2 K AF ⋅ AC 20 4⋅ 3 + 4 hB ⋅ AF AC А = = = 10 и AL= S . = FAC 2 2 FC 41 B Следовательно, 400 25 = AL⋅ LC = 250 . и S LC = 25 − = ALC 2 41 41 41 2) Проведем высоту h B прямоугольного треугольника ABC, h ⊥ AC . Так как

AF ⊥ ABC , то h ⊥ AF . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости B

h ⊥ FAC . Поэтому h B - расстояние от вершины B до плоскости FAC . B

3) Итак, h = AB ⋅ BC = 12 . Перпендикуляры BK и MP, опущенные на B AC 5 плоскость FAC из точек B и M , параллельны между собой и лежат в плоскости, содержащей прямую BF . Поэтому треугольники FBK и FMP BF BK h B 12 MF = = . Поэтому h M = ⋅ . подобны. Отсюда 5 BF MF MP h M

FAB : прямоугольного треугольника AF ⋅ AB 12 = . Из прямоугольного AM= BF 5 144 16 . Следовательно, MF = 16 − = 25 5 1 12 ⋅ 16 250 4 ⋅ 16 ⋅ 2 128 ⋅ = = . VAMLC = ⋅ 3 125 41 41 41 128 Ответ: . 41 4) Из

BF = 32 + 42 = 5

треугольника

FAM:

12 16 ⋅ 5 5⋅5

hM =

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 17)

Критерии оценки выполнения задания C4 Приведена верная последовательность шагов решения: 1) вычислена площадь основания АLС пирамиды MALC ; 2) построена высота h B пирамиды; 3) вычислена h B и найдено соотношение между высотами h B и h M ; 4) вычислен искомый объем пирамиды. Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) в шаге 2) при построении h B имеется ссылка на признак перпендикулярности прямой и плоскости; б) в шаге 3) обосновано подобие треугольников. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях 2 , но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ. Приведены шаги решения 1), 3), 4). Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. Ход решения правильный, но решение не завершено. Имеется шаг 3) решения, вычислена h B . Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г. C5

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 18)

Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства log log x − 11 ≥ 0 , а остальные не являются решениями 0,5 x −1 4 x −8 этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.

)

(

Решение. 1) По условию log x − 11 > 0 ⇔ x − 11 > 1 ⇔ 1 − x − 11 < 0 ⇔ 3 < 0 ⇔ x < 8 . 4 x −8 x −8 x −8 x −8 0,5 x − 1 > 1 , x > 4, то Если log log x − 11 ≥ 0 ⇔ 0,5 x −1 4 x −8 3( x − 7) x − 11 x − 11 x − 11 ⇔ log 4 ≥1 ⇔ ≥4 ⇔ 4− ≤0 ⇔ ≤ 0 ⇔ 7 ≤ x < 8. x −8 x −8 x−8 x −8 x − 11 Если 0 < 0,5 x − 1 < 1 , 2 < x < 4 , то x < 8 и log 4 > 0 . Кроме того, так как x −8 3( x − 7) x < 7 , то ≥ 0. Таким образом, log x − 11 ≤ 1 . Значит, 4 x −8 x −8 x − 11 ⎞ ⎛ log 0,5 x −1 ⎜ log 4 ⎟ ≥ 0 . Следовательно, все числа в интервале 2 < x < 4 x −8 ⎠ ⎝ являются решениями исходного неравенства. Объединяя найденные множества решений, получаем ответ: (2; 4) ∪ [7; 8) . 2) Пусть a и d – первый член и разность прогрессии. Если a + d и a + 3d лежат в одном и том же из двух промежутков (2; 4) и [7; 8) , то в нем лежит и a + 2d . Но тогда третий член прогрессии также будет решением заданного неравенства. Противоречие. Значит, 2 < a < a + d < 4 ≤ a + 2d < 7 ≤ a + 3d < 8 ≤ a + 4d . 3) Требуется найти все значения 2 < a < 4 , при которых эта система неравенств имеет решения относительно d . Выпишем четыре неравенства относительно d : 4−a ≤ d < 7−a, 7−a ≤ d < 8−a, 8−a ≤ d . 0 < d < 4 − a, 2 2 3 3 4 Систему этих линейных неравенств y 1 решим графическим способом. 3 2 y =4−a, Построим прямые

)

(

y = 7−a , y = 8−a , 2 3 2 3 y = 4−a, y = 8−a . 5 6 2 4

4 6

y = 7−a, 4 3

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

На интервале (2;4) прямая y лежит ниже прямых y 1

прямая y

(стр. 19)

и y , а 3

лежит выше прямых y и y , 5

4) Поэтому достаточно найти все значения 2 < a < 4 , при которых решения имеет только одно неравенство y ≤ d < y . Прямые y и y пересекаются в 4

точке (2,5; 1,5) и y < y ⇔ 7 − a < 4 − a ⇔ a < 2,5 . 4 1 3 Ответ: (2; 2,5) .

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 20)

Критерии оценки выполнения задания С5 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) нахождение множества решений логарифмического неравенства; 2) запись условия задачи в виде неравенств относительно a и d ; 3) рассмотрение системы четырех двойных неравенств относительно d ; 4) сведение к случаю одного двойного неравенства, его решение. Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 1) преобразования обоснованы или ссылками на свойства логарифмов, или явными указаниями на равносильность этих преобразований; б) в шаге 2) принадлежность a + d ∈ (2; 4) и a + 3d ∈ [7; 8) обоснована ссылкой на то, что a + 2d – не решение логарифмического уравнения; в) шаг 3) обоснован или верным построением графиков прямых, или алгебраической проверкой расположения прямых на интервале (2; 4) ; г) в шаге 4) имеется ссылка на достаточность рассмотрения только одного двойного неравенства; явно приведено решение неравенства y 4 < y1 .

Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 4) допустимо выписывание ответа со ссылкой только на графики. Обоснованы ключевые моменты а), б), в). Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 4) в результате чего может быть получен неверный ответ. Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) и 2) решения, верно составлены все линейные неравенства относительно d . Обоснованы ключевые моменты а) и б). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки в вычислениях или построениях графиков, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате может быть получен неверный ответ. Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнен шаг 1) решения. Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено, а обоснования ключевых моментов б) – г) отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(стр. 21)

Примечание Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам. Сайт программы Прямой линк (30 дней бесплатно)

http://www.dessci.com/en/ http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe

«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки

«СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант КИМ 2007 г.

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 2)

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Пояснения к демонстрационному варианту При ознакомлении с Демонстрационным вариантом 2007 года следует иметь в виду, что задания, включенные в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2007 году. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2007 года, приведен в кодификаторе, помещенном на сайтах www.ege.edu.ru и www.fipi.ru . Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, числе, форме, уровне сложности заданий: базовом, повышенном и высоком. Приведенные критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом (тип «С»), включенные в этот вариант, позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развернутого ответа. Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки и сдачи ЕГЭ в соответствии с целями, которые они ставят перед собой. Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0 (см. Примечание в конце файла).

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 3)

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2007 г. Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1 – А10, В1 – В3) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 – А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 – В11, С1, С2) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 – В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3, С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В9, В10, В11, С4). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 4)

Найдите значение выражения

1) 1 A2

Упростите выражение

⋅4

− 4p

при p = 1 . 4

3) 32

4) 4

3) 2,4

54 ⋅ 16 . 3 250

3 2) 6 ⋅ 2 5

Найдите значение выражения log ( 64c ) , если log c = − 3,5. 4 4 1) – 6,5

2) 2

1) 1,2 A3

2) – 0,5

3) – 10,5

4) – 67,5

На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок. y

0 0

Демонстрационный вариант 2007 г.

(2007 - 5)

Найдите производную функции y = ( x − 3)cos x . 1)

у′ = cos x + ( x − 3)sin x

у′ = ( x − 3)sin x − cos x

у′ = cos x − ( x − 3)sin x

у′ = − sin x

Укажите множество значений функции 1) (5; + ∞)

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

2) (0; + ∞)

y = 2 + 5. 3) (– ∞; + ∞)

На рисунке изображены графики функций y = f (x) и y = g (x) , заданных на промежутке [– 3; 6]. Укажите множество всех значений х, для которых выполняется неравенство f (x) ≥ g (x).

4) (7; + ∞)

y = f (x) 1 0 1

1) [– 1; 5]

y = g (x)

2) [– 3; – 2] ∪ [4; 6] 3) [– 3; – 1] ∪ [5; 6] 4) [– 2; 4]

Найдите область определения функции

f ( x) =

25 . 3− 4 x

1) [ 0; 3 ) ∪ ( 3; + ∞ ) 2) [ 0; + ∞ ) 3) [ 0; 81) ∪ ( 81; + ∞ ) 4) ( − ∞; 81) ∪ ( 81; + ∞ )

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

log ( 7 x − 21) > log ( 6 x ) . 1 1

Решите неравенство

1) ( − ∞; 21)

A10

(2007 - 6)

2) ( 3; 21)

3) ( 3; + ∞ )

4) ( 21; + ∞ )

( )

Решите уравнение 2cos π x − 1 = 0 . 4 4 1) ± + 8n , 3 4 + 8n , 2) 3 2 3) ± + 4n , 3 2 + 4n , 4) 3

n∈Z n∈Z n∈Z n∈Z

Ответом к заданиям В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

7⋅5

log x 5

= x + 21 .

Решите уравнение

Найдите значение выражения 5 sin ( π + α ) + cos π + α , если sin α = 0,5. 2

(

)

Решите уравнение x x − 1 − 4 x − 1 = 0 . (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму всех его корней).

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 7)

ЧАСТЬ 2 x

Найдите значение выражения 2 − y , если ( x; y ) является

⎧⎪ 7 ⋅ 2 x + 6 y = 2 решением системы уравнений ⎨ x +1 − 3 y = 43. ⎪⎩ 2 B5

Функция y = f ( x) определена на промежутке (−4;5) . На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции y = f ( x) , o

которые наклонены под углом в 45 к положительному направлению оси абсцисс.

y y = f ′(x) 1 0

x − 2 x − 1 + x + 2 x − 1 при x = 1,2007.

Найдите значение выражения

Найдите наименьший корень уравнения log ( x +1) 2 + log x +1 = 6 . 3 3

Периодическая функция y = f ( x ) определена для всех действительных чисел. Её период равен 2 и f (1) = 5 . Найдите значение выражения 3 f ( 7 ) − 4 f ( −3 ) .

*B9

Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

*B10

Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA B C D равна 8, а 1 1 1 1

сторона основания равна 6 2 . Найдите расстояние от вершины A до плоскости A BD . 1

Демонстрационный вариант 2007 г.

*B11

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 8)

Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК. Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. 3

Найдите значение функции максимума.

Решите уравнение sin 2 x ⋅ tg x + 1 = 3sin x .

f ( x ) =10

x − 3x − log ( x + 5 ) 0,1 x +5

в точке

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания (С3 – С5) используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение. C3

Найдите

все

значения

которые

( 2a − 1) x 2 < ( a + 1) x + 3a

при любом принадлежащем промежутку (1;2 ) .

удовлетворяют

неравенству

значении параметра

*C4

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной 2 7 . Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.

Найдите количество всех решений 2 3 ⎧ y (1 − x) + x = 0 ⎪ ⎨ 2 x − 10 = 5log (0,125 y 2 ) − 7. 32 ⎪ x log 2 y ⎩

системы

уравнений

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 9)

Ответы к заданиям демонстрационного варианта по математике. Ответы к заданиям с выбором ответа

№ задания А1 А2 А3 А4 А5

Ответ 2 3 2 4 3

№ задания А6 А7 А8 А9 А10

Ответ 1 4 3 2 1

Ответы к заданиям с кратким ответом

№ задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 B8 B9 В10 В11

Ответ 3,5 –3 3 17 3 2 – 10 –5 1240 4,8 10

Ответы к заданиям с развернутым ответом

№ задания С1

С2 С3 С4 С5

Ответ 2 ( −1) n ⋅ π + πn, n∈Z 6 (– 1; 2] 1 2

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 10)

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТОМ

Внимание! При выставлении баллов за выполнение задания в «Протокол проверки ответов на задания бланка № 2» следует иметь в виду, что если ответ отсутствует (нет никаких записей, свидетельствующих о том, что экзаменуемый приступал к выполнению задания), то в протокол проставляется «Х», а не «0» .

f ( x ) =10

Найдите значение функции максимума.

x 3 − 3x − log ( x + 5 ) 0,1 x +5

в точке

Решение: 1. Найдем область определения функции f :

⎧ x 3 − 3x ⎧ x( x − 3)( x + 3) > 0 ⎪ >0 ⇔⎨ . ⎨ x+5 x 5 0 + > ⎩ ⎪⎩ x + 5 > 0 –

–

–5

– 3

x ∈ (− 3; 0) ∪ ( 3; ∞ ) Упростим формулу, задающую функцию:

f ( x) = 10

x 3 − 3x + lg ( x + 5 ) x +5

= 10 lg( x

−3 x )

= x 3 − 3x .

2. f ( x) = x − 3x, x ∈ ( − 3; 0) ∪ ( 3; ∞ ) . 2 2 f ′( x) = 3 x − 3 , f ′( x) = 3( x − 1) . f ′ ( x ) = 0 при x = −1 ( х = 1 не принадлежит области определения функции f ).

f ′( x)

f (х)

–

+ – 3

–1

1 0

x = −1 - точка максимума и f (−1) = 2

Ответ: 2.

Демонстрационный вариант 2007 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 11)

Критерии оценки выполнения задания С1 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) найдена область определения и упрощена формула, задающая функцию; 2) найдена точка максимума и значение функции в этой точке. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения, но в шаге 2 допущена одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющая на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Решите уравнение sin 2 x ⋅ tg x + 1 = 3sin x Решение: sin x − 3sin x + 1 = 0 ⇔ 1) sin 2 x ⋅ tg x + 1 = 3sin x ⇔ 2sin x cos x ⋅ cos x ⎧ 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0 ⇔⎨ ⎩ cos x ≠ 0. 2

2) 2sin x − 3sin x + 1 = 0 ; sin x = 1 или sin x = 0,5 . а) sin x = 1 , тогда

cos x = 0 , значит,

решениями исходного уравнения.

π + 2πk , k ∈ Z 2

не являются

π б) sin x = 0,5 , тогда cos x ≠ 0 и x = ( −1) n + πn, n ∈ Z . 6 π Ответ: ( −1) n + πn, n ∈ Z . 6

Демонстрационный вариант 2007 г.

Баллы

(2007 - 12)

Критерии оценки выполнения задания С2 Приведена верная последовательность шагов решения: 1) уравнение сведено к равносильной системе, состоящей из квадратного уравнения относительно sin x и неравенства cos x ≠ 0 ; 2) решено уравнение и произведен отбор корней, удовлетворяющих условию cos x ≠ 0. 1 Все преобразования и вычисления выполнены верно, получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения, в шаге 2 допущена вычислительная ошибка или описка. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, не соответствующие указанным выше критериям выставления оценок в 1 или 2 балла.

1 0 C3

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Найдите

все

значения

которые

удовлетворяют

( 2a − 1) x 2 < ( a + 1) x + 3a

при любом принадлежащем промежутку (1;2 ) .

неравенству

значении параметра

Решение: 2

1) Неравенство приводится к виду (2 x − x − 3)a + (− x − x) < 0 , в котором левая часть, рассматриваемая как функция от a , есть линейная

функция

(

) (

f (a) = 2 x − x − 3 a + − x − x

)

коэффициентами, зависящими от x . В задаче требуется найти все значения x , при каждом из которых эта функция отрицательна для всех a ∈ (1; 2 ) . 2) Для отрицательности линейной функции f на промежутке (1; 2) необходимо, чтобы она была отрицательна или равна нулю при каждом из двух значений a = 1 и a = 2 , т.е. выполнялась система ⎧ f (1) ≤ 0 ; ⎨ ⎩ f (2) ≤ 0 ⎧⎪ x 2 − 2 x − 3 ≤ 0 ⎧ f (1) ≤ 0 ⎧ ( x − 3)( x + 1) ≤ 0 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 . ⎨ ⎩ f (2) ≤ 0 ⎪⎩ 3 x 2 − 3 x − 6 ≤ 0 ⎩ ( x − 2)( x + 1) ≤ 0

Примечание. Для получения 1 балла в решении должно быть указано в любой форме, что учтено условие cos x ≠ 0.

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 13)

3) Для выполнения требования задачи функция f не должна равняться нулю при обоих значениях a = 1 и a = 2 одновременно, т. е. ⎧ f (1) = 0 не выполняется система ⎨ ; ⎩ f (2) = 0 ⎧ f (1) = 0 ⎧ ( x − 3)( x + 1) = 0 ⇔⎨ ⇔ x = −1 . ⎨ ⎩ f (2) = 0 ⎩ ( x − 2)( x + 1) = 0 4) Выполнения двух полученных условий уже достаточно для отрицательности f (a) на данном промежутке. Таким образом, ⎧ −1 ≤ x ≤ 2 ⇔ −1 < x ≤ 2. искомые значения x — это решения системы ⎨ ⎩ x ≠ −1 Ответ: ( −1; 2 ] . Баллы

3 2 1 0

*C4

Критерии оценки выполнения задания С3 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) задача сведена к требованию отрицательности линейной функции на данном интервале; 2) получено первое необходимое условие на переменную x и решена соответствующая система; 3) получено второе необходимое условие на переменную x и решена соответствующая система; 4) имеется вывод о том, что выполнение сразу двух указанных необходимых условий уже достаточно. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность шагов 2) — 4) решения, а шаг 1) либо отсутствует, либо логически неверен. Получен верный ответ. Допустима описка, в результате которой возможен неверный ответ. Верно выполнен только шаг 2) решения, а остальные шаги или отсутствуют, или сделаны с ошибкой. Выполнен только шаг 2) решения, но в нем нестрогие неравенства заменены строгими. Остальные шаги решения или отсутствуют, или сделаны с ошибкой. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 14)

Решение: 1) Пусть пирамида FABC – данная правильная пирамида, FO – ее высота, тогда точка O – центр треугольника АВС. Пусть CD – медиана треугольника АВС, F O ∈ CD и CO : OD = 2 :1 . тогда Треугольник FAB равнобедренный и точка D – середина АВ, значит, FD – P T B медиана, высота и биссектриса C треугольника FAB. O D Пусть основание конуса вписано в треугольник FAB. Тогда центр основания A является точкой конуса (точка Р) пересечения биссектрис треугольника FAB. Следовательно, ОP – высота конуса, РD – радиус основания, а OD – образующая конуса. Тогда OP ⊥ FD . 2) Пусть РТ⊥FA. Тогда РТ=PD как радиусы окружности, вписанной в треугольник FAB. Прямоугольные треугольники FDA и FTP подобны FA = AD или (имеют общий угол при вершине F). Следовательно, FP PT FA = FP , FA + AD = FP + PD , так как РТ=PD. Отсюда AD PD AD PD AD ⋅ FD . Вычислим PD другим способом. Прямоугольные т.е. PD = FA + AD треугольники FOD и OPD подобны, так как имеют общий угол D. 2 2 PD OD AD ⋅ FD OD OD = = Поэтому и PD = . Итак, (1). OD FD FD FD FA + AD

3) По условию АВ= 2 7 . Пусть AF=b и PD = r. Из треугольника FAD получаем FD = b − ( 7 ) = b − 7 , а из треугольника ABC получаем 2

1 1 21 . CD = 21 , OD = СD = 3 3 равенство

(1):

Подставим найденные величины в

7⋅ b −7 = 7 . 2 b+ 7 3 b −7

Отсюда

получаем:

7 4 7 7 3 и r= = = 1. 3 ( b − 7 ) = 7 . Следовательно, b = 2 3 16 7 ⋅ 3 b −7 −7 9 Ответ: 1.

Демонстрационный вариант 2007 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 15)

Критерии оценки выполнения задания С4 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) установлено, что центр основания конуса – точка пересечения биссектрис боковой грани пирамиды; 2) получены два соотношения для вычисления радиуса основания конуса; 3) выполнены преобразования и вычисления, необходимые для нахождения радиуса основания конуса. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения: а) положения центра основания конуса; б) соотношения между отрезками FA, AD, FD и FP, а также между отрезками OD, PD и FD. Все преобразования и вычисления выполнены правильно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Явно описано положение центра основания конуса. Верно найдены соотношения между отрезками, необходимые для решения задачи. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обосновании ключевых моментов. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустима одна описка и/или негрубая ошибка в преобразованиях или вычислениях, не влияющая на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обоснованиях ключевых моментов решения. Верно найдены соотношения между отрезками, необходимые для решения задачи. Допустимы одна-две негрубые ошибки и/или описки в преобразованиях и/или вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. Общая идея и способ решения верные, но, возможно, решение не завершено. При этом верно найдено соотношение между отрезками FA, AD, FD и FP. Ключевые моменты решения не обоснованы или имеются неверные обоснования. Допустимы одна-две негрубые ошибки и/или описки в преобразованиях и/или вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 16)

Найдите количество всех решений системы уравнений ⎧ y (1 − x) 2 + x 3 = 0 ⎪ ⎨ 2 x − 10 = 5log (0,125 y 2 ) − 7. 32 ⎪ x log 2 y ⎩ Решение: 1) По условию x ≠ 0 , а y > 0, y ≠ 1 . Тогда второе уравнение системы 2 10 равносильно следующим уравнениям: 2 x − ⋅ log y = log (0,125 y ) − 7 , 2 2 x 5log y 10 2 = log y − 5 , x− 2 x − ⋅ log y = 2log y − 3 − 7 , 2 2 2 x x x 2 + (5 − log y ) x − 5log y = 0 , ( x + 5)( x − log y ) = 0 . 2

x = −5 , то первое уравнение системы имеет вид Если y ⋅ 36 − 125 = 0, y = 125/ 36 > 0 . Значит, (−5; 125/ 36) – решение системы. x 2) Если x ≠ −5 , то x = log y , y = 2 и первое уравнение системы имеет

вид 2 (1 − x) + x = 0 . Если x > 0 , то x > 0 и 2 (1 − x) + x > 0 , т.е. положительных корней нет. Если x < 0 , то 1 − x ≠ 0 и 3

2 = − x ⋅ (1 − x)

−2

(*)

3) Рассмотрим функции y = 2 и y = − x ⋅ (1 − x ) −2 . 3

Функция y = 2 возрастает ( 2 > 1 ). 3

Исследуем функцию y = − x ⋅ (1 − x) 2

y ' = − 3 x (1 − x) 2

= − x (1 − x)

−3

−2

, x<0 : 3

− x (−2)(1 − x)

−3

(3(1 − x) + 2 x) = − x (1 − x)

т.к. x > 0, 3 − x > 0, (1 − x) x

−3

(−1) =

−3

(3 − x) < 0 ,

> 0 . Значит, эта функция убывает при x < 0 . −2

4) Если x = −3 , то 2 < 1 < − x ⋅ (1 − x) . Если же x = −0,5 , то 2 x = 1 , − x 3 ⋅ (1 − x) −2 = 1 : 9 = 1 и 8 4 18 2 2 x > − x 3 ⋅ (1 − x) −2 .Так как обе функции изменяются непрерывно, то имеется единственный корень x уравнения

(*),

−3 < x < −0,5; x ≠ −5 . 0

Поэтому

исходная система имеет ровно два решения ( x ; 2 0

у= 2

−3

−0,5

и (−5; 125/ 36) .

Ответ: 2.

Демонстрационный вариант 2007 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 17)

Критерии оценки выполнения задания С5 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) преобразование второго уравнения системы к виду ( x + 5)( x − log y ) = 0 ; нахождение решения (−5; 125/ 36) системы; 2

2) сведение системы к уравнению относительно x ; проверка того, что при x > 0 оно не имеет корней; 3) сравнение характера монотонности обеих частей уравнения (*); 4) проверка того, что уравнение (*) имеет хотя бы один корень. Обоснованы все моменты решения: а) приведена ОДЗ данной системы уравнений; б) в шаге 1) есть ссылка (словесная или знаком ⇔ ) на равносильность; x

в) в шаге 2) есть явная ссылка на положительность 2 (1 − x) + x при x > 0 ; г) в шаге 4) указаны значения аргумента, в которых левая часть уравнения (*) больше (меньше) его правой части; д) наличие корня обосновано или эскизами графиков, или же явной словесной ссылкой на непрерывность. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность шагов 1) – 4) решения. Обоснованы ключевые моменты а), б), в). Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов г) и д). Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 4). Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) и 2) решения: составлено уравнение (*). Допускается отсутствие одного из шагов 3) или 4) при частичном выполнении другого шага решения. Обоснованы ключевые моменты б) и в). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки в вычислениях или построениях графиков, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнен шаг 1) решения: найдено решение (−5; 125/ 36) x

системы. В шаге 2) уравнение 2 (1 − x) + x = 0 относительно x составлено, но его исследование не завершено. Обоснован ключевой момент б). Допустимо, что решение не завершено, а обоснования других ключевых моментов отсутствуют. © 2007 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант 2007 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2007 - 18)

Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Примечание

Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам. Сайт программы http://www.dessci.com/en/ Прямой линк (30 дней http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe бесплатно)

«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки

«СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант КИМ 2008 г.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2008 - 2 )

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Пояснения к демонстрационному варианту При ознакомлении с Демонстрационным вариантом 2008 года следует иметь в виду, что задания, включенные в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2008 году. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2008 года, приведен в кодификаторе, помещенном на сайтах www.ege.edu.ru и www.fipi.ru . Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, числе, форме, уровне сложности заданий: базовом, повышенном и высоком. Приведенные критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом (тип «С»), включенные в этот вариант, позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развернутого ответа. Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки и сдачи ЕГЭ в соответствии с целями, которые они ставят перед собой. Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0 (см. Примечание в конце файла).

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2008 - 3 )

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2008 г. Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1 – А10 и В1 – В3) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 – А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 – В11, С1, С2) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 – В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3, С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В9, В10, В11, С4). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

(2008 - 4 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 – А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "×" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

Выполните действия

Найдите значение выражения 1) log 3 20

⎛ 1⎞ + 4⎜ с 7 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Вычислите:

1) 1

2) 70с 7

1) 70с 7

3 7 6с

2) 625

3) 10с 7

4⋅3

4) 10с 7

log 5 3 .

3) 12 log 3 5

4) 20

3) 9

4) 27

189 . 33 7 2)

1 3

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

(2008 - 5 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

На одном из рисунков изображен график чётной функции. Укажите этот рисунок. 1)

y 1

1 0

y 1

0 1

x 1

0 1

Найдите производную функции y = x − 4sin x . 1) y′ = 6 x 5 + 4cos x 2) y′ = 6 x 5 − 4cos x 7 3) y′ = x + 4cos x 7

4) y′ = x 5 − 4cos x

Найдите множество значений функции 1) 2) 3) 4)

у = 1,5 + log

2,5

( − ∞; + ∞ ) ( 0; + ∞ ) (1,5; + ∞ ) ( − ∞; 1,5 )

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

Решите уравнение

(2008 - 6 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

cos 2 x = 1.

π + π n, n ∈ Z 4

2) π n, n ∈ Z

πn , n∈Z 2

π + πn , n∈Z 4 2

Решите неравенство

1) 2) 3) 4)

log ( x + 3) > −1. 1 7

( − ∞; 7 ) ( − ∞; 4 ) ( − 3; 4 ) ( − 3; 7 )

На рисунке изображены графики функций y = f (x) и y = g (x), заданных на промежутке [ − 3; 6 ] . Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f ( x) ≥ g ( x) . 1) [ − 1; 2 ]

y y = f (x) 1 0 1

x y = g (x)

2) [ − 3; 3 ] ∪ [ 5; 6 ] 3) [ − 3; 2 ] 4) [ − 3; − 1] ∪ [ 2; 6 ]

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

A10

Найдите область определения функции 1) (0,5; + ∞)

(2008 - 7 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

2) (– ∞; 0,5]

() 1 3

5 − 4x

3) [0,5; + ∞)

−

1 . 27 4) [2; + ∞)

Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Найдите значение выражения

Решите уравнение

x +1

3 sin α − 7 cos α , если cos α = − 0,1.

− 5 ⋅ 7 = 98 .

2x − x − 6 = − x .

ЧАСТЬ 2 B4

Вычислите значение выражения π π 5π . log 2 sin + log 2 sin + log 2 sin 12 6 12 Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции y = f ( x ) в точке A ( −7; 14 ) . Найдите f ′ ( −7 ) .

Найдите количество целочисленных решений неравенства 6 − 5 x − x ≥ 0 , удовлетворяющих условию 1 + tg 2 π x >0 . 4

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

(2008 - 8 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

)(

(

)

2 − cos 5πx 2 + cos 5πx . (Если 4 4 уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней).

Решите уравнение

25 x 2 − 20 x + 6 =

Функция y = f ( x) определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 6. На отрезке [ 0;3] функция задана формулой f ( x) = 2 + 2 x − x 2 . Определите количество нулей этой функции на отрезке [ −5;4] .

*B9

В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена магнитофона, если, выставленный на продажу за 4000 рублей, после двух снижений он был продан за 2250 рублей.

*B10

Основание прямой треугольной призмы ABCA B C – правильный 1 1 1

треугольник АВС, сторона которого равна 8 3 . На ребре BB отмечена точка 1

P так, что BP : PB = 3: 5. Найдите тангенс угла между плоскостями AВС и 1

ACP, если расстояние между прямыми BC и A C равно 16. 1 1

*B11

Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 32 3 . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если точки М, Р и К − середины сторон AB, CD, EF соответственно.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2008 - 9 )

Найдите наибольшее значение функции

f ( x) =

1 − x − 2 + 1 − x + x − 3x .

Решите уравнение log

( 9 − 16 x ) = 2 + log 4

3− 4 x

1 . 2 − x 3 4 ( )

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания (С3 – С5) используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

Найдите все значения a , для которых при каждом x из промежутка ( −3; −1] значение выражения x 4 − 8 x 2 − 2 не равно значению выражения 2

ax . *C4

Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML. Решите уравнение f ( g ( x)) + g (3 + f ( x)) = 30 , если известно, что ⎧⎪ 25, x ≥ 4 4 f ( x) = 0,5 x − 4 x + 5 и g ( x) = ⎨ x 9 , x < 4. 2 + ⎪⎩ 5− x

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

(2008 - 10 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Ответы к заданиям демонстрационного варианта по математике.

Ответы к заданиям с выбором ответа № задания А1 А2 А3 А4 А5

Ответ 4 4 1 1 2

№ задания А6 А7 А8 А9 А10

Ответ 1 2 3 4 3

Ответы к заданиям с кратким ответом № задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 B8 B9 В10 В11

Ответ 2,9 2 −2 −3 −2 6 0,4 4 25 0,5 24

Ответы к заданиям с развернутым ответом № задания С1 С2 С3 С4 С5

Ответ 2 ± 0,5

( − ∞; − 9 ) ∪ ⎢⎡

7 ⎞ ;+ ∞ ⎟ ⎣9 ⎠

1 6 −1

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

(2008 - 11 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТОМ C1

Найдите наибольшее значение функции

f ( x) =

1 − x − 2 + 1 − x + x − 3x .

Решение:

1) Функция f определена только при −1 ≤ x ≤ 1 . При этих значениях х 2 2 1 − x ≤ 1 , и поэтому 1 − x − 2 < 0 . Следовательно,

f ( x) =

1 − x − 2 + 1 − x + x − 3x = x − 3x + 2 .

2) Найдем наибольшее значение функции f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 на отрезке ⎡ x = 0; 2 −1 ≤ x ≤ 1 . f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x − 6 x = 0 ⇔ ⎢ Но x = 2 ⎣ x = 2. не лежит на отрезке −1 ≤ x ≤ 1 . Сравним числа f ( −1 ) = −2 , f ( 0 ) = 2 и f (1) = 0 . Наибольшее из них 2. Значит, max f ( x ) = 2 . −1≤ x ≤1

Ответ: 2.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания С1 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) найдена область определения функции и упрощена формула, задающая функцию; 2) найдено наибольшее значение функции. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка в шаге 2), не влияющие на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

Решите уравнение log

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

( 9 − 16 x ) = 2 + log 4

3− 4 x

(2008 - 12 )

1 . 2 3 4 − x ( )

Решение:

⎧1 + log 2 ( 3 + 4 x 2 ) = 2 + log 2 2 3− 4 x 3− 4 x ⎪ ⎪ 4 2 1 ⇔ ⎨3 − 4 x > 0 1)log 2 ( 9 − 16 x ) = 2 + . 2 3− 4 x log ( 3 − 4 x ) ⎪ 2 2 ⎪⎩ 3 − 4 x ≠ 1 2 ⎧ 3 4 + x = 1 ⎧3 + 4 x 2 = 2 ( 3 − 4 x 2 ) ⎧ x = 1 ⎪ log 3−4 x 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ 2) ⎨ x < 3 ⇔⎨ x < 3 ⇔ ⎨ x < 3 ⇔ x = ± 1. 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ≠ ≠ x x x ≠ 2 ⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 2 2 2

Ответ: ±

Баллы 2

1 2

Критерии оценки выполнения задания С2 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) уравнение сведено к равносильной ему системе, состоящей из уравнения и двух неравенств; 2) решена полученная система. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

(2008 - 13 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Найдите все значения a , для которых при каждом x из промежутка ( −3; −1] 2

значение выражения x 4 − 8 x 2 − 2 не равно значению выражения ax . Решение:

1) Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие 4

x − 8 x − 2 ≠ ax ⇔ f (t ) ≠ 0 , где t = x и f (t ) = t − (a + 8)t − 2 . Следовательно, в задаче требуется, чтобы y уравнение f (t ) = 0 не имело корней на

)

2 2 промежутке ⎡ (−1) ;(−3) = [1;9 ) . ⎣ y = f (t ) 2) График функции (относительно переменной t ∈ R ) есть парабола, изображенная на рисунке: ее ветви направлены вверх, а точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как f (0) = −2 ). Поэтому квадратный трехчлен f (t ) имеет два корня t < 0 и t > 0 . Если 0 < t < t , то 1

t 9 2

y = f (t ) -2

f (t ) < 0 , а если t > t , то f (t ) > 0 , поэтому уравнение f (t ) = 0 имеет корень на 2

⎧ f (1) ≤ 0 промежутке [1;9 ) тогда и только тогда, когда 1 ≤ t < 9 ⇔ ⎨ . 2 f (9) 0 > ⎩ 2 ⎪⎧1 − (a + 8) − 2 ≤ 0 7 3) Решим полученную систему: ⎨ ⇔ −9 ≤ a < . 2 9 ⎪⎩ 9 − 9(a + 8) − 2 > 0 Итак, уравнение f (t ) = 0 не имеет корней на промежутке [1;9 ) для всех 7 остальных значений a , т. е. тогда и только тогда, когда a < −9 или a ≥ . 9 7 Ответ: a < − 9 , a ≥ . 9 Замечание: в работах выпускников в шаге 2) могут отсутствовать словесные описания, а корни квадратного трехчлена f (t ) могут быть вычислены. Баллы

Критерии оценки выполнения задания C3 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) задача сведена к исследованию корней квадратного уравнения f (t ) = 0 на соответствующем промежутке; 2) показано (возможно, только с помощью рисунка), что квадратный трехчлен f (t ) имеет два корня разного знака, и получены два условия на параметр a , система которых © Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2008 - 14 )

необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение f (t ) = 0 имело корень на соответствующем промежутке; 3) полученные неравенства решены и найдены оба множества, составляющие искомое множество значений параметра a . Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допускается, что не показано (ни словесно, ни с помощью рисунка), что квадратный трехчлен f (t ) имеет два корня разного знака. В шаге 2, возможно, содержатся неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими). Ответ получен и либо верен, либо отличается от верного из-за допущенных в шаге 2 неточностей. Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 2 получены неравенства на параметр а, система которых необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение f (t ) = 0 имело корень на соответствующем промежутке. Возможно, что при этом допущены неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими). В шаге 3 найдено (возможно, неверно из-за допущенных в шаге 2 неточностей): • либо множество значений параметра а, при которых квадратное уравнение f (t ) = 0 имеет корень на соответствующем промежутке, • либо хотя бы одно из двух множеств, составляющих искомое множество значений параметра а. Приведены шаги 1 и 2 решения, а шаг 3 отсутствует, содержит ошибки или не доведен до конца. В шаге 2 получено хотя бы одно из неравенств на параметр а, необходимое для того, чтобы квадратное уравнение f (t ) = 0 имело корень на соответствующем промежутке, при этом в нем, возможно, строгое (нестрогое) неравенство заменено нестрогим (строгим). Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

*C4

(2008 - 15 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML. Решение

1) Пусть О – центр сферы, а R – ее радиус. Тогда M PN = 2R как диаметр сферы. Поскольку точки M и L лежат на сфере, то OP = OL = ON = OM = R. T K Сечения сферы плоскостями PLN и PMN – N O окружности радиуса R, описанные вокруг P L треугольников PLN и PMN, причем 0 ∠PMN =∠PLN = 90 как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN. 2) Пусть H – высота пирамиды PNML, опущенная из вершины M, и h – высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то H ≤ R , причем H = R , если MO ⊥ PNL . Аналогично, поскольку точка L лежит на сфере, то h ≤ R , причем h = R , если LO ⊥ PN . Отсюда для объема пирамиды PNML имеем 3

= 1S ⋅ H = 1 ⋅ 1 ⋅ PN ⋅ h ⋅ H ≤ 1 ⋅ 2R ⋅ R ⋅ R = R . При этом PNML 3 PNL 3 2 6 3 3 V = R , только если H = h = R . Таким образом, пирамида PNML имеет PNML 3 наибольший объем, если треугольники PLN и PMN – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях. 3) Поскольку MO ⊥ PLN , то MO ⊥ OL . Но PN ⊥ OL и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости PMN ⊥ OL . Пусть K – середина МО. Проведем KТ – среднюю линию треугольника OLM. Тогда KT||OL . Значит, KT ⊥ PMN и поэтому KN – проекция NT на плоскость PMN и ∠TNK – угол между прямой NT и плоскостью PMN. Пусть ∠TNK = α. 4) По свойству средней линии KT = 0,5OL = 0,5R . Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по двум катетам, то треугольник MNL – правильный со стороной LN = ON 2 = R 2 . NT – высота треугольника MNL, значит, V

NT = NL 3 = R 6 . Отсюда sin α = KT = R/2 = 1 . NT R 6/2 2 2 6 1 . Ответ: 6

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2008 - 16 )

Критерии оценки выполнения задания С4 Приведена верная последовательность шагов решения: 1) установлено, что треугольники PLN и PMN – прямоугольные; 2) установлено, что в пирамиде PMNL, имеющей наибольший объем и вписанной в данную сферу, треугольники PLN и PMN – равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях; 3) построен угол между прямой NT и плоскостью PMN; 4) вычислен синус угла между прямой NT и плоскостью PMN. Обоснованы ключевые моменты решения: а) вид пирамиды, имеющей наибольший объем, вписанной в данную сферу; б) построение угла между прямой NT и плоскостью PMN. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения: явно описан вид искомой пирамиды и построен искомый угол. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях 1 , но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ. Приведены шаги решения 2) – 4). Допустимо отсутствие утверждений, составляющих ключевые моменты а) и б) решения. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Получена искомая величина синуса угла между прямой NT и плоскостью PMN. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. Ход решения правильный, но решение не завершено: имеется шаг 2) решения, который описан словесно или ясно отражен и виден на чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 900, и равные стороны). Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

(2008 - 17 )

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

f ( g ( x)) + g (3 + f ( x)) = 30 , ⎧⎪ 25, x ≥ 4 4 f ( x) = 0,5 x − 4 x + 5 и g ( x) = ⎨ x 9 , x < 4. + 2 ⎪⎩ 5− x

Решите уравнение

Решение:

Так как

(

)

если

известно, что

4 3 f '( x) = 0,5 x − 4 x + 5 = 2 x − 4 , то x = 3 2 - единственная

критическая точка. Если x < 3 2 , то f '( x) < 0 , а если x > 3 2 , то f '( x) > 0 . Значит, x = 3 2 - точка минимума. Поэтому f 2)

Так

наим

= f

( 3 2 ) = 5 − 3⋅ 3 2 .

5 − 3 ⋅ 3 2 > 1 ⇔ 4 > 3 ⋅ 3 2 ⇔ 64 > 27 ⋅ 2 ,

как

то

наим

>1 .

Значит, 3 + f ( x) > 4 для всех x и поэтому g (3 + f ( x)) = 25 для всех x . Получаем уравнение f ( g ( x)) + 25 = 30 ⇔ ⎡ g ( x) = 0 ⇔ f ( g ( x)) = 5 ⇔ 0,5( g ( x)) 4 − 4 g ( x) + 5 = 5 ⇔ ⎢ . ⎣ g ( x) = 2 Так как g ( x) > 0 для всех x , то уравнение g ( x) = 0 корней не имеет. 3) Решим уравнение g ( x) = 2 . Если x ≥ 4 , то g ( x) = 25 и корней нет. Если

(

9 . Так как x < 4 , то g ( x) = 2 + g '( x) = 2 x + 9 5− x 5− x

) =2 '

9 > 0, (5 − x ) 2 то на промежутке (−∞; 4) функция g возрастает. Значит, уравнение g ( x) = 2 имеет не более одного корня, а один корень находится и проверяется x 9 = 0,5 + 1, 5 = 2 . подстановкой: если x = −1 , то 2 + 5− x Ответ: −1 . x

ln 2 +

Замечания. 4

1) В шаге 1) можно обойтись и без производной: 0,5 x − 4 x + 5 > 1 ⇔ 4

⇔ x − 8 x + 8 > 0 ⇔ x − 4 x + 4 + 4 x − 8 x + 4 > 0 ⇔ ( x − 2) + 4( x − 1) > 0 , 2

где последнее неравенство верно, так как ( x − 2) и 4( x − 1) не обращаются в ноль одновременно. 2) Аналогично, в шаге 3) проверку неравенства g '( x) > 0 можно заменить ссылкой на то, что g ( x) есть сумма двух возрастающих функций.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

Баллы

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Критерии оценки выполнения задания С5 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) исследование функции f ; 2) сведение исходной задачи к уравнению f ( g ( x)) = 5 , его решение; проверка того, что уравнение g ( x) = 0 не имеет корней; 3) решение уравнения g ( x) = 2 . Обоснованы все моменты решения: а) нахождение f обосновано исследованием знака производной; наим

б)

(2008 - 18 )

неравенство

наим

> 1 обосновано

проверкой

неравенства

5 − 3⋅ 3 2 >1 ; g ( x) = 0 в) отсутствие корней уравнения обосновано положительностью функции g ; г) единственность корня x = −1 обоснована проверкой возрастания функции g при x < 4 . Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 3) допустима лишь констатация возрастания g без ее проверки. Обоснованы ключевые моменты а), б). Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в одном из шагов 2) или 3), в результате чего может быть получен неверный ответ. Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Выполнены верно шаги 1) и 2): задача сведена к решению уравнения g ( x) = 2 . Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что неравенство 5 − 3 ⋅ 3 2 > 1 приведено без проверки. Допустимо, что дальнейшее исследование уравнения не завершено. Допустимы 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях в шаге 3), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате решение может быть не завершено. Ход решения верный. Выполнен верно шаг 1): найдена точка минимума и наименьшее значение функции f . Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено, а остальные ключевые моменты не обоснованы. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2008 - 19 )

Примечание Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам: Сайт программы Прямая ссылка (30 дней бесплатно)

http://www.dessci.com/en/ http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe

«УТВЕРЖДАЮ» Директор Федерального института педагогических измерений

«СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант КИМ 2009 г.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 2 )

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту При ознакомлении с Демонстрационным вариантом 2009 года следует иметь в виду, что задания, включённые в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2009 году. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2009 года, приведен в кодификаторе, помещенном на сайте www.fipi.ru . Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, их форме, уровне сложности: базовом, повышенном и высоком. К каждому заданию с развернутым ответом (тип С), включенному в демонстрационный вариант, дается только одно из возможных решений. Приведённые критерии оценки этих решений позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого ответа. Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки и сдачи ЕГЭ в соответствии с целями, которые они ставят перед собой. Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 3 )

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2009 г. Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1–А10 и В1–В3) базового уровня по материалу курса математики. К каждому заданию А1–А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1–В3 надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4–В11, С1, С2) по материалу курса математики. К заданиям В4–В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3, С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 4 )

ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1–А10 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак "×" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

Упростите выражение

1) 0,7

2) 2

2) 3,4

4) 10 2

3) 1,2

4) 0,012

3) 3

4) 4

log 400 − log 25 .

Вычислите:

1) 8

3) 10 0,7

3 0,064 ⋅ 27.

Вычислите:

1) 0,36

101,4 . 0,7 10

2) 2

y = log x. Укажите

На одном из рисунков изображен график функции

номер этого рисунка. 1)

1 0

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 5 )

Найдите производную функции h ( x ) = e − 4 x . x 4 3 1) h′ ( x ) = e − x 3

2) h′ ( x ) = e x − 8 x 3) h′ ( x ) = e x − 2 x 4) h′ ( x ) = e x − 4 x

Найдите множество значений функции 1) ( − ∞; + ∞ )

3) [ − 1; 1]

На рисунке показано изменение уровня воды водохранилища в течение 12 часов во время паводка. Как только уровень воды превысил отметку 10 метров, через сливные отверстия в плотине начали сбрасывать воду до того момента, пока её уровень понизился до отметки 10 метров. Определите, сколько часов длился сброс воды. 1) 10

2) [ − 3; 3 ]

y = 3 cos x .

2) 2

Решите неравенство

3) 6

4) [ 0; 3 ]

Уровень воды, м

10 5 Время, ч

2 4 6 8 10 12

4) 4

6 x + 18 ≤ 0. 7x

1) [ − 3; 0 ) ∪ ( 0; + ∞ ) 2) [ − 3; 0 ) 3) [ − 3; + ∞ ) 4) ( − ∞; − 3 ] ∪ ( 0; + ∞ )

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

(2009 - 6 )

cos x − 2 = 0. 2

Решите уравнение 1) ( − 1)

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

π + π n, n ∈ Z 4

π 2) ± + 2 π n, n ∈ Z 4 3)

π + 2 π n, n ∈ Z 4

π 4) ± + π n, n ∈ Z 4

A10

Решите неравенство 1) ( − ∞; − 1,5 ]

6 x + 11

≥ 16.

2) [ − 1,5; + ∞ )

5 3) ⎢⎡ − ; + ∞ ⎣ 3

)

( − ∞; − 53 ⎥⎦⎤

Ответом на задания В1–В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. B1

Найдите cos α , если sin α = 4 , и 0 < α < π . 5 2

На рисунке изображён график функции у = f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.

1 0

1 х0

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

Для оклейки стен ванной комнаты (см. рисунок) нужно приобрести керамическую плитку, причем плитка покупается с запасом в 10% от оклеиваемой площади. Ширина двери равна 0,75 м, высота – 2 м. Цена плитки 300 р. за 1 м2. Определите стоимость плитки, если стены решено оклеить полностью, от пола до потолка.

(2009 - 7 )

2м 2,5 м

1,9 м

ЧАСТЬ 2 B4

Решите уравнение

5 x + 20 ⋅ ( 5 ) − 125 = 0 . x

(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их произведение.)

Функция у = f (x) определена на промежутке (– 2; 7). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у = f (x) на промежутке ( − 2; 7 ) .

Вычислите значение выражения

y –2

y = f ′(x)

0 1

log 5 6

+ 100

lg 8

Функция y = f ( x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции при − 2 ≤ x ≤ 1. Найдите значение выражения f (−1) ⋅ f (9) . f (−2)

y 1 0

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x + 5 − a = 2 имеет ровно 3 корня. (Если значений a более одного, то в бланке ответов запишите их сумму.) © 2009 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 8 )

Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 6 : 7 : 10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй – тоже на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?

B10

Концы отрезка MK лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Угол между прямой MK и плоскостью основания цилиндра равен 30° , MK = 8 , площадь боковой поверхности цилиндра равна 40π . Найдите периметр осевого сечения цилиндра.

B11

Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в нее окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем – решение.

Найдите наименьшее значение функции f ( x) = 22 х при x − 5,5 ≤ 2,5 . х + 16

Найдите все значения х, при каждом из которых выражения 4x 4x 2 sin 2 cos − sin 2 x 2 2 принимают равные значения. и tg x tg x

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 9 )

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания С3–С5 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем – обоснованное решение. C3

Найдите все значения x > 1 , при каждом из которых наибольшее из двух чисел

2 2

a = log x + 2log 32 − 2 и b = 41 − log x больше 5. 2

Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Точка М лежит на ребре AB так, что AM : MB = 1 : 3 . Точка Т лежит на прямой AF и равноудалена от точек М и B. Объем пирамиды TВCM равен 5 . Найдите радиус сферы, 64 описанной около пирамиды FABC.

Найдите все значения параметра p , при каждом из которых уравнение (1,5 p − 7) ⋅ 32

0,4 x + 0,2

+ (29 p

−x − 154) ⋅ 0,125 3

+ 11 p − 41 = 0 имеет ровно

10 p − p − 24 различных корней.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 10 )

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЕМОНСТРАЦИОННОГО ВАРИАНТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Ответы к заданиям с выбором ответа № задания А1 А2 А3 А4 А5

Ответ 3 3 4 4 2

№ задания А6 А7 А8 А9 А10

Ответ 2 4 2 2 2

Ответы к заданиям с кратким ответом

№ задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 B8 B9 В10 В11

Ответ 0,6 -1,5 5940 2 2 13 – 0,5 7 13 28 12

Ответы к заданиям с развернутым ответом № задания С1 С2 С3 С4 С5

Ответ 0,2 ( − 1) n + 1 ⋅ π + πn, n ∈ Z 4 1 < x < 8, x > 32 1 3 6

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 11 )

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТОМ C1

Найдите наименьшее значение функции f ( x) = 22 х при x − 5,5 ≤ 2,5 . х + 16 Решение:

1) x − 5,5 ≤ 2,5 ⇔ − 2,5 ≤ x − 5,5 ≤ 2,5 ⇔ 3 ≤ x ≤ 8 . 2) f ′ ( x) =

(

)

2 х + 16 − 2 х ⋅ 2 х

(х

+ 16

)

= 2 ⋅ 16 − х 2 х + 16

(

)

f ′( x) = 0 при x = 4 , при x = − 4 . − 4 ∉ [ 3;8 ] . f (3) = 6 = 0,24 , f (4) = 8 = 0,25 , f (8) = 16 = 0,2 . 25 32 80 Наименьшее значение функции y = f ( x) на отрезке [ 3;8 ] равно 0, 2 . Ответ: 0,2.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания С1 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) определен промежуток, на котором требуется найти наименьшее значение функции; 2) найдено наименьшее значение функции. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка в шаге 2), не влияющие на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 12 )

Найдите все значения х, при каждом из которых выражения 4 4 2 sin x − 2 cos x sin 2 x 2 принимают равные значения. 2 и tg x tg x Решение:

2 sin 4 x − 2 cos 4 x sin 2 x − 2 sin 4 x + 2 cos 4 x sin 2 x 2 2⇔ 2 2 = 0. 1) = tg x tg x tg x 2)

( 2 sin x + 2 ) cos x = 0 ⇔ 2 sin x cos x + 2 cos x =0⇔ tg x tg x

⎧ ( 2 sin x + 2 ) cos x = 0 ⎧ 2 sin x + 2 = 0 ⎪⎪ ⎪ ⇔ ⎨ cos x ≠ 0 ⇔ x = ( − 1) n + 1 ⋅ π + πn, n ∈ Z. ⎨ cos x ≠ 0 4 ⎪ sin x ≠ 0 ⎪ sin x ≠ 0 ⎩ ⎪⎩ Ответ: ( − 1 )

Баллы 2

n +1

⋅ π + πn, n ∈ Z . 4

Критерии оценки выполнения задания С2 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) составлено уравнение по условию задачи; 2) найдены корни полученного уравнения. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2), не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 13 )

C3 Найдите все значения x > 1 , при каждом из которых наибольшее из двух

чисел

a = log x + 2log 32 − 2 и b = 41 − log 2 x 2 больше 5. 2

Решение:

Так как x > 1 , то log x > 0 . 2

1) a > 5 ⇔ log x + 2 log 32 − 2 > 5 ⇔

log 2 x − 7 log x + 10 2

log x

)(

>0⇔

⎡ log 2 x > 5 ⇔ log x − 2 ⋅ log x − 5 > 0 ⇔ ⎢ 2 2 ⎢⎣ log 2 x < 2.

(

)

2 2

2) b > 5 ⇔ 41 − log x > 5 ⇔ 4log x < 36 ⇔ log x < 9 ⇔ log x < 3 . 2

3) Наибольшее из чисел a и b больше 5 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них больше 5, т.е. когда ⎡ a > 5 ⎡ log 2 x > 5 ⎡ x > 32 ⎢ b > 5 ⇔ ⎢ log x < 3 ⇔ ⎢ x < 8. ⎣ ⎣ ⎢⎣ 2

Ответ: 1 < x < 8, x > 32 .

Баллы

1 0

Критерии оценки выполнения задания С3 Приведено верное решение, содержащее в каком-либо порядке и виде следующие шаги: 1) решение первого неравенства; 2) решение второго неравенства; 3) составление совокупности указанных двух неравенств и ее решение. Получен верный ответ. Приведено логически верное решение, содержащее шаги 1), 2) и 3). Получен ответ. Допустимы вычислительные ошибки, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок возможен неверный ответ. Верно выполнены шаги 1) и 2) решения, а шаг 3) либо отсутствует, либо не доведен до конца, либо выполнен неверно. Ответ не получен или неверен. Верно выполнен один из шагов 1) или 2) решения, а остальные шаги либо отсутствуют, либо не доведены до конца, либо выполнены неверно. Ответ не получен или неверен. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1–4 балла. © 2009 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 14 )

1) Пусть O – центр сферы радиуса R, T описанной около пирамиды FABC. Так как OA = OB = OC = OF = R , а О ∈ АВС, F то точка О является также центром окружности радиуса R, описанной около C треугольника АВС. Треугольник АВС – L правильный, следовательно, О – точка O H пересечения медиан треугольника АВС, A M N P B AB = R 3 . 2) FABC – правильная пирамида, поэтому FO – высота пирамиды и AFO ⊥ ABC. По условию T∈AF и TM = TB . Опустим из точки T перпендикуляр TН на прямую АO. Так как AFO ⊥ ABC, то TH ⊥ ABC, и следовательно, ТН – высота пирамиды TВCM, а отрезки НМ и HB – проекции равных наклонных TМ и TB. Значит, HM = HB , и поэтому треугольник ВНМ – равнобедренный, а его высота НР является медианой, то есть PM = PB . 1 3) Объем V пирамиды TВCM, равный TH ⋅ SBCM , выразим через R. Из 3 AM 1 1 R 3 3R 3 = AM = AB = MB = имеем , , условия MB 3 4 4 4 3R 3 5R 3 MP = . Отсюда AP = . В прямоугольном треугольнике 8 8 AP 5R = . Так как АРН угол А равен 30D , следовательно, AH = D cos30 4 OA = OF , то прямоугольный треугольник AOF – равнобедренный, поэтому в прямоугольном треугольнике АТН угол А равен 45D , следовательно, AH = TH . Медиана CN правильного треугольника АВС является его высотой. Поэтому CN – высота треугольника ВСМ. Следовательно, площадь треугольника ВСМ можно найти по формуле 3 3R 9R 2 3 и SBCM = . Отсюда SBCM = 0,5CN ⋅ BM . Имеем CN = CO = 2 2 16

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 15 )

1 5R 9R 2 3 15R 3 3 15R 3 3 5 V= ⋅ ⋅ = , . По условию = 64 64 3 4 16 64 1 1 и R= . откуда R 3 = 3 3 3 1 Ответ: . 3 Баллы Критерии оценки выполнения задания С4 Приведена верная последовательность шагов решения: 1) установлено, что центром сферы, описанной около пирамиды FABC, является точка пересечения медиан треугольника АBС; 2) установлено положение основания Н высоты TH пирамиды TBCM; 3) площадь основания, высота и объем пирамиды TBCM выражены через радиус R сферы, описанной около пирамиды 4 FABC, вычислена искомая величина R. Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) центр сферы, описанной около пирамиды FABC, – точка пересечения медиан основания пирамиды; б) основание H высоты TH пирамиды TBCM лежит на прямой АО, содержащей медиану треугольника АBС. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведены все шаги решения 1) – 3). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимы отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях 1 , но не 3 грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ. Приведены шаги решения 1) – 3). Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых 2 ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ. Ход решения правильный, но решение не завершено: указано положение центра описанной сферы (описано словесно либо 1 отражено на чертеже). Найдены некоторые числовые 1

Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул. © 2009 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

(2009 - 16 )

характеристики пирамид, например, длина отрезка АР выражена через радиус R сферы, описанной около пирамиды FABC. Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления 1 – 4 баллов.

0 C5

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

Найдите все значения параметра p , при каждом из которых уравнение (1,5 p − 7) ⋅ 32

0,4 x + 0,2

+ (29 p

−x − 154) ⋅ 0,125 3

+ 11 p − 41 = 0 имеет ровно

10 p − p − 24 различных корней. Решение:

1) Так как 32

0,4 x + 0,2

5 0,4 x + 0,2

= (2 )

2 x +1

= 2⋅4 ,

−x 0,125 3

= (2

−3

−x )3

=2 ,

то (3 p − 14)4 + (29 p − 154)2 + 11 p − 41 = 0 . x

Пусть t = 2 > 0 . Тогда получаем квадратное уравнение относительно t с параметром p : 2

(3 p − 14)t + (29 p − 154)t + 11 p − 41 = 0 . (*) Значит, число n различных корней исходного уравнения не больше 2 . 2

2) Если n = 2 , то по условию 10 p − p − 24 = 2 , p − 10 p + 26 = 0 , что невозможно, т.к. D = − 4 < 0 . Остаются случаи n = 1 и n = 0 . 2

Если n = 1 , то 10 p − p − 24 = 1,

p − 10 p + 25 = 0, p = 5 . Тогда x

уравнение (*) примет вид t − 9t + 14 = 0, t = 2, t = 7 . Так как t = 2 , то 1

x = 1, x = log 7 . Поэтому n = 2 . Противоречие с равенством n = 1 . 1

3) Если

n = 0,

то

10 p − p − 24 = 0, p − 10 p + 24 = 0, p = 4, p = 6 . 1

Пусть p = 4 . Тогда уравнение (*) примет вид − 2t − 38t + 3 = 0 . Ветви параболы направлены вниз, ось Oy она пересекает выше точки (0; 0) . Поэтому уравнение (*) имеет ровно один положительный корень t и 0

исходное уравнение имеет ровно один корень

x = log t . Значит, n = 1 .

Противоречие с равенством n = 0 . p = 6. Тогда уравнение Пусть

(*)

2 0

примет

вид

4t + 20t + 25 = 0, t = − 2,5. Так как t = 2 > 0 , то исходное уравнение не имеет корней. Значит, p = 6 удовлетворяет условию задачи. © 2009 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г.

МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.

(2009 - 17 )

Ответ: 6 .

ЗАМЕЧАНИЯ. А) В шаге 2) не обязательно явно указывать 2 корня исходного уравнения. Допустимо использование только положительности корней уравнения (*). Б) В шагах 2) – 3) можно не объяснять, как найдены корни квадратного уравнения. В) В шаге 3) можно явно решить квадратное уравнение относительно t и указать его положительный корень. Баллы

Критерии оценки выполнения задания С5 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) тождественные преобразования показательных выражений и оценка n ≤ 2 числа корней исходного уравнения; 2) разбор случаев n = 2 и n = 1; 3) разбор случая n = 0 , проверка того, что р = 6 удовлетворяет условию. Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 2) явно указаны два корня исходного уравнения или же их существование объяснено ссылкой на неравенство t > 0; б) в шаге 2) разбор случаев n = 2 и n = 1 обоснован свойствами квадратичной функции и/или явным указанием её нулей; в) в шаге 3) имеется ссылка на условие t > 0. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 3) допустимо отсутствие обоснования в). Обоснованы ключевые моменты а) и б). Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 3), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате может быть получен неверный ответ. Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнен шаг 1). В шаге 2) верно исследован только один из случаев n = 2 или n = 1. При их рассмотрении обоснован хотя бы один из ключевых моментов а), б). Допустимо, что решение не завершено. Общая идея, ход решения верны. Верно выполнен шаг 1): исходное уравнение сведено к квадратному относительно новой переменной. Получена оценка n ≤ 2 числа корней исходного уравнения. Допустимо, что решение не завершено. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2010 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации. Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания Демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольно-измерительные материалы в 2010 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительным материалов ЕГЭ 2010 г. Правильное решение каждого из заданий В1-В12 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы – 30. Предполагается, что верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования. Конкретное значение минимального тестового балла, подтверждающего освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования, определяется Федеральной службой по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации в установленном порядке. К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в демонстрационный вариант, дается одно-два возможных решения. Приведенные критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов и система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов 2010 года Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

Часть 1 Ответом на задания В1-В12 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

В2

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

Найдите корень уравнения 3x2  27 .

В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB  5 , cos A  0,8 . Найдите BC .

Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой? Поставщик

Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3 )

Стоимость доставки (руб.)

2600

10000

2800

8000

2700

8000

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите значение выражения log 2 200  log 2

На рисунке изображен график функции y  f  x  и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x  3 .

Дополнительные условия доставки

При заказе товара на сумму свыше 150000 рублей доставка бесплатная. При заказе товара на сумму свыше 200000 рублей доставка бесплатная.

1 . 25

Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

B10

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h  t   5t 2  18t ( h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

B11

Найдите наибольшее значение функции 3 на отрезке y  2cos x  3x  3

B12

  0; 2  .

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня? Часть 2 Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.

Решите систему уравнений 2 2   x  3x  x  3x  1  7,   2 2 sin y  x.

С2

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 ,

С3 С4

а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы. 1 2 Решите неравенство log x3  9  x 2   log 2x3  x  3  2 . 16 На стороне BA угла ABC , равного 30  , взята такая точка D, что AD  2 и BD  1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

С5

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 4 x  3x  x  a  9 x  1 имеет хотя бы один корень.

С6

Система оценивания демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ Ответы к заданиям части 1 Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. № задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 В11 В12

Ответ 5 14 5 3 192000 18 3 2 9 2,4 1 20

Ответы к заданиям части 2 № задания С1 С2 С3 С4 С5 С6

x  2, y   1

 4

Ответ   n, n  Z .

30 –1 1 или 7 8  a  6 a  2, b  5

Решения и критерии оценивания заданий части 2 Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Эксперты проверяют математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех возможных ситуаций. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации. С1

Решите систему уравнений 2 2   x  3x  x  3x  1  7,   2 2 sin y  x. Решение. 1. Сделаем замену x 2  3x  1  t . Тогда x 2  3x  t 2  1. Теперь первое уравнение системы можно привести к виду: t 2  t  6  0. Корни: t   2 или t  3 . Получаем: x 2  3x  1  2 или x 2  3x  1  3 . Первое из этих уравнений не имеет корней. Решим второе: x2  3x  10  0; x  5 или x  2 . 2. При каждом из найденных значений x решим второе уравнение системы. 5 а) Если x  5 , то sin y   . 2 2 (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде

Поскольку 2 2  8 , 8  5 , получаем, что sin y  

5 2 2

 1 . Значит, уравнение

не имеет решений, поскольку его правая часть меньше 1 .

б) Если x  2 , то sin y 

1 n  ; y   1   n, n  Z . 4 2

Ответ: x  2, y   1



  n, n  Z . 4 Возможны другие формы записи ответа. Например:  3  2 n , n  0, 1, 2,...; А) x  2, y   2 n или y  4 4  x  2,  Б)  n  y   1 4   n, n  0, 1, 2,...     3   2 n  , n  Z . В)  2;  2 n  ,  2;  4   4  Баллы 2 1 0 2

С2

Критерии оценивания выполнения задания С1 В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Верно решено первое уравнение, но система решена неверно. Решение неверно или отсутствует. Максимальный балл

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.

Решение. Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник A1BC – равнобедренный, отрезки AH и A1H перпендикулярны BC . Следовательно, A1HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1 .

Из треугольника A1 AB найдем: AA1 1 . Из треугольника AHB найдем: AH  3 . Из треугольника HAA1 найдем: AA 1 tg A1HA  1  . AH 3 Искомый угол равен 30 . Ответ: 30 . Возможны другие формы записи ответа. Например,  А) ; 6  Б) рад. 6 1 В) arctg и т.п. 3 Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат. Баллы 2 1

0 2

С3

Критерии оценивания выполнения задания С2 Получен и обоснован верный ответ. Построен или описан линейный угол искомого угла или угол между перпендикулярами к плоскостям A1BC и ABC , но получен неверный ответ или решение не закончено. Решение неверно или отсутствует. Максимальный балл

Решите неравенство log x3  9  x 2  

1 2 log 2x3  x  3  2 . 16

Решение. Преобразуем неравенство: 1 log x3   3  x  3  x    log 2x3 x  3  2 . 4

Найдем, при каких значениях x левая часть неравенства имеет смысл: 9  x 2  0,  3  x  3  x   0,    x  3,  x  3  0,   x  3  1,  x  2,   x  3.  x  3  0;

Получаем: 3  x  2 или 2  x  3 . Значит, x  3  3  x при всех допустимых значениях x . Поэтому 1 log x3  3  x   log x3  3  x   log 2x3  3  x   2 ; 4 1 log x3  3  x   1  log 2x3  3  x   2 . 4 Сделаем замену log x3  3  x   y . Получаем: 1 2 y  y 2  1 ; y2  4 y  4  0 ;  y  2  0 ; y  2 . 4 2 Таким образом, log x3  3  x   2 , откуда  x  3  3  x ; x2  7 x  6  0 . Корни уравнения: 6 и 1 . Условию 3  x  2 или 2  x  3 удовлетворяет только x  1. Ответ: 1. Замечание. Можно не находить область допустимых значений x , а прийти к соотношению x  3  3  x другим способом. Тогда решение будет немного короче. Преобразуем неравенство: 1 log x3   3  x  3  x    log 2x3 x  3  2 . 4 Заметим, что x  3  0 и  3  x  3  x   0 . Значит, 3  x  0 . Поэтому x  3  3  x . Получаем: 1 log x3  3  x   1  log 2x3  3  x   2 . 4 Сделаем замену log x3  3  x   y . Получаем: 1 2 y  y 2  1 ; y2  4 y  4  0 ;  y  2  0 ; y  2 . 4 (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде

Таким образом,  x  3   3  x  ,  log x3  3  x   2 ;  x  3  0,  x  3  1;  2

Ответ: 1. Баллы 3 2

1 0 3

С4

 x 2  7 x  6  0,   x  3,  x  2; 

  x  1,    x  6,   x  3, x  1 .  x  2;  

Критерии оценивания выполнения задания С3 В представленном решении обоснованно получен верный ответ. При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на правильную последовательность рассуждений, и, возможно, приведшая к неверному ответу. Получен ответ, содержащий наряду с правильным постороннее решение. Решение не закончено или получен неверный ответ (кроме тех случаев, в которых выставляется 1–2 балла; см. выше). Максимальный балл

На стороне BA угла ABC , равного 30  , взята такая точка D, что AD  2 и BD  1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC. Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности. Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A. Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и B  30 2 3 находим, что PE = . Так как OA = R и AP  1, получаем: 3 2 3 OP  R 2  1 и, следовательно, OE  R 2  1  . 3 Из прямоугольного треугольника OQE, в котором E  60 , находим: 3 3 R  OQ  OE  R2  1  1. 2 2 (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде

В результате получаем уравнение для R: 3 R2  1  R  1. 2 Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7. Другое решение. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей BQ 2  BA  BD   BD  DA  BD  1  2   1  3 ,

откуда BQ  3 . Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC , проведенного через точку Q . Из прямоугольного треугольника BQO находим: 1 BQ BO   2 , тогда AO  OD  1 и OQ  BO  1 . 2 cos30 Таким образом, точка O удалена от точек A , D и Q на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а ее радиус равен 1. Пусть теперь точка Q1 касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку Q1 перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а окружность вторично – в точке T . Тогда (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде

BQ1  BA  BD  3, HBQ1  ABC  30, BH 

BQ1 1  2, HQ1  BH  1. cos30 2

Если R – радиус окружности, то Q1T  2 R . По теореме о двух секущих HQ1  HT  HA  HD , то есть 1 1  2 R    2  3  3 , откуда находим, что R  7 .

Ответ: 1 или 7. Возможны другие формы записи ответа. Например, А) 1, 7; Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Баллы 3 2 1 0 3

С5

Критерии оценивания выполнения задания С4 В представленном решении верно найдены оба возможных значения радиуса. Рассмотрены оба случая расположения окружности, но верно найден только один радиус. Рассмотрен только один случай расположения окружности и верно найден ее радиус. Оба радиуса найдены неверно или не найдены. Максимальный балл

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 4 x  3x  x  a  9 x  1 имеет хотя бы один корень. Решение. Запишем уравнение в виде 9 x  1  4 x  3x  x  a  0 . Функция f  x   9 x  1  4 x  3x  x  a непрерывна и 1) неограниченно возрастает при x  1 , так как при любом раскрытии модулей имеем f  x   9 x  9  4 x  3x  x  a  kx  m , где k  9  4  4  1  0 ; 2) убывает при x  1 , так как при любом раскрытии модулей имеем f  x   9 x  9  4 x  3x  x  a  kx  m , где k  9  4  4  9  0 . Следовательно, наименьшее значение функция f принимает при x  1 , и уравнение f  x   0 будет иметь корень тогда и только тогда, когда f 1  0 . Решим это неравенство: 3  1 a  4; 4  a  1  3  4 ; a 1  7 ; 7  a  1  7 ; 8  a  6 .

Ответ: 8  a  6 . Возможны другие формы записи ответа. Например: А)  8;6; Б) a   8; 6 . (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде

Баллы 4 3

Критерии оценивания выполнения задания С5 В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован: например, не указано явно необходимое и достаточное условие существования корня, или то, что функция принимает все значения из промежутка  f 1 ;  , или решение содержит вычислительную ошибку.



1 0 4

С6

Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, в результате чего получена часть верного ответа (возможно, другие случаи не рассмотрены или при их рассмотрении допущены ошибки). Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, но не найдена никакая часть верного ответа. Решение не содержит ни одного верно рассмотренного случая раскрытия модуля. Максимальный балл

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа, равного b . a Решение. Пусть десятичная запись числа b состоит из n цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство b b (1)  a  n , поэтому 10n  b  a 2   ab . a 10 Из этого уравнения следует, что b  a 2  a . Так как числа a и b взаимно простые, числа b  a 2 и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p – общий простой делитель этих чисел. Тогда если p делитель a , то p будет делителем b . Если же p – делитель b , то p будет делителем a 2 , значит, p – делитель a . Противоречие.) Поэтому b  a 2  1 и, следовательно, ab  10n . Последнее равенство при взаимно простых a и b возможно только в двух случаях: 1) b  10n , a  1 , но в этом случае не выполняется равенство b  a2  1. 2) b = 5n, a = 2n. В этом случае равенство b – a2 = 1 принимает вид n n 5 1 n n 5  4  1 , откуда    1    . 4  4 n

5 1 Функция f  n     возрастает, а функция g  n   1    убывает. По4 4 этому уравнение f (n)  g (n) имеет не более одного корня, и так как f (1)  g (1) , единственным корнем уравнения является n  1 . (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде

Ответ: a  2, b  5 . Возможны другие формы записи ответа. Например: А)  2;5 ; 5 Б)  2,5 ; 2 a  2, В)  b  5. Баллы 4 3

1 0 4

Критерии оценивания выполнения задания С6 В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получена система необходимых и достаточных условий на пару искомых чисел и найдено ее решение, но недостаточно обоснована его единственность. Составлено верное уравнение в натуральных числах, из которого сделаны какие-либо существенные выводы для нахождения искомой пары чисел, уравнение до конца не решено, но верный ответ приведен. Составлено, но не решено верное уравнение в натуральных числах, верный ответ приведен. Ответ не найден, или ответ неверен, или в решении отсутствует верное уравнение в натуральных числах. Максимальный балл

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 1 / 18)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 2 / 18)

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2011 года по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2011 года по математике

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2011 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации. Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания Демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольно-измерительные материалы в 2011 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и содержания. Правильное решение каждого из заданий В1-В12 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы – 30. Предполагается, что верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования. Конкретное значение минимального тестового балла, подтверждающего освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования определяется Рособрнадзором в установленном порядке. К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в демонстрационный вариант, дается одно-два возможных решения. Приведенные критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демоверсия, критерии оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 3 / 18)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 4 / 18)

Часть 1 Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Ответом к заданиям этой части (В1-В12) является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки, без пробелов. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерения писать не нужно.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2011 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и записать ответ. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

В2

T °C 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 t, час 1 0 6:00 18:00 6:00 18:00 6:00 18:00 6:00 12:00 0:00 12:00 0:00 12:00 0:00 0:00 13 августа 14 августа 15 августа

Желаем успеха!

Найдите корень уравнения 3x−2 = 27 .

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 5 / 18)

В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 5 , cos A = 0,8 . Найдите BC .

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 6 / 18)

На рисунке изображен график функции y = f ( x ) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3 .

Строительная фирма планирует купить 70 м пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

Поставщик

Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3 )

Стоимость доставки (руб. за весь заказ)

2600

10000

2800

8000

2700

8000

Дополнительные условия доставки

Найдите значение выражения log 2 200 + log 2

1 . 25

B10

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h ( t ) = −5t 2 + 18t ( h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

B11

Найдите наибольшее значение функции 3π на отрезке y = 2cos x + 3 x − 3

B12

⎡ π⎤ ⎢⎣0; 2 ⎥⎦ .

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 7 / 18)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 8 / 18)

Часть 2 Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. C1

Решите уравнение

С2

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , а

6cos 2 x − cos x − 2 = 0. − sin x

диагональ боковой грани равна плоскостью основания призмы. С3

5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и

Решите неравенство log x +3 ( 9 − x 2 ) −

1 2 log 2x +3 ( x − 3) ≥ 2 . 16 D

С4

На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

С5

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений ⎧a x 4 +1 = y + 2 − x , ⎪ ⎨ ⎪⎩ x 2 + y 2 = 4 имеет единственное решение.

(

С6

)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 9 / 18)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Система оценивания экзаменационной работы по математике

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальный балл. Эксперты проверяют математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех возможных ситуаций. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. № задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 В11 В12

Ответ 5 14 5 3 192000 18 3 2 9 2,4 1 20

Ответы к заданиям части 2 № задания С1

С2 С3 С4 С5 С6

2π + 2π n, 3 30° –1 1 или 7 a=4 a = 2, b = 5 −

Ответ 2 − arccos + 2π n, n ∈ Z . 3

(2011 - 10 / 18)

С1

Решите уравнение

6cos 2 x − cos x − 2 = 0. − sin x Решение. 1. Уравнение равносильно системе arccos 2 3 ⎧6cos 2 x − cos x − 2 = 0, ⎨ ⎩− sin x > 0. 2 1 Из неравенства получаем, что 2 3 sin x < 0 . 0 В уравнении сделаем замену cos x = t и решим уравнение 1 2 6t 2 − t − 2 = 0 . t = − или t = . 2 3 2 –arccos 3 1 2 и cos x = Равенствам cos x = − 3 2 на тригонометрической окружности соответствуют четыре точки (см. рисунок). Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию sin x < 0 . © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Получаем решения: x = −

(2011 - 11 / 18)

2π 2 + 2π n и x = − arccos + 2π n , где n ∈ Z . 3 3

С3

2π 2 Ответ: − + 2π n, − arccos + 2π n, n ∈ Z . 3 3 Баллы Критерии оценивания выполнения задания С1 2 Обоснованно получен правильный ответ. 1 Верно найдены нули числителя, но или не произведен отбор найденных решений, или допущены ошибки в отборе. 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , С2 а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы. Решение. Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник A1BC – равнобедренный, отрезки AH и перпендикулярны BC . A1H Следовательно, ∠A1HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1 . Из треугольника A1 AB найдем: AA1 =1 .

Из треугольника AHB найдем: AH = 3 . Из треугольника HAA1 найдем: AA 1 tg ∠A1HA = 1 = . AH 3 Искомый угол равен 30° .

C1 B1 A1

C H

Ответ: 30° . Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат. Баллы Критерии оценивания выполнения задания С2 2 Обоснованно получен правильный ответ. 1 Способ нахождения искомого угла правильный, но получен неверный ответ или решение не закончено. 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Решите неравенство log x +3 ( 9 − x 2 ) −

(2011 - 12 / 18)

1 2 log 2x +3 ( x − 3) ≥ 2 . 16

Решение. Найдем, при каких значениях x левая часть неравенства имеет смысл: ⎧9 − x 2 > 0, ⎧( 3 − x )( 3 + x ) > 0, ⎪ ⎪ ⎪ x > −3, ⎪ x + 3 > 0, ⎨ ⎨ ⎪ x ≠ −2, ⎪ x + 3 ≠ 1, ⎪⎩ x ≠ 3. ⎪⎩ x − 3 ≠ 0;

Значит: −3 < x < −2 или −2 < x < 3 . Поэтому 1 log x +3 ( 3 − x ) + log x +3 ( 3 + x ) − log 2x +3 ( 3 − x ) ≥ 2 ; 4 1 2 log x +3 ( 3 − x ) + 1 − log x +3 ( 3 − x ) ≥ 2 . 4 Сделаем замену log x +3 ( 3 − x ) = y . Получаем: 1 2 y − y2 ≥ 1 ; y2 − 4 y + 4 ≤ 0 ; ( y − 2) ≤ 0 ; y = 2 . 4 2 Таким образом, log x +3 ( 3 − x ) = 2 , откуда ( x + 3) = 3 − x ; x 2 + 7 x + 6 = 0 . Корни уравнения: −6 и −1 . Условию −3 < x < −2 или −2 < x < 3 удовлетворяет только x = −1 . Ответ: −1 . Решение 2. Можно не находить область допустимых значений x , а прийти к соотношению x − 3 = 3 − x другим способом. Тогда решение будет немного короче.

Преобразуем неравенство: 1 log x +3 ( ( 3 − x )( 3 + x ) ) − log 2x +3 x − 3 ≥ 2 . 4 Заметим, что x + 3 > 0 и ( 3 − x )( 3 + x ) > 0 . Значит, 3 − x > 0 .

Поэтому x − 3 = 3 − x . Получаем: 1 log x +3 ( 3 − x ) + 1 − log 2x +3 ( 3 − x ) ≥ 2 . 4

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Сделаем замену log x +3 ( 3 − x ) = y . Получаем: 1 2 y − y2 ≥ 1 ; y2 − 4 y + 4 ≤ 0 ; ( y − 2) ≤ 0 ; 4 Таким образом, ⎧( x + 3)2 = ( 3 − x ) , ⎪⎪ log x +3 ( 3 − x ) = 2 ; ⎨ x + 3 > 0, ⎪ x + 3 ≠ 1; ⎪⎩ Ответ: −1 . Баллы 3 2

1 0 С4

⎧ x 2 + 7 x + 6 = 0, ⎪ ⎨ x > −3, ⎪ x ≠ −2; ⎩

(2011 - 13 / 18)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 14 / 18)

3 3 OE = R2 − 1 + 1. 2 2 В результате получаем уравнение для R: 3 R2 − 1 = R − 1. 2 Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б). R = OQ =

y = 2.

⎧ ⎡ x = −1, ⎪⎢ ⎪ ⎣ x = −6, ⎪ ⎨ x > −3, x = −1 . ⎪ x ≠ −2; ⎪ ⎪⎩

Критерии оценивания выполнения задания С3 Обоснованно получен правильный ответ. Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом значений x. Ответ неверен, но решение содержит переход от исходного неравенства к верной системе рациональных неравенств. Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. D

На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC. Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности. Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A. Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30° 2 3 находим, что PE = . Так как OA = R и AP = 1 , получаем: OP = R 2 − 1 и, 3 2 3 . следовательно, OE = R 2 − 1 + 3 Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим: © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ

Ответ: 1 или 7. Решение 2. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

BQ 2 = BA ⋅ BD = ( BD + DA) ⋅ BD = (1 + 2 ) ⋅ 1 = 3 , откуда BQ = 3 . Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC , проведенного через точку Q . Из прямоугольного треугольника BQO находим: BQ 1 BO = = 2 , тогда AO = OD = 1 и OQ = BO = 1 . 2 cos 30° Таким образом, точка O удалена от точек A , D и Q на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а ее радиус равен 1. Пусть теперь точка Q1 касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2011 - 15 / 18)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

точку Q1 перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а окружность вторично – в точке T . Тогда BQ1 = BA ⋅ BD = 3, ∠HBQ1 = ∠ABC = 30°,

BH =

Баллы 3

BQ1 1 = 2, HQ1 = BH = 1. cos 30° 2

Если R – радиус окружности, то Q1T = 2 R . По теореме о двух секущих HQ1 ⋅ HT = HA ⋅ HD , то есть 1 ⋅ (1 + 2 R ) = ( 2 + 3) ⋅ 3 , откуда находим, что R = 7 .

С5

(2011 - 16 / 18)

Критерии оценивания выполнения задания С4 Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и обоснованно получен правильный ответ. Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой обоснованно получено правильное значение искомой величины. Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неверное из-за арифметической ошибки. Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Найдите все значения a, при каждом из которых система ⎧a x 4 +1 = y + 2 − x , ⎪ ⎨ ⎪⎩ x 2 + y 2 = 4 имеет единственное решение.

(

)

Решение. Пусть система имеет решение ( x; y ) . Если x ≠ 0 , то система имеет

второе решение ( − x; y ) . Значит, решение может быть единственным, только при x = 0 . Подставим x = 0 в первое уравнение: y = a − 2 . Пара ( 0; a − 2 ) должна удовлетворять второму уравнению: 2 ( a − 2 ) = 4 , откуда a = 0 или a = 4 . Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение. Ответ: 1 или 7.

Первый случай: a = 0 . Система принимает вид

x2+y2=4

y=|x|–2

–2

⎧ y =| x | −2, ⎨ 2 2 ⎩x + y = 4 Графиком функции y = x − 2 –2 является угол, который имеет с окружностью x2 + y 2 = 1 три общие точки (см. рисунок). Значит, при a = 0 система имеет три решения. © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Второй случай. a = 4 . Система принимает вид ⎧⎪ y = 4 x 4 + x + 2, ⎨ 2 2 ⎪⎩ x + y = 4. Из первого уравнения следует, что при x ≠ 0 y > 2 , а из второго уравнения при x ≠ 0 получаем, что y < 2 . Следовательно, при x ≠ 0 система решений не имеет. Значит, при a = 4 есть только одно решение x = 0, y = 2 .

Функция

Ответ: a = 4 .

Ответ: a = 2, b = 5 .

Баллы 4 3

2 1 0

С6

(2011 - 17 / 18)

Критерии оценивания выполнения задания С5 Обоснованно получен правильный ответ. Ответ получен, решение в целом верное, но либо недостаточно обоснованное, либо содержит вычислительные погрешности, в результате которых ответ может быть неверным. Верно получены необходимые условия на значения a , однако в проверке достаточных условий допущены ошибки. Получены только необходимые условия на значения a . Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

(

)

(2011 - 18 / 18)

⎛5⎞ ⎛1⎞ 5n − 4n = 1 , откуда ⎜ ⎟ = 1 + ⎜ ⎟ . ⎝4⎠ ⎝4⎠ n

⎛5⎞ ⎛1⎞ f ( n ) = ⎜ ⎟ возрастает, а функция g ( n ) = 1 + ⎜ ⎟ убывает. 4 ⎝ ⎠ ⎝4⎠ Поэтому уравнение f (n) = g (n) имеет не более одного корня, и так как f (1) = g (1) , единственным корнем уравнения является n = 1 .

Возможны другие формы записи ответа. Например: А) ( 2;5) ; 5 Б) = 2,5 ; 2 ⎧a = 2, В) ⎨ ⎩b = 5. Баллы 4 3

1 0

Критерии оценивания выполнения задания С6 Обоснованно получен правильный ответ. Получена система необходимых и достаточных условий на пару искомых чисел и найдено ее решение, но недостаточно обоснована его единственность. Составлено верное уравнение в натуральных числах, из которого сделаны существенные выводы для нахождения искомой пары чисел, уравнение до конца не решено, но верный ответ приведен. Составлено, но не решено верное уравнение в натуральных числах, верный ответ приведен. Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

делителем b . Если же p – делитель b , то p будет делителем a 2 , значит, p – делитель a . Противоречие.) Поэтому b − a 2 = 1 и, следовательно, ab = 10n . Последнее равенство при взаимно простых a и b возможно только в двух случаях: 1) b = 10n , a = 1 , но в этом случае не выполняется равенство b − a 2 = 1 . 2) b = 5n, a = 2n. В этом случае равенство b – a2 = 1 принимает вид © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 1 / 21)

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2012 года по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2012 года по математике

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2012 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации. Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2012 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2012 года. Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами, С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 32. Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования. К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, даётся возможное решение. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

(2012 - 2 / 21)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Ответом на задания В1–В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов 2012 года Инструкция по выполнению работы

В2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной. 20 15 10

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

декабрь

ноябрь

октябрь

август

июль

май

– 10

сентябрь

Желаем успеха!

апрель

–5

март

февраль

январь

На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий. Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь. Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ. Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки. При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы. Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

(2012 - 3 / 21)

Часть 1

июнь

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

1 см

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 4 / 21)

Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой? Поставщик

Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3 )

Стоимость доставки (руб.)

2 600

10 000

2 800

8 000

2 700

8 000

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 5 / 21)

AC основания правильной Диагональ четырёхугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB .

Дополнительные условия доставки

Нет При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

Найдите корень уравнения log 3 ( x − 3) = 2 .

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O . Найдите угол BOC , если угол BAC равен 32° .

Найдите sin α , если cos α = 0,6 и π < α < 2π .

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f ( x ) . На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2 , x3 , ..., x9 . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f ( x ) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

B10

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

B11

Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).

B12

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h ( t ) = −5t 2 + 18t , где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

B13

2 раза медленнее, чем по 3 течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом 1 катер идёт против течения в 1 раза медленнее, чем по течению. Найдите 2 скорость течения весной (в км/ч). Весной катер идёт против течения реки в 1

y = f (x) B14

x 5 x6 x1 x 2 x 3

x7 x8

Найдите наибольшее значение функции 3π y = 2cos x + 3 x − на отрезке 3

⎡ π⎤ ⎢⎣0; 2 ⎥⎦ .

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 6 / 21)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 7 / 21)

Часть 2 Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. C1

⎛π ⎞ а) Решите уравнение cos 2 x = 1 − cos ⎜ − x ⎟ . ⎝2 ⎠ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ⎡ 5π ⎞ ⎢⎣ − 2 ; − π ⎠⎟ .

С2

С3

⎧ 4 x ≤ 9 ⋅ 2 x + 22, ⎪ Решите систему неравенств ⎨ x +1 2 . ⎪log 3 x − x − 2 ≤ 1 + log 3 x−2 ⎩

(

)

С4

На стороне BA угла ABC , равного 30D , взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f ( x) = 2ax + | x 2 − 8 x + 7 | больше 1.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 8 / 21)

Система оценивания демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Задание В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 В11 В12 В13 В14

Ответ 5 5 18 192 000 12 64 –0,8 3 5 0,92 9 2,4 5 1

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 9 / 21)

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов. При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

Ответы к заданиям части 2 Задание С1

С2 С3 С4 С5 С6

Ответ π а) πn , (−1) k + πk , n ∈ ], k ∈ ]. 6 11π 7π б) − 2π, − ,− 6 6 30° ( 2; log 2 11] 1 или 7 ⎛1 ⎞ ⎜ ; 4+ 6⎟ ⎝2 ⎠ а) 44; б) отрицательных; в) 17

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

С1

(2012 - 10 / 21)

⎛π ⎞ а) Решите уравнение cos 2 x = 1 − cos ⎜ − x ⎟ . ⎝2 ⎠ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ⎡ 5π ⎞ ⎢⎣ − 2 ; − π ⎠⎟ . Решение. ⎛π ⎞ а) Так как cos 2 x = 1 − 2sin 2 x , cos ⎜ − x ⎟ = sin x , то 1 − 2sin 2 x = 1 − sin x, ⎝2 ⎠ 1 ⎛ ⎞ 2sin 2 x − sin x = 0, sin x ⎜ sin x − ⎟ = 0 . 2⎠ ⎝ π Корни уравнения: x = π n, x = (−1) k + πk , n ∈ ], k ∈ ]. 6 б) Корни уравнения sin x = 0 изображаются точками A и B , а 1 — корни уравнения sin x = 2 − 7π − 11π 6 точками C и D , промежуток 6 ⎡ 5π ⎞ С D жирной ⎢⎣ − 2 ; − π ⎠⎟ изображается дугой (см. рис.). В указанном A −2π −π B промежутке содержатся три корня π 11π и уравнения: −2π , −2π + = − 6 6 π 7π −π − = − . 6 6 − 5π 2 k π Ответ: а) πn , (−1) + πk , n ∈ ], k ∈ ]. 6 11π 7π ,− б) − 2π, − . 6 6

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 11 / 21)

1 Прямая y = пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых 2 ⎡ 5π ⎞ принадлежат ⎢ − ; − π ⎟ (см. рис.). Так как период функции y = sin x ⎣ 2 ⎠ равен 2π , то эти абсциссы равны, соответственно, π 11π 5π 7π − 2π = − и − 2π = − . 6 6 6 6

11π 7π ⎡ 5π ⎞ ,− В промежутке ⎢ − ; − π ⎟ содержатся три корня: − 2π, − . 6 6 ⎣ 2 ⎠

б) Пусть x = πn, n ∈ ] . Подставляя n = ... − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, ... , получаем ⎡ 5π ⎞ x = ... − 3π, − 2π, − π, 0, π, 2π, ... . Промежутку ⎢ − ; − π ⎟ принадлежит ⎣ 2 ⎠ только x = −2π . π Пусть x = (−1) k + πk , k ∈ ] . Подставляя k = ... − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, ... , 6 получаем: ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ π ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ x = ...⎜ − − 3 ⎟ π, ⎜ − 2 ⎟ π, ⎜ − − 1⎟ π, , ⎜ − + 1⎟ π, ⎜ + 2 ⎟ π, ... . ⎝ 6 ⎠ ⎝6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 6 ⎝ 6 ⎠ ⎝6 ⎠ 11π 7π 5π ⎡ ⎞ Промежутку ⎢ − ; − π ⎟ принадлежат только x = − , x=− . 6 6 ⎣ 2 ⎠ 11π 7π ⎡ 5π ⎞ ,− . Промежутку ⎢ − ; − π ⎟ принадлежат корни: − 2π, − 6 6 2 ⎣ ⎠

⎡ 5π ⎞ б) Корни, принадлежащие промежутку ⎢ − ; − π ⎟ , отберем по графику ⎣ 2 ⎠ y = sin x . Прямая y = 0 (ось Ox ) пересекает график в единственной точке 5π ( −2π;0 ) , абсцисса которой принадлежит промежутку ⎢⎡ − ; − π ⎞⎟ . ⎣ 2 ⎠

⎡ 5π ⎞ б) Отберем корни, принадлежащие промежутку ⎢ − ; − π ⎟ . ⎣ 2 ⎠ 5π 5 Пусть x = πn, n ∈ ]. Тогда − ≤ πn < − π ⇔ − ≤ n ≤ −1 ⇔ n = −2 . 2 2 ⎡ 5π ⎞ Корень, принадлежащий промежутку ⎢ − ; − π ⎟ : x = −2π . ⎣ 2 ⎠ π Пусть x = + 2πn, n ∈ ] . 6

Другие решения пункта б).

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 12 / 21)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

Содержание критерия Баллы Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б) 2 Обоснованно получен верный ответ в п. а), но обоснование отбора корней в п. б) не приведено или 1 задача в п. а) обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б) приведен обоснованный отбор корней Решение не соответствует ни одному из критериев, 0 перечисленных выше 2 Максимальный балл С2

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы. Решение. Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник A1BC – равнобедренный, отрезки AH и A1H перпендикулярны BC . Следовательно, ∠A1HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1 . Из треугольника A1 AB найдём: AA1 = 1 . Из треугольника AHB найдём: AH = 3 . Из треугольника HAA1 найдём: AA 1 tg ∠A1HA = 1 = . AH 3 Искомый угол равен 30° .

(2012 - 13 / 21)

Возможны другие формы записи ответа. Например: π А) ; 6 π Б) рад. 6 1 В) arctg и т.п. 3

5π π 4 7 Тогда − ≤ + 2πn < − π ⇔ − < n ≤ − ⇔ n = −1 . 2 6 3 12 11π ⎡ 5π ⎞ Корень, принадлежащий промежутку ⎢ − ; − π ⎟ : x = − . 6 ⎣ 2 ⎠ 5π Пусть x = + 2πn, n ∈ ] . 6 5π 5π 5 11 Тогда − ≤ + 2πn < − π ⇔ − ≤ n < − ⇔ n = −1 . 2 6 3 12 7π ⎡ 5π ⎞ Корень, принадлежащий промежутку ⎢ − ; − π ⎟ : x = − . 6 ⎣ 2 ⎠ 11π 7π 5π ⎡ ⎞ Промежутку ⎢ − ; − π ⎟ принадлежат корни: − 2π, − ,− . 6 6 ⎣ 2 ⎠

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат. Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, 1 или при правильном ответе решение недостаточно обосновано Решение не соответствует ни одному из критериев, 0 перечисленных выше 2 Максимальный балл С3

⎧ 4 x ≤ 9 ⋅ 2 x + 22, ⎪ Решите систему неравенств ⎨ x +1 2 . ⎪log 3 x − x − 2 ≤ 1 + log 3 x−2 ⎩ Решение.

(

)

( )

1. Неравенство 4 x ≤ 9 ⋅ 2 x + 22 запишем в виде 2 x

− 9 ⋅ 2 x − 22 ≤ 0 .

Относительно t = 2 x неравенство имеет вид: t 2 − 9t − 22 ≤ 0 , откуда получаем: ( t + 2 )( t − 11) ≤ 0 , −2 ≤ t ≤ 11 . Значит, −2 ≤ 2 x ≤ 11 , x ≤ log 2 11.

⎧( x + 1)( x − 2 ) > 0, ⎪ 2. Второе неравенство системы определено при ⎨ x +1 > 0, ⎪⎩ x−2 то есть при x < −1 и x > 2 . При допустимых значениях переменной получаем: x +1 x +1 log 3 x 2 − x − 2 ≤ 1 + log 3 , log 3 ( ( x + 1)( x − 2 ) ) − log 3 ≤ 1, x−2 x−2

(

)

log 3 ( x − 2 ) ≤ 1 , ( x − 2 ) ≤ 3 , 2 − 3 ≤ x ≤ 2 + 3 . С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 2 < x ≤ 2 + 3 . 2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

3. Сравним log 2 11 и 2 + 3 . Так как

(

)

(2012 - 14 / 21)

3 > 2,25 = 1,5 , то

2 + 3 > 3,5 = log 2 8 ⋅ 2 > log 2 ( 8 ⋅ 1,4 ) = log 2 (11,2 ) > log 2 11 , следовательно, log 2 11 < 2 + 3 . Решение системы неравенств: ( 2; log 2 11] .

Ответ: ( 2; log 2 11] .

Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 3 Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений 2 конечных точек найденных промежутков Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен 1 верный ответ Решение не соответствует ни одному из критериев, 0 перечисленных выше 3 Максимальный балл

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 15 / 21)

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим: 3 3 R = OQ = OE = R2 − 1 + 1 . 2 2 В результате получаем уравнение: 3 R2 − 1 = R − 1. 2 Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б).

Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: x ≤ log 2 11 и

2 < x ≤ 2 + 3 , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что log 2 11 < 2 + 3 , то такое решение оценивается в 2 балла. С4

На стороне BA угла ABC , равного 30D , взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC. Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности. Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A. Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30° 2 3 находим, что PE = . 3

Ответ: 1 или 7. Другое решение. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей BQ 2 = BA ⋅ BD = ( BD + DA ) ⋅ BD = (1 + 2 ) ⋅ 1 = 3 ,

откуда BQ = 3 . Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC , проведённого через точку Q . Из прямоугольного треугольника BQO находим: BQ 1 = 2 , тогда AO = OD = 1 и OQ = BO = 1. BO = cos30° 2 Таким образом, точка O удалена от точек A , D и Q на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а её радиус равен 1. © 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 16 / 21)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 17 / 21)

Возможны другие формы записи ответа. Например:

Пусть теперь точка Q касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку Q перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а окружность вторично – в точке T . Тогда BQ = BA ⋅ BD = 3, ∠HBQ = ∠ABC = 30°,

А) 1, 7; Б) радиус окружности равен 7 или 1. Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 3 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для 2 которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой 1 величины, неправильное из-за арифметической ошибки Решение не соответствует ни одному из критериев, 0 перечисленных выше 3 Максимальный балл

1 BQ1 = 2, HQ = BH = 1. BH = cos30° 2 Если R – радиус окружности, то QT = 2 R . По теореме о двух секущих HQ ⋅ HT = HA ⋅ HD , то есть 1 ⋅ (1 + 2 R ) = ( 2 + 3) ⋅ 3 , откуда находим, что R = 7 .

С5

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f ( x) = 2ax + | x 2 − 8 x + 7 | больше 1. Решение. 1. Функция f имеет вид:

a) при x 2 − 8 x + 7 ≥ 0 : f ( x) = x 2 + 2(a − 4) x + 7 , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=4 − a; б) при x 2 − 8 x + 7 < 0 : f ( x) = − x 2 + (2a + 8) x − 7 , а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз. Все возможные виды графика функции f ( x) показаны на рисунках:

Рис. 1

Рис. 2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 18 / 21)

Рис. 3 Рис. 4 2. Наименьшее значение функция f ( x) может принять только в точках x = 1 или x = 7 , а если 4 − a ∉ [1; 7] – то в точке x = 4 − a . 3. Наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда, когда 1 ⎧ ⎪a > 2 , ⎧2a > 1, ⎧ f (1) > 1, ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨14a > 1, ⇔ ⎨a > , ⇔ ⎨ f (7) > 1, 14 ⎪ ⎪ ⎪ f (4 − a ) > 1 2 ⎩ ⎩2a (4 − a ) + | a − 9 | > 1 ⎪ 2 a 2 − 8a + 1 − | a 2 − 9 | < 0 ⎪⎩ ⎡ ⎪⎧a ≥ 3, ⎡ ⎧⎪a ≥ 3, ⎢⎨ ⎢⎨ 2 ⎢⎩⎪4 − 6 < a < 4 + 6 8 10 0 a − a + < ⎪ ⎢⎩ ⎢ ⇔ ⎢⎧ 1 ⇔ ⎢ ⎧ 1 < a < 3, ⇔ ⎢ ⎪ < a < 3, ⎢ ⎪⎪ 2 ⎢⎨ 2 ⎢ ⎨ 4 − 40 4 + 40 ⎢ ⎪3a 2 − 8a − 8 < 0 ⎢⎪ <a< ⎣⎩ ⎢⎣ ⎪⎩ 3 3 ⎡3 ≤ a < 4 + 6 1 ⇔ ⎢1 ⇔ <a<4+ 6. ⎢ <a<3 2 ⎢⎣ 2

⎛1 ⎞ Ответ: ⎜ ; 4 + 6 ⎟ . ⎝2 ⎠

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 19 / 21)

Содержание критерия Баллы Обоснованно получен правильный ответ 4 Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет 3 пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены 2 ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз 1 графика функции в целом Решение не соответствует ни одному из критериев, 0 перечисленных выше 4 Максимальный балл С6

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8 . а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Решение. Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k − 8l + 0 ⋅ m = −3( k + l + m ) . а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 < k + l + m < 48 , поэтому k + l + m = 44 . Таким образом, написано 44 числа. б) Приведём равенство 4k − 8l = −3( k + l + m ) к виду 5l = 7 k + 3m . Так как m ≥ 0 , получаем, что 5l ≥ 7 k , откуда l > k . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных. воценка) Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k − 8l = −3( k + l + m ) : 4k − 8l = −132 , откуда k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44 , получаем: 3l − 33 ≤ 44, 3l ≤ 77, l ≤ 25, k = 2l − 33 ≤ 17; то есть положительных чисел не более 17. впример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два © 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 20 / 21)

4 ⋅ 17 − 8 ⋅ 25 68 − 200 раза написан 0. Тогда = = −3 , указанный набор 44 44 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Содержание критерия Баллы Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4 Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), впример), воценка) 3 Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), впример), воценка) 2 Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), впример), воценка) 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, 0 перечисленных выше 4 Максимальный балл