1
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 1992 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Ðåøåòå óðàâíåíèåòî 2
45 x x2 +1 − 54 = 0 . − 3 1 2 25 2 x x+1 . x−3 à) Ïðåç òî÷êàòà ñ àáñöèñà x = 4 å ïðåêàðàíà äîïèðàòåëíà êúì ãðàôèêàòà íà ôóíêöèÿòà, êîÿòî ïðåñè÷à îñèòå Ox è Oy ñúîòâåòíî â òî÷êè M è N . Íàìåðåòå ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà OM N , êúäåòî O å íà÷àëîòî íà êîîðäèíàòíàòà ñèñòåìà. á) Íåêà P å òî÷êà îò îòñå÷êàòà M N è íåêà P M = t M N , êúäåòî −→ −−→ −−→ t ∈ [0, 1] . Èçðàçåòå âåêòîðà OP ÷ðåç âåêòîðèòå OM è ON . Ïðè êîÿ −→ −−→ ñòîéíîñò íà ïàðàìåòúðà t âåêòîðèòå OP è M N ñà ïåðïåíäèêóëÿðíè? â) Íàìåðåòå àáñöèñàòà x0 > 3 íà îíàçè òî÷êà îò ãðàôèêàòà íà ôóíêöèÿòà, äîïèðàòåëíàòà êúì êîÿòî îòñè÷à îò ïúðâè êâàäðàíò òðèúãúëíèê ñ íàé-ìàëêî ëèöå. Çàäà÷à 2.
Äàäåíà å ôóíêöèÿòà y =
Îñíîâàòà ABC íà òðèúãúëíàòà ïèðàìèäà SABC å ðàâíîáåäðåí òðèúãúëíèê ñ AC = BC . Ïðåêàðàíà å úãëîïîëîâÿùàòà AN ( N ∈ BC ) , ÷èåòî ïðîäúëæåíèå ïðåñè÷à îïèñàíàòà îêîëî òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò â òî÷êàòà K , à SN å âèñî÷èíàòà íà ïèðàìèäàòà. Ïðåç îòñå÷êàòà AN å ïðåêàðàíî ñå÷åíèå, óñïîðåäíî íà îêîëíèÿ ðúá CS , êîåòî ñêëþ÷âà ñ îñíîâàòà íà ïèðàìèäàòà äâóñòåíåí úãúë α . Íàé-ãîëÿìàòà ñòðàíà íà òîâà ñå÷åíèå å ðàâíà íà 2 . Íåêà AN = 3 N K . à) Äîêàæåòå, ÷å òðèúãúëíèêúò ABC å ðàâíîñòðàíåí. á) Íàìåðåòå îáåìà íà ïèðàìèäàòà. Çàäà÷à 3.
2
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 1993 ãîäèíà
√
Äàäåíà å ôóíêöèÿòà f (x) = x − 3 − 2 x − 2 . à) Ðåøåòå óðàâíåíèåòî f (x) = 0 . á) Íàìåðåòå êîîðäèíàòèòå íà òî÷êà îò ãðàôèêàòà íà f (x) , â êîÿòî äîïèðàòåëíàòà å óñïîðåäíà íà ïðàâàòà, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êèòå îò ãðàôèêàòà ñ àáñöèñè x = 2 è x = 6 . Çàäà÷à 1.
Çàäà÷à 2.
Çà úãëèòå α , β è γ íà òðèúãúëíèê å èçïúëíåíî ðàâåí-
ñòâîòî
2 cos α cos β + cos γ =
1 . 2
à) Èçðàçåòå úãëèòå α è β ÷ðåç γ . á) Èçðàçåòå ëèöåòî S íà òðèúãúëíèêà ÷ðåç ðàäèóñà R íà îïèñàíàòà îêðúæíîñò è úãúëà γ . â) Îïðåäåëåòå cos γ çà îíàçè ñòîéíîñò íà úãúëà γ , ïðè êîÿòî çà ôèêñèðàíî R ëèöåòî S å íàé-ãîëÿìî. Äàäåíà å ïðàâèëíàòà òðèúãúëíà ïèðàìèäà M ABC ñ îñíîâà ðàâíîñòðàííèÿ òðèúãúëíèê ABC . Ïðåç òî÷êà A å ïðåêàðàíà ðàâíèíà α , óñïîðåäíà íà ïðàâàòà BC è ïåðïåíäèêóëÿðíà íà ðàâíèíàòà BCM , êîÿòî ïðåñè÷à ðúáîâåòå BM è CM ñúîòâåòíî âúâ âúòðåøíèòå òî÷êè P è Q . Îòíîøåíèåòî íà ëèöàòà íà òðèúãúëíèöèòå P QM è BCM å λ2 ( λ > 0 ) . à) Íàìåðåòå ñèíóñà íà äâóñòåííèÿ úãúë ìåæäó îêîëíà ñòåíà è îñíîâàòà. á) Àêî öåíòúðúò íà âïèñàíàòà â ïèðàìèäàòà ñôåðà ëåæè â ðàâíèíàòà α è AB = 1 , îïðåäåëåòå ðàçñòîÿíèåòî ìåæäó êðúñòîñàíèòå ïðàâè, âúðõó êîèòî ëåæàò ìåäèàíèòå AA1 è BB1 íà òðèúãúëíèöèòå ABC è BCM . Çàäà÷à 3.
3
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 1994 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
1 5
Çàäà÷à 2.
Ðåøåòå óðàâíåíèåòî
log25 (x2 + 2x + 5)
log 1 (3x + 1) = 7
.
7
Äàäåí å êðúãîâ ñåãìåíò, îãðàíè÷åí îò õîðäàòà AB è
_
äúãàòà èìà ìÿðêà AB = α , êúäåòî α < 180◦ . Îòñå÷êàòà M N å ïåðïåí-
_
_
_
äèêóëÿðíà íà õîðäàòà AB , êàòî M ∈ AB è N ∈ AB . Íåêà BN = x AN è BM = y AM . à) Èçðàçåòå y êàòî ôóíêöèÿ íà x .
f (x) . x→ 0 x
á) Àêî y = f (x) è α = 150◦ , ïðåñìåòíåòå lim
Äàäåí å ïðàâ êðúãîâ êîíóñ ñ äèàìåòúð íà îñíîâàòà 2R è âèñî÷èíà R .  êîíóñà å âïèñàíà ïðàâèëíà òðèúãúëíà ïðèçìà òàêà, ÷å åäèíèÿò è îêîëåí ðúá ëåæè â îñíîâàòà íà êîíóñà, à ñðåùóïîëîæíàòà íà òîçè ðúá îêîëíà ñòåíà èìà âúðõîâå âúðõó îêîëíàòà ïîâúðõíèíà íà êîíóñà è å óñïîðåäíà íà îñíîâàòà ìó. Íàìåðåòå ìàêñèìàëíèÿ îáåì íà ïðèçìàòà. Çàäà÷à 3.
4
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 1995 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåí å èçðàçúò
f (x) = log √1
5
a 6x − 36x ,
êúäåòî a å ïàðàìåòúð. à) Äà ñå ðåøè íåðàâåíñòâîòî f (x) ≥ −2 ïðè a = 6 . á) Äà ñå íàìåðè ãðàíèöàòà
lim ( m(a) + 4 log5 (a + 1) ) , a→+∞ êúäåòî m(a) å íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà f (x) . Äàäåí å òðàïåö ABCD . Ãîëÿìàòà îñíîâà AB å äèàìåòúð íà îêðúæíîñò, êîÿòî ñå äîïèðà äî îñíîâàòà CD è ïðåñè÷à áåäðàòà Çàäà÷à 2.
BM AL = =k. MC LD à) Äà ñå äîêàæå, ÷å òðàïåöúò å ðàâíîáåäðåí. á) Àêî ϕ =< ) BAD , äà ñå èçðàçè cos 2ϕ êàòî ôóíêöèÿ íà k . AD è BC ñúîòâåòíî â òî÷êè L è M , êàòî
Äàäåíà å ïðàâèëíà ïðåñå÷åíà ÷åòèðèúãúëíà ïèðàìèäà ABCDA1 B1 C1 D1 ñ âèñî÷èíà h . Îêîëíèÿò è ðúá ñêëþ÷âà ñ ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà úãúë α , à òåëåñíèÿò è äèàãîíàë ñêëþ÷âà ñúñ ñúùàòà ðàâíèíà úãúë β . Ïðåêàðàíà å ðàâíèíà ïðåç òåëåñíèÿ äèàãîíàë AC1 , óñïîðåäíà íà BD . à) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà ïîëó÷åíîòî ñå÷åíèå. á) Ïðè α = 2β , äà ñå îïðåäåëè îòíîøåíèåòî íà îáåìèòå, íà êîèòî ñå÷åíèåòî ðàçäåëÿ ïèðàìèäàòà. Çàäà÷à 3.
5
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 1996 ãîäèíà Ïðè êàêâè ñòîéíîñòè íà ðåàëíèÿ ïàðàìåòúð m ôóíêöèÿòà f , îïðåäåëåíà îò èçðàçà Çàäà÷à 1.
f (x) = 2x3 − 3(3m − 1)x2 + 6mx − m2 å ðàñòÿùà â èíòåðâàëà (1, +∞) ?  òðàïåö ABCD ñ ïðàâè úãëè ïðè âúðõîâåòå A è B è BC < AD å âïèñàíà îêðúæíîñò, êîÿòî ñå äîïèðà äî ñòðàíàòà CD â òî÷êà T . Ïðàâàòà AT ïðåñè÷à ïðîäúëæåíèåòî íà ñòðàíàòà BC â òî÷êà F òàêà, ÷å çà ëèöàòà SADT è SCT F íà òðèúãúëíèöèòå ADT è CT F å èçïúëíåíî SADT = k 2 SCT F . à) Íàìåðåòå îòíîøåíèåòî íà ñòðàíèòå AD è BC . → − −→ −−→ −→ −−→ → á) Èçðàçåòå âåêòîðèòå AT è DC ÷ðåç âåêòîðèòå AB = − a è AD = b , àêî k = 4 . Çàäà÷à 2.
Äàäåíà å ïðàâèëíà ÷åòèðèúãúëíà ïèðàìèäà ABCDS ñ îñíîâà ABCD , îñíîâåí ðúá a = AB è îêîëåí ðúá b = AS . Ïðåç òî÷êà L îò äèàãîíàëà AC íà îñíîâàòà ( 0 ≤ AL ≤ AC ) å ïðåêàðàíà ðàâíèíà, óñïîðåäíà íà AS è BD à) Íàìåðåòå ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî S êàòî ôóíêöèÿ íà x = AL . á) Èçñëåäâàéòå ôóíêöèÿòà îò ïîäòî÷êà à) ïðè a = 5 è b = 8 . â) Çà êîè ñòîéíîñòè íà x â ñå÷åíèåòî ìîæå äà ñå âïèøå îêðúæíîñò? Çàäà÷à 3.
6
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 1997 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíî å íåðàâåíñòâîòî
x log 1 p 4 − x2 > 3 + 2 log2 p 2 2
êúäåòî p å ïàðàìåòúð, à x ïðîìåíëèâà. à) Ðåøåòå íåðàâåíñòâîòî ïðè p = −4 . á) Çà êîè ñòîéíîñòè íà ïàðàìåòúðà p íåðàâåíñòâîòî èìà ïîíå åäíî ðåøåíèå? â) Ïðåñìåòíåòå ãðàíèöàòà
lim p→−∞
p
p2
−p+1+p
.
Òðèúãúëíèêúò ABC èìà ñòðàíè AB = 5 , BC = 4 è CA = 3 . Òî÷êàòà D ëåæè íà ñòðàíàòà AB . à) Àêî < ) ACD = ψ , ïðåñìåòíåòå ðàäèóñèòå rA è rB íà îêðúæíîñòèòå, êîèòî ñà âïèñàíè ñúîòâåòíî â òðèúãúëíèöèòå ADC è BDC êàòî ôóíêÇàäà÷à 2.
ψ . 2 á) Íàìåðåòå íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà ïðîèçâåäåíèåòî rA rB . öèè íà cotg
Ïèðàìèäàòà QABCD èìà çà îñíîâà êâàäðàòà ABCD ñúñ ñòðàíà a . Ðàâíèíàòà íà îêîëíàòà ñòåíà QAD å ïåðïåíäèêóëÿðíà íà ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà. Îêîëíèòå ðúáîâå QA è QD ñà ðàâíè, à äâóñòåííèÿò úãúë ïðè ðúáà BC å ðàâåí íà ϕ . à) Íàìåðåòå ðàäèóñà R1 íà îïèñàíàòà îêðúæíîñò îêîëî 4QAD . á) Äîêàæåòå, ÷å îêîëî ïèðàìèäàòà ìîæå äà ñå îïèøå ñôåðà è ïðåñìåòíåòå íåéíèÿ ðàäèóñ R . â) Äà ñå íàìåðè tg ϕ , êîãàòî öåíòúðúò O íà ñôåðàòà ëåæè âúðõó îñíîâàòà ABCD . Äîêàæåòå, ÷å O íå ìîæå äà ëåæè â ðàâíèíàòà QBC . Çàäà÷à 3.
7
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 1998 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å ôóíêöèÿòà
8(x3 + x) f (x) = . (2x + 1)3 à) Ïðåñìåòíåòå lim f (x) .
x→+∞
1 16 á) Äîêàæåòå, ÷å àêî x ∈ , +∞ , òî ≤ f (x) < 1 . 3 27 â) Çà êîè ñòîéíîñòè íà ïàðàìåòúðà c óðàâíåíèåòî f (x) = c èìà òî÷íî 1 äâå ðàçëè÷íè ðåøåíèÿ, ïðèíàäëåæàùè íà èíòåðâàëà , +∞ ? 3  òðèúãúëíèêà ABC òî÷êàòà D ïðèíàäëåæè íà ñòðàíàòà BC , êàòî BD = k BC ( 0 < k < 1 ) , à òî÷êàòà E ïðèíàäëåæè íà ñòðàíàòà AC è ED å óñïîðåäíà íà AB . à) Äà ñå ïðåñìåòíå îòíîøåíèåòî íà ëèöàòà íà òðèúãúëíèöèòå ABD è EDC . á) Çà êîÿ ñòîéíîñò íà k ïðîèçâåäåíèåòî íà ëèöàòà íà òðèúãúëíèöèòå ABD è EDC å íàé-ãîëÿìî? −−→ −→ −→ 1 â) Íåêà k = . Äà ñå èçðàçè âåêòîðúò AD ÷ðåç âåêòîðèòå AB è AC è, 3 àêî √ AC = 2 AB , äà ñå íàìåðè < ) BAC òàêà, ÷å AD äà å âèñî÷èíà â 4ABC . Çàäà÷à 2.
Îñíîâàòà ABC íà ïðèçìàòà ABCA1 B1 C1 å ðàâíîáåäðåí ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ñ êàòåòè AB = BC = b . Îðòîãîíàëíàòà ïðîåêöèÿ íà âúðõà B1 â ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà å ñðåäàòà íà AC . Ïðåç ñðåäèòå M è N íà AB è BC è ïðåç òî÷êà P , ëåæàùà âúðõó ïðîäúëæåíèåòî íà ðúáà BB1 ( B å ìåæäó B1 è P ) å ïîñòðîåíà ðàâíèíà λ . Àêî Çàäà÷à 3.
b , ïðåñìåòíåòå: 2 à) ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî íà ðàâíèíàòà λ ñ ïðèçìàòà ABCA1 B1 C1 ; á) îòíîøåíèåòî íà îáåìèòå íà òåëàòà, íà êîèòî λ ðàçäåëÿ ïðèçìàòà; â) òàíãåíñà íà úãúëà ìåæäó ïðàâàòà P M è ðàâíèíàòà ABC . BB1 = b è BP =
8
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 1999 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíî å óðàâíåíèåòî
√ 1 + sin 2x − 2 2 b (sin x + cos x) − 6 b2 = 0 , êúäåòî b å ïàðàìåòúð. π à) Çà êîè ñòîéíîñòè íà b òîâà óðàâíåíèå èìà êîðåí, ðàâåí íà ?
√
4
2 . 2 â) h Çàπêîè i ñòîéíîñòè íà b óðàâíåíèåòî èìà ïîíå åäíî ðåøåíèå â èíòåðâàëà 0, ? 3
á) Ðåøåòå óðàâíåíèåòî, àêî b =
Âúðõó ñòðàíèòå AB , BC , CD è DA íà ðàâíîáåäðåí òðàïåö ABCD ( AD = BC ) ñà âçåòè ñúîòâåòíî òî÷êèòå M , N , P è Q òàêà, ÷å ÷åòèðèúãúëíèêúò M N P Q å êâàäðàò. Äà ñå äîêàæå, ÷å: à) AQ = CN ; á) ïðåñå÷íàòà òî÷êà íà äèàãîíàëèòå íà M N P Q ëåæè âúðõó ñðåäíàòà îòñå÷êà íà òðàïåöà; â) àêî S1 è S2 ñà ñúîòâåòíî ëèöàòà íà òðàïåöà è êâàäðàòà, à α å úãúëúò AM Q , òî S1 = (1 + sin 2α) S2 . Çàäà÷à 2.
Äàäåíà å ïðàâèëíà òðèúãúëíà ïðèçìà ABCA1 B1 C1 , íà êîÿòî âñè÷êè ðúáîâå ñà ðàâíè. Âúðõó îêîëíèÿ ðúá BB1 å âçåòà òî÷êà Çàäà÷à 3.
BM = λ ( 0 ≤ λ ≤ 1 ) . Ïðåç A , M è C1 å ïðåêàðàíà BB1 ðàâíèíà, êîÿòî äåëè ïðèçìàòà íà ìíîãîñòåíèòå ñ âúðõîâå AM A1 B1 C1 è ABCM C1 , êîèòî èìàò îáåìè ñúîòâåòíî V1 è V2 . à) Èìà ëè ñòîéíîñò íà λ , çà êîÿòî å èçïúëíåíî ðàâåíñòâîòî V1 = V2 ? V1 á) Èçðàçåòå êàòî ôóíêöèÿ íà λ è íàìåðåòå íàé-ãîëÿìàòà è íàéV2 ìàëêàòà ñòîéíîñòè íà òàçè ôóíêöèÿ. â) Íåêà ϕ å äâóñòåííèÿò úãúë ìåæäó ðàâíèíèòå AM C1 è ABC . Èçðàπ çåòå tg ϕ ïîñðåäñòâîì λ è äîêàæåòå, ÷å ϕ ≥ . 4 M òàêà, ÷å
9
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 2000 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíè ñà ôóíêöèèòå
f (x) = log √1
5
6x+ 1 − 36x
,
g(x) = x +
p , x
êúäåòî p > 0 å ðåàëåí ïàðàìåòúð. à) Äà ñå ðåøè íåðàâåíñòâîòî f (x) ≥ −2 . á) Äà ñå íàìåðè íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà ôóíêöèÿòà g(x) â èíòåðâàëà ( −∞, 0 ) . â) Äà ñå äîêàæå, ÷å ïðè p ≥ 1 íåðàâåíñòâîòî f (x) > g(x) å èçïúëíåíî çà âñÿêî x<0. Òðèúãúëíèêúò ABC ñ úãëè β è γ ñúîòâåòíî ïðè âúðõîâåòå B è C å îïèñàí îêîëî îêðúæíîñò k ñ ðàäèóñ r . à) Ïðåñìåòíåòå ñòðàíàòà BC . á) Òðèúãúëíèêúò A1B1C1 å âïèñàí â îêðúæíîñòòà k è å ïîäîáåí íà òðèúãúëíèêà ABC , êàòî Çàäà÷à 2.
AB BC CA = = = λ. A1 B1 B1 C1 C1 A1
Íåêà <) BAC = 60◦ . Èçðàçåòå cos (β − 60◦) êàòî ôóíêöèÿ íà λ . â) Ïðè óñëîâèÿòà îò çàäàíèå á) äîêàæåòå, ÷å λ ≥ 2 . Çà êîè ñòîéíîñòè íà λ òðèúãúëíèêúò ABC å òúïîúãúëåí? Îñíîâàòà ABC íà ïèðàìèäàòà ABCS å ðàâíîñòðàíåí òðèúãúëíèê, êàòî îðòîãîíàëíàòà ïðîåêöèÿ O íà âúðõà S â ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà ëåæè íà âèñî÷èíàòà êúì ñòðàíàòà AB íà òðèúãúëíèêà ABC . Îêîëíàòà ñòåíà SAB è ðúáúò SC ñêëþ÷âàò ñ îñíîâàòà îñòúð úãúë α . Ïðåç âúðõà C óñïîðåäíî íà AB å ïðåêàðàíà ðàâíèíà ρ , êîÿòî ïðåñè÷à ðúáîâåòå SA è SB ñúîòâåòíî â òî÷êèòå M è N , êàòî MA = k, 0 < k < 1 . AB à) Äîêàæåòå, ÷å ðàâíèíàòà ρ äåëè âèñî÷èíàòà SO â îòíîøåíèå 1 2k , ñ÷èòàíî îò −k âúðõà S . á) Äîêàæåòå, ÷å àêî úãúëúò ìåæäó ðàâíèíèòå ρ è ABC å β , òî tg β = 11 −+ kk tg α . â) Íàìåðåòå úãúëà ìåæäó√ðàâíèíàòà ρ è ïðàâàòà BC , àêî ðàâíèíàòà ρ ðàçïîëîâÿâà âèñî÷èíàòà SO è tg α = 2 . Çàäà÷à 3.
10
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 2001 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å ôóíêöèÿòà f (x) =
à) Ðåøåòå óðàâíåíèåòî f (x) = 2 á) Äîêàæåòå, ÷å
√
π . 4 π . x+ 4
sin
3 cos
sin 2x x+
√ (cos x − sin x) (1 + sin x cos x) . 2 sin 2 x + π4 â) Íàìåðåòå çà êîè ñòîéíîñòè h π i íà ðåàëíèÿ ïàðàìåòúð a óðàâíåíèåòî f (x) = a ðåøåíèå â èíòåðâàëà 0, 2 . f 0 (x) =
èìà
 îñòðîúãúëíèÿ òðèúãúëíèê ABC úãúë <) ACB èìà ìÿðêà γ . Îêðúæíîñòèòå k1 è k2 , ñ öåíòðîâå O1 è O2 ñúîòâåòíî, ìèíàâàò ïðåç òî÷êà C . Îêðúæíîñòòà k1 ñå äîïèðà äî AB â òî÷êà A , à îêðúæíîñòòà k2 ñå äîïèðà äî AB â òî÷êà B. à) Äîêàæåòå, ÷å <) O1CO2 = 2γ . á) Èçðàçåòå îòñå÷êàòà O1O2 è ñòðàíàòà AB ÷ðåç úãúëà γ è ðàäèóñèòå r1 è r2 íà îêðúæíîñòèòå k1 è k2 . â) Àêî úãëèòå <) BAC , <) ABC è γ îáðàçóâàò àðèòìåòè÷íà ïðîãðåñèÿ â óêàçàíèÿ ðåä, èçðàçåòå îòíîøåíèåòî λ = rr1 ÷ðåç γ è äîêàæåòå, ÷å λ > 34 . Çàäà÷à 2.
2
Äàäåíà å ïèðàìèäàòà SABCD ñ âðúõ S è ñ îñíîâà ïðàâîúãúëíèÿò òðàïåö ABCD , â êîéòî ïðàâèòå úãëè ñà ïðè âúðõîâåòå A è B , ñòðàíàòà AD å óñïîðåäíà íà BC è AD > BC . Âèñî÷èíàòà CS íà ïèðàìèäàòà å 3 ñì. Úãúëúò ìåæäó ñòåíàòà ABS è îñíîâàòà ABCD å ðàâåí íà úãúëà ìåæäó √ ðúáà SD è îñíîâàòà ) SBD √ . ABCD . Èçâåñòíî å îùå, ÷å BS = 5 ñì è 5 sin < ) BSD = 4 3 sin < à) Äà ñå äîêàæå, ÷å òðèúãúëíèöèòå DCS è BCS ñà åäíàêâè è ÷å BD = 4 3 ñì. á) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî íà ïèðàìèäàòà ñ ðàâíèíà, êîÿòî ìèíàâà ïðåç BS è å óñïîðåäíà íà CD . â) Äà ñå íàìåðÿò êîñèíóñúò íà úãúëà è ðàçñòîÿíèåòî ìåæäó êðúñòîñàíèòå ïðàâè BS è CD . Çàäà÷à 3.
11
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2002 ãîäèíà
a
cos 2x , Äàäåíî å óðàâíåíèåòî cos 6 x − sin 6 x = 8 êúäåòî a å ïàðàìåòúð. à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî çà a = 8 . á) Çà êîè ñòîéíîñòè íà a óðàâíåíèåòî èìà ðåøåíèå â èíòåðâàëà Çàäà÷à 1.
π π − , 8 8
?
 òðèúãúëíèêà ABC ðàäèóñúò íà âïèñàíàòà îêðúæíîñò å r , à úãëèòå ïðè âúðõîâåòå A è B ñà ñúîòâåòíî 45◦ è 60◦ . Âïèñàíàòà îêðúæíîñò ñå äîïèðà äî AC è BC ñúîòâåòíî â òî÷êè M è N è ïðåñè÷à úãëîïîëîâÿùàòà BD â òî÷êè P è Q . à) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà 4P QN . á) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà 4P QM . Çàäà÷à 2.
Îñíîâàòà íà ïèðàìèäà å ðîìá ñúñ ñòðàíà a. Âèñî÷èíèòå íà äâå ñðåùóëåæàùè îêîëíè ñòåíè, ñïóñíàòè îò âúðõà íà ïèðàìèäàòà èìàò äúëæèíà h. à) Äà ñå íàìåðè úãúëúò ìåæäó òåçè îêîëíè ñòåíè, àêî âèñî÷èíàòà íà √ îñíîâàòà å h 2 . á) Êàêúâ íàé-ãîëÿì îáåì ìîæå äà èìà òàêàâà ïèðàìèäàòà? Çàäà÷à 3.
12
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2002 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å ôóíêöèÿòà 2 2log3 (x − 2x + 2) f (x) = 2 2 . log (2x − x − 2) 3 1+2
1 çà âñÿêî x . 2 á) Äà ñå íàìåðÿò ñòîéíîñòèòå íà ïàðàìåòúðà a , çà êîèòî óðàâíåíèåòî 4 (f (x))2 − 2a f (x) + a2 + 2a = 0 èìà ðåøåíèå. 1 π . â) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî f (x) = 2 sin x 2 à) Äà ñå äîêàæå, ÷å 0 < f (x) ≤
Ïðåç òî÷êàòà O , âúíøíà çà îêðúæíîñòòà k , ñà ïðåêàðàíè äîïèðàòåëíèòå OT1 è OT2 êúì k . Ïðåç T2 å ïðåêàðàíà ïðàâà T2 F k OT1 , F ∈ k . Íåêà OF ïðåñè÷à k â òî÷êàòà E , à T2 E ïðåñè÷à OT1 â òî÷êàòà M . à) Äà ñå äîêàæå, ÷å M å ñðåäà íà OT1 . √ á) Àêî M E = 4 , ET2 = 12 è T1 T2 = 8 6 äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà 4T1 OT2 . Çàäà÷à 2.
Äàäåí å êóá ABCDA1 B1 C1 D1 . Òî÷êèòå M è N ñà ñðåäè ñúîòâåòíî íà B1 C1 è D1 C1 . Ïðåç òî÷êèòå A, C , M è N å ïîñòðîåíà ñôåðà. à) Äà ñå äîêàæå, ÷å öåíòúðúò íà ñôåðàòà ëåæè íà îòñå÷êàòà, ñúåäèíÿâàùà öåíòðîâåòå íà ñòåíèòå ABCD è A1 B1 C1 D1 . á) Àêî ðúáúò íà êóáà å a , äà ñå ïðåñìåòíå ðàäèóñúò íà ñôåðàòà. Çàäà÷à 3.
13
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 2002 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å óðàâíåíèåòî
2x + a 2|x| − 1 = a + 2 1 . 2 á) Íàìåðåòå ðåøåíèÿòà íà óðàâíåíèåòî â çàâèñèìîñò îò a . â) Èçðàçåòå a êàòî ôóíêöèÿ íà x è çà òàêà íàìåðåíîòî a = a(x) ïðåñìåòíåòå ãðàíèöàòà lim a(x) . à) Ðåøåòå óðàâíåíèåòî ïðè a =
x→−∞
Äàäåí å ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ABC ñ ïðàâ úãúë ïðè âúðõà C è < ) ABC = β . Îêðúæíîñò ñ ðàäèóñ r è öåíòúð ëåæàù íà îòñå÷êàòà BC ñå äîïèðà äî AB è AC . à) Ïðåñìåòíåòå êàòåòèòå íà 4ABC . 2 2 (sin β + 1) á) Äîêàæåòå, ÷å ëèöåòî íà 4ABC å ðàâíî íà r . sin 2β â) Ïðè çàäàäåíî r çà êîÿ ñòîéíîñò íà β ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà ABC å íàé-ìàëêî? Çàäà÷à 2.
Âñè÷êè ðúáîâå íà ïðàâèëíà òðèúãúëíà ïèðàìèäà ABCD ñà ðàâíè íà 4b . Òî÷êèòå E è M ñà ñúîòâåòíî ñðåäè íà AB è BC . Ïðåç òî÷êàòà M å ïîñòðîåíà ðàâíèíà λ , óñïîðåäíà íà ïðàâèòå CE è BD . à) Äîêàæåòå, ÷å ñå÷åíèåòî íà λ ñ ïèðàìèäàòà å òðàïåö è íàìåðåòå ñòðàíèòå è ëèöåòî ìó. á) Íåêà λ ïðåñè÷à ðúáà CD â òî÷êàòà N . Îïðåäåëåòå ðàçñòîÿíèåòî îò N äî ðàâíèíàòà (ABC) . â) Íàìåðåòå ðàçñòîÿíèåòî îò òî÷êàòà C äî ðàâíèíàòà λ . Çàäà÷à 3.
14
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2003 ãîäèíà
a2 . Çàäà÷à 1. Íåêà a > 0 , a 6= 1 è f (x) = 2ax − x2 à) Äà ñå íàìåðè äåôèíèöèîííîòî ìíîæåñòâî íà ôóíêöèÿòà loga f (x) . á) Äà ñå íàìåðè íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà ôóíêöèÿòà f (x) â èíòåðâàëà ( 0, 2a ) . πx â) Àêî a < 1 , äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî loga f (x) = 1 − sin . 2a  òðèúãúëíèêà ABC , çà êîéòî AB < AC , âúðõó ïðàâàòà BC ñà èçáðàíè òî÷êèòå Ha , La è Ma òàêèâà, ÷å AHa , ALa è AMa ñà ñúîòâåòíî âèñî÷èíà, úãëîïîëîâÿùà è ìåäèàíà. à) Äà ñå èçðàçÿò äúëæèíèòå íà îòñå÷êèòå Ha La è Ha Ma ÷ðåç ñòðàíèòå íà òðèúãúëíèêà ABC . á) Íåêà I å öåíòúðà íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò √ è AI : ILa = 2 . Äà ñå äîêàæå, ÷å ALa å ìåäèàíà çà òðèúãúëíèêà Ha AMa . Çàäà÷à 2.
la4 m2a − h2a · 2 = 4R 2 , 2 2 ha la − ha êúäåòî ha = AHa , la = ALa , ma = AMa , à R å ðàäèóñà íà îïèñàíàòà îêîëî òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò. â) Äà ñå äîêàæå, ÷å
Ñôåðà ñå äîïèðà äî âñè÷êè ðúáîâå íà ïèðàìèäàòà ABCS . Ðàäèóñúò è å ðàâåí íà r , à öåíòúðúò √ è O ëåæè âúòðå â ïèðàìèäàòà âúðõó âèñî÷èíàòà è SL , êàòî OS = r 3 . à) Äà ñå äîêàæå, ÷å AL = CL . á) Äà ñå äîêàæå, ÷å òðèúãúëíèêúò ABC å ðàâíîñòðàíåí. â) Äà ñå íàìåðè äúëæèíàòà íà âèñî÷èíàòà h = SL . Çàäà÷à 3.
15
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2003 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å ðåäèöàòà
v q u u 1 − 1 − a2 t n−1 1 a1 = , a n = , n = 2, 3, 4, ... 2 2 à) Äà ÷å âñÿêî åñòåñòâåíî ÷èñëî n ñúùåñòâóâà úãúë ñåπäîêàæå, αn ∈ 0 , òàêà, ÷å an = sin αn . Äà ñå èçðàçè αn ÷ðåç n .
2
á) Äà ñå äîêàæå, ÷å ðåäèöàòà an å íàìàëÿâàùà è äà ñå íàìåðè lim an 2n .
n→∞
â) Äà ñå äîêàæå, ÷å α1 + α2 + · · · + αn <
π , çà âñÿêî n . 3
 òðèúãúëíèêà ABC òî÷êàòà H å îðòîöåíòúð, < ) ACB = γ , à R å ðàäèóñà íà îïèñàíàòà îêðúæíîñò. à) Äà ñå èçðàçè CH ÷ðåç γ è R . á) Äà ñå äîêàæå, ÷å AH 2 +BC 2 = BH 2 +AC 2 = CH 2 +AB 2 = 4R 2 . â) Äà ñå äîêàæå, ÷å T M = R , êúäåòî T è M ñà ñðåäèòå ñúîòâåòíî íà CH è AB . Çàäà÷à 2.
Îñíîâàòà íà òðèúãúëíà ïðèçìà å ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ñ õèïîòåíóçà c è îñòúð úãúë α . Îêîëíàòà ñòåíà, ñúäúðæàùà õèïîòåíóçàòà, å ïåðïåíäèêóëÿðíà íà ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà, à îêîëíàòà ñòåíà, ìèíàâàùà ïðåç ïðèëåæàùèÿ íà úãúë α êàòåò, ñêëþ÷âà ñ îñíîâàòà íà ïðèçìàòà úãúë β . à) Äà ñå íàìåðè òàíãåíñúò íà úãúëà ìåæäó òðåòàòà îêîëíà ñòåíà íà ïðèçìàòà è îñíîâàòà è . á) Äà ñå ñå íàìåðè îáåìúò íà ïðèçìàòà, àêî îêîëíèÿò è ðúá å ðàâåí íà b . Çàäà÷à 3.
16
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2003 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å ôóíêöèÿòà
f (x) = (1 + |a|) x 2 − 2 (a + 3) x + |a| − 1 , êúäåòî a å ðåàëåí ïàðàìåòúð. à) Çà êîè ñòîéíîñòè íà a íåðàâåíñòâîòî f (x) < 0 èìà ðåøåíèå? á) Çà êîè ñòîéíîñòè íà a ðåøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî f (x) < 0 îáðàçóâàò èíòåðâàë ñ ìàêñèìàëíà äúëæèíà? â) Äà ñå íàìåðè lim (x2 − x1 ), êúäåòî x1 è x2 ñà êîðåíèòå íà óðàâ-
a→+∞ íåíèåòî f (x) = 0 è x1 < x2 .
Îêðúæíîñòòà ñ äèàìåòúð BC ñå äîïèðà äî âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò. à) Äà ñå äîêàæå, ÷å ar = (p − b) (p − c) , êúäåòî AB = c , BC = a , CA = b , p å ïîëóïåðèìåòúðà, à r ðàäèóñà íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò. á) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà ABC ïî äàäåíè BC = a è r ðàäèóñ íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò. â) Àêî è îêðúæíîñòòà ñ äèàìåòúð AB ñå äîïèðà äî âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò, äà ñå äîêàæå, ÷å BC = AB . Çàäà÷à 2.
Äàäåíà å ïðàâèëíà ÷åòèðèúãúëíà ABCDS ñ âðúõ S . Òî÷êàòà M ëåæè íà ïðàâàòà BC , êàòî B å ìåæäó M è C , è Çàäà÷à 3.
1 M B = BC . Ïðåç M è ñðåäèòå íà ðúáîâåòå AB è CS å ïðåêàðàíà 2 ðàâíèíà. Â êàêâî îòíîøåíèå òàçè ðàâíèíà äåëè îáåìà íà ïèðàìèäàòà?
17
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2003 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å óðàâíåíèåòî sin 2 x + 2 cos 3 x − a = 0 ,
êúäåòî a å ðåàëåí ïàðàìåòúð. à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî ïðè a = 1 . á) Çà êîè ñòîéíîñòè íà a óðàâíåíèåòî èìà ðåøåíèå? Âúðõó ñòðàíèòå AB , BC è CA íà òðèúãúëíèê ABC ñà âçåòè ñúîòâåòíî òî÷êèòå M , N è P òàêà, ÷å ÷åòèðèúãúëíèêúò M N CP å óñïîðåäíèê. à) Äà ñå íàìåðè íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà îòíîøåíèåòî íà ëèöàòà íà ÷åòèðèúãúëíèêà M N CP è íà òðèúãúëíèêà ABC . á) Äà ñå íàìåðè íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà CM 2 + P N 2 , àêî AC = b è BC = a . Çàäà÷à 2.
Äàäåí å êóáúò ABCDA1 B1 C1 D1 ñ ðúá a . Íåêà òî÷êèòå M , N è P äåëÿò ðúáîâåòå AB , AD è DD1 ñúîòâåòíî â îòíîøåíèÿ 1 : 1 , 2 : 1 è 1 : 4. à) Äà ñå äîêàæå, ÷å òî÷êàòà C1 ëåæè â ðàâíèíàòà M N P . á) Äà ñå íàìåðè úãúëúò ìåæäó ðàâíèíèòå ABC è M N P . â) Äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî íà êóáà ñ ðàâíèíàòà M N P . Çàäà÷à 3.
18
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ 2003 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å ôóíêöèÿòà f (x) = lg2 x − 2 (a + 1) lg x + 2a ,
êúäåòî a å ðåàëåí ïàðàìåòúð. à) Ðåøåòå íåðàâåíñòâîòî f (x) ≤ 0 ïðè a = 34 . á) Äîêàæåòå, ÷å çà âñÿêî a óðàâíåíèåòî f (x) = 0 èìà äâà ðàçëè÷íè êîðåíà x1 è x2 . Ïðåäñòàâåòå êàòî ôóíêöèÿ íà a èçðàçà F (a) =
x1 x2 . 1 + 100 x21 x22
â) Äîêàæåòå, ÷å F (a) ≤ 201 è íàìåðåòå çà êîè ñòîéíîñòè íà a ñå äîñòèãà ðàâåíñòâî. Äàäåí å òðàïåöúò ABCD ñ îñíîâè AB è CD è áåäðà AD è BC , ïðè êîåòî AB = 3 è CD = 1 . Òî÷êàòà M å îò áåäðîòî BC è M 6= C . Ïðåç òî÷êèòå D è M å ïðåêàðàíà ïðàâà, êîÿòî ïðåñè÷à äèàãîíàëà AC â òî÷êà P è ïðîäúëæåíèåòî AP = λ. íà îñíîâàòà AB â òî÷êà Q . Íåêà CP à) Äîêàæåòå, ÷å λ ≥ 3 è ÷å BQ = λ − 3 . á) Íåêà k(λ) å îòíîøåíèåòî îò ëèöàòà íà òðèúãúëíèê P M C è òðèúãúëíèê SP M C ABC = k(λ) . Äîêàæåòå, ÷å S Çàäà÷à 2.
ABC
k(λ) =
1 . (λ + 1) (λ − 2)
â) Íàìåðåòå çà êîè ñòîéíîñòè íà λ å èçïúëíåíî SP M C 1 = . SBQM 3
Äàäåí å êóá ABCDA1B1C1D1 ñ ðúá a . Ïðåç âúðõà B , ñðåäàòà M íà ðúáà AD è ñðåäàòà N íà ðúáà CC1 å ïðåêàðàíà ðàâíèíà λ , êîÿòî ïðåñè÷à ðúáà DD1 â òî÷êà P . à) Íàìåðåòå ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî BN P M íà ðàâíèíàòà λ è êóáà. á) Íàìåðåòå úãúëà ìåæäó ïðàâèòå B1D1 è M P . â) Íàìåðåòå ðàçñòîÿíèåòî îò òî÷êà C äî ðàâíèíàòà λ . Çàäà÷à 3.
19
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2004 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
3
q
Äàäåíî å óðàâíåíèåòî
(ax + b)
2
+
3
q
(ax − b) 2 +
p 3 3 a 2x 2 − b 2 = √ b .
à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî ïðè b = 1 . á) Äà ñå íàìåðè çà êîè ñòîéíîñòè íà ïàðàìåòðèòå a è b óðàâíåíèåòî èìà åäèíñòâåíî ðåøåíèå. Çàäà÷à 2.
Ïðè ñòàíäàðòíèòå îçíà÷åíèÿ, çà òðèúãúëíèêà ABC å
èçâåñòíî, ÷å
√ α β γ 4 3 cos cos cos = cos α + cos β + cos γ . 2 2 2 Äà ñå äîêàæå, ÷å √ α β γ à) p 3 = R 1 + 4 sin sin + sin ;
2 2 2 ◦ á) sin(α − 30 ) + sin(β − 30 ) + sin(γ − 30◦ ) = 0 ; â) àêî γ å íàé-ãîëåìèÿ úãúë, òî γ > 120◦ . ◦
Çàäà÷à 3.
 ñôåðà ñ ðàäèóñ R å âïèñàíà ïèðàìèäà ABCDF ñ √
3 AB è 2 ◦ < ) ABC = 75 . Îêîëíàòà ñòåíà ABF å ðàâíîáåäðåí òðèúãúëíèê (AF = BF ) è å ïåðïåíäèêóëÿðíà íà îñíîâàòà. à) Äà ñå äîêàæå, ÷å öåíòúðúò O íà ñôåðàòà ëåæè íà F H , êúäåòî H å ñðåäàòà íà AB . á) Àêî âèñî÷èíàòà íà ïèðàìèäàòà å h , äà ñå äîêàæå, ÷å îáåìúò è å √ 2+ 3 2Rh − h 2 h . ðàâåí íà 12 â) Èçìåæäó âñè÷êè òàêèâà ïèðàìèäè äà ñå íàìåðè âèñî÷èíàòà íà îíàçè ñ íàé-ãîëÿì îáåì.
îñíîâà òðàïåö ABCD (AB k CD) , çà êîéòî CD =
20
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2004 ãîäèíà Äàäåíè ñà ïàðàáîëèòå ñ óðàâíåíèÿ y = x 2 + 1 è y = kx 2 − akx , êúäåòî k < 0 è a > 0 ñà ïàðàìåòðè. à) Äà ñå íàìåðÿò íåîáõîäèìè è äîñòàòú÷íè óñëîâèÿ, èçðàçåíè ÷ðåç ïàðàìåòðèòå, äâåòå ïàðàáîëè äà èìàò òî÷íî äâå îáùè òî÷êè. á) Äà ñå èçðàçè a êàòî ôóíêöèÿ íà k ïðè óñëîâèå, ÷å äâåòå ïàðàáîëè äà èìàò òî÷íî åäíà îáùà òî÷êà M (xM , yM ) è äà ñå íàìåðÿò êîîðäèíàòèòå xM è yM íà òàçè òî÷êà êàòî ôóíêöèè íà k . â) Äà ñå èçðàçè êàòî ôóíêöèÿ íà k ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà, ÷èèòî ñòðàíè ñà âúðõó ïðàâèòå: 1) îñòà Ox ; 2) ïðàâàòà ïðåç M , óñïîðåäíà íà îñòà Oy ; 3) äîïèðàòåëíàòà êúì âòîðàòà ïàðàáîëà â òî÷êàòà M . Çàäà÷à 1.
Íåêà R è h ñà ñúîòâåòíî ðàäèóñúò íà îïèñàíàòà îêðúæíîñò è âèñî÷èíàòà êúì îñíîâàòà íà ðàâíîáåäðåíèÿ òðèúãúëíèê ABC (AC = BC) , à d å ñóìàòà íà ðàçñòîÿíèÿòà îò öåíòúðà íà îïèñàíàòà Çàäà÷à 2.
îêðúæíîñò äî ñòðàíèòå íà òðèúãúëíèêà. Îçíà÷àâàìå x = à) Äà ñå èçðàçè cos γ (γ =< ) ACB) ÷ðåç x .
h . R
d êàòî ôóíêöèÿ íà x . R â) Äà ñå íàìåðÿò úãëèòå íà òðèúãúëíèêà ABC çà îíåçè ñòîéíîñòè íà d èìà ëîêàëåí åêñòðåìóì. x , çà êîèòî R á) Äà ñå èçðàçè
Çàäà÷à 3.
 êóáà ABCDA1 B1 C1 D1 ñ ðúá å âçåòà òî÷êà M îò
CM = k çà k ∈ [ 0 , 1 ] . Ïðåç òåëåñíèÿ äèàãîíàë AC1 è CB1 òî÷êàòà M å ïðåêàðàíà ðàâíèíà γ . à) Äà ñå îïðåäåëè âèäúò íà ñå÷åíèåòî íà êóáà ñ γ è äà ñå íàìåðÿò îíåçè k , çà êîèòî ñå÷åíèåòî å ðîìá. á)  ñëó÷àé, ÷å ñå÷åíèåòî å ðîìá, äà ñå íàìåðè ëèöåòî ìó è úãúëúò ìåæäó ðàâíèíèòå γ è ABCD . â) Äà ñå èçðàçè ëèöåòî íà ñå÷åíèåòî ÷ðåç k . CB1 , çà êîÿòî
21
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2004 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å ôóíêöèÿòà f (x) = tg x cotg
x x + cotg x tg . 2 2
10 . 3 á) Äà ñå ïðåñìåòíå ãðàíèöàòà lim f (x). x→0 â) Äà ñå íàìåðè íàé-ãîëÿìîòî ÷èñëî b , çà êîåòî íåðàâåíñòâîòî π f (x) > b å èçïúëíåíî çà âñÿêî x îò èíòåðâàëà 0 , . 2 à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî f (x) =
 òðèúãúëíèê ñ ëèöå S å âïèñàí ïðàâîúãúëíèê ñ ëèöå T (âúðõîâåòå íà ïðàâîúãúëíèêà ëåæàò íà ñòðàíèòå íà òðèúãúëíèêà, êàòî íàé-ãîëÿìàòà ñòðàíà íà òðèúãúëíèêà ñúäúðæà ñòðàíà íà ïðàâîúãúëíèêà). à) Äà ñå ïðåñìåòíàò äúëæèíèòå íà ñòðàíèòå íà òðèúãúëíèêà, àêî íàéãîëÿìàòà å ðàâíà íà c , âèñî÷èíàòà êúì íåÿ íà h è T = k 2 S (k > 0) . á) Äà ñå íàìåðè íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà îòíîøåíèåòî T : S . Çàäà÷à 2.
Äúëæèíàòà íà âñè÷êè ðúáîâå íà ïèðàìèäàòà ABCD å ðàâíà íà 12 . Âúðõó ïðàâàòà AD å âçåòà òî÷êà M òàêàâà, ÷å D å ñðåäàòà íà îòñå÷êàòà AM . Âúðõó ðúáà BD å âçåòà òî÷êà N , çà êîÿòî DN = 4 . à) Äà ñå íàìåðè êîñèíóñúò íà úãúëà ìåæäó ïðàâàòà M N è ìåäèàíàòà AL íà ñòåíàòà ABC . á) Äà ñå íàìåðè ðàçñòîÿíèåòî ìåæäó ïðàâèòå M N è AL . Çàäà÷à 3.
22
Óíèâåðñèòåò ïî Àðõèòåêòóðà, Ñòðîèòåëñòâî è Ãåîäåçèÿ Ñîôèÿ Ïðèìåðíà òåìà çà 2004 ãîäèíà Çàäà÷à 1.
Äàäåíà å óðàâíåíèåòî
q p √ a + x + 1 − a (x + 1) = x + 1 − a , êúäåòî a ≥ 0 å ðåàëåí ïàðàìåòúð. à) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî ïðè a = 1 . á) Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî ïðè âñÿêà äîïóñòèìà ñòîéíîñò íà a . â) Äà ñå äîêàæå, ÷å ðåøåíèåòî x(a) å ìîíîòîííî ðàñòÿùà ôóíêöèÿ íà a â èíòåðâàëà [ 1 , ∞ ) è äà ñå íàìåðè lim x(a) .
a→∞
Äàäåíà å îêðúæíîñò k ñ öåíòúð O è ðàäèóñ R . Ïðåç òî÷êàòà M , âúíøíà çà îêðúæíîñòòà, å ïîñòðîåíà äîïèðàòåëíà M N êúì k ñ äúëæèíà l > 0 . Ïðåç ñúùàòà òî÷êà å ïîñòðîåíà è ïðàâà, êîÿòî ïðåñè÷à k â òî÷êèòå P è Q . Íåêà < ) PNM = α . à) Äà ñå èçðàçè ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà P QN ÷ðåç l , R è α . á) Àêî l = R äà ñå îïðåäåëÿò ñòîéíîñòèòå íà tg α , çà êîèòî SP QN = SP M N . √ â) Àêî l = 3 R äà ñå îïðåäåëÿò ñòîéíîñòèòå íà sin α , çà êîèòî òðèúãúëíèêúò P QN å ïðàâîúãúëåí. Çàäà÷à 2.
Äàäåíà å ïðàâèëíà ÷åòèðèúãúëíà ïðåñå÷åíà ïèðàìèäà ABCDA1 B1 C1 D1 ñ îêîëåí ðúá, ðàâåí íà l , è úãúë ìåæäó îêîëåí ðúá è òåëåñåí äèàãîíàë ðàâåí íà 30◦ . Èçâåñòíî å, ÷å îñíîâàòà A1 B1 C1 D1 èìà ÷åòèðè ïúòè ïî-ìàëêî ëèöå îò îñíîâàòà ABCD . à) Äà ñå íàìåðè îáåìúò íà ïèðàìèäàòà. á) Äà ñå îïðåäåëè ìåñòîïîëîæåíèåòî íà öåíòúðà íà îïèñàíàòà îêîëî ïèðàìèäàòà ñôåðà è äà ñå íàìåðè ðàäèóñúò íà òàçè ñôåðà. â) Äà ñå íàìåðè êîñèíóñúò íà úãúëà ìåæäó îñíîâàòà ABCD è ðàâíèíàòà, ìèíàâàùà ïðåç âúðõà A è ñðåäèòå íà ðúáîâåòå BB1 è C1 D1 . Çàäà÷à 3.