Насретдинов_Музыкальная_математика_древних

Однако чтобы написать такие книги, одних знаний мало. Самое главное, что я нашел в работах Алексея, — его огромную любовь к каждому предмету изучения, а предметов тут хватает с избытком! Достаточно заглянуть в оглавление и наткнуться на такую жемчужину, как «Связь генетического кода, древнекитайской книги “И Цзин” и музыкального строя» — ну как тут не вспомнить «Игру в бисер» Германа Гессе! Как и каждая настоящая игра, она завлекательна и познавательна. Приправленные изрядной долей юмора, полные жизненных примеров, книги Алексея виртуозно балансируют на стыках Востока и Запада, духовного и телесного, искусства и науки.

Владимир Генин, композитор, член Союза композиторов России и Союза музыкантов Мюнхена

Музыкальная математика древних

«Физика и анатомия музыки» и «Музыкальная математика древних. Поиск гармонии», — то, чего мне всегда не хватало в нашем музыкальном образовании. О связи музыки с физикой и математикой мы слышали и читали, но глубоко в эту тему никто не вдавался. Исторические взаимоотношения между музыкальными строями разных эпох и культур также интересовали нас, но европоцентрическая высокомерность ограничивала интерес к другим культурам.

Музыкальная математика древних. Поиск гармонии

Алексей Насретдинов

Музыкальная математика древних. Поиск гармонии Издание специальное, предназначенное для «умников и зануд», с дополнительными материалами для «расслабленных и гуманитариев»

Оглавление

Глава первая

Индийский музыкальный строй. История возникновения. Современное восприятие 1.1.

Индийский музыкальный строй. История создания индийской музыки, проявленные и непроявленные звуки.........17

1.2.

Традиции обучения музыке в Индии.........23

1.3.

Отличие традиционной индийской музыки от современной европейской.........26

1.4.

Рага, основа индийской музыки.........32

1.5.

Математика индийского строя.........37

1.6.

Чакры.........44

1.7.

ОМ, АОУМ.........47

Глава вторая

Глава третья

Пифагорейский музыкальный строй

Чистый и равномерно темперированные строи

Преамбула.........51 2.1.

Пифагор.........53

2.2.

Пифагорейцы.........58

2.3.

Пифагорейская гармония.........61

2.4.

Музыка сфер.........64

2.5.

Пифагорейский строй.........67

2.6.

Таблица интервалов пифагорейского строя.........69

2.7.

Роды мелоса.........71

2.8.

Полная система.........74

2.9.

Дитон.........76

2.10.

Диеса.........76

2.11.

Пифагорова комма.........76

3.1.

Развитие пифагорейского строя. Рождение «чистого» и равномерно темперированного строя.........81

3.2.

Равномерно темперированные строи (равномерные темперации).........89

3.3.

Натуральный звукоряд.........94

Глава четвертая

Глава пятая

Китайский музыкальный строй. Система люй-люй. Строй цитры цинь Вступление.........99 4.1.

Хронологическая таблица истории Китая.........103

4.2.

Общенаучная методология Китая.........104

4.3.

Символы «Книги Перемен».........111

4.4.

История развития китайской музыки и ее значение в общем контексте культуры.........120

4.5.

Музыкальная теория. Система 12 люй.........126

4.6.

Пентатоника и гептатоника.........133

4.7.

Теория люй, триграммы и стихии.........140

4.8.

Музыкальные инструменты.........146

4.9.

Колокола.........148

4.10.

Цитра цинь и ее уникальный звукоряд.........151

Связь генетического кода и музыкальных строев 5.1.

Роль и особенности генетического кода.........161

5.2.

Геноматрицы, музыкальная гармония и пифагорейский музыкальный строй.........165

5.3.

Связь генетического кода, древнекитайской книги «И Цзин» и музыкального строя.........171

Глава шестая

Синергетика музыки Вступление.........179

Глава седьмая

Заключительная О чем эта книга и о чем она не?.........209

6.1.

Что такое синергетика?.........181

6.2.

Синергетика и принципы функционирования мозга.........185

Благодарности и использованные материалы.........217

6.3.

Нейропластичность, адаптивные свойства головного мозга.........190

Дополнительные материалы для тех, кто дочитал до конца.........218

6.4.

Распознавание образов.........192

6.5.

Искусство и мозг. Зачем нужно искусство и музыка, в частности?.........196

6.6.

Нейросетевая модель музыкального лада.........200

Егор Лобусов «Струны души нашей».........220 Словарь.........230

Посвящается моей учительнице музыки Наталье Александровне Становой и моему учителю математики Александру Николаевичу Волкову

...кто желает в музыкальном творчестве соблюсти требование красоты и изящного вкуса, тот должен... дополнять свои музыкальные занятия прочими научными предметами, сделав своей руководительницей философию, ибо она одна в состоянии определить для музыки надлежащую меру и степень полезности. Плутарх

Предисловие Это вторая книга своеобразного цикла, состоящего пока из двух книг: «Физика и анатомия музыки» и «Музыкальная математика древних. Поиск гармонии». Посвящена она, в основном, различным музыкальным строям: индийским, греческим, китайским, современному европейскому строю. Почему именно им? Ведь наверняка есть еще какие-то музыкальные строи? Да, есть. Но эти — самые древние из них, все другие известные нам сейчас являются производными от них. Мне было интересно посмотреть, как исторически формировались эти строи, как они были связаны с культурой, наукой, формой ушных раковин и разрезом глаз народонаселения, которое исконно обитало в тех местах, где эта музыка народилась. Конечно, хочется отослать всех читателей к первой книге и воскликнуть: Как? Вы не читали ее?! Так идите и прочтите! Но попробую сделать невозможное и на паре страничек пересказать то, о чем писалось в первой книге. В ней говорилось о гармониках, обертонах, формантных группах. О тембре. О спектральном разложении звука (в ряд Фурье). Об устройстве слухового аппарата человека и комаров. О консонансах и диссонансах. О том, что такое музыкальный слух и можно ли его развить у ребенка, или у старенького дедушки, или у его собаки, доберманапинчера. Много про что говорилось. А мы поговорим про то немногое, без чего никак не получится рассказывать про музыкальные строи. Что такое звук? Звук — это волна, которая распространяется в какой-то среде. Обычно говорят о звуках, распространяющихся в воздухе. Звук в воздухе — это так называемая поперечная волна, чередующиеся между собой изменения плотности газа. Но воздух прозрачен, и таких волн не видно. Поэтому мы посмотрим на более понятные волны, скажем — на поперечные волны на натянутой струне. Принципы одни и те же (см. рис. ниже). На рисунке видно, что, если дернуть натянутую веревку или струну, на ней образуется множество волн, колебаний. Они обладают общим свойством — у всех этих волн на закрепленных концах веревки 9

амплитуда колебаний равна нулю. Это и понятно, как же веревка будет колебаться там, где она закреплена?! Не вдаваясь в долгие рассуждения, скажем, что длины всех образующихся волн на струне кратны между собой. Первая волна, с самой большой амплитудой, имеет «пучность» посередине струны. Эта волна называется первой гармоникой. Да и вообще, все устойчивые (стоячие) волны на струне называются гармониками. Вторая волна, вторая гармоника, имеет посередине струны не «пучность», а «узел», то есть амплитуду, равную нулю. Из рисунка видно, что ее длина в два раза меньше, чем у первой гармоники. А частота (это важно!!!) будет в два раза выше. Частота звука обратно пропорциональна длине волны и связана с ней простой формулой: F = V/L, где L — длина волны, V — скорость распространения волны, F — частота волны.

10

Зачем нам запоминать такие сложные формулы, спросите вы? А вот зачем. Мы видим, что на натянутой струне поселилось множество колебаний, длины волн которых относятся как 1 : 1/2 : 1/3 : 1/4 и т.д. Частоты этих волн, колебаний, рождающих звук, относятся между собой как 1 : 2 : 3 : 4 и так далее.

— Ну и что? — скажете вы. — Зачем ты нам забиваешь мозги своей высшей математикой? Затем, что мы говорим о музыке. В музыке принципиальными, базовыми понятиями являются такие, как благозвучность и неблагозвучность сочетаний звуков, интервалов, музыкальный слух и прочие тесно связанные с этим вещи. А эти вещи, в свою очередь, напрямую связаны с физикой звука, с понятием частоты, высоты звука, гармоник, тембра. Кроме того, частоты звуков (вплоть до 5000 Гц, верхнего диапазона рояля) пропорциональны высоте звука, субъективной, психофизической характеристике. А это уже серьезно. Огромное количество музыкальных инструментов имеют струны: рояли, фортепиано, клавесины, клавикорды и другие. И вот, ударяя молоточком по ноте ля 1-й октавы, мы получаем звук высотой не только 440 Гц, той частоты, на которую настраивал инструмент настройщик, а еще и кучу дополнительных звуков, гармоник с частотами 2×440 Гц, 3×440 Гц и так далее. Амплитуда (интенсивность, громкость) этих дополнительных звуков, гармоник будет, как правило, меньше, чем у первой гармоники, и убывает с ростом частоты, но не равномерно. В реальных музыкальных инструментах часть этих дополнительных звуков имеет частоту, не кратную первой гармонике, такие дополнительные звуки называют обертонами. Так происходит из-за всяких нелинейных искажений, отражений, резонансов на корпусе инструмента. Вообще говоря, не совсем так, обертон — просто более широкое понятие, чем гармоника. Гармоники — это обертоны, кратные по частоте первому тону, первой гармонике. Соотношение амплитуд, громкостей обертонов и гармоник определяет индивидуальный тембр музыкального инструмента или голоса. По соотношению амплитуд обертонов (их еще иногда называют формантами) мы можем отличать тембр звучания скрипки и рояля, органа и флейты. Тембром, в частности, отличаются звуки «А» и «О» нашей речи. Это очень важное замечание, его нужно запомнить. Люди, беспорядочно дергая за струны или пытаясь напеть какие-нибудь звуки, за несколько тысяч лет выяснили, что есть благозвучные (консонансные) и неблагозвучные (диссонансные) сочетания звуков. Естественное желание для человека, которому что-то нравится или не нравится, — попытаться закрепить в памяти, зафиксировать 11

это. Можно захотеть придумать много звуков, сочетания которых будут нравиться. То есть создать какой-нибудь музыкальный строй. Звуки всех гармоник свободно звучащей струны замечательно сочетаются между собой. В прямом и переносном смысле «гармонично» сочетаются. Гармоники струны образуют самые совершенные консонансы, самые благозвучно сочетающиеся пары звуков, музыкальные интервалы. Первая и вторая гармоника по частоте отличаются в два раза, соответственно, интервальный коэффициент этих звуков 2/1. Что соответствует музыкальному интервалу октава. Эти звуки настолько хорошо сочетаются друг с другом, что в европейской практике им дали даже одинаковые названия, например «До первой октавы» — «До второй октавы». Но мы помним, это разные звуки, их частота отличается в 2 раза. Следующим консонансным интервалом является квинта (до-соль), с интервальным коэффициентом 3/2. Это интервал между третьей и второй гармониками струны. Следующий — кварта (до-фа), отношение частот 4/3, интервал между звуками четвертой и третьей гармоники. И так далее. Хорошо, мы поняли, что есть сочетания звуков, музыкальные интервалы, которые нам нравятся, звучащие консонансно. Но у любого человека, изучавшего физику хотя бы 45 минут в неделю на протяжении 5 лет, возникнет вопрос: «А с какой точностью мы можем определять “чистоту” консонансных интервалов?» Ведь в реальности, скажем, играя на гитаре, мы не можем с идеальной математической точностью ее настроить. Колки будут постепенно раскручиваться, на гриф можно нажать с разной силой, высота звуков при этом будет меняться и так далее. Какова эта точность? Многие люди совершенно напрасно полагают, что бывают те, у кого есть музыкальный слух, и им важна точность настройки музыкальных инструментов, а бывают те, кому «медведь на ухо наступил», и им все это не важно. Конечно, способности у людей разные, но в среднем любой человек может распознавать точность настройки музыкальных инструментов, «чистоту» консонансных интервалов. Здесь мы вплотную подошли к вопросу: «А что такое музыкальный слух?» Не вдаваясь в излишнюю детализацию, можно сказать, что все люди обладают музыкальным слухом. У кого-то эти способности развиты лучше, у кого-то хуже, но в среднем все люди отлично слышат и различают звуки, в том числе и музыкальные. Например, все люди распознают речь. А звуки нашей речи отличаются тембром. То есть тембральный слух есть у всех людей. У преподавателей театральных вузов он развит лучше, чем в среднем. Китайцы говорят на многотоновых языках, то есть одно и то же слово, сказанное тоном выше или ниже, имеет разный смысл. То есть китайцы имеют 12

хороший относительный слух (способны отличать высоту одного звука, слова относительно другого). Но мы не хуже китайцев, я вас уверяю! У всех людей есть в той или иной степени относительный слух, тембральный (интонационный) слух, гармонический, мелодический слух, чувство ритма. Просто эти способности (так же как и все другие) развиты у различных людей в различной степени. Никто не обладает всеми способностями на 100%. Наоборот, честные музыканты говорят о своем «несовершенстве» в ряде областей. Приведу лишь одну цитату выдающегося музыканта Иегуди Менухина: «Мой слух, весьма передовой, если речь идет о пении по нотам и прочих мелодических упражнениях, был твердокаменно туп в номенклатуре гармонии».

Отличное чувство мелодии позволило ему играть вместе с индийскими музыкантами, например с Рави Шанкаром, хотя Рави Шанкар придерживается совсем другой музыкальной традиции и играет совсем в других музыкальных строях. Итак, нам нужно запомнить, что все люди могут отличать «чистые» музыкальные интервалы от «нечистых» — основу всех музыкальных строев. Если какие-то способности у человека не развиты, их можно развить. Конечно, разным людям на это потребуется разное время. В первой книге я также касался вопроса восприятия звуков, музыки с точки зрения биологии, анатомии. Это очень интересная и очень обширная область. Если говорить кратко, то наша слуховая система — гениальная инженерная конструкция. С ее помощью мы можем слышать очень, очень тихие звуки; при усилении такого звука всего раза в два с помощью морской раковины, скажем, мы можем слышать даже стук молекул воздуха о барабанную перепонку, так называемый «шум моря»! Ухо защищает нас от громких звуков, усиливает наиболее важные для нас звуки — область частот голоса и музыки и так далее. Наиболее важным замечанием, скорее всего, является то, что наш слуховой аппарат — принципиально нелинейная система. Мы слышим совсем не те (и не так) звуки, которые нас окружают. Искажения очень велики и носят принципиальный характер. Наш мозг группирует и достраивает слуховые образы до понятных и привычных ему. Так устроены и все остальные органы чувств: зрение, обоняние, осязание и пр. То есть принципы — едины. Также часто у человека возникают перекрестные ощущения, синестезия. Человек может привязывать определенную ноту к цвету, ощущению теплоты/холода и т.д. «Цветной слух» был у многих великих композиторов: Скрябина, Римского-Корсакова, Рахманинова. С помощью различных цветомузыкальных систем можно с успехом развивать музыкальный слух у детей, в том числе и микротоновый.

13

Существует еще и биоакустика, непосредственное воздействие звуков, музыки на организм, минуя слуховой аппарат. Прочитайте раздел «Анатомия» из первой книги; если вы заинтересуетесь этой необъятной и бесконечно увлекательной темой, почитайте книжки из рекомендованных в конце книги или какие-нибудь другие. Например, «Заповедник» Сергея Довлатова. После короткого предисловия перейдем непосредственно к различным музыкальным строям. Это интересно.

Глава первая

Индийский музыкальный строй. История возникновения. Современное восприятие 1.1.

Индийский музыкальный строй. История создания индийской музыки, проявленные и непроявленные звуки

1.2.

Традиции обучения музыке в Индии

1.3.

Отличие традиционной индийской музыки от современной европейской

1.4.

Рага, основа индийской музыки

1.5.

Математика индийского строя

1.6.

Чакры

1.7.

ОМ, АОУМ

Этот раздел посвящен различным старинным и не очень старинным музыкальным строям. В настоящее время широко распространен так называемый равномерно темперированный двенадцатинотный музыкальный строй (РТС). Мы к этому привыкли, привыкли к его звучанию, к его гармониям. Музыка наших соседей — японцев, китайцев или индийцев кажется нам странной, непривычной и примитивной. Уверяю вас — это не так. Давайте чуть ближе познакомимся со старинными музыкальными строями, историей их возникновения и постараемся понять, почему музыка, исполняемая в этих строях, такая непривычная для наших ушей.

1.1. Индийский музыкальный строй. История создания индийской музыки, проявленные и непроявленные звуки В Индии считают, что высокое искусство музыки появилось благодаря трем основным индуистским богам: Брахме — создателю, Вишну — охранителю и Шиве — разрушителю. Шива, царь танцовщиков, танцующий космический танец, символизирующий вечный ритм жизни и смерти Вселенной, является прародителем всего движения и всех движений. В том числе и движения звуков, музыки. Полагают, что святые мудрецы риши передали людям искусство сангит — единое искусство голосового пения, инструментальной музыки и танца. Они проживали в непроходимых лесах, где создавали небольшие школы, ашрамы, обучая своих последователей музыке, астрономии и другим наукам. Эти науки в сочетании с практикой йоги позволяли последователям риши достигать самореализации. Поверим им на слово. Основная часть знаний передавалась от учителя ученику в устной форме, но сохранились и немногочисленные записи изречений риши на сухих пальмовых листьях. Сейчас эти записи считаются священными. Для древних людей характерен взгляд на музыку как на нечто изначальное. Теория возникновения музыки практически во всех древних культурах связана с космологией, теорией происхождения Вселенной, изначальной вибрацией и изначальным звуком («В нача17

А. Насретдинов Музыкальная математика древних. Поиск гармонии

18

ле было Слово», даосская развертка «Великого предела» и так далее). Такой подход не противоречит и современной теории возникновения Вселенной от Большого взрыва, почитайте, например, книгу Стивена Хокинга «Краткая история времени», Фритьофа Капры «Дао физики». В Индии считается, что высший звук Нада Брахма является зародышем всего мироздания. В своем первичном состоянии он непроявлен (в физике этому периоду можно сопоставить период до-вещества, период, когда нет материи, а есть только излучение — вибрации, волны полей). Затем звук (вибрация) развертывается в видимый мир, представляющий собой вибрации, колебания той или иной высоты, частоты (с точки зрения современной физики тогда рождается материя, материальным частицам тоже соответствуют, исходя из квантовой теории, свои частоты, волновые пакеты, но — других частот, нежели у излучения). Звуковой диапазон — только часть космических, изначальных вибраций, но и он, как считали древние индийцы, отражает основные мировые закономерности. В принципе — чистая физика. Индийская традиция учит, что звук имеет божественное происхождение — Нада Брахма. Поэтому и считается, что музыка — один из шагов в самопознании, духовная дисциплина, которая способствует внутреннему восхождению человека к божественному спокойствию и блаженству. Смысл жизни человека (индуса, по крайней мере) — познание истинного смысла мироздания, его неизменной внутренней сущности. Это познание, естественно, идет через понимание самого себя, своей сущности, своей природы. И рага, основной вид музыкальной практики в традиционной культуре Индии, является одним из инструментов самопознания и самосовершенствования. Через музыку желающий найдет дорогу к Богу. Так считают индийцы. Некоторые из них. Согласно древним трактатам, есть два типа звуков: один возникает от колебаний эфира, высочайшего и чистейшего небесного пространства, другой — от колебаний воздуха, рожденного вблизи поверхности Земли. Непроявленная музыка, непроявленные звуки были также описаны в VI веке до нашей эры Пифагором. Он называл ее «музыкой сфер». Звук Вселенной, который присутствует всегда и остается неизменным, называется Анахата Нада, или «непроявленный звук». Другой тип звука, нам более известный, называется Ахата Нада, или «проявленный звук». Он возникает в результате физического действия, импульса, скажем, дерганья струны. Вибрация возникает от импульса, рождает звук, который пропадает с исчезновением вибрации. Непроявленный звук важен для людей, практикующих йогу, йогов (йогинов). Они стараются услышать его путем многолетних практик, упражнений и медитаций (тапасья). Через тапасья йогины пытаются добиться «пробуждения Кундалини» — божественной созидательной силы, находящейся в человеке. Также они сосредоточены на чакрах — внутренних энергетических центрах человека. Если (когда) им удается это

А. Насретдинов Музыкальная математика древних. Поиск гармонии

сделать, они получают полный контроль над своим телом: например, могут парить в воздухе и без ущерба для здоровья есть сырой картофель с соседского поля. Здесь нужно сделать одно небольшое лирическое отступление. Небольшое, но важное. Считается, что у человека есть всего два способа познания мира. Названия этих способов варьируются в различных традициях, но суть одна — познание мира посредством головы или посредством сердца, иначе — научный подход или подход веры. Оба подхода равноценны. Если человек во что-то глубоко верит, это является для него такой же реальностью, как и то, что он может наблюдать с помощью органов чувств. Иронизировать не стоит, многие современные исследователи, медики, нейрофизиологи говорят о том, что информация, которую человек получает через органы чувств, имеет очень косвенное отношение к реальности, влияние мозга человека на сенсорное восприятие огромно и носит принципиальный характер. Частично я об этом писал в первой книге, в разделе «Анатомия». Человек слышит совсем не те звуки, которые есть в реальности, начиная от нелинейностей восприятия по частотам и громкости и заканчивая абсолютно ясно слышимыми субъективными гармониками. Подобная ситуация повторяется и с другими органами чувств — зрения, осязания, обоняния. Простой пример — подставьте руку под струю горячей воды, а потом под поток холодной воды. Вы не сможете определить температуру воды. Всевозможные оптические иллюзии также широко известны. Так вот. Кроме подходов веры, существует научный подход. Ничто не принимается на веру, требуется проведение экспериментов, результаты экспериментов должны быть предсказуемы и повторяемы при одинаковых начальных условиях. Мне, как человеку, получившему техническое образование, такой подход чрезвычайно близок. Так называемая «Бритва Оккама», подход, призывающий к «неумножению сущностей», к тому, что любое явление нужно объяснять максимально просто, без введения дополнительных предположений, прекрасно работает в 99% случаев. Рассматривая пирамиды Хеопса, можно предположить, что их построили инопланетяне, но зачем это делать? Мы ничего не знаем об инопланетянах. Зато мы можем предложить технологию, с помощью которой могли быть построены пирамиды, о технологиях строительства мы знаем гораздо больше. Казалось бы, двух подходов достаточно. Но не все так просто. Когда мы исследуем самый сложный объект во Вселенной (кроме самой Вселенной) — Человека, оба подхода начинают «сбоить». С помощью любого из них нам не удается достичь «полной картины», хотя, что такое «полная картина», тоже не совсем ясно. Что же делать? Казалось бы — тупик. Однако, с моей точки зрения, есть еще и третий вариант. Одну сложную систему можно попытаться исследовать с помощью такой же сложной системы, то есть человека исследовать с помощью че-

20

ловека. Но при этом нужно рассматривать человека-исследователя не как

Глава первая

биоробота, обладающего некоторыми органами чувств, отдельными фун-

Индийский музыкальный строй.

кциями, а целостно. Не выделять отдельно умение мыслить, испытывать эмоции, видеть зеленый цвет или слышать ноту ля, а рассматривать совокупность его умений, явных, проявленных и непроявленных. Это очень, очень тяжело сделать, почти невозможно. Казалось бы — опять тупик. Но тупик лишь с точки зрения современных подходов. Исторически сущест-

История возникновения. Современное восприятие

вовало много практик, позволяющих познать себя и окружающий мир за конечное время, за время жизни человека. Такие практики существуют во всех традициях и носят разное название. Это может быть практика йоги и музыки, может быть практика изучения каббалы и ведения аскетического образа жизни и так далее. Суть в том, что человек, долго придерживающийся какой-либо традиционной практики, начинает воспринимать мир по-другому, у него обостряется чувственное восприятие, улучшается контроль над эмоциями и мыслями. То есть он может лучше контролировать собственный организм, управлять им. Обратимся теперь к научному подходу. При проведении эксперимента, исследовании, воздействии на человека с помощью другого человека нам очень трудно зафиксировать «начальные условия», что является обязательным для научного подхода, сложно ожидать повторяемости и предсказуемости результатов, если объект и субъект воздействия находятся все время в разных состояниях и при этом непрерывно меняются. Лучшим представителям традиционных практик это удается, в большей или меньшей степени. Поэтому, с моей точки зрения, следует очень внимательно и уважительно относиться к людям, практикующим что-то в течение длительного времени, не отрицая сразу их воззрения и чувственный опыт: ведь для того, чтобы достичь определенного уровня в восприятии действительности, они потратили огромное количество времени и усилий. Приведу простую аналогию — школьнику не имеет смысла рассказывать о квантовой физике, для него это пустой звук, сказка, ничем не лучше и не хуже сказки про Бабу-ягу. О квантовой физике стоит рассказывать студентам технических вузов, да и то не всем. Но вернемся к музыкальным традициям Индии.

В индийской традиции считается, что музыкальные звуки приятны и успокаивающи, они соответствуют модели мирового универсума. Лучше всего звуки воспроизводить с помощью голоса, но можно и с помощью музыкальных инструментов. Индия — старая страна с весьма древней историей. Археологи, копающие землю, нарыли упоминание о барабанах, флейтах и струнных инструментах. Струнные инструменты имели общее название вина и напоминали собой лютни. Все эти сведения относятся к эпохе, скорее всего, доарийской, приблизительно 2000 лет до н.э. или еще раньше. Арийцы, которые жили чуть позже, пели чанты. Чанты — это мантры с несколькими тонами. Чанты исполняли во время религиозных 21

А. Насретдинов Музыкальная математика древних. Поиск гармонии

церемоний. В древних санскритских религиозных трактатах, Ведах, упоминается множество музыкальных инструментов, видов танца. Мантры Вед (саманы), положенные на музыку, и составляют основу ведической музыки, основы всей индийской классической музыки. Эта музыка известна под именем Самагана. В ранней ведической музыке мантры распевались практически на одном тоне, но потом появились и чанты. Они развились в систему с четырьмя тонами, в индийский тетрахорд. В Рикпратишакхья, базовом музыкальном трактате, датированном IV веком до н.э., древний тетрахорд описывается подробно. Позже гимны (мантры) стали исполнять на пяти, шести, семи тонах. В результате сформировался строй, известный в Европе под названием гептатоника, то есть семитоновый музыкальный строй, основной строй нашей современной музыки. Только он сформировался задолго до его изобретения в Европе. Строй, состоящий из семи свар, называется саптака и является основой всей традиционной музыки Индии. Названия нот (свар): шадджа, ришабха, гандхара, мадхьяма, панчама, дхайвата, нишада (сокращенно: са, ри, га, ма, па, гха, ни). Они не имеют однозначной привязки к каким-либо частотам, как, например, нота ля первой октавы к 440 Гц. Основная нота звукоряда, са, «тоника», определяется исполнителем каждый раз индивидуально, в зависимости от его психоэмоционального состояния, времени суток и времени года, помещения или состава слушателей. Однако звуковысотные соотношения между нотами свара задаются чрезвычайно точными математическими формулами. Ноты семитонного индийского звукоряда саптака соответствуют нечетным гармоникам свободно звучащей струны, «натуральному звукоряду» (строго говоря, это выполняется только для самого древнего звукоряда гандхара-грама, но и другие звукоряды, са-грама и ма-грама (шадджа-грама и мадхьяма-грама), используют чистые интервалы, совершенные консонансы). То есть звукоряды являются абсолютно идеальными с математической, физической и психоакустической точки зрения. В каком-то смысле древний звукоряд гандхара-грама абсолютно гармоничен, в прямом смысле этого слова. Часто полагают, что ноты индийского звукоряда соответствуют различным органам человеческого тела, различным его чакрам, звукам, издаваемым отдельными животными. Оставим эти теории на совести индийцев.