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HISTORY OF

MATHEMATICS FROM THE ZERO TO INFINITY SERGIO Castro

1 Ishango’s bone, the calculator prehistoric 2 Evolution of Egyptian mathematics 3 The papyrus of Rhind or papyrus of Ahmes 4 The Babylonian mathematics 5 The plimnton 322 tablet 6 Tales of Miletus, one of the seven sages of antiquity 7 The Pythagorean Theorem 8 The mystic Pythagorean school 9 Euclid and the elements 10 Platonic solids. The history of the most beautiful polyhedrons 11 Archimedes: “Do not touch my circles” 12 Archimedes, precursor of the calculation 13 Numbers, numbers, numbers 14 What is π?

15 The squaring of the circle 16 The spiral of Archimedes 17 Eratosthenes, the story of how measure the earth with a stick 18 The fascinating prime numbers and the sieve of Eratosthenes 19 Hypatia, symbol of culture in Alexandria 20 Diophantus, precursor of algebra 21 Do bees know mathematics?

22 The abacus. The first calculator of the history 23 The valuable number 0 24 Al-Juarismi, father of algebra 25 The Alhambra of Granada and the beauty of The geometry 26 Fibonacci and its famous succession numerical 27 The golden and the divine number proportion 28 The golden ratio. The number of gold in art 29 Magic squares 30 Tartaglia, Cardano and the famous

and brilliant mathematical duels 31 Mathematical imagination made numbers: complex numbers 32 Summary Compendium, the first book of mathematics of America 33 Why airplanes do not fly in straight line? Pedro Nunes and the loxodromic 34 The Mercator projection and its vision of the world 35 What are the logarithms for?

36 Monk Mersenne, or how his cell it became a center of operations of the science of his time 37 Fermat or the “prince of the fans 38 The beginning of probability 39 Rene Descartes: “I think therefore I am” 40 Logarithmic spiral 41 The curious paradox of birthday. your instinct can fail 42 The problem of Prince Rupert 43 Isaac Newton and the paws of the lion 44 Leibniz, “the last universal genius” 45 The most famous fight in the history of Science - England and Germany. Sir Isaac Newton and Gottfried Leibniz 46 Abraham de Moivre, the mathematician who predicted his death 47 The legend of chess 48 The most brilliant scientists dynasty of history. The Bernoulli family 49 L’hopital, the Marquis of the mathematics 50 Euler, the most prolific mathematician of the history 51 e is also a number 52 The most beautiful equation 53 Problem of the seven bridges of Königsberg. What does the graph theory with the popular series Game of Thrones?

54 The most difficult problem in history of mathematics. The conjecture of Goldbach 55 The genius Gauss. Ligget is ‘done’?

INDEX 56 Gauss, the prince of mathematics 57 The interesting story of the non-Euclidean geometry 58 Maria Gaetana Agnesi, the first book of text 59 Ada Lovelace, the first computer programmer 60 Mathematics exams Cambridge that lasted a week 61 George Green, the mathematician autodidact 62 The tragic story of the young Evariste Galois 63 Florence Nigthingale and how the Mathematics saves lives 64 Do the maps need more than four colors?

65 Breaking with urban legends about number 0 66 Lewis Carrol. Mathematics in the country of Alice 67 The Harvard women who counted stars 68 Sofia Kowalewskaya, the girl who dreamed of being mathematical 69 Georg Cantor, the mathematician of infinite 70 Hilbert, the visionary mathematician 71 What is infinity? Hotel paradox infinity of Hilbert 72 Hilbert, a whole character 73 Kurt Godel, the mathematician who discovered the most important truth of the twentieth century 74 Emmy Noether, the woman who transforms physics. The theorem of Noether, the most beautiful theorem of the world 75 Ramanujan. The mathematician to whom goddess dictated the formulas 76 Beer and math, the equation perfect.

The Guinness beer and the t-student 77 Banking always wins: roulette Monte Carlo

78 The Fields medal or the king of kings of the prizes in mathematics 79 Paul Erdos, the errant mathematician 80 Bertrand Russell, the philosopher of the mathematics 81 How can you get to the unit from any number? The unsolvable conjecture 82 Escher, mathematics as artistic expression 83 Alan Turing and the Enigma machine 84 The language of computers. Code binary.

85 Hedy Lamarr, a glittering star of cinema or ingenious inventor?

86 John Nash. An explorer of universe without limits 87 Women calculators from NASA 88 The theory of chaos 89 The controversial and televised Monty hall problem 90 I also grew up with Martin Gardner 91 John Horton Conway, the mathematician more charismatic 92 Do you want to impress your friends?

The algorithm of the end of the world 93 The annumerism. Do not be fooled!

94 The magnificent 7 or the 7 problems of the millennium 95 Grigory Perelman. The mathematician who rejected a million dollars 96 What is the relationship between a gugol and Google? The unapproachable immensity 97 The most interesting problems viral mathematicians 98 Terence Tao, the last of the great mathematical geniuses 99 Maryam Mirzakhani, first mathematics in getting the medal Fields 100 Appointments and epitaphs collected in the book

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EL HUESO DE ISHANGO O LA CALCULADORA PREHISTÓRICA

Antes de que aparecieran los números escritos, hace alrededor de 5000 años, en la civilización mesopotámica, nuestros ancestros ya se las arreglaban para expresar cantidades. Los primeros indicios datan de entre 20.000 y 30.000 años. Es decir, 15.000 años antes de que los números se expresarán por escrito, nuestros parientes del Neolítico ya utilizaban los números porque, como nosotros en la actualidad, los necesitaban para vivir.

El Museo de Ciencias Naturales de Bélgica alberga el hueso de Ishango, nombrado así por el lugar donde fue encontrado, en el año 1960, en una zona llamada Ishango y situada junto al lago Edward, en la frontera entre la Republica Democrática del Congo y Uganda, lugar donde nace el Nilo. Distintos vestigios encontrados nos permiten conocer la existencia de un pueblo paleolítico de pescadores principalmente, que se asentó en la zona hace unos 20 000 años, lo que nos ofrece la pista para datar el hueso en esa época.

El hueso de Ishango es un peroné de babuino con un trozo de cuarzo incrustado en uno de sus extremos. En él se pueden apreciar tres columnas diferenciadas de muescas talladas que abarcan toda su longitud. Desde su descubrimiento se pensó que el hueso era una herramienta utilizada para contar, como una especie de ábaco o calculadora paleolítica. Se cree que el trozo de cuarzo incrustado en uno de los extremos se utilizaba para hacer anotaciones y que los números aparecen representados en forma de muescas.

En la columna central del hueso aparecen representadas cuarenta y ocho muescas, agrupadas de modo significativo, y se puede observar en ellas la existencia de grupos de marcas de orden 3-6, 4-8 y 105, es decir, nos encontramos ante multiplicaciones y divisiones por 2.

En la columna de la izquierda aparecen muescas representando los números 11, 13, 17 y 19, lo que quiere decir que representan todos los números primos entre el 10 y el 20. En la columna de la derecha, los números representados son 11, 21, 19 y 9. Todos los números de las dos columnas laterales son impares y, además, en cada una de estas columnas se cuentan sesenta muescas, mientras que en la columna del centro se aprecian cuarenta y ocho muescas; tanto el número 60 como el 48 son múltiplos de 12, lo que sugiere un conocimiento de la multiplicación y la división.

Los matemáticos creen que el hueso de Ishango era una herramienta que servía para contar y realizar operaciones matemáticas, pero quedan muchas incógnitas por resolver. Existen algunas teorías que señalan que el hueso de Ishango era un calendario lunar, porque recoge un ciclo lunar completo de seis meses. Lo cierto es que ninguna teoría es despreciable, pero, si fuera una máquina para calcular, ¿por qué están expresados los números primos, para que utilizarían los números primos hace 20.000 años? Quién sabe… a lo mejor nuestros antepasados no eran tan primitivos como algunos imaginan.

El hueso de Ishango

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EVOLUCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS EGIPCIAS

El avanzado desarrollo de las matemáticas egipcias fue fruto de la necesidad que surgió de administrar los asentamientos de la mejor manera posible a medida que estos iban creciendo. Cada año, el Nilo inundaba las tierras que después ya fértiles, serían cultivadas por los agricultores; cada año, los limites de las tierras eran borrados por el Nilo y los egipcios los tenían que marcar de nuevo. Para ello necesitaban medir las áreas de terreno e inevitablemente tuvieron que echar mano de las matemáticas. Por otro lado, el desbordamiento del Nilo marcaba el inicio del año nuevo en el calendario egipcio: así, para establecer un calendario, los egipcios tenían que registrar los patrones de las estaciones, y de nuevo las matemáticas se hacían imprescindibles para contar los días que transcurrían entre las fases lunares o entre dos desbordamientos. Además, el origen de las matemáticas en Egipto está íntimamente relacionado con la burocracia, ya que se hacía nece-

sario conocer el área de los terrenos que disponía cada agricultor para luego grabarle unos impuestos acordes. Para conocer las áreas, se originan las primeras formulas matemáticas. Los egipcios ya eran conocedores de las raíces cuadradas, ecuaciones de segundo grado, problemas de áreas, y su aproximación al número pi.

Los escribas recogen sus conocimientos matemáticos en papiros y una pieza clave para entenderlos es el famoso papiro de Rhind albergado en el Museo Británico de Londres.

Las unidades eran representadas con una barra vertical, la decena un U invertida, la centena una espiral, el millar una flor de loto, la decena de millar un dedo levantado, etc.

porque tenían que utilizar multitd de caracteres. El pobre escriba nunca acababa de copiar, y aun a pesar de su sistema numérico y sus dificultades para multiplicar, eran geniales resolviendo problemas.

Realizaban la multiplicación a través de duplicaciones y sumas. En la división utilizaban la multiplicación pero a la inversa.

Una marca solo podía representar una unidad, nunca 10 o 100 como en nuestro sistema numérico, eso sí, podían escribir un millón con un solo símbolo. Si necesitaban calcular 999.999 estaban perdidos

El sistema de numeración egipcio era un sistema en base 10. Para expresar los números, los egipcios utilizaban 7 símbolos con posibilidad de repetirlos hasta 9 veces. Estos símbolos se podían colocar en cualquier posición (sistema numérico no posicional) sin que variasen su valor, arriba- abajo, derecha-izquierda. Debido a esta no posicionalidad, su sistema numérico era deficiente.

Un ejemplo visual de la multiplicación egipcia. Vamos a multiplicar 12x9

Para ello formaremos 2 columnas. En la primera empezamos por el número 12 y lo vamos a ir duplicando. En la segunda vamos a seguir la siguiente secuencia 1, 2, 4, 8.. como 9=8+1 la solución será 12+96=108.

12 24 48 96

1 2 4 8

Si no fijamos un poco más en el gráfico, podemos observar que para el cálculo hemos utilizado solamente la 1ª y la 4ª fila. Es decir, la 1ª Sí, la 2ª No, la 3ª No, la 4ª Sí. Por lo tanto, si sustituimos el Sí por 1 y el No por 0 nos saldrá 1001 que se corresponde al 9 en código binario. ¡¡Increíble!! Los egipcios entendieron la importancia de los números binarios unos 3000 años antes de que los matemáticos alemanes demostraran su potencial. Hoy en día, la tecnología se basa en números binarios.

Además los egipcios conocieron también las fracciones, manejaban ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas, y su aproximación al número π fue 256/81=3,1604... lo que lo desvía poco más del 0,6 %.

No hay duda de que los egipcios eran matemáticos talentosos. Conocían los triángulos a través de lo anudadores egipcios.

Entre otras cosas, utilizaban los nudos en las cuerdas para poder conseguir esquinas perfectamente anguladas en las casas y en las pirámides. Ellos fueron los primeros en darse cuenta de que uniendo con forma de triángulo las cuerdas y marcando 3, 4 o 5 nudos 32+42=52 conseguían un triángulo de 90 grados, es decir, un triángulo rectángulo pitagórico perfecto, lo que implica que los egipcios ya conocían la relación entre los catetos y la hipotenusa unos 2000 años antes que los griegos y Pitágoras demostraran su famoso teorema.

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EL PAPIRO DE RHIND O PAPIRO DE AHMES

El papiro de Rhind, también conocido como papiro de Amesh, fue adquirido por el egiptólogo escoces Henry Rhind, en Luxor, en el año 1858. Actualmente se encuentra guardado en el Museo Británico de Londres.

El papiro de Rhind nos ha proporcionado información valiosísima para conocer algunos aspectos de las matemáticas egipcias. No se sabe muy bien la finalidad del papiro, aunque parece probado que tenían una clara intención pedagógica y algunos se destinaban a enseñar contabilidad a los funcionarios egipcios.

El papiro de Amesh comienza con la esclarecedora frase: “Cálculo exacto para entrar en conocimiento con todas las cosas existentes y todos los oscuros secretos y misterios”. El papiro mide unos seis metros de largo por treinta y tres centímetros de ancho y está representado en escritura hierática. Se denomina papiro de Amesh porque fue un escriba, Ahmes, quien lo escribió en el año 1650 a. C. El escriba señala, al principio del texto, que se basó para su confección en escritos de doscientos años de antigüedad. Por ese origen incierto, aún resulta imposible saber qué partes fueron tomadas de textos anteriores.

A lo largo de los seis metros de papiro se van desgranando ochenta y siete problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana; varios hacen referencia a los problemas surgidos para repartir el pan y la cerveza, lo que se explica porque a los trabajadores egipcios se les pagaba en especie, en concepto de comida y bebida. El papiro recoge operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números enteros y fracciones, potencias, raíces cuadradas, resolución de problemas con

una incógnita, áreas de triángulos y trapecios y cálculo de volúmenes. Siempre recoge la solución final del problema, pero no hace referencia a la metodología utilizada.

En el papiro se ven cálculos de fracciones con un 1 en el numerador y un número natural en el denominador. Por ejemplo, la fracción 5/6 estaría representada por 1/2 +1/3, ya que 5/6 = 1/2 +1/3. Los símbolos utilizados eran partes específicas del Ojo de Horus:

También usaba notaciones diferentes para algunas fracciones muy comunes, como 1/2, 2/3 o 3/4:

De entre los problemas planteados en el papiro de Rhind, he seleccionado uno para reflejar bien el uso de las fracciones: el problema para dividir proporcionalmente seis hogazas de pan entre diez personas.Con nuestro método actual de fracciones, la solución sería la siguiente: 6/10 y, si simplificamos: 3/5

entonces, para poder repartirlo equitativamente tendríamos que partir todas las hogazas entre cinco y dar tres trozos a cada uno.

La solución que da el papiro al problema es la siguiente: 1/2 + 1/10 comprueba que 1/2 + 1/10= 3/5 es decir, para poder repartirlo tendríamos que partir cinco hogazas a la mitad y otra en diez partes… ¡mucho más efectivo!

En el papiro de Rhind, más concretamente en su problema número 50, aparece una aproximación bastante exacta del número Π. Para calcular el área de un circulo se le da un valor de Π = 256/81 = 3,1604…, lo que lo desvía poco más del 0,6 % del valor real de 3,1415926…

Sin duda, si el papiro de Rhind no hubiera llegado hasta nuestros días, habríamos tardado más tiempo en desvelar los secretos de las matemáticas egipcias.

Papiro de Rhind

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LAS MATEMÁTICAS BABILÓNICAS

Los babilonios (1792 a. C. -539 a. C.) rivalizaron con el Imperio egipcio en cuanto al conocimiento y desarrollo de las matemáticas. Además, a diferencia de estos últimos conocemos mucho más de sus logros, ya que se han conservado hasta nuestros días cientos de tablillas que versan sobre matemáticas y astronomía.

Desde 1800 a. C. controlaban gran parte de lo que hoy en día es Irán, Iraq y Siria.

La actual Damasco, situada en el Imperio babilónico, fue clave en las rutas comerciales ya que unía Mesopotamia con Egipto. Los babilonios entendieron pronto la necesidad de utilizar las matemáticas para su expansión, y a través de los testimonios de los escribas, hemos podido conocerlos mejor. Aunque llevaban las cuentas de las familias ricas, templos y palacios, gran parte de los conocimientos matemáticos que han perdurado en el tiempo no son documentos oficiales, sino que son tablillas en las que se expresaban ejercicios para niños.

Los babilónicos desarrollaron una forma de escritura abstracta basada en símbolos cuneiformes, y las tablillas que se utilizaban para grabar eran de arcilla. Este hecho pudo ser determinante para el desarrollo de los símbolos cuneiformes sin líneas curvas ya que no podían ser dibujadas. Las tablillas se grababan mientras la arcilla estaba húmeda, y se endurecían en un horno o calentándolas al sol.

Para expresar los números utilizaban dos tipos diferentes de símbolos, una cuña delgada y vertical representaba el 1, mientras que el número 10 era representado a través de una cuña gruesa horizontal.

El sistema numérico babilónico era posicional, es decir, el valor del dígito depende tanto de su valor como de la posición (no es lo mismo 174 que 741). Este sistema supuso un gran avance en el cálculo matemático, ya que simplificó el modo de realizar los cálculos, aunque no era perfecto debido a la falta del 0. Para poder representar los números en los que se encontraba la cifra 0, los babilonios dejaban un espacio vacío. Esto presentaba algunos problemas, ya que si el numero acababa en 0 no se sabía de su existencia y había que interpretar los números por el contexto; es decir si representamos el numero 43 podríamos interpretarlo como 43, 430, 4300….

Las cuñas se disponían en grupos para indicar los números. Del 1 al 59 se expresaban con un símbolo y a partir del numero 60 se comenzaban a expresar con dos símbolos.

Ejemplo de numeración posicional Vemos que tenemos dos símbolos: el primero el del número 3 y el segundo el del número 11, luego el número representado será el 191 (3·60 +11=191).

Su sistema de numeración era en base 60 o sexagesimal, la utilización de esta base se deriva de su curiosa forma de contar con los dedos. De una mano usaban los dedos en los que tenemos tres falanges (salvo el dedo pulgar), luego tendremos 4 dedos x 3 falanges =12 falanges. De la otra mano utilizaban los 5 dedos para contar, luego tendríamos 5 dedos para multipicar por 12 falanges, lo que daría un total de 60, y ya tenemos la base.

Como el numero 60, tiene muchos divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, facilitó el calculo de fracciones.

De los babilonios hemos heredado el sistema de medición del tiempo actual, ya que al introducir estos el sistema sexagesimal, dividieron el día en 24 horas, cada hora en

60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

También dividían la circunferencia en 360º por su similitud con la trayectoria anual del sol, donde el número 60 representaba 1/6 del ciclo solar.

Forma de escritura babilónica basada en símbolos

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LA TABLILLA PLIMNTON 322

Fue descubierta por el arqueólogo, académico y anticuario Edgar J.Banks (en quien se inspiró el director de cine George Lucas para construir su célebre Indiana Jones) alrededor de la primera década del siglo XX en un lugar situado al sur de Irak que se correspondería con la antigua ciudad de Larsa. Alrededor del año 1922, el editor neoyorkino George Arthur Plimton adquirió la tabla que luego legó junto con parte de su colección a la universidad de Columbia en Nueva York.

La tabla está parcialmente rota y mide aproximadamente 13 cm de ancho, 9 cm de altura y dos 2 cm de espesor. Está grabada en escritura cuneiforme y la hipótesis más solida es que era una tablilla escolar. La mayoría de los conocimientos matemáticos de los babilónicos nos han llegado a través de estas tablillas de arcilla utilizadas para enseñar matemáticas a los estudiantes. Estudiantes, que solían contener los enunciados de los problemas matemáticos y también sus soluciones.

La tabla muestra 60 números en 4 columnas y 15 filas y se sabe que no está completa. Las tres primeras columnas de la tabla nos muestran ternas pitagóricas, es decir, números que cumplen el teorema de Pitágoras a 2+b2=c.2La cuarta columna simplemente indica el numero de la fila, y en la primera fila aparece el triplete 119, 120 y 169 (terna pitagórica). Se puede afirmar que los babilónicos conocieron las ternas pitagóricas mucho antes del nacimiento del propio Pitágoras.

Otra tablilla babilónica destacable entre los cientos que se conservan es la Tablilla YBC7289. Muestra una aproximación a √2 con cinco decimales de exactitud utilizando las fracciones babilónicas, que como su sistema numérico era sexagesimal, los denominadores son potencias de 60.

2

√2 = 1 + 24/60 + 51/60 + 10/60

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TALES DE MILETO, UNO DE LOS SIETE SABIOS DE LA ANTIGÜEDAD

Tales de Mileto fue un filósofo, físico, legislador y matemático griego. Nació en 624 a. C. y murió en 547 a. C. en Mileto, en la actual Turquía. Fue el iniciador de la escuela de Mileto, de la que formaron parte el célebre filósofo Anaximandro y su discípulo Anaxímenes. En la antigüedad fue considerado como uno de los siete sabios del mundo.

A Tales se le atribuye el mérito de haber introducido en Grecia el estudio de la geometría. Es considerado como el primer matemático, ya que comenzó a demostrar racionalmente sus afirmaciones matemáticas.

Realmente se conoce poco sobre su vertiente matemática, sin embargo, existe abundante información de su obra filosófica; lo poco que conocemos sobre su faceta matemática lo debemos a autores posteriores, pues ninguna de sus obras ha llegado hasta nuestros días. Parte de su obra la recogió el matemático Euclides en su célebre obra los Elementos.

El historiador Proclo se refiere a Tales con estas palabras: “...primero fue a Egipto y luego introdujo su conocimiento en Grecia. Descubrió muchas de las proposiciones por sí mismo e instruyó a sus seguidores en los principios que subyacen en muchas otras, siendo su método de actuación más general en algunos casos, más empírico en otros”.

Se cree que su interés por las matemáticas fue fruto de sus intercambios comerciales con Egipto y Mesopotamia, fruto de los cuales llegó a conocer la astronomía y las

matemáticas babilónicas. Además, se tiene constancia por diversos autores de que permaneció un tiempo en Egipto, donde aprendió de su conocimiento de geometría.

Se cuentan infinidad de anécdotas sobre Tales. Aristóteles narra una de ellas en su obra Política, en la que cuenta que algunas personas se burlaban de él, increpándole que si fuera tal su sabiduría tendría una inmensa fortuna y, sin embargo, no era el caso. Gracias a sus conocimientos astronómicos, Tales pronosticó en una ocasión que la siguiente cosecha de aceitunas sería muy abundante, lo que motivó que ese invierno comprara todas las prensas de aceite de Mileto y Quíos; cuando llegó la gran cosecha, como Tales había monopolizado el mercado, pudo imponer el precio a quienes las necesitaban, lo que le acarreó una gran fortuna que luego le permitió dedicar todo el tiempo a investigar… y a acallar a los críticos.

Otra anécdota destacable es la que relata el historiador griego Heródoto: cuenta que Tales predijo un eclipse solar en el año 585 a. C., cuando hacer esa predicción resultaba muy complicado, pues era necesario no solo calcular cuándo iba a suceder, sino dónde iba a ser apreciable el fenómeno. Se desconoce cuál fue el método que utilizó para asegurar la predicción, pero se tiene constancia de que tuvo acceso a unas tablillas babilónicas en las que estaban grabadas las fechas de los anteriores eclipses solares.

No obstante, la leyenda más célebre es la que cuenta Plutarco y que, además, es una aplicación al corolario del primer teorema de Tales que establece que “si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo semejante al triángulo dado”. Plutarco narra que durante la estancia en Egipto de Tales, este quedó tan maravillado con las pirámides que deseó calcular su altura y, así, decidió resolver el problema por semejanza de

triángulos. La explicación es la siguiente: esperó a que la longitud de su sombra fuese igual a su altura y, en ese momento, por semejanza, la longitud de la sombra de la pirámide sería igual a la altura de la pirámide.

Tales de Mileto sigue estando vigente hoy en día y basta esta cita suya para corroborarlo: “Lo más grande es el espacio porque todo lo encierra”.

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EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Pitágoras nació en la isla de Samos, (actualmente Grecia) en el año 572 a. C. y falleció en Metaponto, actual Italia, en el año 497 a. C. Filósofo y matemático griego, fue el fundador de la genial y mística escuela pitagórica, clave para el desarrollo tanto de las matemáticas como del pensamiento filosófico en la antigua Grecia.

Pitágoras es archiconocido por el célebre teorema que lleva su nombre, que no es otro que el teorema de Pitágoras, aunque en realidad no lo descubriera él, ya que tanto egipcios como babilónicos conocían su uso práctico, pero lo que se le atribuye es su demostración.

El teorema ha sido demostrado de numerosísimas maneras distintas, de hecho, bate records en la historia de las matemáticas al haber sido demostrado de más de 300 maneras diferentes.

El teorema de Pitágoras establece que en todo triangulo rectángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. a2+b 2 =c 2

Es decir, en un triangulo rectángulo, denominamos catetos a y b a sus dos lados más cortos, los cuales forman entre sí un un ángulo de 90º, mientras que su lado opuesto se denomina hipotenusa y es el lado más largo del triangulo.

Parece claro que los pitagóricos fueron los primeros que entendieron las matemáticas como una fuente de sabiduría con independencia de las necesidades de la vida cotidiana, y por esta razón se plantearon por primera vez la necesidad de estructurar las matemáticas demostrando los teoremas. Esto supuso un gran salto intelectual: se pasó de la especulación empírica al razonamiento deductivo. La definición dada por Proclo, filósofo neoplatónico griego, ilustra muy bien esta idea: “...transformó esta ciencia en una forma de educación liberal, examinando sus principios desde el comienzo y demostrando los teoremas de una forma inmaterial e intelectual”.

El teorema de Pitágoras permanecerá en el tiempo ya que se cumplía hace miles de años, y aunque pasen más de mil años y muchos más, se seguirá cumpliendo. ¿Cuántas cosas existen que puedan presumir de lo mismo?

Pitágoras, por José Ribera

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LA MÍSTICA ESCUELA PITAGÓRICA

Pitágoras fue hijo de un mercader llamado Mnesarco, y empezó a viajar desde pequeño con su padre, quien dejó constancia en sus crónicas que su hijo fue educado por hombres sirios instruidos.

Sin duda recibió una valiosa educación con tutores de la talla de Thales y Anaximandro.

Pitágoras vivió en Egipto donde parece que visitó muchos templos y conoció sus costumbres religiosas que tanto influirían en sus ideales. Después de Egipto vivió en Babilonia donde absorbió conocimientos matemáticos y musicales, y sobre el año 530 a. C. regresó a Crotona, actualmente sur de Italia, donde fundó la famosa y misteriosa Escuela pitagórica, una hermandad religiosa, filosófica y finalmente también política.

Los pitagóricos vivían en absoluta comunidad, ninguno de los miembros podía atribuirse un descubrimiento a título personal. Es más, uno de los votos que tenían que cumplir era la absoluta lealtad y el secreto, de ahí que las enseñanzas de los pitagóricos se transmitieran oralmente y que sea difícil distinguir entre los descubrimientos del propio Pitágoras y los de sus discípulos.

Los pitagóricos fueron muy avanzados a su tiempo; no distinguían entre hombres y mujeres, de tal manera que muchas mujeres de clase alta pudieron formar parte de la Escuela pitagórica. Una de las más destacadas fue Teano de Crotona.

La comunidad pitagórica perseguía una idea filosófica de las matemáticas; los pitagóricos creían que los números eran el principio de todas las cosas y el camino del saber hacia la purificación. La devoción por los números los llevó a realizar importantes avances en el campo de las matemáticas. También creían que todas las relaciones podían reducirse a relaciones numéricas: de esta afirmación se puede entender que relacionaran las matemáticas con la música y la astronomía.

Aristóteles escribió: “Los pitagóricos... habiendo sido educados en el estudio de las Matemáticas, pensaban que todas las cosas son números... y que todo el universo es una escala y un número”.

Descubrieron que las cuerdas al vibrar producen tonos placenteros y armoniosos, siempre y cuando las proporciones de las longitudes de las cuerdas sean fracciones de números enteros. Utilizaron los cuatro primeros números enteros que ellos llamaban tetrakis (2/1, 4/3 y 3/2). A estas tres proporciones las llamaron diapasón, diatesarón y diapente respectivamente. Hoy en día las llamamos octava, cuarta y quinta.

Las aportaciones de la escuela pitagórica a las matemáticas actuales son trascendentales: estudiaron los números irracionales, clasificaron los números de distintas formas entre pares e impares, triangulares, cuadrados y números perfectos.

Fyodor Bronnikov

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EUCLIDES Y LOS ELEMENTOS

Lamentablemente se conoce muy poco de la vida de Euclides, lo que sí es claro es que vivió en Alejandría (Egipto) durante el reinado de Ptolmeo I Sóter, hasta su muerte en el año 265 a.C. Allí fundó una escuela de matemáticas muy prestigiosa en el mundo helénico.

Se cuenta una anécdota que puede dar una idea del carácter de Euclides y es que tal era su prestigio que un día el rey Tolomeo I, interesado en las lecciones de geometría de Euclides, acudió a su academia, pero incapaz de seguir la lección le pidió al maestro si había un medio más fácil para aprender la geometría que estudiar los elementos. Euclides respondió de manera muy ingeniosa “No, no existe un camino real hacia la Geometría”.

Euclides escribió varias obras, pero la más conocida es un tratado de geometría titulado Los elementos. Con seguridad es el libro de matemáticas más célebre de todos los tiempos. Buena prueba de ello es que es el segundo libro en número de ediciones publicadas en la historia solo por detrás de la biblia. Durante varios siglos

se utilizó como texto de estudio La primera versión impresa apareció en Venecia en 1482 y fue una traducción del árabe al latín. En España la primera versión se realiza en Sevilla en 1576.

Está compuesta por trece libros a través de los cuales va desgranando temas como la geometría plana, las razones y proporciones, la teoría de números y la geometría en los cuerpos sólidos. Euclides intenta recoger todos los conocimientos matemáticos de su época, hecho que por sí mismo ya supondría una gran proeza, pero el gran mérito de Euclides entre otros es que supo dotar de una estructura lógica a su obra; no solo fue un recopilador, sino que argumenta los conocimientos matemáticos. En primer lugar, comenzó realizando definiciones del tipo “Un ángulo agudo es menor que uno recto”. El objetivo de estas definiciones era proporcionar la terminología necesaria para poder establecer nociones comunes, es decir, reglas lógicas que se admiten como ciertas por su evidencia y los postulados que hacen referencia a la geometría. Hoy en día a ambas las denominamos axiomas.

Euclides, por Justo de Gante

La Escuela de Atenas - Euclides a la derecha, enseĂąando a unos estudiantes

Un ejemplo de una noción común: “El todo es mayor que la parte” Un ejemplo de un postulado: “Todos los ángulos rectos son iguales entre sí” Estos axiomas han sido objeto de debate a lo largo de la historia, pero el que más controversia ha generado es el 5º, el axioma de las paralelas.

Nos dice que por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela. Si aceptamos este postulado obtendremos la geometría euclidiana, mientras que si lo negamos obtenemos las geometrías no euclidianas.

Las proposiciones que aparecen en el libro tenían que ser demostradas una a una y

paso a paso, utilizando las definiciones, los postulados, las nociones comunes y las proposiciones expuestas anteriormente, y resueltas. La proposición 47 del primer libro de Euclides, se corresponde con el famoso Teorema de Pitágoras.

La obra de Los elementos llega a su culmen demostrando la existencia de tan solo cinco sólidos regulares, conocidos también como solidos platónicos en honor al filósofo griego Platón: El tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Einstein dijo de él: “Si Euclides no logró tu entusiasmo juvenil, no naciste para ser un pensador científico”.

Lápida funeraria de Euclides