EXAMEN U.I.B. JUNIO 2010. MATEMÁTICAS II OPCIÓN A 1. Determinau, segons els valors de m, el rang de la matriu real m 1 1 1 A = 0 m 2 1 m 0 2
x 0 En el cas m = 1, calculau les solucions del sistema homogeni A. y 0 z 0 m 1 1 1 |A| 2 m 1 m 2 m m m 2 0 m 2 1 m 0 2 x 1 4. 3m 7m 4 0 x 3 Si m ≠ 1 y m ≠ 4/3; rango de A es 3. 0 1 0 1 1 0 rango de A 2 Si m = 1; A = 0 ; rango de A es 2. 1 1 ; 1 0 |A| 0 1 0 2 1 1 1 3 1 1 4 2 0 rango de A 2 Si m ;A ; 0 1 ; 0 2 3 3 |A| 0 4 0 2 3 → rango de A es 2. Para m = 1 el sistema es compatible indeterminado, pues |A|= 0. μ x x 2μ 0 1 1 0 y μ y z 0 y y μ . 0 1 1 0 x 2μ x 2z 0 z z μ 1 0 2 0 2. Calculau el valor de k per al qual les rectes següents són paral·leles. x 1 y z 3 x 1 y z 2 r : i r : k 2 k 2k k 3 2 Calculau, en aquest cas, la distància entre les rectes. Si las rectas son paralelas los vectores directores deben ser proporcionales. k 2 k k 1. 2k k 3 2 x 1 y z 3 P x 1 y z 2 1,0, 3 Las rectas son: r : i r : v 81,2,1 1 2 1 2 4 2 P 1,0,2 v 2,4,2 1,2,1
ı j 2 0 1 2
P P xv
Distancia entre r y r
v
√1
k 5 1
4
|
10,7, 4 |
1
√6
√165 √6
55 u. 2 3. Calculau el punt de la corba en el qual el pendent de la recta tangent sigui màxim. Feu un dibuix on apareguin la corba, el punt i la recta tangent. 1 f x x 1 La pendiente de la tangente es m = f’(x), para que la pendiente sea máxima debemos hallar el máximo de la función m. 1 2 x 1 2x 2x 2x 2 x m f x m f x x x 1 1 2 x
1 x
2.2x 1
2x
2x
2 8x 1
x
∞ crece
6x x
decrece
1 3
2 1
0
x
1 3
crece +∞
1 3
f'(x) > 0 Máximo f'(x)< 0 Mínimo f’(x) < 0 La pendiente será máxima en x =
La ecuación de la recta pendiente a f(x) en P(a, b) es: y = f(a) + f’(a).(x – a) y
f
1 3
f
1 . x 3
1 3
3 4
y
9 1 . x 8 3
1 3
y 4
2
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
4. Calculau l’àrea de la regió limitada per la hipèrbola xy = 4 i la recta que la talla en els punts d’abscisses x = 1, x = 4. Feu un dibuix de la regió.
y 8 6 4 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2 -4 -6 -8
Hallamos la ecuación de la recta. 4 1 x 1 y 4 1, la recta es: y 4 x 1 ; y 5 x m x 4 y 1 1 4 Hallamos el área. 4 x 1 5 x dx 5x 4ln|x| 20 8 4ln4 5 4ln1 x 2 2 15 4ln4 u 2 OPCIÓN B 1 1 1 0 0 1 1. Es consideren les matrius A = 2 1 2 i B = 0 1 1 . Calculau la matriu X 0 0 1 1 1 1 que verifica: XA + I = B, on I representa la matriu identitat. I
Despejamos la X: XA + I = B → XA = B – I → X AA = (B – I)A‐ 1 → X = (B – I)A‐ 1 Hallamos la inversa de A: 1 1 1 1 2 3 2 1 2 0 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 A 1 1 1 A 1 2 0 2 0 1 0 1 2 1 1 0 2 1 2 2 1 1 1 1 2 0 0 1 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 1
X
1 2 0
1 1 0
3 0 3
B
I .A
1 0 1
0 0 1
1 1 1 . 3 0
A |A|
A
1 3
0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 0 0 0 3
1 1 2 1 0 0
3 0 3
1 0 0 1 1 1 0 1 0 . 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 6 1 0 0 3 3 1 2 3
3 0 3
2. Siguin P = (a1,b1,c1) i Q = (a2,b2,c2) dos punts del pla Ax + By + Cz + D = 0. Demostrau que el vector PQ és perpendicular al vector n = (A,B,C). Aplicau‐ho per calcular l’equació general del pla que conté els punts P = (1,2,3), Q = (–1,0,2) i R = (1,1,1). Si P es un punto del plano se cumple que Aa1+ Bb1+ Cc1+ D = 0 → Aa1+ Bb1+ Cc1= – D* Si Q es un punto del plano se cumple que Aa2+ Bb2+ Cc2+ D = 0 → Aa2+ Bb2+ Cc2= – D* PQ a a ,b b ,c c . Si PQ es perpendicular a n, su producto escalar es cero. a a ,b b ,c c .(A, B, C) = Aa2– Aa1+ Bb2– Bb1+ Cc2– Cc1= = Aa1+ Bb1+ Cc1 – (Aa2+ Bb2+ Cc2) – D + D = 0 → PQ es perpendicular a n. Hallamos el plano π: PQR. pasa por P 1, 2, 3 i j k 2, 2, 1 π es paralelo a PQ 3, 4,2 n 2 2 1 es paralelo a PR 0, 1, 2 0 1 2 π: 3x 4y 2z D 0 sustituyendo P en π D 1 π: 3x 4y 2z 1 0 3. Es considera la funció f(x) = x|x| Calculau les equacions i els dominis de les funcions f (x), f ' (x), f ' ' (x) i f ' ' ' (x). Representau‐les gràficament (4 punts). x si x 0 Dom R, es derivable en x 0 x|x| f x x si x 0 y 8 6 4 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2 -4 -6 -8
f x
2x si x 0 Dom 2x si x 0
0
R, no es derivable en x y 8 6 4 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2 -4 -6 -8
2 si x 0 Dom 2 si x 0 No es derivable en x 0 f
x
R
0 ya que f x no es derivableen x
0.
y 8 6 4 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2 -4 -6 -8
0 si x 0 f x Dom 0 si x 0 No es derivable en x 0
R
x no es derivable en x
0 ya que f
0
y 8 6 4 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2 -4 -6 -8
4. Sigui A(t), t > 0, l’àrea de la regió limitada per la corba y √x i les rectes y = 0, x = t. Representau gràficament aquesta regió i calculau el valor de t per al qual A(t) = 1. y 8 6 4 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2 -4 -6 -8
Área
x dx
x dx
x 5 3
3 5
t
1
t
5 3