EXAMEN U.I.B. JUNIO 2010. MATEMÁTICAS CC.SS. OPCIÓN A 1. Considerau el sistema d'equacions.
x 1 2y 3z 2 y 2z 3 a) Expressau‐lo en forma matricial A.X = B on A és la matriu del sistema, X la matriu de les incògnites iB la matriu dels termes independents. b) Calculau la matriu inversa de A, A‐1. c) Resoleu l'equació matricial A.X = B x
1 0 a 1 2 0 1 b |A| 1
A
1 1 0
1 2 1 c X
0 0 2 3 1 2
0 2 1
x 0 3 . y z 2
At
0 3 2
A .B
1 2 . 3
1 0 0
1 0 2 1 3 2
A |A|
A 1 2 1
0 2 1
t
adj A
2 1 3 2 1 0 3 2 1 0 2 1
1 0 2 2 1 1 0 1 3 . 2 3 2
0 0 1 0 1 0
1 2 0 2 0 1
0 2 0 3 1 1 0 3 1 1 0 2
0 3 2
1 3 3
2. Certa persona disposa de 60.000€ com a màxim per repartir entre dos tipus d'inversió A i B, sabent que el rendiment de la inversió serà del 9% en l'opció A i del 12% en la B. En l'opció A desitja invertir entre 12.000€ i 42.000 €. A més, vol destinar a aquesta opció tants de diners, almenys, com a la B. a) Quines quantitats pot invertir en cadascuna de les opcions? Planteja el problema com un problema de programació lineal i representa gràficament el seu conjunt factible de solucions. b) Quina quantitat ha d'invertir en cadascuna per optimitzar el rendiment global? Aquant ascendirà?
Función a optimizar: f(x,y) = 0’9.x + 0’12.y. x 0 y 0 x y 60000 Restricciones: 12000 x 42000 x y
y 60
x = 12000
x = 42000
50
y=x
y = 60000 - x
40
C
30
20
D B
10
0
A 0
5
10
x
E 15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
9 12000 f 12000,0 . 12000 1080 € y 0 100 9 12 x 12000 f 12000 , 12000 B . 12000 . 12000 2520 € y 12000 100 100 x y 60000 x 30000 C y x y 30000 9 12 f 30000,30000 . 30000 . 30000 6300 € 100 100 x 42000 x y 60000 D y 18000 x 42000 9 12 f 42000,18000 . 42000 . 18000 5940 € 100 100 9 x 42000 E f 42000,0 . 42000 3780 € y 0 100 Debe invertir 30000 € en acciones del tipo A y 30000 € en acciones del tipo B, para obtener unos beneficios de 6300 € 3. En una nit i el matí següent, la temperatura T (en graus centígrads) d'una certa regió varia amb el temps t segons la funció T(t) = t2 – 9t + 8; 0 ≤ t ≤ 12. a) Quina temperatura hi havia a les 2 del matí? b) Quina va ser la temperatura màxima? c) Quin va ser l'interval de variació de la temperatura des de les 0 hores a les 12 hores? d) A quina hora hi va haver una temperatura de zero graus? a) T(2) = 22 – 9.2 + 8 = – 6 °C. b) T(0) = 8 °C, T(12) = 44 °C (esta fue la máxima temperatura). c) T’(t) = 2t – 9 = 0 → t = 9/2 = 4’5. A las 4h 30’ se alcanzó la mínima A
x
temperatura. T(4’5) = 4’52– 9.4’5 + 8 = – 12’25 °C. El intervalo de temperaturas fue de – 12’25 hasta 44 °C. d) t2 – 9t + 8 = 0 → t = 8 y t = 1. A las 8 y a la 1 la temperatura fue de 0 °C 4. En una bossa hi tenim tres daus iguals llevat del color de les cares. El dau D1 té quatre cares blanques i dues de vermelles, el dau D2 té dues cares blanques i quatre de vermelles, i el dau D3 té tres cares blanques i tres de vermelles. És extret a l'atzar un dels tres daus i llançat a l'aire. Sabent que la cara girada cap amunt ha estat blanca, quina és la probabilitat que el dau triat hagi estat D1? Quina la probabilitat que hagi estat triat D2? Quina la probabilitat que hagi estat triat D3? blanca → 4/6 D1 → 1/3 negra → 2/6
blanca → 2/6 DIAGRAMA DE ARBOL
D2 → 1/3 negra → 4/6
blanca → 3/6 D3 → 1/3 negra → 3/6
P D1/blanca
P D1 blanca P8blanca
P D2/blanca
P D2 blanca P8blanca
P D3/blanca
P D3 blanca P8blanca
14 36 14 36 14 36
14 36 12 36 12 36 12 36 13 36 12 36
13 36 13 36 13 36
4 9 2 9 3 9
OPCIÓN B
1. Les altures de tres nois que es diuen Marc, Pau i Navarro estan relacionades com segueix. Si l'altura d’en Marc augmenta el triple de la diferència de les altures d’en Pau i d’en Navarro, en Marc seria igual d'alt que en Navarro. Les altures dels tres sumen 515 centímetres. Vuit vegades l'al d’en Pau equival a 9 vegades l'altura d’en Marc a) Plantejau un sistema d’equacions per esbrinar l’altura d’en Marc, d’en Pau i d’en Navarro. b) Resoleu el sistema d'equacions i, per tant, el problema M 3 P N N a b M P N 550 8P 9M
M P N
160 cm. 180 cm. 165 cm.
2. Dibuixau la regió determinada per les inequacions: x 0 y 0 3x 2y 30 3x 4y 48 30x 10y 240 3x y 24 Maximitzau la funció f(x,y) = x + y sotmesa a les restriccions donades per aquestes inequacions. Función a optimizar: f(x,y) = x + y x 0 y 0 3x 2y 30 Restricciones: 3x 4y 48 30x 10y 240 3x y 24 y
20
15
3x + y = 24
A 10
B
O 0
A B C D O
x y 3x 3x 3x 3x x y x y
3x + 4y = 48
C
5
0
D 2
4
6
8
3x + 2y = 30 10
0 f 0.12 12 12 4y 48 f 4,9 13 2y 30 y 24 x 6 f 6,6 y 6 2y 30 0 f 0,8 8 8 0 f 0,0 0 0
12
14
x 16
12
En el punto (4,9) la función alcanza el valor máximo 13.
18
20
22
24
3. Es considera la funció logística donada per Calculau, si és que existeixen: 1200 S x 1 30. e . a) Les asímptotes horitzontals b) Els intervals de creixement i decreixement i els màxims i mínims. a A. H.
b S x
lim
1200 1 30. e . 1200 lim 1 30. e
30.0 9. e
1
.
30. e
. 1200 0.9x
1200
A. H. y
0
A. H. y
.
0
0 9. e
.
1200 0
. 1200
0, no hay solución.
Como S’(x) es siempre > 0 la función es creciente en su dominio.
4. La Regidoria de Joventut d'un, ajuntament maneja la dada que l'edat a la qual els fills s'independitzen dels pares és una normal amb mitjana 29 anys i desviació típica 3 anys. Encara que la desviació típica no planteja dubtes, sí que se sospita que la mitjana ha descendit, sobretot per la política d'ajuda a l'ocupació que ha portat a terme l'Ajuntament. Així, d'un estudi recent sobre 100 joves que s'acaben d'independitzar, s'ha obtingut una mitjana de 28.1 anys d'edat. Amb un nivell de significació de l’1%, pot defensar‐se que l'edat mitjana no ha disminuït, enfront de l’afirmació que sí que ho ha fet, com sembla que indiquen les dades? Plantejau el contrast o test d'hipòtesi i resol‐lo.
El contrast d’hipòtesis és unilateral amb un nivell de significació α = 0’01, al qual li correspon Zα = 2’33 H : µ 29 Las hipotesis son H: µ 29 σ Comprobar si x μ Zα ; ∞ ; 28 1 28 301, ∞ . Rechazamos la √n hipótesis nula. La edad media si ha disminuido.