EXAMEN U.I.B. JUNIO 2011. MATEMÁTICAS II OPCIÓN A 1. a) Comprovau que si A és una matriu quadrada tal que A2 = 2A ‐ I on I és la matriu identitat, aleshores A és invertible. Quina és l’expressió de A‐ 1? b) Utilitzau l’apartat a) per calcular la inversa de la matriu A = 5 4 2 2 1 1 4 4 1
a) A
A
A
2I
2A
I A
A 2I A
A ú
A A 2I A 2I A I, según la definición de inversa
2A
I
A
I I
A
2I.
b) Veamos si A cumple A2 = 2A – I. 9 8 4 5 4 2 5 4 2 A 4 3 2 2 1 1 2 1 1 8 8 3 4 4 1 4 4 1 1 0 0 9 8 4 5 4 2 2A I 2. 2 0 1 0 4 3 2 1 1 0 0 1 8 8 3 4 4 1 3 4 2 Por tanto A A 2I = 2 3 1 4 4 3 2. Donats el punt A=(1, 3, 0) i el pla π: x + 2y + z – 1 = 0 , determinau les coordenades del punt A’ simètric del punt A respecte del pla π. Calculau la distància de A’ al pla π. A=(1, 3, 0)
M
π:x + 2y + z – 1 = 0
A’=(x, y, z)
M es la proyección de a sobre π. El punto de π más próximo a A. Hallamos la recta AA’
Pasa por A 1, 3, 0 es perpendicular a π n vAA
1, 2, 1
x y
1 λ 3 2λ z λ
Hallamos el punto M, corte de AA’ con el plano π. 1 + λ + 2(3 + 2λ) + λ – 1 = 0 → λ = ‐ 1 → M = (0, 1, ‐ 1) 0 x
1
Hallamos A’. M es el punto medio de AA’ →
1
y
1 A
1
z
2
1, 1, 2
Distancia del punto (a, b, c) al plano Ax + By + Cz + D = 0: |Aa Bb Cc D| d B C √A | 1 2 2 1| 6 d A ,π √6 u. √1 4 1 √6 3. Considerau la funció real definida en tota la recta real per: 3x 1 f x x 1 a) Calculau f’(x) i f’’(x) i donau els resultats completament simplificats. b) Determinau els màxims i mínims de la funció f(x). 1 2 x 1 2x 3x 1 6x x f x x 1 6x. x 12x x 1 6x. x 1 12x 4x 1 4x 1 1 x x 6x 6x 12x 4x 6x 10x x 1 x 1 18x 10 x 1 3 x 1 2x 6x 10x f x 1 x x 1 18x 10 x 1 36x 60x x 1 18x 10 x 1 36x 60x x 1 18x 18x 10x 10 36x 60x 18x 68x 10 x 1 1 x Hallamos máximos y mínimos: x 0 f x
6x x
10x 1
0
6x
10x
0
x
x ∞ crece
5 3
decrece
0
crece
5 3 5 3 5 3
decrece +∞
f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) > 0 f’(x) < 0 5 9 , y 3 16
Maximós:
5 9 , 3 16
Mínimo: 0, 1 4. Donada la funció: x f x 1 √x a) Calculau F(x) tal que F’(x)=f(x) per a tot x . x b Calculau la integral dx 1 √x a
b
x 1
√x
dx
x 1
√x
x x
dx
1
1 x 2
1 4
dx
4x x
1
dx
1 x 1 c 2 √2 1 √2 1 2 2 2
1
1 x 1 1 4 2
OPCION B
1. a) Sense desenvolupar el determinant, comprovau que: x x 1 x 2 0 x x 3 x 4 x x 5 x 6 b) Determinau el rang del conjunt de vectors: 1, 2, 0 , 3 , 1, 3, 1, 4 , 2, 1, 5, 1 x x 1 x 2 a) x x 3 x 4 x x 5 x 6 proporcionales.
F F
F F
x 0 0
x
1
x
2 4
2 2 4
0, pues las filas 2 y 3 son
b) Debemos derterminar el rango de la matriz A
1 1 1 1 2
2 3 2 3 1
3 0 1 5
2
1
0
15
4
10
Rango A 1
0
1 1 2
2 Rango A
2
2 3 1
0 1 5
3 4 1
2. Determinau l’equació del pla π que passant pels punts (1, 0, 0), (0, 2, 0) talla l’eix OZ en el punt (0, 0, c) amb c>0 tal que l’àrea del triangle ABC val √6 . Hallamos el valor de c. j k 1 i 1 1 | 2c, c ,2 | ABxAC Área del triángulo ABC 1 2 0 2 2 2 1 0 c 1 1 5c 5c 4 4 √6 5c 4 24 c 2 c 2 2 2 Hallamos el plano π: pasa por A 1, 0, 0 x 1 y z π 0 1, 2, 0 π: AB 1 2 0 vectores directores: 1 0 2 AC 1, 0, 2 2x y z 2 0 3. Considerau l’equació x3 + λx2 – 2x = 1 on λ és una constant més gran que 2. Fent servir el teorema de Bolzano i el de Rolle, provau que l’equació admet una única solución no negativa i més petita que 1. Veamos que la ecuación tiene solución. x3 + λx2 – 2x = 1 → x3 + λx2 – 2x – 1 = 0. f x es continua en 0, 1 , por ser función polinómica. Signo de f 0 signof 1 Sea f(x) = x3 + λx2 – 2x – 1, λ
f 0 1; f 1 λ 2 0 Aplicando el teorema de Bolzano podemos afirmar que ∃ c (0, 1)/f(c) = 0, es decir c es solución de la ecuación x3 + λx2 – 2x = 1. Veamos que la solución hallada es única. x
2λ
2 λ 6
6
, es positiva y menor que 1. 2λx 2 0 f x 3x 2λ 2 λ 6 x , es negativa. 6 La derivada tiene dos raíces, de las cuales una es negativa i la otra está en (0,1). Como solo hay un cero de la derivada entre 0 y 1, y la función cambia de signo entre 0 y 1, la solución hallada es única. 4. 2 Sigui I dx 3 √x a) Expressau I aplicant el canvi de variable x = t2.
b) Calculau el valor de I. a x
2
2t. dt, sustituyendo,
3
t
2tdt
b) 2
I
3 4 t
t → dx
√x
3ln|3
dx t|
2 3
t
4 √x
2tdt
4
3ln 3
1 3 √x
t
tdt 4
4
1
12ln4
3 12ln3
1 3
t
dt
4 ln
3 4