EXAMEN U.I.B. SEPTIEMBRE 2010. MATEMÁTICAS II OPCIÓN A 1.‐ SEP 2010 Determina la ecuación en forma continua de la recta r que pasa por el 3x y z 12 0 punto (1, 1, 1) y es paralela a la recta r1 de ecuación: r . x 2y 3z 0 Da la ecuación vectorial, paramétricas e implícita de r. 3x y z 12 0 3x y λ 12 6x 2y 2λ 24 r x 2y 3z 0 x 2y 3λ x 2y 3λ 24 12 5x 5λ 24 x λ ; x 2y 3λ y 2λ 5 5 24 x λ 5 r 12. y 2λ 5 z λ v 1, 2,1 o 1, 2, 1 x 1 y 1 z 1 Continua: 1 2 1 Vectorial: (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ.(1, 2, ‐1) x 1 λ Paramétricas: y 1 2λ z 1 λ 2x y 1 0 x z 2 0 2x y 1 0 Implicita: , o , o y 2z 3 0 y 2z 3 0 x z 2 0 m 1 0 0 m 2 2.‐ SEP 2010 Calcula los valores de m para los cuales la matriz A 3/2 2 1 no tiene inversa. Para m = 2 calcula, si es posible, la inversa de A y resuelve el x 1 0 sistema de ecuaciones A. y 2 0 . z 3 0 m 1 0 m 1 0 m 2 |A| m 3 4m 0 . Si m = 1 o m = 3 la matriz A no m 3 3/2 2 1 tiene inversa. Para m = 2 2 1 0 0 2 2 |A| 1 3/2 2 1
A
2 0 3/2 2 3 3
1 0 2 2 2 1 1 2 5/2
A
2 4 4
2 1 0
0 2 2
A |A|
A
3/2 2 1
A
2 2 0 2 0 2
2 1 3 2 3 5/2
2 1 3/2 1 3/2 2
1 0
2 0 2 1
2 1 3/2 1 3/2 2
1 0 2 0 2 1
2 2 0 2 0 2
2 4 4
x 2 Si m = 2, |A|≠0→ sistema compatible determinado. y 5 z 4 3. Determinau els intervals de creixement i decreixement, els màxims i mínims, els punts d’inflexió i els intervals de concavitat i convexitat de la funció: f(x) = (x – 3)4.(x – 1) x 3 f’(x) = 4(x – 3)3.(x – 1) + (x – 3)4 = (x – 3)3. (5x – 7) = 0 . x 7 ∞ crece decrece 3 crece +∞ 5 f'(x) > 0 Máximo f'(x)< 0 Mínimo f’(x) > 0 7 8192 Máximo , ; mínimo 3, 0 5 3125 x 3 f’’(x) = 3(x – 3)2.(5x – 7) + 5(x – 3)3 = (x – 3)2 (20x – 36) = 0 x 9 ∞ convexa ∩ Cóncava ∪ 3 cóncava ∪ +∞ 5 f’’(x) < 0 P.I. f’’(x) > 0 f’’(x) > 0 9 5184 Punto de inflexión: , 5 3125 4. Feu un dibuix del recinte limitat per les paràboles y = 6x – x2 i y = x2 – 2x. Calcula l’àrea d’aquest recinte. y 6x – x x 0 Hallamos los puntos de corte: 6x – x x – 2x x 4 y x – 2x
y 8 6 4 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2 -4 -6 -8
A
6x
x
x
2x dx
2x
8x dx
OPCIÓN B
2x 3
4x
64 u 3
1.‐ SEP 2010 Determina la ecuación en forma continua de la recta r que pasa por el punto (3, 4, 7) y es perpendicular a las rectas r1 y r2 de ecuaciones: x 1 y 3 z 4 r : 2 3 2 z 3 r :x 1 y 2 4 Da la ecuación vectorial, paramétricas e implícita de r. Haciendo el producto vectorial de los vectores directores de las rectas dadas tendremos un vector director de la recta pedida. i j k v x v 2,3,2 x 1,1,4 10, 6, 1 . 2 3 2 1 1 4 Con el vector (10, 6, 1) y el punto (3,4,7) escribimos las ecuaciones de la recta. x 3 y 4 z 7 Continua: 10 6 1 Vectorial: (x, y, z) = (3, 4, 7) + λ.( 10, – 6, –1) x 3 10λ Paramétricas: y 4 6λ z 7 λ 6x 10y 58 0 Implicita: y 6z 38 0, 2.‐ SEP 2010 Discutir el rango de la matriz A en función del parámetro m. x 1 1 2 1 A 2 1 3 y resolver el sistema A. y 2 para los valores de m para z 5 1 m 3 los que la matriz tenga rango 3. 1 1 2 A m 15 4 10 3 2m 3m 24 0 m 8. 2 1 3 5 1 m Si m ≠ 8 el rango de A es 3.
1 1 1 1 2 0 RA 2 el rango de A es 2; 2 1 3 ; 2 1 |A| 0 5 1 8 Resolución del sistema por la regla de Cramer. 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 1 2 14 3m 2 5 3 m 5 1 3 3 1 m x ;y ;z 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3m 24 3m 24 2 1 3 2 1 3 2 1 3 5 1 m 5 1 m 5 1 m 2 14 3m 2 2 ; ; ; m 8 3m 24 3m 24 m 8 3. Calculau els valors dels paràmetres a, b y c de la funció f(x) = x3 + ax2 + bx + c de manera que la funció tengui un màxim per a x = –1 i un mínim per a x = 3 i passi pel punt (0, 5). f(x) = x3 + ax2 + bx + c; f’(x) = 3x2 + 2ax + b Máximo en x = – 1 → f’(– 1) = 0 → 3(– 1)2 + 2a(– 1) + b = 0 → 3 – 2a + b = 0. Mínimo en x = 3 → f’(3) = 0 → 3(3)2 + 2a(3) + b = 0 → 27 + 6a + b = 0. Pasa por (0, 5) → f(0) = 5 → c = 5. Resolviendo el sistema: a = – 3, b = – 9 y c = 5. 4. Utilitzant els teoremas de Bolzano y Rolle, provau que l’equació tanx = 2x té una única arrel real a lìnterval , . Si m = 8 → A
tanx = 2x → tanx – 2x = 0. Definimos f(x) = tanx – 2x. Veamos si f(x) tiene solución en el intervalo , : f(x) es continua en , por ser suma de funciones continuas en dicho intervalo. π π π π π π 1 0; f 1 0 signo de f signo de f f 2 4 2 4 4 4 Aplicando el teorema de Bolzano podemos afirmar que ∃ c ∈ , /f(c) = 0. Es decir, c es una solución real, perteneciente al intervalo dado, de la ecuación dada. Veamos que la solución es única. (*)Supongamos que f(x) tiene dos soluciones reales en , ; c y d. f(x) es continua en a, b por ser suma de funciones continuas en dicho intervalo. f(x) es derivable en a, b por ser suma de funciones derivables en dicho intervalo. f(c) = 0 = f(d). Pues c y d son soluciones de f(x). Aplicando el teorema de Rolle podemos afirmar que ∃ α ∈ a, b /f’(α) = 0. Es decir, (**) α es solución de f’(x) perteneciente a (c,d) o sea a , .
3π 4 π x 1 1 1 4 Estudiamos f’ x 2 0 cos x cosx π 2 2 cos x x 4 3π x 4 Ninguna solución está en , , la afirmación (**) no es cierta y por tanto la suposición (*) tampoco. Luego f(x) no puede tener dos soluciones. F(x) tiene una sola solución, c. x