EXAMEN U.I.B. SEPTIEMBRE 2010. MATEMÁTICAS CC.SS. OPCIÓN A 1. La suma de les tres xifres d'un determinat nombre és 13. La xifra de les centenes excedeix en 4 unitats la de les desenes. Si s'intercanvia la xifra de les unitats amb la de les centenes, el nombre augmenta en 495 unitats. De quin nombre estracta? x
y x
100z
10y
x
z 13 4 y 100x 10y
x z
495
y x z
z y x
13 x y 4 z 5
4 0 . El nº es 409. 9
2. Es vol construir una capsa rectangular sense tapa a la part superior i de base quadrada, amb 108 decímetres quadrats de material. Quines han de ser les dimensions de la capsa per tal d'obtenir‐la de volum màxim? 1. Función a optimizar: volumen máximo, f(x,y) = x2.y 2. Relación entre variables: superficie igual 108, x2 + 4xy = 108, 108 x y 4x 108 x 1 x . 108x x 3. f y 4x 4 4. Derivamos, igualamos a cero y resolvemos. 108 x 1 108 3x 0 x 6 tomamos x 6 y 3 f x 4 4x 5. Comprobamos. 6 f’(5) > 0 → crece f’(6) < 0 → decrece Confirma la existencia de un máximo del volumen para x = 6 e y = 3. 3. Una urna A conté 3 bolles blanques i 2 de negres i una altra urna B en conté 4 de blanques i 1 de negra. S'elegeix una urna a l'atzar i se n'extreuen 2 bolles sense reemplaçament. a) Calculau la probabilitat que les dues bolles extretes siguin blanques. b) Suposant que les dues bolles extretes són blanques, calculau la probabilitat que l'urna elegida hagi estat la A.
blanca → 2/4 blanca → 3/5 negra → 2/4 A → 1/2 blanca → 3/4 negra → 2/5 negra → 1/4 DIAGRAMA DE ARBOL blanca → 3/4 blanca → 4/5 negra → 1/4 B → 1/2 blanca → 1 negra → 1/5 negra → 0
a P dos blancas b P
A B ∩B
P A∩B ∩B
P A∩B ∩B P B ∩B
P B∩B ∩B
132 254 9 20
132 254
143 254
18 40
9 20
1 3
4. En una conversa d'un bar d'una determinada població en Joan assegura que almenys el 20% dels habitants de la població porten ulleres graduades i en Pere li contesta que no ho creu. Aleshores en Pere decideix prendre una mostra aleatòria de 256 habitants de la població i resulta que 48 porten ulleres graduades. A un nivell de significació de 0.05 té en Pere suficient evidència per refutar l'afirmació d'en Joan? Se trata de un contraste de hipótesis unilateral. H :p 0 2 H: p 0 2 48 α 0.05, aleshores Z 1.645. La nova proporció és p 0 1875 256 p q Debemos comprobar si p p Zα ; ∞ n p 0 1589, ∞ . Pere no tiene suficiente evidencia para rechazar la afirmación de Joan.
OPCIÓN B
1. Considerau la funció f x mínim relatiu a x
1
x x. ln , a a
0. Donau el valor de a perquè tingui un
1 x 1 1 1 Mín. relativo en x 1 → f’ 1 0 0 ln 1 ln 1 e a e a a a Como f’’(1) = 1 > 0 confirma un mínimo en x = 1. 2. Un celler vol preparar dos tipus de lots,L1 i L2. Cada lot del tipus L1 està format per 1 ampolla de vi negre, 2 de vi rosat i 1 de vi blanc, i cada lot del tipus L2 està format per 2 ampolles de vi negre, 1 de vi rosat i 1 de vi blanc. Amb cada lot del tipus L1 s'obté un benefici de 6 euros, i amb cada lot del tipus L2, un de 4 euros. El celler disposa de 1000 ampolles de vi negre, 1000 de vi rosat i 600 de vi blanc. Quants lots de cada tipus s'han de preparar per tal d'obtenir un benefici màxim? Vi negre Vi rosat Vi blanc L1 1 2 1 6€ L2 2 1 1 4€ 1000 1000 600 Función a optimizar: f(x,y) = 6x + 4y. x 0 y 0 Restricciones: x 2y 1000 2x y 1000 x y 600 y f x
x. ln
x a
f x
ln
x a
1
x
f
1000
800
2x + y = 1000 600
A
x + y = 600
B 400
0
A B
y x
x
x + 2y = 1000
C
200
D 0
100
200
0 f 0,500 500 2y 1000 x y x y 600
300
400
500
x 600
700
800
900 1000
2000 200 400
f 200,400
6.200
4.400
2800 €
C
x 2y 2x y
x y
400 200
f 400,200
6.400
4.200
3200 €
500 f 500,0 6.500 3000€ y 0 Prepararemos 400 del tipo L1 y 200 del tipo L2 para tener un beneficio de 3200 €. 3. Considerau el següent sistema d’equacions depenent del paràmetre m. 2 3 2 2 1 2 5 a) Discutiu‐lo b) Resoleu‐lo per als valors de m que el fan compatible determinat. c) Quant val la solució per a m = 4? a) 2 1 1 |A| A 4m 4 1 4 m 4 5m 5 0 m 1 1 2 2 2 1 m Si m ≠ ‐ 1 |A| ≠ 0 → RA = 3 = RA* = nº incógnitas → Sistema compatible determinado. 2 1 1 2 1 0 RA 2 A RA 2 1 2 1 2 2 |A| 0 2 1 1 2 1 Si m 1 0 RA 2 1 3 2 1 1 2 2 1 3 A RA 3 1 1 2 2 |A| 0 0 1 2 1 1 5 2 1 2 1 5 Sistema incompatible. 3 1 1 1 2 2 5 1 m b x 1; 2 1 1 1 2 2 2 1 m 2 3 1 1 1 2 7 m 2 5 m y ; 2 1 1 m 1 1 2 2 2 1 m 2 1 3 1 2 1 8 2 1 5 z 2 1 1 m 1 1 2 2 2 1 m D
x
1000 1000
x c Si m
4
y z
1 3 5 8 5
4. Se suposa que la vida de les bombetes que fabrica una determinada empresa segueix una distribució normal de mitjana desconeguda i desviació típica 60 hores. Per estimar la vida mitjana es vol fer servir una mostra de mida n. Calculau el valor mínim de n per tal que, amb un nivell de confiança del 99%, l'error en l'estimació sigui menor que 10 hores. n ≥ 239 Si 1
Z
α 0’99 → Z 10 . Z 60 . 2 575
2 575. .σ
2 575.60 10
238 7
238