EXAMEN U.I.B. SEPTIEMBRE 2011. MATEMÁTICAS CC.SS. OPCIÓN A 1. Considerau el següent sistema d’equacions depenent del paràmetre m: x 2y 2z 6 x y 2z 0 3x 2y mz 5 a) Discutiu‐lo. b) Resoleu‐lo per als valors de m que el fan compatible determinat. a) A
1 1 3
2 1 2
2 2 m
1 1 3
|A|
2 3
2 1 2
2 2 m
m
12
4
6
2m
4
0
Si m ≠ –2/3 → rango A = 3 = rango A*= nº incognitas → S.C.D. 2 3
Si m
A
1 1
2 1
3
2
2 2 2 3
1 1
2 1
2 6 2 0 2 5 3
1 1
0
rango A
|A|
0
2 1
0
2
rango de A
2
A
1 1
2 1
3
2
|A|
0
1 1 3
rango A 2 1 2
6 0 5
2 0
Los rangos son distintos a 2, el sistema es incompatible.
b) Aplicando la regla de Cramer: 6 0 5 1 1 3
2 1 2 3 6 0 5 3
2 2 2 2 2 2
6 3
6 3
14 ; 2
16 ; 2
rango de A
3
m
1 1 3
3
2 1 2
6 0 5 2
15 3
2
2. Un fabricant de maquinària de construcció llança una oferta especial en dos dels seus models petits de pales carregadores. Ofereix el model A a un preu de 12000€ i el model B a 18.000.L’oferta està limitade per les existències, que son 40 unidats del model A i 20 unitats del model B, i es volen vendre almenys tantes unitats del model A com del model B. Per altre banda, per cobrir les despeses de la campanya, els ingresos obtinguts amb aquesta han de ser, de 120000€ a) Quantes unitats de cada model es podrán vendre? Plantejau el problema com un problema de programació lineal i representau gràficament el seu conjunt factible de solucions. m problema de programació lineal i representa solucions. b) Quantes unitats s’hauran de vendre de cada model per maximitzar els ingressos Quin és el seu import? Función a optimizar: f(x,y) = 12000x + 18000y. x 0 y 0 x 40 Restricciones: y 20 x y x y 0 12000x 18000y 120000 2x 3y 20 y 40 35
y=x 30 25 20
C
B 15 10
2x + 3y = 20
A
5 0
A
E 0
x y 2x 3y
5
0 20
10
x y
x
D 15
20
4 4
f 4,4
25
30
4.12000
35
40
4.18000
45
50
120000 €
B C D E
x x y
y y
0 x 20 f 20,20 y 20 20 40 F 40,20 40.12000 20
x 40 y 0 x 10 Y 0
20.12000 20.18000
F 40,0
40.12000
480000€
F 10,0
10.12000
120000€
20.18000
600000 €
840000€
Deberá vender 40 vehículos del tipo A y 20 del tipo B para obtener un beneficio de 840000€. 3. El cost de fabricació d'un determinat producte ve donat per la funció C(x) en unitats monetàries. Es defineix la funció de cost mitjà per unitat com M(x) 1 C x C x x 3x 102 4; M x 10 x Calculau el nivell de producció que minimitza el cost mitjà per unitat. Quin és aquest preu? C x 1 102 4 1 102 4 M x x 3 M x 0 x 32. x 10 10 x x x = – 32 no la consideramos. 204 8 x 32: M x M 32 0 confirma un mínimo. x 1 102 4 M 32 . 32 3 9 4u. m. 10 32 4. Estudis realitzats sobre les aigües dels pous d'una determinada regió han posat de manifest dues coses, d’una banda, que el 5% està infectat pel bacteri Escherichia coli. Per una altra, que l’anàlisid’aigua aplicada, X, diagnostica coma infectat un 96% delsque ho estan en realitat i un 1% dels que no ho estan. Sabent que un pou d'aquesta regió triata l'atzar ha estat diagnosticat com a infectat mitjançant l’anàlisi X quina és la probabilitat que realment estigui infectat. I que no ho estigui? I:infectado. NI: no infectado; AP: análisis positivo; AN: análisis negativo.
AP→96%=0'96 I→5%=0'05 AN→4%=0'04 DIAGRAMA DE ARBOL AP→1%=0'01 NI→95%=0'95 AN→99%=0'99
P I/AP P I/AN
P I AP P AP
0 05.0 96 0 05.0 96 0 95.0 01
1
0 165
0 835
0 835
OPCIÓN B 1. Un grup de persones es reuneixen per fer la ruta dels patis pel centre de la ciutat dePalma, i s’ajuntenun total de 80 persones, entre homes, dones i nens. Comptant homes i dones junts, el seu nombre resulta que és el triple del nombre de nens. A més, si hi haguessin acudit dues dones més, el seu nombre igualaría el d'homes. a) Plantejau un sistema per esbrinar quants homes,donesi nens han anat a fer la rutadels patis. b) Resoleu el sistema d'equacions i, per tant, el problema. H D N 80 H D N 80 Planteamos el sistema: H D 3N H D 3N 0 D 2 H H D 2 1 1 Resolvemos por el método de Gauss: 1 1 1 1 4 80 1 1 1 80 2 78 0 0 4 80 80 0 2 1 78
1 80 3 0 0 2
F F
F F
20 29 31 0 50 1
2. Dibuixau la regió determinada per les inequacions 4
8
120
Minimitzau la funció f(x) = 2x + 3y sotmesa a les restriccions donades per aquestes inequacions. y 50
40
x + y = 50 y=x 30
B
20
x + 2y = 30
A
10
A B C
x
0
5
10
C
D
y=1 0
15
20
25
30
35
40
45
2y 30 x 10 f 10, 10 2.10 3.10 50 x y y 10 x y 50 x 25 f 25,25 2.25 3.25 125 x y y 25 x y 50 F 49,1 2.49 3.1 101 y 1
50
x 55
x 28 F 28,1 2.28 3.1 59 y 1 La función toma el valor mínimo 50 en el punto (10, 10) 3. Calculau a i b perquè la funció f(x) = a.lnx + bx2+x tingui extrems relatius a x = 1 i a x = 2. Per a aquests valors de a i b quin tipus d'extrem relatiu té la funció quan x = 2 i x = 1 a f x a. lnx bx x f x 2bx 1 x 2 a Extremo relativo en x 1 → f’ 1 0 2 1 0 3 1 Extremo relativo en x 2 → f’ 2 0 4 1 0 2 b 6 2 1 2 1 2 1 f x . lnx x x f x x 1 f x 3 6 3x 3 3x 3 1 1 0 en x 1 hay un mínimo. 3 1 2 0 en x 2 hay un máximo. 6 D
4. El salari mitjà corresponent a una mostra de 1600 persones d'una determinada población és de 1.150 euros Se sap que la desviació típica dels salaris en la població és de 150 euros. Es pot afirmar, amb un nivell de significació de l’1%, que el salari mitjà en aquesta població és de 1.250 H : μ 1250 Las hipótesis son H: μ 1250 El contrast d’hipòtesis és bilateral amb un nivell de significacióm α = 0’01, al qual correspon Zα 2.575. σ σ Comprobar si x μ Zα ;μ Zα 1150 1240,344, 1259,656 √n √n Rechazamos la hipótesis de que μ = 1250 €