Guia Post-Primaria Matemáticas6°

MatemĂĄticas Javier Moreno

Luz Stella Alfonso Lizzie Zambrano Carolina MartĂ­nez

Ministra de Educación Nacional | Cecilia María Vélez White Viceministra de Educación Preescolar, Básica y Media | Isabel Segovia Ospina Directora de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media | Mónica López Castro

Subdirectora de Referentes y Evaluación de la Calidad Educativa | Heublyn Castro Valderrama

Coordinadora del Proyecto | Heublyn castro Valderrama Equipo Técnico | Clara Helena Agudelo Quintero, Gina Graciela Calderón Luis Alexander Castro , María del Sol Effio J., Francy Carranza Franco, Omar Hernández Salgado, Edgar Martínez Morales, Jesús Alirio Náspirán, Emilce Prieto Rojas, Sonia Vivas Piñeros

© 2010 Ministerio de Educación Nacional Todos los derechos reservados Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio de recuperación de información, sin permiso previo del Ministerio de Educación Nacional. © Ministerio de Educación Nacional ISBN libro: XXX-XXX-XXX-XXX-X ISBN obra: XXX-XXX-XXX-XXX-X Dirección de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media

Subdirección de Estándares y Evaluación Ministerio de Educación Nacional Bogotá, Colombia, 2009 www.mineducacion.gov.co

Fundación Manuel Mejía Dirección General | Mauricio Perfetti del Corral Coordinación del Proyecto | Andrés Fernando Casas,Aura Susana Leal Aponte Coordinación Editorial | Erika Mosquera Ortega, Paula Andrea Ospina Patiño Coordinación logística | Catalina Barreto Garzón, Claudia Pico Bonilla, Geovana López Lozano, Patricia Lascarro Suárez, Eliana Catalina Cruz

Asesoría Pedagógica | Carolina Cortés , Solman Yamile Díaz Autores | Javier Moreno, Luz Stella Alfonso, Lizzie Zambrano, Carolina Martínez Diseño de arte y cubiertas | Wilson Giral Tibaquirá, Guido Delgado Morejón Diseño y diagramación | Lorena Morales Sánchez Ilustración | Richard Rivera Ortiz Selección y retoque fotográfico | Raquel Suárez Díaz

Presentación En el marco de los modelos flexibles que promueve el Proyecto de Educación Rural, el Ministerio de Educación Nacional consideró necesario hacer una revisión del modelo Postprimaria rural. Luego de más de 16 años de funcionamiento de este modelo, se actualizaron y complementaron los materiales pedagógicos para su implementación en procura de aumentar la calidad de la educación básica de los niños y jóvenes de la zona rural y garantizar su permanencia en el sistema educativo.

La necesidad de cualificar y actualizar el modelo, realizada por la Fundación Manuel Mejía, se sustentó en los estudios realizados en el año 2005, por el Centro de estudios regionales, cafeteros y empresariales CRECE y por el Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe CERLALC, y, particularmente, en la necesidad de incorporar los avances de la política educativa de calidad, específicamente en lo relativo a los lineamientos curriculares, el enfoque de competencias y los estándares básicos de competencia, entre otros.

Los materiales educativos del modelo Postprimaria rural cumplen un papel central para el desarrollo o el fortalecimiento de las competencias básicas. Es así como con esta serie de nuevas cartillas se busca que los niños y jóvenes que adelantan sus estudios de educación básica secundaria en instituciones o centros educativos con el modelo Postprimaria rural, así como sus docentes y directivos, encuentren una base para la realización de actividades pertinentes para el contexto rural con las que puedan desarrollar conceptos a través de la propuesta del aprendizaje significativo en el marco de los referentes de calidad de la política educativa.

Ministerio de Educación Nacional

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Así es esta cartilla Querido estudiante: Bienvenido a este nuevo curso de .BUFNÃUJDBT de la Postprimaria rural.

Esperamos que tu experiencia sea enriquecedora para ti y para todos los integrantes de tu comunidad educativa.

Lee con atención el siguiente texto. Te ayudará a entender la forma como están organizadas las cartillas que conforman parte del material que se utilizará para el trabajo de las áreas fundamentales, de los proyectos transversales y de los proyectos pedagógicos productivos.

La cartilla que tienes en tus manos, te acompañará durante todo el curso y te ayudará en tu proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento adecuado de ella te permitirá obtener un mejor desempeño y adquirir un compromiso serio que te ayude en tu formación personal.

En cada uno de los módulos que componen las cartillas encontrarás unos íconos que indican el tipo de trabajo que vas a realizar.

Las actividades que se presentan cada vez que veas este ícono te disponen, en compañía de tus compañeros y compañeras, hacia el aprendizaje desde lo cotidiano y desde los conocimientos que has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria.

Estas actividades pueden considerarse la puerta de entrada al conocimiento.

Las actividades a través de las cuales se presentan nuevos conocimientos estarán acompañadas de este ícono.

Es importante que pongas tu mejor esfuerzo en su realización, y que consultes con tu profesor las dudas que se te presenten.

Así, tus aprendizajes y el uso que hagas de ellos te permitirán mejorar tus competencias y tus desempeños como estudiante y como ciudadano responsable, comprometido con tu comunidad y con el lugar en el que vives.

4

Identificadas con este ícono encontrarás las actividades que te permitirán dar cuenta de tus aprendizajes, ganar seguridad en el uso del conocimiento y utilizarlo en situaciones diferentes a las presentadas en las actividades en las que aprendiste algo nuevo.

Identificadas con este ícono encontrarás actividades de aplicación en las que pondrás ver que lo que has aprendido te sirve para solucionar situaciones relacionadas con tu vida cotidiana, con la ciencia que estás aprendiendo y con las otras áreas del conocimiento.

Las actividades identificadas con este ícono, te permitirán establecer tu nivel de desempeño y la forma como vas desarrollando tus competencias.

El análisis de los resultados que obtengas en su realización te ayudará a identificar las acciones que puedes realizar para superar las dificultades que se hayan podido presentar o a determinar las formas de mejorar tus competencias de manera que puedas dar apoyo a tus compañeros que lo necesiten.

Si las actividades están acompañadas de este ícono, es importante que las realices solo y pongas en ellas tu mejor esfuerzo.

Cuando las actividades están acompañadas de este ícono, debes reunirte con uno o más de tus compañeros. Recuerda respetar sus opiniones y ritmo de trabajo y colaborar para que la realización de estas actividades favorezca el desarrollo de competencias en todos los integrantes del grupo.

Te invitamos a hacer un buen uso de esta cartilla y a cuidarla de manera que pueda ser usada por otros estudiantes en años posteriores.

5

2

Tabla de contenido

1

MÓDULO Guía

1

2 3

“El País de los números” | 8 ¿En dónde usamos los números? | 12

MÓDULO Guía

4 5 6

¿Son ordenados los números? | 16

3

¿Cómo representar los números? | 20

Los números que encontramos a nuestro alrededor | 24

¿Cuánto tengo, cuánto me falta? | 28

¿Cuántas veces son muchas veces? | 32 Repartos equitativos | 36

La naturaleza de los números | 44

MÓDULO Guía

7 8 9

6

¿Sabes cómo se relacionan los números? | 48 ¿Conoces a los primos? | 52

¿Conoces los mayores y los menores? | 58

5

La medida es cosa seria | 90

MÓDULO Guía

4

Guía

10 11

14 15 16

Rutas y mapas | 66 Elementos gráficos de Geometría | 70

Guía

12

¿Quién dejó esta huella? | 78

13

Elementos gráficos de Geometría | 82

¿Cuál región es más extensa? | 98 ¿Cuánto tiempo ha pasado? | 102

6

Recolec ción e interpretación de datos | 110

17

¿Qué hacen mis compañeros en el tiempo libre? | 114

MÓDULO

¡Anda caballito! | 74

¿Qué está cerca y qué está lejos? | 94

18

¿Cuánto pesan mis compañeros de clase? | 120

19

Otra forma de ver los datos recogidos | 124

7

MÓDULO

“El País de los números”

¿Qué vas a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico y sistemas numéricos >> Describo, comparo y cualifico situaciones con los números naturales >> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variación en las medidas.

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos >> Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y graficas. >> Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales.

8

Pensamiento métrico y sistemas de medida >> Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos variacional, numérico y métrico a través del concepto de números naturales. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

Contenidos Guías

Concepto de ecuación

1

Sistema de numeración decimal

2

Características del conjunto de los números Naturales

3

Números naturales en la recta numérica – orden.

Procesos >> Identifica y resuelve problemas que surgen de situaciones matemáticas y experiencias cotidianas >> Utiliza el lenguaje simbólico para representar e interpretar situaciones. >> Representa y comunica ideas matemáticas mediante representaciones concretas o diagramas. >> Crea situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemáticos.

9

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Sistema de numeración decimal El conjunto de los Números Naturales Se representa

Con la letra N N= {0, 1, 2, 3, 4, 5,…} en él se establecen

Relaciones

Representación grafica

Escritura

Recta numérica

Posición

que pueden ser de

Orden

Equivalencia

a es mayor que b a>b a es menor que b a<b

a=b

Ordinales y cardinales

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

Todos sabemos para qué sirven los números 1, 2, 3, etc. Lo sabemos desde primaria. Lo hemos aprendido en los primeros juegos con nuestros padres y compañeros. Si nos preguntan por el número de pupitres que existen en nuestro salón de clase, podemos contar y decir, con toda seguridad, el número de ellas. Ahora ampliaremos sus aplicaciones para representar gráficamente y por escrito las diferentes situaciones de la vida cotidiana.

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¿Cómo se te va a evaluar?

Vas a desarrollar las competencias básicas donde tu aprendizaje será enriquecido por situaciones problema significativas y comprensivas que te permiten avanzar en las guías del modulo. Las cuales permiten ampliar tus conocimientos y habilidades sobre el tema.

En las evaluaciones se proponen evaluar tu aprendizaje explorando tus conocimientos que tú has adquirido por medio de las actividades de las guías teniendo en cuenta lo significativo , lo comprensivo y en particular las situaciones problema a fin de reconstruir y validar en forma personal el saber matemático.

Explora tus conocimientos

Cuando aprendes a contar, a ordenar y a leer los números por diversas razones y con mucha frecuencia necesitas contar objetos. Cuando vas a la tienda, a la plaza, cuando juegas u observas un campeonato deportivo y tomas nota de los resultados a favor o en contra de un equipo, lo realizas en la mayoría de veces haciendo comparaciones o relaciones en busca de un resultado que te permita aclarar una situación en particular.

Observa el dibujo y responde las siguientes preguntas: >> ¿Cuántas fichas de color verde puedes ver? >> ¿Cuántas fichas de color amarillo puedes ver? >> ¿Qué color tiene el número mayor de fichas? >> ¿Cuál sería el orden de los colores si los organizamos de mayor a menor? >> ¿Cuál color tendría más fichas que las de color rojo? >> ¿Cuál es el número total de las fichas?

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Guía Observa la siguiente figura:

¿En dónde usamos los números?

Ahora responde ¿Cuántos cubos hay en la figura? ¿Cómo usamos los números en esta actividad? ¿Para qué más nos sirven los números? ¿En dónde usamos los números?

Para estudiar los números observemos la organización de un país. Tiene un número determinado de habitantes, tiene sus propias reglas y sus habitantes las respetan. Resulta interesante conocer el origen y las características de sus habitantes; las correspondientes leyes que los rigen; los tipos de relaciones; la posición; la magnitud de sus tierras y el orden que se dan entre ellos.

Realizaremos nuestro recorrido por los caminos de este interesante país.

La organización de estos habitantes es sorprendente, siempre se presentan de modo ordenado y es fácil identificar quién esta adelante o detrás de cualquier otro. Dos de los habitantes se disputan el primer lugar desde hace algún tiempo. Son tantos los habitantes del país que nunca se termina de contarlos porque siempre se presentan otro habitante que le sigue al que se creía que era el último, son infinitos.

Estos Habitantes disfrutan de una gran amistad, tienen buenas relaciones entre sí y permanecen muy ordenados, todos conocen a su vecino y saben que el de la izquierda es el menor y el de la derecha es el mayor.

El sistema de numeración decimal es muy parecido a la organización demográfica de nuestro país, es llamado decimal porque fue inventado por los hindúes y difundido des-

12

pués por los árabes, razón por la cual también se llama sistema indoarábigo. Este sistema consta de diez símbolos llamados dígitos.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 En cierto pueblo de nuestro maravilloso país se encuentran 537 habitantes si leemos por separado, cada uno de los números que lo componen, tenemos

5

3

7

Cinco

Tres

Siete

Centenas

Decenas

Unidades

Pero si tenemos en cuenta la posición de cada número podemos observar que el 7 está en la columna de las unidades, el 3 está en la columna de las decenas y el 5 está en la columna de las centenas. Por lo tanto podemos decir que el sistema numérico decimal es posicional es decir que se tiene en cuenta la posición que ocupa el número veamos ¿Por qué?.

Para hacer fácil la lectura de los números, usamos espacios para separar a los dígitos en grupos de tres, llamados posiciones. Cada posición tiene un nombre como unidades, millares, millones, billones y así sucesivamente por ejemplo reunimos los habitantes de 11.250 pueblos para mirar cuantos hombres y mujeres había, y en total eran 235.064.140 hombres y 185. 142.390 mujeres, el número de habitantes hombres se lee doscientos treinta y cinco millones, sesenta y cuatro mil, ciento cuarenta. Vamos a mostrarte la siguiente tabla donde muestra la posición de cada dígito.

1

1.0000

1000

100

10

1

Centenas

Unidades

100.000

Centenas

0

1.000.000

Unidades

Millares

4

10.000.000

Decenas

4

100.000.000

Centenas

Millones

6

Unidades

0

Decenas

5

Unidades

3

Decenas

2

108

107

106

105

104

103

102

101

100

13

Ahora bien, cada posición corresponde a una potencia sucesiva de 10, es decir conforme nos movemos a la izquierda en esta tabla el valor de la posición es 10 veces más grande que la columna a su derecha. Esta es la razón por la cual llamamos a nuestro sistema “sistema de numeración decimal”.

Entonces ahora ¿Podrás hacer lo mismo con el número de mujeres que habitan en estos 11.250 pueblos?

La representación de un número La representación de un número puede ser de forma polinómica, es decir el número se expresa teniendo en cuenta el valor de la posición de cada de sus cifras. Por ejemplo, el número 11.250 de pueblos reunidos anteriormente se puede expresar en forma polinómica de la siguiente manera: 9.000 + 600 + 400 +1.000 + 200 + 50 ó 4.000 + 7.000 + 1250 ó de muchas maneras más, como tú quieras.

También puedes expresarlo de forma exponencial es decir el número se expresa teniendo en cuenta el valor de la posición de cada de sus cifras en forma exponencial. Por ejemplo el número 11.250 anteriormente mencionado, expresado en forma exponencial es: (1 x 105) + (1 x 104) + (2 x 103) + (5 x 102)

1. Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

La población 2. 560 pueblos de este país anteriormente mencionado para el 2010 son de 45.541.052 de habitantes. En la tabla aparece esta cifra Completa la siguiente tabla y conteste las siguientes preguntas:

5

0

5

2

105

103

Unidades

Decenas

Centenas

10

1000

Centenas

Millares

>> El valor de 2 de acuerdo con su posición es: >> El valor de 1 de acuerdo con su posición es: >> El valor de 0 de acuerdo con su posi

14

1

100.000

107

Unidades

10.000.000 Decenas

Millones

4

Unidades

5

Decenas

4

102

100

>> En cierto pueblo de este país se encuentra una granja, en ella encontramos animales, nubes, plantas, etc. Plantea cuantos círculos, flores, plantas, árboles, vacas, pollitos encuentras en la imagen y diseña una tabla donde expreses su escritura en palabras, la posición, una expresión polinómica y la notación exponencial que representa el número exacto que tienes de cada objeto.

1. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si la afirmación es falsa. a. El sistema decimal fue inventado por los árabes. b. El sistema decimal es posicional c. 104 =100 d. 32 = (3 x 101) + (2 x 100) e. 35 = treinta y dos

( ( ( ( (

) ) ) ) )

2. Elabore un dibujo donde contenga: 5 Cuadrados, 10 Triángulos, 4 3. nubes, 6 animales, 12 flores, 31 piedras y complete la siguiente tabla.

Objeto

Cantidad

Forma polinómica

Forma exponencial

Escritura en palabras

Cuadrados Triángulos Nubes Animales Flores Piedras 4. En un pueblito existe una escuela llamada santuario del número la cantidad de alumnos de una escuela es 13.642, responde lo que le preguntaron a Gustavo en la evaluación de matemáticas. >> ¿Qué dígito está en la columna de las decenas?

>> ¿Qué dígito está en la columna de las unidades de millares? >> ¿Qué dígito está en la columna de las centenas?

>> ¿Qué dígito está en la columna de las decenas de millares? >> ¿Qué dígito está en la columna de las unidades?

15

Guía

¿Son ordenados los números?

En el país anteriormente mencionado se van a construir muchas carreteras, caminos y calles interminables. Por eso tenemos que ayudar a los habitantes de este país a construirlas, pero debemos hacerlo respetando el orden natural de las calles y carreras o de los caminos de un territorio, por esto en un plano: 1. Dibuje las calles primera, tercera, quinta y séptima.

2. Dibuje las carreras sexta, novena, decima, cuarta y primera 3. ¿Pueden estar estas calles o carreras en cualquier orden?

4. ¿Para qué sirve que las calles o carreras estén numeradas?

5. ¿Sabes que significa cada número en una dirección de correspondencia?

El conjunto de los números naturales Del mismo modo que las calles de nuestra ciudad o nuestro pueblo están ordenadas para facilitar la ubicación espacial de las personas, los números naturales lo están y pueden representarse mediante puntos igualmente distribuidos en la semirrecta.

Para ellos se traza una semirrecta que continúa de modo indefinido hacia la derecha con una flecha final que indica la dirección a donde se escribirán los números naturales y se hacen muchas marcas igualmente espaciadas sobre ella.

Luego hacen corresponder los números naturales con los puntos marcados en la semirrecta, así 0

1

2

3

4

5

6

7

Antecesor

0

1

2

3

4

Número

16

5

6

7

Antecesor

8

9

10

Número

8

9

10

La idea de sucesor de un número sirve para distinguir el orden natural de los números y definir el conjunto de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, …} Los puntos suspensivos se leen,… “y así sucesivamente” e indican que el conjunto tiene infinitos elementos.

Representación grafica de los números naturales Para representar gráficamente el conjunto de los números naturales podemos tomar una regla que utilizamos para medir en ella observamos lo siguiente:

El cero es el primer elemento y note que cada número natural tiene un sucesor y cada número mayor a uno tiene un sucesor y un antecesor. ¿Cuál es el número antecesor de 10 y ¿cuál es el número sucesor de 10?

Los números tienen un doble uso: Cuando se responde a la pregunta ¿Cuántos?, se responde con el número cardinal 6 por ejemplo. Cuando se pregunta: ¿Cuál? Se responde con el ordinal del número sexto. Por lo tanto los números naturales son ordinales y de los cardinales son para contar, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

En la granja anteriormente mencionada también existían otros animalitos como los cerditos, los caballos, los patos y muchos más. Observemos otra foto de la granja y ubica en la recta numérica cuantos círculos, patos, caballos, cerditos, rocas, flores hay, y completa la tabla.

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Objeto

Número

Exprese el número en ordinal

Círculos Patos Caballos Cerditos rocas Flores

1. Dibujo una recta numérica y con ayuda de ella completo cada una de las siguientes secuencias: a. __, ___, ____, 8, 9, 10 b. 24,___, ____, 27, 28 c. 1, 2, 3, 2, 3, 4, ___, ___, ___. d. 2, ___, 6, ___, 10, 12 e. 0, 1, 2, ___, 4, ___, ___.

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2. Ahora tenemos que darle nombre a nuestras calles construidas ayuda a los habitantes identificar si el nombre de estas está escrito en número ordinales o en números cardinales. Marca con una X según corresponde

Ordinales

Cardinales

Calle Octava Calle Novena Calle 100 Calle Sexta Calle 125 Calle Decima Calle Primera Calle Tercera Calle 8 Calle 153

19

Guía

¿Cómo representar los números?

Para hablar de representación de los números debemos pensar en situaciones donde usemos los números, como la siguiente: En el país se realizo un concurso el cual participaron 5 habitantes del pueblo y lo transmitieron por el canal regional, el programa de televisión se llama el “precio es correcto”. El concursante ganador es la persona que se acerque más a (sin sobrepasar) el precio del articulo en venta.

Viviana $ 4495

Pablo $ 4550

Javier

Carlos

$ 4551

$ 4200

Diego $ 4000

a. ¿Qué concursante ganará si están concursando por un balón que tiene un precio sugerido de $ 4.745? b. Si el artículo en venta fuera un moral y el precio sugerido es de $4.390 ¿Qué concursante ganará? c. Si pudieras concursar con ellos y el artículo en venta es un libro y el precio sugerido es de $4.553 ¿Qué precio le pondrías para ganar?

Siguiendo con el análisis de los números, veamos por ejemplo el número natural 4 tiene un sucesor 5 y un antecesor 3, el cero por ser el primer elemento y no tiene antecesor.

0

1

2

3

4

5...

Podemos observar que al movernos hacia la derecha en la recta los números se hacen más grandes. Como 4 está a la derecha de 3 decimos que 4 es mayor y se puede usar el símbolo de > que significa “es mayor que” para escribir este hecho (4 > 3). Por lo tanto sabemos que 3 es menor que 4 y se puede usar el símbolo de < que significa “es menor que” (3 < 4).

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Los números naturales aparte de contar los elementos de un conjunto, también sirven para ordenar los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo en una carrera automovilismo que realizan los habitantes de un pueblo, no solamente es necesario conocer cuántos carros terminan la carrera sino también es importante saber el orden en que llegan a la meta.

El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cuál es el número menor y cuál es el número mayor.

Visualicemos la carrera

Automóviles

Puesto de salida

Puesto de llegada

Carro 1

5

4

Carro 2

3

6

Carro 3

1

2

Carro 4

4

1

Carro 5

6

3

Carro 6

2

5

Ahora un reportero de prensa requiere que le ayudemos a escribir un artículo sobre los sucesos de la carrera. Escribe ese artículo teniendo en cuenta el orden del número del carro, el puesto de salida y del puesto de llegada.

Entonces Cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: a. a es mayor que b. Esta relación se simboliza a b. a es menor que b. Esta relación se simboliza a c. a es igual a b. Esta relación se simboliza a = b Por ejemplo En el salón de clases del grado décimo de una escuela hay 10 estudiantes con las siguientes edades: 11 años, 10 años, 13años, 16 años, 18 años, 14 años, 22 años, 17 años, 12 años, 19 años. Ordene de menor a mayor y diga cuántos y cuáles son los estudiantes mayores de 15 años y cuantos estudiantes son menores 21 años.

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1. Resuelva el siguiente crucigrama 2

1

3

Horizontales a. Número de tres cifras iguales b. Número que está a la derecha de 200 c. Número que está a la izquierda 851

1

2

Verticales a. Número que está a la derecha de 327 b. Número mayor que 304 c. Número menor que 311

3

2. Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

Escriba uno de los símbolos > o < en el espacio para que el enunciado se verdadero 25 ___29 48___46 85___91 102___101 50 ___30 11___10 45___49 874___870

1. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si la afirmación es falsa 2005 < 2009

( )

2010 > 2009

( )

85 > 91

( )

102 < 101

( )

5000 > 300

( )

11 < 10

( )

45 < 49

( )

874 > 870

( )

2. Ordenar los siguientes números con los signos < o > 3, 4, 13, 25, 17, 23, 35, 65, 45, 36, 10

22

Que aprendí Escriba el número que representa: >> 4 centenas + 3 docenas + 6 unidades >> 8 centenas + 6 docenas + 2unidades >> 2 millares + 7 centenas + 4 decenas + 3 unidades >> 6 millares de millones + 5 decenas + 9 unidades >> Cuatrocientos cincuenta y seis >> Veintisiete mil quinientos noventa y siete >> Siete millones, cuatrocientos cuarenta y tres mil ochocientos sesenta >> (3 x 101) + (7 x 100) >> (5 x 103) + (6 x 102) + (1 x 101) >> (6 x 104) + (2 x 103) + (4 x 102) + (8 x 101)

¿Cómo me ven los demás?

Realiza el siguiente juego con un compañero o compañera. Cada jugador va diciendo un digito de 1 a 6. Estos números se van adicionando alternativamente, de tal manera que gana quien primero llegue a 51.

Por ejemplo: María y Juan van a jugar. >> María inicia con 1. >> Juan dice 6 entonces van 7. >> María dice 5, entonces van 12. >> Juan: dice 4, entonces van 16. >> Y así sucesivamente hasta llegar a 51.

De acuerdo con el ejemplo, ¿quién ganaría María o Juan?

Me autoevalúo Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Sí

A veces

No

Identifica y resuelve problemas que surgen de situaciones matemáticas y experiencias cotidianas Utiliza el lenguaje simbólico para representar e interpretar situaciones.

Representa y comunica ideas matemáticas mediante representaciones concretas o diagramas.

Crea situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemáticos.

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MÓDULO

Los números que encontramos a nuestro alrededor.

¿Que vas a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico >> Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica, transitiva, etc.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa, etc.) en diferentes contextos. >> Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. >> Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos. >> Pensamiento métrico >> Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación. >> La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos

24

numérico y métrico, a través de los conceptos asociados a la adición, la sustracción, la multiplicación y la división de números naturales. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

Contenidos Guías

Contenidos

4

Adición y sustracción de números naturales.

Propiedades

5

Multiplicación de números naturales. Propiedades

6

División de números naturales

Procesos >> Describir e interpretar propiedades y relaciones de los números y sus operaciones. >> Comprender el fundamento conceptual base de los algoritmos de las operaciones básicas con números naturales. >> Argumentar el uso de los procedimientos y algoritmos de las operaciones básicas con números naturales en distintas situaciones. >> Resolver problemas que impliquen las operaciones básicas con números naturales en distintos contextos.

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En el siguiente esquema observarás la relación existente entre los conceptos que vas a aprender.

Módulo 2 Pensamiento numérico y sistemas numéricos Operaciones con números pueden ser

Adición

Sustracción

Multiplicación

Que tiene propiedades como

Que tiene propiedades como

Clausurativa Conmutativa Asociativa Modulativa

Clausurativa Conmutativa Asociativa Modulativa Distributiva

División

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

Las operaciones con números naturales se aplican en la resolución de diversos problemas cotidianos tales como el caso del cálculo total de la producción de una finca, la diferencia entre las cantidades de los bultos cosechados y los vendidos, el cálculo de la vida útil que le queda a una máquina, o la determinación de la cantidad de alimento que le corresponde a cada animal de un hato, entre muchos otros usos.

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¿Cómo se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números naturales y sus correspondientes propiedades.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

También encontrarás las secciones Aplico lo aprendido y Evaluación, en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

Explora tus conocimientos

BELLA VISTA ALAMOS

SAN JACINTO LA ESPERANZA

PUERTO MARÍN

Javier es un niño de 12 años que vive en la población de San Jacinto. En muchas ocasiones Javier acompaña a su papá, don Pastor, a vender los productos de su finca hasta Bella Vista, una población cercana, pero primero pasan por Los Álamos, a 15 km de San Jacinto. a. Si hasta Los Álamos han recorrido la tercera parte del camino, ¿cuál es la distancia entre San Jacinto y Bella Vista? b. ¿Cuántos kilómetros recorren en total si se devuelven el mismo día? c. En esta ocasión, Javier y don Pastor hicieron el recorrido hasta Bella Vista varias veces el mismo día. ¿Cuántas veces fueron y vinieron, si en total recorrieron 105 km? d. Si 1 km es igual a 1 000 m, ¿cuál es la distancia en metros entre San Jacinto y Los Álamos?

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Guía Forma un grupo con tres compañerosy compañeras para desarrollar las siguientes actividades en el cuaderno.

¿Cuánto tengo, cuánto me falta?

Lean la historia y luego contesten las preguntas.

Don Pastor, nació en San Jacinto el 23 de abril de 1970; se casó el 16 de diciembre de 1995, y tuvo su primer hijo a los 27 años de edad.

Además de ser un buen esposo y padre, es un excelente agricultor; por ello compró su finca en 2001, donde cosechó una siembra de maíz por primera vez en 2006. >> ¿Qué edad tenía don Pastor cuando se casó? >> ¿Qué año era cuando tuvo su primer hijo? >> ¿Cuántos años de casado llevaba don Pastor cuando tuvo su primer hijo? >> ¿Cuánto años transcurrieron entre la compra de la finca y la primera cosecha de maíz? >> ¿Cuántos años tenía su primer hijo cuando don Pastor compró la finca?

Describan las operaciones que utilizaron para determinar la respuesta de cada una de las preguntas propuestas en las actividades anteriores. >> ¿En qué situaciones de la vida cotidiana es necesario utilizar este tipo de operaciones? Nombren algunas de ellas.

En cursos anteriores han estudiando las operaciones que se pueden efectuar con los números naturales; entre ellas, la adición y la sustracción. Estas operaciones permiten resolver gran variedad de problemas de la vida cotidiana.

28

Cada año, don Pastor vende la cosecha de maíz que produce su finca. Como quiere analizar las ganancias obtenidas en los últimos tres años, organizó la información de la siguiente manera.

Año

Cantidad de dinero recibido

2008 2009 2010

$ 890 000 $ 925 000 $ 997 000

>> ¿Cuánto dinero recibió don Pastor en estos tres años? >> Para encontrar la respuesta a la pregunta anterior, copien en el cuaderno la siguiente operación, observen la posición de las cifras de cada sumando y calculen la suma.

+

Suma

0 0 0

unidades

0 0 0

decenas

0 5 7

centenas

9 2 9

unidades de mil

8 9 9

decenas de mil

centenas de mil

unidades de millón

Valor posicional de las cifras

0 0 0

Sumandos

En la adición de números naturales, se suman entre sí las cifras que tienen el mismo valor posicional.

Don Pastor pagó $ 23 980 000 cuando compró la finca. Si en unos años la vende en $ 30 000 000, ¿cuánto dinero ganaría en la venta? >> Copia la siguiente operación y complétala para responder la pregunta.

Diferencia

-

0 0

unidades

0 0

decenas

0 0

centenas

0 8

unidades de mil

0 9

decenas de mil

0 3

centenas de mil

3 2

unidades de millón

decenas de millón

Valor posicional de las cifras

0 0

Minuendo Sustraendo

29

En la sustracción de números naturales, se restan entre sí las cifras que tienen el mismo valor posicional.

Don Pastor construyó en su finca un galpón para sus gallinas.

Algunas de ellas ponen varios huevos a la semana, como se muestra en la siguiente tabla.

Nombre de la gallina

Número de huevos semanales

Pura Saraviada Pintada Coqueta Mimosa Motosa Luna

5 3 4 3 2 5 3

>> ¿Cuántos huevos ponen en total Pura y Saraviada?

Escriban la adición que les permite calcular la respuesta. >> ¿A qué conjunto numérico pertenecen los sumandos y la suma de esta operación? >> Comparen las siguientes operaciones y resuélvanlas en el cuaderno.

Número de huevos que pone Pintada

4

Número de huevos que pone Coqueta

+

3

Número de huevos que pone Coqueta

3

Número de huevos que pone Pintada

+

4

>> ¿Cambia la suma cuando los sumandos se operan en diferente orden? >> La operación (2 + 5) + 3 permite calcular los huevos que ponen en total Mimosa, Motosa y Luna. Para encontrar el resultado, calculen la suma indicada entre el paréntesis y sumen el tercer sumando a este valor.

Ahora sumen en este orden 2 + (5 + 3). >> Comparen los dos resultados. ¿Son iguales o diferentes? >> ¿Cambia la suma cuando los sumandos se asocian de diferentes maneras? >> Efectúen las siguientes operaciones.

8+0 0 + 12 29 + 0 0 + 34 >> ¿Qué tienen en común? >> ¿Cuál es el resultado de sumar cualquier número natural con 0?

La adición de números naturales cumple algunas propiedades que verificaron en la actividad anterior. A continuación se enuncian de manera general.

30

>> Copien en el cuaderno los siguientes enunciados y propongan un ejemplo de cada uno.

La suma de dos números naturales es otro número natural.

Al cambiar el orden de los sumandos la suma no se altera.

Al agrupar tres o más sumandos en diferente orden, la suma no se altera.

Al sumar un número natural con 0, se obtiene el mismo número.

Trabaja individualmente y realiza las actividades en el cuaderno.

Resuelve las siguientes situaciones.

Don Pastor vende los huevos que ponen las gallinas del galpón. Las ventas realizadas por don Pastor son las siguientes:

Mes 1: 240 Mes 2: 258

Mes 3: 185 Mes 4: 196 >> ¿Cuántos huevos más vendió don Pastor el mes 2 con respecto al mes 4? >> ¿Cuántos huevos menos vendió el mes 3 con respecto al mes 1?

Don Pastor tiene que hacer el siguiente recorrido por las poblaciones cercanas a su finca.

Desde el túnel hasta el primer pueblo Bacatú hay 368 km. De Bacatú a Santa Cecilia hay 593 km. De Santa Cecilia a La Martina hay 480 km De La Martina a Santafé hay 539 km. Y de Santafé a Tacutá hay 185 km. >> Si don Pastor parte desde el túnel, ¿cuántos kilómetros recorre hasta Tacutá? >> ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre los siguientes recorridos?

Bacatú-Santa Cecilia y Túnel-Bacatú

La Martina-Santafé y Santa Cecilia-La Martina

La Martina-Santafé y Santafé-Tacutá Don Pastor hizo su recorrido en tren. Si de los 530 pasajeros que salieron de la estación central junto con don Pastor, 314 se bajaron en Santa Cecilia, y se subieron 153, ¿cuántos pasajeros siguieron hasta la siguiente estación?

Un agricultor recogió la cosecha de papa en una semana así: el lunes 23 bultos, el martes 36 bultos, el miércoles 17 bultos, el jueves 19 bultos, el viernes 18 bultos y el sábado 21 bultos. ¿Cuántos bultos de papa recogió en total? ¿Cuántos bultos más debió recoger para completar 258?

31

Guía Organicen grupos de tres estudiantes para realizar las siguientes actividades en el cuaderno.

¿Cuántas veces son muchas veces?

San Jacinto es un pequeño pueblo rural que cuenta con 2 568 habitantes. En su alcaldía se puede averiguar el número de habitantes de las poblaciones cercanas, porque en la cartelera principal aparece la siguiente información. es más que en hay 1 342 habitant ín ar M to er Pu En • San Jacinto. que en 5 habitantes menos 87 y ha a st Vi lla Be • En San Jacinto. ad de tres veces la cantid • Los Álamos tiene en San Jacinto. habitantes que hay arta habitantes es la cu de o er m nú el a An • En Santa y en San Jacinto. parte de los que ha personas al doble 64 en a as ep br so a • La Esperanz nto. bitantes de San Jaci de la cantidad de ha

>> ¿Cuál es el número de habitantes de cada población? >> Copien en el cuaderno la siguiente tabla, y complétenla con base en la información dada por el profesor de Javier.

Pueblo San Jacinto

Número de habitantes 2.568

Puerto Marín

3

Bella Vista

4

Los Álamos

2

Santa Ana

5

La Esperanza

3

>> Indiquen las operaciones que realizaron para calcular el número de habitantes de cada lugar.

32

San Jacinto cuenta con un museo natural que es visitado por los turistas que vienen al pueblo. Si la entrada al museo cuesta $ 4 500 y hoy ingresaron 28 personas, ¿cuánto dinero se recibió por este concepto?

Para averiguar la respuesta, copien y completen la siguiente operación en el cuaderno. × +

4 500 28

Producto de 2 500 x 8 Producto de 2 500 x 20

La multiplicación de números naturales es una operación que permite calcular abreviadamente una suma de términos iguales.

5 veces 7 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 × 7 = 35

En la multiplicación 5 × 7 = 35, los factores 5 y 7, reciben los nombres de multiplicando y multiplicador, respectivamente. Mientras que el resultado, 35, se denomina producto.

La multiplicación cumple algunas propiedades que analizarán a continuación. >> Resuelvan la siguiente situación.

En la plaza principal de San Jacinto, tiene la forma rectangular y está recubierta por lozas cuadradas de igual tamaño, como se observa en el siguiente plano.

>> Escriban una multiplicación que les permita calcular el número de lozas que recubren la plaza.

33

>> ¿A cuál conjunto numérico pertenecen los factores que utilizaron? >> ¿A cuál conjunto numérico pertenece el producto? >> ¿A cuál conjunto numérico pertenece el producto de dos números naturales cualesquiera?

El producto de dos números naturales es siempre otro número natural.

Inviertan el orden de los factores en la multiplicación que escribieron en el numeral anterior y calculen el producto. >> ¿Cambia el producto cuando se multiplican los factores en diferente orden? >> Verifiquen su respuesta anterior, comparando los resultados de las siguientes operaciones.

9 × 8 y 8 × 9 23 × 18 y 18 × 23

12 × 15 y 15 × 12 93 × 14 y 14 × 93 En la multiplicación de números naturales el orden de los factores no altera el producto.

En la plaza de mercado de San Jacinto, es posible conseguir gran variedad de productos típicos. Por ejemplo, las almojábanas vienen empacadas en paquetes de tres bolsas con cinco almojábanas cada una. >> Dos de las siguientes operaciones permiten calcular cuántas almojábanas se lleva un turista que compra siete de estos paquetes. ¿Cuáles son? Expliquen su elección.

(7 × 3) × 5 (7 × 3) ÷ 5 7 × (3 × 5) >> ¿En qué se diferencian las operaciones (7 × 3) × 5 y 7 × (3 × 5)?

En una multiplicación de números naturales, el orden en que se asocien tres o más factores, no altera el producto.

En uno de los puestos de fruta, una de las vendedoras organiza las naranjas, ya sea en seis filas de una unidad o en una fila de seis unidades, como se observa en la figura.

34

>> ¿Cuántas naranjas utiliza la vendedora en cada arreglo? >> ¿Es lo mismo 6 × 1 que 1 × 6? Justifiquen su respuesta.

El producto de cualquier número natural por 1 es el mismo número natural.

Don Pastor compró tres quesos a $ 2 500 cada uno en un puesto de la plaza de mercado y su esposa compró dos.

Para determinar el dinero que gastaron entre los dos, la esposa de don Pastor propone la siguiente estrategia: Sumar la cantidad de quesos y multiplicar el resultado por el precio de cada queso.

Mientras que don Pastor propone: Multiplicar el número de quesos que compró cada uno por el precio correspondiente y luego sumar los resultados. >> Completen los siguientes cuadros en sus cuadernos con la operación que se propone en cada caso, hallen los resultados y compárenlos.

Procedimiento propuesto por don Pastor

Procedimiento propuesto por la esposa

>> ¿Qué diferencia hay entre los resultados obtenidos por don Miguel y su esposa?

La suma de dos números naturales por un tercero es igual a la suma de los productos de cada sumando por el tercer número.

Resuelve en el cuaderno, y de manera individual, las situaciones que se proponen a continuación.

1. En la cooperativa de agricultores de San Jacinto, cada afiliado debe aportar $ 35 000 mensualmente. Si en total hay 58 afiliados, ¿cuánto dinero recibe la cooperativa cada mes, por concepto de aportes?

1. Cerca de la finca de don Jacobo, hay un criadero avícola que cuenta con 325 gallinas. Si cada una cuesta $ 5 700, ¿cuál es el precio total de las gallinas?

1. Fermín está vendiendo un terreno por parcelas. Si el terreno tiene forma rectangular de 124 m de largo por 53 m de ancho, y ofrece cada metro cuadrado a $ 256 000, ¿cuánto dinero recibirá por la venta total?

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Guía Organicen grupos de tres estudiantes para realizar las siguientes actividades en el cuaderno.

Repartos equitativos

Manuel compró un terreno, con las dimensiones que se observan en el plano, por un precio de $ 18 750 000.

20mt

t m

15 >> ¿Cuál es el área del terreno? >> ¿Cuál es el valor de cada metro cuadrado del terreno? >> ¿Qué operación deben efectuar para resolver la situación propuesta?

Para resolver la situación, primero se halla el área del terreno: 300 m2. ¿Por qué?

Luego, se puede realizar la siguiente división de números naturales: a.

b.

Como el divisor tiene tres cifras se separan tres en el dividendo. Pero 187 no se puede dividir por 300, entonces se toma la cifra siguiente para formar 1 875.

Se busca el número que multiplicado por 300 de aproximadamente 1 875.

En este caso es 6: 300 x 6 = 1 800 Este producto se resta de 1 875.

1875’0000 300

36

1875’0000 300 - 1800 6 75

c.

d.

18750000 300 - 1800 62 750 - 600 150

Se baja la siguiente cifra para formar el número 750 y se busca el número que multiplicado por 300 de aproximadamente 750. El número es 2.

300 x 2 = 600 Este producto se resta de 750.

18750000 300 - 1800 62500 750 - 600 1500 - 1500 00 - 00 00 - 00 0

Se continúa el proceso hasta bajar la última cifra del dividendo.

Por lo tanto, el precio de cada metro cuadrado del terreno es de $ 62 500.

Cada uno de los términos de la división recibe un nombre particular.

Observen.

Dividendo Residuo

50 8 -48 6 2

Divisor Cociente

>> Copien y completen las siguientes frases en el cuaderno.

El dividendo es el número que El divisor es el número que El cociente es el El residuo es el Manuel quiere repartir el terreno comprado entre sus siete hijos. >> ¿Es posible dividir el terreno en siete partes iguales, sin que sobren metros cuadrados? >> ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada uno? >> Copien y efectúen la siguiente división.

300 7

37

>> ¿Cuál es el residuo de la división? >> ¿Cuándo una división es exacta? >> ¿Cuándo una división es inexacta?

Una división es exacta cuando su residuo es cero. Y es inexacta cuando el residuo es diferente de cero. >> Realicen cada división e indiquen si es exacta o inexacta.

45 ÷ 5 83 ÷ 9 108 ÷ 12 96 ÷ 15 >> Ubiquen los términos de una de las divisiones que resultaron inexactas, donde corresponda en la siguiente igualdad.

DIVIDENDO

= (DIVISOR × COCIENTE) + =

×

RESIDUO

+

¿Se cumple la igualdad?

En toda división de números naturales se cumple la siguiente igualdad.

DIVIDENDO = (DIVISOR × COCIENTE) + RESIDUO Recuerden que la multiplicación de números naturales cumple algunas propiedades. ¿La división cumplirá propiedades similares?. Averígüenlo desarrollando las siguientes actividades.

Copien y efectúen las siguientes divisiones: 65 ÷ 13 65 ÷ 9 >> ¿Cuál es el resultado de la primera división? ¿Y de la segunda? >> ¿La división de dos números naturales es siempre un número natural? Expliquen la respuesta.

Ahora realicen estas divisiones en el cuaderno.

72 ÷ 6 6 ÷ 72 >> ¿Qué resultado obtuvieron en la primera división? >> ¿Cuál es el resultado de la segunda división? >> ¿Es posible intercambiar el orden del dividendo y el divisor sin que el altere el cociente? Analicen otros ejemplos.

Calculen el resultado de las siguientes operaciones. Recuerden que primero se realizan las operaciones indicadas entre paréntesis.

(45 ÷ 3) ÷ 5 45 ÷ (3 ÷ 5).

38

>> ¿Obtuvieron los mismos resultados? >> ¿Es posible asociar los términos de una división sin que se altere el cociente? >> ¿Es lo mismo 14 ¸1 que 1 ¸ 14? Expliquen su respuesta. >> ¿Cuáles son los resultados de las siguientes operaciones? Completen el siguiente proceso en el cuaderno, para determinar la respuesta.

28

(3 + 4)

(28

=

=

=

=

3) + (28

4)

+

>> ¿Dividir un número entre la suma de otros dos es igual a la suma de los cocientes que se obtienen al dividir el número entre cada sumando?

Trabaja individualmente en el cuaderno.

Resuelve cada situación.

Calcula la medida del lado desconocido en cada terreno de forma rectangular.

10 m

20 m

21 m

17 m

A = 250 m2

A = 380 m2

A = 420 m2

A = 510 m2

10 m

20 m

21 m

17 m

>> El terreno comprado por Manuel es de forma rectangular con medidas 20 m de largo por 15 m de ancho. >> ¿Cuántos postes debe comprar para cercarlo, si va a colocarlos cada dos metros alrededor del terreno? >> Manuel quiere repartir el terreno en cinco partes iguales para regalarle a sus hijos. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada uno? >> Para obtener ganancias, los hijos de Manuel deciden vender el terreno total por $ 21 000 000. ¿Cuánto le ganaron a cada metro cuadrado?

39

>> En la tienda de doña Rosario se encuentran los siguientes productos.

Kilo de arroz $ 2 400

Docena de huevos $ 3 600

Libra de tomate $ 1 500

Libra de café $ 7 500

Paquete de pasta $ 1 200

Frasco de aceite $ 3 500

Paquete de harina $ 1 200

Kilo de papa $ 1 000

Mario debe llevar: cinco kilos de arroz, tres docenas de huevos, siete libras de tomate, cuatro libras de café, dos paquetes de pasta, tres frascos de aceite, cuatro paquetes de harina y ocho kilos de papa. ¿Mario podrá pagar sus compras con $ 70 000? ¿Por qué?

Mario decide pagar el valor total de sus compras en cuotas.

Si cada una es de $ 17 800, ¿cuántas cuotas debe pagar?

>> Maritza compró ocho paquetes de almojábanas, pero cuando empieza a desempacarlas se da cuenta que en vez de tener las 72 unidades que esperaba sólo tiene 64. ¿Cuántas almojábanas pensaba Maritza que debía recibir por paquete?¿Cuántas almojábanas por paquete recibió realmente Maritza? >> Cinco toros con masas iguales pesan entre todos 2 840 kg. ¿Cuál es el peso de cada uno? >> A las fiestas patronales de Los Pinos asistieron 1 253 hombres, 1 786 mujeres y 175 menores de edad. Si la plaza de toros del pueblo cobra $ 15 700 por la entrada y se espera que asistan todos los visitantes, ¿cuánto se recaudaría por entradas a la corrida de toros? >> Para empacar 1 500 huevos se dispone de bandejas en cada una de las cuales caben doce unidades. ¿Cuántas bandejas se necesitan? >> Pilar hizo una llamada telefónica de doce minutos de duración. Si le cobraron $ 1 500, ¿cuál es el costo de cada minuto?

40

Observa la factura. Luego contesta las preguntas.

Cantidad

Descripción

Valor unitario

Valor total

5

Cajas de puntillas

$ 3 500

$ 17 500

3

Cajas de tornillos

$ 4 200

$ 12 600

50

Chazos

$ 100

$ 5 000

20

Tuercas

$ 300

$ 6 000

10

Brocas

$ 1 500

$ 15 000

>> ¿Cuál es el valor total de la factura? >> ¿Cuál es el valor unitario de cada uno de los implementos comprados? >> ¿Cuál sería el costo de comprar tres cajas de puntillas, dos cajas de tornillos y diez tuercas? >> Si en un nuevo pedido se duplican las cantidades de implementos, ¿cuál es el valor de la nueva factura?

En un terreno de forma rectangular que tiene 15 m de ancho y 24 m de largo, cada metro cuadrado tiene un costo de $ 250 000. >> Si se quiere cercar el terreno con tres hiladas de alambre de púas, ¿cuántos metros de alambre es necesario comprar? >> ¿Cuál es el precio total del terreno? >> Si se logra vender en $ 98 550 000, ¿cuál es la ganancia con respecto al precio inicial?

En la cosecha del mes de marzo, en una finca se recogieron las siguientes cantidades; 756 205 bultos de yuca, 256 955 bultos de naranja, 235 580 de plátano. El bulto de papa se vendió a $ 25 850 cada uno, el de naranja $ 12 500 cada uno y el de plátano $18 750 cada uno >> ¿Cuántos bultos se recolectaron en total? >> ¿Qué cantidad de dinero se recibió en total por cada producto? >> En total ¿Cuánto dinero se recibe al vender todas las cosechas? >> Realiza la operación pertinente para cada caso, y establece las cantidades que se deben enviar a cada lugar, si se sabe que: La finca tiene que distribuir de la siguiente manera la cosecha: >> Para Bucaramanga, Bogotá y Pereira, los bultos de yuca, en cantidades iguales. >> De naranja van 38 500 bultos para Barranquilla, y lo que queda va en la misma cantidad para Villavicencio y Popayán. >> La mitad de los bultos de plátano van para Chiquinquirá, de la mitad restante 98 000 bultos serán despachados para Bogotá, y el resto para Tunja.

41

Que aprendí Lee la información y realiza lo que se indica en cada caso.

La superficie terrestre de nuestro país está conformada por una parte continental y otra parte insular. La superficie de la parte continental es de 1 141 748 km2.

Las aguas territoriales son las franjas de mar. Colombia tiene un área marítima de 930 893 km2.

El espacio aéreo está compuesto por una capa atmosférica de 2 083 406 km2.

El subsuelo es la parte ubicada debajo de la superficie. >> Escribe una pregunta que utilice los datos del espacio colombiano y se resuelva con una adición. >> Escribe una pregunta en donde se requiera una sustracción. >> Resuelve las preguntas que escribiste en los literales anteriores. >> Enuncia un problema que pueda plantearse a partir de la información proporcionada.

Don Ramón quiere comprar una bicicleta y el vendedor le informa que tiene las siguientes opciones de pago: >> Si paga de contado, le cuesta $ 1 850 000. >> Puede pagar con cuatro cheques de $ 470 180: uno al día y los otros a 30, 60 y 90 días. >> Puede pagar la mitad y dos cheques posfechados de $ 580 000 cada uno. >> Puede pagar en doce cuotas de $ 190 000 cada una. >> ¿Cuál es la mejor opción para don Ramón? Explica tu respuesta.

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¿Cómo me ven los demás?

Trabaja con dos compañeros o compañeras.

Observen la siguiente cuadrícula y luego distribúyanse el trabajo como se indica a continuación.

Integrante 1: Calcula la cantidad de cuadraditos que tiene la cuadrícula con una multiplicación.

Integrante 2: Cuenta los cuadraditos uno por uno.

Integrante 3: Calcula primero los cuadraditos de color gris claro, luego los de color gris oscuro y suma los resultados. >> Comparen los resultados obtenidos, entres sí. >> Comparen los resultados obtenidos por otros grupos de trabajo. >> Verifiquen que se cumple la igualdad 8 x (3 + 9) = (8 x 3) + (8 x 9)

Me autoevalúo Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Sí

No

A veces

Manejo los algoritmos de adición y la sustracción con los números naturales.

Manejo los algoritmos de multiplicación y la división con los números naturales.

Aplico las propiedades de las operaciones básicas con números natural para facilitar el cálculo de los resultados.

Resuelvo situaciones que requieran la aplicación de las operaciones básicas con números naturales.

Participo de manera activa en clase y respeto la participación de mis compañeros. >> Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo.

Establece un plan de seguimiento con tu profesor. >> Desarrolla en el cuaderno y de manera individual las actividades que se proponen a continuación.

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MÓDULO

La naturaleza de los números

¿Qué vas a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico

>> Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. >> Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

Pensamiento variacional

>> Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación).

44

Este módulo te ayudará a afianzar los estándares básicos de competencias, mencionados en la parte superior, mediante los conceptos relacionados con múltiplos y divisores de números naturales. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas:

Contenidos Guías

Contenidos

7

Múltiplos y divisores

8

Divisibilidad

9

Descomposición de números

10

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Procesos >> Expresar ideas matemáticas relacionadas con la divisibilidad de números naturales. >> Reconocer patrones y regularidades que se establecen entre los números naturales. >> Argumentar con validez los procesos que se aplican en la resolución de problemas. >> Solucionar diferentes situaciones de la vida cotidiana relacionada con la teoría de números.

45

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Módulo 3 Pensamiento numérico

Los números naturales presentan

Relaciones multiplicativas como

Ser múltiplo de…

Ser divisor de… determina

Números primos

Números compuestos

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

Los múltiplos y divisores de un número, son usados con frecuencia en muchas de las situaciones de la cotidianidad.

Por ejemplo, para comprar cinco panes de $1200, y saber cuánto se debe pagar, pues el resultado corresponde a un múltiplo de 1200.

Si todos los días recorres en la bicicleta cierta distancia, entonces la medida de la distancia recorrida en cinco días es un múltiplo de la distancia que recorres a diario.

Saber cómo se puede distribuir en bolsas un bulto de naranjas, de manera que en cada bolsa quede la misma cantidad.

46

¿Cómo se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

EXPLORA TUS CONOCIMIENTOS

Javier y su hermano, tiene una pequeña casa en la colina de una montaña. Allí tiene 4 vacas y un caballo. Diariamente los jóvenes ordeñan sus vacas y de cada una saca dos litro de leche. >> ¿Cuántos litros de leche recogen al ordeñar la primera vaca? >> ¿Cuántos litros de leche en total recogen cuando terminan de ordeñar la segunda vaca? >> ¿Cuántos litros de leche en total tienen cuándo terminan de ordenar la tercera vaca? >> ¿Cuántos litros de leche en total reúnen cuando terminan de ordeñar la cuarta vaca? >> Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

Vaca ordeñada

Primera

Cantidad de leche en litros en total

2

Segunda

Tercera

Cuarta

>> ¿Qué procedimiento seguiste para completar la tabla?

47

Guía ¿Sabes que es un reptil?

¿Sabes cómo se relacionan los números?

¿Alguna vez has visto alguno?

Sabes que en Colombia hay criaderos de reptiles que se encuentran ubicados en zonas templadas o calientes. En esos criaderos se encuentran diferentes especies de culebras, lagartos, tortugas, cocodrilos, y otros más. >> Juan trabaja en uno de esos criaderos de reptiles. Él debe recoger, cada semana, los huevos que colocan las hembras, para llevarlos a un sitio seguro y caliente. >> En esta ocasión recogió los huevos de 16 culebras ratoneras. Ellas colocan entre 3 y 45 huevos, en los meses de junio y agosto. >> Juan pasó por cada uno de los 16 terrarios recogiendo los huevos. En el primer terrario, no había huevos, en el segundo, recogió 3 huevos, en el tercero, 6 huevos, en el cuarto, 9 huevos, en el quinto, Juan encontró 12 huevos, y así sucesivamente.

>> Escribe la secuencia numérica que se forma con la cantidad de huevos que recogió Juan en cada terrario.

48

Responde en tu cuaderno.

>> ¿Qué procedimiento seguiste para completar la secuencia anterior? >> ¿Qué relación hay entre los números que escribiste? >> ¿Cuántos huevos hay en el sexto terrario? >> ¿Cuántos huevos hay en el noveno terrario? >> ¿Cómo hallaste ese resultado? >> ¿En qué terrario hay 42 huevos? >> ¿Cómo hallaste la respuesta?

Completa en tu cuaderno el siguiente diagrama >> ¿Los resultados que obtuviste en el árbol, son iguales a la secuencia que escribiste en la actividad inicial?

Los números que escribiste en la actividad inicial y los obtenidos en el árbol son los múltiplos de 3.

3 x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 3 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

>> ¿Cómo se hallan los múltiplos de 3?

Añade otras ramas a tu árbol, y encuentra otros múltiplos de 3. >> ¿Este conjunto de múltiplos tiene último elemento? ¿Por qué? >> ¿Los múltiplos de 3, se dividen exactamente por 3?

Compruébalo realizando algunas divisiones.

Juan organiza cada grupo de huevos de las culebras ratoneras, en bandejas, para guardarlos en la incubadora del criadero de reptiles. Para guardar el grupo de 24 huevos encuentra varias bandejas.

El producto de dos números naturales es múltiplo de cada uno ellos.

49

>> ¿Cuáles son las posibles distribuciones que puede hacer Juan con los 24 huevos? >> En tu cuaderno completa el siguiente diagrama.

24 2

Los factores de un número también son divisores de ese número.

x

12

2 x

x

2 x

x

x

24 = 2 x 12 24 = 2 x x 24 = 2 x x

= 4x x 3=

x3

Los números que aparecen en el diagrama son los factores de 24.

Este diagrama se conoce como diagrama de árbol.

En tu cuaderno, divide a 24 entre cada uno de sus factores. ¿Cómo son las divisiones?

Los números 2 y 12, 4 y 6, 6, 3 y 8 también son divisores de 24. Solo faltan en la lista los número 1 y 24.

Responde: ¿Cuándo un número es divisor de otro?

Trabaja con dos compañeras o compañeros y respondan las siguientes preguntas o realicen las actividades en el cuaderno.

1. ¿Es posible saber cuántos elementos tiene el conjunto de múltiplos de un número? Expliquen su respuesta.

2. Completen el diagrama del 2 y el diagrama del 4.

50

2

4

x

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

0 4 8 ? ? ? ? ? ? ? ?

3. Elaboren los diagramas del 5, 6, 7, 8 y 9. a. En cada caso, ¿de dónde resultan, los números de los círculos? b. Los múltiplos de 2 son también múltiplos de 4? c. Los múltiplos de 4 son también múltiplos de 8? d. ¿De qué números es múltiplo cero? ¿Por qué? e. ¿Todo número natural es múltiplo de él mismo? ¿Por qué? f. ¿Cuántos múltiplos tiene un número?

4. Construyan diagramas de árboles, para hallar los divisores de 36, de 100 y de 144. a. ¿Cuántos divisores tiene cada número? b. ¿Los divisores de un número son menores que él? ¿Por qué?

5. Sonia prepara para la venta, galletas de coco. Cada grupo de 24 galletas las empaca en cajas rectangulares, de manera que no sobren ni falten. ¿Cuáles son las posibles distribuciones que pueden hacer en las cajas para guardar las galletas?

6. ¿Cuáles serían las posibles distribuciones si las cajas contienen 40 galletas?

Represéntalas.

51

Guía Resuelve individualmente.

¿Conoces a los primos?

En el criadero de reptiles también tienen lagartos de diferentes especies. Uno de ellas es el lagarto arlequín que pone entre 30 y 40 huevos de forma alargada.

Una mañana Juan recogió huevos de dos hembras de esta especie. Una de ellas tenía 36 huevos y la otra 37.

Cada grupo de huevos debía acomodarse en una cubeta como la de la figura.

>> ¿Qué grupo de huevos puede acomodar Juan en las cubetas, sin que le sobren? Explica

Con los 36 huevos se puede hacer un arreglo de 6 filas en el que cada fila tenga exactamente 6 huevos.

>> ¿36 es divisible por 6? ¿Por qué? >> Con el grupo de 37 huevos, ¿se puede formar un arreglo de seis filas, cada una con igual número de huevos? >> ¿Se utilizarían todos los huevos? ¿Cuántos sobran? ¿Cuántos? >> Representa en tu cuaderno la situación.

52

>> ¿Por qué Juan no pudo acomodar los 37 huevos en una sola bandeja? >> ¿37 es divisible por 6? ¿Por qué? >> ¿Cuándo un número es divisible por otro? >> ¿Recuerdas cuáles son los factores de 36? Escríbelos. >> Ahora halla los factores de 37. >> ¿Cuáles son? >> ¿El número 36 es primo o es compuesto? ¿Por qué? >> ¿El número 37 es primo o es compuesto? ¿Por qué?

En >> >> >> >> >> >>

tu cuaderno, realiza divisiones para comprobar si: 36 es divisible entre 2.

36 es divisible entre 3.

36 es divisible entre 5.

36 es divisible entre 10. ¿Cuáles divisiones fueron exactas? ¿En cuales divisiones se obtuvo un residuo diferente de cero?

Un número natural mayor que 1, es primo si tiene exactamente dos divisores distintos: 1 y el mismo número.

Sigue el mismo procedimiento para comprobar que los números 32, 64, 96, 108 y 200 son divisibles entre 2.

Los números 32, 64, 96, 108 y 200, ¿son pares o impares? ¿Por qué sabes que son pares o que son impares?

Responde en tu cuaderno, ¿cuándo un número es divisible entre 2?

Compara lo que escribiste con lo que aparece a continuación:

Un número es divisible por 2 si el dígito de las unidades es 0, 2, 4, 6, 8.

Este enunciado se conoce como criterio de divisibilidad entre 2. >> ¿596 es divisible por 2? ¿Por qué? >> ¿129 es divisible por 2? ¿Por qué? >> Ahora analiza cuándo un número es divisible por 3. >> ¿18 es múltiplo de 3? >> ¿18 es divisible entre 3? >> ¿24 es múltiplo de 3? >> ¿24 es divisible entre 3? >> ¿Cuáles cifras forman el número 18? >> ¿Cuál es la suma de esas cifras? >> ¿Es 9 divisible por 3? >> ¿Cuáles cifras forman el número 24? >> ¿Cuál es la suma de esas cifras? >> ¿Es 6 divisible por 3?

Un número natural es compuesto si tiene más de dos divisores.

53

Responde en tu cuaderno, en general, ¿cuándo un número es divisible por 3?

Compara lo que escribiste con lo que aparece a continuación.

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Este es el criterio de divisibilidad por 3. ¿Puedes buscar otros ejemplos? Escríbelos en tu cuaderno.

La semana pasada, Juan organizó tres grupos de huevos en la incubadora. El primer grupo tenía 15 huevos, el segundo tenía 35 y el tercero tenía 40.

Los huevos debían guardarse en cubetas como la que se muestra en la figura.

>> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el primer grupo de huevos? >> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el segundo grupo de huevos? >> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el tercer grupo de huevos? >> ¿Los números 15, 35 y 40, son divisibles entre 5? >> Escribe en tu cuaderno, ¿cuándo un número es divisible entre 5? >> Según lo que escribiste, ¿270 es divisible entre 5? ¿23 es divisible entre 5? ¿Por qué? >> Compara lo que escribiste en tu cuaderno con lo que aparece a continuación.

Un número es divisible entre 5 si el dígito de las unidades es 0 o 5. Este es el criterio de divisibilidad entre 5 >> ¿98 es divisible entre 5? >> ¿5 es divisible entre 5?

Estos son otros criterios de divisibilidad Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 si es par y múltiplo de 3.

Estos números son divisibles por 6: 24, 48, 156, 2604. Compruébalo.

Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si termina en cero.

Escribe número de tres y cuatro cifras divisibles por 10.

54

En el criadero de reptiles hay un lagarto tokay, esta especie en particular, llama la atención de los expertos porque pone sus huevos de dos en dos. Ya se han recolectado 78 huevos de esta clase de lagarto, y se quieren acomodar en cubetas de tal forma que en cada una de ellas haya un número primo de huevos.

>> ¿Es posible dicha distribución? >> ¿Qué estrategia emplearías para saber si 78 tiene otros divisores primos?

Intenta elaborando un diagrama de árbol para encontrar los factores de 78.

78 2

x

2 x

39 x

8 es divisible entre 2. >> 7 >> 39 es divisible entre 3. >> Los números 2, 3 y 13 son primos.

También puede ser: 78 3

x

3

x 2

26 x 13

>> 78 es divisible por 3. >> 26 es divisible por 2. >> Los números 2, 3 y 13 son primos.

Cuando se escribe 78 como 2 × 3 × 13, se dice que se ha expresado como producto de factores primos.

Todo número compuesto se puede expresar como producto de factores primos. El proceso para hallar los factores primos de un número natural se denomina descomposición en factores primos.

55

Trabaja con un compañero o compañera. Luego compartan sus respuestas con el resto del grupo.

1. Indiquen qué dígito se debe eliminar del número 7 659 para la cantidad obtenida sea un número divisible entre 3.

2. ¿Por qué el número 3875 no es divisible entre 10?

3. Respondan y justifiquen sus respuestas. Busquen ejemplos o contraejemplos para argumentar sus respuestas. a. ¿Si un número es divisible entre 8, es divisible entre 2? b. ¿Si un número es divisible entre 2, también es divisible entre 6? c. ¿Si un número es divisible entre 3, es divisible entre 9?

4. Javier desea comprar el terreno que está al frente de su casa.

El terreno tiene forma rectangular y un área de 198 m2.

Dibujen en sus cuadernos rectángulos que satisfagan esa condición.

5. Uno de los lados del terreno que quiere comprar Javier tiene como medida un número primo. ¿Cuáles de los rectángulos que dibujaron cumple con esa condición? ¿Cuáles son las medidas del terreno?

6. Observen como hallar los divisores primos del número 36.

36

÷2

36 es divisible por 2. ¿Por qué?

18

÷2

18 es divisible por 2.

9

÷3

9 es divisible por 3. ¿Por qué?

3

÷3

3 es divisible por 3.

1

56

El cociente es 1. Así termina la descomposición.

7. Apliquen el método anterior para descomponer el número 75.

Realicen el procedimiento en sus cuadernos.

75

÷3

÷5

¿75 es divisible entre 2? ¿Por qué? ¿75 es divisible entre 3? ¿Por qué? ¿Entre qué otro número es divisible 75? ¿Entre qué número es divisible el cociente obtenido? ¿Cómo lo sabes?

¿Cuáles son los divisores primos de 75?

8. Confirmen mediante divisiones sucesivas cuáles son los divisores de 198 y confirmen las respuestas dadas en el punto 5.

9. Hallen la descomposición por divisiones sucesivas y por diagrama de árbol de los números: 675 y 1120. ¿Con cuál de los dos métodos te parece más sencillo? ¿Por qué?

10. ¿Qué números debe ir en las casillas, para que se forme un número divisible por 5?

7 11. Confirmen sus respuestas con la de otros compañeros. ¿Hay más de una respuesta?

12. Mónica es veterinaria y cada dos meses visita las fincas de la región para vacunar y revisar a los animales.

En la finca de Andrés, vacunó a todos los terneros que había. Si la cantidad de animales vacunados en la finca es un número par, divisible por 3 y por 6, y, además mayor que 40 y menor que 50, ¿cuántos terneros vacunó Mónica?

13. En el criadero se reptiles Juan recogió los huevos de las serpientes ratoneras y reunió un total de 435 huevos. De qué manera los puede organizar para que en cada grupo quede la misma cantidad de huevos. Escriban todas las alternativas.

57

Guía Forma grupo con tres compañeros y compañeras para desarrollar la siguiente situación.

¿Conoces los mayores y los menores?

Juan desea construir algunos terrarios para tortugas recién nacidas, pero solo tiene dos vidrios de 168 cm y de 147 cm respectivamente. Él decide dividir los vidrios en pedazos de la mayor longitud posible. Sin que sobre ni falte. >> Dibujen la forma que pueden tener los terrarios que desea construir Juan. >> ¿Cuántas caras tienen los terrarios que dibujaron? >> ¿Cuántas de esas caras deben tener las mismas longitudes? ¿Por qué? >> Juan va a construir los terrarios de forma cúbica. ¿Alguna del grupo realizó esa representación? >> Analicen cuáles pueden ser las dimensiones de cada una de las caras que forman los terrarios que va a construir Juan.

>> ¿Qué estrategia utilizaron para dar respuesta a la situación planteada en el ejercicio anterior? >> Construye un diagrama de árbol para hallar los divisores de 168.

168 >> ¿Cuáles son los divisores de 147? Escríbelos en un cuaderno. >> Construye un diagrama de árbol para hallar los divisores de 147.

147

58

>> ¿Cuáles son los divisores de 147? Escríbelos en un cuaderno. >> Completa la tabla y encierra con color rojo los divisores que son comunes.

Número

Divisores

168 147 Los números resaltados son los divisores comunes de 168 y 147. >> ¿Cuál es el mayor?

Esa es la mayor longitud en que Juan puede dividir los vidrios.

Ese valor corresponde al máximo común divisor (m.c.d.) de 168 y 147. >> ¿Cuántos pedazos de 21 cm de longitud puede cortar Juan de cada vidrio? >> Si los terrarios que construye tienen forma cúbica, ¿cuántos construye? >> Comparte con el resto del grupo tu respuesta, argumentándola. >> ¿El grupo está de acuerdo con tu respuesta? >> ¿Estás de acuerdo con las respuestas dadas por tus compañeros compañeras? ¿Por qué?

Usando la descomposición en factores primos de cada número, es posible encontrar el máximo común divisor entre ellos. >> Escribe en tu cuaderno el número 168 como producto de factores primos. >> Ahora escribe el número 147 como producto de factores primos. >> Observa que el producto 3 × 7, aparece en las dos descomposiciones primas, por tanto, el m.c.d. entre 168 y 147 es 3 × 7 = 21. >> Aplica lo que aprendiste, hallando el máximo común divisor entre 16, 24 y 60. >> Define máximo común divisor. Comparte tu respuesta con el resto del grupo. >> Escucha las respuestas de tus compañeros y compañeras, ¿compartes su opinión? Explica

59

Forma grupo con dos compañeros o compañeras más y realicen las actividades.

En el criadero de réptiles recogen huevos de culebra cada cuatro semanas, de lagarto cada seis semanas y de babilla cada ocho semanas. Según esa distribución, ¿es posible que en algún momento se recojan huevos de las tres especies de reptiles? >> Primero encuentren los diez primeros múltiplos de 4. Luego los diez primeros múltiplos de 6 y finalmente, los diez primeros múltiplos de 8. >> Completen en sus cuadernos la siguiente tabla.

Número

Múltiplos

4 6 8

Resalten con rojo los múltiplos comunes a los tres números, distintos de cero. >> ¿Cuál es el menor de esos múltiplos comunes?

>> ¿Cómo se interpreta ese resultado para dar respuesta a la situación planteada? >> ¿Cada cuántos días coinciden recogiendo huevos de culebra, lagarto y babilla?

Ese valor corresponde al mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 4, 6 y 8. >> Definan mínimo común múltiplo.

>> Compartan tu respuesta con el resto de la clase. >> Hay respuestas diferentes. >> Hay respuestas similares.

>> ¿La respuesta de ustedes es diferente o similar a las otras?

60

Discutan y resuelvan cada situación

1. Un grupo de geólogos viaja desde Bogotá hacia El Cerrejón, una mina de explotación de carbón ubicada en el departamento de la Guajira, cada 20 días. Un grupo de ingenieros viaja a la mina, cada 25 días, y un grupo de topógrafos, cada 30 días. ¿Cada cuántos días se encuentran los tres grupos de profesionales en la mina?

2. Se desean cortar, en partes iguales, dos listones de 120 cm y 105 cm de largo respectivamente. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los pedazos?

3. Discutan al interior del grupo la siguiente situación.

En un almacén se compraron 3 piezas de tela. La primera tiene 72 metros, la segunda 48 metros y la tercera pieza 96 metros.

Se quiere obtener pedazos de tela iguales y de mayor longitud posible para no desperdiciar la tela. ¿Cuál debe ser la longitud de cada pedazo de tela? ¿Cuántos pedazos de tela resultan de cada pieza? >> Escriban en el cuaderno las diferencias de opiniones y los acuerdos. >> Compartan con su profesor o profesora, las anotaciones que realizaron.

61

1. Un cartón de forma rectángular tiene 24 cm2 de área.

Dibuja las distintas formas que puede tener el cartón si las medidas de sus lados son números naturales.

2. En la fábrica de bizcochos, La nena, se tienen bolsas en las que solo se pueden empacar 5, 7 u 11 galletas. Si se tiene 572 galletas, ¿en cuál de esas bolsas se pueden empacar sin que sobren galletas?

3. Tres líderes comunitarios están organizando equipos de fútbol, baloncesto y voleibol con los jóvenes de una comunidad. Los líderes recogen las siguientes cantidades de dinero: para la compra de los uniformes del equipo de fútbol: 324 50a; para la compra de los uniformes de baloncesto, recibieron 89 b00, y para los uniformes el equipo de voleibol, recogieron 190 1c0. Si en cada equipo hay 11, 5 y 6 jugadores respectivamente, ¿cuáles son los valores de las letras a, b y c?

4. Un terreno rectangular tiene 266 m2 de área. Dibuja el terreno que satisface esa condición y para el cual uno de sus lados tiene como medida un número primo.

5. Un grillo salta sobre una recta de números naturales. Inicialmente se encuentra en el lugar del número 8 y en cada salto avanza 4 unidades.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a. ¿Cuántos saltos necesita dar el grillo para llegar el número 96? b. Escribe las posiciones de los primeros 11 saltos del grillo. c. Si el grillo se encuentra en la posición del número 144. ¿En qué posición estará después de dar quince saltos más?

62

6. La suma de 4c8 y 524 es un número divisible por 6. ¿Qué valor debe tomar c, para que esto sea posible?

7. Dos empleados encargados de vigilar una finca deciden revisarla recorriéndola a caballo. El primero, tarda cinco minutos en dar la vuelta; el segundo tres minutos en dar una vuelta. Si parten del mismo punto, ¿cuántos minutos deben transcurrir para que se encuentren de nuevo en el punto de partida si continúan dando vueltas a la finca?

Construye un esquema que represente la situación.

8. Al puesto de salud del pueblo de Villanueva, llegaron 1872 vacunas para la fiebre amarilla. Éstas estaban almacenadas en paquetes de seguridad cada una con la misma cantidad de vacunas y refrigeradas adecuadamente.

Con esa información es posible afirmar que, la cantidad de vacunas en cada paquete de seguridad no es múltiplo de 5. ¿Por qué? >> ¿Podría ser un múltiplo de 10? ¿Por qué? >> ¿Podría ser un múltiplo de 6? Explica tu respuesta. >> ¿Si es un múltiplo de 6, también es múltiplo de 2? >> ¿Si es un múltiplo de 6, también es múltiplo de 3? >> Escribe una posible respuesta para esta situación.

Explica tu razonamiento.

9. Mauricio tiene 48 guineos y Carmen tiene 72. Ellos quieren dividir la cantidad de guineos en grupos de igual cantidad y la mayor posible. ¿Cuál será la cantidad de guineos en cada grupo?

63

Que aprendí En el departamento de Tolima existe un lugar dedicado al cuidado y al estudio de diferentes especies de reptiles que se conocen en el país. Este sitio conocido como Ciudad reptilia, y en donde caimanes, cocodrilos y babillas, entre otras especies, conviven queda solo a quince minutos del municipio de Melgar. En ese sitio se ha tratado de recrear un hábitat natural para estos animales es vías de extinción.

Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno.

1. En la incubadora de uno de los laboratorios de estudio de ese sitio, tienen 45 huevos de crías de caimán. ¿Cuántos grupos con igual cantidad de huevos se pueden formar?

2. Rodrigo recogió huevos de dos hembras de caimán. Una de ellas tenía 42 huevos y la otra 56. ¿Con cuál grupo de huevos puedo formar grupos de seis sin que le sobraran?

3. En el parque se construyó una nueva laguna para las crías de babillas. Estas entran a la laguna formando grupos de 5. Si en total había 375 babillas, ¿cuántos grupos entraron a la laguna?

4. Nicolás ha reunido 73 huevos de tortugas. Desea organizarlos en grupos de igual cantidad de huevos, pero no logra hacerlo. ¿Cuál es la razón?

5. ¿Con 68 huevos de crías de caimán es posible formar cinco grupos, de manera que todo tengan la misma cantidad? Explica.

64

¿Cómo me ven los demás?

Trabaja con dos compañeros o compañeras.

6. En la Sierra Nevada de Santa Marta, se encuentra Ciudad Perdida, una construcción en ruinas construidas por los indios taironas hace más de 1000 años. Para ingresar a la ciudad, se deben subir 1225 escalones. Si el recorrido se hace en etapas de igual número de peldaños, ¿cuáles son las posibles formas de hacer este recorrido?

7. Marta tiene una cuerda con la que puede medir longitudes de 100 cm, 200 cm, 250 cm y 500 cm. ¿Cuál es la mayor longitud posible que puede tener esa cuerda?

8. Para mantener la temperatura adecuada en los establos y corrales de los animales en una finca, el dueño compró tres plantas eléctricas. Una se prende automáticamente cada dos horas, otra, se prende cada cuatro horas y la tercera se prende cada cinco horas. Si a las 7:00 de la mañana se encendieron las tres plantas, ¿cuánto tiempo pasará hasta que nuevamente se enciendan al tiempo? esponde según la manera en la que te desenvolviste en >> R el desarrollo del módulo.

Sí

No

A veces

Reconozco las diferentes relaciones que se pueden establecer entre los números naturales.

Reconozco múltiplos y divisores de un número natural.

Resuelvo situaciones que requieran calcular los múltiplos y divisores de un número.

Encuentro el m.c.m. y el m.c.d. de dos o más números naturales.

Resuelvo situaciones que requieran el cálculo del m.c.m. o del m.c.d.

Trabajo activamente en grupo y espeto la opinión de mis compañeros o compañeras. >> Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo.

Establece un plan de seguimiento con tu profesor.

65

Rutas y mapas

MÓDULO

Cada vez que te desplazas de un lugar a otro, o cuando representas en un dibujo algún objeto o lugar estás haciendo uso de las matemáticas y más específicamente de los pensamientos espacial y métrico. A lo largo de este módulo descubrirás diferentes momentos o situaciones que muestran claramente estas aplicaciones.

¿Qué voy a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento espacial >> Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. >> Clasifico polígonos en relación con sus propiedades. >> Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.

Pensamiento métrico >> Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema.

La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos espacial y métrico, a través de los conceptos asociados al concepto de movimiento a partir del conocimietno de los elementos básicos de la geometría y las contrucciones que se realizan a partir de ellos. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

66

En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

Guías

Concepto de movimiento

10

Elementos básicos de geometría

11

Ángulos

12

Rectas en el plano

13

Polígonos

Procesos

>> Identificar los elementos básicos de la geometría y sus aplicaciones. >> Clasificar ángulos según su amplitud. >> Reconocer las posiciones relativas de las rectas en el plano. >> Caracterizar y clasificar polígonos.

El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el módulo.

Módulo 4 Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Movimiento A partir de Los conceptos básicos de la geometría como

Punto

Recta

Según su posición relativa se clasifican en

Secantes

Paralelas

Perpendiculares

Semirecta

Segmentos

Que al unirse forman

Que al unirse forman

Ángulos

Líneas poligonales Que pueden ser Abiertas

Cerradas llamadas Polígonos

67

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

La estadística es una herramienta de investigación que se usa en todas las ciencias. Con ella, es posible describir conjuntos que sean sometidos a un estudio y, luego de su análisis predecir el comportamiento de los mismos a partir de datos correspondientes a partes de ese conjunto.

Tiene gran aplicación cuando se quieren determinar las necesidades de una región particular; por ejemplo, si desea conocer el rendimiento académico de los estudiantes, si se quiere saber cuáles son las actividades preferidas por las personas para realizar en su tiempo libre o para identificar el medio de transporte que utilizan los estudiantes de postprimaria de una escuela de la región, entre otros casos.

¿Cómo y qué se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

68

Explora tus conocimientos

Para la despedida del año escolar los estudiantes de grado sexto realizaron entre sus compañeros una encuesta, para decidir qué actividad podrían realizar.

Estas fueron las respuestas obtenidas al realizar la pregunta: ¿qué actividad te gustaría realizar para el cierre del año escolar?

Tarde en el río Almuerzo campestre Almuerzo campestre Tarde en el río Almuerzo campestre a. b. c. d. e.

Visita al museo Almuerzo campestre Visita al museo Tarde en el río Visita al museo

Tarde en el río Almuerzo campestre Almuerzo campestre Tarde en el río Almuerzo campestre

¿Cuáles fueron las actividades propuestas por los estudiantes de sexto grado? ¿A cuántos estudiantes se les realizó la pregunta? ¿De qué manera se puede organizar esa información? ¿Qué actividad realizaron para la despedida del año escolar? ¿Por qué sabes que esa fue la elegida?

69

Guía Recorre un cultivo hidropónico

Elementos gráficos de Geometría

Para algunos productores de hortalizas, plantas medicinales, alimentos o plantas ornamentales, que no cuentan con terrenos apropiados o suelos libres de contaminación, los cultivos hidropónicos se han constituido en un método muy valioso que garantiza su derecho al trabajo. Además, su organización facilita las tareas de valoración y cuidado de las plantas, ya que todos se encuentran distribuídos en grupos de canales o tubos dispuestos en línea recta, permitiendo el paso de los encargados.

1. Carmenza tiene un cultivo hidropónico de fresa. Para una exposición que quiere realizar frente a sus trabajadores, diseñó un dibujo para representar la forma en que está organizado. Observa el dibujo y responde.

Recolección de datos

>> Describe con palabras la manera como está organizado el cultivo hidropónico de Carmen. >> ¿Qué crees que quizo representar con cada punto?

>> ¿Cuántos puntos hay en cada fila? ¿Y en cada columna?

>> Qué crees que se formaría si se unen los puntos de cada fila sin dejar espacio entre ellos? >> ¿Y si se unen los puntos de cada columna?

70

>> Si quisiera encerrar cada una de las cuatro secciones que tiene el cultivo, ¿qué forma tendría la cerca? >> Compara tus respuestas con dos de tus compañeros.

El dibujo que elaboró Carmen para representar su cultivo muestra que se encuentra distribuido en cuatro secciones iguales y cada una de ellas está formada por plantas, representadas con puntos, alineados en filas y columnas.

Es fácil imaginar que el punto sea el elemento básico de cualquier dibujo por simple que parezca. De igual manera en geometría el elemento a partir del cual se definen otros, es el punto.

El punto se define como un elemento geométrico que no está dotado de dimensión, es decir que no tiene longitud, ni ancho, ni alto. Solamente tienen posición. En adelante los puntos serán representados con una letra mayúscula. >> Volvamos a observar al menos una de las secciones que dibujó Carmen.

Cada da la idea de punto pero matemáticamente no lo es, sin embargo nos permite imaginar el comportamiento de los elementos que se definen a partir del concepto de punto. >> Si se dispusieran más puntos intermedios de tal manera que no quedaran espacios entre aquellos que conservan la misma dirección (que están en la misma fila o columna), tendríamos un ejemplo de lo que podría ser una recta.

Observa y responde: >> ¿Qué cambio se produce entre las imágenes? >> ¿Cómo crees que se vería una imagen en la que los puntos estén cada véz más juntos? >> ¿Se podría prolongar la cantidad de puntos infinitamente?

71

>> ¿Sabes cómo se llama en geometría el elemento que cumple esta condición?

Una recta se puede entender como una sucesión indefinida de puntos que se prolongan en una misma dirección. La recta tiene una dimensión. Para nombrar la recta que pasa por los puntos A y B, se utiliza la notación: >> Analiza la definición de recta que acabas de leer. Responde. >> ¿A cuál dimensión crees que se refiere la definición de recta? >> ¿Qué notación se utiliza para representar una recta que pase por los puntos O y P? ¿Y por los puntos C y D? Piensa en el caso de que se conozca el punto de partida de una sucesión de puntos pero no el punto final. >> ¿Cómo representarías este nuevo elemento? >> ¿Cuál sería su definición teniendo en cuenta la definición de recta que leíste anteriormente? >> ¿Qué notación utilizarías para identificar un representante de este concepto?

La semirrecta es una porción de recta. En ella, se conoce el punto de origen pero no el final.

>> Piensa y responde. Copia la tabla y marca con una X las características que consideras que tiene una semirrecta. Ten en cuenta que es parte de una recta.

Condición

Sí

No

Tiene una dimensión.

Está formada por una sucesión de puntos.

Se estiende infinitamente en dos sentidos . por eso se representa con Se estiende infinitamente en un solo sentido por eso se representa con

.

Otro concepto derivado del concepto de recta es el de segmento. En él aparte de conocer el punto de origen se conoce el final. Por lo tanto, es un elemento que puede dotarse de medida ya que es finito. Para nombrar un segmento cuyos puntos de origen y final se denominan A y B se utiliza la notación .

72

1. Nombra los puntos que estén en la misma recta.

2. ¿Qué elementos pasan o tienen como puntos incial o final a los puntos C y E?

3. Realiza una lista de todas las semirrectas diferentes que se pueden trazar con punto inicial en: M, N u O.

4. Escribe la notación correspondiente para cada elemento. a. El segmento AB. b. La recta que pasa por M y N.

73

Guía

¡Anda caballito!

Los movimientos corporales y los desplazamientos que realizan los diferentes seres de la naturaleza, como los animales, ayuda a que nos formemos una imagen mental de los conceptos, los sistemas de representación y los símbolos que favorecen el desarrollo de competencias propias del pensamiento espacial y los sistemas geométricos. >> Lee la siguiente situación.

Organización e interpreación de datos

Don Roberto ató a dos de sus caballos a una estaca que había en medio de un terreno. Los caballos se separaron y tensionaron las cuerdas definiendo una figura de dos lados.

La hija de don Roberto dibujó en un papel la figura que se formó.

Reúnete con uno de tus compañeros y comenta las respuestas de estas preguntas. >> ¿Cuál es la figura que crees que dibujó la hija de don Roberto? >> ¿Con cuál concepto geométrico puedes relacionar cada uno de los lados de la figura? >> ¿Qué función cumple la estaca con respecto a las cuerdas? >> ¿Cómo representarías la estaca en el dibujo? >> ¿Qué cambiaría en el dibujo si uno de los caballos se queda quieto y el otro se separa más? >> ¿Qué figura se formaría si los caballos dan una vuelta completa y dejan huellas por donde pasan?

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Una manera de plantear un dibujo sencillo que represente la situación de la página anterior, es imaginar cómo se vería la relación entre las cuerdas y la estaca si estuviéramos viéndola desde arriba.

En este caso, se dibujarían las dos cuerdas tensas y unidas en un mismo punto, es decir a la estaca. >> Observa los dibujos. Elije el que cumpla las condiciones expuestas y cópialo en tu cuaderno. Justifica tu elección.

Como te pudiste dar cuenta solo dos dibujos mostraban la unión de los lados en un mismo punto, pero únicamente uno de ellos cumplía con la condición de que las cuerdas estaban tensas, es decir formando una línea recta. En este caso, el dibujo representa la imagen más cercana al concepto de ángulo.

Un ángulo corresponde a la abertura comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen, llamado vértice.

Para referirse a un ángulo en particular es necesario escribir una notación similar a la que utilizó en la guía anterior para simbolizar rectas, semirrectas y segmentos. >> Sigue estos pasos, realizando el dibujo correspondiente en tu cuaderno: >> Asigna una letra al punto de origen, recuerda que este punto es común para las dos semirrectas que definen los lados del ángulo. >> Elige un punto cualquiera en cada semirrecta y dale un nombre. No olvides que los puntos se notan con letras mayúsculas. >> Finalmente, el símbolo que reemplaza la palabra ángulo es y se escribe antecediendo las letras que elegiste dejando en el centro la que corresponde al vértice.

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Ahora, retomemos una pregunta que se realizó en la primera página de esta guía: ¿Qué cambiaría en el dibujo si uno de los caballos se queda quieto y el otro se separa más? >> Observa las representaciones y decide qué cambia en los pasos.

La cualidad que cambia cuando se separan o acercan las semirrectas o lados del ángulo se denomina amplitud. Si la separación de las semirrectas definen un círculo completo se dice que se realizó un giro de 360 grados (360°).

Un grado equivale a cada una de las 360 partes en las que se puede dividir una circunferencia y se miden con un instrumento llamado transportador.

Este corresponde a una regla graduada que tiene forma de círculo o de semicírculo y permite comparar la amplitud de un ángulo con los grados en los que está dividido. >> Según la amplitud de los ángulos se clasifican en:

>> Copia y escribe la descripción de los dos tipos de ángulo que faltan.

1. Observa los dibujos y realiza las actividades indicadas

Escribe la notación correspondiente a los siguientes ángulos.

Con ayuda del transportador mide los ángulos de la figura anterior.

2. Utiliza el transportador para construir ángulos que midan 30º, 54º, 85º, 90º, 120º, 145º y 170º.

76

3. Observa la figura y responde. a. ¿Cuántos ángulos pueden identificarse? Menciónalos y escribe su notación. b. ¿Qué tienen en común todos los ángulos?

77

Guía

¿Quién dejó esta huella?

Generalmente, cada vez que nos desplazamos de un lugar a otro, ya sea por nuestros propios medios o utilizando algún tipo de transporte, déjamos huellas fáciles de reconocer y que le permite a los observadores tratar de averiguar de dónde partimos y en qué dirección nos movemos.

En esta guía te invitamos a sacar todos tus dotes de investigador para que nos ayudes a decifrar ¿quién dejó esta huella >> Reúnete con un compañero o compañera. Resuelvan las preguntas.

Representación de datos

Luis y sus amigos montaron en bicicleta sobre un terreno que estaba un poco lodoso y por tanto era fácil ver las huellas que dejaron por donde pasaron. >> Observen el esquema y respondan.

LUIS Diana

JUAN

NIDIA

78

>> ¿Qué tienen en común los caminos que marcaron Luis y sus amigos? >> Copien en su cuaderno la siguiente tabla. Dibujen cada pareja de caminos y describan la relación que existe entre ellas, respondiendo a preguntas como:¿Se cortan? ¿Conservan entre sí la misma distancia? ¿Qué ángulos se forman entre ellas?

Niños

Dibujos de los caminos

Descripción

Juan y Diana

Nidia y Luis

Diana y Luis

Diana y Nidia

Retomemos la situación que nos habla de los caminos marcados por Luis y sus amigos en su paseo por el terreno lodoso.

La primera característica que se puede tener del conjunto de huellas que dejaron los niños con sus bicicletas, es que todos transitaron en línea recta. Es decir, cada personaje conservó la misma dirección durante el recorrido que realizó en el terreno.

Otra conclusión es que no importa el sentido en el que avanzaron, finalmente se puede definir si los caminos tienen puntos en común o no, aunque los niños hayan transitado en sentidos contrarios. >> Para analizar la relación existente entre los caminos, podemos empezar por elegir algunos que se cortan entre sí.

79

Caminos marcados

Caminos marcados por Juan y Luis

Caminos marcados por Diana y Nidia

>> Mide los ángulos que se forman en cada caso. ¿Alguna pareja de líneas forma ángulos rectos? Comenten su respuesta.

Cuando un par de rectas se cortan o tienen un punto en común se llaman secantes. Pero si además de cortarse, los cortes forman ángulos rectos, se dice que las líneas son perpendiculares. >> Ahora revisemos las rectas que, según el dibujo, no se cortan entre sí. >> Calca los dibujos en papel mantequilla o bond. Prolonga cada línea en ambos sentidos con ayuda de una regla. ¿Qué sucedió?

Las rectas que al prolongarse tienen un punto común, son secantes. Pero, si al prolongarse en ambos sentidos, siempre conservan la misma distancia entre sí, reciben el nombre de rectas paralelas.

1. Copia el siguiente modelo y completa la tabla. Ten en cuenta el trabajo que se realizó en las páginas anteriores.

Diana

NIDIA

JUAN

LUIS

Caminos marcados por Juan y Luis

Niños Juan y Diana Nidia y Luis Diana y Luis Diana y Nidia

80

Dibujos de los caminos

Descripción

2. Dibuja dos pares de líneas paralelas y dos de líneas perpendiculares. Aprovecha las líneas de una cuadrícula.

3. Piensa en la siguiente afirmación y explica si es verdad o no: “todas líneas perpendiculares son secantes pero no todas las secantes son perpendiculares”.

81

Guía Si realizaramos un mapa detallado de cada uno de los lugares por los que nos movemos diarimente mientras realizamos nuestras tareas diarias, el resultado sería un sin número de segmentos unidos que podrían definir figuras y vértices.

Elementos gráficos de Geometría

>> Lee la siguiente situación: Guillermo quiere realizar un plano del recorrido que tiene que hacer todos los días, para cumplir con sus tareas diarias. a. Primera tarea: ordeñar las vacas y sacarlas a pastear. b. Segunda tarea: recoger los huevos y darles de comer a las gallinas. c. Tercera tarea: alimentar a los cerdos. d. Cuarta tarea: llevar a las vacas de nuevo al corral. >> Observa y copia la ubicación de los puntos que se muestran a continuación. Piensa en el recorrido que hace Guillermo y traza los caminos correspondientes.

82

>> ¿Qué figura se forma al trazar los recorridos? >> Dibuja en tu cuaderno otra figura similar y explica cuáles son las características comunes que tienen entre sí. >> Observa estas figuras y escribe en tu cuaderno qué las diferencia de la que se obtuvo al dibujar el recorrido hecho por Guillermo.

>> ¿Qué tipo de figura se formaría si antes de regresar las vacas al corral, tuviera que ir a un sitio más? ¿Y a dos sitios más? Realiza un dibujo que explique la situación planteada. >> Piensa en las actividades que realizas todos los días.

Recuerda la ubicación de los lugares en donde las haces y representa los recorridos en un dibujo. ¿Qué figura obtuviste?

>> Comencemos entonces, por diferenciar las figuras abiertas y las cerradas.

Figuras abiertas

Figuras cerradas

83

Escribe algunas características que identifiques en cada uno de los grupos de líneas, ya sean abiertas o cerradas. >> ¿En qué grupo incluirías el esquema que elaboró Guillermo, según la situación planteada en la primera página de esta guía? >> Revisando nuevamente la situación, Guillermo plantea un punto de partida (el corral de las vacas), que coincide con el punto final. Por lo tanto, el recorrido descrito por Guillermo corresponde a una línea poligonal cerrada.

Corral de la vacas Corral de los cerdos Corral de las gallinas

Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está conformado por una línea poligonal cerrada.

La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: "polys": muchos y "gonía": ángulos; por lo tanto, es una figura con muchos ángulos. >> ¿Cuántos ángulos identificas en el dibujo elaborado por Guillermo? >> ¿Qué tiene en común este número con el número de lados o segmentos?

Guillermo se pregunta qué figura se formaría si en lugar de ir a tres puntos diferentes tuviera que desplazarse consecutivamente por cuatro, cinco, o más puntos. Dibuja en tu cuaderno los esquemas correspondientes. Escribe cuántos lados tiene cada polígono.

84

Elabora la tabla en tu cuaderno y registra el número de lados, ángulos y vértices que tiene cada polígono. Ten en cuenta que en la tabla se presenta la clasificación de polígonos según sus lados.

Polígono

Lados

Vértices

Ángulos

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

1. ¿Qué tienen en común los polígonos qué se presentaron en la tabla anterior?

2. Dibuja otros polígonos que tengan las mismas características de los que se presentaron en la tabla, pero que tengan diferente forma.

85

>> Observa el grupo de figuras y resuelve.

a. Identifica la figura que no sea polígono. b. Dibuja dos de los polígonos en tu cuaderno y señala con un color los lados y con otro los ángulos. c. Dibujar dos polígonos y dos líneas poligonales abiertas

Marcapáginas en origammi 1. Consigue un cuadrado de papel de diez centímetros de lado.

Sigue los pasos y responde en cada caso.

A

O

D

B D

A

O

G

O

E

D

B D

O

E

86 G

F

Dobla el cuadrado por cada una de sus diagonales. Ábrelo nuevamente, >> ¿Qué tipo de líneas se formaron?

E

>> ¿Qué tipo de relación guardan entre ellas?

Marca el vértice superior con la letra A y el inferior con la letra B. E Marca el punto de corte con la letra O. Lleva los vértices A y B hasta el F punto central O. ? >> ¿Qué sucede con ¿En cuántas partes queda dividido? >> ¿Qué clase de figura se forma al dejar doblado el cuadrado?

O

E

D

B D

O

E

>> Dobla el hexágono por el segmento DC, hacia abajo. ¿Qué forma tiene el papel doblado en este paso? >> Marca los vértices laterales superiores

F

G

O

F

G

D

>> Dobla hacia adelante para formar los segmentos OF y OG.

E

>> Dobla las puntas dentro de un bolsillito que se formó. ¿Qué clase de figura se formó? ¿Cuánto miden sus ángulos?

G

E

Utiliza la figura que acabaste de hacer para marcar la página que te interesa de un libro. >> ¿Qué clase de ángulo se forma en la parte superior del triángulo? >> ¿Qué clase de figura se formó? ¿Cuánto miden sus ángulos?

B

¿Cómo te sentiste al desarrollar la actividad propuesta? ¿Te sirvieron los temas que aprendiste en esta guía? >> Observa la figura. Escribe falso o verdadero según sea el caso. es paralela a ( ) a. b. b. La recta FC pasa también por el punto O.( ) c. c. El ángulo BOD es recto.( ) d. d. El ángulo FOA es agudo.( ) e. e.El polígono tiene forma de pentágono.( )

C A

O

D

F

E

87

Qué aprendí 1. Comienza a trazar imaginariamente líneas (horizontales, verticales o diagonales) en el dibujo de modo que esto te permita realizar las siguientes actividades. a. Identifica un punto. b. identifica un segmento. c. Señala un ángulo de cada tipo (recto, agudo, obtuso).

Observa el grupo de figuras y completa la tabla.

>> Coloca los números de los cuadriláteros en la casilla que correspondan de acuerdo a la característica señalada.

Carácterísticas Dos pares de lados paralelos Dos lados paralelos y dos no Ningún lado paralelo Tiene al menos un ángulo obtuso Tiene todos sus ángulos rectos

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Cuadriláteros

Cómo me ven los demás Formen grupos de dos a tres personas. a. Investiguen cómo elaborar alguna figura en papel.Y practiquénla. b. Enséñenles a sus compañeros a realizarla aprovechando los temas que se trabajaron en esta guía. c. Evalúen entre todos el trabajo que realizan cada uno de los grupos.

Me autoevalúo >> Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Si

A veces

No

Identifica los conceptos básicos de la Geometría.

Reconoce las características, las clases, las relaciones y las propiedades de los ángulos.

Reconoce las posiciones relativas de las rectas en el plano.

Clasifica polígonos a partir de sus características.

Se interesa por conocer las opiniones de sus compañeros y presentar con claridad las suyas.

Se preocupa por preparar sus trabajos y exposiciones.

Acepta sus errores o dificultades y trata de superarlos.

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MÓDULO

La medida es cosa seria

¿Qué vas a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento métrico >> Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación. >> Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos.

Pensamiento numérico >> Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en diferentes contextos y dominios numéricos. >> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.

Con el estudio del concepto de medición que se trata en módulo, alcanzarás estándares básicos de competencias asociados a los pensamientos métrico y numérico. A continuación se especifican las guías que contiene el módulo y los aspectos que se desarrollan en las mismas.

90

Guías

Contenidos

1

Unidades de longitud

2

Unidades de superficie

3

Unidades de tiempo

Procesos Utilizar diferentes procedimientos de cálculo para hallar la medida de longitudes y superficies.

Usar y construir modelos geométricos para solucionar problemas.

Seleccionar unidades tanto estandarizadas como no convencionales apropiadas para diferentes mediciones.

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Módulo 5 Pensamiento métrico Las magnitudes Admiten

Pueden ser de

Medida Que necesita

Unidades Pueden ser de

Naturales

Convencionales

Como

Que pueden expresarse en el

Palmo pie

Sistema métrico decimal Como

El metro multiplicativas

Para

Longitud multiplicativas

El metro2 cuadrado multiplicativas

Para

Superficie multiplicativas

El segundo multiplicativas

Para

Tiempo multiplicativas

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¿Para qué te sirve?

Medir es una de las actividades que el ser humano realiza con mayor frecuencia. La actividad de medir proporciona un enlace entre el mundo físico y el matemático, debido a que ella permite asignar un número, llamado medida, fenómenos físicos o propiedades de los cuerpos, tales como: tiempo, longitud, peso y capacidad, entre otros.

Conocer las unidades de medida de uso frecuente en el país, te permitirá conocer un lenguaje universal para determinar las distancias, las áreas o los volúmenes.

¿Cómo se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el las unidades de longitud, superficie y tiempo.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

Además encontraras las secciones Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te permitirán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que en las que usarás tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

92

Explora tus conocimientos

Personas haciendo trabajos de carpintería en una vivienda rural.

Para hacer unas reformas de carpintería en su casa, Rosario compró los siguientes materiales: >> 10 listones de 2 m >> 21 listones de 75 cm >> 50 listones de 15 dam >> 100 pequeños listones de 1 dm >> 1 rollo de alambre de 10 dam a. ¿Cuántos centímetros de listón compró en total? b. Si devolvió la mitad de los listones pequeños, y la tercera parte de los grandes, ¿cuántos metros utilizó en las reformas? c. ¿Cuántos metros de alambre empleó?

93

Guía

Intuitivamente conocemos lo que es longitud o largo. En la práctica, lo que realmente medimos es la distancia o separación entre dos puntos, y dependiendo de la unidad de medida elegida, podemos decidir si uno de los puntos está cerca o lejos del otro.

En esta guía estudiarás las unidades pactadas universalmente para medir, no solamente longitudes; también las que se usan para medir superficies y el tiempo.

¿Qué está cerca y qué está lejos?

Formen grupos de cuatro integrantes y desarrollen, en el cuaderno, las actividades que se proponen a continuación. >> Fijen dos puntos diferentes y alejados uno del otro, en un espacio abierto del colegio, coloquen un objeto en cada punto elegido. Luego, cada uno de los integrantes del grupo debe contar la cantidad pasos que separan esos dos puntos. >> Anoten los resultados en sus cuadernos, en una tabla como la siguiente.

Estudiante Número de pasos > Comparen los datos registrados en la tabla. ¿Los resultados son iguales o diferentes? > ¿Por qué creen que se presentan diferencias, si las hay? > ¿Cómo se podrían evitar estas diferencias? >> Midan algunos objetos con la palma de la mano.

Por ejemplo, una mesa del salón. Comiencen por uno de los extremos y apoyen sus manos una a continuación de la otra a lo largo de un lado de la mesa. Cuenten.

Cada uno de los integrantes del grupo debe determinar cuántas veces cabe su mano en el lado de la mesa y completar la siguiente frase en su cuaderno.

El lado de la mesa mide _____ manos.

Con el mismo procedimiento midan el alto de la mesa: desde el piso hasta la tabla donde se apoyan los útiles escolares y completen el siguiente enunciado.

La mesa mide _____ manos de alto.

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> ¿Es práctico medir el ancho y el largo del salón de clases con las manos? ¿Y para distancias largas, como el recorrido de su casa a la escuela? >> Piensen elementos que sirvan para medir, por ejemplo: la regla. ¿Les parece necesario tener una medida universal para medir? Expliquen su respuesta.

Si se mide sin ningún instrumento, se hace una estimación de la medida.

Y si se eligen distintas unidades para una misma cantidad, se obtienen medidas diferentes, lo cual impide comparar cantidades de una determinada magnitud y dificulta las operaciones.

Con el propósito de evitar los inconvenientes de elegir diferentes unidades para hacer mediciones, en casi todos los países del mundo se ha adoptado el Sistema Internacional de Medidas (SI) que es la forma actual del Sistema Métrico Decimal.

Las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Medidas son las siguientes:

Magnitud

Unidad

Símbolo

Longitud

Metro

m

Masa

Kilogramo

kg

Tiempo

Segundo

s

Corriente eléctrica

Ampere

A

Temperatura termodinámica

Kelvin

K

Intensidad luminosa

Candela

cd

Cantidad de sustancia

Mol

mol

Otras unidades del SI, algunas de las cuales estudiarás en cursos posteriores, son:

Magnitud

Unidad

Símbolo

Superficie

Metro cuadrado

m2

Volumen

Metro cúbico

m3

Capacidad

Litro

L

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>> Indiquen la unidad correspondiente en el Sistema Internacional de Medidas para cada magnitud.

Longitud Masa Capacidad Superficie >> Dibujen un segmento y mídanlo con una regla.

- ¿Qué magnitud midieron?

- ¿Cuánto mide el segmento que dibujaron?

- ¿Qué unidad utilizaron?

El metro (m) es la unidad fundamental de longitud. >> Pidan ayuda a su profesor o profesora y tracen en el piso una recta de longitud 1 m. ¿Cuántos pasos caben en 1 m? ¿Cuántos palmos?

Para medir longitudes menores que un metro se utilizan unidades más pequeñas denominadas submúltiplos del metro.

1cm

1mm

1 2 3 4 5 6 7 8 910 Cada una de las diez partes iguales en que se divide un metro se llama decímetro.

1 m = 10 dm Cada una de las diez partes iguales en que se divide un decímetro se llama centímetro. 1 m = 10 dm = 100 m Cada una de las diez partes iguales en que se divide un centímetro se llama milímetro. 1 m = = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm >> Propongan algunos ejemplos de longitudes para las cuales sea conveniente utilizar el decímetro, el centímetro y el milímetro, como unidades de medida.

Para medir longitudes mayores que el metro se utilizan unidades más grandes llamadas múltiplos del metro.

Un decámetro equivale a diez metros. 1 dam = 10 m Un hectómetro es igual a cien metros. 1 hm = 10 dam = 100 m Un kilómetro equivale a mil metros. 1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m

96

>> Se - - -

puede estimar una longitud de 1 m fácilmente.

Estimen cuántos decámetros hay en el ancho y el largo de la escuela.

Nombren distancias a su alrededor, que midan 1 hm y 1 km.

Estimen la distancia que cada uno debe recorrer para ir de la casa a la escuela.

Trabaja individualmente y resuelve estas actividades en el cuaderno.

Indica la unidad que consideres más apropiada para medir lo que se indica en cada caso.

x

La altura de la montaña

La distancia entre dos ciudades

El diámetro de la moneda

Resuelve cada situación. >> ¿Cuántos trozos de 60 cm se pueden cortar de una cuerda de 150 m de largo?

>> La plaza de Santa Ana tiene forma rectangular. Si la plaza mide 2 hm de largo y 150 m de ancho, ¿cuántos metros se recorren al darle dos vueltas completas? >> Miguel tiene que recorrer 660 m desde su casa hasta la escuela. Si cada paso de Miguel mide 55 cm, ¿cuántos pasos debe dar en este recorrido? >> Una puerta mide de ancho 80 cm y de alto 120 cm del ancho. ¿Cuántos metros de madera se necesitan para enmarcar la puerta? >> Lucía utiliza 60 cm de cinta para hacer moños. ¿Cuántos moños puede hacer con 30 m de cinta?

97

Guía

En algunas ocasiones, es necesario determinar qué tan extensa es una superficie. Por ejemplo, para negociar un terreno es importante conocer la medida del mismo, para saber cuántas baldosas se deben comprar para recubrir el piso de una habitación, se necesita conocer su área, etc.

Con el estudio de esta guía conocerás cuáles son las unidades de uso frecuente para medir superficies y a manejar las relaciones existentes entre ellas.

¿Cuál región es más extensa?

Reúnete con un compañero o una compañera y desarrollen las siguientes actividades.

Copien las siguientes figuras y recorten en cartulina 30 fichas de cada una.

>> Tomen una hoja de papel y recúbranla primero con solo círculos, luego con solo triángulos y por último con solo cuadrados.

En cada caso, acomoden los moldes utilizados de manera que no queden unos sobre otros y que cubran completamente la hoja. >> ¿Cuántos círculos caben en la superficie de la hoja? >> ¿Con cuántos triángulos se cubre completamente la hoja? >> ¿Cuántos cuadrados colocaron sobre la hoja para cubrirla totalmente? >> ¿Con cuál de los moldes se recubre mejor la hoja de papel y no quedan espacios sin cubrir? >> ¿Por qué se utiliza un número diferente de fichas cada vez que escogen una figura distinta para recubrir una misma superficie? Expliquen su respuesta. >> Si deben elegir una unidad de medida de superficies, ¿cuál de los tres moldes les permite medir de manera más exacta? ¿Por qué?

98

>> Si deben medir el piso del salón de clase, ¿qué unidad de medida elegirían? ¿Y para medir la superficie ocupada por la población en que viven o la de Colombia?

Expliquen su respuesta.

La unidad de medida de superficie es el metro cuadrado. Un metro cuadrado (1 m2) es la superficie de un cuadrado de lado 1 m.

Con ayuda de su profesora o profesor, busquen una superficie lisa (como el piso del salón de clase), sobre la que puedan dibujar un cuadrado de lado 1 m. Esta superficie mide 1 m2. >> ¿Cuántos de ustedes se pueden parar al mismo tiempo sobre esta superficie? >> ¿Cuántos metros cuadrados caben en el piso del salón?

Hagan una estimación.

Para medir superficies menores que el metro cuadrado, se utilizan los submúltiplos el metro cuadrado. Estos son: el decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado y el milímetro cuadrado.

Un decímetro cuadrado es un cuadrado de 1 dm de lado.

En un metro cuadrado caben 100 decímetros cuadrados.

Un centímetro cuadrado es un cuadrado de 1 cm de lado. En un decímetro cuadrado caben 100 centímetros cuadrados.

Un milímetro cuadrado es un cuadrado de 1 mm de lado.

En un centímetro cuadrado caben 100 milímetros cuadrados.

Completen en el cuaderno las siguientes equivalencias, de acuerdo con lo anterior.

1 m2 = ……dm2 1 dm2 = …….. cm2, por lo tanto, 1 m2 = …… dm2 = ……….. cm2 1 cm2 = …… mm2, por lo tanto, 1 m2 = ……. dm2 = …………… cm2 = …………………mm2

99

Para medir superficies más grandes que el metro cuadrado se utilizan unidades llamadas múltiplos del metro cuadrado. Estas son el decámetro cuadrado, el hectómetro cuadrado y el kilómetro cuadrado.

Un decámetro cuadrado es igual a cien metros cuadrados.

Un hectómetro cuadrado es igual a diez mil metros cuadrados.

Un kilómetro cuadrado es igual a un millón de metros cuadrados. ¿Cuáles son los valores que hacen verdadera cada igualdad?

1 dam2 = …… m2 1 hm2 = ……. dam2 = ……… m2 1 km2 = ……. hm2 = ……… dam2 = ………… m2 Indiquen qué unidad utilizarían para medir cada superficie. >> La superficie de la población donde viven. >> La superficie del escritorio del profesor. >> La superficie de una cancha de baloncesto.

Para expresar medidas de superficie que se refieren a extensiones de fincas, campos, terrenos, etc., se utilizan las llamadas unidades agrarias.

Analicen la información de la siguiente tabla en la que se muestra la equivalencia con las unidades de superficie y complétenla con las cantidades correspondientes.

Unidades agrarias Unidad

Símbolo

Equivalencia

Hectárea

ha

1 hm2

Área

a

1 dam2

Centiárea

ca

-

Equivalencia en metros cuadrados

1 m2

>> Averigüen cuántas hectáreas mide una de las fincas cercanas a la escuela y expresen esta medida en: a. Hectómetros cuadrados b. Decámetros cuadrados c. Metros cuadrados >> Comparen sus resultados con los de otro grupo. ¿Obtuvieron las mismas respuestas? Pidan ayuda a su profesor o profesora para unificar las respuestas.

100

Realiza las siguientes actividades en el cuaderno.

Resuelve las siguientes situaciones. >> Averigua cuántos cuadritos tiene un tablero de ajedrez. Si se sabe que cada cuadrito mide 4 cm de lado, ¿cuántos milímetros cuadrados de superficie tiene el tablero?

>> Una hectárea equivale a 10 000 m2, determina: - ¿Cuántas hectáreas hay en un terreno de 500 dam2?

- ¿Cuántas áreas y cuántas centiáreas hay? >> Los habitantes de Santa Ana quieren pintar las paredes de la iglesia, las cuales ocupan 5 dam2 y necesitan dos manos de pintura. La pintura que se utilizará cubre 10 m2 de superficie y cuesta $12 000. ¿Cuánto cuesta la pintura que se debe comprar? >> El largo de un terreno de forma rectangular mide 90 m y del largo. ¿Cuántas vueltas hay que dar el ancho mide alrededor del terreno para recorrer 4 km? >> Las superficies de América del Norte y América Central suman 24 200 000 km2, mientras que la de América del Sur es de 17 800 000 km2. ¿Cuántos hectómetros cuadrados menos tiene la superficie de América del Sur? Escribe en el espacio en blanco el número que corresponda. ……. dm2 = 45 hm2 …… m2 = 75 dam2 ..…… m2 = 9 km2 ……. cm2 = 75 m2 Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie.

5 dam2 2 km2 300 hm2 8 km2 7 hm2 9 dam2

101

Guía

¿Cuánto tiempo ha pasado?

¿Cómo sería el mundo sin relojes ni calendarios? ¿Cómo sabrías que es hora de levantarse por la mañana? ¿Cómo sabrías cuántos días faltan para las vacaciones? Afortunadamente, a partir de los principales fenómenos astronómicos, tales como los movimientos de la Tierra y las apariciones periódicas del Sol y la Luna, el hombre ha podido establecer un sistema de división del tiempo repartido en días, semanas y meses, que le permite organizar su vida.

Trabaja individualmente en el cuaderno.

Completa la siguiente tabla. Pregunta a tu profesor o profesora los datos que tú no sabes.

Situación

Tiempo

Viaje de tu casa al colegio Viaje desde el pueblo en que vives hasta la capital de tu departamento en bus Descanso en la jornada escolar Vacaciones de mitad de año Tu edad Edad del profesor o profesora de matemáticas Compara los datos que escribiste en la tabla anterior, con la de alguno de tus compañeros o compañeras. >> ¿Cuáles unidades utilizaron en común para determinar los tiempos indicados en la tabla? ¿Cuáles de las unidades de tiempo son diferentes?

Expresa, en minutos, la hora que indica cada reloj.

102

Reúnete con un compañero o compañera y realicen las siguientes actividades en el cuaderno.

Lean la siguiente información. Luego contesten las preguntas que se formulan a continuación.

“Las primeras mediciones del tiempo se hicieron a partir de observaciones astronómicas y durante mucho tiempo el cielo fue el instrumento principal de esa medición. Desde muy temprano en la historia, el ser humano se dio cuenta que podía recurrir a los fenómenos físicos que se repetían de forma periódica y aprovechar su regularidad para construir instrumentos que midieran intervalos de tiempo. El primer “reloj” que estuvo a la disposición del hombre fue sin duda el derivado de la alternancia del día y de la noche, es decir, el día solar.

Pero a lo largo de la historia tecnológica aparecieron inventos cada vez más sofisticados que permitieron “observar” lapsos de tiempo, desde los calendarios que registran días, años y siglos, pasando por las clepsidras, velas, cuadrantes y otros instrumentos que miden periodos más cortos, como las horas, minutos y segundos, hasta el reloj de átomos de celsio, cuya precisión se mantiene durante 30 000 años.”

Tomado de http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/ historia/histdeltiempo/pasado/tiempo/p_midien.htm

>> -¿Cómo descubrió el ser humano el “paso del tiempo”? >> -¿Cuál fue el primer “reloj” que tuvo a disposición el hombre? >> -¿Cuáles inventos aparecieron a lo largo de la historia para “observar” el tiempo?

Para medir períodos de tiempos menores que el día se utilizan la hora, el minuto y el segundo.

Cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior y sesenta veces menor que la unidad de orden inmediato superior, como se muestra en la siguiente tabla.

103

Unidad

Símbolo

Equivalencia

Hora

h

1 h = 60 min

Minuto

min

1 min = 60 s

Segundo

s

1 h = 3 600 s

Para medir periodos de tiempo mayores que una hora, se utilizan las unidades que se presentan en la tabla. Cópienla y completen las equivalencias con ayuda de su profesor o profesora.

Día

Semana

……. h

…… días

Quincena

Mes

Semestre

…., …. ó …. días

…… días

…… meses

Año …… días

Con ayuda de su profesor o profesora, averigüen las equivalencias que no conocen y completen los siguientes enunciados en el cuaderno.

Un bimestre es la agrupación de …… meses.

Un trimestre es la agrupación de ….. meses.

Un semestre es la agrupación de …….. meses.

Un lustro o quinquenio: es un período equivalente a ……. años.

Una década es un período equivalente a …… años.

Siglo es un período equivalente a …… años.

Un milenio es un periodo equivalente a ……. años.

Observen las siguientes equivalencias y comparen con las respuestas en de la actividad anterior.

Unidad de tiempo

Siglos

1 milenio

10

100

1 000

1 siglo

1

10

100

1 200

1

10

120

520

5

60

260

12

48

365

1 mes

4

28 a 31

1 semana

1

7

1 década 1 lustro 1 año

1 hora

Décadas

Años

Meses

Semanas

Días

Horas

Minutos

Segundos

60

3 600

168 1

De acuerdo con esta información: 9 h 20 min es igual a (9 x 60) min + 20 min = 540 min + 20 min = 560 min 3 h 50 min es igual a (3 x 60) min + 50 min = 180 min + 50 min = 230 min

104

Realiza las siguientes actividades en el cuaderno, de manera individual.

Copia y responde las siguientes preguntas. >> ¿Cuántas horas tiene una semana? >> ¿Cuántos segundos son 5 min?

>> ¿Cuántos días son cinco semanas? >> ¿Cuántos años son cuatro siglos? >> ¿Cuántos meses son 15 años?

Resuelve cada situación. >> Un vehículo avanza a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora en la carretera. ¿ Cuántos kilómetros recorrerá en tres horas? >> ¿Cuántos días ha vivido cada persona hasta hoy?

Fecha de nacimiento: 12 de mayo de 2000

Fecha de nacimiento: 5 de agosto de 1995

>> Colón salió del puerto de Palos el día 3 agosto de 1492 y llegó a la isla de San Salvador, el 12 de octubre del mismo año. ¿Cuántos días duró el viaje? ¿Cuántas semanas? >> Un ciclista entrena diariamente 6 h 14 min 38 s. ¿Cuánto lleva pedaleando, si ha entrenado ya la mitad de ese tiempo? >> Halla las horas que hubo entre: 1 de noviembre de 1987 y el 5 de marzo de 1988. >> Santiago nació el 2 de mayo de 1990 y su padre el 1 de febrero de 1965. ¿Cuántos días de diferencia hay entre las edades del padre y del hijo? >> Calcula cuántos días hay entre: El 7 de marzo y el 23 junio El 16 de agosto y el 28 de diciembre septiembre

El 2 de enero y el 8 de marzo El 14 de julio y el 15 de

105

Sonia tiene una cinta azul y una cinta blanca. La cinta azul mide 1 m, 2 dm y 5 cm, la cinta blanca mide 6 dm, 8 cm y 5 mm. >> Calcula la longitud en milímetros de cada cinta. >> Sonia cortó la cinta azul en cinco trozos iguales. ¿Cuál es la longitud en milímetros de cada trozo? >> Sonia necesita 1 m de cinta blanca. ¿Cuántos centímetros más de cinta blanca tiene que comprar?

Un vehículo A lleva una velocidad constante de 90 km por hora y otro vehículo B lleva una velocidad constante de 120 km por hora.

Calcula. >> Los kilómetros que recorre cada coche en 1 minuto. >> Los metros que recorre cada coche en 1 minuto. >> Los metros que recorre cada coche en 1 segundo.

35 cm

22 cm

75 cm

Enrique tiene que comprar listón de madera para hacer tres marcos con las dimensiones que se observan en las figuras.

52 cm

42 cm

1m

Calcula: >> Los centímetros de listón que tiene que comprar para cada marco. >> El precio de cada marco, si el metro de listón cuesta $ 9 500.

Las siguientes figuras representan el plano de un campo de fútbol, una piscina y un gimnasio.

106

Cada uno de estos planos está hecho a escala 1: 2 000, es decir, 1 cm sobre el plano representa 2 000 cm sobre el terreno real. >> Utiliza una regla y calcula las dimensiones reales en metros del campo de fútbol, la piscina y el gimnasio.

De un patio rectangular de 8 m de largo y 6 m de ancho se han embaldosinado 1 200 dm2 ¿ Cuántos metros cuadrados faltan para terminarlo?

Teresa tiene que comprar una alfombra, el cuarto tiene 10 m de largo por 4 m de ancho. ¿Cuál será el precio de la alfombra si 1 m2 cuesta $ 45 000?

Calcula, en metros cuadrados, la superficie de un cuadrado cuyo perímetro es el que se indica en cada caso.

832 m 150 dm 750 m 460 dm Calcular la superficie de un rectángulo cuya base es la mitad de la altura y su altura mide 12 cm Se abonaron $ 80 500 000 por un terreno de 250 m de ancho y 3 hm de largo ¿Cuál es el costo de cada metro cuadrado del terreno?

La superficie de un rectángulo es de 60 m2 y la base mide 250 dm. Calcula la altura y el perímetro.

El corazón de un niño late 80 veces por minuto. ¿Cuántos latidos da en 2 h 45 min?

Un reloj adelanta 2 s. por hora. ¿Cuántos minutos y segundos adelanta al cabo de una semana?

Una familia, formada por cuatro personas, está en el hotel desde el 25 de julio al 12 de agosto, incluidos ambos días.

La pensión por persona es de $ 50 000 diarios. >> ¿Cuántos días permaneció esa familia en el hotel? >> ¿Cuál fue su gasto diario y su gasto total?

107

Qué aprendí >> La hidrografía de Colombia es de las más ricas del mundo. Sus principales ríos son el Magdalena, el Cauca, el Guaviare, el Putumayo y el Caquetá.

En la tabla se muestran las longitudes de algunos ríos colombianos. Complétala teniendo en cuenta los datos.

Río

Longitud (km)

Magdalena

1 550

Guaviare

1 350

Inírida

1 300

Apaporis

805

Atrato

612

Longitud (hm)

Longitud (m)

>> Los ríos de la vertiente del Oceano Pacífico y sus afluentes suman cuencas de 88 000 km² en total. Está vertiente está formada por las siguientes cuencas: - Cuenca del río Patía (24 000 km²) - Cuenca del río San Juan (Colombia) (20 000 km²) - Cuenca del río Mira (11 000 km²) - Cuenca del río Baudó (8 000 km²) - Otras cuencas menores, incluidas las del Micay y Guapi (25 000 km²)

108

Con base en la información anterior, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas(V) o falsas (F).

- La cuenca del río Patía mide 2 400 000 hm2. () - La cuenca del río San Juan tiene 2 000 dam2. () - La cuenca del río Mira mide 1 100 hm2. () 2 - La cuenca del río Baudó tiene 8 000 000 dam . () >> Una lancha que recorre el río magdalena avanza con una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. ¿En cuántos minutos recorre 180 km?

¿Cómo me ven los demás?

Trabaja con tres compañeros o compañeras.

En la ilustración se indica el tiempo de vida de algunos animales.

75 años de vida

40 años de vida

150 años de vida

15 años de vida

>> Respondan las preguntas con base en la información.

- ¿Cuántos meses más vive la cacatúa con respecto al caballo?

- ¿Cuántos días menos de vida tiene el perro con respecto al caballo?

- ¿Cuántas horas vive en total una tortuga? >> Expliquen las operaciones que aplicaron para responder las preguntas anteriores. >> Hagan una puesta en común y con ayuda de su profesor o profesora determinen el proceso más práctico para hacer los cálculos que resolvieron las preguntas.

Me autoevalúo Sí

No

A veces

Identifico y comprendo las unidades de medida de longitud, superficie y tiempo.

Establezco equivalencias entre las diferentes unidades ya sea de longitud, de superficie o de tiempo.

Resuelvo problemas que involucren las diferentes unidades de medida Participo activamente en clase, expresando mis opiniones de manera clara y respetuosa.

Respeto las opiniones de mis compañeros de curso.

Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de seguimiento con tu profesor.

109

MÓDULO

Recolección e interpretación de datos

¿Qué vas a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento aleatorio >> Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de observaciones, consultas o experimentos. >> Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas). >> Interpreto, produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. (diagramas de barras, diagramas circulares.)

Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de competencias relacionados con el pensamiento aleatorio, ya que a partir a partir de la organización e interpretación de datos es posible adquirir el conocimiento de la realidad, en tanto esta sea posible a partir de la información registrada. Los conceptos que se desarrollarán en este módulo aportan a la búsqueda de soluciones razonables a distintos problemas y a la toma de decisiones.

110

En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

Guías

Contenidos

1

Recolección de datos

2

Organización e interpretación de datos

3

Representación de datos

Procesos Organizar datos estadísticos de manera que la información sea de fácil comprensión y análisis.

Interpretar situaciones a partir de datos organizados en tablas.

Resolver problemas que involucren la recolección y organización de datos.

Leer y representar la información dada en diagramas estadísticos con seguridad y habilidad.

Realizar inferencias obtenidas de la interpretación de datos organizados en tablas o en diagramas.

El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el módulo.

Módulo 6 Pensamiento aleatorio

Recolec ción de datos

>> Encuestas >> Observaciones >> Datos recogidos por entidades confiables

Organización de datos

>> Tablas de conteo >> Tablas de frecuencia

Representación de datos

>> >> >> >>

Diagrama de barras Diagrama Circular Diagramas de línea

111

¿Para qué te sirve?

La estadística es una herramienta de investigación que se usa en todas las ciencias. Con ella, es posible describir conjuntos que sean sometidos a un estudio y, luego de su análisis predecir el comportamiento de los mismos a partir de datos correspondientes a partes de ese conjunto.

Tiene gran aplicación cuando se quieren determinar las necesidades de una región particular; por ejemplo, si desea conocer el rendimiento académico de los estudiantes, si se quiere saber cuáles son las actividades preferidas por las personas para realizar en su tiempo libre o para identificar el medio de transporte que utilizan los estudiantes de postprimaria de una escuela de la región, entre otros casos.

¿Cómo se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

112

Explora tus conocimientos

Para la despedida del año escolar los estudiantes de grado sexto realizaron entre sus compañeros una encuesta, para decidir qué actividad podrían realizar.

Estas fueron las respuestas obtenidas al realizar la pregunta: ¿qué actividad te gustaría realizar para el cierre del año escolar?

Tarde en el río Almuerzo campestre Almuerzo campestre Tarde en el río Almuerzo campestre a. b. c. d. e.

Visita al museo Almuerzo campestre Visita al museo Tarde en el río Visita al museo

Tarde en el río Almuerzo campestre Almuerzo campestre Tarde en el río Almuerzo campestre

¿Cuáles fueron las actividades propuestas por los estudiantes de sexto grado? ¿A cuántos estudiantes se les realizó la pregunta? ¿De qué manera se puede organizar esa información? ¿Qué actividad realizaron para la despedida del año escolar? ¿Por qué sabes que esa fue la elegida?

113

Guía Por parejas, pregunten a sus compañeros y compañeras de curso sobre el uso que hacen del tiempo libre. Para ello se sugieren algunas preguntas, que pueden ser complementadas por otras:

¿Qué hacen mis compañeros en el tiempo libre?

>> ¿Qué actividades realizan en su tiempo libre? >> ¿Cuánto tiempo a la semana le dedican a esa actividad?

Organicen la información recolectada en el cuaderno, y preséntenla al grupo.

Realiza una clasificación según el tipo de preguntas formuladas anteriormente a los compañeros. Estas pueden ser entre otras: >> De identificación, cuando se preguntan sobre características propias de las personas. Ej. Nombre, Edad, documento de identificación, entre otros. >> De acción, cuando se indaga sobre alguna actividad que realiza la persona. Ej. ¿Habla inglés?, ¿Fuma? >> De intención, cuando se explora sobre la intenciones de los encuestados. Ej. ¿Va a votar? ¿Viajará en vacaciones? >> De opinión, cuando pregunto sobre la opinión sobre determinados temas. Ej. ¿Qué piensa sobre...? >> De información, si se indaga sobre el grado de conocimiento de los encuestados sobre determinados temas. Ej. ¿Sabe usted que es…? >> De motivos, tratan de saber el porqué de determinadas opiniones o actos.

Según los datos recolectados acerca de las actividades del tiempo libre: >> ¿Cuál es la actividad que prefiere realizar la mayoría de estudiantes? ¿Cuál es la de menos preferencia? >> ¿De qué manera tu grupo organizó las respuestas obtenidas en la actividad anterior? Explica. >> ¿Todos los grupos organizaron la información de la misma manera? >> ¿Todos los grupos de trabajo presentaron la misma información? Justifica.

114

La información anterior resulta muy útil al momento de tomar decisiones de grupo ya sea para realizar una actividad extraescolar, para comprar un regalo para un compañero, para definir la realización de un evento social entre otras…

Ahora contesta desde lo que conoces: >> ¿De qué manera podemos obtener información sobre las preferencias de los colombianos? >> ¿Cuáles personas o empresas conoces que se dediquen a conseguir información de preferencias de las personas? >> ¿Cómo crees que recoge información un científico? >> Comparte tus respuestas con alguno de tus compañeros Como resulta muy usual y necesario organizar información para analizarla y tomar decisiones a partir de ella, se estudiará a continuación algunas maneras de hacerlo.

Veamos dos ejemplos de recolección de la información elaborada por los estudiantes que indagaron por las actividades desarrolladas en el tiempo libre:

Datos recogidos por Pedro

Datos recogidos por María

Nombre

Nombre

Actividades

Actividades

Juan

Nadar y montar bicicleta

Ana

Montar bicicleta y pintar

Luis

Caminar y nadar

Pedro

Escuchar música y nadar

Ángela

Pintar y escuchar música

Jaime

Jaime: Nadar y montar bicicleta

Jorge

Montar bicicleta y caminar

Andrés

Montar bicicleta y escuchar música

María

Nadar y escuchar música

Diana

Nadar y escuchar música

>> ¿Cuál actividad, desarrollada en el tiempo libre, es la preferida por los estudiantes encuestados por Pedro? >> ¿Cuál la de los estudiantes encuestados por María? >> ¿De qué manera podemos reunir y presentar los datos recogidos por Pedro y María? Discute con tus compañeros.

Una vez se consolida la información de los datos de Pedro y María, contesta: >> ¿Cuál es la actividad preferida por las mujeres consultadas? >> ¿Cuál es la actividad preferida por los hombres encuestados? >> ¿Qué otras conclusiones puedes sacar de la totalidad de los datos? >> ¿Te resulta fácil dar respuesta a las preguntas anteriores con las tablas que nos presentan los datos? Explica tu respuesta.

115

Observa dos representaciones realizadas para organizar las actividades desarrolladas en el tiempo libre por estudiantes de posprimaria:

Actividad realizada en el tiempo libre

Cantidad de personas

Actividad realizada en el tiempo libre

Cantidad de personas

Nadar

///// //

Nadar

7

Pintar

///

Pintar

3

Montar bicicleta

///// ///

Montar bicicleta

8

Escuchar música

///// /

Escuchar música

6

Caminar en la montaña

//

Caminar en la montaña

2

>> ¿Qué actividad prefieren realizar la mayoría de estudiantes?, >> ¿Cuál es la de menos preferencia? >> ¿Qué prefieren más las personas, caminar en la montaña o escuchar música? >> Si cada una de las personas encuestadas informó las dos actividades preferidas para realizar en su tiempo libre, ¿cuántas personas se encuestaron en total? >> ¿Qué tienen en común las tablas anteriores? >> ¿Hay algo diferente en ellas? >> ¿Alguna de esas tablas es más fácil de Interpretar? ¿Por qué?

Para organizar información resulta muy útil hacerlo por medio de tablas Las tablas permiten hacer un resumen de la información, para que pueda ser ordenada e interpretada fácilmente.

Explica: >> ¿Qué tipo de tablas conoces? >> ¿Para qué se utilizan las tablas?

La información que se recoge, organiza y analiza a partir del resultado de encuestas o consultas a diversas fuentes se denomina datos.

116

En la información anterior, cada una de las respuestas dada por los estudiantes sobre las actividades que realizan en el tiempo libre es un dato.

Según lo anterior, >> ¿Cuáles datos de tus compañeros pudiste recoger? >> ¿Cómo son esos datos? ¿Son números? ¿Son texto?

En estadística el número de veces que se repite un dato recibe el nombre de frecuencia absoluta o simplemente frecuencia.

El número de veces que se respondió que pintar es la actividad preferida para realizar en el tiempo libre corresponde a su frecuencia. >> ¿Cuál es el dato más frecuente que recogiste de tus compañeros? >> Según los datos recogidos por Pedro y María. ¿Qué tan frecuente resulta que los estudiantes pinten?

Trabaja con dos compañeros o compañeras.

1. Pregúntale a las personas de tu vereda, ¿cuál es su comida típica preferida?

Comida típica preferida

Cantidad de personas

a. Organiza en tu cuaderno, la información recolectada, en una tabla como la siguiente y concluye: ¿cuál es la comida típica preferida por las personas de tu región? b. ¿Cuántas personas escogieron esa comida típica? c. ¿Cuál fue la comida típica menos seleccionada por las personas de tu región? d. ¿Cuántas personas la seleccionaron?

117

El conteo de los datos se facilita cuando la información se registra en tablas. e. ¿Qué información aparece en la primera columna de la tabla? f. ¿Qué información aparece en la segunda columna? g. ¿Cómo interpretas la información que aparece en la primera fila? h. Escribe alguna conclusión de la actividad anterior. i. ¿Qué otra información puedes deducir de esas respuestas? Escríbelas y explica qué te permite hacer esa deducción.

118

Pregunten a los estudiantes de la escuela: a. ¿Cuáles son los problemas qua hay en la escuela? b. ¿Qué soluciones proponen para esos problemas? c. Para cada pregunta elaboren una tabla donde organicen la información recolectada. d. ¿Qué clase de problema obtuvo mayor frecuencia? e. ¿Cuáles fueron las soluciones propuestas? f. Escriban una conclusión obtenida de la información recolectada. g. Compartan las respuestas con estudiantes, profesores y directivos.

Conversa con tus compañeros acerca de la actividad realizada. h. ¿Conocían la existencia de esos problemas en la escuela? i. ¿Qué proponen ustedes para combatir esos problemas? j. Compartan sus opiniones con el resto del grupo.

119

Guía Consigan una báscula para conocer el peso de las personas.

¿Cuánto pesan mis compañeros de clase?

Con ayuda del profesor o profesora, cada estudiante de la clase, se para sobre la báscula y mide su peso.

Anota todos los resultados obtenidos.

Por parejas, analicen los datos recogidos y organícenlos en una tabla de frecuencias.

Presenten los datos organizados al grupo. >> >> >> >> >>

¿Cuál es el peso que presenta la mayor frecuencia? ¿Cuántos estudiantes tienen ese peso? ¿Cuál es el de menor frecuencia? ¿Cuántos estudiantes hay con ese peso?

Muestren los resultados a la persona encargada de alimentación y nutrición en su escuela. Pregúntenle si esos datos están acordes son su edad y estatura, y pídanle que les hable sobre la importancia de los buenos hábitos alimenticios.

Observa cómo registraron la información Milena y Simón.

Peso en kg

120

Número de alumnos (Frecuencia)

Parte del total de alumnos que tienen ese peso

41

1

1/10

43

1

1/10

47

2

2/10

49

4

4/10

52

2

2/10

Total

10

10/10 = 1

>> ¿Cuántos datos se registraron en esa actividad? >> ¿Cuántas estudiantes del total pesan 41 kilogramos? >> ¿Cuántos pesas 49?

La tercera fila de esa tabla, da información sobre qué parte de la población en estudio o de una de muestra (parte de la población), corresponde a la característica analizada. Esos valores se conocen como frecuencias relativas.

Por ejemplo, la frecuencia relativa que corresponde a 47 kilogramos es 2/10, es decir de diez estudiantes dos pesan 47 kilogramos. >> ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 49 kilogramos? >> ¿Cuál es la frecuencia relativa del mismo peso? ¿Qué significa ese valor?

Milena y Simón siguen completando datos en la tabla.

Analiza y en tu cuaderno, completa la tabla.

Peso en kg

Número de alumnos (Frecuencia)

Parte del total de alumnos que tienen ese peso

Frecuencia acumulada absoluta

Frecuencia acumulada relativa

41

1

1/10

1

1/10

43

1

1/10

2

2/10

47

2

2/10

4

49

4

4/10

52

2

2/10

Total

10

10/10 = 1

>> ¿Cuántos estudiantes de la clase de Milena, pesan 49 kilogramos o menos? >> ¿Qué parte de esos estudiantes pesan 49 kilogramos o menos?

Consigue una calculadora, y halla el cociente de dividir la cantidad de estudiantes que pesan 49 kilogramos o menos entre 10.

El cociente que se obtiene, 0,8, quiere decir que aproximadamente el 80% de los compañeros de Milena y Simón pesan 49 kilogramos.

121

Completa la tabla en tu cuaderno escribiendo el porcentaje de cada dato.

Para cierto valor de una característica de una población o una muestra, la frecuencia acumulada relativa se calcula mediante el cociente de la frecuencia acumulada del dato y el número total de datos.

Consigan un metro de costura.

1. En parejas, tomen la estatura de sus compañeros de clase.

Mientras uno utiliza el metro, el otro anota en el cuaderno.

Recuerden tomar las estaturas de ustedes. Roten las responsabilidades.

Si alguno de los datos no es un número exacto, aproximen ese valor a los centímetros más cercanos. Por ejemplo, si alguien mide 153,4 cm, escriben 153 cm; si alguien mide 148,8 cm, escriben 149 cm.

Organicen la información en una tabla como la siguiente:

Estatura en cm

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada absoluta

Frecuencia acumulada relativa

Respondan: a. ¿Cuál es la mayor estatura registrada? b. ¿Cuántos estudiantes tienen esa estatura? c. ¿Cuál es la menor? d. ¿Cuál es su frecuencia? e. ¿En cuál de esas frecuencias registradas en la tabla, está tu estatura? f. ¿Cuántos de tus compañeros tienen esa estatura o menos? g. ¿Qué porcentaje de los estudiantes de la clase tienen esa estatura o menos?

122

2. Santiago recogió la siguiente información acerca de las estaturas de sus compañeros.

142, 143, 146, 142, 145, 140, 138, 143, 146, 142, 138, 139, 142, 143, 142, 145, 137, 147, 143, 143 Construyan una tabla en donde aparezcan las frecuencias absolutas y relativas correspondientes a los datos de la estatura en centímetros de los 20 estudiantes de la escuela.

Respondan: a. ¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta? b. ¿A qué dato corresponde? c. ¿Cuál es la menor frecuencia absoluta? d. ¿A qué dato corresponde? e. ¿Cuántos compañeros de Santiago miden 142 cm? f. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene una estatura de 138 cm?

3. A 15 estudiantes de postprmaria se les preguntó por el número de hermanos que cada uno tiene. Las respuestas se presentan a continuación.

2, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2 a. Ordenen los datos de menor a mayor. b. Construyan una tabla de frecuencias absolutas y relativas para el número de hermanos. c. ¿Cuántos estudiantes son hijos únicos? d. ¿Cuántos no lo son? e. ¿Cuántos alumnos tienen el mayor número de hermanos? f. ¿Cuál es el número de hermanos que tiene la mayoría de los estudiantes? g. ¿Qué porcentaje de estudiantes encuestados tienen tres hermanos? h. ¿Qué porcentaje tiene solo un hermano?

123

Guía Observa el siguiente diagrama.

4 Número de alumnos

Otra forma de ver los datos recogidos

3 2 1 0

>> >> >> >> >> >> >>

43

41

47

49

52

Peso (kg)

¿Qué información está representada en él? ¿Sabes que nombre recibe esa representación? ¿Cómo sabes cuál es el dato con mayor frecuencia? ¿Y el dato con la menor frecuencia? ¿Cuántos estudiantes pesan 52 kilogramos? ¿Qué dato tiene una frecuencia de 2?

Explica de qué manera lees la información que está representada.

Las diferentes características de una población pueden representarse de varias maneras. Entre ellas se encuentran: las tablas de frecuencia, los diagramas de barras o los diagramas circulares.

La representación anterior corresponde a un diagrama de barras.

Observa nuevamente el diagrama anterior. >> ¿Qué información se presenta sobre la semirrecta horizontal? >> ¿Cómo son los espacios asignados a cada dato? >> ¿Qué información se representa en la semirrecta vertical? >> ¿Qué indica la altura de las barras del diagrama?

Para saber cuántos estudiantes cierto peso en kilogramos, por ejemplo, 43, se busca ese dato en la semirrecta horizontal, luego se analiza la altura de esa barra para conocer la frecuencia correspondiente.

124

La lectura del diagrama también puede hacerse de manera vertical, por ejemplo para saber qué dato tiene una frecuencia de 1, se busca en la semirrecta vertical ese número y se determina cuál o cuáles barras tiene esa altura.

Esta es otra representación.

41 kg 52 kg

20%

10% 10%

43 kg

20%

49 kg

40%

47 kg

Se conoce como diagrama circular.

Para representar información en diagramas circulares se debe conocer qué porcentaje del total de los encuestados, representa cada dato.

Peso en kg

Número de alumnos (Frecuencia)

Porcentaje que representa cada dato

41

1

10%

43

1

10%

47

2

20%

49

4

40%

52

2

20%

Total

10

100%

>> El 20% de las personas encuestadas pesan 47 kilogramos. >> ¿Qué porcentaje de esta población, pesa 41 kilogramos?

La representación de los datos en diagrama circular permite comparar cada dato con el total, mientras que el diagrama de barras es más claro cuando se quiere comparar los datos entre sí.

125

Para representar los datos en diagrama circular es necesario conocer la medida del ángulo que representa cada región.

Para eso debes recordar que el giro de una vuelta completa equivale a 360º y, que el total de la población en estudio, corresponde al 100%.

Por tanto, a cada 1% le corresponden 3.6º.

Para hallar la medida del ángulo que representa la región de cierto peso en kilogramos, en el diagrama circular, se multiplican los datos de la tercera columna de la tabla por 3.6º.

Realiza cada operación y con un transportador comprueba esa medida en el diagrama.

Para representar gráficamente partes o porcentajes de un total se usa un diagrama circular, en el que cada región es proporcional al porcentaje que aparece en la tabla.

Si se trata de tablas de frecuencia, el círculo se reparte proporcionalmente entre las frecuencias.

Forma pareja con un compañero o compañera.

1. Construyan en sus cuadernos, un diagrama de barras para representar la información de las actividades del tiempo libre presentadas en la guía

Actividad realizada en el tiempo libre

Cantidad de personas

Nadar

7

Pintar

3

Montar bicicleta

8

Escuchar música

6

Caminar en la montaña

2

2. Representen la información sobre las preferencias por las comidas típicas del Valle del Cauca, en un diagrama de barras.

126

Cantidad de personas

Comida o postres típicos Sancocho de gallina

7

Pandebono

10

Hojaldres

6

Tamales vallunos

13

Chancacas

5

Desamargado

9

Manjar blanco

8

>> ¿Cuáles son las comidas o postres típicos referidos por los Vallecaucanos encuestados? >> ¿Cómo son esas barras en el diagrama? >> ¿Qué significa que la chancaca tenga la barra del diagrama más baja?

3. El diagrama de barras que se ilustra en la siguiente figura., representa el nivel de lluvias durante los meses del año, en el departamento de Santander.

11 cm3 10 cm3 9 cm3 8 cm3 7 cm3 6 cm3 5 cm3 4 cm3 3 cm3 2 cm3

Diciembre

Noviembre

Octubre

Septiembre

Agosto

Julio

Junio

Mayo

Abril

Marzo

Febrero

Enero

1 cm3

127

Con base en él respondan. a. ¿En qué meses de esa región las lluvias son mayores? b. ¿Qué meses del año tienen el mismo nivel de lluvia? c. ¿Cuáles meses son los meses más secos en esa región del país? d. La ahuyama se cosecha cuatro meses y medio después de la siembra. Si esta planta no resiste mucho las sequías, ¿en qué meses es recomendable sembrarla para obtener una cosecha próspera?

4. Representen la información recogida en la guía anterior, acerca de las estaturas de sus compañeros de clase, en un diagrama de barras. a. ¿Cuál es la estatura más frecuente entre sus compañeros? b. ¿Cuántos compañeros tienen esa estatura?

128

Escriban una conclusión.

Mateo y Diana recogieron la siguiente información entre sus compañeros.

Número de estudiantes (Frecuencia absoluta)

Mes en que nació Enero

2

Febrero

2

Marzo

3

Abril

2

Mayo

5

Junio

4

Julio

3

Agosto

2

Septiembre

1

Octubre

4

Noviembre

3

Diciembre

4

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada absoluta

Frecuencia acumulada relativa

Total a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k.

Completen, en sus cuadernos, la tabla. ¿Cuál es el mes en el que cumplen más personas? ¿Cuántas personas cumplen en ese mes? ¿Cuál es la frecuencia absoluta del mes de mayo? ¿Cuál es su frecuencia relativa? ¿Cuál es la frecuencia absoluta del mes de noviembre? ¿Cuál es su frecuencia relativa? ¿Cuántas personas cumplen en el mes de abril o antes? ¿A qué porcentaje de esa población corresponde?

Representen la información en diagrama de barras.

Representen la información en un diagrama circular.

129

1. Supón que los siguientes datos corresponden al número de bultos de papa vendidos durante los últimos 20 días.

8 7 6 10 9 5 7 6 8 10 6694866885 Organiza los datos anteriores en una tabla de frecuencias como la siguiente:

Bultos de papa

Número de días

Analiza y responde: a. ¿Cuántos días se vendieron 4 bultos de papa? b. ¿A qué porcentaje corresponden estos días en relación con el total de días? c. ¿Cuántos días se vendieron 10 bultos de papa? d. ¿A qué porcentaje corresponden estos días en relación con el total de días? e. ¿Cuántos días se vendieron más de 8 bultos de papa?

Representa la información registrada en la tabla en un diagrama de barras.

2. Los siguientes datos corresponde a los nombres de los estudiantes y el grado al cual pertenecen en una escuela de postprimaria.

Nombre

Grado

Nombre

Grado

Nombre

Grado

José

60

Carlos

80

Tania

60

Armando

70

Erika

60

Helena

70

Gabrienla

60

Liliana

80

María

70

Cecilia

70

Edgar

70

Yanet

90

Pedro

60

José

60

Eduardo

60

Juan

80

Humberto

80

Angélica

90

Luis

60

Fernando

90

Deysi

90

a. Organiza la información en una tabla de frecuencias. b. Construye el diagrama de barras correspondiente a la información de la tabla. c. Realiza el ejercicio con los estudiantes de tu escuela.

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3. Pregunta a los estudiantes de su escuela ¿cuál o cuáles estrategia son útiles para tener un buen rendimiento escolar? a. Organicen la información en una tabla. b. Representen la información en un diagrama circular. c. Presenten los resultados al grupo. d. Escribe una conclusión al respecto.

4. Paola llegó hace poco a la escuela. Ella viene de otra vereda al otro lado del río. Para participar más animadamente en las charlas con sus compañeros decidió formularles las siguientes preguntas: >> ¿Qué asignatura te gusta más? >> ¿Qué deporte practicas con frecuencia? >> ¿Cuál es tu color favorito? >> ¿Qué tiempo dedicas al estudio en tu casa? >> ¿Cuál es tu comida favorita? >> ¿Cuál es tu bebida favorita? >> ¿Cuál debe ser el deportista del año en el colegio?

Formula a tus compañeros de clase, las preguntas que Paola realizó. Inventa cuatro preguntas que consideres interesantes y formúlalas.

Organiza las respuestas dadas por tus compañeros y compañeras de acuerdo con la asignatura preferida, el deporte, el color, el tiempo dedicado al estudio, la comida preferida, la bebida preferida, y el o la deportista del año, en una tabla de frecuencias.

Construye una tabla para organizar las respuestas dadas por tus compañeros a las cuatro preguntas que realizaste adicionalmente.

5. El diagrama de la figura presenta los porcentajes de los componentes más importantes que tiene el cuerpo humano.

Proteínas Azúcares Sales minerales

16% 1% 5% 64%

Grasas

a. b. c. d. e.

14%

Agua

¿Cuál es el componente que menos tiene el cuerpo humano? ¿A qué porcentaje corresponde? ¿Qué porcentaje tenemos de grasas? ¿Cuánto mide en el diagrama, el ángulo que corresponde al componente de agua?

Inventa un problema con esa información.

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Qué aprendí 1. Para realizar el mantenimiento adecuado de los árboles de una región, la administración local ha decidido tomar la altura de los árboles que se encuentran a la entrada de una reserva natural, cercana a Villavicencio.

Figura 1.12 Las personas que tomaron el registro, organizaron la información de la siguiente manera: 3 metros ///// // 5 metros ///// ///// / 6 metros ///// ///// //// 9 metros ///// /// 10 metros ///// //// 8 metros //// 13 metros ///// / 11 metros ///// 12 metros /// a. Organiza la información en una tabla de frecuencias. b. ¿Cuántos árboles hay de 3 metros? c. ¿Cuántos de 5 metros? d. ¿Cuántos de 9 metros? e. ¿Cuántos de 12 metros? f. ¿Cuál fue la mayor altura registrada entre los árboles? g. ¿Cuántos árboles tienen esa altura? h. ¿Cuál es la altura que más se repite? i. ¿Cuántos árboles de los registrados miden menos de 10 metros? j. ¿Cuántos árboles de los registrados miden más de 9 metros? k. ¿De qué otra manera se puede organizar la información?

2. Representa la información de la tabla construida en el ejercicio anterior, en un diagrama de barras.

3. A continuación encuentras el diagrama de barras correspondiente a los datos obtenidos en una encuesta realizada a jóvenes de grado sexto de postprimaria, sobre sus actividades en el tiempo libre: 20 15 10 5

Ca m in ar

Le er

Ju ga r

Do rm ir

132

Ba ila r

0

A partir de esta información construye la tabla de frecuencias y responde las preguntas: a. ¿Cuál es la actividad que prefieren realizar los jóvenes de grado sexto? b. ¿Qué otra forma de presentar esta información podrías utilizar? c. Representa esa información en un diagrama circular.

¿Cómo me ven los demás?

Trabaja en parejas.

4. El siguiente diagrama corresponde a la edad de 60 personas que habitan en una vereda.

12 10 No de personas

8 6 4 2 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Edad en años a. b. c. d. e. f. g. h. i.

Organiza los datos en una tabla de frecuencias Responde: ¿Cuántas personas tienen 5 años? ¿Cuántas personas tienen entre 10 y 20 años? ¿Cuántas personas tienen edad menor de 15 años? ¿Qué porcentaje representan las personas que tienen 5 años? ¿Qué porcentaje representan las personas que tienen 40 años? ¿A qué edad corresponde el 20%?

Construye el diagrama de barras y el diagrama circular correspondiente.

Me autoevalúo >> Presento e interpreto información en tablas de frecuencia o en diagramas. >> Indago datos y proceso la información referente a un grupo, con el fin de conocer sus características. >> Interpreto diagramas estadísticos. >> Trabajo en equipo en forma activa y participativa. >> Soy ordenado al realizar la recolección de datos.

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