Guia Post-Primaria Matemáticas 8°

Matemáticas Javier Moreno

Carlos Robles

Lizzie Zambrano

Nelson Rodríguez

Carolina Martínez G.

Juan Duarte

Ministra de Educación Nacional | Cecilia María Vélez White Viceministra de Educación Preescolar, Básica y Media | Isabel Segovia Ospina Directora de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media | Mónica López Castro

Subdirectora de Referentes y Evaluación de la Calidad Educativa | Heublyn Castro Valderrama

Coordinadora del Proyecto | Heublyn castro Valderrama Equipo Técnico | Clara Helena Agudelo Quintero, Gina Graciela Calderón Luis Alexander Castro , María del Sol Effio J., Francy Carranza Franco, Omar Hernández Salgado, Edgar Martínez Morales, Jesús Alirio Náspirán, Emilce Prieto Rojas, Sonia Vivas Piñeros

Fundación Manuel Mejía © 2010 Ministerio de Educación Nacional Todos los derechos reservados Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio de recuperación de información, sin permiso previo del Ministerio de Educación Nacional. © Ministerio de Educación Nacional ISBN libro: XXX-XXX-XXX-XXX-X ISBN obra: XXX-XXX-XXX-XXX-X Dirección de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media

Subdirección de Estándares y Evaluación Ministerio de Educación Nacional Bogotá, Colombia, 2009 www.mineducacion.gov.co

Dirección General | Mauricio Perfetti del Corral Coordinación del Proyecto | Andrés Fernando Casas,Aura Susana Leal Aponte Coordinación Editorial | Erika Mosquera Ortega, Paula Andrea Ospina Patiño Coordinación logística | Catalina Barreto Garzón, Claudia Pico Bonilla, Geovana López Lozano, Patricia Lascarro Suárez, Eliana Catalina Cruz

Asesoría Pedagógica | Angela Duarte, Solman Yamile Díaz Autores | Javier Moreno, Lizzie Zambrano, Carolina Martínez G., Carlos Robles, Nelson

Rodríguez, Juan Duarte.

Diseño de arte y cubiertas | Wilson Giral Tibaquirá, Guido Delgado Morejón Diseño y diagramación | Víctor Gómez, Lorena Morales Ilustración | Richard Rivera Ortiz Selección y retoque fotográfico | Raquel Suárez Díaz

Presentación En el marco de los modelos flexibles que promueve el Proyecto de Educación Rural, el Ministerio de Educación Nacional consideró necesario hacer una revisión del modelo Postprimaria rural. Luego de más de 16 años de funcionamiento de este modelo, se actualizaron y complementaron los materiales pedagógicos para su implementación en procura de aumentar la calidad de la educación básica de los niños y jóvenes de la zona rural y garantizar su permanencia en el sistema educativo.

La necesidad de cualificar y actualizar el modelo, realizada por la Fundación Manuel Mejía, se sustentó en los estudios realizados en el año 2005, por el Centro de estudios regionales, cafeteros y empresariales CRECE y por el Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe CERLALC, y, particularmente, en la necesidad de incorporar los avances de la política educativa de calidad, específicamente en lo relativo a los lineamientos curriculares, el enfoque de competencias y los estándares básicos de competencia, entre otros.

Los materiales educativos del modelo Postprimaria rural cumplen un papel central para el desarrollo o el fortalecimiento de las competencias básicas. Es así como con esta serie de nuevas cartillas se busca que los niños y jóvenes que adelantan sus estudios de educación básica secundaria en instituciones o centros educativos con el modelo Postprimaria rural, así como sus docentes y directivos, encuentren una base para la realización de actividades pertinentes para el contexto rural con las que puedan desarrollar conceptos a través de la propuesta del aprendizaje significativo en el marco de los referentes de calidad de la política educativa.

Ministerio de Educación Nacional

Así es esta cartilla Querido estudiante: Bienvenido a este nuevo curso de Matemáticas de la Postprimaria rural.

Esperamos que tu experiencia sea enriquecedora para ti y para todos los integrantes de tu comunidad educativa.

Lee con atención el siguiente texto. Te ayudará a entender la forma como están organizadas las cartillas que conforman parte del material que se utilizará para el trabajo de las áreas fundamentales, de los proyectos transversales y de los proyectos pedagógicos productivos.

La cartilla que tienes en tus manos, te acompañará durante todo el curso y te ayudará en tu proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento adecuado de ella te permitirá obtener un mejor desempeño y adquirir un compromiso serio que te ayude en tu formación personal.

En cada uno de los módulos que componen las cartillas encontrarás unos íconos que indican el tipo de trabajo que vas a realizar.

Las actividades que se presentan cada vez que veas este ícono te disponen, en compañía de tus compañeros y compañeras, hacia el aprendizaje desde lo cotidiano y desde los conocimientos que has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria.

Estas actividades pueden considerarse la puerta de entrada al conocimiento.

Las actividades a través de las cuales se presentan nuevos conocimientos estarán acompañadas de este ícono.

Es importante que pongas tu mejor esfuerzo en su realización, y que consultes con tu profesor las dudas que se te presenten.

Así, tus aprendizajes y el uso que hagas de ellos te permitirán mejorar tus competencias y tus desempeños como estudiante y como ciudadano responsable, comprometido con tu comunidad y con el lugar en el que vives.

4

Identificadas con este ícono encontrarás las actividades que te permitirán dar cuenta de tus aprendizajes, ganar seguridad en el uso del conocimiento y utilizarlo en situaciones diferentes a las presentadas en las actividades en las que aprendiste algo nuevo.

Identificadas con este ícono encontrarás actividades de aplicación en las que pondrás ver que lo que has aprendido te sirve para solucionar situaciones relacionadas con tu vida cotidiana, con la ciencia que estás aprendiendo y con las otras áreas del conocimiento.

Las actividades identificadas con este ícono, te permitirán establecer tu nivel de desempeño y la forma como vas desarrollando tus competencias.

El análisis de los resultados que obtengas en su realización te ayudará a identificar las acciones que puedes realizar para superar las dificultades que se hayan podido presentar o a determinar las formas de mejorar tus competencias de manera que puedas dar apoyo a tus compañeros que lo necesiten.

Si las actividades están acompañadas de este ícono, es importante que las realices solo y pongas en ellas tu mejor esfuerzo.

Cuando las actividades están acompañadas de este ícono, debes reunirte con uno o más de tus compañeros. Recuerda respetar sus opiniones y ritmo de trabajo y colaborar para que la realización de estas actividades favorezca el desarrollo de competencias en todos los integrantes del grupo.

Te invitamos a hacer un buen uso de esta cartilla y a cuidarla de manera que pueda ser usada por otros estudiantes en años posteriores.

Tabla de contenido

1

“La riqueza de los fraccionarios” | 8

MÓDULO Guía

1

2 3

2

MÓDULO Guía

4

5

6

¿Cómo represento una fracción? | 12

3

Orden de las Fracciones | 16 Operaciones con las fracciones | 20

¿Cómo se leen estos nuevos números? | 30

¡Agregar, adjuntar, comparar, separar, desagregar y quitar! | 34

Comparemos cantidades | 46

MÓDULO Guía

¿Qué tan exacto puede ser? | 26

¿Siempre aumenta cuando multiplicas? | 38

7

8 9

¿Qué cosas puedes comparar? | 50

¿Cómo se relacionan el tiempo y la distancia? | 54

¿Sabes qué es una regla? | 58

4

¿Cómo determinar que dos triángulos son iguales? | 66

MÓDULO Guía

10 11 12 13

5

¿Cómo determinar la altura? | 70 ¿Cómo construir corrales iguales? | 76 ¿Cómo trasportar medidas con un laso? | 82 ¿Cómo construir corrales iguales? | 86

Forma y medida de los alimentos | 94

MÓDULO Guía

14 15 16

Cuando diga boca, di ¡yo! | 98

¿Sandías piramidales? | 102

¡Para endulzarte la vida! | 106

6

Introduciéndonos en un mundo aleatorio | 116

17

Experimentando | 120

18

¡Probablemente aprenderemos algo nuevo hoy! | 124

MÓDULO Guía

19

¿Para qué contamos? | 130

MÓDULO

“La riqueza de los fraccionarios”

¿Qué vas a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico y sistemas numéricos

>> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variación en las medidas. >> Utilizo números racionales en sus distintas expresiones (Fracciones, razones, decimales o porcentajes), para resolver problemas en contextos de medidas. >> Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de igualdad, las de distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. >> Justifico procedimientos aritméticos, utilizando las relaciones y las propiedades de las operaciones. >> Formulo y resuelvo problemas en situaciones de aditivas, y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos >> Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación.

8

Pensamiento métrico y sistemas de medida >> Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos numérico y métrico a través del concepto de fracción.

En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

Guías

Concepto de ecuación

1

Concepto de fracción

2

Números fraccionarios

3

Operaciones con fracciones

Procesos >> Identifica y resuelve problemas que surgen de situaciones matemáticas y experiencias cotidianas >> Utiliza el lenguaje simbólico para representar e interpretar situaciones. >> Representa y comunica ideas matemáticas mediante representaciones concretas o diagramas. >> Crea situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemáticos.

9

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos

Números Fraccionarios Son

a Expresiones de la forma en donde a b y b son números naturales con b ≠0 determinan pueden ser

Propias Impropias Reducibles

Relaciones De Orden

Operaciones Suma

De equivalencia

Resta Multiplicación División

Irreducibles

Potenciación Radicación

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

Hasta aquí hemos estudiado el conjunto de los números naturales y el conjunto de los enteros. Hemos encontrado muchas situaciones o cantidades que se pueden expresar utilizando enteros positivos o negativos y podemos realizar operaciones con ellos. Pero observa que los números enteros no permiten describir todas las situaciones o cantidades que somos capaces de imaginar. Por ejemplo te has preguntado ¿cuál es la mitad de tres unidades? o ¿Cuántas horas hay en 6 minutos?. Esto sucede porque ciertos objetos o cantidades son una parte de él. Por lo tanto las fracciones o los fraccionarios nos da la posibilidad de conocer estos números que antes eran desconocidos y ahora los vamos a conocer.

10

¿Cómo se te va a evaluar?

Vas a desarrollar las competencias básicas donde tu aprendizaje será enriquecido por situaciones problema significativas y comprensivas que te permiten avanzar en las guías del modulo. Las cuales permiten ampliar tus conocimientos y habilidades sobre el tema.

En las evaluaciones se proponen evaluar tu aprendizaje explorando tus conocimientos que tú has adquirido por medio de las actividades de las guías teniendo en cuenta lo significativo, lo comprensivo y en particular las situaciones problema a fin de reconstruir y validar en forma personal el saber matemático.

Explora tus conocimientos Un grupo de 5 atletas, Viviana, Carlos, Diego, Camilo Y Sandra, apuestan una carrera sobre un camino recto de un Kilómetro. Después de 5 minutos Viviana ha recorrido dos terceras partes del camino, Carlos tres cuartas partes, Diego las tres quintas partes, Camilo ha recorrido las cuatro quintas partes, y Sandra las 7 decimas partes. a. Expresa con un número fraccionarios la distancia recorrida por cada uno en los 5 primeros minutos b. Representa estas fracciones como parte de un segmento que simbolice el camino c. ¿Quién ha recorrido más distancia en los 5 primeros minutos? d. Si en los 7 minutos siguientes Viviana recorre más de camino. ¿Cuánta distancia a recorrido en los 12 minutos? e. Si en los 7 minutos siguientes Camilo recorre más de camino. ¿Alcanzo a llegar a la meta en los 12 minutos? Si o no y ¿Por qué? f. Si en los 3 minutos siguientes Sandra se devuelve y recorre de camino. ¿Cuánta distancia a recorrido de la competencia? g. Si se multiplican los recorridos de Carlos y Diego ¿Cuánta distancia han recorrido los dos? h. Si dividen los recorridos de Carlos y Viviana ¿Cuánta distancia han recorrido los dos?

11

Guía

¿Cómo represento una fracción?

Para hablar de representación de los números fraccionarios debemos pensar en situaciones donde usemos los números, como la siguiente: En la clase de matemáticas del el grado octavo se requiere que sus 36 estudiantes se ubiquen en cuatro filas.

1 El profesor indica que en la primera fila deben ubicarse de los 6 2 estudiantes del salón, en la segunda fila deben ubicarse , en la 6 3 tercera fila deben ubicarse y el última fila deben ubicarse el resto.

6 a. ¿Cuál es el número de estudiantes que se deben ubicarse en la primera fila? b. ¿Cuál es el número de estudiantes que se deben ubicarse en la segunda fila? c. ¿Cuál es el número de estudiantes que se deben ubicarse en la tercera fila? d. ¿Cuál es el número de estudiantes que se deben ubicarse en la cuarta fila? e. Si se ordenan las filas de menor a mayor ¿Cuál es el orden de las filas?

En nuestro país se presenta diversos aspectos interesantes para el estudio y relación con la fracciones. Por ejemplo podemos determinar ¿Qué proporción tienen nuestros mares con la tierra actualmente?, Qué proporción tiene nuestras selvas con nuestras ciudades?, ¿Qué proporción tienen los hombres con relación a las mujeres?, etc. Lo común de estos aspectos es que podemos representarlos con números que relacionan las partes con el todo.

Cuando decimos “De cada diez países del mundo, tres son ricos” significa que solamente 3 de un grupo de 10 países, tienen condiciones de vida favorable y que los otros 7 no.

En nuestra vida cotidiana, encontramos a menudo situaciones que fácilmente pueden describirse en términos de fracciones. Las expresiones “medio vaso de leche”, “la cuarta parte de la hora”, “la sexta parte del ponqué”, etc. Se pueden repre1 1 1 sentar numéricamente como , , . Estas fracciones se 2 4 6

12

pueden interpretar como una partición, es decir separando los elementos de un todo en b partes iguales y tomando a de esas partes, que se representa así a , a indica las partes que se toman de un Una fracción b todo (numerador) y b indica las partes que se divide un todo (denominador). Esta forma de representación se llama fraccionaria. Por lo tanto una fracción son expresiones de la forma a en donde a y b son números naturales con b ≠ 0. b Para hallar la fracción de un número, se divide el número entre el denominador de la fracción y el resultado se multiplica por el numerador de la fracción. Por ejemplo en una ciudad se encontraron muchas señales sin utilizar entonces el alcalde decidió colocarlas en la nueva avenida que recién inauguraron y comento que de las señales las colocaría en los 10 primeros kilómetros de la nueva avenida y que el restante en los 4 kilómetros que faltaban. Ayudamos al alcalde a organizar las señales en la vía.

Encontraron 12 señales

2 Ahora las vamos a encontrar cuanto es 3 de las 12 señales para repartirlas en los 10 primeros kilómetros. Primero debemos dividir en 3 grupos las 12 señales así cada grupo tiene cuatro señales es decir 123 = 4 2 grupos

Segundo, se toman 2 grupos que corresponden a 8 señales (4 x 2 =8), entonces 2 de las 12 señales son 8 señales.

3 Por lo tanto solo sobro un grupo de 4 señales que equivalen entonces a 1 de las 12 señales. Ahora ya podemos ubicarlas 3 en avenida nueva como corresponde.

Ahora miremos como se representa en la recta numérica de los números fraccionarios. Hay que mirar las dos formas. La primera cuando el numerador es menor que el denominador y la segunda cuando el numerador es mayor que el denominador.

13

Representemos 2 y 7 en la recta numérica.

5 3 Se traza la recta numérica y se ubican los número 0, 1, 2, 3, 4, 5, luego de divide cada unidad en 5 partes iguales y a partir del número 0 se cuentan 2 partes. Así:

0

2/5

1

2

3

4

5

Se traza la recta numérica y se ubican los número 0, 1, 2, 3, luego de divide cada unidad en 3 partes iguales y a partir del número 0 se cuentan 7 partes. Así

0

1

2

7 3

3

1. Teniendo en cuenta el anterior ejercicio. ¿Podrías hacer lo mismo si en vez de tener 12 señales ahora tienes 27 señales?

2. Un conejo busca su comida y su casa pero el nos dice que la 12 2 comida esta a 3 del pueblo y que también la casa esta a 7 del pueblo. Dibuja una recata numérica para saber el recorrido del conejo a la comida y dibuja otra recta numérica donde se muestre el recorrido que tiene que hacer para llegar a la casa y coméntale al profesor en cual recorrido había mayor distancia y porque.

1. Un estudiante del salón desea ir a la tienda de la escuela a comprar una botella de agua en la clase de educación física, el profesor le dice que debe ir saltando a la tienda. Dibuja en la recta numérica los saltos del estudiante, si los saltos de él son: 3 , 4 , 2 , 1 de la distancia que tiene que recorrer, muestra 10 10 10 10 cual es orden de los saltos y cual salto fue más largo.

14

2. Observa las figuras y escribe a que fracci贸n representa

15

Guía

Orden de las Fracciones

3 Para fabricar una figura en origami, Viviana utiliza la 5 partes de una hoja de papel tamaño carta. Carlos, para hacer una figura 15 semejante, necesita de una hoja igual y Diego para hacer una 25 12 figura semejante, necesita de una hoja igual ¿Quién utiliza 20 más papel?, ¿Qué puedes concluir de esto?

Viviana le pregunto al profesor de matemáticas cual número 12 5 era menor si o y el profesor le respondió que el 9 6 a c número b es menor que el número d si, en la recta numéa rica, el punto que representa b está a la izquierda del punto a c c que representa al número . En este caso escribimos < b d d a y si por el contrario el punto b está a la derecha del puto que c a c representa d . En este caso es mayor y escribimos b > d .

Con la explicación del profesor ¿cuál es la respuesta a la pregunta de Viviana?

0

0

5/6

1

2

1

12/9

3...

2

Luego el profesor continúo la clase y comento que si dos fraccionarios tiene igual denominador, el menor de ellos es el de menor numerador. Y terminando la clase dejo un taller antes de ir a descanso averiguar que son las fracciones propias, impropias. Carlos averiguo en un libro lo siguiente: una fracción cuyo numerador es menor que el denominador se llama fracción propia y si en una fracción el numerador es

16

mayor que el denominador se llama fracción impropia. Por lo 7 9 tanto el dio un ejemplo 8 es una fracción propia y 4 es una fracción impropia. Por lo que el profesor lo premio con una buena nota y lo dejo salir antes del descanso.

Viviana dialoga con el rector en el descanso, el rector de la escuela le dice que mando a construir una cancha de básquet en 3 del terreno de la escuela y también mando a cons8 truir una cancha de fútbol en 6 del terreno de la escuela. El 16 rector comenta que desea averiguar si el terreno donde va a construir la cacha de básquet es equivalente al terrero en el cual va a construir la cancha fútbol.

Es decir que el rector desea averiguar qué si 3 y 6 son 16 8 equivalentes. Entonces Viviana averigua lo siguiente: dos fracciones y son equivalentes, si se cumple que a*d= b*c. Ahora va a comprobar si 3 y 6 son equivalentes. Según lo que 16 8 a c 3 averiguo = y = 6 entonces 3 x 16 = 8 x 6, lo que b d 16 8 lo llevo a una conclusión: que los terrenos que va a construir las conchas si eran equivalentes porque 48 = 48 es decir que son iguales y se lo comento al rector.

6 3 y son equivalenOtra manera dice Viviana de ver si 16 8 tes. Es tomar 6 y simplificarlo para ello tomemos los múlti16 plos que tienen en común 6 y 16 en este caso es solamente el 2 y lo dividimos con cada uno de los números del numerador y del denominador así: 6 6÷2 6 3 = = , por lo tanto 16 es una fracción reducible.

16 ÷ 2 16 8 3 es una la fracción es irreducible porque 3 y 8 no 8 tiene múltiplos en común, es decir que no se puede simplificar.

Entonces

Por lo tanto si para reducirla dividimos para amplificarla debemos multiplicar así: 6 3*2 3 6 = = , por lo 8 tanto es una fracción amplificada.

4*2 4 8

17

Encuentra todas las fracciones en la siguiente figura sean 1 6 mayores que , todas las fracciones que sean menores 4 5 1 y ¿Cuál de ellas es la fracción equivalente a ? y realiza una 4 representación en la recta numérica para verificar sus resultados.

9

5

1

4

3

3

8

3

6

4

2

2

2

4

6

5

8

5

5

3

Imagina que entre

c a c e < y d < . ¿Qué relación se puede establecer b d f

a e y ? Ilustra tu respuesta con tres o más ejemplos. b f

Para la clase de matemáticas la profesora dejo de tarea leer el libro “el diablo de los números”. Cuando la profesora empezó a 4 revisar la tarea se dio cuenta que Viviana ha leído 5 del libro, 2 1 Carlos ha leído 3 del libro y Diego ha leído las 2 del libro. ¿Quién ha leído más?

18

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Guía Utilice la receta para preparar dos docenas de galletas con frutas

Operaciones con las fracciones

2 1 3 de taza de azúcar, de taza de agua, de taza de 3 2 4 3 1 mantequilla, 4 de taza de sabor artificial, 2 tazas de harina, de 8 1 1 cucharadita de especias, de melaza oscura. de fruta.

4 3 a. Determine cuantas tazas de azúcar y melaza se necesitan para hacer una docena de galletas con frutas.

2 b. Determine si le agregan más de azúcar ¿cuánta azúcar 3 tiene la receta?

1 c. Si le retiran de sal a la receta ¿Con cuanta sal queda para 5 hacer las galletas?

1 de las frutas para otra cosa ¿Con cuanta fruta d. Si utilizan 2 cuentan para hacer las galletas?

1 de las frutas para otra cosa ¿Con cuanta fruta e. Si utilizan 2 cuentan para hacer solamente una docena de galletas? f. Determine cuantas tazas de sabor artificial y agua se necesitan para hacer una docena de galletas con frutas.

En los números fraccionarios a igual que otros conjuntos numéricos que hemos estudiado, es posible sumar. Imagina que Viviana le ofrece a Carlos, a Diego y a los demás com2 de la pañeros torta de cumpleaños. A Carlos le ofreció 10 1 torta de cumpleaños y al finalizar de descanso le ofreció 10 más de la misma torta. ¿Qué cantidad de torta te comiste 3 , porque en total? le pregunta Diego. Carlos le responde 10

20

cuando tenemos dos fracciones o más con el mismo denominador, sumamos los numeradores y dejamos el mismo denominador así: 1 3 2 + = 10 10 10 Ahora para sumar o restar dos fracciones con diferente denominador hacemos lo siguiente: ad + bc a c + = bd b d ad – bc a c – = bd b d En verdad lo que hacemos con distintos denominadores es hallar mínimo común 3 del chicle múltiplo le dice Carlos. En la clase de matemáticas Carlos se comió 4 1 del mismo chicle, luego Diego le preque le regalo Viviana y después se comió 3 gunto ¿Qué cantidad del chicle te comiste en total?. El problema se convierte en hallar 1 3 + dijo Carlos, entonces vemos que los denominadores son 4 y 3. Ahora cons3 4 truimos cada fracción en una fracción con un denominador igual a 12 mediante la aplicación de lo anterior.

3*3 + 4*1 13 3 1 + = = 12 12 4 3 Pero a Carlos le surgió una duda en la clase de matemáticas y pregunto ¿Cómo 2 3 y . El profesor le responde: no siempre hallo el mínimo común múltiplo de 25 10 es obvio determinar el mcm (mínimo común múltiplo), solamente tenemos que descomponer los denominadores con los múltiplos en común y luego multiplicarlos así: 10 25 5 5 x 2 x 5 = 50 2 5 2 1 5 5 1 1 El profesor comenta adicionalmente que al realizar una operación de adición o sustracción con nos muestra que: 3 2 15 + 4 19 = = + 10 25 50 50 3 2 15 − 4 11 − = = 10 25 50 50 Y le explica el desarrollo de los ejercicios, el profesor dice: como sabemos el mcm es 50 lo cogemos y lo dividimos entre el denominador de la primera fracción (50 ÷ 10 = 5) y el resultado de esta división lo multiplicamos por el numerador de la primera fracción (5 x 3 = 15), lo colocamos en el resultado más el mismo signo de la

21

operación sobre 50 y hacemos lo mismo con la segunda fracción cogemos el mcm lo dividimos entre el denominador de la segunda fracción (50 ÷ 25 = 2) y el resultado de esta división lo multiplicamos por el numerador de la segunda fracción (2 x 2 = 4) por ultimo hacemos la operación indicada. Con esta explicación tan clara dijo Carlos ya puedo hacer muchos ejercicios.

Ahora Viviana desea multiplicar dos números fraccionarios:

2 * 1 = 2 10 10 100

Y le pregunta a Carlos ¿cómo hacerlo?. Dice Carlos lo siguiente: Mira que la multiplicación es muy sencilla, se debe multiplicar los numeradores por los numeradores y los denominadores por los denominadores. ¿Y para multiplicar un número fraccionario por un número entero?, pues dice Carlos debes multiplicar el numerador por el número entero y el denominador por uno así: 2 6 = 2 * 6 = 12 9 * 9 9 Viviana pregunta a Carlos ¿y para la división de dos fracciones el resultado es?: Carlos le dice es muy fácil, el numerador del resultado está compuesto por la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y denominador del resultado está compuesto por la multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción veamos un ejemplo dice Carlos:

8 4 8 10 80 ÷ = * = 30 10 30 * 4 120

¿y para dividir un número fraccionario por un número entero?, debes multiplicar el numerador de la primera fracción por uno y luego la multiplicación del denominador de la primera fracción por el número entero, así :

2 ÷ 6= 2*1 = 2 9 9 * 6 54

Y como Carlos ya estaba cansado a Diego le quedo una duda y dio pena preguntarle y le pregunto por ultimo al profesor ¿para la potenciación y la radicación de una fracción que se hace? El profesor le dice es realmente sencillo lo que hacemos es lo siguiente: Es repartir la potencia arriba y abajo y desarrollamos las operaciones así: 2

2 22 4 = 2 = 3 3 9 Y para la radicación lo mismo 36 25

6 36 = 5 25

El profesor indico que están pendientes los ejercicios que están en el tablero, los dejo de tarea para la próxima clase y todos los estudiantes del salón salieron a descaso.

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Realiza la tarea que dejo el profesor a sus estudiantes.

Carlos le regalo a Viviana la mitad de un chocolate que compro. Viviana le regalo le tercera parte a su amigo Diego >> Haz una representación grafica que muestre la parte de Viviana y la parte de Diego.

En cierto juego los participantes pueden adquirir propiedades como casa, edificios y castillos.

Una casa cuesta la quinta parte de lo que vale un castillo y un edificio vale la tercera parte de una casa. >> ¿Qué fracción del valor de un castillo cuesta un edificio?

1. Resolver los siguientes ejercicios 3 a. Diego le prestó a Viviana 10 de su dinero ¿Qué parte del dinero que tenía le queda?

1 b. Viviana le paga a Diego lo que le prestó más 10 de intereses ¿Cuánto dinero le dio a Diego?

8 c. Carlos le dice a Diego que le preste 10 de su dinero y que el al final del mes le da el doble ¿Cuánto dinero le tiene que dar Carlos a Diego al final del mes?

9 d. Camilo le dice a Diego que le preste 10 de su dinero, y que le pagara en cuotas iguales por tres meses. ¿Cuánto dinero le debe pagar Camilo en el primer mes?

2. Completa los números que hace falta.

1 –

1 3

=

– –

–

=

=

3 5 =

7 30

= 3. Resuelva los siguientes ejercicios a. 12 + 8 4 – e.

10 2 5 i.

6

15 8 2

3

b. 3 – 17 21 f. 10 * J.

16 49

2 17 3 8

2 + 4

10 5 7 6 g.

5 * c.

d. 6 + 7 9 h. 7 *

8 14 4 2

23

Que aprendí Resolver los siguientes ejercicios 1. Observa las figuras y escribe a que fracción representa

2. Indicar 3 o más fracciones equivalentes a: 1 3 a.

d.

8 4 6 2

e. b.

7 5 25 10

f. c.

100 20 3. Resolver los siguientes ejercicios a. 120 + 17 5 5 b. 2 – 4 5 10

24

f. 225 – 112 17 17 g. 6 + 8 14 7

4 5 + 9 3

h. 22 * 3 13 8

d. 11 * 6 5

i. 4 ÷ 8 7 9

c.

e.

8 7

2

j.

125 36

¿Cómo me ven los demás?

Realiza el siguiente juego con un compañero o compañera. >> Pregunta cuantas horas en el día duerme pero que lo exprese en forma decimal y luego pregunta cuantas horas duerme en la semana y luego en el mes. >> El primero que termine puede llegar a calcular en forma faccionaria ¿Cuántas horas ha dormido en un año?

Me autoevalúo Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Sí

A veces

No

Identifica y resuelve problemas que surgen de situaciones matemáticas y experiencias cotidianas Utiliza el lenguaje simbólico para representar e interpretar situaciones.

Representa y comunica ideas matemáticas mediante representaciones concretas o diagramas.

Crea situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemáticos.

25

¿Qué tan exacto puede ser?

MÓDULO

Frecuentemente nos encontramos ante situaciones que nos obligan a determinar valores o resultados de la manera más exacta posible. Situaciones como indicar la temperatura mínima o máxima registrada en la ciudad, el tiempo exacto empleado por un atleta en recorrer una determinada distancia, el promedio de altura de los estudiantes del curso, el crecimiento exacto alcanzado por una planta luego de algunos meses y el incremento en el costo de vida durante el último semestre, son apenas algunos ejemplos que evidencian la utilidad de las distintas representaciones de los números racionales, consideradas en el desarrollo de los estándares concernientes al pensamiento numérico.

¿Qué voy a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico >> Utilizo números racionales mediante expresiones decimales para resolver problemas en contextos de medida. >> Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal usual de los números racionales, utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal. >> Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo del pensamiento numérico, mediante situaciones y conceptos que conducen a la comprensión de la representación decimal de los números racionales y de los procedimientos para operar con estos números. La siguiente tabla muestran los conceptos que aprenderás.

26

Guías

Conceptos asociados al Pensamiento numérico

4

Números decimales

5

Suma y resta de decimales

6

Multiplicación y división de decimales

Procesos >> Comparar, ordenar y seleccionar números decimales. >> Establecer patrones de referencia para determinar el orden de una cantidad decimal. >> Analizar y expresar los procedimientos realizados al operar con números decimales. >> Resolver problemas que involucran números decimales.

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Módulo 2 Pensamiento numérico y sistemas numéricos Números decimales Relacionado con

Utilidad

Comparación y ordenación Lectura y escritura de acuerdo al valor posicional de sus cifras

¿Cómo se escriben?

¿Cómo se leen?

Operaciones Adición Sustrac ción Multiplicación División

27

¿Para qué te sirve?

Los números decimales son sin duda una excelente herramienta para determinar de una manera más exacta algunas medidas que requieren de este tipo de precisión. Se utilizan actualmente en muchos campos como la agricultura para determinar el peso y costo de los alimentos, en mecánica para diferenciar el tamaño de las herramientas, tuercas y tornillos, en los deportes para establecer los tiempos de finalización de muchas competencias, incluso cuando queremos determinar nuestra estatura o la de otras personas recurrimos a medidas con números decimales.

¿Cómo se te va a evaluar?

Este modulo contempla diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán emplear para evidenciar tus progresos cuando estableciste relaciones entre diversas representaciones de números racionales, relacionadas particularmente con los números decimales y las operaciones entre este tipo de números.

Cada una de las tres guías que componen este modulo, contemplan actividades de diverso tipo de complejidad que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y qué debes reforzar.

Al final del modulo encontrarás dos secciones Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen problemas, actividades de uso practico y embrollos matemáticos que retaran tu capacidad y la de tus compañeros para dar respuesta a este tipo de enigmas.

28

Explora tus conocimientos Nuestro país tiene el número más grande de especies animales por unidad de área en el planeta. Cuenta con más de 1.800 especies de aves. La fauna es muy variada, especialmente en las selvas amazónicas donde hay variedad de especies únicas en el mundo.

a. ¿Qué animales se encuentran exclusivamente en tu región? b. Encuentra al menos 10 especies diferentes de aves que se encuentran en nuestro país c. Investiga qué especies en peligro de extinción hay en la región donde vives Uno de los animales más extraños es el oso perezoso. Para mover una extremidad se demora 0,5 minutos y recorre 0,25 metros en un minuto. Es bastante miope, oye poco y su olfato apenas le sirve para diferenciar las plantas de las que se alimenta. d. Calcule la distancia recorrida por el oso al cabo de cinco minutos. e. Exprese en metros la medida promedio de su cuerpo. f. Exprese en centímetros la medida de su cola. g. Indique un intervalo de peso de este animal.

29

Guía

¿Cómo se leen estos nuevos números?

Para leer números es necesario mencionar cada dígito que lo compone de acuerdo a la posición que ésta ocupe.

Organícense en parejas y realicen las siguientes actividades en el cuaderno. >> Lean la información y respondan las preguntas que se formulan a continuación.

El descanso es importante para mantener la buena salud. Dormir es una forma de descanso. Sin embargo, es sorprendente la cantidad de tiempo que necesitan dormir algunos animales durante un día.

Animal

Parte del día que dedica a dormir

Oso perezoso

0,8

Oveja

0,125

Gorila

0,5

Gato

0,625

Armadillo

0,75

1. ¿Por qué todos los números decimales que representan la parte del día dedicado a dormir comienza con cero?

2. Ordenen de menor a mayor los datos suministrados en la tabla.

3. ¿Según los datos suministrados podemos afirmar que los animales más pequeños necesitan menos tiempo de descanso? Justifiquen su respuesta 4. ¿Qué parte del día no duerme el oso perezoso?

5. ¿Qué parte del día no duerme la oveja?

6. ¿Qué parte del día no duerme el gorila?

7. ¿Qué parte del día no duerme el gato?

30

8. ¿Qué parte del día no duerme el armadillo?

9. Expliquen qué estrategia siguieron para determinar los anteriores valores 10. Si el número 1.375 se lee y escribe mil trescientos setenta y cinco ¿cómo se lee y escribe el número 0,125?

11. ¿Existe un nombre para cada número de acuerdo a la posición que ocupa cada dígito?

12. ¿Qué animal requiere más tiempo para descansar? Justifiquen su respuesta 13. ¿Qué animal duerme menos durante el día?, ¿Cuántas horas duerme?

Cuando leemos y escribimos números naturales tenemos en cuenta su posición, así:

3

…

Centenas de mil

Decenas de mil

5

8

Unidades de mil

centenas

4

6

decenas

unidades

Se lee: treinta y cinco mil ochocientos cuarenta y seis De igual manera sucede con la parte decimal: …

decenas

Parte entera

unidades

décimas

centésimas

milésimas

diezmilésima

cienmilésima

Punto decimal

…

Parte decimal

Por ejemplo, el número 0,83 se lee ochenta y tres centésimas.

14. ¿Dedican todos los animales la misma parte del día a dormir?

Ya que los números decimales suministrados en la tabla son diferentes, pueden ordenarse para establecer cuáles animales necesitan más tiempo para descansar que los demás.

31

Comparemos los siguientes números de acuerdo al lugar que ocupan sus dígitos unidades

décimas

centésimas

milésimas

0

8

0

1

2

5

0

5

0

6

2

5

0

7

5

Comenzando de izquierda a derecha: 15. ¿Cuál es el dígito que corresponde a la unidad de cada número? Debido a que es el mismo dígito continuamos con el siguiente dígito (décimas) 16. ¿El tiempo de qué animal tiene el dígito de la décima más grande? Este tiempo corresponde al animal que dedica más tiempo a descansar.

17. Ordenen los demás números teniendo en cuenta el digito de las centésimas y las milésimas.

Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

Teniendo en cuenta la siguiente tabla que representa la información nutricional de un pasabocas responde las respectivas preguntas.

DATOS NUTRICIONALES raciones por paquete Grasa total (g) Colesterol (mg) Sodio (mg) Carbohidrato (g) Fibra dietaría (g) Proteína (g) Vitamina A Vitamina C

32

1,67 0,02 0,44 13,16 0,87 1,56 3,30 5,27

1. ¿Cuál es el componente de mayor valor nutricional en este paquete de pasabocas?

2. Ordena de menor a mayor todos los datos nutricionales del paquete de pasabocas.

3. Escribe la manera en que se lee y escribe cada uno de los números decimales de la tabla.

1. Une con una flecha los números con sus respectivos nombres. >> Un entero y sesenta y tres centésimos >> Catorce diezmilésimas

>> 5,008 >> 0,001

>> Cinco enteros y ocho decimos

>> 0,01

>> Una milésima

>> 1,00063

>> Un entero y sesenta y tres milésimos

>> 1,063

>> Dieciséis centésimas

>> 1,63

>> Una centésima

>> 0,0014

>> Un entero y sesenta y tres cienmilésimas

>> 5,8

>> Catorce cienmilésimas

>> 0,00014

>> Cinco enteros y ocho milésimas

>> 0,16

2. Cinco jugadores de baloncesto se han organizado en una fila de mayor a menor estatura. >> Teniendo en cuenta la siguiente información, escribe el orden en que se acomodaron los jugadores en la fila y sus posibles estaturas. >> La diferencia entre las estaturas de Andrés y Miguel coincide con la diferencia de estaturas de Luis y Jorge. >> Carlos mide 1,74 metros y esta ubicado en el centro de la fila >> La diferencia de estatura entre el primero y el último es 0,28 metros >> Luis se encuentra al lado de Carlos >> El jugador más alto supera los 1,85 metros

33

Guía

¡Agregar, adjuntar, comparar, separar, desagregar y quitar!

Considerar las competencias relacionadas con el pensamiento numérico supone entre otras cosas, abordar procedimientos aritméticos en situaciones aditivas con diferentes dominios numéricos entre los que se cuenta el de los decimales.

De esta manera, construir el significado de las diferentes operaciones implica partir de las distintas acciones y transformaciones que se realizan en los diferentes contextos numéricos y diferenciar aquellas que tienen rasgos comunes consideradas luego, bajo un mismo concepto operatorio. Por ejemplo, las acciones más comunes que complementan la construcción del concepto de número asociadas a la adición y la sustracción son agregar, adjuntar, comparar, separar, desagregar y quitar.

Don Jorge lleva a su negocio cuatro bultos diferentes de papa para vender.

El primer bulto pesa 25,82 Kg y el segundo pesa 12,5 Kg más que el primero. El tercer bulto pesa el triple del peso del segundo bulto y el cuarto bulto pesa 30 Kg menos que el tercero.

Reúnete con un compañero o compañera y desarrollen las siguientes actividades en el cuaderno.

1. ¿Cuál es el bulto de mayor peso que lleva don Jorge?

2. ¿Cuál es el bulto más liviano?

3. ¿Cuántos Kg de papa lleva don Jorge a su negocio?

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Para determinar el peso total de papa que lleva don Jorge debemos obtener el peso de cada bulto.

1. ¿Cuál es el peso del primer bulto de papa?

2. ¿Cuánto más pesa el segundo bulto respecto al primero?

Para obtener el peso del segundo bulto de papa, debemos sumar los dos anteriores resultados, de la siguiente manera: >> Diferenciar en cada número los dígitos que se ubican en las decenas, unidades, décimas y centésimas >> Adicionar los dígitos que comparten la misma ubicación, y finalmente >> Realizar la operación igual que como lo hacías con números naturales. +

decenas

unidades

décimas

centésimas

2 1 3

5 2 8

8 5 3

2 2

Entonces, el peso del segundo bulto es 38,32 Kg 3. ¿Cuál es el peso del tercer bulto?

Para obtener este peso debemos triplicar el peso del segundo bulto. Una forma de hacerlo es:

Recuerda que los números que vamos a restar deben tener la misma cantidad de cifras decimales. De no ser así, complétalas colocando ceros.

centenas

decenas unidades décimas centésimas 3 8 3 2 3 8 3 2 + 3 8 3 2 1 1 4 9 6 El peso del tercer bulto es 114,96 Kg. 4. Finalmente, ¿cuál es el peso del cuarto bulto?

Para obtener el peso de este bulto debemos restarle 30 Kg al peso del tercer bulto. centenas 1

decenas unidades décimas centésimas 1 4 9 6 3 0 0 0 8 4 9 6 El peso del cuarto bulto es 84,96 Kg. Considera el peso de todos los bultos para calcular el peso total que lleva don Jorge.

Bulto

1

2

3

4

Peso

25,82 Kg.

38,32 Kg.

114,96 Kg.

84,96 Kg.

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Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

La siguiente tabla representa el peso de un cuerpo en la superficie de algunos planetas y otros cuerpos del sistema solar, comparado con su peso de la tierra.

Cuerpo celeste

Peso relativo

Sol

27,9

Venus

0,907

Tierra

1

Luna

0,165

Marte

0,377

Júpiter

2,364

Saturno

0,921

Urano

0,889

Neptuno

1,125

1. ¿En qué cuerpo celeste un objeto es más pesado?

2. ¿Cuánto menos pesado es un objeto en la Luna respecto a la Tierra?

3. Determina la diferencia del peso relativo entre los siguientes planetas: >> Venus y Marte >> Urano y Júpiter >> Neptuno y la Tierra >> Saturno y Marte

Encuentra los valores desconocidos en cada uno de los siguientes enunciados.

4. Un número aumentado en 1,25 es igual a 12,5 5. Un número disminuido en 4,5 es igual a 19,54 6. El doble de un número es igual a 34,102 7. La mitad de un número es 0,56 8. Un número aumentado en 2,475 es igual al doble de 15,4 9. Un número disminuido en 32,5 es igual a 41,02

36

10. La cuarta parte de un número es 0,75

Copia en tu cuaderno el siguiente tablero y complétalo con los valores respectivos. Comienza con el 1 desde la SALIDA hasta la LLEGADA realizando los procedimientos que se indican en cada recuadro.

SALIDA 1

-0,49

-0,55

-0,2

+1,53

+5,64

+1,81 +6,32

+3,99

+5,28 +2,99

+3,51

+4,4

+2,2

+3,3

5,5 -0,25

-1,3

+0,78 +0,93

+0,67

LLEGADA a. Describe el camino desde la SALIDA hasta la LLEGADA que te permita encontrar el mayor número posible después de realizar las operaciones indicadas. b. Encuentra el camino que permite obtener el número más pequeño. c. Copia en tu cuaderno nuevamente el tablero y escribe el resultado en cada circulo luego de realizar las operaciones indicadas, comenzando con el número 2,5

37

Guía

¿Siempre aumenta cuando multiplicas?

Con frecuencia nos vemos enfrentados ante situaciones cuya solución no conserva las mismas características de otras o cuya solución definitivamente nos resulta inesperada y difícil de justificar. Por ejemplo, ¿Siempre que divides algo sus partes se hacen más pequeñas? ¿Si multiplicas algo esperas que siempre aumente?

Reúnete con un compañero o compañera y desarrollen las siguientes actividades en el cuaderno.

Don Roberto vende en su tienda frutas frescas. >> >> >> >>

El día de hoy vende cada kilo de peras en 2.400 pesos Una pera pesa aproximadamente 0,125 Kilos.

Cada Kilo de papaya cuesta 4.000 pesos Una papaya pesa aproximadamente 0,25 Kilos

Discute con tu compañero ¿Qué operaciones nos permiten resolver cada una de las siguientes preguntas?

1. ¿Cuántas peras completan aproximadamente un kilo?

2. ¿Cuántas papayas se requieren para obtener aproximadamente 1 kilo?

3. ¿Cual es el costo de una pera?

4. ¿Cuál es el costo de cuatro peras?

5. ¿Cuáles el costo de una papaya?

6. ¿Cuánto kilos pesa aproximadamente una decena de peras?

Para responder las anteriores preguntas es necesario organizar la información de tal manera que podamos establecer las relaciones adecuadas entre sus datos, y así llegar a la solución.

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Por ejemplo, para responder la última pregunta necesitamos hacer la multiplicación:

0,125 Kilos x 10

Peso de una pera una decena

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1 000, 10 000… desplazamos el punto decimal tantas cifras a la derecha como ceros tenga dicho número.

De esta manera, la multiplicación 0,125 Kilos x 10 queda resuelta así:

0 , 1 2 5 Kilos = 1 , 2 5 kilos

¿Cuántos kilos pesa aproximadamente una docena de papayas?

La multiplicación que incluye números decimales se realiza como si se tratara de números naturales. Al final el resultado tendrá tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de cada número multiplicado.

La multiplicación 0,25 x 12 nos permitirá obtener el peso aproximado de una docena de papayas 0

2

5

1

2

0

5

0

0

2

5

0

3

0

X +

3kg

0

De esta manera, una docena de papayas pesa aproximadamente 3 kilos.

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Doña María necesita comprar dos docenas de peras y sólo tiene 10.000 pesos. ¿Le alcanza el dinero?, ¿Cuánto le falta?, ¿Cuánto le sobra?

Para resolver esta situación necesitan considerar las siguientes cuestiones: Copien la siguiente tabla en el cuaderno y complétenla

cuestiones

respuestas

¿Cuál es el peso de una pera? ¿Cuál es el costo de un kilo de peras? ¿Cuántas peras pesan aproximadamente un kilo? ¿Cuál es el precio de una pera? ¿Cuál es el costo de dos docenas de peras? ¿Le alcanza el dinero a doña María para comprar las peras? ¿Cuánto dinero le sobra?

Antes de comprar, doña Inés quiere saber ¿Cuántas peras se necesitan para igualar el peso de ocho papayas?

Copien y completen la siguiente tabla en sus cuadernos.

cuestiones

Respuestas

¿Cuánto pesa una papaya? ¿Cuánto pesan ocho papayas? ¿Cuánto pesa una pera? ¿Cuántas peras obtenemos al dividir el peso de ocho papayas entre el peso de una pera?

La división que incluye números decimales se realiza como si se tratara de números naturales, pero previamente debe multiplicarse uno o los dos números que se van a dividir por el mismo factor 10, 100, 1 000… con el propósito de convertirlos en números sin punto decimal.

40

2 ÷ 0,125 Para eliminar el punto decimal debemos multiplicar el divisor por 1 000, pues tiene 3 cifras decimales.

0 , 1 2 5 x 1 000 = 1 2 5

No olvidemos que el dividendo debe multiplicarse también por 1 000 2 x 1 000 = 2 000 Ahora resolvemos la división como lo veníamos haciendo tradicionalmente.

2 000

125

750

16

000 Entonces: 2 ÷ 0,125 = 16

Resuelve individualmente los siguientes problemas en tu cuaderno 1. Realiza cada una de las siguientes operaciones y describe con tus palabras los pasos que te permitieron legar a las respuestas.

18,45 x 24 47,824 x 56,5 46,8 ÷ 12 245 ÷ 0,2 2,9325 ÷ 3,45 2. Calcula mentalmente el resultado cada una de las siguientes operaciones 7,46 x 100 3,1416 x 100.000 98,0025 x 10.000 465 ÷ 10 592,3 ÷ 100 27,436 ÷ 100.000 64,2 x 0.5 10 ÷ 0,2 0,005 x 5 3. ¿Por qué número debemos multiplicar a 0,125 para conseguir 0,03125?

4. ¿Por qué número debemos dividir a 0,5 para obtener 2,5?

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1. El camión de don Jacinto recorre 32,5 kilómetros con un galón de gasolina. Si el trayecto que hará hoy es de 12 kilómetros. ¿Le alcanzarán los tres galones de gasolina que tiene para llegar a su destino? Justifica tu respuesta 2. Sofía confeccionó cinco vestidos iguales con ocho metros de tela. ¿Cuánta tela utilizó en cada vestido?

3. Encuentre el peso que debe tener cada bulto en las balanzas, para que estas se mantengan en equilibrio.

152.86 Kilos

201.96 Kilos

4. Seis paquetes de cuatro galletas cada uno, pesan 222 gramos. ¿Cuánto pesa cada galleta, sabiendo que son iguales?

5. Un listón de madera de 2 metros de largo va ha ser cortado en 8 partes iguales. ¿Cuál es la medida de cada uno de los ocho pedazos?

6. 0,85 litros de leche se repartieron en partes iguales en cuatro vasos. ¿Cuánta leche hay en cada vaso?

7. El precio de dólar varia frecuentemente. Hoy, dólar equivales a 1.867,07 pesos. >> ¿a cuántos pesos equivalen 25 dólares? >> ¿a cuántos pesos equivalen 100 dólares? >> ¿a cuántos dólares equivalen 500.000 pesos? >> Se estima que el precio del dólar mañana se incrementará en 13,18 pesos, ¿cuál será entonces el precio en pesos?

8. La luz recorre aproximadamente 300.000 kilómetros en un segundo >> Si la distancia entre mi casa y el parque es un kilómetro y medio. ¿Cuánto se demora la luz en recorrer esa distancia? >> Calcula el tiempo en que tardaría en llegar nuevamente la luz en toda la región donde vives luego de un apagón general.

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9. La siguiente tabla muestra el componente nutricional por cada porción de 100 gramos de uva comestible

APORTE POR RACIÓN Energía [Kcal]

67,10

Proteína [g]

0,72

Hidratos carbono [g]

15,50

Fibra [g]

0,40

Grasa total [g]

0,16

Colesterol [mg]

0,00

Agua [g]

83,20

Realice los cambios necesarios a la tabla para determinar el valor nutricional de todos los componentes, cuando una persona consume 400 gramos de uva.

10. La siguiente tabla representa el número de calorías por gramo de algunos alimentos

Alimentos Calorías por gramo

Pan 3,3

Queso blanco 1,2

Manzana 0,52

Filete 3,75

Espárragos 0,32

Calcula el número de calorías que tienen las siguientes porciones de alimentos >> Un pan de 125 gramos >> Una manzana de 175 gramos >> Un filete de 150 gramos >> Un queso blanco de 250 gramos >> 250 gramos de espárragos a. Calcule el número de gramos de pan necesarios para igual 750 calorías. b. Calcule el número de gramos de queso blanco para obtener 150 calorías. c. Calcule el número de gramos de espárragos necesarios para obtener 640 calorías.

11. Los submúltiplos del metro son el decímetro, el centímetro y el milímetro. >> ¿Cuántos milímetros hay en 1,26 metros? >> ¿Cuántos centímetros hay en 18,4 decímetros? >> ¿Cuantos milímetros hay en 1 362,8 decímetros?

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Qué aprendí 1. Une con una línea las operaciones con sus respectivas respuestas.

2. Identifica la letra que acompaña a dicha respuesta y escríbela sobre las líneas del mensaje.

3. Descubre el mensaje secreto. >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

(1) 24,56 x 4,5 (2) 75,4 ÷ 8 (3) 89,75 + 52,1 (4) 50,43 – 24,678 (5) 45,7 x 110 (6) 90,36 ÷ 12 (7) 45,54 + 54,45 (8) 78,354 – 25,982 (9) 12,65 x 3,76 (10) 57,02 ÷ 10 (11) 82,147 + 93,25 (12) 100,35 – 98,36 (13) 21,70 x 4,7 (14) 578,26 ÷ 25 (15) 603,5 + 2,76 (16) 0,0001 – 0,00004 (17) 1,004 x 0,005

>> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

(M) 5.027 (C) 47,564 (A) 9,425 (N) 175,397 (F) 1,99 (D) 25,752 (L) 110,52 (I) 52,372 (B) 101,99 (U) 23,1304 (S) 141,85 (R) 0,00006 (V) 0,00502 (E) 99,99 (H) 606,26 (O) 5,702 (T) 7,53

MENSAJE: 1 2 3 5 2 6 7 5 2 6 8 9 2 3 3 10 11 7 1 2 1 12 2 13 7 6 10 9 10 11 7 1 9 14 2 1 4 8 10 3 15 2 7 3 9 16 8 6 10 7 1 14 11 8 17 7 16 3 10 4. Copie en su cuaderno las siguientes secuencias numéricas y complételas identificando el patrón de formación:

44

59,4 , 62,05 ,

, 47,4 , 41,4 , , , 65,41 ,

,

, , 17,4 , , 67,65 , 68,77 ,

, 71,01

¿Cómo me ven los demás?

5. Formen grupos de tres personas a. Cada grupo construirá un tablero tipo laberinto como el que resolvieron ocho páginas atrás. Este tablero deberá incluir todas las operaciones que aprendieron a realizar en este modulo. b. Recuerden que el propósito es obtener el número más grande siguiendo el camino desde la SALIDA hasta la LLEGADA c. Intercambien los tableros construidos por cada grupo y resuélvanlo. Revisen entre todos que los resultados obtenidos estén correctos. d. Preparen una exposición para presentar frente a todos los compañeros el tablero que ustedes construyeron. e. Expresen su opinión acerca de las ventajas que tuvo realizar este trabajo en grupo y la manera como se sintieron.

Me autoevalúo 6. Completa la siguiente tabla, marcando con una X cada uno de los aspectos desarrollados durante el modulo, teniendo en cuenta todo lo que aprendiste.

Sí

A veces

No

Leo y escribo números decimales, diferenciando cada dígito por su ubicación dentro del número.

Comprendo el valor de un número decimal.

Comparo y ordeno números decimales.

Realizo adiciones y sustracciones con números decimales para resolver diversos problemas Realizo multiplicaciones y divisiones con números decimales para resolver diferentes problemas.

Realizo mis tareas responsablemente tanto en los trabajos individuales como grupales.

Me relaciono adecuadamente con mis compañeros y mi profesor(a).

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MÓDULO

Comparemos cantidades

¿QUÉ VAS A APRENDER? Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico >> Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. >> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.

Pensamiento variacional >> Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).

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Este módulo te ayudará a afianzar los estándares básicos de competencias, mencionados en la parte superior, mediante el establecimiento de relaciones de comparación y la identificación de la variación que se da entre las magnitudes relacionadas En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

Contenidos Guías

Contenidos

7

Relaciones de comparación Razones y proporciones

8

Magnitudes directa e inversamente proporcionales

9

Regla de tres

Procesos >> Expresar ideas matemáticas relacionadas la comparación de magnitudes. >> Reconocer patrones y regularidades que se establecen entre las magnitudes que se relacionan. >> Argumentar con validez los procesos que se aplican en la resolución de problemas. >> Solucionar diferentes situaciones de la vida cotidiana, relacionadas con las relaciones de comparación.

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El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Módulo 3 Pensamiento variacional Relaciones de comparación establecen

Razones Permiten establecer

Magnitudes son directamente proporcionales

Magnitudes son inversamente proporcionales

¿PARA QUÉ TE SIRVE LO QUE VAS A APRENDER? La razón y las proporciones tienen hoy múltiples y variadas aplicaciones en lo científico, lo social y lo cultural del ciudadano.

En geografía por ejemplo, la elaboración de mapas depende del uso de escalas, las cuales se determinan estableciendo razones entre las distintas magnitudes utilizadas.

De otra parte, las proporciones son herramientas necesarias en la vida diaria, por ejemplo, para saber la cantidad de semillas que se siembran por metro cuadrado en un terreno, para la preparación de recetas, para saber la cantidad de medicina que necesito según el peso y la edad, para la elaboración de mezclas o de reacciones químicas, entre otras.

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¿Cómo se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

Explora tus conocimientos Joaquín tiene una tienda de vivieres en su pueblo. La semana pasada relacionó en una tabla el peso en kilogramos del arroz y el precio correspondiente.

Arroz Peso (kg)

Precio ($)

1

1250

2

2500

3

3750

4

5000

5

6250

Analiza los datos de la tabla. >> ¿Qué deducción puedes hacer al comparar el peso del arroz y el precio correspondiente? >> ¿Se puede afirmar que a triple cantidad de arroz, triple precio? >> ¿Cuál es el costo de cinco libras de arroz? >> ¿Qué relación encuentras entre el precio y el peso del arroz? >> A partir de los datos de la tabla, se puede deducir, ¿cuánto cuestan 8 kilogramos de arroz? >> Formula una pregunta que pueda responderse con los datos de la tabla. >> Compártela con tus compañeros de curso y pídeles que la respondan.

49

Guía Observa las siguiente figuras.

¿Qué cosas puedes comparar?

Moto – llantas

$1800 $1800docena docena

A

$1800 docena $1800 A docena cantidad de bananos – precio

bolsa – manzanas

A

C

C

A

C

B

B

C

B

Segmento AB – segmento AC

Responde en tu cuaderno. >> ¿Qué relación de comparación se puede establecer entre los términos de cada figura? >> ¿Cuántas llantas hay por cada moto? >> ¿Cuántas manzanas hay por cada bolsa? >> ¿Cuánto se paga por cada docena de bananos? >> ¿Cuántos segmentos AC, hay por cada segmento AB? >> ¿Cuál es la unidad de comparación que se está tomando en cada caso? ¿Cómo sabes que esa es la unidad?

50

B

Cuando se establecen relaciones de comparación, es necesario identificar la unidad que se está utilizando.

Por ejemplo, para la primera comparación, la unidad que se considera es la moto, y para la comparación que se establece entre los términos de la cuarta figura, la unidad es el segmento AB. Observa nuevamente las figuras y responde: >> ¿En qué casos uno de los términos que se relacionan hace parte del otro? >> ¿En qué casos, las comparaciones se hacen entre dos elementos distintos e independientes?

En el caso de la moto y sus llantas, se establece una comparación parte – todo, en donde el todo es la unidad.

Cuando las comparaciones se hacen entre dos elementos distintos e independientes, la unidad dependerá de la forma en que se haga la comparación.

Por ejemplo, se sabe que por una docena de bananos se pagan $ 1800, en este caso, la unidad es una docena de bananos. Pero si la comparación es: por cada $ 1800 se compra una docena de bananos, la unidad en esta ocasión, son los $ 1800. >> ¿Qué comparaciones se pueden establecer para la bolsa y la cantidad de manzanas? >> ¿Cuál es la unidad en cada caso?

Una vez establecida la unidad de comparación, se puede utilizar para deducir cierta información.

En tu cuaderno completa las siguientes tablas.

Cantidad de motos

Cantidad de llantas

Cantidad de bolsas

Cantidad de manzanas

1

2

1

3

2

2

3

3

4

4

Docena de bananos

Precio ($)

Segmento AB

Segmento AC

1

1800

1

2

2

2

3

3

4

4

51

Lee los datos de la primera tabla y responde. >> Para dos motos, ¿cuántas llantas se necesitan? >> ¿Cuántas llantas se necesitan para cuatro motos?

Con los datos de la segunda tabla responde. >> Si en una bolsa se colocan tres manzanas, ¿cuántas bolsas son necesarias para nueve manzanas? >> ¿Cuántas manzanas se empacan en dos bolsas?

La comparación: por una moto se utilizan dos llantas determina la razón 1 es a 2.

La razón es una comparación entre dos cantidades o dos números.

Las razones se escriben a : b y se leen a es a b.

Las razones también se pueden escribir en forma de fracción: a b La razón 1 : 2 es igual a 1 y se lee por cada moto hay dos 2 llantas.

En tu cuaderno, escribe las razones que se establecen entre los datos de cada una de las tablas. Indica cómo se lee cada una.

Toda razón genera nuevas razones. Por ejemplo, la razón 1 es a 2 da origen a las razones 2 es a 4 y 3 es a 6. >> ¿Cuál es la razón que se establece entre una docena de bananos y su precio? >> ¿Cuál es la razón que se establece entre cinco docenas de bananos y su precio? >> ¿Qué procedimiento utilizaste para hallar la respuesta?

Al igual que en las fracciones, entre las razones se establecen relaciones de igualdad. Por ejemplo: 1 = 2 2 4 Establece relaciones de igualdad entre los datos de cada una de las tablas anteriores.

Las igualdades que escribiste, se conocen como proporciones.

Una proporción es la igualdad entre dos razones. a : b = c : d se lee a es a b como c es a d. a y d se llaman extremos b y c se llaman medios Otra forma de escribir la proporción es a : b = c : d es a = c b d Por ejemplo, para conocer el precio de cinco docenas de bananos se establece la proporción: 1 5 = 1800

52

>> >> >> >>

¿Cuáles son los valores a, b, c y d, en esta proporción? ¿Cuáles son los valores medios? ¿Cuáles son los valores extremos?

Halla el valor desconocido.

Forma un grupo con dos compañeros o compañeras para realizar las siguientes actividades en el cuaderno.

1. En cada caso establezcan una relación de comparación. a.

b.

Resultados del juego ranas Equipos Puntos A 58 B 87 C 190 D 136 Total 471

2. Establezcan comparaciones entre: a. El total de los estudiantes de la clase y: > El total de alumnas.

> El total de alumnos.

b. El total de personas que viven en casa y: > El total de hermanos.

> El total de hermanas.

> El total de alumnas con cabello oscuro.

> El total de abuelos.

> El total de alumnos con ojos claros.

> El total de padres.

3. Por cada hectárea de un terreno que se prepara para la siembra de maíz, se requieren nueve trabajadores. Completen la tabla con esa información.

Número de hectáreas

Número de trabajadores

Razón a : b

1

9

1:9

Razón a b 1 9

2 3 4 5 4. En el vivero de la doña Matilde, se venden 8 rosas por $ 1500. Carolina quiere comprar 48 rosas. >> ¿Cómo calcula doña Matilde el precio de las 48 rosas?

53

Guía Reúnete con un compañero o compañera y desarrollen las siguientes actividades en el cuaderno.

¿Cómo se relacionan el tiempo y la distancia?

Copien la siguiente tabla y calculen los datos que faltan en ella.

Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 80 km/h Tiempo transcurrido Distancia 1 hora 2 horas 3 horas 4 horas

>> ¿Cuáles son las magnitudes que se están relacionando en la tabla? >> Según los datos de la tabla, ¿qué distancia recorre el automóvil en una hora? >> Cuándo aumenta el tiempo, ¿qué sucede con la distancia recorrida? >> ¿Qué distancia ha recorrido el automóvil en cuatro horas? >> ¿Esta distancia es mayor o menor que la distancia recorrida en dos horas? >> ¿Qué sucede con la distancia cuando aumenta la cantidad de tiempo? >> ¿La distancia aumenta siempre en la misma proporción? >> ¿Qué medio de transporte utilizas con frecuencia?

Imagínate que estas ahora en ese medio de transporte. >> ¿Crees que entre más tiempo transcurras en ese medio de transporte, mayor es la distancia que recorres? >> ¿A mayor distancia se requiere más tiempo?

Las magnitudes distancia y tiempo son dependientes. Es decir si la una aumenta, la otra también aumenta, o cuando una disminuye, la otra también disminuye.

54

Muchas magnitudes se relacionan de manera dependiente, por ejemplo, la cantidad de agua consumida y el valor a pagar, el número de kilómetros recorridos por un vehículo y la cantidad de gasolina consumida, el número de artículos del mismo precio y el costo total, el número de días trabajados y el dinero devengado, entre otras.

Consideren nuevamente la tabla en la que registraron la relación entre la cantidad de sacos de café y el peso de los mismos, en la actividad anterior. >> Escribe dos ejemplos de magnitudes dependientes. Explica por qué lo son. >> Utiliza los datos de la tabla anterior para escribir razones comparando magnitudes de la misma especie.

Por ejemplo: Tiempo Distancia 1 : 2 80 : 160 1 880 >> Las razones 2 y 160 son equivalentes. ¿Por qué? >> Encuentra el cociente entre las razones que determinaste. >> ¿Cómo son los cocientes obtenidos? >> ¿Qué puedes concluir? >> Analiza los cocientes de las razones que se puedan establecer en los ejemplos que escribiste. >> ¿Qué sucede con los cocientes obtenidos?

Es posible que en alguno de tus ejemplos, los cocientes no hayan sido iguales, en estos casos, se dice que las magnitudes están en correlación directa.

Si al hallar ese cociente, obtuviste el mismo resultado en todos, entonces las magnitudes son directamente proporcionales.

El valor de ese cociente se denomina constante de proporcionalidad. >> ¿Son las magnitudes distancia recorrida y tiempo directamente proporcionales?

La proporcionalidad directa se representa gráficamente.

En tu cuaderno traza dos rectas que se corten perpendicularmente (ejes coordenados). >> Marca cada uno de los ejes con los nombres de las magnitudes: >> Distancia en el eje vertical >> Tiempo en el eje horizontal >> Gradúa los ejes teniendo en cuenta los valores de la tabla. >> A cada hora transcurrida, le haces corresponder la distancia recorrida >> Si unes los puntos ubicados en el plano, ¿qué figura obtienes? >> Representa gráficamente las magnitudes que diste en tus ejemplos. >> Luego escribe una conclusión. >> Compartan sus respuestas con el resto del grupo y el profesor.

(4,320)

320

(3,240)

240

(2,160)

160

80

0

(1,80)

1

2

3

4

55

Organicen grupos de tres integrantes y desarrollen las siguientes actividades en el cuaderno.

1. Javier registró en la siguiente tabla la cantidad de días que le dura el alimento con el que cuida su ganado.

Cantidad de reces

10

15

30

Cantidad de días que dura el alimento

15

10

5

>> ¿Cuántos días durará el alimento si debe cuidar seis reces? ¿Y si hay 25 reces?

>> A medida que la cantidad de reces aumenta, ¿cómo varía la cantidad de días que dura el alimento? >> Multipliquen la cantidad de reces con la cantidad de días que dura el alimento, en cada columna de la tabla. ¿Cuáles son los resultados? ¿Qué tienen en común?

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al doble, al triple, etc. de la primera le corresponde respectivamente la mitad, la tercera parte, etc. de la segunda.

El producto de las cantidades correspondientes es constante y este es la constante de proporcionalidad.

2. Trabaja individualmente y realiza las siguientes actividades en el cuaderno.

Analiza la información. a. Para hacer una compota de manzana se necesita cierta cantidad de azúcar por kilo de manzana. En la tabla se registraron algunas cantidades.

Cantidad de manzanas (kg) Cantidad de azúcar (kg)

4 1

8 2

12 5

b. ¿La cantidad de azúcar es directamente proporcional a la cantidad de manzanas? ¿Por qué? c. Copia la tabla y complétala en el cuaderno. d. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Actividad de evaluación

3. Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales o no. Propón ejemplos que sustenten tus respuestas. a. El número de trabajadores y el tiempo que tardan en recoger una cosecha b. La cantidad de libras de manzanas y el precio c. Peso de una persona y estatura d. Lado de un cuadrado y perímetro del mismo

56

4. Marca con D las magnitudes directamente proporcionales y con I las inversamente proporcionales: a. Número de estudiantes que aportan el mismo dinero y cantidad de dinero ahorrado. b. Número de personas y alimento que consumen en una semana, suponiendo que la cantidad de alimento no varía y el número de personas sí. c. Tiempo en recorrer una distancia y la distancia recorrida d. Máquinas que hacen jugo y número de jugos preparados en una hora

Actividad de evaluación

5. Lee la información y contesta las preguntas Una persona camina 5 km por hora y emplea seis horas en hacer un recorrido. ¿Cuánto tiempo empleará en hacer el mismo recorrido en bicicleta a 30 km por hora? a. Elabora en el cuaderno una tabla para registrar los datos proporcionados. b. Identifica las magnitudes que se relacionan en la situación. c. Determina si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales y justifica. d. Calcula la constante de proporcionalidad.

6. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

Situación

¿Las magnitudes ¿Las magnitudes son directamente son inversamente proporcionales? proporcionales?

Constante de proporcionalidad

Un vehículo gasta dos galones de gasolina cada 100 km. Si quedan ocho galones en el tanque, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer?

Una llave que vierte 120 L de agua por minuto llena un depósito en doce horas. ¿En cuánto tiempo se llenaría la piscina si la llave vierte 180 L por minuto?

Una rueda de un automóvil da 4 590 vueltas en nueve minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 24 horas?

Un ganadero tiene alimento para cuidar 25 reces durante 42 días. ¿Cuánto le duraría el alimento si solo tuviera cinco vacas?

Nueve obreros completan una obra en 30 días. ¿En cuántos días completan la misma obra 18 obreros?

57

Guía Menciona algunas reglas o normas que conozcas.

¿Sabes qué es una regla?

>> ¿Hay normas en tu escuela? ¿Cuáles? >> ¿En qué otros sitios se utilizan normas? ¿Qué clase de normas se utilizan? >> ¿Qué regla te gustaría que existiera? >> ¿Cuáles de las normas que conoces son para el bienestar de las personas? ¿Estás de acuerdo con ellas? >> ¿Conoces alguna regla en matemáticas? ¿Cuál o cuáles?

En esta guía conocerás una regla muy especial. Ella te permitirá resolver situaciones del área, de tu entorno y de otras asignaturas.

Usa lo que ya aprendiste sobre razones y proporciones para tratar de resolver las siguientes situaciones. Explica el procedimiento que sigues.

1. En una caja caben exactamente 50 manzanas. ¿Cuántas cajas se necesitan para empacar 250 manzanas?

2. Por 150 m2 de un terreno se han pagado $ 10 250 000. ¿Cuánto costarán 120 m2 del mismo lote?

3. Seis obreros hacen un trabajo en 20 días. ¿En cuánto tiempo lo harán 15 obreros?

58

Identifica las magnitudes que intervienen en la primera situación de la sección anterior. >> ¿Esas magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales? >> ¿Por qué sabes que esas magnitudes se relacionan de esa forma?

En la expresión: en una caja caben exactamente 50 manzanas, ¿cuál es la unidad de comparación? >> ¿Qué razón se establece en esa expresión? >> ¿Qué procedimiento sigues para responder la pregunta formulada?

Ordena los datos de la siguiente manera:

Cajas 1 × 5

Manzanas 50

250

×5

De esa forma se obtiene que para empacar 250 manzanas se requieren 5 cajas.

Generalmente el valor desconocido se reemplaza con una letra de nuestro abecedario, así:

Cajas Manzanas

1 50

x 250 Por ser magnitudes directamente proporcionales, ¿qué proporción se puede establecer?

Halla el valor de x. ¿Coincide con el valor hallado anteriormente?

Utiliza la misma estrategia para calcular la cantidad de cajas que se requieren para empacar 700 manzanas.

Cajas Manzanas

1 50

x 700 >> Establece la proporción. >> Halla el valor de x.

59

>> ¿Cuántas cajas se requieren para empacar las 700 manzanas? >> Si se cuentan con seis cajas, ¿cuántas manzanas se pueden empacar? >> ¿De cuál de las magnitudes es el valor desconocido? >> Plantea la proporción. >> Halla el valor desconocido. >> ¿Cuántas manzanas se pueden empacar en seis cajas?

Un problema en el que intervienen dos magnitudes directamente proporcionales y se conocen dos valores de una de ellas y uno de la otra, se denomina problema de regla de tres simple directa. >> ¿Todos los problemas que solucionaste en la sección anterior, involucran magnitudes directamente proporcionales? >> ¿Alguno de ellos involucra magnitudes inversamente proporcionales? ¿Cuál? >> ¿Qué estrategia seguiste para resolverlo? Comparte tu respuesta con el resto del grupo.

Lee nuevamente la situación. >> ¿Cómo son las magnitudes número de obreros y cantidad de días? >> ¿Por qué estableces esa relación?

>> >> >> >>

Número de obreros

6

x

Cantidad de días

20

15

6 × 20

x × 15

¿Por qué se establecen los productos de la última fila?

Escribe en el cuaderno la igualdad que se obtiene.

Halla el valor de x. ¿Cuántos obreros hacen el trabajo en 15 días?

Reúnete con dos compañeros o compañeras para realizar los siguientes ejercicios.

1. Analicen cada uno de los siguientes enunciados y digan si las magnitudes que se relacionan son directamente proporcionales o inversamente proporcionales.

60

a. Un carro a una velocidad de 60 km/h gasta 2 1 horas 2 para ir de Pitalito hasta Neiva ¿Qué tiempo empleará si la velocidad es de 90 km/h? b. Si 50 m2 de cartón valen $ 20 000, ¿cuánto valen 20 m2? c. En un mapa, 2 cm representan 400 km de la realidad. ¿Cuántos km. Habrá entre dos lugares, si en el mapa hay 1,5 cm entre ellos? d. Una máquina fabrica cierta cantidad de objetos en tres días, y otra máquina fabrica la misma cantidad de objetos en cinco días. Si trabajan las dos máquinas al mismo tiempo, ¿en cuántos días harán la misma cantidad de objetos?

2. Resuelvan las situaciones anteriores.

3. Analicen y resuelvan cada una de las siguientes situaciones.

Justifiquen sus procedimientos. a. Camila asiste por las mañanas a la escuela y cuando sale se dirige a uno de los viñedos de la zona, en donde trabaja.

Ella gana diariamente $ 15 000; ¿cuánto gana en una semana?, ¿en 20 días?, ¿en un mes? b. Javier vende porciones de papaya cerca del río. Él vende 300 gramos por $ 1500. ¿Cuánto cuesta comprar 900 gramos de papaya? c. Si un jornalero gana $ 321 000 al mes. ¿Cuánto ganará en 70 días de trabajo? d. En la escuela, por cada 3 estudiantes hombres hay 5 estudiantes mujeres. ¿Cuántos estudiantes son mujeres si en la escuela hay 60 estudiantes hombres? e. En una embotelladora de gaseosas se envasan 6000 gaseosas de 350 cm3 cada 30 minutos. ¿Cuántas botellas con el mismo contenido se envasan en 135 minutos?

7 f. Un albañil tarda 12 53 días en realizar 12 de una obra. ¿Cuántos días demorará para realizar el resto de la obra? g. Un granjero cambia un terreno rectangular de medidas 50 m por 300 m, por otro de la misma área que también es rectangular, pero cuyo lado mayor es la mitad del lado mayor del terreno que tenía. ¿Cuántos metros mide el otro lado del nuevo terreno? Si debe cercar el nuevo terreno, ¿gastará más alambre o menos del que antes gastaba para cercar el terreno que tenía?

61

1. Entrevista a tus compañeros y compañeras acerca del transporte que utilizan para llegar al colegio. Anota los resultados obtenidos y organízalos en una tabla. Luego escribe razones que comparen las cantidades anotadas.

2. Escribe la razón que representa cada situación. a. Un libro a dos cuadernos. b. Dos balones a 18 personas. c. 5 galletas a $ 750. d. Un profesor a ocho estudiantes. e. Una bicicleta a dos personas. f. Dos entradas a tres personas.

3. Completa en tu cuaderno las expresiones. a. Un ciclista recorre 18 km en tres horas. Para recorrer 72 km tarda ___ horas. b. una docena de mandarinas cuesta $ 2000. 30 mandarinas cuestan ___.

4. David recorre en su bicicleta 130 km en 5 horas. Con esa relación completa la tabla.

Distancia en kilómetros

130

Tiempo en horas

5

52 1

3

5. Inventa un problema con los siguientes datos. a. 398 personas por 10 m2. b. 1400 palabras en 25 minutos. c. 5 camisetas por $ 28 000.

Resuelve cada situación. Explica tu procedimiento para obtener la respuesta.

62

6. Los lados de la figura de la izquierda miden 9 cm de altura y 15 cm de largo. La figura de la derecha, tiene la misma forma, pero es más grande.

24 cm 9 cm

15 cm

x

>> Si la altura de la figura de la derecha es 24 cm, ¿cuál es el largo?

3

7. Para plantar 8 de un césped se tardaron 45 minutos. ¿Si se continua con el mismo ritmo, ¿cuánto tiempo tardará en plantar el césped en todo el terreno?

8. Un kilogramo de granadilla, cuando está en cosecha, cuesta $ 1956,90. ¿Cuánto cuesta una docena?

9. Para hacer un dulce de fresa para cuatro personas se requieren los siguientes ingredientes: >> 2 huevos >> Una libra de fresas >> Seis cucharadas de azúcar. ¿Cuánto de cada ingrediente se requiere, para hacer un dulce para 15 personas?

10. Un espejo plano tiene 1.3 m de alto por 0.5 m de ancho se compra en $ 29 300. ¿Cuál será el precio de un espejo de igual calidad, pero que tiene el doble de largo y un metro de ancho ?

63

Qué aprendí 1. Juana elabora telares en su casa. Ella tiene un pequeño almacén en el pueblo, en que vende sus telares. La tabla muestra la cantidad de telares que tiene de cada color.

Color

Número de telares

Rojo

5

Azul

35

Café

30

Verde

10

Blanco

4

Naranja

16

Total >> ¿Cuántos telares tiene en el almacén Juana? >> Escribe algunas comparaciones que se puedan establecer entre los datos de la tabla. >> Resuelve cada situación, argumentando tu respuesta.

2. Carmenza recorre diariamente 5.29 km en promedio para llegar de su casa al puesto de salud de la vereda, donde trabaja. ¿Cuántos kilómetros recorre en 7 días?

3. Jesús, trabaja recolectando la cosecha de frutas de la temporada. Si por un mes de trabajo le pagan $ 560 000.796, ¿cuánto le pagan por un día de trabajo?

4. El peso del acero es 0.88 veces el peso del cobre. Si una pieza de cobre pesa 6.19 kilogramos, ¿cuánto pesará esa pieza en acero si el tamaño es el mismo?

5. En la plaza de mercado venden el queso costeño a $ 12 500 7 el kilogramo. ¿Cuánto cuesta comprar 2 kilogramos de queso?

64

¿Cómo me ven los demás?

Reúnete con un grupo de compañeros o compañeras.

6. Consigan 30 palillos y una hoja de papel cuadriculado. a. Construyan un cuadrado que tenga de lado dos palillos. ¿Cuántos palillos utilizaron? b. Construyan un cuadrado que tenga tres palillos de lado. ¿Cuántos palillos utilizaron? c. Construyan cuadrados con cinco y seis palillos? d. Completen la tabla teniendo en cuenta los cuadrados anteriores.

Largo

Perímetro

e. escriban la razón entre el lado y el perímetro de cada cuadrado construido en los literales anteriores.

7. En el mapa se encuentran algunos sitios que visita la familia de Andrea.

Casa de Andrea

Casa de los abuelos

Centro Médico Río

Piscina municipal

>> Tomen un hilo, midan la distancia que hay entre cada par de lugares. Luego colóquenlo sobre una regla graduada en centímetros. >> Escriban la distancia que hay entre cada par de sitios.

Me autoevalúo >> Identifico magnitudes >> Establezco relaciones de comparación entre magnitudes. >> Utilizo significativamente las propiedades de las fracciones con relación a la razón y la proporción. >> Identifico la unidad en la cual se está comparando en distintas situaciones. >> Resuelvo situaciones de aplicación de la proporcionalidad. >> Me intereso por aprender de manera significativa. >> Participo activamente en clase.

65

MÓDULO

¿Cómo determinar que dos triángulos son iguales?

En nuestro entorno encontramos diversas figuras geométricas, algunas de ellas son regulares pero otras no lo son y por lo tanto para poder realizar el calculo sobre ellas, débenos recurrir a formas conocidas. Una de estas formas son los triángulos, ya que podemos ver algunas figuras geométricas como la composición de varios triángulos. Por ejemplo ¿has observado los panales de las abejas y los depósitos que construyen para la miel? Bien, las abejas almacenan su miel en orificios construidos en forma hexagonal, para poder deducir algunos aspectos de éstos podemos ver el hexágono como la composición de varios triángulos congruentes, es decir, de la misma forma y tamaño. Pero no todos los hexágonos son del mismo tamaño ya que como en otros casos podemos encontrar figuras geométricas que tiene la misma forma de otras pero de diferente tamaño, éstas son conocidas como semejantes.

¿Qué voy a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico

>> Estimo y determino valores que se hallan en representaciones geométricas para resolver y formular problemas >> Pensamiento geométrico >> Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

66

>> Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales >> Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración del teorema de Pitágoras.

Pensamiento métrico

>> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. >> La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos numérico, geométrico y métrico, a través de los conceptos asociados a la semejanza, congruencia de triángulos y el teorema de Pitágoras.

concepto de volumen y capacidad

Guías 10

semejanza de triángulos

11

congruencia de triángulos

12

congruencia de triángulos rectángulos

13

teorema de Pitágoras

Procesos >> Establecer diferencias entre semejanza y congruencia >> Involucrar los criterios de semejanza y congruencia en los argumentos que explican una situación. >> Emplear el teorema de Pitágoras para determinar magnitudes desconocidas en triángulos rectángulos

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Modulo 4 Pensamiento geométrico Triángulos Rectángulos Criterios de congruencia

Teorema de Pitágoras

Oblicuángulos Criterios de semejanza

Criterios de congruencia

AAA LLL LAL

LLL ALA LAL

67

¿Para qué te sirve?

Los criterios de semejanza te permiten, comparar objetos de igual forma pero con diferente tamaño y establecer entre ellos magnitudes proporcionales. Por ejemplo puedes tener objetos de gran tamaño que no puedes estudiar directamente no obstante un modelo a escala te permite hacerlo ya que tu atención esta fija sobre las propiedades del objeto sin involucrar su tamaño. Luego si quieres realizar cálculos de objetos de gran tamaño puedes establecer correspondencias entre el objeto a escala y el objeto empleando para ello la proporcionalidad entre cada una de sus magnitudes.

Los criterios de congruencia te permiten deducir cuando dos triángulos son de igual forma y tamaño, para poder estimar valores desconocidos o para poder demostrar la igualdad entre dos figuras empleándolos en tus razonamientos y en tus argumentos.

El triangulo rectángulo se encuentra presente de muchas formas y resulta muy útil para poder calcular alturas inaccesibles y distancias entre dos puntos entre otras cosas. para ello se emplea el teorema de Pitágoras una herramienta valiosa dentro de las estrategias que se utilizan en la resolución de problemas.

¿Cómo se te va a evaluar?

En cada una de la guías tienes tres momentos de reflexión individual sobre tus competencias en matemáticas, el primer momento te invita a reconocer las fortalezas que has adquirido durante los años de tu escolaridad, mostrándote situaciones en las cuales se hace necesario que de demuestres tu ingenio para la resolución de cada uno de los problemas, un segundo momento te permite analizar el proceso que esta llevando con cada una de las situaciones ya que se te indaga sobre conjeturas y regularidades que se esperan que observes.

El tercer momento pone a prueba la validación de las conjeturas que haces, al invitarte que compartas tus estrategias de solución con tus compañeros y profesores para que las justifiques, las pongas a prueba y dado el caso las modifiques por los aportes que realizan tus compañeros.

Adicionalmente al final de cada guía encontraras una evaluación que será desarrollada con los conceptos que has adquirido por la experiencia en el desarrollo de este tipo de situaciones en las etapas anteriores.

Cada uno de los módulos presentan al final tres momentos de evaluación uno de ellos es individual y recoge las temáticas presentadas a lo largo del modulo, el segundo de ellos te invita a desarrollar una nueva experiencia de aprendizaje con tus compañeros y la orientación de tu profesor. Finalmente se te invita a una reflexión profunda sobre tu desempeño en las labores académicas y en tus actitudes.

68

Explora tus conocimientos

Tanque

Casa

Poste

Fuente de Agua

Carretera

Don Antonio compró un terreno de varias fanegadas, piensa en sembrar la mayor parte del área y construir su casa en la sima de una loma para no tener problemas con la humedad.

Por el perímetro del terreno se encuentran los postes de energía eléctrica y planea solicitar que le lleven el servicio de energía hasta su casa ya que con ello puede conectar la bomba que llevaría el agua hasta el tanque que planea dejar en lo alto de su casa. >> ¿Qué estrategia puede emplear Antonio para saber la cantidad de cable que necesitara para llevar la energía? >> ¿Qué estrategia puede emplear don Antonio para saber los metros de tubería que serán necesarios para llevar el agua su casa? >> ¿El método que propones para conocer la cantidad de cable que utilizara es el mismo que emplea para saber los metros de tubería que gastara en llevar el agua a su casa? Justifica tu respuesta >> ¿Como puede don Antonio determinar la altura de la loma con respecto a la carretera?

69

Guía

¿Cómo determinar la altura?

La proporcionalidad entre magnitudes también se hace presente en la geometría y es una herramienta que se emplea como estrategia en la resolución de problemas donde se tengan que calcular magnitudes desconocidas como por ejemplo al altura de un objeto si conocemos el valor de su sombra.

Durante la negociación para lograr la instalación de la energía eléctrica, Don Antonio, contrata un asesor que le indica que deberá conseguir un poste más alto, ya que los cables se verían obstaculizados en el futuro por la plantación de plátano. Don Antonio pregunto a su asesor que como obtuvo la altura del poste de forma aproximada y este le contesto que por medio de la sombra. >> ¿Cómo se puede emplear la sombra para conocer la altura del objeto? >> ¿La sombra de un determinado objeto es la misma durante cualquier hora del día? >> Ubica y fija una linterna en un lugar determinado, delante de ella ubica varios objetos de diferente tamaño a la misma distancia de la linterna. Compara las magnitudes de la sombra con sus respectivas alturas e intenta hallar alguna regularidad entre las magnitudes.

>> ¿Cómo pudo determinar el asesor la altura aproximada del objeto por medio de la sombra? >> ¿Como se plantean las proporciones entre los triángulos y para que nos sirven?

Es claro que el asesor de don Antonio conoce antemano métodos prácticos para realizar su trabajo y estos métodos asocian la semejanza entre los triángulos. Para poder deducir las estrategias que emplea el asesor debemos hacer uso de la definición de razón y proporción: una razón entre dos cantidades p y q es el cociente entre, estas el cual llamare-

70

mos r. una proporción es una igualdad entre dos razones y = m p y n son conocidos como consta de cuatro términos P q n extremos, q y m son conocidos como medios. En la propor-

ción verificamos que p x n = q x m por ejemplo 3 = 6 pues 4 8 podemos verificar que 4 x 6 = 3 x 8 .

En el caso de don Antonio su asesor emplea una sencilla comparación de lados y ángulos entre dos triángulos uno de ellos formado por el poste y su sombra, el otro por altura del asesor con su correspondiente sombra. Veamos la representación grafica que empleo nuestro asesor:

n q p

m

La proporcionalidad que establece nuestro asesor esta relacionada con la magnitud de las sombras, observa que él solo debe obtener estos datos ya que de antemano conoce la magnitud de su estatura.

Con los triángulos formados la proporcionalidad tomaría = m donde p y m son los valores de la siguiente forma: P q n la sombras y q y n las diferentes alturas. Cabe anotar que

nuestro asesor supone que los ángulos formados por las sombras y sus respectivas alturas son de igual magnitud, es decir que los ángulos son congruentes. Luego de ello plantea el producto p x n = q x m y despeja el valor de n Si p = 2.5m, m=7.8m y el asesor mide 1.7m ¿Cuál es la altura del poste?

Como observaste reconocer cuando dos triángulos son semejantes nos permiten elaborar un modelo acertado de la situación y partir de ello solucionar el problema Se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma pero diferente tamaño

71

DF DE

C

AB = BC

E =

6 cm

F

B

3 cm 1000

D

2.5 cm

E

1000

A

5 cm

B

Criterios de semejanza (L- A- L) lado – ángulo – lado

Dos triángulos son semejantes si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son congruentes En este caso el triángulo DFE es semejante al triangulo ABC ya que los lados DE y EF son proporcionales con AB y BC, 2.5 = 5 como podemos verificar 2.5 x 6 = 3 x 5 y el ángulo 3 6

formado por los lados correspondientes, es congruente.

(A-A-A) ángulo – ángulo – ángulo Construye un triangulo cuyos ángulos sean de 30º, 60º y 90º. Compara el triangulo que construiste con los que construyeron tus compañeros, ¿como son?

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes Ejemplo: determinar si los triángulos, ACB y DEF son semejantes F B

Figura 4.4

A

400

550

C

D

400

550

E

Dado que solo tenemos información de los ángulos, entonces intentaremos demostrar que los tres ángulos son congruentes para ello usamos que ∠A + ∠C + ∠B = 180o y ∠D + ∠E + ∠F = 180o porque la suma de los ángulos interiores de los triángulos es 180º con ello tenemos que ∠B= 180o – 95o = 85o y ∠F= 180o – 95o = 85o con lo que encontramos que ∠B = ∠F por lo tanto los dos triángulos son semejantes por el criterio de (A -A -A).

72

(L-L-L) lado –lado- lado El tercer criterio de semejanza entre los triángulos relaciona los lados de los triángulos Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales Ejemplo: determinar si los triángulos DEF y ABC son semejantes: Para que los triángulos sean semejantes se deberá cumplir que sus lados correspondientes sean proporcionales es decir:

F C

8 cm

4 cm

3 cm

A

6 cm

B

5 cm

D

E

10 cm

AB BC AC 5 4 3 = = esto es: como podemos ver la pro= = 10 8 6 DE EF DF 1 porción es de por lo que los dos triángulos son semejantes.

2 Ejemplo: Don Antonio piensa en construir dos galpones en una parte de su terreno más o menos plano. Uno de ello será para los gallos y el otro para las gallinas. El suministro de agua lo realizara conectando una tubería a la fuente de agua como se muestra en el plano que realizó. Don Antonio tiene 2 opciones para conectarse al tubo principal la conexión 1 o la conexión 2 en cual de ellas se requiere menor longitud de tubería?

Fuente de agua 50 m Tubo principal Bebedero

30 m

a 40 m

b

60 m

Conexión 1 Conexión 2

73

Para resolver el problema debemos verificar si los triángulos son semejantes para ello observemos que los dos triángulos forman ángulos de 90º en los puntos donde se instalan los bebederos, luego los ángulos que son opuestos al vértice son también congruentes (¿porque?) y puesto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es180º entonces tenemos que los triángulos son semejantes por el criterio (A – A – A). Luego esto me garantiza que los lados de los triángulos son proporcionales con esto calculamos las distancias b 15 a Para determinar los valores tomamos = = 30 5 40 b 15 y despejamos b bx5 = 15x30 luego b= 90m con = 30 5 a 90 este dato calculamos el valor de a luego ax30 = = 40 30 a y b.

90x40 por lo tanto a =120m. Luego la conexión 1 tiene 160m y la conexión 2 120m.

Si la casa de Don Antonio se ubica en la mitad de la distancia entre el lago y el poste, además se sabe que la altura de la colina con respecto a la carretera es de 200m ¿Cómo podría calcular don Antonio la cantidad aproximada de cable que utilizaría para el suministro de energía eléctrica?

Don Antonio instala unas lámparas en su galpón como se muestra en la figura. El afirma que entre mas cerca se encuentre la lámpara del piso el área iluminada será mayor ¿esta afirmación es cierta?

1.5m

lámpara

1m

región iluminada

¿Como se puede determinar al área iluminada si se tiene la altura en que se encuentra la lámpara? Explica.

74

1. En determinada hora del día un árbol proyecta una sombra de 13.5m desde su base, si la sombra proyectada por un sujeto de 1.7m de altura a la misma hora del día es de 5.1m ¿Cuál es la altura aproximada del árbol?

2. Determina si los triángulos ABC y DEC son semejantes justifica tus afirmaciones.

C

D

A

E

F

B

3. Determina si en la grafica anterior los triángulos CDE y AFD son semejantes justifica tus afirmaciones 4. Que puedes concluir de lo de los puntos 2 y 3 5. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes podemos afirmar que son semejantes justifica tu respuesta.

6. Si dos triángulos tienen dos lados congruentes podemos firmar que son semejantes justifica tu respuesta.

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Guía

¿Cómo construir corrales iguales?

Por la irregularidad del terreno de don Antonio, para la crianza de animales, éste se ve obligado a diseñar galpones y corrales en forma no muy convencional. Por ejemplo el corral para los cerdos posee una forma triangular igual que el que utilizo para sus conejos. Con tan mala fortuna que el sitio donde ubico los cerdos se encuentra más lejos de su bodega de suministros por lo cual alimentarlos es una tarea agotadora. Si el área de la conejera es la misma que la del corral delos cerdos podría reubicar los animales y solucionar el problema. >> Observa la grafica de los corrales y por su información determina si son iguales.

Corral de los cerdos 9m

Corral de los conejos

980 9m 980

8m

8m

>> Dibuja un triangulo equilátero de lado 10cm de lado compáralo con el de tus compañeros >> Que dimensione se pueden dar para que los triángulos dibujados por tus compañeros tengan la misma forma y tamaño.

Don Antonio afirma que para saber si los corrales triangulares construidos son iguales basta con conocer las medidas de los tres lados de los triángulos. Como en este caso buscamos que los triángulos sean iguales en la longitud de sus

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lados y en la amplitud de sus ángulos entonces buscamos que los triángulos sean congruentes. Entonces al afirmación que realiza don Antonio de ser verdadera seria un criterio de congruencia. ¿Será cierto que sí dos triángulos tienen sus tres lados de igual magnitud los triángulos serán congruentes? Explica tu respuesta.

Criterios de congruencia (L-A-L) lado – ángulo – lado Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados congruentes y el ángulo que forman esos lados también lo es Como lo puedes deducir, este caso resume el problema inicial de don Antonio ya que tanto el corral de los conejos como el de los cerdos cumplen con la condición de tener dos lados congruentes y el ángulo formado por los lados congruentes.

Observa la grafica que representa el criterio figura 4.10 E

B

A = D AC = DF AB = DE

A

C

F

D

(A-L-A) ángulo - lado – ángulo Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes un lado y los dos ángulos que se forman en sus extremos

O = R P = S OP = RS

O

Q

T

P

R

S

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La figura anterior te permite deducir más fácilmente el cri-

≅ ∠T ya que en la información tenemos que ∠O ≅ ∠R y ∠P ≅ ∠S además ∠Q = 180o – ∠O – ∠P ¿Por qué? De allí tenemos que ∠Q ≅ ∠T terio de congruencia. En primer lugar ∠Q

luego el triangulo tiene sus tres ángulos congruentes. Ahora debemos deducir que los lados son congruentes para ello

ya tenemos un lado congruente dado en la información. OQ Tiene el mismos sentido de RT y esto mismo ocurre con el otro lado, ambos se cortan en un punto este es el vértice de cada uno de los triángulos los cuales coinciden, por los tanto los triángulos son congruentes.

(L-L-L) lado – lado- lado

Dos triángulos son congruentes cuando tienen los tres lados de uno de ellos respectivamente congruentes con los tres lados del otro triangulo.

HI = KL HJ = KM JI

H

= ML

J

M

I

K

L

Una forma en la que puedes verificar este criterio es tomando el triangulo HIJ y colocarlo sobre el triangulo KML con ello podrás ver que los vértices coinciden por lo tanto estos dos triángulos son congruentes.

Ejercicio Toma una cuerda o laso de 40cm de longitud y ata sus dos extremos a una estaca, luego toma una segunda cuerda con 30cm de longitud y ata uno de los extremos a la estaca donde se encuentra la primera cuerda toma una tercera cuerda de

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20cm de longitud y ata un extremo a la segunda estaca de la primera cuerda y luego une los dos extremos libres de las cuerdas de 30cm y 20cm compara tu triangulo con el formado con tus compañeros e intenta brindar argumentos que expliquen lo sucedido.

Para dar las indicaciones de la ubicación de su finca don Antonio dice a sus amigos que tomen la carretera por 2 horas y luego tomen la desviación que encontraran a su derecha por 3 horas y que estén atentos a un letrero que dice la esperanza ya que es el nombre de su finca. Don José quiere pasar primero donde su comadre y don Antonio le dice que para llegar donde ella que siga las mismas indicaciones solo que no tome la diagonal de la derecha sino la de la izquierda por el mismo espacio de tiempo. Don José lo piensa y afirma que podrían construir un camino que uniera las tres casas ya que tanto su comadre como su compadre viven a la misma distancia de su casa. Observa el mapa de las indicaciones desviaciones

casa de la comadre

casa de don José

casa de don Antonio

>> Según el mapa de las indicaciones la conclusión a al que llega don José seria verdadera por el criterio de congruencia >> Elabora un mapa con indicaciones parecidas donde se evidencien los tres criterios de congruencia.

79

Construye cada triangulo empleando las criterios correspondientes.

1. un triangulo con sus tres lados de 10 cm. de longitud 2. un triangulo con un lado de 7cm que forma un ángulo de 60º con otro lado de 5cm 3. un triangulo isósceles de con sus lados congruentes de 12cm y el ángulo comprendido entre ellos de 60º.

Determina si los pares de triángulos con congruentes y porque criterio

80

81

Guía

¿Cómo trasportar medidas con un laso?

Don Manuel decide redistribuir su finca y para ello desea mover de lugar su galpón. Para reutilizar su malla, decide construir el nuevo de las mismas medidas que el primero.

Como estrategia solo mide dos de los lados del galpón ¿su estrategia es la correcta?

6m

4m

Galpón

1. Explica por que razón sólo con esta medida puede construir el nuevo galpón con las mismas dimensiones del anterior.

2. ¿Porque factor podría fallar la nueva construcción?

3. Antes de de desmontar la malla don Manuel decide tomar de nuevo la medida pero esta vez toma solo un lado y la diagonal del rectángulo ¿con esos datos es posible reconstruir el galpón en otro sitio?

4. Para saber si es posible empleemos como estrategia a un dibujo le área del galpón que desea trasladar don Manuel y luego intenta realizar el mismo dibujo en una hoja blanca especifica las dificultades que se te dieron

Criterios de congruencia en triángulos rectángulos Un triangulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos es recto. Este tipo de triangulo es muy estudiado debido a que se encuentra involucrado en muchos contextos de la matemática y de la ingeniería ya que cumple con varias relaciones especiales que estudiaremos mas adelante .

Por el momento nos referiremos a las partes del triangulo en él dos de sus lados son conocidos como catetos y el tercer

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lado que resulta ser el de mayor magnitud y que se encuentra opuesto al ángulo recto es conocido como hipotenusa.

Criterio 1

Este criterio es claro ya que si supones que dos triángulos tienen sus catetos correspondientes congruentes entonces tienes garantizado el criterio de congruencia (L – A – L) ya que su ángulo es de 90º.

En el caso de son Manuel puedes observar que en un primer momento decide toma r únicamente la medida de dos de sus lados y aunque no lo mide sabe de antemano que en la construcción las paredes de su galpón formaran ángulos rectos.

Cateto

Dos triángulos rectángulos con los catetos respectivamente iguales, son congruentes

Hi po ten us a

900

Cateto

Criterio 2

Dos triángulos rectángulos con un cateto y el ángulo agudo adyacente respectivamente iguales, son congruentes.

B

A

T

4 cm

C

R

4 cm

S

Este criterio lo puedes deducir fácilmente observando los triángulos y estableciendo a que criterio de congruencia corresponde.

Criterio 3

Dos triángulos rectángulos con un cateto y la hipotenusa respectivamente iguales, son congruentes B

A

G

C

E

F

83

Este criterio fue la segunda estrategia que intento realizar don Manuel par trasladar su galpón pues si observamos la diagonal que une los extremos del rectángulo que representa el galpón formamos un triangulo rectángulo. Observa que de antemano se conoce que uno de los lados de los triángulos es congruente luego el ángulo que comprende el cateto con la hipotenusa debe ser congruente para emplear el criterio de congruencia (L- A –L) ya que el tercer lado será la hipotenusa

Criterio 4

Dos triángulos rectángulos con un cateto y el ángulo opuesto iguales, son congruentes.

B

A

T

C

R

S

Este criterio es posible gracias a que el valor del ángulo recto es de 90º luego el ángulo opuesto nos permite calcular el ángulo adyacente pues recuerda que la asuma de los ángulos interiores de todo triángulos es 180º de esa forma los ángulos adyacente s de los triángulos son congruentes con lo que reducimos el problema al criterio 2.

Criterio 5

Dos triángulos rectángulos con la hipotenusa y un ángulo agudo iguales, son congruentes Dibuja la figura de este criterio e intenta justificar su veracidad recuerda que la suma de los ángulos interiores de un triangulo es 180º

Debido a la premura don Manuel olvido su metro y su escuadra pero esta decidido a marcar los sitios donde deberá colocar las columnas del granero para ello toma un largo lazo lo coloca en una esquina del galpón y marca en la cuerda la medida del largo. Luego desde la misma esquina repite la operación con la otra pared adyacente pared adyacente.

1. ¿Empleando que criterio de los triángulos rectángulos se puede justificar la estrategia como acertada?

2. Para la construcción del techo don Manuel quiere hacerlo a dos aguas como se muestra en la figura. El piensa que si toma la medida de las tejas de uno de los lados puede saber la longitud de las tejas del otro ¿es esto posible?

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3. Inventa un instrumento que te permita trasladar medidas de dos lados adyacentes.

4 cm

Determina si cada una de las afirmaciones presentadas es falsa o verdadera 1. Para saber si dos triángulos rectángulos son congruentes basta con saber que dos de sus catetos son congruentes 2. En un triangulo rectángulo si se conoce uno de los lados se puede determinar la medida de otro 3. Para saber si dos triángulos rectángulos son congruentes basta con conocer la medida de uno de los ángulos 4. Todo triangulo rectángulo tiene por lo menos un ángulo recto.

5. Si dos triángulos rectángulos tiene su hipotenusa congruente y uno de sus ángulos obtusos congruentes entonces los triángulos son congruentes 6. Dos triángulos rectángulos son congruentes si uno de sus catetos y uno de sus ángulos son congruentes por el criterio (L- A –L) 7. Determina si las parejas de triángulos rectángulos son congruentes y establece el criterio.

4 cm

85

Guía Para la distribución del agua se desean emplear tubos de pvc desde un yacimiento de agua que se encuentra el lo alto de una colina aprovechando la fuerza de gravedad

¿Cómo construir corrales iguales?

500 m 400 m 50 m

800 m 200 m 200 m

>> ¿Que longitud miden todos los tubos? >> ¿Cuál es el área aproximada que cubre la tubería? >> ¿Bajo que condiciones este tipo de diseño es posible?

Don miguel tiene un terreno de 1225m2 y lo desea distribuir en tres cuadrados perfectos si uno de los cuadrados tiene 25m de lado ¿cual es la dimensión de los lados de los otros dos?

Como mencionamos en la guía anterior los triángulos rectángulos poseen características especiales que relacionan sus lados y sus ángulos.

Observa el siguiente problema: Don miguel piensa en llevar algo de la tubería a su casa y observa que desde el último punto donde llego el agua hay una distancia de 8m por ello decide cortar un tubo de 8 metros para llevar el agua al lugar donde desea poner la llave observa la figura que representa la situación:

86

Punto de llegada del agua

8m

Ubicación de Don Miguel

8m

Lugar donde se desea colocar el agua

>> ¿El tubo que cortó don miguel es suficiente? Explica tu repuesta Como lo habrás notado en un triangulo rectángulo la hipotenusa es de mayor longitud que sus catetos y ella se encuentra relacionada por medio del teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras En todo triangulo rectángulo tenemos que el valor de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de cada uno de sus catetos elevados al cuadrado Por su importancia se han realizado diversas demostraciones del teorema algunas de ellas son de tipo algebraico otras de tipo geométrico realicemos una prueba de tipo geométrico

b

a

c b

a

a

a2

b

a

a c2

b

b2

b

c a

b

b

c a

Observa el primer cuadrado, en él tómanos un triangulo rectángulo de medidas a, b y c luego para completarlo construimos un cuadrado de lado a y otro de lado b y tres triángulos congruentes con el primero.

El segundo triangulo se construye formando un cuadrado sobre la hipotenusa y completándolo con tres triángulos congruentes de medidas a, b y c. luego si observamos los triángulos con los que completamos los cuadrados estos resultan ser congruentes al retirar cada uno de ellos de la construcción resulta que solo quedan los cuadrados de lado a, b y c con lo que podemos concluir que a2 + b2 = c2

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Reproduce la prueba y construye cada uno de los cuadrados.

Veamos por medio de un ejemplo numérico del teorema, supón que la medida del cateto a es 3cm y la del cateto b 5cm, entonces la medida de la hipotenusa estará determinada por a2 + b2 = c2 con lo cual tenemos 32 + 42 = 9 + 16 = 25c2 luego el lado del triangulo tiene 5 unidades de magnitud. >> Dibuja en tu cuaderno el triangulo y comprueba las magnitudes. >> Dibuja en tu cuaderno un triangulo rectángulo cuyas medidas de sus catetos son 6cm y 8cm, determina el valor de la hipotenusa empleando el teorema y luego verifica el resultado midiéndola en tu construcción. >> Dibuja ahora un triangulo cuyas mediadas de sus catetos son de 2cm y 3cm. ¿cual es el valor de la hipotenusa?

Problemas parecidos al anterior debieron resolverlos matemáticos en la antigüedad, de aquí la gran importancia del teorema pues nos propicia la oportunidad de estudiar los números denominados inconmensurables, este conjunto de números esta compuesto por aquellos cuya expresión decimal es infinita no periódica Por ello en esta unidad si el valor calculado no tiene un valor racional en su raíz entonces la dejaremos indicada.

Observa los siguientes ejemplos: 1. Determinar el valor de la hipotenusa para el triangulo cuyas medidas de los catetos es 2cm y 3cm entonces planteando el teorema a2 + b2 = c2 Remplazando los valores 22 + 32 = 4+9=13 luego C2=13 entonces C=√13 2. Determinar la magnitud del lado faltante

9

15

En este caso el lado faltante es uno de los catetos, lo que implica que debemos despejar uno de los catetos en la expresión a2 + b2 = c2 Pues conocemos el valor de un cateto y de la hipotenusa. Ahora la expresión se nos convierte en a2 + b2 = c2 reemplazando valores tenemos a2 =152 – 92 Esto es a2=225 – 81 que es equivalente con a2=144 luego a=√144 =12 3. ¿Cual es el valor de la longitud del tubo que debe comprar don miguel?

Como te habrás dado cuenta el tubo atraviesa diagonalmente el terreno. Es decir hace las veces de la hipotenusa de un triangulo de 8m de lado, luego al resolverlo la longitud es √128

88

1. Para la construcción de un invernadero se tienen dos alternativas con el techo uno es de dos aguas y el otro es sencillo. Según el esquema ¿Cuál de ellos necesita de la menor cantidad de plástico?

2m

2m

10 m

10 m

2. Don miguel tiene una reja de 11 metros de largo y decide colocarla de forma diagonal dentro de un galpón rectangular si uno de los lados del galpón mide 7m ¿cual es el valor del otro lado?

3. Una fuente de agua es utilizada para realizar el aseo de una conejera y un galpón.

Según la grafica ¿cual debe ser la longitud mínima de la manguera para poder realizar el aseo a los dos lugares?

Fuente de agua

6m 4m

Conejera

7m

Vivienda

Galpón

1. Una escalera es apoyada sobre una pared a 2m de ésta ¿Cuál es la altura de la pared?

2. Para dar mayor estabilidad a una antena de 1.5m se amarran dos cables de 2m a cada extremo de la antena ¿a que distanciase encuentran los puntos de amarre?

3. Desde el techo de su casa Camilo ve que su mamá llega de hacer compras. Si el techo se encuentra a 2.5m del suelo y la distancia entre la casa y la mamá de Camilo es de 8m ¿a que distancia se encuentra Camilo de su mamá?

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4. Don Jorge tiene una conejera de forma cuadrada de 5m de lado. El decide ampliarla conservando su forma pero duplicando su área ¿Cuáles son las nuevas dimensiones de los lados de la conejera?

5. ¿Cuales serán las nuevas dimensiones de la conejera si don Jorge decide nuevamente duplicar el área?

6. Se decide colocar una alfombra que cubre toda la escalera que se muestra en la figura. Si el largo de a alfombra que cubre los escalones es de 20cm ¿Cuál es la medida del largo de cada escalón?

240 cm

7. Determina la medida de cada uno de los lados faltantes de los triángulos

25 9

7

20

11 12 9

8

90

1. Observa la fichas que componen nuestro rompecabezas constrúyelas y recórtalas en cartulina para formar el árbol de izquierda. Figura 4.35

2. Construye triángulos semejantes con cada una de las fichas y arma nuevamente la figura.

3. Construye un nuevo rompecabezas de igual forma pero compuesto solo por triángulos rectángulos y determina el valor del área y el perímetro del árbol.

4. Determina el área década uno de los triángulos

6.77 cm 2.76 cm 4.37 cm

4.32 cm

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Qué aprendí Resuelve los siguientes problemas: 1. Demuestra que los triángulos de la figura son congruentes si se sabe que ∠1 ∠2 y ∠3 ∠4 que criterio de congruencia se emplea C

≅

A

≅

1 2

3 4

B

D 2. En el triangulo O es el punto medio de AD y BC. Esta información es suficiente para deducir que el triángulo AOB es congruente con el triangulo OCD A

B

O

D

C

3. determina el area de cada uno de los triangulos si se sabe que a=6cm y b=3cm

a2

a c b b2

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¿Cómo me ven los demás?

Forma grupos de tres personas y resuelvan cada uno de los problemas justificando las estartegias utilizadas.

1. ¿Cual es la altura del molino si se sabe que al altura del sujeto es de 1.7m?

2. Para determinar la altura de un arbol de forma indirecta, Andres toma un pitillo y lo coloca sobre su escuadra de 45º, luego retrocede observando por el orifico del pitillo hata lograr ver la copa de larbol.

Si andres se encuenta a una distancia de 2.3m del arbol y la escuadra se encuentras a 1.6m del suelo, ¿Cuál es la altura del arbol? a. ¿Que sucede si la escuadra es de 30º? b. ¿Qué sucee si la escuadra es de 60º?

10mt

3mt

Me autoevalúo

H Altura del árbol

a

A altura del espectador D distancia al árbol

Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Sí

Aveces

No

Realizo esquemas como dibujos, o diagramas que me permiten entender el problema.

Estimo si la respuesta que encuentro es coherente con el problema.

Cuando no puedo solucionar el problema intento nuevamente hasta lograrlo. verifico la información que se me da en la guía participo en los debates que se puedan formar alrededor de la temática Realizo mis tareas responsablemente tanto en los trabajos individuales como grupales

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MÓDULO

Forma y medida de los alimentos

¿Qué voy a aprender?

Estándares básicos de competencias Pensamiento métrico

>> Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. >> Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. >> Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

Pensamiento numérico

>> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. >> Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas. >> Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

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La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos métrico y espacial, a través de los conceptos asociados al de medida de área y volumen de algunos cuerpos geométricos. En la tabla se muestran los conceptos que a prenderás.

Guías

Concepto: medida

14

Área superficial y volumen de prismas

15

Área superficial y volumen de pirámides

16

Área superficial y volumen de cilindros

Procesos Usar y construir modelos geométricos para solucionar problemas.

Establecer y utilizar diferentes procedimientos de cálculo para hallar medidas de superficies y volúmenes.

Utilizar relaciones y propiedades geométricas para resolver problemas de medición.

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En el siguiente esquema observarás la relación existente entre los conceptos que vas a aprender.

Módulo 5 Pensamiento métrico y sistemas de medidas Sólidos geométricos Pueden ser

Poliedros

Cuerpos redondos

Tales como

Tales como

Prismas Tienen

Pirámides

Cilindros

Tienen

Tienen

Área superficial y volumen

Área superficial y volumen

¿Para qué te sirve?

Cada vez que sales de tu casa, sales de un paralelepípedo; vas a la escuela y tomas apuntes con un bolígrafo (con forma de cilindro). Por la tarde juegas al fútbol con un balón (con forma de esfera), y cuando regresas a tu casa ves a tu mamá regando las macetas (con forma de cono truncado).

Como ves, estás rodeado de objetos que tienen forma de cuerpos geométricos, los cuales cuentan con una presencia muy importante dentro del universo de las matemáticas. Gracias a ellos, se puede dar fundamento teórico a gran cantidad de conceptos como área, volumen, líneas y puntos, fuera de sus aplicaciones prácticas en gran cantidad de campos como la física, la mecánica y la física, entre otros.

¿Cómo se te va a evaluar?

A lo largo del desarrollo del presente módulo, se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con algunos sólidos geométricos, y el cálculo de su área superficial y de su volumen.

La evaluación será permanente. Dentro de cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y qué aspectos debes reforzar.

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También encontrarás las secciones Aplico lo aprendido y Evaluación, en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que pondrán a prueba tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

Explora tus conocimientos

Los vecinos de la vereda El Rosal son especialistas en la preparación de ricos y variados productos lácteos. Muchos de los quesos vienen en presentación con forma de cilindro mientras que la mantequilla adopta una forma de prisma. >> Realiza un dibujo de un queso y una barra de mantequilla que cumpla las características que se expusieron en el texto anterior. >> ¿Conoces otra presentación de los alimentos mencionados? >> ¿Sabrías calcular el área mínima que debe tener papel que se utilice para recubrir la mantequilla? >> ¿Cómo calcularías la cantidad de espacio que ocupa un queso de forma cilíndrica?

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Guía

Cuando diga boca, di ¡yo!

La realización de dulces de guayaba es una tradición que se ha mantenido en muchos lugares. Por ejemplo, el pueblo de Vélez (Santander) es reconocido por su amplia variedad de productos elaborados con esta fruta tan rica en sabor como en vitaminas.

En este módulo te invitamos a participar de un recorrido por las diferentes presentaciones que nuestros artesanos del bocadillo elaboran para deleite de muchos.

Doña Berta es reconocida en la región por preparar el más suave y delicioso bocadillo. En su elaboración utiliza frutas que sus hijos le ayudan a recoger y almacenar en cajas especiales destinadas para esta labor.

Observa los dibujos y responde.

BOCA

DILLO

BOCA

DILLO

Trabaja primero de manera individual. Responde. a. ¿Qué tienen en común las cajas y los bocadillos que se muestran en las imágenes anteriores? b. ¿Qué dimensiones podrías medir en cada uno de los elementos de las imágenes? c. De los elementos que observas, ¿cuál ocupa más espacio? ¿Y menos? d. ¿Qué otro objeto o producto conoces que comparta características similares a los de las imágenes?

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e. Observa los siguientes dibujos y determina si se parecen o no a los bocadillos y las cajas. En cada caso explica la razón de tu respuesta.

c

h

a

b

f. Reúnete con cuatro compañeros y comparen sus respuestas. Formulen dos conclusiones a partir del trabajo.

Como te habrás dado cuenta tanto los bocadillos como las cajas tienen formas similares, en cuanto tienen caras planas y en ellas se pueden medir al menos: la longitud, el ancho y el alto. Es decir, son representantes del plano tri-dimensional. >> Verifica si las figuras presentadas en el literal e. de esta página cumplen con las características expuestas anteriormente. Escribe tu respuesta en el cuaderno.

Los sólidos geométricos limitados por caras planas reciben el nombre de poliedros.

Si además, un poliedro tiene dos bases iguales y paralelas y las caras laterales tienen forma de paralelogramos, se denomina prisma.

Entonces, los bocadillos son representantes del grupo de prismas.

A todo prisma se le puede calcular el volumen y el área total.

BOCA

DILLO

11cm 32cm

12cm

Si una de las lonjas de bocadillo que elabora doña Berta tiene las dimensiones expuestas en el dibujo. ¿Cuál es el espacio que ocupa? ¿Cuál es el área mínima de papel que se necesitaría para cubrir la lonja completamente?

99

Sigue los pasos y descubre la manera de realizar los cálculos indicados.

Para resolver las preguntas, puede ser de gran ayuda observar el desarrollo en el plano que pueden tener los prismas de base rectangular.

Copia y observa. Escribe las medidas en los espacios señalados.

11 cm 12 cm

32 cm

La primera pregunta se resuelve calculando el volumen de un prisma. >> Sigue los pasos en tu cuaderno. a. Calcula el área de la base (ancho × largo). b. Multiplica el área de la base por la altura ((ancho × largo) × alto) Para hallar el volumen de un prisma tienes que hallar el área de la base y multiplicarla por su altura. Se expresa en unidades cúbicas como el centímetro cúbico (cm3) y el metro cúbico (m3). >> Elije cuál es la unidad de medida que se debe emplear para expresar el volumen de la lonja de bocadillo.

Ahora, para deducir la superficie del prisma se debe determinar el área de cada una de las caras del desarrollo sobre el plano y efectuar la sumatoria.

Por ejemplo, calculemos el área mínima de papel que se necesita para cubrir la lonja de bocadillo.

Observando el desarrollo del prisma podemos concluir que tiene dos bases en forma de rectángulo de 11 cm x 12 cm ,y cuatro caras laterales rectangulares distribuidas así: dos miden 12 cm de ancho y 32 cm de largo y dos miden 11 cm de ancho y 32 cm de largo.

El siguiente paso es calcular el área parcial de cada polígono.

100

Recordemos cómo se calcula el área de un cuadrilátero. >> Cuenta el número de cuadrados que hay en cada fila. >> Cuenta los de cada columna. >> Piensa cuántos se necesitarían para cubrir totalmente el rectángulo. >> ¿Qué operación matemática aplicarías para calcular el total de cuadros?

El área de un rectángulo se calcula multiplicando la medida de la base por la altura.

Ahora, podemos calcular el área de cada una de los polígonos del modelo plano del prisma. Copia y completa el esquema en tu cuaderno.

b: 12 cm h: 11 cm

b: 11 cm h: ____

b: ___ cm h: 32 cm

A= 12 x ___ = ___ cm2

A= 12 x ___ = ___ cm2

A= 12 x 11 = ____cm2

2 (___cm2) = ___ cm2

2 (___ cm2) = ___ cm2

2 (___ cm2) = ___ cm2

Realiza la adición de los valores parciales: ___ + ___ + ___

1. Dos prismas que tienen igual volumen, también deben tener la misma área lateral? Piensa y justifica tu respuesta con un ejemplo.

2. Calcula el área total y el volumen del prisma triangular de 6 cm de altura y cuya base se representa en el dibujo de la derecha. Elabora en tu cuaderno, el dibujo del prisma correspondiente.

4.5 cm 5 cm

101

Guía

¿Sandías piramidales?

102

El japonés de 55 años Toshimichi Boui logró cultivar sandías de forma piramidal. Para ello, utilizó una caja de acrílico con esta forma particular en la que introdujo una pequeña fruta de este género para que adquiriera la forma del recipiente a medida que crecía.

Sin embargo el sabor de la fruta no es tan agradable como su presentación, ya que el proceso de crecimiento que tienen no les permite madurar de forma regular.

Este sistema de presentación piramidal, también está presente en contextos más cercanos a nosotros, como es la elaboración de dulces, postres y helados.

Responde a partir de los dibujos. >> ¿Qué tienen en común los dos postres? >> ¿Qué forma tiene la base de cada postre? >> ¿Recuerdas cómo se calcula el área de los polígonos como los que están en las bases de los postres? ¿Cómo? >> ¿Cuántas caras laterales tienen los postres? >> ¿Qué forma tienen las caras laterales? ¿Son iguales? >> ¿Cómo medirías la altura de la pirámide?

Dibuja en tu cuaderno la figura correspondiente a la siguiente descripción: >> Es una pirámide. >> Su base es un pentágono. >> Sus caras laterales son triángulos iguales. >> ¿Cómo le llamarías a un sólido que cumple las condiciones anteriores?

La pirámide es un poliedro conformado por un polígono llamado base y sus caras laterales son triángulos. Una pirámide tiene tantas caras laterales como lados tiene el polígono de la base.

La altura de la pirámide es la distancia que existe desde su base hasta el vértice.

Las pirámides se pueden clasificar en rectas si todas sus caras laterales son triángulos isósceles y oblicuas si alguna de sus caras es un triangulo escaleno Piramide recta

Piramide oblicua vertice

Cara lateral

h a

altura apotema

Base

El desarrollo de una pirámide está formado por la base y los triángulos de sus caras laterales.

En este caso, como la base es hexagonal se tiene que las caras laterales son: _______.

103

>> Si la medida del apotema del hexágono de la base de la pirámide mide 8 cm y la altura mide 15 cm, ¿qué pasos crees que se deben seguir para calcular el área lateral de la pirámide?

Revisa la guía anterior y recuerda la manera en la que calculaste el área lateral de los prismas. Realiza una comparación entre los procesos y escribe en tu cuaderno tu conclusión.

Para hallar la superficie de la pirámide se deben sumar las áreas de las caras laterales y el área de la base.

El volumen de la pirámide corresponde al producto del área de la base por la altura (h) dividido entre 3.

2 Vpirámide = a . h 3

>> Calcula en tu cuaderno el volumen de la pirámide hexagonal que se presentó al final de la página anterior.

1. La persona que preparó el postre con forma de pirámide, elaboró un esquema para representar las dimensiones del postre. Observa, copia y completa el siguiente ejemplo:

10 cm 10.44

a

B

6 cm

a. Determina la superficie y el volumen de la pirámide.

Como podemos observar la pirámide tiene como base un ______ y sus caras laterales son cuatro ________. La altura de la pirámide es de ____ y su apotema es de _____ este se puede calcular empleando el teorema de Pitágoras pues el lado del cuadrado es 6 por lo tanto desde el centro de la base hasta el lado del cuadrado es 3cm. Luego a= √32+102=10.44

104

Para determinar la superficie sumamos las áreas de la ____ con el área de las caras, entonces el área de la base es AB= 6cm x 6cm =

el área del triangulo es deter-

minada por At= B x h = 6cm x 10.44cm = 2 2 gulos tenemos entonces ATotal= AB x 4At =

G puesto que son cuatro trián-

a2 . h Para determinar el volumen empleamos la fórmula: Vpirámide = 3 Reemplazando: V= (

cm2 ) x 10cm = 3

cm3

2. Calcula la superficie y el volumen de las siguientes pirámides Responde: a. ¿Cuál es la pirámide que tiene mayor volumen? b. ¿Cuál es la diferencia entre la pirámide de mayor y la de menor volumen?

15 cm

12 cm

10 cm

14 cm

7 cm

12 cm 6 cm

3. Observa el desarrollo de la pirámide y calcula el área total y el volumen.

Apotema: 3 cm Lado: 5 cm Altura: 14 cm

105

Guía

¡Para endulzarte la vida!

Sabías que en Colombia se siguen desarrollando muchas actividades de manera artesanal como por ejemplo, la elaboración de la panela. Se estima que existen cerca de 70 000 parcelas que cultivan la caña panelera y que funcionan 15 000 trapiches artesanales aproximadamente, en los que se produce panela y miel de caña. A esta actividad se vinculan alrededor de 350 000 personas, siendo así, la segunda actividad más generadora de empleo después del café. Colombia ocupa el primer lugar en el consumo de panela, dado que en promedio cada habitante consume, 156,5.kg de panela al año.

Reúnete con dos compañeros y comenten cuál es la respuesta más apropiada para cada pregunta: >> ¿En sus casas consumen panela frecuentemente? >> ¿Han visitado algún trapiche o conocen el funcionamiento que tiene? >> ¿Qué forma tienen generalmente las panelas que compran? >> ¿Cómo creen que elaboran la panela? >> ¿Qué tipo de moldes deben emplear? >> ¿Cómo deben ser los empaques para transportar las panelas de manera individual? ¿Y por docenas? >> Dibujen en su cuaderno una panela y ubiquen en ella, las medidas que creen que tiene de alto, largo y ancho. >> ¿Cómo calcularían el espacio que ocupan doce panelas apiladas? >> ¿Cuánto mide el volumen de un guacal?

106

En el mercado encontramos muchas variedades de presentación de la panela. Las hay en pastillas, con forma de prisma, cilindro o similares a un tronco de cono.

En cada caso, el cálculo del área o del volumen que ocupan se calcula mediante la aplicación de diferentes fórmulas matemáticas que permiten realizar una aproximación muy cercana a los valores reales.

Concentrémonos a analizar la forma de calcular el área y el volumen de una panela de forma cilíndrica.

Recuerda que un cilindro es un sólido delimitado por dos círculos paralelos, llamados bases, y por una cara curva.

Base Altura Base

Radio

Para calcular el volumen del cilindro podemos compararlo con el volumen de los prismas rectos.

Observa los dibujos y describe lo que observas en cada caso.

>> ¿Es verdad que entre mayor sea el número de las caras laterales que tiene un prisma, mayor es la aproximación que se tiene al cálculo del área del cilindro que lo contiene? >> ¿A qué crees que se debe el establecimiento de esta relación? >> ¿Recuerdas cómo se calcula el área y el volumen de los prismas?

107

A partir de las fórmulas para el cálculo de áreas de prismas rectos, se puede establecer de manera similar las medidas en el cilindro.

Para ello es necesario deducir las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo.

Perímetro del círculo Para establecer la medida de la longitud de la circunferencia, se puede conocer la medida de la longitud de una semicircunferencia y luego multiplicar por 2. Observa y practica. a. Dibuja en tu cuaderno media circunferencia. b. Con un hilo toma la medida de la longitud de la circunferencia. c. Con otro hilo toma la medida del radio. d. Compara los pedazos de hilo que obtuviste en ambos casos, ¿cuántas veces cabe uno en el otro? ¿Sobró alguna fracción del hilo de mayor tamaño? e. Escribe una conclusión de tu experiencia.

El perímetro de la circunferencia equivale a 3

1 7

veces el radio.

Entonces, la longitud del radio es aproximadamente igual a: 2x 3 El valor 3

1 7

1 7

xr

es una aproximación al número 3.1416, que

se conoce como número pi (π).

Por lo tanto la longitud de la circunferencia es igual a: 1 2x 3 xr = 2πr 7

108

De la misma manera se puede calcular el área del círculo.

Observa y analiza.a.

Base= 1/2 C = pi * r

Altura= r

r

a. El círculo puede dividirse en partes iguales, para ayudar a comprender el concepto de área en él. Copia en una hoja el círculo de la derecha. b. Recorta las partes en las que está dividido el círculo y únelas como se muestra en la figura. ¿Qué figura obtienes? ¿A qué polígono se parece? c. De ella se puede deducir que la altura mide lo mismo que el radio de la circunferencia y que la base mide la mitad del perímetro de la circunferencia.

Como el área del paralelogramo es igual a la base por la altura, se tiene que el área del círculo es aproximadamente: A≈

1 2

x P x r y como 1 P = 3 1 x r se puede 2 7

decir que el área del círculo equivale a A ≈ π x r2 .

109

Ahora, teniendo en cuenta las fórmulas para el cálculo del área y el perímetro del círculo podemos establecer la relación entre el cálculo del de la superficie total y el volumen de prismas y cilindros.

Copia y completa el esquema en tu cuaderno.

h

Pbh Pbh +2B Bh

h

Área lateral (AL) Área total (AT) Volumen (V)

Ten en cuenta que: , P-b. : perímetro de la base ℎ: altura B: área de la base r: radio de la base

1. Calcula el área y el perímetro de los siguientes círculos. r: 3 cm

110

r: 4.5

r: 6.15

2. Carlota modelĂł un cilindro en greda y quiere calcular el ĂĄrea total del sĂłlido y el volumen que ocupa. Ten en cuenta el dibujo y ayĂşdale a realizar los cĂĄlculos necesarios.

Considera que đ?&#x153;&#x2039;=3.14 PĂĄgina 19 r=5 h = 12 3. Piensa en la pregunta que se planteĂł en la situaciĂłn de la primera pĂĄgina de esta guĂ­a: ÂżCuĂĄl es el volumen ocupado por una docena de panelas cilĂ­ndricas apiladas?

Piensa en al menos dos formas de calcular este dato. Ten en cuenta las pistas. >> Pista 1. Empieza calculando la altura total que alcanza la torre de las panelas. >> Pista 2. Calcula primero el volumen de una de las panelas. a. Aplica cada procedimiento para las siguientes presentaciones de panela cilĂ­ndrica. Realiza los cĂĄlculos en tu cuaderno.

Radio

8 cm

5 cm

7 cm

8 cm

Altura

4 cm

4 cm

5 cm

3 cm

b. Calcula el ĂĄrea de un cilindro de cartulina que se necesitarĂ­a para guardar las docenas de panela de cada tamaĂąo.

4. Ă lvaro elaborĂł una torre apilando cilindros de diferente tamaĂąo. Cada cilindro de arriba mide 1.5 centĂ­metros menos que el de abajo. Si el cilindro de la base tiene 15 cm de radio y 4 cm de altura: a. Calcula el volumen total de la figura. Explica el procedimiento que seguiste. b. Calcula el ĂĄrea que puede verse del total de los cilindros.

111

Observa las peceras y responde en tu cuaderno.

34cm

50cm

22.4cm

r:15.2cm h:38cm

l :45cm

1. ÂżQuĂŠ forma tienen las peceras?

2. Copia y completa las medidas que faltan en las peceras.

Ten en cuenta las pistas. >> La altura de la pecera 3 equivale a 5/4. de la altura de la pecera 1. >> La altura de la pecera 3 equivale a la misma altura de la pecera 1. >> El ancho de la pecera 2 equivale a 3/4. del radio de la base de la pecera 3. >> Dos de las caras laterales de la pecera 2, son cuadradas. >> La pecera nĂşmero 4 tiene una base de forma cuadrada.

3. Determina las medidas de:

112

34cm 22cm

50cm

>> >> >> >> >> >> >> >> >>

El área de las bases de cada una de las peceras.

El área lateral de las peceras 1, 2, 3 y 4.

La diferencia entre las áreas laterales de las peceras 1 y 2.

La diferencia entre las áreas laterales de las peceras 2 y 4.

La diferencia entre las áreas laterales de las peceras 2 y 3.

El volumen de las peceras 1, 2, 3 y 4.

La diferencia entre el volumen de las peceras 1 y 2.

La diferencia entre el volumen de las peceras 4 y 3 La diferencia entre el volumen de las peceras 2 y 3.

4. Resuelve. >> ¿Qué cantidad de agua, se necesitara para llenar completamente cada una de las peceras? >> ¿Cuál de las peceras tiene mayor capacidad? >> Si hay que dejar libre 15,5 cm de la altura de cada una de las peceras, ¿qué cantidad de agua necesito para llegar a la altura límite de cada una de ellas? >> ¿Cuál es la diferencia entre los volúmenes de cada una de ellas? >> Si se modifica la pecera N°1, como muestra la figura, ¿cambia la medida del área lateral? ¿Y la del volumen?

Verifica tu respuesta.

113

Qué aprendí En parejas resuelvan las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es el área de círculo de 20cm de diámetro? ¿Y el perímetro?

2. ¿Qué cantidad de aire será utilizado para inflar un balón que tiene 35 cm de diámetro?

3. Calcula el volumen de un cilindro que mide 15 cm de altura y 12 cm de radio, haz el dibujo 4. En el patio hay un estanque de base cuadrada de 5m de lado y con altura de 2,25 m. Halla su volumen.

5. Hay una piscina que tiene 5 m de largo, 6 m de ancho y 1.30 m de profundidad, se pinta a razón de $12 000 cada metro cuadrado. >> ¿Cuál es el valor total de la pintura? >> ¿Qué cantidad de agua se necesita para llenarla?

6. Llena la tabla, teniendo en cuenta la información dada.

Descripción altura3cm ancho 5cm profundo 2cm

altura 110 cm radio 10cm

radio 12cm

Altura 18cm B. cuadrada L 10cm

114

Área

Volumen

¿Cómo me ven los demás?

7. Elabora un pequeño escrito acerca de los avances o dificultades que se te presentaron durante el desarrollo de este módulo. Ten en cuenta los aspectos que te presentamos a continuación. a. Dominio de los conceptos expuestos. b. La manera en la que te relacionaste con tus compañeros y tu profesor(a). c. La participación que tuviste en clase tanto a manera general de grupo, como en la realización de trabajos en grupos más pequeños. d. Compromiso con tu proceso de aprendizaje.

Finalmente, intercambia tu trabajo con un compañero y comenten si están de acuerdo o no con lo que escribieron

Me autoevalúo 8. Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Sí

A veces

No

Elaboro dibujos o modelos geométricos para solucionar problemas de la realidad.

Utilizo diferentes procedimientos de cálculo para hallar medidas de superficies y volúmenes.

Reconozco y aplico relaciones y propiedades geométricas para resolver problemas de medición.

Utilizo con responsabilidad los implementos de medida y valoro el beneficio que me trae usarlos.

Realizo mis tareas responsablemente tanto en los trabajos individuales como grupales.

Respeto las opiniones de los demás y me preocupo por exponer las mías.

115

MÓDULO

Introduciéndonos en un mundo aleatorio

¿QUE VAS A APRENDER? Estándares básicos de competencias Pensamiento Aleatorio >> Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.). >> Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

Este módulo te ayudará a afianzar los estándares básicos de competencias, mencionados en la parte superior, mediante los conceptos básicos relacionados con una rama de la matemática muy importante: la probabilidad; tales como espacio muestral, eventos e independencia. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

116

Contenidos Guías

Contenidos

Procesos

17

Experimentos aleatorios.

Espacio muestral.

18

Probabilidad teórica de un evento.

19

Conteo: Permutaciones, Combinaciones.

>> Comprender y argumentar con validez, los procesos que se relacionan con el concepto de evento y espacio muestral. >> Reconocer las diferencias entre un experimento aleatorio y un experimento determinista >> Calcular probabilidades para eventos simples, usando métodos como, diagramas de árbol y conteo. >> Solucionar diferentes situaciones de la vida cotidiana relacionada con la probabilidad de un evento simple.

117

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Módulo 6 Pensamiento aleatorio.

Probabilidad Se logra a través de

Experimentos aleatorios Conformados por

Evento y

Espacio muestral Se pude medir por medio de

Se pude representar por medio de

Conteo: permutaciones y combinaciones

Diagrama de árbol

¿PARA QUÉ TE SIRVE LO QUE VAS A APRENDER? Hay preguntas que generalmente nos hacemos, tales como: ¿lloverá hoy?, ¿pasará rápido el bus?, ¿ganaremos el partido?, si estamos en una cancha o en un parque y vemos a un(a) niño(a) y nos preguntamos ¿jugará conmigo?, todas estas y muchas otras preguntas que con frecuencia nos hacemos, están relacionadas con el maravilloso mundo de la probabilidad; esta hermosa rama de las matemáticas está relacionada con todo nuestro cotidiano vivir, cada vez que respondemos o nos responden con frases como: es muy probable o seguramente, hacemos referencia a esta ciencia, por ejemplo, cuando vamos a subir a un avión y nos preguntamos ¿y qué tal que se caiga y nos accidentemos?, o si va a jugar el equipo de fútbol de Brasil contra el equipo de Perú ¿Cuál crees que seguramente ganará?. Todo este corto preámbulo es para introducirnos en esta rama de la matemática, que se creía pequeña pero que no lo es, gracias a ella podemos tocar y modelar parte de las situaciones que nos relacionan con nosotros mismos y con nuestro universo.

118

¿Cómo se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos básicos relacionados con la probabilidad, como: experimentos aleatorios, espacio muestral, conteo, entre otros.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y qué debes reforzar.

Además encontrarás dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación: en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

Explora tus conocimientos Maíz

Concentrado

2

4

5

1 Diagrama de veen

Mauricio es un campesino que vive en el Oriente Colombiano, él en su finca tiene algunas gallinas que prefieren comer concentrado y otras que prefieren comer maíz, como lo muestra la figura anterior. Con base en la información suministrada por la figura, contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántas gallinas comen maíz?

2. ¿Cuántas gallinas comen concentrado?

3. ¿Cuántas gallinas comen maíz y concentrado?

4. ¿Cuántas gallinas no consumen ninguna de las dos comidas?

5. ¿Cuántas gallinas no comen maíz?

6. ¿Cuántas gallinas no comen concentrado?

7. ¿Cuántas gallinas comen por lo menos una de esas comidas?

8. ¿Cuántas gallinas comen sólo maíz?

119

Guía Mauricio es un campesino que vive en el Oriente Colombiano, él quiere realizar algún experimento en su finca.

Experimentando

>> >> >> >>

¿Sabes qué es un experimento? ¿Podrías explicárselo a Mauricio o alguno de tus compañeros? ¿Para qué puede servir un experimento?

Escribe en tu cuaderno lo que consideras que es un experimento.

Mauricio ha recogido de sus árboles frutales algunas deliciosas frutas. Imagina que han colocado en una canasta una pera, una manzana, una naranja y una granadilla, como lo muestra la siguiente figura:

120

Supongamos que Mauricio va ha extraer una de estas frutas sin mirarlas (por ejemplo con los ojos cerrados), como en este caso no sabemos la fruta que irá a elegir, a esto se llama experimento aleatorio.

En caso contrario, en aquellos en los que si se puede decidir lo que va a ocurrir, se les llama experimentos deterministicos.

Con seguridad Mauricio tomará la pera, la manzana, la naranja o la granadilla de la canasta, a este conjunto de resultados que se pueden obtener se le llama espacio muestral y será representado por la letra E. Es decir para el caso del experimento aleatorio de Mauricio, E = {pera, manzana, naranja, granadilla}.

Si Mauricio va a tomar una de las cuatro frutas de la canasta con los ojos cerrados, a este acontecimiento se le llama evento simple o suceso elemental.

Ahora si Mauricio sacara una fruta de la canasta y esta fuera un plátano, esto seria un evento imposible. Ya que es imposible que salga una fruta que no se encuentra dentro de la canasta.

Si Mauricio saca una fruta de la canasta, es seguro que será la pera o la manzana o la naranja o la granadilla, a este evento se le llama evento seguro o cierto Otra forma de hallar el espacio muestral de un evento aleatorio es por medio de un diagrama de árbol, para el experimento aleatorio de Mauricio, el diagrama de árbol puede ser así: MANZANA

Un experimento es aleatorio si hay más de un resultado posible y no se puede decidir con anterioridad lo que va a suceder. En este caso se dice que el resultado depende del azar.

El conjunto de todos resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral.

Un evento simple o elemental es el conformado por un solo resultado.

PERA CANASTA NARANJA

GRANADILLA

121

El diagrama de árbol, es una herramienta gráfica para facilitar el cálculo del espacio muestral asociado a un experimento.

En la figura anterior, se puede apreciar un diagrama de árbol en el que es más fácil hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio, puede ser simple o compuesto.

Un diagrama de árbol puede estar constituido de una o varias ramas, cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. En el esquema que se presentó anteriormente se observa que la rama principal está constituida del evento relacionado la canasta y sus diferentes posibilidades como son: {manzana, pera, naranja, granadilla}.

Mauricio tiene una ruleta dividida en seis partes iguales, como la que se muestra en la figura, con la que juega y decide a qué animales alimentar primero.

>> ¿Es este un experimento aleatorio?, ¿Por qué?

>> ¿Cuál es su espacio muestral?

>> ¿Cuál puede ser un evento elemental? >> ¿Cuál puede ser un evento imposible? >> ¿Cuál puede ser un evento seguro?

122

Trabaja con uno o dos compañeras o compañeros y respondan las siguientes preguntas o realicen las actividades en el cuaderno.

Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles son deterministas >> Extraer una carta de una baraja española.

>> Presionar a la tecla 7 de la calculadora o del control remoto. >> Colocar agua durante 2 horas a -20 ºC >> Elegir un número del 1 al 100 >> Tirar una moneda al aire >> Lanzar un dado

>> Medir la cantidad de milímetros de lluvia caídos >> Elegir un número al azar

Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios >> Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire y mirar qué sale. >> Si el experimento consiste en arrojar un dado de seis caras y observar el número que sale. >> Si el experimento consiste en tomar un libro al azar de su biblioteca y mirar con qué letra empieza el título. >> Si el experimento consiste en sacar una carta de la baraja española conformada por 40 cartas.

123

Guía

¡Probablemente aprenderemos algo nuevo hoy!

Mauricio, el campesino que vive en el Oriente Colombiano, tiene en su finca diferentes frutas, verduras y tubérculos. Supongamos que en un saco o costal tiene una remolacha y 6 papas de las cuales 2 están dañadas. Si Mauricio saca al azar uno de estos tubérculos:

>> ¿Cuál crees que probablemente salga? >> ¿Crees que es más probable que salga la remolacha o una papa dañada? >> ¿Cuál crees que difícilmente saldrá?

Mauricio ha seguido con su experimento aleatorio, imagina que ha colocado en una canasta sus frutas preferidas: una pera, una manzana, una naranja y una granadilla, como en su primer experimento aleatorio y como lo indica la siguiente figura:

124

Supongamos que Mauricio va ha extraer una de estas frutas al azar, ¿Cuál crees que es mas probable que Mauricio saque de la canasta? ¡Consúltalo con un compañero o compañera!

Podemos ayudarnos de un diagrama de árbol para responder esta pregunta, con ayuda de la figura siguiente podemos dar solución a esta pregunta MANZANA

PROBABILIDAD 1/4

PERA

1/4

NARANJA

1/4

GRANADILLA

1/4

CANASTA

Medir la ocurrencia de un evento es hallar su probabilidad, como podemos observar en la figura anterior, todos tienen la misma probabilidad de ser escogidos y esta es de 1 de 4 o ¼, ya que la probabilidad se calcula así: probabilidad de un evento =

(número de casos favorables del evento) (número total de casos posibles)

La ocurrencia del evento de que Mauricio saque de la canasta una pera es igual a la de sacar la manzana, la naranja o la granadilla, estos eventos tienen la misma probabilidad (también conocidos como equiprobables) y es de 1 de 4 o de ¼ o del 25%.

Es decir: P(pera)=P(manzana)=P(naranja)=P(granadilla) =

(Casos favorables) 1 = 0.25=25% (casos posibles) 4

Se dice que dos o más sucesos posibles de un experimeno son equiprobables cuando la probabilidad de ocurrencia de los sucesos es la misma. Matemáticamente: Probabilidad del evento (A) = Probabilidad del evento (B) En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso específico ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que

125

podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% ó 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero. Por ejemplo, si la probabilidad es de 1/4, diríamos que hay y 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra. Equivale a decir que la probabilidad contra su ocurrencia es del 75% al 25% o de 3 a 1.

Ahora Mauricio ha cambiado en el experimento aleatorio, la pera por otra manzana, es decir que en la canasta hay ahora dos manzanas, una naranja y una granadilla como lo muestra la figura:

¿Cuál es ahora la probabilidad de sacar una naranja y la probabilidad de sacar una Manzana?, ¿el experimento es equiprobable?

Para dar solución a este nuevo problema, nos ayudaremos nuevamente de un diagrama de árbol, como el indicado en la siguiente figura:

CANASTA

126

MANZANA

PROBABILIDAD 2/4 = 1/2

NARANJA

1/4

GRANADILLA

1/4

Como podemos observar en el diagrama las probabilidades de la naranja y de la granadilla siguen siendo las mismas: P(naranja) = P(granadilla) =

(Casos favorables) 1 = 0.25 = 25% (casos posibles) 4

Pero la probabilidad de la manzana ha aumentado debido a que ahora hay dos en la canasta: P(manzana) =

(Casos favorables) 2 1 = = = 0.5 = 50% (casos posibles) 4 2

La probabilidad de sacar una naranja sigue siendo la misma de un 25% y la probabilidad de sacar una Manzana ha aumentado a un 50%. Este nuevo experimento ya no es equiprobable.

Si Mauricio en el anterior experimento desea calcular la probabilidad de sacar una fruta con concha o cáscara, la probabilidad de este evento, se calculara de la misma forma, como lo indica la siguiente figura:

CON CÁSCARA

PROBABILIDAD 2/4 = 1/2

SIN CÁSCARA

2/4 = 1/2

La probabilidad es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo.

CANASTA

Como podemos observar en el diagrama, la probabilidad de que Mauricio tome una fruta con concha o cascara es de ½ equivalente al 50% de las posibilidades. Lo que es igual a: P(fruta con concha) =

(Casos favorables) 2 1 = = = 0.5 = 50% (casos posibles) 4 2

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

127

Imaginemos ahora que Mauricio vuelve a jugar con su ruleta como lo muestra la figura:

La ruleta tiene las 6 divisiones con las que alimenta a los animales. Si Mauricio girara la ruleta.

1. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento.

2. ¿Cuál será la probabilidad de alimentar los patos?

3. ¿Cuál será la probabilidad de alimentar los peces?

4. ¿Este experimento es equiprobable?, ¿Por qué?

Mauricio tiene en un corral 13 pollos, si desea escoger solo 1 de estos animales al azar para alimentar.

1. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento aleatorio.

2. ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar uno de estos pollos?

128

1. Considera el experimento de lanzar una moneda y calcula la probabilidad de obtener cara después de lanzarla al aire. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento.

2. Considera el experimento de lanzar un dado de seis caras y calcula la probabilidad de obtener el numero 4. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento.

3. En una caja hay 4 baterías, de las cuales una es defectuosa. Con el objeto de efectuar un control de calidad, se saca una batería, al azar, y se prueba. a. Representa el diagrama de árbol correspondiente a este experimento aleatorio. b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la defectuosa? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una en buen estado?

4. En una caja de caramelos hay 10 de menta, 6 de fresa y 5 de anís.

Se escoge un caramelo al azar. Halla la probabilidad de que el caramelo: a. Sea de menta b. Sea de anís c. Sea de fresa

129

Guía

¿Para qué contamos?

>> ¿Para qué sirve contar? >> ¿Sabes algo acerca del conteo? >> ¿Tiene alguna relación el conteo con la probabilidad?

Principios básicos de conteo Regla de la suma Mauricio puede comprar el abono para sus plantas y arboles en 4 almacenes de cadena y en 7 veterinarias. ¿Cuántos lugares tiene Mauricio para escoger y comprar el abono para sus plantas y árboles?

Para dar solución a esta pregunta basta con sumar la cantidad de lugares en donde puede comprar el abono, esto es 4 + 7 = 11 lugares diferentes.

Regla de la suma: Si una operación se puede realizar n1 de formas, mientras que otra operación puede realizarse de n2 formas, y no es posible realizar ambas operaciones de manera simultánea, entonces para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera n1 + n2 formas posibles.

Otro ejemplo podría ser: Mauricio tiene en su finca 8 caballos negros y 4 caballos blancos y quiere escoger uno para montar, entonces Mauricio tiene 8+4=12 formas de elegir un caballo.

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Regla del producto o principio fundamental del conteo Mauricio tiene 5 pantalones y 3 sombreros, para realizar las labores de la finca. ¿De cuántas maneras puede vestirse al combinar estas prendas?

Para dar solución a esta pregunta, se observa que esta actividad consiste de dos partes, la primera en seleccionar el pantalón y la segunda en seleccionar el sombrero. Como puede seleccionar el pantalón en una de n=5 formas y por cada pantalón seleccionado puede escoger uno de m=3 sombreros, Mauricio puede resultar vestido de n x m = 4(3) = 12 formas diferentes.

Como lo indica el siguiente diagrama de árbol: PANTALÓN

PANTALÓN 1

PANTALÓN 2

PANTALÓN 3

PANTALÓN 4

PANTALÓN 5

SOMBRERO

VESTIMENTA A UTILIZAR

SOMBRERO 1

PANTALÓN 1 SOMBRERO 1

SOMBRERO 2

PANTALÓN 1 SOMBRERO 2

SOMBRERO 3

PANTALÓN 1 SOMBRERO 3

SOMBRERO 1

PANTALÓN 2 SOMBRERO 1

SOMBRERO 2

PANTALÓN 2 SOMBRERO 2

SOMBRERO 3

PANTALÓN 2 SOMBRERO 3

SOMBRERO 1

PANTALÓN 3 SOMBRERO 1

SOMBRERO 2

PANTALÓN 3 SOMBRERO 2

SOMBRERO 3

PANTALÓN 3 SOMBRERO 3

SOMBRERO 1

PANTALÓN 4 SOMBRERO 1

SOMBRERO 2

PANTALÓN 4 SOMBRERO 2

SOMBRERO 3

PANTALÓN 4 SOMBRERO 3

SOMBRERO 1

PANTALÓN 5 SOMBRERO 1

SOMBRERO 2

PANTALÓN 5 SOMBRERO 2

SOMBRERO 3

PANTALÓN 5 SOMBRERO 3

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Mauricio ha llevado sus vacas a una feria ganadera. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 9 vacas, suponiendo que cada vaca no puede obtener más de un premio?

Regla del producto: Si una operación se puede llevar a cabo en formas y si para cada una de estas se puede una segunda operación en formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de formas Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 9 vacas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 8 vacas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 7 vacas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios. n1 × n2× n3 = 9 × 8 × 7 = 504 El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n. n! = n (n -1 ) (n -2 )...3 x 2 x 1 Entonces el factorial de 5 será: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Por definición 0! = 1

Permutaciones de n elementos De las vacas que Mauricio ha llevado a la una feria ganadera. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 3 vacas, suponiendo que cada vaca no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 3 vacas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 2 vacas para recibir el segundo, y posteriormente quedará 1 vaca para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios es: n1 × n2 × n3 = 3 × 2 × 1 = 6 Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de n objetos distintos tomados de n en n, es: P(n,n)= nPn = n!

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Lo cual es equivalente a decir 3 permutado 3 que se representa como P(3,3) = 3P3 = 3! = 6 Por ejemplo: las permutaciones de tres letras a, b, c, son: abc, acb, bac, bca, cab, cba Equivalentes a P(3,3) = 3P3 = 3! = 6.

Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos del conjunto. En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante

Permutación de n elementos en diferentes grupos de r elementos (sin repetición).

En la estadía de Mauricio en la feria ganadera, cuenta con 4 vacas y 5 establos individuales ¿Cuántas permutaciones puede realizar Mauricio?

Para la solución de esta pregunta realizaremos el siguiente procedimiento: n = elementos de evento = 5 r = subconjunto de los elementos = 4 P (n,r) = nPr = Prn = 5

P (5,4) = 5P4 = P4 =

n! (n - r)!

5!

5! = = 120 (5-4)!

1!

Mauricio puede realizar 120 permutaciones.

Permutaciones sin repetición: Una permutación de “n” objetos diferentes tomados de “r” en “r” es también una ordenación de “r” entre los “n” objetos. El número de variaciones sin repetición de n objetos distintos tomados de tamaño r es: n!

P (n,r) = nPr = Prn = (n - r)!

Permutación de n elementos con repetición Mauricio tiene 10 cabras, de estas 4 son negras, 3 grises y 3 blancas ¿Si las quiere ordeñar, de cuántas maneras las puede acomodar?

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Para la solución de esta pregunta realizaremos el siguiente procedimiento: n = elementos del conjunto = 10 n1 = elementos idénticos = 4 n2 = elementos idénticos = 3 n3 = elementos idénticos = 3 Utilizando la siguiente fórmula: n

nPn1,n2…nk = Pn1,n2…nk =

n! n1!n2!…nk!

Obtenemos: 10 10P4,3,3 = P4,3,3 =

10! = 4200 4!3!3!

Se pueden acomodar de 4200 maneras.

Permutaciones con repetición: Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre sí, es decir, algunos de los elementos son idénticos, la fórmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto. El número de permutaciones que se pueden formar en el caso de n elementos, cuando hay n1 elementos idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etcétera, es: n

nPn1, n2… nk = Pn1,n2…nk=

n! n1!n2!…nk!

Combinatorias Mauricio tiene en su finca cuatro perros, que le ayudan a vigilar la finca, los perros son de las siguientes razas: akita, bóxer, chow chow y doberman, si Mauricio quiere sacar a pasear a todos los perros pero en grupos de a tres. ¿Cuántas combinaciones puede realizar?

Para responder esta pregunta, cada perro será identificado con la primera letra de su raza: a, b, c, d, tomados en grupos de a tres.

Cada combinación que contenga tres objetos, produce 3! = 6 permutaciones de los objetos en la combinación, como se muestra a continuación

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Combinaciones

Permutaciones

abc

abc, acb, bac, bca, cab, cba

abd

abd, adb, bad, bda, dab, dba

acd

acd, adc, cad, cda, dac, dca

bcd

bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

Por tanto el número de combinaciones multiplicado por 3! es igual al número de permutaciones. Por medio de la siguiente formula, podemos verificar lo expuesto en la anterior tabla: n

C (n,r) = Cr =

P (n,r) n! = r! r ! (n - r) !

n = elementos de evento = 4 r = subconjunto de los elementos = 3 4

C(4,3) = C3 =

P (4,3) 4!

4×3×2×1 24 = = = 4!

3! (4-3)!

3×2×1 6

Fórmula para la combinatoria C(n, r): Puesto que cualquier combinación de n objetos, tomados r a la vez, determina r! permutaciones de los objetos en la combinación, se puede concluir que P(n,r) = r! C(n,r) Por tanto, se obtiene la fórmula siguiente para C(n,r) n

C(n,r) = Cr =

P(n,r) n! = r! r! (n-r)!

1. Mauricio puede utilizar 5 baldes, 8 canastos y 3 talegos para recoger las frutas de sus árboles. ¿Cuántos elementos para recolectar frutas tiene Mauricio para escoger?

2. Mauricio tiene 7 baldes y 5 pares de guantes, para realizar las labores de ordeño en la finca. ¿De cuántas maneras puede utilizar estos dos elementos para realizar esta labor?

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3. Mauricio ha llevado sus caballos de paso a una exposición. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 4 premios a un conjunto de 7 caballos, suponiendo que cada caballo no puede obtener más de un premio?

4. Se quiere conocer el conjunto de todas las posiciones posibles de tres caballos colocadas en hilera para tomar una fotografía.

5. Se cuenta con 17 sillas para montar a caballo y 13 caballos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar las sillas?

6. Si se tienen 5 caballos ensillados y dos jinetes. ¿Cuántas combinaciones se pueden realizar?

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1. Cuántas palabras de cinco letras se pueden formar con la palabra reloj, aplique permutaciones.

2. Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra reloj.

3. Del Grupo 8° conformado por 39 alumnos, se quiere escoger un presidente, un secretario, y tesorero. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar?

4. El 31 de Octubre se quiere hacer una repartición de dulces que consiste en cuatro frunas iguales, tres chocolatinas iguales, dos colombinas. ¿De cuántas maneras se pueden repartir estos dulces?

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Que aprendí 1. En el lanzamiento de un dado octaedro es decir de 8 caras a. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento aleatorio. b. ¿Cuál es su espacio muestral? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el numero tres? d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero par?

2. En una reunión hay 21 personas, de las cuales 12 son hombres; una cuarta parte de los cuales son italianos.

Elegida una persona al azar, calcula la probabilidad de que sea: a. De nacionalidad italiana. b. Un hombre.

3. Si de un estante tomamos 3 de 5 libros ¿Cuántas permutaciones pueden realizarse?

4. ¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras COCO? 5. Se tienen seis obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres?

¿Cómo me ven los demás?

1. En una urna hay 10 pimpones enumerados del 1 al 10, supongamos que se va ha extraer un pimpón al azar. a. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento aleatorio? b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero par? c. ¿Cuál puede ser un evento imposible para este experimento?

2. Samuel tiene en su bolsillo seis monedas, tres de $500, dos de $200 y una de $100. Supongamos que saca una al

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azar. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a. La moneda sea de $500 b. La moneda sea de $100 c. La moneda sea de $200 3. Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un auxiliar. ¿De cuántas maneras se puede constituir el comité?

4. Seis personas entran a una sala en la que hay 9 camas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar las camas?

5. Si de un estante tomamos 4 de 7 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?

6. Jorge compró 9 libros nuevos. Quiere llevar consigo cuatro de los libros en su viaje de vacaciones. ¿Cuántas combinaciones de cuatro libros puede formar?

Me autoevalúo

Sí

No

A veces

Identifico el espacio muestral de un experimento aleatorio simple.

Reconozco el concepto de evento simple.

Resuelvo situaciones que requieran calcular la probabilidad de un evento simple.

Represento mediante diagramas de árbol, diversos experimentos aleatorios con su correspondiente espacio muestral y la probabilidad de algún evento.

Resuelvo situaciones que requieran el cálculo de alguna permutación o combinación para llevar a cabo un conteo.

Trabajo activamente en grupo y respeto la opinión de mis compañeros o compañeras.

Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de seguimiento con tu profesor.

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