Matemática 1 Módulo 1
Capítulo 1-Aritmética Básica
Múltiplo de um número Sendo a, b e c são números inteiros e a . b = k, diz-se que k é múltiplo de a e b. Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observações: • O zero é múltiplo de todos os números. • Todo número é múltiplo de si mesmo. • Os números da forma 2k, k ∈ , são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. • Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares. Divisor de um número Sendo a, b e c são números inteiros e a . b = k, diz-se que a e b são divisores de k. Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações: • O menor divisor de um número é 1. • O maior divisor de um número é ele próprio.
Um número inteiro n (n>1) possuindo somente dois divisores positivos n e 1é chamado de primo. Exemplos: (2,3,5,7,11,13,19,...) Observação: • Um número quando não é primo,é chamado de composto. Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se da seguinte forma: I) Decompõe-se em fatores primos o número dado; II) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. III) Multiplica-se os resultados assim obtidos. Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 15 = 3.5 (1 + 1).(1+1) = 2.2 = 4 Logo 15 possui 4 divisores
Números Primos Critérios de divisibilidade Divisibilidade Por 2 Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128.
Divisibilidade Por 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126. Divisibilidade Por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200. Divisibilidade Por 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210.
Divisibilidade Por 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460. Divisibilidade Por 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Exemplos: 15320, 67000. Divisibilidade Por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289.
Divisibilidade Por 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160. Mínimo Múltiplo Comum
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão. Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 Processo 2: 6 –8 2 3–4 2 3–2 2 3–1 3 1–1 2.2.2.3 = 24 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é = 24 Observação: • Se os números da fatoração forem primos o MMC do número dado será o produtos destes números primos. Máximo Divisor Comum Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns. Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é o produto de 2.3 =6. Observações: Em uma questão, como diferenciar MMC e MDC? • Quando a questão remeter a algo que irá acontecer novamente, faça o MMC.
• Quando a questão quiser dividir em partes iguais de maior tamanho possível, faça o MDC.
1. (Uece 2015) O número de divisores positivos do produto das raízes da equação 2x2 114x 56 0 é a) 12. b) 10. c) 8. d) 6.
Exercícios de Base 1) Sejam x e y o M.D.C e o M.M.C de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 b) 120 c) 100 d) 340 2) número de divisores naturais de 72 é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
3) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes? 4) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: a) 12 m b) 18 m c) 24 md) 30 m e) 36 m
5) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas
2. (Uece 2008) A quantidade de números, inteiros positivos, que são simultaneamente divisores de 48 e 64 é a) uma potência de 4. b) um número primo. c) igual a seis. d) igual a oito.
3. (Uece 2008) Foram utilizados 279 algarismos para numerar todas as páginas de uma apostila, desde a página de número 1. O número de páginas da apostila é a) 120 b) 129 c) 130 d) 139
4. (UECE – 2000.1) Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após as 10 horas? a) 10 h e 31 min b) 11 h e 02 min
5. (UECE – 2000.2) Fiz compras em 5 lojas, gastando em cada uma delas a metade do que eu tinha no bolso. Na saída paguei R$ 2,00 de estacionamento e ainda me restaram R$ 20,00. Ao entrar na primeira loja eu tinha: a) R$ 704,00 b) R$ 640,00
c) R$ 1.408,00 d) R$ 1.280,00
6. (UECE – 2009.1) A soma dos números inteiros n, 3 < n < 12, para os quais a fração pode ser representada por um número decimal exato, é
Exercícios de prontidão
c) 13 h e 30 min d) 17 h
a) 27. b) 29. c) 33. d) 41
7. (UECE – 2010.2) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2310 é a) 5,6. b) 6,0. c) 6,3. d) 6,7. 8) (UECE 2010.2 adaptada)Um número natural é primo quando exatamente tem apenas dois divisores 1 e o próprio número. Se a, b, c ,d são os números primos menores que 10,então a soma de : é
um
número
racional
localizado entre: a) 1,0 e 1,1 b) 1,1 e 1,2 c)1,2 e 1,3 d) 1,3 e 1,4
9) Um número natural é primo quando possui exatamente dois divisores positivos. Dois números naturais ímpares são consecutivos quando a diferença entre o maior e o menor é igual a dois. Se x, y e z são os três números primos positivos ímpares consecutivos então a soma + + é igual a a) 105 73 . b) 105 71 . c) 35 23 . d) 105
3 3 10) A expressão numérica 5 54 3 16 é igual a:
3 a) 1458
3 b) 729
3 c) 2 70
3 d) 2 38
A traçoeira armadilha do sucesso é um alçapão em que costumamos cair quando , embriagados por eventuais êxitos, passamos a nos achar melhores que os outros, quando não invencíveis, e nos
afastamos da essência do sucesso: a preparação.” – Bernardinho
Capítulo 2 - Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números Naturais (ℕ) Esse conjunto contém números positivos incluindo o zero, ele é representado da seguinte forma:
Conjunto dos números irracionais (IR) É o conjunto que contém os números naturais, inteiros, racionais e agora os números infinitos, por exemplo, 3,14159265... , note que esse número não tem fim, por isso ele é classificado como irracional.
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ... } Observação:
ℝ = { ..., -4 , -
As reticências (...) indica que ele é infinito a direita.
- Conjunto dos números Reais (R)
-Conjunto dos números Inteiros (℞) Nesse conjunto temos uma novidade, o acréscimo dos números negativos. Sendo representado da seguinte forma: ℞= { ..., -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,..}
Observação: As reticências (...) indicam que o conjunto é infinito tanto a esquerda quanto a direita.
-2,-1 ,0 ,1 ,2 ,3, , ...}
É o conjunto que engloba todos os outros conjuntos, ou seja, todos os números citados anteriormente pertencem aos reais.
Podemos ter a seguinte representação gráfica:
IR
Q Z
N
Conjunto dos números racionais (ℚ) É o conjunto que tanto contém os números naturais quanto os inteiros, sendo que a “novidade” agora são os números com frações não infinitos,por exemplo: (½, ¾ ,...). E os números com vírgula (números decimais) também não infinitos, por exemplo: (1,5 ; 1,9 ;2,5 ; e etc.)
ℚ = { ... , -4 ,-3 ,-2 , -1 , -½ , 0 , ½ , 1 , 2 , 5/2 ,3 ,4 ,...}
Geratrizes de uma dízima periódica Toda fração que dá origem a uma dízima periódica chama-se Geratriz. Para determinarmos a Geratriz de uma dízima periódica, procede-se assim: I) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por
tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: 1) 0,777... = 2) 0,333... = II) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período,seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica. Exemplos: 1) 0,3777... =
=
=
2) 0,32515151... =
=
=
Propriedades dos Reais
• Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) • Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a • Simétrico: a + (– a) = 0 • Inverso: a . = 1 a ≠ 0
Exercícios de Base 1) Dado que r é um número racional e Y um número irracional, é verdade que: a) x·Y é racional b) Y2 é racional c) x·Y pode ser racional d) x·Y é irracional e) x + Y é racional
2) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo. 3) Em relação aos principais conjuntos numéricos, é CORRETO afirmar que:
a) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional. b) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro. c) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real. d) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional. e) Todo número irracional é real.
Exercícios de prontidão 1) Considere as seguintes equações: I. x2 + 4 = 0 II. x2 – 4 = 0
III. 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais b) III é um número irracional c) I e II são números reais d) I e III são números não reais e) II e III são números racionais 2) Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a)5b)6c)7d)10
3) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: a) x = 0 e y = 5 b) x + y = 7 c) x = 0 e y = 1 d) x + 2 y = 7
“Pedras no caminho? Guardo todas, um dia vou construir um castelo…” Fernando Pessoa
Capítulo 3- Conjuntos Teoria dos Conjuntos De uso corrente em Matemática, a noção básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita intuitivamente e, por isso, é chamada noção primitiva. Ela foi utilizada primeiramente por Georg Cantor (18451918), matemático nascido em São Petersburgo, mas que passou a maior parte de sua vida na Alemanha. Segundo Cantor, a noção de conjunto designa uma coleção de objetos bem definidos e discerníveis, chamados elementos do conjunto. Pretendemos aqui introduzir alguns conceitos que também consideramos inicias. Conjunto: designado, em geral, por uma letra maiúscula (A, B, C, ..., X, Y, Z); Elemento: designado, em geral, por uma letra minúscula (a, b, c, ..., x, y, z); Pertinência: a relação entre elemento e conjunto, denotada pelo símbolo , que se lê “pertence a”.
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto.
Relação de pertinência Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:
a pertence a a e escrevemos a
Representação dos Elementos Exemplos:
Caso contrário, dizemos que a não 1.
Seja A o conjunto das cores bandeira brasileira, então:
da
A = {verde, amarelo, azul, branco} 2.
Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {a, e, i, o, u} 3. Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Diagrama de Venn
pertence a A e escrevemos a
A.
Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8} O algarismo 2 pertence ao conjunto A, então: 2 A. O algarismo 7 não pertence ao conjunto A, então: 7
A.
Símbolos Matemáticos
a
< (é menor que) > (é maior que) ≤ (é menor ou igual a) ≥ (é maior ou igual a)
Exemplos: { } ou
(conjunto vazio)
(“para todo” ou “para qualquer que seja)
Subconjuntos Relação de Inclusão Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que
pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte simbologia:
Observ ações: I) Podemos encontrar outra notação para a relação de inclusão:
Se o conjunto A está contido no conjunto B, podemos dizer o seguinte: que A é um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A também pertence ao conjunto A, podemos dizer também que A é subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Importante: A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.
Exemplo 1: II) O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:
Considerando P o conjunto dos números naturais pares e N o conjunto dos números naturais, temos: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
e
C A, pois 5 C e 5 A;
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
B C, pois todo elemento de C pertence a B.
Neste caso P N, pois todos os elementos de P pertencem a N.
Representação por diagrama:
Exemplo 2: Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então A B, pois todo retângulo é um quadrilátero.
Representação por diagrama:
b) Um diagrama de Venn que representa os conjuntos A, B e C é o seguinte:
Determinação do Conjunto de partes Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos: 1) Subconjunto vazio: , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
Exemplo 3: Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e C = {0, 2, 5}, temos:
a) A B, pois todo elemento de A pertence a B;
2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}. 3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}. 4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = { , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.
Se o conjunto A está contido em B (A B) e B está contido em A (B A), podemos afirmar que A = B.
Observação Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A ≠ B.
Número de Elementos do conjunto de partes Podemos determinar o número elementos do conjunto de partes
de de
Se A tem n elementos, P(A) tem 2n elementos. um conjunto A dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P(A).
Igualdade De Conjuntos Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta.
Operações Com Conjuntos
União de Conjuntos:
Dados dois conjuntos A e B, a união (ou reunião) é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B. E é indicado por A B (lê-se: A união B ou A reunião B). Representamos a união de dois conjuntos da seguinte forma:
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, calcular A B .
Veja o exemplo abaixo: {1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1} Por isso, convencionamos não repetir elementos de um conjunto.
Observação:
Sol.: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
Exemplo
Graficamente, temos:
Observe que os elementos comuns não são repetidos.
Calcule M N onde M = {2, 3, 5} e N = {4, 6}. Solução.: M N , não há elementos comuns. Nesse caso, dizemos que os conjuntos são disjuntos.
Intersecção de Conjuntos Diferença de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, a intersecção é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. E é indicado por A B (lê-se: A intersecção B ou, simplesmente, A inter B). Representamos a intersecção de dois conjuntos da seguinte forma:
Dados os conjuntos A e B, podemos determinar um conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Esse conjunto é chamado diferença entre A e B e indicado por A – B, que se lê “A menos B”. Assim, define-se:
Exemplo: Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9}, determinar A B . Solução.:
A B = {3, 5, 8}, apenas os elementos comuns a A e B.
Graficam ente:
A – B = {x | x A e x B}
Graficamente, temos:
Exemplo :
Calcular A – B, sabendo que A = {3, 4, 6, 8, 9} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 10}.
Solução .: A – B = {3, 8, 9}, elementos que estão em A mas não estão em B. Exemplo Sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 5, 6}, calcule A – B. Solução .: A – B = , não existe elemento de A que não pertença a B.
Exercícios de base 1. (Uerj 2015) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos 840 alunos da escola, sabe-se que: - 10% não leem esses jornais; - 520 leem o jornal O Estudante; - 440 leem o jornal Correio do Grêmio. Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais. 2. (G1 - ifsp 2014) Uma empresa decidiu realizar uma pesquisa de mercado para o lançamento de um novo produto. Aos consumidores foi perguntado o que é levado em consideração na hora de comprar um produto: preço (P) e/ou qualidade (Q). Cada consumidor entrevistado poderia escolher mais de um item da pesquisa como mostra a tabela a seguir:
Característica Produto
do Número Votos
P
60
Q
45
PeQ
35
de
Admitindo que todos os que foram entrevistados escolheram pelo menos um dos itens da pesquisa, o número de consumidores entrevistados foi de a) 60. b) 65. c) 70. d) 75. e) 80. 3. (Cefet MG 2013) Em uma enquete realizada com pessoas de idade superior a 30 anos, pesquisou-se as que estavam casadas ou não, se tinham ou não filhos. Constatou-se que 45 pessoas não eram casadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam casadas e com filhos. Sabendo-se que 180 pessoas responderam a essa enquete, o número das que se declararam não casadas e sem filhos foi de a) 13. b) 23. c) 27. d) 32. e) 36. 4. (Fatec 2013) Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de notebooks e tablets foram obtidos, entre os indivíduos pesquisados, os seguintes resultados: - 55 usam notebook; - 45 usam tablet, e - 27 usam apenas notebook. Sabendo que todos os pesquisados utilizam pelo menos um desses dois equipamentos, então, dentre os pesquisados, o número dos que usam apenas tablet é a) 8 b) 17 c) 27 d) 36 e) 45 5. (G1 - ifsp 2012) Em um restaurante de uma empresa fez-se uma pesquisa para saber qual a sobremesa preferida dos funcionários: pudim ou gelatina. Cada funcionário poderia indicar que gosta das duas sobremesas, de apenas uma, ou de nenhuma das duas. Do total de pesquisados, 21 declararam que
gostam de pudim, 29 gostam de gelatina, 10 gostam dessas duas sobremesas e 12 não gostam de nenhuma dessas duas sobremesas. Pode-se então afirmar que o número de pesquisados foi a) 52. b) 62. c) 72. d) 82. e) 92.
gostam de nenhuma das três disciplinas é a) 6. b) 9. c) 12. d) 14. 3. (Uece 1997) Sejam Z o conjunto dos números inteiros, I = {x ∈ Z; 0 ≤ 2(x + 4)/3 ≤8} e J = {x ∈ Z; (x 2)2 ≥ 4}. O número de elementos do conjunto I ⋂ J é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11
Exercícios de prontidão 1. (Uece 2015) Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é
4) Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a) 5 e)10
b) 6
c) 7
d) 9
a) 236. b) 240. c) 244. d) 246.
2. (Uece 2015) No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam de Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5 gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa turma, o número de alunos que não
Não somos o que a sociedade e o acaso fizeram de nós, e sim o que escolhemos ser, desde o mais profundo do nosso ser.” Peter Koestenbaum
Capítulo 4- Função I)Imagem de uma função f(Im(f)) é o conjunto
Introdução a função:
formado
pelos
segundos
elementos dos pares ordenados (x, y) Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quando para todo e qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento em B.
pertencentes a f. Im (f) → B
II) Contradomínio é o conjunto B.
Formalmente: f é função de A em B ⇔ (∀x ∈ A, ∃| y ∈ B|(x, y) ∈ f)
Exemplo: Dados os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1} e B = {2, -1, 0, 1, 2, 3} e a função f: A
Em outras palavras:
B, definida
por f(x) = x + 1, determine:
Dados dois conjuntos não-vazios A e B, são uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento x A a um único elemento y B.
D(f) = ( -2,-1,0,1) Im(f) = (-1 , 0,1,2) Cd(f) = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Usamos a seguinte notação: Valor de uma Função
B f: A B ou A f
Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído. Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim se x = 3, então y = 9. Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9
Lê: f é uma função de A em B.
Domínio, Imagem E Contradomínio I)Domínio de uma função f (D(f)) é o conjunto
formado
pelos
primeiros
elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a função. Pela definição de função, todos os elementos
de
A
têm
um
único
correspondente em B; logo, o domínio de f sempre é o conjunto A .
Exemplo Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Solução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2
Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1). Solução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12
x
y
0
-1 0
Função polinomial de 1° Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x ∈ R, associa o elemento ax + b.
Função de 1º grau crescente e decrescente
Lei de formação f(x) = ax + b com a ≠ 0. a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.
Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente
Tipos de função Função Afim
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1 Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x
Regra geral:
1 e outro ponto é 3
1 ; 0 . 3
1 3
Marcamos os pontos (0, -1) e ; 0 no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
Definição: Uma função é chamada de função Afim se sua sentença for dada por f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais com a 0, onde x é a variável independente e y = f(x) é a variável que dependente de x.
Função Identidade f: tal que: f (x) = x Função constante f: tal que: f (x) = c, sendo c ∈ :
Função Linear
Função Injetiva (Injetora):
f: tal que f (x) = ax (a 0)
Uma função f: S→T é injetiva ou um-paraum se nenhum elemento de T for imagem
Função Par
de dois elementos distintos de S.
Uma função é dita par se, e somente se, f(x) = f(–x) x pertencente ao domínio de f. Observe que uma função par tem o gráfico simétrico com relação ao eixo y (veja o exemplo).
Função Bijetiva (Bijetora): Uma função f: S → T é bijetora se for, ao mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva.
Ex.: Como Encontrar A Função Inversa
Dada a função f(x), para encontrar a função g(x) = f-1(x), troca-se f(x) por y, depois y por x, depois x por y, depois isola-se a variável y e por fim troca-se y por g(x). Pronto, está encontrado a função f-1(x). Função Ímpar
Uma função é dita ímpar se, e somente se, f(x) = – f(–x) x pertencente ao domínio de f. Observe que uma função ímpar tem o gráfico simétrico com relação à origem (veja o exemplo).
Observação: Nem todas as funções admitem inversa (apenas admitem inversa as funções bijetoras) e as que admitem inversa, em muitas delas o cálculo acima é muito difícil, logo, nem todas as questões de função inversa devem ser resolvidas por esse método, lembre-se que o domínio de uma função é a imagem de sua inversa, que a imagem de uma função é o domínio de sua inversa e que o gráfico de f e de f-1 são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares. A saída pode estar aí. Função Composta
Função Sobrejetiva (Sobrejetora):
Uma função f: é uma função sobrejetiva se a imagem de é igual ao contradomínio de f.
Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto C e seja g uma função de C em um conjunto B. Chama-se função composta de g e f à função h de A em B em
que a imagem de cada x é obtida pelo seguinte procedimento:
1o) aplica-se a x, a função f, obtendo-se f(x) 2o) aplica-se a f(x), a função g, obtendo-se g(f(x))
Regra Prática:
Indica-se h(x) = g(f(x)) Pode-se indicar a composta por g o f (lê-se: g composta com f ou g bola f) portanto (g o f)(x) = g(f(x)).
Exercícios de base
1)Seja f:R R a função definida por
0 se x 2 f ( x ) x 2 4 se 2 x 3 5 se x 3 Então o valor de f ( 2 ) f (2) f ( 13 ) é: Estudo do Sinal
a) 2
I) a > 0
2) Dada a função f : , definida por f (x)
b) 3
3x 2 4
c) 4
d) 5
, f 1(7) vale:
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 11
3) O valor de x que é a solução da equação x 2 x 3 11 x satisfaz a desigualdade: 3 2
II) a < 0 a) x < –6 c) 3 < x < 9
b) –3 < x < 2 d) x > 10
4) Seja f uma função real de variável real, definida por f(x) = ax + b. Se f(-1) = -6 e f(1) = -4, calcule b2 – a2. 5) Seja a função f:R R definida por:f(x) = 5 – 7x. Se g é a função inversa de f, então a abscissa do ponto de interseção dos gráficos de f e g é:
a) 1/4 5/8
b) 3/8
c) 1/2 d)
(1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a − 2b é igual a: a) −12 b) −10 c) −9 d) −7 e) n.d.a. 5) Determine a função inversa de f(x) = x 1 x
a)
1 1 x
b) d)
1 x 1 x
1 1 x
c)
1 x 1 x
e)x + 1
Exercícios de prontidão 1 1) O conjunto solução da inequação 2x 1 1 < , tendo como conjunto universo o 1 x
conjunto dos números reais, é:
a) b) c) d) e)
1 x R / x ou x 1 2 1 x R / x 0 ou 0 x 1 2 1 x R / x 0 ou x 1 2 x R / 0 x 1 ou x 1
1 x R / x ou 0 x 1 2
2 )A área do triângulo cujos vértices são os pontos de interseção dos gráficos das funções f,g: R R, dadas por f(x) = 2x + 4 e g(x) = –0,5x + 4, com os eixos coordenados é:
a) 10 ua c) 20 ua
b) 15 ua d) 25 ua
3 )Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é: 4) A função y = ax + b passa pelo ponto
Se ficar olhando muito tempo para o abismo, o abismo olhará para você. Cuidado com o que prende sua atenção! Foque-se nas sua metas !” – Desconhecido
Capítulo 5 Função 2° Denomina-se função do 2o grau ou função quadrática, toda função f: R →R definida por:
II)a > 0 e = 0
f(x) = ax² + bx + c /com a, b, c R e a ≠0. Raízes ou Zeros As raízes de uma função do 2o grau são os valores de x que tornam f(x) = 0. Esses valores são encontrados pela fórmula de Báskara:
III) a > 0 e < 0
f ( x ) 0 f ( x) ax2 bx c ax2 bx c 0
b x1 b 2a x 2a x b 2 2a
IV) a < 0 e > 0
onde b 4ac (delta ou discriminante) 2
Observação: Se > 0 → a equação possui duas raízes reais e distintas. Se = 0 → a equação possui duas raízes reais e iguais. Se < 0 → a equação não possui raízes reais. 1. Gráfico O gráfico de uma função do 2o grau (f(x) = ax² + bx + c) é uma parábola onde as raízes da função são os pontos onde a parábola toca o eixo x e o número real c, representa o ponto onde a parábola toca o eixo y.
V) a < 0 e = 0
Podemos ter os seguintes casos: I) a > 0 e > 0
VI) a < 0 e < 0
Se pedirem o valor máximo ou mínimo da função, então estão pedindo o yv .
Soma das raízes de equação do 2°
Se pedirem o valor que torna a função máxima ou mínima, então estão pedindo o xv .
Considere uma função do 2º grau do tipo f(x) = ax² + bx + c, onde x 1 e x 2 são as raízes. Temos:
Se pedirem o ponto máximo ou mínimo da função, então estão pedindo o vértice V(xv, yv).
x1+x2 =
Estudo do Sinal I): a > 0 e > 0
Produto das Raízes de equação do 2°
y > 0 → x < x1 ou x > x2 y = 0 → x = x1 ou x = x2 y < 0 → x1 < x < x2
x1.x2 =
Coordenadas do Vértice da Parábola II): a > 0 e = 0 As coordenadas do vértice são dadas por: xV
b 2a
yV
y > 0 → x ≠ x1 y = 0 → x = x1 = x2 y < 0 → x R
4a
III): a > 0 e < 0
I) Se a > 0, temos: Parábola com a concavidade voltada para cima; O YV = é denominado de valor mínimo. O conjunto imagem é dado por: Im(f ) { y R / y
II)
Se
a
} 4a
<
0,
temos:
Parábola com a concavidade voltada para baixo; O YV = é denominado de valor máximo. O conjunto imagem é dado por: Im(f ) { y R / y
É que:
} 4a
importante
lembrar-se
y > 0 → x R y = 0 → x R y < 0 → x R IV): a < 0 e > 0 y > 0 → x1 < x < x2 y = 0 → x = x1 ou x = x2 y < 0 → x < x1 ou x > x2 V): a < 0 e = 0 y > 0 → x R y = 0 → x = x1 = x2 y < 0 → x ≠ x1 VI): a < 0 e < 0
y > 0 → x R y = 0 → x R y < 0 → x R
Exercícios de prontidão
Exercícios de base 1)(UECE) Seja a função real definida por f(x) = x2 – 3x. O conjunto de todos os valores reais de x para os quais f(x + 1) 0 está contido no intervalo: a) [-1, 2] [-2, -1]
b) [0, 3]
c) [2, 4]
d)
2) (UECE) Se a função quadrática f(x) = 5x² + 9x + m tem dois zeros reais e distintos, então o maior valor inteiro de m é: a) 3
b) 4
c) 5
d)6
3) Sejam m e n raízes da equação x2 + m+ n = 0. Se m 0 e n 0, então m + igual a: a) –1/2 b) 1/2 c) –1 d)1
4) O lucro de um fabricante com venda de certos objetos é L(x) = 400(15 - x)(x - 2), onde x é o preço de venda por unidade. O preço de venda por unidade para se obter o lucro máximo, em R$, é: a) 4,00 b) 6,80 c) 8,50 d) 9,20 e) 12,00 5) (UECE – 2004.2) Se s e p são, respectivamente, a soma e o produto das x x2 1 0 1 x x raízes da equação ,
então: a) s = p b) sp é negativo c) s p s p
d)
1) (UECE 2009.2)A parábola que é o gráfico da função f : R → R, definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tem seu vértice no ponto (1, -16) e sua interseção com os eixos coordenados contém um ponto cuja ordenada é y = -15. Para esta função, f(-2) é igual a a) -3. b) -5. c) -7. d) -9.
2) (UECE 2010.1) Seja f : R→ R a função definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais não nulos. Se a função f assume um valor máximo quando x = ,
então
podemos
afirmar
corretamente que, A) se o valor máximo de f for um número negativo, então c é um número positivo e a equação f(x) = 0 não tem raízes reais. B) se o valor máximo de f for um número positivo, então c é um número positivo e a equação f(x) = 0 tem duas raízes reais. C) se o valor máximo de f for um número positivo, então c é um número negativo e a equação f(x) = 0 tem duas raízes reais. D) se o valor máximo de f for um número positivo, então a equação f(x) = 0 tem duas raízes reais e uma delas será sempre um número negativo. 3 (Uece 2015) Se a função real de variável real, definida por f(x) ax2 bx c, é tal
que f(1) 2, f(2) 5 e f(3) 4, então o valor de f(4) é a) 2. b) 1. c) 1. d) 2. 4 (Uece 2015) Um objeto é lançado verticalmente, para cima, de forma que a altura alcançada h, medida em metros, e o tempo decorrido após o lançamento t, medido em segundos, estão relacionados h 120t 5t 2 0. pela equação Considerando h 0 e t 0 no instante do lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até alcançar a altura máxima, e a altura máxima atingida são respectivamente a) 10 seg e 700 m. b) 12 seg e 720 m. c) 12 seg e 800 m. d) 10 seg e 820 m. 5. (Uece 2010) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x2 - 32x + 252 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto a) {12, 13, 14}. b) {15, 16, 17}. c) {18, 19, 20}. d) {21, 22, 23}. 6 (Uece 2008) A função quadrática f assume seu mínimo quando x = 2 e é tal que seu gráfico contém os pontos (-1, 0) e (0, - 5). O valor de f(4) é a) - 4 b) - 5 c) 5 d) 4
7) (UECE 2012.1) Se o gráfico da função f : R R, definida por f(x) = x2 + bx + c, intercepta o eixo dos y no ponto (0,4), então pode-se afirmar corretamente que a) a equação f(x) = 0 admite duas raízes reais e positivas. b) a equação f(x) = 0 não admite raízes reais. c) o produto das raízes da equação f(x) =0 é – 4. d) a equação f(x) = 0 admite raízes reais quando b 4 ou b – 4.
8) (UECE 2012.2) Se as equações x2 – 6x + k = 0 e x 2 – 2x + 1 = 0 admitem uma raiz comum, então, o valor de k é A) 2. B) 3. C) 4. D) 5.
9) (UECE 2014.1) Sejam f:R R a função definida por f(x) = x2 + x + 1, P e Q pontos do gráfico de f tais que o segmento de reta PQ é horizontal e tem comprimento igual a 4 m. A medida da distância do segmento PQ ao eixo das abscissas é A) 5,25 m. B) 5,05 m. C) 4,95 m. D) 4,75 m
“Felicidade é quando o que você pensa, o que você diz e o que você faz estão em harmonia.” – Desconhecido
Capítulo 6-Equação e Função Modular
1º modo
x 2 6 x 2 6 8 ou
Definição de uma equação modular
V 8;4
Sendo x R, define-se módulo ou valor absoluto de x, que se indica por |x| ou abs(x), através da relação:
2º modo
x 2 6 x 2 6 2 x 2 4x 4 36 x 2 4x 32 0 2
x se x 0 x x se x 0
Isto significa que: O módulo de um número real positivo é igual ao próprio número. O módulo de um número real negativo é igual ao simétrico desse número.
Logo,Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos x ' 4 e x '' 8 . Assim temos: V 8;4
b) Exemplos: | +2 | = +2
x 3 4x 1
1º modo | –7 | = +7
|0|=0
x 3 4x 1
Propriedades
I. II. III. IV. V. VI.
|x| 0, x R |x| = 0 x = 0 |x||y| = |xy| |x|2 = |x2| = x2, x R |x + y| |x| + |y| (desigualdade triangular) n
x 2 6 4
x 3 4 x 1 ou x 3 (4 x 1) x 4 x 3 1 ou x 3 4 x 1 2 4 x ou x 3 5
2 4 V ; 3 5
2º modo x 2 6 x 2 6 2 x 2 4 x 4 36 x 2 4 x 32 0 2
| x | se, n 2k , k N * xn se, n 2k 1, k N x
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos Equações Modulares
O estudo das equações modulares será mostrado através da resolução dos casos mais comuns de equações desse tipo. Exemplo Resolva as equações: a)
x2 6
x'
2 4 . e x '' 3 5
Assim
temos:
V 8;4 Inequações Modulares
Ao invés de decorarmos como se resolvem as inequações modulares, vamos aprender, através de um processo prático, de onde vem a estrutura de análise.
Exemplo:
e) 2.
| x | = 7 x = –7 ou x = 7
5. (Uft 2008) Sejam f e g funções reais de uma variável real definidas por: f(x) = │ x - 1 │ e g(x) = 5
Conclusão: I. II. III. IV.
|x| a e a > 0 –a x a |x| < a e a > 0 –a < x < a |x| a e a > 0 x –a ou x a |x| > a e a > 0 x < –a ou x > a
A área da região limitada pelos gráficos dessas funções é: a) 10 unidades de área. b) 30 unidades de área. c) 50 unidades de área. d) 25 unidades de área.
Exercícios de base
Exercícios de prontidão
1) (Ufc 2008) Dadas as funções f : IR IR e g : IR IR definidas por f (x) = │1 - x2│ e g (x) = │ x │, o número de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
1)(Ufrj 2008) Considere a função f: IR IR definida por f(x) = │1 - x │. Determine os valores de x para os quais f(x) = 2.
2. (G1 - cftce 2006) O conjunto de soluções da equação │ x - 1 │ + │ x - 2 │ = 3 é: a) {0,1} b) {0,3} c) {1,3} d) {3} e) { } 3. (G1 - cftce 2004) A respeito da função f(x) = │x│, é verdadeira a sentença: a) f(x) = x, se x < 0 b) f(x) = - x, se x > 0 c) f(x) = 1, se x ∈ IR d) o gráfico de f tem imagem negativa e) o gráfico de f não possui imagem negativa 4. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por f x x e g x 1 x , os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. A área desse polígono é a) 0,125. b) 0,25. c) 0,5. d) 1.
2) O conjunto solução de 1 < |x – 3| < 5 é o conjunto dos números x tais que: a)]-2, 2[ ]4, 8[ c)]-2, 2[
b) ]2, 4[ ]4, 8[ d) [4, 8]
3) A solução da inequação (2x −1)2 ≤ 5 a) {x ∈ ℜ| – 2 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ ℜ| – 1 ≤ x ≤ 6} c) {x ∈ ℜ| x ≤ 3} d) {x ∈ ℜ| x ≤ 7} e) {x ∈ ℜ| – 3 ≤ x ≤ 2}