Superfícies Algébricas

Superfícies Algébricas

A relação entre fórmula e forma Introdução 2011 - Paulo Ferro Desafios Matemáticos! - https://sites.google.com/site/desmatematicos/ P

O que é uma superfície algébrica?

A Geometria Algébrica lida com a interação entre Álgebra (ou seja, fórmulas) e Geometria (ou seja, formas). Uma superfície algébrica é o conjunto-solução de uma equação polinomial nas três variáveis x, y e z.

Mas como as fórmulas e as formas estão conetadas entre si?

O espaço tridimensional Euclidiano é o espaço físico que nos rodeia e no qual nos movemos. Ao selecionarmos um referencial ortogonal de três coordenadas, nós podemos fixar uma origem e três direções (x, y e z). Eles tornam possível que nos orientemos no espaço ao fazermos referência à eles. Eles definem as três coordenadas x, y e z de um ponto genérico P. São três números que descrevem claramente e determinam a posição de um ponto arbitrário após a escolha de um sistema de coordenadas apropriado.

Uma fórmula, no nosso caso, nada mais é do que uma equação. Por exemplo, considere a equação x 2 y 2=z 2 . Um ponto pertence à superfície se as suas coordenadas satisfazem a equação. As soluções são os ternos (x, y, z) dos números que satisfazem a equação. Neste caso, por exemplo, (1, 0, 1) é um ponto da superfície.

Algumas superfícies algébricas Hiperbolóide circular de uma folha É uma superfície em 3D descrita pela equação algébrica

x2 y2 z2  − =1 , com a=b , a2 b2 c2

também conhecida por hiberbolóide de revolução pois é obtida da rotação de uma hipérbole em torno do seu semi-eixo menor.

O hiperbolóide de uma folha é utilizado na construção civil. Por exemplo, ele é utilizado nas torres de refrigeração das usinas nucleares. Como o hiperbolóide de uma folha é uma superfície duplamente regrada, ou seja, para cada um dos seus pontos existem duas retas distintas que se intersetam na superfície, ela pode ser construída por vigas de aço retas, permitindo assim uma minimização dos ventos transversais, mantendo a integridade estrutural com uma utilização mínima de materiais de construção. Outro exemplo são alguns edifícios que utilizam esta superfície como um elemento de arquitetura.

Exemplos na construção civil:

Torre de refrigeração de uma usina nuclear

Corporation Street, Manchester (Inglaterra)

Catedral de Brasília (Brasil)

Imagens estereoscópicas. Necessita o uso de óculos 3D (anáglifo de lentes vermelho e cião).

Na pasta “Vídeos” existe um vídeo de um hiperbolóide circular de uma folha em movimento.

Tira de Moebius A tira de Moebius é uma superfície que possui apenas um lado e com uma componente de fronteira. Ela tem a propriedade matemática de ser não orientável. A tira de Moebius foi descoberta independentemente pelos matemáticos alemães August Ferdinand Möbius e Johann Benedict Listing em 1858.

Pode-se realizar um modelo em papel de forma simples: recortando uma tira, fazendo uma meia-volta à tira e colam-se as extremidades, dando a sua forma característica.

A tira de Moebius possui várias propriedades curiosas. Cortando a tira longitudinalmente e ao meio desta, aparece uma outra tira mas com o dobro do comprimento da original. Cortando a tira longitudinalmente e com um terço da sua largura, obtemos duas tiras encaixadas, sendo uma mais pequena que a outra.

Imagens estereoscópicas. Necessita o uso de óculos 3D (anáglifo de lentes vermelho e cião).

A equação algébrica da tira de Moebius é: 2

a−b x  x  y 2 −z 21−2yz− 2a2bab x 2  y 22= x 2 y 2  ab x 2 y 2z 2 12a−b yz −x 2 Na pasta “Vídeos” existe um vídeo de uma tira de Moebius em movimento.

Toro

Em Geometria, o Toro é, em linguagem popular, um objeto cuja forma é um donut. Mais precisamente, o Toro é um sólido de revolução gerado pela rotação de um círculo de raio r num espaço tridimensional em torno de um eixo coplanar à uma distância R do seu centro.

A forma do toro depende do sinal da expressão R−r : - R=0 : O toro é uma esfera, pois o eixo de rotação é um dos diâmetros do círculo; - Rr : O toro diz-se "cruzado" e toma a forma de uma abóbora; - R=r : O toro diz-se "colar sem abertura"; - Rr : O toro diz-se "aberto" e assemelha-se à um donut.

Imagens estereoscópicas. Necessita o uso de óculos 3D (anáglifo de lentes vermelho e cião).

A equação algébrica do toro é  x 2 y 2 z 21−a 2 =4  x 2 y 2  em que 0≤a1 .

Na pasta “Vídeos” existe um vídeo de uma tira de Moebius em movimento.

Superfícies algébricas na sala de aula As superfícies algébricas podem ser obtidas através do software open source Surfer (http://www.imaginary-exhibition.com/surfer?lang=en). Muitos exemplos já estão incluídos no

programa, sendo possível se alterar a cor, a posição e também a forma das superfícies. Este poderá ser um bom utensílio para a visualização de objetos no espaço na sala de aula e uma forma de despertar a curiosidade e a criatividade dos alunos.