Função exponencial

O número �� e a função exponencial Michael Fowler

Aviso: estas notas nĂŁo sĂŁo matematicamente rigorosas. Em vez disso, apresentam uma derivação rĂĄpida e, espero, plausĂ­vel das propriedades de e, đ?‘’đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ľ e do logaritmo natural. đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’?đ?’?

O limite đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ?’?đ?’?→∞ ďż˝đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’?đ?’?ďż˝ = đ?’†đ?’†

1 2

1 3

1 ��

Considera a seguinte sÊrie: (1 + 1), �1 + 2� , �1 + 3� , ‌ , �1 + �� � ,... onde �� percorre os inteiros positivos. O que acontece à medida que �� se torna muito grande?

É fåcil de descobrir se usares uma calculadora científica com a função �� �� . Os primeiros três termos são 2, 2.25, 2.37.

Podes usar a tua calculadora para confirmar que para 1 ��

�� = 10, 100, 1000, 10000, 1000000, 1000000 os valores de �1 + �� � são (arredondando) 2.59, 2.70, 2.717, 2.718, 2.71827, 2.718280. Estes cålculos sugerem fortemente que quando �� vai para 1 ��

infinito, �1 + �� � tende para um limite bem definido. Pode-se mostrar matematicamente que esse limite existe e Ê chamado ��. O valor de �� Ê 2.7182818283 ‌ 1 ��

Para tentarmos ganhar um pouco mais de intuição, vamos expandir �1 + �� � usando o teorema binomial para (1 + ��)�� . Recorda que: (1 + ��)�� = 1 + ���� +

đ?‘›đ?‘›(đ?‘›đ?‘› − 1) 2 đ?‘›đ?‘›(đ?‘›đ?‘› − 1)(đ?‘›đ?‘› − 2) 3 đ?‘Ľđ?‘Ľ + đ?‘Ľđ?‘Ľ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘›đ?‘› 2!

3!

1 ��

Para usarmos este resultado para calcular ďż˝1 + đ?‘›đ?‘› ďż˝ , temos obviamente que substituir đ?‘Ľđ?‘Ľ = 1/đ?‘›đ?‘›, vindo: 1 đ?‘›đ?‘› 1 đ?‘›đ?‘›(đ?‘›đ?‘› − 1) 1 2 đ?‘›đ?‘›(đ?‘›đ?‘› − 1)(đ?‘›đ?‘› − 2) 1 3 ďż˝1 + ďż˝ = 1 + đ?‘›đ?‘› ∗ + ďż˝ ďż˝ + ďż˝ ďż˝ +â‹Ż đ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘› 2! đ?‘›đ?‘› 3! đ?‘›đ?‘›

Estamos particularmente interessados no que acontece a esta sĂŠrie quando đ?‘›đ?‘› se torna muito grande, porque ĂŠ entĂŁo que se aproxima do valor de đ?‘’đ?‘’. Nesse limite, đ?‘›đ?‘›(đ?‘›đ?‘› − 1)/đ?‘›đ?‘›2 tende para 1, bem como đ?‘›đ?‘›(đ?‘›đ?‘› − 1)(đ?‘›đ?‘› − 2)/đ?‘›đ?‘›3 . Portanto, para đ?‘›đ?‘› suficientemente grande, podemos ignorar a dependĂŞncia em đ?‘›đ?‘› destes primeiros termos da sĂŠrie!

Quando fazemos isso, a sĂŠrie fica simplesmente: 1+1+

1 1 1 + + +â‹Ż 2! 3! 4!

E, quanto maior for ��, melhor Ê esta aproximação dos termos da expansão binomial, portanto quando �� 1 ��

tende para infinito esta sÊrie simplesmente representa o valor limite de �1 + �� � . Logo, �� tem de ser

simplesmente a soma desta sĂŠrie infinita.

(Repara que podemos ver imediatamente desta sÊrie que �� Ê menor que 3, porque 1/3! Ê menor que 1/22 , e 1/4! Ê menor que 1/23 , e assim sucessivamente, logo a soma da sÊrie Ê menor do que 1 + 1 + 1/2 + 1/23 + 1/24 + ⋯ = 3. ) A função exponencial ����

1 ��

Tomando a nossa definição de �� como o limite de �1 + �� � quando �� tende para infinito, Ê claro que 1 ����

�� �� Ê o correspondente limite de �1 + �� � . Vejamos de outra forma: seja �� = ����, 1/�� = ��/��. Então �� �� �� ��

Ê o limite de �1 + �� � . A estratÊgia neste ponto Ê expandir isto usando o teorema binomial, tal como anteriormente, e obter uma sÊrie de potências para �� �� .

(Nota de rodapĂŠ: hĂĄ um pormenor tĂŠcnico. A expansĂŁo binomial sĂł ĂŠ simples se o expoente for um nĂşmero inteiro, e para valores genĂŠricos de đ?‘Ľđ?‘Ľ , đ?‘Śđ?‘Ś = đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘› nĂŁo o serĂĄ. Mas lembra-te que estamos apenas interessados no limite de đ?‘›đ?‘› muito grande, logo se đ?‘Ľđ?‘Ľ for um nĂşmero racional đ?‘Žđ?‘Ž/đ?‘?đ?‘?, onde đ?‘Žđ?‘Ž e đ?‘?đ?‘? sĂŁo đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘Ś

inteiros, para đ?‘›đ?‘› um mĂşltiplo de đ?‘?đ?‘?, đ?‘Śđ?‘Ś serĂĄ inteiro, e ĂŠ bastante claro que a função ďż˝1 + đ?‘Śđ?‘Ś ďż˝ ĂŠ contĂ­nua em đ?‘Śđ?‘Ś, portanto nĂŁo te preocupes. Se đ?‘Ľđ?‘Ľ for um nĂşmero irracional, podemos aproximĂĄ-lo com precisĂŁo arbitrĂĄria por uma sequĂŞncia de nĂşmeros racionais para obter o mesmo resultado.) đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘Ś

Portanto, temos que fazer a expansão binomial de �1 + �� � onde �� Ê um inteiro – para tornar claro, vamos escrever �� = ��. �1 +

đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘šđ?‘š đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘šđ?‘š(đ?‘šđ?‘š − 1) đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?‘šđ?‘š(đ?‘šđ?‘š − 1)(đ?‘šđ?‘š − 2) đ?‘Ľđ?‘Ľ 3 ďż˝ = 1 + đ?‘šđ?‘š + ďż˝ ďż˝ + ďż˝ ďż˝ +â‹Ż đ?‘šđ?‘š đ?‘šđ?‘š 2! đ?‘šđ?‘š 3! đ?‘šđ?‘š 1 đ?‘›đ?‘›

Repara que tem exactamente a mesma forma que a expansĂŁo binomial de ďż˝1 + đ?‘›đ?‘› ďż˝ no parĂĄgrafo acima, excepto que agora aparece uma potĂŞncia de đ?‘Ľđ?‘Ľ em cada termo. Novamente, estamos interessados apenas no limite em que đ?‘šđ?‘š vai para infinito, e nesse limite đ?‘šđ?‘š(đ?‘šđ?‘š − 1)/đ?‘šđ?‘š2 vai para 1, tal como đ?‘šđ?‘š(đ?‘šđ?‘š − 1)(đ?‘šđ?‘š − 2)/đ?‘šđ?‘š3 . Logo, se fizermos đ?‘šđ?‘š tender para infinito, a dependĂŞncia em đ?‘šđ?‘š de cada termo desaparece, deixando đ?‘’đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ľ = lim ďż˝1 + đ?‘šđ?‘š →∞

đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘šđ?‘š đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?‘Ľđ?‘Ľ 3 ďż˝ = 1 + đ?‘Ľđ?‘Ľ + + + â‹Ż đ?‘šđ?‘š 2! 3!

Derivando ����

�� �� �� �� 2 �� 3 �� 2 �� = �1 + �� + + + ⋯ � = 1 + �� + + ⋯ ���� ���� 2! 3!

2!

Portanto, quando derivamos �� �� , obtemos �� �� novamente. Isto significa que �� �� Ê a solução da equação ����/���� = ��, bem como de �� 2 ��/��2 �� = ��, etc. Mais geralmente, substituindo �� por ���� na sÊrie anterior vem ��2 �� 2 ��3 �� 3 + +⋯ �� ���� = 1 + ���� + 2!

3! đ?‘‘đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘‘ 2

e agora derivando esta sÊrie termo a termo vemos que ���� �� ���� = ���� ���� , ���� 2 �� ���� = ��2 �� ���� , etc, logo a função �� ���� Ê a solução da equação diferencial ����/���� = ���� , ou ��2 ��/���� 2 = ��2 �� e assim sucessivamente.

Em vez de derivarmos termo a termo, poderĂ­amos ter escrito đ?‘’đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ž(đ?‘Ľđ?‘Ľ+Δđ?‘Ľđ?‘Ľ) − đ?‘’đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž đ?‘’đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž (đ?‘’đ?‘’ đ?‘Žđ?‘ŽÎ”đ?‘Ľđ?‘Ľ − 1) đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž đ?‘’đ?‘’ = lim = lim = đ?‘Žđ?‘Žđ?‘’đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž â Ą Δx→0 Δx→0 Δđ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ Δđ?‘Ľđ?‘Ľ

onde usamos o facto de que (đ?‘’đ?‘’ đ?‘Žđ?‘ŽÎ”đ?‘Ľđ?‘Ľ − 1) → đ?‘Žđ?‘ŽÎ”đ?‘Ľđ?‘Ľ no limite Δđ?‘Ľđ?‘Ľ → 0.

O Logaritmo Natural Definimos a função logaritmo natural ln đ?‘Ľđ?‘Ľ como a inversa da função exponencial, isto ĂŠ đ?‘Śđ?‘Ś = ln đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ?‘’đ?‘’ đ?‘Śđ?‘Ś

Repara que trocåmos �� por �� em relação ao parågrafo anterior. Derivando a exponencial nesta nova notação, ���� ���� 1 = �� �� = ��, �������� = ���� �� ���� Que Ê o mesmo que dizer �� 1 ln �� = ���� �� Portanto, ln �� pode ser escrito como um integral,

ln đ?‘Ľđ?‘Ľ = ďż˝

đ?‘Ľđ?‘Ľ

1

���� . ��

Podes verificar que isto satisfaz a equação diferencial tomando o limite superior do integral como �� + Δ�� e depois ��, subtraindo o primeiro ao segundo, devidindo por Δ�� e considerando Δ�� muito pequeno. Mas

porque Ê que eu tomei o limite inferior do integral igual a 1? Para resolver a equação diferencial, podia ter sido qualquer valor, mas não seria a inversa de �� �� a não ser que essa constante fosse 1, uma vez que só assim se tem �� = ln �� = 0, necessårio para que seja consistente com �� = �� �� uma vez que �� 0 = 1.

Exercício: Partindo da representação integral de ln �� mostra que, para pequenos �� , ln(1 + ��) Ê aproximadamente igual a ��. Usa a tua calculadora para verificar o grau de precisão desta aproximação para �� = 0.1, 0.01.

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009