Números Reais

Mat 9 N´ umeros Reais

460955058223

84 7093

. . π . . .3.1415

8 4

1

2

5

192

7 68

93 39

5 0

6

6

9 16

59

52

2-

58

10123

3-

1 16

7 47 8 546 19 85 44 4 34 38 718

8

8

24

5

0

0

2

8

4

0212223242

81

1

4

1

4

40

88

75

899

105

57

3

.

80

53637383 9

4

1112131

62 089986280348 04 628 253 42 997 899100. . . 12 . . 117 .2 6 , 0 067 50 9 354 1525 5556 5 8

3. . .

343

´ Numeros Reais 910 . .-

4849505

091929394959

749445923078

8209

16

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

3589793238462643 265 38

13233

9

2 374757677787 795 727 0 9 2

68697071

17

81 5940 253

664

30 82 φ.

32 √2 . . .

1 .

65 8 ..

667 0 656 05 48 64 3 05 6 303 05 62 29 61 28 7 2 78 56

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´umeros Os n´ umeros surgiram da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos e coisas.

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´umeros Os n´ umeros surgiram da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos e coisas.

Nos primeiros tempos da humanidade, usavam-se para contar, dedos, pedras, n´os feitos numa corda . . .

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Mat 9 N´ umeros Reais

˜o . . .

Alguns sistemas de numerac¸a

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Mat 9 N´ umeros Reais

Antigo Egipto

Os s´ımbolos usados pelos eg´ıpcios para representar quantidades eram: 1

10

100

1000

10000

100000

1000000

|

2

3

4

5

6

7

Por exemplo, o n´ umero 5304 ´e representado por Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

444 44

|| 333|| 4/23

Mat 9 N´ umeros Reais

Os Babil´ onios

Os s´ımbolos usados pelos babil´ onios para representar quantidades eram: 1 1

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

2 2

10 3

20 4

100 5

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Mat 9 N´ umeros Reais

Os Maias

Os s´ımbolos usados pelos maias para representar quantidades eram: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

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Mat 9 N´ umeros Reais

Os Romanos

Os s´ımbolos usados pelos romanos para representar quantidades eram: 1 I

5 V

10 X

50 L

100 C

500 D

1000 M

Por exemplo, o n´ umero 3576 ´e representado por MMMDLXXVI Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

Os Hindus

Os s´ımbolos usados pelos hindus para representar quantidades eram: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

Se quiseres saber mais:

G www.prof2000.pt/users/hjco/numerweb/index.htm G upf.tche.br/∼pasqualotti/hiperdoc/natural.htm G matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm

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Mat 9 N´ umeros Reais

Os conjuntos que ja´ conheces . . .

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Naturais N = {1, 2, 3, 4, . . .} Exemplo: 5∈N

-3 ∈ /N

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

0∈ /N

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Naturais N = {1, 2, 3, 4, . . .} Exemplo: 5∈N

-3 ∈ /N

0∈ /N

N´ umeros Inteiros Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} Exemplo: 5∈Z

-3 ∈ Z

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

0∈Z

1 ∈ /Z 3

4 ∈Z 2 11/23

Mat 9 N´ umeros Reais

Subconjuntos de Z Z− = {. . . , −3, −2, −1} Z+ = {1, 2, 3, . . .}

Inteiros negativos

Inteiros positivos

Z+ 0 = {0, 1, 2, 3, . . .} = N0

Inteiros n˜ao negativos

Z− 0 = {. . . , −3, −2, −1, 0}

Inteiros n˜ao positivos

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Racionais Q = Z ∪ {n´ umeros fraccion´arios} Nota: Um n´ umero fraccion´ario ´e um n´ umero n˜ ao inteiro que pode ser escrito a como a raz˜ao de dois n´ umeros inteiros com b 6= 0. b

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Racionais Q = Z ∪ {n´ umeros fraccion´arios} Nota: Um n´ umero fraccion´ario ´e um n´ umero n˜ ao inteiro que pode ser escrito a como a raz˜ao de dois n´ umeros inteiros com b 6= 0. b Exemplo: 0, 5 ´e um n´ umero fraccion´ario, pois pode ser escrito sob a forma de uma frac¸c˜ao, 12 .

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Racionais Q = Z ∪ {n´ umeros fraccion´arios} Nota: Um n´ umero fraccion´ario ´e um n´ umero n˜ ao inteiro que pode ser escrito a como a raz˜ao de dois n´ umeros inteiros com b 6= 0. b Exemplo: 0, 5 ´e um n´ umero fraccion´ario, pois pode ser escrito sob a forma de uma frac¸c˜ao, 12 .

0, (6) tamb´em pode ser escrito sob a forma de uma frac¸c˜ao, 23 , ent˜ao 0, (6) ´e um n´ umero fraccion´ario.

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Mat 9 N´ umeros Reais

A qualquer n´ umero racional corresponde uma d´ızima.

1 2

= 0, 5

1 3

= 0, 333 . . .

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3 2

= 1, 5 2 9

63 25

= 2, 52

= 0, 2222 . . .

4 33

5 = 5, 0 = 0, 121212 . . .

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Mat 9 N´ umeros Reais

A qualquer n´ umero racional corresponde uma d´ızima.

1 2

= 0, 5

1 3

= 0, 333 . . .

3 2

= 1, 5 2 9

63 25

= 2, 52

= 0, 2222 . . .

4 33

5 = 5, 0 = 0, 121212 . . .

No primeiro caso obtivemos d´ızimas finitas, no segundo caso obtivemos d´ızimas infinitas peri´ odicas.

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Mat 9 N´ umeros Reais

` d´ızimas infinitas peri´ As odicas est´a sempre associado um per´ıodo, que ´e o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem.

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Mat 9 N´ umeros Reais

` d´ızimas infinitas peri´ As odicas est´a sempre associado um per´ıodo, que ´e o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem.

0, 121212 . . . = 0, (12) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 12

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Mat 9 N´ umeros Reais

` d´ızimas infinitas peri´ As odicas est´a sempre associado um per´ıodo, que ´e o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem.

0, 121212 . . . = 0, (12) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 12 0, 35666 . . . = 0, 35(6) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 6

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Mat 9 N´ umeros Reais

` d´ızimas infinitas peri´ As odicas est´a sempre associado um per´ıodo, que ´e o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem.

0, 121212 . . . = 0, (12) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 12 0, 35666 . . . = 0, 35(6) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 6 A qualquer n´ umero racional corresponde uma d´ızima finita ou d´ızima infinita peri´ odica.

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04 58

6 8 3 4 3 6 5 63 81 17 72 03 091 79

4 8 4 7 5 4 0 8 8 0 7 5 3 8 6 8 91

80 5

7 62

21

75

006

86 21354

11 3 7

07 7 . . .

39

8

189

φ

48 2

0 7 20 338622235369317931 7204 0 4 6 2 8 1 8 9 0 24 4 97

48

266

7052 6

16/23 89

62 2

033988749 18 1.6

48

79

8 7 2 4 2 0 9 69 80 78 56 96 718

7 5 37

7 3 5 0 1 3 8 4 6 2 3 0 9 1 2 2 97

694

49

02

71 0 . . .

149

32

38 4

62 64

3 3 8 3 2 7 9 50 28 84 19 71 693 9

70 6 7

9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 06

9 37 5

64

81 3 . . .

11

940

1 05

82

80

7

31766

15 7 2

70

01 68

64

09749

48 8

2

50

√

2 4 7 8 4 6 2 1 0 70 3 88

09

5

342

π

6 4 0 6 2 8 6 2 0 89 9 86

5 0 38 360558507372126441 7534

2

2 8 03 446095505822317253 4825

248

9907 3

327

938

3078 1

592653589 41 3.1

59 2

73 7

213562373 14 1.4

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo 44

79

´ Outros numeros ...

N´ umeros Reais

Mat 9

Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros irracionais

Por volta do ano 600 a.C., Pit´agoras e os seus disc´ıpulos, estudavam as propriedades dos n´ umeros inteiros, atrav´es de constru¸c˜oes geom´etricas.

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros irracionais

Por volta do ano 600 a.C., Pit´agoras e os seus disc´ıpulos, estudavam as propriedades dos n´ umeros inteiros, atrav´es de constru¸c˜oes geom´etricas.

At´e essa data, os pitag´ oricos acreditavam que tudo no universo estava relacionado com os n´ umeros inteiros, ou ent˜ao, raz˜oes de n´ umeros inteiros (que conhecemos hoje, como o conjunto dos n´ umeros racionais).

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

A sua cren¸ca foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida n˜ao podia ser expressa por um n´ umero racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado 1. √

2

1

1

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

A sua cren¸ca foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida n˜ao podia ser expressa por um n´ umero racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado 1. √

2

1

1

A esta nova classe de n´ umeros, chamamos n´ umeros irracionais.

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

A sua cren¸ca foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida n˜ao podia ser expressa por um n´ umero racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado 1. √

2

1

1

A esta nova classe de n´ umeros, chamamos n´ umeros irracionais.

Um n´ umero irracional n˜ao pode ser expresso, como uma raz˜ao de n´ umeros inteiros, ou seja, n˜ao pode ser escrito na forma ab .

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Mat 9 N´ umeros Reais

Um n´ umero irracional ´e todo o n´ umero que n˜ao pode exprimir-se por uma d´ızima finita, ou infinita peri´odica.

S˜ao exemplos de n´ umeros irracionais: √

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2;

π;

√ − 5;

√ 1+ 5 φ= 2

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Mat 9 N´ umeros Reais

Qualquer n´ umero irracional pode ser representado por uma d´ızima infinita n˜ ao peri´ odica.

Exemplos: √

2 = 1, 41421356 . . . ;

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π = 3, 14159265 . . . ;

φ = 1, 61803398 . . .

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Reais

Ao reunir os novos n´ umeros (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de n´ umeros:

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Reais

Ao reunir os novos n´ umeros (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de n´ umeros: o conjunto dos n´ umeros reais.

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Reais

Ao reunir os novos n´ umeros (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de n´ umeros: o conjunto dos n´ umeros reais.

R = Q ∪ {n´ umeros irracionais}

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

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Mat 9 N´ umeros Reais

Q N

Assim,

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

R

Z

N⊂Z⊂Q⊂R

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Mat 9 N´ umeros Reais

N´ umeros Reais

Racionais

d´ızimas finitas

Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo

d´ızimas infinitas peri´ odicas

Irracionais d´ızimas infinitas n˜ao peri´odicas

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