Ondas em duas e trĂŞs dimensĂľes Michael Fowler Introdução AtĂŠ agora, estivemos a ver ondas a uma dimensĂŁo, viajando ao longo de uma corda ou ondas sonoras propagando-se num tubo. Mas ondas em dimensĂľes superiores a um sĂŁo muito familiares – ondas de ĂĄgua na superfĂcie de um lago, ou ondas sonoras emitidas a trĂŞs dimensĂľes por uma fonte. É agradĂĄvel descobrir que estas ondas em dimensĂľes superiores satisfazem equaçþes de ondas que sĂŁo a extensĂŁo natural da que encontrĂĄmos para a corda, e – muito importante – tambĂŠm satisfazem o PrincĂpio da Sobreposição, por outras palavras, se as ondas se encontrarem, tu apenas de somar as contribuiçþes de cada uma. Nos prĂłximos dois parĂĄgrafos, entraremos em maior detalhe, mas este PrincĂpio da Sobreposição ĂŠ a lição crucial. A equação de onda e a sobreposição a uma dimensĂŁo Para ondas numa corda, vimos que a aplicação das leis de Newton a um pequeno segmento de corda dava a equação diferencial da onda, đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś 1 đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś = đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?‘Łđ?‘Ł 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2
e vimos tambĂŠm que ondas sonoras num tubo satisfazem a mesma equação. Antes de entrarmos em dimensĂľes superiores, quero apenas focar um ponto crucial desta equação de onda: ĂŠ linear, o que significa que se tiveres duas soluçþes diferentes đ?‘Śđ?‘Ś1 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) e đ?‘Śđ?‘Ś2 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) entĂŁo đ?‘Śđ?‘Ś1 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) + đ?‘Śđ?‘Ś2 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) tambĂŠm ĂŠ solução, como provĂĄmos anteriormente. Esta importante propriedade ĂŠ fĂĄcil de interpretar visualmente: se puderes desenhar duas soluçþes da onda, entĂŁo em cada ponto da corda simplesmente soma o deslocamento đ?‘Śđ?‘Ś1 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) de uma das ondas como o đ?‘Śđ?‘Ś2 (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) da outra – soma as duas ondas – e obtens uma outra solução. Portanto, por exemplo, assim que duas ondas que viajam em sentidos contrĂĄrios numa corda se encontram, o deslocamento da corda em qualquer ponto e em qualquer instante ĂŠ simplesmente a soma dos deslocamentos devidos a cada uma das ondas isoladas. Esta simples adição dos deslocamentos ĂŠ chamada “interferĂŞnciaâ€?, sem dĂşvida porque se as ondas tiveres deslocamentos em sentidos opostos, a corda terĂĄ um deslocamento resultante inferior ao de cada uma das ondas isolada. TambĂŠm ĂŠ chamado o PrincĂpio da Sobreposição. A equação de onda e a sobreposição em mais dimensĂľes O que acontece em dimensĂľes superiores? Consideremos duas dimensĂľes, por exemplo ondas numa membrana elĂĄstica de um tambor. A posição de repouso da membrana elĂĄstica ĂŠ o plano (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś), portanto quando estĂĄ a vibrar move-se para cima e para baixo na direcção đ?‘§đ?‘§, sendo a sua configuração em cada instante dada por uma função đ?‘§đ?‘§(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś, đ?‘Ąđ?‘Ą). De facto, poderĂamos fazer o mesmo que fizemos para a corda, analisando a força resultante num bocadinho da membrana e aplicando a segunda lei de Newton. Neste caso em vez de a corda esticar