Ondas numa corda

Analisando ondas numa corda Michael Fowler Das Leis de Newton Ă equação de onda Tudo o que hĂĄ para saber sobre ondas numa corda uniforme pode ser deduzido por aplicação da segunda Lei de Newton, đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š, a um minĂşsculo bocadinho da corda. Bom, pelo menos isto ĂŠ verdade para as ondas de pequena amplitude – assumiremos que o desvio da corda da sua posição de repouso ĂŠ pequeno comparado com o comprimento de onda das ondas em estudo. Isto torna a matemĂĄtica mais simples, e ĂŠ uma excelente aproximação para instrumentos musicais, etc. Tendo dito isto, vamos desenhar uns diagramas, como o que estĂĄ abaixo, com amplitudes exageradas, para que seja mais visĂ­vel o que estĂĄ a acontecer.

Dinâmica de um pequeno segmento de corda: desprezando a gravidade, as únicas forças a actuar são as tensþes T nas extremidades.

Vamos aplicar đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š ao pequeno segmento de corda entre đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘’đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ (diagrama acima).

Se a corda tiver densidade đ?œ‡đ?œ‡ kg/m, temos đ?‘šđ?‘š = đ?œ‡đ?œ‡âˆ†đ?‘Ľđ?‘Ľ.

As forças no bocadinho de corda (negligenciando o peso, resistĂŞncia do ar, etc.) sĂŁo as tensĂľes T em ambas as extremidades. A tensĂŁo serĂĄ uniforme em magnitude ao longo da corda, mas a corda curva se ďż˝âƒ— em extremidades opostas do segmento de corda nĂŁo se anulam. estiver a ondular, logo os dois vectores đ?‘‡đ?‘‡ É desta força resultante đ??šđ??šâƒ— que estamos Ă procura.

Tendo em mente que estamos apenas interessados em ondas de pequena amplitude, podemos ver do ďż˝âƒ— estarĂŁo muito perto da diagrama (esmagando-o mentalmente na direcção y) que ambos os vectores đ?‘‡đ?‘‡ horizontalidade e, uma vez que apontam em sentidos opostos, a sua soma – a força resultante đ??šđ??šâƒ— - estarĂĄ muito prĂłxima da verticalidade:

ďż˝âƒ— na extremidade đ?‘Ľđ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ do segmento ĂŠ đ?‘‡đ?‘‡ sin đ?œƒđ?œƒ, onde θ ĂŠ o ângulo A componente vertical da tensĂŁo đ?‘‡đ?‘‡ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ do declive da corda nessa extremidade. Esse declive ĂŠ obviamente đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ (đ?‘Ľđ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ), ou, mais precisamente, đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

= tan đ?œƒđ?œƒ.

Contudo, se a amplitude da onda for pequena, como estamos a assumir, entĂŁo θ ĂŠ pequeno, e podemos aproximar tan đ?œƒđ?œƒ = sin đ?œƒđ?œƒ = đ?œƒđ?œƒ, vindo que a componente vertical da tensĂŁo na corda ĂŠ đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡ = đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡(đ?‘Ľđ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ)/đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘. EntĂŁo a força vertical total devida a ambas as tensĂľes ĂŠ:

Sendo que a igualdade se torna exacta no limite ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ → 0.

Neste ponto, ĂŠ necessĂĄrio tornar claro que y ĂŠ uma função de t e de x: y=y(x,t). Neste caso, a convenção habitual para denotar a derivação em relação a uma variĂĄvel enquanto a outra ĂŠ mantida constante (que ĂŠ o caso aqui – estamos a calcular as forças num dado instante) ĂŠ substituir đ?‘‘đ?‘‘/đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ por đ?œ•đ?œ•/đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ.

Portanto deverĂ­amos escrever:

A peça final do puzzle ĂŠ a aceleração do segmento de corda: na nossa aproximação de pequenas amplitudes, esta move-se apenas para cima e para baixo, isto ĂŠ, na direcção y, de modo que a aceleração ĂŠ đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś apenas 2 , e anulando ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ entre a massa đ?‘šđ?‘š = đ?œ‡đ?œ‡âˆ†đ?‘Ľđ?‘Ľ e đ??šđ??šâƒ— = đ?‘‡đ?‘‡ 2 ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ , a segunda lei de Newton đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą

đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ

escreve-se:

Esta Ê chamada a equação de onda.

��

đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś = đ?œ‡đ?œ‡đ?œ‡đ?œ‡ đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ą 2

Vale a pena olhar para esta equação e ver porque ĂŠ que ĂŠ equivalente a đ??šđ??šâƒ— = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š. Desenha o grĂĄfico đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?‘Śđ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘Ś(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą), mostrando a posição da corda no instante t. No ponto x, a derivada đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• ĂŠ o declive da corda. A đ?œ•đ?œ• 2 đ?‘Śđ?‘Ś

segunda derivada, đ?œ•đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 , ĂŠ a taxa de variação do declive – por outras palavras, quanto a corda estĂĄ curvada em x. E ĂŠ a curvatura que assegura que as duas tensĂľes apontam em direcçþes ligeiramente distintas, nĂŁo se anulando. Esta força dĂĄ entĂŁo massa vezes aceleração no lado direito.

Resolvendo a equação de onda Agora que jĂĄ derivamos a equação de onda analisando o movimento de um pequeno segmento de corda, temos de verificar se ĂŠ consistente com as nossas consideraçþes prĂŠvias sobre ondas, as quais eram baseadas na experiĂŞncia e observação. Por exemplo, dissemos que uma onda viajando ao longo de uma corda mantinha a sua forma, e que por isso podĂ­amos escrever đ?‘Śđ?‘Ś(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł). SerĂĄ que uma função genĂŠrica đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł) satisfaz necessariamente a equação de onda? Esta função f ĂŠ uma função de uma sĂł variĂĄvel, chamemos-lhe đ?‘˘đ?‘˘ = đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł. Substituindo na equação de onda, temos de aplicar a regra da cadeira para a derivação: đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• = = , = = −đ?‘Łđ?‘Ł đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• E a equação passa a ser:

De modo que a função đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł) satisfarĂĄ sempre a equação de onda desde que đ?‘Łđ?‘Ł 2 = đ?‘‡đ?‘‡/đ?œ‡đ?œ‡.

Todas as ondas se movem com a mesma velocidade, a qual Ê determinada pela tensão e pela massa por unidade de comprimento. Poderíamos ter identificado a equação para �� 2 por anålise dimensional, mas haveria sempre uma constante aditiva arbitråria. Precisamos da equação de onda para provar que essa constante Ê 1.

Incorporando este resultado, a equação Ê frequentemente escrita:

Claro que as ondas viajam em ambos os sentidos: uma função arbitråria ��(�� + ����) Ê igualmente uma boa solução.

O Princípio da Sobreposição A equação de onda tem uma propriedade muito importante: se tivermos duas soluçþes da equação, então a sua soma Ê tambÊm uma solução da equação. É fåcil verificar isto:

Qualquer equação diferencial com esta propriedade ĂŠ chamada uma equação diferencial linear: nota que đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) + đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) ĂŠ tambĂŠm uma solução da equação se a e b forem constantes. Portanto podes somar – sobrepor – mĂşltiplos de quaisquer duas soluçþes da equação de onda para achar uma função que satisfaça a equação.

Ondas Harmónicas Imagina que uma das extremidades da corda estå presa a um oscilador harmónico simples, tal com um diapasão – uma onda harmónica viajarå ao longo da corda,

A notação habitual Ê

Onde đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł, claro. Mais notação: o comprimento de onda desta onda ĂŠ đ?œ†đ?œ† = 2đ?œ‹đ?œ‹/đ?‘˜đ?‘˜, e a frequĂŞncia em ciclos por segundo (Hz) ĂŠ đ?‘“đ?‘“ = đ?œ”đ?œ”/2đ?œ‹đ?œ‹.

Agora imagina que estĂĄs na origem e vĂŞs a onda a passar. VĂŞs a corda na origem a fazer um ciclo completo para cima e para baixo f vezes por segundo. De cada vez que isso acontece, todo um comprimento de onda da onda viajou. SupĂľes que, no instante t=0, a onda vinda da esquerda acaba de chegar junto a ti.

EntĂŁo, em t=1 segundo, a frente de onda terĂĄ viajado f comprimentos de onda – portanto a velocidade a que a onda se desloca ĂŠ đ?‘Łđ?‘Ł = đ?œ†đ?œ†đ?œ†đ?œ† đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ .

Energia e Potência numa Onda Harmónica Se agitarmos uma das extremidades da corda e enviarmos uma onda ao longo desta, estamos claramente a fornecer energia à corda – por um lado, à medida que a onda se desloca, segmentos da corda começam a mover-se, portanto hå energia cinÊtica. E hå tambÊm energia potencial – lembra-te que a onda não viaja sequer se não houver tensão na corda, e quando se estå a mover a corda Ê obviamente mais longa do que

quando estå em repouso. Esta elongação da corda realiza trabalho contra a tensão T igual à força vezes deslocamento, neste caso igual a T multiplicado pela distância que a corda esticou. (Assumimos que este aumento não Ê suficiente para causar um aumento significativo em T.) Para o caso importante de uma onda harmónica viajando numa corda, podemos calcular exactamente a energia por unidade de comprimento. Tomamos

Se a corda tiver massa por unidade de comprimento đ?œ‡đ?œ‡, um pequeno segmento de comprimento ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ terĂĄ 1 massa đ?œ‡đ?œ‡âˆ†đ?‘Ľđ?‘Ľ, e move-se (verticalmente) com velocidade đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•/đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•, logo tem energia cinĂŠtica 2 đ?œ‡đ?œ‡âˆ†đ?‘Ľđ?‘Ľ(đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•/ đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•)2 , pelo que a energia cinĂŠtica total da corda serĂĄ: đ??¸đ??¸. đ??śđ??ś. = ďż˝

1 đ?œ‡đ?œ‡(đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•/đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ•)2 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘.

2

Para uma onda harmĂłnica đ?‘Śđ?‘Ś(đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Ąđ?‘Ą) = đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”), đ??¸đ??¸. đ??śđ??ś. = ďż˝

1 2 2 đ?œ‡đ?œ‡đ??´đ??´ đ?œ”đ?œ” cos 2 (đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”) đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ 2

E uma vez que o valor mĂŠdio de cos2 đ?‘Ľđ?‘Ľ ĂŠ ½, para uma função harmĂłnica contĂ­nua a energia cinĂŠtica 1 mĂŠdia por unidade de comprimento ĂŠ 4 đ?œ‡đ?œ‡đ??´đ??´2 đ?œ”đ?œ”2 .

Para achar a energia potencial mĂŠdia num metro de corda Ă medida que a onda se propaga, temos de saber quanto ĂŠ que a corda se elonga devido Ă onda, e multiplicar esse aumento pela tensĂŁo T.

Comecemos com um pequeno segmento ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ da corda, e suponhamos que a variação de y entre as extremidades ĂŠ ∆đ?‘Śđ?‘Ś: A corda (a vermelho) ĂŠ a hipotenusa deste triângulo rectângulo, portanto o elongamento ∆đ?‘™đ?‘™ do segmento ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ ĂŠ a diferença entre a hipotenusa e a base ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ.

Portanto

Lembrando que estamos a considerar apenas ondas de pequena amplitude, ∆đ?‘Śđ?‘Ś/∆đ?‘Ľđ?‘Ľ serĂĄ pequeno, pelo que 1 podemos expandir a raiz quadrada usando o resultado √1 + đ?‘Ľđ?‘Ľ ≅ 1 + 2 đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?. Vem entĂŁo:

Para achar o elongamento total de uma unidade de comprimento da corda, somamos todos estes pequenos elongamentos, tomando o limite de pequenos ∆đ?‘Ľđ?‘Ľ: 1 đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• 2 1 đ??¸đ??¸. đ?‘ƒđ?‘ƒ. = ďż˝ đ?‘‡đ?‘‡ ďż˝ ďż˝ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = đ?‘‡đ?‘‡đ??´đ??´2 đ?‘˜đ?‘˜ 2 cos2 (đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”)đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘.

2 đ?œ•đ?œ•đ?œ•đ?œ• 2

Agora, tal como fizemos na energia cinĂŠtica, substituindo o valor mĂŠdio do cos 2 , conclui-se que a energia 1 potencial mĂŠdia por unidade de comprimento ĂŠ 4 đ?œ‡đ?œ‡đ??´đ??´2 đ?œ”đ?œ”2 , uma vez que đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł e đ?‘Łđ?‘Ł 2 = đ?‘‡đ?‘‡/đ?œ‡đ?œ‡.

Isto ĂŠ, a energia potencial mĂŠdia e a energia cinĂŠtica mĂŠdia sĂŁo iguais. Este resultado ĂŠ muito geral: ĂŠ vĂĄlido para todos os osciladores harmĂłnicos (excepto para o caso de amortecimento forte).

Finalmente, a potĂŞncia numa onda a propagar-se numa corda ĂŠ a taxa Ă qual a energia ĂŠ transmitida.

Somando as energias cinĂŠtica e potencial, temos que: 1 ������������������� đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸đ??¸ đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą /đ?‘šđ?‘š đ?œ‡đ?œ‡đ?œ”đ?œ”2 đ??´đ??´2 2

Se a onda viajar a v metros por segundo, e for totalmente absorvida no destino (extremidade da corda), a energia transmitida a essa extremidade por segundo ĂŠ toda a energia que estava nos Ăşltimos v metros da corda. Por definição, esta ĂŠ a potĂŞncia: a energia transmitida, em Joules por segundo. Isto ĂŠ: đ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒĂŞđ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘› =

1 đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?œ”đ?œ”2 đ??´đ??´2 2

Ondas estacionĂĄrias Uma aplicação engraçada do princĂ­pio da sobreposição ĂŠ a adição de duas ondas harmĂłnicas viajando em sentidos opostos de modo a obtermos uma onda estacionĂĄria: đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”) + đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ + đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”) = 2đ??´đ??´ sin đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ cos đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ” .

Podes facilmente verificar que 2đ??´đ??´ sin đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ cos đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ” ĂŠ uma solução da equação de onda (desde que đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł, claro) e ĂŠ sempre zero em pontos satisfazendo đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ = đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘›, pelo que para uma corda de comprimento đ??żđ??ż, fixa nas extremidades, os vectores de onda đ?‘˜đ?‘˜ sĂŁo dados por đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ = đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘›.

O maior comprimento de onda para uma onda estacionĂĄria numa corda de comprimento đ??żđ??ż fixa em ambas as extremidades ĂŠ đ?œ†đ?œ† = 2đ??żđ??ż e ĂŠ chamado modo fundamental.

A dependĂŞncia em x desta onda, sin đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜, ĂŠ claramente sin(đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹/đ??żđ??ż), portanto đ?‘˜đ?‘˜ = đ?œ‹đ?œ‹/đ??żđ??ż.

A frequĂŞncia angular desta onda ĂŠ dada por đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł, logo đ?œ”đ?œ” = đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł/đ??żđ??ż, e a frequĂŞncia em ciclos por đ?œ”đ?œ” đ?‘Łđ?‘Ł segundo, ou Hz, ĂŠ đ?‘“đ?‘“ = 2đ?œ‹đ?œ‹ = 2đ??żđ??ż đ??ťđ??ťđ??ťđ??ť.

(Esta ĂŠ a mesma frequĂŞncia đ?‘“đ?‘“ = đ?‘Łđ?‘Ł/đ?œ†đ?œ† de uma onda nĂŁo estacionĂĄria com o mesmo comprimento de onda.

Aqui estå uma representação da sobreposição de duas ondas de modo a formar uma onda estacionåria, usando uma folha de cålculo:

A onda vermelha ĂŠ đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ − đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”) e move-se para a direita, a verde ĂŠ đ??´đ??´ sin(đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ + đ?œ”đ?œ”đ?œ”đ?œ”) e move-se para a esquerda, a preta ĂŠ a soma das duas e e as suas oscilaçþes sĂŁo estacionĂĄrias.

Mas isto representa apenas um instante! Para ver o desenvolvimento completo no tempo – que deves fazer para compreender realmente o que se estå a passar – explora as folhas de cålculo em anexo.

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009