Pêndulo simples (teoria)

O Pêndulo Michael Fowler

O Pêndulo Simples Galileu foi o primeiro a registar que o período de uma lâmpada a oscilar numa catedral era independente da amplitude das oscilações, pelo menos para as pequenas amplitudes que ele conseguiu observar. Em 1657, Huygens construiu o primeiro relógio de pêndulo, uma grande melhoria na contagem do tempo em relação a métodos anteriores.

Portanto o pêndulo foi o primeiro oscilador de real importância tecnológica.

Pêndulo simples: massa m na extremidade da barra rígida de comprimento l, restrita a mover-se num plano vertical.

No entanto, de facto o pêndulo não é exactamente um oscilador harmónico simples: o período depende da amplitude, mas se esta for mantida pequena, este efeito é desprezável.

O peso mg da massa suspensa pode ser escrito em termos das componentes paralela e perpendicular à barra. A componente paralela é igual à tensão na barra; a componente perpendicular acelera a massa,

A massa anula-se em ambos os lados da equação – pêndulos de diferentes massas com o

mesmo comprimento comportam-se do mesmo modo. (De facto, este foi um dos primeiros testes que comprovaram a igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional: pêndulos de diferentes materiais, mas com o mesmo comprimento, têm o mesmo período).

Para pequenos ângulos, a equação é aproximada pela do oscilador harmónico simples,

Com frequência , isto é, período . Para uma amplitude de 10º, a aproximação de oscilador harmónico sobreestima a força restauradora por cerca de uma parte em mil, e para pequenos ângulos este erro é essencialmente proporcional ao cubo do ângulo. Portanto um relógio de pêndulo desenhado para contar o tempo com pequenas oscilações da massa ganha quatro segundos por hora se for posto a oscilar com uma amplitude de 10º.

A energia potencial do pêndulo relativamente à posição de repouso é mgh, onde h é a . A energia total é portanto, diferença de alturas, isto é,

Pêndulos de forma arbitrária A análise do movimento de um pêndulo em termos do deslocamento angular funciona para qualquer corpo rígido a oscilar para trás e a para a frente em torno de um eixo horizontal sob a acção da gravidade. Por exemplo, considere uma barra rígida.

A energia cinética é dada por , onde I é o momento de inércia do corpo em torno da barra, a energia potencial é , tal como anteriormente, mas l é agora a distância do eixo ao centro de massa.

A equação do movimento traduz que a taxa de variação do momento angular é igual ao momento das forças aplicadas,

Para pequenos ângulos, o período é , e para um pêndulo simples considera, resultando a equação anterior. se primeiro

Variação do período de um pêndulo com a amplitude Assim que a amplitude do movimento do pêndulo aumenta, o período aumenta porque a força restauradora pequenos ângulos.

cresce mais lentamente que –

para

O modo mais simples de ter uma ideia de como isto acontece é explorando a folha de cálculo ”Pêndulo simples.xls”.

Comece com um deslocamento inicial de 0,1 radianos (5,7 graus):

De seguida, experimente 1 radiano:

A diferença do período é menor que 10%, não demasiado dramática considerando a grande amplitude da oscilação.

Dois radianos dão um aumento de cerca de 35%, e três radianos triplicam o período.

Vale a pena explorar este fenómeno com a folha de cálculo!

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009