O Passeio AleatĂłrio unidimensional Michael Fowler Atira a moeda ao ar, dĂĄ um passo O passeio aleatĂłrio a uma dimensĂŁo constrĂłi-se do seguinte modo: Andas sobre um recta, cada passo com o peso comprimento. Antes de cada passo, atiras uma moeda ao ar. Se for caras, dĂĄs um passo em frente. Se for coroas, dĂĄs um passo atrĂĄs. A moeda nĂŁo estĂĄ viciada, portanto a probabilidade de caras ou coroas ĂŠ a mesma. O problema consiste em calcular a probabilidade de estar numa dada posição ao fim de um certo nĂşmero de passos e, em particular, calcular a distância mĂŠdia Ă origem. Mas porque ĂŠ que este jogo nos interessa? O passeio aleatĂłrio ĂŠ central na FĂsica EstatĂstica. É essencial para prever quĂŁo rapidamente um gĂĄs se difunde num outro, quĂŁo rĂĄpido o calor se propaga num sĂłlido, quĂŁo grandes sĂŁo as flutuaçþes de pressĂŁo num pequeno recipiente e muitos outros fenĂłmenos estatĂsticos. Einstein usou o passeio aleatĂłrio para calcular o tamanho dos ĂĄtomos a partir do movimento Browniano. A probabilidade de estar numa dada posição ao fim de n passos Comecemos com um passeio de alguns passos, de comprimento unitĂĄrio, e procuremos um padrĂŁo. Definimos a função probabilidade đ?’‡đ?’‡đ?‘ľđ?‘ľ (đ?’?đ?’?) como sendo a probabilidade de que num passeio de N passos unitĂĄrios, aleatoriamente para trĂĄs ou para a frente sobre a recta, começando em 0, acabemos na posição n. Dado que temos de terminar em algum sĂtio, a soma sobre n destas probabilidades tem de ser igual a 1. Vamos listar apenas probabilidades nĂŁo nulas. Para um passeio de zero passos, đ?‘“đ?‘“0 (0) = 1.
Para um passeio de um passo, đ?‘“đ?‘“1 (−1) = 1/2, đ?‘“đ?‘“1 (1) = 1/2. 1
1
Para um passeio de dois passos, đ?‘“đ?‘“2 (−2) = 4 , đ?‘“đ?‘“2 (0) = 2 , đ?‘“đ?‘“2 (2) = 1/4.
Talvez seja útil enumerar a sequência de lançamentos da moeda que originam uma dada posição.