AS PROGRESSÕES
AS PROGRESSÕES As progressões constituem o exemplo mais simples do conceito de sucessão. As suas propriedades estudam-se desde os primórdios da história da matemática, e foram aplicadas, sobretudo, no cálculo comercial. O estudo das
progressões aritméticas é paralelo ao das
geométricas devido às propriedades destas últimas emanarem das primeiras sem mais do que converter as somas em produtos, diferenças em quocientes, e o produto por um número natural num potência de exponente natural. A origem das progressões, tal como para tantos outros ramos da matemática, é incerta. Não obstante, conservam-se alguns documentos que atestam a presença das progressões vários séculos antes da nossa era, pelo que não se pode atribuir a sua paternidade a nenhum matemático concreto.
AS PROGRESSÕES É conhecido o problema de calcular em quanto tempo se dobraria uma quantidade de dinheiro com um determinado juro composto, proposto pelos babilónios (2000 a.C. - 600 a.C.), o que faz pensar que conheciam de alguma maneira a fórmula do juro composto e, portanto, as progressões geométricas. No livro IX dos Elementos de Euclides aparece escrita uma fórmula, semelhante à actual, da soma dos n termos consecutivos de uma progressão geométrica. Bhaskara, matemático hindu do século XII, apresenta na sua obra mais conhecida, o Lilavati, diversos problemas sobre progressões aritméticas e geométricas.
AS PROGRESSÕES Exemplos: Considera as seguintes sequências de números: a)-3, 0,
1 5
,
,2 7,
π , 13, …
Para cada uma destas sequências, b) -1, 3, 7, 11, 15, ..., 4n-5 p.a. c) 3, 6, 12, 24, 48, ..., 3 x 2 n-1 p.g. qual é o termo seguinte? No primeiro caso não é possível averiguar que número se seguiria a 13 (não se encontra uma regra que indique a relação entre os termos). No segundo, a 15 seguir-se-iam 19, 23, 27... (cada termo é quatro unidades maior que o anterior). No terceiro, ao quinto termo, que é 48, seguir-se-ia 96 (cada termo é o dobro do anterior). A obtenção do termo geral de uma sucessão pode ser de uma enorme dificuldade. Não obstante, vamos a seguir estudar um tipo de sucessões em que determinar o seu termo geral é bastante simples.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Uma progressão aritmética é una sucessão em que cada elemento se obtém somando ao anterior um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r.
Se a razão é positiva, a progressão é crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior.
Se a razão é zero, a progressão é constante, ou seja, tem todos os seus termos iguais.
Se a razão é negativa, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Assim, se (an) é una progressão aritmética, verifica-se que: an +1 = an + r
(r constante),
c an +1 − an = r
∀n ∈ ¥
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Termo geral de uma progressão aritmética Para se obter a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (an) basta observar que: a2= a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2.r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3.r a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4.r Note-se que em todos os casos o termo corresponde à soma de duas quantidades: • A primeira é sempre a1 • A segunda é o produto (n - 1).r Logo, an= a1 +(n-1). r Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se: a = a +(n-k). r
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.a. em que: 1)
un 7
5
3
1 n
O
2) 3)
u1 = -5 u10 = 8
e e
r = 1/2 u3 = -6
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Soma de n termos consecutivos de uma p.a. É muito conhecida a estória segundo a qual propuseram na escola primária a Carl Frederich Gauss (1777-1855), quando este contava somente dez anos de idade, que somasse os 100 primeiros números naturais. Perante o assombro do professor, mal este tinha acabado de ditar o problema, Gauss deu a solução: 5 050. O que este insigne matemático observou foi que a soma 1+100 era igual a 2+99, igual a 3+98, ... etc. quer dizer, só teve que dar-se conta de que contava com 50 pares de números, sendo a soma de cada par 101. Assim, limitou-se a multiplicar: 50 x 101 = 5 050.
Gauss (1777-1855)
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Consideremos a p.a. de termo geral un = 2n-3 e tomemos oito quaisquer termos consecutivos desta sucessão: Por exemplo: 28 7
9
11
13
15
17
19
28 28 28 Podemos calcular a soma dos oito termos considerados, fazendo: S8 = 28 x 4
ou seja
S8 = (7+21) x 8/2
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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Esta propriedade continua ser válida, se tomarmos um número ímpar de termos. Por exemplo: 9
11
30 13
15
17
19
30 30 S7 = (9+21) x 3 + 15 = 90 + 15 = 105 o que equivale a fazer: S7 = (9+21) x 7/2 = 30 x 3,5 = 105
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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por
Sn = ( a1 + an ) ×
n 2
ou
Sn =
a1 + an ×n 2
Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o último desses termos.
Exercício de aplicação: Calcula a soma dos termos compreendidos entre u15 e u41 (excluídos estes) da p.a. n a 3n + 2