Aprovada a publicação por decisão da Comissão Editorial de 8 de Março de 2010.
SEMELHANÇA DE FIGURAS
O objectivo desta unidade consiste na exploração do conceito de semelhança recorrendo a um módulo computacional interactivo que permite a visualização gráfica do efeito da aplicação a figuras planas de diferentes razões de semelhança. Através da manipulação do comprimento dos lados de rectângulos semelhantes e do factor de escala, este módulo ajuda a compreender de que forma os comprimentos dos lados, os perímetros e as áreas de dois rectângulos semelhantes estão relacionados entre si. Serão sugeridas actividades que tirem partido dos itens estudados. Apresentam-se ainda no ponto 4 uma breve descrição sobre polígonos e em 5 far-se-á um estudo mais rigoroso do Teorema de Thales.
1. Figuras semelhantes 1.1 Ampliação e redução de figuras 1.2 Polígonos semelhantes 1.3 Perímetro e área de polígonos semelhantes 2. Aplicações 2.1 Como medir a altura de uma bandeira 2.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras usando semelhança de triângulos 3. Construção do módulo interactivo razao-semelhança.xls 4. Polígonos 5. Teorema de Thales
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1. Figuras semelhantes 1.1 Ampliação e redução de figuras O conceito de semelhança de figuras está associado à sua forma e dimensão: Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma mas não necessariamente o mesmo tamanho. Este conceito não é exclusivo das figuras planas. Aplica-se também a objectos sólidos. Em qualquer par de figuras semelhantes com tamanhos diferentes, cada uma constitui uma cópia da outra com outra escala. Mais precisamente, se uma figura F’ é semelhante a uma figura F, então F’ é uma ampliação de F, ou F’ é uma redução de F. O factor de ampliação ou redução constitui a razão de semelhança (ver figuras 1 e 2). Se k é a razão de semelhança de F’ para F então 1/k é a razão de semelhança de F para F’. Duas figuras com a mesma forma e o mesmo tamanho, isto é, com razão de semelhança igual a 1, dizem-se congruentes
F’ é uma redução de F, sendo 1/3 a razão de semelhança de F para F'. F é uma ampliação de F’, sendo 3 a razão de semelhança de F' para F. Como F’’ é uma cópia de F, F e F’’ dizem-se congruentes
Figura 1 – Figuras semelhantes - Ampliação (razao-semelhança.xls).
Figura 2 – Figuras semelhantes - Redução (razao-semelhança.xls)
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1.2 Polígonos semelhantes Facilmente se reconhece que todos os polígonos regulares com o mesmo número de lados são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos lados). Todos os círculos são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos raios). Todos os cubos são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos das arestas) e todas as esferas são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos raios). Com auxílio das aplicações tri_equilátero_v1.xls e poli_reg_v2.xls poderá experimentar a propriedade acima referida para vários polígonos regulares (figuras 3 e 4).
L
Figura 3 – Triângulos equiláteros são semelhantes. (tri_equilátero_v1.xls).
Figura 4 – Pentágonos regulares são semelhantes. (poli_reg_v2.xls).
kL
4
Com os polígonos irregulares que tenham o mesmo número de lados, a propriedade acima referida não se verifica, nem com os prismas ou pirâmides com o mesmo número de faces, nem com os cilindros ou cones. Abra as aplicações computacionais rectangulos-LE_v3.xls e quadri_v3.xls e confirme a afirmação anterior para polígonos irregulares com o mesmo número de lados.
Figura 5 – Polígonos irregulares apenas com os ângulos correspondentes geometricamente iguais podem não ser semelhantes. (rectangulos-LE_v3.xls).
Figura 6 – Polígonos irregulares apenas com os lados correspondentes proporcionais podem não ser semelhantes. (quadri_v3.xls).
Com auxílio das aplicações apresentadas nas figuras 5 e 6 podemos concluir que: Polígonos apenas com os ângulos correspondentes geometricamente iguais podem não ser semelhantes. Polígonos apenas com os lados correspondentes proporcionais podem não ser semelhantes.
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Com efeito, podemos então concluir que Dois polígonos são semelhantes quando simultaneamente as duas condições seguintes:
se
verificam
Os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e Os lados correspondentes são proporcionais No caso tridimensional, facilmente se reconhece que os dois prismas quadrangulares regulares A e B representados não são semelhantes. Com efeito, a medida da aresta da base é a mesma mas a altura duplicou, pelo que as faces laterais não são semelhantes. Já o prisma C resulta de A por duplicação da aresta da base e da altura. O prisma C é pois uma ampliação do prisma A: são sólidos semelhantes, sendo a razão de semelhança, de C para A, igual a 2.
A
B
C
Triângulos semelhantes É interessante notar que, quando queremos saber se dois triângulos são semelhantes, não é necessário verificar as duas condições acima apresentadas.
Qual a razão de semelhança do triângulo A''B''C'' para o triângulo A'B'C'? E do triângulo ABC para o triângulo A''B''C''?
Figura 7 – Triângulos semelhantes.
Observando os triângulos da figura 7 podemos constatar que, como têm a mesma forma, os ângulos são necessariamente iguais dois a dois. Neste caso, A = A’ , B = B , C = C’ . Pode-se demonstrar que a razão entre as medidas dos lados correspondentes, isto é, a razão entre os lados que se opõem a ângulos
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iguais (razão de semelhança), é constante. AB BC AC Neste caso 2 , pelo que o triângulo A’B’C’ é A 'B' B'C' A 'C' a ampliação do triângulo ABC pelo factor 2 (isto é, a razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo A’B’C’ é igual a 2) e o triângulo ABC é a redução de A’B’C’ pelo factor
1 2
.
Assim: I – Dois triângulos com os dois ângulos respectivamente iguais são semelhantes. No que respeita à semelhança de triângulos temos ainda os seguintes resultados: II – Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são semelhantes. (*) III – Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados iguais são semelhantes Estes três resultados são usualmente denominados critérios de semelhança de triângulos.
(*) Note-se que a proporcionalidade entre os lados garante também a semelhança entre pares de rectângulos. Mais precisamente, dois rectângulos são semelhantes se as razões entre os lados maiores e menores forem iguais. Esta observação é óbvia já que nos rectângulos todos os ângulos são iguais.
1.3 Perímetros e áreas de figuras planas semelhantes Analisemos o comportamento dos perímetros e áreas de figuras planas semelhantes. Com auxílio da aplicação computacional área+perimetro_v1.xls (figura 8) é possível introduzir os valores das dimensões a e b de um rectângulo (neste caso rectângulo A) e alterando o factor de escala pode-se visualizar o rectângulo B que resulta da ampliação do rectângulo A.
Alterar os valores de a e de b do rectângulo A, e actuando sobre a barra de deslocamento associada ao factor de escala, observar o que acontece ao perímetro e à área do rectângulo B.
Figura 8 – Perímetro e área de rectângulos semelhantes. área+perimetro_v1.xls
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A partir da figura 8 podemos verificar que o perímetro do rectângulo B é três vezes o perímetro do rectângulo A, mas a área não é três vezes a área do rectângulo A mas sim nove vezes. Os rectângulos A e B são semelhantes logo a razão entre os comprimentos dos lados do rectângulo B (por exemplo) e os comprimentos dos lados do rectângulo A corresponde à razão de semelhança. A razão dos perímetros dos dois rectângulos é igual à razão de semelhança. A razão das áreas dos dois rectângulos é igual ao quadrado da razão de semelhança. Com auxílio da aplicação apresentada na figura 9, é possível variar as dimensões do rectângulo A. Em seguida variando a razão de semelhança observa-se o rectângulo B, ampliado, reduzido ou congruente relativamente a A. No lado direito é possível visualizar a razão entre os perímetros e as áreas dos rectângulos.
Figura 9 – Perímetro e área de rectângulos semelhantes (area-perimetro.xls).
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Veremos em seguida que estas relações também são válidas para triângulos semelhantes. Sendo o perímetro de um triângulo a soma do comprimento dos seus lados, se cada lado de um triângulo é multiplicado por uma constante k então o perímetro do triângulo também é multiplicado por k.
Mais geralmente, se tivermos uma figura plana F com fronteiras curvas, ela pode ser aproximada interiormente e exteriormente por polígonos. Se os polígonos aproximantes tiverem um número crescente de lados, os seus perímetros podem tornar-se arbitrariamente próximos entre si e, consequentemente, arbitrariamente próximos do perímetro de F. Assim, se F sofre uma ampliação ou redução através de uma constante k, transformando-se numa figura semelhante F’, os polígonos aproximantes sofrem a mesma ampliação ou contracção e os seus perímetros são multiplicadas pela constante k. Como os perímetros dos polígonos interiores e exteriores se podem aproximar arbitrariamente do perímetro P de F, os polígonos transformados têm perímetros arbitrariamente próximos de kP, pelo que o perímetro de F’ é igual a kP.
Quanto às áreas: Se um triângulo T’ é o transformado de T mediante uma razão de semelhança k, então sendo
b h a área de T, 2
a área de T’ será
pelo que a razão entre as áreas de T’ e T
kb kh 2
kb kh 2 b h 2
é igual a k2.
Se cada lado de um polígono é multiplicado por uma constante k então o perímetro do polígono também é multiplicado por k.
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Figura 10 – Área de triângulos semelhantes. Tri_área.xls
Como todo o polígono (regular ou não) é decomponível num número finito de triângulos conforme ilustrado na figura ao lado, resulta facilmente que se um polígono P’ é o transformada de um polígono P mediante uma razão de semelhança k, ele pode ser decomposto à custa dos transformados dos triângulos em que P foi decomposto. Então a área A de P pode ser expressa como soma das áreas Ai dos triângulos. No caso da figura A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5+ A6 e a área de P’ é dada por k2A1 + k2A2 + k2A3 + k2A4 + k2A5 + k2A6, isto é, a área de P’ é k2A. O comportamento do volume de sólidos semelhantes é uma consequência do anteriormente estudado para as áreas de figuras semelhantes: Se um sólido S é transformado num sólido S’ semelhante e se a razão de semelhança de S’ para S é k, então o volume V’ de S’ é igual ao produto do volume V de S por k3. Exemplifiquemos esta situação no caso dos dois cilindros semelhantes C e C’ representados na figura ao lado, com volumes V e V’ respectivamente. Tem-se que V = r2 h e V’ =
k2r2 kh = k3 r2 h e assim V’= k3V.
r kr h kh
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2. Aplicações 2.1 Como medir a altura de uma bandeira A propriedade de saber se dois triângulos são semelhantes verificando apenas se eles têm de um para o outro dois ângulos iguais, foi descoberta vários séculos antes de Cristo e é de grande utilidade prática. Conta-se que cerca do ano 600 A.C., o sábio Thales de Mileto já a usava para medir a altura das pirâmides do Egipto ou de outros objectos de grande altura. Com auxílio da aplicação computacional pode verificar que para medir a altura de uma bandeira basta utilizar a semelhança de triângulos. Coloca-se uma estaca no chão da qual se conheça a altura. Os raios do Sol incidem sobre a bandeira provocando sombra. Os raios do Sol, a bandeira vertical e a sua sombra formam um triângulo rectângulo que é semelhante ao triângulo formado pelos raios do Sol, a estaca e a sua sombra. Então uma vez que os triângulos são semelhantes: Altura da estaca Comprimento da sombra da estaca
Altura da bandeira Comprimento da sombra da bandeira
Figura 11 – Os raios solares incidem paralelamente sobre a estaca e a bandeira. Sombra_v1_protegido.xls
Usando a aplicação Sombra_v1_protegido.xls (figura 11) e os conhecimentos sobre triângulos semelhantes determine a altura do pau da bandeira. Haverá algum momento em que, o problema se resolve sem nenhum cálculo auxiliar? Justifique.
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2.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras usando semelhança de triângulos Teorema de Pitágoras
“Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.” Este teorema é um dos muitos resultados cuja descoberta é atribuída a Pitágoras, embora ele já fosse conhecido num caso particular: um texto chinês, escrito cerca de 1100 a. C., contém uma demonstração para o caso em que as dimensões dos lados do triângulo rectângulo são 3, 4 e 5, demonstração essa que é válida para qualquer triângulo rectângulo. Como demonstrar o Teorema de Pitágoras? Geometricamente este teorema pode traduzir-se na forma seguinte: A soma das áreas dos quadrados A e B construídos sobre os catetos de um triângulo rectângulo é igual à área do quadrado C construído sobre a hipotenusa.
Utilizando a aplicação Pitagoras.xls (figura 11) é possível fazer variar os comprimentos dos catetos de um triângulo rectângulo, e em seguida clicando no botão "Decomposição" cobrir exactamente o quadrado construido sobre a hipotenusa, com as cinco partes. (a)
(b) Figura 12 – Pitagoras.xls
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O Teorema de Pitágoras pode ser demonstrado analiticamente utilizando a semelhança de triângulos: Consideremos um triângulo rectângulo ABC representado na figura 12 e designemos por a e b as medidas dos catetos CB e CA respectivamente e por c o comprimento da hipotenusa AB. Tracemos a altura CP relativa à hipotenusa e designemos por x e y os comprimentos dos segmentos em que a hipotenusa é dividida.
Figura 13 – Triângulo ABC é semelhante aos triângulos BCP e ACP
Como os triângulos ABC e CBP são semelhantes (Porquê?), temos que x/a = a/c, pelo que a 2 cx . Como os triângulos ABC e CAP são semelhantes(Porquê?), temos que y/b = b/c, pelo que b 2 cy . Então, a 2 b2
cx cy c x y e, como x y c , resulta que a2 + b2 = c2 .
Proposta de trabalho: De acordo com o teorema de Pitágoras, a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo rectângulo é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa. E se em vez de quadrados tivermos triângulos equiláteros? Será que esta propriedade se mantém, isto é, será que a área do triângulo equilátero C á a soma das áreas dos triângulos equiláteros A e B? (fig. 14).
E se os triângulos não forem equiláteros? E se forem rectângulos? Justifica as respostas
Figura 14 – T.PIT-TRI.xls
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3. Construção da aplicação Razao-semelhança.xls Embora estejam actualmente disponíveis nos circuitos comerciais módulos animados cuja utilização para a compreensão da matemática pode ser vantajosa, defende-se que as vantagens serão acrescidas se esses módulos computacionais forem construídos pelo próprio utilizador como resultado do domínio que vai adquirindo dos conceitos matemáticos, o que sugere em particular a possibilidade de adopção de metodologias de ensino que se apoiem em técnicas básicas de programação, técnicas essas que serão exemplificadas em seguida. O exemplo escolhido consiste no desenvolvimento de uma aplicação em Excel que permita desenhar uma figura qualquer, e variando a razão de semelhança, observar a ampliação, redução ou congruência obtida, a partir da figura inicial. Será então objecto de estudo a aplicação razao-de-semelhança apresentada no ponto 1. Em Excel, para se construir o desenho da estrela, é necessário começar por construir uma tabela com as coordenadas dos vértices da figura. Para construir um referencial cartesiano que permita desenhar a figura através das suas coordenadas deverá escolher-se o botão Assistente de gráficos da barra de ferramentas-padrão, seleccionando em seguida o tipo de gráfico e o subtipo. Neste caso deverá escolherse o gráfico XY-Dispersão.
Com as duas colunas da tabela preenchidas o gráfico é construído facilmente seleccionando todos os dados das células e clicando no botão do Assistente de Gráficos escolher o tipo de gráfico XY e o subtipo indicado a preto
Figura 15 – Tabela com as coordenadas dos vértices da estrela e respectivo gráfico.
Em seguida na célula D3 escreve-se um valor correspondente à razão de semelhança e inclui-se uma barra de deslocamento para fazer variar este valor. Para incluir na aplicação um botão do tipo “Scrollbar” que controle
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o valor da razão de semelhança (que está na célula D3), teremos de começar por inserir a barra de “Control Toolbox”, a partir do menu Tools – Customize. Escolhendo o botão View Code ter-se-á acesso ao código que estará Código para a barra de deslocamento: associado ao Scrollbar1. Private Sub ScrollBar1_scroll() ScrollBar1.Min = 0 ScrollBar1.Max = 30 Cells(3, 4) = ScrollBar1.Value / 10 End Sub Figura 16 – Barra de deslocamento correspondente à razão de semelhança.
Finalmente basta construir uma nova tabela que corresponde à multiplicação dos primeiros valores pela razão de semelhança e contruir novo gráfico (Figura 17).
Botão Design Mode. Quando activado permite programar o botão Scrollbar. Para activar o Scrollbar é necessário desactivar o botão de Design Mode
Figura 17 – Figura ampliada, reduzida ou congruente.
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4. Polígonos Chama-se polígono a qualquer figura plana limitada por uma linha fechada constituída por segmentos de recta consecutivos, isto é, por uma linha poligonal fechada. Esses segmentos são os lados do polígono e os vértices são os pontos comuns a dois lados consecutivos.
ângulo interno
Chamam-se ângulos internos do polígono ou, mais simplesmente, ângulos do polígono, aos ângulos formados por cada par de lados consecutivos. Chamam-se ângulos externos do polígono aos ângulos formados por cada lado com o prolongamento do lado contíguo. Um polígono diz-se convexo se o segmento de recta que une qualquer dois dos seus pontos está totalmente contido no polígono. Um polígono diz-se côncavo se não é convexo. Na figura o polígono A é convexo e o polígono B é côncavo.
PolígonoA: convexo
ângulo externo
Um polígono diz-se regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais. Assim:
Polígono B: côncavo
de entre todos os triângulos, só o triângulo equilátero é um polígono regular; o losango não é um polígono regular (porque os ângulos não são todos iguais);
um rectângulo não é um polígono regular (porque não tem todos os lados iguais). Em qualquer polígono convexo, a soma dos seus ângulos é igual a tantas vezes dois ângulos rectos quanto o número dos seus lados menos dois.
Figura 18 – Soma dos ângulos internos de alguns polígonos.
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Assim, no caso dos polígonos regulares com n lados, a medida de n 2 cada um dos seus ângulos é igual a e a medida de cada n 2 ângulo externo é igual a π . n
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Teorema de Thales Um feixe de rectas paralelas determina em duas rectas transversais segmentos correspondentes directamente proporcionais.
AB DE
BC EF
AC DF
Figura 19 – Feixe de rectas paralelas determina em duas rectas segmentos correspondentes proporcionais.
É habitualmente sob esta forma que surge o denominado Teorema de Thales, um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana (Fig. 19). Este teorema, que teve como origem a resolução de problemas envolvendo paralelismo e proporcionalidade, tem um papel fundamental na teoria da semelhança e, consequentemente, na trigonometria plana: é o teorema de Thales que permite definir as funções trigonométricas como razões entre medidas de lados de triângulos rectângulos.
Como demonstrar este teorema? É frequentemente apresentada uma demonstração do Teorema de Thales baseada na decomposição de AB e BC num número inteiro de segmentos com o mesmo comprimento. Esta decomposição pressupõe que os segmentos AB e BC são comensuráveis, isto é, que existe um segmento AX e dois inteiros positivos m e n tais que AB = mAX e BC = nAX.
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Na figura 20 ilustra-se uma decomposição com m = 7 e n = 3. Conduzindo rectas paralelas a AD pelos pontos da subdivisão, determinamos um ponto Y no segmento DE tal que DE = m DY e EF = n DY. Então
logo
AB BC
AB BC
m AX n AX
m n
DE EF
e
m AY n AY
DE ou, de forma equivalente, EF
m n
AB DE
BC . EF
Figura 20 – Os segmentos AB e BC são comensuráveis
Tendo em conta que AC = (m+n) AX e DF = (m+n) AY, resulta que AB AC
Então
m AX m n AX
AB AC
m m n
DE , isto é, DF
DE DF
e
AB DE AB DE
m AY m n AY
m . m n
AC e, finalmente, DF BC EF
AC DF
Vamos seguidamente libertar-nos desta limitação, demonstrando o teorema de Thales através de áreas de triângulos. Trata-se de uma demonstração engenhosa mas elementar, já que envolve apenas a determinação de áreas de triângulos. Demonstração: Retomando a figura inicial, tracemos a partir de A uma paralela a DF (Fig. 21). Como AB’ = DE e B’C’ = EF, o teorema fica demonstrado se provarmos que
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AB AB'
BC B' C'
A partir de B tracemos uma perpendicular a AB’ e seja G o pé dessa perpendicular. Analogamente, a partir de B’ tracemos uma perpendicular a AB e seja H o pé dessa perpendicular.
Figura 21 – Paralela a DF, a partir de A.
A área do triângulo ABB’ pode ser expressa por AB . B' H AB'.BG ou por . 2 2
Então AB. B’H= AB’.BG e, consequentemente, AB AB'
BG B' H
(1)
Unindo B com C’ e B’ com C obtemos os triângulos BB’C e BB’C’. BC . B' H A área do triângulo BB’C pode ser dada por 2 B' C'.BG e a do triângulo BB’C’ por . 2 Os triângulos BB'C e BB'C' têm a mesma área porque a altura relativa à base BB' é igual nos dois triângulos. Então BC .B’H = B’C’. BG e, consequentemente BC B' C'
BG B' H
(2)
20
De (1) e (2) resulta que
AB AB'
Resulta desta igualdade que
BC como pretendíamos. B' C' AB AB'
AC . AC'
Com efeito, AC = AB +BC e AC’ = AB’ + B’C’. Então
AC AB
1
BC AC' B' C' e . 1 AB AB' AB'
BC BC B' C AC decorre que , pelo que AB AB' B' C' AB AB AC forma equivalente, como pretendiamos. AB' AC' De
AB AB'
AC' ou, de AB'
De acordo com o Teorema de Thales, três rectas paralelas determinam sobre duas secantes segmentos correspondentes proporcionais. O resultado que demonstramos em seguida refere-se às posições relativas das rectas que originam segmentos proporcionais. (i) Se três rectas determinam em duas transversais segmentos correspondentes proporcionais e duas daquelas rectas são paralelas a outra também o é.
Observemos a figura 22 em que AD, BE e CF são três rectas que determinam em duas transversais segmentos proporcionais, AB BC AC isto é, . DE EF DF Suponhamos que AD é paralela a BE. Justifiquemos que CF também é paralela a AD e a BE.
Figura 22 – A partir de C, tira-se uma paralela a BE.
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Suponhamos que CF não é paralela às outras duas rectas. Nessas condições, a partir de C poderíamos tirar uma paralela CM a BE. Tendo em conta a hipótese, as rectas BE, CF e CM determinam BC BC segmentos proporcionais, isto é, . Então EF = EM, sendo EF EM F e M coincidentes, pelo que a recta CF é paralela a AD e a BE.
Em particular: (ii) Se uma recta AD divide dois lados de um triângulo em segmentos proporcionais entre si, ela é paralela ao terceiro lado do triângulo. Com efeito, se pelo vértice O, oposto a este terceiro lado, traçarmos uma recta paralela a AD, como se assinala na figura 23, teremos três rectas, sendo duas delas paralelas, que determinam sobre duas transversais segmentos proporcionais. Por (i), AD também é paralela ao terceiro lado, BC, do triângulo.
Figura 23 – Pelo vértice O traça-se uma recta paralela a AD.
Demonstremos as seguintes consequências do Teorema de Thales, usualmente denominadas critérios de semelhanças de triângulos:
I – Dois triângulos com dois ângulos respectivamente iguais são semelhantes.(*) Demonstração: Consideremos dois triângulos ABC e A’B’C’ em que B = B’, C = C’ (Figura 24).
A =
A’,
(*) É consequência de I que:
Cortando um triângulo por meio de uma recta paralela a um dos seus lados, os dois triângulos obtidos são semelhantes Este resultado foi descoberto por Thales e é habitualmente enunciado na forma: Se duas paralelas intersectam duas secantes os triângulos obtidos são semelhantes.
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Figura 24 – Triângulos com os ângulos correspondentes iguais.
A' B' A' C' C' B' . AB AC CB Nestas condições, os dois triângulos serão semelhantes.
e verifiquemos que também se tem
Sobre o lado AC marquemos um ponto D tal que CD = A´C´ e, a partir de D, tracemos uma paralela a AB. Seja E o ponto de intersecção dessa recta com CB (Figura 25).
Figura 25 – Recta paralela a AB.
Então temos que CD CE
ou, de forma equivalente,
CD CA
CA CB
(3)
CE . CB
Uma vez que C’A’ = CD e C’B’=CE, temos que
C' A' CA
C' B' . CB
A partir de D tracemos uma paralela a CB e seja F o seu ponto de intersecção com AB (Figura 26).
Figura 26 – Recta paralela a CB.
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Obtemos assim duas paralelas, DF e BC, e duas transversais AC e AF FB AB, pelo que ou, tendo em conta que DE = FB, AD DC AF DE AB DE DC CE e, por (3), . AD DC AC AB AC CB Resta agora ter em conta que DE = A’B’, DC = A’C’ e CE = C’B’: a A' B' A' C' C' B' dupla igualdade anterior toma a forma . AB AC CB Concluímos assim que os dois triângulos, além de terem os ângulos iguais, têm os lados correspondentes proporcionais, pelo que são semelhantes.
II – Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são semelhantes Demonstração: Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que
AB DE
AC DF
BC (Figura EF
27).
Figura 27 – Triângulos ABC e DEF.
Marquemos E’ em AB tal que AE’ = DE e F’ em AC tal que AF’ =DF (Figura 28).
Figura 28 – AF' = DF e AE' = DE
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AB AC BC AB AC , temos que e, por (ii), DE DF EF AE ' AF' E’F’ é paralela a BC. Então os triângulos ABC e AE’F’ são semelhantes. pelo que AB BC . AE ' E' F' Uma vez que
Sendo AE’=DE, esta igualdade toma a forma
Tendo mais uma vez em conta que BC EF
AB DE
AB DE
BC . E' F'
AC DF
BC , resulta que EF
BC e, consequentemente, EF = E’F’. E' F'
Então os triângulos AE’F’ e DEF são iguais e, sendo o triângulo AE’F’ semelhante ao triângulo ABC, podemos concluir que os triângulos ABC e DEF são semelhantes. III – Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e os
ângulos por eles formados iguais são semelhantes Demonstração:
Consideremos dois triângulos ABC e A’B’C’ em que A' C' C' B' (Figura 29). AC CB
C=
C’ e
Figura 29 – Triângulos com dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados iguais.
Sobre o lado AC marquemos um ponto D tal que CD = A´C´ e um ponto E tal que CE =B’C’ e tracemos o segmento DE. Os triângulos DEC e A’B’C’ são iguais (Figura 30).
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Figura 30 – Os triângulos DEC e A'B'C' são semelhantes.
A' C' C' B' DC CE temos que e, por (ii), DE é paralela a AC CB AC CB AB. Então, os triângulos ABC e DEC são semelhantes, uma vez que têm todos os ângulos iguais (critério I). Como os triângulos DEC e A’B’C’ são iguais, os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes. Como