Semelhanças

Aprovada a publicação por decisão da Comissão Editorial de 8 de Março de 2010.

SEMELHANÇA DE FIGURAS

O objectivo desta unidade consiste na exploração do conceito de semelhança recorrendo a um módulo computacional interactivo que permite a visualização gráfica do efeito da aplicação a figuras planas de diferentes razões de semelhança. Através da manipulação do comprimento dos lados de rectângulos semelhantes e do factor de escala, este módulo ajuda a compreender de que forma os comprimentos dos lados, os perímetros e as áreas de dois rectângulos semelhantes estão relacionados entre si. Serão sugeridas actividades que tirem partido dos itens estudados. Apresentam-se ainda no ponto 4 uma breve descrição sobre polígonos e em 5 far-se-á um estudo mais rigoroso do Teorema de Thales.

1. Figuras semelhantes 1.1 Ampliação e redução de figuras 1.2 Polígonos semelhantes 1.3 Perímetro e área de polígonos semelhantes 2. Aplicações 2.1 Como medir a altura de uma bandeira 2.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras usando semelhança de triângulos 3. Construção do módulo interactivo razao-semelhança.xls 4. Polígonos 5. Teorema de Thales

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1. Figuras semelhantes 1.1 Ampliação e redução de figuras O conceito de semelhança de figuras está associado à sua forma e dimensão: Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma mas não necessariamente o mesmo tamanho.

Este conceito não é exclusivo das figuras planas. Aplica-se também a objectos sólidos.

Em qualquer par de figuras semelhantes com tamanhos diferentes, cada uma constitui uma cópia da outra com outra escala.

Mais precisamente, se uma figura F’ é semelhante a uma figura F, então F’ é uma ampliação de F, ou F’ é uma redução de F. O factor de ampliação ou redução constitui a razão de semelhança (ver figuras 1 e 2).

Se k é a razão de semelhança de F’ para F então 1/k é a razão de semelhança de F para F’. Duas figuras com a mesma forma e o mesmo tamanho, isto é, com razão de semelhança igual a 1, dizem-se congruentes

F’ é uma redução de F, sendo 1/3 a razão de semelhança de F para F'.

F é uma ampliação de F’, sendo 3 a razão de semelhança de F' para F. Como F’’ é uma cópia de F, F e F’’ dizem-se congruentes

Figura 1 – Figuras semelhantes - Ampliação (razao-semelhança.xls).

Figura 2 – Figuras semelhantes - Redução (razao-semelhança.xls)

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1.2 Polígonos semelhantes Facilmente se reconhece que todos os polígonos regulares com o mesmo número de lados são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos lados). Todos os círculos são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos raios).

Todos os cubos são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos das arestas) e todas as esferas são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos raios).

Com auxílio das aplicações tri_equilátero_v1.xls e poli_reg_v2.xls poderá experimentar a propriedade acima referida para vários polígonos regulares (figuras 3 e 4).

L

Figura 3 – Triângulos equiláteros são semelhantes. (tri_equilátero_v1.xls).

Figura 4 – Pentágonos regulares são semelhantes. (poli_reg_v2.xls).

kL

4

Com os polígonos irregulares que tenham o mesmo número de lados, a propriedade acima referida não se verifica, nem com os prismas ou pirâmides com o mesmo número de faces, nem com os cilindros ou cones. Abra as aplicações computacionais rectangulos-LE_v3.xls e quadri_v3.xls e confirme a afirmação anterior para polígonos irregulares com o mesmo número de lados.

Figura 5 – Polígonos irregulares apenas com os ângulos correspondentes geometricamente iguais podem não ser semelhantes. (rectangulos-LE_v3.xls).

Figura 6 – Polígonos irregulares apenas com os lados correspondentes proporcionais podem não ser semelhantes. (quadri_v3.xls).

Com auxílio das aplicações apresentadas nas figuras 5 e 6 podemos concluir que: Polígonos apenas com os ângulos correspondentes geometricamente iguais podem não ser semelhantes.

Polígonos apenas com os lados correspondentes proporcionais podem não ser semelhantes.

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Com efeito, podemos então concluir que Dois polígonos são semelhantes quando simultaneamente as duas condições seguintes:

se

verificam

Os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e Os lados correspondentes são proporcionais No caso tridimensional, facilmente se reconhece que os dois prismas quadrangulares regulares A e B representados não são semelhantes.

Com efeito, a medida da aresta da base é a mesma mas a altura duplicou, pelo que as faces laterais não são semelhantes. Já o prisma C resulta de A por duplicação da aresta da base e da altura. O prisma C é pois uma ampliação do prisma A: são sólidos semelhantes, sendo a razão de semelhança, de C para A, igual a 2.

A

B

C

Triângulos semelhantes É interessante notar que, quando queremos saber se dois triângulos são semelhantes, não é necessário verificar as duas condições acima apresentadas.

Qual a razão de semelhança do triângulo A''B''C'' para o triângulo A'B'C'?

E do triângulo ABC para o triângulo A''B''C''?

Figura 7 – Triângulos semelhantes.

Observando os triângulos da figura 7 podemos constatar que, como têm a mesma forma, os ângulos são necessariamente iguais dois a dois.

Neste caso, A = A’ , B = B , C = C’ .

Pode-se demonstrar que a razão entre as medidas dos lados correspondentes, isto é, a razão entre os lados que se opõem a ângulos

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iguais (razão de semelhança), é constante.

AB BC AC Neste caso 2 , pelo que o triângulo A’B’C’ é A 'B' B'C' A 'C' a ampliação do triângulo ABC pelo factor 2 (isto é, a razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo A’B’C’ é igual a 2) e o triângulo ABC é a redução de A’B’C’ pelo factor

1 2

.

Assim: I – Dois triângulos com os dois ângulos respectivamente iguais são semelhantes.

No que respeita à semelhança de triângulos temos ainda os seguintes resultados: II – Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são semelhantes. (*) III – Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados iguais são semelhantes Estes três resultados são usualmente denominados critérios de semelhança de triângulos.

(*) Note-se que a proporcionalidade entre os lados garante também a semelhança entre pares de rectângulos.

Mais precisamente, dois rectângulos são semelhantes se as razões entre os lados maiores e menores forem iguais. Esta observação é óbvia já que nos rectângulos todos os ângulos são iguais.

1.3 Perímetros e áreas de figuras planas semelhantes Analisemos o comportamento dos perímetros e áreas de figuras planas semelhantes.

Com auxílio da aplicação computacional área+perimetro_v1.xls (figura 8) é possível introduzir os valores das dimensões a e b de um rectângulo (neste caso rectângulo A) e alterando o factor de escala pode-se visualizar o rectângulo B que resulta da ampliação do rectângulo A.

Alterar os valores de a e de b do rectângulo A, e actuando sobre a barra de deslocamento associada ao factor de escala, observar o que acontece ao perímetro e à área do rectângulo B.

Figura 8 – Perímetro e área de rectângulos semelhantes. área+perimetro_v1.xls

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A partir da figura 8 podemos verificar que o perímetro do rectângulo B é três vezes o perímetro do rectângulo A, mas a área não é três vezes a área do rectângulo A mas sim nove vezes.

Os rectângulos A e B são semelhantes logo a razão entre os comprimentos dos lados do rectângulo B (por exemplo) e os comprimentos dos lados do rectângulo A corresponde à razão de semelhança.

A razão dos perímetros dos dois rectângulos é igual à razão de semelhança.

A razão das áreas dos dois rectângulos é igual ao quadrado da razão de semelhança.

Com auxílio da aplicação apresentada na figura 9, é possível variar as dimensões do rectângulo A. Em seguida variando a razão de semelhança observa-se o rectângulo B, ampliado, reduzido ou congruente relativamente a A. No lado direito é possível visualizar a razão entre os perímetros e as áreas dos rectângulos.

Figura 9 – Perímetro e área de rectângulos semelhantes (area-perimetro.xls).

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Veremos em seguida que estas relações também são válidas para triângulos semelhantes.

Sendo o perímetro de um triângulo a soma do comprimento dos seus lados, se cada lado de um triângulo é multiplicado por uma constante k então o perímetro do triângulo também é multiplicado por k.

Mais geralmente, se tivermos uma figura plana F com fronteiras curvas, ela pode ser aproximada interiormente e exteriormente por polígonos.

Se os polígonos aproximantes tiverem um número crescente de lados, os seus perímetros podem tornar-se arbitrariamente próximos entre si e, consequentemente, arbitrariamente próximos do perímetro de F. Assim, se F sofre uma ampliação ou redução através de uma constante k, transformando-se numa figura semelhante F’, os polígonos aproximantes sofrem a mesma ampliação ou contracção e os seus perímetros são multiplicadas pela constante k. Como os perímetros dos polígonos interiores e exteriores se podem aproximar arbitrariamente do perímetro P de F, os polígonos transformados têm perímetros arbitrariamente próximos de kP, pelo que o perímetro de F’ é igual a kP.

Quanto às áreas: Se um triângulo T’ é o transformado de T mediante uma razão de semelhança k, então sendo

b h a área de T, 2

a área de T’ será

pelo que a razão entre as áreas de T’ e T

kb kh 2

kb kh 2 b h 2

é igual a k2.

Se cada lado de um polígono é multiplicado por uma constante k então o perímetro do polígono também é multiplicado por k.

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Figura 10 – Área de triângulos semelhantes. Tri_área.xls

Como todo o polígono (regular ou não) é decomponível num número finito de triângulos conforme ilustrado na figura ao lado, resulta facilmente que se um polígono P’ é o transformada de um polígono P mediante uma razão de semelhança k, ele pode ser decomposto à custa dos transformados dos triângulos em que P foi decomposto.

Então a área A de P pode ser expressa como soma das áreas Ai dos triângulos.

No caso da figura A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5+ A6 e a área de P’ é dada por k2A1 + k2A2 + k2A3 + k2A4 + k2A5 + k2A6, isto é, a área de P’ é k2A. O comportamento do volume de sólidos semelhantes é uma consequência do anteriormente estudado para as áreas de figuras semelhantes: Se um sólido S é transformado num sólido S’ semelhante e se a razão de semelhança de S’ para S é k, então o volume V’ de S’ é igual ao produto do volume V de S por k3.

Exemplifiquemos esta situação no caso dos dois cilindros semelhantes C e C’ representados na figura ao lado, com volumes V e V’ respectivamente.

Tem-se que V = r2 h e V’ =

k2r2 kh = k3 r2 h e assim V’= k3V.

r kr h kh

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2. Aplicações 2.1 Como medir a altura de uma bandeira A propriedade de saber se dois triângulos são semelhantes verificando apenas se eles têm de um para o outro dois ângulos iguais, foi descoberta vários séculos antes de Cristo e é de grande utilidade prática.

Conta-se que cerca do ano 600 A.C., o sábio Thales de Mileto já a usava para medir a altura das pirâmides do Egipto ou de outros objectos de grande altura.

Com auxílio da aplicação computacional pode verificar que para medir a altura de uma bandeira basta utilizar a semelhança de triângulos. Coloca-se uma estaca no chão da qual se conheça a altura.

Os raios do Sol incidem sobre a bandeira provocando sombra. Os raios do Sol, a bandeira vertical e a sua sombra formam um triângulo rectângulo que é semelhante ao triângulo formado pelos raios do Sol, a estaca e a sua sombra.

Então uma vez que os triângulos são semelhantes: Altura da estaca Comprimento da sombra da estaca

Altura da bandeira Comprimento da sombra da bandeira

Figura 11 – Os raios solares incidem paralelamente sobre a estaca e a bandeira.

Sombra_v1_protegido.xls

Usando a aplicação Sombra_v1_protegido.xls (figura 11) e os conhecimentos sobre triângulos semelhantes determine a altura do pau da bandeira.

Haverá algum momento em que, o problema se resolve sem nenhum cálculo auxiliar? Justifique.

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2.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras usando semelhança de triângulos Teorema de Pitágoras

“Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

Este teorema é um dos muitos resultados cuja descoberta é atribuída a Pitágoras, embora ele já fosse conhecido num caso particular: um texto chinês, escrito cerca de 1100 a. C., contém uma demonstração para o caso em que as dimensões dos lados do triângulo rectângulo são 3, 4 e 5, demonstração essa que é válida para qualquer triângulo rectângulo.

Como demonstrar o Teorema de Pitágoras?

Geometricamente este teorema pode traduzir-se na forma seguinte: A soma das áreas dos quadrados A e B construídos sobre os catetos de um triângulo rectângulo é igual à área do quadrado C construído sobre a hipotenusa.

Utilizando a aplicação Pitagoras.xls (figura 11) é possível fazer variar os comprimentos dos catetos de um triângulo rectângulo, e em seguida clicando no botão "Decomposição" cobrir exactamente o quadrado construido sobre a hipotenusa, com as cinco partes. (a)

(b) Figura 12 – Pitagoras.xls

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O Teorema de Pitágoras pode ser demonstrado analiticamente utilizando a semelhança de triângulos: Consideremos um triângulo rectângulo ABC representado na figura 12 e designemos por a e b as medidas dos catetos CB e CA respectivamente e por c o comprimento da hipotenusa AB. Tracemos a altura CP relativa à hipotenusa e designemos por x e y os comprimentos dos segmentos em que a hipotenusa é dividida.

Figura 13 – Triângulo ABC é semelhante aos triângulos BCP e ACP

Como os triângulos ABC e CBP são semelhantes (Porquê?), temos que x/a = a/c, pelo que a 2 cx .

Como os triângulos ABC e CAP são semelhantes(Porquê?), temos que y/b = b/c, pelo que b 2 cy .

Então, a 2 b2

cx cy c x y e, como x y c , resulta que a2 + b2 = c2 .

Proposta de trabalho: De acordo com o teorema de Pitágoras, a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo rectângulo é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa.

E se em vez de quadrados tivermos triângulos equiláteros?

Será que esta propriedade se mantém, isto é, será que a área do triângulo equilátero C á a soma das áreas dos triângulos equiláteros A e B? (fig. 14).

E se os triângulos não forem equiláteros?

E se forem rectângulos?

Justifica as respostas

Figura 14 – T.PIT-TRI.xls

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3. Construção da aplicação Razao-semelhança.xls Embora estejam actualmente disponíveis nos circuitos comerciais módulos animados cuja utilização para a compreensão da matemática pode ser vantajosa, defende-se que as vantagens serão acrescidas se esses módulos computacionais forem construídos pelo próprio utilizador como resultado do domínio que vai adquirindo dos conceitos matemáticos, o que sugere em particular a possibilidade de adopção de metodologias de ensino que se apoiem em técnicas básicas de programação, técnicas essas que serão exemplificadas em seguida.

O exemplo escolhido consiste no desenvolvimento de uma aplicação em Excel que permita desenhar uma figura qualquer, e variando a razão de semelhança, observar a ampliação, redução ou congruência obtida, a partir da figura inicial.

Será então objecto de estudo a aplicação razao-de-semelhança apresentada no ponto 1.

Em Excel, para se construir o desenho da estrela, é necessário começar por construir uma tabela com as coordenadas dos vértices da figura.

Para construir um referencial cartesiano que permita desenhar a figura através das suas coordenadas deverá escolher-se o botão Assistente de gráficos da barra de ferramentas-padrão, seleccionando em seguida o tipo de gráfico e o subtipo. Neste caso deverá escolherse o gráfico XY-Dispersão.

Com as duas colunas da tabela preenchidas o gráfico é construído facilmente seleccionando todos os dados das células e clicando no botão do Assistente de Gráficos escolher o tipo de gráfico XY e o subtipo indicado a preto

Figura 15 – Tabela com as coordenadas dos vértices da estrela e respectivo gráfico.

Em seguida na célula D3 escreve-se um valor correspondente à razão de semelhança e inclui-se uma barra de deslocamento para fazer variar este valor.

Para incluir na aplicação um botão do tipo “Scrollbar” que controle

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o valor da razão de semelhança (que está na célula D3), teremos de começar por inserir a barra de “Control Toolbox”, a partir do menu Tools – Customize.

Escolhendo o botão View Code ter-se-á acesso ao código que estará Código para a barra de deslocamento: associado ao Scrollbar1.

Private Sub ScrollBar1_scroll() ScrollBar1.Min = 0 ScrollBar1.Max = 30 Cells(3, 4) = ScrollBar1.Value / 10 End Sub Figura 16 – Barra de deslocamento correspondente à razão de semelhança.

Finalmente basta construir uma nova tabela que corresponde à multiplicação dos primeiros valores pela razão de semelhança e contruir novo gráfico (Figura 17).

Botão Design Mode. Quando activado permite programar o botão Scrollbar. Para activar o Scrollbar é necessário desactivar o botão de Design Mode

Figura 17 – Figura ampliada, reduzida ou congruente.

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4. Polígonos Chama-se polígono a qualquer figura plana limitada por uma linha fechada constituída por segmentos de recta consecutivos, isto é, por uma linha poligonal fechada. Esses segmentos são os lados do polígono e os vértices são os pontos comuns a dois lados consecutivos.

ângulo interno

Chamam-se ângulos internos do polígono ou, mais simplesmente, ângulos do polígono, aos ângulos formados por cada par de lados consecutivos.

Chamam-se ângulos externos do polígono aos ângulos formados por cada lado com o prolongamento do lado contíguo.

Um polígono diz-se convexo se o segmento de recta que une qualquer dois dos seus pontos está totalmente contido no polígono.

Um polígono diz-se côncavo se não é convexo. Na figura o polígono A é convexo e o polígono B é côncavo.

PolígonoA: convexo

ângulo externo

Um polígono diz-se regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais.

Assim:

Polígono B: côncavo

de entre todos os triângulos, só o triângulo equilátero é um polígono regular; o losango não é um polígono regular (porque os ângulos não são todos iguais);

um rectângulo não é um polígono regular (porque não tem todos os lados iguais).

Em qualquer polígono convexo, a soma dos seus ângulos é igual a tantas vezes dois ângulos rectos quanto o número dos seus lados menos dois.

Figura 18 – Soma dos ângulos internos de alguns polígonos.

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Assim, no caso dos polígonos regulares com n lados, a medida de n 2 cada um dos seus ângulos é igual a e a medida de cada n 2 ângulo externo é igual a π . n

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Teorema de Thales Um feixe de rectas paralelas determina em duas rectas transversais segmentos correspondentes directamente proporcionais.

AB DE

BC EF

AC DF

Figura 19 – Feixe de rectas paralelas determina em duas rectas segmentos correspondentes proporcionais.

É habitualmente sob esta forma que surge o denominado Teorema de Thales, um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana (Fig. 19). Este teorema, que teve como origem a resolução de problemas envolvendo paralelismo e proporcionalidade, tem um papel fundamental na teoria da semelhança e, consequentemente, na trigonometria plana: é o teorema de Thales que permite definir as funções trigonométricas como razões entre medidas de lados de triângulos rectângulos.

Como demonstrar este teorema? É frequentemente apresentada uma demonstração do Teorema de Thales baseada na decomposição de AB e BC num número inteiro de segmentos com o mesmo comprimento.

Esta decomposição pressupõe que os segmentos AB e BC são comensuráveis, isto é, que existe um segmento AX e dois inteiros positivos m e n tais que AB = mAX e BC = nAX.

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Na figura 20 ilustra-se uma decomposição com m = 7 e n = 3.

Conduzindo rectas paralelas a AD pelos pontos da subdivisão, determinamos um ponto Y no segmento DE tal que DE = m DY e EF = n DY. Então

logo

AB BC

AB BC

m AX n AX

m n

DE EF

e

m AY n AY

DE ou, de forma equivalente, EF

m n

AB DE

BC .

EF

Figura 20 – Os segmentos AB e BC são comensuráveis

Tendo em conta que AC = (m+n) AX e DF = (m+n) AY, resulta que AB AC

Então

m AX m n AX

AB AC

m m n

DE , isto é, DF

DE DF

e

AB DE AB DE

m AY m n AY

m . m n

AC e, finalmente, DF BC EF

AC DF

Vamos seguidamente libertar-nos desta limitação, demonstrando o teorema de Thales através de áreas de triângulos. Trata-se de uma demonstração engenhosa mas elementar, já que envolve apenas a determinação de áreas de triângulos.

Demonstração: Retomando a figura inicial, tracemos a partir de A uma paralela a DF (Fig. 21).

Como AB’ = DE e B’C’ = EF, o teorema fica demonstrado se provarmos que

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AB AB'

BC B' C'

A partir de B tracemos uma perpendicular a AB’ e seja G o pé dessa perpendicular. Analogamente, a partir de B’ tracemos uma perpendicular a AB e seja H o pé dessa perpendicular.

Figura 21 – Paralela a DF, a partir de A.

A área do triângulo ABB’ pode ser expressa por AB . B' H AB'.BG ou por .

2 2

Então AB. B’H= AB’.BG e, consequentemente, AB AB'

BG B' H

(1)

Unindo B com C’ e B’ com C obtemos os triângulos BB’C e BB’C’.

BC . B' H A área do triângulo BB’C pode ser dada por 2 B' C'.BG e a do triângulo BB’C’ por .

2 Os triângulos BB'C e BB'C' têm a mesma área porque a altura relativa à base BB' é igual nos dois triângulos.

Então BC .B’H = B’C’. BG e, consequentemente BC B' C'

BG B' H

(2)

20

De (1) e (2) resulta que

AB AB'

Resulta desta igualdade que

BC como pretendíamos.

B' C' AB AB'

AC .

AC'

Com efeito, AC = AB +BC e AC’ = AB’ + B’C’.

Então

AC AB

1

BC AC' B' C' e .

1 AB AB' AB'

BC BC B' C AC decorre que , pelo que AB AB' B' C' AB AB AC forma equivalente, como pretendiamos.

AB' AC' De

AB AB'

AC' ou, de AB'

De acordo com o Teorema de Thales, três rectas paralelas determinam sobre duas secantes segmentos correspondentes proporcionais. O resultado que demonstramos em seguida refere-se às posições relativas das rectas que originam segmentos proporcionais. (i) Se três rectas determinam em duas transversais segmentos correspondentes proporcionais e duas daquelas rectas são paralelas a outra também o é.

Observemos a figura 22 em que AD, BE e CF são três rectas que determinam em duas transversais segmentos proporcionais, AB BC AC isto é, .

DE EF DF Suponhamos que AD é paralela a BE. Justifiquemos que CF também é paralela a AD e a BE.

Figura 22 – A partir de C, tira-se uma paralela a BE.

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Suponhamos que CF não é paralela às outras duas rectas. Nessas condições, a partir de C poderíamos tirar uma paralela CM a BE. Tendo em conta a hipótese, as rectas BE, CF e CM determinam BC BC segmentos proporcionais, isto é, . Então EF = EM, sendo EF EM F e M coincidentes, pelo que a recta CF é paralela a AD e a BE.

Em particular: (ii) Se uma recta AD divide dois lados de um triângulo em segmentos proporcionais entre si, ela é paralela ao terceiro lado do triângulo.

Com efeito, se pelo vértice O, oposto a este terceiro lado, traçarmos uma recta paralela a AD, como se assinala na figura 23, teremos três rectas, sendo duas delas paralelas, que determinam sobre duas transversais segmentos proporcionais. Por (i), AD também é paralela ao terceiro lado, BC, do triângulo.

Figura 23 – Pelo vértice O traça-se uma recta paralela a AD.

Demonstremos as seguintes consequências do Teorema de Thales, usualmente denominadas critérios de semelhanças de triângulos:

I – Dois triângulos com dois ângulos respectivamente iguais são semelhantes.(*) Demonstração: Consideremos dois triângulos ABC e A’B’C’ em que B = B’, C = C’ (Figura 24).

A =

A’,

(*) É consequência de I que:

Cortando um triângulo por meio de uma recta paralela a um dos seus lados, os dois triângulos obtidos são semelhantes Este resultado foi descoberto por Thales e é habitualmente enunciado na forma: Se duas paralelas intersectam duas secantes os triângulos obtidos são semelhantes.

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Figura 24 – Triângulos com os ângulos correspondentes iguais.

A' B' A' C' C' B' .

AB AC CB Nestas condições, os dois triângulos serão semelhantes.

e verifiquemos que também se tem

Sobre o lado AC marquemos um ponto D tal que CD = A´C´ e, a partir de D, tracemos uma paralela a AB. Seja E o ponto de intersecção dessa recta com CB (Figura 25).

Figura 25 – Recta paralela a AB.

Então temos que CD CE

ou, de forma equivalente,

CD CA

CA CB

(3)

CE .

CB

Uma vez que C’A’ = CD e C’B’=CE, temos que

C' A' CA

C' B' .

CB

A partir de D tracemos uma paralela a CB e seja F o seu ponto de intersecção com AB (Figura 26).

Figura 26 – Recta paralela a CB.

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Obtemos assim duas paralelas, DF e BC, e duas transversais AC e AF FB AB, pelo que ou, tendo em conta que DE = FB, AD DC AF DE AB DE DC CE e, por (3), .

AD DC AC AB AC CB Resta agora ter em conta que DE = A’B’, DC = A’C’ e CE = C’B’: a A' B' A' C' C' B' dupla igualdade anterior toma a forma .

AB AC CB Concluímos assim que os dois triângulos, além de terem os ângulos iguais, têm os lados correspondentes proporcionais, pelo que são semelhantes.

II – Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são semelhantes Demonstração: Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que

AB DE

AC DF

BC (Figura EF

27).

Figura 27 – Triângulos ABC e DEF.

Marquemos E’ em AB tal que AE’ = DE e F’ em AC tal que AF’ =DF (Figura 28).

Figura 28 – AF' = DF e AE' = DE

24

AB AC BC AB AC , temos que e, por (ii), DE DF EF AE ' AF' E’F’ é paralela a BC. Então os triângulos ABC e AE’F’ são semelhantes. pelo que AB BC .

AE ' E' F' Uma vez que

Sendo AE’=DE, esta igualdade toma a forma

Tendo mais uma vez em conta que BC EF

AB DE

AB DE

BC .

E' F'

AC DF

BC , resulta que EF

BC e, consequentemente, EF = E’F’.

E' F'

Então os triângulos AE’F’ e DEF são iguais e, sendo o triângulo AE’F’ semelhante ao triângulo ABC, podemos concluir que os triângulos ABC e DEF são semelhantes.

III – Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e os

ângulos por eles formados iguais são semelhantes Demonstração:

Consideremos dois triângulos ABC e A’B’C’ em que A' C' C' B' (Figura 29).

AC CB

C=

C’ e

Figura 29 – Triângulos com dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados iguais.

Sobre o lado AC marquemos um ponto D tal que CD = A´C´ e um ponto E tal que CE =B’C’ e tracemos o segmento DE. Os triângulos DEC e A’B’C’ são iguais (Figura 30).

25

Figura 30 – Os triângulos DEC e A'B'C' são semelhantes.

A' C' C' B' DC CE temos que e, por (ii), DE é paralela a AC CB AC CB AB. Então, os triângulos ABC e DEC são semelhantes, uma vez que têm todos os ângulos iguais (critério I). Como os triângulos DEC e A’B’C’ são iguais, os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.

Como