Manual de utilização do material Probabilidades - uma aprendizagem por simulação

Manual de utilização dos programas:

Probabilidades – uma aprendizagem por simulação Sugestões de exploração

Maria Júlia de Oliveira Ferreira Setembro de 2010

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Índice

I – Apresentação …………………………………………………………………. 3 II – Finalidade dos programas / Sugestões de exploração para o professor 1. Programa “Parafusos” ………………………………………………. 4 2. Programa “Pi” ……………………………………………………….. 6 3. Programa “Elipse” …………………………………………………... 8 4. Programa “Fila de Espera” …………………………………………. 8 5. Programa “Carrinho” ……………………………………………… 11 6. Programa “Suspensão” …………………………………………….. 12

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I – Apresentação Com este conjunto de programas pretende-se usar a simulação numérica na aprendizagem de conceitos e princípios probabilísticos básicos a nível do Ensino Secundário.

Estes programas podem ser usados no âmbito das disciplinas de Matemática A, Matemática B, Matemática aplicada às Ciências Sociais, Física e Área de Projecto, nos 11º e 12º anos. Os 3 primeiros programas listados a seguir podem ainda ser utilizados a nível de 9º ano, no capítulo das probabilidades, desde que acompanhados de guiões de trabalho adequados.

Aplicações informáticas disponíveis: 1. “Parafusos” 2. “Pi” 3. “Elipse” 4. “Fila de Espera” 5. “Carrinho” 6. “Suspensão” Objectivos específicos •

Realizar experiências aleatórias, anotando resultados e tirando conclusões.

•

Constatar a existência de regularidade estatística nos resultados das experiências aleatórias repetidas um grande número de vezes.

•

Aperceber-se da possibilidade de aproximação da probabilidade pela frequência relativa.

•

Adquirir a noção intuitiva de probabilidade e de probabilidade condicionada.

•

Calcular a probabilidade de um acontecimento se realizar um certo número de vezes em provas repetidas, com e sem reposição.

•

Apreender, de uma forma intuitiva, o conteúdo do Teorema do Limite Central.

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•

Reconhecer a curva de Gauss e observar variáveis que se distribuem normalmente.

•

Aprender a lidar com situações de incerteza quando está em causa uma decisão e a necessidade de optimização.

•

Observar e interpretar os efeitos de acções aleatórias no comportamento de sistemas físicos.

II - Finalidade dos programas / Sugestões de exploração

1. Programa “Parafusos”

Problema: Temos uma caixa com N parafusos, dos quais n1 são defeituosos e os restantes não são defeituosos. Retiramos da caixa m parafusos sem reposição ou simultaneamente. Qual a probabilidade de encontrar (exactamente) i parafusos defeituosos em que i pode ser 0, 1, 2, …, m?

Apresentado o problema que se pretende estudar, podemos sempre começar por apelar para a intuição do aluno, usando este o programa para testar a sua resposta. Por exemplo, poder-se-á começar por colocar a seguinte questão:

É possível prever, com exactidão, o resultado que se vai obter?

Qual é o espaço amostral subjacente a esta experiência aleatória?

Se numa caixa com 192 parafusos dos quais 32 são defeituosos retirares, sem reposição 4 parafusos o que te parece mais provável, não sair nenhum parafuso defeituoso ou sair 1, ou 2, ou 3, 4 parafusos defeituosos? Isto é, qual vai ser a moda da distribuição neste caso?

Usando o programa, o aluno deve activar o comando “Simular”. Surge a janela intitulada “Tiragem de parafusos sem reposição”. Se o aluno começa por fazer 4

uma simulação de cada vez, isto é, respondendo à questão “número de vezes que fazes a simulação” com o nº. 1, apercebe-se de que, com variáveis aleatórias, os resultados individuais da experiência não são sempre iguais e que é impossível prever exactamente o resultado que se vai obter ao realizá-la - noção de aleatoridade. No entanto, se repetir a experiência muitas vezes, deve captar a regularidade estatística - compreensão da definição frequencista de probabilidade.

Os alunos podem ser organizados por grupos utilizando o programa como sendo um jogo. Cada grupo gera amostras aleatórias de parafusos e anota o número de parafusos defeituosos obtido. Modificando N, n1 e m os alunos apercebem-se do efeito que os parâmetros têm na distribuição hipergeométrica, quer por observação das tabelas que aparecem na janela quer dos gráficos. A seguir é feita uma comparação e discussão dos resultados obtidos pelos vários grupos.

Podem constatar que o número de parafusos defeituosos pode ser bastante diferente, conforme considerarmos uma amostra pequena ou grande.

Pode surgir então a seguinte questão:

Que número de lançamentos dá a “melhor” aproximação da probabilidade teórica?

Se abrirmos as janelas denominadas “Simular” e “Tiragem sem reposição”, esta última aparece debaixo de “Resultados teóricos” podemos comparar as tabelas e os histogramas que representam uma amostra resultante da simulação de uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica e a respectiva função de probabilidade da distribuição teórica.

Pode-se explicar aos alunos que a diferença encontrada é fruto da variabilidade aleatória nos dados que correspondem apenas a essa amostra possível.

Uma experiência muito simples que pode ser realizada com o programa consiste no equivalente ao lançamento de uma moeda ao ar, bastando para isso considerar os parâmetros N=2, n1 =1 (trata-se de uma experiência de Bernoulli) e m=1. Utilizando a definição de probabilidade segundo Laplace o aluno pode comparar o resultado teórico obtido com a frequência relativa obtida por simulação.

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E se as tiragens forem feitas com reposição?

Qual a relação entre os esquemas de probabilidades subjacentes no caso de as tiragens serem feitas com e sem reposição?

Na janela “Tiragens com e sem reposição”, utilizemos os parâmetros N=100, n1 =40 e m=4.

As probabilidades obtidas fazendo a experiência com reposição e sem reposição serão muito diferentes? E se tivermos N=1000, n1 =40 e m=4?

Podemos chamar a atenção dos alunos para o facto de que, para certos valores dos parâmetros, os resultados probabilísticos obtidos para experiências feitas com e sem reposição são muito semelhantes.

As leis probabilísticas subjacentes à resolução do problema inicial, agora com e sem reposição, podem (no 2º caso) e devem (no 1º caso) ser referidas, dando naturalmente mais ênfase à lei binomial que aparece referida explicitamente nos programas das disciplinas indicadas logo no início deste documento.

Para explorar o módulo “Distribuição das médias” que aparece na janela “Tiragem de parafusos sem reposição” deve-se accionar esta opção seguida de “mostra”.

O aluno pode simular várias experiências, observar o respectivo gráfico de barras e calcular para cada conjunto de experiências a média do nº de parafusos defeituosos obtido e o desvio padrão. Para as primeiras experiências poderá mesmo utilizar a sua calculadora e comparar os resultados obtidos com os que aparecem na tabela da direita da janela.

Pretende-se que o aluno compare a forma do histograma das médias da variável com o gráfico de barras da própria variável (este claramente assimétrico à direita); verifique que o histograma está centrado na média das médias; aproximando-se a sua forma de uma curva de Gauss - noção do Teorema do Limite Central.

2. Programa “Pi” Problema: Estimar o valor de π.

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Accionado o botão “Simula uma amostra” do programa, aparece a janela “Estima o valor de pi”.

Podemos começar por comentar a relação entre a figura que aparece na “janela” do programa e o número π.

Deve explicar-se ao aluno que a probabilidade de um ponto lançado ao acaso num quadrado (de lado 1) cair no interior do sector circular é igual ao quociente entre a área do sector circular e a área do quadrado. Assim, a frequência com que os pontos lançados ao acaso sobre o quadrado caiem no sector circular dános aproximadamente esse quociente das áreas, isto é,

π 4

. Multiplicando a

frequência por 4 temos naturalmente uma estimativa do valor de π.

Temos aqui a oportunidade de familiarizar o aluno com variáveis aleatórias contínuas; interligar dois temas curriculares, a Geometria e as Probabilidades e ainda confrontá-lo com o cálculo de áreas de figuras por experimentação directa.

Depois de efectuar várias experiências a lançar pontos e a observar os valores obtidos para π, o aluno deve ser orientado para comentar, entre outros, os seguintes aspectos: •

A relação entre a figura que representa um quadrado no qual está inscrito um sector circular e o número π;

•

O conteúdo da tabela onde está registado o valor de π para cada simulação efectuada;

•

O gráfico que compara os valores simulados com o valor “real” de π;

•

A melhoria que se obtém na aproximação do valor de π aumentando o número de pontos lançados;

•

As médias e desvios padrões obtidos;

•

A tabela da distribuição dos valores obtidos para π e respectivo histograma (noção intuitiva do Teorema do Limite Central).

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Este último aspecto é observado na janela que se obtém após accionar o comando “Lançamento de pontos no plano” e “mostra” da janela “Estima o valor de pi”.

Voltando ao menu principal do programa “Pi”, se accionarmos o comando “Simula n amostras” aparece a janela “Estima o valor de π ao fim de n simulações”.

Repare-se que, no gráfico, a curva que representa as estimativas obtidas para π está enquadrada pelas curvas que dão as estimativas para π±desvio padrão.

Ao efectuar sucessivas experiências o aluno vai aperceber-se de que, à medida que aumenta o número destas experiências, a qualidade de aproximação do número π aumenta.

Como aumenta esta qualidade? Se duplicarmos o número de experiências será que o erro absoluto diminui para metade?

Com o intuito de esclarecer questões deste tipo podemos propor ao aluno a seguinte actividade: Utilizando o programa estima o valor de π quando o nº de pontos lançados é 10 000. Obténs um valor v. Com a calculadora calcula o valor de π.

Calcula o erro relativo, π-v.

Carrega novamente na tecla Simular (tens agora um total de 20 000 pontos lançados). De quanto diminui o erro relativo?

Repete mais algumas vezes a experiência e tira conclusões.

3. Programa “Elipse” Problema: Considere um canteiro de flores de forma elíptica cujos semieixos maior e menor têm dimensões, respectivamente, 1.4 m e 0.8 m.

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Calcule a área do canteiro em estudo. Supondo que as flores são igualmente pretendidas pelas abelhas, qual a probabilidade de uma abelha pousar no canteiro das rosas? E das tulipas? E dos cravos? E das azáleas?

Utilizando uma calculadora científica o aluno pode comparar os resultados obtidos via simulação com o resultado obtido via analítica ou simplesmente o professor pode indicar esse resultado.

Fixando os valores para os eixos maior e menor e fazendo variar o número de pontos gerado, o aluno pode verificar que o cálculo do valor da área da elipse é tanto mais aproximado quanto maior for o número de pontos lançados (definição frequencista de probabilidade).

Na resposta à segunda questão, o aluno deve aperceber-se de que a probabilidade de um acontecimento ocorrer numa determinada região é proporcional à área dessa região.

4. Programa “Fila de Espera” Problema: Estudar e determinar o tamanho óptimo de uma equipa de manutenção dos Serviços de Águas e Saneamento de uma localidade, quando podemos escolher 2 ou 3 equipas por turno, de modo a que os custos sejam mínimos. Sabe-se que: - o serviço funciona permanentemente.

- sempre que, chegada ao local, a equipa verifique que a reparação vai durar mais do que 4 horas será ajudada por uma das outras equipas, caso alguma esteja inactiva, com um atraso de 1 hora.

- Em média decorre 1 hora e 40 minutos entre cada pedido de intervenção (taxa de chegada – 0.60/h).

- Uma equipa demora em média 3 horas e 5 minutos a fazer a reparação incluindo a eventual deslocação (taxa de serviço – 3.08/h).

- Custo de uma equipa por hora: 7 euros.

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- Os custos da não reparação são estimados em 10 euros.

Observando a janela “Fila de Espera”, os clientes são representados por ícones que podem mudar de lugar no écran do computador à medida que o sistema muda. O écran mostra quando os clientes chegam, os passos que seguem através do sistema, se e quanto tempo esperam pelo serviço e quando finalmente deixam o sistema. Em cima, à esquerda, temos um relógio que regista a hora actual de simulação.

Como é habitual admitiu-se que, no início da simulação, não havia qualquer cliente no sistema.

Um bom exercício, para começar, será proceder à leitura com os alunos da tabela que aparece na janela do programa. Assim, às 0.734 h ocorreu a 1ª chamada que é aleatória. O cliente foi prontamente atendido, tendo durado a reparação 2.348 h, ou seja, a 1ª equipa às 3.082 h. Entretanto ocorreu a 2ª chamada, às 1.253, tendo durado a reparação que é feita pela 2ª equipa, 1.053. A 2ª equipa ficará livre às 2.306 h. A 3ª chamada ocorreu às 1.469 h ficando em lista de espera. E assim sucessivamente.

Se accionarmos o comando “Resumo” que aparece na janela, obtemos o número de chegadas que ocorrem, o nº de chamadas na lista de espera, o tempo médio de espera, o custo de espera, o custo do serviço das equipas e o custo total, num período de 24 horas, isto é, por dia.

O gráfico representa a evolução da fila de espera ao longo do tempo.

Os alunos têm oportunidade de modificar os parâmetros “taxas de chegada das chamadas”, “duração média do serviço”, “custos à hora” e “Nr. De Equipas”. Podem fazer-se perguntas, tais como: Quantas equipas estão ocupadas quando o relógio marca 4.395 horas?

Qual é o tempo médio de espera na fila?

Qual é o custo médio de espera efectiva? Aumentou ou diminuiu em relação à situação anterior?

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O que se observa nos custos de espera à medida que o custo de funcionamento das equipas aumenta?

Analisando o tempo médio perdido na fila de espera por dia e os custos de funcionamento dos piquetes por dia, conforme o nº de equipas é 2 ou 3, o aluno pode decidir qual o número de equipas que minimiza o custo global de funcionamento do sistema. Pode constatar, colocando lado a lado as janelas resultantes das simulações com 2 e 3 equipas e em face do custo total observado, que seria recomendável que se utilizassem duas equipas.

Com este programa pretendemos que os alunos: •

Tomem consciência do fenómeno de chegada de chamadas que é aleatório.

•

Se apercebam do fenómeno de duração do serviço considerado aleatório.

•

Observem dois fenómenos aleatórios que interagem evoluindo no tempo.

•

Se apercebam do efeito que uma decisão, por exemplo número de equipas, pode ter no sistema e como se reflecte nos custos, quando tratamos com ocorrências aleatórias.

Este programa poderá ser usado, por exemplo, na disciplina de Àrea de Projecto, numa turma da área de Ciências Económicas.

5. Programa “Carrinho” Problema: Suponhamos que temos um carrinho de massa m, como se mostra no programa “carrinho”, o qual está ligado à parede da esquerda por uma mola com coeficiente de elasticidade k e um amortecedor com coeficiente de amortecimento c (que traduz o atrito das rodas). O deslocamento do carrinho, x, em cada instante é medido relativamente a uma barra fixa colocada verticalmente como indicado na figura. Todo o sistema é 11

sujeito a uma força que é aleatória, com direcção horizontal (→). Pretendese simular o movimento do carrinho.

Com este programa pretende-se que o aluno: - se habitue a tratar outro tipo de problemas, que não os determinísticos, permitindo-lhes uma familiarização com o carácter aleatório de problemas que traduzem situações existentes na natureza; - apreenda e “alargue” diversos conceitos físicos, inseridos na unidade – Forças e Movimentos quando for leccionado o conteúdo – Movimento de uma partícula material sujeita a forças de atrito, e mais precisamente após a introdução do conceito de atrito cinético.

Aberta a janela do programa “carrinho” e depois de se inteirar do problema em estudo, o aluno pode estudar o comportamento do sistema que aparece representado no ícon situado na parte superior da janela.

Uma primeira actividade que pode fazer consiste em modificar os parâmetros que estão na parte superior da janela e ver que modificações se vão operando nos gráficos. O 1º gráfico descreve a posição ao longo do tempo, o 2º a velocidade ao longo do tempo e o terceiro a intensidade da força perturbadora.

Na janela do programa aparece uma tabela que compara os resultados obtidos para os modelos determinístico e estocástico,

X a −X d

, sempre

que se varia a intensidade da perturbação aleatória (na janela designada por “desvio padrão da força perturbadora”).

Podem ser colocadas as seguintes questões: Vamos manter todos os parâmetros excepto a constante de amortecimento que vamos diminuir, por exemplo, c=80. Como se traduz esta modificação no gráfico do deslocamento? E da velocidade?

Experimenta dar outros valores a c e comenta os resultados obtidos.

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Que valores devemos dar à constante de amortecimento e ao desvio padrão de forma a obter o movimento oscilatório amortecido?

Se fizermos variar a intensidade da perturbação aleatória, o que observamos nos outros gráficos? Repara também na tabela. Experimenta, por exemplo os valores 10, 2, 0.1, 0.01.

Este programa poderá ser usado, por exemplo, na disciplina de Àrea de Projecto numa turma que tenha a disciplina de Física.

6. Programa “Suspensão” Problema: Simular o comportamento da suspensão de um automóvel (amortecedor passivo a uma dimensão).

Este problema só deve ser colocado aos alunos após o problema anterior. Este exemplo real pode ser considerado uma extensão do anterior, mais complexo.

Repare-se na janela deste programa em que os parâmetros utilizados são todos os utilizados no problema anterior mais dois: o coeficiente de atrito seco e o coeficiente de elasticidade do batente.

Depois de manipular bastante o simulador pensa-se que o aluno já tem alguma sensibilidade para detectar a influência que os parâmetros comuns a ambos os problemas produzem no segundo sistema. Fazendo algumas experiências, ele pode comprovar que a qualidade da suspensão é dada pelo coeficiente de amortecimento. Poderá então propor-se ao aluno, a título de actividade, dois amortecedores diferentes, um cujo coeficiente de amortecimento seja 1300 N/m e outro com coeficiente de amortecimento muito menor, por exemplo, 300.

Deve reparar-se que o primeiro é um bom amortecedor, como se pode comprovar pelo gráfico que nos dá a posição em função do tempo.

Mudando a rugosidade do piso, que na janela aparece como desvio padrão da força perturbadora, pode observar-se como se comportam um e outro amortecedor.

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Outra exploração possível é ver o efeito do batente cuja posição inicial se considerou ser 1. Sugere-se a exploração do caso em que os 1º e último parâmetros da coluna da esquerda se mantêm e os intermédios assumem o valor 0, os parâmetros das condições iniciais assumem respectivamente os valores 0.9, 0, 1, 0 e os restantes mantêm-se.

Nota: No caso de se pretender informações mais detalhadas sobre este conjunto de programas deve consultar-se a tese intitulada: “A simulação numérica como instrumento na aprendizagem de conceitos e princípios probabilísticos básicos, exemplificação sobre o ensino secundário”, editada pela Associação de Professores de Matemática, Colecção Teses, em Outubro de 1998, sob a orientação da Profª Doutora Paula M. Oliveira.

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