derivada_tinspire

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Aceite para publicação em 6 de Junho de 2011

José António Freitas

Página 1

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Ficha técnica

Autor da actividade prática de sala de aula :

José António Fernandes de Freitas

Professor a exercer a sua actividade na Escola Secundária de Caldas de Vizela

E-mail jafreitas00@sapo.pt

Licença da actividade prática de sala de aula :

José António Freitas

Creative Commons da Casa das Ciências

Página 2

Matemática em Ambiente TI-Nspire A actividade proposta obedece aos seguintes pressupostos:

Pré-requisitos Antes da realização da actividade deve ser recordada (ou trabalhada) a relação entre o declive da recta tangente e a derivada num ponto.

Com isto pretende-se que os alunos associem a função derivada à curva construída a partir dos declives das rectas tangentes ao gráfico de f, usando a calculadora gráfica. É importante que durante as manipulações geométricas, os alunos se apercebam que estão a construir o lugar geométrico dos pontos (x, f(x)), para poderem chegar à função derivada de f, passando pelo seu gráfico. As manipulações permitirão, então, que os alunos amadureçam a interpretação geométrica de derivada num ponto em termos do declive da recta tangente ao gráfico de f.

Os alunos devem estar também familiarizados com a definição de derivada (recorrendo à noção intuitiva de limite), pois esta definição é utilizada no decorrer da actividade.

Objectivos O presente trabalho tem como objectivo mostrar aos alunos as relações entre o gráfico de uma função e o gráfico da sua derivada. Para tal, foi criada uma ficha orientada onde, na actividade inicial, serão descritos todos os passos para que os alunos consigam realizar a construção deste gráfico. Para esta construção, os alunos considerarão a tangente ao longo do gráfico da função dada e obterão o gráfico da derivada, seleccionando a função recolha automática de dados na calculadora gráfica.

Depois desta primeira etapa será proposto aos discentes para explorar a relação entre o declive da recta tangente e a derivada num ponto. Será também pedido para eles conjecturarem, a partir do gráfico da derivada, o valor da derivada da função nos extremos locais.

Adicionalmente, os alunos observarão a ligação entre os intervalos nos quais a função cresce ou decresce e o sinal da derivada. O segundo problema vai permitir aos alunos analisar um exemplo no qual a derivada não está definida num ponto especifico.

Conceitos Declive de uma tangente a uma curva.

Definição de derivada.

Gráfico da derivada.

José António Freitas

Página 3

Matemática em Ambiente TI-Nspire Descrição da Actividade A actividade que desenvolvi consiste numa ficha de trabalho orientada, recorrendo à calculadora gráfica TI-Nspire. O ponto central desta actividade consiste na capacidade de o aluno reconhecer que, do ponto de vista geométrico, a derivada de uma função f em x0 é numericamente igual ao declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x0. Esta ficha é dirigida aos alunos do décimo primeiro ano de escolaridade e visa o desenvolvimento de competências no âmbito do conteúdo programático “Funções Deriváveis”.

Penso que através deste tipo de fichas de trabalho, os alunos tornam-se mais activos e motivados, o que se traduzirá, com certeza, numa aprendizagem mais eficaz.

Metodologia Empregada É vantajoso que esta actividade seja aplicada antes de os alunos aprenderem as regras de diferenciação, uma vez que o conhecimento destas regras permitirá aos discentes determinar a expressão analítica da derivada da função e, a partir dela, a forma do gráfico.

Expectativas sobre a implementação da actividade A derivada da função f no ponto x foi interpretada como o declive m(x) da tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x. Nesta actividade, foi construído o lugar geométrico dos pontos (x, m(x)), ponto a ponto. A ordenada do ponto de abcissa x desta curva fornece, então, a derivada de f em x. Esta curva não é mais do que o gráfico da função m(x) = f’(x) = .

Esta é a função derivada de f.

Conclusão Com o desenvolvimento desta actividade pretende-se tornar o estudo das derivadas mais interessante, fomentando um maior empenho dos alunos para que a aprendizagem se processe de uma forma mais eficaz. .

José António Freitas

Página 4

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Ficha Orientada de Matemática A – Traçado do gráfico da derivada de algumas funções 11º Ano

Actividade inicial Nesta etapa serão indicados todos os passos necessários para concretizar a actividade.

Pretende-se com esta actividade responder à questão: Dada uma função f, qual é o tipo do gráfico da nova função que é criada quando relacionamos x com o valor do declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x?

Passo1: Na linha de edição vamos escrever a função:

Prima na tecla · para obter o gráfico da função:

José António Freitas

Página 5

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Pode ocultar a expressão da função, para isso comece por seleccionar a expressão

Prima / b.

Prima 2 para ocultar a expressão seleccionada.

Passo2: Traçar a recta tangente ao gráfico de f 1, em qualquer ponto desse gráfico.

Para isso deve seguir os seguintes passos: Prima b 7 7. Neste momento foi activada a ferramenta “Tangente”.

Seleccione um ponto qualquer do gráfico prima · para obter a seguinte construção: Nota: Depois de desenhada a tangente deve premir d para sair da ferramenta.

José António Freitas

Página 6

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Passo3: Pedir a coordenadas do ponto de tangência.

Seleccione o ponto de tangencia.

Prima /b 7 para obter as coordenadas do ponto seleccionado.

Passo 4: Pedir o declive da recta tangente.

Prima b 83 para activar a ferramenta que indicará o declive da recta.

Seleccione a recta tangente e clicamos em · .

José António Freitas

Página 7

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Passo 5: Seleccionamos o valor numérico da abcissa do ponto de tangencia.

Prima h 1 para guardar a variável.

Em seguida deve dar um nome à variável, por exemplo “xa” e prima · .

Passo 6: Seleccionamos o valor numérico do declive da recta tangente

José António Freitas

Página 8

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Prima h 1 para guardar o valor da variável.

Em seguida deve dar um nome à variável, por exemplo “ya” e prima · .

Passo 7: Prima b A 8 para activar a ferramenta “Transferência de medida”.

Clique no valor numérico da abcissa do ponto de tangencia.

José António Freitas

Página 9

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Em seguida clique no eixo dos xx. Neste eixo vai aparecer um ponto com a mesma abcissa do ponto de tangencia.

Passo 8: Proceda de forma análoga para o declive da recta tangente. Prima b A 8 para activar a ferramenta “Transferência de medida”.

Clique no valor numérico do declive da recta tangente

José António Freitas

Página 10

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Em seguida clique no eixo dos yy. Neste eixo vai aparecer um ponto com a ordenada igual ao valor numérico do declive da recta tangente.

Passo 9: Podemos, agora, ocultar as coordenadas do ponto de tangencia e o declive da recta tangente, basta proceder da mesma forma que se procedeu para ocultar a expressão da função.

Passo 10: Traçar as perpendiculares aos dois eixos coordenados nos pontos obtidos nos passos 7 e 8. Para tal prima b A 1 e activa a ferramenta “Perpendicular”.

José António Freitas

Página 11

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Nota: Depois de desenhar as perpendiculares deve premir d para sair da ferramenta.

Passo 11: Determinar o ponto de intersecção das duas rectas perpendiculares obtidas no passo 10..

Prima b 73 para activar a ferramenta “Ponto(s) de intersecção”.

José António Freitas

Página 12

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Nesta fase os alunos devem explicar que o ponto de intersecção representa um ponto com uma coordenada x igual à abcissa do ponto de tangencia e a coordenada y igual ao valor numérico do declive da tangente .

Passo 12: Em seguida insira uma nova página.

Prima c para inserir a página “Listas Folha de Cálculo”.

Passo 13: Á primeira coluna dê, por exemplo, o nome de “abcissa” e à segunda coluna o nome de declive.

Passo 14: Posicione o cursor na coluna “abcissa” e prima b321 , desta forma activa a função recolha automática de dados.

José António Freitas

Página 13

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Em seguida seleccione a variável a associar a esta coluna, prima h para aparecerem as variáveis armazenadas.

Seleccione a variável “xa”.

De forma análoga, posicione o cursor na coluna “declive” e seleccione a variável “ya”.

Passo 15: Voltando à página anterior prima b34 para activar o “Gráfico de dispersão”.

José António Freitas

Página 14

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Em prima h e escolha a variável com o nome da coluna A, neste caso “abcissa”.

Em prima h e escolha a variável com o nome da coluna B, neste caso “declive”.

A partir deste momento os alunos devem segurar no ponto de tangencia escolhido inicialmente e deslocá-lo lentamente, ao longo do gráfico de f1. Tal acção faz com que a posição do ponto de intersecção seja também alterada. Os discentes devem agora concentrar-se na localização do ponto de intersecção das duas rectas perpendiculares, enquanto o ponto de tangencia é arrastado. Em particular, devem considerar que a coordenada y do ponto de intersecção (x, y) é igual ao declive da tangente no ponto (x, f1(x)) ao gráfico de f1. No passo seguinte, poderão visualizar o lugar geométrico desses pontos, ou seja, o gráfico da derivada de f1.

José António Freitas

Página 15

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Passo 16: Deve segurar no ponto de tangencia e deslocá-lo lentamente. É importante que observe que a derivada é positiva quando f aumenta e negativa quando f diminui. Deverá reconhecer que os valores máximos e mínimos locais de f1 correspondem às intersecções do gráfico da derivada com o eixo Ox. Note que isto ocorre porque a tangente à curva nestes pontos é horizontal.

Passe para a página seguinte e limpe os dados inseridos nas colunas A e B. Para tal, deve simplesmente seleccionar a célula da fórmula para cada coluna e premir duas vezes ·. Isto permitirá limpar os dados recolhidos e manter a função de recolha automática de dados.

Passo 17: Volte à página anterior e prima / + G para visualizar a linha de edição de funções. Introduza a função

função derivada de f.

José António Freitas

Página 16

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Confirme que o gráfico da derivada coincide com o gráfico de dispersão.

Actividade a desenvolver pelos alunos

Exercício 1: Relativamente à actividade inicial responda às seguintes questões: 1. Depois de arrastar lentamente o ponto de tangencia e ter observado o movimento do ponto de intersecção, descreva o movimento deste ponto e a sua relação com a posição do ponto de tangencia e o declive da recta tangente à função.

2. Arraste lentamente o ponto de tangencia (apenas uma vez, da esquerda para a direita) e observe o traço criado pelo trajecto do ponto de intersecção. Desenhe o traçado, que será designado por derivada de f(x). Estude o traçado e responda às seguintes questões: 2.1.

Para que valores de x a derivada é positiva? Para que valores de x a derivada é negativa?

2.2.

Qual é a relação entre os valores máximos e/ou mínimos de f(x) e a derivada?

Explique.

José António Freitas

Página 17

Matemática em Ambiente TI-Nspire Proposta de resolução 1.

Para construir o gráfico de f introduzimos nova página e seleccionamos “Gráfico”

Em seguida prima /r e seleccione a função definida por dois ramos.

Introduza as expressões que definem ambos os ramos, sempre que se justifique clique em /r para aceder ao menu de matemática.

José António Freitas

Página 18

Matemática em Ambiente TI-Nspire

Prima · para obter o gráfico

Seguindo os passos da actividade inicial irá obter o seguinte gráfico:

José António Freitas

Página 19

Matemática em Ambiente TI-Nspire

José António Freitas

Página 20