Hallar la soluciĂłn de las siguientes ecuaciones diferenciales que satisfagan las condiciones dadas
1. dy/dx=-2x/y Si y(1)=1 4 2. − √đ?‘Ľ đ?‘Ś + đ?‘Śâ€˛ = 0 Si y(0)=0 Hallar la soluciĂłn de las siguientes ecuaciones diferenciales 3. y’’ - 3y’ + 3y=0 4. y’’ + 2y’ + y=0 5. y’’ + y’ + y=0 6. y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y=0 Hallar la soluciĂłn de las siguientes ecuaciones diferenciales 7. y’’+y=2e3x 8. 4y’’(t)+y(t)=2cos3t Hallar la soluciĂłn de las siguientes ecuaciones diferenciales que satisfagan las condiciones dadas 9. y’’+16y=0; y(0)=2, y’(0)=-2 10. 2y’’-2y’+y=0; y(0)=-1, y’(0)=0
1 Multiplicando ambos lados por dx y se obtiene đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ś = −2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ Integrando âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ś =
đ?‘Ś2 2
Integrando âˆŤ −2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = −2 âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = −2 Por tanto
đ?‘Ś2 2
đ?‘Ľ2 2
= −đ?‘Ľ 2 + đ?‘?
= −đ?‘Ľ 2 + đ?‘?
Al despejar y se tiene đ?‘Ś = √2√−đ?‘Ľ 2 + đ?‘? reeemplazando los valores iniciales se tiene 1 = √2√−(1)2 + đ?‘? 3
3
2
2
De donde đ?‘? = por tanto la ecuaciĂłn es đ?‘Ś = √2√−đ?‘Ľ 2 + 4
2 − √đ?‘Ľ đ?‘Ś + đ?‘Śâ€˛ = 0 đ?‘‘đ?‘Ś 4 Se puede reescribir como − √đ?‘Ľ đ?‘Ś + = 0 4
đ?‘‘đ?‘Ľ
4
đ?‘‘đ?‘Ś
Sumando √đ?‘Ľđ?‘Ś en ambos lados √đ?‘Ľđ?‘Ś = đ?‘‘đ?‘Ľ 4
Multiplicando por dx/y en ambos lados √đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = Integrando âˆŤ
đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś
đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś
= ln đ?‘Ś 1 4
4
5
Integrando âˆŤ √đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ =
đ?‘Ľ4 5 4
5
+đ?‘? =
4đ?‘Ľ 4 5
+đ?‘?
5
Por lo tanto ln đ?‘Ś =
4đ?‘Ľ 4 5
+đ?‘?
despejando y se obtiene đ?‘Ś = đ?‘’
5 4đ?‘Ľ4 +đ?‘? 5
entonces por las propiedades de la
5 4đ?‘Ľ4 5
potenciaciĂłn đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘’ Reemplazando los valores iniciales 0 = đ?‘?đ?‘’
5 4(0)4 5
→ 0 = đ?‘?đ?‘’
4(0) 5
→ 0 = đ?‘?đ?‘’ 0 → đ?‘? = 0 por tanto la ecuaciĂłn soluciĂłn es y=0
3 y’’ - 3y’ + 3y=0 3
Se escribe la ecuaciĂłn auxiliar đ?‘š2 − 3đ?‘š + 3 = 0 cuyas raices reales son đ?‘š = Âą soluciĂłn de la ecuaciĂłn de la ecuaciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘’
3 √5
(2− 2 )đ?‘Ľ
+ đ?‘?2 đ?‘’
3 √5
2
√5 2
por tanto la
(2− 2 )đ?‘Ľ
4 y’’ + 2y’ + y=0 Se escribe la ecuaciĂłn auxiliar đ?‘š2 + 2đ?‘š + 1 = 0 que tiene dos raices đ?‘š = −1 por tanto la soluciĂłn de la ecuaciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘’ −đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘Ľđ?‘’ −đ?‘Ľ 5 y’’ + y’ + y=0
1
đ?‘– √3
2
2
Se escribe la ecuaciĂłn auxiliar đ?‘š2 + đ?‘š + 1 = 0 que tiene dos raices imaginarias đ?‘š = − Âą tanto la ecuaciĂłn soluciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘’
đ?‘Ľ −2
cos (
√3 đ?‘Ľ) 2
+ đ?‘?2 đ?‘’
đ?‘Ľ −2
√3 đ?‘Ľ) 2
por lo
sin (
6 y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y=0 Se escribe la ecuaciĂłn auxiliar đ?‘š3 − 6đ?‘š2 + 11đ?‘š − 6 = 0 tiene tres raices đ?‘š = 1, đ?‘š = 2, đ?‘š = 3 por lo tanto la ecuaciĂłn soluciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘’ 2đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘’ 3đ?‘Ľ 7 y’’+y=2e3x Se escribe la ecuaciĂłn auxiliar đ?‘š2 + 1 = 0 para encontrar la soluciĂłn complementaria, las raices de esta ecuaciĂłn son đ?‘š = Âąđ?‘– por tanto la soluciĂłn complementaria es đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ + đ?‘?2 sin đ?‘Ľ Para determinar la soluciĂłn particular se usaraĂĄ el mĂŠtodo de coeficientes indeterminados La soluciĂłn particular de la ecuaciĂłn y’’+y=2e3x es de la forma đ?‘Śđ?‘? = đ?‘Žđ?‘’ 3đ?‘Ľ La doble derivada de đ?‘Śđ?‘? es đ?‘Śâ€˛â€˛đ?‘? = 9đ?‘Žđ?‘’ 3đ?‘Ľ y sustituyendo en la ecuaciĂłn se tiene 1 9đ?‘Žđ?‘’ 3đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘’ 3đ?‘Ľ = 2e3đ?‘Ľ → 10đ?‘Žđ?‘’ 3đ?‘Ľ = 2đ?‘Žđ?‘’ 3đ?‘Ľ → đ?‘Ž = 5 đ?‘’ 3đ?‘Ľ Por tanto la soluciĂłn particular es đ?‘Śđ?‘? = 5 Y la soluciĂłn general es la suma de la soluciĂłn complementaria y la ecuaciĂłn general đ?‘’ 3đ?‘Ľ đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ + đ?‘?2 sin đ?‘Ľ + 5 8 4y’’(t)+y(t)=2cos3t Se escribe la ecuaciĂłn auxiliar 4đ?‘š2 + 1 = 0 para encontrar la soluciĂłn complementaria, las raices de đ?‘– đ?‘Ą đ?‘Ą esta ecuaciĂłn son đ?‘š = Âą por tanto la soluciĂłn complementaria es đ?‘Śđ?‘? = đ?‘?1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ + đ?‘?2 sin 2 2 2 Para determinar la soluciĂłn particular se usaraĂĄ el mĂŠtodo de coeficientes indeterminados La soluciĂłn particular de la ecuaciĂłn 4y’’+y=2cos3t es de la forma đ?‘Śđ?‘? = đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ą) + đ??ľđ?‘ đ?‘’đ?‘›(3đ?‘Ą) La doble derivada de đ?‘Śđ?‘? es đ?‘Śâ€˛â€˛đ?‘? = −9đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ą) − 9đ??ľđ?‘ đ?‘’đ?‘›(3đ?‘Ą) y sustituyendo en la ecuaciĂłn se tiene 4(−9đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ą) − 9đ??ľđ?‘ đ?‘’đ?‘›(3đ?‘Ą)) + đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ą) + đ??ľđ?‘ đ?‘’đ?‘›(3đ?‘Ą) = 2 cos(3t) → −36đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ą) − 36đ??ľđ?‘ đ?‘’đ?‘›(3đ?‘Ą) + đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ą) + đ?‘?đ?‘ đ?‘’đ?‘›(3đ?‘Ą) = 2 cos(3đ?‘Ą) → −35 Acos(3đ?‘Ą) − 35đ??ľđ?‘ đ?‘’đ?‘›(3đ?‘Ą) = 2cos(3đ?‘Ą) 2
Por tanto −35đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ą) = 2 cos(3đ?‘Ą) → −35đ??´ = 2 → đ??´ = − 35 Por tanto −35đ??´đ?‘ đ?‘’đ?‘›(3đ?‘Ą) = 0 sen(3đ?‘Ą) → −35đ??ľ = 0 → đ??´ = 0 2
Por tanto la soluciĂłn particular es đ?‘Śđ?‘? = − cos(3đ?‘Ą) 35 Y la soluciĂłn general es la suma de la soluciĂłn complementaria y la ecuaciĂłn general đ?‘Ą đ?‘Ą 2 đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ + đ?‘?2 sin − cos(3đ?‘Ą) 2 2 35
9 y’’+16y=0; y(0)=2, y’(0)=-2 Se escribe la ecuaciĂłn auxiliar que es đ?‘š2 + 16 = 0 que tiene dos raices imaginarias đ?‘š = Âą4đ?‘– por tanto la soluciĂłn de la ecuaciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 4đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘ đ?‘’đ?‘›4đ?‘Ľ La derivada de la soluciĂłn es đ?‘Ś ′ = −4đ?‘?1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›4đ?‘Ľ + 4đ?‘?2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 4đ?‘Ľ Reemplazando y(0)=2 se tiene 2 = đ?‘?1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 4(0) + đ?‘?2 đ?‘ đ?‘’đ?‘›4(0) = đ?‘?1 + 0 = đ?‘?1 Reemplazando y’(0)=-2 se tiene −2 = 4đ?‘?1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›4(0) + 4đ?‘?2 cos 4(0) = 4đ?‘?2 → đ?‘?2 = −
1 2
Por lo tanto la ecuaciĂłn que satisface las condiciones es
1 đ?‘Ś = 2đ?‘?đ?‘œđ?‘ 4đ?‘Ľ − đ?‘ đ?‘’đ?‘›4đ?‘Ľ 2
10 2y’’-2y’+y=0; y(0)=-1, y’(0)=0 Se escribe la ecuaciĂłn auxiliar que es 2đ?‘š2 − 2đ?‘š + 1 = 0 que tiene dos raices reales đ?‘š = Âą la soluciĂłn de la ecuaciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘’ La derivada de la soluciĂłn es đ?‘Ś ′ = −
√2 −2đ?‘Ľ
+ đ?‘?2 đ?‘’
√2 đ?‘Ľ 2
√2 √2 đ?‘?1 đ?‘’ − 2 đ?‘Ľ 2
+
√2 √2 đ?‘?2 đ?‘’ 2 đ?‘Ľ 2
Reemplazando y(0)=-1 se tiene √2
Reemplazando y’(0)=0 se tiene 0=−
√2
−1 = đ?‘?1 đ?‘’ − 2 (0) + đ?‘?2 đ?‘’ 2 (0) = đ?‘?1 + đ?‘?2 √2 √2 √2 √2 √2 √2 đ?‘?1 đ?‘’ − 2 (0) + đ?‘?2 đ?‘’ 2 (0) = − đ?‘?1 + đ?‘? 2 2 2 2 2
Que genera el sistema de ecuaciones
−1 = đ?‘?1 + đ?‘?2 {
0=−
3
1
√2 √2 } đ?‘?1 + đ?‘? 2 2 2
De donde se obtiene que đ?‘?1 = − y đ?‘?2 = 2 2 Por lo tanto la ecuaciĂłn que satisface las condiciones es 1 √2 3 √2 đ?‘Ś = đ?‘’− 2 đ?‘Ľ + đ?‘’ 2 đ?‘Ľ 2 2
√2 2
por tanto