Formato parcial calculo integral 2 corte

1. Al desarrollar la siguiente integral 2

3

2

3

4

âˆŤ đ?‘Ľâˆš50 − đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ 5

A) − 3 đ?‘Ľ(50 − đ?‘Ľ)2 − 15 (50 − đ?‘Ľ)2 + đ??ś 2

B)

3

đ?‘Ľ(50 − đ?‘Ľ)2 −

2

5

2

3

15

5

(49 − đ?‘Ľ)2 + đ??ś

4

5

4

5

C) − 3 đ?‘Ľ(50 − đ?‘Ľ) − 15 (50 − đ?‘Ľ)2 + đ??ś 2

D) − 3 đ?‘Ľ(50 − đ?‘Ľ)2 − 15 (50 − đ?‘Ľ)2 + đ??ś 2. Evaluar la siguiente integral âˆŤ

A) −

đ?&#x;’đ?’š √đ?&#x;’+đ?’šđ?&#x;?

B)

đ?&#x;’đ?’š

C) − D)

√đ?&#x;’+đ?’šđ?&#x;?

√đ?&#x;’+đ?’šđ?&#x;? đ?&#x;?đ?’š √đ?&#x;’+đ?’šđ?&#x;? đ?&#x;?đ?’š

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś 2 +√4+đ?‘Ś 2

+đ?‘Ş +đ?‘Ş +đ?‘Ş +đ?‘Ş

3. Evaluar la siguiente integral âˆŤ A)

3đ?‘™đ?‘›|đ?‘Ą + 3| + 2|đ?‘Ą + 1| + đ??ś

B)

3đ?‘™đ?‘›|đ?‘Ą + 3| + 2|đ?‘Ą − 1| + đ??ś

C)

3đ?‘™đ?‘›|đ?‘Ą − 3| + 2|đ?‘Ą − 1| + đ??ś

D)

3đ?‘™đ?‘›|đ?‘Ą − 3| + 2|đ?‘Ą − 2| + đ??ś

5đ?‘Ą+3 đ?‘Ą 2 +2đ?‘Ąâˆ’3

đ?‘‘đ?‘Ą

tenemos que su soluciĂłn es:

4. La soluciรณn de la integral โ ซ ๐ ฆ 3 (๐ ฆ 2 โ 1)10 ๐ ๐ ฆ es: A) B) C) D)

1 22 1 22 1 22 1 22

๐ ฆ 2 (๐ ฆ 2 โ 1)11 โ ๐ ฆ 2 (๐ ฆ 2 โ 1)10 โ ๐ ฆ 2 (๐ ฆ 2 โ 1)11 โ ๐ ฆ 2 (๐ ฆ 2 โ 1)11 โ

1 264 1 264 1 364 1 364

(๐ ฆ 2 โ 1)12 + ๐ ถ (๐ ฆ 2 โ 1)12 + ๐ ถ (๐ ฆ 2 โ 1)12 + ๐ ถ (๐ ฆ 2 โ 1)11 + ๐ ถ

5. Evaluar la siguiente integral โ ซ โ 15 + 6๐ ฅ โ 9๐ ฅ 2 ๐ ๐ ฅ .

A)

2 8 ๏ ฆ 3x ๏ ญ 1 ๏ ถ (3x ๏ ญ 1) 15 ๏ ซ 6 x ๏ ญ 9 x arcsin ๏ ง ๏ ซC . ๏ ท๏ ซ 3 6 ๏ จ 4 ๏ ธ

B)

2 8 ๏ ฆ 3x ๏ ญ 1 ๏ ถ (3x ๏ ญ 1) 8 ๏ ซ 6 x ๏ ญ 9 x arcsin ๏ ง ๏ ซC. ๏ ท๏ ซ 3 6 ๏ จ 4 ๏ ธ

C)

2 9 ๏ ฆ 3x ๏ ญ 1 ๏ ถ (3x ๏ ญ 1) 15 ๏ ซ 6 x ๏ ญ 9 x arcsin ๏ ง ๏ ซ ๏ ซC . ๏ ท 3 6 ๏ จ 4 ๏ ธ

2 8 ๏ ฆ x ๏ ญ 1 ๏ ถ ( x ๏ ญ 1) 15 ๏ ซ 6 x ๏ ญ 9 x D) arcsin ๏ ง ๏ ซC ๏ ท๏ ซ 3 6 ๏ จ 4 ๏ ธ

SOLUCIĂ“N 1. âˆŤ đ?‘Ľâˆš50 − đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ

Tenemos que el tĂŠrmino √50 − đ?‘Ľ es fĂĄcil de integrar y el factor đ?‘Ľ simplifica la diferenciaciĂłn, de esta manera aplicamos integraciĂłn por partes y determinamos lo siguiente:

đ?‘”(đ?‘Ľ) = √50 − đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ Entonces, 3

2

đ??ş (đ?‘Ľ ) = âˆŤ √50 − đ?‘Ľ dx = − (50 − đ?‘Ľ)2

y

3

�´(�) = 1

Tenemos a partir de la integraciĂłn por partes:

đ??ź = đ??ş(đ?‘Ľ)đ?‘“(đ?‘Ľ) − âˆŤ đ??ş(đ?‘Ľ)đ?‘“´(đ?‘Ľ)

2

2

3

3

âˆŤ đ?‘Ľâˆš50 − đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘Ľ(50 − đ?‘Ľ)2 + âˆŤ(50 − đ?‘Ľ)2 đ?‘‘đ?‘Ľ = 3

3

2

3

2

2

3

5

5

âˆŤ đ?‘Ľâˆš50 − đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘Ľ(50 − đ?‘Ľ)2 + (− (50 − đ?‘Ľ)2 ) + đ??ś = 3

2

3

= − đ?‘Ľ(50 − đ?‘Ľ)2 − 3

4 15

5

(50 − đ?‘Ľ)2 + đ??ś

2.

âˆŤ

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś 2 +√4+đ?‘Ś 2

=

Podemos determinar que las integrales de tipo racional involucramos funciones trigonomĂŠtricas, la sustituciĂłn conveniente serĂ­a: đ?‘Ž2 = 4

đ?‘Ž=2

đ?‘Ś = 2đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?œƒ Derivando tenemos đ?‘‘đ?‘Ś = 2đ?‘†đ?‘’đ?‘? 2 đ?œƒđ?‘‘đ?œƒ Ahora bien sustituyendo tenemos que:

√4 + đ?‘Ś 2 = √4 + 4đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›2 đ?œƒ Factorizamos √4 + đ?‘Ś 2 = √4(1 + đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›2 đ?œƒ)

√4 + đ?‘Ś 2 = 2√đ?‘†đ?‘’đ?‘? 2 đ?œƒ

√4 + đ?‘Ś 2 = 2đ?‘†đ?‘’đ?‘?đ?œƒ

Ahora bien, sustituyendo en la integral inicial se tiene:

∫

𝑑𝑦 𝑦 2 + √4 + 𝑦 2

=∫

2𝑆𝑒𝑐2 𝜃𝑑𝜃 4𝑡𝑎𝑛2 𝜃2𝑆𝑒𝑐𝜃

=

1 4

∫

𝑆𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 𝑡𝑎𝑛2 𝜃

1 1 1 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃 ∫ = ∫ = 𝑑𝜃 4 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 4 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑆𝑒𝑛2 𝜃 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃

1 𝐶𝑜𝑠𝜃 = ∫ 𝑑𝜃 4 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 Ahora por cambio de variable resolvemos la integral anteriormente señalada 𝑢 = 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 1 𝑑𝑢 = ∫ 2 4 𝑢 1 1 𝑢−1 = ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = [ ] 4 4 −1

=−

Realizamos sustitución trigonométrica

1 1 =− 4𝑢 4𝑆𝑒𝑛𝜃

=

đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?œƒ =

đ?‘Ś 2

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§Ăłđ?‘› đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘œđ?‘›đ?‘œđ?‘šĂŠđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž

đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 đ?‘‡đ?‘’đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ƒđ?‘–đ?‘ĄĂĄđ?‘”đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘

Tenemos que:

đ?‘? = √4 + đ?‘Ś 2

−

3.

√đ?&#x;’ + đ?’šđ?&#x;?

1 =− +đ?‘Ş 4đ?‘†đ?‘’đ?‘›đ?œƒ đ?&#x;’đ?’š

5đ?‘Ą+3

âˆŤ đ?‘Ą 2+2đ?‘Ąâˆ’3 đ?‘‘đ?‘Ą =

Podemos ver que tenemos una funciĂłn racional propia, la cual podemos descomponer en fracciones parciales, para ello es importante conocer las raĂ­ces del denominador, por esto se tiene por factorizaciĂłn: đ?‘Ą 2 + 2đ?‘Ą − 3 = (đ?‘Ą + 3)(đ?‘Ą − 1)

De esta manera: đ?‘Ą2

5đ?‘Ą + 3 5đ?‘Ą + 3 = + 2đ?‘Ą − 3 (đ?‘Ą + 3)(đ?‘Ą − 1)

Aplicando a su vez el mĂŠtodo de integraciĂłn por fracciĂłn parciales, se tienen constantes A y B, tales como: 5đ?‘Ą + 3 đ??´ đ??ľ = + đ?‘Ą 2 + 2đ?‘Ą − 3 đ?‘Ą + 3 đ?‘Ą − 1 Ahora debemos conocer los valores A y B, multiplicando ambos lados de la expresiĂłn por el denominador: 5đ?‘Ą + 3 = đ??´(đ?‘Ą − 1) + đ??ľ(đ?‘Ą + 3) Si evaluamos la igualdad en đ?‘Ľ = 1 tenemos: 8 = đ??´ ∙ 0 + 4đ??ľ đ??ľ=2 Si evaluamos la igualdad en đ?‘Ľ = 3 tenemos: −15 + 3 = đ??´(−4) + đ??ľ ∙ 0 đ??´=3

Reemplazando estos valores a su vez:

đ?‘Ą2

5đ?‘Ą + 3 3 2 = + + 2đ?‘Ą − 3 đ?‘Ą + 3 đ?‘Ą − 1

Volviendo a nuestra integral

âˆŤ

5đ?‘Ą + 3 3 2 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą = ( + ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ą 2 + 2đ?‘Ą − 3 đ?‘Ą+3 đ?‘Ąâˆ’1

âˆŤ

5đ?‘Ą + 3 đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą âˆŤ âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą = 3 + 2 đ?‘Ą 2 + 2đ?‘Ą − 3 đ?‘Ą+3 đ?‘Ąâˆ’1

La soluciĂłn de ĂŠsta integral resulta mĂĄs sencilla como un logaritmo

âˆŤ

5đ?‘Ą + 3 đ?‘‘đ?‘Ą = 3đ?‘™đ?‘›|đ?‘Ą + 3| + 2|đ?‘Ą − 1| + đ??ś đ?‘Ą 2 + 2đ?‘Ą − 3

4. âˆŤ đ?‘Ś 3 (đ?‘Ś 2 − 1)10 đ?‘‘đ?‘Ś = En primera instancia reescribimos el integrando como đ?‘Ś 2 [đ?‘Ś(đ?‘Ś 2 − 1)10 ], y luego integramos por partes: đ?‘“(đ?‘Ś) = đ?‘Ś 2

�´(�) = 2�

đ?‘”(đ?‘Ś) = đ?‘Ś(đ?‘Ś 2 − 1)10 đ??ş(đ?‘Ś) = âˆŤ đ?‘Ś(đ?‘Ś 2 − 1)10 đ?‘‘đ?‘Ś Por cambio de variable integramos đ??ş(đ?‘Ś) tenemos que: đ?‘˘ = đ?‘Ś2 − 1 đ?‘‘đ?‘˘ = đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ś 2 Sustituimos,

1 1 11 1 đ??ş(đ?‘Ľ) = âˆŤ đ?‘Ś(đ?‘Ś 2 − 1)10 đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘˘10 đ?‘‘đ?‘˘ = đ?‘˘ = (đ?‘Ś 2 − 1)11 2 22 22 Ahora a nuestra integral solicitada por partes tenemos: đ??ź = đ??ş(đ?‘Ľ)đ?‘“(đ?‘Ľ) − âˆŤ đ??ş(đ?‘Ľ)đ?‘“´(đ?‘Ľ)

âˆŤ đ?‘Ś 3 (đ?‘Ś 2 − 1)10 đ?‘‘đ?‘Ś =

1 2 2 1 đ?‘Ś (đ?‘Ś − 1)11 − âˆŤ 2đ?‘Ś(đ?‘Ś 2 − 1)11 đ?‘‘đ?‘Ś 22 22

âˆŤ đ?‘Ś 3 (đ?‘Ś 2 − 1)10 đ?‘‘đ?‘Ś =

1 2 2 1 1 2 đ?‘Ś (đ?‘Ś − 1)11 − (đ?‘Ś − 1)12 + đ??ś 22 22 12

âˆŤ đ?‘Ś 3 (đ?‘Ś 2 − 1)10 đ?‘‘đ?‘Ś =

1 2 2 1 đ?‘Ś (đ?‘Ś − 1)11 − (đ?‘Ś 2 − 1)12 + đ??ś 22 264

5. Completando el cuadrado a partir del ålgebra båsica: 15  6 x  9 x 2 : 15  6 x  9 x 2  9 x 2  6 x  15

2 ďƒś ďƒŚ  9ďƒ§ x 2  x ďƒˇ  15 3 ďƒ¸ ďƒ¨ 2 1ďƒś ďƒŚ  9ďƒ§ x 2  x  ďƒˇ  15  1 3 9ďƒ¸ ďƒ¨

 16  (9 x 2  6 x  1)  16  (3x  1) 2

Haciendo cambio de variable tenemos:

u 2  (3x  1) 2  u  3x  1  du  3dx .

También tenemos que a 2  16  a  4 .

 1 16  u 3

15  6 x  9 x 2 dx  2

1 3



16  (3x  1) 2 3dx 

du . u  4 sin  donde  

2

 

2

.

Entonces,

16  u 2  4 cos  ; du  4 cos  d .



1 16 (4 cos  )(4 cos  d )  3 3



1 3



16  u 2 du =

8 8 cos 2 d    sin  cos   C  3 3

2 8  u  8  u  16  u arcsin      3 4  4  3  4 

 C   

2 8  3x  1  (3x  1) 15  6 x  9 x arcsin  C .  3 6  4 