Faktor8 lv blabok by Cappelen Damm

Grunnbok Oppgavebok / Alternativ oppgavebok Lærerens bok

Faktor

for un

8.u–n1nb0ok. tOrpipnganve:

Fordypningshefte Eksamensforberedende hefte Regelhefte

Lærerens bok

Til øving av grunnleggende ferdigheter:

FAKT O Netts R DIGITA L te Når el det omfa tt even e løse er et stor t ut r oppg Netts aver, valg øvin ted: ht gs påvirk tp://fa er de oppgaver den vi ktor.c i appe dere en spillm utgangspu od lendam gang Her får ele nkt i matem en i sp ell. m.no vene øve atikken i illet. grunnlegg dagliglive ende ferd t. • Lese enk igheter: le tekster • Hente ut informa sjon • Anvend e informa sjonen i tilre ttelagte ma Serien inn tematikkop eholder følg pgaver ende hef ter: • På tur • Fritid • Sport • Ferie

(faktor.c

Fakto

n Hja

rdar •

FAKTOR DIG Nettstedet ITAL omfatter et stort utv Når eleven alg e løser opp gaver, påv øvingsoppgaver i en spillm irker de den odell. Nettsted: videre gan http://fak gen i spillet tor.cappel Engangsheftene tar . endamm.n utgangspunkt i matem o atikken i dagliglivet. Her får elevene øve grunnleggende ferdig heter: • Lese enkle tekste r • Hente ut inform asjon • Anvende inform asjonen i tilrettelagte matematikkoppgav er Serien inneholder følgende hefter: • På tur • Fritid • Sport • Ferie

ISBN

978-

82-0

Faktor te

2-32

066-

9 78 820 2 3 www. 206 capp 69 elend amm. no

mahefte

På tur

Espen Hj

ardar • Ja n-

ISBN 978-

Matemat ikk Bokmål

Jan-E

rik Pe

derse

Eksamensforberedende hefte

Fordypningshef

Temahefter

Regelhefte

)

ettsted

ma (n Faktora

Erik Pede

rsen

82-02-32

KTOR DIGITAL ttstedet omfatter et stort utvalg øvings oppgaver i en spillm r elevene løser oppga odell. ver, påvirker de den videre gangen i spillet . tsted: http://faktor .cappelendamm.no

062-1

Faktor temaheft e 9 7882 02 320 621 www.cap pelendam m.no

Ferie

dagliglivet.

Espen Hjardar • Jan-

Erik Pedersen

ikkoppgaver

Matematikk Bokmål

ISBN 978-82-02-3517

8-6

9 788202 35 1786 www.cappelend amm.no

Faktor temahefte

en spillmodell. angen i spillet.

Fritid

ISBN 978-82-02-44135-7 ISBN 978-82-02-44135-7

Espen Hjardar • Jan-Erik Pedersen Matematikk Bokmål

9 788202 441357 ISBN 978-82-02-32064-5

9 788202 320645 www.cappelendamm.no

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Lærerens bok

Mate m Bokm atikk ål

Faktor temaheft er for ungdomstrinn et

ahef

Spor

nente Tilleggskompo

r tem

Espe

l a t i g i D r o t k a F du.no)

r elev gang ene øv spun kt i m e grun • Lese atem nlegge atikke • Hen enkle teks nde fe n i da te te ut rdighe gligliv • An inform r ter: et. vend e info asjon rm asjone Serie n inne n i til rettel holder agte følgen • På m atem tu de he atikko • Friti r fter: ppga d ver • Sp or • Ferie t

Faktor mahef for ungte domstrinter net Engangshe ftene tar

pgavebo Alternativ op

Fak for utor temah ngdo Enga mstrefter ngsh eftene inne Her få tar ut

Tavlebok Video Gjennomgang av alle kapitler med øvingsoppgaver Omvendt undervisning Prøver og vurdering Kapittelprøver Terminprøver (høst/vår) Digitale halvårsprøver (høst/vår) Løsningsforslag Målark Kopieringsoriginaler Faktornøtter

på Komponenter

Trykte tilleggskomponenter:

Temahefter

atiinknket Matgedm omstr

Lærerressurser

www.cdu.no

Faktor

Trykte komponenter på 8.–10. trinn:

Faktor Digital

Faktor

Lærerens bok

Matematikk for ungdomstrinnet

d r.c o t ak

) no . u

Elevressurser Øvingsoppgaver i tre kategorier Video, gjennomgang av alle kapitler med øvingsoppgaver Digital kapittelkartlegger, tilknyttet Vokal Manualer for digitale verktøy Faktorama

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen IllustratĂ¸r: Line Jerner

Faktor

8 LĂŚrerens bok

Dette er Faktor 8 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som skal følge deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:

Faktor 8

Hei til deg som skal bruke Faktor!

Lotte Hanna Herman Sara Simen Martin

Hvert kapittel i grunnboka består av fire deler:

Noen oppgaver er merket med disse symbolene:

Lærestoff og oppgaver

Kalkulator

Prøv deg selv

Finn ut

Noe å lure på Oppsummering

Frioppgave Digitale verktøy Utfordrende oppgave

Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av kalkulator, regneark og GeoGebra. I oppgaveboka finner du øvingsoppgaver i tre vanskelighetsgrader til hvert kapittel. Alle kapitler har også et oppgavesett med repetisjonsoppgaver. Kategori 1 Litt av hvert

Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgaver for digitale verktøy

Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet! Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innledning

Faktor 8 Lærerens bok Her finner du alle sideoppslagene fra elevens grunnbok. I margene rundt oppslagene finner du kommentarer til innholdet og tips til undervisningen. Innholdet er organisert under disse overskriftene:

Begreper Matematiske begreper og uttrykk som elevene møter i arbeidet med delemnet.

Bakgrunnsstoff Bakgrunnsstoff og teori som er relevant for forberedelse og gjennomføring av en time. Tips til andre innfallsvinkler, andre eksempler og andre metoder enn det som er presentert i elevboka.

Frioppgaver Unummererte oppgaver som er merket ?. Oppgavene egner seg godt som utgangspunkt for diskusjoner og gruppearbeid. De har ofte flere løsninger, og de er lagd for å tydeliggjøre elevenes resonnement og tankegang.

Oppgavehenvisning Henvisning til tilhørende oppgaver i Oppgavebok og i Alternativ oppgavebok slik at videre arbeid gjøres lettere.

Aktiviteter Konkrete spørsmål og problemstillinger til bruk i klasserommet. Målet er å legge til rette for samtale rundt ulike emner. Aktivitetene kan ta utgangspunkt i oppgaver, eller de kan være et supplement til teori for å trene på de grunnleggende ferdighetene i matematikkfaget.

Kopieringsoriginaler Aktiviteter som krever bruk av kopieringsoriginaler eller opptegning av oppgaven på tavla. De mest vanlige oppgavetypene er: Stafett, Hvem skal ut?, 10 rette, Hjørnerebus, Sant eller usant? og Labyrint. Kopieringsoriginalene ligger på Faktor Digital (faktor.cdu.no). Oppgavene er lagd for å skape aktivitet rundt ulike emner, og de er med på å gjøre elevene tryggere når de skal begrunne og forklare hvordan de tenker.

Innledning

Innhold 1 Tall og tallforståelse......................................7 Naturlige tall.........................................................8 Hoderegning ...................................................... 17 Desimaltall.......................................................... 19 Overslagsregning ............................................... 28 Negative tall ....................................................... 31 Potenser ............................................................. 35 Regnerekkefølge ................................................ 37 Prøv deg selv....................................................... 41 Noe å lure på...................................................... 42 Oppsummering ................................................... 44

2 Brøk............................................................... 47 Hva er brøk?....................................................... 48 Utviding og forkorting av brøker ...................... 53 Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner .................................. 58 Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner ................................ 61 Uekte brøk og blandet tall ................................ 66 Brøk og desimaltall ............................................ 70 Brøk og multiplikasjon....................................... 74 Brøk og divisjon ................................................. 77 Prøv deg selv....................................................... 79 Noe å lure på...................................................... 81 Oppsummering ................................................... 82

3 Prosent.......................................................... 85 Prosentbegrepet................................................. 86 Prosent som brøk............................................... 90 Prosent og desimaltall ....................................... 94 Prosent av et tall................................................ 96 Å finne prosenten .............................................. 99 Prøv deg selv..................................................... 102 Noe å lure på.................................................... 104 Oppsummering ................................................. 105

Innhold

4 Geometri ..................................................... 107 Linjer og punkter ............................................. 108 Vinkler .............................................................. 110 Trekanter .......................................................... 114 Firkanter ........................................................... 118 Omkrets............................................................ 122 Tegning og konstruksjon av normaler ................................................. 128 Konstruksjon av vinkler.................................... 134 Konstruksjon av trekanter................................ 141 Prøv deg selv..................................................... 144 Noe å lure på.................................................... 147 Oppsummering ................................................. 149

5 Statistikk..................................................... 153 Frekvens ........................................................... 154 Stolpediagram .................................................. 157 Ulike sentralmål og variasjonsbredde ......................................... 161 Linjediagram .................................................... 168 Gjennomføre en undersøkelse ........................ 172 Prøv deg selv..................................................... 173 Noe å lure på.................................................... 176 Oppsummering ................................................. 178

6 Tall og algebra........................................... 181 Talluttrykk......................................................... 182 Uttrykk med variabler ...................................... 185 Sette tall inn i uttrykk ...................................... 188 Regning med bokstavuttrykk .......................... 190 Likninger........................................................... 193 Prøv deg selv..................................................... 200 Noe å lure på.................................................... 202 Oppsummering ................................................. 204

7 Måling og enheter ..................................... 207 Lengde ............................................................. 208 Målestokk ......................................................... 211 Areal ................................................................. 216 Volum ............................................................... 220 Masse................................................................ 226 Tid .................................................................... 229 Vei, fart, tid....................................................... 233 Prøv deg selv..................................................... 237 Noe å lure på.................................................... 240 Oppsummering ................................................. 242

Manual for digitale verktøy ........................... 244 Kalkulatoren...................................................... 245 Regneark ........................................................... 248 GeoGebra.......................................................... 252 Fasit .................................................................. 260 Stikkord ............................................................ 283

Innhold

Kapittelinnledning Hvert kapittel starter med en introduksjon som består av en illustrasjon, en liten tekst og en oversikt over hva som er målet med kapitlet. Dette kan danne utgangspunkt for en samtale og bevisstgjør elevene om hva som er hovedintensjonen med kapitlet. Målene er brutt ned og blir tydeliggjort gjennom oppgaver på side 41, «Prøv deg selv». Et tilhørende målark fins på Faktor Digital. Elevene kan også teste seg selv via Digital kapittelkartlegger, som fins på Faktors elevnettsider.

Digitale ressurser til kapitlet (faktor cdu.no) • Digital versjon av grunnboka (Tavlebok) • Campus Inkrements verktøy for Omvendt

• • • • •

undervisning (video med oppgaver) Målark til «Prøv deg selv» Komplette løsningsforslag til alle oppgavene i grunnboka og oppgaveboka Kapittelprøve 52 nøtter Øvingsoppgaver for digitale verktøy

Jippi!

Kopieringsoriginaler K K K K K K K K K K K K K

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13

Hjørnerebus: Stort tall Nærmest 1000! Hjørnerebus: Primtall Stafett: Primtall og faktorisering Høyeste tall vinner! Labyrint: Hoderegning Nærmest 10! Nærmest 2! Hjørnerebus: Desimaltall Hvem skal ut? Negative tall Hjørnerebus: Potenser Tallpyramide Tall-labyrint

Tall og tallforståelse

Utrolig! Han bruker et symbol for ingenting! Hadde jeg bare visst!

2Brøk En brøk forteller oss hvor stor del av helheten vi har. Det kan for eksempel være et halvt brød eller et kvart kilogram kaffe.

......................................... ......................................... .........................................

I dagliglivet bruker vi brøk i mange praktiske situasjoner: Vi har syklet halvparten av veien. Sangen går i tre firedels takt. Kakeboksen er tre kvart full.

.........................................

Mål

.........................................

I dette kapitlet skal du få lære om . . . .

.........................................

regning med brøk utviding og forkorting av brøk sammenhengen mellom brøk og desimaltall uekte brøk og blandet tall

......................................... ......................................... Best å lære seg addisjon med brøk med en gang!

.........................................

Brøk

Begreper Brøk, teller, nevner, brøkstrek (deletegn), likeverdig

Når de er ferdige, kan de finne ut hvor stor brøkdel som ikke er skravert. K 2.2

Tangram

Antall deltakere: E´n og e´n eller to og to Egypterne brukte bare brøker med teller lik 1 (stambrøk). Alle brøkene de hadde behov for, skrev de som summen av stambrøker. 2 skrev de slik: 9

1 6

1 18

Aktiviteter

Bruk tangrambrikker eller kopieringsoriginalen. La elevene bruke tid på å vurdere og sammenlikne brikkene. Spørsmål og oppgaver kan være: • Hvor stor brøkdel av hele tangrammet utgjør de enkelte brikkene? • Hvordan er forholdet mellom arealet av de enkelte brikkene? • Lag et kvadrat av to og tre brikker. • Hvor stor brøkdel av hele tangrammet utgjør disse kvadratene? 1 • Lag en trekant som er av hele tangrammet. 4

Brøk

Bakgrunnsstoff

Hva er brøk? Nå har vi gått to tredeler av veien.

Bruk litt tid på å snakke om i hvilke situasjoner vi bruker brøk, og hvorfor vi angir en mengde eller delmengde som brøk. La elevene komme med eksempler.

Jeg har spist halvparten av nisten min. Jeg har drukket tre firedeler av kakaoen.

Det er svært viktig å arbeide for at elevene skal få en grunnleggende og god forståelse for brøk og brøkregning. Det er et tema som elevene møter i dagliglivet. Mangler de forståelse her, vil de også få problemer med prosentbegrepet og prosentregning.

Når bruker vi brøk?

Kopieringsoriginal K 2.1

To tredeler, en todel og tre firedeler er alle eksempler på brøk. I figuren nedenfor er tre av fire ruter, tre firedeler, skravert.

Konkretisering av brøker

3 4

Antall deltakere: E´n og e´n Kopier opp arket. Elevene skal finne hvor stor brøkdel som er skravert.

Teller Brøkstrek Nevner

Telleren forteller hvor mange deler det er, og nevneren hvor mange deler det er i alt. Brøkstreken er det samme som et divisjonstegn. Oppgaver 2.1

Brøk 48

Skriv som brøk. a) Åtte nideler b) Sju tideler

c) Seks tolvdeler d) Trettifem hundredeler

Aktiviteter

Notater

En utfordring for en del elever: Tegn figurene (kvadratene) på tavla, og diskuter hvordan vi kan komme fram til hvor stor brøkdel de ulike delene utgjør.

......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Se på pizzaene og bestem hvor mange brøkdeler som er spist. a) b) c)

Brøk

2.2

......................................... 2.3

Hvor stor brøkdel av hver figur er skravert? a)

.........................................

......................................... 2.4

Omtrent hvor stor brøkdel av bygningen ligger a) under bakken b) over bakken

2.5

a) Hvor stor brøkdel av dropsene er blå?

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

b) Hvor stor brøkdel av sjokoladen er spist opp?

.........................................

c) Omtrent hvor stor brøkdel av saften er drukket opp?

Brøk 49

Bakgrunnsstoff 5 er større enn 1. Du kan nevne allerede 4 her at en slik brøk blir kalt en uekte brøk. Se ellers mer om uekte brøk på side 66.

Brøken

Det er behov for stadig å repetere at en brøk er lik 1 når teller og nevner er like store. Videre kan det være lurt å komme inn på omgjøring av hele tall 3 til brøk, som for eksempel at 3 = . Dette er 1 forhold som elevene får bruk for ved sammentrekking av brøker og løsning av likninger. Vi vet 3 av erfaring at slike sammenhenger som = 1 og 3 3 3 = lett går i «glemmeboka». 1

Fokuser på at en full flaske inneholder 1 hel. Dette kan da illustreres med brøkene 1 2 3 5 6 x = = = = = =1 1 2 3 5 6 x

Brøk

Vi kan også illustrere brøk ved hjelp av en flaske som er fylt med farget vann. Diskuter hvor mange brøkdeler som er igjen i flaska, og hvor mange brøkdeler som mangler for at den skal bli full. 2.6

a) Hvordan vil du gå fram for å finne ut omtrent hvor stor brøkdel av kroppen som er vann? b) Hvordan vil du gå fram for å finne ut omtrent hvor stor brøkdel av et isfjell som er under vann?

Større eller mindre enn en hel En brøk kan være mindre enn 1, lik 1 eller større enn 1. Mindre enn 1

Lik 1

3 4

4 4

Telleren er mindre enn nevneren.

Telleren og nevneren er like store.

Større enn 1

5 4 Telleren er større enn nevneren.

Regel

Hvis telleren er mindre enn nevneren, er brøken mindre enn 1. Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. Hvis telleren er større enn nevneren, er brøken større enn 1.

Brøk 50

Bakgrunnsstoff

Aktiviteter

1 2 16 , og er likeverdige 1 2 16 brøker. Men de er ikke like. 2 Det er stor forskjell på å dele opp en kake i og i 2 16 . Men mengden er den samme. 16

Tegn opp de to figurene sammen med elevene. Pass på å være nøyaktig, slik at kvadratene blir like store.

Merk at for eksempel

1 2 = 4 8 Snakk med elevene om hva som skiller figurene, og hva som har skjedd. Figurene er ikke like, men en like stor andel av hver figur er skravert (likeverdige).

Notater ......................................... 2.7

Hvilke av brøkene er større enn 1? 4 5

2.8

7 3

12 11

2 3

3 2

3 7

.........................................

3 3

Hvilke av brøkene er mindre enn 1? 5 4

2.9

Brøk

Oppgaver

4 5

1 2

8 7

3 3

7 8

.........................................

2 1

Hvilke av brøkene er lik 1? 4 4

1 3

11 11

3 1

7 7

7 6

.........................................

6 7

.........................................

Likeverdige brøker 1 To forskjellige brøker kan ha lik verdi. Figurene nedenfor viser at er det 4 2 samme som . 8

......................................... .........................................

1 4

2 8

.........................................

Vi sier at brøkene er likeverdige. Disse brøkene har også like stor verdi og er derfor likeverdige:

.........................................

1 3

2 6

4 12

8 24

Brøk 51

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.101–2.107 2.201–2.202 Alternativ oppgavebok 2.1–2.6

Notater ......................................... ......................................... .........................................

.........................................

Brøk

.........................................

Oppgaver 2.10 Se på figurene og bestem a) hvor stor brøkdel av hver figur som er skravert b) hvilke av brøkene som er likeverdige

......................................... ......................................... 2.11 Finn ved hjelp av tegning hvilke brøker som er likeverdige.

.........................................

6 8

9 12

4 8

3 4

2.12 Finn en annen brøk som er likeverdig med 1 2 1 a) b) c) 2 3 8

.........................................

6 12

2 10

2 & = 6 12

.........................................

2.13 Skriv av og fyll inn tallene som mangler. 2 & 4 8 3 & a) = b) = c) = 3 6 5 & 4 8

.........................................

2.14 Lotte og Sara går på kino. De kjøper hver sin pose popkorn. Halvveis i 4 6 filmen har Sara spist opp av popkornet og Lotte har spist opp . 6 9 Har de spist opp like mye? Forklar. Modell av Millenium Falcon fra filmen Star Wars

.........................................

2 4

Brøk 52

Begreper Utviding, forkorting, brøkdel

Bakgrunnsstoff Begrepene utviding og forkorting kan være problematiske. Særlig forkorting, som kan forlede elevene til å tro at vi gjør brøkene mindre. Du kan vise at brøkene har samme verdi selv om vi forkorter: 1000 100 10 1 = = = 1000 100 10 1 Dette kan vi ytterligere dokumentere ved å bruke deletegn i stedet for brøkstrek:

Utviding av brøker blir ofte blandet sammen med multiplikasjon av et helt tall med en brøk, særlig i forbindelse med algebra og likninger. Denne problemstillingen vil igjen bli aktualisert når elevene både skal trekke sammen brøkuttrykk og løse likninger som inneholder brøk.

Aktiviteter Tegn opp figuren sammen med elevene. Pass på å være nøyaktig, slik at sirklene blir like store. Det er viktig å presisere dette for elevene! Utviding:

1000 : 1000 = 100 : 100 = 10 : 10 = 1 : 1 = 1

Brøk

Utviding og forkorting av brøker

Forkorting:

1 = 4 8

Hvordan kan vi gjøre om

2 4 = 3 6

4 1 = 16 4

1 til en brøk med åttedeler? 4

1 2 1 Vi kan vise at brøkene og har lik verdi ved å utvide brøken med 2. 4 8 4 Det gjør vi ved å multiplisere telleren og nevneren med 2. 1 1 2 2 = = 4 4 2 8

På samme måte kan vi forkorte

2 1 til . Det gjør vi ved å dividere telleren og 8 4

nevneren med 2. 2 2:2 1 = = 8 8:2 4

Brøk 53

Kopieringsoriginal K 2.3

Sant – usant: Større, mindre eller er lik

Antall deltakere: To og to La elevene jobbe sammen for å avgjøre hvilke utsagn som er sanne. La dem også rette opp de som er usanne.

Notater ......................................... ......................................... .........................................

.........................................

Brøk

......................................... Regel

Vi utvider en brøk ved å multiplisere telleren og nevneren med det samme tallet. Brøken forandrer ikke verdi. Vi forkorter en brøk ved å dividere telleren og nevneren med det samme tallet. Brøken forandrer ikke verdi.

.........................................

Eksempel 2:1

.........................................

a) Utvid brøken

2 med 3. 4

b) Forkort brøken

4 med 2. 6

Løsning

.........................................

2 2 3 6 = = 4 4 3 12

4 4:2 2 = = 6 6:2 3

......................................... Oppgaver 2.15 Utvid brøkene med 5. 1 1 c) a) 3 4

.........................................

2 3

2 4

2.16 Forkort brøkene med 2. 2 6 a) c) 4 10

.........................................

4 12

3 5

5 13

10 e) 20 f)

24 6

2.17 Forkort brøkene så mye som mulig. 4 4 20 c) a) e) 4 16 30

.........................................

4 6

Brøk 54

21 49

16 24

64 128

Når vi forkorter eller utvider brøker, blir ikke verdien forandret!

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... Årstrinn

Antall elever

Brøk

2.18 Til høyre ser du antall elever ved Granli skole. En dag er åtte elever på hvert årstrinn syke. Hvor stor brøkdel av elevene på hvert trinn er syke? Forkort svarene så mye som mulig.

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

2.19 Til en fotballkamp er det solgt 6000 av i alt 8000 billetter. Hvor stor brøkdel av billettene er a) solgt b) ikke solgt

.........................................

Forkort svarene så mye som mulig.

.........................................

Fredrikstad – Stabekk, NM i fotball 2013

......................................... .........................................

Brøk 55

Bakgrunnsstoff Her sammenlikner vi brøker ved å bruke utviding og forkorting. Sammenlikningen kan også gjøres ved omgjøring til desimaltall (se side 70).

Siden det ikke fins noe helt tall mellom 24 og 25, må vi utvide med 2. 24 2 48 = 30 2 60

25 2 50 = 30 2 60

Aktiviteter

Vi ser nå at brøken

Lik teller eller lik nevner En utfordring til elevene kan være å sammenlikne brøker som

Aktiviteter

2 2 2 3 og , og og 5 6 9 9

49 4 5 ligger mellom og . 60 5 6

Drøft med elevene ulike måter å løse oppgavene 2.22, 2.23 og 2.25 på. 2.22

Spørsmålet blir å finne ut hvilken brøk som er størst når tellerne er like, og hvilken brøk som er størst når nevnerne er like. Sortere brøker Skriv opp disse brøkene på tavla:

Her er det kanskje enklest å gjøre om brøken

1 og så foreta sammenlikningen etterpå. Noen 3 elever vil kanskje gjøre om alle brøkene slik at de får den samme nevneren.

til

Brøk

4 5 7 , , 5 6 8 Snakk med elevene om hvilken brøk som er størst, og hvilken som er minst. Hvis du så supplerer med disse brøkene,

4 12

Vi sammenlikner brøker Når vi sammenlikner brøker, kan vi gjøre nevnerne like store ved å utvide e´n 2 3 eller flere av brøkene. For å finne ut hvilken brøk som er størst av og , 3 4 utvider vi brøkene slik at de får lik nevner. 2 2 4 8 = = 3 3 4 12

1 2 3 8 9 , , , , 2 3 4 9 10

Vi ser at

3 2 > 4 3

3 3 3 9 = = 4 4 3 12 fordi

9 8 > 12 12

Regel

Når to brøker har like nevnere, er brøken med den største telleren størst.

blir det lettere for elevene å se sammenhengen. Eksempel 2:2

Finne en ny brøk En annen oppgave er å finne en brøk som ligger mellom to andre brøker, for eksempel å finne en 4 5 brøk mellom og . 5 6

Hvilken brøk er størst av Løsning 1 1 5 5 = = 3 3 5 15

2 2 3 6 = = 5 5 3 15

2 1 6 5 > fordi > 5 3 15 15

Løsning: 4 6 24 = 5 6 30

1 2 og ? 3 5

Oppgaver 2.20 Hvilken brøk er størst? 3 5 a) eller 5 4

5 5 25 = 6 5 30

6 11 eller 7 14

3 3 eller 6 5

3 2 eller 8 6

2.21 Hvilke brøker er minst eller lik hverandre? 3 6 3 4 a) eller c) eller 4 8 4 5 b)

Brøk 56

5 6 eller 6 8

10 9 eller 11 10

Ettersom Lotte skal ha halvparten, kan det også være en begrunnelse for hvorfor hun får mest. 2.23 Her kan også argumentet være at ettersom Hanna drikker halvparten og Sara drikker mindre enn dette, må Sara drikke minst. Minn elevene på at det alltid er viktig å begrunne svarene. Disse to brøkene er også enkle å utvide til firedeler før vi sammenlikner. 2.25 Denne oppgaven kan godt løses ved hjelp av tegning.

1 Vi ser at resten er , som da må svare til Martins 2 3 1 3 = . del, som er 6 2 6

Fri 2.1 Utfordringen til elevene er å finne en eller flere måter å sammenlikne prisen på. Her er noen metoder: 1) Fellesnevner 20 15 300 = A) 21 16 336

Begynn med femdeler og fargelegg to (rød). Del så inn i tideler og fargelegg en (grønn).

15 21 315 = 16 21 336

2) Sammenlikne forhold 21 1 16 1 A) =1 B) =1 20 20 15 15

Brøk

2.22 Sara, Lotte, Simen og Herman skal dele en premie slik: 1 1 4 1 Lotte skal ha av premien, Herman , Sara og Simen . 2 8 12 24 Hvem får mest?

3) Regne ut divisjonen A) 20 : 21 0,95 B) 15 : 16 0,94 4) Regne ut prisen på 60 blyanter i hver av butikkene A) 63,00 kr B) 64,00 kr 5) Regne ut prisen på 5 blyanter i hver av butikkene A) 5,25 kr B) 5,33 kr

2.23 Sara og Hanna deler en flaske brus. Hanna drikker 1 av brusen. 4 Hvem drikker minst?

Oppgavehenvisning

1 av brusen og Sara 2

Oppgavebok 2.108–2.111 2.203–2.207

drikker

2 1 av en kake, og Hanna spiser . 8 6 Hvem spiser mest?

2.24 Martin spiser

2.25 Under stafetten på idrettsdagen løper Simen

Alternativ oppgavebok 2.7–2.15

2 av distansen, Herman 5

1 3 og Martin løper . 10 6 Hvem løper den lengste distansen?

løper

To ulike butikker selger blyanter på tilbud. Butikk A selger 20 blyanter for 21 kr, og butikk B selger 15 blyanter for 16 kr. Finn to ulike måter for å avgjøre hvilken butikk som har det beste tilbudet.

Brøk 57

Bakgrunnsstoff Det er en vanlig feil å legge sammen både tellerne og nevnerne. Presiser følgende: Det er ikke noe mer «mystisk» at

1 3 4 + = 5 5 5

enn at 1 del + 3 deler = 4 deler, og «deler» her er det samme som femdeler. Du kan også her bruke kakediagram eller oppdeling av en pizza som eksempel.

Notater .........................................

.........................................

Brøk

......................................... Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner Jeg har spist

.........................................

1 . 5 Jeg har spist

3 . 5

......................................... ......................................... ......................................... Hvor stor brøkdel av kaka har Martin og Hanna spist til sammen?

.........................................

Kaka er delt i fem like store stykker. Hanna har spist ett stykke og Martin tre 1 3 stykker. Vi sier at Hanna har spist av kaka og Martin . Til sammen har de 5 5 4 spist fire stykker, som er av kaka. 5

.........................................

1 5

3 5

4 5

......................................... Regel

.........................................

Når vi legger sammen brøker med like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren. Når vi subtraherer brøker med like nevnere, subtraherer vi tellerne og beholder nevneren.

Brøk 58

Eksempel 2:3

Regn ut. a)

3 1 + 7 7

Løsning 3 1 3+1 4 a) + = = 7 7 7 7

.........................................

3 1 -7 7

3 1 3 -- 1 2 -- = = 7 7 7 7

......................................... .........................................

Oppgaver 2.26 Sett opp regnestykkene som figurene viser og regn ut.

.........................................

......................................... b)

.........................................

+ c)

......................................... +

.........................................

–

Brøk 59

Bakgrunnsstoff Mange elever syns brøkregning blir mye vanskeligere i tekstoppgaver. Ved å analysere teksten i forkant, blir det enklere å finne riktig regnemetode. I oppgave 2.29 har Sara så mye og Herman så mye. Prøv å knytte «og» opp mot regnetegnet pluss (+).

• Brøken med den største nevneren (4/11). • Brøken med den laveste eller høyeste verdien (2/6, 2/4). 3 0,428557 7

2 = 0,5 4

2 0,3333 6

4 0,3636 11

Aktiviteter

2.28 a) Hvor mange femdeler inneholder en full flaske? b) Hvor mange seksdeler inneholder en full flaske? 2.29 Oppgaven kan kanskje lettest løses ved hjelp av en tegning? Fokuser på at det er viktig at kurvene er like store, og at de er delt inn i like mange deler.

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.112–2.115 2.208–2.210 Alternativ oppgavebok 2.16–2.19

Brøk

Det er lurt å tipse i forkant og drøfte oppgavene 2.28 og 2.29 med elevene.

2.27 Regn ut. 2 1 a) + 4 4 b)

3 2 -8 8

2 1 4 + + 9 9 9

1 1 + 3 3

3 4 3 + -11 11 11

2.28 Simen har en full brusflaske. Hvor mye av brusen har han igjen hvis han drikker

Fri 2.2

a) to femdeler b) tre seksdeler c) fire trettendeler d) åtte ellevedeler

La eleven jobbe to og to eller i mindre grupper. La dem komme med sine løsninger, som for eksempel: • Det er eń brøk som har et oddetall i telleren (3/7). • Det er eń brøk som går opp når en deler teller med nevner (2/4). • Det er eń brøk som har primtall i teller og nevner (3/7).

3 2.29 Sara har en kurv med jordbær som er full 4 1 og Herman en kurv som er full. 4 Hvor mye jordbær har de til sammen?

? 60

3 1 -7 7

Brøk 60

Begrunn hvorfor e´n av brøkene ikke passer inn. 3 7

2 4

2 6

4 11

Begreper

Vi vil anbefale at du stadig minner elevene om likeverdige brøker ved forkorting og utviding. Dette trenger elevene å forstå for videre arbeid på høyere klassetrinn.

Ulik nevner, minste felles multiplum, primtallsfaktorisering, fellesnevner

Bakgrunnsstoff

Notater

I boka legger vi opp til en systematisk progresjon, som vi mener det er lurt å følge: • Den ene nevneren går opp i den andre (2 går opp i 4). • Begge nevnerne er primtall (3 og 5 er primtall). • Nevnerne har felles faktorer, og vi finner minste felles multiplum (gjennomgås på side 63).

Brøk

Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner

.........................................

Hvordan gjør jeg dette? 1 1 + = 2 4

.........................................

2 1 + = 5 3

......................................... ......................................... .........................................

Hvordan kan vi legge sammen brøker med ulike nevnere?

.........................................

Hvis vi skal addere eller subtrahere brøker med ulik nevner, må vi først gjøre nevnerne like store. Det kaller vi å finne fellesnevner til brøkene. 1 1 + ser vi at den minste nevneren går opp i den største. 2 4 Vi utvider da den minste brøken slik at begge brøkene får nevneren 4. I regnestykket

.........................................

1 1 1 2 1 2 1 2 + 1 3 + = + = + = = 2 4 2 2 4 4 4 4 4

.........................................

2 1 + ser vi at begge nevnerne er primtall. Vi multipliserer da 5 3 nevnerne med hverandre for å finne en fellesnevner.

I regnestykket

.........................................

2 1 2 3 1 5 6 5 6 + 5 11 + = + = + = = 5 3 5 3 3 5 15 15 15 15 Regel

Når vi skal addere eller subtrahere brøker med ulike nevnere, må vi først utvide eller forkorte brøkene slik at de får fellesnevner.

Brøk 61

Bakgrunnsstoff

.........................................

Gå grundig gjennom eksemplet, som viser utregning og føring av brøkoppgaver. Altfor ofte ser vi dessverre ufullstendig og unøyaktig føring.

.........................................

Mange elever misbruker likhetstegnet ved at de skriver slik: 1 1 1 2 2 1 3 + = = + = 3 6 3 2 6 6 6

......................................... ......................................... .........................................

Aktiviteter Oppgave 2.34 kan godt løses ved hjelp av tegning. 3 4

......................................... ......................................... .........................................

1 4

Brøk

1 2 Eksempel 2:4

Regn ut. a)

1 1 + 3 6

2 1 + 7 3

Løsning

Notater .........................................

1 1 1 2 1 2 1 2 + 1 3 1 + = + = + = = = 3 6 3 2 6 6 6 6 6 2

2 1 2 3 1 7 6 7 6 + 7 13 + = + = + = = 7 3 7 3 3 7 21 21 21 21

Oppgaver

.........................................

2.30 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 2 4 5 2 1 1 4 b) -c) -d) + a) + 4 8 7 14 3 9 3 6

.........................................

2.31 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 2 1 3 1 9 2 1 2 a) + b) + c) -d) -3 5 7 2 11 3 3 7

.........................................

2.32 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 1 3 2 2 1 1 1 2 4 1 a) + + b) + -c) + -d) + -4 2 4 5 10 5 2 3 5 3 7 2

.........................................

2.33 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 2 5 1 7 13 3 3 1 5 3 a) + + b) + -c) -- -d) -+ 4 8 8 6 3 18 14 7 7 6 12 6

.........................................

2.34 Herman kjøper tre flasker brus. Hvor mye brus kjøper han når flaskene 3 1 1 inneholder liter, liter og liter? 4 2 4

Brøk 62

Bakgrunnsstoff

multiplum. I begge metodene er det viktig å tydeliggjøre at minste felles multiplum er det minste tallet som er delelig med de gjeldende tallene. Skal vi for eksempel finne minste felles multiplum for 6 og 9, må begge divisjonene

Multiplum er et vanskelig begrep. 18 er et multiplum av 6. Det betyr at vi får 18 ved å multiplisere 6 med et tall. I dette tilfellet multiplisert med 3. 36 er et multiplum av 9 fordi vi får 36 ved å multiplisere 9 med et tall, nemlig 4.

mfm mfm og gi et helt tall som svar. 6 9

Felles multiplum er et multiplum for flere tall. 36 er for eksempel felles multiplum for 6 og 9 fordi vi får 36 ved å multiplisere tall (henholdsvis 6 og 4) med 6 og 9. Minste felles multiplum er det minste tallet som er et felles multiplum for to eller flere tall. Det er minste felles multiplum vi vanligvis bruker som fellesnevner. Her viser vi to metoder for å finne minste felles

Det vil si at divisjonene mfm mfm og må gi hele tall som svar. 2 3 3 3 Det er derfor minste felles multiplum i dette tilfellet må bestå av to treere ð3 3Þ og e´n toer (2): 2 3 3 = 18

Aktiviteter Det er lettest å regne med en liten fellesnevner. Dette tallet kan vi finne ved hjelp av gangetabellen eller primtallsfaktorisering.

Brøk

Minste felles multiplum

Jeg vil heller faktorisere nevneren.

Jeg bruker gangetabellen. 1 2 + 6 9

6 og 4 og 8 og 9 og osv.

Metode 1: Gangetabellen Vi setter opp gangetabellen og finner hvilke tall som begge nevnerne går opp i: 6

6 12

18 24 30

Vi har vist to måter å finne minste felles multiplum (fellesnevner) på. Ofte vil tallene være så enkle at det er mulig å finne fellesnevneren ved hoderegning. Vi anbefaler derfor muntlig aktivitet der elevene skal finne fellesnevneren for 9 12 6 18

36 ...

36 45 54 ...

Vi ser at 6 og 9 går opp i 18 og 36. Vi velger det minste tallet, 18, som fellesnevner for brøkene. Metode 2: Primtallsfaktorisering Først faktoriserer vi nevnerne 6 og 9. Så multipliserer vi faktorene og finner fellesnevneren. Alle faktorene fra begge nevnerne må være med. Vi kaller fellesnevneren for minste felles multiplum. 6 = 2 3 2 · 3 · 3

= 18

9 = 3 3 Når vi har funnet fellesnevneren, regner vi ut stykket: 1 2 1 3 2 2 3 4 7 + = + = + = 6 9 6 3 9 2 18 18 18

Brøk 63

Brøk

......................................... Eksempel 2:5

Regn ut

.........................................

1 2 + . 5 3

Finn fellesnevner ved hjelp av gangetabellen. Løsning

......................................... .........................................

5 10

15 9 12

Fellesnevner = 15 1 2 1 3 2 5 3 10 13 + = + = + = 5 3 5 3 3 5 15 15 15

......................................... Eksempel 2:6

Regn ut

.........................................

1 5 + . 8 6

Finn fellesnevner ved hjelp av primtallsfaktorisering. Løsning 8¼2 2 2

.........................................

2 · 2 · 2 · 3 = 24

6 = 2 3

.........................................

Fellesnevner = 24 1 5 1 3 5 4 3 20 23 + = + = + = 8 6 8 3 6 4 24 24 24

......................................... Oppgaver 2.35 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 4 5 2 1 5 1 3 b) -c) + d) -a) + 4 6 6 9 10 6 4 14

2.36 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 3 4 2 2 8 1 13 3 a) + b) + c) -d) + 5 20 9 4 9 4 28 7

Brøk 64

Bakgrunnsstoff

Notater

Hele tall Det er viktig å fokusere på at alle hele tall kan skrives som brøk med nevner lik 1.

.........................................

Nevner er primtall Snakk også med elevene om hva man gjør når begge nevnerne er primtall.

......................................... ......................................... .........................................

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.116–2.118 2.211–2.214 2.301–2.303

......................................... .........................................

Alternativ oppgavebok 2.20–2.21

......................................... ......................................... ......................................... Brøk

2.37 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 1 1 2 3 3 1 5 a) + + b) + + c) + + 6 4 8 4 5 10 9 6 12

.........................................

2.38 Hvor stor brøkdel er igjen på hver av flaskene? a)

......................................... ......................................... ......................................... 2 1 2.39 Hanna bor km fra skolen. Herman bor km lenger vekk enn Hanna. 5 4 Hvor lang vei har Herman til skolen?

......................................... .........................................

Alle hele tall kan skrives som brøk på denne måten.

3 1

7 1

1 1

13 =

13 1

......................................... .........................................

2.40 Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. 3 2 1 3 b) 3 -c) + 2 + a) + 2 4 5 4 4 2.41 Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. 3 7 2 4 1 2 a) + -- 1 b) 4 + -- 3 c) -- + 5 -4 8 16 9 3 6

Brøk 65

Begreper

Kopieringsoriginal

Uekte brøk, blandet tall, addere, subtrahere

K 2.4

Hvem skal ut? Ekte og uekte brøk

Antall deltakere: Grupper på to, tre eller fire

Bakgrunnsstoff Vi bør presisere ytterligere at f. eks. 2

1 er det 2

1 1 samme som 2 + . Det vil si at vi kan gjøre om 2 2 2 slik: 1 = 2 1 2+ = 2 2 1 + = 1 2 4 1 5 + = 2 2 2

La elevene snakke og forklare for hverandre hvordan de tenker. Her er det viktig at elevene selv begrunner hvorfor de mener at akkurat den skal ut. Svaret er ikke det viktigste her, men det at elevene begrunner sine valg. 1) a)

4 16

8 =4 2

11 1 9 1 = 2 c) = 2 5 5 4 4

2 8

1 8

18 3 =2 7 7

2) a)

Brøk

Du bør la elevene vurdere i hvilken grad det er hensiktsmessig å gjøre om en uekte brøk til et blandet tall. Det er ikke alltid det er noe poeng med en slik omgjøring. En størrelse skrevet som uekte brøk, kan ofte si like mye som om den er skrevet som blandet tall. (Eksempelvis: fem halve forteller like mye som to og en halv). 1 Du bør også minne om at 2 ikke er det samme 2 1 som 2 . 2 Det er her på sin plass også å repetere disse sammenhengene, gjerne med eksempler:

1 4

Uekte brøk og blandet tall Jeg har bare drukket en og halv liter.

Nå har jeg drukket tre halvlitere med vann!

Hvem har drukket mest?

Sara har drukket tre halvliterflasker med vann.

2 = 1 ! når telleren er lik nevneren, 2 er brøken lik 1.

Det kan vi skrive slik:

3 2

Herman har drukket en literflaske og en halvliterflaske med vann.

2 = 2 ! når nevneren er 1, er verdien 1 av brøken lik telleren.

Det kan vi skrive slik: 1

1 2

Hvis vi setter brøkene inn på en tallinje, 3 1 ser vi at er det samme som 1 . 2 2 1 2

2 2

3 2

1 1 2

4 2

5 2

1 2 2

6 2

3 for en uekte brøk 2 1 og 1 for et blandet tall. 2

Vi kaller 0

Brøk 66

1 2

Bakgrunnsstoff

Aktiviteter

En alternativ måte å gjøre om en uekte brøk til blandet tall på er for eksempel:

Oppgave b) i eksemplet kan også løses slik for å skape en bedre forståelse:

5:2=2 4 1

Heltall

3 3 20 3 23 =5+ = + = 4 4 4 4 4

Rest Notater

Vi får da: 5 1 = 2 2 2

En brøk som er større enn 1, kan skrives som uekte brøk eller blandet tall. I en uekte brøk er telleren større enn nevneren. Et blandet tall består av et helt tall pluss en brøk.

Brøk

Regel

......................................... .........................................

Vi skal se på sammenhengen mellom uekte brøk og blandet tall.

5 = 2

.........................................

1 1 1 1 1 1 1 + + + + =2+ =2 2 2 2 2 2 2 2

.........................................

1 1 2 2 1 5 er altså det samme som 2 + = + + = 2 2 2 2 2 2

Vi ser at

5 1 =2 2 2

.........................................

Vi bruker vanligvis en raskere måte når vi gjør om et blandet tall til en uekte brøk. Da multipliserer vi nevneren med det hele tallet og adderer telleren. 2

.........................................

1 ð2 2Þ + 1 4 + 1 5 = = = 2 2 2 2

Eksempel 2:7

a) Gjør om

......................................... 7 til blandet tall. 3

b) Gjør om 5

3 til uekte brøk. 4

.........................................

Løsning: 7 3 3 1 1 1 a) = + + = 2 + = 2 3 3 3 3 3 3

3 ð4 5Þ + 3 20 + 3 23 b) 5 = = = 4 4 4 4

.........................................

Brøk 67

Kopieringsoriginal K 2.5

Notater

Hvem skal ut? Addisjon og subtraksjon av brøk

......................................... .........................................

Antall deltakere: Grupper på to, tre eller fire La elevene snakke og forklare for hverandre hvordan de tenker. Her er det viktig at elevene selv begrunner hvorfor de mener at akkurat den brøken skal ut. Svaret er ikke det viktigste her, men det at elevene begrunner sine valg.

......................................... ......................................... .........................................

1) Her blir alle svarene 1. 3 2 a) + 5 5

2 3 3 b) + + 8 8 8

1 9 c) + 4 12

5 2 1 d) + -6 6 6

......................................... .........................................

1 a) 2 + 3 c) 3

3 1 -- 1 6 6

4 b) + 1 3 d)

Brøk

1 2) Her blir alle svarene 2 . 3 Oppgaver 2.42 Se på tallinja nedenfor og skriv de uekte brøkene som blandete tall. 4 7 8 a) b) c) 3 3 3

7 4 6 -+ 6 12 4

3 3

4 3

1 3

5 3

6 3

2 3

7 3

8 3

1 3

2.43 Gjør om til blandet tall. 5 8 a) c) 3 3 b)

11 5

12 7

2.44 Gjør om til uekte brøk. 1 3 a) 1 c) 7 3 4 b) 5

2 5

d) 9

1 2

9 3

2 3

35 4

66 7

e) 11

1 3

f ) 20

3 10

2.45 Gjør de blandete tallene om til uekte brøker og regn ut. Husk å finne fellesnevner før du adderer eller subtraherer. 1 1 2 1 1 4 c) 3 -- 2 e) 3 -- 1 a) 1 + 2 3 3 5 5 7 7 b) 2

Brøk 68

1 2 +3 4 3

d) 4

3 1 -- 2 6 2

f) 2

1 3 +3 3 4

Kopieringsoriginal

Fri 2.3

K 2.6

Her fins det utallige løsninger. La elevene skrive regnefortellinger der de utfordres til å bruke brøkuttrykk på forskjellige måter.

Stafett: Addisjon og subtraksjon

Antall deltakere: Grupper på 4 og 4 Del elevene inn i grupper på fire. La den svakeste eleven være nummer 1 og den sterkeste nummer 4. Klipp opp kopieringsoriginalen i åtte deler. 1) Alle enerne kommer fram og får lapp (etappe) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa. 3) Elev 1 går opp og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A. 5) Oppgaven løses i gruppa. 6) Elev 2 går opp og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv.

Et tips til elevene kan være å ta utgangspunkt i firedeler og for eksempel fjerne den lille delen (1/8).

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.119–2.120 2.215–2.216 2.304–2.305 Alternativ oppgavebok 2.22–2.23

Notater

Brøk

1 3 liter kakao. På en tur drikker hun opp liter. 2 4 Hvor mye kakao har hun igjen?

2.46 Sara har 1

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

2.47 Regn ut. Skriv svaret som blandet tall. 4 1 3 + + 5 3 15 1 b) 5 + -- 2 3 a)

.........................................

21 1 +1 -- 2 7 14 1 5 d) -- + 2 + 2 4 c)

.........................................

2.48 Hvor mange kilogram bær er det i alt? kg

......................................... ......................................... .........................................

Lag en brøkoppgave som passer til figuren.

Brøk 69

Begreper

Notater

Desimaltegnet (komma), utvide, forkorte, avrundingssiffer, tilnærmet lik

......................................... .........................................

Bakgrunnsstoff Vi har tidligere sammenliknet brøker ved å gjøre om brøkene slik at de får samme nevner (se s. 56). Etter at elevene har lært å gjøre om en brøk til desimaltall, kan de nå bruke dette til å sammenlikne størrelsen på brøker. Det betyr også at det nå er på sin plass å repetere desimaltall (se fra s. 19).

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Kopieringsoriginal Sant – usant: Blandete oppgaver

Antall deltakere: To og to La elevene jobbe sammen med å avgjøre hvilke utsagn som er sanne. La dem også rette opp de som er usanne.

.........................................

Brøk

K 2.7

Brøk og desimaltall

Hvordan kan vi skrive 3 som desimaltall? 4

3 = 4 0

0,75

Hvordan kan vi gjøre om brøk til desimaltall?

Når vi skal gjøre om en brøk til desimaltall, dividerer vi telleren med nevneren. 3 = 3 : 4 = 0,75 4

Eksempel 2:8

Gjør om til desimaltall. a)

1 2

9 4

9 = 9 : 4 = 2,25 4

Løsning a)

1 = 1 : 2 = 0,5 2

Hvis nevneren er 10, 100 eller 1000, flytter vi desimaltegnet like mange plasser til venstre som det er nuller i nevneren.

3 = 3 : 10 = 0,3 10

Brøk 70

Aktiviteter

Notater

Når du gjennomgår eksemplet, bør du legge vekt på å få fram at:

.........................................

1 er det samme som en tidel. 10

.........................................

33 er det samme som trettitre hundredeler, 100

.........................................

altså 3 tideler og 3 hundredeler. osv.

Eksempel 2:9

Gjør om til desimaltall. a)

1 10

.........................................

33 100

1234 1000

33 = 0,33 100

1234 = 1,234 1000

Løsning a)

1 = 0,1 10

......................................... .........................................

Oppgaver 2.49 Gjør om til desimaltall. 2 3 a) b) 4 8 2.50 Gjør om til desimaltall. 1 3 a) b) 10 4 2.51 Gjør om til desimaltall. 13 15 a) c) 4 8 b)

2 8

9 12

2.52 Gjør om til desimaltall. 1 12 a) c) 10 10 b)

312 100

401 1000

2 5

6 4

3 6

1 5

e) 3

1 2

f) 7

4 10

50 100

40 1000

2.53 Forkort eller utvid brøkene slik at nevnerne blir 10, 100 eller 1000. Gjør så om til desimaltall. a)

6 50

60 300

12 25

26 200

4 5

25 500

Brøk 71

Aktiviteter Dette er spørsmål vi kan utfordre en del elever med: Hva er betingelsen for at divisjonen går opp? Hvordan er desimalene hvis divisjonen ikke går opp? Hvorfor går for eksempel divisjonene 7 7 og opp, 20 16 mens divisjonene

7 7 og ikke går opp? 19 15

Notater .........................................

.........................................

Brøk

.........................................

Hvis divisjonen ikke går opp Hvis divisjonen ikke går opp når vi dividerer telleren med nevneren, runder vi av svaret til det antall desimaler vi ønsker. 6 = 0,857142 . . . 0; 857 7

1 = 0,333333 . . . 0,33 3

~ betyr tilnærmet lik

2 = 0,181818 . . . 0,2 11

......................................... .........................................

Eksempel 2:10

Gjør om

.........................................

8 til desimaltall. Rund av svaret til to desimaler. 9

Løsning 8 = 8 : 9 = 0,888 . . . 0,89 9

.........................................

Oppgaver

.........................................

2.54 Gjør om brøkene til desimaltall ved hjelp av kalkulator. Rund av svarene til to desimaler. 7 2 8 a) c) e) 11 3 3

.........................................

1 6

d) 2

8 9

f) 1

11 23

2.55 Gjør om brøkene til desimaltall. Rund av til e´n desimal.

Brøk 72

1 3

6 7

3 11

5 11

2 3

1 9

4 11

1 6

Oppgavehenvisning

Notater

Oppgavebok 2.121–2.128 2.217–2.220 2.306–2.308

......................................... .........................................

Alternativ oppgavebok 2.24–2.31

2.56 En time er det samme som 60 minutter. Ett minutt er det samme som 1 en sekstidels time . 60 Gjør om til timer. a) 20 minutter b) 15 minutter c) 50 minutter

.........................................

Fra desimaltall til brøk

.........................................

Når vi skal gjøre om et desimaltall til brøk, ser vi på hvor mange desimaler tallet har. Hvis tallet har e´n desimal, gjør vi om til tideler. 0,2 =

2 10

3,4 = 3

4 10

.........................................

Hvis tallet har to desimaler, gjør vi om til hundredeler osv. 0,23 =

23 100

3,18 = 3

18 100

.........................................

Eksempel 2:11

Gjør om til brøk. a) 0,5

b) 0,06

c) 0,234

.........................................

d) 2,45

Løsning a) 0,5 =

5 10

b) 0,06 =

6 100

c) 0,234 =

234 1000

d) 2,45 = 2

45 100

.........................................

Oppgaver

.........................................

2.57 Gjør om til brøk. Forkort svarene hvis det er mulig. a) 0,2 b) 0,05 c) 0,004 d) 0,12 e) 0,45 2.58 Hvilke av tallene er sju hundredeler? 7 0,07 700 0,7 10 2.59 Hvilke av tallene er tolv tideler? 12 1,2 0,012 100 2.60 Sorter tallene i stigende rekkefølge. 6 3 0,45 0,85 7 4

12 10

0,60

7 100

.........................................

0,12

7 6

0,70

Brøk 73

Begreper Multiplikasjon, uekte brøk, brøkdel av noe

Bakgrunnsstoff Vi ser mange feiltyper her. Noen elever multipliserer med både telleren og nevneren, andre multipliserer med nevneren, og mange utvider brøkene og legger sammen. Det kan være lurt å starte med en repetisjon av hva multiplikasjon faktisk er. 2

3 3 3 6 = + = 4 4 4 4

er ikke vesensforskjellig fra 2 3 = 3 + 3 = 6

1 1 2 1 1 1 + = = 1 og = 2 2 2 2 2 4 Fokuser på at som

Brøk

Bruk også litt tid på disse to eksemplene:

Brøk og multiplikasjon

1 1 + ikke kan være det samme 2 2

1 1 . 2 2

Hm. Lurer på hvor mye flaskene inneholder i alt?

Minn også elevene på at når vi multipliserer et tall med et tall som er mindre enn 1, vil svaret bli mindre enn det opprinnelige tallet. Hvordan kan vi multiplisere et tall med en brøk?

Multiplikasjon er det samme som gjentatt addisjon. 2

3 3 3 3+3 6 = + = = 4 4 4 4 4

Vi ser at vi kan multiplisere det hele tallet med telleren og beholde nevneren. 2

3 2 3 6 = = 4 4 4

Vi kan skrive alle hele tall som brøk med nevner lik 1, for eksempel 3 = 4 Vi ser derfor at 3 kan regnes ut slik: 5 4 3 4 3 4 12 3 = = = 5 1 5 1 5 5

3 . 1

Regel

Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved å multiplisere det hele tallet med telleren og beholde nevneren.

Vi multipliserer to brøker med hverandre ved å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren.

Brøk 74

Bakgrunnsstoff

Løsning via tegning:

Vi problematiserer ikke multiplikasjon av to brøker med hverandre på annen måte enn å vise at vi bruker tilsvarende framgangsmåte (metode) som når vi multipliserer et helt tall med en brøk. Vi sannsynliggjør regelen ved å bruke den «teknikken» at et helt tall kan skrives som en brøk med 1 som nevner.

1 kake 2 1 1 av kake 4 2 Dette gir

1 av hele kaka. 8

Aktiviteter Et godt eksempel å diskutere er: Jeg har en

Snakk så om at tegningen også kan settes opp som regnestykket under.

1 1 1 kake. Så spiser du av min kake. 2 4 2

Hvor mange brøkdeler av hele kaka har du spist?

1 1 1 ½ = 4 2 8 Da er det kanskje lettere å se hvilket regnetegn som skal brukes.

Notater a) Regn ut: 3

1 4

Brøk

Eksempel 2:12

1 2 3 7

b) Regn ut:

Løsning a) 3

1 3 1 3 = = 4 4 4

......................................... .........................................

1 2 1 2 2 = = 3 7 3 7 21

......................................... Oppgaver 2.61 Regn ut. Forkort svaret så mye som mulig. 1 4 2 a) 5 c) 3 5 3 b)

2 4 6

2.62 Regn ut. 3 2 a) 5 8 b) 7

3 4

2.63 Regn ut. 1 a) 100 4 b)

1 300 10

2 2 3 4

2 c) 3 8 d)

7 5 8 6

2 11 1 13 2 3

......................................... .........................................

1 2 3 e) 4 8 2

7 2 8 6

c) 200 d) 50

3 4

1 2

2 2 2 6 7

2 30 3

4 400 5

......................................... ......................................... .........................................

Husk at alle hele tall kan skrives som brøk med nevneren 1!

Brøk 75

Bakgrunnsstoff

Notater

Å finne brøkdelen av et tall vil si å multiplisere brøken med tallet. Å finne prosenten av et tall vil si å multiplisere prosenten (på desimalform: prosentfaktoren) med tallet. Se neste kapittel, side 96. Der vil vi få fram denne sammenhengen.

Aktiviteter

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Å finne brøkdelen av et helt tall er ofte lett å illustrere.

.........................................

2.64 ......................................... a)

? 400

.........................................

b) 0 ? 1 5

4 4

100

Brøk

3 4

Brøkdelen av et tall Hvis vi vil regne ut e´n firedel av 8, multipliserer vi 1 1 8 1 8 8 8 = = = =2 4 4 1 4 1 4

5 5

1 med 8. 4

En firedel av 8 er 2. Regel

Vi finner brøkdelen av et tall ved å multiplisere tallet med brøken.

Bruk slike tegninger med jevne mellomrom. Tegningene er også fine å ha når vi i neste kapittel kommer til prosent.

Eksempel 2:13

Hvor mye er

2 av 12? 3

Løsning 2 2 12 2 12 24 12 = = = =8 3 3 1 3 1 3 2 av 12 er 8: 3

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.129–2.132 2.221–2.225 2.309–2.321

Oppgaver 2.64 Regn ut. 3 a) av 400 4

1 av 100 5

5 av 60 6

3 av et pattedyr består av vann. 5 Hvor mange kilogram vann inneholder en bjørn som veier 800 kg?

2.65 Omtrent

Alternativ oppgavebok 2.32–2.36

2.66 Et tau er 100 m langt. Hvor langt vil 2 det være hvis du tar bort av tauet? 5 2 2.67 I reiret til et hubropar besto av fangsten 3 3 av smågnagere. av disse igjen var lemen. 5 Hvor stor brøkdel av fangsten var lemen?

Brøk

Lemen heter Lemmus lemmus på latin.

1 av 36 12

Begreper

3 4

Divisjon, omvendt (invers) brøk, halvparten 1 1 1 + + 4 4 4

Bakgrunnsstoff Her går vi rett på regelen uten nærmere forklaring. Det kan likevel være aktuelt å vise utregningen på tilsvarende måte som når vi dividerer med desimaltall. Da multipliserer vi dividend og divisor med det samme tallet:

3 På denne måten er det enklere å se at kan deles 4 1 inn i 3 deler a` . 4

3 1 3 1 : = 4: 4 = 3:1 = 3 4 4 4 4 Hvis vi tegner inn oppgaven på en tallinje, kan dette også være med på å forklare hvorfor det blir slik:

Snakk også med elevene om hva som skjer når vi deler et helt tall på et tall som er mindre enn 1, for eksempel 2 : 0,25. Tegn opp en tallinje med inndelinger i 0,25. Da er det lettere for elevene å se at man kan dele 2 inn i åtte deler a` 0,25. 0

2 : 0,25 = 8 Brøk

Brøk og divisjon Hm, da må vi regne ut 3 1 : : 4 4 Hvordan gjør vi det? Lurer på hvor mange flasker jeg trenger ...

Så kan vi overføre dette til: 1 2: = 4 2 1 : = 1 4 2 4 =8 1 1

Aktiviteter Utfordre elevene med hensyn til hvordan vi løser slike oppgaver:

Hvordan kan vi dividere en brøk med en brøk?

1 2 : 2 og 2 : 4 3

Når vi skal dividere en brøk med en brøk, multipliserer vi den første brøken med den omvendte av den andre brøken. 3 1 3 4 12 : = = =3 4 4 4 1 4 Telleren og nevneren har byttet plass.

Den omvendte brøken av 1 4 er . 4 1

Martin trenger altså tre flasker.

Regel

Når vi dividerer en brøk med en brøk, multipliserer vi den første brøken med den omvendte av den andre brøken.

Brøk 77

Bakgrunnsstoff Eksemplet

K 2.10

2 3 : kan vi også vise slik: 5 4

2 3 : = 5 4 2 3 20 : 20 = 5 4

3 er snudd. 4

Kopieringsoriginal K 2.8

Antall deltakere; To og to La elevene jobbe sammen for å avgjøre hvilke utsagn som er sanne. La dem også rette opp de som er usanne.

Oppgavehenvisning

2 ½4 2 4:3 5 = ½3 5 Vi ser altså at brøken

Sant – usant: Multiplikasjon og divisjon

Stafett: Brøk og divisjon

Oppgavebok 2.133–2.134 2.226–2.229 2.322–2.327 Alternativ oppgavebok 2.37–2.41

Del elevene inn i grupper på fire. La den svakeste eleven være nummer 1 og den sterkeste nummer 4. Klipp opp kopieringsoriginalen i åtte deler. 1) Alle enerne kommer fram og får lapp (etappe) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa. 3) Elev 1 går opp og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A. 5) Oppgaven løses i gruppa. 6) Elev 2 går opp og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv. K 2.9

Brøk

Antall deltakere:Grupperpå 4 og 4

Regn ut.

Løsning

2 3 a) : 5 4

b) 3 :

1 2

2 3 2 4 2 4 8 : = = = 5 4 5 3 5 3 15

b) 3 :

1 2 6 = 3 = = 6 2 1 1

Oppgaver 2.68 Regn ut. Forkort svaret så mye som mulig. 1 1 4 4 c) : a) : 3 3 8 5 b)

2 2 : 6 4

2 2 : 6 1

2.69 Regn ut. Forkort svaret så mye som mulig. 1 5 a) 4 : b) : 3 4 6

Brøklabyrint

2.70 Hvor mye er halvparten av

Antall deltakere: E´n og e´n eller to og to

1 2 : 8 6

1 3 : 16 3

23 :2 56

3 ? 6

2.71 Martin, Lotte, Sara og Herman skal dele brusen på bordet likt. Hvor mye får hver?

Elevene skal regne seg gjennom labyrinten ved hjelp av hoderegning.

Eksempel 2:14

Brøk 78

Øving før kapittelprøve

Fasit

Faktor Digital: åpen elevside, faktor.cdu.no

3 8 4 2 b) = 6 3

1 a)

• Øvingsoppgaver i 3 kategorier • Videogjennomgang av kapittel 2 med oppgaver (Omvendt undervisning) • Digital kapittelkartlegger

6 14 15 b) 35

2 a)

Faktor Digital: lærersider med innlogging, faktor.cdu.no

• • • •

3 12 2 b) 8

Målark til «Prøv deg selv» Kapittelprøve 2 Vurderingsskjema til kapittelprøve Faktornøtter

3 a)

1 2 1 b) 3

4 a)

3 5 2 b) 7

5 a)

Utvid brøken a) 2

Forkort

3 med 7 b) 5

b) 3

c) 6

Regn ut. 2 1 a) + 5 5

6 a) 1

7 a) 7

Avgjør ved hjelp av utviding hvilken brøk som er størst. 1 1 1 2 6 8 a) eller b) eller c) eller 2 3 3 7 7 11

21 49

1 4

6 7

3 8

5 3 -7 7

Finn fellesnevner og regn ut. 12 1 1 4 1 a) + + b) -14 2 7 14 10 Skriv som blandet tall. 22 81 a) b) 3 2 Skriv som uekte brøk. 5 1 a) 4 b) 13 6 3

c) 2

1 10

c) 2

1 4

c) 7

1 2 13 b) 70

6 med 24

a) 2

1 2

Hvor stor del er fargelagt? Skriv svaret som brøk. a)

Brøk

Prøv deg selv

5 1 3 + -8 8 8

3 4 1 2 + --2 5 10 20

9 4

c) 2

1 3

b) 40

1 2

29 6 40 b) 3

8 a)

4 6

5 7

4 5

5 6

6 7

11 4

7 8

3 4

Gjør om til desimaltall. Skriv så brøkene i stigende rekkefølge. 7 4 4 5 5 6 8 5 6 7 6 7

Brøk 79

3 4 4 b) 5

10 a)

11 a)

5 9

b) 1

1 5

12 a) 75 kr

2 5

d) 1

1 5

c) 1

7 9

2 7

b) 600 kg

13 a) 20 flasker b) 11 hele porsjoner c)

2 1 = 6 3

Notater

.........................................

Brøk

......................................... 10

......................................... 12

......................................... 13

.........................................

Gjør om til brøk. Forkort svarene hvis mulig. a) 0,75 b) 0,8 c) 0,40 Regn ut. Forkort svarene hvis mulig. 5 2 2 8 1 a) b) 3 c) : 6 3 5 9 2

d) 1,20

6 :3 7

3 av 150 kr? 6 3 b) Hvor mye er av 800 kg? 4 a) Hvor mye er

a) Herman skal fylle 30 liter 1 saft på 1 literflasker. 2 Hvor mange flasker trenger han?

......................................... ......................................... b) Bestefaren til Sara kjøper karbonadedeig i Sverige. Han kjøper 3 1 5 kg og pakker dem i kg porsjoner når han kommer hjem. 4 2 Hvor mange hele porsjoner får han?

......................................... .........................................

1 av elevene på seg 2 2 olabukse, og av disse har også 3 på seg svart eller blå genser.

.........................................

Hvor stor brøkdel av klassen har på seg olabukse og svart eller blå genser?

c) I en klasse har

Brøk 80

Fasit 5 Ca. 3 % av vannet på jorda er ferskvann, ca. 35 mill. km3 . Kun 0,3 %, dvs. 100 000 km3 er lett tilgjengelig som fritt ferskvann. Bajkalsjøen inneholder da ca. 20 000 km3 vann.

1 Det var e´n papegøye for lite. 2 a) 1 b) 2

c) 4

3 Du finner sifrene i 9-gangen bak desimaltegnet i svarene: 1 : 11 = 0,090909. . . 2 : 11 = 0,181818. . . osv.

Notater ......................................... .........................................

x 4 3=8 x = 24

.........................................

x 24 = = 12 2 2

.........................................

Halvparten av tallet ðxÞ er 12.

......................................... .........................................

Brøk

Noe å lure på Fuglehandler U.N. Dulat hadde tre barn. Da han døde, testamenterte 1 han 12 papegøyer til barna sine. Den eldste skulle få , den mellomste 2 1 1 og den yngste av papegøyene. 4 6 Hvilket problem fikk barna når de skulle dele de 12 papegøyene mellom seg?

Hva blir svaret på disse oppgavene? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) : : c) : : : a) : 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Bruk kalkulatoren og divider 1, 2, 3... osv. på 11.

.........................................

Hva slags mønster finner du? 4

Hvis en tredel av et ukjent tall er 8, hva er da halvparten av tallet?

Finn ut hvor mange liter fritt ferskvann det er på jorda. En femdel av dette vannet befinner seg i Bajkalsjøen i Russland. Hvor mange liter ferskvann inneholder Bajkalsjøen?

......................................... .........................................

Brøk

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

Brøk

......................................... .........................................

Oppsummering Brøk En brøk består av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme som divisjonstegn.

3 4

.........................................

Teller Brøkstrek Nevner

Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1.

.........................................

5 =1 5

.........................................

Uekte brøk og blandet tall 3 2

.........................................

Uekte brøk

1 2

Blandet tall

Utviding og forkorting av brøk

.........................................

Når vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 1 1 3 3 = = 5 5 3 15

.........................................

Når vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 4 4:4 1 = = 16 16 : 4 4

.........................................

Brøk 82

Brøk

Addisjon og subtraksjon av brøker

.........................................

7 5 7 -- 5 2 -- = = 9 9 9 9 Hvis brøkene ikke har lik nevner, må vi først finne fellesnevner.

.........................................

2 1 2 4 1 3 8 3 8 + 3 11 + = + = + = = 3 4 3 4 4 3 12 12 12 12

Brøk og desimaltall

.........................................

En brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren. 3 = 3 : 5 = 0,6 5

.........................................

Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv. 0,12 =

12 100

Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av til ønsket antall desimaler.

.........................................

2 = 0,6666 . . . 0,67 3

.........................................

Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved å multiplisere det hele tallet med telleren. 4

2 4 2 8 2 = = =2 3 3 3 3

.........................................

Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. 1 2 1 2 2 = = 3 3 3 3 9

.........................................

Brøk og divisjon Vi dividerer en brøk med en brøk ved å multiplisere med den omvendte brøken. 4 1 4 2 8 : = = 9 2 9 1 9

2 4 3 12 = = =6 3 1 2 2

Brøk 83

Kapittelinnledning Hvert kapittel starter med en introduksjon som består av en illustrasjon, en liten tekst og en oversikt over hva som er målet med kapitlet. Dette kan danne utgangspunkt for en samtale og bevisstgjør elevene om hva som er hovedintensjonen med kapitlet. Målene er brutt ned og blir tydeliggjort gjennom oppgaver på side 102, «Prøv deg selv». Et tilhørende målark fins på Faktor Digital. Elevene kan også teste seg selv via Digital kapittelkartlegger, som fins på Faktors elevnettsider.

Digitale ressurser til kapitlet (faktor cdu.no) • Digital versjon av grunnboka (Tavlebok) • Campus Inkrements verktøy for Omvendt undervisning (video med oppgaver)

• Målark til «Prøv deg selv» • Komplette løsningsforslag til alle oppgavene i grunnboka og oppgaveboka • Kapittelprøve • 52 nøtter • Øvingsoppgaver for digitale verktøy

Kopieringsoriginaler K 3.1 K 3.2 K 3.3 K 3.4 K 3.5

Rutenett med 100 ruter Hvem skal ut? Prosent, brøk desimaltall Stafett: Prosent og brøk Stafett: Prosent 10 rette: Prosent

Hastigheten på bredbåndet har gått opp med 30 %! Snakker de fortere da?

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0