Faktor 10 lb blabok by Cappelen Damm

Grunnbok Oppgavebok / Alternativ oppgavebok Lærerens bok

Faktor

for un

8.u–n1nb0ok. tOrpipnganve:

Fordypningshefte Eksamensforberedende hefte Regelhefte

Lærerens bok

Til øving av grunnleggende ferdigheter:

(faktor.c

r tem

n Hja

rdar •

FAKTOR DIG Nettstedet ITAL omfatter et stort utv Når eleven alg e løser opp gaver, påv øvingsoppgaver i en spillm irker de den odell. Nettsted: videre gan http://fak gen i spillet tor.cappel Engangsheftene tar . endamm.n utgangspunkt i matem o atikken i dagliglivet. Her får elevene øve grunnleggende ferdig heter: • Lese enkle tekste r • Hente ut inform asjon • Anvende inform asjonen i tilrettelagte matematikkoppgav er Serien inneholder følgende hefter: • På tur • Fritid • Sport • Ferie

ISBN

978-

82-0

Faktor te

2-32

066-

9 78 820 2 3 www. 206 capp 69 elend amm. no

mahefte

På tur

Espen Hj

ardar • Ja n-

ISBN 978-

Matemat ikk Bokmål

Jan-E

rik Pe

derse

Eksamensforberedende hefte

Fordypningshef

Temahefter

Regelhefte

)

ettsted

ma (n Faktora

Erik Pede

rsen

82-02-32

KTOR DIGITAL ttstedet omfatter et stort utvalg øvings oppgaver i en spillm r elevene løser oppga odell. ver, påvirker de den videre gangen i spillet . tsted: http://faktor .cappelendamm.no

062-1

Faktor temaheft e 9 7882 02 320 621 www.cap pelendam m.no

Ferie

dagliglivet.

Espen Hjardar • Jan-

Erik Pedersen

ikkoppgaver

Matematikk Bokmål

ISBN 978-82-02-3517

8-6

9 788202 35 1786 www.cappelend amm.no

Faktor temahefte

en spillmodell. angen i spillet.

Fritid

ISBN 978-82-02-47570-3 ISBN 978-82-02-47570-3

Espen Hjardar • Jan-Erik Pedersen Matematikk Bokmål

ISBN 978-82-02-32064-5

9 788202 320645 www.cappelendamm.no

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Lærerens bok

Mate m Bokm atikk ål

Faktor temaheft er for ungdomstrinn et

ahef

Spor

Espe

ER:

PONENT TILLEGGSKOM

Faktor mahef for ungte domstrinter net

Fakto

l a t i g i D r o t k a F du.no)

r elev gang ene øv spun kt i m e grun • Lese atem nlegge atikke • Hen enkle teks nde fe n i da te te ut rdighe gligliv • An inform r ter: et. vend e info asjon rm asjone Serie n inne n i til rettel holder agte følgen • På m atem tu de he atikko • Friti r fter: ppga d ver • Sp or • Ferie t

FAKT O Netts R DIGITA L te Når el det omfa tt even e løse er et stor t ut r oppg Netts aver, valg øvin ted: ht gs påvirk tp://fa er de oppgaver Engangshe den vi ktor.c i ftene tar appe dere en spillm utgangspu od lendam gang Her får ele nkt i matem en i sp ell. m.no vene øve atikken i illet. grunnlegg dagliglive ende ferd t. • Lese enk igheter: le tekster • Hente ut informa sjon • Anvend e informa sjonen i tilre ttelagte ma Serien inn tematikkop eholder følg pgaver ende hef ter: • På tur • Fritid • Sport • Ferie

pgavebo Alternativ op

Fak for utor temah ngdo Enga mstrefter ngsh eftene inne Her få tar ut

Tavlebok Video Gjennomgang av alle kapitler med øvingsoppgaver Omvendt undervisning Prøver og vurdering Kapittelprøver Terminprøver (høst/vår) Digitale halvårsprøver (høst/vår) Digitale prøver til underveisvurdering Løsningsforslag Målark Kopieringsoriginaler Faktornøtter

på Komponenter

Trykte tilleggskomponenter:

Temahefter

atiinknket Matgedm omstr

Lærerressurser

9 788202 475703 www.cdu.no

Faktor

Trykte komponenter på 8.–10. trinn:

Faktor Digital

Faktor

Lærerens bok

Matematikk for ungdomstrinnet

d r.c o t ak

Elevressurser Øvingsoppgaver i tre kategorier Video, gjennomgang av alle kapitler med øvingsoppgaver Halv- og helårskartlegger (VOKAL) Prøver til underveisvurdering (VOKAL) Digital kapittelkartlegger Manualer for digitale verktøy Faktorama

) no . u

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen IllustratĂ¸r: Line Jerner

Faktor

10 LĂŚrerens bok

Dette er Faktor 10 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:

Hvert kapittel i grunnboka består av fire deler:

Noen oppgaver er merket med disse symbolene:

Lærestoff og oppgaver

Kalkulator

Prøv deg selv

Finn ut

Noe å lure på Oppsummering

Faktor 10

Hei til deg som skal bruke Faktor!

Frioppgave Digitale verktøy Utfordrende oppgave

Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av kalkulator, regneark og GeoGebra. I oppgaveboka finner du øvingsoppgaver i tre vanskelighetsgrader til hvert kapittel. Alle kapitler har også et oppgavesett med repetisjonsoppgaver. Kategori 1 Litt av hvert

Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgaver for digitale verktøy

Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!

Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innledning

Faktor 10 Lærerens bok Her finner du alle sideoppslagene fra elevens grunnbok. I margene rundt oppslagene finner du kommentarer til innholdet og tips til undervisningen. Innholdet er organisert under disse overskriftene:

Begreper Matematiske begreper og uttrykk som elevene møter i arbeidet med delemnet.

Bakgrunnsstoff Bakgrunnsstoff og teori som er relevant for forberedelse og gjennomføring av en time. Tips til andre innfallsvinkler, andre eksempler og andre metoder enn det som er presentert i elevboka.

Aktiviteter Konkrete spørsmål og problemstillinger til bruk i klasserommet. Målet er å legge til rette for samtale rundt ulike emner. Aktivitetene kan ta utgangspunkt i oppgaver, eller de kan være et supplement til teori for å trene på de grunnleggende ferdighetene i matematikkfaget.

Oppgavene er lagd for å skape aktivitet rundt ulike emner, og de er med på å gjøre elevene tryggere når de skal begrunne og forklare hvordan de tenker.

Frioppgaver Unummererte oppgaver som er merket ?. Oppgavene egner seg godt som utgangspunkt for diskusjoner og gruppearbeid. De har ofte flere løsninger, og de er lagd for å tydeliggjøre elevenes resonnement og tankegang.

Oppgavehenvisning Henvisning til tilhørende oppgaver i Oppgavebok og i Alternativ oppgavebok slik at videre arbeid gjøres lettere.

Se s. 347 for mer informasjon om digitale og trykte komponenter.

Kopieringsoriginaler Aktiviteter som krever bruk av kopieringsoriginaler eller opptegning av oppgaven på tavla. De mest vanlige oppgavetypene er: Stafett, Hvem skal ut?, 10 rette, Hjørnerebus, Sant eller usant? og Labyrint. Kopieringsoriginalene ligger på Faktor Digital (faktor.cdu.no).

Innledning

Innhold 1 Tall og algebra...............................................6 Tallsystemer..........................................................8 Problemløsing .................................................... 15 Proporsjoner....................................................... 19 Regning med variabler ...................................... 23 Prøv deg selv....................................................... 36 Noe å lure på...................................................... 38 Oppsummering ................................................... 40 2 Geometri og beregninger............................ 42 Pytagoras-setningen .......................................... 44 Spesielle trekanter.............................................. 49 Konstruksjon og beregning ............................... 54 Formlikhet og kongruens .................................. 64 Kongruensavbildninger...................................... 71 Perspektivtegning .............................................. 84 Geometri i teknologi, kunst og arkitektur......... 89 Prøv deg selv....................................................... 95 Noe å lure på...................................................... 99 Oppsummering ................................................. 100 3 Funksjoner .................................................. 104 Funksjoner i dagliglivet ................................... 106 Lineære funksjoner .......................................... 111 Grafen til kvadratiske funksjoner..................... 119 Proporsjonale størrelser ................................... 124 Omvendt proporsjonale størrelser .................. 129 Prøv deg selv..................................................... 133 Noe å lure på.................................................... 135 Oppsummering ................................................. 137

Innhold

4 Likninger og ulikheter ............................... 140 Å løse likninger ................................................ 142 Problemløsing og likninger ............................. 149 Grafisk løsing av likninger ............................... 153 To likninger med to ukjente............................ 157 Ulikheter ........................................................... 165 Omforming av formler..................................... 170 Prøv deg selv..................................................... 173 Noe å lure på.................................................... 175 Oppsummering ................................................. 177 5 Romgeometri og massetetthet............................................... 180 Rett prisme og sylinder ................................... 182 Volumet til en pyramide.................................. 187 Volumet til en kjegle ....................................... 190 Volumet og arealet av overflaten til en kule .................................................... 195 Massetetthet..................................................... 199 Bruk av formler til problemløsing ................... 206 Prøv deg selv..................................................... 210 Noe å lure på.................................................... 213 Oppsummering ................................................. 215 6 Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet........................................ 218 Statistiske undersøkelser.................................. 220 Feilkilder i statistikk.......................................... 225 Tolking av linjediagram ................................... 230 Kombinatorikk .................................................. 233 Sannsynlighet ved én eller flere hendelser .... 240 Forsøk og simulering ....................................... 245 Vanlige feil i sannsynlighetsregning................ 250 Prøv deg selv..................................................... 254 Noe å lure på.................................................... 257 Oppsummering ................................................. 259

7 Økonomi ..................................................... 262 Lønn og skatt................................................... 264 Lån og kredittkort ............................................ 271 Forsikringer....................................................... 277 Budsjett og regnskap....................................... 279 Valuta ............................................................... 283 Prøv deg selv..................................................... 290 Noe å lure på.................................................... 293 Oppsummering ................................................. 295

Manual for digitale verktøy ........................... 296 Kalkulatoren...................................................... 297 Regneark ........................................................... 300 GeoGebra.......................................................... 304 Fasit .................................................................. 312 Stikkord ............................................................ 344

Innhold

Kapittelinnledning Hvert kapittel starter med en introduksjon som består av en illustrasjon, en liten tekst og en oversikt over hva som er målet med kapitlet. Introduksjonen kan danne utgangspunkt for en samtale og bidrar til å bevisstgjøre elevene om hva som er hovedintensjonen med kapitlet. Målene er brutt ned og blir tydeliggjort gjennom Prøv deg selv-oppgavene på side 36. Elevene kan også teste seg selv via Digital Prøv deg selv (kapittelkartlegger), som fins på Faktors elevnettsider. Sist i kapitlet er det Noe å lure påoppgaver og en oppsummering.

Elevside (åpen): • Førtest (kartlegging av forkunnskaper) • Øvingsoppgaver i 3 kategorier • Digital versjon av Prøv deg selv (egenvurdering) • Videogjennomgang av kapittel 1 med oppgaver (Omvendt undervisning og oppgaver til underveisvurdering) • Manualer og tidligere terminprøver for nedlastning

Digitale ressurser til kapitlet (faktor.cdu.no) Lærerside (passord): • Digital versjon av grunnboka (Tavlebok) med noteringsmuligheter • Kapittelprøve 1 i to deler som på tentamen/ eksamen (90 min.) • Komplette løsningsforslag til alle oppgavene i grunnboka og oppgaveboka • Målark til Prøv deg selv • 52 nøtter med løsningsforslag • Kopieringsoriginaler Her finner du terminprøver som publiseres to ganger i året, årsplaner, vurderingsskjemaer og øvingsoppgaver for digitale verktøy. Du finner også Faktorama der øvingsoppgaver er satt inn i en spillmodell, og elevens svar påvirker framdriften i spillet. Digital hel- og halvårskartlegging og digitale prøver til underveisvurdering er tilgjengelige i VOKAL.

Tall og algebra

Avstanden til sola er 1,5 108 km.

Bakterien er 1,5 10 -- 3 mm.

Kopieringsoriginaler

Notater

K K K K K K

.........................................

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

K 1.7 K 1.8

Hjørnerebus: Tall Fire på rad med multiplikasjon: Tall Hjørnerebus: Tall Hvilket skal ut? Tall Algebraløpet Sant–usant: Bokstavuttrykk/ faktorisering Stafett: Brøk og tallformer 10 rette: Tall og algebra

......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Tall og

.........................................

algebra

.........................................

Vi kan skrive tall på forskjellige måter. Når tallene er svært store eller svært små, er det vanlig å skrive dem på standardform. Vi bruker potenser av 10 (10--3 , 10--2 , 10--1 , 100 , 101 , 102 , 103 , osv.) når vi skriver tallene på den måten.

.........................................

Mål

.........................................

I dette kapitlet skal du få lære om . . . . .

tall i forskjellige posisjonssystemer store og små tall på standardform egenskaper ved spesielle tall proporsjoner variabeluttrykk med parenteser og brøk

......................................... Hva er forskjellen på tallene?

......................................... ......................................... .........................................

Tall og algebra

Begreper Standardform, plassverdisystem, utvidet form, tierpotenser, potens, totallssystemet, titallssystemet, sifferplass, > (større enn), < (mindre enn)

Bakgrunnsstoff Det er vanlig å skrive tall på standardform eller med eksponentiell notasjon når tallene er svært store eller svært små. En repetisjon av tierpotensene kan være på sin plass: 101 102 103 104

= 10 = 10 10 = 10 10 10 = 10 10 10 10

Noen eksempler: • Planetenes avstand fra solen: Jorden: 150 millioner km Saturn: 1,4 milliarder km Pluto: 6 milliarder km • Elektrisitetsproduksjon (ca. per år): Vindmøller: 600 MW Alta kraftverk: 655 GW Hoover Dam: 10 TW • Energiforbruk per år (2013): Norge totalt: 226 TWh Norge per pers.: 7600 kWh Verden per pers: 725 kWh

= 10 = 100 = 1 000 = 10 000

Elevene møter uttrykk som mega, giga og tera bl.a. i dataverdenen. De møter også disse uttrykkene innen produksjon av energi i form av megawatt, gigawatt osv.

Tall og algebra

Vi må allerede i starten påpeke at 250 000 000 = 2,5 · 100 000 000 for å unngå misforståelser som at 250 000 000 = 2,58. Det er fornuftig å gi noen eksempler med mindre tall i tillegg. Tallsystemer Jeg tror de to tallene er like store.

Jeg er ikke sikker!

250 000 000 2,5 . 10 8

De store prefiksene: Mega = 106 = million Giga = 109 = milliard Tera = 1012 = billion Peta = 1015 = billiard Exa = 1018 = trillion Yotta = 1024 = kvadrillion

Hvordan skriver vi store og små tall på standardform?

Titallssystemet Vi kan skrive 250 000 000 på standardform. Da setter vi desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet og multipliserer med en tierpotens: 250 000 000 = 2,5 108

Vi har flyttet desimaltegnet åtte plasser til venstre.

Tall og algebra 8

Bakgrunnsstoff Noen elever kan ha vansker med å forstå hvordan vi kan skrive små tall på standardform. Vi kan gå litt mer grundig inn på dette ved å bruke regneregler for potenser. Ut fra regelen om divisjon med potenser med det samme grunntallet, kan vi for eksempel utlede at 102 = 102 -- 10 = 10--8 1010

prefiksene: = 10--6 = milliondel = 10--9 = milliarddel = 10--12 = billiondel = 10--15 = billiarddel = 10--18 = trilliondel = 10--24 = kvadrilliondel

Noen eksempler:

Men samtidig er 102 10 10 1 = = 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Altså må

De små Mikro Nano Piko Femto Atto Yokto

1 = 10--8 108

• Et hårstrå er 100 mikrometer tykt • Et DNA-molekyl er 5 nanometer bredt. • Et atom er 200 pikometer i diameter. Her går vi et skritt videre fra det å skrive tall på utvidet form. For det første skriver vi nå desimaltall på utvidet form. For det andre bruker vi tierpotens. 325,25 = 3 102 + 2 101 + 5 100 + 2 10--1 + 5 10--2 Det vil si at vi nå skriver 0,1, 1, 10, 100, 1000, osv. på potensform.

Tall og algebra

Vi kan også skrive små tall på standardform. Vi ser først på disse an sammenhengene ved hjelp av regelen m = an -- m : a 101 = 101--0 = 101 = 10 100 101 = 101--1 = 100 = 1 101 1 Den negative 10 = 101--2 = 10--1 = 0,1 eksponenten forteller oss 102 hvor mange plasser vi har osv.

Gjennomgå gjerne ett eksempel med tall skrevet på standardform og ett tall skrevet på utvidet form for å fokusere på forskjellen. Dette er noe mange elever ofte roter med.

flyttet desimaltegnet!

På samme måte blir 0,01 = 10–2 , 0,001 = 10–3 , osv. Det betyr at vi kan skrive for eksempel 0,0000025 slik: 0,0000025 =

2,5 = 2,5 10--6 106

Vi setter altså desimaltegnet mellom den siste og den nest siste desimalen og dividerer med en tierpotens. Det tallsystemet vi bruker – titallssystemet – er et plassverdisystem. Det betyr at hvert siffer i et tall har en verdi som bestemmes av hvor sifferet er plassert.

HUNDRERE

TIERE

ENERE

TIDELER

HUNDREDELER

TUSENDELER

Vi sier at sifferet 4 har plassverdi hundre, sifferet 3 plassverdi ti, sifferet 5 plassverdi en, sifferet 8 plassverdi tidel, sifferet 7 plassverdi hundredel og sifferet 6 plassverdi tusendel. 1 Vi kan skrive tallet 435,87 på utvidet form:

Husk! 10 = 10 og 100 = 1

435,87 = 4 100 + 3 10 + 5 1 + 8 0,1 + 7 0,01 Når vi bruker standardform på tierpotensene, blir det slik: 435,87 = 4 102 + 3 101 + 5 100 + 8 10--1 + 7 10--2

Tall og algebra 9

Bakgrunnsstoff

Notater

Det er særlig ved svært store tall og svært små tall at det er anvendelig å kunne skrive tall på standardform.

......................................... .........................................

Eksempel: Et menneske består av ca. 10 000 000 000 000 celler, og det lever over 7 000 000 000 mennesker på jorda. Hvor mange menneskeceller fins det da på jorda? En vanlig kalkulator har ikke plass til så store tall, men vi kan lett regne det ut for hånd ved hjelp av standardform slik: 1,0 1013 7,0 109 ¼ 1,0 7,0 1013 109 Dette gir 7,0 1022 menneskeceller.

Tall og algebra

Noen elever har avanserte kalkulatorer som kan gi svaret på standardform, selv når de regner med store tall. Regel

Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Vi skriver små tall som er mindre enn 1 på standardform ved å plassere desimaltegnet bak den første desimalen som ikke er 0. Deretter multipliserer vi med en tierpotens med negativ eksponent. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel 1:1

Skriv tallene på standardform. a) 29 000 000

b) 0,00034

Løsning a) 29 000 000 = 2,9 107

b) 0,00034 = 3,4 10--4

Oppgaver 1.1

1.2

Skriv tallene på standardform. a) 2500 c) 42 000 b) 35 000 d) 120 000

e) 270 000 f ) 1 300 000

g) 2070 h) 30 040

Ammonitter var en gruppe blekkspruter som det fantes mange av for ca. 200 millioner år siden. Skriv 200 millioner på standardform. Ammonitter døde ut på slutten av perioden Kritt for ca. 65 millioner år siden.

Tall og algebra 10

Bakgrunnsstoff I oppgave 1.7 bruker vi ikke potenser av ti, men ellers bruker vi potenser av ti når vi skriver tall på utvidet form. Dette for å fokusere på titallsystemet og at denne skrivemåten kan overføres til andre tallsystem som for eksempel totallsystemet, som blir tatt opp på neste side. 3 100 + 2 10 + 5 1 3 102 + 2 101 + 5 100

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to, slik at de kan diskutere seg fram til en løsning. Dette er en fin måte å repetere på, og det gir deg anledning til å undersøke om elevene kan viktige begreper som produkt, potens, grunntall og eksponent. Her er noen løsninger: 100 106 = 106 101 105 = 106 102 104 = 106 103 103 = 106 Utfordre også elevene til å bruke negativ eksponent om de ikke kommer fram til det selv. 10--1 107 = 106

Kopieringsoriginal K 1.1

1.4

Skriv tallene på standardform. a) 5 400 000 c) 2 050 000 b) 103 000 d) 25 000 000

e) 4 070 000 f) 9 060 000 000

Skriv tallene på standardform. a) 0,05 c) 0,0008 b) 0,006 d) 0,00075

e) 0,0085 f) 0,00039

1.5

Regn ut og skriv svarene på standardform. a) 500 4000 c) 2 400 000 000 : 3000 b) 2400 15000 d) 65 000 000 000 : 50

1.6

Skriv tallene på utvidet form. a) 23 493 c) 4 003 129 b) 102 784 d) 50 362 100

e) 500 603 f) 1 030 406

1.7

Skriv tallene på vanlig måte. a) 3 100 + 2 10 + 7 1 b) 5 1000 + 7 100 + 4 1 c) 5 10000 + 7 1000 + 4 10 d) 5 100000 + 7 10000 + 4 100 + 9 1

1.8

Skriv tallene på vanlig måte. a) 3 102 + 2 101 + 7 10 + 5 10--1 b) 5 103 + 7 102 + 4 10--1 + 3 10--2 c) 5 104 + 7 103 + 4 101 d) 5 103 + 7 102 + 4 101 + 3 10--1 + 2 10--2

? 1.9

Tall og algebra

1.3

Antall deltakere: Grupper på 4 og 4 Opplysningene legges på fire ulike steder i klasserommet. Elevene, som er inndelt i grupper, henter hver sin opplysning og returnerer til gruppa. Her sammenfatter de det de har fått av opplysninger, og løser oppgaven. De fire opplysningene er: – Tallet er et desimaltall med fem sifre, og verdien er mindre enn 90. – Sifferet 8 står på tierplassen, og sifferet på enerplassen er én mer enn sifferet på tierplassen. – Annethvert siffer er et partall, og de står i fallende rekkefølge. 1 – Sifferet på hundredelsplassen er av sifferet på 3 enerplassen.

Finn tre eksempler på at et produkt av to tierpotenser blir 1 million.

Skriv tallene på vanlig måte. a) 6 104 + 7 103 + 5 101 + 9 10--1 b) 2 103 + 8 102 + 5 10 + 9 10--1 + 3 10--2 c) 5 103 + 4 102 + 1 10 + 7 10--1 + 8 10--2 + 2 10--3 d) 1 103 + 7 102 + 5 101 + 5 10--1 + 9 10--2 + 4 10--3 + 7 10--4

1.10 Skriv tallene på utvidet form. a) 483 c) 291,67 b) 34,75 d) 29,273

Hjørnerebus: Tall

Løsning: 89,634

e) 7,938 f) 5,076

89,432

Tall og algebra 11

Bakgrunnsstoff Vi tar med litt om totallssystemet for å vise et eksempel på et posisjonssystem som ikke er et titallssystem. I totallssystemet bruker vi potenser av to i motsetning til i titallssystemet, der vi bruker potenser av ti. På tilsvarende måte kan vi skrive tall i femtallssystemet, sekstallssystemet osv.

Tallet 10111 i totallssystemet kan skrives slik: 1 24 = 16 + 0 23 = 0 + 1 22 = 4 + 1 21 = 2 + 1 20 = 1 = 23

Andre tallsystem faller vanskelig for mange elever. En av grunnene til det er at den grunnleggende forståelsen for titallssystemet som et plassverdisystem ikke er god nok. Repeter for eksempel dette før totallssystemet behandles.

Tall og algebra

Totallssystemet (det binære tallsystemet) spiller en viktig rolle i forbindelse med datamaskiner. De to sifrene 0 og 1 lar seg representere fysisk ved at elektroniske brytere stilles i én av to mulige tilstander: på (1) eller av (0). Både vanlige tall, bokstaver, symboler samt instruksjoner til maskinen kan, i form av maskinkode, representeres i en datamaskin ved hjelp av totallssystemet.

Tallet 3057 i titallssystemet kan skrives slik: 3 103 = 3000 + 0 102 =

+ 5 101 =

+ 7 10 =

Totallssystemet Databehandling i datamaskiner bygger på totallssystemet. Det er også et plassverdisystem. Titallssystemet består av ti siffer, mens totallssystemet bare har to siffer, 0 og 1.

Datamaskinen bruker strøm og totallssystemet for å angi data!

Ja, «strøm» = 1 og «ikke strøm» = 0.

= 3057 Verdien til hver sifferplass i titallssystemet er en potens av tallet 10, mens verdien til hver sifferplass i totallssystemet er en potens av tallet 2. Her ser du verdiene til de fem første posisjonene i totallssystemet: Plassverdi

Seksten

Åtte

Fire

Én

Potens av 2

Et eksempel på et tall i totallssystemet er 11011 (én, én, null, én, én):

1 1 0 1 1

16 ð24 Þ

8 ð23 Þ

4 ð22 Þ

2 ð21 Þ

Vi ser at plassverdiene her er seksten, åtte, fire, to og én.

Tall og algebra 12

1 ð20 Þ

Aktiviteter Skriv tallene 1, 2, 4, og 8 på fire ark. La fire elever samarbeide om å lage tallene fra 0 til 15 i titallssystemet ved hjelp av de fire arkene. Når elevene snur den blanke siden av arkene mot resten av gruppa, vises tallet null.

Spørsmål til elevene kan være: Hvilket tall må vi bruke på et femte kort for å kunne lage tall opp til 31? Hvilket tallsystem bruker vi her? La elevene så prøve seg på totallssystemet, f.eks. slik:

Eksempel:

14:

0: 5: 11:

4 8

1 2

Notater ......................................... 11011 = = = =

1 24 + 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 1 16 + 1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 16 + 8 + 0 + 2 + 1 27

Tall og algebra

Tallet 11011 (én, én, null, én, én) i totallssystemet kan skrives i titallssystemet:

.........................................

Tallet 11011 i totallssystemet er altså 27 i titallssystemet.

......................................... Totallssystemet kalles også det binære tallsystem! 250 000 000 2,5 · 10⁸

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Eksempel 1:2

Skriv 10111 i totallssystemet som et tall i titallssystemet. Løsning 10111 = 1 24 + 0 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20

.........................................

= 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23

.........................................

Tallet 10111 i totallssystemet er 23 i titallssystemet.

Tall og algebra 13

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to, slik at de kan diskutere seg fram til en løsning. Multiplikasjon av 5 5 blir jo 25, det vil si at siste siffer (eneren) blir 5. Vi kan se nærmere på nye eksempler, forslagsvis: 15 · 15 = 225 25 · 25 = 625 osv.

Oppgavehenvisning Oppgavebok 1.101–1.107 1.201–1.213 1.301–1.308 Alternativ oppgavebok 1.1–1.10

Multiplikasjoner av typen 25 · 25, der begge tall er like og ender på 5, kan regnes ut i hodet hvis man kan den lille multiplikasjonstabellen. Teknikken er å dele opp tallene som vist nedenfor. Man får denne utregningen: 15 15 = ð10 + 5Þð20 -- 5Þ = ð10 20Þ + ð5 5Þ = 200 + 25 = 225 = 600 + 25 = 625 35 35 = ð30 + 5Þð40 -- 5Þ = ð30 40Þ + ð5 5Þ = 1200 + 25 = 1225

Tall og algebra

25 25 = ð20 + 5Þð30 -- 5Þ = ð20 30Þ + ð5 5Þ

osv.

Oppgaver 1.11 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene som tall i titallssystemet. a) 11 c) 101 e) 10101 b) 111 d) 1101 f) 110011 1.12 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene som tall i titallssystemet. a) 1111 c) 110100 e) 110001 b) 1000 d) 1001 f) 111111

Det vil si at alle svarene ender på 25 fordi 5 5 = 25:

1.13 Skriv av og sett inn riktig tegn, >, < eller =, i de tomme rutene.

Vi kan sammenlikne med denne oppgaven: 24 26 = 624 Svaret ender på 24 fordi 6 4 = 24:

Tall i totallssystemet

>, < eller =

10101

11011

1001

37 36 = 1332 Svaret ender på 2, men det ender ikke på 42.

111111

10 111

1.14 Tallene nedenfor er skrevet i titallssystemet. Skriv tallene i totallssystemet. a) 7 d) 48 b) 13 e) 10 c) 29 f) 100

Legg merke til at summen av enerne i de første eksemplene er lik 10ð5 + 5 = 10 og 4 + 6 = 10Þ, mens summen av enerne i det siste tilfellet ikke er 10ð7 + 6 = 13Þ.

Når du multipliserer to tall som begge ender på 5, vil svaret også alltid ende på 5. Hvorfor blir det slik?

Hva blir da 37 33?

Tall i titallssystemet

Tall og algebra 14

«Bi» betyr dobbelt, det vil si to ganger.

Begreper

Notater

Likning, dobbelt, sum, differanse

......................................... .........................................

Bakgrunnsstoff Avsnittet «Problemløsing» inneholder relativt enkle problemløsingsoppgaver innenfor tall og tallforståelse. Prøving og feiling, gjerne ved hjelp av regneark, og bruk av likninger er de strategiene som vi kort ser på her. Problemene er ikke vanskeligere enn at de lar seg løse ved hjelp av likninger som er gjennomgått tidligere. Ellers henviser vi til side 149, der vi ser mer på problemløsing og likninger.

Du er tre ganger så gammel som søsteren din.

Jeg er også ti år eldre enn henne!

Tall og algebra

Problemløsing

Hvor gammel er Herman og søsteren hans?

Løsning ved hjelp av en tabell

.........................................

Vi kan bruke en tabell til å vise at Herman er både ti år eldre og tre ganger så gammel som søsteren sin. Vi prøver oss fram med ulike aldre: Søsterens alder

Ti år eldre enn søsteren

Tre ganger så gammel som søsteren

1 år

11 år

3 år

2 år

12 år

6 år

3 år

13 år

9 år

4 år

14 år

12 år

5 år

15 år

6 år

16 år

18 år

......................................... .........................................

Vi ser her at når Herman er 15 år, er han både ti år eldre enn søsteren sin og tre ganger så gammel som henne når hun er 5 år.

Tall og algebra 15

.........................................

Tall og algebra

.........................................

Løsning ved hjelp av likning Vi kan også løse problemet ved å sette opp en likning: Søsterens alder:

Ti år eldre enn søsteren:

x år

(x + 10) år

Vi løser likningen.

Tre ganger så gammel som søsteren: 3 x år

Ettersom Herman både skal være ti år eldre enn og tre ganger så gammel som søsteren, får vi denne likningen:

.........................................

x + 10 = 3 x Vi løser likningen slik: x + 10 = 3 x

.........................................

10 = 3x -- x

Vi trekker fra x på begge sider av likhetstegnet.

10 = 2x 2x = 10 x=5

.........................................

Det betyr at søsteren er 5 år. Vi ser at både 5 + 10 og 3 5 blir 15. Altså er Herman 15 år. Eksempel 1:3

.........................................

Simen har 40 kr mer enn Lotte. Det er samtidig dobbelt så mye som det Lotte har. Hvor mange kroner har Simen?

.........................................

Løsning Vi løser oppgaven ved å sette opp en likning. Lotte har: 40 kr mer enn Lotte: Dobbelt så mye som Lotte: x kr (x + 40) kr 2 x kr

.........................................

x + 40 = 2 x 40 = 2x -- x 40 = x

Vi trekker fra x på begge sider av likhetstegnet.

x = 40 Lotte har 40 kr. 40 + 40 = 2 40 = 80 Simen har 80 kr.

Tall og algebra 16

Bakgrunnsstoff

Kopieringsoriginal

I Faktor 10 bruker vi «flytte og bytte fortegn» i stedet for å trekke fra eller legge til det samme på begge sider av likhetstegnet i en likning. Repeter sammenhengen for elevene ved for eksempel å vise dette:

K 1.2

x + 40 = 2x x -- x + 40 = 2x -- x 40 = x

x + 40 = 2x 40 = x

Resultatet blir det samme om vi trekker fra x på begge sider, eller om vi flytter x over til høyre side og bytter fortegn.

Tall og algebra

Oppgaver 1.15 Sara har dobbelt så mange kroner som Herman. Det er 20 kr mer enn det Herman har. Hvor mange kroner har Herman?

Antall spillere: To og to Utstyr: Kalkulator Hver spiller får en kopi av tallboksen og spillbrettet.

40 = 2x -- x

Fire på rad med multiplikasjon: Tall

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to, slik at de kan diskutere seg fram til en løsning. Her kan elevene prøve seg fram. Noen vil kanskje dividere 1000 på 4, mens andre vil begynne med 1000. 250 250 + 25 275 + 25 300 + 25 Totalt:

= = = = =

250 275 300 325 1150

1000 1000 + 25 1025 + 25 1050 + 25 Totalt:

= = = = =

1000 1025 1050 1075 4150

Utfordre så elevene til å la flaggermusen spise totalt 1000 mygg på fire dager! 1.16 Et tall er dobbelt så stort som et annet tall. Summen av de to tallene er 45. Hvilke to tall er det? ledd + ledd = sum 1.17 Summen av to tall er 25. Differansen mellom de samme to tallene er 5. Hvilke to tall er det?

213 213 + 25 238 + 25 263 + 25 Totalt:

ledd – ledd = diff eranse faktor faktor = pro dividend : divisor = dukt kvotient

= = = = =

213 238 263 288 1002

Husk dette!

Noen vil kanskje begynne med 212,5 for å få nøyaktig 1000. Dette kan jo være et fint utgangspunkt for snakke med elevene om 0,5 mygg, 0,5 barn osv.

En flaggermus spiste totalt over 1000 mygg i løpet av fire påfølgende netter. Hver natt spiste den 25 flere mygg enn natten før. Hvor mange mygg kan den ha spist den første natten?

Tall og algebra 17

Kopieringsoriginal K 1.3

Hjørnerebus: Tall

Oppgavehenvisning Oppgavebok 1.108–1.110 1.214–1.218 1.309–1.313 Alternativ oppgavebok 1.11–1.13

De fire opplysningene er: – Simen og Sara har til sammen 160 kr. – Simen har 80 kr mer enn Sara. – Simen har 3 ganger så mange kroner som Sara. – Sara har x kroner. Løsning: 120 kr

Notater

.........................................

Tall og algebra

.........................................

......................................... ......................................... ......................................... Geysiren Stokkur har regelmessige utbrudd hvert 2. til hvert 6. minutt. Kokende vann spruter opptil 20 m opp i lufta.

.........................................

1.18 Sara, Martin og Lotte tar ulike småjobber for å skaffe seg lommepenger til en tur til Island. Nå skal de dele 490 kr. Sara skal ha dobbelt så mye som Martin. Lotte skal ha 10 kr mindre enn Sara. Hvor mange kroner skal hver av dem ha?

.........................................

1.19 Et tall er 9 større enn et annet tall. Når du multipliserer det minste tallet med 8 og det største tallet med 2, får du det samme produktet. Hvilke to tall er det?

.........................................

Origina

1.20 Simen kjøper noen små pizzaer og noen store pizzaer. En liten pizza koster 120 kr. En stor pizza koster 160 kr. Simen betaler 920 kr til sammen. Hvor mange pizzaer kjøper han?

.........................................

Tall og algebra 18

Origina

Origina Origina

Origina

Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale

Begreper

Notater

Proporsjon, forhold, likning, rektangel, formlik, målestokk

......................................... .........................................

Bakgrunnsstoff Vi sier at en proporsjon er et uttrykk som viser at to forhold er like store. Vi kan også si at en proporsjon er en likning med ett forhold på hver side av likhetstegnet. Begrepet proporsjon kommer vi tilbake til i forbindelse med proporsjonale størrelser, jf. side 124.

Jeg skal bruke en tredel av sparepengene mine.

Jeg skal bruke en firedel av mine sparepenger.

Tall og algebra

Proporsjoner

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Hvordan forklarer du at Simon og Lotte vil bruke like mye penger?

En firedel av 1600 kr er

1600 kr = 400 kr. 4

En tredel av 1200 kr er

1200 kr = 400 kr. 3

Brøkene

......................................... .........................................

1600 1200 og har samme verdi. 4 3

.........................................

Dette kan vi sette opp slik: 1600 kr 1200 kr = = 400 kr 4 3 Uttrykket

.........................................

1600 1200 = er en proporsjon. 4 3

En proporsjon er et uttrykk som viser at to forhold er like store. Hvis ett av tallene i en proporsjon er ukjent, kan vi finne dette tallet ved å løse proporsjonen som en likning.

Tall og algebra 19

Notater ......................................... .........................................

Legg merke til at den enkleste måten å løse en proporsjon på i eksempelet på side 20, er å multiplisere med nevneren under x. Det er unødvendig og tungvint å finne fellesnevneren og multiplisere med den.

.........................................

Tall og algebra

......................................... Eksempel 1:4

Onkel Jens tjener 40 000 kr per måned. Han sparer måned. Tante Monica sparer

1 av lønna hver 20

1 av sin lønn hver måned. De sparer like 25

mange kroner. Hvor mye tjener tante Monica per måned?

.........................................

Løsning Tante Monica tjener x kr.

.........................................

Hun sparer

x kr per måned. 25

Onkel Jens sparer

.........................................

40 000 kr per måned. 20

Proporsjonen blir: x 40 000 = 25 20 x 25 40 000 25 = 25 20

.........................................

Vi multipliserer alle ledd med 25.

x = 50 000 Tante Monica tjener 50 000 kr per måned.

.........................................

Oppgaver

.........................................

1.21 Regn ut x i proporsjonene.

.........................................

Tall og algebra 20

x 50 = 5 10

2800 x = 100 8

15 10 = 6 x

x 90 = 8 6

5 10 = x 6

15 3 = 10 x

250 x = 10 12

12 2 = x 3

15 x = 6 4

1.22 Sara har 6000 kr i banken. Hun tar ut en tredel av pengene. Simen tar ut en firedel av de pengene han har i banken. De tar ut like mange kroner. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange kroner Simen har i banken.

......................................... ......................................... .........................................

1.23 En sementblanding består av 5 bøtter sement og 20 bøtter sand. I en annen sementblanding, med samme blandingsforhold, er det 24 bøtter sand.

......................................... ......................................... .........................................

Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange bøtter sement det er i den andre blandingen.

.........................................

1.24 Forholdet mellom de lengste og de korteste sidene i to formlike rektangler er likt.

.........................................

6 cm 4 cm

9 cm

Sett opp en proporsjon og regn ut hvor lang den korteste siden i det minste rektangelet er.

Tall og algebra 21

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe én og én eller to og to, slik at de kan diskutere seg fram til en løsning. Her fins det flere måter komme fram til en løsning på. 1) Her har de tre totalt 7 + 3,5 = 10,5 liter hvis vi tenker oss at flaskene inneholder 1 L. Dette gir 10,5 : 3 = 3,5 på hver ! 7 halvfulle flasker til hver. 2) Fordele de 7 fulle over på de 7 tomme slik at alle blir halvfulle. Så fordele 21 halvfulle mellom de tre vennene ! 7 halvfulle flasker til hver.

Oppgavehenvisning Oppgavebok 1.111–1.115 1.219–1.222 1.314–1.317 Alternativ oppgavebok 1.14–1.16

Notater

.........................................

Tall og algebra

.........................................

Hanna, Sara og Lotte har 21 brusflasker: 7 er fulle, 7 er halvfulle og 7 er tomme. Kan de fordele flasker og innhold slik at alle inneholder like mye? Begrunn svaret.

1.25 På en skole er forholdet mellom antall jenter og antall gutter 5 : 4. Det er 108 gutter på skolen. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange jenter det er på skolen.

.........................................

1.26 På et kart i målestokken 1 : 10 000 er det 9 cm mellom Hoppegropa og Buldrefossen. På et annet kart er det 6 cm mellom de to stedene. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvilken målestokk det andre kartet har.

Tall og algebra 22

Begreper

Kopieringsoriginal

Bokstavuttrykk, parentes, ledd, første kvadratsetning, andre kvadratsetning, tredje kvadratsetning (konjugatsetning), faktorisering, primtall, felles faktor, brøk, formel

K 1.4

Bakgrunnsstoff Sammentrekning av enkle bokstavuttrykk er gjennomgått tidligere. Vi har også gjennomgått regler for oppløsning av parenteser tidligere. Det nye nå er at vi må løse opp parenteser etter at vi har multiplisert en parentes med et tall eller et bokstavuttrykk først. Det er i alle fall slik vi ønsker å gjøre det i første omgang: Multipliser inn i parentesene først. Løs deretter opp parentesene.

???

Tall og algebra

Regning med variabler

Hvilket skal ut? Tall

Antall deltakere: Grupper på to, tre eller fire La elevene snakke sammen og forklare for hverandre hvordan de tenker. Her er det viktig at elevene selv begrunner hvorfor de mener at tallet skal ut. Svaret er ikke det viktigste i denne oppgaven, men det at elevene bruker språket og begrunner sine valg. I) a) b) c)

De fire opplysningene er: ! 6500, multiplikasjon 6,5 103 3 2 6 10 + 5 10 ! 6500, addisjon, hele tall 6,5 10--3 ! 0,0065, multiplikasjon, negativ eksponent 3 2 d) 7 10 -- 5 10 ! 6500, subtraksjon, hele tall, eneste med siffer 7

II) De fire opplysningene er: a) 23 ! 8, eneste som inneholder oddetall 0 b) ð4 2Þ10 !8 2 0 c) 2 + 4 10 !8 d) 42 -- 2 100 ! 14

2(x – 2y) – 2(x – y)

Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene. Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, må vi multiplisere hvert ledd inne i parentesen med dette tallet eller bokstavuttrykket. Vi regner ut uttrykket på tavla slik: 1

2ðx -- 2yÞ -- 2ðx -- yÞ = ð2x -- 4yÞ -- ð2x -- 2yÞ = 2x -- 4y -- 2x + 2y = --2y

Husk at vi forandrer fortegnet foran leddene inne i parentesen når det står minus foran parentesen!

Tall og algebra 23

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to, slik at de kan diskutere seg fram til en løsning. Dette er en oppgave der elevene må få bruke litt tid. Tips dem om at de kan lage en tabell eller finne «sekservenner». Elevene må også velge 12-timersperiode. Løsning: 1) 00:00 til 12:00 00: 0+0+0+6=6 0+0+1+5=6 0+0+2+4=6 0+0+3+3=6 0+0+4+2=6 0+0+5+1=6 01: 0+1+0+5=6 0+1+1+4=6 0+1+2+3=6 0+1+3+2=6 0+1+4+1=6 0+1+5+0=6 02: 0+2+0+4=6 0+2+1+3=6 0+2+2+2=6 0+2+3+1=6 0+2+4+0=6 03: 0+3+0+3=6 0+3+1+2=6 0+3+2+1=6 0+3+3+0=6 2) 12:00 til 24:00 12: 1+2+0+3=6 1+2+1+2=6 1+2+2+1=6 1+2+3+0=6

04: 0+ 0+ 0+ 05: 0+ 0+ 06: 0+ 10: 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 11: 1+ 1+ 1+ 1+ 1+

4+0+2=6 4+1+1=6 4+2+0=6 5+0+1=6 5+1+0=6 6+0+0=6 0 0 0 0 0 0

+ + + + + +

0 1 2 3 4 5

+ + + + + +

5 4 3 2 1 0

= = = = = =

6 6 6 6 6 6

14: 1+ 1+ 15: 1+ 20: 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 21: 2+ 2+ 2+ 2+

4+0+1=6 4+1+0=6 5+0+0=6 0 0 0 0 0

+ + + + +

0 1 2 3 4

+ + + + +

4 3 2 1 1

= = = = =

6 6 6 6 6

1 1 1 1

+ + + +

0 1 2 3

+ + + +

3 2 1 0

= = = =

6 6 6 6

2+0+2=6 2+1+1=6 2+2+0=6 3+0+1=6 3+1+0=6 4+0+0=6

Totalt: 25 ganger

Eksempel 1:5

Trekk sammen uttrykket 3xðx -- 2Þ -- 2xðx + 4Þ så mye som mulig. Løsning 3xðx -- 2Þ -- 2xðx + 4Þ = ð3x 2 -- 6xÞ -- ð2x 2 + 8xÞ = 3x 2 -- 6x -- 2x 2 -- 8x

1 1 1 1 1

+ + + + +

0 1 2 3 4

+ + + + +

4 3 2 1 0

= = = = =

= x 2 -- 14x

6 6 6 6 6

Oppgaver 1.27 Trekk sammen. a) 3x + 2x b) 5x -- x c) 5a -- 4a

d) 3a + b -- a -- 3b e) 3x -- y -- 5x + 4y f) x + 2y -- y -- 3x + 2x

1.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) ð2x -- 2yÞ -- ðx -- 3yÞ d) 3a -- ða -- bÞ + ð2a -- 3bÞ e) ð--3a + bÞ -- ð3a + bÞ b) ð5x -- yÞ + ð--2x + 3yÞ f) 2x -- ð--x -- 2yÞ -- 3x c) ð--2a + bÞ + ð5a + 2bÞ

Totalt: 38 ganger

13: 1+3+0+2=6 1+3+1+1=6 1+3+2+0=6

1.29 Regn ut. a) 2ðx -- 3Þ + 3x b) 5a -- 2ð2a -- 3Þ c) ðx -- 2yÞ + 2ðx -- yÞ

d) 2x -- 2ð2x -- yÞ + 3x e) 3ð2a -- 2bÞ -- 2ða + 3bÞ f) 5x -- 2ðx -- 2yÞ + 3ðx + yÞ

1.30 Regn ut. a) 2xðx -- 3Þ -- 2x b) xðx -- yÞ + 2x 2 c) xð2x -- yÞ -- 2xðx -- 2yÞ

d) 5x -- 3xðx -- 2Þ -- xðx + 2Þ e) a2 -- 2aða -- bÞ + 2ab f) að2a -- bÞ -- 3aða + 2bÞ

? 24

22: 2+ 2+ 2+ 23: 2+ 2+ 24: 2+

Elevene kan jo også ha valgt en annen 12-timersperiode.

Tall og algebra

Tall og algebra 24

Hvor mange ganger i løpet av en 12-timers periode blir summen av timer og minutter som vises på en digital klokke, lik 6?

Bakgrunnsstoff

Aktiviteter

Det går tydelig fram i hvilken rekkefølge vi utfører multiplikasjonene når vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre. Det er selvfølgelig ikke noe i veien for å gå fram i en annen rekkefølge, for eksempel slik:

Nærmest 200 Hver gruppe (2–4 elever) trenger 3 terninger, og hver spiller trenger et spillebrett som vist nedenfor. Elevene kaster de tre terningene, og de velger selv hvordan de vil bruke «øynene». Alle kaster 10 ganger etter tur og summer svarene. Den som kommer nærmest 200, vinner.

ða + bÞ ðc + dÞ = ac + bc + ad + bd Poenget er bare at hvert ledd i den ene parentesen må multipliseres med hvert ledd i den andre parentesen, jf. regelen midt på siden. Uansett er det lurt å holde fast på én bestemt rekkefølge når en multipliserer. I Faktor setter vi stort sett utregningene under hverandre, slik at eleven tydeligere skal se forskjell på de ulike leddene.

Kast

Regnestykke ða bÞ c

Svar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Noen multiplikasjonsstykker består av to eller flere parentesuttrykk, som for eksempel ða + bÞ ðc + dÞ Når vi skal multiplisere parentesuttrykkene med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen.

Tall og algebra

Multiplikasjon av to parentesuttrykk

ða + bÞ ðc + dÞ = ac + ad + bc + bd Vi kan illustrere dette slik: 2

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

Regel

Sum

Eksempel: ð3 4Þ + 5 = 17 ð3 4Þ -- 5 = 8 ð3 5Þ + 4 = 19 ð3 5Þ -- 4 = 11 ð5 4Þ + 3 = 23 ð5 4Þ -- 3 = 17

Vi multipliserer to parentesuttrykk ved å multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen: ða + bÞðc + dÞ = ac + ad + bc + bd Eksempel 1:6

Regn ut. a) ða + 2Þ ða -- 3Þ

b) ð2x -- 1Þ ðx + 2Þ -- 2ðx + 1Þ

Løsning a) ða + 2Þ ða -- 3Þ

b) ð2x -- 1Þ ðx + 2Þ -- 2ðx + 1Þ

= a2 -- 3a + 2a -- 6

= ð2x 2 + 4x -- x -- 2Þ -- ð2x + 2Þ

= a2 -- a -- 6

= 2x 2 + 4x -- x -- 2 -- 2x -- 2 = 2x 2 + x -- 4

Tall og algebra 25

Kopieringsoriginal

72 68

K 1.5

= ð70 + 2Þð70 -- 2Þ

Algebraløpet

Antall deltakere: Grupper på to og to Elevene plasserer hver sin spillebrikke på startfeltet og slår to terninger med forskjellig farge annenhver gang. Den ene terningen representerer x og den andre y. Øynene som terningene viser, svarer til verdien av x og y. Eleven regner så ut bokstavuttrykket i feltet der han/hun står. Hvis svaret er positivt, flytter eleven sin spillebrikke med klokka (til høyre). Hvis svaret er negativt, flytter eleven brikka mot klokka (til venstre). Se kopieringsoriginal.

= 702 -- 22 = 4900 -- 4 = 4896

108 92 = ð100 + 8Þð100 -- 8Þ = ::: 65 55 = ð60 + 5Þð60 -- 5Þ = :::

Mange bruker begrepet konjugatsetning om tredje kvadratsetning, mens de fleste bruker begge begrepene om hverandre. Som vi ser, er uttrykket ða + bÞða -- bÞ ikke noe kvadratuttrykk. Derfor er det kanskje mest riktig å bruke konjugatsetning.

osv.

Tall og algebra

Bakgrunnsstoff

Diskuter dette med elevene, og slå for eksempel opp på www.matematikk.org og les mer om dette.

Aktivitet I arbeidet med konjugatsetningen bør elevene utfordres til å bruke setningen i tilfeller som dette:

Oppgaver 1.31 Regn ut. a) ðx + 1Þ ðx + 2Þ b) ðx + 2Þ ð2x -- 1Þ c) ð2 -- aÞ ða + 3Þ

d) ða -- 2Þ ða + 2Þ e) ð2x -- 1Þ ð2 -- xÞ f) ðx -- 4Þ ð2 -- xÞ

1.32 Regn ut. a) ða -- 2Þð2a -- 1Þ + 3a b) 2a + ða + 1Þð3a -- 2Þ

c) ð4a + 1Þða -- 1Þ -- 2a d) ðx + 2Þðx -- 2Þ -- ðx -- 3Þ

1.33 Regn ut. a) ð3x -- 1Þð2 -- xÞ b) ð2x -- 4Þð2 + xÞ c) ð4a + 1Þða -- 1Þ -- 2a

d) ðx + 2Þðx -- 2Þ -- 3x e) ð2x + 1Þ2 -- 4x 2 f) 4xðx -- 1Þ2

Kvadratsetningene Vi multipliserer tre spesielle parentesuttrykk: ða + bÞ2 = ða + bÞða + bÞ = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 ða -- bÞ2 = ða -- bÞða -- bÞ = a2 -- ab -- ab + b2 = a2 -- 2ab + b2 ða + bÞða -- bÞ = a2 -- ab + ab -- b2 = a2 -- b2

Tredje kvadratsetning kalles også for konjugatsetningen!

Disse utregningene viser de tre kvadratsetningene: = a2 + 2ab + b2 Første kvadratsetning: ða + bÞ2 Andre kvadratsetning: ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2 Tredje kvadratsetning: ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2 Eksempel 1:7

Regn ut. a) ðx + 3Þ2

b) ða -- 5Þ2

c) ðx + 2Þðx -- 2Þ

b) ða -- 5Þ2

c) ðx + 2Þðx -- 2Þ

Løsning a) ðx + 3Þ2

Tall og algebra 26

= x 2 + 2 x 3 + 32

= a2 -- 2 a 5 + 52

= x 2 -- 22

= x 2 + 6x + 9

= a2 -- 10a + 25

= x 2 -- 4

Bakgrunnsstoff

Notater

Faktorisering av bokstavuttrykk med flere ledd er et ofte problematisk for mange elever. Mange tror at faktoriseringen er ferdig når de har kommet hit:

......................................... .........................................

4a -- 8 = 2 2 a -- 2 2 2 .........................................

Av og til kan det være lurt å finne det største tallet som 4 og 8 er delelig med. Deretter dividerer en:

.........................................

4a : 4 = a og 8 : 4 = 2 .........................................

Det gir da 4a -- 8 = 4 ða -- 2Þ = 2 2 ða -- 2Þ

.........................................

Det er viktig å holde fast ved at faktoriseringen ikke er fullført før en også har faktorisert tallet utenfor parentesen.

......................................... ......................................... .........................................

+ 2)(x + 2)

Tall og algebra

2 2 (x (x + ) =

......................................... .........................................

Oppgaver 1.34 Regn ut. a) ðx + 5Þ2 b) ðx + 4Þ2

c) ða -- 2Þ2 d) ða + 2Þða -- 2Þ

e) ðx -- 3Þ2 + 2x f) ðx + 1Þ2 -- 1

1.35 Regn ut. a) ðx -- 2Þ2 + 2x b) ð3x + 1Þ2 -- 4x 2

c) ðx -- 3Þ2 + x 2 d) ðx + 1Þ2 -- ðx -- 1Þ

e) ð3a + 2Þð3a -- 2Þ f) ðx + 4Þ2 -- 2ðx -- 2Þ

......................................... ......................................... .........................................

Faktorisering Sammensatte tall kan skrives som et produkt av primtall: 6 = 2 3 18 = 2 3 3 30 = 2 3 5

Primtall kan bare deles på seg selv og på 1!

.........................................

På tilsvarende måte kan bokstavuttrykk skrives som et produkt av primtall og variabler:

.........................................

6xy = 2 3 x y 10x 2 = 2 5 x x Når bokstavuttrykket har flere ledd, kan vi faktorisere uttrykket hvis leddene har én eller flere faktorer felles:

.........................................

2x + 4 = 2 x + 2 2 = 2 ðx + 2Þ Her er 2 felles faktor. Den settes utenfor en parentes. 4a -- 8 = 2 2 a -- 2 2 2 = 2 2 ða -- 2Þ Her er 2 2 felles faktorer. De settes utenfor en parentes.

Tall og algebra 27

Aktivitet En Åpen oppgave kan være: Lag et algebraisk uttrykk hvor svaret blir 4x. Bruk elevenes svar som utgangspunkt for samtale om ulike løsninger og eventuelle feilkilder. Svarene kan ofte deles inn i tre grupper: • Vanlig svar: 4x + 4 -- 4 • Mer avansert svar: 3 -- 2x -- ð--6x + 3Þ • «Lurt» svar: x 4

Notater

.........................................

Tall og algebra

......................................... Eksempel 1:8

Faktoriser uttrykkene. a) 9xy

b) 6x 2 y

c) 12x -- 18

Løsning a) 9xy = 3 3 x y

.........................................

b) 6x 2 y = 2 3 x x y c) 12x -- 18 = 2 2 3 x -- 2 3 3 = 2 3 ð2x -- 3Þ

.........................................

Vi får bruk for faktorisering når vi skal forkorte brøker, særlig når tallene er store eller brøken inneholder bokstavuttrykk.

.........................................

Eksempel 1:9

Forkort brøkene mest mulig. 12 4x 2 6x -- 9 a) b) c) 18 6 6xy

.........................................

Løsning a)

12 2 2 3 2 = = 18 2 3 3 3

4x 2 2 2 x x 2x = = 6xy 2 3 x y 3y

6x -- 9 2 3 x -- 3 3 3 ð2x -- 3Þ 2x -- 3 = = = 6 2 3 2 3 2

......................................... .........................................

Oppgaver

.........................................

Tall og algebra 28

1.36 Skriv tallene som produkt av primtall. a) 8 d) 16 b) 12 e) 18 c) 15 f) 22

g) 36 h) 56 i) 84

1.37 Faktoriser uttrykkene. a) 10xy c) 6a2 b b) 12ab d) 8x 2 y 2

e) 15xy 2 f) 51a3 b

Bakgrunnsstoff Legg merke til at vi her bare tar for oss tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) i forbindelse med faktorisering. Det er et bevisst valg da vi anser faktorisering ved å bruke de andre kvadratsetningene som for vanskelig på dette trinnet.

Til arbeidet med oppgave 1.41 og tilsvarende i oppgaveboka: Det kan hjelpe elevene i arbeidet med å forkorte brøker hvis brøken deles i to som vist nedenfor. Presiser at fellesnevneren 2 er nevneren til begge tellerne. 4x + 8 4x 8 2 2 x 2 4 + = 2x + 4 = + = 2 2 2 2 2

Det er likevel fint om en gir slike oppgaver til flinke elever som en ekstra utfordring.

Kopieringsoriginal K 1.6

Sant-usant: Bokstavuttrykk/ faktorisering

Antall deltakere: To og to La elevene jobbe sammen to og to for å avgjøre hvilke utsagn som er sanne. La dem også rette opp de utrykkene som er usanne. Notater ......................................... e) 12a + 18 f) 8a -- 12

1.39 Faktoriser uttrykkene. a) 4ab -- 6b c) 8x 2 -- 2x b) 9ab + 6a d) 4a2 -- 6a

e) 10x 2 y -- 4x f) 12a + 18a2

Tall og algebra

1.38 Faktoriser uttrykkene. a) 2x + 6 c) 4x + 6 b) 3x -- 9 d) 10a -- 15

.........................................

1.40 Forkort brøkene mest mulig. a)

6xy 8y

4x 2 c) 6x

12xy 16xy

.........................................

4x 10x 2

8xy 6x 2 y

10a3 g) 8a

6a 10a2

12a2 16a3

.........................................

1.41 Forkort brøkene mest mulig. a)

4x + 8 2

2a + 12 2a

6xy + 3x 3x

6x -- 9 6

6a2 + 4a 8a

8x 2 y -- 4xy 2 4xy

......................................... .........................................

Faktorisering ved hjelp av tredje kvadratsetning Vi kan bruke tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik:

.........................................

a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ Eksempel 1:10

.........................................

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 -- 9

b) a2 -- 25

c) 2x 2 -- 8

Løsning a) x 2 -- 9

b) a2 -- 25 2

.........................................

c) 2x 2 -- 8 2

= x 2 -- 32

= a -- 5

= ðx + 3Þðx -- 3Þ

= ða + 5Þða -- 5Þ

= 2ðx -- 4Þ = 2ðx 2 -- 22 Þ = 2ðx + 2Þðx -- 2Þ

Tall og algebra 29

Bakgrunnsstoff Den første delen av avsnittet Sammentrekning av brøkuttrykk er repetisjon. Det nye er sammentrekning av brøker der det er bokstavuttrykk i nevnerne. Nå har vi ikke lenger bare ett ledd i nevneren, men setter opp noen oppgaver der denne har to ledd (jf. justert læreplan i 2013).

Notater

.........................................

Tall og algebra

.........................................

Oppgaver 1.42 Faktoriser uttrykkene. b) x 2 -- 36 a) x 2 -- 16

c) x 2 -- 49

d) x 2 -- 100

1.43 Faktoriser uttrykkene. a) x 2 -- 4 c) 2a2 -- 8 b) x 2 -- 1 d) 3a2 -- 12

e) 3x 2 -- 27 f) 2x 2 -- 18

g) 2a2 -- 50 h) 2x 2 -- 200

Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøker når de har samme nevner (fellesnevner):

.........................................

2 3 2+3 5 + = = 7 7 7 7 1 3 1 2 3 3 2 9 11 + = + = + = 6 4 6 2 4 3 12 12 12

.........................................

Fellesnevneren for 6 og 4 er 12.

Vi bruker samme framgangsmåte når vi trekker sammen bokstavuttrykk. 2x 3x 2x + 3x 5x + = = 7 7 7 7

.........................................

x 3x x 2 3x 3 2x 9x 11x + = + = + = 6 4 6 2 4 3 12 12 12

.........................................

Fellesnevneren for 6 og 4 er 12.

Eksempel 1:11

Trekk sammen brøkene. a)

.........................................

2a a + 9 6

x 1 4 + -3 2x 6x

3 2 + 2x -- 2 x -- 1

Løsning a) Fellesnevneren for 9 og 6 er 18.

.........................................

2a a + 9 6 =

2a 2 a 3 + 9 2 6 3

4a 3a + = 18 18 =

Tall og algebra 30

7a 18

Vi utvider brøkene slik at de får fellesnevneren 18.

b) Vi finner fellesnevneren: 3=3 2x = 2 x 6x = 2 3 x Fellesnevner: 2 3 x = 6x

.........................................

x 1 4 + -3 2x 6x =

x 2 x 1 3 4 + -3 2 x 2x 3 6x

.........................................

Vi utvider to av brøkene slik at de får fellesnevner 6x.

.........................................

2x 2 3 4 -= + 6x 6x 6x =

2x 2 + 3 -- 4 6x

.........................................

2x 2 -- 1 = 6x

......................................... c) Vi finner fellesnevneren: 2x -- 2 = 2ðx -- 1Þ x -- 1 = x -- 1

.........................................

Fellesnevner: 2(x - 1) 3 2 + 2x -- 2 x -- 1 3 2 2 + = 2ðx -- 1Þ 2ðx -- 1Þ =

3 4 + 2ðx -- 1Þ 2ðx -- 1Þ

3+4 2ðx -- 1Þ

7 2x -- 2

......................................... Vi utvider den andre brøken slik at begge brøkene får fellesnevner 2ðx -- 1Þ:

.........................................

Tall og algebra 31

Kopieringsoriginal K 1.7

Stafett: Brøk

Antall deltakere: Grupper på fire og fire Del elevene inn i grupper på fire. La de elevene som strever mest i faget, være nummer 1, og dem med høyere kompetanse nummer 4. Klipp opp kopieringsoriginalen i åtte deler. 1) Alle enerne kommer fram og får etappe (oppgave) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa. 3) Etter at de har funnet svaret, går elev 1 fram og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A. 5) Oppgaven løses i gruppa. 6) Elev 2 går fram og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv.

Her bør elevene få jobbe sammen to og to eller i grupper på 3–4, slik at de kan diskutere seg fram til en løsning. Her er det viktig at gruppa begrunner sitt valg. La alle komme med forslag før du eventuelt oppsummerer. Løsning: 30 = 2 3 5 a2 b = a a b 4b = 2 2 b 50 = 2 5 5

Tall og algebra

Løsning: 3 1A) 18 3 2A) 10 3x + 5 3A) 2 2 4A) 2 x

Frioppgave

tre faktorer tre faktorer, to er like, potens to faktorer, tall og variabel tre faktorer, to er like

Oppgaver 1.44 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. 2 1 + 3 9 5 1 b) -12 6

2x 4x + 3 9 5 2 d) -6 9

2x x + 9 6 3x 3x f) -5 10

1.45 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. a)

5x 4x + 12 15

2a 4a a + + 5 3 10

7a 5a -8 6

3a 4a 5a -+ 4 9 6

1.46 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

1B) 2B) 3B) 4B)

2 10 + 4 10 + 1 10 + 5 + 10 + 0 10 5403,25 8 + 4 + 0 + 1 = 13 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 110111 4

2 3 a) + x 4x

2 1 -3x 6x

3 3 + 8a 2a

Her blir fellesnevneren et bokstavuttrykk!

1 3 1 d) + -3a 4a 6a e)

3x x 2x + + x -- 1 x -- 1 x -- 1

Hvilket av disse tallene eller bokstavuttrykkene passer ikke inn? 30

a2 b

1.47 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

Tall og algebra 32

3x x -- 8 + x -- 2 x -- 2

6x 6x + 4 + 2x + 4 x+2

a+1 2a + 2 + 2a + 2 3a + 3

2 2 + 4x -- 16 3x -- 12

2a -- 2 a -2a -- 4 3a -- 6

3 x -- 1 1 + -3x -- 3 2x -- 2 x -- 1

Bakgrunnsstoff

Notater

Innsetting av tall i formler og bokstavuttrykk er grunnleggende i algebra. Legg for øvrig merke til oppgave 1.51 på side 35. Der skal vi først sette tall inn i et uttrykk slik det står, og deretter trekke sammen uttrykket for så å sette inn tallene.

Tall og algebra

Innsetting av tall i formler og uttrykk

Formelen for arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er

g h 2

.........................................

Hvis g = 8 cm og h = 9 cm, blir arealet A=

8 cm 9 cm = 36 cm2 2

.........................................

Vi kan også sette inn tall som verdier for variablene i bokstavuttrykk. Hvis x = 3 og y = 5, så er 6x -- 2y = 6 3 -- 2 5 = 18 -- 10 = 8

Tall og algebra 33

Aktivitet Utfordre elevene til å løse denne: Du har 9 kuler som ser like ut, men en av dem er lettere enn de andre.Hvor mange veiinger på en skålvekt trenger du for å finne den lette kula? Løsning: 2 veiinger

Forklaring: Du veier først 3 og 3 kuler: Hvis kulene på den ene skåla er lettere, vet du at én av disse tre kulene er den lette. Du veier så to av disse kulene. Hvis de veier like mye, er det den tredje kula som er den lette. Hvis en av dem veier mindre enn den andre, har du funnet den lette. Men hvis vekta viser at de seks kulene i første veiing har den samme vekta, vet du at den lette befinner seg blant de tre gjenværende. Du veier da to av dem. Hvis én av dem veier mindre enn den andre, har du funnet den lette. Hvis de veier like mye, er det den tredje, gjenværende kula som er den lette.

Notater

.........................................

Tall og algebra

......................................... Eksempel 1:12

a) Trekk sammen. 4x -- 2ðx -- yÞ b) Sett x = 2 og y = 3 inn i oppgave a og i svaret på oppgaven. Sammenlikn de verdiene du får. Løsning a) 4x -- 2ðx -- yÞ

.........................................

= 4x -- ð2x -- 2yÞ = 4x -- 2x + 2y

.........................................

= 2x + 2y b) Vi setter x = 2 og y = 3 inn i oppgaven: 4x -- 2ðx -- yÞ = 4 2 -- 2ð2 -- 3Þ

.........................................

= 8 -- 2 ð -- 1Þ = 8 + 2 = 10 Vi setter x = 2 og y = 3 inn i svaret: 2x + 2y = 2 2 + 2 3 = 4 + 6 = 10

.........................................

Vi får 10 i begge tilfellene.

......................................... Oppgaver 1.48 Formelen for omkretsen av en sirkel er: O = O står for omkretsen, og d står for diameteren i sirkelen.

.........................................

d r

Regn ut omkretsen når a) d = 10,0 cm b) d = 17,0 cm

.........................................

Formelen for arealet av en sirkel er: A = r 2 A står for arealet, og r står for radien i sirkelen. Regn ut arealet når c) r = 5,0 dm d) r = 8,5 dm

Tall og algebra 34

Øving før kapittelprøve

Kopieringsoriginal K 1.8 10 rette: Tall og algebra Antall deltakere: Én og én eller to og to La elevene avgjøre hvilket svaralternativ som er det riktige.

Faktor Digital: åpen elevside, factor.cdu.no • Øvingsoppgaver i 3 kategorier • Videogjennomgang av kapittel 1 med oppgaver (Omvendt undervisning) • Digital versjon av «Prøv deg selv» 1 (Kapitelkartlegger) Faktor Digital: lærersider med innlogging, faktor.cdu.no • Målark til «Prøv deg selv» • Kapittelprøve 1 (90 min.) • Vurderingsskjema til kapittelprøven • Faktornøtter

Oppgavehenvisning Oppgavebok 1.116–1.131 1.223–1.246 1.318–1.331 Alternativ oppgavebok 1.17–1.34

Notater .........................................

O = 2a + 2b

Tall og algebra

1.49 Formelen for omkretsen O av et rektangel med lengden a og bredden b er:

.........................................

der O står for omkretsen, a for lengden og b for bredden i rektangelet.

.........................................

Regn ut omkretsen når a) a = 8 cm og b = 5 cm b) a = 7,5 m og b = 4,5 m

.........................................

1.50 Sett x = 2 og y = 4 inn i uttrykkene og regn ut. a) x + y c) 3x + 2y e) 4x -- 2y b) 2x + y d) 3x -- y f) x -- 3y

.........................................

1.51 a) Sett a = 3 og b = 2 inn i uttrykket og regn ut.

.........................................

2a -- b + 3a b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter a = 3 og b = 2 inn i svaret.

.........................................

1.52 a) Sett x = 1 og y = 3 inn i uttrykket og regn ut. 2ð2x -- yÞ -- 3ðx -- 2yÞ b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter x = 1 og y = 3 inn i svaret.

.........................................

1.53 Formelen for arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er

g h 2

.........................................

h g

a) Regn ut arealet av trekanten når g = 12 cm og h = 8 cm. b) Regn ut grunnlinja når A = 84 cm2 og h = 24 cm. c) Regn ut høyden når A = 55 cm2 og g = 15 cm.

Tall og algebra 35

Fasit Prøv deg selv

4 a) 239 b) 4309

c) 7614,23 d) 3095,623

1 a) 4,5 103 b) 2,5 104

c) 3,7 105 d) 1,2 106

5 a) 7 b) 5 c) 15

d) 9 e) 21 f) 51

2 a) 8 10--3 b) 5 10--4

c) 7 10--5 d) 4,9 10--4

6 a) 101 b) 1000

c) 1101 d) 10000

7 a) 35 og 25

b) 6 år og 15 år

8 a) x = 9

b) x = 72

3 a) b) c) d)

4 103 2 104 2 105 1 106

+ + + +

5 102 7 103 5 103 2 105

+ + + +

1 101 1 101 6 102 8 104

+ + + +

7 100 9 100 4 101 4 102 + 9 100

Notater

.........................................

Tall og algebra

......................................... Prøv deg selv 1

......................................... 3

.........................................

d) 1 200 000

Skriv tallene på standardform. a) 0,008 b) 0,0005

c) 0,00007

d) 0,00049

Skriv tallene på utvidet form. a) 4517 b) 27 019

c) 205 640

d) 1 280 409

Skriv tallene på vanlig måte. a) 2 100 + 3 10 + 9 1 b) 4 1000 + 3 100 + 9 1 c) 7 1000 + 6 100 + 1 10 + 4 1 + 2 0,1 + 3 0,01 d) 3 1000 + 9 10 + 5 1 + 6 0,1 + 2 0,01 + 3 0,001

Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene i titallssystemet. a) 111 d) 1001 b) 101 e) 10101 c) 1111 f) 110011

Tallene nedenfor er skrevet i titallssystemet. Skriv tallene i totallssystemet. a) 5 c) 13 b) 8 d) 16

a) Summen av to tall er 60. Differansen mellom de samme to tallene er 10. Hvilke to tall er det? b) Simen er ni år eldre enn søsteren sin. Om tre år er Simen dobbelt så gammel som henne. Hvor gamle er de nå?

Regn ut x i proporsjonene.

.........................................

c) 370 000

.........................................

Skriv tallene på standardform. a) 4500 b) 25 000

.........................................

Tall og algebra 36

x 24 = 3 8

36 x = 8 16

9 a) 2x + 3 b) 3x + 2

c) --2a + b

10 a) 2x 2 -- 3x -- 2 b) 3a2 + a -- 4

c) x 2 + 4 d) 9x 2 -- 16

11 a) 2 2 3 b) 2 2 5

c) 2 3 7 d) 7 13

12 a) b) c) d) e)

2 2 3 x y 2 3 a a b 2 2 2 a a b b 3 ðx + 3Þ 3 x + 2

5 6 2 b) 3 x c) 15 a)

15a + 2 24 19 e) 30a 9x -- 2 f) 6x -- 12

14 a) 200,96 cm2

b) 113,04 m2

15 a) 3

b) 3x -- 3y = 3

Notater .........................................

Løs opp parentesene og regn ut. a) 3x -- ðx -- 3Þ c) 3a -- 2ða -- 2bÞ -- 3ða + bÞ b) ð2x -- 1Þ + ðx + 3Þ Regn ut. a) ð2x + 1Þðx -- 2Þ b) ð3a -- 2Þða + 2Þ -- 3a

c) ðx + 2Þ2 -- 4x d) ð3x + 4Þð3x -- 4Þ

Primtallsfaktoriser tallene. a) 12 b) 20

c) 42

.........................................

Faktoriser uttrykkene slik at tallene i uttrykkene blir primtall. 8xy + 12x 2 y a) 12xy b) 6a2 b c) 8a2 b2 d) 3x + 9 e) 4xy

Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. a)

1 2 + 6 3

2x x -5 3

3 2 1 + -5a 15a 10a

1 5 + 6 10

5a 1 + 8 12

x 3x -- 1 + 2x -- 4 3x -- 6

Formelen for arealet A av en sirkel med radius r er: A=

.........................................

d) 91

Tall og algebra

......................................... ......................................... .........................................

r2 = r r

.........................................

der A står for arealet og r for radien i sirkelen. a) Regn ut arealet når r = 8 cm. b) Regn ut arealet når r = 6 m.

.........................................

a) Sett x = 2 og y = 1 inn i uttrykket og regn ut.

.........................................

3ð2x -- yÞ -- 3x b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter x = 2 og y = 1 inn i svaret.

Tall og algebra 37

1 100 = 3 = 100 -- 3 = 10--3 3 10 10

Fasit Noe å lure på

1 Plassene i titallssystemet har verdiene 1, 10, 100, 1000, osv.

3 Aldersforskjellen multiplisert med 2 gir alderen til den eldste når denne er dobbelt så gammel som den yngste.

Plassene i totallssystemet har verdiene 1, 2, 4, 8, osv. Det vil si at plassene i totallssystemet har mindre verdi enn tilsvarende plasser i titallssystemet. Da må vi ha flere siffer i totallssystemet for å skrive et tall med samme størrelse som i titallssystemet.

4 2:3:5 5 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Notater

.........................................

Tall og algebra

......................................... Noe å lure på 1

.........................................

Tallet 111 i totallssystemet er det samme som 7 i titallssystemet. Tallet 11011 i totallssystemet er det samme som 27 i titallssystemet. I begge tilfellene består tallene i totallssystemet av flere siffer enn tilsvarende tall i titallssystemet. Hvorfor er det slik?

Hm...

......................................... ......................................... 2

.........................................

Vi vet at 105 : 102 = 105 -- 2 = 103 . Bruk tilsvarende regnestykke for å forklare at

Du kjenner aldersforskjellen mellom to mennesker. Hvordan kan du på grunnlag av dette alltid finne ut når den ene var, eller blir dobbelt så gammel som den andre?

I en blanding av tre stoffer er det 30 % av ett stoff og 50 % av et annet stoff. Hvordan kan du sette opp sammensetningen i denne blandingen som et forhold?

Tallet 6 er interessant. Det er et fullkomment tall. 6 = 1 2 3 Faktorene er 1, 2 og 3. 6=1+2+3

......................................... ......................................... .........................................

1 = 10--3 : 103

Kan du finne et annet tall der summen av faktorene er tallet selv? Tips: Et mulig tall er mindre enn 30.

Tall og algebra 38

7 Det er de samme sifrene (1,2,4,5,7 og 8) som går igjen hele tiden, men med ulik plassering.

Notater .........................................

8 Nei, svaret er 12 111. 11 000 + 1 100 +

.........................................

= 12 111

......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... Tallet sju finner vi igjen i mange sammenhenger – sjuende far i huset, sjumilsstøvler, sju underverker, osv. 13 er et ulykkestall. Mange tror at det ikke bør sitte 13 til bords, og at fredag den 13. er en ulykkesdag.

Tall og algebra

.........................................

Tallet tre finner vi i en del eventyr.

.........................................

Finn ut mer om tall og mystikk.

.........................................

Vi dividerer 1 og 2 med 7: 1 = 0,142857 . . . 7

2 = 0,285714 . . . 7

......................................... Divider flere tall med 7, og finn ut hvordan svaret endrer seg. 8

Herman påstår at elleve tusen, elleve hundre og elleve er det samme som 11 111. Har Herman rett?

Tall og algebra 39

.........................................

Tall og algebra

......................................... Oppsummering Tall på standardform og på utvidet form Vi kan skrive naturlige tall på standardform.

.........................................

250 000 =

2,5 105

0,0025

Vanlig form

Standardform

Vanlig form

= 2; 5 10--3 Standardform

Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på utvidet form.

.........................................

24 537 = 2 10 000 + 4 1000 + 5 100 + 3 10 + 7 1 = 2 104 + 4 103 + 5 102 + 3 101 + 7 100

.........................................

385,39 = 3 100 + 8 10 + 5 1 + 3 0,1 + 9 0,01 = 3 102 + 8 101 + 5 100 + 3 10--1 + 9 10--2

.........................................

Totallssystemet

.........................................

Tallet 1101 i totallssystemet er

I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.).

1101 = 1 23 + 1 22 + 0 2 + 1 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 i titallssystemet.

Parenteser

.........................................

Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, skifter vi fortegn på hvert ledd inne i parentesen.

.........................................

Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, skifter vi ikke fortegn.

5x -- ð2x -- 3Þ = 5x -- 2x + 3 = 3x + 3 5x + ð2x -- 3Þ = 5x + 2x -- 3 = 7x -- 3

Multiplikasjon av tall med parentesuttrykk Hvis det står et tall eller et variabeluttrykk foran en parentes, må vi multiplisere tallet eller variabeluttrykket med hvert ledd inne i parentesen før vi løser den opp.

5x -- 2ð2x -- 3Þ = 5x -- ð4x -- 6Þ = 5x -- 4x + 6 = x + 6

Tall og algebra 40

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... Vi kan multiplisere to parentesuttrykk med hverandre. Vi multipliserer hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + 2Þ ð2a -- 3Þ 2

= 2a -- 3a + 4a -- 6

Tall og algebra

Multiplikasjon av to parentesuttrykk

.........................................

= 2a2 + a -- 6

......................................... Kvadratsetningene Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Tredje kvadratsetning:

ða + bÞ2 = a2 + 2ab + b2 ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2 ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2

.........................................

Faktorisering

.........................................

Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av primtallsfaktorer. 15x 2 y = 3 5 x x y

.........................................

Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ

......................................... Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk. Fellesnevner er 12x.

Fellesnevner er 6(a + 1).

3 5 2 + -4x 6x 3x

a+1 2a + 2 + 2a + 2 3a + 3

3 3 5 2 2 4 + -4x 3 6x 2 3x 4

9 10 8 = + -12x 12x 12x =

11 12x

.........................................

a+1 2a + 2 + 2ða + 1Þ 3ða + 1Þ

.........................................

ða + 1Þ 3 ð2a + 2Þ 2 + = 2ða + 1Þ 3 3ða + 1Þ 2 =

3a + 3 + 4a + 4 6ða + 1Þ

7a + 7 7ða + 1Þ 7 = = 6ða + 1Þ 6ða + 1Þ 6

Tall og algebra 41

Kapittelinnledning Hvert kapittel starter med en introduksjon som består av en illustrasjon, en liten tekst og en oversikt over hva som er målet med kapitlet. Introduksjonen kan danne utgangspunkt for en samtale og bidrar til å bevisstgjøre elevene om hva som er hovedintensjonen med kapitlet. Målene er brutt ned og blir tydeliggjort gjennom Prøv deg selv-oppgavene på side 95. Elevene kan også teste seg selv via Digital Prøv deg selv (kapittelkartlegger), som fins på Faktors elevnettsider. Sist i kapitlet er det Noe å lure påoppgaver og en oppsummering.

Elevside (åpen): • Førtest (kartlegging av forkunnskaper) • Øvingsoppgaver i 3 kategorier • Digital versjon av Prøv deg selv (egenvurdering) • Videogjennomgang av kapittel 2 med oppgaver (Omvendt undervisning og oppgaver til underveisvurdering) • Manualer og tidligere terminprøver for nedlastning

Digitale ressurser til kapitlet (faktor.cdu.no) Lærerside (passord): • Digital versjon av grunnboka (Tavlebok) med noteringsmuligheter • Kapittelprøve 2 i to deler som på tentamen/ eksamen (90 min.) • Komplette løsningsforslag til alle oppgavene i grunnboka og oppgaveboka • Målark til Prøv deg selv • 52 nøtter med løsningsforslag • Kopieringsoriginaler Her finner du terminprøver som publiseres to ganger i året, årsplaner, vurderingsskjemaer og øvingsoppgaver for digitale verktøy. Du finner også Faktorama der øvingsoppgaver er satt inn i en spillmodell, og elevens svar påvirker framdriften i spillet. Digital hel- og halvårskartlegging og digitale prøver til underveisvurdering er tilgjengelige i VOKAL.

Geometri og beregninger

Hvordan klarte romerne å beregne halvsirklene?

Hm, hypotenusen må være dobbelt så lang som den korteste kateten!

Disse er formlike!

Kopieringsoriginaler

Notater

K K K K

2.1 2.2 2.3 2.4

.........................................

K K K K K K K

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Hvilken skal ut? Pytagoras/talltripler Stafett: Pytagoras og sirkel Hjørnerebus: Formlikhet Hvilken skal ut? Geometriske figurer 10 rette: Geometri og beregninger Hjørnerebus: Speiling Det gylne snitt 1 Det gylne snitt 2 Det gylne snitt 3 Puslespill: Pantomimo Sant–usant: Geometri

Geometri og

.........................................

beregninger

.........................................

Geometri og beregninger benyttes i mange yrker. Om du er matematiker, arkitekt, snekker, murer eller astronom, må du kjenne litt til de ulike områdene innenfor geometrien og kunne gjøre ulike beregninger.

.........................................

Mål

.........................................

I dette kapitlet skal du få lære om . . . . . .

Pytagoras-setningen egenskapene ved spesielle trekanter konstruksjon av trekanter og firkanter perspektivtegning med ett og to forsvinningspunkter formlikhet og kongruens geometri i teknologi, kunst og arkitektur

......................................... Geometri brukes jo overalt!

......................................... ......................................... .........................................

Geometri og beregninger

Her er ti eksempler på pytagoreiske tripler:

Begreper

Bakgrunnsstoff

Pytagoras-setningen er gjennomgått i Faktor 9. Her tar vi innledningsvis bare med et lite avsnitt som repetisjon. Målet må være at de aller fleste elevene behersker denne setningen, som er så sentral i matematikken.

En har lett for å bruke mange av de samme tallene i eksempler og oppgaver, slik som 3, 4, 5 6, 8, 10 9, 12, 15 1,5, 2,0, 2,5, osv. Det kan være lurt å se litt på andre pytagoreiske tripler også. Legg merke til at vi i eksemplene konsekvent setter opp Pytagoras-setningen på denne måten: 2

katet + katet = hypotenus

Geometri og beregninger

Rettvinklet trekant, hypotenus, katet, Pytagorassetningen, kvadratrot, grunnflate, kvadrat

Pytagoras-setningen Hvordan kan vi finne den ukjente siden i en rettvinklet trekant?

Vi kan bruke Pytagorassetningen!

Da vil den ukjente av og til komme på venstre side og av til på høyre side av likhetstegnet. Noen vil sette opp likningen slik at den ukjente alltid kommer på venstre side. Det er et valg en må gjøre, ikke minst med utgangspunkt i hva elevene syns er greiest. Når kan vi bruke Pytagoras-setningen? En trekant der en av vinklene er 90°, kaller vi en rettvinklet trekant. Den lengste siden ligger alltid lengst vekk fra den rette vinkelen. Den lengste siden kaller vi hypotenus, mens de to andre sidene kaller vi kateter. C katet

hypotenus

katet

Vi bruker Pytagoras-setningen til å regne ut lengden av en ukjent hypotenus eller katet i en rettvinklet trekant.

Geometri og beregninger 44

Aktivitet Følgende oppgave kan gis som en utfordring til noen av elevene: En likesidet trekant og et kvadrat har like stor omkrets. Siden i trekanten er 5 cm lengre enn sidene i kvadratet. Hvor lange er sidene i trekanten? Løsning: 4ðx -- 5Þ = 3x

En annen utfordring for noen elever kan være: Hva blir arealet av en trekant der alle sidene er 1? Løsning: h2 = 12 -- 0,52 h2 = 0,75 h 0,866 A=

1 0,866 = 0,433 2

4x -- 20 = 3x Arealet er 0,433 cm2 :

x = 20 Sidene i trekanten er 20 cm.

Notater ......................................... Vi finner hypotenusen eller den ukjente kateten i en rettvinklet trekant ved å bruke formelen: katet2 + katet2 = hypotenus2 Eksempel 2:1

Regn ut hypotenusen.

Geometri og beregninger

Regel

......................................... .........................................

......................................... x cm

6 cm

.........................................

8 cm

.........................................

Løsning katet2 + katet2 = hypotenus2

.........................................

62 + 82 = x 2 36 + 64 = x 2 100 = x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 100 = x 2

.........................................

Vi finner kvadratroten på begge sider.

10 = x x = 10

.........................................

Hypotenusen er 10 cm.

Geometri og beregninger 45

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Eksempel 2:2

Regn ut den ukjente kateten. C

2,5 cm

1,5 cm

x cm

......................................... Løsning

katet2 + katet2 = hypotenus2

.........................................

x 2 + 1,52 = 2,52 x 2 + 2,25 = 6,25 x 2 + 2,25 -- 2,25 = 6,25 -- 2,25 x 2 = 4,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi x 2 = 4,0

.........................................

Vi trekker fra 2,25 på begge sider.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x=2 Den ukjente kateten er 2,0 cm.

.........................................

Oppgaver

.........................................

2.1

Regn ut hypotenusen. a) C

......................................... 9 cm

Geometri og beregninger 46

12 cm

Aktivitet

Notater

Følgende oppgave kan gis som en utfordring til noen av elevene: En vinkel i en trekant er 20°. Den andre vinkelen er tre ganger større enn den tredje vinkelen. Hvor store er vinklene i trekanten?

......................................... .........................................

Løsning: 3x + x + 20° = 180°

.........................................

4x = 160°

.........................................

x = 40° ......................................... Vinklene er 20°, 40° og 120°: ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... C

7 cm

24 cm

Geometri og beregninger

.........................................

2,8 cm

2.2

.........................................

4,5 cm

.........................................

Regn ut den ukjente kateten. a) b)

4 cm

.........................................

4,1 cm 6 cm

17 cm

6,1 cm

15 cm A

......................................... A

2.3

.........................................

Regn ut den ukjente siden i de rettvinklete trekantene når a) hypotenusen er 15 m og den ene kateten er 5 m b) den ene kateten er 12 dm og den andre kateten er 9,5 dm c) hypotenusen er 2,5 km og den ene kateten er 2,0 km

Geometri og beregninger 47

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to eller i grupper på tre eller fire, slik at de kan diskutere eller prøve seg fram til en løsning. Det er viktig at de prøver å begrunne svaret sitt. La alle få komme med sin begrunnelse før du eventuelt oppsummerer.

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.101–2.105 2.201–2.206 2.301–2.305 Alternativ oppgavebok 2.1–2.4

Her kan du tipse elevene om at de også kan benytte seg av en tegning. Løsning: Ja, men trekanten må også være rettvinklet eller likesidet. Teori om dette blir tatt opp på de neste sidene.

Notater

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

.........................................

? 2.4

Kan vi bruke Pytagoras-setningen til å regne ut sidene i en likebeint trekant? Begrunn svaret. Regn ut arealet av de ulike fargete feltene i flaggene. a) b) 6m

4,5 m 1m

1,5 m

.........................................

1,5 m 1m 2m

1,5 m Kuwait

......................................... 2.5

.........................................

I glasspyramiden til museet Louvre i Paris har grunnflaten form som et kvadrat. Siden i kvadratet er 35 m. Høyden i pyramiden er 20,6 m. Hvor stort areal har hver av sideflatene i pyramiden?

Glasspyramiden foran Louvre i Paris

......................................... ......................................... .........................................

Geometri og beregninger 48

Tsjekkia

Begreper

På snekkerverkstedet brukes en gjærsag til å skråskjære til 45°:

Rettvinklet, likebeint trekant, vinkel, Pytagorassetningen, katet, hypotenus, dobbelt, kvadratrot, forhold, ledd

Vi kjenner igjen en rettvinklet, likebeint trekant i hjørnet på for eksempel en bilderamme: 45° 45°

Bakgrunnsstoff Det er viktig å knytte dette stoffet til praktiske eksempler. En vinkel på 45° er kjent i praktiske sammenhenger ved skråskjæring av gulvlister, taklister, lister til bilderammer osv. Vi tar med eksemplet fordi det er en ny problemstilling for elevene å kunne beregne sidene når det bare er én side som er kjent.

Hm, to av sidene er like lange!

Geometri og beregninger

Spesielle trekanter Trekanten er halvparten så stor som en likesidet trekant!

Hva er spesielt med disse to trekantene?

Rettvinklet, likebeint trekant I en rettvinklet, likebeint trekant er én vinkel 90° og to vinkler 45°. I en slik trekant er katetene like lange. Vi kan finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen selv om vi kjenner lengden til bare én av sidene. De to sidene x er like lange.

C 45°

45° A

Geometri og beregninger 49

Bakgrunnsstoff Det er lurt å terpe ekstra på forskjellen mellom de to tradisjonelle «spesialtrekantene». At en trekant med vinkler på 30°, 60° og 90° er en halv likesidet trekant, er greit å forstå. Men det er ofte slik at når en har fokusert på dette i en tid, så tror mange elever at alle rettvinklete trekanter er slik! Derfor må vi hele tiden veksle litt mellom ulike typer rettvinklete trekanter.

Notater

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Eksempel 2:3

Regn ut de ukjente katetene.

45°

Løsning AB = AC Vi kaller sidene AB og AC for x.

4,8 cm

katet2 + katet2 = hypotenus2

45°

x 2 + x 2 = 4,82

2x 2 = 23,04

.........................................

2x 2 23,04 = 2 2

Vi dividerer alle ledd med 2.

x = 11,52 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 11; 52

.........................................

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x = 3,4 AB = AC = 3,4 cm:

......................................... Trekanter med vinkler på 30°, 60° og 90° I en likesidet trekant er alle sider like lange og alle vinkler like store (60°). Hvis vi deler en likesidet trekant i to like store trekanter, får vi to like rettvinklete trekanter der vinklene er 30°, 60° og 90°.

......................................... .........................................

60°

......................................... 60° A

Hvor lang er den korteste kateten i forhold til hypotenusen?

30°

60°

Geometri og beregninger 50

30°

60° B

60° D D

Vi ser at hypotenusen er dobbelt så lang som den korteste kateten i de to trekantene til høyre.

AB = AD + DB

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... I en rettvinklet trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. Vi kan finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen selv om vi kjenner lengden til bare én av sidene. Eksempel 2:4

Geometri og beregninger

Regel

......................................... .........................................

Regn ut hypotenusen og den lengste kateten.

.........................................

Løsning BC = 2 AB BC = 2 4,2 cm

30°

.........................................

BC = 8,4 cm

Vi kaller AC for x.

.........................................

60°

katet2 + katet2 = hypotenus2 A

x 2 + 4,22 = 8,42

4,2 cm

x 2 + 17,64 = 70,56 x 2 + 17,64 -- 17,64 = 70,56 -- 17,64 x 2 = 52,92 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 52,92

.........................................

Vi trekker fra 17,64 på begge sider.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x 7,3

.........................................

Den lengste kateten AC er 7,3 cm, og hypotenusen BC er 8,4 cm.

Jeg flytter over og bytter fortegn.

.........................................

Geometri og beregninger 51

Pass på at eksempelet ikke blir løst slik: x 2 + 5,22 = 2x 2 Repeter forskjellen på:

Notater ......................................... .........................................

2x = 2 x x 2

.........................................

og ð2xÞ2 = 2 2 x x = 4x 2 Det kan være lurt å gjennomgå dette steg for steg. Den korteste kateten er x. Hypotenusen er 2x (dobbelt så lang). x 2 + 5,22 = ð2xÞ2

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

x x + 5,2 5,2 = 2x 2x

Geometri og beregninger

osv.

Eksempel 2:5

Regn ut hypotenusen og den korteste kateten. 30°

Løsning Vi kaller AB for x. Da blir BC = 2x.

5,2 cm

katet2 + katet2 = hypotenus2 60°

x 2 + 5,22 = ð2xÞ2

x 2 + 27,04 = 4x 2

ð2xÞ2 = ð2xÞ ð2xÞ = 4x 2

x 2 -- x 2 + 27,04 = 4x 2 -- x 2

Vi trekker fra x 2 på begge sider.

27,04 = 3x 2 27,04 3x 2 = 3 3 9,0 = x 2 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 9,0 = x 2

Vi dividerer begge leddene med 3.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x = 3; 0 BC = 2 3,0 cm = 6,0 cm Den korteste kateten AB er 3,0 cm, og hypotenusen BC er 6,0 cm.

Oppgaver 2.6

Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete, likebeinte trekantene. a) b) C

45° 45°

9,0 cm 45° 45° A

Geometri og beregninger 52

6,0 cm

Kopieringsoriginal K 2.1

Hvilken skal ut? Pytagoras/talltripler

Antall deltakere: Grupper på to, tre eller fire La elevene snakke sammen og forklare for hverandre hvordan de tenker. Her er det viktig at elevene selv begrunner hvorfor de mener at akkurat den talltrippelen skal ut. Svaret er ikke det viktigste i denne oppgaven, men det at elevene bruker språket og begrunner sine valg.

I) a) b) c) d)

De fire opplysningene er: 3,4,5 ! trippel, lavest sum 6,8,10 ! trippel, partall 1,4,9 ! Ikke trippel 5,12,13 ! trippel, størst sum

II) De fire opplysningene er: a) 7,7,7 ! ikke trippel, kan skrives som potens, oddetall b) 2,3,4 ! ikke trippel, stigende rekkefølge c) 4,5,5 ! ikke trippel d) 6,8,10 ! trippel, partall

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.106–2.109 2.207–2.215 2.306–2.311 Alternativ oppgavebok Ingen oppgaver til emnet Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete trekantene. a) b)

Geometri og beregninger

2.7

30°

10 cm 60° A

3,5 cm

60° A

2.8

Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete trekantene. a) b) C

30°

30° 4,5 cm 6,0 cm

60° A

2.9

a) Lag en konstruksjonsoppgave der du bruker minst tre av størrelsene under. 3,5 cm

45°

5,0 cm

60°

7,0 cm

90°

b) La en medelev løse oppgaven.

Geometri og beregninger 53

Begreper Mangekanter, normal, nedfelle, konstruere, halvere, trekanter, hjelpefigur, vinkelbein, Pytagoras-setningen, areal, omkrets, sirkel, sentrum, diameter, radius, korde, tangent, midtnormal, likesidet

Bakgrunnsstoff Nå bør det være lagt et grunnlag for å utføre mer kompliserte konstruksjoner av både trekanter og firkanter. I tillegg skal elevene kunne besvare noen større oppgaver, både ved konstruksjoner og ved beregninger ved hjelp av Pytagorassetningen. Vi må for all del presisere at det er viktig med en hjelpefigur, og at det ofte vil bli krevd forklaring til konstruksjonen. Det å uttrykke seg skriftlig er en av de grunnleggende ferdighetene.

Notater

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Konstruksjon og beregning Regn ut omkretsen og arealet av firkanten! D

......................................... ......................................... .........................................

Hva må vi kunne for å beregne omkretsen eller arealet av en figur vi har konstruert?

.........................................

Mangekanter Når vi konstruerer mangekanter, kombinerer vi ofte flere vinkelkonstruksjoner for å oppnå ønsket vinkelstørrelse.

......................................... Normal i et punkt (90°)

.........................................

Nedfelle en normal (90°)

Geometri og beregninger 54

Når vi skal beregne sider, omkrets eller areal av ulike mangekanter, får vi bruk for kunnskap om – ulike mangekanter – Pytagoras-setningen – trekanter med vinkler på 45°, 45° og 90° – trekanter med vinkler på 30°, 60° og 90°

Geometri og beregninger

Konstruere 60°

......................................... ......................................... .........................................

Eksempel 2:6

En 4ABC har disse målene: AB = 5,5 cm, a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Hvor stor er B? e) Regn ut AC. Løsning a)

A = 45° og

.........................................

C = 90°

.........................................

45° A

Vi anbefaler at du bruker god tid på å gå gjennom eksemplene på side 55–57 før elevene setter i gang med oppgavene. Minn elevene på viktigheten av å tegne hjelpefigur.

5,5 cm

Geometri og beregninger 55

Aktivitet En Åpen oppgave for å repetere areal av en

Notater .........................................

trekant kan være: ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Geometri og beregninger

Tegn en trekant med et areal på 10 cm2. Bruk elevenes svar som utgangspunkt for samtale om ulike løsninger og eventuelle feilkilder. Svarene kan ofte deles inn i tre grupper: • Vanlig svar: Rettvinklede trekanter hvor katetene er for eksempel 5 cm og 4 cm. • Mer avansert svar: Trekanter som ikke er rettvinklete med for eksempel grunnlinje på 5 cm og høyde på 4 cm. • «Lurt» svar: Trekanter med grunnlinje på 2 cm og en høyde på x cm, vil ha et areal på x cm2 .

c) 1. 2. 3. 4.

Avsatte AB = 5,5 cm. Konstruerte 45° i A. Nedfelte normalen fra B til As venstre vinkelbein. Fant C der normalen skar As venstre vinkelbein, C = 90°.

d) B = 180° -- 90° -- 45° = 45° e) AC = BC. Vi kaller sidene AC og BC for x. katet2 + katet2 = hypotenus2 x 2 + x 2 = 5,52 2x 2 = 30,25 2x 2 30,25 = 2 2 x 2 = 15,13 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 15,13

Vi dividerer begge leddene med 2.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x 3,89 AC = BC = 3,9 cm

Eksempel 2:7

En firkant ABCD har disse målene: AB = 3,0 cm, A = 90°, ABD = 60°, BDC =

DBC = 45°

a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Regn ut de ukjente sidene AD, BD, BC og CD. d) Regn ut arealet av firkanten ABCD. Løsning a) D 45°

90°

Geometri og beregninger 56

45° 60° 3,0 cm

Geometri og beregninger

......................................... ......................................... .........................................

.........................................

c) I 4ABD er vinklene 30°, 60° og 90°. BD = 2 AB BD = 2 3,0 cm BD = 6,0 cm

.........................................

AB2 + AD2 = BD2 Vi kaller AD for x.

.........................................

3,02 + x 2 = 6,02

.........................................

9,0 + x 2 = 36,0 9,0 -- 9,0 + x 2 = 36,0 -- 9,0 x 2 = 27,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 27,0

Vi trekker fra 9,0 på begge sider.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

.........................................

x 5,2 AD = 5,2 cm

Geometri og beregninger 57

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

.........................................

I 4BCD er vinklene 45°, 45° og 90°. BC = CD. Kaller BC og CD for x.

x 2 + x 2 = 6,02 2x 2 = 36,0 2x 2 36,0 = 2 2 x 2 = 18,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 18,0

Vi dividerer begge leddene med 2.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x 4,2 BC og CD er 4,2 cm.

......................................... d) Arealet av 4ABD = Arealet av 4BCD =

.........................................

AB AD 3,0 cm 5; 2 cm = = 7; 8 cm2 2 2 BC CD 4; 2 cm 4; 2 cm = = 8; 82 cm2 2 2

Arealet av firkant ABCD = 7,8 cm2 + 8,82 cm2 = 16,62 cm2 Arealet av firkant ABCD er 16,6 cm2 :

.........................................

Oppgaver 2.10 En 4ABC har disse målene: AB = 7,5 cm, a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Hvor lang er AC? e) Regn ut lengden av BC.

......................................... .........................................

A = 90° og

2.11 En 4ABC har disse målene: AB = 5,0 cm, A = 90° og a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Hvor lang er BC? e) Regn ut lengden av AC.

Geometri og beregninger 58

B = 45°

B = 60°

2.13 En firkant ABCD har disse målene: AB = 8,0 cm, B = 60°, BC = 4,0 cm, a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Skriv forklaring.

C = 30° og BC = 4,5 cm

CAD = 45° og AD = 5,0 cm

Geometri og beregninger

2.12 En 4ABC har disse målene: B = 90°, a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Regn ut lengden av AC og AB.

......................................... .........................................

2.14 a) Konstruer en firkant ABCD der A = 90°, AD = 5,0 cm, BD = 9,5 cm, CBD = 60° og avstanden fra C til BD er 5,5 cm. b) Regn ut AB. 2.15 En firkant ABCD har disse målene: AB = 7,0 cm, BAD = 30°, DBC = 90° og BD = BC a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Skriv forklaring. d) Regn ut omkretsen av firkant ABCD. e) Regn ut arealet av firkant ABCD.

.........................................

ABD = 60°,

.........................................

Leonardo da Vinci (1452–1519) betegnes som et universalgeni. Han arbeidet blant annet med konstruksjoner knyttet til vitenskapelige målinger og arkitektur.

......................................... ......................................... .........................................

Geometri og beregninger 59

Bakgrunnsstoff

Aktivitet

Repeter viktige begreper i forbindelse med sirkelen. Begrepet sekant (forlenget korde) kan gjerne også tas med i gjennomgåelsen. Pass på at elevene forlenger radien slik at de kan konstruere en normal som blir en tangent til sirkelen.

Spørsmål til undring kan være: Jorden dreier rundt sin egen akse på 24 timer. Hvor lang tid bruker jorda på å dreie 10°?

Snakk også med elevene om hva en sirkelsektor er. Litt om historien til tallet

• Første nedtegnelse stammer fra Rhindpapyrusen fra ca. 1700 før vanlig tidsregning.

• • • •

regner ut at må ligge mellom 3,14084 og 3,14285 ved hjelp av en 96-kant. William Jones innfører symbolet i 1706. I 1949 regner den første datamaskinen, Eniac, ut med 2037 desimaler. I 1964 regner en IBM-maskin ut med 10 000 desimaler. I 2013 blir kalkulert med over 12,1 billioner (1012) desimaler.

Hvor mange kjente desimaler fins i dag?

Geometri og beregninger

• Arkimedes (287–212 før vanlig tidsregning)

Sirkelen Sirkelen består av en mengde punkter som ligger like langt fra sirkelens sentrum.

Vi bruker linjestykkene diameter og radius når vi skal beregne omkrets og areal av en sirkel. Linjestykkene fra ett punkt på sirkellinja til et annet, kaller vi en korde. Diameteren er den lengste korden vi kan tegne. En linje som berører (tangerer) sirkellinja i ett punkt, kaller vi en tangent. Tangenten står alltid vinkelrett på radien fra tangeringspunktet.

korde sentrum

radius

diameter

O = d = 2 r A = r 2 tangent

Geometri og beregninger 60

Her er en alternativ metode for å finne sentrum i en sirkel ved hjelp av konstruksjon:

Notater .........................................

Tegn to korder. Konstruer midtnormalen på hver av kordene. Midtnormalene vil skjære hverandre i sentrum av sirkelen.

Geometri og beregninger

Vi kan finne sentrum i en sirkel ved konstruksjon slik:

Midtnormalen til korden er diameteren i sirkelen!

1 Tegn en sirkel. 2 Tegn en korde. 3 Konstruer midtnormalen på korden. Forleng midtnormalen slik at den skjærer sirkellinja i to punkter. Den blir da en diameter. 4 Konstruer til slutt midtnormalen til diameteren. Skjæringspunktet mellom diameteren og denne normalen er sentrum i sirkelen.

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Oppgaver 2.16 Tegn en sirkel og finn sentrum ved hjelp av konstruksjon.

.........................................

2.17 Hva heter den lengste korden du kan tegne i en sirkel?

.........................................

2.18 Konstruer sirklene og regn ut omkrets og areal. a) b) c)

.........................................

r = 2 cm r = 3 cm

r = 7 cm

......................................... 2.19 a) Konstruer en likesidet 4ABC med sider lik 7 cm. b) Konstruer midtnormalene til sidene AB, BC og AC. Kall skjæringspunktene til midtnormalen for S. c) Konstruer en sirkel med sentrum i S, og la den gå gjennom trekantens hjørner.

Geometri og beregninger 61

Aktivitet Sirkelen Hele klassen, én og én eller i grupper Utstyr: A4-ark, farget papp (sort), passer, linjal, saks og lim. Lag et kvadrat av A4-arket. Klipp ut en sirkel med diameter på mellom 10 cm og 15 cm i sort papp. Del opp sirkelskiven i forskjellige biter, bruk passer og linjal. Klipp ut bitene, og lim dem opp på ulike måter på A4-arket.

Geometri og beregninger

.........................................

2.20 a) Konstruer en valgfri sirkel. b) Avsett korder som er like lange som radien, rundt på sirkelbuen. c) Hvor mange korder har du avsatt når du kommer tilbake til startpunktet? d) Hva slags figur har du lagd? 2.21 a) Tegn en sirkel med sentrum S. b) Tegn en stråle fra S som skjærer sirkelbuen. c) Konstruer en tangent til sirkelen i skjæringspunktet mellom sirkelbuen og strålen. 2.22 a) Konstruer en halvsirkel og kall diameteren for AB. Diameteren AB er grunnlinja i en trekant. b) Tegn tre ulike trekanter ABC med grunnlinje AB og slik at C ligger på sirkelbuen. c) Hvor stor er C i de tre trekantene? A

2.23 Lag et sekskantpuslespill. Du trenger: Passer, linjal, papp eller kartong, saks, blyant 1 Lag en sirkel med diameter 15 cm på kartong. Trekk et loddrett linjestykke gjennom sirkelens sentrum. Kall skjæringspunktene med sirkelbuen for A og D. 2 Sett passerspissen i A og slå en bue som skjærer sirkelbuen to steder. Åpningen i passeren skal være lik radius (7,5 cm). Kall skjæringspunktene for B og F. Gjør det samme i punkt D. Kall skjæringspunktene for C og E.

A rad ius

C D

Geometri og beregninger 62

Aktivitet En liten utfordring: Hva er forholdet mellom det fargete og det ikkefargete området på figuren?

Løsning: Setter r = 1 i de små sirklene. 2 2 -- 1 1 2 4 -- 2 1 = = 1 1 2 1 2 Forholdet er 1 : 1.

Kopieringsoriginal K 2.2

Stafett: Pytagoras og sirkel

A B

Geometri og beregninger

3 Trekk linjestykkene AB, BC, CD, DE og EF og FA. Trekk så linjestykkene fra B, C, E og F til sentrum.

4 Del linjestykkene AB, BC, CD, DE og EF på midten. Kall punktene for G, H, I, J, K og L. Trekk linjestykkene GI, GK, HL, HJ og IK. Sekskanten er nå fylt med likesidete trekanter.

K E

5 Klipp ut og fargelegg brikkene til puslespillet. Velg selv hvordan brikkene skal se ut.

Løsning: 1A) 12,2 m 2A) 8,9 cm 3A) 3,9 m 4A) 3,5 dm

1) Alle enerne kommer fram og får etappe (oppgave) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa. 3) Etter at de har funnet svaret, går elev 1 fram og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A.5) Oppgaven løses i gruppa.6) Elev 2 går fram og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv.

1B) 2B) 3B) 4B)

9,42 cm 50,24 cm2 4,00 m 10,0 cm

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.110–2.119 2.216–2.224 2.312–2.321

6 Legg brikkene i en konvolutt, bytt med hverandre og pusle puslespillene.

Lurer på hvor lang tid jeg bruker...

Alternativ oppgavebok 2.5–2.16

Geometri og beregninger 63

Begreper

Aktivitet

Formlik, samsvarende vinkler, parvis like store, forhold, konstant, samsvarende sider, kongruens

Firefargeproblemet Formen på land er eksempler på former som ikke er formlike eller kongruente.

Bakgrunnsstoff Bruk litt tid på de ulike begrepene, og minn elevene på at figurene bør orienteres likt, slik at samsvarende vinkler og sider blir enklere å se/finne.

Bruk en kopi av kart over Afrika eller Europa med land og grenser. La elevene finne det minste antall farger de trenger for å fargelegge kartet når to land som grenser til hverandre ikke skal ha samme farge.

Geometri og beregninger

Spørsmål til refleksjon med elevene: Hva beskriver disse utsagnene? La elevene formulere og diskutere, og ta oppsummering i plenum. • Trekantene er like store. • Trekantene er formlike. • Trekantene er identiske.

Formlikhet og kongruens En av figurene på tavla er formlik med denne!

Hva mener vi med formlikhet?

Formlikhet To figurer er formlike hvis de har samme form. De trenger ikke å ha samme størrelse. C

10,0 cm

6,0 cm 5,0 cm

8,0 cm

4,0 cm

Når vi måler vinklene i de to trekantene, finner vi at og C = F

3,0 cm E

Vi sier at samsvarende vinkler er like store, eller at vinklene er parvis like store.

Geometri og beregninger 64

Bakgrunnsstoff Vi angir alltid navnet på formlike trekanter slik at de har lik bokstavrekkefølge. Det vil si at når 4ABC 4DEF, så betyr det at A = D, B = E og C = F. Det betyr også at AB og DE, AC og DF og BC og EF er samsvarende sider.

Vi bruker regelen om at forholdet mellom samsvarende sider er konstant. Det er denne regelen som er gjennomført i eksemplet. Vi kunne like gjerne si at forholdet mellom to sider i den ene trekanten er det samme som forholdet mellom to tilsvarende sider i den andre trekanten. I eksemplet blir det: x 12 = 5 15 x 5 12 5 = 5 15 x=4

Notater ......................................... AB 8,0 cm = =2 DE 4,0 cm

BC 6,0 cm = =2 EF 3,0 cm

Vi sier at forholdet mellom to samsvarende sider er konstant. Det betyr at trekantene er formlike. Vi skriver:

AC 10,0 cm = =2 DF 5,0 cm

Tegnet ~ betyr formlik!

Geometri og beregninger

Når vi regner ut forholdet mellom to og to samsvarende sider i de to trekantene på forrige side, finner vi ut at forholdet er konstant.

4ABC 4DEF

......................................... ......................................... .........................................

Regel

I to formlike figurer er samsvarende vinkler like store, og forholdet mellom samsvarende sider er konstant. Eksempel 2:8

.........................................

4ABC 4DEF Regn ut DE.

......................................... 15 cm F 5 cm A

12 cm

x cm

......................................... E

Løsning Trekantene er formlike.

.........................................

DE DF = AB AC Vi kaller den ukjente siden DE for x. x 5 = 12 15 x 12 5 12 = 12 15 60 x= 15

......................................... Vi multipliserer begge ledd med 12.

x=4 DE er 4 cm.

Geometri og beregninger 65

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to. La elevene få prøve seg slik at de sammen kan se om de klarer å begrunne hvorfor trekantene er formlike. Løsning: Elevene må komme fram til at CD og AB er parallelle. Utgangspunktet er jo at vinklene må være parvis like store. Begrep som toppvinkel og samsvarende vinkel bør nevnes i en oppsummering.

......................................... ......................................... .........................................

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Oppgaver 2.24 Hvilke figurer er formlike?

.........................................

......................................... .........................................

Hvordan vil du gå fram for å forklare formlikhet mellom 4DSC og 4ASB?

A C S

Fra veggen i trappebrønnen Chand Baori i India. Bygd mellom år 800 og år 900.

......................................... .........................................

Geometri og beregninger 66

2.25 Trekantene er formlike. Regn ut de ukjente sidene x. a) C F 6 cm

8 cm

6 cm

......................................... ......................................... .........................................

b) C F 5 cm

10 cm

.........................................

8 cm

......................................... c) 6 cm

.........................................

C 4 cm

8 cm A

.........................................

2.26 4ABC og 4DEF er formlike. Regn ut lengden av sidene DF og EF.

.........................................

C F

5,6 cm

4,4 cm

8,0 cm

6,0 cm

Geometri og beregninger 67

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

.........................................

......................................... .........................................

2.27 Å finne høyden på ulike ting ved hjelp av skyggen var kjent allerede i antikken. Det sies at filosofen Thales, som levde omkring 600 før vanlig tidsregning, bestemte høyden på Keopspyramiden ved hjelp av sola og pyramidens skygge. Thales brukte kunnskap om formlikhet til å beregne høyden til pyramiden. Modellen nedenfor viser hvordan han ved hjelp av en stokk beregnet høyden til pyramiden.

......................................... Portrett av Thales fra Milet av Ambrose Tardieu, ca. 1810

......................................... ......................................... 2m

.........................................

274 m

Hvor høy er Keopspyramiden?

Geometri og beregninger 68

Bakgrunnsstoff Avsnittet om kongruens innebærer at elevene skal bli kjent med begrepet og kunne kjenne igjen figurer som er kongruente. Ellers er dette avsnittet mer en forberedelse til Kongruensavbildninger (side 71). Symbolet for kongruens (ﬃ) er satt sammen av = (er lik) og (er formlik med). Altså er to figurer kongruente når de både er like store og har samme form.

Notater ......................................... To figurer er kongruente hvis de har samme form og størrelse. Da er vinklene parvis like store, sidene parvis like lange, og den ene figuren vil nøyaktig dekke den andre. C

D 90°

Geometri og beregninger

Kongruens

......................................... .........................................

90° B

.........................................

Tegnet ﬃ betyr «er kongruent med»!

Vi skriver: 4ABC ﬃ 4DEF

.........................................

Vi leser: 4ABC er kongruent med 4DEF. Regel

.........................................

To figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig dekker den andre. Det vil si at figurene er formlike og like store. Vi bruker tegnet ﬃ for kongruens.

......................................... Oppgaver 2.28 Hvilke figurer er kongruente? A

.........................................

......................................... B

Geometri og beregninger 69

Kopieringsoriginal K 2.3

Hjørnerebus: Formlikhet

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.120–2.124 2.225–2.231 2.322–2.326 Alternativ oppgavebok 2.17

De fire opplysningene er: – 4ABC 4DEF – AB = 12 cm og er samsvarende med DE – B = E = 90° – AC = 15 cm, og DF = 5 cm

Aktivitet Oppgave 2.29 egner seg godt til å løses muntlig i mindre grupper.

Geometri og beregninger

Løsning: BC = 9 cm DE = 4 cm EF = 3 cm

2.29 Finn eksempler på ting som er kongruente.

Hva med disse?

2.30 Ta de nødvendige målene og tegn kongruente figurer. a)

2.31 a) Konstruer 4ABC der AB = 5 cm, B = 45° og BC = 7 cm: b) Konstruer 4DEF der DE = 7 cm, D = 45° og DF = 5 cm. c) Er de to trekantene kongruente?

Geometri og beregninger 70

Bakgrunnsstoff

Begreper

I kompetansemålene etter 7. årstrinn står det at elevene skal kunne beskrive og gjennomføre speiling, rotasjon og parallellforskyvning.

Kongruensavbildning, symmetri, speilingssymmetri, symmetriakse, rotasjon, parallellforskyvning

I kompetansemålene for 10. årstrinn står det at elevene skal utføre, beskrive og grunngi geometriske konstruksjoner med passer og linjal og dynamisk geometriprogram. De skal også bruke koordinater til å avbilde figurer og utforske egenskaper ved geometriske former, med og uten digitale verktøy. Vi ser at elevene ved slutten av 10.årstrinn ikke bare skal beskrive og gjennomføre, men også begrunne. Vi starter med speilingssymmetri. I den første delen går oppgavene ut på å registrere symmetrier og finne antall symmetriakser.

Geometri og beregninger

Kongruensavbildninger Snøkrystallen er symmetrisk!

Blomster blir ofte artsbestemt ut i fra blomstens og plantens symmetriakser.

Hva mener vi med symmetri?

Speilingssymmetri En figur er speilingssymmetrisk hvis den kan deles i to kongruente figurer som dekker hverandre når vi bretter dem om symmetriaksen. En og samme figur kan ha flere symmetriakser. Vi arbeider med slike figurer i matematikkfaget, og vi finner dem igjen i naturen, i kunsten og i arkitekturen.

Antall symmetriakser:

Noen figurer har ingen symmetriakser, mens for eksempel en sirkel har et uendelig antall symmetriakser.

Geometri og beregninger 71

Aktivitet Speiling og symmetri • En aktivitet her kan være å bruke et speil til å se kongruensavbildninger. • Bruk nettet og finn tegninger og skrifter av Leonardo da Vinci. Han skrev alt i speilskrift. • La elevene øve på å skrive det samme ordet med høyre og venstre hånd samtidig. Med litt øvelse vil det ene ordet bli nesten et speilbilde av det andre.

• Brett et papirark på midten. Legg litt maling

I) De fire opplysningene er: a) Sirkel ! Ikke firkant, uendelig mange symmetrilinjer b) Kvadrat ! Regulær, 4 symmetrilinjer c) Rektangel ! 2 symmetrilinjer d) Trapes ! Kan ha 0, 1 eller 2 symmetrilinjer II) De fire opplysningene er: a) Likebeint trekant ! 1 symmetrilinje eller 3 symmetrilinjer b) Likesidet trekant ! 3 symmetrilinjer c) Rettvinklet trekant ! Kan ha 1 symmetrilinje d) Rettvinklet likebeint trekant ! 1 symmetrilinje

i bretten, og brett arket sammen (se oppgave 2.35).

Kopieringsoriginal Hvilken skal ut? Geometriske figurer

Antall deltakere: Grupper på to, tre eller fire La elevene snakke sammen og forklare for hverandre hvordan de tenker. Her er det viktig at elevene selv begrunner hvorfor de mener at akkurat den figuren skal ut. Svaret er ikke det viktigste i denne oppgaven, men det at elevene bruker språket og begrunner sine valg.

Geometri og beregninger

K 2.4

Oppgaver 2.32 Hvor mange symmetriakser har figurene? a) b) c)

2.33 Tegn av figurene og merk av symmetriaksene. a) b) c)

2.34 Se på bildene og bestem antall symmetriakser. c) a)

Blåveis

Oransjegullvinge

Geometri og beregninger 72

Gjøkesyre

Tepperot

Bakgrunnsstoff

Notater

Her innfører vi begrepet kongruensavbildning. Begrepet er ikke brukt i læreplanens kompetansemål, men vi tar det med for å fokusere på at vi gjennom speiling som en prosess får fram to eller flere kongruente figurer. Det er vanlig å kalle speilbildet av 4ABC for 4A´B´C´. Men det er ikke noe i veien for å skrive 4A1 B1 C1 .

Geometri og beregninger

2.35 Brett et papir, og klipp ut et hjerte, et juletre, en snøkrystall eller en valgfri figur. Hvor finner du symmetriaksen?

......................................... ......................................... .........................................

Speiling ved hjelp av et koordinatsystem Når vi speiler en figur om en linje, får vi to kongruente figurer. Vi sier at vi har foretatt en kongruensavbildning fordi den opprinnelige figuren og speilbildet av den, er kongruente figurer.

.........................................

Vi kan speile figurer i et koordinatsystem. Da speiler vi figuren om førsteaksen eller andreaksen. Disse aksene fungerer som symmetriakser.

.........................................

Andreaksen

A'B'C' leser vi A-merket, B-merket og C-merket.

.........................................

C’

B’

......................................... A’

.........................................

Førsteaksen

Hvis vi speiler en 4ABC, kaller vi den nye trekanten for 4A0 B0 C 0 .

Geometri og beregninger 73

Notater ......................................... .........................................

I forbindelse med eksemplet bør elevene utfordres til å se sammenhengene mellom koordinatene til de to trekantene. Ved speiling om andreaksen blir andrekoordinatene de samme, mens førstekoordinatene har lik tallverdi, men med motsatt fortegn. Hvordan blir det når vi speiler om førsteaksen?

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Eksempel 2:9

Speil 4ABC om andreaksen. Andreaksen

y C

Førsteaksen

......................................... ......................................... Løsning

.........................................

Andreaksen

C’

A’

......................................... B’

Førsteaksen

......................................... ......................................... Hjørnet A(1, 1) blir A'(–1, 1) Hjørnet B(5, 1) blir B'(–5, 1) Hjørnet C(1, 4) blir C'(–1, 4) Trekker linjestykkene A'B', B'C' og A'C'. 4A0 B0 C 0 ﬃ 4ABC

Geometri og beregninger 74

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... 2.36 Tegn av figuren og koordinatsystemet, og speil figuren om fĂ¸rsteaksen. a) y

Geometri og beregninger

Oppgaver

......................................... ......................................... .........................................

......................................... ......................................... x

......................................... ......................................... 2.37 Tegn av figuren og koordinatsystemet. Speil figuren om a) andreaksen b) fĂ¸rsteaksen

......................................... x

Geometri og beregninger 75

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... 2.38 Tegn av figuren og koordinatsystemet. Speil figuren om a) andreaksen b) fĂ¸rsteaksen y

......................................... ......................................... .........................................

2.39 Tegn av figuren og koordinatsystemet. a) Speil figuren om andreaksen. b) Speil den nye figuren om fĂ¸rsteaksen. c) Trekk linjer fra hjĂ¸rnene av figuren og gjennom origo. Hva oppdager du?

.........................................

......................................... .........................................

Geometri og beregninger 76

Bakgrunnsstoff

Notater

Vi tolker læreplanen slik at elevene også skal utføre avbildninger ved hjelp av passer og linjal. Dette kan falle vanskelig for enkelte elever, så i forkant må en nok repetere grundig konstruksjon av en normal fra et punkt på en linje.

Når vi skal speile en figur om en linje, kan vi bruke passer og linjal. Vi nedfeller normaler fra punkter på figuren til linja. Vi avsetter så avstanden fra punktene til linja på den andre siden av linja, slik at vi får nye punkter. Speilbildet av et punkt A kaller vi A'. Eksempel 2:10

a) Speil 4ABC om linja l.

Geometri og beregninger

Speiling ved hjelp av passer og linjal

......................................... .........................................

b) Skriv forklaring.

.........................................

A B

......................................... Løsning a)

.........................................

B B’

.........................................

C’

......................................... A’

b) 1. Nedfelte normaler fra A, B og C til linja l. 2. Avsatte avstanden fra A til l på andre siden av l. 3. Gjorde tilsvarende med B og C. 4. Trakk linjestykkene A'B', B'C' og A'C'. 5. Fikk 4A'B'C'

.........................................

4A0 B0 C 0 ﬃ 4ABC

Geometri og beregninger 77

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Oppgaver 2.40 Tegn av, og speil figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. a) b) l

......................................... .........................................

2.41 Tegn av, og speil figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. a) l

......................................... ......................................... b) l

......................................... .........................................

Geometri og beregninger 78

2.42 a) Tegn av 4ABC og linjene l og m. C l A

......................................... ......................................... .........................................

.........................................

b) Speil figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. c) Speil s책 den nye figuren om linja m ved hjelp av konstruksjon. Glasspyramiden foran Louvre i Paris

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Geometri og beregninger 79

Bakgrunnsstoff Rotasjon, eller dreining, kan være komplisert for mange elever. Det blir mange linjer og buer å holde orden på når det skal konstrueres. Derfor mener vi at en ikke skal legge opp til for omfattende oppgaver med kronglete rotasjonsvinkler. Legg merke til at en rotasjon på 180° også er speiling om et punkt. Det kan virke litt kunstig å kalle det speiling når det er om et punkt, men det er et uttrykk som ofte blir brukt.

......................................... ......................................... .........................................

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Rotasjon Noen ganger bruker vi rotasjon når vi lager kongruensavbildninger. Hvis ikke noe annet er opplyst, utfører vi rotasjonen mot venstre. Eksempel 2:11

a) Roter 4ABC 90° om punktet P. b) Skriv forklaring.

.........................................

Løsning a)

.........................................

B’ C C’

.........................................

A’

......................................... b) 1. Roterte A 90° om P. a) Trakk en stråle fra A gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det ene vinkelbeinet PA. c) Avsatte avstanden PA på det andre vinkelbeinet og fant A'.

.........................................

2. Roterte B 90° om P. a) Trakk en stråle fra B gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det ene vinkelbeinet PB. c) Avsatte avstanden PB på det andre vinkelbeinet og fant B'.

.........................................

3. Roterte C 90° om P. a) Trakk en stråle fra C gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det ene vinkelbeinet PC. c) Avsatte avstanden PC på det andre vinkelbeinet og fant C'. 4. Trakk linjestykkene A'B', B'C' og A'C'.

5. Fikk 4A0 B0 C 0 :

Geometri og beregninger 80

2.43 Tegn av figuren og roter 4ABC 60° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

2.44 Tegn av figuren og roter 4ABC 120° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

Geometri og beregninger

Oppgaver

Bakgrunnsstoff Vi legger her opp til oppgaver med parallellforskyvning ved hjelp av koordinatsystem eller rutenett. Du bør vurdere om du her også bør supplere med enkelte oppgaver der en parallellforskyver ved hjelp av konstruksjon, slik som for eksempel dette viser:

C A

.........................................

2.45 Tegn et kvadrat ABCD. Roter kvadratet 120° om A ved hjelp av konstruksjon. 2.46 a) Tegn en 4ABC og et punkt P utenfor trekanten. b) Roter 4ABC 150° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

Parallellforskyving Parallellforskyving er også en form for kongruensavbildning. Bildene nedenfor viser eksempler på dette.

Pont Alexandre III, Paris

Veggmaleri fra gravkammeret til Ramses I, Egypt

Geometri og beregninger 81

Notater

Kopieringsoriginal

.........................................

K 2.5

.........................................

Antall deltakere: Én og én eller to og to La elevene avgjøre hvilket svaralternativ som er det riktige.

10 rette: Geometri og beregninger

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Når vi parallellforskyver en figur, kan vi konstruere eller tegne inn parallelle hjelpelinjer. Eksempel 2:12

Tegn av og parallellforskyv trekanten 2 cm to ganger i pilens retning.

......................................... Løsning

......................................... ......................................... .........................................

Oppgaver 2.47 Tegn av og parallellforskyv trekanten 3 cm fire ganger i pilens retning.

......................................... ......................................... 2.48 Tegn av og parallellforskyv figuren 4 cm tre ganger i pilens retning.

Geometri og beregninger 82

Løsning:

Kopieringsoriginal K 2.6

Hjørnerebus: Speiling

B B’

De fire opplysningene er: – Tegn en trekant ABC og en linje l under trekanten. – Nedfell normaler fra A, B og C til linje l. – Avsett avstanden fra l til A på motsatt side av l. Gjør det samme med B og C. – Trekk linjestykkene A’B’, B’C’ og A’C’.

Geometri og beregninger

2.49 Tegn av og parallellforskyv figuren 2 cm tre ganger i pilens retning.

C’

A’

Aktivitet De fleste elever har nok lagd remser med menn og kvinner en eller annen gang. Hvis ikke, kan det være en god anledning å lage det nå!

2.50 Lag ditt eget mønster som bygger på parallellforskyvning. a) Følg bruksanvisningen. Du trenger saks og papir. 1 Klipp et A4-ark opp i tre deler.

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.125–2.131 2.232–2.244 2.327–2.336

2 Brett en av bitene som et trekkspill.

3 Klipp ut en figur du bestemmer selv. NB! Ikke klipp over brettekantene.

Alternativ oppgavebok 2.18–2.26 Ikke klipp her!

Ikke klipp her!

b) Hvilken type kongruensavbildning har du lagd? c) Hvor finner du symmetriaksene?

Geometri og beregninger 83

Begreper Perspektiv, forsvinningspunkt, formlike, hjelpelinjer, hjørner, linjestykker, horisontal

Bakgrunnsstoff Vi har gått gjennom prosessen punkt for punkt i forbindelse med perspektivtegning med ett forsvinningspunkt. Selv om dette står under kompetansemålene ved slutten av 7. årstrinn, må vi regne med at det er behov for å gå gjennom stoffet på nytt. Med tanke på det som eventuelt blir krevd til sentralt gitte prøver, regner vi også med at det er mest aktuelt å arbeide med ett forsvinningspunkt. Perspektivtegning er også et kompetansemål i kunst og håndverk: Arkitektur 10. årstrinn: «tegne hus og rom ved hjelp av topunktsperspektiv».

Notater

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Perspektivtegning

......................................... .........................................

Hva er forskjellen på de to figurene?

Ett forsvinningspunkt

.........................................

Nedenfor ser du et bilde av en vei. Bredden til veien er hele tiden den samme, men på bildet ser det ut som om veien forsvinner inn i ett punkt. Grunnen til dette er at det som er langt borte, ser mindre ut enn det som er nært.

.........................................

Route 66, USA

......................................... .........................................

Geometri og beregninger 84

1 Tegn først grunnfiguren forfra og trekk deretter hjelpelinjer fra hvert av hjørnene mot et forsvinningspunkt.

Geometri og beregninger

Vi lager tegninger og tredimensjonale figurer i perspektiv for at de skal se mer «riktige» ut. Når vi tegner figurer i perspektiv, tegner vi linjene til figuren «inn» i papiret slik at de ender i ett punkt, forsvinningspunktet.

......................................... ......................................... .........................................

2 Tegn den formlike baksiden av figuren.

......................................... 3 Trekk til slutt linjestykker mellom hjørnene.

......................................... .........................................

Oppgaver

.........................................

2.51 Bruk perspektivtegning og tegn a) et rett firkantet prisme b) en terning c) et trekantet prisme

.........................................

2.52 Tegn et jernbanespor som forsvinner a) i horisonten b) inn i en tunnel

Geometri og beregninger 85

Bakgrunnsstoff I læreplanens kompetansemål etter 10. årstrinn står det at elevene skal tolke og lage arbeidstegninger og perspektivtegninger med flere forsvinningspunkt. Vi anser kompetansemålene som innfridd ved at vi går gjennom perspektivtegning med ett og to forsvinningspunkt. Her kan det også være naturlig å bruke et dynamisk geometriprogram som GeoGebra.

Notater

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... 2.53 Figuren viser et rom tegnet i perspektiv, med forsvinningspunktet i sentrum bak figuren.

......................................... Tegn av figuren og tegn inn a) et gulvteppe b) et bilde på veggen c) et vindu d) et bord

......................................... .........................................

To forsvinningspunkter Noen ganger bruker vi to forsvinningspunkter. Figuren nedenfor har ett forsvinningspunkt på hver side av figuren. De horisontale linjene på venstre side møtes i forsvinningspunktet F1, og de horisontale linjene på høyre side møtes i forsvinningspunktet F2. Vi gjør det på samme måte som med ett forsvinningspunkt, men vi «strekker» figuren i to retninger.

......................................... .........................................

F2 F1

.........................................

Geometri og beregninger 86

Notater

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to. La elevene få prøve seg slik at de sammen kan se om de klarer finne ut om dette er mulig, for eksempel med tre eller fire forsvinningspunkt. Det er selvfølgelig meningen at elevene skal ha litt diskusjon rundt dette, og ikke bare gi svaret ja på oppgaven.

2.54 Hvor mange forsvinningspunkter har disse tegningene? a) c)

Geometri og beregninger

Oppgaver

......................................... ......................................... .........................................

......................................... ......................................... 2.55 Tegn et hushjørne med to forsvinningspunkter. Tegn inn to vinduer og en dør.

.........................................

Home, eet home

......................................... .........................................

Kan en figur ha flere enn to forsvinningspunkter? Begrunn svaret.

Geometri og beregninger 87

Bakgrunnsstoff

Notater

Før ca. år 1350 var ikke tegning/maling med forsvinningspunkt «oppfunnet».

......................................... .........................................

Kopieringsoriginal K 2.7

Det gylne snitt 1

Antall deltakere: to og to eller i mindre grupper La elevene få kopien av «Skolen i Aten», og se om de kan finne gjenstanden med et annet forsvinningspunkt enn resten av bildet. Løsning: Steinbordet i forgrunnen som Heraklit sitter ved. Ansiktet på Heraklit skal visstnok være et portrett av Michelangelo.

Oppgavebok 2.245–2.247 2.337–2.341 Alternativ oppgavebok Ingen oppgaver til emnet

Geometri og beregninger

Oppgavehenvisning

Pieter Neeffs (1578–1656)

2.56 Studer disse bildene. Hva er forskjellen på hvordan bildene er lagd?

Ambrogio Lorenzetti (1285–1348)

2.57 «Skolen i Aten» av Rafael er malt med ett forsvinningspunkt, men én gjenstand på bildet har et helt annet forsvinningspunkt. Kan du finne hvilken gjenstand det er? Skolen i Aten, Rafael (1483–1520)

Geometri og beregninger 88

Begreper

Kopieringsoriginal

Kongruensavbildninger, forhold, gylne snitt, gyllent rektangel, parallellforskyvning, speilingssymmetri, sirkelgeometri, tangenter, radier

K 2.8

Bakgrunnsstoff Det gylne snitt og gylne rektangler er behandlet i Faktor 9, men vi gjentar det vi skrev i Lærerens bok 9, på neste side.

Antall deltakere: to og to eller i mindre grupper Bruk litt tid sammen med elevene til å finne ulike geometriske prinsipper i tegningen. Et fint utgangspunkt for samtale kan være: Hvilke geometriske prinsipper finner dere i tegningen? Vi har tegnet inn noen forslag på tegningen i elevboka (elevene har ikke tilgang til disse).

«Den vitruvianske mann» av Leonardo da Vinci

Geometri og beregninger

Geometri i teknologi, kunst og arkitektur

Det gylne snitt 2

Grønt: Gylne snitt Rødt: Diagonaler, tangering Sort: Pentagram, gylne snitt Symbolet for det gylne snitt er , som uttales «fi».

Hvilke geometriske prinsipper finner du i denne tegningen? Verk innenfor teknologi, kunst og arkitektur er som oftest lagd ved hjelp av matematisk kunnskap om geometriske figurer, ulike kongruensavbildninger og det gylne snitt. Hvis forholdet mellom to lengder er ca. 1,618, kaller vi det for det gylne snitt. Et rektangel som har dette forholdet mellom sidene, kalles et gyllent rektangel.

Geometri og beregninger 89

Bakgrunnsstoff

Aktiviteter

Repetisjon fra Lærerens bok 9: Vi kan dele opp et rektangel i et kvadrat og et mindre rektangel:

La elevene foreta en del målinger i klasserommet, eller på andre steder, for å undersøke om de finner gylne rektangler rundt seg. Hva er en naturlig form på et «pent» rektangel? Når reagerer vi på formen og karakteriserer rektangelet som smalt, avlangt eller liknende?

Hvis rektangel EBCF har samme form som rektangel BCDA, vil rektanglene være gylne rektangler. Forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden i hvert rektangel blir da pffiffiffi 5+1 1,618 ’= 2

På samme måte kan vi altså dele opp et linjestykke i et forhold som svarer til det gylne snitt: a A

b B

Geometri og beregninger

Symbolet for det gylne snitt er ’, som uttales «fi». Her er noen eksempler på at vi finner geometriske figurer og sammenhenger på kjente byggverk: Slottet i Oslo: Geometriske figurer Parallellforskyving Speilingssymmetri

AB 1,618 BC

Notre Dame i Paris: Det gylne snitt Geometriske figurer Speilingssymmetri Parallellforskyving Sirkelgeometri

Edens hage i St. Austell, Cornwall: Geometriske figurer Speilingssymmetri Parallellforskyving Sirkelgeometri

Geometri og beregninger 90

Klippemoskeen i Jerusalem: Geometriske figurer Speilingssymmetri Parallellforskyving

Aktivitet

Notater

La elevene klippe ut regulære tre-, fir-, seks- og åttekanter med samme sidelengde i ulike farger (se Faktor 9 Grunnbok s. 104 og K 3.9 Mangekanter). Disse kan så brukes til å lage regulære og semiregulære mønstre som monteres på for eksempel på sort papp.

2.58 Hvilke geometriske begreper finner du på bildene? Bruk lista som hjelp.

Jeg fant: Formlikhet Symmetri Speiling Rotasjon Parallellforskyving Det gylne snitt Innskrevet kvadrat Innskrevet sirkel Innskrevet trekant Tangering

Geometri og beregninger

Oppgaver

......................................... ......................................... .........................................

Romansk mosaikk

.........................................

......................................... ......................................... ......................................... Strikkemønster

Snøkrystall

.........................................

Geometri og beregninger

Greske søyler

Kopieringsoriginal

Aktivitet

K 2.9

Kopier bildet av Den matematiske broen, og la elevene ved hjelp av linjal finne tangenter og forlengede radier (sekanter).

Det gylne snitt 3

Antall deltakere: to og to eller i mindre grupper Bruk bildene som utgangspunkt for utforskning av det gylne snitt, geometriske prinsipper og sirkelens geometri.

Grunnen til denne typen buer er at kraften (vekten) blir rettet mer nedover i stedet for utover.

Geometri og beregninger

Legg merke til hvordan buene på Notre Dame og Nidarosdomen er konstruert.

Nidarosdomen

Bridge of Sighs, Cambridge, England

2.59 Bildet viser «Den matematiske broen» i Cambridge. Broen er bygd etter prinsipper fra sirkelens geometri. Finn ut hva på broen som er a) tangenter b) forlengete radier Den matematiske broen i Cambridge

Katedralene kunne dermed bygges større og høyere enn tidligere.

Geometri og beregninger 92

Kopieringsoriginal

Notater

K 2.10

.........................................

Puslespill: Pantomimo

Antall deltakere: to og to eller i mindre grupper La elevene klippe ut brikkene for så å pusle brikkene sammen til et rektangel bestående av 6 10 ruter. Alle brikkene består av fem kvadrater. Det fins 2339 ulike løsninger.

Geometri og beregninger

2.60 Hvilke typer kongruensavbildninger er brukt på disse mønstrene? a)

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

......................................... ......................................... 2.61 Bruk passeren til å lage ulike mønstre basert på sirkelens geometri.

......................................... .........................................

Geometri og beregninger 93

Kopieringsoriginal K 2.11

Sant-usant: Geometri

Antall deltakere: To og to La elevene jobbe sammen to og to for å avgjøre hvilke utsagn som er sanne. La dem også rette opp dem som er usanne.

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.132–2.134 2.248–2.250 2.342–2.345

Øving før kapittelprøve Faktor Digital: åpen elevside, factor.cdu.no • Øvingsoppgaver i 3 kategorier • Videogjennomgang av kapittel 2 med oppgaver (Omvendt undervisning) • Digital versjon av «Prøv deg selv» 2 (Kapitelkartlegger) Faktor Digital: lærersider med innlogging, faktor.cdu.no • Målark til «Prøv deg selv» • Kapittelprøve 2 (90 min.) • Vurderingsskjema til kapittelprøve • Faktornøtter

Alternativ oppgavebok Ingen oppgaver til temaet

Notater

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... 2.62 Bruk nettet eller en bok om arkitektur og finn eksempler på ulike geometriske former som har blitt brukt i arkitekturen. Lag for eksempel en veggplakat som består av forskjellige geometriske former.

Jeg prøver operaen i Oslo!

Jeg søker på «Viaduc de Millau!

Kanskje architecture + Babylon ...

......................................... Hm, hva med Eiffeltårnet?

......................................... .........................................

.........................................

Undersøk og prøv å forklare hvordan denne spiralen er lagd.

......................................... ......................................... 2.63 Se på figuren og forklar hvordan a) kvadratet er plassert i forhold til sirkelen b) sirkelen er plassert i forhold til kvadratet c) trekanten er plassert i forhold til sirkelen d) sekskanten er plassert i forhold til sirkelen

Geometri og beregninger 94

Fasit Prøv deg selv

Notater .........................................

1 a) 7,8 cm

b) 8,1 cm

2 a) 5,7 cm

b) 7,1 cm

Geometri og beregninger

Prøv deg selv Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete trekantene. Oppgi svaret med én desimal. a) b) C C x 5 cm

6 cm

......................................... .........................................

9 cm

4 cm

.........................................

Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete, likebeinte trekantene. Oppgi svaret med én desimal. a) b)

.........................................

45°

10 cm

.........................................

C 45° 4 cm

.........................................

45°

45° A

Geometri og beregninger 95

3 a) 4,3 cm b) 6,9 cm

c) 3,2 cm

.........................................

4 a)

Notater

.........................................

B F

......................................... .........................................

D D

5 b) c)

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

d) 3,5 cm e) 22,8 cm2 3

Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete trekantene. Oppgi svaret med én desimal. a) c) C

C 2,5 cm

30° 60°

5,5 cm 30°

B 60°

C 60° 8 cm

30° A

Konstruer trekantene. a)

F 7 cm 60° A

Geometri og beregninger 96

120°

30° 6,5 cm

22,5°

En firkant ABCD har disse målene: AB = 8,0 cm, BC = 4,0 cm, CD = 5,0 cm og B = 60° og AB || CD. a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Konstruer høyden fra C til AB. d) Regn ut høyden. e) Regn ut arealet av firkanten ABCD.

Notater

6 a) b) c)

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

7 DF = 6,4 cm 9 a) Ingen b) 2

c) 6

a) Tegn en vilkĂĽrlig sirkel. b) Finn sentrum av sirkelen ved hjelp av konstruksjon. c) Konstruer en tangent til sirkelen.

Trekantene er formlike. Regn ut den ukjente siden x.

Geometri og beregninger

C F 8,0 cm

......................................... .........................................

......................................... A

10,0 cm

8,0 cm

.........................................

Ta de nĂ¸dvendige mĂĽlene og lag en kongruensavbildning av figuren.

......................................... ......................................... 9

Hvor mange symmetriakser har figurene? a) b)

.........................................

Geometri og beregninger 97

10 a) b)

Notater ......................................... ......................................... x

......................................... ......................................... ......................................... 11

.........................................

C’ A

Geometri og beregninger

.........................................

Tegn av figuren og koordinatsystemet. a) Speil figuren om førsteaksen. b) Speil så den nye figuren om andreaksen. y

A’

B’

13 11

Tegn av, og speil figuren om l ved hjelp av konstruksjon. l

Geometri og beregninger 98

Tegn en 4ABC og et punkt P utenfor figuren. Roter 4ABC 30° om P.

Tegn av og parallellforskyv firkanten 2,5 cm to ganger i pilens retning.

Tegn et prisme i perspektiv med ett forsvinningspunkt.

Fasit Noe å lure på

Noteter .........................................

1 Nei

.........................................

2 2 dm 2 dm = 4 dm2 3 125

.........................................

4 Kube nr. 3

Vil det bli en knute på tråden hvis du trekker i begge endene samtidig?

Geometri og beregninger

Noe å lure på

Martin har lagd en sjokoladekake med areal 3,14 dm2 som han skal putte i en kvadratisk kakeboks. Hvor stor må den kvadratiske kakeboksen være for at kaka skal få plass i boksen?

Hva er halvparten av halvparten av halvparten av halvparten av 2000?

Bestem hvilken kube som er den riktige.

......................................... ......................................... .........................................

Geometri og beregninger 99

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

......................................... Oppsummering Pytagoras-setningen Vi bruker Pytagoras-setningen til å finne en ukjent side i en rettvinklet trekant. katet2 + katet2 = hypotenus2 C katet

katet

......................................... A

hypotenus

......................................... Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen Trekanter med vinkler på 45°, 45° og 90° I en slik trekant er katetene like lange. Dersom vi kjenner lengden til bare én av sidene, kan vi finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen.

.........................................

Vi finner katetene på denne måten:

.........................................

x 2 + x 2 = BC 2 2x 2 = 82 2x 2 = 64

.........................................

2x 2 64 = 2 2 x 2 = 32 pffiffiffiffiffi x = 32

.........................................

x 5,7

100

8 cm x

Geometri og beregninger 100

Vi finner den korteste kateten (x) og hypotenusen (2x) på denne måten når vi kjenner bare den lengste kateten (AC):

30°

x 2 + AC 2 = ð2xÞ2 2

25 = 4x -- x

5 cm

x 2 + 52 = 4x 2

Geometri og beregninger

Trekanter med vinkler på 30°, 60° og 90° I en rettvinklet trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten.

......................................... .........................................

90°

25 = 3x 2 rffiffiffiffiffi 25 =x 3 2,9 x

60° x

.........................................

x = 2,9

.........................................

Formlikhet Når to figurer er formlike, er vinklene parvis like store. Forholdet mellom samsvarende sider er likt.

.........................................

C 60°

.........................................

60° 30° A

30°

4ABC 4DEF Trekant ABC er formlik med trekant DEF.

.........................................

Kongruens To figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig dekker den andre. Det vil si at figurene er formlike og like store. C

.........................................

4ABC ﬃ 4DEF Trekant ABC er kongruent med trekant DEF.

Geometri og beregninger 101

101

......................................... .........................................

Geometri og beregninger

.........................................

Kongruensavbildninger Speilingssymmetri En figur er symmetrisk hvis den kan deles i to kongruente figurer som dekker hverandre når vi bretter dem om symmetriaksen. En og samme figur kan ha flere symmetriakser.

Symmetriakse

Speiling ved hjelp av et koordinatsystem Når vi speiler en figur ved Andreaksen y hjelp av et koordinatsystem, speiler vi figuren om førsteaksen eller andreaksen.

.........................................

x Førsteaksen

......................................... ......................................... Speiling ved hjelp av passer og linjal Når vi speiler en figur om en linje, bruker vi passer og linjal. Vi nedfeller normaler fra punkter på figuren til linja. Vi avsetter så avstanden fra punktet til motsatt side av A normalen slik at vi får et nytt punkt.

......................................... .........................................

B B’

A’

102

Geometri og beregninger 102

C’

Rotasjon 90° om hjørnet A

B’ B’

C’

A’

Geometri og beregninger

Rotasjon Hvis det ikke er gitt beskjed om noe annet, utfører vi rotasjonen mot venstre.

......................................... .........................................

A P

C’

.........................................

Parallellforskyving

.........................................

C C’

.........................................

B A A’

B’

.........................................

Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter

......................................... .........................................

Geometri og beregninger 103

103

Kapittelinnledning Hvert kapittel starter med en introduksjon som består av en illustrasjon, en liten tekst og en oversikt over hva som er målet med kapitlet. Introduksjonen kan danne utgangspunkt for en samtale og bidrar til å bevisstgjøre elevene om hva som er hovedintensjonen med kapitlet. Målene er brutt ned og blir tydeliggjort gjennom Prøv deg selv-oppgavene på side 133. Elevene kan også teste seg selv via Digital Prøv deg selv (kapittelkartlegger), som fins på Faktors elevnettsider. Sist i kapitlet er det Noe å lure påoppgaver og en oppsummering.

Elevside (åpen): • Førtest (kartlegging av forkunnskaper) • Øvingsoppgaver i 3 kategorier • Digital versjon av Prøv deg selv (egenvurdering) • Videogjennomgang av kapittel 3 med oppgaver (Omvendt undervisning og oppgaver til underveisvurdering) • Manualer og tidligere terminprøver for nedlastning

Digitale ressurser til kapitlet (faktor.cdu.no) Lærerside (passord): • Digital versjon av grunnboka (Tavlebok) med noteringsmuligheter • Kapittelprøve 3 i to deler som på tentamen/ eksamen (90 min.) • Komplette løsningsforslag til alle oppgavene i grunnboka og oppgaveboka • Målark til Prøv deg selv • 52 nøtter med løsningsforslag • Kopieringsoriginaler Her finner du terminprøver som publiseres to ganger i året, årsplaner, vurderingsskjemaer og øvingsoppgaver for digitale verktøy. Du finner også Faktorama der øvingsoppgaver er satt inn i en spillmodell, og elevens svar påvirker framdriften i spillet. Digital hel- og halvårskartlegging og digitale prøver til underveisvurdering er tilgjengelige i VOKAL.

104

Funksjoner

Jeg skal laste ned mye.

.DS_Store

Datamengden er en funksjon av tiden.

Kopieringsoriginaler

Notater

K 3.1 K 3.2 K 3.3 K.3.4 K 3.5 K 3.6 K 3.7

.........................................

Koordinatsystem Hjørnerebus: Beregning Hjørnerebus: Graftegning Hvilket skal ut? Funksjonsuttrykk Stafett: Funksjoner Sant–usant: Funksjoner 10 rette: Funksjoner

3Funksjoner En funksjon viser hvordan én verdi er avhengig av en annen verdi. Når du for eksempel laster ned data, vil datamengden være avhengig av tiden, eller den vil være avhengig av hastigheten. Datamengden er da en funksjon av tid eller hastighet.

Mål

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

I dette kapitlet skal du få lære om

Prisen er en funksjon av mengden.

. . . .

funksjoner i praktiske situasjoner og uttrykt i – tabeller – bokstavuttrykk eller formler – grafer stigningstall og konstantledd i funksjonsuttrykk kvadratiske funksjoner proporsjonale størrelser omvendt proporsjonale størrelser

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Funksjoner

105

Begreper

Notater

Funksjon, tabell, bokstavuttrykk, formel, koordinatsystem, førstekoordinat, andrekoordinat, origo, verditabell, graf, grafisk

.........................................

Bakgrunnsstoff

.........................................

Kapitlet inneholder mange oppgaver som er merket Digitalt verktøy (her graftegner). Bruken av digital graftegner bør så langt det er mulig innføres som en del av undervisningen, gjerne parallelt med den teoretiske delen. Ved eksamen er grunnleggende kunnskap om stigningstall, konstantledd, verditabeller og liknende viktig for å løse oppgavene i Del 1. I Del 2 er kunnskap om bruken av digital graftegner viktig.

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Funksjoner

En funksjon viser sammenhengen mellom to eller flere verdier eller størrelser. Men det er ikke slik at enhver sammenheng er en funksjon. Når det gjelder de mest vanlige sammenhengene som vi snakker om i dagliglivet – kjørelengde/tid, mengde/pris, forbruk/pris, vekt/porto osv. – er den ene størrelsen en funksjon av den andre. Ta gjerne med flere eksempler på funksjoner som gjelder praktiske forhold, og gjerne også eksempler som ikke er funksjoner.

.........................................

Funksjoner i dagliglivet km ry ! r jøre Vi k x time på

y = 70•x

Se Digital manual på s. 304 for mer informasjon om graftegnerprogrammet GeoGebra.

Hvordan kan vi tegne sammenhengen mellom y og x i et koordinatsystem? En funksjon viser en sammenheng mellom to eller flere verdier. Vi kan fortelle om sammenhengen i tekster, i tabeller, i grafer og som bokstavuttrykk. Du kan tegne grafer for hånd eller bruke en graftegner. En bil kjører med en gjennomsnittsfart på 70 km/h. Hvis x er tiden i timer og y eller f ðxÞ er kjørelengden i kilometer, får vi denne sammenhengen: y = 70 x

! Betyr at y er en funksjon av x.

eller f ðxÞ = 70 x

! Betyr at f ðxÞ er en funksjon av x.

70 km/h er 70 km per time.

106

Funksjoner 106

Bakgrunnsstoff

Notater

Gjennomgangen på denne siden bygger opp under regelen på neste side. Hver gang vi setter inn en verdi for x, får vi én, og bare én, verdi for y. Bruk også litt tid på skrivemåten f(x) i stedet for y. Fokuser på at f ðxÞ står for «funksjonen av x» dvs. det samme som y. Vi går over til å bruke y i teoretiske situasjoner, mens vi bruker f ðxÞ, VðxÞ, hðxÞ, AðxÞ, UðxÞ o.l. i praktiske situasjoner.

x (Tid i timer)

y (Kjørelengde i km)

140

210

280

350

Funksjoner

Vi regner ut hvor langt bilen kjører på 1 time, 2 timer, ..., 5 timer, og setter resultatet opp i en verditabell:

Vi bruker tallene i tabellen til å tegne en graf som viser sammenhengen mellom antall timer (x) og kjørelengden (y). x er førstekoordinaten, og y er andrekoordinaten.

.........................................

Vi kan også bruke en graftegner.

Vi tegner punktene (1, 70), (2, 140), (3, 210), (4, 280) og (5, 350) i koordinatsystemet og trekker en linje gjennom origo og punktene.

.........................................

Når vi kjører et visst antall timer med bilen, kjører vi en bestemt strekning. Da sier vi at strekningen er en funksjon av tiden. Hvis y er strekningen og x er tiden, så er y en funksjon av x. Vi får funksjonen y = 70x:

......................................... .........................................

y (km)

300

.........................................

200

.........................................

100

......................................... x (timer) 1

Hver gang vi setter inn en verdi for x, får vi regnet ut én verdi av y. Vi kan altså ikke få to eller flere verdier av y for én verdi av x.

Funksjoner 107

107

Bakgrunnsstoff Det er viktig å slå fast regelen som sier hva en funksjon er. Vi kan jo la elevene fundere litt på disse påstandene: «Portoen på et brev er en funksjon av vekten på brevet.» «Vekten på brevet er ikke en funksjon av portoen.»

Notater

.........................................

Funksjoner

......................................... Regel

y er en funksjon av x når hver verdi av x gir én verdi av y eller f ðxÞ er en funksjon av x når hver verdi av x gir én verdi av f ðxÞ.

.........................................

Vi kan gi uttrykk for en sammenheng mellom to størrelser ved hjelp av formler eller bokstavuttrykk. Formlene kan vi bruke når vi skal vise sammenhengen i grafer. Eksempel 3:1

.........................................

Sara sykler med farten 20 km/h. Hvis hun sykler i x timer, vil strekningen y i kilometer være:

.........................................

y = 20x

eller f ðxÞ = 20x

a) Lag en verditabell og framstill sammenhengen mellom x og y i en graf.

.........................................

b) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.

.........................................

Løsning a) Vi velger tre verdier for x, regner ut tilhørende verdier av y og setter tallene inn i en tabell.

.........................................

Vi merker av punktene (0, 0), (1, 20) og (2, 40) i et koordinatsystem og trekker en rett linje mellom punktene.

.........................................

108

Funksjoner 108

Det holder med to punkter – det tredje er med for kontrollens skyld.

Bakgrunnsstoff

Kopieringsoriginal

Oppgave 3.2–3.4 er merket Digitalt verktøy, og spesielt de to siste oppgavene bør løses ved hjelp av en digital graftegner. Hvis elevene ikke har tilgang til et slikt program, bør oppgavene løses i fellesskap på tavla ved hjelp av GeoGebra eller liknende.

K 3.1

Koordinatsystem

Kopier opp koordinatsystemene slik at elevene kan lime dem inn i arbeidsboka si. – Koordinatsystem 1 kan brukes på oppgavene: 3.2, 3.6, 3.8, 3.15, 3.18, 3.19, 3.20, 3.22, 3.23, 3.27, 3.28 – Koordinatsystem 2 kan brukes på oppgavene: 3.1, 3.14, 3.30, 3.32, 3.37, 3.38

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to eller i grupper på tre eller fire, slik at de kan diskutere eller prøve seg fram til forskjellige eksempler på sammenhenger. Her er det viktig at de prøver å begrunne sine svar, gjerne med konkrete talleksempler. Gruppene kommer med sine forslag som så drøftes i klassen. Funksjoner

140

y (km)

120 100 80 60 40 20 1

x (t) 8

b) Til hver verdi av tiden x svarer kun én verdi av strekningen y. Da er y en funksjon av x.

Oppgaver 3.1

Videre arbeid: Utfordre også elevene til å finne eksempler på det motsatte, dvs. forhold hvor to størrelser ikke er avhengig av hverandre.

Martin kjøper epler til 15 kr per kg. For x kg betaler han y kr. Sammenhengen mellom y og x blir: y = 15x a) Framstill sammenhengen mellom y og x ved hjelp av en tabell. Velg verdiene 0, 1, 2, 3, 4 og 5 for x. b) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom y og x. c) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.

3.2

Her er det ingen bestemt løsning, og det er vel bare fantasien som setter grenser. Noen forslag kan være: – Den skatten vi betaler, er avhengig av inntekten. – Den tiden vi bruker, er avhengig av farten. – Det vi betaler for en pose epler, er avhengig av kiloprisen. – Det vi betaler for euro, er avhengig av kursen. – De rentene som kommer i tillegg, er avhengig av rentefoten.

Lotte er 5 år eldre enn Truls. Det kan vi uttrykke med sammenhengen y = x + 5, der y er alderen til Lotte og x er alderen til Truls. a) Sett opp en tabell og tegn grafen til y = x + 5: b) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.

Finn fem eksempler som viser at en størrelse er avhengig av en annen størrelse.

Funksjoner 109

109

Bakgrunnsstoff

Notater

Oppgave 3.3 og 3.4 bør løses med digital graftegner, se forrige side.

......................................... .........................................

Kopieringsoriginal Hjørnerebus: Beregning

Antall deltakere: Grupper på 4 og 4 Opplysningene legges på fire ulike steder i klasserommet. Elevene, som er inndelt i grupper, henter hver sin opplysning og returnerer til gruppa. Her sammenfatter de det de har fått av opplysninger, og løser oppgaven. De fire opplysningene er: – Elevene tjente 1000 kr på salg i kiosken. – Kostnadene til festen er satt til 6000 kr. – Hver elev betaler 100 kr i inngangspenger. – Festen gikk med 500 kr i overskudd. Løsning: 1000 + 100x = 6000 + 500 55 elever

Funksjoner

K 3.2

3.3

En bil har 50 liter bensin på tanken. Den bruker 0,6 liter per mil. Etter å ha kjørt x mil, er det y liter bensin igjen på tanken. Sammenhengen mellom y og x kan uttrykkes som en funksjon slik: y = 50 -- 0,6x a) Sett opp en tabell og framstill funksjonen grafisk. b) Les av på grafen hvor mange liter det er igjen på tanken etter at bilen har kjørt 25 mil. c) Hvor mange mil kan vi kjøre før tanken er tom?

Oppgavehenvisning Oppgavebok 3.101–3.104 3.201–3.206 3.301–3.303 Alternativ oppgavebok 3.1–3.4

3.4

Et svømmebasseng rommer 700 000 L vann. Når bassenget skal fylles, pumpes det inn 14 000 L vann per time. Vi kan si at antall liter F som er fylt i bassenget etter x timer, kan beskrives ved hjelp av funksjonen FðxÞ = 14 000x a) Sett opp en tabell som viser hvor mange liter det er i bassenget når det har gått fra 0 til 50 timer. Bruk et intervall på ti timer. b) Hvorfor trenger vi ikke å bruke større x-verdier enn 50? c) Tegn grafen til F. d) Les av på grafen hvor mange liter det er fylt i etter 25 timer. Når svømmebassenget skal tømmes, tappes det ut 18 000 L per time. e) Forklar at antall liter V som er igjen i svømmebassenget etter x timer, kan beskrives ved hjelp av funksjonen VðxÞ = 700 000 -- 18 000x f) Bestem ved regning når bassenget er tømt for vann. g) Tegn grafen til V. h) Marker på grafen når det er 340 000 L igjen i bassenget.

110

Funksjoner 110

eller VðxÞ = --18 000x + 700 000

Noen elever syns det er rart at det heter stigningstall også når grafen går nedover. Derfor er det lurt alltid å bruke fortegn når du snakker om stigningstall (pluss 2 eller minus 2).

Begreper Origo, stigningstall, lineær funksjon, konstantledd, x-aksen, y-aksen, førsteaksen, andreaksen, loddrett, parallelt

Bakgrunnsstoff I avsnittet Lineære funksjoner tar vi i hovedsak utgangspunkt i funksjoner som ikke har med praktiske sammenhenger å gjøre. Men det kan likevel være lurt å ta et tilbakeblikk til de forrige sidene og se at funksjonene er skrevet enten på formen y = ax eller på formen y = ax + b. Ellers regner vi med at bruken av stigningstallet i forbindelse med funksjoner på formen y = ax faller relativt lett for de fleste elevene ettersom vi alltid kan begynne i origo. Notater ......................................... Stigningstallet er 2.

Funksjoner

Lineære funksjoner y = 2x

.........................................

2 1

–2

–1

.........................................

x 1

–1

.........................................

–2

Hva mener vi med stigningstall?

......................................... Stigningstall Funksjonen y = 2x er skrevet på formen y = ax. En slik funksjon er en lineær funksjon. Grafen til en slik funksjon er en rett linje som går gjennom origo og har stigningstallet a.

Når vi skal tegne slike grafer, kan vi benytte oss av stigningstallet. Vi ser at y øker med 2 hver gang x øker med 1 (se figur til høyre). Det betyr at stigningstallet er +2. Vi kan da gå én enhet til høyre på x-aksen og så gå to enheter oppover parallelt med y-aksen for å finne et nytt punkt på linja. Stigningstallet kan også være et negativt tall, og da går vi nedover parallelt med y-aksen.

.........................................

3 2

.........................................

+2 x

–1

1 1

.........................................

–1 –2

Funksjonen y = 2x er et eksempel på en lineær funksjon med stigningstall +2.

y = ax Stigningstallet

Funksjoner 111

111

.........................................

Funksjoner

......................................... Eksempel 3:2

a) Tegn grafen til funksjonen: y = 3x: b) Tegn grafen til funksjonen y = --1,5x: Løsning a) y = 3x er en rett linje som går gjennom origo og er skrevet på formen y = ax der a = +3. Fra origo går vi én enhet til høyre langs x-aksen. Derfra går vi tre enheter loddrett oppover. Da kommer vi til det andre punktet på den rette linja. Da har vi to punkter og kan tegne grafen.

.........................................

3 2

.........................................

+3 1 x –2

.........................................

–1

1 1

–1

b) y = --1,5x er en rett linje som går gjennom origo og er skrevet på formen y = ax der a = --1,5. Fra origo går vi én enhet til høyre langs x-aksen. Derfra går vi halvannen (1,5) enheter loddrett nedover. Da kommer vi til det andre punktet på den rette linja. Da har vi to punkter og kan tegne grafen.

......................................... .........................................

.........................................

1 –2

–1 –1 –2 –3

112

Funksjoner 112

x 1 2 –1,5

Notater

K 3.1 Koordinatsystem Kopier opp koordinatsystemene slik at elevene kan lime dem inn i arbeidsboka si. – Koordinatsystem 1 kan brukes på oppgavene: 3.6, 3.8, 3.15, 3.18, 3.19, 3.20, 3.22, 3.23, 3.27, 3.28 – Koordinatsystem 2 kan brukes på oppgavene: 3.1, 3.14, 3.30, 3.32, 3.37, 3.38

3.5

Hva er stigningstallet til funksjonene? a) y = 2x b) y = 8x c) y = –3x

3.6

Tegn funksjonene. a) y = 2x b) y = –3x

3.7

Funksjoner

Oppgaver

c) y = 2,5x

.........................................

Hvilken av linjene har størst stigningstall?

.........................................

linje 3 linje 2

.........................................

linje 1

4 3

.........................................

2 1

.........................................

x –2

–1

.........................................

–2

3.8

3.9

.........................................

Tegn funksjonene. 1 3 b) y = -- x a) y = x 2 2 5 Grafene til funksjonene y1 = x, y2 = 2x og y3 = x går alle 2 gjennom origo. Hvilken av grafene har den største stigningen?

.........................................

3.10 Beskriv hvordan grafen til funksjonen y = –3x går. 8 3.11 Grafen til en funksjon går gjennom origo og har et stigningstall på -- . 3 Skriv et funksjonsuttrykk der y er en funksjon av x.

Funksjoner 113

113

Bakgrunnsstoff Nå går vi videre med funksjoner på formen y = ax + b. Det kan være fornuftig å bruke litt tid på å se på sammenhengen mellom funksjonsuttrykket, stigningstallet og konstantleddet. Det går for eksempel an å legge opp til en mer induktiv metode ved først å la elevene sammenlikne disse grafene: y=x+1 y = 2x + 1 y = 3x + 1

Deretter kan de sammenlikne disse grafene: y = 2x + 1 y = 2x + 2 y = 2x -- 1.

......................................... .........................................

Funksjoner

La elevene få prøve å trekke slutninger selv.

Konstantledd Funksjonen y = 2x + 1 er skrevet på formen y = ax + b. Grafen til en slik funksjon er en rett linje som går gjennom b på andreaksen og har stigningstallet a. En slik funksjon er en lineær funksjon.

Konstantleddet viser skjæringspunktet med andreaksen!

Når vi skal tegne grafen til funksjonen y = 2x + 1, kan vi benytte oss av stigningstallet og konstantleddet. Ettersom konstantleddet er +1, setter vi av et punkt i +1 på y-aksen. Stigningstallet er +2. Det betyr at y øker med 2 hver gang x øker med 1. Om vi går én enhet til høyre parallelt med x-aksen fra punktet +1 på y-aksen, og deretter to enheter opp parallelt med y-aksen, finner vi det andre punktet til linja. Vi har nå punktene (0, 1) og (1, 3) og kan tegne grafen til funksjonen. y 5 4 3 2

1 1 –2

–1

x 1

–1

Funksjonen y = 2x + 1 er et eksempel på en lineær funksjon med konstantledd +1 og stigningstall +2.

y = ax + b Stigningstallet

114

Funksjoner 114

Konstantleddet (skjæringspunkt med andreaksen)

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... Grafen til en lineær funksjon som skrives på formen y = ax + b, er en rett linje som går gjennom punktet (0, b), og har stigningstallet a.

Funksjoner

Regel

.........................................

Opplysninger om stigningstall og konstantledd er nok til å kunne tegne grafen til en lineær funksjon.

......................................... Eksempel 3:3

Tegn grafen til funksjonen y = 2x – 3.

.........................................

Løsning Funksjonen y = 2x – 3 er en lineær funksjon der konstantleddet er –3. Linja går derfor gjennom punktet (0, –3). Stigningstallet er +2. Vi starter i punktet (0, –3) og går én enhet til høyre parallelt med førsteaksen. Derfra går vi to enheter oppover for å finne ett punkt til på linja. Nå kan vi tegne linja.

.........................................

1 x –3

–2

–1

.........................................

–2

–3

.........................................

1 –4 –5

.........................................

Funksjoner 115

115

Bakgrunnsstoff På dette nivået bruker vi et eksempel og lager oppgaver der elevene kan finne likningen for ei linje ved avlesning i et koordinatsystem, og ikke ved regning. Det kan likevel være at enkelte elever vil forstå utregningen av stigningstallet a ved å sette opp dette regnestykket: y2 -- y1 3 -- ð--3Þ = =2 a= x2 -- x1 2 -- ð--1Þ for deretter å finne b ved å sette inn verdier for x og y i likningen y = 2x + b.

Aktivitet

.........................................

Lag et funksjonsuttrykk som skjærer y-aksen i y = 5. Bruk elevenes svar som utgangspunkt for samtale om ulike løsninger og eventuelle feilkilder. Svarene kan ofte deles inn i tre grupper: • Vanlig svar: y = 2x + 5 • Mer avansert svar: y = --0; 5x + 5 • «Lurt» svar: y = 10

Funksjoner

En Åpen oppgave kan være:

I eksempelet på forrige side tegnet vi en linje som vi kjenner likningen (funksjonsuttrykket) til. Vi kan også finne likningen (funksjonsuttrykket) til en linje når vi kjenner to punkter på linja. Eksempel 3:4

En rett linje går gjennom punktene (–1, –3) og (2, 3). Finn likningen for linja. Løsning Vi merker av punktene i et koordinatsystem, og trekker linja mellom dem.

Oppgaven kan enkelt varieres med å finne et uttrykk som skjærer x-aksen i for eksempel x = 5. Vurder også å bruke en graftegner for å samle svarene på tavla/storskjerm.

y 3

(2 ,3 )

2 1

–3

–2

–1

x 2

–1 1 –2 (–1 ,–3 )

–3 –4 –5

Linja skjærer andreaksen i y = –1. Konstantleddet er derfor –1. Vi finner stigningstallet ved å gå én enhet mot høyre fra y = –1 på andreaksen, parallelt med førsteaksen. Da må vi gå to enheter oppover for å komme til linja. Stigningstallet er derfor +2. Likningen til linja er: y = 2x -- 1

116

Funksjoner 116

Bakgrunnsstoff

Notater

I forbindelse med oppgave 3.14 kan vi bruke P kr om prisen i stedet for y kr. Etter hvert må elevene også venne seg til å skrive for eksempel PðxÞ i stedet for y. Da får en bedre fram at P er en funksjon av x.

3.12 Hva er stigningstallet og konstantleddet til funksjonene? 3 5 a) y = 2x -- 1 b) y = --3x + 2 c) y = x + 2 2

Funksjoner

Oppgaver

3.13 En linje går gjennom to punkter. Finn funksjonen for linjene når punktene er a) (0, 1) og (1, 3) b) (–1, –4) og (2, 2) c) (–1, 0) og (1, 6)

......................................... ......................................... .........................................

3.14 Lotte kjøper en pose pærer til 20 kr og x kg epler til 10 kr per kg. Hun betaler P kr til sammen. Sammenhengen mellom det hun kjøper og det hun betaler, kan vi skrive slik: PðxÞ = 10x + 20

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

a) Er sammenhengen en lineær funksjon? Begrunn svaret. b) Hvor skjærer grafen andreaksen? c) Hva er stigningstallet til grafen? d) Tegn grafen. 3.15 Tegn grafen til funksjonene. 5 b) y = -- x a) y = 2x -- 5 2

.........................................

c) y = --2x + 7

Funksjoner 117

117

Kopieringsoriginal

Notater

K 3.3

.........................................

Hjørnerebus: Tegn grafen

Antall deltakere: Grupper på 4 og 4 Opplysningene legges på fire ulike steder i klasserommet. Elevene, som er inndelt i grupper, henter hver sin opplysning og returnerer til gruppa. Her sammenfatter de det de har fått av opplysninger, og løser oppgaven. De fire opplysningene er: – x = 1, gir y = 5 – Stigningstallet til grafen er 2. – Konstantleddet til grafen er 3. – Grafen er parallell med funksjonen y = 2x -- 1 Løsning: y = 2x + 3

Oppgavebok 3.105–3.112 3.207–3.215 3.304–3.308

Funksjoner

Oppgavehenvisning 3.16 Finn stigningstallet og konstantleddet til grafen. a) y

3 2 1

Alternativ oppgavebok 3.5–3.11

x –4

–3

–2

–1

–1 –2 –3

b) 3

2 1 x –4

–3

–2

–1 –1 –2 –3

3.17 Hvilken av funksjonene nedenfor går gjennom origo? Begrunn svaret. 1 C y = --5x + 5 A y = x -- 5 3 B y = --0,5x D y = 10x -- 10 7 8 3.18 Tegn grafen til funksjonen: y = -- x -2 3

118

Funksjoner 118

For å overbevise elevene om at grafen blir en jevn, krum kurve, kan vi bruke en graftegner. En del av en graf kan da se slik ut:

Begreper Kvadratisk funksjon, kvadrattall, parabel

4,5

Bakgrunnsstoff y = x 2 er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir én verdi av y. Da har det ingen ting å si at to forskjellige verdier av x gir den samme verdien av y.

4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5

Grafen til en kvadratisk funksjon kalles en parabel. Vi minner om at elevene også her bør benytte digital graftegner ved flere av oppgavene.

Dette blir jo ikke en rett linje!

Funksjoner

Grafen til kvadratiske funksjoner

Kopieringsoriginal K 3.1

Hva gjør vi?

Koordinatsystem

y=x

Kopier opp koordinatsystemene slik at elevene kan lime dem inn i arbeidsboka si. – Koordinatsystem 1 kan brukes på oppgavene: 3.19, 3.20, 3.22, 3.23, 3.27, 3.28 – Koordinatsystem 2 kan brukes på oppgavene: 3.30, 3.32, 3.37, 3.38

3 2 1 x –2

–1

Hvordan kan vi tegne grafen til funksjonen y = x2? y = x 2 blir kalt en kvadratisk funksjon fordi x2 er et kvadrattall. Grafen til en kvadratisk funksjon er ikke en rett linje. Når vi skal tegne grafen til en kvadratisk funksjon, må vi alltid tegne inn mange punkter for å få en jevn kurve. Vi setter inn forskjellige verdier for x, og regner ut verdiene for y. x x x x x x x

= = = = = = =

--2 --1 --0; 5 0 0; 5 1 2

gir gir gir gir gir gir gir

y y y y y y y

= ð--2Þ2 = ð--1Þ2 = ð--0; 5Þ2 = 02 = 0; 52 = 12 = 22

= = = = = = =

Husk! Du kan godt velge andre x-verdier.

4 1 0; 25 0 0; 25 1 4

Funksjoner 119

119

Bakgrunnsstoff Både i teksten på side 120 og i eksemplet på side 121 bør vi bruke tid på å se på symmetrien til en parabel. Hvordan endrer tallene seg for y når vi setter inn stigende verdier for x? Trenger vi å sette inn så mange tall som vist i eksemplet på side 121?

Elevene bør også kjenne til begrep som ekstremalpunkt, toppunkt og bunnpunkt. Fokuser på at dette punktet ligger der kurven «snur». Ekstremalpunkt er noe vi kommer inn på i forbindelse med digital graftegner (GeoGebra): Ekstremalpunkt[<polynom>] eller Ekstremalpunkt[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]. Se side 308 for flere fomler knyttet til GeoGebra.

Notater

.........................................

Funksjoner

......................................... Dette gir oss denne tabellen: x

–2

–1

–0,5

0,5

0,25

Vi får punktene (–2, 4), (–1, 1), (–0,5, 0,25), (0, 0), (0,5, 0,25), (1, 1) og (2, 4).

.........................................

Vi lager et koordinatsystem og setter inn punktene fra tabellen. Da får vi denne grafen: y 9

.........................................

Parabler har et ekstremalpunkt som vi kaller for topp- eller bunnpunkt. Grafen til venstre har bunnpunktet (0, 0).

.........................................

6 5

.........................................

4 3

.........................................

2 1

.........................................

x –3

–2

–1

Grafen til funksjonen y = x 2 kaller vi en parabel. Grafen er symmetrisk om andreaksen. Det kommer av at to x-verdier gir én og samme y-verdi. Du ser at både x = --2 og x = 2 gir y = 4. Tilsvarende får vi to løsninger når vi løser kvadratiske likninger:

.........................................

x2 = 4 pffiffiffi pffiffiffi x = -- 4 = --2 eller x = 4 = 2

120

Funksjoner 120

Bakgrunnsstoff

Notater

Snakk også med elevene om hva ekstremalpunktet (bunnpunktet) til grafen i eksemplet er.

Tegn grafen til funksjonen: y = x 2 -- 4 Løsning Vi setter inn forskjellige verdier for x, og regner ut de tilhørende verdiene for y. x

–3

–2

–1

–0,5

0,5

–3

–3,75

–4

–3,75

–3

Funksjoner

Eksempel 3:5

......................................... ......................................... .........................................

Vi merker av punktene i et koordinatsystem og trekker en jevn kurve gjennom punktene. y

.........................................

5 4

.........................................

3 2 1

......................................... x

–3

–2

–1

.........................................

–2 –3

.........................................

–4

Funksjoner 121

121

Notater

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to, slik at de kan diskutere eller komme med forslag til en løsning. Det er viktig at de prøver å begrunne sitt svar. Det er særlig viktig at de forklarer begrepet kvadrat. Når gruppene har kommet med sine forslag, drøftes disse i klassen.

Funksjoner

Løsning: En mulighet er å systematisere dette, for eksempel slik: – Kvadrat er en firkant med like lange sider og rette vinkler. – Arealet er a a = a2 hvis siden har en lengde på a. – Kvadrattall får vi når vi multipliserer to like tall, for eksempel a a = a2 . – Kvadratisk likning er for eksempel når vi skal finne et tall der kvadratet av tallet er oppgitt, for eksempel a a = 16.

.........................................

Oppgaver 3.19 a) Tegn grafen til funksjonen: y = x 2 -- 2 Bruk grafen til å svare på spørsmålene b, c og d. b) Hva er y når x = 2? c) Hva er y når x = –2? d) Hva er x når y = 7? 3.20

a) Tegn grafen til funksjonen: y = x2 + 1 Bruk grafen til å svare på spørsmålene b, c og d. b) Hva er y når x = 1? c) Hva er y når x = –1? d) Hva er x når y = 5?

3.21 Sammenlikn grafene i oppgavene 3.19 og 3.20. Hva har konstantleddet etter x 2 å si for grafen? 3.22 Tegn grafen til begge funksjonene i det samme koordinatsystemet. a) y = 2x 2 b) y = 4x 2 3.23 Tegn grafen til begge funksjonene i det samme koordinatsystemet. a) y = --2x 2 b) y = --3x 2 3.24 Sammenlikn grafene i oppgavene 3.22 og 3.23. Hva har tallet foran x 2 å si for grafen?

Hva vil du si at kvadrater, kvadrattall og kvadratiske likninger har til felles?

3.25 Løs likningene. a) x 2 = 16

122

Funksjoner 122

b) x 2 = 100

c) x 2 = 50

d) x 2 = 60

Kopieringsoriginal K 3.4

Hvilket skal ut? Funksjonsuttrykk

Antall deltakere: Grupper på to, tre eller fire La elevene snakke sammen og forklare for hverandre hvordan de tenker. Her er det viktig at elevene selv begrunner hvorfor de mener at akkurat det funksjonsuttrykket skal ut. Svaret er ikke det viktigste i denne oppgaven, men det at elevene bruker språket og begrunner sine valg.

I) a) b) c) d)

De fire opplysningene er: f ðxÞ = 90x + 10 ! Konstantledd gðxÞ = 100x + 0 ! Null som konstantledd y = --100x ! Negativt stigningstall 2 ! Potens y = 10 x

II) De fire opplysningene er: a) y = --2x + 3 ! Negativt stigningstall b) f ðxÞ = 2x -- 3 ! Negativt konstantledd 2 c) gðxÞ = x + 3 ! Kvadratisk funksjon, bunnpunkt 3 d) y = 2x þ 4 ! Konstantledd 4 (partall)

Oppgavehenvisning Oppgavebok 3.113–3.115 3.216–3.221 3.309–3.313 Alternativ oppgavebok 3.12–3.13

BðxÞ = 6,5x 2

Funksjoner

3.26 Antallet bakterier i en bakteriekoloni er B etter at den har vokst i x minutter. BðxÞ er gitt ved formelen:

Koloni med Staphylococcus aureus, vanlige og ufarlige bakterier på hudoverflaten hos mennesker.

Hvor mange bakterier er det etter a) 1 minutt b) 5 minutter c) 10 minutter d) 30 minutter e) Tegn grafen til funksjonen når x er mellom 0 og 30 minutter.

3.27 Tegn grafen til funksjonen: 3 y = -- x 2 + 6 4 3.28 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden h over bakken i meter etter t sekunder er gitt ved denne funksjonen: hðtÞ = --5t 2 + 10t a) Tegn grafen til funksjonen når t er mellom 0 og 2. Sett av t langs førsteaksen og h langs andreaksen. b) Beskriv bevegelsen til steinen ut fra grafen.

Funksjoner 123

123

Begreper

Notater

Proporsjonale størrelser

......................................... .........................................

Bakgrunnsstoff Vi bruker regelen om at når x og y er proporsjonale størrelser, så kan det uttrykkes på formen y = k x. Da kan vi sammenlikne uttrykket med et funksjonsuttrykk på tilsvarende form, og som grafisk er ei rett linje gjennom origo. Noen får fram proporsjonaliteten ved å vise at forholdet mellom to størrelser er konstant. I en tabell kan det se slik ut:

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Antall sekunder

Antall kilobyte

120

240

480

960

1920

Antall sekunder Antall kilobyte

120

y = k. Ved å multiplisere med x x på begge sider kommer vi fram til y = k x. Det er lurt å vise begge metodene for å vise hva proporsjonalitet er. Det vil altså si at

Funksjoner

.........................................

Proporsjonale størrelser 120 kB – 240 kB – 480 kB –...

Hva betyr det at antall kilobyte (kB) nedlastet data er proporsjonal med tiden? Sara laster ofte ned data når hun bruker mobiltelefonen sin. Vi regner ut hvor mange kilobyte (kB) hun har lastet ned på 1, 2, 4, 8, 16 og 32 sekunder. Resultatet setter vi inn i en tabell. Antall sekunder

Antall kilobyte

120

240

480

960

1920

3840

Vi ser at når antall sekunder øker til det dobbelte, øker også antall kilobyte til det dobbelte. Øker antall sekunder til det tredobbelte, øker også antall kilobyte til det tredobbelte. Vi sier at tiden og antall kilobyte øker i samme forhold. Det betyr at antall sekunder og antall kilobyte er proporsjonale størrelser.

124

Funksjoner 124

1 · 120 = 120 2 · 120 = 240 3 · 120 = 480 osv...

Hvis vi kaller antall kilobyte (kB) for y og tiden for x, får vi denne sammenhengen: y = k x der k kan være hvilket som helst tall bortsett fra 0.

.........................................

I tabellen på forrige side er k = 120, mens x varierer fra 1 til 32.

.........................................

Regel

Sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser x og y kan vi alltid uttrykke på formen y = k x, der k er et hvilket som helst tall bortsett fra 0.

.........................................

Eksempel 3:6

Herman kjøper epler som koster 12 kr per kg. a) Forklar hvorfor vekten og kjøpesummen er proporsjonale størrelser. b) Lag en graf som viser hvor mye Herman betaler for inntil 4 kg epler.

.........................................

Løsning a) Vi regner ut kjøpesummen for forskjellige antall kilogram epler.

......................................... ......................................... .........................................

Vekt (kg)

Kjøpesum (kr)

.........................................

Funksjoner 125

125

Kopieringsoriginal K 3.1

Koordinatsystem

Kopier opp koordinatsystemene slik at elevene kan lime dem inn i arbeidsboka si. – Koordinatsystem 2 kan brukes på oppgavene: 3.30, 3.32, 3.37, 3.38

Notater

.........................................

Funksjoner

......................................... Vi ser at vekten og kjøpesummen øker i samme forhold. Når vekten øker til det dobbelte, øker også kjøpesummen til det dobbelte. Vekten og kjøpesummen er proporsjonale størrelser. b) Hvis kjøpesummen i kroner er y og antallet kilogram epler er x, blir formelen for kjøpesummen:

.........................................

y = 12x Dette er en lineær funksjon som går gjennom origo. Vi kan tegne grafen til denne funksjonen når vi vet at den går gjennom origo og har stigningstallet 12.

.........................................

Vi kan også sette opp en tabell med tre verdier for x og regne ut y.

.........................................

y (kr)

.........................................

60 48

.........................................

36 24

.........................................

126

Funksjoner 126

x (kg)

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... 3.29 Lotte sykler med jevn fart. Er avstanden hun sykler og tiden hun bruker, proporsjonale størrelser?

Funksjoner

Oppgaver

.........................................

3.30 På Mega Oil bensinstasjon koster bensinen 13 kr per liter. Tabellen viser hvor mye ulike antall liter bensin koster. Liter bensin

Pris i kroner

104

......................................... ......................................... .........................................

a) Lag en graf på grunnlag av tallene i tabellen. Sett «Liter bensin» langs førsteaksen og «Pris» langs andreaksen. b) Hvorfor er antall liter bensin og prisen proporsjonale størrelser?

.........................................

3.31 Simen arbeider i kiosken på lørdager. Han tjener 120 kr per time. Hvis han arbeider i x timer, tjener han T kr. Vi kan sette opp sammenhengen mellom T og x som et funksjonsuttrykk slik:

.........................................

TðxÞ = 120x a) Tegn grafen til funksjonen TðxÞ = 120x. La x variere fra 0 til 10. b) Hvorfor er lønna og antallet timer proporsjonale størrelser?

......................................... .........................................

Funksjoner 127

127

Notater

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to. La elevene få prøve seg slik at de sammen kan komme fram til en løsning.

......................................... .........................................

Løsning: I grunnboka har vi forklart at to størrelser er proporsjonale når de øker i samme takt eller i samme forhold.

.........................................

Elevene kan ta utgangspunkt i dette og diskutere om det går an å uttrykke denne sammenhengen på andre måter, gjerne i form av et generelt uttrykk.

.........................................

y = k. Det vil si at to størrelser x er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant.

.........................................

Oppgavehenvisning Oppgavebok 3.116–3.118 3.222–3.227 3.314–3.316

.........................................

Funksjoner

Hvis y = k x, så er

.........................................

3.32 Hanna skal kjøpe gulrøtter til hesten sin. Gulrøttene selges i sekker à 1 kg, 5 kg eller 10 kg til disse prisene: 1 kg koster 4,50 kr. 5 kg koster 18,50 kr. 10 kg koster 29,50 kr.

Alternativ oppgavebok 3.14–3.16

a) Tegn inn punktene (1,0, 4,5), (5,0, 18,5) og (10,0, 29,5) i et koordinatsystem. b) Undersøk om vekt og pris for de tre sekkene er proporsjonale størrelser.

3.33 Herman sykler i 1 time 20 minutter. Tiden han bruker og kjørelengden er satt opp i tabellen nedenfor. Tid (min)

Kjørelengde (km)

Hvilket tall må forandres for at tiden og kjørelengden skal være proporsjonale størrelser?

? 128

Funksjoner 128

Finn to ulike måter du kan bruke for å finne ut om to størrelser er proporsjonale.

Men vi kan også gi uttrykk for dette på formen y x = k, som for eksempel i denne tabellen:

Begreper Omvendt proporsjonale størrelser, øke, minke, dobbelt, tredobbelt, forhold, hyperbel, areal, lengde, bredde, rektangel, tabell, graf, funksjon

Bakgrunnsstoff Vi gir uttrykk for at x og y er omvendt k proporsjonale størrelser på formen y = . x Da får vi tydelig fram at y øker i samme forhold som x minker.

Antall elever

Lønn per elev (kr)

2000

1000

500

250

Samlet lønn

6000

Vi minner om at elevene også her bør benytte digital graftegner ved flere oppgaver.

Notater .........................................

Hvis flere skal dele, blir det mindre på hver.

Funksjoner

Omvendt proporsjonale størrelser

Hva vil det si at to størrelser er omvendt proporsjonale? I det daglige møter vi ofte størrelser der den ene øker og den andre minker: – – – –

Jo Jo Jo Jo

.........................................

større fart du holder på vei til skolen, jo kortere tid bruker du. flere som deler en pizza, jo mindre del av pizzaen får hver. flere som deler en gevinst, jo mindre blir det på hver. flere som er med bussen på skoletur, jo lavere blir prisen per elev.

Gruppa til Hanna får tilbud om å utføre et arbeid. De skal få 6000 kr for dette arbeidet. Lønna skal de dele likt etter hvor mange som blir med på arbeidet. Vi tenker oss ulikt antall elever, og regner ut hvor mye det blir på hver. I tabellen ser du resultatet. Antallet elever Lønn per elev (kr)

.........................................

6000 : 3 = 2000 6000 : 6 = 1000 osv.

2000

1000

500

250

.........................................

Funksjoner 129

129

Bakgrunnsstoff k Uttrykket y = er et funksjonsuttrykk der x og y x er omvendt proporsjonale størrelser, noe som altså resulterer i en hyperbel hvis vi framstiller funksjonen grafisk. La elevene sette inn større og større antall elever ðxÞ i funksjonsuttrykket og diskuterer hvordan y endrer seg. Kan y bli 0?

Kopieringsoriginal K 3.1

Koordinatsystem

Kopier opp koordinatsystemene slik at elevene kan lime dem inn i arbeidsboka si. – Koordinatsystem 2 kan brukes på oppgavene: 3.37, 3.38

Diskuter også hva som skjer hvis vi setter inn mindre og mindre tall i stedet for x. Hvor ender dette hen?

Notater

.........................................

Funksjoner

......................................... Vi ser at når antallet elever øker til det dobbelte, går lønna til hver elev ned til det halve. Når antallet elever øker til det tredobbelte, går lønna til hver elev ned til en tredel. Vi sier at lønna per elev går ned i samme forhold som antallet elever øker. Det betyr at antallet elever og lønn per elev er omvendt proporsjonale størrelser. Hvis vi kaller lønna i kroner per elev for y og antallet elever for x, får vi denne sammenhengen:

.........................................

k der k kan være et hvilket som helst tall bortsett fra 0. x

I tabellen på forrige side er k = 6000, mens x varierer fra 3 til 24. Regel

Sammenhengen mellom to størrelser x og y som er omvendt k proporsjonale, kan vi uttrykke på formen y = , der k kan være et hvilket x som helst tall bortsett fra 0.

......................................... .........................................

y (kr)

Dette er grafen til 6000 . y= x

.........................................

7000

En slik graf kaller vi en hyperbel. Funksjonsuttrykk på denne formen er et uttrykk som viser sammenhengen mellom to omvendt proporsjonale størrelser, x og y.

......................................... .........................................

6000 5000 4000 3000 2000 1000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x (elever)

130

Grafen nærmer seg 0 på førsteaksen, men kommer aldri helt ned!

Funksjoner 130

Kopieringsoriginal K 3.5

Stafett: Funksjoner

Antall deltakere: Grupper på fire og fire. Utstyr: 2 stykk koordinatsystem med x- og y-verdier fra –5 til 5. 1 stykk koordinatsystem med positive x- verdier fra 0 til 10 og y-verdier fra 0 til 140. Elevene kan eventuelt lage koordinatsystem selv. Del elevene inn i grupper på fire. La de elevene som strever mest i faget, være nummer 1, og dem med høyere kompetanse nummer 4. Klipp opp kopieringsoriginalen i åtte deler.

3) Etter at de har funnet svaret, går elev 1 fram og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A. 5) Oppgaven løses i gruppa. 6) Elev 2 går fram og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv. Løsning: 1A) 3 2A) –2 3A)

1) Alle enerne kommer fram og får etappe (oppgave) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa.

2 x

4A)

3.34 I hvilken av disse funksjonene er x og y omvendt proporsjonale størrelser? 5 A y=x+2 B y= C y = 5x x 3.35 Tegn grafen til funksjonene. Velg passende x-verdier til hver av funksjonene. a) y =

100 x

b) y =

2000 x

c) y =

4 2

–4

5000 x

3.36 En gruppe elever skal dele 4000 kr. a) Hvor mye blir det på hver elev hvis to elever deler likt? b) Hvor mye blir det på hver elev hvis fire elever deler likt? c) Lag en tabell som viser hvor mye hver elev får hvis antallet elever varierer mellom 1 og 20. d) Tegn en graf som viser hvor mange kroner hver elev får. e) Hvorfor er det beløpet hver elev får, og antallet elever omvendt proporsjonale størrelser?

–2

1B) Rett linje: gðxÞ = 2x -- 1 Parabel: y = x 2 + 2 150 Hyperbel: f ðxÞ = x 2B) 42 kr 3B) 18,5 kg 4B) Grafen til funksjonen gðxÞ = 14x

3.37 Et rektangel har arealet 24 cm2 . Bredden er x cm, og lengden er l cm. Sammenhengen mellom lengden og bredden kan uttrykkes slik: lðxÞ =

Funksjoner

Oppgaver

24 x

a) Lag en tabell, og tegn grafen til funksjonen. b) Les av på grafen hvor stor bredden er når lengden er 6 cm. Hm. Jeg ser tydelig c) Les av på grafen hvor stor lengden er en sammenheng her... når bredden er 3,2 cm. d) Hvorfor er bredden og lengden omvendt proporsjonale størrelser?

Funksjoner 131

131

Kopieringsoriginal

K 3.6

K 3.7

Sant-usant: Funksjoner

Antall deltakere: To og to La elevene jobbe sammen to og to for å avgjøre hvilke utsagn som er sanne. La dem også rette opp dem som er usanne.

10 rette: Funksjoner

Antall deltakere: Én og én eller to og to La elevene avgjøre hvilket svaralternativ som er det riktige.

Oppgavehenvisning Utfordre elevene på en liten gåte: Hvis tre menn graver tre grøfter i løpet av tre dager, hvor mange grøfter greier da seks menn å grave i løpet av seks dager? Løsning Tre menn graver én grøft hver dag. Da må seks menn kunne grave to grøfter hver dag. På seks dager graver klarer de da å grave 12 grøfter.

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to, slik at de kan diskutere eller komme med forslag til en løsning. Elevene bør begrunne svarene ved å sette opp utregninger som viser riktige løsninger. Et spørsmål kan også være om rektanglet kan bli et kvadrat med heltallige løsninger.

Oppgavebok 3.119–3.122 3.228–3.232 3.317–3.320 Alternativ oppgavebok 3.17–3.20

Funksjoner

Aktivitet

Mulige løsninger: 4 m og 36 m 6 m og 24 m 8 m og 18 m 12 m og 12 m

3.38 Sara skal sykle til golfbanen, en strekning på 36 km. Farten er y km/h, og tiden er x timer. a) Lag en formel for farten. b) Lag en tabell, og tegn grafen til funksjonen. c) Hvor stor er farten hvis Sara bruker 3 timer? d) Hvor lang tid bruker Sara hvis farten er 20 km/h? e) Hvorfor er farten og tiden omvendt proporsjonale størrelser?

3.39 Arealet A av et rektangel med lengde x og bredde y er A = x y. Hvis arealet er 100, får vi denne sammenhengen: x y = 100 a) Skriv en formel for bredden y uttrykt ved lengden x. b) Tegn grafen til funksjonen y. c) Forklar hvorfor x og y er omvendt proporsjonale størrelser.

Snakk også med elevene om løsninger som 1 m 144 m, og da spesielt i forbindelse med praktiske eksempler.

132

Funksjoner 132

Et rektangel har et areal på 144 m2. Hvilke sidelengder kan rektanglet ha?

Øving før kapittelprøve

Fasit Prøv deg selv

Faktor Digital: åpen elevside, factor.cdu.no • Øvingsoppgaver i 3 kategorier • Videogjennomgang av kapittel 3 med oppgaver (Omvendt undervisning) • Digital versjon av «Prøv deg selv» 3 (Kapitelkartlegger)

1 a)

10 8 6

Faktor Digital: lærersider med innlogging, faktor.cdu.no • Målark til «Prøv deg selv» • Kapittelprøve 3 (90 min.) • Vurderingsskjema til kapittelprøve • Faktornøtter

4 2 x

–2

b) y er en funksjon av x fordi det til hver verdi av x svarer bare én verdi av y. 2 a)

Sammenhengen mellom to størrelser x og y er satt opp i tabellen nedenfor. x

–2

Funksjoner

Prøv deg selv

Simen er tre år yngre enn Silje. Hvis Silje er x år og Simen er y år, så er

y = x -- 3:

1 y= x 2

D y = 2x -- 1

y = 2x + 1

x 2

4 6

8 10 12

b) y er en funksjon av x fordi det til hver verdi av x svarer bare én verdi av y.

Hvilken av funksjonene har en graf som går gjennom origo? A y=x+4

a) Sett opp en tabell og tegn grafen til funksjonen y = x -- 3: b) Forklar hvorfor y er en funksjon av x. 3

a) Merk av punktene (x, y) i et koordinatsystem og trekk en linje gjennom dem. b) Hvorfor er y en funksjon av x? 2

3 C y

Origo!

Funksjoner 133

133

8 a)

–6 –4 –2 –2

–4

b) Omkretsen øker i samme forhold som lengden av siden øker.

–6

5 a) Stigningstall: 2 5 b) Stigningstall: 2 a) Stigningstall: –2 6 a)

Konstantledd: 1 1 Konstantledd: 2 Konstantledd: –1

9C 10

–6 –4 –2 –2

15 x

–4 –6

Funksjoner

4 2 –6 –4 –2

7 a)

x 2

Tegn grafen til funksjonen y =

Hva er stigningstallet, og hva er konstantleddet til funksjonene? 5 1 a) y = 2x + 1 b) y = x + c) y = --2x -- 1 2 2

Bruk stigningstallet og konstantleddet og tegn grafen til funksjonene. 1 a) y = 2x -- 3 b) y = -- x + 3 2

a) Tegn grafen til funksjonen y = x 2 -- 3: b) Hva er y når x = 3? c) Hva er x når y = 13?

Tabellen viser hvor stor omkretsen av et kvadrat er når siden i kvadratet er oppgitt.

4 2 x –2

Siden (cm)

Omkretsen (cm)

a) Lag en graf på grunnlag av tallene i tabellen. Velg siden i kvadratet langs førsteaksen og omkretsen langs andreaksen. b) Forklar hvorfor omkretsen av kvadratet er proporsjonal med lengden av siden i kvadratet.

2 –2 9

I hvilken av disse funksjonene er x og y omvendt proporsjonale størrelser? A y = 10x + 1

b) y = 6 c) x = 4 og x = –4

134

5 x: 2

Funksjoner 134

B y = 10x

Tegn grafen til funksjonen f ðxÞ =

10 : x

10 x

Fasit Noe å lure på

Notater .........................................

1 a) og c)

......................................... 2 Denne metoden stemmer ikke, og det holder at eleven finner ett eksempel. Disse eksemplene motbeviser «metoden».

Funksjoner

Noe å lure på Hvilke av utsagnene er sanne? a) Omkretsen av et kvadrat er proporsjonal med lengden av siden i kvadratet. b) Arealet av et kvadrat er proporsjonalt med lengden av siden i kvadratet. c) Prisen på tekstmeldinger er proporsjonal med antallet meldinger. d) Tiden du bruker er proporsjonal med den farten du har. e) Kroppshøyden til en person er proporsjonal med alderen til personen.

Tyrkiske Sultan Kosen er verdens høyeste mann, 251 cm høy. Her er han sammen med verdens laveste mann, nepalske Chandra Bahadur Dangi som er 54,6 cm høy.

.........................................

1 3 og : Han finner 2 4 gjennomsnittet av tellerne og gjennomsnittet av nevnerne og får 2 denne brøken : 3

T. Allen lurer på om det ligger noen brøk mellom

.........................................

3 11 7 Han finner en brøk mellom og på tilsvarende måte og får brøken : 5 13 9 Vis at denne metoden ikke alltid stemmer.

Funksjoner 135

135

3 a) 9.4 b) 8.5 c) 9 + 4 = 13 4 a)

12 13

8 + 5 = 13 b) 2

5 a) Ca. 626,7 cm2 b) Ca. 1253,4 cm2 c ) Ca. 10 000 cm2 = 1 m2

Notater

.........................................

Funksjoner

......................................... 3

Man kan lure på om det er noe merkelig med tallet 13. – Nasjonaldagen vår er 17.5. ! 1 + 7 + 5 = 13 – Unionen med Sverige ble oppløst 7.6. ! 7 + 6 = 13 a) På hvilken dato i 1940 okkuperte tyskerne Norge? b) På hvilken dato i 1945 ble det fred i landet? c) Har disse datoene noe med tallet 13 å gjøre?

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Den andre verdenskrigen (1940-45) er over, og frigjøringsfesten er i gang i Oslo.

......................................... 4

.........................................

1 1 1 + + 2 3 4

b) Hvilket tall tror du summen nærmer seg hvis du summerer mange brøker etter dette mønsteret: 1 1 1 1 1 + + + + ... 2 3 4 5 6

......................................... 5

136

a) Regn ut:

Funksjoner 136

a) Regn ut arealet av et A4-ark. b) Hva er arealet av et A3-ark? c) Hva vil arealet av et A0-ark bli?

Oppsummering Funksjon

.........................................

y er en funksjon av x når hver verdi av x gir én verdi av y.

Lineære funksjoner

En lineær funksjon er av typen y = ax + b.

Tallet b i uttrykket kaller vi konstantleddet. Dette forteller hvor linja skjærer andreaksen.

.........................................

5 4

Tallet a i uttrykket kaller vi stigningstallet for linja. Stigningstallet forteller hvor mye y øker eller minker når x øker med 1.

.........................................

3 1 2 1

Hvis tallet b er 0, går linja gjennom origo.

.........................................

origo x

–2

Funksjonen y = 2x + 3 er et eksempel på en lineær funksjon. Her er konstantleddet 3, og linja skjærer andreaksen gjennom tallet 3.

.........................................

–1

......................................... .........................................

Stigningstallet er 2. Når x øker med 1, øker y med 2.

.........................................

Funksjoner 137

137

.........................................

Funksjoner

......................................... Kvadratiske funksjoner y = x 2 -- 2 er et eksempel på en kvadratisk funksjon. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. x

–2

–1

–0,5

0,5

–1

–1,75

–2

–1,75

–1

.........................................

4 3

......................................... 2 1

.........................................

x –4

–3

–2

–1

.........................................

–2

Denne parabelen har ekstremalpunkt (bunnpunkt) (0, –2).

......................................... Proporsjonale størrelser Sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser x og y kan vi alltid uttrykke på formen y = k x, der k er et hvilket som helst tall bortsett fra 0.

.........................................

Grafen til proporsjonale størrelser er alltid en rett linje gjennom origo.

.........................................

Til høyre ser du grafen til funksjonen y = 2x.

y = 2x

1 x –2

–1

1 –1

138

Funksjoner 138

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... Sammenhengen mellom to størrelser x og y som er omvendt proporsjonale, k kan vi uttrykke på formen y = , der k kan være et hvilket som helst tall x bortsett fra 0.

Funksjoner

Omvendt proporsjonale størrelser

......................................... .........................................

Grafen til omvendt proporsjonale størrelser er en hyperbel. 10 Nedenfor ser du grafen til funksjonen y = : x

2,5

......................................... .........................................

.........................................

8 7

.........................................

6 5 4

.........................................

3 2

.........................................

1 x 1

Funksjoner 139

139