Matematikk 5 fra Cappelen Damm Lærerveiledning blaibok by Cappelen Damm

MATEMATIKK 5 fra CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen Kristin Måleng Vibeke Saltnes Olsen

Bokmål/Nynorsk

© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2020 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov og tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Bruk som er i strid med lov eller avtale, kan medføre erstatningsansvar og inndraging og kan straffes med bøter eller fengsel. Matematikk 1 fra Cappelen Damm er lagd til fagfornyelsen i faget matematikk og er til bruk på grunnskolens barnetrinn. Forfatterne, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen, har fått støtte fra Det faglitterære fond. Hovedillustratør: Henning Skogstad Øvrige illustrasjoner: Line Mathisen Grafisk design, sats og tekniske illustrasjoner: AiT Bjerch AS Omslagsdesign: Tank Design AS Omslagsillustrasjon: Henning Skogstad Forlagsredaktør: Ingar Ebbestad Trykk og innbinding: Livonia Print Sia, Latvia Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-64443-7 www.cdu.no

Forord Til læreren Lærerveiledningen har først en generell del med innføring i hvilke matematikkdidaktiske prinsipper Matematikk 5-7 bygger på, og hvordan verket er bygget opp. I denne delen er det også generell teori om utvikling av regnestrategier, de visuelle modellene vi benytter, og metoder for gjennomføring av gode klasseromsamtaler. Videre følger Lærerveiledningen grunnboka side for side. Sidene er delt med en strek. Under streken er det faksimiler av elevboksidene, utfyllende forklaringer til oppgavene og tips til differensiering. Det er også veiledning til gjennomføring av den lærerstyrte klasseromsamtalen og tips til organisering av samarbeidsoppgaver for elevene. Over streken presenteres målene for kapitlene og hvilke begreper det er hensiktsmessig å innføre. Hvert kapittel har utfyllende matematisk og didaktisk teori til temaer som omhandles i kapitlet. Det er også mange forslag til aktiviteter og spill som hjelper elevene til forståelse. Uavhengig av kapitlets tema finner du øvingsoppgaver og hoderegningsoppgaver. Disse har til hensikt å opprettholde tabellkunnskaper og ferdigheter i regnestrategier. Bakerst i boka er det fasiter til alle komponentene. Vi som er forfattere av Matematikk 5-7, ønsker at Lærerveiledningen skal være en god håndbok som gir deg det du trenger for å gjennomføre gode matematikktimer med elevene dine. Lykke til! Jan Erik Gulbrandsen, Randi Løchsen, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen

FORORD

III

Digital lærerressurs til bøkene Til læreboka følger rike digitale ressurser. Alle grunnbøkene finnes som interaktive tavlebøker for visning med projektor på skjerm eller på interaktiv tavle. Tavlebøkene inneholder innleste rammefortellinger. Her finner du også blant annet arbeidsark, oppgaver og fasit til bøkene.

Skolen fra Cappelen Damm I Skolen fra Cappelen Damm tilbyr vi matematikk fra 1. til 10. trinn. Her ligger aktuelle læringsstier, nivådifferensierte øveoppgaver og problemløsingsoppgaver. På tavla kan du som lærer skape gode samtaler i klassen hvor elevene kan utforske og snakke matematikk. Arbeid med bøkene Matematikk 5-7 fra Cappelen Damm, i kombinasjon med vår digitale tjeneste Skolen fra Cappelen Damm, vil gi svært gode muligheter for dybdelæring og for å nå målene i LK20.

DIGITAL LÆRERRESSURS

Innhold Til læreren Matematikkdidaktiske prinsipper – Kjerneelementer . . . . . . . . . . . . . . Oppbyggingen Matematikk 5–7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grunnleggende ferdigheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utvikling av regnestrategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Visuelle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker . . . . Velkommen til Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI VII IX X XI XIII XV

1 Addisjon og Subtraksjon

.................................

2 Multiplikasjon og divisjon

................................

3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Brøk

.............................................................

5 Multiplikasjon og divisjon 6 Tid

102

................................

156

...............................................................

190

Historier nynorsk

..............................................

222

Kapittelprøver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

226

Arbeidsark, kopieringsoriginaler

.........................

244

................................................

256

Fasit Grunnbok

Fasit Oppgavebok

............................................

271

INNHOLD

Matematikkdidaktiske prinsipper – Kjerneelementer Med Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm ønsker vi at elevene skal utvikle god tallforståelse og tilegne seg solide, grunnleggende ferdigheter i matematikk. Matematikk 5–7 legger vekt på at elevene: • utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene • oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger • løser utforskende og sammensatte oppgaver • samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

Tallforståelse Vi ønsker at Matematikk 5–7 skal bidra til at elevene utvikler god tallforståelse gjennom å • utforske egenskaper ved tall • rekketelle forlengs og baklengs med ulike sprang • dele opp tall på ulike måter • utvikle forståelse for plassverdisystemet

Regnestrategier I Matematikk 5–7 legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og gjøre erfaringer med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Matematikk 5–7 legger også til rette for at elevene skal kunne automatisere tabellene for addisjon og subtraksjon mellom 0 og 20 og multiplikasjonstabellen.

Sammenhenger i matematikk Med Matematikk 5–7 ønsker vi at elevene skal utvikle evne til å se sammenhenger i matematikk. Vi ønsker at de skal bruke sine kunnskaper om tallvenner til å se sammenheng med andre tall, for eksempel når 4 + 6 = 10, er 24 + 6 = 30 og 240 + 60 = 300. Når de har lært doblinger, er det lett å se sammenhenger som for eksempel at når 25 + 25 = 50, er 25 + 26 = 50 + 1= 51 og 25 + 24 = 50 – 1 = 49. Når de har automatisert multiplikasjonstabellen, kan de se sammenhenger som at når 3 · 4 = 12, er 30 · 4 = 120 osv.

Utforsking og problemløsning Utforsking og undring er viktig for å bli interessert i og forstå matematikk. Matematikk 5–7 legger opp til at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker, og til å dele dette med hverandre. Slik kan de sammen utvikle matematisk forståelse og gode strategier for å arbeide med faget.

Representasjon og kommunikasjon – Abstraksjon og generalisering I Matematikk 5–7 legger vi til rette for at elevene skal kunne arbeide med matematikken på ulike nivåer. Ved innlæring av nytt stoff kan det ofte være hensiktsmessig å arbeide med konkreter eller visuell støtte i form av halvkonkreter eller halvabstrakter. Målet er at elevene gjennom mange erfaringer med dette skal bli i stand til å løse oppgavene på abstrakt nivå. Med konkreter mener vi for eksempel tellemateriell og penger. Med halvkonkreter mener vi bilder eller tegninger av konkretene. Med halvabstrakter mener vi symboler eller modeller som for eksempel tallinje, number bonds og bar models. Med abstrakter mener vi tallsymbolene. Det er stor forskjell på i hvilken grad elever trenger visuell støtte. Matematikk 5–7 legger opp til at elevene får bruke den visuelle støtten de trenger.

Resonering og argumentasjon Matematikk 5–7 tar på alvor at matematikk også er et språk. Som andre språk læres og utvikles også det matematiske språket best muntlig. Elevene må få rik anledning til å utvikle dette språket gjennom muntlige aktiviteter, derfor står både den lærerstyrte klassesamtalen og elevsamtalene sentralt gjennom hele verket.

Tverrfaglige tema Matematikk 5–7 legger til rette for at elevene skal tilegne seg kompetanse i de matematiske verktøy som er nødvendig for å kunne gjøre ansvarlige livsvalg innen folkehelse og livsmestring (5. og 6. trinn) og demokrati og medborgerskap (7. trinn).

MATEMATIKKDIDAKTISKE PRINSIPPER – KJERNEELEMENTER

Oppbyggingen Matematikk 5–7 Matematikk 5–7 består av

Samtaleruter

Grunnbok Oppgavebok Lærerveiledning Digital lærerressurs Digitale utgaver på cdu.no

Addisjon av ﬂersifrede tall Samtale

Matematikk 5 Grunnbok har • tydelige mål for hvert kapittel • oppgaver for refleksjon og klassesamtale • varierte oppgaver til hvert tema • problemløsningsoppgaver • visuell støtte til oppgaver

134

Metode 1

н ϭϬϬ 358

н ϯϬ н ϰ 458 488 492

Svar: Boka og ballen koster 492 kr til sammen.

Metode 2

Mål

ϯϬϬ н ϭϬϬ с ϰϬϬ ഩϱϬ н ഩϯϬ с ഩϴϬ ഩഩϴ н ഩഩϰ с ഩϭϮ ഩഩഩഩഩഩഩ с ϰϵϮ

Alle kapitlene starter med tydelige mål som er forståelige for elevene. I slutten av hvert kapittel er det en oppsummering hvor læreren samtaler med elevene om hva de har lært. Det er også en oppsummerende oppgave for kapitlet.

Svar: Boka og ballen koster 492 kr til sammen.

Metode 3 1

3 5 8 + 1 3 4 = 4 9 2

Reﬂeksjon og klassesamtale Hvert kapittel innledes med et samtalebilde. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I Lærerveiledningen er det en liten historie til hvert bilde med en tilhørende matematisk problemstilling. Historien er også lydsatt og publisert i tilknytning til bildet i tavleboka. I denne veiledningen det også forslag til andre spørsmål og problemstillinger som kan stilles til bildene. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. Samtaleoppgavene gir anledning til å reflektere med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer og argumentere for disse. De får øvelse i å bruke det matematiske språket, og de får innsikt i hvordan andre elever tenker.

358 5 kr

Hvor mye koster fotballen og boka til sammen?

Svar: Boka og ballen koster 492 kr til sammen.

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Alle kapitlene har samtaleruter i ramme. Ruten er delt med en strek. Over streken presenteres et problem som skal løses gjennom samtale med elevene. Elevene skal få reflektere og argumentere for sine løsninger. Under streken presenteres ulike løsningsforslag eller metoder som kan drøftes sammen med elevene i lys av deres egne forslag.

OPPBYGGINGEN MATEMATIKK 5–7

VII

Utforsk sammen Utforsk sammen Hvor mange marihøner med 2 prikker, og hvor mange marihøner med 7 prikker kan det være hvis de har 100 prikker til sammen? Kan dere finne flere løsninger? Hvor mange kan det være av hver hvis marihønene har 3 prikker og 6 prikker, og de har 100 prikker til sammen?

Aktiviteter Alle kapitlene avsluttes med ulike aktiviteter som er knyttet til kapitlets matematiske tema. Det kan være spill eller finn-ut-oppgaver som elevene skal samarbeide om i læringspar eller i små grupper. Gjennom disse aktivitetene får elevene videre øvelse i, eller erfaring med å ta i bruk, den kunnskapen de har tilegnet seg i kapitlet.

Sant eller usant Gjennom hele boka presenterer Matematikk 5–7 varierte utforsk sammen oppgaver. Dette er oppgaver som elevene skal arbeide med i læringspar eller små grupper. Elevene skal reflektere, samtale og diskutere framgangsmåter og løsningsstrategier og finne sine egne måter å løse oppgavene på. Etterpå er det meningen at elevene skal presentere og argumentere for sine løsninger.

Alle kapitlene har en samling utsagn, sant eller usant, som elevene skal vurdere og argumentere for om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Å samtale om disse utsagnene med utgangspunkt i elevenes svar kan gi deg som lærer innsikt i om noen elever har misoppfatninger knyttet til tema.

Ulike oppgaver Matematikk 5–7 har et bredt spekter av oppgaver, oppgaver som egner seg for ferdighetstrening, oppgaver med modeller, oppgaver i kontekst hvor elevene får anvende sine ferdigheter i praktiske situasjoner, oppgaver for løsning med digitale verktøy og ulike typer problemløsningsoppgaver. Hvert kapittel har et oppslag med temaoppgaver. I disse oppgavene får elevene anvende kunnskaper fra flere områder enn det kapitlet omhandler.

Matematikk 5–7 Oppgavebok følger de samme temaene som i Matematikk 5–7 Grunnbok. Oppgaveboka inneholder ulike oppgavetyper. Den har enkle øvingsoppgaver og mer utfordrende oppgaver, merket med en eller to prikker, og egne sider som heter andre utfordringer. I andre utfordringer er det oppgaver som krever kompetanse ut over målene i kapitlet, og mer krevende problemløsningsoppgaver. Oppgaveboka har gode eksempler til alle tema og egner seg derfor også godt som hjemmebok.

Differensierte oppgaver

Lærerveiledning

Hvert kapittel starter med enkle oppgaver som ligner på oppgavene de har løst gjennom klassesamtalen. Videre fins varierte oppgaver av ulik vanskegrad. Mange av emnene har oppgaver med visuell støtte, en modell som elevene kan bruke videre på flere av oppgavene. I Lærerveiledningen er det forslag til forenkling og utviding av flere av oppgavene. Oppgaveboka har oppgaver på to nivå. I tillegg har hvert kapittel «Andre utfordringer» med mer utfordrende oppgaver.

Matematikk 5–7 Lærerveiledning følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner du veiledning til klassesamtalene, forklaringer til oppgavene, enkelte løsningsforslag og tips til differensiering. Lærerveiledningen har også stoff for faglig påfyll, metodiske tips og forslag til aktiviteter. Den har også elevoppgaver for å vedlikeholde tabellkunnskap og hoderegningsstrategier, også i kapitler hvor det ikke jobbes direkte med tall. Bak i boka er det fasit til Grunnbok 5, Oppgavebok 5 og elevoppgavene i Lærerveiledningen.

Oppgaver med digitale verktøy Gjennom oppgaver i Matematikk 5–7 presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). Vi ønsker at elevene i løpet av mellomtrinnet skal bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene. I opplæringen av Excel legges det til rette for at dette kan brukes som verktøy for å løse problemer innen de tverrfaglige tema.

VIII

OPPBYGGINGEN MATEMATIKK 5–7

Oppgavebok

Digital lærerressurs til bøkene Innhold til lærer ligger samlet i Skolen fra Cappelen Damm. Der finner du tavlebøker, arbeidsark, lydfiler osv.

Skolen fra Cappelen Damm I Skolen fra Cappelen Damm tilbyr vi matematikk fra 1–10. trinn. Der presenteres aktuelle læringsstier, filmer, podcaster m.m. Du som lærer kan skape gode fellesopplevelser gjennom det dette. Arbeid med bøkene i Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm i kombinasjon med Skolen fra Cappelen Damm, vil gi gode muligheter for dybdelæring og for å nå målene i LK20.

Grunnleggende ferdigheter Matematikk 5–7 ivaretar de grunnleggende ferdighetene i matematikk etter læreplanen LK20.

problemformuleringer, slik at andre elever forstår og kan løse oppgavene.

Munnlege ferdigheiter

Å kunne lese

«Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å samtale i og om matematikk. Det vil seie å kommunisere idear og drøfte matematiske problem, strategiar og løysingar med andre. Utviklinga av munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å bruke kvardagsspråk til gradvis å bruke eit meir presist matematisk språk.»

«Å kunne lese i matematikk inneber å skape meining både i tekstar frå dagleg- og samfunnslivet og i matematikkfaglege tekstar. Å kunne lese i matematikk vil seie å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon i samansette tekstar. Utviklinga av leseferdigheiter i matematikk handlar om å finne og bruke informasjon i stadig meir komplekse tekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.»

I Matematikk 5–7 innledes hvert kapittel med et samtalebilde og hvert delkapittel med en samtaleoppgave. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema og en innføring i det de skal lære. I disse samtalene introduseres også elevene for matematisk fagterminologi og begreper og får øvelse i selv å ta disse begrepene i bruk. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, og de får øvelse i å bruke det matematiske språket. Hvert kapittel inneholder utforsk sammen-oppgaver. Disse oppgavene er åpne problemløsingsoppgaver. Elevene skal arbeide med disse oppgavene i læringspar eller små grupper. Matematikk 5–7 oppfordrer elevene til å diskutere ulike framgangsmåter og regnestrategier med hverandre, løse problemløsingsoppgavene på sine egne måter og argumentere for det de er kommet fram til.

Å kunne skrive «Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare samanhengar, oppdagingar og idear ved hjelp av formålstenlege representasjonar. Å kunne skrive i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Det inneber å kunne løyse problem og presentere løysingar som er tilpassa mottakaren og situasjonen. Utviklinga av skriveferdigheiter i matematikk går frå å bruke kvardagsspråk til gradvis å bruke eit meir presist matematisk språk.» Matematikk 5–7 legger opp til at elevene hele veien skal skrive oppgaver og løsningsforslag i egen kladdebok. I grunnboka oppfordres elevene til å vise sine løsninger på ulike måter: tegne modeller, figurer, lage tabeller, grafer og diagrammer i tillegg til å finne hensiktsmessige måter å presentere løsninger skriftlig med tall og matematiske symboler på. I tillegg har verket flere oppgaver hvor elevene skal lage tekstoppgaver til hverandre i en gitt kontekst. Da må elvene øve seg på presise

Matematikk 5–7 har oppgaver i kontekst av ulik vanskegrad slik at elevene får øvelse i å lese, tolke og forstå både enkle og sammensatte matematiske problemstillinger. Bøkene har også mange oppgaver hvor elevene lærer å lese av, tolke og forstå ulike tabeller, grafer og diagram. Matematikk 5–7 legger dessuten vekt på å innføre korrekt fagspråk for elevene i løpet av mellomtrinnet. Gjennom sant eller usant-oppgavene, som fins mot slutten av hvert kapittel, får eleven øvelse i å se kritisk på en matematisk tekst og vurdere og ta stilling til om det som står har gyldighet eller ikke.

Å kunne rekne «Å kunne rekne i matematikk vil seie å bruke matematiske representasjonar, omgrep og framgangsmåtar til å gjere utrekningar og vurdere om løysingar er gyldige. Det inneber å kjenne att konkrete problem som kan løysast ved rekning, og formulere spørsmål om desse. Matematikk har eit særleg ansvar for opplæringa i å kunne rekne. Utviklinga av rekneferdigheiter i matematikk handlar om å analysere og løyse eit spekter av stadig meir komplekse problem med effektive og formålstenlege omgrep, symbol, metodar og strategiar.» I Matematikk 5–7 legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene og utvikle evne til å se matematiske sammenhenger. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og får erfaring med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Matematikk 5–7 legger til rette for at eleven skal kunne framstille og presentere løsningene sine både ved hjelp av tegnede modeller og ved presis bruk av matematisk symbolspråk.

GRUNNLEGGENDE FERDIGHETER

Matematikk 5–7 vektlegger at elevene skal vurdere gyldigheten av sine løsninger gjennom utvikling av gode hoderegningsstrategier og overslagsregning. Elevene lærer også å ta i bruk ulike digitale verktøy for å beregne og presentere løsninger på ulike oppgaver både i praktiske dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer.

Digitale ferdigheiter «Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å kunne bruke grafteiknar, rekneark, CAS, dynamisk geometriprogram og programmering til å utforske og løyse

matematiske problem. Vidare inneber det å finne, analysere, behandle og presentere informasjon ved hjelp av digitale verktøy. Utviklinga av digitale ferdigheiter inneber i aukande grad å bruke og velje formålstenlege digitale verktøy som hjelpemiddel for å utforske, løyse og presentere matematiske problem.» Gjennom oppgaver i Matematikk 5–7 presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). I løpet av mellomtrinnet skal elevene bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene og bruke dem til beregninger, presentasjoner og simuleringer.

Utvikling av regnestrategier Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I Matematikk 5–7 jobber vi derfor med flere ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem.

Tellestrategier De aller fleste elever behersker telling som strategi. I Matematikk 5–7 jobber vi hele tiden med å utvikle denne strategien. Å kunne telle forlengs og baklengs med ulike sprang er, sammen med forståelsen av plassverdisystemet, nyttig kompetanse når elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon av store tall.

Automatisering For å kunne regne raskt og sikkert, og for å kunne nyttiggjøre seg gode hoderegningsstrategier, er det nødvendig at en del tabellkunnskap er automatisert. Det vil si at elevene kan det så godt at de ikke behøver å telle seg fram til svaret. I Matematikk 5–7 vektlegger vi nødvendigheten av å fortsette å jobbe med automatisering av tallvennene opp til 20, doblinger og multiplikasjonstabellen.

Strategier i addisjon og subtraksjon N10 I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) mye brukt i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57. Brukt som subtraksjon med samme tall blir det: 32 – 25; 32 – 20 = 12; 12 – 5 = 7.

UTVIKLING AV REGNESTRATEGIER

1010 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men dersom elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18, 20 – 10, og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar. Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan eleven bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24

Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser en strategi som vi i Matematikk 5-7 kaller regning via tiere. Strategien regning via tiere kan også være hensiktsmessig i subtraksjon. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 I Matematikk 5-7 vektlegger vi at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten er den lett å finne i hodet. Dette kan du lese mer om på side 16.

Visuelle modeller Når elevene etter hvert skal regne med store tall, og når de skal forholde seg til kompliserte og sammensatte tekstoppgaver, kan det være nyttig å kunne nyttiggjøre seg gode visualiseringsmodeller. I Matematikk 5-7 viser vi eksempler på dette og oppfordrer elevene til å ta disse i bruk når de trenger det.

Å regne med tid har vist seg å være vanskelig for mange elever. Ved regning med tid er tom tallinje et godt hjelpemiddel. Hvor lang tid er det fra kl. 18.50 til kl. 20.30? +1h

+ 30 min

+ 10 min

Tom tallinje Ideen om den tomme tallinjen kommer fra Freudenthal-instituttet i Nederland. Dette er en lineær regnemåte hvor elevene bruker den kunnskapen de har om tall og telling. En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. En tom tallinje skal være fleksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen. Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

18.50 19.00

20.00

20.30

Number bonds Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. Matematikk 5-7 bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Matematikk 5-7 bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker. Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner. Eksempel:

Eksempel: 450 – 302 = 148 +8

+ 40

302 310

+ 100

350

450

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. –8

– 40

302 310

Etter hvert bruker vi number bonds til å dele opp vilkårlige tall. Elevene kan ha stor nytte av å se hensiktsmessige oppdelinger av tall på en rask måte, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

– 100

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend. – 50

Eksempel 1 54 · 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele 54 opp i tier og enere, 50 og 4. Da får vi 50 · 3 = 150 og 4 · 3 = 12; 150 + 12 = 162

54 50

– 100

+2 300 302

350

450

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Eksempel 2 5:3= Det kan være hensiktsmessig å dele opp 54 i 30 og 24. Da får vi 30 : 3 = 10 og 24 : 3 = 8; 10 + 8 = 18

54 30

VISUELLE MODELLER

Bar models Bar models er et visualiseringsverktøy som brukes for å systematisere problemstillingen i tekstoppgaver. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever. Når vi bruker bar models i Matematikk 5-7, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres. Størrelsen på blokkene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på blokkene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de er til hjelp for å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut. Bar models har et større bruksområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Eksempel Tor og Atman har til sammen 250 kr i lommepenger, Atman har 30 kr mer enn Tor. Hvor mye har hver av guttene i lommepenger?

Tor

? kr

Atman

? kr

30 kr

250 kr

Når elevene møter oppgaver der et tosifret tall skal multipliseres med et annet tosifret tall, kan det være nødvendig å dele opp rutenettet i flere deler for å kunne bruke den kjente delen av multiplikasjonstabellen. 17 · 12 = 10 · 10 + 10 · 7 + 2 · 10 + 2 · 7 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 10

2 Etter hvert som elevene forstår hvordan multiplikasjon og areal henger sammen, kan de frigjøre seg fra det oppdelte rutenettet og gå over til tomt rutenett. Dette er også mer hensiktsmessig etter hvert som elevene møter større tall. Samme eksempel som over kan se slik ut i tomt rutenett: 10

Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett bygger på arealforståelsen av multiplikasjon. Det er nødvendig å være godt kjent med denne modellen av multiplikasjon for å forstå bruken av rutenett og tomt rutenett i multiplikasjoner som går ut over den lille gangetabellen. Eksempel: Et rutenett med fire rader og seks kolonner består av 24 ruter. Rutenettet er en modell av multiplikasjonene 4 · 6 = 24 og 6 · 4 = 24. Dette rutenettet illustrerer den kommutative loven, a · b = b · a. 6

Når elevene etter hvert møter på større tall som skal multipliseres, kan de dele opp rutenettet i kjente multiplikasjoner.

XII

VISUELLE MODELLER

2 Ved å erstatte rutenettet med tomt rutenett kan det tegnes i mer hensiktsmessig størrelse. Elevene kan multiplisere i det kjente området av multiplikasjonstabellen og addere delproduktene for å finne sluttproduktet. Det er ingen regel for hvordan man deler opp multiplikasjonene. Det er viktig at elevene får dele opp slik at de kan bruke multiplikasjoner som de behersker.

Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker I Matematikk 5-7 legger vi stor vekt på den matematiske samtalen. Både den lærerstyrte klassesamtalen og samtale elevene i mellom står sentralt gjennom hele verket. I klassesamtalene er det ofte de samme elevene som tar ordet, gjerne de som av de andre elevene blir sett på som «flinke». For å få fram alles tanker og oppklare misoppfatninger anbefaler vi en metode som vi kaller «Lappemetoden», også kjent som «My favorite no answer». Med denne metoden er det læreren som styrer hvem som snakker, men likevel kan en annerledes tanke fra en annen elev være det samtalen dreier seg om. Denne eleven får da prøvd sin tanke opp mot de andres og får mulighet til å utvide sin kunnskap eller kanskje til og med oppklare en misoppfatning.

Metoden Sørg for alltid å ha nok oppkuttede lapper tilgjengelig i klasserommet. For eksempel et A4-ark delt i 4 eller 8, alt etter hvor mye som skal skrives på lappen. Da kan du alltid ty til denne metoden når du oppdager at det er forvirring eller uklarheter rundt et problem. Spørsmålsstillingen utover i metoden blir litt forskjellig alt etter hva slags problem som belyses. Men det kan foregå omtrent som i punktene under. Vi vil også komme med et par eksempler. • Del ut en lapp til hver elev. • Be eleven skrive navnet sitt på lappen. • Skriv det du vil ha elevens tanker om på tavla. • Be elevene skrive svar eller løsning på lappen sin og legge den opp ned på pulten. • Samle inn lappene. • Sorter svarene i «riktig» og «galt» eller i ulike svaralternativer. • Ta tak i et svar eller løsningsforslag som inneholder en feil eller misoppfatning som du har lyst til å få oppklart. • Skriv løsningsforslaget på tavla. • Fortell hva du er glad for å se ved løsningen (det som er riktig), eller spør elevene hva de ser som er riktig. • Spør så hvordan de tror de elevene som har svart feil, har tenkt.

Det er viktig å understreke at ikke alt er feil. Noe er riktig, og det kan brukes til å oppklare det som ikke er riktig (eller mangler). Etter hvert som du og elevene blir trygge på metoden, kan den brukes både i forbindelse med samtalebildene, enkeltoppgaver i bøkene og til sant-eller-usant-oppgavene. For å vende elevene til metoden kan det være lurt å starte med en åpen oppgave som har mange svar. Da er nok de aller fleste svarene riktige, men det illustrerer godt for elevene at det er mange måter å tenke på, og at det andre tenker ikke nødvendigvis er feil.

Eksempel Det står mange sykler utenfor parken. Syklene har til sammen 11 hjul. Hvor mange sykler tror du det står utenfor parken? Dette er en oppgave som kan gi mange svar. Det finnes tohjulssykler, trehjulssykler, etthjulssykler og sykler med støttehjul. Sjansen for å få mange svar er absolutt til stede. Sorter lappene i bunker med like svar i hver bunke. Begynn med det svaret det er flest av, skriv det på tavla. Si for eksempel: «Jeg ser at mange tror det er seks sykler utenfor parken, og det er fullt mulig.» Spør videre for eksempel: «Hvordan kan det være 6 sykler utenfor parken når de har 11 hjul til sammen?» Selv dette svaret kan ha flere forklaringer. Det kan være fem vanlige sykler og en etthjulssykkel, eller det kan være fem hele sykler og en som mangler et hjul. Gjør det samme med de andre svaralternativene som er kommet fram. I sant-eller-usant-oppgavene på side 48 er et av utsagnene: Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Hvis en eller flere av elevene har skrevet dette som sant i sin besvarelse, kan du bruke denne metoden for å oppklare misoppfatningen. Be eleven skrive det største femsifrede tallet vi kan lage på lappen. Du vil da få mange lapper med 99 999 og trolig én eller flere med 90 000, og kanskje 99 000. Velg for eksempel svaret 90 000. Si at du er glad for å se at tallet har fem siffer, det er helt riktig. Spør så elevene om det er noe mer som er riktig ved dette svaret.

LAPPEMETODEN, EN METODE FOR Å FÅ TAK I HVORDAN ELEVER TENKER

XIII

Da er det bare lov å svare hva som er riktig, ikke hva som er feil! Svaret vil bli at det er 9 på titusenerplassen. Spør om noen kan forklare hvorfor det er riktig. Svaret er for eksempel at 9 er det største sifferet som kan stå på titusenerplassen. Bekreft svaret. Spør videre hva det er som gjør at dette ikke er det aller største tallet vi kan lage med fem siffer. Svaret blir kanskje at det kan stå 9 på alle plassene. Bekreft dette, og skriv 99 999 på tavla.

Spill som metode og pedagogisk virkemiddel I løpet av skoletiden regner elevene en stor mengde matematikkoppgaver fra lærebøkene. Mange elever får en opplevelse av at matematikkfaget er ensbetydende med å finne løsning på problemer andre har satt opp. Spill og lek i matematikkundervisningen, bidrar til • at tallmaterialet som elevene arbeider med, ikke er døde tall fra en bok, men opplysninger og resultater som stammer fra elevens egen arena • at elevene utvikler strategisk tenking, og de erfarer at matematikk er en oppdagelse og ikke en oppfinnelse • at elevene forstår poenget med å automatisere behandling av små tall

La elevene selv oppdage strategier Det er viktig at elevene selv får oppdage strategier. Ved å lære/fortelle elevene strategier kan de kanskje ta disse i bruk i den enkelte situasjonen, men når de ikke har oppdaget/utviklet strategien selv, vil de sannsynligvis ikke være i stand til å overføre den til andre situasjoner. De strategiene som elevene selv oppdager/ utvikler, vil de lettere kunne hente fram igjen og forsøke å bruke i liknende situasjoner. Slik vil de også bli i stand til å utvide strategiene sine. Eksempel I et spill har spillerne to treninger og to kast hver i hver runde. Av hvert kast lager de et tosifret tall. Differansen mellom tallene i de to kastene tar de med seg videre. Den som kommer først til hundre vinner. Strategi 1: For å komme først til 100 er det om å gjøre å få størst mulig differanse i hver omgang. Strategi 2: Ved å velge et stort eller lite siffer som tier i det første kastet er sannsynligheten for å få en stor differanse større. Dette er slike ting som elevene selv bør få oppdage. På den måten utvikles også tallforståelsen.

I spill og lek skjer læringen i en sosial sammenheng. Variasjon i metoder skaper engasjement i faget. Spill og lek skaper fellesskapsopplevelser også i matematikkfaget.

XIV

LAPPEMETODEN, EN METODE FOR Å FÅ TAK I HVORDAN ELEVER TENKER

Velkommen til Fermat Samtalebildene på kapitteloppslagene er hentet fra en fiktiv verden, Fermat. Gjennomgangsfigurene i denne verdenen vil elevene også møte i samtaleruter og oppgaver gjennom hele boka.

(bokmål) Byen Fermat er ikke som andre byer. I Fermat eksisterer fortid, nåtid og framtid samtidig. Det viktigste framkomstmidlet i byen er kabelbanen, men du finner også fortidens luftskip og framtidens passasjerdroner.

(nynorsk) Byen Fermat er ikkje som andre byar. I Fermat eksisterer fortid, notid og framtid på same tid. Det viktigaste framkomstmiddelet i byen er kabelbana, men du finn også fortidas luftskip og framtidas passasjerdronar.

Kabelbanen styres av Kabelbanemester Rut, en dame som nesten aldri sover. Hun har stålkontroll over både kabelbanen og alle andre fartøy i Fermat. Hun er alltid utstyrt med masse verktøy og fikser alt.

Kabelbana styrast av Kabelbanemester Rut, ei dame som nesten aldri søv. Ho har stålkontroll over både kabelbana og alle andre fartøy i Fermat. Ho er alltid utstyrt med masse verktøy og fiksar alt.

Byen styres av Borgermester Baye, en blid og rettferdig mann. Han er opptatt av at Fermat skal ha en god og bærekraftig utvikling, og at alle som bor der skal ha det bra.

Byen styrast av Borgermeister Baye, ein blid og rettferdig mann. Han er oppteken av at Fermat skal ha ei god og bærekraftig utvikling, og at alle som bur der skal ha det bra.

I et av de merkeligste husene i Fermat bor oppfinneren Plex, en fargerik og travel dame med et stort hjerte for andre. Akkurat nå driver hun og bygger på huset, så hun har det ekstra travelt.

I eit av dei merkelegaste husa i Fermat bur oppfinnaren Plex, ei fargerik og travel dame med eit stort hjarte for andre. Akkurat no driv ho og byggjer på huset, så ho har det ekstra travelt.

Henrik, Ada og Maxi er tre foreldreløse barn som bor hos Plex.

Henrik, Ada og Maxi er tre foreldrelause barn som bur hjå Plex.

Henrik er eldst og var den første som flyttet inn. Han er så interessert i matematikk at Plex har funnet opp et par magiske briller til han. Med dem kan han se mange spennende, matematiske løsninger.

Henrik er eldst og var den fyrste som flytta inn. Han er så interessert i matematikk at Plex har funne opp eit par magiske briller til han. Med dei kan han sjå mange spennande, matematiske løysingar.

Ada er ei jente som alltid ser etter praktiske løsninger. Hun er fast bestemt på at ingenting skal kastes, alt kan brukes. Plex har funnet opp en helt spesiell sekk til henne som hun kan ta med seg overalt. Der finner hun alltid det hun trenger for å løse et problem.

Ada er ei jente som alltid ser etter praktiske løysingar. Ho er fast bestemt på at ingenting må kastast, alt kan brukast. Plex har funne opp ein heilt spesiell sekk til ho som ho kan ta med seg overalt. Der finn ho alltid det ho treng for å løyse eit problem.

Maxi er den minste av barna i huset til Plex. Maxi er bevegelseshemmet, og da hun kom til Plex, kunne hun ikke gå. Men nå har Plex funnet opp et mekanisk skjelett til henne. Med det kan Maxi både gå, løpe og hoppe.

Maxi er den minste av barna i huset til Plex. Maxi er rørslehemma, og då ho kom til Plex, kunne ho ikkje gå. Men no har Plex funne opp eit mekanisk skjelett til ho. Med det kan Maxi både gå, springe og hoppe.

Plex har også to roboter, Bio og Leo, og katten Radius som slett ikke er som andre katter. Disse blir du bedre kjent med i kapittel 1.

Plex har også to robotar, Bio og Leo, samt katten Radius, som slett ikkje er som andre kattar. Desse blir du betre kjend med i kapittel 1.

VELKOMMEN TIL FERMAT

KAPITTEL 1

Introduksjon til kapittel 1

Addisjon og Subtraksjon

Hoderegningsstrategier Forskning viser at 85 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev.

MÅL • utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i addisjon og subtraksjon • utforske, bruke og beskrive plassverdisystemet • utvikle og bruke skriftlige metoder for addisjon og subtraksjon • vurdere og gjøre hensiktsmessige overslag

BEGREPER siffer, addisjon, subtraksjon, sum, differanse, dobling, halvering, tiervenner, plassverdisystemet, utvidet form, overslag

Vi anbefaler derfor å jobbe med, og utvikle, noen ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem. I dette kapitlet tar vi for oss noen av de mest kjente hoderegningsstrategiene. Flere av strategiene vil være kjente for elevene. Vi anbefaler likevel å bruke tid på dette, for å sikre at alle får et bevisst forhold til valg av regnestrategi i ulike situasjoner.

Ulike strategier i addisjon I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) den mest brukte i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20= 52; 52 + 5 = 57.

1 8

Addisjon og subtraksjon

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MÅL

BEGREPER

• utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i addisjon og subtraksjon • utforske, bruke og beskrive plassverdisystemet • utvikle og bruke skriftlige metoder for addisjon og subtraksjon • vurdere og gjøre hensiktsmessige overslag

ƐŝīĞƌ͕ ĂĚĚŝƐũŽŶ͕ subtraksjon, sum, ĚŝīĞƌĂŶƐĞ͕ ĚŽďůŝŶŐ͕ ŚĂůǀĞƌŝŶŐ͕ ƟĞƌǀĞŶŶĞƌ͕ plassverdisystemet, utvidet form, overslag

I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18; 20 – 10 og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar.

Andre nyttige strategier Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det er ikke meningen at elevene skal skrive denne oppstillingen, men tenke den.

Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65

Begge eksemplene viser den strategien som vi i dette kapitlet har kalt regning via tiere.

Strategier for subtraksjon I dette kapitlet har vi vektlagt at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi, dette for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50–26=50–25–1=24. Strategien regning via tiere kan også brukes i noen tilfeller. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 Når man jobber med hoderegning generelt, er det nødvendig at elevene får forklare hvordan de kom fram til svaret. Denne matematiske samtalen vil hjelpe elevene til å sette ord på matematikken, de vil lære av hverandre, og de vil også erfare at det fins mange måter å komme fram til rett svar på. Et feil svar kan også være til god hjelp i undervisningen for å avdekke vanlige misoppfatninger. Se «En metode for å få tak i hvordan elevene tenker» på side XIII.

Historie Tunge løft Familien til Plex har vokst fra å være én alene til å bli én voksen, tre barn, to roboter og en katt. «Mat til så mange orker jeg ikke å bære i hus,» sukket Plex en dag hun hadde vært og handlet. «Hvis jeg bygger ut huset med et gartneri, kan vi dyrke mesteparten av det vi spiser». «For en fantastisk idé» jublet Ada, og nå er de i full gang med byggingen. Alle har hver sine oppgaver og alle hjelper til. Katten Radius ligger og følger med på det som skjer, han vil ha full oversikt og raskt kunne fly bort til den som trenger hjelp. Ja, du hørte riktig, katten Radius kan fly. Plex har nemlig funnet opp en superkatt-kappe. Når Radius tar på seg kappen, kan han både snakke og fly. Akkurat nå lurer han på om han må hjelpe Leo og Bio, som står midt oppe i et problem. Stillaset må flyttes, og Leo gjør seg klar til å løfte. «Stans!» roper Bio, «du kommer til å løfte deg i stykker.» «Nei da,» sier Leo, «jeg bare skrur opp kjempekreftene mine et par hakk, da kan jeg løfte mer enn dette». «Da må jeg i hvert fall smøre tannhjulene dine først,» sier Bio, som fortsatt tenker at dette kan bli for tungt.

Stativet veier 136 kg, og plata på toppen veier 99 kg. Kan du raskt regne ut hvor mye Leo må skru opp kjempekreftene sine til for å kunne løfte hele stillaset?

Slik tenker Henrik, Ada og Maxi: Henrik setter på seg brillene og ser en addisjon stilt opp under hverandre. Han begynner å regne i hodet, det blir mange tieroverganger og minnetall. Men Henrik er flink til å regne i hodet, så han kommer fram til at Leo må skru opp kjempekreftene sine til 235 kg. Ada, som alltid ser praktisk på problemene, tenker: «Hvis jeg flytter en av kiloene fra stativet til plata på toppen blir det 135 + 100, og det er jo lett.» Maxi er så fornøyd med å kunne hoppe at hun alltid hopper på tomme tallinjer. Hun starter på 136, hopper hundre fram til 236 og én tilbake fordi 99 er én mindre enn hundre. Da står hun på 235. Se på de andre tallene på bildet. Lag regneoppgaver og snakk sammen om hvilke ulike hoderegningsstrategier som kan være nyttig å bruke. For eksempel: • Dobling – nær dobling • Halvering – nær halvering • Tiervenner – regne via hel tier og hel hundrer

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Metoder for automatisering av tallvenner. Tallvenner på ukeplanen Gjennom hele mellomtrinnet bør tallvennene opp til 20 i perioder stå på ukeplanen på samme måte som øveord. For eksempel 1 + 10 = 11, 2 + 9 =11, 3 + 8 = 11 osv.

Automatisering av tallvenner Elever som har automatisert alle oppdelingene av tallene (tallvennene) fra 1 til 10, har bedre forutsetning for å lykkes og trives med matematikken. Å automatisere tallvennene til for eksempel tallet 8 innebærer å kunne alle tallpar som til sammen blir 8. Når denne kunnskapen er automatisert, går det mye raskere å regne i hodet. Når elevene for eksempel vet at 5+ 3 = 8, vil de videre se sammenhengen til subtraksjon, 8 – 3 = 5 og 8 – 5 = 3. De vil også være i stand til å overføre dette til 50 + 30 = 80 osv. Automatisering av tallvennene er derfor grunnleggende for effektive strategier i addisjon og subtraksjon.

Spill som metode I arbeid med automatisering av tallvenner er hoderegning og ulike spill ofte mer effektivt enn regning på papir. Det fins mange terning- og kortspill som er gode å bruke til dette. Vi gir her eksempel på et kortspill som kan brukes til automatisering av alle tallvennene opp til 13. Eksemplet viser spillet brukt på tiervenner.

De elevene som i tillegg klarer å automatisere tall-vennene opp til 20, vil få det mye lettere når de skal addere og subtrahere tall med tieroverganger. Når de for eksempel har automatisert at 5 + 8 = 13, kan de bruke den kunnskapen til å regne ut 45 + 8 = 40 + 13 = 53.

Samtale Samtal med elevene om ulike hoderegningsstrategier. Det første av målene for dette kapitlet er: Utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i addisjon og subtraksjon. Når elevene kan slike hoderegningsstrategier godt, blir det lettere for dem å regne med tall med høyere verdier.

Hoderegning Samtale Hvordan kan du løse disse oppgavene ved hoderegning? 6+

1.1

1.2

La elevene forklare og drøfte hvorfor de valgte de ulike strategiene. 1.3

Oppgave 1.1 og 1.2 Hoderegningsoppgaver der elevene skal se sammenhenger mellom tiervenner og hvordan det kan brukes for å regne med større tall.

1.4

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

50 – 25

25 + 14

Regn ut. Hvordan tenker du? b) മϱ н ϴ с a) മϴ н ϯс ϭϱ н ϴ с ϭϴ н ϯс ϰϱ н ϴ с ϳϴ н ϯс

c) മϰ н ϳ с Ϯϰ н ϳ с ϱϰ н ϳ с

Regn ut. Hvordan tenker du? b) ϭϭ ʹ ϲ с a) ϭϬ ʹ ϳс ϯϭ ʹ ϲ с ϮϬ ʹ ϳ с ϱϭ ʹ ϲ с ϰϬ ʹ ϳ с

c) ϭϲ ʹ ϴ с ϱϲ ʹ ϴ с ϵϲ ʹ ϴ с

Regn ut. a) Ϯϳ н ϭϬ н Ϯ с Ϯϳ н ϭϮ с

b) ϯϰ н ϮϬ н ϱ с ϯϰ н Ϯϱ с

c) ϰϮ н ϯϬ н ϲ с ϰϮ н ϯϲ с

d) Ϯϴ н ϰϬ н ϴ с Ϯϴ н ϰϴ с

e) ϲϵ н ϯϬ н ϭ с ϲϵ н ϯϭ с

Ϯϱ н ϯϬ н ϳ с Ϯϱ н ϯϳ с

100 til sammen. Sett inn tallene som mangler. Skriv regnestykkene. a) ϯϬ н с ϭϬϬ b) ϰϬ н с ϴϬ c) ϱϬ н с ϭϬϬ d) ϭϬϬ с

25 + 2

12 + 9

100 – 97

La elevene arbeide sammen i læringspar med oppgavene. Samtal deretter med elevene om hvilke hoderegningsstrategier de brukte på de ulike oppgavene. Kanskje brukte noen ulike strategier på samme oppgave.

Oppgave 1.3 Oppgaver hvor et av tallene er delt opp i tiere og enere. Samtal med elevene om dette gjør utregningene enklere. Kanskje noen ville delt opp tallene på en annen måte?

н ϭϬ

e) ϭϬϬ с

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

н ϴϬ

ϭϬϬ с

н ϲϬ

• Hvis en spiller ute i spillet legger opp en tier, kan den som er raskest, slå på denne. Da vinner han hele den bunken som tieren ligger på, mens den andre bunken blir liggende. • Hvis en spiller klarer å kjempe til seg alle kortene fra motspilleren, har han vunnet.

Bruk alle kortene fra 1 (ess) til 10 i en vanlig kortstokk. To elever spiller sammen. • Spillerne deler kortbunken mellom seg i to like store deler. En kortbunke legges på bordet foran hver spiller. • Spiller A snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet mellom spillerne. • Spiller B snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet ved siden av kortet til spiller A. Hvis summen av de to kortene er 10, slår den eleven som først ser det, hånden over kortene og legger begge kortene underst i sin bunke. Hvis summen ikke er 10, blir kortene liggende. • Spiller A legger så sitt øverste kort oppå sitt forrige kort. De to synlige kortene er nå spiller B sitt kort og spiller A sitt nye kort. Hvis disse kortene danner 10, kan raskeste spiller slå hånden sin over begge kortbunkene og vinne dem. Hvis ikke, går spillet videre ved at spillerne etter tur legger opp kort til de to synlige kortene danner summen 10 og en av spillerne «snapper» disse.

1.5

Løsningsforslag En mulig strategi kan være å bruke 7-gangen og 2-gangen. Svaret i 7-gangen må være et partall, ellers går ikke resten opp i 2-gangen. Eksempel: 6 marihøner med 7 prikker = 42 prikker. Da er det 58 prikker igjen. To på hver marihøne gir 29 marihøner med 2 prikker. Dette er en av mange løsninger. Tenk på samme måte når det gjelder 3 og 6 prikker. La elevene finne ut hvorfor denne ikke har noen løsninger.

Utvid oppgaven Utfordre flinke og raske elever til å prøve å lage liknende oppgaver. Oppgavene må ha én eller flere løsninger.

Oppgave 1.4 Elevene jobber med hundrevenner, de skal finne hvilke tiere som til sammen blir hundre.

Plex er hos Fermat Bygg og handler.

13 kr

Oppgave 1.5 Elevene jobber med hoderegning opp til 100 i kontekst.

10 kr

12 kr

a) Hvor mange hammere kan hun kjøpe for 100 kr? b) Hvor mange tommestokker kan hun kjøpe for 100 kr? c) Hun kjøper to malerpensler, og betaler med en 100-kroneseddel. Hvilket regnestykke nedenfor viser hvor mye hun skal ha igjen? 100 kr – 26 kr

Differensiering oppgave a) og b) Noen kan velge å kjøpe kun to ting og finne ut hvor mye det koster.

26 kr – 100 kr 100 kr + 26 kr

c) Elevene skal identifisere det regneuttrykket som samsvarer med oppgaven. d) Denne oppgaven er utfordrende fordi den krever flere regneoperasjoner.

26 kr + 100 kr

d) Henrik kjøper 12 like verktøy. Han betaler med en 500-kroneseddel og får igjen 344 kr. Hvilket verktøy kjøper han?

Utforsk sammen Dette er en problemløsningsoppgave med flere løsninger. Det er viktig at elevene får bruke sine strategier og ikke får presentert en «rask» løsning. Elevene bør også få lov til å presentere og argumentere for sin løsning. Prosessen er viktigere enn svaret.

Utforsk sammen Hvor mange marihøner med 2 prikker, og hvor mange marihøner med 7 prikker kan det være hvis de har 100 prikker til sammen? Kan dere finne flere løsninger? Hvor mange kan det være av hver hvis marihønene har 3 prikker og 6 prikker, og de har 100 prikker til sammen?

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Løsningsforslag Se over strek.

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Likhetstegnet

Number bonds

Mange elever strever med oppgaver både av typen 62 + = 100 og av typen 91 = 100 - . Noen ganger ser vi at elever regner sammen de tallene de ser, og setter svaret på den åpne plassen.

Vi bruker number bonds for å visualisere tallvenner (oppdeling av tall). Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. På dette oppslaget bruker vi number bonds for å visualisere tall som til sammen blir hele hundrere. Number bonds består av tre ruter, der for eksempel 100 står i den øverste ruten og de to tilhørende tallene skal stå under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker.

Ofte bunner problemet i en forståelse av likhetstegnet som «nå kommer svaret». Det er viktig at elevene får forståelsen av at likhetstegnet betyr «har samme verdi som», dvs. at det som står på høyre og venstre side av likhetstegnet, alltid må ha samme verdi. Denne forståelsen er grunnleggende når elevene senere møter for eksempel likninger og forkorting av brøker.

13 8

Hensikten med oppgave 1.8 på side 9 er å skape bevissthet om betydningen av likhetstegnet. Det er viktig at elevene skriver hele regnestykket, ikke bare svaret. Dette for å skape bevissthet om at det som står på begge sider av likhetstegnet, har samme verdi.

Samtale Elevene skal lære å bruke strategien dobling og halvering for å løse oppgaver med tall som er nær dobling og nær halvering. Se på problemene i samtalen og snakk sammen om hvordan de kan tenke for å løse disse problemene.

Dobling/halvering Elevene har fra de første årene på skolen regnet mye med dobling og halvering og har derfor automatisert kunnskap om doble verdier av mange tall. Ved å utvide bruken av denne kunnskapen til å gjelde flere tall, vil de lettere kunne regne raskt i hodet.

Dobling og halvering Samtale Bio vet hvor mye det dobbelte av 25 er.

Etterpå kan elevene komme med de doblingene de kan. Skriv på tavla. Hvor mange kan dere til sammen? Ta tak i noen av doblingene som elevene har kommet med, og bruk dem som i eksemplene. A

Løsning A Når du vet at 25 + 25 = 50, blir det lettere å regne ut 25 + 26 ved å tenke 25 + 25 + 1 = 51 Da kan du også lett regne ut 25 + 24 ved å tenke 25 + 25 – 1 = 49.

Løsning പEčƌ ĚŽďůŝŶŐ

25 + 25 = 50 25 + 26 = 25 + 25 + 1 = 51

Løsning B Når du vet at 100 – 50 = 50, blir det lettere å regne ut 100 – 49 ved å tenke 100 – 50 + 1 = 51 Da kan du også lett regne ut 100 – 51 ved å tenke 100 – 50 – 1 = 49

Svar: Bio har 51 rør til sammen.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

Bio rydder på byggeplassen. Han har 25 rør i den ene esken, og 26 rør i den andre. Hvor mange rør har Bio til sammen? Bio har også 100 muttere som han skal fordele i to esker. Han legger 49 muttere i den ene esken. Hvor mange muttere legger han i den andre esken?

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

പEčƌ ŚĂůǀĞƌŝŶŐ 100 – 50 = 50 100 – 49 = 100 – 50 + 1 = 51 Svar: Bio legger 51 muttere i den andre esken.

Poenget er at dersom du vet at 8 + 8 = 16, vet du også at 8 + 9 = 17, og med forståelse for plassverdisystemet vet du også at 80 + 90 = 170.

Dobbelt av 4 er 8

Eksempel fra oppgave 1.6 b) 70, 700 og 170. For å løse denne oppgaven hjelper det eleven å ha automatisert at 7 + 7 = 14. Med forståelse for plassverdisystemet vil eleven raskt kunne se at 70 + 70 = 140. Ved å kombinere to kjente doblinger vil eleven også raskt kunne regne ut 170 + 170 som 100 + 100 + 70 + 70 = 200 + 140 = 340. Symmetrilinje En metode for å hjelpe elevene til en bedre forståelse for halvparten og det dobbelte er å jobbe med symmetrilinje. Dobling blir ofte undervist som at man adderer tallet med seg selv eller multipliser tallet med 2. Det gjør det enkelt med dobbelt, men vanskeligere å finne halvparten av et tall. Ved å vise dobling/ halvering med symmetrilinje, som vist på illustrasjonen, blir dobling /halvering visualisert for elevene.

1.6

1.7

1.8

1.9

Doble og halvere hvert tall. b) മϳϬ a) മമϴ 700 മϴϬ 170 800

Halvparten av 8 er 4

Viktige doblinger I likhet med å automatisere tallvenner er det viktig å automatisere en del viktige doblinger. De doblingene som vi viser her, kan settes på ukeplanen på samme måte som øveord. Dobling av alle tallene fra 0 – 10. Hele tier som 10 + 10 = 20, 20 + 20 = 40, osv. Femmere som 15 + 15 = 30, 25 + 25 = 50, 75 + 75 = 150 osv.

Husk å gi nyttige doblinger som øvingsoppgaver på ukeplanen. Les om «Viktige doblinger» over.

d) 500 300 350

c) മϭϴ 180 188

Regn ut. a) ϳ н ϳ с ϳ н ϴ с ϳ н ϲ с

b) ϱϬ н ϱϬ с ϱϬ н ϱϭ с ϱϬ н ϰϵ с

c) Ϯϱ н Ϯϱ с Ϯϱ н Ϯϲ с Ϯϱ н Ϯϰ с

d) Ϯϰ ʹ ϭϮ с Ϯϰ ʹ ϭϯ с Ϯϰ ʹ ϭϭ с

e) ϯϬ ʹ ϭϱ с ϯϬ ʹ ϭϲ с ϯϬ ʹ ϭϰ с

Oppgave 1.6 Elevene skal trene på dobling og halvering av tall og å se sammenhengen mellom tallene. Eksempel fra oppgave b) 70, 700 og 170, er vist i teksten øverst på siden.

ϮϬϬ ʹ ϭϬϬ с ϮϬϬ ʹ ϭϬϭ с ϮϬϬ ʹ മϵϵ с

Oppgave 1.7 Et oppgavesett med dobling, nær dobling og halvering, nær halvering.

Sett inn tallene som mangler. Skriv regnestykkene. ĂͿ ϭϲ с ϴ н ďͿ ϯϬ с н ϭϱ н ϭϱ ĐͿ ϱϭ с Ϯϱ н ĚͿ ϰϴ с Ϯϰ н н ĞͿ ϭϬϬ с н ϱϬ ĨͿ ϯϯ с ϭϲ н н

Oppgave 1.8 Elevene kan løse oppgavene ved å bruke hoderegningsstrategien dobling og halvering + 1, eller – 1. Denne oppgaven er litt vanskeligere enn de forrige, da den ikke følger tradisjonelt oppsett med svaret til slutt.

Henrik og Plex har 24 kr hver. Hvor mange kroner har de til sammen?

1.10 Leo har 50 kr og kjøper enn sag for 226 kr.

Oppgave 1.9 og 1.10 Dobling og nær halvering i kontekst.

Hvor mange kroner har han igjen?

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Spill om dobling, halvering

Et mer utfordrende spill om dobling/ halvering

Utstyr Terning, helst 0–9 terning eller en 0–9 spinner eller tallkortene fra en kortstokk (ess = 1).

Antall spillere 2–4 elever

Hva spillet går ut på Bruk en terning, helst en 0–9-terning, spinner eller tallkort kort. Elevene kaster terning eller trekker kort etter tur. Dersom de får et partall, noterer de halvparten av verdien, hvis de får et oddetall, noterer de den doble verdien. Den som har høyest poengsum etter for eksempel 10 kast/spinn/trekk, har vunnet.

Hva spillet går ut på Bruk to terninger, helst 0–9-terninger, spinner, eller kort. Etter tur kaster spillerne to terninger, spinner to ganger eller trekker to kort og lager et tosifret tall. Tosifrede partall skal halveres, tosifrede oddetall skal dobles. Poengene noteres etter hver runde. Den som har høyest sum etter for eksempel fem runder har vunnet. Eksempel: En spiller kaster, spinner eller trekker 2 og 7. Da kan spilleren velge om han lager 27 som kan dobles eller 72 som kan halveres. Får spilleren to partall må tallet halveres og ved to oddetall må tallet dobles.

Oppgave 1.11 Dobling og halvering i kontekst. Legg merke til om elevene skriver ½ ts eller 0,5 ts når de halverer oppskriften. Begge deler er riktig.

1.11 Henrik lager vafler til matpausen. Han bruker denne vaffeloppskriften:

Vafler

Differensiering Utfordre eleven med å endre oppskriften til å doble og halvere oppskriften hvis det står 1 ½ dl sukker.

Utforsk sammen Elevene drøfter oppgaven sammen og forteller hverandre hvordan de bruker det de kan om nær dobling og nær halvering når de skal løse oppgavene. Kan strategien brukes på alle oppgavene? Hvis ikke, hvilken hoderegningsstrategi bruker de der?

a) På mandag dobler han oppskriften. Hvordan blir oppskriften da? b) På onsdag halverer han oppskriften. Hvordan blir oppskriften da?

Utforsk sammen Regn ut. Hvordan tenker dere?

130 + 140

300 –

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

53 + 5

150

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

65 + 6

0 20

–9

0–

Variant Spillerne kan spille etter de samme reglene, men det er den som har lavest sum til slutt som vinner.

2 6

3 5

Nyttige doblinger

മϭϬ н മϭϬ с മϮϬ н മϮϬ с മϯϬ н മϯϬ с മϰϬ н മϰϬ с മϱϬ н മϱϬ с മϲϬ н മϲϬ с മϳϬ н മϳϬ с മϴϬ н മϴϬ с മϵϬ н ϵϬ с ϭϬϬ н ϭϬϬ с

Nyttige doblinger som hjemmelekse på ukeplanen

Du kan benytte kopioriginal side 254.

മമϱ н മമϱ с മϭϱ н മϭϱ с മϮϱ н മϮϱ с മϯϱ н മϯϱ с മϰϱ н മϰϱ с മϱϱ н മϱϱ с മϲϱ н മϲϱ с മϳϱ н മϳϱ с മϴϱ н മϴϱ с മϵϱ н മϵϱ с ϭϬϱ н ϭϬϱ с ϭϭϱ н ϭϭϱ с ϭϮϱ н ϭϮϱ с

Oppgave 1.12 Plankene på tralla på illustrasjonen er de plankene som snekkeren har. Elevene velge planker som passer til oppgavene blant de som er merket med A–M.

1.12 Snekker Ylva har en tralle med planker. Hun trenger flere planker og skal plukke dem blant plankene nedenfor. Hvilke planker kan hun velge som er a) dobbelt så lange som de på tralla? b) omtrent dobbelt så lange som de på tralla? c) halvparten så lange som de på tralla? d) omtrent halvparten så lange som de på tralla?

m A. 75 cm B. 120 cm 00 cm C. 300 D. 26 cm

1 cm m ͘ഩ 101

202 cm cm പ&͘ഩ 202

m G. 405 ccm 24 4 cm H. 224 I.

25 cm 251 m

226 26 cm 2

25 cm 250 c

പ<͘ഩ 35 cm

98 cm c M. 198

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Automatisering av tiervenner

Tierkabal

På side 8 har vi skrevet litt om viktigheten av at tallvennene er automatisert. Det aller viktigste er å kunne tiervennene da det å gå veien om tiere er en strategi som kan brukes i mange sammenhenger.

Kabalen går ut på at tre og tre kort til sammen skal danne 10, 20 eller 30. Kortene teller egen verdi, esset teller én, og alle bildekortene teller ti.

For å repetere tiervennene kan du bruke ulike terningspill og kortspill. Vi har et eksempel på side 8. Her har vi to tips til, et enkelt spill for 3–4 elever og en vanskelig kabal (kortspill for en elev).

Tiersvarteper Spillet passer best for elevgrupper på 3–4 elever. Regler: • Bruk kortene fra 1 (ess) til 9 og svart konge (som er Svarteper). • Legg ned tiervenner i samme farge som «par» i stedet for to like. • Reglene ellers er som for vanlig Svarteper.

Samtale Repetisjon av tiervennene og videreføring av strategien til tall med høyere verdi. Velg en av tiervennene fra snora og skriv på tavla.

Spillets gang • Begynn med å legge ut fire kolonner med kort, tre kort i hver kolonne (se illustrasjon). • Dersom én eller flere av disse kolonnene består av kort som til sammen danner 10, 20 eller 30 (for eksempel en treer, en sjuer og en knekt), kan denne kolonnen fjernes. De andre kolonnene blir liggende.

Bruke tiervennene Samtale Kjenner du alle tiervennene? 9+1

Vi vet at 8 + 2 = 10. Hvordan kan vi bruke det når vi skal regne ut 28 + 2? Hvordan kan vi bruke det når vi skal regne ut 28 + 12? La elevene sette ord på hvordan de tenker.

8+2

5+5

6+4

7+3

,ǀŽƌĚĂŶ ŬĂŶ ĚƵ ďƌƵŬĞ ĚĞƚ ĚƵ ǀĞƚ Žŵ ƚŝĞƌǀĞŶŶĞƌ ŶĊƌ ĚƵ ƐŬĂů ƌĞŐŶĞ Ƶƚ Ϯϴ н ϭϮ͍ 8+2

28 + 2

28 + 12

Metode 1

Løsnignene uder streken viser to ulike måter å bruke tiervennene på når vi skal addere større tall. Begge metodene er likeverdige.

Ϯϴ н ϭϮ с ϮϬ н ϭϬ н ϴ н Ϯ с ϰϬ 10

Be elevene komme med flere eksempler. Skriv eksemplene på tavla slik at de blir synlige for alle elevene. Bruk gjerne tallinje og Number bonds som visuell støtte.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

12 8

Metode 2

н ϭϬ Ϯϴ н Ϯ н ϭϬ с ϰϬ 30

н Ϯ 28

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

som den tomme tallinjen gir, blir det også lettere for elevene å finne sprang som er hensiktsmessige.

• Fra håndbunken legges nå ut ett nytt kort på hver kolonne. (I dette eksemplet er det nå tre kolonner med fire kort og en kolonne med bare ett kort.) • Dersom det siste kortet som ble lagt på kolonnen, kan danne 10, 20 eller 30 sammen med to av de andre kortene som ligger i kolonnen fra før, kan disse kortene fjernes fra kolonnen. • Slik fortsetter spillet til alle håndkortene er brukt opp. Husk at for hvert utlegg kan siste kort brukes sammen med hvilke som helst av de andre kortene i kolonnen for å danne 10, 20 eller 30, men det må alltid være tre kort.

En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. Tom tallinje skal være fleksibel. Noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg av gangen. Eleven starter ofte på den første addenden og deler opp den andre addenden i hensiktsmessige størrelser. For eksempel 77 + 56, her kan eleven starte på 77. Avstanden mellom hoppene betyr ikke noe. Det viktigste er utregningen.

Tom tallinje Mange elever opplever addisjon og subtraksjon av tosifrede tall som vanskelig. Å beherske hoderegningsstrategier og ha automatisert tallvenner opp til 20 er til god hjelp. Mange elever vil også ha god hjelp av å bruke en tom tallinje som støtte. Ved å bruke tom tallinje kan elevene bruke de addisjons- og subtraksjonssprangene som de behersker. Ved den visualiseringen

77 + 56 +3

b) മϱϲ н മϰ с മϱϲ н Ϯϰ с ϭϱϲ н Ϯϰ с

ϳϱ н മϱ с ϳϱ н Ϯϱ с ϭϳϱ н Ϯϱ с

d) മϮϴ н Ϯ с ϭϮϴ н ϱ с ϯϮϴ н ϱ с

e) മϯϲ н ϰ с മϯϲ н ϳ с Ϯϯϲ н ϳ с

മϲϵ н ϭ с ϭϲϵ н ϯ с ϰϲϵ н ϯ с

1.14 Henrik bruker kunnskapen sin om tiervenner når han regner sluttsummen han fikk i Yatzy. a) I hvilken rekkefølge regner han tallene? b) Hva blir sluttsummen?

Enere

с ϭϬ ϭϬ

н н

с ϭϲ ϭϲ

с Ϯϲ Ϯϲ

с Ϯϲ

Toere

Treere

Firere

Femmere

Seksere

с ϲ ϲ

с ϭϳ ϭϳ

Løsning Dette er en problemløsningsoppgave som det er viktig at elevene jobber med og prøver å finne egne strategier for å løse. Ikke presenter en løsning, men prøv å få fram hvilke strategier elevene brukte da de løste oppgaven.

с Ϭ

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

133

Utforsk sammen Presiser at samme figur alltid representerer samme tall i en oppgave. Den første oppgaven er relativt grei, mens den siste er svært utfordrende.

A `Z Á\j A^ jggZZg ^ ]]kkZZgg Vkk d ee\V \ kZccZ betyr like tall.

Hvilke tall skjuler seg bak disse figurene? -

100

d), e) og f) Elevene skal regne ut svaret på oppgavesettene i hodet ved å bruke strategien med tiervenner, fylle opp tier. Eksempel: 128 + 5 = 128 + 2 + 3 = 130 + 3 = 133. La de elevene som trenger det, bruke tom tallinje.

Utforsk sammen Hvilke tall skjuler seg bak figurene?

+ 33

Oppgave 1.13 a), b) og c) Elevene skal regne ut svaret på oppgavesettene i hodet ved å bruke strategien med tiervenner. De kan bruke svaret på første oppgave i hvert sett til å løse de neste.

1.13 Regn ut. a) മϰϳ н മϯ с മϰϳ н ϭϯ с ϭϰϳ н ϭϯ с

+ 20

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Subtraksjon som å ﬁnne differanse/ forskjell

Ofte blir subtraksjon forklart for elevene som å trekke fra eller å ta bort. For mange elever er det vanskelig når de etter hvert skal løse tekstoppgaver der det spørres etter forskjellen eller differansen. Strategien «ta bort» holder ikke når vi skal sammenlikne to mengder. Når en elev for eksempel skal finne ut hvor mye eldre Jens er enn Lina, er det fortsatt regnearten subtraksjon som skal brukes, men det er ikke noe som skal tas bort. Tvert imot assosierer begrepet «eldre enn» til en økning. Det er derfor viktig å vektlegge subtraksjon som det å finne forskjellen eller differansen framfor det å ta bort eller trekke fra.

–3

–4

At elevene har en ensidig forståelse av subtraksjon som å ta bort eller trekke fra, kan være årsaken til at elevene spør om det er pluss eller minus når de møter tekstoppgaver som spør etter en forskjell.

Eksempel Jens er 24 år, Lina er 17 år. Hvor mye eldre er Jens enn Lina?

Regnearten subtraksjon brukes også når vi skal finne ut hvor mye vi mangler, da er det heller ikke noe som skal tas bort, tvert imot, vi må ha mer. Det vi skal finne ut, er differansen mellom det vi skal ha og det vi faktisk har.

Ved bruk av tom tallinje spiller det ingen rolle om du teller oppover fra 17 til 24 eller nedover fra 24 til 17. Noen elever foretrekker å telle oppover fordi de er tryggere på å telle forlengs enn baklengs.

Samtale Elevene skal lære hoderegningsstrategien med å tenke via hel tier. La elevene sett ord på hvordan de tenker. Under streken er strategien visualisert ved hjelp av tom tallinje. Bruk tom tallinje på tavla, og la elevene komme med eksempler på andre regnestykker hvor det er rasjonelt å tenke via hel tier.

Tenke via hel tier Samtale A

Oppgave 1.15 Tallinjene viser samme strategi som i samtalen. Elevene skal finne ut hvilket regnestykke illustrasjonen passer til.

Petter lager grøt på skolen. Han har 65 dL melk i grøten, men trenger 9 dL til. Hvor mange desiliter melk har han i grøten til sammen? Evy blander saft til grøten. Evy vil blande 48 dL saft, men fant ut at det var litt for mye, og reduserte mengden med 9 dL. Hvor mange desiliter saft blander Evy?

Løsning ϲϱ н ϵ с ϲϱ н ϭϬ ʹ ϭ с 74

н ϭϬ ʹ ϭ

Oppgave 1.16 Elevene skal regne i hodet. Elevene kan bruke resultatet fra de første oppgavene i hvert oppgavesett til å løse de neste. De elevene som trenger det, kan bruke tom tallinje.

Svar: Petter har 74 dL melk i grøten.

ϰϴ ʹ ϵ с ϰϴ ʹ ϭϬ н ϭ с 39 ʹ ϭϬ

Oppgave 1.17 Elevene løser oppgavene ved å hente informasjon fra illustrasjonen. I oppgave b) ber vi elevene finne differansen. Dersom elevene ikke er kjent med begrepet bør dere bruke tid på dette. Se artikkel og forslag til spill over streken på dette oppslaget.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

н ϭ 38

Svar: Evy blander 39 dL saft og vann.

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Eksempel Vi er 19 elever som skal ha en blyant hver. Vi har 13 blyanter. Hvor mange blyanter mangler vi? I hodet bruker vi subtraksjon for å finne differansen mellom det vi skal ha og det vi har. Problemstillingen i oppgaven kan det imidlertid være naturlig å sette opp som et addisjonsstykke: 13 + = 19

Begrepene ﬂere enn og færre enn De fleste elevene behersker begrepet «flere enn», for eksempel at det er flere gutter enn jenter i klassen. Men begrepet «færre enn» er lite i bruk blant barn. Oftest vil de si at det er mindre jenter enn gutter i klassen, i stedet for å bruke det korrekte begrepet, det er færre jenter enn gutter i klassen. Det er viktig at du som lærer er konsekvent i bruken av begrepet færre enn når det er snakk om antall. I en samtale om differanse kan det være lurt å lage eksempler hvor dette begrepet inngår.

Dette er i praksis en likning hvor den ukjente mengden illustreres med firkant i stedet for x. I kapittel 5 vil elevene møte x som symbol for ukjent mengde. Å ha erfaringer med slike oppstillinger som i eksemplet over vil gjøre det lettere for elevene å forstå hva x er.

Det er viktig at elevene øver seg på å kommunisere svaret de kommer fram til i tekstoppgaver. Da får de øvelse i å se på problemstillingen og gi svar på denne. Dette kan også hjelpe elevene til å se om svaret de har kommet fram til, er sannsynlig. Flere rapporter fra internasjonale undersøkelser viser at norske elever er for dårlige til å vurdere svaret sitt.

1.15 Lag regnestykker som passer til tallinjene. a)

н ϭϬ 32

ʹ ϭ 41

ʹ ϭϬ

н ϭ 58

1.16 Regn ut med hele tiere. Tegn tom tallinje hvis du vil. a) ϯϳ н മϵ с ϯϳ н ϭϵ с ϯϳ н ϭϴ с

c) ϯϳϲ ʹ മϵ с ϯϳϲ ʹ ϭϴ с ϯϳϵ ʹ ϭϵ с

b) ϰϯ ʹ മϵ с ϰϯ ʹ Ϯϵ с ϰϯ ʹ Ϯϴ с

1.17 Henrik, Maxi og o Ad Ada kjøper brukt sportsutstyr. r 337 k

Når en elev for eksempel har regnet ut c) i denne oppgaven, er svaret: Han får igjen 21 kr, eller i det minste 21 kr. Tallet 21 alene er ikke et fullgodt svar på problemstillingen.

249 krr 24

118 kr

19 kr

1799 kr

68 kr

Denne oppgaven består av enkle hoderegningsoppgaver som egentlig ikke krever noen oppstilling, de er derfor godt egnet til å la elevene øve seg i å skrive gode svarsetninger.

129 kr

a) Sorter sportsutstyret etter pris. Start med den billigste. b) Regn ut differansen mellom den dyreste og den billigste. c) Henrik kjøper en tennisracket. Han betaler med 200 kr. Hvor mye får han igjen? d) Ada har 39 kr. Hvor mye mangler hun for å kjøpe sparkesykkelen? e) Maxi har 500 kr og kjøper en tennisracket. Resten av pengene bruker hun på tennisballer. Hvor mange tennisballer kan hun kjøpe?

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Differensiering Utfordre elevene med denne problemstillingen. Kjøp så mye du kan for 1000 kr. Hvem klarer å komme nærmest 1000? 19

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Titallsystemet har fire karakteristiske trekk som det er viktig at elevene utvikler en forståelse for: • Plassen et siffer står på, avgjør verdien. • Vi har en gruppering av tiere. • Vi bruker 0 som plassholder. (Den markerer • en mengdeangivelse. Når sifferet 0 står på for eksempel tierplassen, markerer det at vi ikke har noen tiere.) • Vi kan finne et talls verdi ved å addere alle plassverdiene.

Siffer og tall I dette kapitlet bruker vi begrepet siffer. Elevene bør lære å ta i bruk dette begrepet. Titallsystemet har sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Når disse står alene, er de også tall. Alle flersifrede tall består av en kombinasjon av disse sifrene. Det er da sifrene og deres plassering som utgjør tallet. Når vi snakker om flersifrede tall, bør vi være konsekvente og si: «Sifferet på hundrerplassener...»,og unngå formuleringen «tallet på hundrerplassen er ...». Hvis en elev sier: «Tallet på hundrerplassen er ...», så gjenta gjerne: «Ja, sifferet på hundrerplassen er ...»

Det er utviklet ulike typer konkretiseringsmateriell som kan være til hjelp for å utvikle forståelsen av plassverdisystemet. Slikt materiell kan brukes både til å illustrere tall og som hjelpemiddel ved løsning av oppgaver. Disse hjelpemidlene vil oftest være lettest å bruke for de elevene som allerede har en idé om plassverdisystemet.

Titallsystemet er et plassverdisystem Å forstå plassverdisystemet (posisjonssystemet) er grunnleggende i arbeid med matematikk. Undersøkelser viser at elever på mellomtrinnet som strever med matematikk, ofte mangler denne grunnleggende forståelsen (Neumann 1989). Disse elevene får også problemer med måleenhetene som er bygd opp rundt titallsystemet, og de får problemer med desimaltallene.

Samtale Hva trenger vi av base 10-materiale for å kunne bygge dette tallet? Bygg tallet og bruk dette når dere analyserer tallet.

For mange elever vil det å arbeide med penger være et godt konkretiseringsmateriell. Å veksle enkroner i tikroner og tikroner i hundrekroner er situasjoner som de kjenner fra dagliglivet.

Plassverdisystemet Samtale Tallet 6723 består av fire siffer. Hvor mange tusener, hundrere, tiere og enere består tallet av?

Hvor mange enere er det i tallet? (6 723 enere) Hvor mange tiere? (672 tiere) Hvor mange hundrere? (67 hundrere) Hvor mange tusenere? (6 tusener) Spør videre hvor mange sifre tallet har. (4)

Metode 1

Analyser nå tallet ut fra sifferverdi. Hvilken verdi har sifferet 6 i dette tallet? (6000) Vis til at dette er representert med de 6 tusenblokkene. Hvilken verdi har sifferet 7 i dette tallet? (700) De sju hundrebrettene. Hvilken verdi har tallet 2 i dette tallet? (20) De to tierstavene. Hvilken verdi har tallet 3 i dette tallet? (3) De tre enerkubene.

Metode 2

6723 6000

Under streken på denne siden har vi vist to andre metoder for å visualisere tallet. Vi anbefaler likevel at dere bruker konkretene i base 10-materialet dersom dere har det tilgjengelig.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

700

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Hjelpemidler som illustrerer enere, tiere, hundrere er for eksempel: • base 10-materiale (omtales på side 26) • pinner som er buntet i tiere • hundrerark som kan klippes i tiere og enere • kort med tallnavn for hele hundrere, tiere og enere som kan legges oppå hverandre • centikuber • abakus

Vis elevene en 1000-kube og spør: Hvor mange enere er det i 1000? Vis en enerterning. Hvor mange tiere er det i 1000? Vis tierstav. Hvor mange hundrere er det i 1000? Vis hundrerbrett. Lag et tall med materialet. For eksempel 1 539. Skriv tallet. Hva skjer når du legger til en tierstav? Skriv det nye tallet. Hva er forandret? Og hva er likt?

Base 10-materiale Gå tilbake til det opprinnelige tallet. Hva skjer når du tar bort en tierstav? Gjenta det samme med hundrebrett.

Base 10-materiale er konkretiseringsmateriell som kan brukes til å illustrere flersifrede tall. Det består av tusenkube, hundrebrett, tierstaver og enerterninger.

Hvis du, som her, velger et tall med for eksempel 9 enere, kommer dere i den situasjonen at de ti enerterningene kan veksles inn i en tierstav.

Tell videre med tallet. En om gangen, 10 om gangen, 100 om gangen og 1000 om gangen, forlengs og baklengs. Det å telle forlengs og baklengs er viktig å ha med seg videre til addisjon og subtraksjon.

1.18 Hvilken verdi har sifferet som er understreket? a) 118

b) 349

c) 2103

d) 68

e) 301

1984

1.19 Hvilken verdi har sifferet 3 i hvert av disse tallene? a) 135

b) 1312

c) 3175

d) 4093

e) 3054

6345

Kan dere skrive et tall som har 200 høyere verdi enn 6 723? Hvordan kan vi skrive et tall som har 300 høyere verdi enn 6 723?

1.20 Skriv som tall. ŽŐ ƚŽůǀ

ĞƩ ƚƵƐĞŶ Ŷŝ ŚƵŶĚƌĞ

ƚƵƐĞŶ ŽŐ

ƚƌĞƫĊƩĞ

ƌĞ

Ő ƚ ĚƌĞ Ž

Ŷ ƩĞ ŚƵ ƐĞŶ Ċ

Ɵ ƚƵ

ƌĞ

ƵŶĚ

Ś ĞŶ ŶŝƩ

ƐĞŬƐƟƐ

ũƵ

Oppgave 1.18, 1.19 og 1.21 Øvingsoppgaver i å finne sifferverdi.

ŬƐ

ƚŽ ŚƵŶĚƌĞ ŽŐ ĨĞŵƟƐĞ

Oppgave 1.20 Utvid oppgaven Elever som er raskt ferdig med denne oppgaven, kan lage sine egne tall som de skriver med sifre og bokstaver.

1.21 Hvilke siffer står på titusener- og hundretusenerplassen? a) 140 438

b) 190 212

c) 963 898

d) 14 508

1.22 Lag tall med sifrene nedenfor.

Ϭ 1 4 9 8 a) b) c) d)

Skriv fem ulike tall med sifrene. Skriv det største tallet som er mulig. Skriv det minste tallet som er mulig. Skriv det tallet som er nærmest 48 000.

Oppgave 1.22 og 1.23 Litt mer krevende oppgaver med sifferverdi.

1.23 Hvor mye øker tallets verdi når sifferet 2 forandres til 8? a) 251

b) 75 429

c) 1520

d) 120 363

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Stige med 8 trinn

• Spillerne skifter tur, slår terning, velger tall og skriver tallet inn i stigen. • Hvis en spiller ikke får dannet et tall som det er plass til i stigen, er det den andre spilleren sin tur.

Utstyr To terninger, papir og blyant. Antall spillere Elevene spiller sammen to og to.

Vinner Den som først får fylt sin stige med tall i stigende rekkefølge, har vunnet.

Hva spillet går ut på Spillet går ut på å lage og plassere tosifrede tall i stigende rekkefølge. Elevene tegner hver sin «stige» med 8 tuter. • Spiller A slår to terninger og velger hvilken terning som representerer tierverdi, og hvilken som representerer enerverdi. Dersom spilleren for eksempel slår 2 og 5, velger han om slaget skal telle 25 eller 52. • Det tallet som spilleren velger, skrives inn på ett av trinnene (rutene) i stigen. • Spiller B gjør det samme.

Oppgave 1.24 og 1.25 Presiser for elevene at de skal telle med 1.

Spillerne må gjøre strategiske valg ut fra sannsynlighet. Spillet bør spilles flere ganger.

Aktivitet Hvilket tall? Læreren skriver et firesifret tall på en post-it-lapp. En elev får lappen på ryggen og stiller seg med ryggen mot klassen. Eleven skal prøve å gjette hvilket tall som står på lappen, og kan stille spørsmål. Klassen har bare lov til å svare JA eller NEI. Eleven kan for eksempel spørre: «Er sifferet på tusenerplassen større enn 5»? Klassen svarer «JA». Eleven: «Er

1.24 Hvilket tall kommer rett etter?

Oppgave 1.27 Denne oppgaven egner seg også godt som samtaleoppgave hvor elevene kan få øvelse i å begrunne hvorfor for eksempel 175 har høyere verdi enn 157.

849

409

399

5099

7009

9990

1.25 Hvilket tall kommer rett før? a)

540

410

400

5200

8000

4010

1.26 Skriv tallene i stigende rekkefølge. a)

251 324

1034

298 315

1120

1043 270

1090

1.27 Hvilket tall har høyest verdi?

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

157

175

251

521

488

884

1042

1024

7040

7400

8010

8100

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Undersøk tallene 2

det mindre enn 8»? Svar: «JA». Elevene vet da at sifferet er enten 6 eller 7, og kan gjette. Gjetter han riktig – for eksempel 6 – skriver han dette sifferet på tavla.

Hvilket tall har flest enere? Hvilket tall har flest tiere? Hvilket tall har flest hundrere? Hvilket tall har flest tusenere?

Andre typer spørsmål kan være: «Er sifferet på hundrerplassen et partall»? Klassen svarer, NEI, altså er det et oddetall.

ϲϳϴ

ϭϮϯϰ

ϱϭ

Læreren kan notere hvor mange spørsmål som må til før eleven kan si hvilket tall det er. Så kan en annen elev prøve seg på samme måte.

ϯϮϭϬ

Undersøk tallene 1 ϰϯϮϱ

ϮϱϬϵ

ϯϮϮϳ

ϳϮϬϯ

ϰϳϱϯ ϯϱϳϰ

ϲϮϯϭ ϴϭϰϯ

ϱϰϮϴ

ϱϵϬ

ϳϯϰϱ

Hva har tallene i hver boks til felles?

Oppgave 1.28 Tallinja er merket med enere, elevene kan telle seg fram og bør gi nøyaktig svar.

1.28 Hvilket tall skal stå der pila peker? a) 950

960

b) 970

980

990

1000

Oppgave 1.29 Tallinja er merket med femmere. a) Eleven bør svare 163 eller 164. b) Eleven bør svare 177 eller 178. c) Eleven bør svare 190.

Hvilket tall skal stå omtrent der pila peker? a) 150

160

b) 170

c) 180

190

200

Oppgave 1.30 Tallinja er merket med hele hundrere, og elevene må i større grad vurdere svarene sine.

1.30 Hvilket tall skal stå omtrent der pila peker? a)

200

400

c) 600

1.31 Borgermesteer Baye har tre sekker med penger. I hvilken sekkk er det mest penger?

പപപപഩ പപപപപഩ

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Å skrive tall på utvidet form

Øv mer ϯ н ϱϬϬ н ϰϬ н ϴϬϬϬ с

Et tall som skrives på utvidet form, deles opp slik at vi skiller fra hverandre enere, tiere, hundrere, tusener osv. På mellomtrinnet sier vi gjerne at vi skriver et flersifret tall på utvidet form når vi skriver det som et addisjonsstykke av for eksempel hele tusenere, hele hundrere, hele tiere og enere. Eksempel: 6 723 = 6 000 + 700 + 20 + 3.

ϭϬ н ϱ н ϲϬϬ н ϮϬϬϬ с ϰϬϬ н ϮϬϬϬ н ϴ н ϯϬ с ϱ н ϳϬ н ϯϬϬϬ с

Når man skriver et flersifret tall som et addisjonsstykke der leddene er produktene av de enkelte sifrene og deres plassverdi, ser man tydelig hvordan et flersifret tall er bygd opp av sifre og plassverdier.

ϯ н ϯϬ н ϯϬϬ н ϯϬϬϬ с ϳϬϬϬ н ϰ н ϱϬϬ с ϱϬ н ϵ н ϲϬϬϬ н ϭϬϬ с

Eksempel: 6 723 = 6 · 1 000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1 I enkelte tilfeller skrives også et tall på utvidet form ved bruk av tierpotenser for plassverdiene. Eksempel: 6 723 = 6 u 103 + 7 u 102 + 2 u 101 + 3 u 100.

Samtale Formålet med denne samtalen er å gjøre elevene fortrolig med begrepet utvidet form, og skape forståelse for hva det vil si å skrive et tall på utvidet form.

ϵϬϬϬ н ϭ н ϳϬϬ с ϴϬ н ϰϬϬϬ н ϳ с

Tall på utvidet form Samtale

4385 Tallet 4385 har fire siffer. പ,ǀŝůŬĞŶ ǀĞƌĚŝ ŚĂƌ ŚǀĞƌƚ Ăǀ ƐŝĨƌĞŶĞ ŝ ƚĂůůĞƚ͍ പ,ǀŽƌĚĂŶ ƐŬƌŝǀĞƌ ǀŝ ƚĂůůĞƚ ϰϯϴϱ ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͍

Se artikkelen over streken. Bakgrunnen for å kunne skrive et flersifret tall på utvidet form er å ha forståelsen for sifferverdiene i det flersifrede tallet.

Løsning

4 3 8 5

4 0 0 0 3 0 0 8 0 5

I oppgave 1.32 er det mange flersifrede tall med ulike egenskaper. La gjerne denne oppgaven bli en utvidet del av samtalen. പϰϯϴϱ с ϰϬϬϬ н ϯϬϬ н ϴϬ н ϱ

Oppgave 1.32 c) Legg merke til at her blir det ingen tiere. e) Legg merke til at her blir det ingen hundrere. Legg også merke til om elevene deler opp 12 000 i 10 000 + 2000.

1.32 Skriv tallet på utvidet form. a) 435 c) 4507 e) 21 034

b) 18 d) 10 450 f) 10 917

1.33 Regn ut. ĂͿ ĐͿ ĞͿ ŐͿ

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

ϮϬϬ н ϰϬ н ϱ с ϭϬϬϬ н ϰ с ϯϬϬϬ н ϯϬ н ϰ с ϳϬϬϬ н ϴ с

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

ďͿ ĚͿ ĨͿ ŚͿ

ϵϬϬ н ϲϬ н Ϯ с ϳϬϬϬ н ϴϬ с ϰϬϬ н ϰϬ с ϴϬϬϬ н ϰϬϬ н ϰ с

Skriv tallene ϭϬ ƐƚƆƌƌĞ

ϭϬϬ ƐƚƆƌƌĞ

ϭϬϬϬ ƐƚƆƌƌĞ

ϰϲϮ ϯϳϵ ϱϵϭ ϳϱ Ϯϱϯϰ ϲϵϱϬ ϯϱϵϬ ϭϵϵϬ ϵϬϬϬ

Oppgave 1.35 Vær oppmerksom, dersom noen elever for eksempel skriver 9 i stedet for 900 i den tomme ruta i oppgave b). Sannsynligvis strever disse elevene fortsatt med å forstå plassverdisystemet fullt ut.

1.34 Skriv tallet på utvidet form. a) 5371 c) 13 037 e) 97 007

b) 5604 d) 84 902 f) 30 058

1.35 Skriv tallene som mangler. ĂͿ ϯϬϬϬ н ϱϬϬ н ϴϬ н ϭ с ĐͿ ϭϬϬϬ н н н ϵ с ϭϲϯϵ ĞͿ ϳϬϬϬ н ϱϬϬ н с ϳϱϬϮ

ďͿ ϱϬϬϬ н н ϮϬ н ϳ с ϱϵϮϳ ĚͿ н ϲϬϬ н ϭϬ н ϰ с ϰϲϭϰ ĨͿ н ϰϬ н с ϯϬϰϯ

Oppgave 1.37 Øveoppgaver med i å telle forlengs og baklengs med 10 og 100. Gjør gjerne tilsvarende telleøvinger muntlig i klassen.

1.36 Fortsett tallfølgen. a)

270

280

960

970

1008

1018

Utforsk sammen I denne oppgaven må elevene analysere tallene for å se hvordan tallfølgen utvikler seg. La elevene gjøre rede for hvordan de gikk fram for å finne mønsteret i tallfølgene.

1.37 Hvilket tall er a) b) c) d)

10 mer enn 463? 10 mindre enn 673? 100 mindre enn 956? 100 mer enn 603?

Utforsk sammen Fortsett tallfølgen. øg ϴϱϭϮ ʹ ϴϲϭϮ ʹ ϴϳϭϮ ͙ ϭϰ ϯϮϬ ʹ ϭϱ ϯϮϬ ʹ ϭϲ ϯϮϬ ͙ ϯϭ ϮϱϬ ʹ ϯϯ ϮϱϬ ʹ ϯϱ ϮϱϬ ͙

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Hemmelig tall

Eksempler på oppgaver

La elevene sitte i grupper på 2–4 elever. Elevene skal finne ut hvilket firesifret tall de skal fram til.

Oppgave A • Tallet har 4 tusenere. • Tallet har halvparten så mange hundrere som tusenere. • Tallet har en tier mer enn det har tusenere. • Tallet har dobbelt så mange enere som tusenere. (Tallet er 4 258.)

For å sikre at alle elevene i gruppa blir aktive deltakere i løsningsprosessen, kan aktiviteten gjennomføres på følgende måte: De fire opplysningene i oppgaven skrives på fire lapper, med én opplysning på hver lapp. Gruppa fordeler lappene seg imellom, og hver elev leser sin opplysning høyt for de andre. Gruppa skal være enig om at de har kommet fram til rett tall.

ar Tallet h . ere n 4 tuse

Dette kan arrangeres som en stafett. Når gruppa er enig om at de har riktig svar, kommer de fram og får en ny oppgave dersom de har riktig svar.

Samtale Illustrasjonen viser addisjon og subtraksjon med 2, 20 og 200.

Tallet har halvparten så mange hundrere som tusenere.

Tallet har en tier mer enn det har tusen ere.

Tallet har dobbelt så mange enere som tusenere.

Addisjon og subtraksjon Samtale Hvilke sammenhenger ser du?

La elevene selv sette ord på hvilke sammenhenger de ser. La flere elever få forsøke. Lag flere eksempler på tavla sammen med elevene.

Oppgave 1.38 Oppgaver hvor elevene bruker strategien fra samtalen over. Oppgave 1.39 Dette er en veldig praktisk oppgave. Mange elever vil klare den ut fra illustrasjonen.

ϰϬϬ н ϮϬϬ с ϲϬϬ

ϲ ʹ Ϯ с ϰ

ϲϬ ʹ ϮϬ с ϰϬ

ϲϬϬ ʹ ϮϬϬ с ϰϬϬ

a) മമϴ н Ϯമമ с മϴϬ н ϮϬമ с ϴϬϬ н ϮϬϬ с

b) മമϭϬ ʹ ϳമമ с മϭϬϬ ʹ ϳϬമ с ϭϬϬϬ ʹ ϳϬϬ с

മϭϮ ʹ ϲമമ с ϭϮϬ ʹ ϲϬമ с ϭϮϬϬ ʹ ϲϬϬ с

1.39 Evy, Stian og Silas er på tivoli. De kaster ball på bokser. a) Silas river ned en hel pyramide. Hvor mange poeng får han? b) Stian får 2221 poeng. Tegn pyramiden etter at han har kastet. c) Nederst ser du Evys pyramide etter at hun har kastet. Hvor mange poeng får hun?

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

ϰϬ н ϮϬ с ϲϬ

1.38 Regn ut. Ser du sammenhengen?

Differensiering De elevene som strever med å få til denne oppgaven, vil ha god nytte av enten å tegne opp pyramiden og krysse ut bokser, eller ha lapper med tallene på som de kan legge opp og ta bort.

ϰ н Ϯ с ϲ

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1 10

100 100 100 1000 1000 1000 1000 100 100 1000 1000 1000 1000

• Sifferet på enerplassen er tre mindre enn sifferet på tierplassen. • Sifferet på hundrerplassen er halvparten av sifferet på tusenplassen. (Tallet er 6 374.)

Oppgave B • Tallet har 3 tiere. • Tallet har dobbelt så mange hundrere som tiere. • Tallet har like mange tusenere som tiere og • hundrere til sammen. • Tallet har ingen enere. (Tallet er 9 630.)

Denne aktiviteten gir god trening i plassverdisystemet. Lag flere oppgaver på samme måte. La elevene lage oppgaver til hverandre. Noen elever kan ha nytte av å bruke en tabell til å løse oppgavene. Dersom elevene ikke er vant med oppgavetypen, kan den også være en hjelp i starten.

Oppgave C • Sifferet på tierplassen er det samme som antall dager i en uke. • Sifferet på tusenerplassen er det dobbelte av 3. Oppgave

Tusenere

Hundrere

Tiere

Enere

Tallet er

A B C

Oppgave 1.42 a) Mange elever vil klare denne oppgaven ut fra opplysningene i teksten.

1.40 Regn ut. ĂͿ ϯϬϬ н ϮϬ н Ϯ с ĐͿ ϳϬϬϬ н ϱϬϬ н ϵϬ н ϯ с ĞͿ ϰϬϬϬ н ϱϬ с

ďͿ ϵϬϬ н ϴϬ н Ϯ с ĚͿ ϮϬϬϬ н ϰϬϬ н ϯϬ н ϭ с ĨͿ ϵϬϬϬ н ϵϬ н ϵ с

Differensiering Noen elever vil ha hjelp av å tegne pengene som Per har spart. Andre elever bør få bruke lekepenger i denne oppgaven.

1.41 Regn ut. ĂͿ Ϯϳϴ н ϮϬ с ĐͿ ϲϮϭ н ϳϬ с ĞͿ ϰϬϬϬ н ϱϬ с

ďͿ ϰϲϮ н ϯϬϬ с ĚͿ ϯϰϳϴ н ϰϬϬϬ с ĨͿ ϰϬϬϰ н ϴϬϬ с

1.42 Evy sparer til ny pc som koster 6800 kr.

b) For å løse denne oppgaven vil det være god hjelp å bruke tom tallinje, eventuelt tegne pengene som mangler eller legge til lekepenger til man har nok.

Hun har spart 5 tusenlapper, 9 hundrelapper, 12 femtilapper, 15 tiere og 5 kronestykker. a) Hvor mye har hun spart? b) Hvor mye mangler hun for å kunne kjøpe pc-en?

Utforsk sammen Denne utforsk sammen-oppgaven er en øvelse i å bruke hundrervenner som hoderegningsstrategi.

Utforsk sammen Dette er hoderegning. Begrunn hvorfor og regn ut. 70 +

ϮϬ н ϯϬ н ϴϬ с ϰϬ н ϱϬ н ϲϬ с ϭϬ н ϱϬ н ϵϬ с ϴϱ н ϵϬ н ϭϱ ϴϱ н ϵϬ н ϭϱ с

ϭϬ н ϯϬ н ϵϬ н ϳϬ с ϯϬ н ϭϰϬ н ϳϬ н ϲϬ с ϳϱ н ϯϬ н Ϯϱ н ϲϬ с ϲϱ н ϯϱ н ϯϲ н ϭϰ ϲϱ н ϯϱ н ϯϲ н ϭϰ с

La elevene forklare for hverandre hvordan de tenker når de skal finne enkle metoder for å addere tallene.

60 + 40

80 + 20 50 + 50

90 +

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Vi mener det er viktig og riktig at elevene blir kjent med flere forskjellige algoritmer slik at de kan velge det som er mest hensiktsmessig. Det er også forskjellig hva som passer best for den enkelte elev.

Ulike metoder for addisjon av ﬂersifrede tall Vi har tidligere skrevet litt om ulike metoder for addisjon i forbindelse med hoderegningsstrategier (side 8).

Selv om vi her vektlegger standardalgoritmen, så betyr ikke det at vi går over til den og legger alt det andre bak oss. Tvert imot bør vi fortsatt oppfordre elevene til å se på tallene og velge den metoden de syns passer best.

Når elevene nå skal addere flersifrede tall, kan det være nødvendig å ta i bruk andre strategier. Det blir mye å holde styr på. Algoritmer som bygger på hoderegning og sifrenes verdi, som for eksempel N10 og 1010, bygger på forståelsen av plassvedisystemet, men kan bli tungvinne å bruke når tallene får mange sifre.

Barns forståelse av flersifrede tall bygger mer på forståelse av mengde enn av kolonneverdi. Dette syns spesielt godt i muntlig matematikk, og det har blitt avslørt i diverse tester (Thompson). For mange elever vil det derfor være lettere å forstå hva som foregår i for eksempel 1010-metoden, hvor tallene deles i hundrermengder, tiermengder osv og adderes fra venstre mot høyre, enn i en standardalgoritme hvor tallene stilles opp under hverandre og kolonnene adderes fra venstre mot høyre.

De regnemetodene som vi kjenner som standardalgoritmer, bygger på samme prinsipper, men kan være litt vanskeligere å forstå. Disse er først og fremst utviklet for å kunne regne raskt og effektivt med flersifrede tall. Dette var nødvendig før i tiden da det meste av regneoperasjonene foregikk med papir og blyant.

Samtale Les artikkelen om ulike metoder for addisjon av flersifrede tall før denne samtalen

Addisjon av ﬂersifrede tall Samtale

Utfordre elevene til å komme med hvilken løsningsmetode de vil bruke på denne oppgaven. Få fram elevenes tanker om dette, be dem forklare og gjerne skrive på tavla.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

k 134

Metode 1

н ϭϬϬ 358

Under streken vises tre mulige metoder: Tom tallinje, 1010 og standardalgoritme. Noen elever kan ha helt andre tanker om hvordan de vil angripe oppgaven. Vær lydhør for disse forslagene, følg elevens tanker og skriv på tavla.

Oppgave 1.43 Elevene skal velge hvilken metode de bruker på addisjonene. De behøver ikke bruke samme metode på alle oppgavene. Det er viktig at de lærer seg å se på tallene og velge den metoden som er mest hensiktsmessig. Samtal gjerne med elevene om hvilke metoder de har valgt på de ulike oppgavene og la dem få argumentere for sine valg.

35 58 kr

Hvor mye koster fotballen og boka til sammen?

н ϯϬ н ϰ 458 488 492

Svar: Boka og ballen koster 492 kr til sammen.

Metode 2

ϯϬϬ н ϭϬϬ с ϰϬϬ ഩϱϬ н ഩϯϬ с ഩϴϬ ഩഩϴ н ഩഩϰ с ഩϭϮ ഩഩഩഩഩഩഩ с ϰϵϮ

Svar: Boka og ballen koster 492 kr til sammen.

Metode 3 1

3 5 8 + 1 3 4 = 4 9 2

Svar: Boka og ballen koster 492 kr til sammen.

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Eksempel: 358 + 134; 358 + 100 = 458; 458 + 30 = 488; 488 + 4 = 492

Tom tallinje Elevene velger de sprangene på tallinja som er naturlig for dem ut fra de hoderegningsstrategiene som de behersker. For eksempel fylle opp tier, dobling, telle med hundre osv.

1010 Addere hundrere, tiere og enere hver for seg. Eksempel: 358 + 134; 300 + 100 = 400; 50 + 30 = 80; 8 + 4 = 12; 400 + 80 + 12 = 492.

Tom tallinje Elevene velger de sprangene på tallinja som er naturlig for dem ut fra de hoderegningsstrategiene som de behersker. For eksempel fylle opp tier, dobling, telle med hundre osv.

Standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, enere, tiere og hundrere adderes hver for seg med minnetall. 358 + 134 = 1

Eksempel + 100

358

+ 30 458

358 + 134 = 492

488 490 492

Når vi, som i dette kapitlet, skal regne med firesifrede tall, er det naturlig å legge vekt på de to siste metodene, men den tomme tallinja kan fremdeles være god å bruke for enkelte elever.

N10 Først adderer elevene første ledd med hundrerne fra andre ledd, deretter med tierne fra andre ledd, deretter med enerne.

Oppgave 1.44 Addisjon og subtraksjon i kontekst, elevene velger metode selv. d) En utfordrende oppgave. Elevene vil møte på desimal dersom de halverer prisen på én og én bok. Hvis de først adderer alle prisene, vil summen bli et tall som er lett å dele på to ved å tenke halveringer.

1.43 Regn ut. Velg regnemetode. a) ϯϰ н ϭϮϴ с d) ϭϯϮ н ϰϳϭ с g) ϴϬϰ н ϭϯϯ с

b) ϱϵ н Ϯϰϭ с e) ϲϬϮ н ϭϱϰ с h) ϱϮϯ н ϯϯϳ с

c) ϯϭϲ н ϴϬ с f) ϯϵϵ н Ϯϯϱ с i) ϳϭϴ н Ϯϲϯ с

175

129 kr

5 22

34 48 kr

1.44 Pytt og panne selger kjøkkenutstyr. y

Differensiering b) og c) I stedet for å løse disse oppgavene kan svake elever få bruke lekepenger og finne ut hvilke ulike sedler og mynter de kan bruke når de betaler.

kr 198

a) Liv kjøper en kjele og en brusmaskin. Hvor mye betaler hun til sammen? b) Amira kjøper tre ting. Hun har 500 kr. Hvilke ting kan hun kjøpe? c) Arvid har 1000 kr. Kan han kjøpe alt utstyret fra hylla? d) En dag er det salg. Alt kjøkkenutstyret selges for halve prisen. Hvor mye koster det å kjøpe alt kjøkkenutstyret nå?

Utvid oppgaven Elevene kan lage flere oppgaver i konteksten og løse hverandres oppgaver. Utforsk sammen Den første oppgaven er uten minnetall, de andre to er mer utfordrende.

Utforsk sammen Maxi har sølt kakao i kladdeboka til Ada. Hjelp henne med å finne sifrene som mangler. Lag flere liknende 1 2 3 4 0 9 oppgaver + 2 8 5 + 3 2 7 til hverandre hverandre. = 3 6 9 8 = 8 1 6 6

2 4 + 9 8 = 3 4 2

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Differensiering Lag flere oppgaver uten minnetall til de svakeste elevene. De flinke elevene kan lage flere oppgaver til hverandre. 29

Snakk med elevene om hvilke strategier de brukte når de løste oppgavene. © CAPPELEN DAMM

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Ulike metoder for subtraksjon av ﬂersifrede tall Det er viktig at elevene får forståelsen av at subtraksjon er motsatt regneart av addisjon. (Addisjon og subtraksjon er inverse regnearter).

Addisjonen 5 + 9 = 14 gir følgende subtraksjoner: 14 – 9 = 5 og 14 – 5 = 9. Disse sammenhengene bør presiseres ofte. De har også overføringsverdi til algebra og annen logisk tenkning. Mange elever fortsetter å bruke addisjon i sin tenkemåte selv om det er subtraksjon det handler om. Disse elevene vil sannsynligvis få problemer med å forstå hva som foregår når vi regner med standardalgoritmen for subtraksjon, hvor vi stiller tallene opp under hverandre og subtraherer kolonnevis fra høyre mot venstre.

Tom tallinje Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningsstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler. Eksempel 450 – 302 = 148

Regnemetodene som vi kjenner som standardalgoritmer, er først og fremst utviklet for å kunne regne raskt og effektivt med flersifrede tall. Dette var nødvendig før i tiden da det meste av regneoperasjonene forgikk med papir og blyant.

Samtale Les artikkelen om ulike metoder for subtraksjon av flersifrede tall før denne samtalen.

+ 40

+ 100

302 310

350

450

Subtraksjon med ﬂersifrede tall Samtale Simen har 450 kr. Han kjøper en genser til 302 kr. Hvor mange kroner har han igjen?

Utfordre elevene til å komme med hvilken løsningsmetode de vil bruke på denne oppgaven.

302 kr

Metode 1

ʹϮ

Få fram elevenes tanker om dette, be dem forklare og gjerne skrive på tavla.

ʹ ϯϬϬ

148 150

450

Svar: Simen har igjen 148 kr.

Under streken vises tre mulige metoder: Tom tallinje, 1010 med oppdeling av tallene vist som Number bonds og standardalgoritme. Noen elever kan ha helt andre tanker om hvordan de vil angripe oppgaven. Vær lydhør for disse forslagene, følg elevens tanker og skriv på tavla.

Metode 2

ϰϬϬ ʹ ϯϬϬ с ϭϬϬ ഩϱϬ ʹ ഩഩϮ с ഩϰϴ ഩഩഩഩഩഩഩഩ с ϭϰϴ Svar: Simen har igjen 148 kr.

450 400

Metode 3 10

4 5 0 - 3 0 2 = 1 4 8

Repeter hva som skjer når vi veksler (låner) sammen med elevene. Bruk gjerne lekepenger, og la de elevene som trenger det få bruke lekepenger og veksle når de løser oppgavene.

Oppgave 1.45 og 146 Elevene skal velge hvilken metode de bruker på subtraksjonene. De behøver ikke

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

Svar: Simen har igjen 148 kr.

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

302 50

300

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. –8 – t40 – 100

302 310

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend. – 50

– 100

+2 300 302

1010 Subtrahere hundrere, tiere og enere hver for seg. Eksempel: 450 – 302; 400 – 300 = 100; 50 – 0 = 50; 0 – 2 = –2; 100 + 50 – 2 = 148 Som vi ser, blir det her negativt fortegn foran enerne. I slike tilfeller har elevene på dette stadiet lett for å snu subtraksjonen og få 2.

350

450

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

N10 Først subtraherer elevene første ledd med hundrerne fra andre ledd, deretter med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. I dette eksemplet er det ingen tiere å subtrahere. Eksempel: 450 – 302; 450 – 300 = 150; 150 – 2 = 148.

Standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, enere, tiere og hundrere subtraheres hver for seg. Det har vært vanlig å si at vi låner for eksempel en tier. Dette er et diffust begrep for elevene. Det er bedre å si at vi tar en tier og veksler i enere. Dette er kjent for elevene fra jobbing både med konkreter og med veksling av penger. 450 – 302 = 10

450 – 302 = 148

bruke samme metode på alle oppgavene. Det er viktig at de lærer seg å se på tallene og velge den metoden som er mest hensiktsmessig. Samtal gjerne med elevene om hvilke metoder de har valgt på de ulike oppgavene og la dem få argumentere for sine valg.

1.45 Regn ut. Velg regnemetode. a) Ϯϰϯ ʹ ϭϮϴ с

b) ϰϱϳ ʹ Ϯϯϵ с

c) ϮϬϲ ʹ ϭϳϳ с

d) ϭϳϯ ʹ ϯϳ с

e) Ϯϲϭ ʹ ϱϯ с

ϱϳϮ ʹ Ϯϰϴ с

1.46 Ada har 850 kr. Hun kjøper en ball til 638 kr. Hvor mange kroner har Ada igjen?

1.47 Johanne, Ole og Samira har 850 kr hver og skal kjøpe klær. a) Hvor mye har hver av dem igjen etter at de har handlet? b) Hvor mye mer betaler Ole enn Johanne for klærne de kjøper? c) Siste lørdag i måneden er det salg. Alle varene kan kjøpes til halv pris. Hvor mye koster klærne til hver av dem da? d) Hvor mye mindre betaler de til sammen for klærne når det er salg?

Johanne ne kjøper disse dis plaggene:

Eksempler på oppdeling av tall a) 243 – 128 = 230 – 120 = 110 13 – 8 = 5 = 115

448 kr 258 k r

Ole kjøper øp r disse plaggene: pl

c) 206 – 177 = 190 – 170 = 20 16 – 7 = 9 = 29

49999 kkrr 299 kr

Differensiering La de elevene som har nytte av det bruke lekepenger for å veksle når de løser oppgavene.

Samira kjøper disse plaggene: 4499 kr 44

Oppgave 1.47 Forklaring til denne oppgaven står på neste side.

299 kr

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Med løsningsstrategien i eksempel 1 er det lett for eleven å bruke en forenklet oppstilling som fører til misbruk av likhetstegnet (850 – 258 = 592 – 448 = 144). Se artikkel på neste side.

Oppgave 1.47 a) Dette er en utfordrende oppgave med subtraksjon i kontekst. Den er krevende fordi det er to regneoperasjoner for hver person. Snakk med elevene, og la dem argumentere for hvordan de har tenkt å løse oppgaven.

c) Dersom elevene halverer prisene før de ligger sammen vil de få desimaltall i prisene.

Vis på tavla hvordan tankene blir til regnestykker. Prøv å få fram begge disse løsningsstrategiene: 850 – 258 – 448. Eller: 850 – (258 + 448). For elevene vil det i begge tilfeller være nødvendig å sette det opp som to regnestykker. Eksempel 1: 850 – 258 = 592 og 592 – 448 = 144. Svar: Johanne har igjen 144 kr. Eksempel 2: 258 + 448 = 706 og 850 – 706 = 144. Svar: Johanne har igjen 144 kr.

Oppgave 1.48 Elevene må ha forståelse av at verdiene på hver side av likhetstegnet skal være like. De skal finne ut hvilket tall som skal stå på den tomme plassen for å få samme verdi på hver side av likhetstegnet.

1.48 Sett inn tall som passer. Skriv regnestykkene. a) 45 н с ϴϴ ʹ ϯϯ ĐͿ ϯϳ н ϲϴ с ϯϮϬ ʹ ĞͿ ϴϵ н с Ϯϰϱ ʹ ϭϰϱ g) ʹ ϯϳ с ϳϴ н ϴϮ

b) ʹ ϰϴ с ϱϱ ʹ ϰϱ ĚͿ ϭϬϬ ʹ ϭϯ с н ϰϳ ĨͿ н с ϭϴϵ ʹ ϭϭϭ ŚͿ ʹ ϳϮ с ϮϬϬ ʹ

1.49 Regn ut og sjekk om svarene er riktige. Bokstavene som hører til oppgavene med riktige svar, gir deg løsningsordene.

Oppgave 1.49 Denne oppgaven har ferdig utregnede subtraksjonsstykker. Elevene skal ved utregning finne ut om svarene stemmer. Bokstavene ved de riktige svarene noteres i den rekkefølgen de kommer.

ĂͿ ĐͿ ĞͿ ŐͿ ŝͿ ŬͿ

ϵϲϵ ʹ ϯϭϮ с ϲϱϳ ϴϱϰ ʹ Ϯϯϳ с ϲϭϳ ϭϬϬϱ ʹ ϯϲϮ с ϲϰϰ ϭϮ ϬϬϱ ʹ ϵϴ с ϭϭ ϵϬϳ ϳϭϴ ʹ ϭϬϭ с ϲϭϳ ϴϳϯ ʹ ϱϮϵ с ϯϰϱ

D U N B E K

ďͿ ĚͿ ĨͿ ŚͿ ũͿ ůͿ

ϰϭϵ ʹ Ϯϲϯ с ϭϳϲ ϳϲϱ ʹ ϱϵϳ с ϭϲϴ ϭϲϱϰ ʹ ϵϲϱ с ϲϴϵ ϰϬϱ ʹ ϯϮϴ с ϴϬ ϭϴϵϱ ʹ ϵϵϴ с ϴϵϳ ϭϯϭϮ ʹ ϳϱϮ с ϱϲϬ

I E R O S T

1.50 Hvilke av de fire oppgavene gir svaret i midten? a)

985 – 550

726 – 289

264

437

643 – 206

588 – 155

801 – 289

723 – 209

462 – 198

510 – 246

789 – 246

627 – 284 343

512 740 – 428

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

730 – 266

726 – 267

606 – 94

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

594 – 261

782 – 439

Misbruk av likhetstegnet

Etter hvert som matematikken blir mer avansert og beregningene blir lengre og mer kompliserte, er det viktig å ha lært seg å bruke likhetstegnet korrekt. Elever som misbruker likhetstegnet, er ikke klar over at de gjør noe galt så lenge svaret blir riktig. Det er derfor nødvendig å være oppmerksom på slik misbruk av likhetegnet og snakke om dette med elevene så tidlig som mulig.

I matematikken har likhetstegnet en absolutt betydning, det som står på hver side av likhetstegnet, skal ha lik verdi. Når elever skal løse flerleddede oppgaver, kan det se ut som at mange har en oppfatning av likhetstegnet som: «Når vi har utført en beregning, kan vi skrive likhetstegnet og regne videre».

Det kan være lurt å bruke lappemetoden (side XIII) og gi elevene en slik oppgave og be dem regne ut. Da vil du med en gang se hvem som misbruker likhetstegnet, og dere har en fin metode til å arbeide med dette på.

Vi har oppgaven: 350 – 36 + 150 = Vi kan for eksempel se slik føring som dette: 350 – 36 = 314 + 150 = 464 Denne føringen er høyst ukorrekt, for her misbrukes likhetstegnet. Korrekt føring kan se slik ut: 350 – 36 + 150 = 314 + 150 = 464 Eller med mellomregning: 350 – 36 = 314, 314 + 150 = 464 Eller med omgruppering: 350 – 36 + 150 = 500 – 36 = 464

Oppgave 1.51 a) og b) er avlesningsoppgaver. c) og d) Subtraksjonsoppgaver i kontekst. Husk svarsetning i tekstoppgaver. e) og f) Utfordrende oppgaver, gul lapp hjelper elevene med omgjøring til mil.

1.51 Ada har som mål å løpe 5000 m hver dag. Her ser du hvor langt hun løp forrige uke. mandag

ƟƌƐĚĂŐ

onsdag

torsdag

fredag

lørdag

søndag

4500 m

3290 m

4875 m

1300 m

3860 m

5000 m

4110 m

a) Hvilken dag løp Ada kortest? b) Hvilken dag løp hun lengst? c) Hvor mange meter var Ada fra å nå målet sitt på tirsdag? d) Hvor mange meter var Ada fra å nå målet sitt den dagen hun løp kortest? e) Hvor mange meter var Ada fra å nå ukemålet sitt? f) Omtrent hvor mange mil løp Ada denne uka?

100000 m = 1 km 10 km m = 1 mil

Oppgave 1.52 Dersom elevene stiller opp under hverandre, er det viktig å være spesielt oppmerksom på hvorvidt elevene får tallene på riktig plass i oppstillingen. De elevene som velger andre metoder, bør oppfordres til å skrive hvordan de tenker.

1.52 Regn ut. a) ϰϱϬϭ н ϮϵϬϰ с b) ϯϭϱ н Ϯϲϳ н ϭϵϬϳ с c) ϴϬϬϱ н ϯϰϵϮ с

d) ϯϰ н ϲϳϮ н ϰϬϱϯ с e) ϰϮϭ н ϴϴ н ϵϭϲ с f) ϯϭϰϬ н Ϯϯ н ϲϭϴ с

Utforsk sammen Dette er en veldig utfordrende tallpyramide. Elevgrupper som blir stående helt fast kan få tips om å sette inn 8 i den tomme ruta i første rad.

Utforsk sammen Tegn pyramiden i kladdeboka. Legg sammen tallene som står i rutene ved siden av hverandre. Skriv summen i ruta over. Lag egne tallpyramider tallpyramider.

24 13 6

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Eksakt sum er 254,56. Vi kom altså ganske nær ved å runde av annet hvert ledd opp og ned.

Overslagsregning Når vi skal regne overslag, gjelder ikke så eksakte regler som ved avrunding. Vi må ta hensyn til situasjonene hvor vi bruker overslag, og hvilken regneart vi skal bruke.

For å gjøre et raskt overslag i hodet, kunne vi runde av alle leddene til nærmeste tier ved å bruke avrundingsreglene.

Hvis vi for eksempel er i butikken og lurer på om vi har nok penger, kan det være lurt å runde prisene oppover for å være helt sikker på å få nok.

10 + 20 + 10 + 0 + 210 = 250 Dette er også et godt overslag.

I matematikkoppgaver kan vi bruke overslag før vi løser oppgaven for å få en idé om omtrent hva svaret vil bli, eller vi kan bruke overslag etter en utregning for å sjekke om svaret kan være riktig.

Subtraksjon Det kan være lurt å runde av alle ledd opp eller alle ledd ned.

Hensikten med overslag i matematikkoppgaver er å forenkle tallene slik at vi kan regne ut i hodet.

Eksempel 542,75 – 26,23 = For å gjøre utregningen lett i hodet kan vi, i dette eksempelet, runde av til nærmeste femmer. 542,75 – 26,23 ≈ 540 – 25 = 515 eller 545 – 30 = 515. Nøyaktig svar er 516,52.

Addisjon Det kan være lurt å runde annethvert ledd opp og ned. Eksempel 12,42 + 17,10 + 7,90 + 3,50 + 213,64 ≈ 13 + 16 + 8 + 3 + 214 = 254

Dette overslaget ga et svar som ligger nær nøyaktig utregning.

Samtale Les artikkelen om overlagsregning. Utfordre elevene til å skrive ned hvordan de vil gjøre overslag over disse prisene. La elevene argumentere for sine overslag. Snakk sammen om hensiktsmessige måter å gjøre overslag på.

Overslagsregning Samtale Henrik kjøper tre ulike malerkoster. Han sier at han skal betale omtrent 650 kr for kostene til sammen. Hvordan kan han ha tenkt?

Etterpå kan dere se på tallinjene under streken for å vurdere om eksemplet har fornuftige avrundinger for overslag.

198 kr k

154 k

275 kkrr

Løsning Den røde malerkosten koster 198 kr. Den koster omtrent 200 kr.

190

195

198

200

ϭϵϴ у ϮϬϬ

Den blå malerkosten koster 154 kr. Den koster omtrent 150 kr.

150

154 155

160

ϭϱϰ у ϭϱϬ

Den grønne malerkosten koster 275 kr. Den koster omtrent 300 kr.

200

250

ϭϵϴ н ϭϱϰ н Ϯϳϱ у ϮϬϬ н ϭϱϬ н ϯϬϬ с 650

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

300

Ϯϳϱ у ϯϬϬ

Divisjon Det kan være lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned til tall som gjør at divisjonen går opp. Eksempel 13,6 : 4,3 ≈ 12 : 4 = 3 eller 15 : 5 = 3. Nøyaktig utregning gir 3,16279. Begge overslagene ligger nær nøyaktig svar. Multiplikasjon Det kan være lurt å runde én faktor opp og én ned. Her har vi også rundet av til nærmeste femmer for å gjøre utregningen lett i hodet. 89 · 19 ≈ 100 · 15 = 1500 eller 80 · 20 = 1600. Nøyaktig svar er 1691. Begge svarene er innenfor det vi mener er akseptabelt for et overslag.

Oppgave A • Sifferet på tusenerplassen er halvparten av fire. • Sifferet på tierplassen er dobbelt så stort som sifferet på tusenerplassen. • Sifferet på hundrerplassen er halvparten av sifferet på tusenerplassen. • Sifferet på enerplassen er lik summen av sifferet på tusenerplassen og sifferet på hundrerplassen. Oppgave B • Tallet er mindre enn 2000. • Tallet har fire siffer. • Sifferet på enerplassen er i tregangen. • Differansen mellom sifrene på enerplassen og tierplassen er åtte. • Sifferet på hundrerplassen er det dobbelte av sifferet på tierplassen.

Hemmelig tall Bruk gjerne metoden med små grupper og lapper. Se side 26.

Oppgave 1.53 La elevene gjøre denne oppgaven, og snakk sammen etterpå om hvordan de løste den. Den kan også brukes som sammenoppgave, slik at elevene kan diskutere hvordan de vil runde av, og hvorfor.

1.53 Våre venner er på handletur.

88 kr

249 kr

31 kr 318

Oppgave 1.54 og 1.55 I addisjon er det naturlig å runde et tall opp og et tall ned. I subtraksjon er det naturlig å runde begge tallene opp eller begge tallene ned.

1030 kr

2999 kr 29

105 kr

Se på oppgavene og vurder om dette er en absolutt regel eller om det fins unntak. Diskuter i klassen hva slags avrundinger som kan gjøres. Husk at hovedhensikten med å runde av er å gjøre tallene lettere å regne med.

a) Omtrent hvor mye betaler Ada når hun kjøper en lue og en frakk? b) Omtrent hvor mye betaler Henrik når han kjøper en hjelm og en veske? c) Omtrent hvor mye betaler Plex når hun kjøper to gensere og en t-skjorte? d) Maxi kjøper en hjelm. Hun betaler med en 500-kroneseddel. Omtrent hvor mye får han igjen?

1.54 Gjør overslag og regn ut. a) ϵϴ н ϭϵ с

b) ϲϵ н ϳϮ с

c) ϯϮ н ϵϵ с

d) ϱϭ н ϭϬϰ с

e) Ϯϱ н ϲϯ с

a) ϵϴ ʹ ϭϵ с

b) ϳϰ ʹ Ϯϭ с

c) ϵϱ ʹ Ϯϵ с

d) ϳϯ ʹ ϰϮ с

e) ϱϭ ʹ ϯϵ с

Ϯϳ н ϰϴ с

1.55 Gjør overslag og regn ut. ϴϴ ʹ ϱϭ с

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Bar models

Øv mer

Bar models er et visualiseringsverktøy som opprinnelig ble utviklet som et hjelpemiddel for elever som har problemer med å forstå tekstoppgaver. Blokkene eller boksene hjelper elevene med å visualisere problemstillingen. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever.

Under er flere oppgaver som du kan bruke for at elevene skal få mer øvelse med å bruke bar models. Vurder hvilke elever som skal få oppgavene med ferdige bokser, og hvilke elever som får kun oppgavene og selv øver seg på å tegne hensiktsmessige bokser.

Når vi bruker bar models i grunnbøkene, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres. Størrelsen på boksene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på boksene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver. De hjelper oss til å få en oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut. Etter hvert har bar models får et større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver. De brukes også innen brøk og algebra.

Oppgave. 1.57 Hovedhensikten med denne oppgaven er at elevene skal analysere tallmaterialet og finne fornuftige avrundinger for overslagsregning. La elevene gjøre rede for hvordan de kom fram til svaret i d). Har alle regnet på samme måte? Hva er likt og hva er forskjellig i metodene som er brukt.

Dina

? kr ϯϰϬ Ŭƌ

Daniel

ϰϬ Ŭƌ

? kr

പപപപപപപപപϮϬϱ ŵപപഩϰϳϬ ŵപപപϴϵϬ ŵ Omtrent hvor langt har de gått til sammen for å komme dit?

Snakk sammen om oppgaveteksten. Den kan være vanskelig å forstå for en del elever. Innfør bar models, og la elevene finne ut hva som skal stå i boksene.

1.57 Snekkerne hos Plex setter av 500 kr hver i uka til matpenger. Dersom det er noe ekstra penger igjen fredag etter lunsj, kjøper de kake. Nedenfor ser du en tabell som viser hvor mye penger snekkerne bruker hver dag på mat. Navn

Snakk sammen om hvordan bar models kan være til hjelp for å analysere teksten og komme fram til svaret.

Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

Robert

98 kr

ഩϱϱ Ŭƌ

73 kr

ഩϮϵ Ŭƌ

ഩϴϭ Ŭƌ

Ylva

99 kr

102 kr

47 kr

ഩϯϱ Ŭƌ

ഩϯϮ Ŭƌ

Munir

87 kr

ഩϲϭ Ŭƌ

50 kr

148 kr

110 kr

Gjør overslag og regn ut. a) Omtrent hvor mye penger bruker snekkerne på mat mandag? b) Omtrent hvor mye penger bruker Ylva på mat i løpet av uka? c) Hvilken dag bruker de mest penger på mat? d) Omtrent hvor mange kroner har snekkerne igjen til å kjøpe kake for på fredag?

Lag flere oppgaver med liknende problemstilling, og la elevene foreslå hvordan de kan løses ved å tegne modeller. Husk svarsetninger. 36

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

Hvor mange kroner har de hver? Tegn modeller, og regn ut.

1.56 Ada, Maxi og Henrik går til byggeplassen.

Samtale Les om bar models øverst på siden før denne samtalen.

Oppgave A Dina og Daniel har 340 kroner til sammen. Daniel har 40 kr mer enn Dina.

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Oppgave B Amin har kilometerteller på sykkelen sin. I mai og juni sykler han til sammen 253 km. I mai sykler han 33 km lenger enn i juni. Hvor langt sykler Amin i hver av de to månedene? Tegn modeller, og regn ut.

Mai

Ellen

Ϯϳ Ċƌ

Harry

͍ Ċƌ

Jenny

͍ Ċƌ

ϯϯ Ŭŵ

? km

Ϯϱϯ Ŭŵ Juni

Oppgave C Ellen, Harry og Jenny er søsken. Til sammen er de 61 år. Ellen er 27 år. Harry og Jenny er tvillinger. Hvor gamle er tvillingene?

ϲϭ Ċƌ

? km

Oppgave 1.58 og 1.59 Elevene skal tegne modeller og løse oppgavene. Elevene må skrive svarsetninger.

Tekstoppgaver Samtale Samira kjøper en rød og en gul genser. Hun betaler 220 kr til sammen. Den gule genseren koster 20 kr mer enn den røde. Hvor mye koster hver av genserne?

? Rød genser

Gul genser

220 - 20 = 200

220

200 : 2 = 100

Svar: Den røde genseren koster 100 kr, og den gule genseren koster 120 kr.

1.58 Johanne og Ola selger blomster. De tjener 250 kr til sammen. Johanne tjener 30 kr mer enn Ola. Hvor mye tjener hver av dem? Tegn modell og regn ut. Ola

Johanne

250

1.59 Familien Amal kjører 520 km på to dager. Den første dagen kjører de 88 km lenger enn den andre dagen. Hvor mange kilometer kjører familien den første dagen? Tegn modell og regn ut. ? Dag 1 Dag 2

520

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

På side 39 i grunnboka presenterer vi et magisk kvadrat på 3 x 3 ruter, og det er tallene fra 1 til 9 som skal plasseres i de små kvadratene. Her er den magiske summen 15.

Å lage tekstoppgaver Det er viktig at elvene får øve seg på å lage tekstoppgaver. Da må de ta i bruk sitt eget matematikkspråk, og de øver seg i å kommunisere matematikk. Det å skulle lage en problemstilling til et oppgitt svar eller ut fra et oppgitt tallmateriale kan også være med på å utvikle matematikkspråket slik at det blir lettere for elevene å forstå tekstoppgaver. Når elevene får lage oppgaver selv, jobber alle elevene ut fra sitt ståsted og nivå. Dette er med på å skape større engasjement hos en del elever.

Det fins 8 løsninger, men alle løsningene er de samme, bare rotert eller speilet.

Magiske kvadrater Historien til magiske kvadrater er rundt 3000 år gammel og stammer fra Kina. Et magisk kvadrat er et kvadrat som er delt opp i flere små kvadrater. I hvert av de små kvadratene plasseres tallene fra 1 og opp til antallet små kvadrater i et bestemt mønster, slik at summen i alle rader, kolonner og diagonaler blir den samme.

Samtale Denne oppgaveteksten har en helt annerledes problemstilling enn den på forrige side. Opplysningene må organiseres på en annen måte for å komme fram til en løsning. Se på opplysningene og hvordan de blir visualisert på modellen. Snakk med elevene om dette og finn ut sammen hva den tomme boksen representerer.

Ida, Omar og John har til sammen 879 kr. Ida har 375 kr. Omar har 80 kr mindre enn Ida. Hvor mange kroner har John?

Løsning

Ida

375

Omar John

879

Svar: John har 209 kr.

1.60 Alida, Ali og Fredrik har til sammen 450 robotdeler. Alida har 250 robotdeler.

Når elevene selv skal ta i bruk slike modeller er det mange som strever med å tegne klammer. Forklar at det ikke er viktig hvordan klammene ser ut, bare de selv forstår at det er klammer.

Ali har 100 færre robotdeler enn Alida. Hvor mange robotdeler har Fredrik? Alida

250

Ali Fredrik

100

450

1.61 Anton, Andreas og Kent har til sammen 650 kr. Anton har 350 kr. Andreas har

Oppgave 1.62 Dette er en utfordrende oppgave, løs den gjerne sammen med elevene. La elevene komme med forslag til løsning. La elevene argumentere for hvorfor det kan være lurt å begynne med den yngste.

halvparten så mye som Anton, og Kent har 50 kr mindre enn Andreas. Hvor mange kroner har Andreas, og hvor mange kroner har Kent? Anton

350

Andreas Kent

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

Samtale

Oppgave 1.60 og 1.61 Dette er oppgaver med lignende problemstilling som den i samtalen.

650

? ?

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Eksempel på et annet magisk kvadrat (4 x 4 ruter) kan brukes som differensiering til elever som trenger ekstra utfordringer. Da blir det tallene fra 1 til 16 som skal fylles inn, og summen i alle rader, kolonner og diagonaler blir 34.

Et løsningsforlag

ϵ Ϯ

43 3

Utforsk sammen La elevene prøve seg med hvert sitt tomme kvadrat, samtidig som de samarbeider og kommuniserer sine ideer til de andre elevene på gruppa.

1.63 De tre venninnene Hilde, Zara og Linn samler på legofigurer. Til sammen har de 55 figurer. Hilde har dobbelt så mange figurer som Linn, og Zara har 5 flere figurer enn Hilde. Hvor mange legofigurer har hver av jentene?

Utforsk sammen

Etter at elevene har løst oppgaven kan dere i fellesskap se på et ferdig utfylt magisk kvadrat. Spør hvorfor de tror at tallet 5 må stå i midten?

Radius har laget en kode til matskapeet sitt. For å åpne skapet må alle tallene plassseres riktig i det magiske kvadratet. Plasser tallene fra 1 til 9 slik at summ men av tre tall blir 15, både horisontalt, vertikalt og diagonalt. Hvert tall kan bare brukes én gang.

Be så elevene se på sine egne ferdig utfylte magiske kvadrater og sette ring rundt de tallene som ved subtraksjon gir tallet i sentrum (5). Elevene vil oppdage at det alltid er to tall som står ved siden av hverandre.

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ϳ ϭϰ ϭϭ

Oppgave 1.63 Denne oppgaven har tilsvarende problemstilling som oppgave 1.62. Elevene skal selv analysere teksten og lage sin egen modell. La elevene få presentere sine modeller og forklare dem.

Pia ?

ϴ ϭϯ ϭϮ ϭ

er 3 år yngre enn Kari. Til sammen er de tre søsknene 43 år. Hvor gammel er Kari?

Kari

ϱ ϭϲ

ϭϱ ϭϬ ϯ

1.62 Pia, Petter og Kari er søsken. Petter er dobbelt så gammel som Pia, og Pia

WĞƩĞƌ

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

Regneark

Bruk av regneark I læreplanen er et av kompetansemålene for 5. trinn: «Lage og løyse oppgåver i rekneark som omhandlar personleg økonomi». Dette er også knyttet til det tverrfaglige tema: «Folkehelse og livsmeistring». I grunnleggende ferdigheter står det blant annet at digitale ferdigheter i matematikk innebærer å kunne bruke regneark.

Samtale Et regneark består av rader og kolonner. Alle kolonnene har bokstaver: A, B, C ... ZĂĚĞŶĞ ŚĂƌ ƚĂůů͗ ϭ͕ Ϯ͕ ϯ͕ ͙ Ruta der en rad og kolonne møtes, heter celle. En celle får navn fra både raden og kolonnen, for eksempel A1. Kolonne

Rad Celle

I Matematikk 5-7 har vi undervisningsopplegg og oppgaver med regneark i de fleste kapitler gjennom alle tre trinnene.

,ǀŝůŬĞŶ ŬŽůŽŶŶĞ ƟůŚƆƌĞƌ ĐĞůůĂ Ϯ͍ ,ǀŝůŬĞŶ ƌĂĚ ƟůŚƆƌĞƌ ĐĞůůĂ ϱ͍ ,ǀĂ ŚĞƚĞƌ ĐĞůůĂ ƐŽŵ Ğƌ ŝ ŬŽůŽŶŶĞ ŽŐ ƌĂĚ ϳ͍

Elevene kan ha ulik erfaring med regneark. Dersom dette er første gangen de skal bruke regneark bør dere bruke god tid på å bli kjent med regneark som verktøy og begrepene som brukes.

Samtale Det er viktig å klargjøre hva vi mener med celle, cellenavn, merket celle, innholdet i merket celle og verktøylinje. Dersom elevene har dette på plass, er det lettere å kommunisere med dem om de spørsmålene de har når de arbeider med regneark. Når dere har klassesamtale om regneark, er det nødvendig at du har pc-en koblet til stor skjerm, slik at alle ser det dere snakker om.

Innhold i merket celle

Cellenavn

1.64 Bruk regneark og kladdebok når du jobber med oppgavene. a) b) c) d) e)

Finn rad 3 og kolonne D. Hva heter cella? Hva heter cella som er i rad 5 og kolonne A? Skriv navnet ditt i celle K10, og alderen din i cella ved siden av. Hva heter cella du skrev alderen din inn i? Skriv Q88 i feltet for cellenavn og trykk «Enter». Hva skjer?

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Summere med regneark Oppgave 1.64 I denne oppgaven blir elevene kjent med hvordan de benevner en celle i regnearket med henvisning til hvilken kolonne (D) og hvilken rad (3) cellen befinner seg i. Cellen betegnes D3. a)

Samtale I regnearket er det flere faner og under hver fane er det ulike kommandoer. Faner Komandoer

Under fanen Hjem er kommandoen Autosummér. Denne kommandoen kan brukes til å summere tall. Skriv tallene 2, 34, 27 og 9 i kolonne A fra rad 1 og nedover, slik at 2 er i celle A1, 34 i celle A2 og så videre.

Samtale I denne samtalen og de påfølgende oppgavene lærer elevene å bruke Autosummerfunksjonen ∑ i regnearket.

Marker tallene ved at du plasserer musepekeren over celle A1. Hold venstre museknapp og dra ned til celle A4. Klikk påå , Autosummér. I celle A5 vises nå summen av tallene. Hva skjer med summen i celle A5 når du skriver nye tall i cellene A1 til A4?

1.65 Skriv ulike tall nedover i kolonne F. Marker tallene og bruk kommandoen , Autosummér. r

1.66 Plex kjøper verktøyene under. Bruk et regneark til å regnee ut hvor my mye Plex måå betale for ve verktøyene. 29 kr 299

95 k r

88 k

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

40–41 MATEMATIKK FRA CAPPELEN 40 MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM DAMM

Tivoli i Fermat

Temaopgaver Tivoli i fermat Mot slutten av hvert kapittel har vi en samling oppgaver i kontekst. Formålet med dette oppslaget er at elevene skal få prøve seg på litt ulike oppgavetyper som ikke nødvendigvis er knyttet til det kapitlet handler om. Dette gir mulighet for aktivering og bruk av innlærte kunnskaper i ulike tenkte, praktiske situasjoner. Noen av oppgavene har sammensatt problemstilling, der elevene må bruke flere regneoperasjoner for å komme fram til svaret.

1.67 Kabelbanemester Rut går på tivoli sammen med familien sin. Ada og Maxi er også med. De er til sammen to voksne og fire barn. a) Gjør et overslag, og regn ut omtrent hvor mye alle må betale for billettene til sammen. b) De lurer på om de også skal kjøpe billetter til dag to. Gjør et overslag, og regn ut omtrent hvor mye alle sammen må betale dag to. c) Omtrent hvor stor er differansen mellom prisen de må betale dag en og dag to?

1.68 På tivoliet er det en kanin som deler ut lapper til alle barna. På lappen står det: «Finn kaninens hemmelige tall». Hva er kaninens hemmelige tall?

12 + 21 + 58 – 2 + 6 – 19 =

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.69 Tivoliet er kjent for å ha god is.

Saftis

25 kr a) Ada og Maxi kjøper hver sin softis. Yoghurtis 32 kr Hvor mye betaler de til sammen? Kuleis b) Knut kjøper yoghurtis, og Anne 38 kr Softis kjøper kuleis. 45 kr Hvor mye betaler de til sammen? c) Dina og Arne kjøper to is hver. Begge betaler 70 kr, men de har ikke kjøpt de samme isene. Hvordan er dette mulig? d) Familien Cool kjøper en is av hver type. Hvor mye betaler de til sammen? e) Talha fikk 100 kr av pappa til å bruke på tivoli. Han har allerede kjøpt en yoghurtis og en kuleis. Hvor mye har Talha igjen dersom han også kjøper en saftis?

1.70 Maxi kaster ball på bamser. Tallene på bamsene danner en tallfølge. Hvilket tall står på bamsen som mangler?

1.71 Tegningene viser ulike klippekort som kan kjøpes til ulike attraksjoner på tivoliet.

99 kr

199 kr

250 kr

445 kr

a) Familien Olsen kjøper et blått og et gult klippekort. Hvor mye betaler de til sammen? b) Molly har med 500 kr og kjøper to gule klippekort. Hvor mange kroner har hun igjen? c) Sana hadde 1000 kr. Etter å ha kjøpt et klippekort, hadde hun igjen 750 kr. Hvilket klippekort kjøpte Sana? d) Hvor mye koster alle klippekortene til sammen?

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON ADDISJON OG SUBTRAKSJON OG SUBTRAKSJON

42–43 41

Sant eller usant?

Sant eller usant Elevene skal ta stilling til hvilke utsagn som er sanne og hvilke som er usanne. Snakk sammen om utsagnene og la elevene begrunne og argumentere for hvorfor utsagnene er sanne eller usanne.

Begrunn svarene

• • • • • • • •

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på eksemplene i oppsummeringen og samtal om hva dere har lært.

Titallssystemet har ti sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Når sifrene settes sammen, kan vi lage uendelig mange tall. Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Det dobbelte av 24 er 50. ϭϯ н ϵ с ϭϯ н ϭϬ ʹ ϭ͘ Subtraksjon er det samme som addisjon. Halvparten av 100 er 50. Tiervennen til 7 er 4.

Oppsummering Hoderegning Dobling

Nær dobling

15 + 15 = 30 25 + 25 = 50

15 + 16 = 31 25 + 26 = 51

Halvering

Nær halvering

30 – 15 = 15 50 – 25 = 25

30 – 16 = 14 50 – 26 = 24

Å kunne ƟĞƌǀĞŶŶĞŶĞ Ğƌ Ɵů ŚũĞůƉ når jeg skal regne med tall med høye verdier.

Bruke tiervenner ϯϲ н ϳ с ϯϲ н ϰ н ϯ 36 + 7 = 43 н ϰ 36

н ϯ 40

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Tenke via hel tier ϯϲ н ϭϵ с ϯϲ н ϮϬ ʹ ϭ

36 + 19 = 55 н ϮϬ 36

പപϳϮ ʹ ϵ с ϳϮ ʹ ϭϬ н ϭ

72 – 9 = 63

പപ

- 10

ʹ ϭ

н ϭ

55 56

62 63

Plassverdisystemet Vårt plassverdisystem er et titallsystem som bruker de ti sifrene: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Plassen som sifferet står på avgjør sifferets verdi: 4 2 3 5 6 7 enere ƟĞƌĞ hundrere tusenere ƟƚƵƐĞŶĞƌĞ hundretusenere

Oppstilling addisjon 1

+ =

6 6 7 3 3 9 0 0 6

Tall på utvidet form ϰϱϮ с ϰϬϬ н ϱϬ н Ϯ ϲϰϬϯ с ϲϬϬϬ н ϰϬϬ н ϯ ϭϬ ϵϭϳ с ϭϬ ϬϬϬ н ϵϬϬ н ϭϬ н ϳ

Oppstilling subtraksjon 10

5 0 0 – 3 1 8 = 1 8 2

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

44–45 MATEMATIKK FRA CAPPELEN 42 MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM DAMM

Oppsummerende oppgave

Oppsummerende oppgave Helt til slutt i hvert kapittel er det en oppsummerende oppgave. Denne oppgaven kan brukes som en repetisjon på det de har arbeidet med i kapitlet, eller den kan brukes som en sjekk på måloppnåelse for kapitlet. Spill Tallet som vokser I dette spillet få elevene trening i plassverdisystemet. De får også øvelse i å lese store tall. Tallet vokser med en plassverdi for hvert kast. Kapittelprøve, se kopioriginal side 226.

Bio rydder lageret sitt. a) Hvor mange spiker har Bio til sammen på lageret? b) En full eske inneholder 34 limtuber. Hvor mange limtuber er det igjen i esken når det mangler 9 limtuber? c) Hvor mange skruer har Bio til sammen? d) Hvordan skal Bio sette sammen flisene for å lage det størst mulige tallet? e) Hvor mange muttere er det igjen når det mangler 138? f) Lag en tekstoppgave som passer til esken med bor.

MATEMATIKK 5 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Tallet som vokser Utstyr

Terning, papir og blyant Antall spillere Ϯʹϲ ƐƉŝůůĞƌĞ Hva spillet går ut på Kast terningen. Skriv ned tallet og les det høyt. Neste gang det er din tur, kaster du terningen på nytt og skriver det nye tallet til høyre for det første tallet. Du har nå et tosifret tall som du leser høyt. Tallet ditt vokser med d ett siffer for hver gang du kaster terningen. Eksempel Første kast Terningen viser 3. Du skriver 3 på arket og sier «tre» høyt.

Andre kast Terningen viser 6. Du skriver 6 til høyre for 3 og sier «trettiseks» høyt. Tredje kast Terningen viser 4. Du skriver 4 til høyre for 36, sier «tre hundre og sekstifire» høyt. Det er ikke lov å si: «tre, seks, fire». Vinner Den siste som klarer å si det nye tallet sitt riktig.

1 ADDISJON OG SUBTRAKSJON

ADDISJON ADDISJON OG SUBTRAKSJON OG SUBTRAKSJON

46–47 43