Forord
Detteerarbeidsbokenfor Matematikkforøkonomiogfinans,enlærebok imatematikkskrevetforkurseneMatematikkforøkonomer/Matematikkfor siviløkonomer.
Arbeidsbokenbeståravtodeler.DelIinneholderfullstendigeløsningertil alleoppgaverilæreboken,organisertetterdesyvkapitleneilæreboken.DelII inneholderstoffombrukavkalkulatorogandrehjelpemidler,samtsupplerende øvingsoppgaverogeksamensoppgavermedløsning.Øvingsoppgaveneer organisertetterkapitleneilæreboken,oginneholderoppgaveravvarierende vanskelighetsgrad.
JegundervistekursetMatematikkforsiviløkonomerpåHandelshøyskolen BImensjegarbeidetmedlærebokenogoppgaveboken,ogjegviltakkealle studentenesombidrotilåretteopptrykkfeil,spesieltioppgaveneogløsningene avoppgavene.JegvilogsåtakkeErlendSkaldehaugRiisogAsbjørnNilsenRiseth forhjelpmedåskriveinnløsningeriLaTeX,ogKari-MetteSætersdalfor korrekturlesning.
Andreutgave
Andreutgaveavlæreboken Matematikkforøkonomiogfinans utgisåtteåretter denførsteutgavenkomuti2016.Denandreutgavenavarbeidsbokenertilpasset dennyeutgavenavlæreboken.Spesieltinneholderarbeidsbokennåfullstendige løsningertilalleoppgaveridennyeutgavenavlærebokeniDelI,deriblantde nyeoppgavenepåtemaersomvektorregningoggradient.Viharogsåsupplert arbeidsbokenmedmangeflereøvings-ogeksamensoppgaveriDelII.
Oslo,30.april2024 EivindEriksen
Innhold
DelI–Løsningtiloppgaver ilæreboken
Kapittel1Finansmatematikk 10
1.1Relativvekstogvekstfaktorer 10
1.2Potenserogpotensregning 11
1.3Renteregning 12
1.4Nåverdiavkontantstrømmer 13
1.5Endeligerekker 15
1.6Annuiteterogannuitetslån 17
1.7Uendeligerekkeroggrenseverdier 19
1.8Eulerstallogkontinuerligforrentning 20
Kapittel2Likningerogulikheter 22
2.1Lineærelikninger 22
2.2Kvadratiskelikninger 24
2.3Likningermedparametre 32
2.4Polynomialelikninger 34
2.5Polynomdivisjon 36
2.6Faktoriseringavpolynomer 38
2.7Andrealgebraiskelikninger 41
2.8Ulikheter 44
Kapittel3Funksjoneroggrafer 47
3.1Funksjoner 47
3.2Grafentilenfunksjon 48
3.3Lineærefunksjonerog denrettelinjen 50
3.4Kvadratiskefunksjonerogparabelen 51
3.5Inntekts-ogkostnadsfunksjoner 53
3.6Sirklerogellipser 54
3.7Polynomfunksjonerognullpunkter 56
3.8Rasjonalefunksjoneroghyperbelen 59
3.9Kontinuitet 61
3.10Sammensatteogomvendte funksjoner 62
3.11Eksponentialfunksjoner 63
3.12Logaritmer 64
Kapittel4Derivasjon 65
4.1Tangenterogdenderiverte 65
4.2Denderivertefunksjonen 70
4.3Derivasjonsregler 72
4.4Funksjonersomikkeerderiverbare 75
4.5Implisittderivasjon 77
4.6Funksjonsdrøftingogdenderiverte 80
4.7Denandrederiverteogkonveksitet 84
4.8L’Ho ˆ pitalsregel 90
4.9Økonomiskeanvendelser 91
4.10Taylorpolynomer 96
Kapittel5Integrasjon 102
5.1Antiderivasjonogubestemte integraler 102
5.2Integrasjonsregler 104
5.3Substitusjon 106
5.4Delvisintegrasjon 109
5.5Delbrøksoppspaltning 115
5.6Bestemteintegralerogarealberegning 121
5.7Økonomiskeanvendelser 125
Kapittel6Lineærelikningssystemer, vektorerogmatriser 129
6.1Likningssystemer 129
6.2Lineæresystemerog Gauss-eliminasjon 134
6.3Antallløsningeravlineæresystemer 140
6.4Determinanter 147
6.5Vektorerogvektorregning 152
6.6Matrisemultiplikasjon 155
6.7Inversematriser 156
6.8Indreproduktavvektorer ogortogonalitet 160
Kapittel7Funksjoneriflerevariabler 161
7.1Funksjoneritovariabler 161
7.2Noenklasseravfunksjoner 164
7.3Partiellderivasjon 166
7.4Optimeringitovariabler 168
7.5Tangententilennivåkurve 173
7.6Gradienten 175
7.7Optimeringmedbibetingelser 177
DelII–Øvingsoppgaver ogeksamensoppgaver
Kapittel8Brukavkalkulatorog annenprogramvare 191
8.1KalkulatorenHP10bII+ 191
8.2MicrosoftExcel 194
8.3WolframAlpha 196
Kapittel9Øvingsoppgavermedløsning 197
9.1Øvingsoppgavertilkapittel1–3 197
9.2Øvingsoppgavertilkapittel4 198
9.3Øvingsoppgavertilkapittel5 199
9.4Øvingsoppgavertilkapittel6 201
9.5Øvingsoppgavertilkapittel7 204
9.6Løsningavøvingsoppgaver tilkapittel1–3 206
9.7Løsningavøvingsoppgaver tilkapittel4 210
9.8Løsningavøvingsoppgaver tilkapittel5 215
9.9Løsningavøvingsoppgaver tilkapittel6 220
9.10Løsningavøvingsoppgaver tilkapittel7 227
Kapittel10Eksamensoppgaver medløsning 239
10.1Matematikkforsiviløkonomer (EksamenBIdesember2015) 239
10.2Matematikkforsiviløkonomer (Prøve-eksamenBImai2016) 241
10.3Matematikkforsiviløkonomer (EksamenBIjuni2016) 242
10.4Matematikkforsiviløkonomer (EksamenBImai2017) 244
10.5Matematikkforsiviløkonomer (EksamenBImai2018) 245
10.6Matematikkforsiviløkonomer (EksamenBImai2019) 247
10.7Matematikkforsiviløkonomer (Hjemme-eksamenBIjuni2020) 249
10.8Matematikkforsiviløkonomer (Hjemme-eksamenBIjuni2021) 251
10.9Matematikkforsiviløkonomer (EksamenBImai2022) 253
10.10Løsningaveksamensoppgavene 256
DELI Løsningtil oppgaver ilæreboken
Finansmatematikk
1.1Relativvekstogvekstfaktorer
Løsning1.1.1
a)15%b)7,5%c)90%d)0,5%e)80%f) 25,5%
Løsning1.1.2
a)0,13b)0,015c)0,625d)0,40e)0,14f)0,35
Løsning1.1.3
a)3,25b)2,1c)4,8d)5,95
Løsning1.1.4
a)1,13b)1,015c)1,625d)2,4e)1,14f)0,65
Løsning1.1.5
a)35%b)200%c) 75%d)40%e)500%
Løsning1.1.6
1,123 1 40,5%:Hvisprisenpåvarenoriginalter x ,såerprisenettertreår1,123 x . Detvilsiatdentotaleøkningen(differansen)er1,123 x x ¼ð1,123 1Þx , ogatdenprosentviseøkningener ð1,123 1Þx =x ¼ 1,123 1 40,5%.
Løsning1.1.7
Prisengårned1,9%:Hvisdenoriginaleprisenpåvarener x ,såerdennye prisen0,75 1,2 1,09 x ¼ 0,981x .Detvilikkeendresegomprisnedgangen kommerførst.Sidenprosentvisprisforandringergittvedmultiplikasjon,såhar rekkefølgeningenbetydning.
Løsning1.1.8
Kursøkningenmåværeminst r ¼ 1=0,3 1 233%:Visetteroppstykketsom følger:Hvisprisenpåaksjenvar x dadukjøpteden,sågikkdennedtil y ¼ 0,3x rettetter.Vitrengerenkursøkning r slikat ð1 þ r Þy ¼ x .Visetterinn0,3x ¼ y iligningenogfår ð1 þ r Þ 0,3x ¼ x ) 1 þ r ¼ 1 0,3 ) r ¼ 1 0,3 1 233%
KAPITTEL 1
Løsning1.1.9
140=0,85 164,71:Hvisvarenoriginaltkostet x ,såer0,85x ¼ 140.
Løsning1.1.10
Densamledeprosentviseøkningenerpå R% þ R0 % þ R% R0 %.Detteerfordi denførsteprisøkningenerenfaktorav ð1 þ R=100Þ ogdenandreprisøkningen enfaktorav ð1 þ R0 =100Þ.Detbetyratdentotaleprisøkningenerenfaktorav
Deterdaåpenbartat
1.2Potenserogpotensregning
Løsning1.2.1 a)243b)9c)1d)18e)16
Løsning1.2.2
a) 3 3 p b) 22 5 p c) 23p d) 12p ¼
Løsning1.2.3 a)51=2 b)41=3 c)4001=4 d)1,061=12
Løsning1.2.4 a) 1,587b) 4,472c) 4,661d) 1,003e) 0,463
Løsning1.2.5 Fradefinisjonenavpotenser:
ðabÞn ¼ðabÞ ðabÞ ðabÞ ... ðabÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} faktoren ðabÞ n ganger
n ganger ¼ an bn
1
R 100 1 þ R0 100 ¼ 1 þ R 100 þ R0 100 þ R 100 R0 100 ¼ 1 þ R% þ R0 % þ R% R0 % ðÞ
þ
1 þ R% þ R0 % þ R%
0 % ¼ 1 þ R% þ R0 %
R
4p 3p ¼ 2 3p
e) 1 3 3 p
¼ð
|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
11 FINANSMATEMATIKK 1
a a ... aÞ
n ganger ðb b ... bÞ
Løsning1.2.6
Løsning1.2.7
Løsning1.2.8
Deflesteverdierfor a, b og n > 1fungerer.Foreksempelgir a ¼ 2,
1.3Renteregning
Løsning1.3.1
4 000 1,055 5,105,13kr:Hvisvihar5%rente,økesbeløpetmedfaktoren 1,05hvertår.Dettilsvarerfaktoren1,055 etterfemår.
Løsning1.3.2
i)5:000 1,1210 15:529,24kr:Årligkapitaliseringbetyratbeløpetøkermed faktoren1,12hvertår,over10år.
ii)5:000 ð1 þ 0,12=12Þ12 10 ¼ 5:000 1,01120 16:501,93kr:Hvisvifår12% renteperårmedmånedligkapitalisering,betyrdetatrentendelesutjevnt overåret,ogatvihvermånedfår12%=12 ¼ 1%rente.Såhvermånedøker beløpetmedfaktoren1,01.Sidendetteskjer12gangeriåretover10år, blirdentotaleøkningengittvedfaktoren1,0112 10
a3 b2 Þ3
ab
1 a2 b
a9 b6 a 1 b 1 a2 b
a 9 1 2 b6 1 1
a 6 b4
a) ð
ð
Þ
¼
¼
¼
a1=3 bÞ2 b 1 a1=2 b ¼ a2=3 b2 b 1 a1=2 b ¼ a 2=3 1=2 b2 1 1 ¼ a 1=6
a2 bp ða 1 bÞ2 ap b 3 p ¼ a2 b1=2 a 2 b2 a1=2 b1=3 ¼ a 2 2 1=2 b1=2 þ 2 1=3 ¼ a 1=2 b13=6
b) ð
c)
abp
ab
1=2
a1=2 b1=2 ¼ ap bp og ab n p
ab
1=n ¼ a1=n b1=n ¼ a n p b n p
¼ð
Þ
¼
¼ð
Þ
.
b ¼
ða þ bÞn ¼ð2 þ 3Þ2 ¼ 52 ¼ 25, an þ bn ¼ 22 þ 32 ¼ 4 þ 9 ¼ 13
3, n ¼ 2at
DELILØSNINGTILOPPGAVERILÆREBOKEN 12 1
Løsning1.3.3
a)4,7%
b) ð1 þ 0,047=4Þ4 1 4,78%.Vifår4,7=4%rentehvertkvartal,såetterfire kvartalerharbeløpetvårtøktmedfaktoren ð1 þ 0,047=4Þ4 .Foråfåtilsvarendeeffektivrentetrekkervifra1.
c) ð1 þ 0,047=12Þ12 1 4,80%.Sammeforklaringsomforii)ovenfor.
Løsning1.3.4
R ¼ 3:1,0372=3 ¼ 1,0324 2,033
R ¼ 6:1,0672=6 ¼ 1,0612 2,012
R ¼ 8:1,0872=8 ¼ 1,089 1,999
R ¼ 12:1,1272=12 ¼ 1,126 1,974
Desamledevekstfaktoreneernær2,såtilnærmingenerganskegod(ogbestfor R ¼ 6og R ¼ 8).
1.4Nåverdiavkontantstrømmer
Løsning1.4.1
K0 14 053,25kr:Visetteroppstykketsomfølger:Vivilsetteinnetbeløp K0 slikatnårvitarut5.000kretterdetførsteåretog10.000kretterdetandreåret, såerdetakkurat0krigjenpåkontoen.Etterførsteårsrenteinnskuddoguttak på5.000krerkontobeløpetpå K1 ¼ 1,04 K0 5:000
Etterandreårsrenteinnskudd(på K1 )oguttakpå10.000krerkontobeløpetpå K2 ¼ 1,04 K1 10 000 ogsidenvivilha0kronerigjenpåkontoentilslutt,settervi K2 ¼ 0.Vikanså setteinn1,04 K0 5:000for K1 idenandrelikningen:
¼ 1,04 ð1,04 K0 5:000Þ 10:000
Dettegir K0 1,042 5:000 1,04 10:000 ¼ 0,hvorvenstresidenogsåkantolkes somsluttverdienavkontantstrømmen ðK0 , 5:000, 10:000Þ.Løsningener dermedgittved K0 ¼ð5:000 1,04 þ 10:000Þ=1,042 14:053,25.
0
13 FINANSMATEMATIKK 1
Løsning1.4.2
K0 2:461,04kr:Hvisvisetterinnetbeløppå K0 ,hardetøkttil1,0210 K0
etter10år.Visetterdettelik3:000kr,ogfår K0 ¼ 3:000=1; 0210 2:461,04.
Løsning1.4.3
a)5 000=1,033 4 575,71kr
b)5:000=1,053 4:319,19kr
c)5:000=1,083 3:969,16kr
Hvis K0 ernåverdienmedrente r ,erverdienomtreår ð1 þ r Þ3 K0 ¼ 5:000.
Vifinner K0 vedåløselikningen.
Løsning1.4.4
a) 500:000 þ 750:000=1,055 87:645kr
b) 500:000 þ 750:000=1,085 10:437kr
c) 500:000 þ 750:000=1,105 34:309kr
Viveiertilbakebetalingav750 000oppmotdet500 000villeforrentetsegtil.
Medtreårsrentermedrente r ville500:000krgitt ð1 þ r Þ3 500:000.Dermed erforskjellenifortjenesteomtreår750:000 ð1 þ r Þ3 500:000.Vivilha fortjenestensomennåverdi,sombetyratvimåjusterefortreårsrenteøkning vedådeleforskjellenpå ð1 þ r Þ3 .Dettegiross
750:000=ð1 þ r Þ3 500:000
Viseratfordetoførsterentenivåenevilinvesteringenlønneseg,mensfordet tredjerentenivåetgirrentealternativetstørrefortjeneste(investeringenlønner segikke).
Løsning1.4.5
Nåverdiener 565 000kr:Detteersammeproblemsomioppgave1.4.4,bare atnåskjerutbetalingenovertreår.Visammenlignerfortjenestepåinvestering medfortjenestepårente.Hvisduinvesterer,hardu
750:000 þ 1,10 750:000 þ 1,102 750:000
ettertreår.Tilsammenligning,hvisdubeholderde1.300.000kroneneibanken, fårdutilbakebetalingpårenten1,103 1 300 000.Vierinteressertinåverdi, såvijustererfortreårsrenteøkningvedådeleforskjellenpå1,103 .Dettegiross
750:000=1,103 þ 750:000=1,102 þ 750:000=1,10 1:300:000 565:000kr
DELILØSNINGTILOPPGAVERILÆREBOKEN 14 1
Løsning1.4.6
Internrenteforkontantstrømerdenrentensomgjørnåverdientilkontantstrømmenlik0.Dersomlångiverfinansiererlånetvedåselvbetaleenrentelik internrenten,vildetteakkuratdekkesavlånetskontantstrøm.Nårvidefinerer effektivrentepådennemåten,kanviogsåtahensyntilgebyrerm.m.(deeren delavlånetskontantstrøm).
1.5Endeligerekker
Løsning1.5.1
S30 ¼ 1,425:Vihar a1 ¼ 4og
Summenblirda
Løsning1.5.2
Summener10:000:Sidenoddetallene1,3,5, ... dannerenaritmetiskrekke, brukerviformelenforsummenavaritmetiskerekker: sn ¼ n a1 þ an 2
Viharat a1 ¼ 1og an ¼ 199.Vivetogsåat d ¼ 2.Detgjenståråfinne n slikat an ¼ 199.Formelenfor an er an ¼ a1 þðn 1Þ d somgiross 199 ¼ 1 þðn 1Þ 2 ogløservidette,fårvi n ¼ 100.Dermedharviløsningen S100 ¼ 100 1 þ 199 2 ¼ 10:000
a
30 ¼ 4 þð30 1Þ d ¼ 4 þ 29 3 ¼ 91
1,425
S30 ¼ 30 a1 þ a30 2 ¼ 30 4 þ 91 2 ¼
15 FINANSMATEMATIKK 1
Løsning1.5.3
Summener255=128 1,992:Detteerengeometriskrekke an ¼ kn 1 a1 , såvikanbrukeformelen sn ¼ a1 1 kn 1 k
Viserat a1 ¼ 1,ogat k ¼ 1=2.Foråfinne n løservi
somgiross n ¼ 8.Derforerløsningen
Løsning1.5.4
Foråbrukeformelenforsummenavdengeometriskerekken an ¼ a1 kn 1 måvifinne k og a1 .Vihar
Dettegirossløsningen
Løsning1.5.5
Samledekostnaderer 2:499mill.kr:Vifårengeometriskrekke,siden kostnadenenåer a0 ¼ 160mill.kr.Kostnadeneetterettårer a1 ¼ a0 1,03, ogkostnadeneetter n årer a0 1,03n .Visummererfra a0 til a12 ,somgiross
1 128 ¼ 1 2n 1 () 2n ¼ 2 128 ¼ 256
s8 ¼ 1 1 1=2n 1 1=2 ¼ 255=256 1=2 ¼ 255 128 1,992
k ¼ a3 a2 ¼ 132 125 ¼ 27 25 og a1 ¼ a2 k ¼ 125 25 27 ¼ 3:125 27
S8 ¼ a1 1 kn 1 k ¼ 3,125 27 1 ð27=25Þ8 1 27=25 1,231
S12 ¼ 160 1 1,0313 1 1,03 2 499 DELILØSNINGTILOPPGAVERILÆREBOKEN 16 1
1.6Annuiteterogannuitetslån
Løsning1.6.1
Nåverdiener 399:271kr:Nåverdiengirossengeometrisksum
Løsning1.6.2
Nåverdiener 342:311kr:Nåverdiengirossengeometrisksum
Løsning1.6.3
Vilar r værenominellrenteog A væreannuitetsbeløpet.Viharformelen
Sånår r ¼ 4%,ersvaret A 71:612,30kr
ognår r ¼ 5%,ersvaret
Løsning1.6.4
Vifinnerførstannuitetsbeløpet A:
Rentekostnadeneerpå
Omlånetvargittsom serielån,villeavdrageneperterminvært 3:000:000 240 ¼ 12:500
Etter k terminererderforlånesaldo
3:000:000 12:500k ogrenteripåfølgendeterminblir
100
1,08
þ 100:000 1,085
100:000 1,08 1 ð1=1,08Þ5 1 1=1,08 399 271
:000
þ
¼
100 000 1,083 þ ... þ 100 000 1,087 ¼ 100 000 1,083 1 ð1=1,08Þ5 1 1=1,08 342:311
15
A ð1 þ r =12Þ360 1 r =12 ð1 þ r =12Þ360 A ¼ 15 000 000 r =12 ð1 þ r =12Þ360 ð1 þ r =12Þ360 1
000 000 ¼
A 80
523,24kr
:
A ¼ 3:000
000 0,0425
12 ð1 þ 0,0425
12Þ240 ð1
12Þ240 1 18 577,03kr
:
=
=
þ 0,0425=
A 240 |fflfflffl{zfflfflffl} totalt 3:000:000 |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} avdrag 1:458:487,91kr
ð3 000 000 12 500kÞ 0,0425 12 ¼ 10 625 531,25 12 k 17 FINANSMATEMATIKK 1