Sinus 1p-y Kap 1-3 Teoridel nynorsk Oppgavedel bokmål by Cappelen Damm

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

M ATEMAT IKK

1P–Y

LÆREBOK I MATEMATIKK FOR VG1 YRKESFAGLEGE UTDANNINGSPROGRAM NYNORSK

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 1

2014-09-19 10:18:32

Kapittelstart: Gjennomgangsfoto: Svein Erik Dahl / NTB Samfoto Bakgrunnsfoto: Kapittel 1: G. Schuster / Zefa / NTB scanpix Kapittel 2: 07 Media Kapittel 3: W. Flamisch / Zefa / NTB scanpix. Biletet er fargemanipulert. Kapittel 4: 07 Media Kapittel 5: Colourbox.no. Biletet er fargemanipulert. Kapittel 6: Colourbox.no. Biletet er fargemanipulert. Kapittel 7: Colourbox.no. Biletet er fargemanipulert. Fotografi og grafikk: Talshiar / Thinkstock s. 144 ø. Marina_Po / Thinkstock s. 144 n. Terje Sundby / Expressklubben Norge s. 160 Kart: Kjelde: Statens kartverk. Nordeca AS, løyve nr. 555819, s. 161, 276 Wavebreak Media Ltd / Thinkstock s. 228 Sigbjørn Hals s. 266, 283, 298 h. TongRo Images / Thinkstock s. 281 Grete Gulliksen Moe s. 287 Øystein Torheim s. 298 v. © Cappelen Damm AS, Oslo 2014 Føresegnene i åndsverklova gjeld for materialet i denne publikasjonen. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er all eksemplarframstilling og tilgjengeleggjering berre tillaten når det er heimel for det i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndraging og kan straffast med bøter eller fengsel. Grafisk formgivar: Kristine Steen Omslagsutforming: Kristine Steen Frihandsteikningar: P er Ragnar Møkleby Hilde Degerud Jahr s. 277, 288 ø. Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Forlagsredaktørar: Terje Idland og Grete Maus Nynorsk tekst: Jostein Stokkeland Sats: HAVE A BOOK, Polen 2014 Trykk og innbinding: Livonia Print SiA, Latvia 2014 Utgåve nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN: 978-82-02-44668-0 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 2

2014-09-19 10:18:32

Føreord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen. Verket er utvikla etter læreplanane frå 2005. Læreboka Sinus 1P-Y er skriven for matematikkurset 1P-Y i dei yrkesfaglege utdanningsprogramma og er tilpassa justeringane i læreplanen frå 2013. Boka legg vekt på den praktiske matematikken. Ho hentar døme og oppgåver frå daglegliv og yrkesliv og passar for alle yrkesfaga. Det er lite bokstavrekning i denne boka. Ho gir ein repetisjon av stoff frå ungdomsskulen der det trengst. I denne boka er enkle lommereknarar og ferdigmodellar i Excel dei einaste digitale hjelpemidla. Kapitla i teoridelen er ordna slik at det vanskelegaste stoffet vanlegvis kjem til slutt. Stort sett er også alle delkapitla ordna på den måten. Elevar som slit med faget, kan mange stader berre lese byrjinga på eit delkapittel og likevel få godt utbytte av stoffet. Oppgåvene i teoridelen står inne i delkapitla slik at elevane lett kan finne ut kva oppgåver som passar til det som er lese. Til slutt i kvart kapittel finn elevane eit samandrag av viktige reglar og metodar i kapittelet. I boka er det i tillegg ein oppgåvedel med både enkle repetisjonsoppgåver og treningsoppgåver i tillegg til meir krevjande oppgåver. Oppgåvedelen følgjer teoridelen kapittel for kapittel. Oppgåvestoffet er delt i tre delar. I den første delen er det oppgåver som heiter «Øv meir». Desse oppgåvene er ordna etter delkapitla slik som i teoridelen, og dei er ordna etter vanskegrad. For kvart delkapittel kjem det først nokre heilt enkle oppgåver der oppgåvenummeret har lys farge. Deretter finn vi nokre vanskelegare oppgåver der oppgåvenummeret har mørkare farge. Den andre delen heiter «Utan hjelpemiddel», og oppgåvene her skal løysast utan bruk av digitale hjelpemiddel. Den tredje delen heiter «Med hjelpe middel» og inneheld oppgåver der elevane kan eller må bruke digitale hjelpe middel. Oppgåvene i dei to siste delane er ikkje fullt ut ordna etter delkapittel.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 3

2014-09-19 10:18:32

Men det er lagt inn merke som viser kva oppgåver eleven skal kunne løyse når eleven er ferdig med eit delkapittel. Når det til dømes står 4.5 etter ei oppgåve, kan alle oppgåvene føre dette merket reknast når eleven er ferdig med delkapittel 4.5. Heilt til slutt i boka kjem fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevane lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når dei kjem borti ord og uttrykk som dei ikkje heilt veit kva står for. Til verket høyrer òg ein nettstad: www.sinus.cdu.no. Her er det mykje tilleggs stoff. Mellom anna har nettstaden mange interaktive oppgåver som er ordna etter delkapitla i boka. Nettstaden er fritt tilgjengeleg for alle. I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med dei som bruker bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ynske om forandringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ynskjer alle lukke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll Sigbjørn Hals Otto Svorstøl Audhild Vaaje Odd Orskaug

Sinus 1P

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 4

2014-09-19 10:18:32

Innhald 1

Tal og mengd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Prosentrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.1 Overslagsrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Einingar for mengd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Summering av mengder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Desimaltal og brøkar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Størst og minst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Brøkrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Brøkdelen av eit tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Samandrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Prosentfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Rekning med prosentfaktorar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Prosentvis auke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Prosentvis nedgang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 Meirverdiavgift. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7 Prosentpoeng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Samandrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1 Reknerekkjefølgje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Variablar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Førstegradslikningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Potenslikningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5 Formlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6 Formlar og likningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Samandrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 5

2014-09-19 10:18:32

Økonomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Forholdsrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Lengder og vinklar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.1 Løn og feriepengar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2 Skattetrekk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Sjølvmelding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4 Rekneskap og budsjett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.5 Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.6 Serielån. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.7 Annuitetslån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.8 Kredittkort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Samandrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1 Forholdet mellom tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.2 Blandingsforhold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3 Proporsjonale storleikar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4 Omvendt proporsjonale storleikar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5 Indeksar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6 Konsumprisindeksen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.7 Realløn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.8 Kroneverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Samandrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.1 Einingar for lengd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.2 Måling av lengd og avstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3 Vinklar i formlike figurar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4 Lengder i formlike figurar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.5 Pytagorassetninga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.6 Målestokk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Samandrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.1 Areal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2 Sirkelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.3 Volum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.4 Prisme og terning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.5 Sylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.6 Pyramide, kjegle og kule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Samandrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Sinus 1P

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 6

2014-09-19 10:18:32

OppgĂĽver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 1

Tal og mengd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Prosentrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Ă&#x2DC;konomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Forholdsrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Lengder og vinklar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 7

2014-09-19 10:18:32

1 8

Sinus 1Pâ&#x20AC;&#x201C;Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 8

2014-09-19 10:18:33

Tal og mengd MÅL

for opplæringa er at eleven skal kunne • gjere overslag over svar, rekne praktiske oppgåver med og utan digitale verktøy, presentere resultata og vurdere kor rimelege dei er

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 9

2014-09-19 10:18:33

1.1 Overslagsrekning Nokre gonger må vi gjere utrekningar utan at vi treng det heilt nøyaktige svaret. Då kan vi bruke overslagsrekning og finne omtrent kor stort svaret er. Eit slikt omtrentleg svar vil ofte vere godt nok for oss. I overslagsrekning bruker vi desse reglane: Ved addisjon og multiplikasjon rundar vi eitt tal opp og eitt ned. Ved subtraksjon og divisjon rundar vi anten begge tala opp eller begge tala ned.

DØME Bruk overslagsrekning og finn omtrent kor stort svaret er. a) 184,75 + 257,20 b) 657,50 – 379,45 c) 18,5 ⋅ 26,3 d) 122 : 3,12 Løysing:

a) Ved addisjon rundar vi eitt tal opp og eitt ned. 184,75 + 257,20 ≈ 180 + 260 = 440 b) Ved subtraksjon rundar vi anten begge tala opp eller begge tala ned.

657,50 – 379,45 ≈ 660 – 380 = 280

c) Ved multiplikasjon rundar vi eitt tal opp og eitt ned. 18,5 ⋅ 26,3 ≈ 20 ⋅ 25 = 500 d) Ved divisjon rundar vi anten begge tala opp eller begge tala ned.

OPPGÅVE 1.10

122 : 3,12 ≈ 120 : 3 = 40

Bruk overslagsrekning og finn om lag kor stort svaret er. a) 232,5 + 488,3 b) 488,3 – 232,5 c) 42,8 ⋅ 18,7 d) 362 : 7,3

Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 10

2014-09-19 10:18:34

OPPGÅVE 1.11

Bruk overslagsrekning og finn om lag kor stort svaret er. a) 788,3 + 615,2 b) 788,3 – 615,2 c) 123,2 ⋅ 2,13 d) 582 : 20,3

DØME Vanja Vespa har ein skuter som ho bruker mykje. Bruk overslags rekning når du gjer denne oppgåva. a) Ein dag fyller ho 4,8 liter bensin som kostar 14,18 kr per liter. Omtrent kor mykje kostar bensinen? b) Skuteren bruker 0,23 liter bensin per mil. Omtrent kor mykje bensin treng ho til ein tur på 18 mil? c) Omtrent kor lang tid bruker ho på 18 mil når ho køyrer 47 km/h? Løysing:

a) Prisen for 4,8 liter bensin blir 14,18 kr ⋅ 4,8 ≈ 14 kr ⋅ 5 = 70 kr Her har vi runda det eine talet opp og det andre ned fordi vi multi pliserer. b) Talet på liter bensin er 0,23 L ⋅ 18 ≈ 0,2 L ⋅ 20 = 4 L

Også her har vi runda det eine talet opp og det andre ned.

c) Ettersom 18 mil = 180 km, bruker ho 180 200 h≈ h=4h 47 50

Ho bruker om lag 4 timar.

Her runda vi begge tala opp fordi vi dividerer.

OPPGÅVE 1.12

Håkon og Gustav liker godt å gå langrenn. Dei går rundar i lysløypa. Kvar runde er 2,6 km. a) Håkon gjekk ein dag 12 rundar. Om lag kor langt gjekk han? b) Håkon brukte i gjennomsnitt 9 min 10 s per runde. Om lag kor lang tid brukte han på dei 12 rundane? c) Gustav gjekk 2 rundar på 15 min 20 s. Kor lang tid brukte Gustav per kilometer?

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 11

2014-09-19 10:18:35

OPPGÅVE 1.13

Marie er i butikken og har med seg 250 kr. Ho kjøper eit brød til 27,50 kr, ein pakke kjøtdeig til 56,50 kr, 2 liter jus til 16,50 kr per liter, 5 kg poteter til 34 kr, ein pose eple til 19,50 kr, 4 flasker brus til 19,90 kr per flaske og ei avis til 20 kr. Bruk overslagsrekning og finn ut om Marie har nok pengar.

1.2 Einingar for mengd Når vi lagar mat, måler vi mengda av kveitemjøl, sukker og smør i gram eller kilogram. Fast stoff måler vi gjerne i desse to einingane. Større mengder måler vi ofte i tonn. Mindre mengder kan vi måle i milligram. Vi har denne samanhengen mellom milligram (mg), gram (g), kilogram (kg) og tonn: 1 tonn = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg

1 kg = 0,001 tonn 1 g = 0,001 kg 1 mg = 0,001 g

Legg merke til at kilo betyr tusen, og at milli betyr tusendel.

DØME a) Kor mange kilogram er 3,2 tonn? b) Kor mange gram er 1,7 kg? c) Kor mange gram er 2500 mg? Løysing:

a) Vi utnyttar at 1 tonn er 1000 kg. Det gir 3,2 tonn = 3,2 ⋅ 1000 kg = 3200 kg b) Ettersom 1 kg er 1000 g, får vi 1,7 kg = 1,7 ⋅ 1000 g = 1700 g c) Vi kan gå fram på denne måten:

400 300

500 1/2

600 700 800

200 GRAM

100 0

900

1000 1 kg

2500 mg = 2,5 ⋅ 1000 mg = 2,5 g

OPPGÅVE 1.20

a) Kor mange gram er 0,67 kg? b) Kor mange kilogram er 3700 g? c) Kor mange gram er 250 mg? d) Kor mange tonn er 4500 kg? Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 12

2014-09-19 10:18:35

Vi kan òg bruke ein tabell når vi skal rekne mellom desse einingane. Tabellen ser slik ut: tonn

Når vi skal finne ut kor mange gram 1,7 kg svarer til, skriv vi talet i tabellen på denne måten: tonn

kg 1

g 7

Vi fyller ut med nullar til vi kjem til ruta med gram (g). No ser vi at 1,7 kg er 1700 g. Dersom vi skal rekne om 23 400 g til kilogram, skriv vi talet slik at det siste sifferet står i ruta med gram (g). tonn

kg 2

g 4

Vi ser at 23 400 g er lik 23,4 kg.

DØME a) Kor mange kilogram er 17,1 tonn? b) Kor mange gram er 780 mg? Løysing:

a) Vi teiknar den delen av tabellen der vi har tonn og kilogram. Vi plasserer talet 17,1 slik at 7-talet kjem i ruta med tonn. Til slutt fyller vi ut med nullar heilt fram til ruta med kilogram (kg). tonn 1

kg 1

17,1 tonn er 17 100 kg.

b) Vi lagar ein tabell med gram og milligram og skriv talet 780 slik at talet 0 står i ruta under milligram (mg). g 0

mg 7

Talet når ikkje fram til ruta med gram (g). Då fyller vi ut med talet 0.

780 mg er 0,78 g.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 13

2014-09-19 10:18:35

OPPGÅVE 1.21

Løys oppgåva ved hjelp av ein tabell. a) Kor mange gram er 0,67 kg? b) Kor mange milligram er 0,2 g? c) Kor mange kilogram er 3700 g? d) Kor mange tonn er 4500 kg? OPPGÅVE 1.22

Rekn om til gram. a) 2,5 kg b) 0,7 kg

c) 0,025 tonn

På kjøkkenet bruker vi ofte hektogram (hg) når vi til dømes skal vege kjøt eller smør. Hekto betyr 100, slik at 1 hg = 100 g 1 kg = 10 hg

1 g = 0,01 hg 1 hg = 0,1 kg

Vi plasserer hektogram i tabellen på denne måten: kg

DØME Rekn om til hektogram. a) 2,4 kg b) 1250 g Løysing:

Vi bruker den delen av tabellen der det står kilogram, hektogram og gram. a)

2,4 kg er 24 hg.

g 5

1250 g er 12,5 hg.

Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 14

2014-09-19 10:18:35

OPPGÅVE 1.23

Gjer om til hektogram. a) 5,25 kg b) 0,35 kg

c) 250 g

OPPGÅVE 1.24

Gjer om til gram. a) 4,5 hg b) 0,7 hg

c) 0,75 kg

Mengder av væske måler vi ofte i liter (L), desiliter (dL), centiliter (cL) eller milliliter (mL). Her er 1 L = 10 dL 1 dL = 10 cL 1 L = 100 cL 1 cL = 10 mL 1 L = 1000 mL

1 dL = 0,1 L 1 cL = 0,1 dL 1 cL = 0,01 L 1 mL = 0,1 cL 1 mL = 0,001 L

Vi kan bruke denne tabellen: L

DØME Rekn om til centiliter. a) 7,25 L b) 145 mL Løysing:

1 dL

7,25 L = 725 cL

1 dL

1 cL

b) L

1 cL

145 mL = 14,5 cL

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 15

2014-09-19 10:18:35

OPPGÅVE 1.25

Rekn om til liter. a) 75 dL b) 320 cL

c) 45 cL

OPPGÅVE 1.26

Rekn om til centiliter. a) 2,5 L b) 0,25 L

c) 2,5 mL

1.3 Summering av mengder I ei oppskrift på ein deig står det at vi skal blande 1,5 kg kveitemjøl, 275 g smør og 0,8 L vatn. Kor mykje veg deigen? Vi må gjere alle mengdene om til same eining. Vi reknar i kilogram. 275 g er det same som 0,275 kg. Når vi skal finne ut kor mykje 0,8 L vatn veg, må vi hugse på at 1 L vatn veg 1 kg. 1 liter vatn veg 1 kg. 0,8 L vatn veg då 0,8 kg. Deigen veg

1,5 kg + 0,275 kg + 0,8 kg = 2,575 kg

Kor mange desimalar bør vi ta med i svaret? (Desimalar er det same som tal etter kommaet.) Når vi treng 1,5 kg kveitemjøl, veg vi ikkje så veldig nøyaktig. Vi kan kanskje rekne med at mengda er mellom 1,45 kg og 1,55 kg. Dermed vil den andre desimalen i svaret vere veldig usikker. Derfor rundar vi av svaret til éin desimal. Det talet som har færrast desimalar, bestemmer kor mange desima lar vi skal ta med i svaret. Deigen veg 2,6 kg. Når vi summerer tal som er målte med vekt eller andre målereiskapar, bruker vi til vanleg så mange desimalar i svaret som det er i det talet som har færrast desimalar. Vi kan bruke tabellar når vi skal summere tal med ulike einingar.

Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 16

2014-09-19 10:18:35

DØME Legg saman. a) 5,4 hg + 2,2 kg + 620 g b) 5,2 dL + 1,3 L + 45 cL Løysing:

hg 5

2 3

g 4

2 6

Til saman blir det 3,360 kg. I kolonnen over 6-talet manglar det eit tal. Den desimalen bør vi derfor ikkje ta med i svaret. Vi rundar av svaret oppover. b)

Det blir 3,4 kg til saman. L 1 2

dL 5 3 4 2

cL 2 5 7

I kolonnen over 7-talet manglar det eit tal. Derfor tek vi ikkje med sifferet 7 i svaret og rundar av 2,27 til 2,3.

Det blir 2,3 L til saman.

OPPGÅVE 1.30

Trekk saman. a) 1,2 kg + 1,54 kg + 2,1 kg b) 0,7 kg + 4,7 hg + 500 g c) 0,25 hg + 12,4 g + 0,0024 kg OPPGÅVE 1.31

Trekk saman. a) 2,4 L + 0,6 L + 20 dL b) 0,4 L + 2,1 dL + 12 cL c) 0,62 L + 1,7 dL + 5 cL

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 17

2014-09-19 10:18:35

OPPGÅVE 1.32

Ei oppskrift på formloff er slik:

2,4 kg kveitemjøl 1,5 hg gjær 100 g farin 50 g smør 2 ts salt 1,5 L vatn eller mjølk

Kor mykje veg deigen? OPPGÅVE 1.33

Ei oppskrift på grovt formbrød er slik:

1,5 kg sammale rugmjøl 7 hg kveitemjøl 4 ts salt 100 g gjær 14 dL vatn

Kor mykje veg deigen?

1.4 Desimaltal og brøkar 5 personar skal dele 3 pizzaer. Kor mykje pizza blir det på kvar av dei? Vi kan då dele kvar pizza i 5 like delar slik vi har gjort her:

Dersom kvar person tek 3 slike bitar, får alle like mykje. Ein bit er éin femtedel av ein pizza, altså 1 av pizzaen. Kvar person skal då ha tre 5

femdelar, som vi skriv 3 . Når 5 personar skal dele 3 pizzaer, skal altså kvar person ha 3 pizza.

Tilsvarande gjeld dersom 5 personar skal dele 3 L mjølk.

Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 18

2014-09-19 10:18:36

Kvar av dei skal da ha 3 L. Men kor mykje er det? Vi veit at 3 L = 30 dL

Når vi skal dele 30 dL på 5 personar, blir det 6 dL på kvar fordi

30 : 5 = 6

Men vi veit at 6 dL = 0,6 L Kvar person skal då ha 0,6 L mjølk. Men ovanfor fann vi ut at kvar av dei skulle ha 3 L. Dermed må desimaltalet 0,6 vere lik brøken 3 . 5

I ein brøk er teljaren talet over brøkstreken. Talet under brøkstreken kallar vi nemnaren.

3 5

← teljaren ← nemnaren

Det hugsar du lett ved hjelp av denne regelen: Teljaren er på t oppen, og n emnaren er n ede. Ein brøk kan vi alltid skrive som eit desimaltal. Brøken 3 kan vi gjere om til 5 desimaltal på denne måten: 3 3⋅ 2 6 = = = 0, 6 5 5 ⋅ 2 10 Når vi her gongar med det same talet i teljaren og i nemnaren, utvidar vi brøken. Brøken skiftar då ikkje verdi. Vi kan òg forme om brøken ved å skrive han som eit delestykke: 3 = 3= : 5 0, 6 5 Denne divisjonen gjer vi enklast på lommereknaren.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 19

2014-09-19 10:18:37

DØME Skriv brøkane 3 og 21 som desimaltal. 4

Løysing:

Vi bruker lommereknaren og får 3 = 3 : 4 = 0,75 4 21 = 21 : 8 = 2,625 8

Nokre gonger går ikkje divisjonen opp. Då blir det uendeleg mange desimalar i desimaltalet. Lommereknaren viser i slike tilfelle berre nokre av desimalane.

DØME Skriv brøkane 5 og 17 som desimaltal. 6

Løysing:

5 = 5 : 6 = 0,833333… = 0,833 6 17 = 17 : 13 = 1,3076923… = 1,308 13

OPPGÅVE 1.40

Skriv tala som desimaltal. 1 1 2 a) b) c) 2 4 5 3 3 3 d) e) f) 8 20 16 OPPGÅVE 1.41

Skriv tala som desimaltal. 1 1 3 a) b) c) 3 6 7 2 2 7 d) e) f) 9 11 17

Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 20

2014-09-19 10:18:40

1.5 Størst og minst 75 er større enn 8. Kvifor er ikkje då 1,75 større enn 1,8? I desimaltal kan vi leggje til ekstra nullar etter siste desimal utan at det forandrar talet. Talet 1,8 og talet 1,80 er dermed like store. Når vi skal samanlikne tala 1,75 og 1,8, skriv vi talet 1,8 som 1,80, og då ser vi at det er 1,8 som er størst. Når vi skal samanlikne desimaltal, legg vi til nullar bak den siste desi malen slik at alle tala får like mange desimalar.

DØME Skriv tala

3,6, 3,56 og 3,582

i stigande rekkjefølgje. Løysing:

Vi legg til nullar slik at alle tala får 3 desimalar. Dermed får vi tala

3,600, 3,560 og 3,582

Då ser vi at 3,560 er minst, og at 3,600 er størst. Tala i stigande rekkjefølgje er 3,56, 3,582 og 3,6

OPPGÅVE 1.50

Skriv tala i stigande rekkjefølgje. a) 5,23, 5,3 og 5,179 b) 6,09, 6,101 og 6,1 c) 2,01, 2,013 og 2,0099

Når vi skal samanlikne brøkar, kan vi først gjere dei om til desimaltal og så samanlikne desimaltala.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 21

2014-09-19 10:18:40

DØME 12 vener sit ved 2 bord på ein pizzarestaurant. Ved det eine bordet sit det 5 personar. Dei får 4 liter brus på deling. Ved det andre bordet sit det 7 personar. Dei skal dele 5 liter brus. Kven får mest brus? Løysing:

Ved femmannsbordet får kvar person 4 L brus. Omrekna til desimaltal 5 blir det

4 L : 5 = 0,8 L

Ved sjumannsbordet får kvar 5 L. Som desimaltal blir det

5 L : 7 = 0,71 L

Dei ved femmannsbordet får dermed mest fordi 0,8 L = 0,80 L og det er meir enn 0,71 L. Då må brøken 4 vere større enn brøken 5 . 5

DØME Kva for ein brøk er størst? 7 9 4 5 a) eller b) eller 3 5 7 8 Løysing:

a) Vi bruker lommereknaren og gjer brøkane om til desimaltal. 7 9 = 7= : 3 2, 333 = 9= : 5 1, 8 3 5

Vi ser at 7 er større enn 2, og at 9 er mindre enn 2.

7 3

er størst.

b) Vi reknar om til desimaltal og får 4 5 = 0, 571 = 0, 625 7 8

22 22

Dette viser at 4 er mindre enn 0,6, og at 5 er større enn 0,6.

5 8

er størst.

Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 22

2014-09-19 10:18:42

OPPGÅVE 1.51

12 vener sit ved 2 bord på ein pizzarestaurant. Ved det eine bordet sit det 5 personar. Dei får 2 pizzaer på deling. Ved det andre bordet sit det 7 personar. Dei skal dele 3 pizzaer. Kven får mest pizza? OPPGÅVE 1.52

Ein klasse med 30 elevar er ute ein stad og et pizza. 13 av dei sit ved det eine bordet og 17 av dei ved det andre. På det minste bordet blir det sett fram 10 L brus og 6 pizzaer. På det største bordet blir det sett fram 13 L brus og 8 pizzaer. Kven får mest brus, og kven får mest pizza? OPPGÅVE 1.53

Kva for ein brøk er størst? 3 4 13 12 a) eller b) eller 4 5 6 5 23 25 18 19 c) eller d) eller 11 13 29 30 OPPGÅVE 1.54

Kva for ein brøk er størst? 1 1 2 19 a) eller b) eller 3 4 3 29 3 9 7 42 c) eller d) eller 4 12 9 54

1.6 Brøkrekning Brøkane 1 og 2 kan vi skrive som desimaltal på denne måten: 4

1 = 1 : 4 = 0,25 4 2 = 2 : 8 = 0,25 8 Begge tala er lik 0,25. Brøkane 1 og 2 må derfor vere like. 4

Det kan vi òg finne ut ved å sjå på ei blautkake. Kaka til venstre på neste side er delt i fire like store delar. Kvar del er då 1 kake. 4

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 23

2014-09-19 10:18:43

1 8 1 4

1 8

Kaka til høgre ovanfor er delt i 8 like delar, og kvar del er altså 1 kake. 8

Figurane viser at 2 delar av kaka til høgre er like mykje som 1 del av kaka til venstre. Dermed er 2 1 = 8 4 Dette kan vi få fram ved å dividere teljaren og nemnaren med 2. 2 2 : 2 1 = = 8 8 : 2 4 Vi har forkorta brøken. Når vi forkortar ein brøk, dividerer vi med det same talet i teljaren og nemnaren. Brøken endrar då ikkje verdi.

DØME Forkort brøkane. 6 27 a) b) 8 21 Løysing:

6 6:2 3 27 27 : 3 9 a) = = b) = = 21 21 : 3 7 8 8:2 4

! 24

Når du reknar med brøk, må du hugse på å forkorte alle svar. Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 24

2014-09-19 10:18:45

I brøken 9 er teljaren større enn nemnaren. Då har vi ein uekte brøk. Ein

7 uekte brøk kan vi skrive som eit blanda tal. Brøken 9 er det same som det 2 7

blanda talet 1 . I den vidaregånde skulen treng du ikkje alltid gjere uekte brøkar om til blanda tal. Gode lommereknarar kan forkorte brøkar. Når vi skal forkorte 6 , skriv vi 8 berre inn brøken og trykkjer på tasten = slik vi har gjort her:

Svaret blir 3 . 4

All talrekning med brøkar kan vi gjere på lommereknaren slik vi har gjort her:

Begge svara er ferdig forkorta. Legg merke til på figuren til høgre at denne lommereknaren skriv deleteiknet som ÷. Finn ut korleis du gjer dette på din lommereknar.

OPPGÅVE 1.60

12 vener sit ved 2 bord. Det sit 3 personar ved det eine bordet og 9 ved det andre. Ved det vesle bordet får dei 2 flasker brus og 1 pizza. Ved det store bordet får dei 6 flasker brus og 3 pizzaer. Kven får mest brus, og kven får mest pizza? Forklar det du fann ut ved å forkorte brøkar. OPPGÅVE 1.61

Ein klasse med 30 elevar er ute og et pizza. Det sit 12 personar ved det eine bordet og 18 ved det andre. Ved det minste bordet er det sett fram 10 L brus og 4 pizzaer. Ved det største bordet er det sett fram 15 L brus og 6 pizzaer. Forklar ved å forkorte brøkar at alle får like mykje brus og like mykje pizza.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 25

2014-09-19 10:18:46

OPPGÅVE 1.62

Forkort brøkane både utan og med lommereknar. 4 9 18 42 a) b) c) d) 6 15 21 54 OPPGÅVE 1.63

Bruk lommereknaren til å forkorte brøkane. 72 126 132 153 117 a) b) c) d) e) 120 294 198 51 78

308 231

OPPGÅVE 1.64

Bruk lommereknaren og rekn ut. 1 4 1 4 1 4 5 5 5 a) + b) ⋅ c) : d) 3 ⋅ e) 3 : f) 3 + 3 9 3 9 3 9 12 12 12

1.7 Brøkdelen av eit tal Anne skal kjøpe eit dataspel som kostar 540 kr. Anne skal betale 1 sjølv, og 3

far betaler 2 . Kor mykje skal kvar av dei betale? 3

Anne skal betale tredjedelen av prisen. Det er

540 kr : 3 = 180 kr

Dette kan vi òg rekne ut slik: 1 ⋅ 540 kr = 180 kr 3

Å dividere med 3 er det same 1 som å multiplisere med . 3

Når far skal betale 2 , skal han betale dobbelt så mykje som Anne. Det er 3

2 ⋅ 180 kr = 360 kr Vi kan òg rekne slik: 2 ⋅ 540 kr = 360 kr 3 Å finne 2 av 540 kr er det same som å multiplisere 2 med 540 kr. Vi går 3

fram på tilsvarande måte for alle brøkdelar og alle tal. Brøkdelen av eit tal finn vi ved å multiplisere brøken med talet.

Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 26

2014-09-19 10:18:49

DØME Rekn ut

3 av 320 kr. 8

Løysing:

3 8

av 320 kr =

3 ⋅ 320 kr = 120 kr 8

OPPGÅVE 1.70

Rekn ut 5 av tala. 8

a) 40 b) 56 c) 12 OPPGÅVE 1.71

a) Kor mykje er 2 av 48 kr? 3

b) Kor mykje er 4 av 49 kr? 7

c) Kor mykje er 3 av 72 kr? 8

d) Kor mykje er 3 av 72 kr? 4

DØME Arne og Gro deler ein jobb. Ei veke arbeider Arne fem dagar og Gro to dagar. Til saman får dei 2800 kr i løn. Kor mykje skal kvar av dei ha i løn? Løysing:

Arne og Gro arbeider sju dagar til saman. Ettersom Arne arbeider fem av dei sju dagane, skal han ha 5 5 av 2800 kr = ⋅ 2800 kr = 2000 kr 7 7 Gro arbeider to av sju dagar og skal ha 2 2 av 2800 kr = ⋅ 2800 kr = 800 kr 7 7

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 27

2014-09-19 10:18:51

DØME Martin og Sondre skal dele 720 kr. Martin får 420 kr. Kor stor del av pengane får Martin, og kor stor del får Sondre? Løysing:

Den brøkdelen Martin får, er

420 kr 420 420 : 10 42 42 : 6 7 = = = = = 720 kr 720 720 : 10 72 72 : 6 12

Sondre får

720 kr – 420 kr = 300 kr

Den brøkdelen Sondre får, er

300 kr 300 300 : 10 30 30 : 6 5 = = = = = 720 kr 720 720 : 10 72 72 : 6 12

Ovanfor forkorta vi brøken ved å rekne. Vi kan òg forkorte brøken på lommereknaren. OPPGÅVE 1.72

I ei blanding av saft og vatn er det 1 saft og 5 vatn. 6

a) Kor mykje saft og kor mykje vatn er det i 3 liter blanding? b) Kor mykje saft og kor mykje vatn er det i 3,6 liter blanding? c) Kor mykje vatn er det når det er 2 liter rein saft? OPPGÅVE 1.73

Per, Anne og Jan skal dele 9600 kr. Jan skal ha 2 , Anne skal ha 1 , og Per skal 5 6 ha resten. a) Kor mange kroner skal Anne og Jan ha kvar? b) Kor mange kroner skal Per ha? c) Kor stor brøkdel skal Per ha?

Sinus 1P–Y > Tal og mengd

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 28

2014-09-19 10:18:52

SAMANDRAG Avrundingsreglar ved overslagsrekning Ved addisjon og multiplikasjon rundar vi eitt tal opp og eitt ned. Ved subtraksjon og divisjon rundar vi anten begge tala opp eller begge tala ned. Samanlikning av brøkar Vi kan finne ut kva for nokre brøkar som er størst eller minst ved å gjere dei om til desimaltal og samanlikne desimaltala. Forkorting av brøkar Når vi forkortar ein brøk, dividerer vi med det same talet i teljaren og i nemnaren. Brøken endrar ikkje verdi. Nokre prefiks kilo k

1000

hekto h desi d

100 1 = 0,1 10

centi c

1 = 0, 01 100

milli m

1 = 0, 001 1000

Samanhengen mellom nokre einingar

1000 kg = 1 tonn 1000 g = 1 kg 1000 mg = 1 g 10 dL = 1 L 10 cL = 1 dL 10 mL = 1 cL

1 kg = 0,001 tonn 1 g = 0,001 kg 1 mg = 0,001 g 1 dL = 0,1 L 1 cL = 0,1 dL 1 mL = 0,1 cL

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 29

2014-09-19 10:18:52

2 30

Sinus 1Pâ&#x20AC;&#x201C;Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 30

2014-09-19 10:18:53

Prosentrekning MĂ&#x2026;L

for opplĂŚringa er at eleven skal kunne â&#x20AC;˘ rekne med forholdstal, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 31

2014-09-19 10:18:53

2.1 Prosent Ordet prosent kjem frå latin og tyder hundredel. Prosent reknar vi alltid som hundredelar av noko. Til dømes er 1 % av 700 kr det same som 1 av 700 kr = 700 kr : 100 = 7 kr 100 1 % av eit tal finn vi ved å dele talet med 100. 3 % er tre gonger så mykje som 1 %. Når vi veit at 1 % av 700 kr er 7 kr, er 3 % av 700 kr 7 kr ⋅ 3 = 21 kr Brøken 10 kan vi forkorte slik: 100

10 10 : 10 1 = = 100 100 : 10 10 Dermed er 10 % av 700 kr 10 1 av 700 kr = av 700 kr = 700 kr : 10 = 70 kr 100 10 10 % av eit tal er det same som tidelen av talet. Vi finn 10 % av eit tal ved å dele det med 10. Her har vi fargelagt 10 % av eit rektangel:

10 %

20 % av noko er dobbelt så mykje som 10 %. Her har vi fargelagt 20 % av rektangelet:

20 %

Ettersom 10 % av 700 kr er 70 kr, er 20 % av 700 kr 70 kr ⋅ 2 = 140 kr 5 % er halvparten av 10 %. Dermed er 5 % av 700 kr

70 kr : 2 = 35 kr

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 32

2014-09-19 10:18:54

15 % av 700 kr er

10 % av 700 kr + 5 % av 700 kr = 70 kr + 35 kr = 105 kr

Her har vi fargelagt 90 % av eit rektangel:

90 %

10 %

90 % av rektangelet er heile rektangelet bortsett frå 10 %. Av same grunn er

90 % av 700 kr = 700 kr – 10 % av 700 kr = 700 kr − 70 kr = 630 kr

DØME a) Finn 1 %, 2 % og 4 % av 250 kr. b) Finn 10 %, 20 % og 90 % av 2400 kr. c) Finn 5 % og 15 % av 4200 kr. Løysing:

a) 1 % av 250 kr er

250 kr : 100 = 2,50 kr

2 % av 250 kr er dobbelt så mykje som 1 %. Det blir

2,50 kr ⋅ 2 = 5 kr

4 % er dobbelt så mykje som 2 %. 4 % av 25 kr er då

5 kr ⋅ 2 = 10 kr b) 10 % av 2400 kr er

2400 kr : 10 = 240 kr

20 % er dobbelt så mykje som 10 %. Dermed er 20 % av 2400 kr

240 kr ⋅ 2 = 480 kr

90 % av 2400 kr er

2400 kr − 10 % av 2400 kr = 2400 kr − 240 kr = 2160 kr c) Først reknar vi ut 10 % av 4200 kr. Det er

5 % av 420 kr er halvparten 10 %. Det er

4200 kr : 10 = 420 kr 420 kr : 2 = 210 kr

15 % av 4200 kr er

10 % av 4200 kr + 5 % av 4200 kr = 420 kr + 210 kr = 630 kr

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 33

2014-09-19 10:18:54

OPPGÅVE 2.10

Rekn ut 1 %, 2 % og 3 % av beløpa. a) 200 kr b) 410 kr c) 3200 kr OPPGÅVE 2.11

Rekn ut 10 %, 20 % og 90 % av beløpa. a) 20 kr b) 140 kr c) 2500 kr OPPGÅVE 2.12

Rekn ut 10 % og deretter 5 % og 15 % av beløpa. a) 80 kr b) 240 kr c) 560 kr

50 100

Ettersom =

50 : 50 1 = , er 50 % av 800 kr 100 : 50 2

50 1 av 800 kr = ⋅ 800 kr = 800 kr : 2 = 400 kr 100 2 50 % av eit tal er halvparten av talet. Her har vi fargelagt 50 % av eit rektangel:

50 %

25 % er halvparten av 50 %. Her er 25 % av rektangelet fargelagt:

25 %

Når vi veit at 50 % av 800 kr er 400 kr, er 25 % av 800 kr

400 kr : 2 = 200 kr

Vi kan òg finne 25 % av 800 kr direkte fordi 25 % av eit tal er fjerdedelen av talet. Dermed er

25 % av 800 kr = 800 kr : 4 = 200 kr

DØME Finn 50 %, 25 % og 75 % av 2800 kr.

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 34

2014-09-19 10:18:55

Løysing:

50 % av 2800 kr er

2800 kr : 2 = 1400 kr

25 % er halvparten av 50 %. 25 % av 2800 kr er då

1400 kr : 2 = 700 kr

75 % av 2800 kr er

50 % av 2800 kr + 25 % av 2800 kr = 1400 kr + 700 kr = 2100 kr

OPPGÅVE 2.13

Finn 50 %, 25 % og 75 % av tala. a) 60 kr b) 480 kr c) 3600 kr OPPGÅVE 2.14

a) Finn 10 % og 50 % av 780 kr. b) Bruk svara i oppgåve a til å finne 40 % og 60 % av 780 kr.

2.2 Prosentfaktor Når vi bruker lommereknar i prosentrekning, løner det seg å rekne med desimaltal og ikkje med brøk. Det skal vi sjå på no. Mads er med i eit tippelag som har vunne 20 000 kr. Han skal ha 15 % av denne gevinsten. Det er det same som 15 av 20 000 kr. 100

15 % av 20 000 kr =

15 av 20 000 kr 100

15 ⋅ 20 000 kr = 0,15 ⋅ 20 000 kr = 3000 kr 100

Vi finn 15 % av eit tal ved å multiplisere talet med 0,15. Talet 0,15 kallar vi prosentfaktoren til 15 %. På tilsvarande måte er 0,25 prosentfaktoren til 25 % og 0,08 prosentfaktoren til 8 %.

Prosentfaktoren til p % er

p . 100

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 35

2014-09-19 10:18:56

DØME Finn prosentfaktorane til 8 %, 17 % og 2,5 %. Løysing:

Prosentfaktorane er 8 17 = 0, 08 = 0,17 100 100

2, 5 = 0, 025 100

OPPGÅVE 2.20

Finn prosentfaktoren til a) 6 % b) 19 % d) 45 % e) 5 %

c) 12 % d) 42 %

OPPGÅVE 2.21

Finn prosentfaktoren til a) 5,5 % b) 1,9 % d) 45,3 % e) 0,5 %

c) 12,5 % f) 0,25 %

Når vi kjenner prosentfaktoren, er prosenten = prosentfaktoren ⋅ 100 %

DØME Finn prosenten når prosentfaktoren er 0,09, 0,23 og 0,125. Løysing:

Prosentane er 0,09 ⋅ 100 % = 9 % 0,23 ⋅ 100 % = 23 % 0,125 ⋅ 100 % = 12,5 % OPPGÅVE 2.22

? 36

Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,04 b) 0,25 c) 0,13 d) 0,01 e) 0,34 f) 0,07 Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 36

2014-09-19 10:18:56

OPPGÅVE 2.23

Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,045 b) 0,375 c) 0,012 d) 0,002 e) 1,24 f) 0,0012

2.3 Rekning med prosentfaktorar Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. I kapittel 2.2 såg vi at 15 % av 20 000 kr er 0,15 ⋅ 20 000 kr = 3000 kr Vi ser at prosentfaktoren ⋅ heile talet = delen av talet

DØME a) Finn prosentfaktoren til 12 %. b) Bruk prosentfaktoren til å rekne ut 12 % av beløpa 23 500 kr og 95 000 kr. Løysing:

a) Prosentfaktoren til 12 % er 12 = 0,12 100 b) Her kjenner vi prosentfaktoren og heile talet.

12 % av 23 500 kr = 0,12 ⋅ 23 500 kr = 2820 kr 12 % av 95 000 kr = 0,12 ⋅ 95 000 kr = 11 400 kr

OPPGÅVE 2.30

Finn 12 % av beløpa. a) 300 kr b) 3200 kr

c) 12 400 kr

OPPGÅVE 2.31

Per har 24 000 kr i banken, Kari har 123 300 kr, og Ola har 78 000 kr. Dei får alle 1,5 % rente per år. Bruk prosentfaktoren til å rekne ut kor mange kroner kvar av dei får i rente på eitt år.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 37

2014-09-19 10:18:56

Vi veit at prosentfaktoren ⋅ heile talet = delen av talet Dermed er prosentfaktoren =

delen av talet heile talet

Vi finn prosentfaktoren ved å dividere delen av talet med heile talet.

DØME a) Kor mange prosent er 240 kr av 500 kr? b) Ein mann sette 4500 kr i banken og fekk 90 kr i rente på eitt år. Kor mange prosent rente fekk han? Løysing:

a) Prosentfaktoren er

delen av talet 240 kr 240 = = = 0, 48 heile talet 500 kr 500

Når prosentfaktoren er 0,48, er prosenten

0,48 ⋅ 100 % = 48 % b) Prosentfaktoren er

delen av talet 90 kr 90 = = = 0, 02 heile talet 4500 kr 4500

Når prosentfaktoren er 0,02, er prosenten

0,02 ⋅ 100 % = 2 % OPPGÅVE 2.32

Martin set 2400 kr i banken og får 84 kr i rente på eitt år. Kor mange prosent rente svarer det til? OPPGÅVE 2.33

Line kjøper ein sofa som kostar 4800 kr. Ho får 720 kr i avslag. Kor mange prosent avslag får ho?

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 38

2014-09-19 10:18:57

Vi veit at prosentfaktoren ⋅ heile talet = delen av talet Dermed er heile talet = delen av talet prosentfaktoren

DØME a) Løna til Mads er 15 % av det han sel for. Ei veke fekk han 4200 kr i løn. Kor mykje selde han for? b) Mads sette pengar i banken og fekk 6 % rente per år. Han fekk 492 kr i rente. Kor mykje pengar sette Mads i banken? Løysing:

a) Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. Salssummen er dermed

4200 kr = 28 000 kr 0,15

b) Prosentfaktoren til 6 % er 0,06. Beløpet han sette i banken, var

492 kr = 8200 kr 0,06

OPPGÅVE 2.34

a) Hanne skal kjøpe bil. Ho ser på ein bil som kostar 240 000 kr. Ho kan få 10 800 kr i avslag på prisen. Kor mange prosent avslag kan ho få? b) Hanne ser på ein annan bil. Ho kan få 6 % avslag i prisen. Det svarer til 16 500 kr. Kor mykje kostar denne bilen utan avslag? OPPGÅVE 2.35

Knut set pengar i banken og får 1,5 % rente per år. a) Kor mykje pengar sette han i banken når han får 450 kr i rente på eitt år? b) Kor mykje måtte han setje i banken for å få 675 kr i rente?

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 39

2014-09-19 10:18:58

2.4 Prosentvis auke Alle prisane i ein kiosk skal setjast opp med 20 %. Den opphavlege prisen er 100 %. Vi kan illustrere dette slik:

Gammal pris

Tillegg

100 %

20 %

Den nye prisen blir då 120 % av den opphavlege prisen. Ein hamburgar kostar 50 kr. Den nye prisen blir

120 % av 50 kr =

120 av 50 kr = 1,20 ⋅ 50 kr = 60 kr 100

Talet 1,20 kallar vi vekstfaktoren ved 20 % auke. Legg merke til at vekstfaktoren 1,20 er 1 + 0,20 = 1 + prosentfaktoren Ved prosentvis auke er vekstfaktoren = 1 + prosentfaktoren

DØME Finn vekstfaktoren til 40 % auke. Løysing:

Prosentfaktoren til 40 % er 40 = 0, 40 100 Vekstfaktoren er 1 + 0,40 = 1,40 Når vi kjenner vekstfaktoren til ein auke mellom 0 % og 100 %, finn vi prosentfaktoren ved å skifte ut 1-talet framfor komma med 0 slik vi gjer i dømet på neste side.

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 40

2014-09-19 10:18:58

DØME Finn prosenten når vekstfaktoren er 1,12. Løysing:

Når vekstfaktoren er 1,12, er prosentfaktoren 0,12. Prosenten er då 0,12 ⋅ 100 % = 12 %

OPPGÅVE 2.40

Finn vekstfaktoren når ein pris blir sett opp med a) 23 % b) 8 % c) 4 % d) 2,3 % e) 0,8 % f) 14,4 % OPPGÅVE 2.41

Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 1,30 b) 1,05 c) 1,02 d) 1,074 e) 1,005 f) 1,236 Då vi auka prisane med 20 %, rekna vi slik: 1,20 ⋅ 50 kr = 60 kr Vi legg merke til at utrekninga passar med denne formelen: vekstfaktoren ⋅ den opphavlege verdien = den nye verdien

DØME I ein kiosk kostar ein liten pizza 80 kr og ein stor pizza 120 kr. Prisane skal setjast opp med 15 %. Finn dei nye prisane. Løysing:

Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. Vekstfaktoren er då 1,15. Prisen på ein liten pizza blir 1,15 ⋅ 80 kr = 92 kr Prisen på ein stor pizza blir 1,15 ⋅ 120 kr = 138 kr

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 41

2014-09-19 10:18:58

OPPGÅVE 2.42

Alle prisane i ein kiosk skal setjast opp med 5 %. a) Finn vekstfaktoren. b) Finn dei nye prisane når prisane før var 60 kr, 80 kr og 120 kr. OPPGÅVE 2.43

Ein moped kostar 12 000 kr. Prisen blir først sett opp med 7 % og deretter med 12 %. a) Finn prisen etter desse to aukingane. b) Kor mange prosent vart prisen sett opp i alt?

2.5 Prosentvis nedgang I ein kiosk sel dei 60 små pizzaer og 40 store pizzaer per dag. Så set dei opp prisane, og salet går då ned med 10 %.

Opphavleg sal 100 %

Nytt sal 90 %

Nedgang 10 %

Det nye salet er dermed 90 % av salet slik det var frå først av. Salet av dei små pizzaene er no

90 % av 60 = 0,90 ⋅ 60 = 54

Talet på store pizzaer er

90 % av 40 = 0,90 ⋅ 40 = 36

Talet 0,90 kallar vi vekstfaktoren ved 10 % nedgang, også når det er nedgang og ikkje vekst. Legg merke til at vekstfaktoren 0,90 er

1 – 0,10 = 1 – prosentfaktoren

Ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren = 1 – prosentfaktoren

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 42

2014-09-19 10:18:58

DØME Finn vekstfaktoren ved 6 % nedgang. Løysing:

Vekstfaktoren ved 6 % nedgang er 1 −

6 = 1 − 0, 06 = 0, 94 100

Når vi kjenner vekstfaktoren ved prosentvis nedgang, er prosentfaktoren = 1 − vekstfaktoren

DØME Finn prosenten når vekstfaktoren er 0,88. Løysing:

Når vekstfaktoren er 0,88, er prosentfaktoren = 1 – vekstfaktoren = 1 – 0,88 = 0,12 Prosenten er 0,12 ⋅ 100 % = 12 %

OPPGÅVE 2.50

Finn vekstfaktoren når ein storleik minkar med a) 23 % b) 8 % c) 4 % d) 12,5 % e) 0,8 % f) 46,4 % OPPGÅVE 2.51

Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 0,70 b) 0,95 c) 0,87 d) 0,975 e) 0,825 f) 0,9975 Også ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren ⋅ den opphavlege verdien = den nye verdien

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 43

2014-09-19 10:18:58

DØME Ein liten pizza kostar 80 kr og ein stor pizza 120 kr. Prisane skal setjast ned med 5 %. Finn dei nye prisane. Løysing:

Prosentfaktoren til 5 % er 0,05. Vekstfaktoren ved 5 % nedgang blir då

1 – 0,05 = 0,95

Prisen på ein liten pizza blir 0,95 ⋅ 80 kr = 76 kr Prisen på ein stor pizza blir 0,95 ⋅ 120 kr = 114 kr OPPGÅVE 2.52

I ein kiosk har dei tre hamburgarar som veg 50 g, 100 g og 150 g før dei er steikte. Hamburgarane kostar 30 kr, 40 kr og 50 kr. a) Ein dag blir prisen sett ned med 20 %. Kva kostar kvar av hamburgarane no? b) Hamburgarane minkar 15 % i vekt når dei blir steikte. Kor mykje veg kvar av hamburgarane etter steikinga? OPPGÅVE 2.53

Forretninga «Steikje fin» sel jakker som kostar 600 kr. Prisen blir sett ned to gonger, først med 30 % og deretter med 40 %. a) Kva kostar jakkene no? b) Kor mange prosent vart prisen i alt sett ned?

2.6 Meirverdiavgift For kjøp av dei fleste varer og tenester må vi betale ei avgift til staten. Denne avgifta heiter meirverdiavgift, ofte forkorta til mva. Mange bruker å kalle denne avgifta for moms. I 2014 var meirverdiavgifta 8 % på persontransport og kinobillettar, 15 % på matvarer og 25 % på andre varer og tenester. Desse prosentsatsane blir endra frå tid til tid. Meirverdiavgifta reknar vi alltid i prosent av prisen utan meirverdiavgift. For persontransport og kinobillettar er avgifta 8 %, og då er prosentfaktoren 0,08. For matvarer er prosentfaktoren 0,15, og for andre varer og tenester er prosentfaktoren 0,25.

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 44

2014-09-19 10:18:59

For persontransport og kinobillettar er meirverdiavgifta = 0,08 ⋅ prisen utan meirverdiavgift For matvarer er meirverdiavgifta = 0,15 ⋅ prisen utan meirverdiavgift For andre varer og tenester er meirverdiavgifta = 0,25 ⋅ prisen utan meirverdiavgift I annonsar kan det stå at prisen er eksklusiv meirverdiavgift (ekskl. mva.). Då er meirverdiavgifta ikkje rekna med, og vi må leggje til meirverdiavgifta for å finne ut kva vi må betale for vara. Dersom prisen er inklusiv meirverdiavgift (inkl. mva.), er meirverdiavgifta alt rekna med.

DØME Ein kafé kjøper inn matvarer for 1800 kr. Denne prisen er utan meirverdi avgift. a) Finn meirverdiavgifta. b) Finn prisen med meirverdiavgift. Løysing:

a) Meirverdiavgifta er 0,15 ⋅ 1800 kr = 270 kr b) Prisen med meirverdiavgift er 1800 kr + 270 kr = 2070 kr

DØME Ein sykkel kostar 2900 kr utan meirverdiavgift. a) Rekn ut meirverdiavgifta. b) Finn prisen med meirverdiavgift. Løysing:

a) Meirverdiavgifta er 0,25 ⋅ 2900 kr = 725 kr b) Prisen med meirverdiavgift er 2900 kr + 725 kr = 3625 kr

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 45

2014-09-19 10:18:59

Då vi skulle finne prisen med meirverdiavgift, rekna vi på førre sida først ut meirverdiavgifta og la ho så til prisen utan meirverdiavgift. Dersom vi bruker vekstfaktorar, finn vi prisen med meirverdiavgift med ein gong. Det er den metoden som er mest brukt i praksis. For persontransport og kinobillettar betaler vi 8 % meirverdiavgift. Prosentfaktoren er 0,08, og vekstfaktoren er då 1 + 0,08 = 1,08 For matvarer betaler vi 15 % meirverdiavgift. Vekstfaktoren er 1 + 0,15 = 1,15 For andre varer og tenester betaler vi 25 % meirverdiavgift. Vekstfaktoren er 1 + 0,25 = 1,25 For sykkelen i dømet vi nettopp hadde, er prisen med meirverdiavgift 1,25 ⋅ 2900 kr = 3625 kr For persontransport og kinobillettar er

prisen med meirverdiavgift = 1,08 ⋅ prisen utan meirverdiavgift

For matvarer er

prisen med meirverdiavgift = 1,15 ⋅ prisen utan meirverdiavgift

For andre varer og tenester er

prisen med meirverdiavgift = 1,25 ⋅ prisen utan meirverdiavgift

DØME Marius handlar på stormarknaden. Han kjøper matvarer for 740 kr og andre varer for 360 kr. Prisane er utan meirverdiavgift. Kor mykje må Marius betale i alt? Løysing:

For matvarene er prisen med meirverdiavgift 1,15 ⋅ 740 kr = 851 kr For dei andre varene er prisen med meirverdiavgift 1,25 ⋅ 360 kr = 450 kr I alt må Marius betale 851 kr + 450 kr = 1301 kr

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 46

2014-09-19 10:18:59

OPPGÅVE 2.60

Eit gatekjøkken kjøper inn hamburgarar for 1500 kr utan meirverdiavgift. a) Finn meirverdiavgifta. b) Finn prisen med meirverdiavgift. OPPGÅVE 2.61

Hanna Huse har fått reparert taket på huset sitt for 7800 kr utan meirverdiavgift. a) Finn meirverdiavgifta. b) Finn prisen med meirverdiavgift. OPPGÅVE 2.62

Sigrid Sola kjøper ein flybillett til Stavanger for 560 kr utan meirverdiavgift. Finn prisen med meirverdiavgift.

Når vi skal finne meirverdiavgifta, må vi passe på at vi reknar i prosent av prisen utan meirverdiavgift. Vi kan til dømes ikkje rekne i prosent av prisen medrekna meirverdiavgift. Dersom vi veit kva prisen med meirverdiavgift er, må vi først finne prisen utan meirverdiavgift før vi kan finne meirverdiavgifta. For persontransport og kinobillettar er

prisen med meirverdiavgift = 1,08 ⋅ prisen utan meirverdiavgift

Dermed er prisen utan meirverdiavgift =

prisen med meirverdiavgift 1,008

Vi har tilsvarande formlar for dei andre meirverdisatsane. For persontransport er prisen utan meirverdiavgift =

prisen med meirverdiavgift 1,008

For matvarer er prisen utan meirverdiavgift = For andre varer og tenester er prisen utan meirverdiavgift =

prisen med meirverdiavgift 1,115 prisen med meirverdiavgift 1,225

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 47

2014-09-19 10:18:59

DØME Mor kjøper matvarer for 1300 kr inkl. mva. a) Kva er prisen utan meirverdiavgift? b) Kor stor er meirverdiavgifta? Løysing:

a) Prisen utan meirverdiavgift er 1300 kr = 1130,43 kr 1,15 b) Meirverdiavgifta er differansen mellom prisen med og prisen utan meirverdiavgift. For matvarene er meirverdiavgifta

1300 kr – 1130,43 kr = 169,57 kr

OPPGÅVE 2.63

Ein hamburgar kostar 50 kr inkludert 15 % meirverdiavgift. a) Finn prisen ekskl. mva. b) Finn meirverdiavgifta. OPPGÅVE 2.64

Eit kvartal er straumrekninga på 6300 kr inkl. mva. Finn meirverdiavgifta. OPPGÅVE 2.65

Kor mange prosent vil prisane på matvarer stige dersom meirverdiavgifta blir sett opp frå 15 % til 25 %?

2.7 Prosentpoeng På ein skule er det 1000 elevar. Ein dag er 8 % av elevane borte. Dagen etter er 10 % borte. Vi seier då at fråværet har auka med 2 prosentpoeng. Vi kan ikkje seie at auken er på 2 %. Her er grunnen til det: Når fråværet er 8 %, er talet på elevar som er borte, lik

8 % av 1000 = 0,08 ⋅ 1000 = 80

Når fråværet er 10 %, er talet på elevar som er borte

10 % av 1000 = 0,10 ⋅ 1000 = 100

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 48

2014-09-19 10:19:00

Auken er

100 – 80 = 20

Prosentfaktoren til auken er

auken 20 = = 0, 25 det første fråværet 80

Prosenten er 0,25 ⋅ 100 % = 25 % Når fråværet aukar frå 8 % til 10 %, er auken på 25 % og ikkje på 2 %. Når vi reknar ut differansen mellom to prosenttal, finn vi endringa i prosentpoeng.

DØME a) Oppslutninga om Arbeidarpartiet aukar ein månad frå 29,2 % til 30,4 %. Kor mange prosentpoeng er denne auken på? b) Høgre hadde ei oppslutning på 23,4 % og fekk så ein auke på 0,7 prosentpoeng. Finn oppslutninga om Høgre no. Løysing:

a) Auken i prosentpoeng er

30,4 – 29,2 = 1,2

Auken er på 1,2 prosentpoeng.

b) Den nye oppslutninga i prosent er 23,4 + 0,7 = 24,1

Oppslutninga om Høgre er no 24,1 %.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 49

2014-09-19 10:19:01

OPPGÅVE 2.70

a) Eit år aukar fråværet på ein arbeidsplass frå 7,4 % til 8,7 %. Kor mange prosentpoeng er auken på? b) Året etter var fråværet 0,8 prosentpoeng lågare. Kor mange prosent var fråværet no? OPPGÅVE 2.71

På ein skule er det 400 elevar. Måndag var 6,5 % av elevane borte, og tysdag var fråværet 5,25 %. a) Kor mange prosentpoeng gjekk fråværet ned? b) Kor mange elevar var borte kvar av dagane? c) Kor mange prosent gjekk fråværet ned?

Sinus 1P–Y > Prosentrekning

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 50

2014-09-19 10:19:01

SAMANDRAG Prosentfaktor Prosentfaktoren til p % er p . 100

Å finne prosenten når vi kjenner prosentfaktoren Prosenten er prosentfaktoren ⋅ 100 % Å finne delen av talet når vi kjenner heile talet og prosenten Delen av eit tal er prosentfaktoren ⋅ heile talet Å finne prosenten når vi kjenner delen av talet og heile talet Prosentfaktoren er

delen av talet heile talet

Å finne heile talet når vi kjenner delen av talet og prosenten Heile talet er

delen av talet prosentfaktoren

Vekstfaktoren ved prosentvis auke Vekstfaktoren er 1 + prosentfaktoren Vekstfaktoren ved prosentvis nedgang Vekstfaktoren er

1 – prosentfaktoren

Prosentvis auking eller minking Den nye verdien er vekstfaktoren ⋅ den gamle verdien Meirverdiavgift For persontransport og kinobillettar er meirverdiavgifta 8 % av prisen utan meirverdiavgift. For matvarer er meirverdiavgifta 15 % av prisen utan meirverdiavgift. For andre varer og tenester er meirverdiavgifta 25 % av prisen utan meirverdiavgift. Prosentpoeng Når vi reknar ut differansen mellom to prosenttal, finn vi endringa i prosentpoeng.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 51

2014-09-19 10:19:01

3 52

Sinus 1Pâ&#x20AC;&#x201C;Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 52

2014-09-19 10:19:03

Algebra MÅL

for opplæringa er at eleven skal kunne • forenkle fleirledda uttrykk og løyse likningar av første grad og enkle potenslikningar • tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 53

2014-09-19 10:19:03

3.1 Reknerekkjefølgje På ungdomsskulen lærte du mange reknereglar for rekning med tal. Vi repeterer nokre reglar: Positivt tal ⋅ positivt tal = positivt tal Positivt tal ⋅ negativt tal = negativt tal Negativt tal ⋅ positivt tal = negativt tal Negativt tal ⋅ negativt tal = positivt tal

+⋅+=+ +⋅−=− −⋅+=− −⋅−=+

Når vi gongar to tal, blir svaret eit positivt tal deresom forteikna er like. Svaret blir eit negativt tal dersom forteikna er ulike.

DØME Rekn ut. a) 3 ⋅ 4

b) 4 ⋅ (−2)

c) (−3) ⋅ 12

d) (−5) ⋅ (−3)

Løysing:

a) 3 ⋅ 4 = 12 b) 4 ⋅ (−2) = −8 c) (−3) ⋅ 12 = −36 d) (−5) ⋅ (−3) = 15

Reknestykka ovanfor kan vi rekne ut på lommereknaren. Då er det viktig å vite at det på mange lommereknarar er to ulike minusteikn. Slike lommereknarar har både eit differanseteikn og eit forteikn. Differanseteiknet bruker vi når vi til dømes skal rekne ut 45 − 12. Forteiknet bruker vi dersom vi skal leggje inn eit negativt tal, til dømes −2. Differansetasten − står som oftast på den høgre sida av lommereknaren. Forteikntasten (−) finn du ofte i den nedste rekkja. Forteikntast: (−)

Differansetast: −

I uttrykket 4 ⋅ (−2) er minusteiknet eit forteikn. Då må vi bruke forteikntasten (−) . Svaret blir −8.

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 54

2014-09-19 10:19:03

Når vi til dømes skal rekne ut 4 + 3 ⋅ 2 er det viktig å vite korleis vi skal gjere det. Det blir 4 + 3 ⋅ 2 = 4 + 6 = 10 Legg merke til at 4 + 3 ⋅ 2 ikkje blir 7 ⋅ 2 = 14. Vi må gonge før vi legg saman. Utrekningar gjer vi alltid i denne rekkjefølgja: 1. Først multiplikasjon (⋅) og divisjon (:) 2. Deretter addisjon (+) og subtraksjon (−)

DØME Rekn ut. a) 5 + 2 ⋅ 4

b) 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3

c) (−3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 5

Løysing:

a) 5 + 2 ⋅ 4 = 5 + 8 = 13

Multiplikasjon før addisjon

b) 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 = 15 − 12 = 3

Multiplikasjon før subtraksjon

c) (−3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 = −6 + 10 = 4

Multiplikasjon før addisjon

Gode lommereknarar reknar slik vi lærte ovanfor. Når vi tastar 5 + 2 ⋅ 4, skal vi få svaret 13. Dersom du får svaret 28, bør du kjøpe deg ein annan lommereknar.

OPPGÅVE 3.10

Rekn ut både med og utan lommereknar. a) 5 ⋅ 6 b) 5 ⋅ (−4) c) (−6) ⋅ 3

d) (−4) ⋅ (−6)

OPPGÅVE 3.11

Rekn ut både med og utan lommereknar. a) 6 + 2 ⋅ 3 b) 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ (−4) c) (−6) ⋅ 3 + (−4) ⋅ (−5) d) 6 − (−5) ⋅ 2 + (−3) ⋅ 5

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 55

2014-09-19 10:19:04

Når du skal rekne ut eit uttrykk der det òg er potensar eller parentesar, må du alltid gjere det i denne rekkefølgja: 1. 2. 3. 4.

Rekn først ut parentesuttrykka. Rekn deretter ut potensane. Gjer deretter multiplikasjonane og divisjonane. Gjer til slutt addisjonane og subtraksjonane.

Vi viser no med eit døme korleis dette blir i praksis.

DØME Rekn ut. a) −2 ⋅ (3 + 1) + 4 ⋅ 23 Løysing:

b) −32 + (2 − 5)2

a) −2 ⋅ (3 + 1) + 4 ⋅ 23 = −2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 23 = −2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8 = −8 + 32 = 24

1. Rekn først ut uttrykket i parentesen. 2. Rekn ut potensen. 3. Gjer multiplikasjonane. 4. Gjer til slutt addisjonen.

b) −32 + (2 − 5)2 = −32 + (−3)2 = −9 + 9 = 0

1. Rekn først ut uttrykket i parentesen. 2. Rekn ut potensane. 3. Gjer til slutt addisjonen.

Legg spesielt merke til korleis vi reknar ut 4 ⋅ 23. Det er ikkje det samme som 83. Når vi skriv 4 ⋅ 23, er det berre 2-talet som skal opphøgjast i tredje potens. Vi får

4 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32 Dersom vi vil at 4-talet òg skal opphøgjast i tredje potens, må vi setje ein parentes og skrive (4 ⋅ 2)3 = 83 = 512 Når vi skriv −32, er det berre talet 3 som skal opphøgjast i andre potens, ikkje talet −3. Dermed er

−32 = −9 Dersom vi vil opphøgje talet −3 i andre potens, må vi skrive (−3)2. (−3)2 = 9

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 56

2014-09-19 10:19:04

La oss no rekne oppgĂĽve a i dĂ¸met pĂĽ fĂ¸rre sida pĂĽ lommereknaren. Vi skal rekne ut â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2039;&#x2026; (3 + 1) + 4 â&#x2039;&#x2026; 23 pĂĽ lommereknaren. DĂĽ tastar vi heile uttrykket i eitt slik vi har gjort pĂĽ denne lommereknaren:

Her brukte vi tastenâ&#x20AC;&#x201A; x â&#x20AC;&#x201A; dĂĽ vi skreiv uttrykket 23. Finn ut korleis du fĂĽr til det pĂĽ din lommereknar. Svaret blir 24 som vist ovanfor.

OPPGĂ&#x2026;VE 3.12

Rekn ut bĂĽde med og utan lommereknar. a) 4Â â&#x2039;&#x2026;Â 22 b) 4Â â&#x2039;&#x2026;Â (â&#x2C6;&#x2019;2)2 c) 5 â&#x2C6;&#x2019; 32

d) (5 â&#x2C6;&#x2019; 3)2

OPPGĂ&#x2026;VE 3.13

Rekn ut bĂĽde med og utan lommereknar. a) 2 â&#x2039;&#x2026; (7 â&#x2C6;&#x2019; 5) + 2 b) â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2039;&#x2026; (4 â&#x2C6;&#x2019; 12) + 2 â&#x2039;&#x2026; 32 c) â&#x2C6;&#x2019;(8 â&#x2C6;&#x2019; 4) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;3)2 d) â&#x2C6;&#x2019;24 + 3 â&#x2039;&#x2026; (17 â&#x2C6;&#x2019; 32) + (3 â&#x2039;&#x2026; 42 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2039;&#x2026; 52) OPPGĂ&#x2026;VE 3.14

Rekn ut med hjelp av ein lommereknar. ďŁŤ5 2ďŁś 3 ďŁŤ3 1ďŁś a) 2 â&#x2039;&#x2026; ďŁŹ + ďŁˇ b) ďŁŹ â&#x2C6;&#x2019; ďŁˇ â&#x2039;&#x2026; 8 4 ďŁ¸ ďŁ6 9ďŁ¸ 5 ďŁ 1 ďŁś ďŁŤ2ďŁś ďŁŤ 5 ďŁŤ7 2ďŁś ďŁŤ1 1ďŁś c) ďŁŹ + ďŁˇ : ďŁŹ ďŁˇ d) ďŁŹ â&#x2C6;&#x2019; ďŁˇ â&#x2039;&#x2026; ďŁŹ + ďŁˇ 36 12 9 ďŁ ďŁ¸ ďŁ ďŁ¸ ďŁ6 9ďŁ¸ ďŁ5 4ďŁ¸

3.2 Variablar Vi veit at 3 â&#x2039;&#x2026; 5 + 4 â&#x2039;&#x2026; 5 = 15 + 20 = 35 Men vi kan Ă˛g tenkje slik nĂĽr vi skal rekne ut dette: 7 gonger 3 â&#x2039;&#x2026; 5 + 4 â&#x2039;&#x2026; 5 = 5 +5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 â&#x2039;&#x2026; 5 = 35 3 gonger

4 gonger

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 57

2014-09-19 10:19:05

Vi ser at 3 â&#x2039;&#x2026; 5 + 4 â&#x2039;&#x2026; 5 = 7 â&#x2039;&#x2026; 5 = 35 PĂĽ tilsvarande mĂĽte viser vi at 3 â&#x2039;&#x2026;10 + 4 â&#x2039;&#x2026;10 = 7 â&#x2039;&#x2026;10 = 70 Slik kan vi rekne ogsĂĽ med andre tal enn 5 og 10. For eit ukjent tal x er 3 â&#x2039;&#x2026; x + 4 â&#x2039;&#x2026; x = 7 â&#x2039;&#x2026; x Eit slikt ukjent tal x kallar vi ein variabel. NĂĽr vi arbeider med variablar, bruker vi reknereglane for tal, for variablar er tal. Vi veit berre ikkje kva for eit tal det er. NĂĽr vi gongar eit tal og ein variabel, tek vi som oftast ikkje med gongeteiknet. Vi skriv 3x + 4 x = 7 x PĂĽ tilsvarande mĂĽte er 4 x + 6 x = 10 x Uttrykk med pluss eller minus mellom kallar vi ledd. Dermed har 4 x + 6 x to ledd. Mange gonger bruker vi andre namn enn x pĂĽ variablar. Vi kan bruke y, a, b og c, men ogsĂĽ alle dei andre bokstavane i alfabetet blir brukte. Til dĂ¸mes er 3a + 8a = 11a 4b + b = 5b At 4b + b = 5b kan vi forklare pĂĽ to mĂĽtar: 4b + b = 4 â&#x2039;&#x2026; b + 1 â&#x2039;&#x2026; b = 5 â&#x2039;&#x2026; b = 5b 5 gonger b + b + b + b = 5b 4b + b = b + 4 gonger

Fram til no har vi lagt saman variabeluttrykk. Vi kan Ă˛g trekkje frĂĽ: 7 x â&#x2C6;&#x2019; 3x = 4 x 3a â&#x2C6;&#x2019; 5a = â&#x2C6;&#x2019;2a Uttrykka kan ha mange ledd: 3x + 4 x â&#x2C6;&#x2019; 5 x = 7 x â&#x2C6;&#x2019; 5 x = 2 x 2a + 3a â&#x2C6;&#x2019; 4a = 5a â&#x2C6;&#x2019; 4a = a

Sinus 1Pâ&#x20AC;&#x201C;Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 58

2014-09-19 10:19:07

OPPGÅVE 3.20

Trekk saman. a) 2 x + 5 x b) 7a − 5a c) b + 3b + 5b d) 2 y + 4 y − y e) 2 z − 8 z + 6 z

Dersom vi skal rekne ut 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 må vi rekne slik: 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 = 12 + 35 = 47 Vi kan ikkje trekkje saman dei to ledda før vi har gonga. Vi må gonge først. Uttrykket 3x + 5 y kan vi heller ikkje trekkje saman. Det gjeld også uttrykket 3x + 1 No skal vi trekkje saman uttrykket 3x + 4 y + 5 x + 2 y Når vi skal leggje saman tal, kan vi gjere det i den rekkjefølgja vi vil. Dermed kan vi forme om uttrykket slik: 3x + 4 y + 5 x + 2 y = 3x + 5 x + 4 y + 2 y = 8 x + 6 y Ledda 3x og 5x er av same typen, og vi kan trekkje dei saman til 8x. Ledda 4y og 2y er òg av same typen, og dei kan trekkjast saman til 6y.

OPPGÅVE 3.21

Trekk saman uttrykka. a) 2 x + 7 y + 6 x + 5 y b) 15 x + 12 y − 8 x − 5 y c) 3x + 5 y + 10 + 4 x − y − 5 d) 5a − 2b − 5 + 3a + 8b + 7 e) 3a − b + 7 − 3a + b + 3

Når det i matematikk står parentesar om tal, vil det seie at vi først skal rekne ut det som står i parentesen. Vi gjer det slik: 7 + (2 + 8) = 7 + 10 = 17

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 59

2014-09-19 10:19:10

Når vi legg saman tal, kan vi gjere det i den rekkjefølgja vi vil, utan at det forandrar noko på svaret. Derfor kan vi òg rekne slik: 7 + ( 2 + 8 ) = 7 + 2 + 8 = 9 + 8 = 17 Svaret blir det same. Altså kan vi ta bort parentesar som har pluss framfor seg. Kva må vi gjere viss vi vil ta bort ein parentes med minus framfor? 9 − (4 + 2) = 9 − 6 = 3 Her kan vi ikkje utan vidare ta bort parentesen. Å trekkje frå summen av tala 4 og 2 er det same som å trekkje frå både 4 og 2. Då kan vi rekne slik: 9 − ( 4 + 2 ) = 9 − 4 − 2 = 5 − 2 = 3 No fekk vi rett svar. Vi må altså byte forteikn på tala i parentesen når vi tek bort parentesar som det står minus framfor. Vi har denne regelen: Vi kan ta bort parentesar som har + framfor seg, utan å forandre forteikn på ledda inne i parentesen. Dersom vi tek bort ein parentes med − framfor seg, må vi byte forteikn på ledda inne i parentesen.

DØME Trekk saman. a) 2 x + ( 3x − 1) b) 5 x − ( 3x − 2 ) c) ( 3x + 2 y ) − ( x + y ) Løysing:

a) 2 x + ( 3x − 1) = 2 x + 3x − 1 = 5 x − 1 b) 5 x − ( 3x − 2 ) = 5 x − 3x + 2 = 2 x + 2 c) ( 3x + 2 y ) − ( x + y ) = 3x + 2 y − x − y = 3x − x + 2 y − y = 2 x + y OPPGÅVE 3.22

Trekk saman. a) 2 x + ( 3x − 2 ) b) 4 − ( 4 − 3x ) c) ( 2x − y ) + ( x + y ) d) ( 4 x − 2 ) − ( 2 x + 5 )

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 60

2014-09-19 10:19:12

No skal vi gonge eit tal med eit parentesuttrykk. 2 ⋅ ( 3 + 4 ) = 2 ⋅ 7 = 14 Men når vi skal gonge ein sum av to tal med 2, kan vi like godt gonge kvart av tala med 2 og så leggje saman: 2 ⋅ ( 3 + 4 ) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 6 + 8 = 14 Svaret blir det same. Vi har denne regelen: Når vi skal multiplisere eit tal med eit parentesuttrykk, må vi multiplisere talet med kvart ledd inne i parentesen.

DØME Rekn ut. a) 3 ⋅ ( 4 x + y ) b) 3 ⋅ ( 2 x − y ) + 4 ⋅ ( x + y ) c) 2 ⋅ (3a − b) − 3 ⋅ ( 2a − b ) Løysing:

a) 3 ( 4 x + y ) = 3 ⋅ 4 x + 3 ⋅ y = 12 x + 3 y b) 3 ⋅ ( 2 x − y ) + 4 ⋅ ( x + y ) = ( 6 x − 3 y ) + ( 4 x + 4 y ) = 6 x − 3 y + 4 x + 4 y = 10 x + y c) 2 ⋅ (3a − b) − 3 ⋅ ( 2a − b ) = ( 6a − 2b ) − ( 6a − 3b ) = 6a − 2b − 6a + 3b = 6a − 6a − 2b + 3b = b

OPPGÅVE 3.23

Rekn ut. a) 2 ⋅ ( 2 x − y ) b) −2 ⋅ ( −2 x + 5 ) c)

1 3  1 ⋅ ( 6 x − 9 ) d) 4 ⋅  x − y  3 4  2

OPPGÅVE 3.24

Trekk saman. a) 2 ( 2 x + 3 y ) + 3 ( x − 2 y ) b) 4( x − 1) − 2(2 x − 2) c) −2 ( 2 x − 3 y ) + 4 ( x − 2 y ) d) 3 ( 2a − 2b + c ) − 2 ( a − 3b + c )

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 61

2014-09-19 10:19:15

3.3 Førstegradslikningar Å løyse likninga x + 2 = 7 er det same som å finne verdiar for talet x slik at den høgre og den venstre sida av likskapsteiknet får same verdi. Det svarer til å finne ut kva for eit tal som passar i den tomme ruta her:

+2=7

Talet 5 er det einaste som passar. 5 +2=7 Likninga x + 2 = 7 har dermed løysinga x = 5 Mange enkle likningar kan vi løyse på denne måten utan å bruke reknereglar for likningar.

DØME Løys likningane utan å bruke reknereglar for likningar. a) 3x = 12 b) 2x + 1 = 5 Løysing:

a) Vi lagar ei rute og ser kva for eit tal som passar. 3x = 12 3 ⋅ 4 = 12 x = 4 b) 2x + 1 = 5 2 ⋅ 2 + 1 = 5 x = 2

OPPGÅVE 3.30

Løys likningane utan å bruke reknereglane for likningar. a) x + 5 = 12 b) x − 3 = 5 c) 2x = 8 d) –4x = 12 OPPGÅVE 3.31

Løys likningane utan å bruke reknereglane for likningar. a) 2x – 1 = 3 b) 3x + 1 = 10 c) 5x – 1 = 14

d) 6x – 4 = 20

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 62

2014-09-19 10:19:15

No ser vi på likninga x + 2 = 7 I ei likning skal jo tala på begge sidene av likskapsteiknet vere like, derfor må vi kunne trekkje frå 2 på kvar side av likskapsteiknet og framleis ha to like tal. x + 2 – 2 = 7 – 2 x = 7 – 2 Vi ser at å trekkje frå 2 på kvar side i likninga x + 2 = 7 svarer til å flytte 2 over på den høgre sida og samtidig skifte forteikn på talet. På tilsvarande måte kan vi flytte kva ledd som helst over på den andre sida av likskapsteiknet når vi samtidig skiftar forteikn på leddet. Når vi skal løyse likningar, kan vi bruke desse reknereglane: Vi kan flytte eit ledd over på den andre sida av likskapsteiknet dersom vi samtidig skiftar forteikn på dette leddet. x + 2 = 7 3x = 2x + 5 x = 7 – 2 3x – 2x = 5 Vi kan multiplisere eller dividere med det same talet på begge sidene av likskapsteiknet dersom talet ikkje er null. 1 x = 2 2x = 4 2 2x 4 1 2 ⋅ x = 2 ⋅ 2 = 2 2 2

Når vi har løyst ei likning, kan vi setje prøve på svaret for å sjå om vi har rekna rett. Då set vi løysinga inn i likninga og kontrollerer at begge sidene av likskapsteiknet har same verdien.

DØME Løys likningane og set prøve på svaret. 1 3 a) 5x + 3 = –2x – 11 b) x + 3 = x − 1 2 4

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 63

2014-09-19 10:19:15

Løysing:

a) Vi bruker reknereglane for likningar. 5x + 3 = –2x – 11 5x + 2x = –11 – 3 7x = –14 7 x −14 = 7 7 x = –2

Flytt alle ledd med x over på venstre sida og alle tal over på høgre sida Trekk saman ledda på kvar side Divider med talet framfor x.

Vi kontrollerer løysinga x = –2 ved å setje prøve.

Venstre side: 5x + 3 = 5 ⋅ (–2) + 3 = –10 + 3 = –7 Høgre side: –2x – 11 = –2 ⋅ (–2) – 11 = 4 – 11 = –7

Venstre og høgre side er like. Løysinga er altså rett.

b) Samnemnaren for brøkane 1 og 3 er 4. Vi multipliserer med 4 på 2

begge sidene av likskapsteiknet for å få bort brøkane. 1 3 x + 3 = x −1 4 2 1 3 4 ⋅ x + 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ x − 4 ⋅1 2 4 2 x + 12 = 3x − 4 2 x − 3x = −4 − 12 − x = −16 x = 16

Trekk saman ledda på kvar side. Når –x = –16, er x = 16.

Vi kontrollerer løysinga x = 16 ved å setje prøve.

Venstre side:

Høgre side:

Venstre og høgre side er like. Løysinga er altså rett.

1 1 x + 3 = ⋅16 + 3 = 8 + 3 = 11 2 2 3 3 x − 1 = ⋅16 − 1 = 12 − 1 = 11 4 4

OPPGÅVE 3.32

Multipliser alle ledda med samnemnaren, som her er 4.

Løys likningane og set prøve på svaret. a) x + 3 = 7 b) 2x + 3 = 11 c) 2x = x + 3 d) 4x – 1 = 2x + 7

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 64

2014-09-19 10:19:16

OPPGÅVE 3.33

Løys likningane. a) 3x – 1 = x + 4 c) –2x + 1 = x + 7

b) 5x + 1 = 2x – 3 d) 2,5x + 2 = 5x – 8

OPPGÅVE 3.34

Løys likningane. 1 1 1 1 1 a) x = x + 1 b) x + = x + 1 2 4 2 3 3

3.4 Potenslikningar Uttrykket 23 kallar vi ein potens. Eksponenten 3 fortel kor mange gonger vi skal multiplisere grunntalet 2 med seg sjølv. Dermed er 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 Når vi skriv 52, vil det seie at vi skal multiplisere grunntalet 5 med seg sjølv to gonger. Dermed er 52 = 5 ⋅ 5 = 25 Vidare er (−2)2 = (−2) ⋅ (−2) = 4 (−2)3 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = (−2) ⋅ 4 = −8 (−2)4 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = 4 ⋅ 4 = 16

OPPGÅVE 3.40

Rekn ut potensane. a) 32 b) 34 c) (−3) 2 d) (−3)3 e) (−3) 4

Likningane x2 = 4 og x3 = 8 er døme på potenslikningar. Likninga x2 = 4 har to løysingar, x = 2 og x = −2 fordi 22 = 4 og (−2)2 = 4. Når vi løyser denne likninga, gjer vi det slik: x2 = 4 x = 2 eller x = −2 Vi minner om at kvadratrota av eit tal a, a, er det positive talet vi må multiplisere med seg sjølv to gonger for å få a. Til dømes er

( 5)

= 5⋅ 5 =5

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 65

2014-09-19 10:19:18

Potenslikninga x2 = 5 har dermed løysinga x = 5. Men også x = − 5 er ei løysing fordi

(

− 5

) = (− 5 ) ⋅ (− 5 ) = 2

5⋅ 5 =5

I praktiske oppgåver reknar vi ut 5 på lommereknaren som vist her:

Løysinga av likninga x 2 = 5 fører vi slik: x2 = 5 x = 5 eller x = − 5 x = 2, 24 eller x = −2, 24 Potenslikninga x2 = −4 har ingen løysingar, for når vi gongar eit tal med seg sjølv, får vi aldri eit negativt tal som svar. Produktet av to positive tal er positivt, og produktet av to negative tal er òg eit positivt tal. Potenslikninga x 2 = a har to løysingar, x = a og x = − a , når talet a er eit positivt tal, og ingen løysingar når a er eit negativt tal. Når vi løyser potenslikningar, får vi bruk for reknereglane for likningar.

DØME Løys potenslikningane. a) 2x2 − 8 = 0 b) 3x 2 + 1 = 7

c) 2 x 2 + 7 = 5

Løysing:

a) 2 x 2 − 8 = 0 2 x2 = 8 2 x2 8 = 2 2 2 x =4 x = −2 eller x = 2

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 66

2014-09-19 10:19:20

b) 3x 2 + 1 = 7 3x 2 = 7 − 1 3x 2 6 = 3 3 2 x =2 x = 2 eller x = − 2 x = 1, 41 eller x = −1, 41 c)

2 x2 + 7 = 5 2 x2 = 5 − 7 2 x 2 = −2 x 2 = −1

Det finst ingen tal x som er slik at x2 blir mindre enn null. Talet x2 kan derfor ikkje bli lik −1, og likninga x2 = −1 har dermed inga løysing.

Likninga har inga løysing.

OPPGÅVE 3.41

Løys likningane. 4 a) x 2 = 9 b) 2 x 2 − 1 = 9 c) x 2 = 20 5 d) 2 x 2 + 9 = 3 e) 3x 2 + 1 = 1

Potenslikninga x3 = 8 har éi løysing, og det er x = 2. Det er ei løysing fordi 23 = 8. I likninga x3 = 8 er ikkje x = −2 noka løysing. Grunnen er at (−2)3 er −8 og ikkje 8, slik vi viste på side 65. Dermed er x = −2 i staden ei løysing av likninga x3 = −8. Talet 2 kallar vi tredjerota av 8 fordi 23 = 8. Vi skriv 3 8 = 2 Tredjerota av eit tal a, 3 a , er dermed det talet som vi må gonge med seg sjølv tre gonger for å få a. Dermed er −2 tredjerota av −8 fordi (−2)3 = −8. 3 −8 = −2

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 67

2014-09-19 10:19:23

Tredjerota av eit tal kan vi finne på mange lommereknarar. Lommereknaren kan ha ein tast som heiter

eller

. Tredjerota av 5 finn vi då slik:

Likninga x3 = 5 har dermed løysinga x =

= 5 1, 71

Vi kan rekne ut tredjerota av alle tal, både positive og negative. Potenslikninga x3 = a har derfor alltid ei løysing for alle tal a. Potenslikninga x3 = a har alltid nøyaktig éi løysing, og det er x = 3 a .

DØME Løys potenslikningane. a) 2 x3 = 54 b) x3 + 9 = 2 Løysing:

2 x3 = 54 2 x3 54 = 2 2 3 x = 27 x = 27 x=3 3

x3 + 9 = 2 x3 = 2 − 9 x3 = −7 x = 3 −7 x = −1, 91

Her brukte vi lommereknaren og fann tredjerota av −7.

OPPGÅVE 3.42

Løys likningane. a) 2 x3 = 250 b) x3 + 3 = 30 c) 3x3 + 30 = 6 d) 2 x3 + 1 = 13

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 68

2014-09-19 10:19:25

3.5 Formlar Ein formel gir oss verdien av ein variabel ved hjelp av verdien av ein eller fleire andre variablar. Volumet V av ei kule er gitt ved V =

4 3 πr 3

Denne formelen bruker vi til å rekne ut verdien av V når vi kjenner verdien av variabelen r, som er radien. Variabelen r kallar vi den uavhengige variabelen, og V kallar vi den avhengige variabelen. Det er den avhengige variabelen vi reknar ut. Nokre gonger treng vi verdiar for to variablar for å rekne ut den tredje. Volumet V av ein sylinder er gitt ved V = πr 2 h Her må vi kjenne både radien r og høgda h for å kunne finne volumet V. I dette tilfellet har vi to uavhengige variablar og éin avhengig. I dei fleste formlane vi skal arbeide med i denne boka, er det éin uavhengig variabel og éin avhengig.

DØME Vanja Vespa har nettopp fylt opp tanken på skuteren sin med bensin. Når ho har køyrt x mil, er talet på liter bensin på tanken gitt ved formelen b = 6 – 0,2x a) Kor mykje bensin er det på tanken når ho har køyrt 15 mil? b) Kor mykje bensin er det igjen når ho har køyrt 30 mil? Løysing:

a) Når ho har køyrt 15 mil, er x = 15. Talet på liter bensin på tanken er då b = 6 – 0,2x = 6 – 0,2 ⋅ 15 = 6 – 3 = 3

Det er 3 liter bensin igjen på tanken.

b) Når ho har køyrt 30 mil, er x = 30. Talet på liter bensin på tanken er då b = 6 – 0,2x = 6 – 0,2 ⋅ 30 = 6 – 6 = 0

Etter 30 mil er tanken tom.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 69

2014-09-19 10:19:26

OPPGÅVE 3.50

La U vere prisen i kroner på ei vare utan meirverdiavgift, og la P vere prisen med meirverdiavgift. Dersom meirverdiavgifta er på 25 %, er P = 1,25 ⋅ U Finn prisen med meirverdiavgift når prisen utan meirverdiavgift er 350 kr. OPPGÅVE 3.51

Grete Grøn kjøper ein plante som ho plantar i hagen sin. Etter x veker er høgda av planten målt i centimeter gitt ved h = 2x + 5 a) Kor høg er planten etter 5 veker? b) Kor høg er planten etter 20 veker? c) Kor høg var planten då han vart sett i jorda, og kor mykje veks han per veke? OPPGÅVE 3.52

Fredrik Ford begynner å spare til bil. Etter x månader er sparebeløpet y i kroner gitt ved y = 4000 x + 30 000 a) Kor mykje pengar har Fredrik etter 6 månader? b) Kor mykje har han etter 2 år? c) Kor mye pengar hadde Fredrik då han begynte å spare, og kor mykje sparer han per månad?

I dei døma vi no har hatt, fekk vi oppgitt den formelen vi skulle bruke. Nokre gonger må vi lage formelen sjølv.

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 70

2014-09-19 10:19:26

DØME Vanja Vespa kjøper ein skuter som kostar 18 000 kr. Ho reknar med at verdien minkar med 300 kr per månad. a) Finn ein formel for verdien V av skuteren om t månader. b) Bruk formelen til å finne verdien om 2 år. Vanja har i alt 4200 kr i faste utgifter på skuteren per år. I tillegg reknar ho med at det går 2 kr per mil til bensin. c) Finn ein formel for utgiftene U i kroner når ho køyrer x mil per år. d) Finn utgiftene når ho eit år køyrer 2000 km. Løysing:

a) På t månader minkar verdien med 300 ⋅ t kroner. Verdien i kroner er då V = 18 000 − 300t b) Ettersom 2 år er 2 ⋅ 12 = 24 månader, er verdien i kroner V = 18 000 – 300 ⋅ 24 = 10 800

Verdien om 2 år er 10 800 kr.

c) Bensinutgiftene i kroner for x mil er 2 ⋅ x = 2x. Dei samla utgiftene er då U = 2 x + 4200 d) Ettersom 2000 km er det same som 200 mil, blir utgiftene U = 2 ⋅ 200 + 4200 = 4600

Utgiftene er 4600 kr dette året.

DØME Fart måler vi til vanleg i kilometer per time (km/h) eller i meter per sekund (m/s). a) Kor stor er farten i kilometer per time når farten er 1 m/s? b) Finn ein formel som gir farten v i kilometer per time når vi kjenner farten x i meter per sekund. c) Vanja køyrer skuter, og farten er 10 m/s. Finn farten i kilometer per time. d) Når det blæs orkan, har vinden ein fart på minst 32,6 m/s i over 10 min. Finn den minste vindfarten målt i kilometer per time når det blæs orkan.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 71

2014-09-19 10:19:26

Løysing:

a) I ein time er det 60 ⋅ 60 s = 3600 s Når farten er 1 m/s, kjem vi 1 m på 1 s. Då kjem vi 3600 m på 3600 s, som er 1 time. Vi veit at 3600 m = 3,6 km. Altså kjem vi 3,6 km på 1 time. 1 m/s = 3,6 km/h b) Når farten er 1 m/s, kjem vi 3,6 km på 1 time. Dersom farten til dømes er 5 m/s, må vi på 1 time kome 3,6 km ⋅ 5 = 18 km Dersom farten i meter per sekund er x, blir talet på kilometer per time 3,6 ⋅ x. Farten v i kilometer per time er då gitt ved formelen v = 3,6 ⋅ x c) Når farten er 10 m/s, er farten i kilometer per time v = 3,6 ⋅ 10 = 36

10 m/s er det same som 36 km/h.

d) Når vinden har farten 32,6 m/s, er farten i kilometer per time v = 3, 6 ⋅ 32, 6 = 117

Når det blæs orkan, er vindfarten minst 117 km/h.

OPPGÅVE 3.53

Vanja Vespa har 6 liter bensin på tanken. Skuteren bruker 0,2 liter per mil.

a) Finn ein formel for talet på liter y som er igjen på tanken når ho har køyrt x mil. b) Kor mykje er det igjen på tanken når ho har køyrt 20 mil?

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 72

2014-09-19 10:19:27

OPPGÅVE 3.54

Fredrik Ford har kjøpt seg ein gammal bil og er innom hos veninna Vanja Vespa. Dei bur 50 km frå kvarandre. Fredrik begynner på heimvegen og køyrer med farten 20 m/s. a) Bruk formelen v = 3,6 ⋅ x frå dømet vi nett hadde, og finn farten til Fredrik i kilometer per time. b) Kor mange kilometer køyrer Fredrik på 1 minutt? c) Forklar at avstanden s i kilometer heimanfrå etter t minutt er gitt ved s = 50 − 1, 2t d) Kor langt heimanfrå er Fredrik når han har køyrt i 25 minutt?

3.6 Formlar og likningar Nokre gonger får vi bruk for å løyse likningar når vi arbeider med formlar. Vi skal vise nokre døme på det.

DØME Dersom x er farten til ein bil i meter per sekund, er farten v i kilometer per time gitt ved v = 3,6 ⋅ x Kva er farten i meter per sekund når vi køyrer 90 km/h på ein motorveg? Løysing:

Her er v = 90. Det gir denne likninga: v = 90 3, 6 ⋅ x = 90

3, 6 ⋅ x 3, 6

90 3, 6

90 3, 6 x = 25 x=

Farten er 25 m/s.

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 73

2014-09-19 10:19:28

DØME Vanja har nett fylt tanken på skuteren med bensin. Når ho har køyrt x mil, er talet på liter bensin på tanken gitt ved b = 6 – 0,2x a) Kor langt har ho køyrt når det er 2 liter bensin igjen på tanken? b) Kor langt kan ho køyre før tanken er tom? Løysing:

a) Vi får denne likninga: b=2 6 − 0, 2 x = 2 −0, 2 x = 2 − 6 −0, 2 x = −4 −0, 2 x −0, 2

−4 −0, 2

−4 −0, 2 x = 20 x=

Ho har køyrt 20 mil.

b) Tanken er tom når det er 0 liter bensin igjen. Det gir denne likninga: b=0 6 − 0, 2 x = 0 −0, 2 x = 0 − 6 −0, 2 x = −6 −0, 2 x −0, 2

−6 −0, 2

−6 −0, 2 x = 30 x=

Ho kan køyre 30 mil.

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 74

2014-09-19 10:19:28

DØME Marita arbeider i ei forretning som er open kvar dag. Ho får 120 kr timen på kvardagane og 150 kr timen på sundagane. Dersom Marita ei veke arbeider x timar på kvardagane og y timar på sundagen, blir løna L i kroner L = 120x + 150y Ei veke arbeidde ho 5 timar på sundagen. Ho fekk 3630 kr i løn for heile veka. Kor mange timar arbeidde ho på kvardagane? Løysing:

Her er y = 5 og L = 3630. Det gir denne likninga: 120 x + 150 y = L 120 x + 150 ⋅ 5 = 3630 120 x + 750 = 3630 120 x = 3630 − 750 120 x = 2880 120 x 2880 = 120 120 x = 24 Marita arbeidde 24 timar på kvardagane.

OPPGÅVE 3.60

Ei vare kostar U kroner utan meirverdiavgift. Dersom meirverdiavgifta er 25 %, er prisen P med meirverdiavgift gitt ved formelen P = 1,25 ⋅ U Bruk formelen til å finne prisen utan meirverdiavgift når prisen med meirverdi avgift er 1062,50 kr. OPPGÅVE 3.61

Fredrik Ford begynner å spare til ein bil som kostar 150 000 kr. Han har 30 000 kr og sparer 4000 kr per månad. Etter x månader er beløpet y i kroner gitt ved y = 4000 x + 30 000 a) Kor lang tid tek det før Fredrik har 50 000 kr? b) Kor lang tid går det før han kan kjøpe bilen?

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 75

2014-09-19 10:19:29

DØME Mona har kjøpt skuter. Ho har i alt 4200 kr i faste utgifter til skuteren per år. I tillegg reknar ho med at det går 0,20 kr per kilometer til bensin. Kor langt kan Mona køyre per år for 5000 kr? Løysing:

Å køyre x km kostar henne 0,20 ⋅ x kr i bensin og 4200 kr i faste utgifter. Utgiftene i kroner per år blir då U = 0,20 ⋅ x + 4200 Vi set utgiftene U = 5000 og finn x: U = 5000 0,20 ⋅ x + 4200 = 5000 0,20 ⋅ x = 5000 – 4200 0,20 ⋅ x = 800 800 x = 0, 20 x = 4000 Mona kan køyre 4000 km for 5000 kr.

OPPGÅVE 3.62

Hans Martin arbeider i ei forretning som sel skuterar. Han har 10 000 kr i fast løn per månad. I tillegg får han 500 kr for kvar skuter han sel. a) Forklar at løna L er gitt ved formelen L = 500 x + 10 000 dersom han sel x skuterar på ein månad. b) Kor mange skuterar må han selje på ein månad for at løna skal bli 18 000 kr? OPPGÅVE 3.63

Mona kjøper ein ny skuter for 18 000 kr. Ho reknar med at verdien minkar med 300 kr per månad. a) Set opp ein formel for verdien v i kroner om x månader. b) Når er verdien 13 500 kr? c) Når er verdien av skuteren halvert? OPPGÅVE 3.64

Far hans Ole er dobbelt så gammal som Ole. Syster hans Ole er 4 år yngre enn Ole. Til saman er dei tre like gamle som bestefaren, som er 80 år. Finn ut kor gammal Ole er, ved å setje opp ei likning der x er alderen til Ole.

Sinus 1P–Y > Algebra

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 76

2014-09-19 10:19:30

SAMANDRAG Forteiknreglar Positivt tal ⋅ positivt tal = positivt tal Positivt tal ⋅ negativt tal = negativt tal Negativt tal ⋅ positivt tal = negativt tal Negativt tal ⋅ negativt tal = positivt tal

+⋅+=+ +⋅–=– –⋅+=– –⋅–=+

Reknerekkjefølgje 1. Rekn først ut parentesane. 2. Rekn deretter ut potensane. 3. Gjer deretter multiplikasjonane og divisjonane. 4. Gjer til slutt addisjonane og subtraksjonane. Reknereglar for parentesar Vi kan ta bort parentesar som har + framfor seg, utan å endre forteikn på ledda inne i parentesen. Dersom vi tek bort ein parentes med − framfor seg, må vi byte forteikn på ledda inne i parentesen. Når vi skal multiplisere eit tal med eit parentesuttrykk, må vi multiplisere talet med kvart ledd i parentesen. Reknereglar for likningar Vi kan flytte eit ledd over på den andre sida av likskapsteiknet dersom vi samtidig skiftar forteikn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med det same talet på begge sidene av likskapsteiknet dersom talet ikkje er null. Røter Kvadratrota av eit tal a, a, er det positive talet vi må multiplisere med seg sjølv to gonger for å få a. Tredjerota av eit tal a, 3 a , er det talet vi må multiplisere med seg sjølv tre gonger for å få a. Potenslikningar Potenslikninga x 2 = a har to løysingar, x = a og x = − a , når talet a er eit positivt tal, og inga løysing når a er eit negativt tal. Potenslikninga x3 = a har alltid nøyaktig éi løysing, x = 3 a .

Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 77

2014-09-19 10:19:31

Oppgaver

192 192

Book Sinus 1P-Y.indb 192

2014-07-22 13:35:07

1 Tall og mengde +

ØV MER

1.1 OVERSLAGSREGNING

Oppgave 1.110 Otto er på ferie i Istanbul, og han kjøper ei skinnjakke til 2500 tyrkiske lire og ei veske til 200 tyrkiske lire. En tyrkisk lire koster 3,03 norske kroner. Gjør et overslag over hvor mye Otto betaler i alt i norske kroner. Oppgave 1.111 Du er i butikken og har disse varene i handlekurven din:

1,5 liter lettmelk Tomatsuppe Ertestuing Hvetemel Bananer

14,40 kr 23,90 kr 19,90 kr 16,90 kr 19,41 kr

a) Du regner med å kjøre i 68 km/h. Hvor mange timer tar det å kjøre til hytta? b) Du regner med at bilen bruker 0,8 L bensin per mil. Omtrent hvor mange liter bensin må du minst ha på tanken for at du skal slippe å fylle bensin på turen? Oppgave 1.113 Du skal legge nye lister rundt golvet i stua. Stua er rektangulær. Du vet at stua er 7,80 m lang og 6,10 m bred. Videre regner du med at det går bort 60 cm for hver av tre dører. Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor mange meter list du bør kjøpe.

Du har bare 100 kr. Bruk overslagsregning og finn ut om du kan kjøpe alle disse varene.

Oppgave 1.112 Bruk overslagsregning. Du skal reise med bil fra Oslo til hytta på Gol. Avstanden er 21 mil.

Oppgave 1.114 Lene pusser opp huset sitt. Hun regner med at hun trenger minst 10 liter maling. Malingen selges bare i spann på 3 liter, og et spann koster 298 kr. I tillegg kjøper hun 20 m2 med fliser til en pris av 89,90 kr per kvadratmeter. Gjør et overslag over hva dette vil koste Lene.

193

Book Sinus 1P-Y.indb 193

2014-07-22 13:35:08

Oppgave 1.115 Live skal kjøpe nye gardiner. Hun trenger 6 gardinlengder à 1,90 m. Gardinstoffet hun ønsker å kjøpe, selges bare i ferdige pakker på 5 m. Prisen på en gardinpakke er 169 kr. I tillegg trenger hun 3 gardinstenger, og prisen er 199 kr per stk. Gjør et overslag over hva handelen vil koste Live.

1.2 ENHETER FOR MENGDE

Oppgave 1.120 Bruk tabell og gjør om til gram (g). a) 0,200 kg b) 1,325 kg c) 0,800 kg d) 0,056 kg Oppgave 1.121 Bruk tabell og gjør om til kilogram (kg). a) 280 g b) 75 g c) 3 g d) 1,2 tonn Oppgave 1.122 Bruk tabell og gjør om til hektogram (hg). a) 240 g b) 25 g c) 2 g d) 13 kg

194

Book Sinus 1P-Y.indb 194

Oppgave 1.123 Bruk tabell og gjør om til liter (L). a) 12 dL b) 180 cL c) 2500 mL Oppgave 1.124 Bruk tabell og gjør om til desiliter (dL). a) 1,9 L b) 26 cL c) 650 mL Oppgave 1.125 Bruk tabell og gjør om til milliliter (mL). a) 0,4 cL b) 0,12 dL c) 0,05 L Oppgave 1.126 a) Hvor mange gram er 1,2 kg? b) Hvor mange gram er 2000 mg? c) Hvor mange hektogram er 1,7 kg? d) Hvor mange kilogram er 2300 g? e) Hvor mange kilogram er 1,5 tonn? Oppgave 1.127 a) Hvor mange milligram er 5 g? b) Hvor mange milligram er 0,008 g? c) Hvor mange hektogram er 50 g? d) Hvor mange tonn er 4000 kg? e) Hvor mange tonn er 12 500 kg? Oppgave 1.128 a) Hvor mange milligram er 1,7 g? b) Hvor mange gram er 2 hg? c) Hvor mange hektogram er 460 g? d) Hvor mange kilogram er 2600 g? e) Hvor mange tonn er 230 000 kg? Oppgave 1.129 a) Hvor mange centiliter er 23 dL? b) Hvor mange desiliter er 250 mL? c) Hvor mange liter er 460 cL? d) Hvor mange liter er 8000 mL?

Sinus 1P-Y > Tall og mengde

2014-07-22 13:35:08

1.3 SUMMERING AV MENGDER

Oppgave 1.130 Trekk sammen. a) 1,8 kg + 0,2 kg + 1,2 kg b) 0,6 kg + 8 hg + 2,6 kg c) 20 g + 60 g + 0,08 kg d) 42 g + 218 g + 0,350 kg Oppgave 1.131 Trekk sammen. a) 1,2 L + 4 dL + 2,3 L + 6 dL b) 3,5 dL + 0,25 L + 1,4 dL + 0,80 L c) 20 cL + 2 dL + 30 cL + 3 dL d) 9 dL + 80 cL + 5 dL + 40 cL Oppgave 1.132 Maj O. Nes er i butikken og handler. I handlekurven ligger:

Oppgave 1.135

a) Gjør om til liter og legg sammen.

8,4 dL + 145 cL + 2450 mL + 0,06 L

b) Gjør om til kilogram og legg sammen.

480 g + 2,6 hg + 0,774 kg + 86 000 mg

Oppgave 1.136 Til middag spiste Dag 0,25 kg kjøtt, 60 g poteter, 40 g grønnsaker og 5 mL (= 5 g) saus. I tillegg drakk Dag 0,5 L vann. Hvor mye mer veide Dag etter denne middagen? Oppgave 1.137 Her er en oppskrift på åtte grove horn:

550 g pizzadeig 2,5 kg hvetemel 2 hg kjøttpålegg 0,4 kg brød 50 g gjær

Hvor mange kilogram veier varene?

Hvor mye veier deigen til sammen?

Oppgave 1.133 I en kasse ligger det noe verktøy:

Oppgave 1.138 En oppskrift på 30 hveteboller er slik:

Hammer: Høvel: Syl: Bor: Dor: Skrutrekker:

0,702 kg 780 g 42 g 24 g 45 g 0,125 kg

Hvor mange kilogram veier verktøyet til sammen? Oppgave 1.134 Trekk sammen. a) 2,75 kg + 3,5 hg + 170 g b) 50 g + 0,72 hg + 2,30 hg + 0,820 kg c) 15 dL + 1,70 L + 250 cL + 0,40 L d) 5 cL + 7,5 dL + 0,3 dL + 0,60 L

0,5 L (= 0,5 kg) melk 50 g gjær 20 g salt 2,3 hg sammalt grovt hvetemel 4,5 hg hvetemel

1 kg hvetemel 1 ts kardemomme 100 g smør 100 g farin 2 pakker à 50 g gjær 3 dL (= 0,3 kg) melk 3 dL vann

Hvor mye veier deigen til sammen? Oppgave 1.139 Sett mg, g eller kg bak tallene slik at utregningen stemmer. 1000 + 250 + 0,3 = 551 g

195

Book Sinus 1P-Y.indb 195

2014-07-22 13:35:09

1.4 DESIMALTALL OG BRØKER

1.5 STØRST OG MINST

Oppgave 1.140 Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 1 a) b) c) 10 100 1000 3 1 3 d) e) f) 4 5 5

Oppgave 1.150 Skriv tallene i stigende rekkefølge. a) 3,402 3,042 3,240 3,2039 3,204 b) 2,457 2,547 2,754 2,475 2,4057 c) 0,8 0,9 0,09 0,10 0,15

Oppgave 1.141 Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 1 a) b) c) 20 25 50 Oppgave 1.142 Skriv disse tallene som desimaltall. 7 8 9 8 a) b) c) d) 10 5 20 50 Oppgave 1.143 Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 1 1 a) b) c) d) 3 6 9 11 Oppgave 1.144 Robert bruker denne oppskriften når han baker brød:

1 2 1 2 2 5

L lettmelk L kefir dL vann

1 kg rugmel

1 4 3 4

kg sammalt hvetemel kg hvetemel

2 ts salt

1 2

hg gjær

Skriv denne oppskriften og bruk da desimaltall i stedet for brøker.

196

Book Sinus 1P-Y.indb 196

Oppgave 1.151 Finn hvilken brøk som er størst, ved å skrive tallene som desimaltall. 1 4 4 b) 5 8 c) 5 9 d) 5 a)

2 5 3 eller 4 3 eller 2 19 eller 10 eller

Oppgave 1.152 Skriv tallene i stigende rekkefølge. 1 1 a) 0,40 0,15 0,149 4 5 1 1 b) 0,30 0,12 0,03 3 2 1 1 c) 1 0,9 0,091 7 2 1 1 d) 0 0,016 0,16 6 60 Oppgave 1.153 Hvilken brøk er størst? 7 15 12 25 a) eller b) eller 8 17 11 23 Oppgave 1.154 Ulf er rørlegger. Han har et rør som er 3 tomme tykt, og et rør som er 5 tomme 4

tykt. Hvilket av de to rørene er tykkest?

Sinus 1P-Y > Tall og mengde

2014-07-22 13:35:13

1.6 BRØKREGNING

Oppgave 1.160 Forkort brøkene uten lommeregner. 5 6 4 a) b) c) 10 9 16 10 14 8 d) e) f) 80 21 20 Oppgave 1.161 Bruk lommeregner og regn ut. 3 4 7 3 a) ⋅ b) ⋅ 4 5 3 14 7 5 1 3 c) + d) + 12 12 2 2 Oppgave 1.162 Bruk lommeregner og regn ut. 5 1 2 8 a) ⋅ b) : 6 5 9 3 3 2 3 c) ⋅ 3 d) + 5 5 10 Oppgave 1.163 Bruk lommeregner og regn ut. 3 1 5 2 a) – b) + 4 2 21 7 1 1 c) 2 ⋅ d) 3 : 2 3 Oppgave 1.164 En konditor lager tre kakedeiger. De inne holder disse mengdene sukker: 0,4 kg, 1 kg og 0,7 kg. 4

Hvor mye sukker trenger konditoren?

Oppgave 1.165 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 12 10 18 a) b) c) 16 25 12 14 9 175 d) e) f) 42 81 200 Oppgave 1.166 Bruk lommeregner og regn ut. 12 9 25 a) ⋅ b) 5 : 21 48 6 3 1 7 1 2  22  c) + – d)  +  : 10 25 50 3 5 5 Oppgave 1.167 Even skal bake ei kake. Det går med 1 liter helmelk, 1 liter kefir og 1 liter 4 6 3 vann. Hvor mye væske brukte han til sammen? Oppgave 1.168 Du trenger 3 liter vann for å lage suppe 4

av en suppepose. Hvor mye vann trenger du til 1 1 suppe 2 pose?

1.7 BRØKDELEN AV ET TALL

Oppgave 1.170 Regn ut. 1 2 a) av 3 b) av 20 3 5 1 2 c) av 24 d) av 35 6 7 Oppgave 1.171 Guri og Petter skal dele 4200 kr. Guri skal ha 3 av pengene og Petter resten. 7 Hvor mange kroner får Guri, og hvor mange kroner får Petter?

197

Book Sinus 1P-Y.indb 197

2014-07-22 13:35:19

Oppgave 1.172 Bilen til Kåre Kakse bruker til vanlig 4 liter bensin per mil. 5

Hvor mye bensin brukte bilen på 16 mil? Oppgave 1.173 I en klasse med 30 elever er 3 av 5 elevene gutter. a) Hvor mange gutter er det i klassen? b) Hvor mange jenter er det i klassen? c) Hvor stor brøkdel av klassen er jenter? Oppgave 1.174 Ei kanne saftogvann inneholder 7 dL saft og 2,8 L vann. a) Hvor mye saftogvann er det på kanna? b) Hvor stor brøkdel av innholdet er saft? Oppgave 1.175 I en klasse er det 8 jenter og 18 gutter. a) Hvor stor brøkdel av elevene er jenter? b) Hvor stor brøkdel av elevene er gutter? Oppgave 1.176 a) 1 kg appelsiner koster 24 kr. Hva koster 3 kg? 4

b) 1 kg druer koster 27 kr. Hva koster 2 kg? 3

Oppgave 1.177 Ari, Jari, Kari og Mari skal dele 72 000 kr. Ari skal ha 1 og Jari 3 , mens Kari og 6

Oppgave 1.178 På en skidag kunne elevene ved en videregående skole velge mellom slalåm, aking og langrenn. 1 av elevene 3 valgte slalåm, og 2 valgte aking. 5

a) Hvor stor del av elevene valgte enten slalåm eller aking? b) Alle elevene ble med på en av de tre aktivitetene. Hvor stor del av elevene valgte langrenn? c) Det var 120 elever som valgte aking. Hvor mange elever var med på skidagen?

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 1.200 Anne-Gry kjøpte bensin for 300 kr. Gjør overslag og finn ut hvor mange liter bensin hun fylte når prisen per liter var 14,99 kr. Oppgave 1.201 Snekker Hammer kjøper 6 bord (materialer). I enden av hvert bord står det et tall som forteller hvor mange centimeter bordet er. På bordene står det: 497, 309, 323, 440, 506, 320. Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mye Hammer må betale når bordene koster 9,95 kr per meter.

Mari skal dele resten likt. a) Hvor stor del skal Kari og Mari ha hver av de 72 000 kr? b) Hvor mange kroner skal Kari og Mari ha hver?

198

Book Sinus 1P-Y.indb 198

Sinus 1P-Y > Tall og mengde

2014-07-22 13:35:21

Oppgave 1.202 Rita var i Tyskland, og der kjøpte hun ei flott jakke som kostet 285 € (euro). Prisen i norske kroner kunne Rita regne ut ved å multiplisere med 8,7. Bruk tabellen nedenfor, gjør overslag og finn ut hvilket av de fire alternativene som forteller hvor mye jakka omtrent kostet i norske kroner. A Pris (kr)

ca. 1500 ca. 2000 ca. 2500 ca. 3000

Oppgave 1.203 Audhild kjøper frukt i en kolonial forretning. En lørdag koster eplene 19,90 kr per kg og appelsinene 14,90 kr per kg. Audhild veier opp 1,8 kg epler og 2,9 kg appelsiner, men har bare 85 kr. Gjør et overslag og finn ut om hun kan få kjøpt frukten. Oppgave 1.204 En bil bruker i gjennomsnitt 0,53 liter bensin per mil. a) Hvor mye bensin bruker da bilen på 30 mil? b) Bensintanken tar 60 liter. Gjør et overslag over omtrent hvor langt bilen kan kjøre på en kvart tank. Oppgave 1.205 Svein jobber noen dager i uka ved siden av studier. Svein har en timelønn på 140,80 kr. En måned jobbet han 30,5 timer. Bruk tabellen nedenfor, gjør overslag og finn ut om Svein skal ha lønn A, B eller C denne måneden. Lønn (kr)

4094,40

4194,40

4294,40

Oppgave 1.206 a) Hvor mange kilogram er 1251 g? b) Hvor mange gram er 1,4 hg? c) Hvor mange milligram er 3,5 g? d) Hvor mange tonn er 150 000 kg? ↑ 1.2

Oppgave 1.207 I handlekurven din ligger: 250 g salami 2,5 kg hvetemel 2 hg leverpostei 50 g gjær Hvor mange kilogram veier varene du har i kurven? Oppgave 1.208 Trekk sammen. a) 250 g + 2,0 hg + 1,550 kg b) 30 cL + 42 dL + 0,7 L Oppgave 1.209 Trekk sammen. a) 250 g + 2,2 hg + 0,2 kg b) 1,3 L + 4,3 dL + 20 cL ↑ 1.3

Oppgave 1.210 Skriv tallene i stigende rekkefølge. 2,708 –3,7 –4,5 2,7 2,17 Oppgave 1.211 a) Skriv tallene som desimaltall. 1 7 1) 2) 4 100 b) Finn hvilken brøk som er størst. 39 2 eller 100 5

↑ 1.1

199

Book Sinus 1P-Y.indb 199

2014-07-22 13:35:21

Oppgave 1.212 Tegn tallinja og plasser disse tallene på riktig sted på tallinja.

Oppgave 1.217 a) Hvor stor del av figuren er blå?

1 1 9 3 0,70 0,09 4 5 10 4 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ↑ 1.5

Oppgave 1.213 Forkort brøkene. 3 4 a) b) 9 16

b) Hvor mange flere deler måtte være blå for at 2 av figuren skulle være 3 blå? 6 48

Oppgave 1.214 a) Hvilken av brøkene 1 og 1 er størst? 3

b) Regn ut. 2,8 +

2 5

Oppgave 1.218 Alf, Berit og Kristian skal dele 24 000 kr. Alf skal ha 1 , Berit 2 og Kristian resten. 3

a) Hvor mange kroner skal hver av dem ha? b) Hvor stor brøkdel får Kristian? Oppgave 1.219 Linda, Britt og Jorunn løp stafett. Til sammen løp de 4,2 km. Linda løp 1 , 3 Britt 1 og Jorunn resten.

↑ 1.6

Oppgave 1.215 Hvor stor del av sirkelen er borte? Husk å forkorte svaret.

a) Hvor langt løp Linda og Britt? b) Hvor langt løp Jorunn? c) Hvor stor brøkdel løp Jorunn? ↑ 1.7

MED HJELPEMIDLER Oppgave 1.216 a) Tegn figuren og fargelegg 2 av den. 5

Oppgave 1.300 a) Gjør om til desiliter (dL) og legg sammen. 4,2 L + 660 cL + 2800 mL

b) Hvor mange flere ruter må farge legges hvis 2 av figuren ikke skal 5 være fargelagt?

200 200

Book Sinus 1P-Y.indb 200

b) Gjør om til liter (L) og legg sammen.

8,4 dL + 145 cL + 2450 mL + 0,06 L

Sinus 1P-Y > Tall og mengde

2014-07-22 13:35:23

Oppgave 1.301 a) Gjør om til kilogram (kg) og legg sammen. 7,3 hg + 5350 g + 850 000 mg b) Gjør om til hektogram (hg) og legg sammen.

480 g + 2,6 hg + 0,76 kg + 86 000 mg

Oppgave 1.302 Her er en oppskrift på fiskekaker:

10 hg rensket fisk 2 spiseskjeer (25 g) salt 30 g potetmel 75 g margarin 1,0 L (= 1 kg) melk litt muskatblomme

Hva veier farsen? ↑ 1.3

Oppgave 1.303 Forkort brøkene med et digitalt hjelpemiddel. 468 95 294 a) b) 624 333 529 ↑ 1.4

Oppgave 1.304 Gå til Sinus-sidene for 1P-Y på Internett. Under kapittel 1 finner du det ferdige regnearket «Desimaltall og brøk». Last ned dette regnearket og bruk det til å finne svaret på disse oppgavene: a) Hva er størst av 3 og 5 ? b) Hva er størst av

8 1 4

12 5 ? 21

c) Skriv 0,375 som en forkortet brøk. d) Skriv 0,4545454545… som en forkortet brøk.

Oppgave 1.305 Marit og Martin skal rydde på verkstedet og bestemmer seg for å sortere noen esker med skruer i et skap fra venstre mot høyre, etter økende ytre diameter på skruene. Skruene er målt i tommer og har disse målene i tilfeldig rekkefølge: 5 '' 1 '' 3 '' 3 '' 5 '' og 1'' , , , , 8 2 4 8 16 a) Sorter disse skruene etter stigende diameter fra venstre mot høyre. Da Marit og Martin var ferdige med denne sorteringen, var verksmesteren så begeistret at han spurte om de også kunne sortere og legge inn i det samme skapet noen skruer med diametere målt i millimeter. Det gjaldt skruer på 6, 8, 10, 12, 16 og 20 mm. En tomme er 2,54 cm. b) Sorter alle disse 12 skruetypene etter stigende diameter fra venstre mot høyre. ↑ 1.5

Oppgave 1.306 Læreren har kjøpt inn brus til klassen. Ved bord A sitter det fem elever. De får på deling to flasker med 1,5 L brus i hver flaske. Ved bord B sitter det tre elever. De får på deling ei flaske som gjør at det blir 0,5 L på hver. Ved bord C sitter det fire elever. De får på deling ei flaske med 1,5 L og to flasker med 0,5 L brus. a) Ved hvilket bord er det mest brus per elev? Læreren har ei flaske på 0,5 L som han ikke har delt ut. b) Hvilke forandringer i fordelingen kan han gjøre slik at alle elevene får like mye brus når ingen av elevene skal bytte plass?

201

Book Sinus 1P-Y.indb 201

2014-07-22 13:35:24

Oppgave 1.307 En type potetgull har et energiinnhold på 2170 kJ per 100 g. a) Hvor mye energi får du i deg hvis du spiser alt i en pose som inneholder 0,25 kg potetgull? b) 100 g eple har et energiinnhold på 192 kJ. Hvor mye eple må du spise for å få i deg like mye energi som det er i en 250 g pose med potetgull? Oppgave 1.308 Familien Sundt er opptatt av å ha et sunt kosthold. Derfor tar de tran. Anbefalt daglig dose med tran er 5 ml for både barn og voksne. a) Hvor mange daglige doser er det i ei flaske på 0,500 liter?

b) Familien består av 5 personer. Hvor lenge varer ei flaske med tran? c) Tranen inneholder 0,25 mg vitamin A per 5 ml tran. Hvor mange milligram vitamin A er det i hele flaska? Oppgave 1.309 Gå til kapittel 1 på nettsidene til Sinus og last ned GeoGebra-fila «Multiplikasjon.ggb». Åpne fila og bruk den til å finne svar på oppgavene nedenfor og øverst i høyre spalte. a) Hvor mye er 2 av 5 ? b) Hvor mye er

202 202

Book Sinus 1P-Y.indb 202

9 4 7

c) Bruk de figurene du får når du flytter sammen kvadratene, til å forklare hvorfor du må multiplisere teller med teller og nevner med nevner når du multipliserer to brøker. ↑ 1.6

Oppgave 1.310 Jon, Ellen og Tora skal kjøre bil sammen til hytta. De skal dele på å kjøre den 320 km lange veien. Jon kjører 80 km, mens Ellen og Tora kjører like lange strekninger. a) Hvor stor del av veien kjører Jon? b) Hvor stor del av veien kjører hver av de to andre?

Oppgave 1.311 Vi skal blande mel og sukker. Blandingen skal inneholde 3 mel og 5 resten sukker. a) Hvor mye mel og hvor mye sukker må vi bruke til en blanding på 1,5 kg? b) Hvor mye mel og hvor mye sukker må vi bruke til 2,5 kg blanding? c) Hvor mye sukker må vi bruke til 2,1 kg mel? ↑ 1.7

7 8 ? 9

Sinus 1P-Y > Tall og mengde

2014-07-22 13:35:25

2 Prosentregning +

ØV MER

2.1 PROSENT

Oppgave 2.110 Hvor mange ruter må være fargelagt for at a) 25 % c) 80 %

Oppgave 2.112 a) Omtrent hvor mange prosent av figuren er blå?

b) 40 % d) 100 %

av figuren skal være fargelagt? b) Omtrent hvor mange prosent av figuren er rød? Oppgave 2.113 Regn ut 10 %, 20 % og 50 % av beløpene. a) 50 kr b) 120 kr c) 1200 kr Oppgave 2.114 Hvor mange ruter må være fargelagt for at Oppgave 2.111 a) Hvor stor brøkdel av figuren er fargelagt?

a) 25 % c) 80 %

b) 40 % d) 10 %

av figuren skal være fargelagt?

b) Hvor mange prosent av figuren er fargelagt?

203

Book Sinus 1P-Y.indb 203

2014-07-22 13:35:25

Oppgave 2.115 a) Hvor stor brøkdel av figuren er fargelagt?

Oppgave 2.123 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,235 b) 0,048 c) 0,782 d) 0,005 e) 1,50 f) 2,05

b) Hvor mange prosent av figuren er fargelagt? c) Tegn figuren. Fargelegg videre slik at 60 % av figuren blir fargelagt.

2.3 REGNING MED PROSENTFAKTORER

Oppgave 2.116 a) Hvor stor brøkdel av figuren er rød?

Oppgave 2.130 Finn a) 15 % av 240 b) 23 % av 400 c) 40 % av 500 d) 8 % av 175 Oppgave 2.131 a) I avisa kan vi lese at 6 av 10 norske studenter jobber ved siden av studiene. Hvor mange prosent jobber ved siden av studiene?

b) Hvor mange prosent av figuren er rød? c) Tegn figuren. Fargelegg videre slik at 70 % av figuren blir rød.

2.2 PROSENTFAKTOR

Oppgave 2.120 Finn prosentfaktoren til a) 20 % b) 50 % c) 12 % d) 1 % e) 5 % f) 9 % Oppgave 2.121 Finn prosentfaktoren til a) 40 % b) 55 % c) 60 % d) 72 % e) 77 % f) 99 % Oppgave 2.122 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,23 b) 0,65 c) 0,08 d) 0,025 e) 0,01 f) 0,082

204 204

Book Sinus 1P-Y.indb 204

b) En butikk selger 3 pakker pålegg for det som 2 pakker pålegg vanligvis koster. Hvor mange prosent er prisavslaget på de 3 pakkene? c) På slutten av et høstsalg selger en klesbutikk alle klær til «halv av halv pris». Hvor mange prosent er da prisen på klærne satt ned? Oppgave 2.132 a) Ei jakke koster 450 kr. Så blir prisen satt opp 20 %. Hvor mange kroner blir prisen på jakka satt opp med? b) En kjole koster 400 kr og blir satt ned 15 %. Hvor mange kroner blir prisen på kjolen satt ned med?

Sinus 1P-Y > Prosentregning

2014-07-22 13:35:26

Oppgave 2.133 a) Martine setter 4000 kr i banken og får 112 kr i rente på ett år. Hvor mange prosent rente svarer det til? b) Yngve kjøper et stereoanlegg som koster 5200 kr. Han får 780 kr i avslag. Hvor mange prosent avslag får han?

Oppgave 2.137 a) Prisen på ei taklampe ble satt opp fra 649 kr til 699 kr. Hvor mange prosent ble prisen satt opp? b) Prisen på ei bordlampe ble satt ned fra 699 kr til 649 kr. Hvor mange prosent ble prisen satt ned?

Oppgave 2.134 Einar tjener 22 500 kr på en sommerjobb. Han må betale 28 % skatt. Hvor mye skatt må Einar betale?

Oppgave 2.138 I en klasse er det 17 jenter og 13 gutter. a) Hvor mange prosent av klassen er jenter, og hvor mange prosent er gutter? b) Litt ut i skoleåret slutter tre av jentene, mens det begynner en ny gutt. Hvordan er prosentfordelingen mellom jenter og gutter i klassen nå?

Oppgave 2.135 a) En feriereise koster 4250 kr. Prisen på denne reisen blir satt opp med 510 kr. Hvor mange prosent går prisen opp?

b) En flybillett koster 1850 kr. Prisen blir satt ned med 185 kr. Hvor mange prosent går prisen ned? Oppgave 2.136 a) Kristine kjøper en mobiltelefon til 1500 kr. Hun får 20 % rabatt på denne prisen. Hva betaler Kristine for mobiltele fonen? b) Petter kjøper en mobiltelefon til 1700 kr. Han får 255 kr i avslag. Hvor mange prosent avslag får Petter?

Oppgave 2.139 Bensinprisen var en dag 14,00 kr per liter. Prisen ble satt ned to ganger i løpet av kort tid, først med 3 % og seinere med 38 øre. a) Hvor mange kroner gikk bensin prisen ned i alt etter disse to pris endringene? b) Hvor mange prosent gikk bensin prisen ned i alt etter disse to pris endringene?

2.4 PROSENTVIS ØKNING

Oppgave 2.140 Finn vekstfaktoren når a) verdien øker med 6 % b) verdien øker med 15 % c) verdien øker med 3 % d) verdien øker med 18 %

205

Book Sinus 1P-Y.indb 205

2014-07-22 13:35:26

Oppgave 2.141 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 1,28 b) 1,33 c) 1,67 d) 1,007 e) 1,99 f) 2 Oppgave 2.142 a) En genser koster 600 kr. Så blir prisen satt opp med 20 %. Finn vekstfaktoren. b) Finn ut hva genseren koster etter at prisen ble satt opp. c) Et skjerf koster 300 kr. Så blir prisen satt opp med 15 %. Hva koster skjerfet etter at prisen ble satt opp? Bruk vekstfaktoren. Oppgave 2.143 a) Frøydis hadde en personlig rekord i lengde på 5,02 m. Sesongen etterpå forbedret hun den personlige rekorden med 7 %. Bruk vekstfaktoren og finn hvor langt Frøydis hoppet nå. b) Øyvind hadde en personlig rekord i høydehopp på 1,30 m. Sesongen etterpå forbedret han den personlige rekorden med 10 %. Hvor høyt hoppet Øyvind nå? Oppgave 2.144 Kua Dagros melket et år 9450 kg. a) Melka inneholder 4,3 % fett. Hvor mange kilogram fett produserte Dagros dette året? b) Året etter økte Dagros melke produksjonen med 4 %. Hvor mange kilogram melket Dagros dette året?

206 206

Book Sinus 1P-Y.indb 206

Oppgave 2.145 a) Hvor mange prosent av figuren er fargelagt?

b) Tegn figuren. Fargelegg videre slik at 25 % mer blir fargelagt. Oppgave 2.146 En sykkel kostet i fjor 2349 kr. I år har prisen på sykkelen steget 6 %. Et par slalåmski kostet i fjor 1690 kr. I år er prisen på slalåmskiene steget 4,5 %. Hva koster sykkelen og slalåmskiene til sammen i år? Oppgave 2.147 a) Prisen på en enebolig var et år 3 millioner kroner. Året etter var prisen på den samme eneboligen 3,15 millioner kroner. Finn vekstfaktoren. Hvor mange prosent økte prisen? b) Et år ble det solgt 850 eneboliger i en kommune. Året etter ble det solgt 918 eneboliger i den samme kommunen. Finn vekstfaktoren. Hvor mange prosent økte salget av eneboliger?

Sinus 1P-Y > Prosentregning

2014-07-22 13:35:27

Oppgave 2.148 I 2011 tjente Marit 300 000 kr. I 2012 steg lønna hennes 5 %, og i 2013 steg den 6 % til. a) Hva fikk Marit i lønn i 2013? b) Hvor mange prosent har lønna hennes steget i alt på disse to årene? Oppgave 2.149 a) På butikken «Dyrt og solid» selger de ei spesiell bukse for 828 kr. Det er 15 % mer enn butikken «Billig og best» selger buksa for. Hva koster buksa hos «Billig og best»? b) Sigrun kjøper en antikvitet. Noe seinere selger hun den for 5160 kr. Det er 20 % mer enn det hun ga for den. Hvor mye betalte Sigrun for antikviteten?

Oppgave 2.153 En elektrisk drill koster 1200 kr. Ei uke blir prisen på drillen satt ned 15 %. a) Finn vekstfaktoren. b) Hva koster drillen denne uka?

Oppgave 2.154 Et fjernsynsapparat koster 8000 kr. På salg får du kjøpt apparatet for 6400 kr. a) Hvor mange kroner ble fjernsyns apparatet satt ned med? b) Hvor mange prosent ble prisen på fjernsynsapparatet satt ned på salget?

2.5 PROSENTVIS NEDGANG

Oppgave 2.150 Finn vekstfaktoren når en størrelse minker med a) 20 % b) 40 % c) 12 % d) 5 % e) 2 % f) 99 % Oppgave 2.151 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 0,60 b) 0,33 c) 0,67 d) 0,07 e) 0,99 f) 0,008 Oppgave 2.152 Et par sko koster 700 kr. Skoene blir solgt på salg med 35 % rabatt. a) Finn vekstfaktoren. b) Hva kostet skoene på salg?

Oppgave 2.155 Ei jakke koster 1250 kr. Du kjøper jakka for 1100 kr. a) Hvor mange kroner fikk du i avslag? b) Hvor mange prosent fikk du i avslag på jakka? Oppgave 2.156 a) En dress som koster 2900 kr, blir satt ned 12 %. Hva koster dressen etter at prisen er satt ned? b) En kjole som koster 1800 kr, blir satt ned 16 %. Hva koster kjolen etter at prisen er satt ned?

207

Book Sinus 1P-Y.indb 207

2014-07-22 13:35:27

Oppgave 2.157 Prisen på en liter 95 oktan bensin var i begynnelsen av uka 14,00 kr. I løpet av uka endret prisen seg to ganger. Tirsdag var prisen 5,5 % lavere. Torsdag gikk prisen ned 2,8 % til. Hva kostet en liter 95 oktan bensin på torsdag?

Oppgave 2.162 Prisene på disse varene er uten merverdiavgift. Finn både merverdiavgiften og prisen med merverdiavgift. a) Et par ski til 2000 kr b) Matvarer til 1200 kr c) En kinobillett til 75 kr

Oppgave 2.158 Ei bukse koster 390 kr. I løpet av en salgsperiode gikk prisen på denne buksa ned to ganger. Første gang ble prisen satt ned 20 %. Noen dager seinere ble prisen satt ned 25 % til. Hvor mange prosent ble prisen satt ned i alt?

Oppgave 2.163 Hans-Petter har fått en regning fra elektrikeren på 2500 kr inkl. mva. a) Hva er prisen uten merverdiavgift? b) Hvor stor er merverdiavgiften?

Oppgave 2.159 a) Ei skjorte koster på salg 210 kr. Da er den opprinnelige prisen redusert med 30 %. Hva var den opprinnelige prisen på skjorta? b) En bluse koster på salg 195 kr. Da er den opprinnelige prisen redusert med 25 %. Hva var den opprinnelige prisen på blusen?

2.6 MERVERDIAVGIFT

Oppgave 2.160 Ingrid kjøper matvarer for 800 kr uten merverdiavgift. a) Finn merverdiavgiften. b) Finn prisen med merverdiavgift. Oppgave 2.161 Karl kjøper en togbillett til 600 kr uten merverdiavgift. a) Finn merverdiavgiften. b) Finn prisen med merverdiavgift.

208 208

Book Sinus 1P-Y.indb 208

Oppgave 2.164 Prisene på disse varene er inkludert merverdiavgift. Finn både prisen uten merverdiavgift og merverdiavgiften. a) En maskindel til 1800 kr b) En ferjebillett til 189 kr c) Maling for 1000 kr Oppgave 2.165 Elektriker Strøm har utført elektriker arbeid og levert denne regningen:

Materiell: 30 000 kr Arbeidstid: 28,5 timer, timelønn: 580 kr Alle beløp er uten merverdiavgift.

Hvor mye skal kunden betale med merverdiavgift? Oppgave 2.166 En restaurant kjøper inn matvarer for 47 500 kr og en ny fryser til 18 500 kr. Begge prisene er uten mva. a) Hvor mye må restauranten betale i merverdiavgift til sammen for disse varene? b) Hva må restauranten betale til sammen for disse varene med merverdiavgift?

Sinus 1P-Y > Prosentregning

2014-07-22 13:35:28

Oppgave 2.167 Tore kjøper en dag en flybillett til 1244 kr ekskl. mva. Han får 15 % rabatt på salgsprisen inkludert mva. Hva betaler han for flybilletten? Oppgave 2.168 a) Kjetil betaler 2400 kr med merverdi avgift for et reparasjonsarbeid i huset sitt. Finn merverdiavgiften. b) Ellen kjøper ny parkett. Hun betaler 12 000 kr med merverdiavgift. Finn prisen ekskl. merverdiavgift. c) Toril kjøper en hamburger til 92 kr med merverdiavgift. Finn merverdiavgiften. d) En familie kjøper ny bil til 320 000 kr uten merverdiavgift. Hva koster bilen med merverdi avgift?

2.7 PROSENTPOENG

Oppgave 2.170 a) På en meningsmåling økte oppslutningen om et politisk parti fra 18,5 % til 20,5 %. Hvor mange prosentpoeng økte oppslutningen med? b) Noe seinere gikk oppslutningen om partiet ned med 0,8 prosentpoeng. Hvor mange prosent var oppslutningen om partiet da? Oppgave 2.171 a) På en meningsmåling gikk oppslutningen om partiet Venstre ned fra 4,0 % til 3,1 %. Hvor mange prosentpoeng sank oppslutningen om Venstre med? b) Noe seinere gikk oppslutningen om Venstre opp 1,2 prosentpoeng. Hvor mange prosent var oppslutningen om Venstre da? Oppgave 2.172 På en videregående skole røykte 35 % av elevene for 5 år siden. I dag er dette tallet sunket til 21 %. a) Hvor mange prosentpoeng er nedgangen på?

Oppgave 2.169 a) En baker kjøper inn matvarer for 14 260 kr inkl. mva. Finn prisen for matvarene ekskl. mva. b) En togbillett koster 756 kr inkl. mva. Finn merverdiavgiften. c) Anna betalte en regning på 525 kr for utgifter til mobiltelefonen. Finn beløpet ekskl. merverdiavgift.

Både for 5 år siden og i dag er det 540 elever på denne skolen. b) Hvor mange elever røykte for 5 år siden? c) Hvor mange elever røyker i dag?

209

Book Sinus 1P-Y.indb 209

2014-07-22 13:35:28

Oppgave 2.173 I 2012 fikk 20 % av elevene i vg1 på Utheia videregående skole 5 eller bedre i matematikk. I 2013 steg dette tallet til 24 %. a) Hvor mange prosentpoeng var økningen på? Antallet elever på vg1 på Utheia videregående skole var 130 både i 2012 og i 2013. b) Hvor mange elever fikk 5 eller bedre i 2013? c) Hvor mange elever fikk 5 eller bedre i 2012? Oppgave 2.174 Ved stortingsvalget i 2013 stemte 2,8510 millioner nordmenn. Høyre fikk en oppslutning på 26,8 %. a) Hvor mange stemte på Høyre? b) Oppslutningen om Høyre hadde i 2013 gått opp med 9,6 prosentpoeng fra det forrige stortingsvalget. Hva var oppslutningen om Høyre ved det forrige valget? c) Hvor mange prosent gikk oppslutningen om Høyre opp? Gå ut fra at det var like mange som stemte i de to valgene. Oppgave 2.175 På en videregående skole er det 400 elever. I januar var det gjennomsnittlige dagfraværet 6,0 %. Måneden etter hadde dette fraværet økt til 8,0 %. a) Hvor mange var borte fra skolen i gjennomsnitt per dag i hver av månedene januar og februar? b) Hvor mange prosent økte det gjennomsnittlige dagfraværet med fra januar til februar? c) Hvor mange prosentpoeng økte det gjennomsnittlige dagfraværet med fra januar til februar?

210 210

Book Sinus 1P-Y.indb 210

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 2.200 Tegn figuren. Fargelegg 40 % av figuren.

Oppgave 2.201 Tegn figuren. Fargelegg 33 1 % av 3 figuren.

Oppgave 2.202 Skriv av tabellen i besvarelsen din og fyll ut det som mangler. Prosentfaktor

Prosent

0,20 0,08 30 % 7% ↑ 2.2

Oppgave 2.203 Skriv av tabellen i besvarelsen din og fyll ut det som mangler. Prosentvis endring

Vekstfaktor

Økning på 12 % Nedgang på 40 % 0,70 2,5

Sinus 1P-Y > Prosentregning

2014-07-22 13:35:28

Oppgave 2.204 Ei skinnjakke kostet 5000 kr. Så ble prisen satt ned 20 %. Finn den nye prisen. Oppgave 2.205 Eli-Trine har spart 12 000 kr, og av disse pengene bruker hun 5000 kr for å kjøpe ny sykkel. Resten setter hun i banken til 2 % rente per år. Hvor mye får hun i rente på ett år? Oppgave 2.206 Inge N. Strøm betalte 10 500 kr i strømregning. Det var 500 kr mer enn det han betalte året før. Hvor mange prosent mer betalte han for strømmen?

Oppgave 2.207 Medlemsavgiften på treningssenteret «Trim» er 300 kr per måned. Medlemsavgiften på «Mosjon» er 200 kr per måned. Hvor mange prosent dyrere er det å trene på «Trim» enn på «Mosjon»? Oppgave 2.208 Bensinprisen er den samme på to forskjellige bensinstasjoner. På den ene bensinstasjonen settes prisen opp med 5 %. På den andre stasjonen settes prisen først opp med 2,5 % og så etter noen dager med 2,5 % til. Inge N. Fylling påstår at bensinprisen da fremdeles er den samme på begge stasjonene. Forklar hvorfor Inge tar feil. ↑ 2.5

Book Sinus 1P-Y.indb 211

Oppgave 2.209 En bil koster 400 000 kroner. Bilens verdi avtar med 15 % per år. Forklar hvilket av regnestykkene nedenfor som kan brukes for å finne verdien av bilen etter ett år. 1) 400 000 − 0, 85 ⋅ 400 000 2) 400 000 ⋅ 0,15 3) 400 000 ⋅ 0, 85 Oppgave 2.210 a) Prisen på en vare ble satt opp til det dobbelte. Hvor mange prosent steg prisen? b) Varen ble deretter solgt til halv pris. Hvor mange prosent var avslaget? Oppgave 2.211 En koffert koster 2000 kr uten merverdi avgift. Merverdiavgiften er 25 %. a) Regn ut merverdiavgiften. b) Finn prisen med merverdiavgift. Oppgave 2.212 En rørlegger tar 400 kr timen ekskl. mva. Merverdiavgiften er 25 %. a) Finn merverdiavgiften. b) Hva må kundene betale i timelønn? Oppgave 2.213 En kjøkkeninnredning kostet 60 000 kr med 25 % merverdiavgift. Forklar hvilket av regnestykkene nedenfor som kan brukes for å finne prisen uten merverdiavgift i kroner. 1) 60 000 ⋅ 0, 25 2) 60 000 ⋅1, 25 60 000 60 000 3) 4) 1, 25 0, 25 Oppgave 2.214 Gard R. Moen har kjøpt fire flybilletter. Prisen per billett er 1000 kr uten merverdi avgift. Merverdiavgiften er 8 %. Hvor mye må Gard betale for de fire billettene?

211

2014-07-22 13:35:29

Oppgave 2.215 I denne oppgaven regner vi med en merverdiavgift på 25 %. Merverdiavgiften utgjør da 1 av prisen uten merverdi 4 avgift. Hege fant ut at det var mye lettere å regne ut priser med merverdiavgift når hun brukte figuren nedenfor. På figuren er det beløpet som utgjør merverdiavgiften, markert med en grønn rute. For å finne 1 4 halverer Hege prisen to ganger. Bruk framgangsmåten til Hege når du løser denne oppgaven.

a) Hva blir merverdiavgiften når prisen uten merverdiavgift er 1200 kr? b) Hva blir prisen med merverdiavgift når prisen uten merverdiavgift er 4800 kr? Oppgave 2.216 I denne oppgaven regner vi med en merverdiavgift på 25 %. Helge fant ut at det ble mye lettere å regne ut priser uten merverdiavgift når han brukte figuren nedenfor. På figuren er den delen som utgjør merverdiavgiften, markert med en grønn rute. Merverdiavgiften utgjør 1 av prisen uten merverdiavgift og 1 av 5

prisen med merverdiavgift. For å finne 1 finner Helge først 1 , og så dobler han 5

denne prisen. Bruk framgangsmåten til Helge når du løser denne oppgaven. Pris uten merverdiavgift

Pris med merverdiavgift

a) Hva blir merverdiavgiften når prisen med merverdiavgift er 360 kr? b) Hva blir prisen uten merverdiavgift når prisen med merverdiavgift er 900 kr? ↑ 2.6

212 212

Book Sinus 1P-Y.indb 212

Oppgave 2.218 For et rørleggerfirma har markeds andelen gått ned fra 20 % til 15 %. Hvor mange prosentpoeng har markeds andelen gått ned? ↑ 2.7

Pris uten merverdiavgift

Oppgave 2.217 Familien Gjelden har fått denne meldingen fra banken: «Banken må heve renta på boliglånet deres fra 2,5 % til 3,0 %.» Hvor mange prosentpoeng er økningen på?

MED HJELPEMIDLER Oppgave 2.300 a) Hvor mange sekunder er det i et døgn? b) Ei klokke går 5 sekunder for fort hvert døgn. Hvor mange prosent for fort går klokka? Oppgave 2.301 Idrettslaget Bravo har bare håndball og fotball som aktiviteter. Det er 72 medlemmer som spiller håndball, og det er 144 som spiller fotball. Ingen medlemmer spiller både håndball og fotball. a) Hvor stor del av medlemmene spiller fotball? b) Det er 48 jenter som spiller håndball, og det er 60 jenter som spiller fotball. Hvor mange prosent av medlemmene i Bravo er jenter? c) Hvor stor brøkdel av de som spiller fotball, er jenter?

Sinus 1P-Y > Prosentregning

2014-07-22 13:35:30

Oppgave 2.302 Tabellen viser en oversikt over påmeldte deltakere til et skirenn. Alder (år) Under 10 10 − 12 13 − 14 15 − 16 17 − 19 20 − 29 30 − 39 40 − 49 50 − 59 60 − 69 Over 69

Menn 17 7 6 8 4 5 10 9 4 1 2

Kvinner 16 7 3 4 7 4 6 7 2 3 0

a) Hvor mange prosent av de påmeldte var kvinner? b) Hvor stor brøkdel av de påmeldte var barn under 10 år? c) Da løpet begynte, hadde to av de påmeldte kvinnene trukket seg. De var 25 og 27 år gamle. I tillegg var det en mann på 28 år som ikke hadde meldt seg innen fristen, men som fikk lov til å starte likevel. Hvor stor brøkdel av deltakerne i aldersgruppen 20–29 år var kvinner? Oppgave 2.303 Tom og Petter skal dele 35 000 kr. Tom skal ha 14 000 kr og Petter resten. a) Hvor stor del av pengene skal Tom ha? b) Hvor mange prosent av pengene skal Petter ha? Tom setter pengene sine i banken. Etter ett år har pengene økt med 420 kr. c) Hvor mange prosent har pengene til Tom økt med? Petter kjøper en ny sofa som tidligere kostet 6500 kr. Han får rabatt og betaler 5200 kr. d) Hvor mange prosent rabatt får Petter?

Oppgave 2.304 I et diskusjonsforum for mopeder på Internett dukket dette spørsmålet opp:

Kan noen forklare hvordan jeg regner ut hvor mye olje som skal i når jeg skal ha 3 % olje i 5 liter bensin? Trenger hjelp! :-)

Her er svarene som kom fra to som kalte seg «Peugeot» og «Piaggio». «Peugeot»: Gang 5 liter med 0,03. Da får du 0,15 liter, som er det samme som 1,5 desiliter. «Piaggio»: Del 5 liter med 10 og gang med 3. Da får du 1,5. Det er hvor mange desiliter olje du skal ha i. a) Bruk begge forklaringene etter tur til å regne ut hvor mye olje du må ha i 6 liter bensin dersom du skal ha 2 % olje i blandingen. Hvilken framgangsmåte syns du er lettest å bruke hvis du skal regne ut dette i hodet? b) Forklar hvorfor du får det samme svaret med de to framgangsmåtene. Nedenfor er et annet innlegg i denne diskusjonen. «Yamaha»: Disse framgangsmåtene gir ikke 3 % olje i blandingen. Har du 5 liter bensin og 0,15 liter olje, blir dette 5,15 liter til sammen. Da blir det mindre enn 3 % olje i blandingen, og det er ikke bra for motoren. For å få riktig mengde olje må du derfor gange 5 liter med 3 og så dele på 97, fordi 100 – 3 = 97. c) Regn ut hvor mange prosent olje det egentlig blir i en blanding av 5,0 liter bensin og 1,5 desiliter olje.

213

Book Sinus 1P-Y.indb 213

2014-07-22 13:35:32

d) Hvor mange desiliter olje må vi ha i om vi bruker framgangsmåten i det siste innlegget foran? Det gikk bare noen få minutter etter at det siste innlegget ble lagt ut før vi kunne lese svaret nedenfor. «Piaggio»: Du har selvsagt rett i teorien, men i praksis spiller ikke disse forskjellene noen rolle. Å dele med 10 og så gange med prosenten fungerer helt fint for å regne ut hvor mange desiliter olje du skal ha i. Ikke gjør dette mer komplisert enn nødvendig. e) Hva blir forskjellen i mengden tilsatt olje når vi bruker metodene til «Piaggio» og «Yamaha» for å regne ut 2 % olje på 10 liter bensin? ↑ 2.1

Oppgave 2.305 Sindre er lærling. Han har en timelønn på 90 kroner. Ved overtid får han et tillegg på 60 %. Sindre betaler 18 % skatt av alt han tjener. En måned arbeidet Sindre 160 timer. 10 av disse timene var overtid. Hvor mye betalte Sindre i skatt denne måneden? Oppgave 2.306 I fjor leide Petter en hybel til 5000 kr per måned. I år er leia satt opp til 5200 kr. a) Hva er vekstfaktoren? Petter får vite at neste år kommer leia til å stige med 2,5 %. b) Hva må Petter betale i leie for hybelen neste år?

214 214

Book Sinus 1P-Y.indb 214

Oppgave 2.307 Ei hytte kostet 900 000 kr. I løpet av ett år steg verdien av hytta. Den nye verdien kan skrives som

900 000 ⋅ 1,06 kr

a) Hvor mange prosent hadde verdien steget med? b) Finn den nye verdien av hytta. c) Etter 5 år ble hytta solgt for 1 200 000 kr. Hvor mange prosent hadde prisen steget med? Oppgave 2.308 a) Da Kari var 12 år, var hun 1,51 m høy. Det neste året økte høyden hennes med 6 %. Bruk vekstfaktoren og finn hvor høy Kari var da hun var 13 år. b) Da Ola var 13 år, var han 1,68 m. Da hadde høyden hans økt med 5 % fra året før. Hvor høy var Ola da han var 12 år? ↑ 2.4

Oppgave 2.309 a) Et par joggesko kostet 499 kr. Anne kjøper et par og får 15 % avslag. Hvor mye betaler hun for skoene? b) Noe senere betaler Odd 399 kroner for samme type joggesko. Hvor mange prosent avslag får Odd på den ordinære prisen? Oppgave 2.310 Unni hadde i fjor en hvilepuls på 72 slag i minuttet. Hun har trent mye og har i år en hvilepuls som er 12 % lavere. Hvor mange slag i minuttet er hvilepulsen til Unni i år?

Sinus 1P-Y > Prosentregning

2014-07-22 13:35:32

Oppgave 2.311 En fredag var prisen på en liter 95 oktan bensin 14,76 kr. Lørdag gikk prisen ned med 3,5 %. Søndag ble prisen satt ned med 4,0 %. a) Hva kostet en liter 95 oktan bensin på søndag? b) Hvor mange prosent hadde prisen gått ned til sammen?

Oppgave 2.312 Ei bukse kostet 750 kroner. I en salgsperiode gikk prisen på denne buksa ned to ganger. Første gangen ble prisen satt ned med 20 %. Noen dager senere ble prisen satt ned med 25 % til. a) Hva kostet buksa etter begge prisnedgangene? b) Hvor mange prosent ble prisen satt ned til sammen? Oppgave 2.313 En vare kostet 1250 kr. Prisen på varen blir satt ned to ganger i løpet av kort tid, først med 10 % og seinere med 20 %. a) Hvor mange kroner har prisen på varen gått ned i alt etter disse to prisendringene? b) Hvor mange prosent har prisen gått ned i alt etter disse to prisendringene? Oppgave 2.314 En vare koster normalt 420 kr. Bruk prosentfaktoren og finn prisendringen når a) prisen øker med 7,5 % b) prisen går ned med 6,2 %

Oppgave 2.315 a) Prisen på en vare gikk opp fra 87 kr til 94 kr. Hvor mange prosent ble prisen satt opp? b) Prisen på en annen vare ble satt ned fra 45 kr til 38 kr. Hvor mange prosent ble prisen satt ned? Oppgave 2.316 a) Et nettbrett kostet 4800 kr. Hva koster nettbrettet når det blir gitt 15 % rabatt? b) Et sett hodetelefoner kostet 1300 kr. Hva koster hodetelefonene når det i en kampanje blir gitt 25 % avslag? c) En maskara som kostet 120 kroner, blir satt ned med 30 %. Maggi har 80 kroner. Har hun nok til å kjøpe maskaraen? Oppgave 2.317 a) Line kjøper ei bukse til 480 kr og får 30 % avslag i prisen. Hvor stort er avslaget i kroner? b) Kristian kjøper ei jakke til 860 kr og får 25 % avslag i prisen. Hva betaler Kristian for jakka? c) Pia betaler 600 kr for en kjole. Da har hun fått 20 % avslag i den opprinnelige prisen. Hva var den opprinnelige prisen på kjolen? d) En forretning har denne annonsen: «Kjøp 3 skjorter og vi betaler den billigste for deg!» 1) Thomas kjøper tre skjorter. De koster 299 kr, 399 kr og 499 kr. Hvor mange prosent avslag får Thomas på skjortene? 2) Geir kjøper tre skjorter som alle har den samme prisen. Hvor mange prosent avslag får Geir på skjortene?

215

Book Sinus 1P-Y.indb 215

2014-07-22 13:35:32

Oppgave 2.318 Randi har tenkt å kjøpe seg et nytt snøbrett. Hun får tre forskjellige tilbud på det snøbrettet hun ønsker seg. 1) Forretningen «Sporten» kan gi henne 18 % på den ordinære prisen, som er 3800 kr. 2) På ei sportsmesse kan hun få kjøpt brettet med en rabatt på 23 %. Prisen uten rabatt er 3899 kr. 3) Gjennom idrettsklubben Aktiv kan hun få kjøpt brettet med et avslag på 22 %. Det svarer til en rabatt på 902 kroner på den ordinære prisen. Finn ut hvor Randi bør kjøpe snøbrettet. ↑ 2.5

Oppgave 2.319 Karsten har fått utbetalt 2400 kr for arbeid som ekstrahjelp i en forretning. a) Han bruker 1000 kr av pengene til å kjøpe seg klær. Hvor stor brøkdel av pengene brukte han på klær? b) Han bruker også 1 av pengene på 5 nye sko. Hvor mye kostet skoene? c) Karsten spanderer kino på kjæresten sin. Han betaler til sammen 200 kr for kinobillettene. Av dette er 16 kr merverdiavgift. Hvor mange prosent er merverdi avgiften på? d) Karsten kjøper også mat for å ta med hjem til seg og kjæresten etter kinobesøket. Satsen for merverdiavgift på mat som vi tar med oss og ikke spiser på et serveringssted, er 15 %. Merverdiavgiften for maten er på 45 kr. Hvor mye koster maten med mer verdiavgift? e) Hvor stor brøkdel av de 2400 kronene har Karsten brukt til sammen?

Oppgave 2.320 En skole har 650 elever. Torsdag er 30 elever fraværende og fredag 45. a) Hvor mange prosentpoeng økte fraværet med fra torsdag til fredag? b) Hvor mange prosent økte fraværet med fra torsdag til fredag?

Oppgave 2.321 Tabellen nedenfor viser fordelingen av stemmer på de største partiene ved to meningsmålinger utført av TNS Gallup i januar og april 2014. Parti

Oppslutning i januar 2014

Oppslutning i april 2014

32,4 %

33,0 %

28,6 %

29,5 %

FrP

12,6 %

11,3 %

KrF

5,5 %

5,9 %

MDG

3,2 %

3,5 %

Rødt

1,3 %

1,1 %

5,1 %

4,5 %

4,8 %

4,5 %

4,2 %

6,1 %

a) Hvilket politisk parti hadde størst framgang fra januar til april 2014, målt i prosentpoeng? b) Hvor mange prosent utgjorde denne forandringen? c) Hvilket parti hadde størst tilbakegang målt i prosentpoeng? d) Hvor mange prosent utgjorde denne forandringen? ↑ 2.7

↑ 2.6

216 216

Book Sinus 1P-Y.indb 216

Sinus 1P-Y > Prosentregning

2014-07-22 13:35:32

3 Algebra +

ØV MER

3.1 REGNEREKKEFØLGE

Oppgave 3.110 a) 7 ⋅ 8 b) 9 ⋅ 6 c) (−5) ⋅ 6 d) (−7) ⋅ (−9) Oppgave 3.111 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 ⋅ 3 − 5 b) 8 − 3 ⋅ 2 c) (−2) ⋅ 3 + 8 d) (−3) ⋅ (−4) + 2 Oppgave 3.112 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 5 − 5 ⋅ 3 b) −6 + 2 ⋅ 3 c) 5 ⋅ 6 + 2 ⋅ 4 d) 7 ⋅ 8 − 5 ⋅ 6 e) –4 · 3 + 5 · 3 f) –3 · 6 – 4 · 5 Oppgave 3.113 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 ⋅ (4 + 2) b) −2 ⋅ (3 − 1) c) 3 ⋅ ( 2 ⋅ 5 − 7) d) −4 ⋅ (9 − 2 ⋅ 8) e) –3 · (5 – 2 · 2) f) –4 · (8 – 2 · 4) Oppgave 3.114 Regn uten bruk av hjelpemiddel. a) 5 ⋅ 7 – 4 ⋅ 4 b) 2 ⋅ 6 – 5 ⋅ 3 c) 4 + 3(2 ⋅ 5 – 3 · 4) d) 32(8 – 2 ⋅ 3) – 2(3 · 5 – 2 ⋅ 8) Oppgave 3.115 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2(4 – 1) – 2(3 + 2) + (–3)(–2) b) –3(1 – 2) + 4(4 – 2) – 2(2 – 3)

c) 3(–4) – 4(2 – 4) – (–2) d) –4(5 – 3) + (–2) – 3(3 – 4) + 7 Oppgave 3.116 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 6 ⋅ 22 b) 6 ⋅ (–2)2 c) (–3)2 + (–4)2 d) –32 + 2 ⋅ 32 e) (2 ⋅ 3) + 2 ⋅ 52 f) 32 + 3 ⋅ 23 Oppgave 3.117 1. Tenk på et tall mellom 1 og 9. 2. Legg til 5. 3. Multipliser svaret i punkt 2 med 2. 4. Trekk fra det tallet du tenkte på. 5. Stryk det første sifferet i tallet. 6. Gjør alt fra punkt 1 til punkt 5 en gang til, denne gangen med et nytt tall. Klarer du å forklare sammenhengen?

3.2 VARIABLER

Oppgave 3.120 Trekk sammen. a) 4x + x b) 6 y − 2 y c) a + 6a − 4a d) y + 2 y − 3 y e) 4 z − 8 z + 5 z f) 2 x − 7 x + 9 x

217

Book Sinus 1P-Y.indb 217

2014-07-22 13:35:36

Oppgave 3.121 Trekk sammen. a) 2 x − 3x + 5 y − 3 y + 4 x b) 2a − 3b + 3a − 2b + a c) 5 x − 2 y − 3x − 4 y + 4 − 3 d) 6a + 2b − 4 − 5a + 3b + 4 Oppgave 3.122 Regn ut. a) 4 x + ( 2 x − 5 ) b) 3 + ( 2 − 5 x ) c) ( 2a − 2b ) + ( a − b ) d) ( 4 x − 2 y ) − ( x − 6 y ) Oppgave 3.123 Regn ut. a) 3 ( 2x + y ) b) −4 ( −3x + 5 ) 1 1 c) (12 x − 8 ) − (3x − 6) 4 3 3 1  d) 2  x − y + 1 − 3( x − 1) 2 2  Oppgave 3.124 Regn ut og trekk sammen. a) 3(1 − x) − 2( x − 1) b) 4(2 x − 3) + 3( x − 2) c) −4(2 x + 3) − 2(−4 x + 1) d) 2(2 x − 3 y + z ) − 2( x + y − z ) Oppgave 3.125 Regn ut og trekk sammen. a) (5 x − 3 y ) + (2 x − 4 y ) − 2 x b) (4a + 2b − 3c) − (2a − 2b + 2c) c) 2( x + 2 y ) + 3(2 x − 3 y ) + 4 y d) 4(2a − b) − 2(3a − 3b) Oppgave 3.126 I de åpne rutene mangler enten 2, 3 eller 4.  ⋅ (x + 2y) –  ⋅ (2x + y) = 6y Finn de riktige tallene.

218 218

Book Sinus 1P-Y.indb 218

3.3 FØRSTEGRADSLIKNINGER

Oppgave 3.130 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 2x – 3 = 1 b) x + 2 = 4 – x c) 3 + 2x = 1 d) 5 – 2x = x – 4 Oppgave 3.131 Løs likningene. a) 4 + 4x = 2x + 8 b) 5x – 6 = 4x – 5 c) 1 – x = x + 1 d) 3 – 3x = x – 5 Oppgave 3.132 Løs likningene. a) x + 2 – 2x = 3 – 2x b) 4 – 5x = x – 14 c) 3x – 1 = 4x + 4 d) 2x + 2 − 3x = 0 Oppgave 3.133 Løs likningene. a) 2 – 2x = 4x – 10 b) 3x – 8 = 4 + 2x – 6 c) x + 2 – 2x = x + 4 Oppgave 3.134 Løs likningene. a) 2x + 1 = 3(2 – x) b) 2(x + 1) + 3x + 6 = 4 c) 2x – 3(2 – x) = –2x – 6 d) 4 – 5(x – 2) – 2 + 2x = 0 Oppgave 3.135 Løs likningene. Sett prøve på svaret. 1 1 a) x + 2 = − x + 2 3 2 1 b) x − 3 = x + 6 4

Sinus 1P-Y > Algebra

2014-07-22 13:35:40

Oppgave 3.136 Løs likningene. 1 1 a) x + x = 7 2 5 Oppgave 3.137 1 1 a) x − 2 = x 2 4

3.5 FORMLER

3 1 b) x + 7 = x 2 3

1 5 1 b) x − = x 3 6 9

3.4 POTENSLIKNINGER

Oppgave 3.140 Regn ut potensene. a) 42 b) 43 c) (−4)2 d) (−4)3 Oppgave 3.141 Løs likningene. a) x 2 = 4 b) x 2 − 100 = 0 c) 2 x 2 = 72 d) x 2 = –4 e) 4 x 2 + 2 = 2 f) 3x 2 − 6 = 12 Oppgave 3.142 Løs likningene. a) 2 x 2 − 3 = x 2 + 1 b) 4 x 2 − 5 = 2 x 2 + 1 c) 4 x 2 + 5 = 2 x 2 + 1 d) 4 x 2 + 2( x − 1) + 2 = 2 x e) 2 x 2 − 2( x + 1) = x 2 + 2 − 2 x f) 3x 2 + 3( x − 1) + x 2 = 3x + 1 Oppgave 3.143 Løs likningene. a) x3 = 64 b) 4 x3 − 8 = 100 c) 2 x3 − 6 = −60 d) 5 x 4 + 8 = 13

Oppgave 3.150 La U være prisen i kroner uten merverdi avgift på en matvare, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er 15 %, er P = 1,15 ⋅ U a) Finn prisen på varen med merverdiavgift når prisen uten merverdiavgift er 30 kr. b) Finn prisen på varen med merverdiavgift når prisen uten merverdiavgift er 90 kr. Oppgave 3.151 La s være strekningen i kilometer som du har kjørt med bil på t timer. Hvis du holder jevn fart på 60 km/h, er s = 60 ⋅ t a) Hvor langt kjører du på 2 timer? b) Hvor langt kjører du på 3,5 timer? Oppgave 3.152 En familie tar opp et lån på 650 000 kr. Etter t år er lånet redusert til U = 650 000 – 25 000 ⋅ t a) Hvor stort er lånet etter 5 år? b) Hvor stort er lånet etter 26 år? Oppgave 3.153 Line planter et kirsebærtre i hagen. Hun regner med at etter x år er høyden y av treet målt i meter y = 0, 25 x + 1, 25 a) Hvor høyt er treet etter 2 år? b) Hvor høyt er treet etter 5 år? c) Et kirsebærtre kan bli minst 25 år gammelt. Vurder om formelen holder over så lang tid.

219

Book Sinus 1P-Y.indb 219

2014-07-22 13:35:44

Oppgave 3.154 Martha sitter av og til barnevakt. Hun får 60 kr i reisepenger pluss 120 kr per time for ei vakt. a) Hvor mye får Martha utbetalt når hun en kveld sitter barnevakt i 4 timer? b) Finn en formel som forteller hvor mye Martha får utbetalt for ei vakt på x timer. c) Ei uke satt Martha barnevakt 3 kvelder. Finn en formel for hvor mye hun da fikk utbetalt når hun i alt satt barnevakt i x timer. Oppgave 3.155 Kaja og Vebjørn selger tørkepapir og doruller til inntekt for idrettslaget. De tjener 50 kr per solgte pakke med doruller. a) Kaja tjener i alt 1200 kr på tørkepapiret, og dessuten selger hun 18 pakker med doruller. Hvor mye har hun tjent i alt på salget? b) Vebjørn tjener i alt 1000 kr på tørkepapiret. Sett opp en formel for inntekten y når han i tillegg selger x pakker med doruller. Oppgave 3.156 Gunnar skal flytte sand med ei bestemt trillebår. Hvis han fyller trillebåra med x kilogram sand, må han løfte med en kraft T målt i newton (N), der T = 2, 3x + 26

220 220

Book Sinus 1P-Y.indb 220

a) Han fyller trillebåra med 30 kg sand. Hvor stor kraft må han løfte trille båra med? b) Hvor stor kraft må han løfte med hvis han fyller trillebåra med 40 kg sand? Oppgave 3.157 Sigurd skal flytte noen steiner på tomta si. Dersom han løfter en stein med masse x kg rett opp, må han bruke en kraft K målt i newton (N), der K = 9, 8 x a) Finn kraften K når x er 1) 16 kg

2) 50 kg

Sigurd velger å bruke et langt spett når han skal flytte steinene. Han legger spettet under steinen og en mindre stein under spettet slik figuren viser. T

Hvis steinen han skal flytte, har massen x kilogram, bruker Sigurd en kraft T målt i newton, der T = 1, 7 x − 17 b) Hvor stor kraft må han bruke hvis steinen har massen

1) 25 kg

2) 50 kg

3) 100 kg

c) Sammenlikn svaret i oppgave a1 med svaret i oppgave b3. Hva finner du?

Sinus 1P-Y > Algebra

2014-07-22 13:35:45

3.6 FORMLER OG LIKNINGER

Oppgave 3.160 Jan-Erik er ute og jogger. Han løper med jevn fart. Etter x minutter har han tilbakelagt y meter, der y = 200 x Bruk formelen til å finne hvor lang tid Jan-Erik bruker på å løpe 3000 m.

Oppgave 3.163 En familie leier ei hytte til 950 kr per døgn. I tillegg må de betale 350 kr for vask av hytta. Etter x døgn er beløpet y i kroner som de må betale, gitt ved y = 950x + 350 Hvor lenge bodde de på hytta når de betalte 4150 kr for oppholdet? Oppgave 3.164 I 100 g spiselig torsk er det 18,1 g protein og 0,3 g fett. Energiinnholdet målt i kilojoule (kJ) er gitt ved formelen E = 17 ⋅ P + 38 ⋅ F

Oppgave 3.161 La U være prisen i kroner uten merverdiavgift på en kinobillett, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er 8 %, er

der P er mengden protein i gram og F mengden fett i gram. a) Hvor mye energi er det i 100 g spiselig torsk? b) Hvis vi ønsker å regne ut energiinnholdet i torsken målt i kilokalorier (kcal), kan vi bruke formelen

P = 1, 08 ⋅ U

E = 4, 2 ⋅ C

Bruk formelen til å finne prisen uten merverdiavgift når prisen på kinobilletten med merverdiavgift er 80 kr.

Oppgave 3.162 Hodehåret vårt vokser 0,44 mm per dag. a) Hvor langt vokser håret på ei uke? Rund av svaret til nærmeste hele millimeter. b) Hvor langt vokser da håret på ett år (52 uker)? c) Sammenhengen mellom hårlengden L i millimeter og antallet uker U håret vokser, kan vi skrive som L = 3 ⋅ U

Book Sinus 1P-Y.indb 221

Lise ønsker seg langt hår. Bruk formelen og finn hvor mange uker Lise må vente når hun ønsker at håret skal bli 24 cm lengre.

Her er E energiinnholdet i torsken målt i kilojoule og C energiinnholdet målt i kilokalorier. Finn energiinnholdet i torsken målt i kilokalorier.

Oppgave 3.165 Geir, Guri og Guro er på tur. På campingplassen der de bor, koster det 60 kr per time å leie en robåt. I tillegg må de betale 25 kr per person for å leie redningsvester. a) Sett opp en formel for beløpet y som de må betale når de leier båt og redningsvester i t timer. b) Hvor lenge leide de båt og redningsvester når de i alt betalte 795 kr?

221

2014-07-22 13:35:46

Oppgave 3.166 I denne oppgaven ser vi bort fra renter. a) Kjersti har spart 6000 kr og fortsetter å spare 600 kr hver måned. 1) Hvor mye har hun spart til sammen etter 9 måneder? 2) Finn en formel for beløpet S i kroner som hun har spart etter x måneder. b) Frank har 16 800 kr og bruker 700 kr hver måned. 1) Hvor mye har han igjen etter 9 måneder? 2) Finn en formel for beløpet B i kroner som han har igjen etter x måneder. Oppgave 3.167 Simen skal ta bilsertifikat. Kjøreskolen «Tut og kjør» tar 600 kr per time, og i tillegg må Simen betale 14 000 kr for trafikalt grunnkurs, førstehjelpskurs, glattkjøring osv. a) Finn en formel som viser hvor store de totale utgiftene y i kroner blir når Simen har x kjøretimer. b) Det viste seg at utgiftene til førerkort kom på 30 800 kr. Finn ved regning hvor mange kjøretimer Simen hadde.

222 222

Book Sinus 1P-Y.indb 222

Oppgave 3.168 På en videregående skole skal de fylle svømmebassenget med vann. De fyller i 1000 liter vann i timen. a) Finn en formel for antallet liter vann y som er i bassenget etter x timer. b) Bassenget tar 200 000 liter. Hvor lang tid går det før bassenget er fullt? c) Bassenget tømmes for vann. Det renner ut 500 liter vann i timen. Finn en formel for antallet liter y som er igjen i bassenget etter x timer. Oppgave 3.169 Et bildekk er 205 mm bredt, og dekket passer på en felg med diameter på 16 tommer. a) En tomme er 2,54 cm. Hvor stor er diameteren på felgen? Skriv svaret både i centimeter og i millimeter. b) Høyden på dekket er 55 % av bredden. Finn denne høyden i millimeter. c) Diameteren D til hele hjulet kan vi skrive som D = d + 2 ⋅ h, der d er diameteren på felgen og h er høyden på dekket. Finn diameteren til hjulet. Skriv svaret i millimeter. d) Hjulene på en annen bil har diameteren D = 576 mm. Diameteren til felgen er på 15 tommer. Finn høyden h på dekket.

Sinus 1P-Y > Algebra

2014-07-22 13:35:47

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 3.200 Gjør overslag og finn ut hvilket alternativ som er mest riktig for regnestykket 2,15 ⋅ 1,8982. 1) 2 2) 3 3) 8 4) 12 Oppgave 3.201 Regn ut. a) 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3 b) 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2 c) 32 − 23 d) −3(9 − 6) + 32 Oppgave 3.202 Regn ut. a) 3 ⋅ 4 − 2 + 3 b) 6 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 c) 42 − 3 ⋅ 22 d) (1 − 2) ⋅ (2 − 3) + 1 ↑ 3.1

Oppgave 3.203 Trekk sammen. a) 5 x − 2 x + 3 y − 5 y + x b) 3( x + 2 y ) − 3(4 x − 3 y ) Oppgave 3.204 Trekk sammen. a) 2a − 3b − 4a + 5b − 2b b) 2(a + b) − 2(a − b) ↑ 3.2

Oppgave 3.205 Løs likningene. a) 3( x + 2) − 4 x = 5 1 1 b) x + x = 5 2 3 Oppgave 3.206 Løs likningene. a) 4 x + 2( x + 1) = 8 3 1 b) x + x − 2 = 3 4 4

Oppgave 3.207 Vurder om løsningen av likningen er riktig.

4 x + 4 = −2( x − 1) 4 x + 4 = −2 x − 2 4 x + 2 x = −2 − 4 6 x = −6 x = −1

Oppgave 3.208 Regn ut potensene. a) 22 b) 14 c) (−5)2 d) (−3)3 Oppgave 3.209 Løs likningene. 1 a) (9 x − 3) − 3 = 4 − x 3 b) 4 x 2 = −16 c) x3 − 2 = 6 ↑ 3.4

Oppgave 3.210 Eva går på et treningssenter der hun betaler 200 kr per måned i fast avgift. I tillegg betaler hun 20 kr per gang. a) En måned trener hun på senteret 10 ganger. Hvor mye må hun da betale for den måneden? b) Sett opp et uttrykk for kronebeløpet y som hun betaler i alt når hun trener x ganger i måneden. Oppgave 3.211 Sammenhengen mellom fahrenheit grader x og celsiusgrader y er gitt ved 5 y = ( x − 32) 9 a) Hvor mange celsiusgrader er 32 fahrenheitgrader? b) Hvor mange celsiusgrader er 50 fahrenheitgrader? ↑ 3.5

223

Book Sinus 1P-Y.indb 223

2014-07-22 13:35:51

Oppgave 3.212 Anders betaler 400 kr per klipp hos frisøren. a) Sett opp en formel som viser beløpet y som Anders må betale for x klipp. b) Anders kjøper seg en klippemaskin. Den kostet opprinnelig 2400 kr. Hvor mange ganger må Anders klippe seg før han har spart inn klippemaskinen? Oppgave 3.213 Olga, Oddny og Oda er til sammen 72 år. Olga og Oddny er like gamle, mens Oda er dobbelt så gammel. Hvor gamle er hver av jentene? Løs oppgaven ved hjelp av likning. ↑ 3.6

Oppgave 3.303 Tallet 17 kan skrives som 4 ⋅ 4 + 4 : 4. Skriv hvert av tallene fra og med 1 til og med 9 på tilsvarende måte ved hjelp av fire 4-tall og tegnene +, −, ⋅ og : og eventuelt parenteser. Oppgave 3.304 Per, Pål og Espen har vunnet tre småpremier i Lotto. Premiene er på 60 kr, 42 kr og 54 kr. De skal dele premiene likt, og Per slår inn dette på lomme regneren sin: 60 + 42 + 54/3. Han finner da ut at de skal ha 120 kroner hver. a) Hva er galt i utregningen til Per? b) Hvor mye skal hver av dem ha? c) Forklar hvordan du kan regne ut svaret på oppgave b i hodet. ↑ 3.1

MED HJELPEMIDLER Oppgave 3.300 Bruk en lommeregner eller et annet digitalt hjelpemiddel og regn ut. a) 5 − 2 ⋅ (3 − 5) b) 52 − 3 ⋅ 23 1 3 1 9 22 c) − + d) ⋅ 5 10 2 11 27 Oppgave 3.301 Bruk gangetegn sammen med plusstegn eller minustegn og sett sammen tallet 17 ved å bruke tallene 3, 4 og 5. Det er to måter å gjøre det på. Oppgave 3.302 Bruk tallene 5, 6 og 7 sammen med eventuelle plusstegn, minustegn, multiplikasjonstegn og parenteser på en slik måte at svaret blir a) 37 b) 77 c) 12

224 224

Book Sinus 1P-Y.indb 224

Oppgave 3.305 • Tenk på et tall og legg til 5. • Gang svaret med 2. • Trekk fra 4. • Del på 2. • Trekk fra tallet du tenkte på. a) Hvilket tall får du? b) Tenk på et nytt tall og gjør utregningene i kulepunktene ovenfor en gang til. Hvilket tall får du? c) Tenk på et nytt tall. Tegn en firkant som symbol for det tallet du tenker på, og en strek for hvert tall du legger til. Når du tenker på et tall og legger til 5, får du altså | | | | |. Husk at å gange med 2 er det samme som å doble det du har. Sett en strek over det du tar bort. Hvor mange firkanter og streker har du når du har gjennomført alle utregningene i innledningen av oppgaven? d) Kall det tallet du tenker på, for x og vis ved regning at du alltid vil få det samme svaret til slutt.

Sinus 1P-Y > Algebra

2014-07-22 13:35:52

Oppgave 3.306 Tenk på et fritt valgt tall. Legg til 3. Multipliser svaret med 2. Trekk fra det tallet du tenkte på. Legg til 4. Trekk fra det tallet du tenkte på. a) Hva blir det endelige svaret? b) Vis at du alltid vil få det samme svaret, uansett hvilket tall du begynner med. ↑ 3.2

Oppgave 3.307 Tom og Trine strever med å løse oppgaven nedenfor. Eva er fire år eldre enn Knut, og Per er tre år yngre enn Knut. Til sammen er de 34 år gamle. Hvor gamle er Eva, Per og Knut? Trine foreslår at de skal skrive opp navnene etter stigende alder, og så skrive aldersforskjellene mellom navnene. Da får hun denne figuren: +3 +4 Per Knut

Eva

«Ja!» sier Tom. «Da kan vi skrive alderne slik:» Per: P Knut: P + 3

Eva: P + 7

a) Forklar hvorfor oppstillingen til Tom er riktig. b) Skriv opp en likning for summen av alderne til Per, Knut og Eva. c) Løs likningen og regn ut hvor gamle hver av de tre personene er. d) Bruk en tilsvarende framgangsmåte som den Trine og Tom brukte, og løs oppgaven nedenfor. Knut er 12 cm lavere enn Jens og 16 cm høyere enn Cecilie. Sammenlagt er de 5,30 m høye. Finn høyden til hver av dem.

Oppgave 3.308 Fire hele tall følger etter hverandre. Det første tallet er x. a) Skriv de tre neste tallene. Summen av de fire tallene er 58. b) Skriv opp en likning som viser summen av de fire tallene. c) Finn tallene. ↑ 3.3

Oppgave 3.309 Anna skal ha gjester og vil helsteke en laks i ovn. I en næringsmiddeltabell ser hun at den spiselige delen av en hel laks er på 65 %. Når den er renset, er resten svinn. a) Hvor mange prosent er svinnet på? b) Hvor stor brøkdel av fisken er spiselig? c) En hel laks veier 3,1 kg. Hvor mange kilogram er den spiselige delen på? d) Anna betalte til sammen 306,90 kr for laksen. Finn kiloprisen. e) Det er til sammen 7 personer som skal spise fisk. Tre av personene spiser dobbelt så mye fisk som hver av de andre gjestene. Når de er ferdige med å spise, er det 2 hg spiselig fisk igjen. Hvor mange gram fisk spiste hver av dem som spiste mest? Oppgave 3.310 Massetettheten T til en gjenstand med massen m og volumet V er gitt ved m T = V a) Finn en formel for volumet V. b) Gull har massetettheten 19,3 g/cm3. En gullring har massen 25 g. Finn volumet av ringen.

225

Book Sinus 1P-Y.indb 225

2014-07-22 13:35:52

Oppgave 3.311 En familie skal ut på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B = 60 − 0, 75 x a) Hvor mange liter rommer bensin tanken? b) Hvor mange liter bensin er det igjen etter 30 mil? c) Hvor mange mil kan de kjøre før tanken er tom?

Oppgave 3.312 Vi fyller varmt drikke på ei termosflaske. Termosflaska holder relativt godt på varmen, og etter x minutter er temperaturen T i celsiusgrader i termosflaska T = 90 − 1,6x a) Hva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Hva er temperaturen i termosflaska etter 20 minutter? c) Hva er temperaturen i termosflaska etter en halv time? ↑ 3.5

b) Finn ved regning når folkemengden er fordoblet i forhold til i 2010. c) Hva er folkemengden akkurat nå ifølge modellen? På nettsiden http://www.worldometers.info/no/ finner vi et anslag over folketallet i verden akkurat nå, ut fra oppdatert statistikk og en mer avansert metode for beregning av folketallet. d) Hva er folketallet i verden akkurat nå ifølge denne nettsiden? Skriv svaret som antall milliarder med én desimal. e) Sammenlikn og kommenter svarene i oppgave c og d. Oppgave 3.314 Ved Lillevik trafikkskole er utgiftene U i kroner til førerkort for bil når eleven bruker x kjøretimer, gitt ved U = 620 x + 19 000 a) Ola var elev ved denne trafikkskolen, og utgiftene til førerkortet ble 36 980 kr. Finn ved regning hvor mange kjøretimer Ola hadde. b) Ida var også elev ved denne kjøreskolen, og utgiftene til førerkortet ble 30 780 kr. Finn ved regning hvor mange kjøretimer Ida hadde.

Oppgave 3.313 Folkemengden i verden var i 2010 på 6,9 milliarder. Noen hevder at x år etter 2010 vil folkemengden i milliarder være F = 6, 9 + 0,1 ⋅ x a) Finn ved regning når folkemengden er 8,0 milliarder ifølge modellen.

226 226

Book Sinus 1P-Y.indb 226

Sinus 1P-Y > Algebra

2014-07-22 13:35:53

Oppgave 3.315 Jeppe har drukket alkohol og har en promille på 1,8. Han regner med at promillen avtar med 0,15 per time. a) Hvor høy promille har Jeppe i kroppen etter 6 timer? b) Finn en formel for promillen P som Jeppe har i kroppen etter x timer. c) Finn en formel for x uttrykt ved P. d) Hvor lang tid har det gått når promillen er 0,3? e) Når er alkoholen helt ute av kroppen hans? Oppgave 3.316 Ellen trenger å leie en bil noen dager. Det koster 1200 kr i faste utgifter og 8 kr per kjørte kilometer. a) Hva koster det Ellen å kjøre 120 km? b) Finn en formel som viser kostnaden K i kroner for x kjørte kilometer. c) Finn en formel for x uttrykt ved kostnaden K. d) Hvor langt kan Ellen kjøre for 3600 kr? Oppgave 3.317 I denne oppgaven får du bruk for formelen D = S ⋅ M D står for medisindosen som en pasient skal ha, S er styrken på medisinen, og M er mengden av medisin. Kari skal ha en dose på 1 g paracetamol. Tablettene har styrken 250 mg per tablett.

Et barn som veier 23 kg, skal ha en medisinmikstur. Barnet skal ha en dose på 12 mg per kg kroppsvekt og får 10 mL av medisinen. b) Hva er styrken til medisinen? En pasient skal ha en mikstur av en medisin. Styrken er 6,5 mg/mL. Pasienten skal ha 13 mg/kg kroppsvekt hvert døgn. Dette skal fordeles på tre doser. Pasienten er et barn som veier 24 kg. c) Hvor mange mL mikstur skal pasienten ha per dose? d) Legen finner ut at dosene må økes med 20 %. Hvor mange mL blir da hver dose på etter økningen? Oppgave 3.318 I denne oppgaven får du bruk for formelen E = 17 P + 17 K + 38 F E står for energiinnholdet målt i kJ, P står for gram med protein, K står for gram med karbohydrat og F står for gram med fett i en bestemt matvare. 100 g appelsinjus inneholder 0,7 g protein, 10,4 g karbohydrat og 0,2 g fett. a) Finn energiinnholdet i 100 g jus. Skriv svaret i kJ. Vi regner at 100 g svarer til 1 dL jus. b) Hva blir energiinnholdet i en kartong jus som rommer 0,5 L av samme type jus som i oppgave a? c) 1 kcal = 4,2 kJ. Hvor mange kcal er 260 kJ? d) Kefir har et energiinnhold på 260 kJ per 100 mL. Hva vil energiinnholdet i et glass som rommer 2 dL kefir, være? Skriv svaret i kJ.

a) Hvor mange tabletter skal hun ta?

227

Book Sinus 1P-Y.indb 227

2014-07-22 13:35:53

Oppgave 3.319 Ei jente på 60 kg bruker ca. 33 kJ per minutt når hun jogger. Før hun begynner å jogge, drikker hun en porsjonspakning av en type melkedrikk som inneholder 1001 kJ per porsjon. a) Hvor lenge kan hun jogge for å bruke opp energien i en slik porsjons pakning? Skriv svaret i minutter og sekunder. Energibehovet for en kvinne som er i ro, er ca. 9200 kJ per døgn. b) Hvor mange porsjonspakninger av melkedrikken måtte hun drikke for å dekke hele døgnbehovet for energi dersom melkedrikken var den eneste energikilden? ↑ 3.5

228 228

Book Sinus 1P-Y.indb 228

Sinus 1P-Y > Algebra

2014-07-22 13:35:54

FASIT TEORIDEL 1.10 a) ca. 720 c) ca. 800 1.11 a) ca. 1400 c) ca. 250

b) ca. 250 d) ca. 50 b) ca. 170 d) ca. 29

1.12 a) ca. 30 km b) ca. 110 min c) ca. 3 min/km 1.13 Marie har ikke nok penger. 1.20 a) 670 g c) 0,25 g

b) 3,7 kg d) 4,5 tonn

1.21 a) 670 g c) 3,7 kg

b) 200 mg d) 4,5 tonn

1.22 a) 2500 g b) 700 g c) 25 000 g 1.23 a) 52,5 hg b) 3,5 hg c) 2,5 hg 1.24 a) 450 g b) 70 g c) 750 g 1.25 a) 7,5 L b) 3,2 L c) 0,45 L 1.26 a) 250 cL b) 25 cL c) 0,25 cL 1.30 a) 4,8 kg b) 1,7 kg c) 40 g

1.31 a) 5,0 L b) 7 dL c) 8,4 dL

1.63 a) 3 b) 3 c) 2 5

d) 3 e)

1.32 4,2 kg

1.64 a) 7 b) 9

1.33 3,7 kg

d) 5 4

1.40 a) 0,5 b) 0,25 c) 0,4 d) 0,375 e) 0,15 f) 0,1875

3 2

4 3

4 27

c) 3

36 5

41 12

1.70 a) 25 b) 35 c) 7,5

1.41 a) 0,333 b) 0,167 c) 0,429 d) 0,222 e) 0,182 f) 0,412

1.71 a) 32 kr c) 27 kr

1.50 a) 5,179, 5,23, 5,3 b) 6,09, 6,1, 6,101 c) 2,0099, 2,01, 2,013

1.72 a) 0,5 L saft og 2,5 L vann b) 0,6 L saft og 3 L vann c) 10 liter vann

1.51 De 7 personene får mest pizza.

1.73 a) Jan skal ha 3840 kr og Anne 1600 kr. b) Per skal ha 4160 kr. c) 13

1.52 De 13 får mest brus, og de 17 får mest pizza.

d) 19 30

2.11 a) 2 kr, 4 kr og 18 kr b) 14 kr, 28 kr og 126 kr c) 250 kr, 500 kr og 2250 kr

1.54 a) 1 b) 2 3

c) De er like store. d) De er like store.

2.12 a) 8 kr, 4 kr og 12 kr b) 24 kr, 12 kr og 36 kr c) 56 kr, 28 kr og 84 kr

1.60 De får like mye. 1.62 a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 3

2.10 a) 2 kr, 4 kr og 6 kr b) 4,10 kr, 8,20 kr og 12,30 kr c) 32 kr, 64 kr og 96 kr

1.53 a) 4 b) 12 c) 23 5

b) 28 kr d) 54 kr

2.13 a) 30 kr, 15 kr og 45 kr b) 240 kr, 120 kr og 360 kr c) 1800 kr, 900 kr og 2700 kr

301

Book Sinus 1P-Y.indb 301

2014-07-22 13:36:28

2.14 a) 78 kr og 390 kr b) 312 kr og 468 kr

2.42 a) 1,05 b) 63 kr, 84 kr og 126 kr

2.20 a) 0,06 b) 0,19 c) 0,12 d) 0,45 e) 0,05 f) 0,02

2.43 a) 14 381 kr b) 19,8 %

2.21 a) 0,055 b) 0,019 c) 0,125 d) 0,453 e) 0,005 f) 0,0025 2.22 a) 4 % c) 13 % e) 34 %

b) 25 % d) 1 % f) 7 %

2.23 a) 4,5 % c) 1,2 % e) 124 %

b) 37,5 % d) 0,2 % f) 0,12 %

2.30 a) 36 kr b) 384 kr c) 1488 kr

2.50 a) 0,77 b) 0,92 c) 0,96 d) 0,875 e) 0,992 f) 0,536 2.51 a) 30 % c) 13 % e) 17,5 %

2.52 a) 24 kr, 32 kr og 40 kr b) 42,5 g, 85 g og 127,5 g 2.53 a) 252 kr b) 58 % 2.60 a) 225 kr b) 1725 kr

2.31 Per får 360 kr, Kari 1849,50 kr og Ola 1170 kr.

2.61 a) 1950 kr b) 9750 kr

2.32 3,5 %

2.62 604,80 kr

2.33 15 %

2.63 a) 43,48 kr b) 6,52 kr

2.34 a) 4,5 % b) 275 000 kr

2.64 1260 kr

2.35 a) 30 000 kr b) 45 000 kr

2.65 8,7 %

2.40 a) 1,23 b) 1,08 c) 1,04 d) 1,023 e) 1,008 f) 1,144 2.41 a) 30 % c) 2 % e) 0,5 %

b) 5 % d) 2,5 % f) 0,25 %

b) 5 % d) 7,4 % f) 23,6 %

2.70 a) 1,3 b) 7,9 %

3.11 a) 12 b) 1 c) 2 d) 1 3.12 a) 16 b) 16 c) –4 d) 4 3.13 a) 6 b) 42 c) –13

d) 6

3.14 a) 5 b) 11 c) 1

d) 17

3.20 a) 7x b) 2a c) 9b d) 5y e) 0 3.21 a) 8 x + 12 y b) 7 x + 7 y c) 7 x + 4 y + 5 d) 8a + 6b + 2 e) 10 3.22 a) 5x − 2 b) 3x c) 3x d) 2x − 7 3.23 a) 4x − 2y b) 4x − 10 c) 2x − 3 d) 2x − 3y 3.24 a) 7x b) 0 c) −2y d) 4a + c 3.30 a) x = 7 c) x = 4

b) x = 8 d) x = −3

3.31 a) x = 2 c) x = 3

b) x = 3 d) x = 4

3.32 a) x = 4 c) x = 3

b) x = 4 d) x = 4

3.33 5 4 a) x = b) x = − 2

2.71 a) 1,25 b) 26 og 21 c) 19,2 %

c) x = −2 d) x = 4

3.10 a) 30 b) –20 c) –18 d) 24

3.40 a) 9 b) 81 c) 9 d) −27 e) 81

3.34 a) x = 4

b) x = 4

302

Book Sinus 1P-Y.indb 302

2014-07-22 13:36:30

3.41 a) x = −3 eller x = 3 b) x = −2, 24 eller x = 2, 24 c) x = −5 eller x = 5 d) Ingen løsning e) x = 0

4.11 7245 kr

3.42 a) x = 5 b) x = 3 c) x = −2 d) x = 1,82

4.13 a) 56 400 kr b) Han bør velge feriepengene.

3.50 437,50 kr

4.20 23 892 kr

3.51 a) 15 cm b) 45 cm c) Tallet 2 forteller at planten vokser 2 cm per uke. Tallet 5 forteller at planten var 5 cm da den ble plantet.

4.21 a) 11 887 kr b) 24 988 kr

3.52 a) 54 000 kr b) 126 000 kr c) Han hadde 30 000 kr og sparer 4000 kr per måned. 3.53 a) y = 6 − 0,2x b) 2 liter 3.54 a) 72 km/h d) 20 km

b) 1,2 km

4.12 a) 34 380 kr b) 270 000 kr

4.22 24 926 kr 4.23 23 892 kr 4.24 7022 kr 4.30 a) 17 619 kr b) 132 381 kr c) 11,7 % 4.31 a) 217 057 kr b) 502 943 kr c) 30,1 %

3.60 850 kr

4.40 c) 5700 kr

3.61 a) 5 måneder b) 2,5 år

4.41 b) 81 100 kr

3.62 b) 16 3.63 a) v = 18 000 − 300x b) Etter 15 md c) Etter 2,5 år 3.64 21 år 4.10 8730 kr

4.42 b) Nei c) 4950 kr 4.50 10 824 kr 4.51 219 112 kr 4.52 a) 15 454,50 kr b) 26 545,68 kr 4.53 24 130,19 kr

4.55 a) 72 016,74 kr b) 88 157,41 kr 4.60 a) 20 000 kr c) 22 000 kr e) 66 000 kr

b) 23 000 kr d) 21 000 kr

4.61 a) 30 000 kr b) 6000 kr, 4800 kr, 3600 kr, 2400 kr og 1200 kr c) 168 000 kr 4.62 64 626 kr 4.63 165 250 kr 4.70 a) Renta er 3000 kr, avdraget 19 033 kr og restlånet 40 967 kr. b) Renta er 2048,35 kr, avdraget 19 984,65 kr og restlånet 20 982,35 kr. c) Renta er 1049,12 kr, avdraget 20 982,35 kr. d) 66 097,47 kr 4.71 a) Renta er 6000 kr, avdraget 27 694 kr og restlånet 122 306 kr. b) Renta er 4892,24 kr, avdraget 28 801,76 kr og restlånet 93 504,24 kr. c) Renta er 1295,94 kr, og avdraget 32 398,43 kr. 4.72 a) 1795 kr b) 64 629,50 kr c) Annuitetslånet er dyrest. 4.73 a) 2758 kr b) 165 460 kr c) Annuitetslånet er dyrest. 4.80 a) 20 977,42 kr b) 23 077,89 kr c) 3 077,89 kr d) 15,4 %

303

Book Sinus 1P-Y.indb 303

2014-07-22 13:36:31

FASIT OPPGAVEDEL 1 1.110 ca. 8100 kr 1.111 Du kan kjøpe alle varene. 1.112 a) ca. 3 timer

b) ca. 17 L

1.113 ca. 26 m 1.114 ca. 3000 kr 1.115 ca. 1110 kr

1.128 a) 1700 mg c) 4,6 hg e) 230 tonn

b) 200 g d) 2,6 kg

1.129 a) 230 cL c) 4,6 L

b) 2,5 dL d) 8 L

1.130 a) 3,2 kg c) 160 g

b) 4,0 kg d) 610 g

1.131 a) 4,5 L c) 1,0 L

b) 1,54 L d) 2,6 L

1.132 3,7 kg

1.120 a) 200 g c) 800 g

b) 1325 g d) 56 g

1.133 1,718 kg

1.121 a) 0,280 kg c) 0,003 kg

b) 0,075 kg d) 1200 kg

1.134 a) 3,27 kg c) 6,1 L

b) 1,172 kg d) 1,43 L

1.122 a) 2,40 hg c) 0,02 hg

b) 0,25 hg d) 130 hg

1.135 a) 4,8 L

b) 1,6 kg

1.123 a) 1,2 L c) 2,5 L 1.124 a) 19 dL c) 6,5 dL

b) 1,8 L

b) 2,6 dL

1.125 a) 4 mL c) 50 mL

b) 12 mL

1.126 a) 1200 g c) 17 hg e) 1500 kg

b) 2 g d) 2,3 kg

1.127 a) 5000 mg c) 0,5 hg e) 12,5 tonn

b) 8 mg d) 4 tonn

1.143 a) 0,333 b) 0,167 c) 0,111 d) 0,0909 1.144 0,5 L lettmelk 0,5 L kefir 0,4 dL vann 1 kg rugmel 0,25 kg sammalt hvetemel 0,75 kg hvetemel 2 ts salt 0,5 hg gjær 1.150 a) 3,042 3,2039 3,204 3,240 3,402 b) 2,4057 2,457 2,475 2,547 2,754 c) 0,09 0,10 0,15 0,8 0,9 1.151 a) 2 b) 4 c) 8 d) 19 5

1.136 855 g 1.137 1,25 kg 1.138 1,9 kg 1.139 1000 mg + 250 g + 0,3 kg = 551 g 1.140 a) 0,1 b) 0,01 c) 0,001 d) 0,75 e) 0,20 f) 0,60 1.141 a) 0,05 b) 0,04 c) 0,02 1.142 a) 0,7 b) 1,6 c) 0,45 d) 0,16

1.152 a) 0,149 0,15

1 5

1 4

b) 0,03 0,12 0,30 c) 0,09

1 7

d) 0 0,016

1 2

0,40 1 3

1 2

0,9 1 1 60

0,16

1 6

1.153 a) 15 b) 12 17

1.154 Røret som er 3 tomme tykt. 4

1.160 a) 1 b) 2 c) 1 2

d) 1 8

e) 2 3

2 5

1.161 a) 3 b) 1 5

c) 1 d) 2

306

Book Sinus 1P-Y.indb 306

2014-07-22 13:36:33

1.162 a) 1 b) 1 c) 9 d) 6

1.201 240 kr

7 10

1.204 a) 15,9 liter

1.165 a) 3 b) 2 c) 3 4

1.166 a) 3 b) 6 c) 1 28

7 8

1.206 a) 1,251 kg c) 3500 mg

d) 1

1.167 3 liter

1.168 9 liter (1,125 liter)

1.208 a) 2,0 kg

b) 5,2 L

1.170 a) 1

1.209 a) 670 g

b) 1,93 L

d) 10

1.300 a) 136 dL b) 4,8 L

b) 140 g d) 150 tonn

1.207 3,0 kg

c) 4

1.219 a) Linda: 1,4 km, Britt: 0,7 km b) 2,1 km c) 1

b) ca. 30 mil

b) 8

1.205 Svein tjener mer enn 30 · 140 kr = 4200 kr. Han skal ha lønn C.

e) 1 9

1.218 a) Alf: 8000 kr, Berit: 9600 kr, Kristian: 6400 kr b) 4

1.203 Ja, hun kan kjøpe frukten.

1.164 1,35 kg

d) 1 3

1.202 Alternativ C

1.163 a) 1 b) 11 c) 1 d) 9 4

1.217 a) 2 b) 4 ruter

1.301 a) 6,93 kg b) 875 hg 1.302 2,13 kg 1.303 a) 3 b) 2 4

1.171 Guri: 1800 kr, Petter: 2400 kr

1.210 –4,5 –3,7 2,17 2,7 2,708

1.304 a) 5 b) 1 c) 3 d)

1.172 12,8 liter

1.211 a) 1) 0,25 2) 0,07 b) 2

1.305 5 3 1 5 3 a) '', '', '', '', '', 1''

1.173 a) 18 b) 12 1.174 a) 3,5 L

c) 2

b) 1 5

1.175 a) 4 b) 9 1.176 a) 18 kr

b) 18 kr

1.177 a) 11 b) 16 500 kr 48

1.178 a) 11 b) 15

c) 300 elever 1.200 20 liter

Book Sinus 1P-Y.indb 307

1 1 5 4

0,70 4

9 10

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1.213 a) 1 b) 1 c) 1 3

b) 6 mm,

1.212

1.214 a) 1 b) 3,2 3

1.215 6 3 =

16 4 15

0,09

1.216 a) 4 ruter skal fargelegges. b) 2 ruter

5 '' ,8 16

16 mm,

3 '' , 8 1 '' 5 '' , , 2 8

mm,

10 mm, 12 mm, 1

5 11

3 '' , 20 4

mm, 1''

1.306 a) Ved bord C (0,625 L på hver) b) Han kan ta bort ei flaske med 0,5 L fra bord C og bytte ut ei flaske med 1,5 L fra bord A med to flasker med 0,5 L. 1.307 a) 5425 kJ b) 2,8 kg 1.308 a) 100 doser c) 25 mg

b) 20 dager

307

2014-07-22 13:36:39

1.309 a) 10 b) 32 63

1.310 a) 1 4

b) 3 8

1.311 a) 0,9 kg mel og 0,6 kg sukker b) 1,5 kg mel og 1,0 kg sukker c) 1,4 kg 2 2.110 a) 25 c) 80

b) 40 d) 100

2.111 a) 3 b) 30 % 10

2.112 a) 30 % (33 %) b) 70 % (67 %) 2.113 a) 5 kr, 10 kr, 25 kr b) 12 kr, 24 kr, 60 kr c) 120 kr, 240 kr, 600 kr

2.122 a) 23 % c) 8 % e) 1,0 %

b) 65 % d) 2,5 % f) 8,2 %

2.123 a) 23,5 % c) 78,2 % e) 150 %

b) 4,8 % d) 0,5 % f) 205 %

2.130 a) 36 b) 92 c) 200 d) 14 2.131 a) 60 % c) 75 %

b) 33,3 %

2.132 a) 90 kr

b) 60 kr

2.133 a) 2,8 %

b) 15 %

2.134 6300 kr

2.143 a) 5,37 m

b) 1,43 m

2.144 a) 406 kg

b) 9828 kg

2.145 a) 20 % b) I alt må 5 ruter være fargelagt. 2.146 4256 kr 2.147 a) 1,05, 5 % b) 1,08, 8 % 2.148 a) 333 900 kr b) 11,3 % 2.149 a) 720 kr

b) 4300 kr

2.150 a) 0,80 b) 0,60 c) 0,88 d) 0,95 e) 0,98 f) 0,01

2.135 a) 12 %

b) 10 %

2.136 a) 1200 kr

b) 15 %

2.151 a) 40 % c) 33 % e) 1 %

2.115 a) 3 = 1

2.137 a) 7,7 %

b) 7,2 %

2.152 a) 0,65 b) 455 kr

b) 20 % c) I alt må 9 ruter være fargelagt.

2.138 a) Jenter: 56,7 %. Gutter: 43,3 % b) Jenter: 50 %. Gutter: 50 %

2.116 a) 4 = 1 b) 20 %

2.139 a) 0,80 kr

c) I alt må 14 sektorer være fargelagt.

2.140 a) 1,06 b) 1,15 c) 1,03 d) 1,18

2.114 a) 5 c) 16

b) 8 d) 2

2.120 a) 0,20 b) 0,50 c) 0,12 d) 0,01 e) 0,05 f) 0,09 2.121 a) 0,40 b) 0,55 c) 0,60 d) 0,72 e) 0,77 f) 0,99

2.141 a) 28 % c) 67 % e) 99 %

b) 5,7 %

b) 33 % d) 0,7 % f) 100 %

2.142 a) 1,20 b) 720 kr c) 345 kr

b) 67 % d) 93 % f) 99,2 %

2.153 a) 0,85 b) 1020 kr 2.154 a) 1600 kr

b) 20 %

2.155 a) 150 kr

b) 12 %

2.156 a) 2552 kr

b) 1512 kr

2.157 12,86 kr 2.158 40 % 2.159 a) 300 kr

b) 260 kr

308

Book Sinus 1P-Y.indb 308

2014-07-22 13:36:40

2.160 a) 120 kr

b) 920 kr

2.161 a) 48 kr

b) 648 kr

2.162 a) 500 kr, 2500 kr b) 180 kr, 1380 kr c) 6 kr, 81 kr 2.163 a) 2000 kr

2.175 a) 24 elever, 32 elever b) 33,3 % c) 2 prosentpoeng 2.200 6 ruter er fargelagt.

2.165 58 162,50 kr 2.166 a) 11 750 kr

Prosentfaktor

Prosent

0,20

20 %

2.168 a) 480 kr b) 9600 kr c) 12 kr d) 400 000 kr b) 56 kr

2.170 a) 2 prosentpoeng b) 19,7 % 2.171 a) 0,9 prosentpoeng b) 4,3 % 2.172 a) 14 prosentpoeng b) 189 elever c) 113 elever 2.173 a) 4 prosentpoeng b) 31 elever c) 26 elever 2.174 a) 0,764 millioner b) 17,2 % c) 55,8 %

0,30

30 %

0,07

b) 720 kr

2.300 a) 86 400 s

b) 0,006 %

2.301 a) 2 b) 50 % 3

2.302 a) 45 %

1,12

2.303 a) 2 b) 60 %

Nedgang på 40 %

0,60

c) 3 %

Nedgang på 30 %

0,70

Økning på 150 %

2,5

Vekstfaktor

2.204 4000 kr 2.205 140 kr

d) 20 %

2.304 a) 1,2 dL, 1,2 dL c) 2,9 % d) 1,55 dL e) «Piaggio»: 2,0 dL, «Yamaha»: 2,04 dL

2.306 a) 1,04 b) 5330 kr

2.207 50 %

2.307 a) 6 % c) 33,3 %

2.209 Alternativ 3 2.210 a) 100 %

b) 50 %

2.211 a) 500 kr

b) 2500 kr

2.212 a) 100 kr

b) 500 kr

2.214 4320 kr

5 12

2.305 12 250,80 kr

2.206 5%

2.213 Alternativ 3

b) 1 c) 3

Økning på 12 %

Prosentvis endring

2.167 1142 kr

2.169 a) 12 400 kr c) 420 kr

0,08

2.203 b) 77 750 kr

2.216 a) 72 kr

2.218 5 prosentpoeng

2.202

2.164 a) 1440 kr, 360 kr b) 175 kr, 14 kr c) 800 kr, 200 kr

b) 6000 kr

2.217 0,5 prosentpoeng

2.201 4 sektorer er fargelagt.

b) 500 kr

2.215 a) 300 kr

2.308 a) 1,60 m

b) 954 000 kr

b) 1,60 m

2.309 a) 424,15 kr b) 20 % 2.310 63 2.311 a) 13,67 kr

b) 7,4 %

2.312 a) 450 kr

b) 40 %

309

Book Sinus 1P-Y.indb 309

2014-07-22 13:36:40

2.313 a) 350 kr

b) 28 %

2.314 a) 31,50 kr

b) –26,04 kr

2.315 a) 8 %

b) 15,6 %

3.113 a) 12 b) –4 c) 9 d) 28 e) –3 f) 0 3.114 a) 19 b) –3 c) –2 d) 20

2.316 a) 4080 kr b) 975 kr c) Nei, hun mangler 4 kroner.

3.115 a) 2 b) 13 c) –2 d) 0

2.317 a) 144 kr b) 645 kr c) 750 kr d) 1) 25,0 % 2) 33,3 %

3.116 a) 24 b) 24 c) 25 d) 9 e) 56 f) 33

2.318 Sporten: 3116,00 kr Messe: 3002,23 kr Aktiv: 3198,00 kr Snøbrettet er billigst på sportsmessen. 2.319 a) 5 12

b) 480 kr c) 8 % d) 345 kr e) 27 32

2.320 a) 2,3 prosentpoeng b) 50 % 2.321 a) V med 1,9 prosentpoeng b) 45,2 % c) FrP med 1,3 prosentpoeng d) –10,3 % 3 3.110 a) 56 b) 54 c) –30 d) 63 3.111 a) 1 b) 2 c) 2 d) 14 3.112 a) –10 b) 0 c) 38 d) 26 e) 3 f) –38

3.120 a) 5x b) 4y c) 3a d) 0 e) z f) 4x 3.121 a) 3 x + 2 y b) 6a − 5b c) 2 x − 6 y + 1 d) a + 5b 3.122 a) 6 x − 5 b) 5 − 5 x c) 3a − 3b d) 3 x + 4 y 3.123 a) 6 x + 3 y b) 12 x − 20 c) 2x d) −2 x − 3 y + 5 3.124 a) −5 x + 5 b) 11x − 18 c) –14 d) 2 x − 8 y + 4 z 3.125 a) 5 x − 7 y b) 2a + 4b − 5c c) 8x − y d) 2a + 2b 3.126 4 ( x + 2 y ) − 2 (2 x + y ) = 6 y 3.130 a) x = 2 c) x = –1

b) x = 1 d) x = 3

3.131 a) x = 2 c) x = 0

b) x = 1 d) x = 2

3.132 a) x = 1 c) x = –5

b) x = 3 d) x = 2

3.133 a) x = 2 c) x = –1

b) x = 6

3.134 a) x = 1

b) x = −

c) x = 0

d) x = 4

4 5

3.135 a) x = 0, v. s. = h. s. = 2 b) x = –12, v. s. = h. s. = –6 3.136 a) x = 10

b) x = –6

3.137 a) x = 8

b) x =

15 4

3.140 a) 16 b) 64 c) 16 d) –64 3.141 a) x = –2 eller x = 2 b) x = –10 eller x = 10 c) x = –6 eller x = 6 d) Ingen løsning e) x = 0 f) x = –2,45 eller x = 2,45 3.142 a) x = –2 eller x = 2 b) x = –1,73 eller x = 1,73 c) Ingen løsning d) x = 0 e) x = –2 eller x = 2 f) x = –1 eller x = 1 3.143 a) x = 4 c) x = –3

b) x = 3 d) x = –1 eller x = 1

3.150 a) 34,50 kr b) 103,50 kr 3.151 a) 120 km b) 210 km 3.152 a) 525 000 kr

b) 0 kr

310

Book Sinus 1P-Y.indb 310

2014-07-22 13:36:44

3.153 a) 1,75 m

b) 2,50 m

3.200 Alternativ 3

3.154 a) 540 kr b) y = 120 x + 60 c) y = 120 x + 180

3.201 a) 23 b) –4 c) 1 d) 0

3.155 a) 2100 kr b) y = 50 x + 1000

3.202 a) 13 b) 24 c) 4 d) 2

3.156 a) 95 N

3.203 a) 4 x − 2 y b) −9 x + 15 y

b) 118 N

3.157 a) 1) 156,8 N 2) 490 N b) 1) 25,5 N 2) 68 N 3) 153 N 3.160 15 minutter 3.161 74,07 kr 3.162 a) 3 mm c) 80 uker

3.304 a) Lommeregneren regner først ut 54/3. Så blir 60 og 42 lagt til dette svaret. b) 52 kroner c) En av flere framgangsmåter: • 60 kr og 42 kr = 102 kr • 102 kr og 54 kr = 156 kr • 150 kr : 3 = 50 kr • 6 kr : 3 = 2 kr • 50 kr og 2 kr = 52 kr

3.204 a) −2a b) 4b 3.205 a) x = 1

b) x = 6

3.206 a) x = 1

b) x = 5

3.207 1 Svaret er x = − . I løsningen er

3.305 a) 3

b) 15,6 cm

det fortegnsfeil i 2. linje.

3.306 a) 10

3.208 a) 4 b) 1 c) 25 d) −27

3.163 4 døgn 3.164 a) 319,1 kJ

3.303 Forslag til løsning: 1 = 4:4+ 4− 4 2 = 4:4+ 4:4 3 = ( 4 + 4 + 4) : 4 4 = 4 + (4 − 4) ⋅ 4 5 = (4 ⋅ 4 + 4) : 4 6 = (4 + 4) : 4 + 4 7 = 4+ 4− 4:4 8 = 4+4+4−4 9 = 4+ 4+ 4:4

b) 76,0 kcal

3.165 a) y = 60t + 75 b) 12 timer 3.166 a) 1) 11 400 kr 2) S = 6000 + 600 x b) 1) 10 500 kr 2) B = 16 800 − 700 x 3.167 a) y = 600 x + 14 000 b) 28 timer 3.168 a) y = 1000x b) 200 timer c) y = 200 000 − 500 x 3.169 a) 40,64 cm = 406,4 mm b) 113 mm c) 632 mm d) 98 mm (97,5 mm)

3.209 a) x = 2 c) x = 2

3.307 b) P + P + 3 + P + 7 = 34 3P + 10 = 34 c) Per er 8 år, Knut er 11 år, og Eva er 15 år. d) Cecilie er 1,62 m, Knut er 1,78 m, og Jens er 1,90 m.

b) Ingen løsning

3.210 a) 400 kr b) y = 20 x + 200

3.308 a) x + 1, x + 2 og x + 3 b) x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 58 c) 13, 14, 15 og 16

3.211 a) 0 °C b) 10 °C 3.212 a) y = 400x b) 6 ganger

3.309 a) 35 % b) 13

3.213 Olga og Oddny: 18 år Oda: 36 år 3.300 a) 9

c) 2,0 kg d) 99,00 kr e) 360 g

b) 1 c) 2 d) 2 5

3.301 4 · 5 – 3 eller 3 · 4 + 5 3.302 a) 5 · 6 + 7 c) 6(7 – 5)

b) 7(5 + 6)

3.310 m a) V = T

b) 1,3 cm3 3.311 a) 60 liter b) 37,5 liter c) 80 mil

311

Book Sinus 1P-Y.indb 311

2014-07-22 13:36:49

3.312 a) 90 °C c) 42 °C

b) 58 °C

3.313 a) 2021 b) 2079 3.314 a) 29 timer b) 19 timer 3.315 a) 0,9 promille b) P = 1, 8 − 0,15 x c) x = 1, 8 − P 0,15

d) 10 timer e) Etter 12 timer 3.316 a) 2160 kr b) K = 8 x + 1200 K −1200 c) x = 8 d) 300 km 3.317 a) 4 tabletter b) 27,6 mg/mL c) 16 mL per dose d) 19,2 mL per dose

4.115 a) 6000 kr

b) 2720 kr

4.116 a) 23 timer b) 1) 4 timer 2) 4 timer 3) 4 timer c) 4832 kr d) 580 kr (579,84 kr) 4.117 a) 45 192 kr b) 361 667 kr

4.121 a) 8157 kr

4.140 c) 2280 kr

b) 19 643 kr

4.141 c) Nei

4.123 a) 8035 kr

b) 19 468 kr

4.124 a) 38 520 kr b) 15 633 kr c) 21 589 kr 4.125 a) 10 819 kr b) 23 595 kr

3.319 a) 30 min og 20 s b) 9,2 pakninger

4.127 a) 29 484 kr b) 27 000 kr c) 20 063 kr d) 31 500 kr

4 4.110 a) 180 kr c) 25 080 kr

4.130 a) 57 510 kr b) 28 700 kr c) 86 210 kr d) 263 790 kr

4.111 a) 280 kr c) 33 400 kr 4.112 a) 1935 kr

4.126 a) 25 440 kr b) 30 %

4.131 5184 kr b) 1400 kr

b) 29 935 kr

4.113 a) 28 080 kr b) 29 016 kr 4.114 a) 42 000 kr b) 40 800 kr

4.136 a) 163 050 kr c) 571 289 kr

b) 18 153 kr

4.122 a) 38 520 kr b) 15 633 kr c) 21 589 kr

b) 100 723 kr d) 45 100 kr f) 26,9 %

4.135 a) 427 550 kr b) 115 438 kr c) 6534 kr d) 49 200 kr e) 428 828 kr f) 28,5 %

4.120 a) 9350 kr

3.318 a) 196,3 kJ b) 981,5 kJ c) 61,9 kcal d) 520 kJ

b) 1080 kr

4.134 a) 373 050 kr c) 2034 kr e) 402 143 kr

4.142 b) 7250 kr e) 497 kr

b) 288 711 kr d) 33,6 %

d) 228 kr

4.143 a) 19 625 kr, 13 375 kr c) 4861 kr 4.144 a) Ja b) 3240 kr d) 250 kr e) 572 kr 4.150 23 881,05 kr 4.151 7798,29 kr 4.152 9159,20 kr 4.153 20 855,79 kr 4.154 a) 119 387,33 kr b) 84 961,64 kr

4.132 a) 373 050 kr c) 2034 kr e) 402 143 kr

b) 100 723 kr d) 45 100 kr f) 26,9 %

4.133 a) 427 550 kr c) 6534 kr e) 428 828 kr

b) 115 438 kr d) 49 200 kr f) 28,5 %

4.155 41 958,62 kr 4.156 a) 53 091,36 kr b) ca. 1545 kr 4.157 a) 24 310 kr c) ca. 306 kr

b) 8865,01 kr

312

Book Sinus 1P-Y.indb 312

2014-07-22 13:36:49