Boletin_continuidad by José María Martínez Blanco

I.E.S. Santa Irene.

´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose

Bolet´ın de Continuidad 1

Continuidad.

1.1

L´ımite de una funci´ on en un punto.

Definici´ on 1 (Definici´ on ϵ − δ de Cauchy.) Sean λ ∈ R e y = f (x) una funci´on definida en un entorno de a ∈ R, excepto acaso el propio a, entonces: lim f (x) = λ ⇔ ∀ϵ > 0 ∃ δ > 0 tales que si 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − λ| < ϵ

x→a

Teorema 2 (L´ımites laterales.) Si existe el l´ımite, λ ∈ R, entonces lim f (x) = λ ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = λ

x→a

Definici´ on 3 (L´ımite infinito) Sea y = f (x) una funci´on definida en un entorno de a ∈ R, excepto acaso el propio a, entonces: lim f (x) = ∞ ⇔ ∀ϵ > 0 ∃ δ > 0 tales que si 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| > ϵ

x→a

Definici´ on 4 (L´ımite en el infinito) Sean λ ∈ R e y = f (x) una funci´on definida en un intervalo (a, +∞), entonces: lim f (x) = λ ⇔ ∀ϵ > 0 ∃ δ > 0 tales que si x > δ ⇒ |f (x) − λ| < ϵ

x→+∞

1.2

Continuidad de una funci´ on en un punto.

Definici´ on 5 (Funci´ on continua.) Se dice que la funci´on y = f (x) es:

1. Continua en a si y s´olo si lim f (x) = f (a). x→a

2. Continua a la izquierda en a si y s´olo si lim− f (x) = f (a). x→a

3. Continua a la derecha en a si y s´olo si lim+ f (x) = f (a). x→a

4. Continua en un intervalo I si y s´olo si f es continua en todo punto del intervalo I.

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1.3

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Propiedades.

1. f (x) es una función continua en x = a si y sólo si f (x) es continua a la izquierda y a la derecha en x = a. 2. Si las funciones f (x) y g(x) son continuas en x = a y (g(a) ) ̸= 0, entonces (x) f (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f · g)(x) = f (x) · g(x) y g (x) = fg(x) son continuas en x = a. 3. Si f (x) es continua en x = a y g(x) es continua en f (a), entonces (g ◦ f )(x) = g (f (x)) también es continua en x = a.

Clasificaci´ on de los puntos de discontinuidad.

Sea y = f (x) un funci´on real definida en un entorno de a, con la posible excepci´on del propio valor a. Se distinguen los siguientes tipos de discontinuidades.

2.1

Punto de discontinuidad evitable.

Decimos que la función y = f (x) presenta una discontinuidad evitable en x = a, si y sólo si existe limx→a f (x) = λ pero, o bien f (x) no está definida en a, o bien f (a) ̸= λ. Ejemplo 1: f (x) = x sen x1 . Esta función presenta en x = 0 una discontinuidad evitable ya que existe l´ımite limx→0 x sen x1 = 0, pero f (0) no está definida. Es evitable porque en x = 0 el valor conveniente resulta que la { si asignamos x sen x1 , si x ̸= 0 función g(x) = es continua en todo R. 0, si x = 0 { x2 −4 , si x ̸= 2 x−2 Ejemplo 2: f (x) = . 0, si x = 2 Esta función presenta en x = 2 una discontinuidad evitable ya que existe 2 −4 = 4, existe f (2) = 0 pero el l´ımite en x = 2 y f (2) no l´ımite limx→2 xx−2 coinciden. { x2 −4 , si x ̸= 2 x−2 Es evitable porque si definimos la función g(x) = resulta 4, si x = 2 continua en todo R.

2.2

Discontinuidad esencial de 1a especie.

Decimos que la funci´on y = f (x) presenta una discontinuidad esencial de 1a especie o de salto finito en x = a, si y s´olo si existe limx→a+ f (x) = λ1 , existe

2. Clasificaci´on de los puntos de discontinuidad.

limx→a− f (x) = λ2 , pero λ1 ̸= λ2 . { 1 si x > 0 x Ejemplo 3: σ(x) = |x| = (funci´on signo de x). −1, si x < 0 Esta funci´on presenta en x = 0 una discontinuidad de salto finito ya que limx→0− σ(x) = −1 mientas que limx→0+ σ(x) = 1. 1

Ejemplo 4: f (x) = e x1 +2 . e x +1 Esta funci´on presenta en x = 0 una discontinuidad de salto finito ya que limx→0− f (x) = 2 mientas que limx→0+ f (x) = 1.

2.3

Discontinuidad esencial de 2a especie.

Decimos que la función y = f (x) presenta una discontinuidad esencial de 2a especie en x = a, si y sólo si no existe alguno de los l´ımites laterales. Recordemos que el l´ımite no existe si es infinito o si hay oscilación. 1

Ejemplo 5: f (x) = e x . Esta función presenta en x = 0 una discontinuidad de 2a especie ya que a pesar de que limx→0− f (x) = 0 resulta que limx→0+ f (x) = ∞. En este caso se dice que presenta un salto infinito. Ejemplo 6: f (x) = x12 . Esta función presenta en x = 0 una discontinuidad de 2a especie ya que limx→0− f (x) = ∞ y limx→0+ f (x) = ∞. Ejemplo 7: f (x) = sen x1 . Esta función presenta en x = 0 una discontinuidad de 2a especie ya que limx→0− f (x) = no existe y limx→0+ f (x) = no existe (oscilan).

Ejercicio 1. Estudiad la continuidad de continuidad encontrada. { 1 si x ≥ 0. (a). y = −1 si x < 0. 2x − 4 (d). y = 2 x −4 (g). y = cos x1

las siguientes funciones indicando el tipo de dislog(x + 1) x { x + 2 si x ≥ 1. (e). y = −x − 1 si x < 1.

(b). y =

(h). y = x2 cos x1

(c). y = (f). y =

2x −4 1 x e −2 x2 1

e x −1+ 2 (i). y = e (x−2)2

Soluciones: (a). En x = 0 discontinuidad de 1a especie. (b). En x = −1 disc. de 2a especie y en x = 0 evitable. (c). En x = ±2 disc. de 2a especie. (d). En x = −2 disc. de 2a especie y en x = 2 evitable. (e). En x = 1 disc. de 1a especie. (f). En x = 0 disc. de 1a especie. (g). En x = 0 disc. de 2a especie. (h). En x = 0 disc. evitable. (i). En x = 2 disc. evitable.

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Ejercicio 2. Calcula los siguientes l´ımites y verifica el resultado dado. ex − e−3x =4 x→0 log (1 + x) −1 + cos x2 lim =0 x→0 log(cos(2 x − 3 x2 )) 12 log(−7 + x3 ) lim = 2 x→2 −10 + 3 x + x ( ) 7 1 1 1 lim − = x→1 2 (log x x − 1 ) 1 1 lim x − x2 log(1 + ) = x→∞ x 2 lim (π − 2 arctan x) log x = 0

ex − e−x − 5 x = −3 x→0 x − 1 + cos x √ 3 3 + 2x − 1 1 √ lim = x→−1 x + 3 3 + 2 −2 x x −1 + e 1 lim =− 2 x→∞ −π + 2 arctan(x ) 2 ( ) 1 1 1 lim − x = x→0 (x e − 1 ) 2 1 x = −1 lim − x→1 log x log x lim x4 log x = 0

limπ sen xtan x = 1

x→0

lim

x→∞ x→ 2

lim x log(−1+ex ) = e

x→0

lim

x→0

lim xx = 1 ( 1 ) x lim x |a| − 1 = log |a|

x→∞

Continuidad en un intervalo.

Teorema 6 (de Bolzano) Sea y = f (x) una función continua en un intervalo [a, b] y f toma valores opuestos en los extremos, entonces existe al manos un valor intermedio en el cual se anula la función, es decir, f continua en [a, b] y f (a) · f (b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 Teorema 7 (propiedad Darboux) Sea y = f (x) una función continua en un intervalo [a, b] y sea k ∈ R tal que f (a) < k < f (b), entonces, ∃ c ∈ (a, b) que verifica f (c) = k Teorema 8 (de Weierstrass) Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces alcanza el máximo y m´ınimo absoluto en dicho intervalo, es decir, f continua en [a, b] ⇒ ∃ m, M ∈ [a, b] tal que f (m) ≤ f (x) ≤ f (M ) ∀ x ∈ [a, b] Definici´ on 9 (Funci´ on acotada) Una función y = f (x) definida en un intervalo I ⊂ R se dice que está acotada inferiormente por el valor c ∈ R si y sólo si c ≤ f (x) ∀x ∈ I. A c se le llama una cota inferior. Se dice que está acotada superiormente por el valor C si ∀x ∈ If (x) ≤ C. A C se le llama una cota superior. Si lo es inferior y superiormente se dice acotada en dicho intervalo.

4. Ejercicios.

Corolario 10 (Funci´ on acotada) Toda funci´on continua en un intervalo cerrado es acotada en ´el.

Ejercicios.

Preguntas en pruebas PAAU de Galicia de 2001 a 20091 . 1. a) ¿Puede ocurrir que exista el limx→xo f (x) y que la función f no sea x continua en x0 ? b) Calcular el l´ımite limx→0 e x−1 2. a) Continuidad lateral de una función en un punto. b) Analiza la continuidad, en el punto de abscisa x = 0, de la función  2x −1  x , si x < 0 g(x) =  cos x , si x ≥ 0 x2 +1 (√ ) n −8 3. Calcula a) limn→∞ n2 − 5n + 4 − n b) limn→∞ 22n+1 4. Calcula limx→0

x 2 ex cos x−1

5. a) Definición de función continua en un punto. b) ¿Qué tipo de discon2 tinuidad tiene en x = 0 la función f (x) = xx ?. 6. Calcula la relación entre a y b para que sea continua  eax −1en toda la recta  2x , si x ̸= 0 real la función f : R → R definida por f (x) =  b, si x = 0 7. a) Definición de cota superior de una sucesión de n´ umeros reales. Definición de sucesión acotada inferiormente, b) Demuestra que la sucesión de término general an = 4n−1 es creciente y halla una cota inferior posin+1 tiva (justificando qué es cota inferior ). 8. a) Escribe los distintos casos de indeterminaciones que pueden surgir al calcular l´ımites de sucesiones de n´ umeros reales y pon un ejemplo sencillo (sen resolver lo) de, por lo menos, cuatro de esos casos. b) Calcula indicando qué tipo de indeterminación (o indeterminaciones) (√ √ ) √se presenn + 7 − n 3n + 5 tan al intentar resolver este l´ımite: limn→∞ 9. a) Definición de función continua en un punto. Definición de derivada de una función en un  punto. b) Estudiar la continuidad y derivabilidad 2 −9 , si x ̸= 3  xx−3 en el punto x = 3. de la función f (x) =  6, si x = 3 1 Puedes consultar, entre otras, las páginas http://ciug.cesga.es y http://www.selectividad.profes.net donde están resueltos estos problemas con los criterios de corrección.

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  a x2 + 1 si x < 2 10. a) Dada a funci´on f (x) =

, calcula a para que e2−x + 2, si x ≥ 3 f (x) sexa continua en x = 2. Para o valor obtido de a, ¿´e f (x) derivable en x = 2? 

ex sen x − x x→0 2x2 + x4

11. Calcula lim

12. Enunciado do teorema de Bolzano. ¿Podemos asegurar que a gr´afica de f (x) = x5 + 2x4 − 4 corta ao eixe OX nalg´ un punto do intervalo (1, 2)?   a x + b se x < −1 13. Calcula os valores de a e b para que a funci´on f (x) =  2 x − 4x, se x ≥ −1 sexa continua e derivable en x = −1. m x2 − 1 + cos x =0 x→0 sen x2

14. Calcula o valor de m para que: lim

15. (a) Define función continua nun punto. ¿Qué tipo de descontinuidade log (1+x2 ) presenta a función f (x) = en x = 0? x 16. Enuncia e interpreta xeometricamente o teorema de Bolzano. Dada a función f (x) = ex + 3x log(1 + x2 ), xustifica se podemos asegurar que a s´ ua gráfica corta ao eixo OX nalg´ un punto do intervalo [−1, 0].   a x + b se x ≥ 0 17. Calcula os valores de a e b para que a función f (x) =  1 + sen 2x, se x < 0 sexa continua e derivable en x = 0.

Soluciones 2 1. (a) S´ı, por ejemplo, y = xx en x = 0. (b) 1. 2. (a) ver teor´ıa. (b) limx→0− f (x) = 1 ln 2 ̸= limx→0+ f (x) = 1. No es continua en x = 0. 3. (a) −5 2 (b) 2 . 4. -2. 5. (a) ver teor´ıa. (b) discontinuidad evitable. 6. a = 2b. 7. (a) ver teor´ıa. (b) ∀c ∈ (0, 23 ). 8. (a) √ ver teor´ıa. (b) 7 2 3 . 9. (a) ver teor´ıa. (b) Continua y derivable en x = 3. 10. a = 12 . Non é derivable en x = 2. 11 21 . 12 (a) ver teor´ıa. (b) S´ı, é continua e derivable no intervalo [1, 2] e como f (1) = −1 < 0, f (1) = 60 > 0, podemos asegurar que ∃ xo ∈ (1, 2) tal que f (x0 ) = 0. 13 a = −6 e b = −1 14 m = 21 . 15 Presenta, en x = 0, unha descontinuidade evitable. Ev´ıtase esta descontinuidade definindo f (0) = 0. 16 Si, pódese aplicar. 17 a = 2 eb=1

4. Ejercicios.

Preguntas del tema en otros ex´ amenes de selectividad 1. Calcula a) limx→0

x−sen x x3

b) limx→π (π − x) tan x2

2. Determinar a y b para que la siguiente funci´on sea continua  x + 1, si x ≤ 0  ax + b, si 0 < x < 1 f (x) =  3x, si x ≥ 1 ¿Puede aplicarse el teorema del valor medio en el intervalo [0, 1]?. Justifica la respuesta. 3. Calcular razonadamente el l´ımite de la sucesi´on

(n−2)2 (n+1)3 −(n−1)3

4. Dada la función   0, si x ≤ −1 ax3 + bx, si − 1 < x < 2 f (x) =  11x − 16, si x ≥ 2 Se pide: a)Hallar a y b para que la función sea continua en todo x real. b) Analizar su derivabilidad. c) Representación gráfica. 5. Se sabe que la función f : [0, 5] → R, dada por { ax +√bx2 , si 0 ≤ x < 2 f (x) = c + x − 1, si 2 ≤ x ≤ 5 es derivable en el intervalo (0, 5) y verifica f (0) = f (5). ¿Cuánto valen a, b y c? 6. Se define la función f del siguiente modo: { ln x − 1 si x > 1 f (x) = 2x2 + ax + b, si x ≤ 1 a) Encuentra los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. b) Estudia su derivabilidad. c) Halla los puntos de su gráfica en los que la tangente es paralela al eje OX. Nota: ln significa logaritmo neperiano 7. Sea la función f (x) = x cos x, a) ¿Tiene l´ımite en +∞? (justifica tu respuesta). b) Calcula la integral de f entre x = 0 y el primer cero positivo que tiene la función. Nota: Llamamos ceros de una función a aquellos puntos donde se anula 8. Sea la función f (x) =

4x+sen 2x sen 3x

Determinar el dominio de f e indicar si f tiene l´ımite finito en alg´ un punto que no sea de su dominio.

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9. Se sabe que el dominio de definición de la función F(x) es el intervalo [1, 9]. Hallar los) dominios de definición de las siguientes funciones: ( 1−3t b) H(t) = F (t2 ) c) J(t) = F (|2t − 1|) a) G(t) = F 2 10. Se considera la ecuación x3 + αx2 − 2x = 1. Utilizando el teorema de Bolzano de los valores intermedios. Se pide: a) Probar que si α > 2, la ecuación admite alguna solución menor que 1. b) Probar que si α < 2, la ecuación admite alguna solución mayor que 1. 11. Calcular los siguientes l´ımites (donde ln significa Logaritmo Neperiano). a) limx→0

ln cos(3x) ln cos(2x)

√

b) limx→0

√ 4+x− 4+x 4x

12. Demuestra que la ecuaci´on x5 + x3 + x + 1 = 0 tiene una u ´nica ra´ız dentro del intervalo [−1, 0]. 13. Calcular los siguientes l´ımites. √ a) limx→∞ x2 + 2x − x b) limx→0

x sen x 1−cos x

c) limx→0

ex −a−x −2x x−sen x

14. Para cualquier n´ umero real a, se considera la función.  2  x + 2x, si − ∞ < x ≤ 0 sen (ax) , si 0 < x < π f (x) =  (x − π)2 + 1, si π ≤ x < ∞ a) Determinar los valores de a para los cuales f(x) es continua en todo R. Estudiar la derivabilidad de f(x) para cada uno de esos valores. b) Determinar un valor de b para el cual la función sen (bx) tenga exactamente 40 m´ınimos en el intervalo (0, π). Soluciones 1. a) 16 . b) 2. 2. a)a = 2, b = 1. b) S´ı. 3. 16 . 4. a)a = 1, b = −1 b) Derivable ∀x ∈ R − {−1} c) f −1 (0) = (−∞, −1]) ∪ {−1, 0, 1}. Máximo en x = − √13 , m´ınimo en x = √13 . ( ) 1 5. a = −3 b) Derivable en todo R, c) 34 , −9 . 7. 2 , b = 2 y c = −2. 6. a) a = −3, b = 0, 8 { kπ } π a) No existe, oscila. b) 2 − 1. 8. Dom (f ) = R − 3 , k ∈ Z . En x = 0 tiene l´ımite finito [ ] −1 y vele 2. 9. Dom(G) = −17 3 , 3 , Dom(H) = [−3, −1] ∪ [1, 3] , Dom(J) = [−4, 0] ∪ [1, 5]. 10. Ciertas ambas. 11. a) 49 , b) 18 . 12. Cierto. 13. a) 1 b)2 c)−∞ si a < e; ∞ si a > e; 2 si a = e. 14. a) La función es continua en x = 0, independientemente del valor de a. En x = 0 la función no es derivable. En x = π la función es derivable para cualquiera de los valores de a. b) b = 80.