I.E.S. Santa Irene.
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
1
Bolet´ın de Representaci´ on de funciones 1. Informaci´ on de f (x). 1.1. Dominio de f (x). Dom f = {x ∈ R| existe y = f (x)}. 1.2. Puntos de corte con los ejes. Con el eje y es y0 = f (0). Con el eje x se resuelve la ecuaci´on 0 = f (x). Pueden no existir. 1.3. Paridad. y = f (x) es par (sim´etrica respecto al eje y) si y s´olo si f (−x) = f (x). Es impar (sim´etrica respecto al origen) si y s´olo si f (−x) = −f (x). 1.4. Periodicidad. y = f (x) es peri´odica si ∃ τ ∈ R | f (x) = f (x + τ ) , ∀x ∈ Dom f . 1.5. Signo de f (x). Una funci´on y = f (x) puede cambiar de signo en los ceros y en las discontinuidades, por tanto, se debe hacer una partici´on de la recta real por dichos valores. 1.6. L´ımites 1.6.1. As´ıntotas horizontales. Si ∃ limx→±∞ f (x) = k < ∞ ⇒ y = k es una as´ıntota horizontal. 1.6.2. As´ıntotas verticales. Si ∃ a ∈ R tal que limx→a f (x) = ∞ ⇒ x = a es una as´ıntota vertical. 1.6.3. As´ıntotas oblicuas. = m y ∃ limx→±∞ (f (x) − m x) = b ⇒ y = m x + b Si ∃ limx→±∞ f (x) x es una as´ıntota oblicua.
2. Informaci´ on de f 0 (x). 2.1. Dominio de f 0 (x). Dom f 0 = {x ∈ R| existe y = f 0 (x)}. 2.2. Puntos notables derivables. f 0 (x) = 0. Son los valores x ∈ Dom f 0 tales que f 0 (x) = 0. Pueden ser m´aximos, m´ınimos relativos o puntos de inflexi´on.
2
I.E.S. Santa Irene.
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
2.3. Signo de f 0 (x). Crecimiento. Estudiando el signo de la derivada se determinan los intervalos de crecimiento de la funci´on. Si 0 < f 0 (x) ∀x ∈ I entonces f (x) es estrictamente creciente en dicho intervalo I. An´alogamente, es decreciente si f 0 (x) < 0 . 2.4. Extremos. La funci´on y = f (x) presenta un m´aximo relativo en xM ⇔ si ∀x ∈ (xM − δ, xM + δ) ∩ Dom(f ) se verifica que f (x) < f (xM ). Es decir si es un valor m´as alto que los que tiene a su alrededor. An´alogamente y = f (x) presenta un m´ınimo relativo en xm ⇔ si ∀x ∈ (xm − δ, xm + δ) ∩ Dom(f ) se verifica que f (x) > f (xm ). Es decir si es un valor m´as bajo que los que tiene a su alrededor. Proposici´ on 1 (Determinaci´ on de extremos derivables.) La funci´on y = f (x) presenta un m´aximo relativo en xM ∈ Dom f 0 ⇔ f 0 (xM ) = 0 y f 00 (xM ) < 0. La funci´on y = f (x) presenta un m´ınimo relativo en xm ∈ Dom f 0 ⇔ f 0 (xm ) = 0 y f 00 (xm ) > 0. Si f 0 (x0 ) = 0 y f 00 (x0 ) = 0 la proposici´on no decide y es necesario recurrir a otros criterios. Una funci´on puede tener extremos en puntos no derivables para lo cual se deben estudiar los intervalos de crecimiento. Si una funci´on antes de un punto xM de su dominio es creciente y despu´es decreciente entonces presenta un m´aximo relativo en xM . An´alogamente si antes de xm es decreciente y despu´es creciente xm es un m´ınimo.
3. Informaci´ on de f 00 (x) y siguientes. 3.1. Dominio de f 00 (x). Dom f 00 = {x ∈ R| existe y = f 00 (x)}. 3.2. Puntos de Inflexi´ on. f 00 (x) = 0. Si la funci´on y = f (x) es derivable en xi verificando que f 00 (xi ) = 0 siempre que f 000 (xi ) 6= 0 entonces presenta un punto de inflexi´on en xi . 3.3. Signo de f 00 (x). Concavidad. Si 0 < f 00 (x) en todo x ∈ I entonces f (x) es c´ oncava hacia arriba o convexa en dicho intervalo I. Si 0 > f 0 (x) es c´ oncava hacia abajo o c´ oncava en I. As´ı pues, estudiando el signo de la segunda derivada se determinan los intervalos de concavidad de la funci´on. Los puntos del dominio de la funci´on en los que esta cambia de concavidad son los puntos de inflexi´ on.
I.E.S. Santa Irene.
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
3
2. Ejercicios resueltos. Representaci´ on de la funci´ on y =
x3 x2 − 4
(1.1). Dominio de f (x). Dom f = R − {−2, 2}. (1.2). Puntos de corte con los ejes. Con el eje y: y = 0. 3 Con el eje x: 0 = x2x−4 ⇒ x = 0. (1.3). Paridad. (−x)3 x3 f (−x) = (−x) 2 −4 = − x2 −4 = −f (x). Es impar, sim´etrica respecto al origen.
6
4
2
-6
-4
-2
(1.5). Signo de f (x). Signo (−∞, −2) (−2, 0) (0, 2) x3 − − + 2 x −4 + − − f (x) − + +
2
4
6
-2
(2, ∞) + + +
El estudio del signo nos permite descartar las regiones del plano en las cuales no hay funci´on, es decir, la funci´on estar´a en las regiones en blanco de la figura 1.
-4
-6
Figura: 1. Informaci´on obtenida de los apartados 1.1 a 1.5
(1.6.1).As´ıntotas horizontales. 3 limx→±∞ x2x−4 = ±∞. No tiene. (1.6.2).As´ıntotas verticales. 3 limx→±2 x2x−4 = ∞ ⇒ x = −2 y x = 2 son as´ıntotas verticales.
6
4
2
(1.6.3). As´ıntotas oblicuas. 2 limx→±∞ f (x) = limx→±∞ x2x−4 = 1 y x limx→±∞ (f (x) − x) = limx→±∞ x24−4 = 0 ⇒ y = 1 x + 0 es la as´ıntota oblicua. Con la informaci´on representada en la figura 2 ya se puede hacer una previsi´on de como puede ser la gr´afica de la funci´on. Realizar un esbozo de la gr´afica es importante para que el estudio de la primera y segunda derivada sea concordante con los resultados obtenidos con anterioridad.
-6
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
Figura: 2. Informaci´on obtenida de los apartados 1.1 a 1.6
6
4
I.E.S. Santa Irene.
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
2. Informaci´ on de f 0 (x) =
x4 − 12 x2 . (x2 − 4)2
(2.1). Dominio de f 0 (x). Dom f 0 = R − {−2, 2}. (2.2). Puntos notables. f 0 (x) = 0. √ √ x4 −12 x2 2 2 3, x = 0 y x = 2 3. = 0 ⇒ x (x − 12) = 0 ⇒ x = −2 2 2 3 1 (x2 −4) Los correspondientes valores de y son:√ √ f (x1 ) = −3 3, f (x2 ) = 0 y f (x3 ) = 3 3. En conclusi´ √ on, √los puntos notables√son:√ P1 (−2 3, −3 3), P2 (0, 0) y P3 (2 3, 3 3) (2.3). Signo de f 0 (x). Crecimiento. Signo N(x) D(x) f 0 (x)
¡
√ ¢ ¡ √ ¢ −∞, −2 3 −2 3, −2 + − + + + − cre. dec.
(−2, 0) (0, 2) − − + + − − dec. dec.
¡
√ ¢ 2, 3 3 − + − dec.
¡ √ ¢ 3 3, ∞ + + + cre.
(2.4). Extremos. Seg´ un √ se desprende de la tabla de signos de f 0 (x) los puntos notables√son: √ √ aximo relativo, P2 (0, 0) punto de inflexi´ on y P3 (2 3, 3 3) P1 (−2 3, −3 3) m´ m´ınimo relativo. 3. Informaci´ on de f 00 (x) =
8 (x3 + 12 x) . (x2 − 4)3
(3.1). Dominio de f 00 (x). Dom f 00 = R − {−2, 2}.
12 10 8
(3.2). Puntos de Inflexi´ on. 8 (x3 +12 x) = 0 ⇒ x(x2 + 12) = 0 ⇒ x = 0. (x2 −4)3 Punto de inflexi´on (0, 0).
6 4 2
00
(3.3). Signo de f (x). Concavidad. Signo (−∞, −2) N(x) − D(x) + f 00 (x) − c↓
(−2, 0) − − + c↑
(0, 2) (2, ∞) + + − + − + c↓ c↑
Del estudio realizado en los anteriores apartados resulta la gr´afica representada en la figura 3
-10 -8 -6 -4 -2
2 -2 -4 -6 -8
-10 -12
Figura: 3.
4
6
8
10
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
I.E.S. Santa Irene.
5
2. Ejercicios propuestos. 1. Estudia las gr´aficas de las siguientes funciones polin´omicas. (a). (c). (e). (g).
y = 13 (x3 + 3x2 − 9x + 5) y = x3 − 6x2 + 12x − 7 y = x4 − 6x2 4 3 y = x12 − x2 + x2
(b). y = −x3 + 3x2 − 4x + 2 3 (d). y = −x3 + x 4 3 (f). y = − x4 + 7 3x − 5 x2 (h). y = 3 x5 − 5 x3
2. Estudia las gr´aficas de las siguientes funciones racionales. 2 2 (b). y = 2 (c). y = 2 x −4 x + 4x + 6 2 7x + 3 x − 12x + 27 (d). y = 2 (e). y = (f). y = x − 3x 2 − 2x (a). y =
x2 − 4 x2 − 1 x3 − 27x x2 + 3
3. Estudia las gr´aficas de las siguientes funciones exponenciales y logar´ıtmicas. x
−x
1
(a). y = 3 − 3 e 4 (b). y = −4 + 2 e 4 (c). y = e x −1 (d). y = 1 −¡e x2 ¢ (e). y = 1 −¡log (x2− ¢ 2) (f). y = 1 + log (2 − x) 2 (h). y = log x + 4 (i). y = log 4 − x 4. Ampliaci´on. Estudia las gr´aficas de las siguientes funciones circulares. ³x´ (a). y = 1 + 2 sen (π x) (b). y = −2 + cos (c). y = tan π (x − 1) ³ π ´2 (d). y = x + sen (π x) (e). y = x cos x (f). y = ex/2 sen (πx) µ ¶ µ2 ¶ 1 1 (g). y = sen (h). y = x sen x x 5. Ampliaci´on. Estudia las gr´aficas de las siguientes funciones circulares inversas. (a). y = arcsin x (b). y = arccos x (c). y = arctan x 1 (d). y = arctan (e). y = sen (arcsin x) (f). y = arcsin (sen x) x 6. Ampliaci´on. Estudia las gr´aficas de las siguientes funciones. (a). y = |x + 2| (b). y = −4 + |x2 − 4| (c). y = | cos x| (d). y = [x] parte entera. (e). y = {x} parte decimal. (f). y = x [x]
6
I.E.S. Santa Irene.
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
Soluciones: 15
¡ ¢ (1.a). y = 13 x3 + 3x2 − 9x + 5 = 2 = 13 (x + 5) (x − 1) Dominio: R ¡ ¢ Puntos de corte: (−5, 0), (1, 0) y 0, 53 . Paridad: no tiene. Derivada 1a : f 0 (x)¡ = x2 + ¢ 2x − 3. Puntos notables: −3, 32 m´aximo. (1, 0) m´ınimo. 3 Derivada 2a : f 00 (x) =¡ 2x + 2.¢ Puntos de inflexi´on: −1, 16 3 .
10
5
-5
-10
5
10
-5
-10
3 2 (1.b). y = −x ¡ 2+ 3x − 4x + ¢2 = = − (x − 1) x − 2x + 2 − 1
4
2
Dominio: R Puntos de corte: (1, 0) y (0, 2). Paridad: no tiene. Derivada 1a : f 0 (x) = −3x2 + 6x − 4. Puntos notables: no tiene. Derivada 2a : f 00 (x) = −6x + 6. Puntos de inflexi´on: (1, 0).
-4
-2
4
2
-2
-4
(1.c). y = ¡x3 − 6x2 + 12x ¢ −7= = (x − 1) x2 − 5x + 7
6 4
Dominio: R ¡ ¢ Puntos de corte: (1, 0), (0, −7) y 0, 53 . Paridad: no tiene. Derivada 1a : f 0 (x) = 3(x2 − 4x + 4). Puntos notables: (2, 1). Derivada 2a : f 00 (x) = 6x − 12. Puntos de inflexi´on: (2, 1).
2
2
4
-2 -4 -6
3
(1.d). y = −x +x= √ ¢ ¡ 3√ ¢ ¡ 1 = −3 x x + 3 x − 3 Dominio: R √ Puntos de corte: (± 3, 0) y (0, 0). Paridad: impar. Derivada 1a : f 0 (x)¡ = −x2¢+ 1. ¡ ¢ m´ınimo y 1, 23 m´aximo. Puntos notables: −1, −2 3 Derivada 2a : f 00 (x) = −2x. Puntos de inflexi´on: (0, 0).
6
4
2
-4
-2
2 -2
-4
-6
4
I.E.S. Santa Irene.
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
2 (1.e). ¡y = x√4 − ¢ ¡6x =√ ¢ 2 =x x+ 6 x− 6
7
6 4
Dominio: R √ Puntos de corte: (± 6, 0) y (0, 0). Paridad: es par. Derivada 1a : f 0 (x)¡ =√4(x3 −¢ 3x). Puntos notables: − 3, −9 m´ınimo, (0, 0) m´aximo ¡ √ ¢ y − 3, −9 m´ınimo. Derivada 2a : f 00 (x) = 12(x2 − 1). Puntos de inflexi´on: (−1, −5) y (1, −5).
4
2
-4
4
2 -2 -4 -6 -8 -10
3
(1.f). y = − x4 +¡7 3x − 5¢x2 = − 14 x2 (x − 6) x − 10 3 Dominio: R Puntos de corte: (0, 0), ( 10 3 , 0) y (6, 0). Paridad: no tiene. Derivada 1a : f 0 (x) = −10 x + 7 x2¡− x3 =. ¢ notables: (0, 0) m´aximo, 2, −16 m´ınimo y 3 ¡Puntos ¢ 5, 125 m´ a ximo. 12 2 Derivada 2a : f 00 (x) = −10 + ³ 14√x − 3 x . √ ´ 7± 19 47±56 19 Puntos de inflexi´on: , ' 3 81
12 10 8 6 4 2
-2
4
2
6
8
-2 -4 -6 -8
(0.8804, −2.4333) y (3.7863, 3.5938).
4
-2
-10
3
(1.g). y = x12 − x2 + x2 = x2 (12−6 x+x2 ) = 12
6
4
Dominio: R Puntos de corte: (0, 0). Paridad: no tiene. 2 3 Derivada 1a : f 0 (x) = 12 x−9 6x +2 x . Puntos notables: (0, 0) m´ınimo. Derivada 2a : f 00 (x) =¡ 2 − 3¢ x +¡ x2 . ¢ 7 y 2, 43 . Puntos de inflexi´on: 1, 12
2
-2 -2
(1.h).¡y = 3 x5¢ − 5 x3 = = x3 3x2 − 5 Dominio: R Puntos q de corte: (± 53 , 0) ' (±1.2910, 0) y (0, 0). Paridad: es impar. ¡ ¢ Derivada 1a : f 0 (x) = 15 −x2 + x4 . Puntos notables: (−1, 2) m´aximo, (0, 0) punto inflexi´on y (1, −2) m´ınimo. ¡ ¢ Derivada 2a : f 00 (x) = 30 −x + 2³x3 . ´ Puntos de inflexi´on: (∓0.7071, ±1.2374) y (0, 0).
∓
√ √ 7 2 2 2 ,± 8
4
2
'
4
2
-2
2
-2
-4
8
I.E.S. Santa Irene.
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
12
(2.a). y =
2 x2 −4
10 8
Dominio: R − {±2} Puntos de corte: no tiene. Paridad: es par. As´ıntotas: x = −2, x = 2 e y = 0. −4 x Derivada 1a : f 0 (x) = (−4+x 2 )2 . Puntos notables: (0, 0) m´aximo. 4 (4+3 x2 ) Derivada 2a : f 00 (x) = (−4+x2 )3 . Puntos de inflexi´on: no tiene.
6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
-2 -4 -6 -8 -10 -12
(2. b). y =
2 x2 +4x+6
Dominio: R Puntos de corte: (0, 31 ). Paridad: no tiene. As´ıntotas: y = 0. −4 (2+x) Derivada 1a : f 0 (x) = (6+4 . x+x2 )2 Puntos notables: (−2, 1) m´aximo. 4 (10+12 x+3 x2 ) Derivada 2a : f 00 (x) = (6+4 x+x2 )3 . ³ ´ ³ ´ √ √ Puntos de inflexi´on: −6−3 6 , 34 y −6+3 6 , 34 .
(2.c). y =
4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4
x2 −4 x2 −1
10 8
Dominio: R − {±1} Puntos de corte: (−2, 0), (2, 0) y (0, 4). Paridad: es par. As´ıntotas: x = −2, x = 2 e y = 1. 6x Derivada 1a : f 0 (x) = (−1+x 2 )2 . Puntos notables: (0, 4) m´ınimo. −6 (1+3 x2 ) Derivada 2a : f 00 (x) = (−1+x2 )3 . Puntos de inflexi´on: no tiene.
6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10
(2.d). y =
7x+3 x2 −3x
Dominio: R − {0, 3} Puntos de corte: (− 73 , 0). Paridad: no tiene. As´ıntotas: x = 0, x = 3 e y = 0. 9−6 x−7 x2 Derivada 1a : f 0 (x) = (−3+x) 2 2. x Puntos√notables:√ ´ ³ −3−6 2 −9+4 2 ' (−1.6408 , −1.1144) m´ınimo. , 3 ³ 7√ √ ´ −3+6 2 −9−4 2 , ' (0.7836 , −4.8856) m´aximo. 7 3 2 (27−27 x+9 x2 +7 x3 ) Derivada 2a : f 00 (x) = . (−3+x)3 x3 Puntos de inflexi´on: (−3, −1).
10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
I.E.S. Santa Irene.
(2.e). y =
x2 −12x+27 2−2x
20
Dominio: R − {1} Puntos de corte: (3, 0), (9, 0) y (0, 27 2 ). Paridad: no tiene. As´ıntotas: x = 1 e y = − 21 x − + 11 2 . 15+2 x−x2 a 0 Derivada 1 : f (x) = 2 (−1+x)2 . Puntos notables: (−3, 9) m´ınimo y (5, 1) m´aximo. −16 Derivada 2a : f 00 (x) = (−1+x) 3. Puntos de inflexi´on: no tiene.
(2.f). y =
9
15 10 5 -5
-15 -10
5
10
15
-5 -10 -15
x3 −27x x2 +3
Dominio: R √ Puntos de corte: (±3 3, 0) y (0, 0). Paridad: Impar. As´ıntotas: y = x. x2 +x4 Derivada 1a : f 0 (x) = −81+36 . (3+x2 )2 Puntos notables: q µ ¶ p √ √ 5 − −18 + 9 5 , −81+81 ' 2
(−1.45 , 7.08)
m´ aximo. µp ¶ q √ √ 5 −18 + 9 5 , − −81+81 ' 2
(1.45 , −7.08)
20 15 10 5 -20 -15 -10
Puntos de inflexi´on:
x
(3.a). y = 3 − 3 e 4
-4 -6 -8
6
8 10
15
-15 -20
(3, −9 2 ).
−x 4
14
2 -10 -8 -6 -4 -2 -2
10
-10
(1.b). y = −4 + 2 e
4
5 -5
m´ınimo. Derivada 2a : f 00 (x) =
−60 (−9 x+x3 ) . (3+x2 )3 9 (−3, 2 ), (0, 0) y
-5
12 2
4
6
8 10
10 8 6 4 2
-10 -12
-10 -8 -6 -4 -2 -2
-14
-4
2
4
20
10
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
I.E.S. Santa Irene.
−1
1
(3.c). y = e x
(3.d). y = 1 − e x2
2
14 12 10 -4
8
-2
4
2
6 4
-2
2 -8 -6 -4 -2 -2
4
2
6
8
(3.e). y = 1 − log(x − 2)
(3.f). y = 1 + log(2 − x)
4
6
2
4 2 -10 -2
2
4
6
8
-8
-4
-6
-2
10
2 -2
-2 -4
(3.g). y = log(x2 + 4)
(3.h). y = log(4 − x2 )
6 6 4 4
2
2 -10 -8 -6 -4 -2
4
2
6
8
10
-2
-10 -8
-6 -4
-2
2
4
6
-2 -4 -6
(4.b). y = −2 + cos
(4.a). y = 1 + 2 sen (π x)
2
3 2 1
4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1
¡x¢
-p 1
2
3 4
5
6
p
2p
3p
8
10
´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
I.E.S. Santa Irene.
(4.d). y = x + sen (π x)
(4.c). y = tan π (x − 1)
1
1 -4
-2
(4.e). y = x cos
4
2
-4
-2 -1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
¡π ¢ 2x
4
2
-1
(4.f). y = ex/2 sen (πx) 10 8 6
1 -10 -8 -6 -4 -2-1 -2 -3 -4 -5
4 2
4
6
8 10
2 -4 -2
2
4
-2 -4 -6 -8
(4.g). y = sen
¡1¢
(4.h). y = x sen
x
2
-2
x
2
2
-2
¡ -10 ¢ 1
-2
2
-2
11