´ Mar´ıa Mart´ınez Blanco. Profesor: Jose
I.E.S. Santa Irene.
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Bolet´ın de Derivaci´ on Definici´ on 1 (Funci´ on derivada.) La funci´on derivada de y = f (x) respecto a la variable x es la funci´on f 0 (x) dada por el l´ımite, si es que existe,1 f (x + ∆x) − f (x) f (x + h) − f (x) = lim . ∆x→0 h→0 ∆x h
f 0 (x) = lim
Ecuaci´ on de la recta tangente a f en el punto (xo , f (xo )): y = f (xo ) + f 0 (xo )(x − xo ) Ejemplo. El c´alculo, aplicando directamente la definici´on, de la derivada de la funci´on y = 14 x2 en el punto de abscisa x = 2, representado en la figura adjunta, se realiza como sigue: 1. Hallamos ∆y = f (2 + ∆x) − f (2). ∆y¡ = 14 (2 + ¢∆x)2 − 14 (2)2 = = 1 + 14 ∆x ∆x 2. Hallamos las pendientes medias: ∆y 1 = 1 + ∆x ∆x 4 3. Paso al l´ımite: µ f 0 (2) = lim
∆x→0
1 1 + ∆x 4
1
¶
A
2
2+h
=1
Teorema 2 Si y = f (x) es derivable en un punto x0 entonces y = f (x) es continua en x0 . √ El rec´ıproco no es cierto. Las funciones y = |x|, y = 3 x e , y = x sen x1 , 0 sen 10 = 0, son continuas en x = 0 y sin embargo no son derivables en x = 0. 3 2 1 -3 -2 -1 -1 1
1
2 1 1 2 3
-3 -2 -1 -1 -2
Son notaciones equivalentes: Df (x) (Cauchy S.XIX).
dy dx
1 2 3
(Leibnitz S.XVII)
-1
1 -1
≡ y 0 (Lagrange S.XVIII)
≡
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1
Derivadas de las funciones elementales.
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Tipo Potencial. Ejemplos.
Funci´ on n y=x y = x4 1 y=√ = x−n xn y= x √ y= 3x
Derivada y 0 = nxn−1 y 0 = 4x3 y 0 = x−n n+1 y 0 = 2√1 x 1 y0 = 3 √ 3 2 x
Dominio f 0 depende de n ∀x ∈ R ∀x ∈ R, x 6= 0 ∀x ∈ R, x > 0 ∀x ∈ R, x 6= 0
Exponencial.
y = ex y = ax
y 0 = ex y 0 = ax log a
∀x ∈ R ∀x ∈ R
Logar´ıtmica.
y = log x y = logb x
y0 = y0 =
y = sen x y = cos x y = tan x
y 0 = cos x y 0 = − sen x y 0 = 1 + tan2 x
∀x ∈ R ∀x ∈ R ∀x ∈ R, x 6=
y = arcsin x y = arccos x y = arctan x
y0 = y0 = y0 =
√ 1 1−x2 √ −1 1−x2 1 1+x2
∀x ∈ (−1, 1) ∀x ∈ (−1, 1) ∀x ∈ R
Circulares.
Inversas circ.
2
1 x
1 x log b
∀x ∈ R, x > 0 ∀x ∈ R, x > 0
π(2n+1) 2
Operaciones con funciones derivables. 1. Linealidad: y = αf (x) + βg(x) ⇒ y 0 = αf 0 (x) + βg 0 (x). 2. Producto: y = f (x)g(x) ⇒ y 0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x). 3. Cociente: y =
f (x) g(x)
⇒ y0 =
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x) . (g(x))2
Teorema 3 (Regla de la cadena.) Sean y = f (x) e y = g(x) funciones derivables en x y f (x), respectivamente. Si tiene sentido la composici´on de funciones f (x)
g(x)
A ⊂ R −−−−→ B ⊂ R −−−−→ C ⊂ R x ,→ f (x) ,→ y = (g ◦ f )(x) = g (f (x)) , entonces la funci´on compuesta es derivable, siendo (g◦f )0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x). Teorema 4 (De la funci´ on inversa.) Sea y = f (x) una funci´on derivable para la cual existe inversa, es decir, existe una funci´on f −1 tal que f ◦ f −1 = Identidad. En ese caso, la funci´on f −1 es 1 0 . derivable y (f −1 ) (x) = 0 −1 f (f (x))
3. Ejercicios.
3
3
Ejercicios.
1. Representa la funci´on derivada de las funciones dadas en los ejes reservados para ello. y
y
y
x
x
x
y¢
y¢
y¢
x
x
x
y
y
x
y
x
y¢
y
x
x
y¢
x
x
4
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y
y
y
x
x
x ¢
y¢
y
y¢
x
x
2. Halla, utilizando directamente la definici´on, la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados. Repres´entalo gr´aficamente. a) y = x2 en el punto de abscisa x = −2. b) y = c) y =
1 en el punto de abscisa x = 3. x 1 en el punto de abscisa x = −1. x2
Soluci´ on: 2
2
2
−(−2) a) f 0 (−2) = lim∆x→0 (−2) +2(−2)∆x+(∆x) = ∆x (−4+∆x)∆x = lim∆x→0 = lim∆x→0 (−4 + ∆x) = −4. ∆x
b) y 0 = lim∆x→0 c) y 0 = limh→0
1 1 x+∆x − x
∆x
1 (x+h)2
h
− x12
= lim∆x→0 = limh→0
x−x−∆x (x+∆x)x∆x
= − x12 . f 0 (3) = − 19 .
x2 −x2 −2xh−h2 (x+h)2 x2 h
= − x23 . f 0 (−1) = 2.
3. Halla, utilizando directamente la definici´on, la derivada de las siguientes funciones. Repres´entalo gr´aficamente. 3 (a) y = x2 − 4 x (b) y = x √ (c) y = x102 (d) y = x
Soluci´ on: ∆y (a) ∆y = ∆x(2x 4 + ∆x) ⇒ y 0 = ¢lim∆x→0 ∆x = 2x − 4 ¡ − dy ∆y 2 2 (b) ∆y = ∆x 3 x + 3 x ∆x + (∆x) ⇒ dx = lim∆x→0 ∆x = 3 x2 x h−10 h) (c) ∆y = h (−20 ⇒ f 0 (x) = − x203 2 √ (x+h) x2√ h √ 1 ⇒ Df (x) = 2 √ (d) ∆y = x + h − x = √x+h+ x x
x
3. Ejercicios.
5
4. Halla la pendiente de la funci´on y = x2 − 6x + 5 en el punto de abscisa x = 5. ¿Para qu´e valor de x la derivada vale −2?. Representa gr´aficamente los resultados. Sol.: f 0 (5) = 4. f 0 (2) = −2. 5. Halla la pendiente de la funci´on y = 2x+6 en el punto de abscisa x = −2. x+1 ¿Para qu´e valor de x la derivada vale −1?. Representa gr´aficamente los resultados. Sol.: f 0 (−2) = −4. f 0 (−3) = f 0 (1) = −1. 6. Halla los puntos (x,y) de la funci´on y = x2 − 8x + 3 en los que la derivada es cero. ´Idem para y = x3 − 12x. ´Idem para y = −x3 + 2x2 . Sol.: a) (4 , −13). b)(−2 , 16) y (2 , −16). c) (0 , 0) y ( 43 ,
32 27 ).
7. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la funci´on y = −x2 + 6x − 3 en el punto de abscisa x = 1. Representa gr´aficamente los resultados. ´Idem para la funci´on y = 122 en x = 2 Sol.: a) y = 4x − 2. b) y = −3x + 9. x 8. Deriva¡ las siguientes y comprueba la soluci´on. ¢ √funciones elementales 2 2 6−15x+5x 0 y = 6 − 5x + x x y = 2 √x −10 + 3 x4 4 (10−21 x3 +9 x4 ) y= y0 = (−7+4 x)2 −7 + 4 x √ √ y 0 = 3 x cos(x)+sen(x) y = 3 x sen x 3 3 x2 sen x y= y 0 = cos12 x cos x x log(x)) y = ex log10 x y 0 = e (1+x x log(10) √ arccos x 2 x−x y= y 0 = 1−xx √arccos 2 1−x log x y = (2 x + 3 cos x) (6 + 2 sen x) y 0 = 2 (6 + 2 x cos(x) + 3 cos(2 x) − 7 sen(x)) 9. Halla la derivada de las siguientes funciones indicando la composici´on de las funciones elementales que intervienen. 6
a) y = sen (3x2 + 2x)
x2 b) y = 3e q +¡ 7 ¢ c) y = arctan ((3x + 2)3 ) d) y = log x23x+1
Soluci´on: a) La composici´on de funciones con sus derivadas es: ¡ ¢ 3x2 +2x sen x x −−−−−−−→ 3x2 + 2x − −→ ¢ sen 3x2 + 2x ¡−−− 6x + 2 cos 3x2 + 2x ¡ ¢ 0 y la derivada es: y = (6x + 2) cos 3x2 + 2x . An´alogamente el resto. 6 2
x b) x −−− −→
−12 x3
c) y0 =
3x+2
6 x2
ex
−−−−→ 6 e x2
x −−−−−−→ 3x + 2 3 9 (2+3 x)2 1+(2+3 x)6
6
e x2 x3
3x+7
6
−−−−−−→ 3e x2 + 7 y 0 = 3
−−−−→ 3(3x + 2)2
(3x + 2)3
6
−36 e x2 x3
¡ ¢ arctan x −−−−−−−→ arctan (3x + 2)3 1 1+(3x+2)6
6
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3x x2 +1
d) x −−−−−−→
3x x2 +1
³
−−−−−→ log
−3(x2 −1) (x2 +1)2
y0 =
log x
3x x2 +1
x2 +1 3x
´
√ x
−−−−→ 2
r
³ log
3x x2 +1
´
1 r ³ ´ log x23x +1
2 1−x q . 3x log( 1+x 2)
2 x (1+x2 )
10. Halla la derivada de las siguientes funciones. √ 2x b) y = p a) y = √3x sen x x2 3 c) y = cos2 x d) y = log(arctan x) ¡ 1−x ¢ x −x e) y = log 1+x f) y = eex −e +e−x 2 g) y = ex (cos(x) + sen(x)) h) y = earcsin(3 x ) Soluci´on: a) y 0 = c) y 0 = e) y 0 =
√ √ 3 x cos(x)+ 3 sen(x) √ 2 x −2 sen(x) 2
1
3 cos(x) 3 2 (−1+x) (1+x)
g) y 0 = 2 ex cos(x)
b) y 0 =
2x (−2+x log 2) x3
d) y 0 =
1√ 2 (1+x2 ) arctan x log(arctan x) 4 e2 x (1+e2 x )2 2 6 x√ earcsin(3 x ) 4 1−9 x
f) y 0 = h) y 0 =
11. Halla las derivadas sucesivas y 0 , y 00 , ... y (n) de las siguientes funciones: a) y = x4
b) y = xn n ∈ N c) y = log x d) y = sen x
Soluci´on: a) y 0 = 4 x3 , y 00 = 12 x2 , y (3) = 24 x, y (4) = 24, y (n) = 0 ∀n > 4 b) y 0 = n xn−1 , y 00 = n(n − 1) xn−2 , y (3) = n(n − 1)(n − 2) xn−3 , ..., y (n) = n!, y (m) = 0 ∀m > n (3) (n) c) y 0 = x1 , y 00 = −1 = x23 , y (4) = −6 = (−1)n−1 (n−1)! x2 , y x4 , · · · , y xn d) y 0 =cos(x), y 00 = − sen(x), y (3) = − cos(x), y (4) = sen(x), · · · , sen x si n = 4k cos x si n = 4k + 1 y (n) = − sen x si n = 4k + 2 − cos x si n = 4k + 3
4. Teoremas fundamentales de la derivaci´on.
4
7
Teoremas fundamentales de la derivaci´ on.
Teorema 5 (de Rolle) Sea y = f (x) una funci´on definida en el intervalo [a, b] que cumple las siguientes hip´otesis: a) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] b) f es derivable en el intervalo abierto (a, b) c) f (a) = f (b), entonces ∃c ∈ (a, b) para el cual f 0 (c) = 0 Teorema 6 (del valor medio de Lagrange.) Sea y = f (x) una funci´on definida en el intervalo [a, b] que cumple las siguientes hip´otesis: a) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] b) f es derivable en el intervalo abierto (a, b) (a) entonces ∃c ∈ (a, b) para el cual f 0 (c) = f (b)−f b−a Teorema 7 (Regla de L’Hˆ opital.) Sea a ∈ R ∪ {±∞}. Si se cumplen las siguientes hip´otesis: a) Las funciones f (x) y g(x) est´an definidas y son derivables en un cierto entorno reducido de a, E ∗ (a) b) lim f (x) = lim g(x) = 0 o tambi´en lim f (x) = lim g(x) = ∞ x→a
x→a
x→a
c) g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ E ∗ (a) f 0 (x) d) existe el l´ımite lim 0 , x→a g (x) entonces tambi´en existe el l´ımite limx→a
f (x) g(x)
x→a
cumpli´endose que
f (x) f 0 (x) = lim 0 x→a g(x) x→a g (x) lim
5
Ejercicios.
Preguntas del tema en pruebas PAAU de Galicia de 2001 a 20062 1. La curva y = x3 + αx2 + βx + γ corta al eje OX en x = 1 y tiene un punto de inflexi´on en (3, 2). Calcular los puntos de la curva que tengan tangente paralela al eje OX. 2 Puedes consultar, entre otras, las p´aginas http://ciug.cesga.es y http://www.selectividad.profes.net donde est´an resueltos estos problemas con los criterios de correcci´on.
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2. En un tri´angulo is´osceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un rect´angulo de forma que uno de sus lados est´e sobre la base del tri´angulo y dos de sus v´ertices sobre los lados iguales. ¿Qu´e dimensiones debe tener el rect´angulo de ´area m´axima? 3. a) ¿Puede tener una funci´on polin´omica de grado dos un punto de inflexi´on? Razone la respuesta. b) Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inflexi´on de la funci´on y = lnxx 4. 1. a) ¿Pode haber d´ uas funci´ons distintas que te˜ nan igual funci´on derivada? Se a resposta ´e afirmativa, po˜ na un exemplo. Se, polo contrario, a resposta ´e negativa, raz´onea. b) Calcule a derivada da funci´on f (x) = |x − 2|en x = 2, se ´e posible. Represente a gr´afica da funci´on e, sobre ela, razoe a s´ ua resposta. 2
5. Dada f (x) = x −2x+2 , escriba a ecuaci´on da secante a f que une os x−4 puntos (−2, f (−2)) e (2, f (2)) ¿Existe un punto c no intervalo [-2,2] verificando que a tanxente ´a gr´afica de f en (c, f (c)) ´e paralela ´a secante que achou? En caso afirmativo razoe a s´ ua resposta e calcule c, en caso negativo razoe porque non existe. 6. Calcule a ecuaci´on da recta que pasa polo punto (3, 1) e tal que a ´area do tri´angulo formado por esta recta e os semieixos positivos coordenados sexa m´ınima. 7. a) ¿Que ´e un punto de inflexi´on dunha funci´on? b) Ache a condici´on que debe cumprir λ para que o polinomio x4 + x3 + λ x2 sexa c´oncavo nalg´ un intervalo. Determine o intervalo de concavidade en funci´on de λ. 8. Dada a par´abola f (x) = ax2 + bx + c, determine os valores de a,b e c sabendo que f ten un m´aximo no punto de abscisa x = −1/2 e a recta tanxente a f no punto (1, 3) ´e y = −3x + 6. 9. Un barco B e d´ uas cidades A e C da costa forman un tri´angulo rect´angulo en C. As distancias do barco ´as cidades A e C son 13 Km e 5 Km, respectivamente. Un home situado en A desexa chegar ata o barco B. Sabendo que pode nadar a 3 Km/h e cami˜ nar a 5 Km/h, ¿a que distancia de A debe abandoar a costa para nadar ata B se quere chegar o antes posible? 10. Demostre que a funcion dada por f (x) = tiva en (2, +∞).
4 x2 +x−2
e estrictamente posi-
11. a) Interpretaci´on xeom´etrica da derivada dunha funci´on nun punto. b) 3 Determine as abscisas dos puntos da curva y = x3 − x2 − 3x + 1 nos que a recta tanxente forma un ´angulo de 135o co sentido positivo do eixe de abscisas.
5. Ejercicios.
9
12. Deixamos caer unha pelota desde unha altura de 4 metros e, tras cada rebote, a altura acadada red´ ucese ´a metade da altura anterior. ¿Que altura acadar´a a pelota tras cada un dos cinco primeiros rebotes? ¿E tras o rebote vix´esimo? ¿E tras o n-´esimo rebote? Se an denota a altura acadada tras o n-´esimo rebote, obte˜ na unha cota superior e outra inferior desta sucesi´on. Calcule limn→∞ an . 13. a) Calcula a ecuaci´on da recta tanxente ´a gr´afica de f (x) = (x+1)e−x no punto de corte de f (x) co eixo OX. b) Calcula, para f (x) = (x + 1)e−x : intervalos de crecemento e decrecemento, extremos relativos, puntos de inflexi´on, concavidade e convexidade. c) Enunciado e interpretaci´on xeom´etrica do teorema do valor medio do c´alculo integral. 14. a) Enunciado e interpretaci´on xeom´etrica do teorema do valor medio do c´alculo diferencial. b) De entre t´odolos tri´angulos rect´angulos con hipotenusa 10 cm., calcula as lonxitudes dos catetos que corresponden ´o de ´area m´axima c) Calcula o valor de m, para que a ´area do recinto limitado pola recta y = mx e a curva y = x3 , sexa 2 unidades cadradas. 15. a) Calcula os valores de a e b para¡ que¢ a gr´afica de f (x) = ax + xb te˜ na un m´ınimo relativo no punto 21 , 4 . Para eses valores de a e b, calcula: as´ıntotas e intervalos de crecemento e decrecemento de f (x). 2 x b) Calcula limx→0 cosx2 ex−1 c) Definici´on de primitiva e integral indefinida dunha funci´on. Enunciado da regra de Barrow. 16. a) Definici´on de funci´on continua nun punto. ¿Que tipo de descon2 tinuidade ten en x = 0 a funci´on f (x) = xx ? b) Un arame de 170 cm. de lonxitude div´ıdese en d´ uas partes. Con unha das partes qu´erese formar un cadrado e coa outra un rect´angulo de xeito que a base mida o dobre da altura. Calcula as lonxitudes das partes nas que se ten que dividir o arame para que a suma das ´areas do cadrado e do rect´angulo sexa m´ınima c) Calcula a ´area do recinto limitado pola recta y = 2 − x e a curva y = x2 . Soluciones 1. α = −9, β = 24, γ = −16. (2, 4) y (4, 0). 2. Base=6, altura=5. 3. ¡ ¢ ¡ ¢ a) No. b) f c´oncava si x ∈ 0, e2/3 , f convexa si x ∈ e2/3 , ∞ , en x = e2/3 punto de inflexi´on. 4. a) S´ı, y = x2 e y = x2 + 3. b) En x = 2 la funci´ 5. ³ on√no es derivable. ´ √ √ ¢ ¡ −3− 9−24λ −3+ 9−24λ 3 x−8 , y = 6 . S´ı, c = 2 2 − 3 . 6. y = −3x + 6. 7. b) λ < 8 . 12 12 √ 8. a = −1, b = −1, c = 5. 9. Distancia a A=33/4 km. 10. Cierto. 11. b) x = 1 ± 3. 12. an = 2−(n−2) si n ≥ 0. limn→∞ an = 0. 13. a) y = e (x + 1) b) Creciente en (−∞, 0), decreciente en (0, ∞), en el punto (0, 1) hay un m´aximo, es c´oncava hacia abajo ¡ ¢ en (−∞, 1), es c´oncava hacia arriba en (1, ∞) y tiene un punto de inflexi´on en 1, 2e . c) √ Ver teor´ıa. 14. a) Ver teor´ıa. b) catetos = 5 2. c) m = 2. 15. a) a = 4, b = 1, as´ıntota vertical en x = 0 y oblicua y = 4x, decreciente en los intervalos (−1/2, 0) y (0, 1/2) y creciente en en resto. b) −1. c) Ver teor´ıa. 16. a) Evitable. b) Para el cuadrado 20 cm y
10
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para el rect´angulo 150 cm la superficie es m´ınima y vale 850 cm2 . c) 9/2.
Preguntas del tema en otras pruebas de selectividad 1. De todos los rect´angulos de diagonal igual a 1, halla las dimensiones del de ´area m´axima. x | no es derivable en x = 0. 2. Demuestra que la funci´on f (x) = | x2 +x+1 Comprueba tambi´en que en x = 0 presenta el valor m´ınimo absoluto.
3. La funci´on de coste total de producci´on de x unidades de un determinado producto es C(x) = 21 x2 + 3x + 200. Se define la funci´on de coste medio por unidad como C(x) = C(x) . ¿A qu´e nivel de producci´on ser´a x m´ınimo el coste medio por unidad? 4. Comprobar que se verifican las hip´otesis del teorema de Rolle para la funci´on f (x) = 3 cos2 x , en el intervalo [π/2, 3π/2]. Calcular tambi´en el valor al que se refiere la tesis del teorema. 5. Se considera la funci´on f (x) = 2x3 − 6x2 + 4. Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a la curva representada por esta funci´on en su punto de inflexi´on. Hacer tambi´en un gr´afica aproximada de la funci´on en un entorno de ese punto. 6. Entre todos los rect´angulos de ´area 3 m2 , encontrar las dimensiones del que tiene m´ınimo el producto de sus diagonales. 7. Enunciar el teorema de Rolle. Podemos aplicar este teorema a la 2 funci´on f (x) = ex −1 si el intervalo es [−1, 1]?. ¿Para qu´e valor α es f 0 (α) = 0? 8. Determinar los puntos de la curva y 2 = 4x que est´an a distancia m´ınima del punto (4, 0). ½ ax(x + 1), si x ∈ [−1, 0] 9. Sea g(x) la funci´on definida mediante: g(x) = x(x − 1)2 , si x ∈ (0, 1] ¿Para qu´e valores de a puede aplicarse el teorema de Rolle a la funci´on g en el intervalo [−1, 1]? Contestar razonadamente. 10. Demostrar que, para cualquier valor de m, la ecuaci´on x3 − 3x + m = 0 no tiene dos ra´ıces diferentes que pertenecen al intervalo [0, 1]. 1 x2 +1 , si x ≥ 0 11. Sea f(x) la funci´on dada por:f (x) = a x2 + sen (b x) + c, si x < 0 a)Encuentra los valores de las constantes a, b y c que hacen que f sea continua y derivable dos veces en x = 0. b) Para esos valores, calcula
5. Ejercicios.
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los m´aximos y m´ınimos de f y sus puntos de inflexi´on. c) Dibuja la gr´afica de f . 12. Demuestra que la funci´on y = esen x tiene un m´aximo relativo en x = π/2. 13. Calcula el ´area m´axima que puede tener un tri´angulo rect´angulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm. 14. Dada la funci´on f (x) = ex (x3 − 4x2 + 7x − 6), se pide estudiar: a) Dominio y as´ıntotas. b) Crecimiento y decrecimiento. M´aximos y m´ınimos. c) Concavidad y convexidad. d) Dibujar la gr´afica de x y sus as´ıntotas. 15. Dada la funci´on f (x) = √x+1 , se pide estudiar: a) Dominio, as´ıntotas x2 +1 y posici´on de la curva respecto de estas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. c) Concavidad y convexidad. d) Dibujar la gr´afica a partir de los resultados anteriores. Soluciones √ 1. Cuadrado de lado 2/2. 2. Ciertas √ ambas. 3. C(20) = ¡ 23. √4.¢ S´ı. x = π. 5. y = −6x + 6. 6. Un cuadrado de lado 3. 7. S´ı. α = 0. 8. 2, ±2 2 . 9. Cierto, por ser continua y decreciente en el √ intervalo (0, 1). 10. a) a = −1, b = 0, c = 1. b) M´aximo en x = 0, punto de inflexi´on en 33 . 11. Cierto. 12. 2 cm2 . 13. a) Dominio: R As´ıntota horizontal: y = 1 (x → −∞). b) Crecimiento: Si x ∈ (−∞, −1) f decrece. Si x ∈ (−1, 1) ∪ (1, ∞) f crece. M´ınimo en ¡ ¢ −1, −18 c) Convexa e ¡ ¢en x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 1). C´oncava en x ∈ (−3, 0) ∪ (1, ∞,) Puntos de inflexi´on: −3, −90 , (0, −6) y (1, −2e). 3 e 14. a) Dominio: R As´ıntotas horizontales: y = −1 (x → −∞). y = 1 (x → ∞) ¡ √ ¢ b) Crecimiento: Si x ∈ (−∞, 1) f crece. Si x ∈ (1, ∞)à f decrece. M´aximo!enà 1, 2 c) ! ³ √ √ ´ √ √ √ √ 3− 17 3− 17 3+ 17 7− 17 3+ 17 7+ 17 Convexa en x ∈ , 4 . Puntos de inflexi´on: , q 21 3 √17 , , q 21 3 √17 . 4 4 4 4
8
−
8
y
13.ai 13.ai x
14.ai 14.ai
4
8
+
8