Tema 1 Derivaci´ on. 1.1
Pendientes de rectas.
Para entender el concepto de derivada debemos partir de la pendiente de una recta. Recordemos su definici´on:
Definici´ on 1 Se llama pendiente, denotada m, entre dos puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) a la proporci´ on entre lo que var´ıa la ordenada y lo que var´ıa la abscisa al ir de un punto al otro, es decir: (1.1)
m (P1 , P2 ) =
∆y y2 − y1 = . ∆x x2 − x1
El aspecto gr´ afico, comentado en el siguiente ejemplo, es el que ahora m´as nos interesa.
Ejemplo 2 Halla la pendiente de los segmentos representados en la figura 1.1.
Para calcular la pendiente del segmento AB vemos el valor del punto A, que es (−4, 1) y el del B que resulta (2, 4), con lo cual, m (AB) =
1 4−1 = . 2 − (−4) 2
2
Tema 1. Derivaci´on.
4 2
A -4
B
-2
2
4
6
D 8
-2 -4
C
Figura 1.1: Pendientes pedidas: 12 ,
−7 2
y
3 4
Tambi´en se puede contar directamente: si nos trasladamos de A a B vemos que las abscisas avanzan 6 unidades, ∆x = 6 y las ordenadas 3, ∆y = 3, por lo que m (AB) = 36 . An´alogamente se determina: m (BC) = (−3)−4 = −7 , m (CD) = 0−(−3) = 34 . 4−2 2 8−4
1.2. Introducci´on al concepto de derivada
1.2 1.2.1
3
Introducci´ on al concepto de derivada Explicaci´ on preliminar.
El objetivo de esta introducci´on es mostrar las ideas que permiten generalizar el concepto de pendiente de una recta al caso de cualquier funci´on. Comenzamos con una pregunta: ¿si supones que vas caminando (de izquierda a derecha) por la curva de la figura 1.2, d´onde te parece que hay m´as pendiente, en el punto A o en el B?. y 12
10 A 8 B 6
4
2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
x
-2
Figura 1.2: ¿D´onde hay m´as pendiente en A o en B?.
Todos tenemos una idea clara de lo que es una pendiente, cuando vamos caminando lo percibimos en funci´on de los que nos cuesta subir o bajar. Por ello sabemos, sin temor a equivocarnos, que hay m´ as pendiente negativa en B que en A. Esto es sencillo, resulta algo m´as complicado cuantificar el valor de estas pendientes. Si trazamos la tangente a la curva en A y en B obtenemos una imagen como la representada en la figura 1.3. La tangente, como recta que es, tiene su pendiente y, como puedes comprobar en la gr´afica, en el punto A vale −1. Si hacemos lo mismo en B, vemos que la pendiente de su recta tangente ahora vale −2.
4
Tema 1. Derivaci´on.
y
y
12
12
10
10 A
8
8
6
6
4
4
2
2
B
-8
-6
-4
2
-2 -2
4
6
8
x -8
-6
-4
2
-2
4
6
8
x
-2
Figura 1.3: Pendiente de la curva en x = 2 y en x = 4. En resumen, para poder cuantificar la pendiente de una curva, hemos tenido que recurrir al trazado de la recta tangente ya que el valor de su pendiente es el que vamos a atribuir a la curva. En An´alisis cuando la pendiente es variable en vez de pendiente le llama derivada y se escribe f 0 (x) por tanto, en nuestro ejemplo decimos que la derivada de esa funci´on en 2 es −1 y se escribe formalmente f 0 (2) = −1. De igual modo f 0 (4) = −2 expresa la derivada (pendiente) de la funci´on en el punto B. Este es un proceso de generalizaci´on t´ıpico de las matem´aticas: para definir un concepto nuevo, m´as rico, de m´as alcance, nos apoyamos en los que ya tenemos para darles un significado m´as amplio. En este caso, la vieja idea de pendiente de una recta nos sirve para definir el nuevo concepto de derivada.
1.2. Introducci´on al concepto de derivada
1.2.2
5
Derivada de una funci´ on en un punto.
Estamos ya en condiciones de hacer una primera aproximaci´on al concepto de derivada. Es una definici´on provisional y m´as adelante daremos la definitiva. Definici´ on 3 (Derivada de una funci´ on en un punto.) Llamaremos derivada de una funci´on y = f (x) en el punto (xo , f (xo ) a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. La denotamos y 0 = f 0 (xo ) o Dy = Df (x0 )
Hay que advertir que para que esta definici´on tenga sentido es esencial que la funci´on admita el trazado de su tangente. Puede ocurrir que en alg´ un punto una funci´on carezca de tangente o, dicho en otras palabras, existen, como veremos, funciones que no son derivables. A fin de consolidar este concepto resolvemos un ejemplo. y
Ejemplo 4 Dibuja la tangente a la curva de la figura adjunta en los puntos de abscisa
x -4
-2
1 2
5
x ∈ {−4, −2, 1, 2, 5} y estima aproximadamente la derivada de la funci´on en dichos puntos.
Soluci´ on: Enfrenta una regla sobre la curva en el punto de abscisa x = −4 para poder ver su recta tangente en ese punto. Calcula la pendiente de esa recta que, aproximadamente, vale −3. Por tanto, su derivada en ese punto es: f 0 (−4) ' −3 En los puntos x = −2 y x = 2 es m´as sencillo ya que la tangente es horizontal en dichos puntos, por ello, f 0 (−2) = 0 y f 0 (2) = 0. Procediendo de forma an´aloga se comprueba que f 0 (1) ' 0.7 y f 0 (5) ' −5. En la siguiente gr´afica puedes comprobar los resultados anteriores.
6
Tema 1. Derivaci´on.
y
y
y
x -4 -2
12
5
x -4 -2
12
x
5
-4 -2
12
5
Figura 1.4: f 0 (−4) ' −3, f 0 (±2) = 0, f 0 (1) ' 0.7 y f 0 (5) ' −5.
1.2.3
Gr´ afica de la funci´ on derivada.
Representar gr´aficamente la funci´on derivada significa poner en movimiento lo que antes era est´atico. En efecto, hasta ahora hemos aprendido a ver la pendiente en un punto particular fijo, pero al moverlo, al hacer variar los valores de x, podremos ver la evoluci´on de las pendientes de la curva en su conjunto, es decir, representaremos la funci´on derivada. Todav´ıa no estamos ante un estudio cuantitativo, estamos aprendiendo a ver, no a calcular, la gr´afica de la derivada. Es pues un an´alisis cualitativo dirigido a la intuici´on y que carece de un procedimiento preciso. Intentamos intuir lo que m´as adelante aprenderemos a calcular. Utilizamos para la explicaci´on la funci´on de la figura 1.5. 12 10 8 6 4 2 -6 -4 -2
2
4
6
Figura 1.5: Si nos imaginamos movi´endonos sobre esa curva, de izquierda a derecha (obligatoriamente ya que es as´ı como avanzan las abscisas), nos encontramos en primer lugar una fuerte bajada (tramo en rojo) seguida de una zona poco pendiente (en verde), para terminar con una subida grande (en casta˜ no). In-
1.2. Introducci´on al concepto de derivada
7
tentemos reflejarlo en una gr´afica. ¿Cual de las siguientes tres gr´aficas puede reflejar la funci´on derivada de la par´abola.? Dy 8
Dy 8
Dy 8
6
6
6
4
4
4
2
2
2
x -6 -4 -2
2
4
6 -6 -4 -2
x 2
4
6 -6 -4 -2
x 2
4
6
Figura 1.6: ¿Cu´al es la gr´afica de la derivada?. La gr´afica gr´afica de la izquierda de la figura 1.6 corresponde a una curva que siempre est´a subiendo. Al principio con mucha pendiente para ir suaviz´andose y terminar otra vez ganando pendiente. No corresponde con lo que le ocurre en la par´abola. La representaci´on del centro describe una funci´on que comienza perdiendo pendiente positiva para a partir del cero comenzar a bajar, con lo que tampoco se trata de nuestra par´abola. Por u ´ltimo, la de la derecha de la figura 1.6 describe una curva que comienza con una fuerte bajada que va suaviz´andose para, a partir del cero, comenzar a crecer, poco al principio, pero ganando pendiente progresivamente. Esta gr´afica s´ı puede representar la variaci´on de las pendientes de nuestra funci´on. Veamos un segundo ejemplo, la t´ıpica loma que tenemos que subir y bajar, como la representada en la figura 1.7: Como es obligado, comenzamos a subir la loma por la izquierda. Al principio subimos muy moderadamente, por eso la gr´afica de la derivada es positiva pero pegada a eje de abscisas. La ascensi´on sigue haci´endose cada vez m´as fuerte hasta llegar al punto A, momento en el cual la pendiente comienza a suavizarse para acabar haci´endose horizontal (cero) en el punto B. Eso es lo que refleja la derivada: va subiendo hasta el punto A donde la derivada es m´axima y comienza a descender buscando el valor cero en B. A partir de la c´ uspide de la loma, B, comenzamos a bajar ganando cada vez m´as pendiente negativa hasta el punto C, instante a partir del cual se va haciendo una pendiente progresivamente m´as suave, pero siempre negativa. Eso es lo que refleja la funci´on derivada: sus valores son negativos en todo este tramo de bajada, al principio gana valor negativo hasta C, donde tiene su m´ınimo para, a partir de ah´ı, suavizarse buscando valores negativos cada
8
Tema 1. Derivaci´on.
B A
C
x
x
Figura 1.7: Las pendientes de una loma.
vez m´as pr´oximos al cero. Hagamos un tercer ejemplo: el de la funci´on representada en la figura 1.8, que podr´ıamos imaginar como la silueta de un tobog´an. Para dibujar la gr´afica de la funci´on derivada, lo mejor es comenzar situando aquellos puntos en los que la derivada es cero. En nuestro ejemplo se trata de los puntos A y C. Como se puede apreciar, la funci´on comienza siendo decreciente hasta el punto m´ınimo A, por tanto la derivada es negativa en esa zona. Al principio muy negativa para ir perdiendo valor absoluto e ir buscando el cero. De A hasta C la funci´on es creciente, con lo que su derivada es positiva. Cerca del m´ınimo es peque˜ na y va ganando pendiente hasta el punto B, momento a partir del cual vuelve a perder pendiente buscando nuevamente el cero. Por u ´ltimo, a partir del m´aximo, la funci´on es decreciente y en consecuencia la derivada vuelve a ser negativa. Al principio poca pendiente y cada vez m´as negativa. Lo descrito en estas frases es lo que est´a representado en azul en la gr´afica 1.8.
1.2. Introducci´on al concepto de derivada
9
y C
B
x
A
Dy
x
Figura 1.8: Las pendientes de un tobog´an.
10
Tema 1. Derivaci´on.
Ejercicio 5 De las gr´aficas de la figura 1.9 decide cu´al de ellas es la correcta y por qu´e.
y
y
x
Dy
y
x
Dy
x
Dy x
x x
Figura 1.9:
Soluci´ on. La primera gr´afica no puede ser correcta ya que despu´es del origen las pendientes de la funci´on son negativas mientras que en la supuesta derivada figuran positivas. La segunda tampoco puede ser correcta ya que las pendientes de la funci´on son negativas mientras que en la supuesta derivada figuran positivas. La tercera gr´afica es correcta ya que las pendientes de la funci´on son siempre negativas. Adem´as, comienza con muy poca pendiente para precipitarse hasta casi la vertical y a la derecha del origen comienza casi vertical buscando cada vez m´as la horizontal.
Ejercicio 6 Dibuja en la gr´afica inferior la funci´on derivada de las siguientes funciones.
1.2. Introducci´on al concepto de derivada
11
y 8
y 6
y 6
6
4
4
4
2
2
2
-8 -12
-10
-8
-6
-4
2
-2
4
6
-6
-4
2
-2
4
x
6
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
x
x
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-2
-4
-6
-8
-8
-8
-10
-10
-10
Dy 2
Dy 8
Dy 8
6
-8
-6
-4
2
-2
4
6
x
6
4
-2
4
-4
2
2
-12
-10
-8
-6
-4
2
-2
4
6
x
-6 -6
-4
-2
-2
-8
-2
-10
-4
-8
-12
-6
-10
-14
-8
-4
-6
y
y 10
y 12 10 8 6 4 2
-8
-6
-4
10
8
8
6
6
4
4
2
2
2
-2
4
6
8
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
2
4
6
8
x
-2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
-2
x
-4
-2
-4
-4
-6
-6
Dy 8
Dy 14
6
12
4
10
2
8
Dy 8 6 4 2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
6
x
-8
4
-2
-6
-4
-2 -2
2
-4
-4
-6
-8 -8
-6
-4
2
-2
4
6
8
x -6
-2
x
x
12
Tema 1. Derivaci´on.
Soluci´ on
y 8
y 6
y 6
6
4
4
4
2
2
2
-8 -12
-10
-8
-6
-4
2
-2
4
6
-6
-4
2
-2
4
x
6
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
x
x
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-2
-4
-6
-8
-8
-8
-10
-10
-10
Dy 2
Dy 8
Dy 8
6
-8
-6
-4
2
-2
4
6
x
6
4
-2
4
-4
2
2
-12
-10
-8
-6
-4
2
-2
4
6
x
-6 -6
-4
-2
-2
-8
-2
-10
-4
-8
-12
-6
-10
-14
-8
-4
-6
y
y 10
y 12 10 8 6 4 2
-8
-6
-4
10
8
8
6
6
4
4
2
2
2
-2
4
6
8
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
2
4
6
8
x
-2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
-2
x
-4
-2
-4
-4
-6
-6
Dy 8
Dy 14
6
12
4
10
2
8
Dy 8 6 4 2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
6
x
-2
4
-4
2
-8
-6
-4
-2 -2
-4
-6
-8 -8
-6
-4
2
-2
4
6
8
x -6
-2
x
x
1.3. C´alculo de la derivada de una funci´on en un punto.
1.3 1.3.1
13
C´ alculo de la derivada de una funci´ on en un punto. Explicaci´ on introductoria.
En los apartados anteriores hemos aprendido a ver la derivada de una funci´on en un punto como la pendiente de su tangente en dicho punto. Hora vamos intentar calcular lo que antes s´olo ve´ıamos. Para realizar la explicaci´on usaremos la funci´on y = 14 x2 . En la figura 1 vemos que la derivada de esta funci´on en el punto de abscisa x = 2 es 1. Escrito formanmente: f 0 (2) = 1. ¿Qu´e podemos hacer para calcularla?. y 12
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
x
-2
Figura: 1. f 0 (2) = 1. Recordemos que calcular la pendiente de la secante entre dos puntos cualquiera de la par´abola es muy f´acil. En la figura 2 est´a representada la secante entre los puntos A(2, 1) y B(6, 9). Su pendiente es Pm[2, 6] =
B
9
9−1 = 2. 6−2
El significado de esta pendiente es claro: si la pendiente entre esos dos puntos fuese siempre la misma, ser´ıa 2, en otras palabras, es la pendiente media entre esos dos puntos.
4
1
A 2 3 4 5 6
Figura: 2.
14
Tema 1. Derivaci´on.
An´alogamente, podemos calcular cualquier otra pendiente media entre dos puntos cualesquiera, por ejemplo entre 2 y 5, figura 3. El punto A(2, 1) no ofrece dificultad pero ahora del punto C s´olo conocemos su abscisa puesto que no podemos fiarnos de la gr´afica para determinar su ordenada. Esto no supone ning´ un atranco ya que si conocemos x = 5, calculamos y = f (5) =
9 C
1 2 25 5 = . 4 4
4
Disponemos ya de todos los datos necesarios para calcular la pendiente de la secante entre los puntos A y C: Pm(2, 5) =
f (5) − f (2) = 5−2
1
A 2 3 4 5 6
Figura: 3. 25 4
−1 = 1.75 , 3
como se puede comprobar gr´aficamente. En resumen, lo tratado anteriormente desemboca en la siguiente definici´on: Definici´ on 7 (Pendiente media.) Sea y = f (x) una funci´on y A y B dos puntos de su dominio. Llamamos pendientes media o tasa de variaci´on medis de la funci´on f entre dichos puntos a: (1.2)
Pm[A, B] =
∆y f (xA ) − f (xB ) = ∆x xA − xB
As´ı pues, sabemos calcular pendientes medias cualesquiera que sean los dos puntos A y B elegidos de una funci´on. En la figura 3 hemos a˜ nadido la secante entre A(2, 1) y D(4, 4) (puedes comprobar que su pendiente es Pm[2, 4] = 1.5) y podr´ıamos a˜ nadir todas las que quisi´eramos. Pero no debemos perder de vista el problema que nos ocupa. Queremos calcular la pendiente de y = 14 x2 en el punto A(2, 1) es decir, la pendiente de la tangente dibujada en azul en la figura 3. Pero hasta este momento hemos calculado u ´nicamente pendientes de secantes ente dos puntos de la curva y
1.3. C´alculo de la derivada de una funci´on en un punto.
15
queremos la pendiente en un punto solamente, ¿qu´e hacer?. 1 . Pues bien, ahora entra en juego la idea clave de este asunto. ¿Cual de las pendientes medias calculadas anteriormente se parece m´as a la pendiente ”instant´anea” que queremos hallar?. Si observamos la figura 4, la respuesta parece clara: cuanto m´ as se acerquen entre s´ı los puntos elegidos para trazar la secante m´ as se parecer´ a esta a la tangente que buscamos.
B
9 C D
4
1
A 2 3 4 5 6
Figura: 4.
Pongamos r´apidamente en pr´actica esta idea. ¿Hay algo que nos impida calcular las pendientes medias entre x = 2 y x = 2, 1?. Por la proximidad de estos dos puntos la pendiente de la secante trazada entre ellos tiene que ser ya muy parecida a la de la tangente. Pero si no parece suficiente podr´ıamos calcular la pendiente media entre x = 2 y x = 2.01, y as´ı sucesivamente. Dispongamos los c´alculos necesarios en forma de tabla.
1 Merece la pena hacer notar que si intent´asemos aplicar la pendiente media entre A y A saldr´ıa un contrasentido puesto que ∆x = 0 y ∆y = 0 al tratarse del mismo punto y por tanto m = 0/0. Este intento es un callej´on sin salida.
16
Tema 1. Derivaci´on.
1 4
62 − 1 = 6−2
8 = 4
2
1 4
52 − 1 = 5−2
21 = 12
1.75
1 4
42 − 1 = 4−2
3 = 3
1.5
2.12 − 1 = 2.1 − 2
0.1025 = 0.1
1.025
2.012 − 1 = 2.01 − 2
0.010025 = 0.01
1.0025
2.0012 − 1 = 2.001 − 2
0.00100025 = 0.001
1.00025
2.00012 − 1 = 2.0001 − 2
0.0001000025 = 0.0001
1.000025
···
···
Pm[2, 6] = Pm[2, 5] = Pm[2, 4] = 1 4
Pm[2, 2.1] =
1 4
Pm[2, 2.01] = Pm[2, 2.001] = Pm[2, 2.0001] = ···
1 4
1 4
···
¿Qu´e conclusi´on podemos obtener?. A la vista est´a que cuanto m´as nos acercamos al punto A(2, 1) las pendientes medias que hemos calculado marcan una tendencia clara. ¿Podr´ıas decir (¡adivina, adivinanza...!) cu´al deber´a ser el valor de la pendiente en x = 2?. Es claro que la pendiente deber´a ser 1. El problema planteado queda, pues, resuelto. Hemos calculado, independientemente de su representaci´on gr´afica, la pendiente de la funci´on y = 14 x2 en x = 2, resultando ser f 0 (2) = 1. Debemos insistir en la idea conductora: lo u ´nico que podemos calcular son las pendientes medias pero observando su evoluci´on hemos podido deducir (derivar) el valor de la pendiente de la tangente. Lo que estamos describiendo es un proceso de paso al l´ımite. Es un concepto matem´atico sutil y enormemente fruct´ıfero que ha costado mucho tiempo y suscitado grandes controversias hasta ser completamente aceptado. De ah´ı el cuidado que se ha de poner a la hora de introducirlo y que justifica la minuciosa exposici´on que hemos realizado.
1.3. C´alculo de la derivada de una funci´on en un punto.
17
Es hora de ordenar las ideas y conceptos de la explicados para sistematizar los procedimientos de c´alculo. Hemos realizado una gran cantidad de cuentas para hallar las pendientes medias puesto que calculamos una a una. Lo que vamos a intentar ahora es calcularlas todas juntas. En efecto: vamos a trabajar entre los puntos de abscisa x = 2 y x = 2 + ∆x. De ese modo, si ∆x = 4 estaremos calculando la pendiente entre 2 y 2 + 4 = 6, la primera de nuestra tabla. Si ∆x = 3 entonces hallar´ıamos m(2, 5), etc. Por ello, si calculamos para2 ∆x = h entonces, a cambio de trabajar con una letra, calcularemos las pendientes de todas las secantes entre 2 y 2 + h. (1.3)
¡ ¢ h 1 h2 2 h 1 + (2 + h) − 1 1 + h + − 1 ∆y h 4 4 Pm[2, 2 + h] = = 4 = = =1+ . ∆x h h h 4
Antes de continuar comprobemos que coincide con los valores de la tabla. Si h = 2 entonces Pm[2, 2 + 2] = 1 + 24 = 1 + 0.5 = 1.5. Si h = 0.1 entonces Pm[2, 2 + 0.1] = 1 + 0.1 = 1 + 0.025 = 1.025, etc. Efectivamente hemos 4 calculado lo mismo pero de una vez por todas. Por u ´ltimo, tendremos que realizar el paso al l´ımite cuando h → 0 de las pendientes medias Pm[2, 2 + h], y el resultado ser´a la derivada en x = 2:
(1.4)
µ ¶ ∆y h f (2) = lim = lim 1 + =1 ∆x→0 ∆x h→0 4 0
Lo realizado hasta ahora se puede visualizar. En la figura 5 est´an dibujadas las secantes y vemos, siempre que mentalmente pongas en movimiento la sucesi´on de im´agenes, como las pendientes de las secantes tienen por l´ımite, en azul, la pendiente de la tangente si h → 0. La gr´afica representa, por tanto, como las pendientes medias se van acercando a la derivada en la medida en que los puntos de la curva de abscisa 2 + h tienden a confundirse con x = 2.
1
A
2
2+h
Figura: 5.
2 Por razones de comodidad tipogr´afica es costumbre escribir h en vez de ∆x, pero no perdamos de vista su significado, lo que incrementamos x.
18
Tema 1. Derivaci´on.
1.3.2
Derivada de una funci´ on en un punto.
Estamos ya preparados para dar la versi´on definitiva del concepto de derivada.
Definici´ on 8 (Derivada de una funci´ on en un punto.) Sea y = f (x) una funci´on y (x0 , y0 = f (x0 )) un punto de su dominio. Llamamos derivada de la funci´on f en el punto de abscisa (x0 , denotada f 0 (x0 ), al l´ımite, si es que existe: (1.5)
f 0 (x0 ) = lim
∆x→0
∆x f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim . ∆x→0 ∆x ∆x
Son definiciones equivalentes:
(1.6)
f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim . x→x h→0 h x − x0 0
f 0 (x0 ) = lim
Son notaciones equivalentes:3
(1.7)
f 0 (x0 ) ≡ Df (x0 ) ≡
df dy (x0 ) ≡ (x0 ) ≡ Dy(x0 ) ≡ y 0 (x0 ). dx dx
Antes de continuar y a fin de consolidar los conceptos introducidos, resolvamos otro ejemplo que permita sistematizar el empleo de la definici´on. Ejemplo 9 Hallar, aplicando directamente la definici´on 8, la derivada de y = punto de abscisa x = 1.
4 x
en el
Procederemos al c´alculo de la derivada en tres pasos: Primer paso: hallamos los puntos que determinan la secante de la funci´on. ½ 4 La imagen de x = 1 es f (1) = 41 = 4 y= ⇒ 4 . La imagen de x = 1 + h es f (1 + h) = 1+h x ¡ ¢ 4 Los puntos son: (1, 4) y 1 + h , 1+h 3 dy dx
(Leibnitz S.XVII) ≡ y 0 (Lagrange S.XVIII) ≡ Df (x) (Cauchy S.XIX).
1.4. C´alculo de la funci´on derivada.
19
Segundo paso, hallamos la pendiente media entre esos puntos: ∆y f (1 + h) − f (1) = = ∆x h
4 1+h
−4 4−4−h −4 = = h (1 + h)h 1+h
Tercer paso, pasamos al l´ımite las pendientes medias: ∆y −4 = lim = −4 ∆x→0 ∆x h→0 1 + h
f 0 (1) = lim
4
1 1+h Figura: 6. Representaci´on del proceso seguido en la soluci´on del ejemplo 9.
1.4
C´ alculo de la funci´ on derivada.
La explicaci´on del apartado anterior se hizo tomando como referencia un punto fijo, el de abscisa x = 2. Sin embargo nada nos impide repetir todo lo dicho para cualquier otro punto del dominio de la funci´on y = 14 x2 . Por tanto, si es cualquiera, hag´amoslo en x. El resultado ya no ser´a, desde luego, un n´ umero si no una funci´on de x. La funci´ on derivada es la que permite calcular la pendiente de la funci´ on en cualquier punto de su dominio, si es que existe. Para calcularla se suele organizar las cuentas en los tres pasos que utilizamos anteriormente. As´ı, para hallar la funci´on derivada de y = 14 x2 procedemos como sigue.
20
Tema 1. Derivaci´on.
1. C´alculo de ∆y entre los puntos de abscisa x y x + ∆x: 1 1 x2 2x∆x (∆x)2 1 2 ∆y = f (x+∆x)−f (x) = (x+∆x)2 − x2 = + + − x = 4 4 4 4 4 4 =
(2x + ∆x) ∆x 4
2. Pendientes medias: ∆y (2x + ∆x) ∆x 2x + ∆x = = ∆x 4 ∆x 4 3. Paso al l´ımite: ∆y 2x + ∆x x = lim = . ∆x→0 ∆x ∆x→0 4 2
f 0 (x) = lim
As´ı pues, la par´abola y = 41 x2 tiene por funci´on derivada y 0 = x2 . Este resultado confirma lo que se hab´ıa visto en la figura 1.6[p´ag 7] y lo que hab´ıamos calculado en el caso particular del punto de abscisa x = 2. Sin m´as dilaci´on, damos la definici´on formal.
Definici´ on 10 (Funci´ on derivada.) La funci´on derivada de y = f (x) respecto a la variable x es la funci´on f 0 (x) dada por el l´ımite, si es que existe, f 0 (x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x) f (x + h) − f (x) = lim . h→0 ∆x h
Son notaciones equivalentes: f 0 (x) ≡ Df (x) ≡
df dy ≡ ≡ Dy ≡ y 0 . dx dx
Ejemplo 11 Halla, aplicando directamente la definici´on 10, la funci´on derivada de y = x8 . 1. C´alculo de ∆y entre los puntos de abscisa x y x + h: ∆y = f (x + h) − f (x) =
8 8 8x − 8x − 8h −8 h − = = x+h x (x + h) x (x + h) x
1.4. C´alculo de la funci´on derivada.
21
2. Pendientes medias: ∆y −8 h −8 = = ∆x (x + h) x h (x + h) x 3. Paso al l´ımite:
−8 −8 = 2. h→0 (x + h) x x
f 0 (x) = lim
Ejemplo 12 √ Halla, aplicando directamente la definici´on 10, la funci´on derivada de y = x. 1. C´alculo de ∆y entre los puntos de abscisa x y x + h: ∆y = f (x + h) − f (x) =
√
x+h−
√
¢2 √ 2 x + h − ( x) √ = √ x+h+ x
¡√ x=
x+h−x h =√ √ =√ √ x+h+ x x+h+ x 2. Pendientes medias: ∆y h 1 = ¡√ √ ¢ =√ √ ∆x x+h+ x h x+h+ x 3. Paso al l´ımite: f 0 (x) = lim √ h→0
1 1 1 √ = √ . √ =√ x+ x 2 x x+h+ x
22
Tema 1. Derivaci´on.
1.4.1
Ecuaci´ on de la recta tangente
Proposici´ on 13 Sea y = f (x) una funci´on derivable en x0 . La ecuaci´on de la recta tangente f en el punto (xo , f (xo )) es:
y = f (xo ) + f 0 (xo )(x − xo )
(1.8)
Demostraci´ on De la recta tangente sabemos: su pendiente, f 0 (xo ) y uno de sus puntos, el (xo , f (xo )). Por tanto, f 0 (xo ) = pedida.
∆y ∆x
=
y−f (x0 ) x−x0
y despejando resulta la f´ormula
¤
Ejemplo 14 Halla la ecuaci´on de la recta tangente a y = 8 en el punto de abscisa x = 6. x−2
y 12
10
Ordenamos los c´alculos:
8
6
8 • f (6) = 6−2 = 2. El punto de tangencia es (6, 2). −8 • f 0 (x) = (x−2) Por tanto: f 0 (6) = 2. −8 = −1 . (6−2)2 2
• Por ¡u ´ltimo: y = f (6) + f 0 (6) (x − 6) = ¢ −1 2 + 2 (x − 6). Operando resulta que la ecuaci´on de la tangente pedida es:
4
2
-4
2
-2
4
6
8
-2
-4
-6
y=
−1 x+5 2
-8
-10
En la figura adjunta puede comprobarse gr´aficamente el resultado.
Figura: 7. Recta tangente en el punto (6, 2)
10
12
x
1.4. C´alculo de la funci´on derivada.
23
Ejemplo 15 Halla la ecuaci´on de la recta tangente a y = √ 4 x + 3 en el punto de abscisa x = −2. Ordenamos los c´alculos: √ • f (1) = 4 −2 + 3 = 4. El punto de tangencia es (−2, 4).
y 16
14
1 • f 0 (x) = 4 2√x+3 . Por tanto: f 0 (−2) = 1 4 2√−2+3 = 2.
12
10
8
• Por u ´ltimo: y = f (−2) + 0 f (−2) (x + 2) = 4 + 2(x + 2). Operando resulta que la ecuaci´on de la tangente pedida es: y = 2x + 8
6
4
2
-6
-4
2
-2
4
6
8
-2
En la figura adjunta puede comprobarse gr´aficamente el resultado.
Figura: 8. Recta tangente en el punto (6, 2)
10
12
x
24
Tema 1. Derivaci´on.
1.5
Derivadas de las funciones elementales
1.5.1
Derivada de y = xn .
Vamos a obtener la f´ormula que nos permite derivar cualquier funci´on potencial. Para ello comenzamos con dos casos particulares, y = x2 e y = x3 que generalizaremos posteriormente. Propiedad 16 Si y = x2 entonces y 0 = 2 x Demostraci´ on 1. ∆y = f (x + h) − f (x) = (x + h)2 = x2 + 2 x h + h2 − x2 = h (2 x + h). 2.
∆y h (2 x + h) = = 2x + h ∆x h
3. f 0 (x) = lim (2 x + h) = 2 x. h→0
¤
Propiedad 17 Si y = x3 entonces D (x3 ) = 3 x2 Demostraci´ on 1. f (x + ¡∆x) = (x + ∆x)3 − x3¢ = x3 + 3 x2 ∆x + 3 x (∆x)2 + (∆x)3 − x3 = = ∆x 3 x2 + 3 x ∆x + (∆x)2 . ¡ ¢ ∆x 3 x2 + 3 x ∆x + (∆x)2 ∆y 2. = = 3 x2 + 3 x ∆x + (∆x)2 . ∆x ∆x ¡ ¢ ¡ ¢ 3. D x3 = lim 3 x2 + 3 x ∆x + (∆x)2 = 3 x2 . ∆x→0
¤
Proposici´ on 18 Si y = xn con n ∈ N entonces
dy dx
= n xn−1 .
Demostraci´ on Para demostraci´on debemos aplicar la f´ormula del binomio de Newton que recordamos a continuaci´on: ¡ ¢ (x + h)n = xn + n xn−1 h + n(n−1) xn−2 h2 + · · · + ni xn−i hi + · · · + hn 2 ¡ ¢ n n−1 h+ n(n−1) xn−2 h2 +· · ·+ n xn−i hi +· · ·+ 1. ∆y = f (x+h)−f 2 i ³ (x) = x +n x ´ ¡ ¢ n−2 h + · · · + n xn−i hi−1 + · · · + hn−1 hn − xn = h n xn−1 + n(n−1) x 2 i 2.
∆y = ∆x
³ h n xn−1 +
= n xn−1
n(n−1) 2
xn−2 h + · · · +
¡n¢ i
xn−i hi−1 + · · · + hn−1
µh ¶ n n−i i−1 n(n − 1) n−2 x h + ··· + x h + · · · + hn−1 + 2 i
´ =
1.5. Derivadas de las funciones elementales
25
µ µ ¶ ¶ dy n(n − 1) n−2 n n−i i−1 n−1 n−1 + 3. = lim n x x h + ··· + x h + ··· + h = dx h→0 2 i = n xn−1
¤ En definitiva disponemos de una f´ormula y 0 = n xn−1 , que nos permite obtener derivadas de una forma mec´anica y r´apida sin necesidad de recurrir al largo proceso de paso al l´ımite. Veamos un ejemplo: la derivada de y = x4 − 5 x3 + 3 x2 − 2 x + 7 es y 0 = 4 x3 − 15 x2 + 6 x − 2, es decir se obtiene instant´aneamente. Aunque la demostraci´on se ha realizado para el caso n ∈ N, es aplicable a cualquier valor real. Veamos casos particulares importantes: • Funci´on potencial con exponente real: y = xπ ⇒ y 0 = π xπ−1 • Funciones racionales: y=
1 −n −n 0 −n−1 = x ⇒ y = −n x = xn xn+1
• Funciones irracionales: y=
√ n
1
x = xn ⇒ y 0 =
1 1 −1 1 −n+1 1 xn = x n = √ n n n n xn−1
En la figuras 9, 10 y 11 puedes verificar gr´aficamente las derivadas de tres casos particulares de funciones potenciales.
26
Tema 1. Derivaci´on.
-4
y 10
y 10
y 10
8
8
8
6
6
6
4
4
4
2
2
2
2
-2
4
x -4
2
-2
4
x
-2
-2
-2
-4
-4
-4
-6
-6
-6
-8
-8
-10
2
4
6
2
4
6
x
-8
-10 -10
Dy 18
16 -4
-4
Dy 18
Dy 2
2
-2
4
x
16
14
-2
14
12
-4
12
10
-6
10
8
-8
8
6
-10
6
4
-12
4
2
-14
2
2
-2
4
x
-2
-16
x
-18 -2
Figura: 9. y = x3 ⇒ y 0 = 3 x2
1.5.2
Figura: 10. y = x1 ⇒ y 0 =
−1 x2
√Figura: 11. y = x ⇒ y0 =
Derivada de la funci´ on exponencial y logar´ıtmica.
Las f´ormulas de derivaci´on de las funciones trascendentes ser´an enunciadas y representadas para reforzar gr´aficamente resultados pendientes de demostraci´on formal.
1 √ 2 x
1.5. Derivadas de las funciones elementales
Exponencial
Logar´ıtmica
-6
-4
27
Funci´ on
Derivada
Dominio f 0 (x)
y = ex y = bx
y 0 = ex y 0 = bx log b
∀x ∈ R ∀x ∈ R
y = log x
y0 =
y = logb x
y0 =
1 x
1 x log b
∀x ∈ R, x > 0 ∀x ∈ R, x > 0
y 14
y 14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
2
-2
4
x -4
-2
-2
-4
-2
10
-2
8
-4
6
-6
4
-8
2
-10
2
-2
2
4
x
Dy 2
12
-4
4
-2
Dy 14
-6
2
4
x
-12
-2
Figura: 12. y = ex x ⇒ y 0 = ex
x
-14
Figura: 13. y = 0.5 ⇒ y 0 = 0.5x log 0.5 x
28
Tema 1. Derivaci´on.
y 4
y 6
2
4
2
-2
4
6
8
2
x
-2
-2
-4
-2
-6
-4
4
6
8
2
4
6
8
x
Dy 2
Dy 8
6
-2
4
-2
2
-4
2
-2
2
4
6
8
x
x
-6
-8
-2
Figura: 15. y = log0.5 x ⇒ y 0 =
Figura: 14. y = log x ⇒ y 0 =
1 x
−1.4427 x
1 x log 0.5
=
1.5. Derivadas de las funciones elementales
1.5.3
29
Derivada de las funciones circulares.
Las f´ormulas de derivaci´on de las funciones circulares y sus inversas son:
Circulares
Funci´ on
Derivada
Dominio f 0 (x)
y = sen x y = cos x
y 0 = cos x y 0 = − sen x
∀x ∈ R ∀x ∈ R
y = tan x
y 0 = 1 + tan2 x =
1 cos2 x
1 1 − x2 −1 y = arccos x y 0 = √ 1 − x2 1 0 y = arctan x y = 1 + x2
Inversas
y0 = √
y = arcsin x
∀x ∈ (−1, 1) ∀x ∈ R
y
-6
-4
y 2
2
-2
4
6
8
x -8
-6
-4
-2
-2
-8
-6
-4
2
4
6
8
2
4
6
8
x
-2
Dy
Dy
2
2
2
-2
π(2n + 1) 2
∀x ∈ (−1, 1)
2
-8
∀x ∈ R, x 6=
4
6
-2
Figura: 16. y = sen x ⇒ y 0 = cos x
8
x -8
-6
-4
-2
-2
Figura: 17. y = cos x ⇒ y 0 = − sen x
x
30
Tema 1. Derivaci´on.
y 8
6
4
2
-2 Π
-Π
x
2Π
Π
y -2
-4 Π 2
-6
x
1
-1
-8
Dy
-Π
2
14
12
Dy 4
10
8
2
6
4
-
5Π 2
-2 Π
-
3Π 2
-Π
-Π
2
Π 2
Π
3Π 2
2Π
5Π 2
x
1
-1
2
x
Figura: 18. y = tan x ⇒ y 0 = cos12 x = 1 + tan2 x
-2
Figura: 19. y = arctan x ⇒ y 0 =
1 1+x2
1.5. Derivadas de las funciones elementales
y
31
y
Π 2
Π
1
-1
x
-Π
2
1
-1
Dy
Dy
6
1
-1
-1
x
4
-2
2
-4
1
Figura: 20. y = arcsin x ⇒ 1 y 0 = √1−x 2
x
-6
Figura: 21. y = arccos x ⇒ −1 y 0 = √1−x 2
x
32
1.5.4
Tema 1. Derivaci´on.
Tabla de funciones derivadas.
Tipo Potencial. Ejemplos.
Dominio f 0 (x) depende de n ∀x ∈ R ∀x ∈ R, x 6= 0 ∀x ∈ R, x > 0 ½ ∀x ∈ R, x 6= 0 si n es impar ∀x ∈ R+ , x 6= 0 si n es par
Funci´ on n y=x y = x4 1 y=√ = x−n xn y= x √ y= nx
Derivada y 0 = nxn−1 y 0 = 4x3 y 0 = x−n n+1 y 0 = 2√1 x
Exponencial.
y = ex y = bx
y 0 = ex y 0 = bx log b
Logar´ıtmica.
y = log x y = logb x
y0 = y0 =
y = sen x y = cos x y = tan x
y 0 = cos x y 0 = − sen x y 0 = 1 + tan2 x
∀x ∈ R ∀x ∈ R ∀x ∈ R, x 6=
y = arcsin x y = arccos x y = arctan x
y0 = y0 = y0 =
√ 1 1−x2 √ −1 1−x2 1 1+x2
∀x ∈ (−1, 1) ∀x ∈ (−1, 1) ∀x ∈ R
Circulares.
Inversas circ.
y0 =
n
1 √ 3 n−1 x
1 x
1 x log b
∀x ∈ R ∀x ∈ R ∀x ∈ R, x > 0 ∀x ∈ R, x > 0
π(2n+1) 2
1.6. Operaciones con funciones derivables
33
1.6
Operaciones con funciones derivables
1.6.1
La derivada ante desplazamientos verticales
Dos funciones desplazadas verticalmente tienen la misma funci´on derivada. Escrito formalmente:
y 8
(1.9) y = v + f (x) ⇒ y 0 = f 0 (x)
6
Si lo enfocamos desde un punto de vista gr´afico, la justificaci´on de esta propiedad es inmediata. En la figura 22 est´an representadas las funciones f (x) = x2 y g(x) = 2 + x2 . En el punto de abscisa x = 2, se ve que las derivadas f 0 (2) = 4 y g 0 (2) = 4 son iguales. La pendiente de ambas tangentes es la misma, una representada dos unidades m´as arriba que la otra, pero iguales. En la figura 23 est´a reflejada la funci´on derivada com´ un. y 16
y 16
14
14
12
12
10
10
8
8
4
2
-3 -2 -1
1
2
3
1
2
3
x
Dy 4
2
-3 -2 -1
x
-2
-4 -3 -2 -1
6
6
4
4
2
2
1
2
3
4
x -4 -3 -2 -1
-4
1
2
3
4
x
Figura: 23. D (f (x)) = D (v + f (x))
Figura: 22. f 0 (2) = g 0 (2) = 4
1.6.2
La derivada ante desplazamientos horizontales
Sea y = f (x) una funci´on e y 0 = f 0 (x) su derivada. Si sustituimos x por x − h, estaremos realizando una traslaci´on horizontal de h unidades tanto en la funci´on como en la derivada, es decir, (1.10)
y = f (x − h) ⇒ y 0 = f 0 (x − h).
34
Tema 1. Derivaci´on.
8 −8 As´ı por ejemplo, y = 2+ x−3 ⇒ y 0 = (x−3) 2 . Como se aprecia en la figura 24, al desplazar horizontalmente 3 unidades la funci´on y = x8 , desplazamos con ella su derivada.
y 6
4
2
-2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-2
Dy
-2 -1
x
-2
-4
-6
-8
Figura: 24. y = f (x − h) ⇒ y 0 = f 0 (x − h)
1.6.3
La derivada ante cambios de escala
Sea y = f (x) una funci´on e y 0 = f 0 (x) su derivada. Como se sabe, si sustituimos y por ky , estaremos realizando un cambio de escala de k unidades en el eje de ordenadas, tanto en la funci´on como en su derivada, es decir,
(1.11)
y = k f (x) ⇒ y 0 = k f 0 (x).
√ En la figura 25 est´ a n representadas las funciones f (x) = x + 3 y g(x) = √ 4 x + 3. Como se puede apreciar se pasa de la funci´on f (x) a g(x) ”estirando” el eje Y 4 veces. Por tanto la pendiente de la tangente dibujada tambi´en quedar´a multiplicada por 4: g 0 (−2) = 2 = 4 · 12 = 4 f 0 (−2)
1.6. Operaciones con funciones derivables
35
y
y
16
16
14
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
-6
-4
2
2
-2
4
6
8
10
12
x -6
-4
-2
2
-2
4
6
-2
Figura: 25. D (4 f (x)) = 4 D (f (x))
y 8
6
4
2
-3 -2 -1
1
2
3
1
2
3
x
Dy 4
2
-3 -2 -1
x
-2
-4
Figura: 26. y = k f (x) ⇒ y 0 = k f 0 (x)
8
10
12
x
36
Tema 1. Derivaci´on.
1.6.4
Derivada de una suma de funciones
Sean y = f (x) e y = g(x) dos funciones derivables, entonces, (1.12)
(f + g) 0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
Vamos a hacer una demostraci´on basada en la intuici´on geom´etrica. Por comodidad hemos llamado u = f (x) y v = g(x), de modo que la funci´on suma la podemos representar como y = u + v. Por definici´on, la derivada de y = u + v es (en notaci´on de Leibnitz): dy ∆y ∆ (u + v) = lim = lim dx ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x Ahora bien, si observamos la figura 27 resulta evidente que ∆ (u + v) = ∆u + ∆v (lo que aumenta la suma es la suma de lo que incrementan los sumandos), por tanto, ∆ (u + v) ∆u + ∆v ∆u ∆v du dv = lim = lim + lim = + ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x ∆x dx dx lim
En definitiva, hemos probado que d(u + v) du dv = + . dx dx dx u +v u
Du
D(u+v) v
Dv
Figura: 27. ∆ (u + v) = ∆u + ∆v −1 x2
Por ejemplo,si nos dan, la funci´on y = x1 + sen x, su derivada ser´a y 0 = + cos x, naturalmente la suma de derivadas.
1.6.5
Derivada de un producto de funciones
Sean y = f (x) e y = g(x) dos funciones derivables, entonces, (1.13)
(f · g) 0 (x) = f 0 (x) g(x) + f (x) g 0 (x)
Por definici´on, la derivada de y = u · v es dy ∆y ∆ (u · v) = lim = lim dx ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
1.6. Operaciones con funciones derivables
37
Ahora bien, ∆(u · v) 6= ∆u · ∆v y esto hace que el comportamiento del producto sea m´as complicado que en el caso de la suma. En efecto, ∆(u · v) = (u + ∆u) · (v + ∆v) − u · v = v · ∆u + u · ∆v + ∆u · ∆v. En la figura 28 se ha representado en la imagen izquierda ∆(u · v) en rojo y en la imagen derecha se aprecia ∆(u · v) como la suma de los tres rect´angulos obtenidos. Aplicamos este resultado y resulta: ∆ (u · v) v · ∆u + u · ∆v + ∆u · ∆v ∆u ∆v ∆u · ∆v = = ·v+u· + , ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x y por paso al l´ımite de esta expresi´on obtendremos la derivada: ¶ µ d (u · v) ∆u ∆v ∆u · ∆v = lim ·v+u· + = ∆x→0 dx ∆x ∆x ∆x ∆u ∆v ∆v · v + u · lim + lim (∆u) · lim = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x dv dv du ·v+u· +0· = dx dx dx
= lim
Es claro que lim∆x→0 (∆u) = 0 para cualquier funci´on continua puesto que si la variable independiente se hace 0 entonces la variable dependiente tambi´en se hace nula. Por tanto, hemos probado que: d (u · v) du dv = ·v+u· dx dx dx u
Du
u.v
v
u.v
v.Du
Dv
u.Dv
Du.Du
Dv
D( u. v
)
v
u
Du
Figura: 28. ∆ (u · v) = v · ∆u + u · ∆v + ∆u · ∆v Ejemplo 19 √ Halla la funci´on derivada de y = x3 · x − 4. Aplicamos la f´ormula que acabamos de obtener y resulta: √ ¡ ¢√ ¡√ ¢ 1 y 0 = D x3 x − 4 + x3 D x − 4 = 3 x2 x − 4 + x3 √ 2 x−4 Operando esta expresi´on da y0 =
7x3 − 24x2 √ 2 x−4
38
Tema 1. Derivaci´on.
1.6.6
Derivada de un cociente de funciones
Sean y = f (x) e y = g(x) dos funciones derivables, con g(x) 6= 0, entonces, µ ¶0 f f 0 (x) g(x) − f (x) g 0 (x) (x) = g [g(x)]2
(1.14)
³ ´ f Demostraci´ on µ ¶ ∆ g f Por definici´on D = lim . Calculemos la funci´on derivada en tres ∆x→0 ∆x g pasos. 1. ∆
µ ¶ f f (x + h) f (x) f (x + h) · g(x) − f (x) · g(x + h) = − = = g g(x + h) g(x) g(x + h) · g(x)
=
f (x + h) · g(x) + [f (x) · g(x) − f (x) · g(x)] − f (x) · g(x + h) = g(x + h) · g(x)
=
[f (x + h) − f (x)] · g(x) − f (x) · [g(x + h) − g(x)] g(x + h) · g(x) ³ ´
2.
∆
f g
[f (x + h) − f (x)] · g(x) − f (x) · [g(x + h) − g(x)] = h · g(x + h) · g(x) µ h ¶ f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) 1 · g(x) − f (x) · · h h g(x + h) · g(x) =
³ ´ 3. lim
∆
f g
= ·h ¸ · ¸ · ¸ g(x + h) − g(x) 1 f (x + h) − f (x) ·g(x)−f (x)· lim · lim = = lim h→0 h→0 h→0 g(x + h) · g(x) h h h→0
=
f 0 (x) g(x) − f (x) g 0 (x) [g(x)]2
¤
Ejemplo 20 Halla la funci´on derivada de y =
x3 . sen x
Aplicamos la f´ormula que acabamos de obtener y resulta: y0 =
D (x3 ) sen x − x3 D (sen x) 3 x2 sen x − x3 cos x = sen2 x − 4 sen2 x
1.7. Ejercicios derivadas de funciones elementales
1.7
39
Ejercicios derivadas de funciones elementales
1. Halla, utilizando directamente la definici´on, la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados. Repres´entalo gr´aficamente. (a) y = x2 en el punto de abscisa x = −2. (b) y = (c) y =
1 en el punto de abscisa x = 3. x 1 en el punto de abscisa x = −1. x2
Soluci´on: 2
2
2
−(−2) a) f 0 (−2) = lim∆x→0 (−2) +2(−2)∆x+(∆x) = ∆x (−4+∆x)∆x = lim∆x→0 (−4 + ∆x) = −4. = lim∆x→0 ∆x
b) y 0 = lim∆x→0 c) y 0 = limh→0
1 1 x+∆x − x
∆x
1 (x+h)2
h
− x12
= lim∆x→0 = limh→0
x−x−∆x (x+∆x)x∆x
= − x12 . f 0 (3) = − 19 .
x2 −x2 −2xh−h2 (x+h)2 x2 h
= − x23 . f 0 (−1) = 2.
2. Halla, utilizando directamente la definici´on, la derivada de las siguientes funciones. Repres´entalo gr´aficamente. 3 (a) y = x2 − 4 x (b) y = x √ (c) y = x102 (d) y = x
Soluci´on: ∆y (a) ∆y = ∆x(2x 4 + ∆x) ⇒ y 0 = ¢lim∆x→0 ∆x = 2x − 4 ¡ − ∆y dy 2 2 = 3 x2 (b) ∆y = ∆x 3 x + 3 x ∆x + (∆x) ⇒ dx = lim∆x→0 ∆x h (−20 x h−10 h) 20 0 (c) ∆y = ⇒ f (x) = − x3 2 √ (x+h) x2√ h √ 1 (d) ∆y = x + h − x = √x+h+ ⇒ Df (x) = 2 √ x x
3. Halla la pendiente de la funci´on y = x2 − 6x + 5 en el punto de abscisa x = 5. ¿Para qu´e valor de x la derivada vale −2?. Representa gr´aficamente los resultados. Sol.: f 0 (5) = 4. f 0 (2) = −2. en el punto de abscisa x = −2. 4. Halla la pendiente de la funci´on y = 2x+6 x+1 ¿Para qu´e valor de x la derivada vale −1?. Representa gr´aficamente los resultados. Sol.: f 0 (−2) = −4. f 0 (−3) = f 0 (1) = −1. 5. Halla los puntos (x,y) de la funci´on y = x2 − 8x + 3 en los que la derivada es cero. ´Idem para y = x3 − 12x. ´Idem para y = −x3 + 2x2 . Sol.: a) (4 , −13). b)(−2 , 16) y (2 , −16). c) (0 , 0) y ( 34 ,
32 27 ).
40
Tema 1. Derivaci´on.
6. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la funci´on y = −x2 + 6x − 3 en el punto de abscisa x = 1. Representa gr´aficamente los resultados. ´Idem para la funci´on y = 122 en x = 2. Sol.: a) y = 4x − 2. b) y = −3x + 9. x 7. Deriva las siguientes funciones elementales y comprueba la soluci´on. ¡ ¢√ 6 − 15x + 5x2 √ y = 6 − 5x + x2 x y0 = 2 x y0 =
4 (10 − 21 x3 + 9 x4 ) (−7 + 4 x)2
y0 =
3 x cos(x) + sen(x) √ 3 3 x2
y0 =
1 cos2 x
y = ex log10 x
y0 =
ex (1 + x log(x)) x log(10)
arccos x y= log x
√ − 1 − x2 arccos(x) − x log(x) √ y = x 1 − x2 log2 (x)
y=
y= y=
−10 + 3 x4 −7 + 4 x √ 3
x sen x
sen x = tan x cos x
y = (2 x + 3 cos x) (2 sen x)
0
y 0 = 6 cos2 (x) + 4x cos(x) − 6 sen2 (x)+ +4 sen(x) = = 2 (2 sen(x) + 2x cos(x) + 3 cos(2x)).
1.8. Derivada de la funci´on compuesta
1.8 1.8.1
41
Derivada de la funci´ on compuesta Composici´ on de funciones
Hasta ahora hemos trabajado con funciones elementales, es decir, hemos considerado funciones como la par´abola f (x) = x2 − 4x o la senoide g(x) = sen x, pero todav´ıa no nos hemos ocupado de una funci´on como h(x) = sen (x2 − 4x) que est´a compuesta por las dos anteriores. Para entender la composici´on, pensemos en hallar la imagen de, pongamos por caso, x = −2 por esta funci´on, es decir, h(−2). ¿Qu´e hacemos para hallarla con una calculadora?. Est´a claro que no existe una tecla que nos d´e el resultado directamente, por tanto, primero colocamos −2 en el visor de la calculadora, evaluamos (−2)2 − 4(−2) y la calculadora devuelve 12. Hasta ahora no ha intervenido para nada la funci´on seno. Una vez obtenido el resultado parcial 12, apretamos la tecla ”sin” y el resultado final es sen 12 ' −0.5366. El esquema 1.15 muestra el procedimiento seguido. (1.15)
f (x)=x2 −4x
g(x)=sen x
−2 −−−−−−−−−−→ 12 −−−−−−−−−→ sen (12) ' −0.5366
Componer dos funciones es, b´asicamente, aplicar una funci´on y despu´es la otra, por eso se denota h = g ◦ f y se lee ”f compuesto con g”. El proceso seguido se puede expresar formalmente: h(−2) = (g ◦ f ) (−2) = g (f (−2)) = g(12) = sen 12 Si en vez de utilizar un valor particular repetimos el proceso para un valor gen´erico x, se obtiene el siguiente esquema: (1.16) f (x)=x2 −4x
g(x)=sen x
R −−−−−−−−−−→ [−4, ∞) −−−−−−−−−→ [−1, 1] x ,→ x2 − 4x ,→ (g ◦ f ) (x) = sen (x2 − 4x) y formalmente escribimos: (1.17)
¡ ¢ h(x) = (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g(x2 − 4x) = sen x2 − 4x ,
que es la funci´on compuesta de f con g. Estamos ya preparados para entender la siguiente definici´on: Definici´ on 21 (Funci´ on compuesta) Sean A, B y C tres subconjuntos de R, f (x) y g(x) dos funciones reales. Llamamos f compuesta con g, denotado g ◦ f , a la funci´on (g ◦ f ) (x) = g (f (x)), expresada esquem´aticamente: f (x)
g(x)
A −−−−→ B −−−−→ C x ,→ f (x) ,→ y = g (f (x)) = (g ◦ f )(x).
42
Tema 1. Derivaci´on.
Comentarios necesarios a esta definici´on: 1. A pesar de escribir g ◦ f , leemos ”f compuesta con g”, el motivo de esta inversi´on radica en que f es la primera funci´on en ser aplicada. Pensando en la cercan´ıa a la x no extra˜ na esta lectura. 2. Para que tenga sentido la composici´on de funciones es necesario que el conjunto de llegada de f y el de salida de g tengan un. T puntos en com´ Escrito formalmente es necesario que Rang (f ) Dom (g) 6= ∅. 3. La composici´on no es conmutativa, es decir, en general g ◦ f 6= f ◦ g. En efecto, si volvemos a las funciones f y g anteriores, se tiene que: (1.18) f (x)=x2 −4x
g(x)=sen x
R −−−−−−−−−→ [−1, 1] −−−−−−−−−−→ [−3, 5] x ,→ sen x ,→ (f ◦ g) (x) = sen2 x − 4 sen x que nada tiene que ver con 1.17.
Ejemplo 22 Indica las funciones elementales que intervienen en las siguientes funciones compuestas: µ ¶ p 3x − 2 3 (a) y = (4x − 5) , (b) y = log , (c) y = cos (2x). x+4 Soluci´ on: (a) Si llamamos f (x) = 4x − 5 y g(x) = x3 entonces (g ◦ f ) (x) = (4x − 5)3 como pone de manifiesto el siguiente esquema: g(x)=x3
f (x)=4x−5
x −−−−−−−−−−→ 4x − 5 −−−−−−−−→ (g ◦ f ) (x) = (4x − 5)3 (b) Directamente: f (x)= 3x−2 x+4
x −−−−−−−−−−→
3x−2 x+4
g(x)=log x
−−−−−−−−−→ (g ◦ f ) (x) = log
¡ 3x−2 ¢ x+4
(c) Directamente: f (x)=2x
g(x)=cos x
√ h(x)= x
x −−−−−→ 2x −−−−−−→ cos (2x) −−−−−−→ (h ◦ g ◦ f ) (x) =
p
cos (2x)
1.8. Derivada de la funci´on compuesta
1.8.2
43
Regla de la cadena
Volvamos a la funci´on y = sen (x2 − 4x) del esquema 1.16. Sabemos derivar las funciones elementales que intervienen y = x2 −4x e y = sen x, pero todav´ıa no hemos derivado la compuesta. Pues bien, la derivada de la compuesta es el producto de las derivadas elementales que intervienen, en nuestro caso: ¡ ¢ (1.19) y 0 = D x2 − 4x · D (sen x) = (2♦ − 4) · cos (♦) El motivo de incluir un rombo en vez de la variable x, es que falta por se˜ nalar la variable independiente de cada funci´on. En el siguiente esquema lo aclaramos: x2 −4x
sen x
x −−−−−−→ x2 − 4x −−−−−→ sen (x2 − 4x) 2x − 4 cos (x2 − 4x) Como se aprecia, la funci´on x2 − 4x tiene por variable independiente x, pero sen x tiene x2 − 4x por variable independiente, con lo que 1.19 resulta ¡ ¢ ¡ ¢ y = sen x2 − 4x ⇒ y 0 = (2x − 4) · cos x2 − 4x Veamos para apreciar las diferencias la derivada de y = sen2 x − 4 sen x. En el siguiente esquema apreciamos que las funciones elementales que intervienen son las mismas pero cambiadas de orden sen x
x2 −4x
x −−−−−→ sen x −−−−−−−→ sen2 x − 4 sen x cos x 2 sen x − 4 resultando: y = sen2 x − 4 sen x ⇒ y 0 = cos x · (2 sen x − 4) Despu´es de esta explicaci´on, estamos preparados para enunciar el siguiente teorema. Teorema 23 (Regla de la cadena.) Sean y = f (x) e y = g(x) funciones derivables en x y f (x), respectivamente. Si tiene sentido la composici´on de funciones f (x)
g(x)
A ⊂ R −−−−→ B ⊂ R −−−−→ C ⊂ R x ,→ f (x) ,→ y = g (f (x)) = (g ◦ f )(x), entonces la funci´on compuesta es derivable y (1.20)
(g ◦ f ) 0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x).
Idea de la demostraci´on. Como de costumbre intentamos hallar la funci´on derivada en tres pasos:
44
Tema 1. Derivaci´on.
1. C´alculo de ∆y: ∆y = (g ◦ f )(x + h) − (g ◦ f )(x) = g (f (x + h)) − g (f (x)) 2. C´alculo de
∆y : ∆x
∆y g (f (x + h)) − g (f (x)) = ∆x h
Si en esta expresi´on multiplicamos y dividimos por f (x + h) − f (x) resulta: (1.21)
∆y g (f (x + h)) − g (f (x)) f (x + h) − f (x) = ∆x f (x + h) − f (x) h
3. Paso al l´ımite: lim
∆x→0
g (f (x + h)) − g (f (x)) f (x + h) − f (x) ∆y = lim lim h→0 ∆x h→0 f (x + h) − f (x) h
El segundo de estos l´ımites es claramente f 0 (x) mientras que el primero se intuye que es la derivada de la funci´on g en el punto f (x). Aceptado esto se tiene que: (g ◦ f ) 0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x) La operaci´on realizada en 1.21 tendr´a sentido si f (x + h) − f (x) 6= 0 y esto, tal y como hemos razonado, no podemos asegurarlo. Adem´as, queda por escribir de modo riguroso la intuici´on del tercer paso. Por estas razones la demostraci´on no es tal y deber´a ser revisada cuando se profundice en una segunda aproximaci´on al concepto de derivada. Sin embargo la idea general de la demostraci´on y las dificultades que presenta son f´aciles de captar, por lo cual merece la pena adelantarse. Ejemplo 24 Halla la derivada de las siguientes funciones compuestas e indica las funciones elementales que intervienen: µ ¶ p 3x − 2 3 (a) y = (4x − 5) , (b) y = log , (c) y = cos (2x). x+4 Soluci´ on: (a) Partimos del siguiente esquema: 4x−5
x3
x −−−−−−→ 4x − 5 −−−−−→ (4x − 5)3 4 3(4x − 5)2 Por tanto y = (4x − 5)3 ⇒ y 0 = 4 · (3(4x − 5)2 ) = 12(4x − 5)2
1.9. Ejercicios derivadas de funciones compuestas
45
(b) f (x)= 3x−2 x+4 14 (x +4)2
Por tanto: y 0 =
g(x)=log x
3x−2 x+4
x −−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→ y = log 1 x+4 = 3x−2 3x−2
¡ 3x−2 ¢ x+4
x+ 4
14 x+4 (x+4)2 3x−2
14 3x−2
=
(c) Directamente: f (x)=2x
√ h(x)= x
g(x)=cos x
x −−−−−→ 2x −−−−−−→ cos (2x) −−−−−−→ y = √1 2 (− sen(2x)) 2
Por tanto: y 0 = 2 (− sen(2x)) √ 1 2
1.9
cos(2x)
p
cos (2x)
cos(2x)
= − √sen(2x)
cos(2x)
Ejercicios derivadas de funciones compuestas
1. Halla la derivada de las siguientes funciones indicando la composici´on de las funciones elementales que intervienen. 6
(a) y = sen (3x2 + 2x)
x2 (b) y = 3e q +¡ 7 ¢ (c) y = arctan ((3x + 2)3 ) (d) y = log x23x+1
Soluci´on: (a) La composici´on de funciones con sus derivadas es: ¡ ¢ 3x2 +2x sen x x −−−−−−−→ 3x2 + 2x − −→ ¢ sen 3x2 + 2x ¡−−− 2 6x + 2 cos 3x 2x ¢ ¡ + 0 2 y la derivada es: y = (6x + 2) cos 3x + 2x . An´alogamente el resto. (b) x
6 2
x −−− −→
−12 x3
6 x2
ex
6
−−−−→ e x2 6 e x2
3x+7
x3
3x+2
(c) x −−−−−−→ 3x + 2 −−−−→ 3 3(3x + 2)2 y0 =
6
−36 e x2 x3
¡ ¢ arctan x −−−−−−−→ arctan (3x + 2)3
(3x + 2)3
1 1+(3x+2)6
9 (2+3 x)2 1+(2+3 x)6
(d) x
3x x2 +1
−−−−−−→
3x x2 +1
−3(x2 −1) (x2 +1)2
y0 =
6
−−−−−−→ 3e x2 + 7 y 0 = 3
2 1−x q . 3x log( 1+x 2)
2 x (1+x2 )
log x
−−−−−→ log x2 +1 3x
³
3x x2 +1
´
√
r x
−−−−→ 1 ³
r 2
log
3x x2 +1
³ log
´
3x x2 +1
´
46
Tema 1. Derivaci´on.
2. Halla la derivada de las siguientes funciones. √ 2x (a) y = √3x sen x (b) y = p x2 3 (c) y = cos2 x (d) y = log(arctan x) ¡ 1−x ¢ x −x (e) y = log 1+x (f) y = eex −e +e−x 2 (g) y = ex (cos(x) + sen(x)) (h) y = earcsin(3 x ) Soluci´on: (a) y 0 = (c) y 0 = (e) y 0 =
√ √ 3 x cos(x)+ 3 sen(x) √ 2 x −2 sen(x) 2
1
3 cos(x) 3 2 (−1+x) (1+x)
(g) y 0 = 2 ex cos(x)
(b) y 0 =
2x (−2+x log 2) x3
(d) y 0 =
1√ 2 (1+x2 ) arctan x log(arctan x) 4 e2 x (1+e2 x )2 2 6 x√ earcsin(3 x ) 1−9 x4
(f) y 0 = (h) y 0 =
3. Halla las derivadas sucesivas y 0 , y 00 , ... y (n) de las siguientes funciones: (a) y = x4
(b) y = xn n ∈ N (c) y = log x (d) y = sen x
Soluci´on: (a) y 0 = 4 x3 , y 00 = 12 x2 , y (3) = 24 x, y (4) = 24, y (n) = 0 ∀n > 4 (b) y 0 = n xn−1 , y 00 = n(n − 1) xn−2 , y (3) = n(n − 1)(n − 2) xn−3 , ..., y (n) = n!, y (m) = 0 ∀m > n (3) (n) (c) y 0 = x1 , y 00 = −1 = x23 , y (4) = −6 = (−1)n−1 (n−1)! x2 , y x4 , · · · , y xn 00 (3) (4) (d) y 0 = cos(x), y = − sen(x), y = − cos(x), y = sen(x), · · ·, sen x si n = 4k cos x si n = 4k + 1 (n) y = − sen x si n = 4k + 2 − cos x si n = 4k + 3
1.10
Teoremas fundamentales de la derivaci´ on.
Teorema 25 (de Rolle) Sea y = f (x) una funci´on definida en el intervalo [a, b] que cumple las siguientes hip´otesis: a) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] b) f es derivable en el intervalo abierto (a, b) c) f (a) = f (b), entonces ∃c ∈ (a, b) para el cual f 0 (c) = 0 Teorema 26 (del valor medio de Lagrange.) Sea y = f (x) una funci´on definida en el intervalo [a, b] que cumple las siguientes hip´otesis: a) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] b) f es derivable en el intervalo abierto (a, b) (a) entonces ∃c ∈ (a, b) para el cual f 0 (c) = f (b)−f b−a
1.11. Ejercicios.
47
Teorema 27 (Regla de L’Hˆ opital.) Sea a ∈ R ∪ {±∞}. Si se cumplen las siguientes hip´otesis: a) Las funciones f (x) y g(x) est´an definidas y son derivables en un cierto entorno reducido de a, E ∗ (a) b) lim f (x) = lim g(x) = 0 o tambi´en lim f (x) = lim g(x) = ∞ x→a
x→a
x→a
c) g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ E ∗ (a) f 0 (x) d) existe el l´ımite lim 0 , x→a g (x) entonces tambi´en existe el l´ımite limx→a
f (x) g(x)
x→a
cumpli´endose que
f (x) f 0 (x) = lim 0 x→a g(x) x→a g (x) lim
1.11
Ejercicios.
Preguntas del tema en pruebas PAAU de Galicia de 2001 a 20064 1. La curva y = x3 + αx2 + βx + γ corta al eje OX en x = 1 y tiene un punto de inflexi´on en (3, 2). Calcular los puntos de la curva que tengan tangente paralela al eje OX. 2. En un tri´angulo is´osceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un rect´angulo de forma que uno de sus lados est´e sobre la base del tri´angulo y dos de sus v´ertices sobre los lados iguales. ¿Qu´e dimensiones debe tener el rect´angulo de ´area m´axima? 3. a) ¿Puede tener una funci´on polin´omica de grado dos un punto de inflexi´on? Razone la respuesta. b) Estudie la concavidad, convexidad y puntos de inflexi´on de la funci´on y = lnxx 4. 1. a) ¿Pode haber d´ uas funci´ons distintas que te˜ nan igual funci´on derivada? Se a resposta ´e afirmativa, po˜ na un exemplo. Se, polo contrario, a resposta ´e negativa, raz´onea. b) Calcule a derivada da funci´on f (x) = |x − 2|en x = 2, se ´e posible. Represente a gr´afica da funci´on e, sobre ela, razoe a s´ ua resposta. 2
5. Dada f (x) = x −2x+2 , escriba a ecuaci´on da secante a f que une os x−4 puntos (−2, f (−2)) e (2, f (2)) ¿Existe un punto c no intervalo [-2,2] verificando que a tanxente ´a gr´afica de f en (c, f (c)) ´e paralela ´a secante que achou? En caso afirmativo razoe a s´ ua resposta e calcule c, en caso negativo razoe porque non existe. 4 Puedes consultar, entre otras, las p´aginas http://ciug.cesga.es y http://www.selectividad.profes.net donde est´an resueltos estos problemas con los criterios de correcci´on.
48
Tema 1. Derivaci´on.
6. Calcule a ecuaci´on da recta que pasa polo punto (3, 1) e tal que a ´area do tri´angulo formado por esta recta e os semieixos positivos coordenados sexa m´ınima. 7. a) ¿Que ´e un punto de inflexi´on dunha funci´on? b) Ache a condici´on que debe cumprir λ para que o polinomio x4 + x3 + λ x2 sexa c´oncavo nalg´ un intervalo. Determine o intervalo de concavidade en funci´on de λ. 8. Dada a par´abola f (x) = ax2 + bx + c, determine os valores de a,b e c sabendo que f ten un m´aximo no punto de abscisa x = −1/2 e a recta tanxente a f no punto (1, 3) ´e y = −3x + 6. 9. Un barco B e d´ uas cidades A e C da costa forman un tri´angulo rect´angulo en C. As distancias do barco ´as cidades A e C son 13 Km e 5 Km, respectivamente. Un home situado en A desexa chegar ata o barco B. Sabendo que pode nadar a 3 Km/h e cami˜ nar a 5 Km/h, ¿a que distancia de A debe abandoar a costa para nadar ata B se quere chegar o antes posible? 10. Demostre que a funcion dada por f (x) = tiva en (2, +∞).
4 x2 +x−2
e estrictamente posi-
11. a) Interpretaci´on xeom´etrica da derivada dunha funci´on nun punto. b) 3 Determine as abscisas dos puntos da curva y = x3 − x2 − 3x + 1 nos que a recta tanxente forma un ´angulo de 135o co sentido positivo do eixe de abscisas. 12. Deixamos caer unha pelota desde unha altura de 4 metros e, tras cada rebote, a altura acadada red´ ucese ´a metade da altura anterior. ¿Que altura acadar´a a pelota tras cada un dos cinco primeiros rebotes? ¿E tras o rebote vix´esimo? ¿E tras o n-´esimo rebote? Se an denota a altura acadada tras o n-´esimo rebote, obte˜ na unha cota superior e outra inferior desta sucesi´on. Calcule limn→∞ an . 13. a) Calcula a ecuaci´on da recta tanxente ´a gr´afica de f (x) = (x+1)e−x no punto de corte de f (x) co eixo OX. b) Calcula, para f (x) = (x + 1)e−x : intervalos de crecemento e decrecemento, extremos relativos, puntos de inflexi´on, concavidade e convexidade. c) Enunciado e interpretaci´on xeom´etrica do teorema do valor medio do c´alculo integral. 14. a) Enunciado e interpretaci´on xeom´etrica do teorema do valor medio do c´alculo diferencial. b) De entre t´odolos tri´angulos rect´angulos con hipotenusa 10 cm., calcula as lonxitudes dos catetos que corresponden ´o de ´area m´axima c) Calcula o valor de m, para que a ´area do recinto limitado pola recta y = mx e a curva y = x3 , sexa 2 unidades cadradas.
1.11. Ejercicios.
49
15. a) Calcula os valores de a e b para¡ que¢ a gr´afica de f (x) = ax + xb te˜ na un m´ınimo relativo no punto 21 , 4 . Para eses valores de a e b, calcula: as´ıntotas e intervalos de crecemento e decrecemento de f (x). 2 x b) Calcula limx→0 cosx2 ex−1 c) Definici´on de primitiva e integral indefinida dunha funci´on. Enunciado da regra de Barrow. 16. a) Definici´on de funci´on continua nun punto. ¿Que tipo de descon2 tinuidade ten en x = 0 a funci´on f (x) = xx ? b) Un arame de 170 cm. de lonxitude div´ıdese en d´ uas partes. Con unha das partes qu´erese formar un cadrado e coa outra un rect´angulo de xeito que a base mida o dobre da altura. Calcula as lonxitudes das partes nas que se ten que dividir o arame para que a suma das ´areas do cadrado e do rect´angulo sexa m´ınima c) Calcula a ´area do recinto limitado pola recta y = 2 − x e a curva y = x2 . Soluciones 1. α = −9, β = 24, γ = −16. (2, 4) y (4, 0). 2. Base=6, altura=5. 3. ¡ ¢ ¡ ¢ a) No. b) f c´oncava si x ∈ 0, e2/3 , f convexa si x ∈ e2/3 , ∞ , en x = e2/3 punto de inflexi´on. 4. a) S´ı, y = x2 e y = x2 + 3. b) En x = 2 la funci´ o√n no es derivable. 5. ³ ´ √ √ ¢ ¡ −6− 36−96λ −6+ 36−96λ 3 y = x−8 . S´ ı, c = 2 2 − 3 . 6. y = −3x + 6. 7. b) λ < . , 6 8 24 24 √ 8. a = −1, b = −1, c = 5. 9. Distancia a A=33/4 km. 10. Cierto. 11. b) x = 1 ± 3. 12. an = 2−(n−2) si n ≥ 0. limn→∞ an = 0. 13. a) y = e (x + 1) b) Creciente en (−∞, 0), decreciente en (0, ∞), en el punto (0, 1) hay un m´aximo, es c´oncava hacia abajo ¡ ¢ en (−∞, 1), es c´oncava hacia arriba en (1, ∞) y tiene un punto de inflexi´on en 1, 2e . c) √ Ver teor´ıa. 14. a) Ver teor´ıa. b) catetos = 5 2. c) m = 2. 15. a) a = 4, b = 1, as´ıntota vertical en x = 0 y oblicua y = 4x, decreciente en los intervalos (−1/2, 0) y (0, 1/2) y creciente en en resto. b) −1. c) Ver teor´ıa. 16. a) Evitable. b) Para el cuadrado 20 cm y para el rect´angulo 150 cm la superficie es m´ınima y vale 850 cm2 . c) 9/2.
Preguntas del tema en otras pruebas de selectividad 1. De todos los rect´angulos de diagonal igual a 1, halla las dimensiones del de ´area m´axima. x 2. Demuestra que la funci´on f (x) = | x2 +x+1 | no es derivable en x = 0. Comprueba tambi´en que en x = 0 presenta el valor m´ınimo absoluto.
3. La funci´on de coste total de producci´on de x unidades de un determinado producto es C(x) = 12 x2 + 3x + 200. Se define la funci´on de coste medio por unidad como C(x) = C(x) . ¿A qu´e nivel de producci´on ser´a x m´ınimo el coste medio por unidad? 4. Comprobar que se verifican las hip´otesis del teorema de Rolle para la funci´on f (x) = 3 cos2 x , en el intervalo [π/2, 3π/2]. Calcular tambi´en el valor al que se refiere la tesis del teorema. 5. Se considera la funci´on f (x) = 2x3 − 6x2 + 4. Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a la curva representada por esta funci´on en su punto
50
Tema 1. Derivaci´on.
de inflexi´on. Hacer tambi´en un gr´afica aproximada de la funci´on en un entorno de ese punto. 6. Entre todos los rect´angulos de ´area 3 m2 , encontrar las dimensiones del que tiene m´ınimo el producto de sus diagonales. 7. Enunciar el teorema de Rolle. Podemos aplicar este teorema a la 2 funci´on f (x) = ex −1 si el intervalo es [−1, 1]?. ¿Para qu´e valor α es f 0 (α) = 0? 8. Determinar los puntos de la curva y 2 = 4x que est´an a distancia m´ınima del punto (4, 0). 9. Demostrar que, para cualquier valor de m, la ecuaci´on x3 − 3x + m = 0 no tiene dos ra´ıces diferentes que pertenecen al intervalo [0, 1]. 1 x2 +1 , si x ≥ 0 10. Sea f(x) la funci´on dada por:f (x) = a x2 + sen (b x) + c, si x < 0 a)Encuentra los valores de las constantes a, b y c que hacen que f sea continua y derivable dos veces en x = 0. b) Para esos valores, calcula los m´aximos y m´ınimos de f y sus puntos de inflexi´on. c) Dibuja la gr´afica de f . 11. Demuestra que la funci´on y = esen x tiene un m´aximo relativo en x = π/2. 12. Calcula el ´area m´axima que puede tener un tri´angulo rect´angulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm. 13. Dada la funci´on f (x) = ex (x3 − 4x2 + 7x − 6), se pide estudiar: a) Dominio y as´ıntotas. b) Crecimiento y decrecimiento. M´aximos y m´ınimos. c) Concavidad y convexidad. d) Dibujar la gr´afica de x y sus as´ıntotas. , se pide estudiar: a) Dominio, as´ıntotas 14. Dada la funci´on f (x) = √x+1 x2 +1 y posici´on de la curva respecto de estas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. c) Concavidad y convexidad. d) Dibujar la gr´afica a partir de los resultados anteriores. Soluciones √ 1. Cuadrado de lado 2/2. 2. Ciertas √ ambas. 3. C(20) √ ¢4. S´ı. x = π. 5. ¡ = 23. y = −6x + 6. 6. Un cuadrado de lado 3. 7. S´ı. α = 0. 8. 2, ±2 2 . 9. Cierto, por ser continua y decreciente en el intervalo (−1, 1). 10. (a) a = −1, b = 0, c = 1. (b) M´aximo √ en x = 0, punto de inflexi´on en 33 . 11. Cierto. 12. 2 cm2 .
1.11. Ejercicios.
51
y 10
8
6
4
2
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
13. (a) Dominio: R, as´ıntota horizontal: y = 1 (x → −∞). (b) Crecimiento: Si x ∈ (−∞, −1) f decrece. ¡ ¢Si x ∈ (−1, 1) ∪ (1, ∞) f crece. M´ınimo en −1, −18 e (c) Convexa en x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 1). C´ en ¡oncava ¢ , x ∈ (−3, 0)∪(1, ∞,). Puntos de inflexi´on: −3, −90 3 e (0, −6) y (1, −2e).
1
2
3
x
-2
-4
-6
-8
Figura: 29. Gr´afica de y = ex (x3 − 4x2 + 7x − 6)
14. (a) Dominio: R As´ıntotas horizontales: y = −1 (x → −∞). y = 1 (x →¡ ∞) √ ¢ (b) Crecimiento: Si ³ x ∈ (−∞, 1) f ´crece. Si x ∈ (1, ∞) f decrece. M´aximo en 1, 2 √ √ (c) Convexa en x ∈ 3−4 17 , 3+4 17 . Ã ! Ã ! Puntos de inflexi´on:
√ 3− 17 , 4
√ q7− 17√ 3 17 21 4 8 − 8
,
√ 3+ 17 , 4
√ q7+ 17√ 3 17 21 4 8 + 8
.
y 4 2
-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2 -4
Figura: 30. Gr´afica de f (x) =
√x+1 x2 +1
x