Profesor: Jos´e Ma Mart´ınez Blanco.
I.E.S. Santa Irene.
1
Bolet´ın de Funciones Circulares 1
Funciones circulares.
1.1 1.1.1
Definiciones. Radi´ an
La necesidad de medir ´angulos sin utilizar unidades, nos lleva a definir los ´angulos como proporciones entre el arco y el radio con que se trazan. El radi´an es un n´ umero real.
1
l α= r 1.1.2
tan a
Razones trigonom´ etricas.
sen a
Utilizaremos para la definici´on la circunferencia de radio unidad x2 +y 2 = 1. Todo ´angulo α determina un punto sobre la circunferencia trigonom´etrica y, como refleja la figura adjunta, se define:
1
cos a
cos α = x sen α = y y tan α = . x
1.2
Gr´ aficas de las funciones circulares. 5
y=sen x
1 -p
p
2p
3p
4p
-1
1
-p
y=cos x
1 -p
y=tan x
p
2p
p
2p
3p
-1 3p
4p
-1
-5
1.3
Propiedades de las funciones circulares.
1. Rango de variaci´on: −1 ≤ sen α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1 mientras que tan α no esta acotada, es decir −∞ < tan α < +∞. 2. El seno y coseno son funciones peri´odicas con periodo T = 2π. La tangente es peri´odica con periodo T = π. 3. Las funciones seno y coseno son continuas, infinitamente derivables e integrables en todo R. La funci´on tangente es discontinua en x = {π/2 + nπ}n∈Z , fuera de estos valores es continua, infinitamente derivable
2
Profesor: Jos´e Ma Mart´ınez Blanco.
I.E.S. Santa Irene.
e integrable.
R y = sen x y 0 = cos x R sen x dx = − cos x. y = cos x y 0 = − sen x R cos x dx = sen x. y = tan x y 0 = cos12 x tan x dx = − ln | cos(x)|.
4. L´ımites singulares.
sen x = 1, x→0 x lim
1.4
x = 1, x→0 tan x lim
cos x 1 = . 2 x→0 1 − x 2 lim
Las funciones inversas de las circulares. Funci´ on Arcoseno h π πi [−1, 1] −→ − , 2 2 x ,→ y = arcsin x ⇔ ⇔ x = sen y
Funci´ on Arcocoseno [−1, 1] −→ [0, π] x ,→ y = arccos x ⇔ ⇔ x = cos y
p 2
p y=arccos x
-1
p 2
1
y=arcsen x -
p 2
-1
1
Funci´ on Arcotangente R x
£ π π¤ −→ −2, 2 ,→ y = arctan x ⇔ x = tan y
y=arctan x
p 2
-1 p 2
1.5
1
Propiedades de las funciones inversas de las circulares.
1. Las funciones y = arcsin x, y = arccos x e y = arctan x son inversas de y = sen x, y = cos x e y = tan x, es decir, se verifica: Si x ∈ [−1, 1] entonces sen (arcsin x) = x Si x ∈ [−1, 1] entonces cos (arccos x) = x ∀x ∈ R se verifica tan (arctan x) = x
£ ¤ Si x ∈ − π2 , π2 entonces arcsin (sen x) = x Si x ∈ [0, arccos (cos x) = x £ π] entonces ¤ Si x ∈ − π2 , π2 entonces arctan (tan x) = x
2. Las funciones arcoseno, arcocoseno son continuas en el intervalo cerrado [−1, 1] y derivables e integrables en el abierto (−1, 1). La funci´on arcotangente es continuas, infinitamente derivables e integrables en todo R. √ R 1 y = arcsin x y 0 = √1−x arcsin x = 1 − x2 + x arcsin(x). 2 √ R −1 y = arccos x y 0 = √1−x arccos x = − 1 − x2 + x arccos(x). 2 R 2 ) 1 arctan x = x arctan(x) − log(1+x . y = arctan x y 0 = 1+x 2 2
2. Ejercicios Funciones circulares.
1.6
3
Representaci´ on gr´ afica de senoides.
1.6.1
Per´ıodo.
La senoide y = sen C x tiene per´ıodo T = 2π C . Ejemplo 1. y = sen 2x tiene per´ıodo T = 2π En la 2 = π. siguiente gr´afica se compara y = sen 2x (en grueso) con y = sen x.
2
1.6.2
2p
p
3p
4p
-1 -2
y=sen 1 2x
1
1 2x
Ejemplo 2. y = sen tiene per´ıodo T = 2π = 4π. En la 1 2 siguiente gr´afica se compara y = sen 12 x (en grueso) con y = sen x.
y=sen 2x
1
-p
2p
p
3p
4p
-1
Amplitud.
La senoide y = B sen C x tiene amplitud B, es decir, −B ≤ B sen C x ≤ B. 3
Ejemplo 3. y = 3 sen x tiene per´ıodo T = 2π 1 = 2π y Amplitud B = 3. En la gr´afica de la derecha se compara y = 3 sen x con y = sen x.
y=3 sen x
2 1 -p
2p
p
3p
4p
-1 -2 -3
y= - 2 cos p x 2
1
Ejemplo 4. y = −2 cos πx tiene per´ıodo T = 2π π = 2 y Amplitud B = 2. En la gr´afica de la derecha se compara y = −2 cos πx con y = cos πx. Se ve el cambio de signo en el coseno en la simetr´ıa respecto al eje x. 1.6.3
Desplazamientos.
La senoide y = A + B sen C (x − D) est´a desplazada A unidades verticales y D unidades horizontales (desfase). Ejemplo 5. y = 2 + sen(x − 1) est´a desplazada 2 unidades verticales y 1 unidad horizontal . En la siguiente gr´afica se compara y = 2 + sen(x − 1) con y = sen x.
2
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
3 2 1
p
2p
3p
-1
Ejercicios Funciones circulares. 1. Calcula por reducci´on al primer cuadrante las razones de: a) 2 b) 4.2 c) 5.5 d) −2.7 e) −0.4 f) Soluciones: a) sen 2 = sen(π − 2), cos 2 = − cos(π − 2) y tan 2 = − tan(π − 2).
15π 2
4
Profesor: Jos´e Ma Mart´ınez Blanco.
I.E.S. Santa Irene.
b) sen 4.2 = − sen(4.2 − π), cos 4.2 = − cos(4.2 − π) y tan 4.2 = tan(4.2 − π). c) sen 5.5 = − sen(2π − 5.5), cos 5.5 = cos(2π − 5.5) y tan 5.5 = − tan(2π − 5.5). d) sen −2.7 = − sen(π − 2.7), cos −2.7 = − cos(π − 2.7) y tan −2.7 = tan(π − 2.7). e) sen −0.4 = − sen tan −0.4 =¡ − ¢tan 0.4. ¡ ¡ 0.4, ¢ ¢ cos −0.4 ¡ = cos¢0.4 y 15π f) sen 15π = sen 15 = − sen 15 − π , cos 2 = cos 15 = − cos 15 − π y tan 2 4 4 4 4
15π 2
= tan
¡ 15 ¢ 4
= tan
¡ 15 4
¢ −π .
2. Representa el ´angulo indicado y aproxima mediante la gr´afica el valor de sus razones trigonom´etricas.
x = 2 rad sen x ' cos x ' tan x '
x = 3.7 rad sen x ' cos x ' tan x '
x = 5.2 rad sen x ' cos x ' tan x '
x = −2.8 rad sen x ' cos x ' tan x '
x = −0.5 rad sen x ' cos x ' tan x '
x = 0.3 rad sen x ' cos x ' tan x '
3. Halla todos los ´angulos que cumplen: a) sen α = 0.26 b) cos α = 0.84 c) tan α = 2.73 d) sen α = −0.72 e) cos α = −0.34 f) tan α = −0.29. Soluciones: a) α = {0.2630 + 2π k} ∪ {2.8786 + 2π k} b) α = {±0.5735 + 2π k} c) α = {1.2197 + π k} d) α = {−0.8038 + 2π k} ∪ {2.3378 + 2π k} e) α = {±1.9177 + 2π k} f) α = {−0.2822 + π k}.
4. Calcula el valor exacto de las razones de los ´angulos notables: π 5π 5π π a) 0◦ , π2 , π, y 3π 2 . b) 6 , 6 , − 6 y − 6 . π 3π 5π π π 2π 2π c) 4 , 4 , 4 y − 4 . d) 3 , 3 , − 3 y − π3 . Soluciones: α 0
sen α 0
π 6 π 4 π 3 π 2
1 2 √ 2 2 √ 3 2
cos α 1 √ 3 √2 2 2 1 2
1
0
tan α 0
α
sen α
1 √ 3
2π 3 3π 4 5π 6
√ 3 √2 2 2 1 2
π
0
1 √ 3 ∞
cos α
tan α
− 12
√ − 3
− √22 − 23 −1
−1 − √1 3 0
√
5. Utilizando las f´ormulas fundamentales de la trigonometr´ıa calcula: a) cos α y tan α si sen α = 0.7 y α est´a en el 2o cuadrante. b) sen α y tan α si cos α = −0.3 y α est´a en el 3er cuadrante. c) sen α y cos α si tan α = −2 y α est´a en el 4o cuadrante. Soluciones: √ a) cos α = − 1 − 0.72 = −0.7141 y tan α = y cos α =
√ 5 . 5
−
√0.7
1−0.72
= −0.9801. b) sen α = −0.9539 y tan α = −3.1798. c) sen α = −2
√ 5 5
2. Ejercicios Funciones circulares.
5
6. Representa las siguientes funciones y comprueba sus gr´aficas. Rec´ıprocamente, a partir de las gr´aficas obt´en las f´ormulas dadas. a) y = −3 sen(πx) d) y = −4 + 4 sen( π3 x) g) y = 1 − 3 sen( π3 x − π6 )
b) y = 2 cos(2x) e) y = 2 + 4 cos ¡2π 3 (x − 1) ¢ h) y = 2 − 3 cos π4 x − π6
c) y = −1 + 3 cos( π2 x) f) y = −3 + 2 sen(x + 1)
aL
bL
4
4
2
2
-6 -4 -2 -2
2
4
6
-4
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
-4
cL
dL
4
-6 -4 -2 -2
2 -6 -4 -2 -2
-6 -4 -2 -2
2
4
6
-4 -6
-4
-8
eL 8
fL 2
6 4
-6 -4 -2 -2
2
-4 -6 -4 -2 -2
2
4
6
-6
gL 6
hL 6
4
4
2
2
-6 -4 -2 -2 -4
2
4
6
-6 -4 -2 -2 -4