Laura Gómez Leyton - CENTRO EDUCATIVO NÚMEROS ESPECIALES NÚMERO DE ORO 1- Número áureo o de oro, oro número igual a 1,618.... , que permite determinar proporciones estéticas en las obras arquitectónicas, labores de imprenta, etc. Desde la antigüedad se considera que la mejor armonía entre dos dimensiones se obtiene cuando la proporción entre las mismas es igual a la proporción existente entre la mayor de ellas y la suma de las dos. Consiguientemente, si y es la mayor dimensión y x la menor, tendremos que: x y = y x+ y En el caso supuesto de que x sea igual a la unidad, el valor de y se obtiene por la fórmula: 1+ 5 = 1,618 ... 2 Independientemente de su valor estético, el número de oro se caracteriza por algunas propiedades notables. Así, en el caso del rectángulo cuyo lado mayor mide 1,618 veces la longitud del menor, se pueden obtener hasta el infinito rectángulos idénticos cada vez más pequeños, cortando cuadrados. Inversamente, se obtendrán rectángulos idénticos, aunque cada vez mayores, agregando cuadrados de lado igual al del lado mayor del rectángulo. 2- Estrella Pitagórica: En la estrella de cinco puntas – emblema de los pitagóricos- encontramos el número irracional Φ , al que llamamos número de oro. d 1+ 5 Φ= = = 1,61803398 ... l 2 Donde d mide la longitud de la diagonal del pentágono regular donde se encuentra inscripta la estrella, y l mide la longitud del lado de dicho pentágono. El símbolo de la comunidad de matemáticos pitagóricos fue una estrella pentagonal, donde cada uno de los segmentos es un segmento áureo, para cada una de sus divisiones. 3 - El número de oro ha sido utilizado desde la antigüedad por escultores, arquitectos y artistas. Lo descubrimos en el Partenón (templo griego del siglo V a. C), donde la relación entre el ancho y el alto de la fachada es igual a Φ . A =Φ B A esta razón igual al número de oro la denominamos razón áurea, áurea y al rectángulo cuyos lados guardan esa razón, rectángulo áureo.
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Laura Gómez Leyton - CENTRO EDUCATIVO En Psicología se ha estudiado que, entre todos los rectángulos, los que resultan más armoniosos y agradables a la gente son aquellos en los que la razón entre sus lados es igual a la razón áurea. 4 - Construcción de un rectángulo áureo • Dibujamos un cuadrado abcd. • Tomamos m, el punto medio de uno de sus lados, y lo unimos con uno de los vértices opuestos, por ejemplo, con c • Con centro en m, trazamos un arco de radio mc , que corte la recta que incluye al lado ad en p. El rectángulo de lados ap y ab es áureo. Desafío: Calculen cuánto mide ap si el lado del cuadrado mide 1. Pistas: ap = am + mp y mp = mc ; mc se calcula aplicando el teorema de Pitágoras.
5 - En el libro Elementos, del famoso matemático griego Euclides (siglo lll a.C), se encuentra la siguiente construcción gráfica del número de oro: • Se traza un segmento unitario ab y, perpendicular a éste, se traza otro también unitario ac . • Con centro en o, punto medio de ac, se traza una circunferencia de radio oa. • Se une b con o y se prolonga hasta cortar a la circunferencia en d. Desafío: aplicando el teorema de Pitágoras, demostrar que: bd = Φ 6 - Utilizando el número áureo, resuelve el siguiente problema: “Dividir el segmento dado en dos partes, de tal forma que la longitud de todo el segmento sea a la parte mayor, como la parte mayor es a la parte menor”. Encuentra la solución para cada segmento: a. 8 cm b.4 cm 7 – Segmento aúreo: aúreo Un segmento s dividido en dos partes, una mayor y otra menor: x y x>y s x En el que se cumple = , se denomina: segmento áureo. x y 8 – Para encontrar el número áureo, no tenemos que remontarnos a la antigüedad griega. Hoy las tarjetas de crédito tienen sus medidas armónicas, pues la relación entre sus lados es el número de oro. Nosotros llevamos el número áureo en nuestras proporciones anatómicas. La proporción que se plantea es la siguiente: 2
Laura Gómez Leyton - CENTRO EDUCATIVO La distancia desde el suelo al ombligo es media proporcional entre la distancia del ombligo a la cabeza y la altura de la persona. LOS NÚMEROS DE FIBONACCI FIBONACCI Leonardo Fibonacci nació en Pisa hacia el año de 1 170 y murió cerca del año 1230. Considerado el matemático más completo de la edad media, introdujo en su libro titulado “Liber Abaci” los números arábigos a Europa, sustituyendo el antiguo sistema romano de numeración. En este libro, Fibonacci presenta el siguiente problema: “¿Cuántos conejos puede producir una sola pareja en un año, si todos los meses cada pareja engendra una nueva pareja, la cual comienza a engendrar a partir del segundo mes, y así sucesivamente, suponiendo que no se produce ninguna muerte?” En el primer mes empezamos con una pareja de conejos inmaduros y durante el segundo mes, todavía tenemos una sola pareja, pero ahora son conejos maduros. Al tercer mes han producido una nueva pareja; de manera que tenemos dos parejas: una madura y otra inmadura. Durante el cuarto mes, la pareja inmadura ha madurado y la primera pareja ha producido otra pareja inmadura; de modo que hay tres parejas, dos maduras y una inmadura. Podríamos determinar el número de conejos en el doceavo mes, continuando el razonamiento anterior, con lo cual llegaríamos a la sucesión (secuencia de números) que aparece a continuación: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Entonces al final del primer año habrá 144 parejas de conejos. Esta sería la respuesta al problema planteado. La sucesión que surgió como respuesta al problema es conocida como “sucesión de Fibonacci”, y los números de la misma reciben el nombre de “números de Fibonacci”. Es fácil ver que cada número, a partir del tercero, es la suma de dos números que lo preceden, esto nos permite obtener tantos números de la sucesión como lo deseemos. Lo interesante de esta sucesión es que, a demás de dar la solución al problema de Fibonacci, está relacionada con otras situaciones de la naturaleza igualmente interesantes. Por ejemplo la distribución en espiral de las hojas alrededor del tallo del girasol, para aprovechar mejor la luz del sol, las escamas que se distribuyen en torno al eje de una piña; o el ordenamiento de las semillas en el centro de la flor del girasol. NÚMERO e Un número irracional de particular importancia es e que se obtiene al calcular n
1 para un número infinitamente grande el valor de la expresión 1 + . n n
1 En la sucesión 1 + al remplazar n por cada uno de los números naturales se n obtiene:
3
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10
1 1. 1 + = 2 1 2
9 1 2. 1 + = = 2,25 4 2 3
10
1 11 1 + = = 2,593742... 10 10
64 1 3. 1 + = = 2,3703... 3 27
1 1 + 100
100
1 1 + 100
101 = 100
1 000
100
= 2,7048...
1 001 = 1 000
1000
= 2,7169...
10 000
4
10 001 625 1 1 4. 1 + = = 2,4414... 1 + = 256 4 10 000 10 000 Los términos de esta sucesión están comprendidos entre 2 y 3
10000
= 2,7181...
n
1 2 ≤ 1 + < 3 n n
1 Cuando n se torna infinitamente grande el valor de 1 + se hace n aproximadamente igual a e.
Un número próximo a este valor es e = 2,718281828459 e se llama el número neperiano, o de Neper, su descubridor. El número e es utilizado para determinar funciones cuyo crecimiento es en forma exponencial y como base de los logaritmos naturales.
NÚMEROS PRIMOS
Son los números naturales que sólo tienen por divisores a: 1 y al mismo número.
NÚMEROS COMPUESTOS
Si un número natural tiene más de dos divisores, se le denomina número compuesto. NÚMEROS COPRIMOS
Dos números enteros son primos entre sí o coprimos , cuando el mayor divisor que tienen en común en +1 o –1. Es decir que a y b son coprimos, si el m.c.m(a,b)= ± 1 NÚMEROS AMIGOS
En matemáticas se llaman números amigos a las parejas de números que cumplen la siguiente propiedad: la suma de los divisores de cada uno (excluido él mismo) da como resultado el otro. 4
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La pareja de números más pequeños con esta propiedad es la formada por 220 y 284. PRIMOS GEMELOS
Son aquellos cuya diferencia es dos. Algunos pares de primos gemelos son 3 y 5, 5 y 7, etc. NÚMEROS ENTEROS PITAGÓRICOS
Son los números que pueden corresponder a las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Las ternas de números naturales que como 3, 4 y 5, satisfacen la relación a 2+ b 2 = c 2 Desafío: Te proponemos emplear tu calculadora para formar una tabla de los cuadrados de los números del 1 al 50 y encontrar todas las ternas pitagóricas. NÚMEROS CAPICÚAS
A los números como 34 543, que se leen lo mismo de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, se les llama capicúas. Desafío: Te proponemos que escribas todos los números capicúas de tres cifras menores que 1000 NÚMEROS PERFECTOS
Euclides demostró que si p = 1 + 2 + 22 +............+ 2n es un nº primo, entonces 2n . p es un nº perfecto Por ejemplo: 1 + 2 1 = 3 y como 3 es nº primo 21 . 3 = 6 es perfecto; 1 + 21 + 22 = 7 y como 7 es nº primo 22 . 7 = 4 . 7 = 28 es perfecto. En la actualidad se sabe que todos los números perfectos pares responden a esa condición. Sin embargo, aún se ignoran muchas cuestiones acerca de los números perfectos; por ejemplo: si bien se cree que no hay perfectos impares, todavía nadie pudo hacer una demostración de este hecho.
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