Proyecto AR-MAT Vol. 1 by CITECMAT

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1ª EDICIÓN 2013 REALIZADO POR: G. IBÁN DE LA HORRA VILLACÉ LICENCIA CREATIVE COMMONS

ÍNDICE Ø

PRÓLOGO

Ø

GRUPO I: CONCEPTOS TEÓRICOS

Ø

PÁG.

ü

RECTAS NOTABLES

ü

TEOREMA DE PITÁGORAS

10 – 16

ÁREAS DE CUERPOS PLANOS

17 -‐ 21

22 – 28

GRUPO II: EJERCICIOS TEOREMA DE PITÁGORAS

GRUPO III: CONCEPTOS TEÓRICOS

GRUPO IV: EJERCICIOS ü

POLÍGONOS

ü Ø

ü

ü Ø

ÁREAS DE CUERPOS PLANOS

ÍNDICE Ø

Ø

PÁG. GRUPO V: CONCEPTOS TEÓRICOS

ü

PRISMAS

ü

PIRÁMIDES

ü

CILINDROS

ü

CONOS

ü

ESFERAS

37 -‐ 40

42 -‐ 46

GRUPO VI: CONCEPTOS TEÓRICOS ELEMENTOS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

GRUPO VII: EJERCICIOS DESARROLLOS PLANOS

48 -‐ 54

GRUPO VIII: EJERCICIOS ü

POLIEDROS

ü Ø

ü

ü Ø

ÁREAS

Ø

ANEXO I -‐ II

56 -‐ 57

Ø

REFERENCIAS

PROLOGO Este libro está orientado a una mejora de la comprensión espacial en geometría. Los alumnos encuentran numerosas dificultades en el estudio de cuerpos tridimensionales, sobre todo con las explicaciones en pizarra tradicional. Gracias a las mejoras que las TIC’s nos aportan en la educación, podemos crear nuevas metodologías y estrategias que nos permitan solventar numerosos problemas que antes eran de difícil solución.

El proyecto AR-‐MAT no es un libro de matemáticas al uso, si no que pretende ser un complemento en el estudio de la geometría introduciendo numerosos conceptos teóricos, pero sobre todo, mejorar la capacidad espacial y dotar al alumno de una mejor visión de los conceptos geométricos básicos. Cada explicación teórica y cada ejercicio tienen asociado una ficha realizada en SketchUp, las cuales se proporcionan con este libro. Con estas fichas se consigue profundizar más en cada apartado, mejorando el entendimiento de los conceptos. El uso de este libro es bastante sencillo, sigue las instrucciones que en se detallan en el manual 1. AR-‐MAT se complementa con el uso de la Realidad Aumentada y la posibilidad de ver los objetos en 3D e interactuar con ellos, usando el plugin ARmedia para SketchUp que se proporciona en este libro. __________________________ “Toda filosofía de un docente parte de los mismo principios y posee los mismo objetivos, por y para el alumno” 1: VER ANEXO I

Un polígono es una figura plana, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio.

Los elementos principales de un polígono son:

• Lados: cada uno de los segmentos que delimitan el polígono. • Vertices: puntos donde se unen los lados.

• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

FIG. 1: ELEMENTOS DEL POLÍGONO

• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono. • Ángulo exterior: ángulo formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.. Un polígono que posee todos sus ángulos interiores menores de 180º se denominan polígonos convexos. Si existe alguno de sus ángulos interiores que sea mayor de 180º se denomina cóncavo. La clasificación de los polígonos en función del número de lados la puedes ver en la FICHA 1-‐B.

LaasFIG. 2: POLÍGONO CÓNCAVO.

FIG. 3: POLÍGONO CONVEXO

Las rectas notables son las líneas generadas en un triángulo que pasan por unos puntos concretos de este. Los puntos de intersección de las rectas se denominan puntos notables.

MEDIANAS: Son las rectas que se obtienen de unir los vértices con el punto medio de su lado opuesto. El punto de unión de las 1 medianas se denomina baricentro .

FIG. 5: MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO.

MEDIATRICES: Son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados y que pasan po su punto medio.. El punto de unión de las 1 mediatrices se denomina circuncentro . ALTURAS: Son las rectas que pasan por el vértice y son perpendiculares a su lado opuesto. El punto de unión de las 1 alturas se denomina ortocentro .

FIG. 6: ALTURAS Y ORTOCENTRO.

BISECTRICES: Son las rectas que dividen en dos partes iguales a cada uno de los ángulos interiores. El punto de unión de las 1 bisectrices se denomina incentro .

FIG. 7: BISECTRICES E INCENTRO.

: Ver FICHA 1-‐C

FIG. 4: MEDIANAS Y BARICENTRO.

Â ENUNCIADO Â

El Â Teorema Â de Â PitĂĄgoras Â nos Â dice Â que, Â dado Â un Â triĂĄngulo Â rectĂĄngulo. Â La Â hipotenusa Â al Â cuadrado Â es Â igual Â a Â la Â suma Â de Â los Â cuadrados Â de Â los Â catetos Â ( Â ver Â FICHA Â 1-Ââ&#x20AC;?D). Â

Por Â lo Â tanto: Â đ?&#x2018;? ! + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? ! = đ?&#x2018;&#x17D; ! + 4

Â Â

Simplificamos Â la Â expresiĂłn Â y Â nos Â queda: Â đ?&#x2018;&#x17D; ! + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? ! = đ?&#x2018;? ! + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? Â

Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â

9 Â

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? Â 2

Eliminamos Â los Â 2ab Â en Â ambos Â lados Â de Â la Â igualdad: Â

DEMOSTRACIĂ&#x201C;N Â Supongamos Â que Â partimos Â de Â la Â figura Â 8, Â en Â la Â que Â Â tenemos Â el Â cuadrado Â de Â color Â rojo. Â Calculamos Â su Â ĂĄrea Â mediante Â dos Â mĂŠtodos: Â đ??´! = đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?

= đ?&#x2018;? ! + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? ! Â

đ??´! = đ?&#x2018;&#x17D; ! + 4

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? Â 2

Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â

Como Â las Â ĂĄreas Â son Â iguales Â entonces: Â

đ??´! = đ??´! Â FIG. Â 8: Â DEMOSTRACIĂ&#x201C;N Â DEL Â TEOREMA Â

TEOREMA DE PITÁGORAS En este Grupo 2 de ejercicios propuestos, usarás las fichas de Sketchup para poder realizar los ejercicios referentes al Teorema de Pitágoras. Las fichas correspondientes a cada uno de los ejercicios, están situadas en el encabezado de cada uno de ellos.

2-‐A

EJERCICIO

Puedes usar en tu libro para realizar las operaciones y contestar a las preguntas de los ejercicios. Si mueves el objeto, podrás recuperar la posición inicial saleccionando VISTA PRINCIPAL que aparecerá en la parte superior de tu ficha. Recuerda que puedes usar el marcador que se te proporciona en el Anexo II junto con ARmedia para interactuar con el objeto del ejercicio.

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

2-‐A

EJERCICIO

Calcula la altura a la que se apoyará en la pared la escalera, teniendo en cuenta que la escalera posee un altura de 2 m y está alejada de la pared 1,5 m.

2-‐B

Una escalera de bomberos de 15 m de longitud se apoya en la fachada de un edificio a 10 m de altura. ¿A qué distancia de la pared se encontrará el pie de la escalera?

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

2-‐C

EJERCICIO

Halla la altura del faro sabiendo que la distancia entre la base del faro y el barco es de 52,75 m y la distancia visual es de 55,33 m.

2-‐D

Calcula los valores de X e Y teniendo en cuenta los datos del problema.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

2-‐E

2-‐F

EJERCICIO

Halla la distancia que debe recorren el coche teniendo en cuenta los datos de la FICHA 2-‐E.

Halla la distancia que exite entre las dos orillas teniendo en cuenta los datos de la FICHA 2-‐F.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

2-‐G

EJERCICIO

Halla la distancia X de la tienda de campaña, teniendo en cuenta los datos de la FICHA 2-‐G.

2-‐H

Halla los valores de X e Y teniendo en cuenta los datos de la FICHA 2-‐H.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

2-‐I

EJERCICIO

Halla la altura de la Torre de Pisa, sabiendo que su altura respecto de la vertical es de 56,8 m y que su inclinación respecto de la vertical es de 1 m.

2-‐J

Halla el valor de la altura a, teniendo en cuenta los datos de la FICHA 2-‐J.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

ÁREAS DE CUERPOS PLANOS En este Grupo 3 de conceptos teóricos vamos a tratar las áreas de los cuerpos planos. Para ello, usarás las fichas de Sketchup con las que conocerás en detalle las formas de dichos cuerpos y sus fórmulas asociadas. Recuerda que si mueves el objeto podrás recuperar la posición inicial saleccionando VISTA PRINCIPAL que aparecerá en la parte superior de tu ficha.

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

ÁREA DEL RECTÁNGULO

3-‐A

𝑨 = 𝒂 ∙ 𝒃

a: Base

3-‐B

𝑨 = 𝒍 ∙ 𝒍

L: Lado del cuadrado

b: Altura

ÁREA DEL CUADRADO

ÁREA DEL ROMBO

ÁREA DEL ROMBOIDE

𝑨=

𝒅∙𝑫 𝟐

𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉

d: Diagonal menor

b: Base

D: Diagonal mayor

h: Altura

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

ÁREA DEL TRIÁNGULO

ÁREA DEL TRAPECIO

𝑨=

𝒃∙𝒉 𝟐

b: Base

𝑩+𝒃 ∙𝒉 𝟐

B: Base mayor

h: Altura

𝑨=

b: Base menor h: Altura

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

𝑨=

𝑷∙𝒂 𝟐

ÁREA DEL CÍRCULO

𝑨 = 𝚷 ∙ 𝒓𝟐

P: Perímetro

r: Radio

a: Apotema

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR 𝑨=

ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR

𝚷 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝜷 𝟑𝟔𝟎

r: Radio

β: Ángulo

LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

𝑨 = 𝚷 ∙ 𝑹𝟐 − 𝚷 ∙ 𝒓𝟐

R: Radio mayor r: Radio menor

LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA

𝑳 = 𝟐 ∙ 𝚷 ∙ 𝒓

𝑨=

𝟐∙𝚷∙𝒓∙𝜷 𝟑𝟔𝟎

r: Radio

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

ÁREAS DE CUERPOS PLANOS En este Grupo 4 de ejercicios propuestos, usarás las fichas de SketchUp para hallar las diferentes áreas de cada ejercicio propuesto. Deberás de tener en cuenta las fórmulas vistas en el grupo anterior para realizar los ejercicios. Recuerda que si mueves el objeto podrás recuperar la posición inicial saleccionando VISTA PRINCIPAL que aparecerá en la parte superior de tu ficha. También puedes usar ARmedia para interactuar con el ejercicio.

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

4-‐A

Halla el área total de césped que hay en la imagen, así como el área de agua que ocupa la piscina.

EJERCICIO

4-‐B

Halla las áreas de cada uno de los triángulos que hay en la siguiente composición. Usa los datos de la FICHA 4-‐B.

24 SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

4-‐C

Halla el área de la cometa teniendo en cuenta los datos de la FICHA 4-‐C.

EJERCICIO

Halla la áreas de cada uno de las zonas con agua (coronas circulares), teniendo en cuenta los datos de la FICHA 4-‐D.

SOLUCIÓN:

4-‐D

SOLUCIÓN:

EJERCICIO

4-‐E

Halla el área contenida en la intersección de las figuras, teniendo en cuenta los datos de la FICHA 4-‐E.

EJERCICIO

Halla la superficie de la siguiente figura, teniendo en cuenta los datos de la FICHA 4-‐F.

SOLUCIÓN:

4-‐F

SOLUCIÓN:

EJERCICIO

4-‐G

Halla el área coloreada de amarillo. ¿Cuál es el área de la zona restante?

EJERCICIO

Halla el área de la zona coloreada de naranja, teniendo en cuenta los datos de la FICHA 4-‐H.

SOLUCIÓN:

4-‐H

SOLUCIÓN:

EJERCICIO

4-‐I

Calcula las áreas de color verde y gris de la siguiente figura, teniendo en cuenta los datos de la FICHA 4-‐I.

EJERCICIO

Calcula la superficie total de la siguiente figura, teniendo en cuenta los datos de la FICHA 4-‐J.

28 SOLUCIÓN:

4-‐J

SOLUCIÓN:

Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado limitado por caras planas en forma de polígonos.

Poseen una serie de elementos principales, los cuales son: • Caras: cada uno de los polígonos que limitan al poliedro. • Aristas: son las líneas donde concurren dos caras. Son los lados de las caras. • Vértices: puntos donde se cortan tres o más aristas.

• Diagonales: segmento que une dos vértices no consecutivos. • Ángulo diedro: ángulo formado por dos caras. • Ángulo poliedro: ángulo formado por tres o más caras. • Desarrollo plano: es la extensión en el plano del poliedro. FÓRMULA DE EULER

C + V = A + 2 C: caras

V: vértices A: aristas

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas entre si, llamadas bases, y con las caras restantes formando paralelogramos. Poseen una serie de elementos principales, los cuales son:

• Bases: son polígonos paralelos iguales.

• Caras laterales: son paralelogramos.

• Aristas básicas: son las líneas que delimitan las bases. • Vértices: puntos donde se cortan tres o más aristas.

• Altura: es la distancia existente entre las bases.

ÁREA DEL PRISMA

AT = AL + 2⋅AB

AT : área total AL : área lateral AB : área de la base

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

Una pirámide es un poliedro formado por un polígono en una de sus caras y triángulos en el resto. Poseen una serie de elementos principales, los cuales son: * U • Base: asociado a un polígono cualquiera, situado en una de s sus caras. a r

un punto en • Cara lateral: formadas por triángulos. Poseen B común llamado vértice. u l

• Aristas: son las rectas que delimitan las caras yi la base.

• •

d A Altura: segmento perpendicular trazado desde el vértice a la R base. V i Apotema: es la altura de cualquiera de sus caras laterales. e w e r ÁREA DEL PIRÁMIDE c AT = AL + AB o n AT : área total e s t AL : área lateral e AB : área de la base m a NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS. r c a

Un cilindro es un cuerpo geométrico generado a partir de la revolución de un rectángulo sobre de uno de sus lados. Poseen una serie de elementos principales, los cuales son: • Eje: clado sobre el que gira el rectángulo para general el cilindro.

• Altura: es la longitud del eje.

• Generatriz: es la longitud del lado opuesto al eje.

• Bases: son los círculos paralelos e iguales creados a partir de la revolución.

• Radio: es el radio de la base que a su vez coincide con el lado del rectángulo de revolución. ÁREA DEL CILINDRO AT = AL + 2⋅AB AT : área total AL : área lateral

AB : área de la base NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

Un cono es un cuerpo geométrico generado a partir de la revolución de un triángulo rectángulo sobre de uno de sus catetos.

Poseen una serie de elementos principales, los cuales son: • Eje: es el cateto del triángulo que en su revolición genera el cono. • Altura: es la longitud del eje. • Generatriz: es la longitud de la hipotenusa del triángulo.

• Base: es el círculo generado al girar el triángulo sobre el cateto. • Radio: es el radio de la base.

ÁREA DEL CONO

AT = AL + AB AT : área total AL : área lateral

AB : área de la base

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

Una esfera es un cuerpo geométrico generado a partir de la revolución de un semicírculo que gira sobre el diámetro. Poseen una serie de elementos principales, los cuales son: • Eje: es el diámetro sobre el que gira el semicírculo. • Centro: es el centro de la esfera que coincide con el centro del semicírculo. • Radio: es el radio del semicírculo.

ÁREA DE LA ESFERA

AT = 4⋅Π⋅r

AT : área total

r : radio

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

ELEMENTOS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS En este Grupo 6 de ejercicios propuestos, usarás las fichas de Sketchup para detectar los elementos de cada cuerpo geométrico que se presenta. Puedes comprobar tus respuestas en la pestaña de SOLUCIÓN de cada una de las fichas. Recuerda que si mueves el objeto podrás recuperar la posición inicial saleccionando VISTA PRINCIPAL que aparecerá en la parte superior de tu ficha.

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

6-‐A

EJERCICIO

Rellena los cuadros con el nombre corespondiente a los elementos del siguiente cuerpo geométrico.

6-‐B

EJERCICIO

Rellena los cuadros con el nombre corespondiente a los elementos del siguiente cuerpo geométrico.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

6-‐C

EJERCICIO

Rellena los cuadros con el nombre corespondiente a los elementos del siguiente cuerpo geométrico.

6-‐D

EJERCICIO

Rellena los cuadros con el nombre corespondiente a los elementos del siguiente cuerpo geométrico.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

6-‐E

EJERCICIO

Rellena los cuadros con el nombre corespondiente a los elementos del siguiente cuerpo geométrico.

6-‐F

EJERCICIO

Rellena los cuadros con el nombre corespondiente a los elementos del siguiente cuerpo geométrico.

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN: A:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

DESARROLLOS PLANOS

En este Grupo 7 de ejercicios propuestos, usarás las fichas de SketchUp para realizar los desarrollos planos de figuras geométricas. Para ello tendrás que seleccionar la pestaña de DESARROLLO para realizar el ejercicio. Si deseas ver la solución al ejercicio, solamente deberás de ir a la pestaña de SOLUCIÓN y comprobar tus resultados.

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

7-‐A

Realiza el desarrollo plano de la siguiente figura geométrica.

EJERCICIO

7-‐B

Realiza el desarrollo plano de la siguiente figura geométrica.

43 SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

7-‐C

Realiza el desarrollo plano de la siguiente figura geométrica.

EJERCICIO

7-‐D

Realiza el desarrollo plano de la siguiente figura geométrica.

44 SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

7-‐E

Realiza el desarrollo plano de la siguiente figura geométrica.

EJERCICIO

7-‐F

Realiza el desarrollo plano de la siguiente figura geométrica.

45 SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

7-‐G

Realiza el desarrollo plano de la siguiente figura geométrica.

EJERCICIO

7-‐H

Realiza el desarrollo plano de la siguiente figura geométrica.

46 SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

ELEMENTOS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS GEOMÉTRICOSPLANOS

En este Grupo 8 de ejercicios propuestos, usarás las fichas de SketchUp para hallar lás áreas de cuerpos tridimensionales. Para ellos deberás tener en cuenta las fórmulas vistas en el Grupo 3. Recuerda que si mueves el objeto puedes recuperar su posición inicial en la pestaña de VISTA PRINCIPAL.

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

8-‐A

Halla el área total del siguiente tronco de pirámide con bases cuadradas.

EJERCICIO

8-‐B

¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje según las medidas que se representan en la imagen si cuesta 2 20 €/m ?

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

8-‐C

Halla el área total de la pirámide regular cuya base es un cuadrado de 18 cm de lado y su altura es de 40 cm.

EJERCICIO

8-‐D

Calcula el área total del siguiente prisma de base pentagonal.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO Halla el área total las siguiente figura geométrica.

8-‐E

EJERCICIO

8-‐F

Calcula el área total de la siguiente pirámide de base cuadrada.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

8-‐G

Calcula el área total del siguiente prisma oblicuo, teniendo en cuenta que la base es un rombo de diagonales: D = 7cm y d = 3 cm.

EJERCICIO

8-‐H

Halla el área total del siguiente cono.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO Halla el área total de la siguiente esfera.

8-‐I

EJERCICIO

8-‐J

Dado el siguiente desarrollo de una figura geométrica, ¿Qué cuerpo geométrico es? . Halla el área total.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

EJERCICIO

8-‐K

Halla el área total del siguiente tronco de pirámide con bases cuadradas.

EJERCICIO

8-‐L

Halla el área total, la altura y la diagonal del siguiente pirámide con base cuadrada.

SOLUCIÓN:

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

MANUAL AR-‐MAT

Los requisitos necesarios para el uso de AR-‐MAT son: PC ( con SO Windows o Mac), webcam, software proporcionado (SketchUp, ARmedia). Todo el material digital se proporciona en el CD que viene con el libro. A continuación se detalla el software necesario, así como los comandos básicos de trabajo. •

Sketchup: Utilizaremos este programa para trabajar con las fichas tanto de la teoría como de los ejercicios propuestos. El proceso de intalación se detalla en el manual proporcionado en el CD. Una vez instalado, podrás trabajar con las fichas. Para poder interactuar con ellas es necesario conocer los comandos básicos de SketchUp:

Selección: Con este comando podremos seleciona un objeto.

Línea: Con este comando podremos dibujar líneas.

Orbitar: Con este comando podremos rotar el objeto en la dirección que queramos.

Desplazar: Con este comando podremos mover el objeto en la dirección que queramos.

Mover: Con este comendo puedes mover los objetos en el lugar que desses.

Alejar/Acercar: Con esta opción que nos proporciona el ruleta del ratón podemos acercar o alejar la imagen.

Para mas información sobre el libro puedes acceder a la siguiente página web: http://qra-‐citecmat.blogspot.com.es/

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

En este anexo encontrarás el marcador necesario para interactuar con los ejercicios.

Para mas información sobre el uso del marcador puedes acceder a la siguiente página web: http://qra-‐citecmat.blogspot.com.es/ NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.

REFERENCIAS

•

http://www.juntadeandalucia.es/

•

http://www.educa.madrid.org/web/cepa.coslada/

•

http://amolasmates.es/

•

http://www.vitutor.com/index.html

•

http://www.sketchup.com/

•

http://citecmat.blogspot.com.es/

•

http://es.wikipedia.org/

•

http://www.unitaglive.com/qrcode/

•

http://www.gimp.org.es/

•

http://www.educa.jcyl.es/es

NOTA: UTILIZA LAS FICHAS DE SKETCHUP PARA VER LOS ELEMENTOS TEÓRICOS ADEMÁS DE LOS DATOS DE LOS PROBLEMAS.