MATEMÁTICAS 2º ESO
TEMA 8: PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Los repartos directamente proporcionales hacen referencia a una distribución no equitativa, es decir, la cantidad a repartir no será siempre fija sino que dependerá de las partes entre las que se va a dividir.
Repartir una cantidad M en partes directamente proporcionales
x y z M = = = .... = = k a b c a + b + c + ...
proporcional sería el siguiente ejercicio: Un ejemplo de reparto directamente Para llenar un estanque de 42.500 litros se utilizan 3 grifos A, B y C, cuyos caudales son 800, 500 y 400 litros por hora, respectivamente. ¿Cuántas horas cuesta llenar el estanque y cuántos litros de agua ha vertido cada grifo en el proceso? Llamaremos y, x y z al número total de litros que verterán los grifos A, B, y C, respectivamente. Estas 3 cantidades son proporcionales a sus caudales, 800, 500 y 400.
y x z = = 800 500 400 Teniendo en cuenta la relación anterior, podemos obtener el valor de k de la siguiente manera:
y x+ y+z x z 42.500litros = = = = = 25horas 800 500 400 800 + 500 + 400 1700 litros hora De aquí obtenemos que:
x = k ·∙ a = 25·∙800 = 20.000 litros y = k ·∙ b = 25·∙500 = 12.500 litros z = k ·∙ c = 25·∙400 = 10.000 litros
EJERCICIOS: 1.
Si se reparte un capital de 92.500 € entre 3 personas de 5, 12 y 20 años de forma directamente proporcional sus edades, ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos?
2.
Dos amigos, Víctor y Elena, se asocian para formar una sociedad a la que aportan 20.000 y 30.000 €, respectivamente. Al cabo del primer año han tenido unas ganancias de 3.500€. ¿Cuánto le corresponde a cada uno si el reparto se hace proporcionalmente al dinero aportado inicialmente?
3.
Un abuelo reparte 16.875€ entre sus 3 nietos de 2,3 y 10 años de edad, de forma directamente proporcional a sus edades. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?
REFERENCIAS: Matemáticas 2º ESO (2003)
MATEMÁTICAS 2º ESO PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DIRECTA Para resolver un problema de proporcionalidad compuesta, primero se determina el tipo de proporcionalidad que hay entre cada magnitud y la magnitud de la incógnita. Después, se resuelve mediante reducción a la unidad. Esta proporcionalidad se puede manejar también a través de una regla de tres compuesta directa. En una oficina, 45 radiadores encendidos durante 5 horas consumen 405 kWh. ¿Cuál será el consumo de 25 radiadores encendidos durante 6 horas? En este problema intervienen 3 magnitudes que están relacionadas entre sí de forma directamente proporcional. El proceso que hay que seguir es: Nº DE RADIADORES
Nº DE HORAS
CONSUMO
45
5
405
1
1
405 = 1,8 45 ⋅ 5
25
6
25·6·1,8 = 270
Sabemos que
Consumo de 1 radiador en 1 hora.
Consumo de 25 radiadores en 6 hora.
En primer lugar, calculamos el consumo de 1 radiador de 1 hora (método de reducción a la unidad). Después se multiplica la cantidad obtenida (1,8) por el número de radiadores y horas para los que hemos de hallar el consumo. EJERCICIOS: 1.
Un grupo de 7 amigos pernoctan en un hotel durante 4 días y pagan 448€. Si en otro viaje se apuntan 2 amigos más y están todos 2 días más, ¿Cuánto pagarán?
2.
Un laboratorio fotográfico dispone de varias máquinas de revelar carretes. Si cinco máquinas trabajando durante 5 horas revelan 750 carretes,
3.
a.
¿Cuántos carretes revelarán 6 máquinas durante 8 horas de trabajo?
b.
¿Y 10 máquinas en 6 horas?
En una granja de gallinas, 600 gallinas consumen 630kg de pienso durante 7 días. a.
¿Cuántos kg de pienso consumirán 1000 gallinas durante 15 días?
b.
¿Y 1500 gallinas durante 10 días?
REFERENCIAS: Matemáticas 2º ESO (2003)
MATEMÁTICAS 2º ESO REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES Los repartos directamente proporcionales hacen referencia a una distribución no equitativa, es decir, la cantidad a repartir no será siempre fija sino que dependerá de las partes entre las que se va a dividir. Si una ucantidad Repartir na cantidad M Mse en preparte artes directamente en partes proporcionales inversamente a los números a, b, c…consiste en dividirla en partes x, y, z…de proporcionales a los números a, b, c… las cantidades tal forma que: 1 1 y 1 respectivamente con: correspondientes
x, x x a b c x y z M = = = .... = = k M a b c a + b + c + ... x= 1 1 1 + + + ... a b c
proporcional sería el siguiente ejercicio: Un ejemplo de reparto inversamente
1.
Se reparten 2987€ entre 3 jóvenes de edades 14, 16 y 20 años de forma inversamente proporcional a éstas. ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos?
Teniendo en cuenta la ecuación inicial:
1 1 1 x+ x+ x = 2987; m.c.m.(14,16, 20) = 560 14 16 20
Si hacemos las operaciones con el m.c.m. nos queda:
40x + 35x + 28x = 1.672.720
x=
Por tanto:
1.672.720 = 16.240! 103
Al primero: 1 !16.240 = 1.160! Al segundo: 1 !16.240 = 1.015! 16 14
Al tercero:
1 !16.240 = 812! 20
EJERCICIOS: 1.
Si 62.000 € se reparten inversamente proporcionales a 2, 3 y 6, ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?.
2.
Reparte 240.000 € en partes inversamente proporcionales a 3, 4 y 7, ¿Qué cantidad le toca a cada uno?.
3.
Si 67.500 € se reparten en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 7, ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?.
REFERENCIAS: Matemáticas 2º ESO (2003)