Soluciรณn a los ejercicios de รกlgebra
ÁLGEBRA
EJERCICIO 6
CAPÍTULO 1
1. A ∪ B = { –3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 4, 6 }
EJERCICIO 1 1. s 2. s 3. 0
4. s 5. 0 6. 0
7. 0 8. s 9. 0
U
10. s 11. s 12. s
EJERCICIO 2 1. R = { x N | x es divisor de 10 } 2. A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 3. B = { 4 } 4. C = { x N | x es divisor de 20 } 5. V = { – 2, – 1, 0, 1, 2 } 6. Q = { e, o, u } 7. T = { 2, 3, 4, 5 } 8. S = { 2, 3, 7 } 9. U = { x N | x es un múltiplo de 4 } 10. M = { 2, 10, 50 }
EJERCICIO 3
2. n B 1 3. n S 4 4. n R 0 5. n Q c 1. n A 8
7. n M 0 8. n L 4 9. n J c 10. n O 12 6. n T 1
5
A
B
–3
4
–2 0 –1 1
3
2 6 7
2. A ∩ B = { 2 }
U A
5
–3 –2 0 –1 1
B
3
4 2 6 7
3. A′ = { 3, 4, 5, 6, 7 }
U
5
A –3 –2 0 –1 1
B
3
4 2 6 7
EJERCICIO 4 1. Iguales 2. Equivalentes y disjuntos 3. Disjuntos 4. Disjuntos 5. Equivalentes 6. Equivalentes y disjuntos 7. Equivalentes y disjuntos 8. Disjuntos 9. Disjuntos 10. Iguales
4. B ′ = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 3, 5, 7 }
U A
5
–3 –2 0 –1 1
B
3
4 2 6 7
5. A – B = { – 3, – 2, – 1, 0, 1 }
EJERCICIO 5 U
1. 8 subconjuntos 2. 32 subconjuntos 3. 16 subconjuntos 4.
[ [ ] , [ A ] , [ B ] , [ Q ] , [ A , B ] , [ A ,Q ] , [ B,Q ] , [ A , B,Q ] ] [ [ ] , [ a ] , [ c ] , [ e ] , [ f ] , [ a, c ] , [ a, e ] , [ a, f ] ,
[ c , e ] , [ c , f ] , [ e , f ] , [ a, c , e ] , [ a , c , f ] , [ a , e , f ] , [ c , e, f ] , [ a, c , e, f ] ] [ [ ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , [ 6 ] , [ 1, 2 ] , [ 1, 3 ] , [ 1, 6 ] , 6. [ 2, 3 ] , [ 2, 6 ] , [ 3, 6 ] , [ 1, 2, 3 ] , [ 1, 2, 6 ] , [ 1, 3, 6 ] , [ 2, 3, 6 ] , [ 1, 2, 3, 6 ] ] 7. [ [ ] , [ 1 ] , [ 3 ] , [ 9 ] , [ 1, 3 ] , [ 1, 9 ] , [ 3, 9 ] , [ 1, 3, 9 ] ] 8. [ [ ] , [ 5 ] , [ 6 ] , [ 7 ] , [ 5, 6 ] , [ 5, 7 ] , [ 6, 7 ] , [ 5, 6, 7 ] ]
5
A –3 –2 –1 0 1
B
3
4
2
6
7
5.
6. B – A = { 4, 6 }
U A –3 –2 –1 0 1 5
1456
B
3
4 2 6
7
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 7
EJERCICIO 8
[
]
[
]
1. A B 0,1, 2, 3, 4, 6, 8,12 2. B C 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,12
[
]
[
]
3. C D 0,1, 2, 3, 4, 5, 6
4. D B 1, 2, 3, 4, 5, 6,12
[
5. A B 2, 4, 6
[
6. A D 4, 6
1.
U
] A′
]
[
7. C E 0,1, 2, 3, 4, 5
[
8. B C 1, 2, 3, 4
]
2.
]
U
[
9. A′ 1, 3, 5, 7, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
[
]
[
]
10. B ′ 0, 5, 7, 8, 9,10,11,13,14,15,16,17,18
11. C ′ 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
[
[
[
]
B
(A ∩ B)′
]
14. C – D 0,1, 2
A
]
12. D ′ 0,1, 2, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 13. A – B 0, 8
A
3.
]
U
[
15. E – B 0, 5, 7, 8, 9
[
16. B – A 1, 3,12
A
]
B
]
[
17. A′ ∩ B 1, 3,12
]
[
18. A ∪ B ′ 0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,13,14,15,16,17,18
[
19. B ′ ∩ E ′ 10,11,13,14,15,16,17,18
[
20. A′ – G 1, 3, 5, 7, 9,10,11,13,15,17
] 4.
]
[
U
]
21. (A ∪ B)′ 5, 7, 9,10,11,13,14,15,16,17,18
[
22. (A ∩ B)′ 0,1, 3, 5, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
[
[
24. B ∪ (F – G ) 1, 2, 3, 4, 6,12,15,17
]
C A∩B∩C
[
26. (F ∩ G ) ∪ D 3, 4, 5, 6,14,16,18
[
27. E ′ ∩ (A ∪ G ) 12,14,16,18
]
5.
]
[
28. (E ∪ F ) ∩ (A ∪ G ) 0, 2, 4, 6, 8,14,16,18 29. (C ∪ E ) ∩ (F ∪ G )
B
]
]
25. (F – G ) ∩ E ′ 15,17
A
]
23. (A ∪ F ) ∩ C 0, 2, 4
[
A′ ∩ B ′
]
U
]
A
B
[ ] F [
30. (B ∪ D) ∪ (F ∩ G ) 1, 2, 3, 4, 5, 6,12,14,16,18
[
31. (B ∪ D)′ – (E ∪ G )′ = 0, 7, 8, 9,14,16,18
[
]
]
32. (A′ ∩ B ′ ) – (E′ ∩ F ′ ) 5, 7, 9,14,15,16,17,18
C
]
(A ∪B) ∩ C
1457
ÁLGEBRA
11.
6.
U
A
A
U
B
B
C
C B ′ ∩ (A – C )
((A – B) ∪ (B ∩ C ))′ 12.
7.
U
A
A
U
B
B
C
C
(A′ ∪ B ′) – (A′ ∪ C ′)
(A ∪ C ) ∩ (B – C )
EJERCICIO 9
8.
[
1. A B 0,1, 2, 3, 4, 5, 7
U
A
]
B U
A
B
0 3 1 4
2
7 5
C (A – B) ∪ (A ∩ C )
6
9.
[
2. A B 2, 3
U
A
9
8 C
]
B U
A
B
0 3 1 4 C
5 9
6
C
[
10.
3. A′ ∪ B ′ 0,1, 4, 5, 6, 7, 8, 9
U
7
8
(A ∩ B ∩ C )′
A
2
B
U
] A
B
0 3 1 4
2
7 5 9
8
C 6 (A ∩ B) ∪ (B ∩ C )
1458
C
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
[
4. A′ ∩ B ′ 6, 8, 9
]
[
9. (A – B)′ ∪ C ′ 0,1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9
U
A
B
U
A
0 3 1
2
4
3 1
5
4
]
[
A
U
B
]
A
B
0 3 2
4
3
7
1 9
6
[
U
B
2
7
1 4
5 9
8 6
]
A 0
0
4
9 C
11. (A – B )′ ∩ (B – C )′ 2, 5, 6, 8, 9
3
5
6
] A
7
8
C
1
2
4
5
8
U
9 C
10. (A ∩ B )′ ∩ (A′ ∩ B ′ ) 6, 8, 9
1
[
5
6
0
6. (A ∪ B ∪ C )′ 6, 9
7
8
C
U
2
9
6
[
B
0
7
8
5. (A ∪ B ) ∩ C 2, 4, 5
]
B 3 2
7 5 9
8 6
C
C
[ ]
12. (A′ ∪ B ′) – (A′ ∪ C ′ ) 4
[ ]
7. (A′ – B ′) ∩ C 5
U
U
A
A
B
0
0
3
3 1
2
4
7
1 4
6 C
U
B 3 2
U
D
7
P 19
101
5
4
6
41 14
9
8 6
9 C
1.
0
4
5
EJERCICIO 10
]
A
1
7
8
9
8
[
2
5
6
8. (A – B)′ ∩ (B ∩ C )′ 3, 6, 7, 8, 9
B
16
C
49
1459
M
a) 101 personas b) 158 personas c) 100 personas
ÁLGEBRA
EJERCICIO 13
2.
U
N
F 18
7 6
12
28
a) 52 niños b) 73 niños c) 100 niños d ) 32 niños
8
1. a ∧ b 2. a ∧ ∼b 3. ∼a ∨ ∼b 4. b ∨ a 5. ∼a ∧ b 6. ∼(a ∧ b)
1 20
B
EJERCICIO 14 1. ∼a = “España no está en Europa y 6 no es número par”
3.
2. ∼b = “Los perros no ladran o 12 no es múltiplo de 3”
U
S
G 9
5 4
6
10 2
a) 8 personas b) 5 personas c) 10 personas d ) 26 personas e) 34 personas f ) 36 personas
8
3. ∼c = “5 no es número par o es múltiplo de 15” 4. ∼d = “7 es primo y no es divisor de 21” 5. ∼e = “6 es número impar o el tucán es un ave”
EJERCICIO 15 1.
26
B Conversa: “Si 3 no es par, entonces es divisor de 6”
4.
Contrapositiva:
W
U
T 3
12 5
9
11
a) 5 personas b) 15 personas c) 55 personas d ) 31 personas
“Si 3 es par, entonces no es divisor de 6” Inversa: “Si 3 no es divisor de 6, entonces es par”
7 2.
8
Conversa:
V
5
“Si x es divisor de 25, entonces es múltiplo de 5” Contrapositiva:
5.
“Si x no es divisor de 25, entonces no es múltiplo de 5”
U
Ch
F 4
10 6
9
2
a) 50 niños b) 13 niños c) 20 niños d ) 16 niños
Inversa: “Si x no es múltiplo de 5, entonces no es divisor de 25”
3.
3
Conversa:
8 8
V
“Si un triángulo no es un cuadrilátero, entonces es un polígono” Contrapositiva: “Si un triángulo es un cuadrilátero, entonces no es un polígono”
EJERCICIO 12 1. “España está en Europa y Japón está en Asia”
Inversa: “Si un triángulo no es un polígono, entonces es un cuadrilátero”
2. “España está en Europa o Japón está en Asia” 3. “España no está en Europa” 4. “Japón no está en Asia” 5. “Si España está en Europa, entonces Japón está en Asia” 6. “España está en Europa, si y sólo si Japón está en Asia”
4. Conversa: “Si la Luna es un satélite, entonces Marte no es un planeta”
7. “España no está en Europa y Japón está en Asia”
Contrapositiva:
8. “España está en Europa o Japón no está en Asia”
“Si la Luna no es un satélite, entonces Marte es un planeta”
9. “No es verdad que España está en Europa o Japón está en Asia”
Inversa:
10. “No es verdad que España está en Europa y Japón está en Asia”
“Si Marte es un planeta, entonces la Luna no es un satélite”
1460
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
5.
6.
Conversa:
Números reales
“Si 17 no es múltiplo de 50, entonces es número primo”
Números enteros
Contrapositiva: “Si 17 es múltiplo de 50, entonces no es número primo” Inversa:
Números primos
“Si 17 no es número primo, entonces es múltiplo de 50”
EJERCICIO 16
[
1. 2, 4, 6, 8
]
7. ∼ g = “x ≤ 7”; x N
N ∼ g = “x > 7”; x N
x es par
x 10
N x
[
2. 2, 4
7
] N x es par menor que 12
8. ∼ h = “x no es par y x g 8”; x N
x
5 ∼ h = “x no es par y x q 8”; x N
N
[
3. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9,12,15,18,...
]
x es par
N x es múltiplo de 3
[
4. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
x 8
x 8 9. ∼ i = “x ≥ 4 o x no es par”; x N ∼ i = “x < 4 o x no es par”; x N
]
N N x es primo 11
x
x es par 10
4
x es par
10. ∼ j = “x ≤ 5 o x no es primo”; x N
5.
∼ j = “x > 5 o x no es primo”; x N
Ciudadanos Mexicanos
N
Duran – guenses
x
1461
5
x es primo
ÁLGEBRA
EJERCICIO 17 1. Falso
2. Falso
3. Falso
4. Verdadero
5. Verdadero
6. Verdadero
EJERCICIO 18 1.
3. p v v f f
q v f v f
q f v f v
p
p v v f f
q v v f v
2.
p f f v v
q v f v f
p
q f v f v
q v v f v
4. p v v f f
q v f v f
q f v f v
p
q f v f f
5.
(p
q
p
(p
q)
p
q
v
v
v
f
f
v
f
v
f
v
v
f
v
v
f
f
v
f
f
f
v
v
v
q)
q
q
v
6. p
q
p
(p
q
(p
q)
q)
p
q
p
q
v
v
v
v
v
v
v
v
v
f
f
v
f
v
f
f
v
f
v
f
f
v
f
f
f
f
v
f
f
7.
(p
q
p
q
p
q)
(p
(p
q)
v
f
f
v
f
v
v
v
v
f
f
f
v
f
f
8. p
q
v
v
q
p
q
(p
p
v
v
(q
q)
p)
p
q
v
v
v
q
p
(p
p
q)
(p
(p
q))
v
v
v
v
f
f
v
v
v
f
f
f
v
f
v
v
f
v
f
v
v
f
v
f
f
v
v
v
f
f
v
f
v
p
q
p
q
v
v
f
f
f
v
f
v
p
9. p
(p
q
p
q
q)
( p
(p
q)
v
f
f
v
f
v
f
v
f
v
v
f
f
v
f
v
f
f
v
v
v
f
v
v
10.
q)
11. (p
(p
( q
r)
p
( q
p
q
r
p
q
r
p
q
v
v
v
v
v
v
v
v
v
f
f
f
f
v
v
f
v
v
v
v
v
f
f
f
v
v
v
f
v
v
v
v
v
f
v
f
v
v
v
v
f
f
v
v
v
v
f
f
f
v
f
f
f
v
v
v
v
v
f
v
f
v
f
f
f f
v v
v f
v v
f f
f v
v v
f
f
v
f
v
f
f
f
v
v
v
v
v
f
f
f
f
f
f
f
f
f
v
v
f
v
q
p
p
r
q)
r)
1462
r)
q)
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 22
EJERCICIO 19
[ 1, 2 , 1, 4 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3, 4 ] A r C [ 1, 3 , 1, 5 , 1, 6 , 2, 3 , 2. 2, 5 , 2, 6 , 3,33 , 3, 5 , 3, 6 ] 3. B r C [ 2, 3 , 2, 5 , 2, 6 , 4, 3 , 4, 5 , 4, 6 ] 4. B r A [ 2,1 , 2, 2 , 2, 3 , 4,1 , 4, 2 , 4, 3 ] 5. C r B [ 3, 2 , 3, 4 , 5, 2 , 5, 4 , 6, 2 , 6, 4 ] A r B r C [ 1, 2, 3 , 1, 2, 5 , 1, 2, 6 , 1, 4, 3 , 1, 4, 5 , 1, 4, 6 1. A r B
2, 2, 3 , 2, 2, 5 , 2, 2, 6 , 2, 4, 3 , 2, 4, 5 , 2, 4, 6 3, 2, 3 , 3, 2, 5 , 3, 2, 6 , 3, 4, 3 , 3, 4, 5 , 3, 4, 6 ] A r B r C [ 1, 2, 3 , 1, 2, 5 , 1, 2, 6 , 1, 4, 3 , 1, 4, 5 , 1, 4, 6 7. 2, 2, 3 , 2, 2, 5 , 2, 2, 6 , 2, 4, 3 , 2, 4, 5 , 2, 4, 6 3, 2, 3 , 3, 2, 5 , 3, 2, 6 , 3, 4, 3 , 3, 4, 5 , 3, 4, 6 ] 8. A B r A C [ 1, 3 , 2, 3 , 3, 3 , 4, 3 ] 9. A B r C [ 1, 3 , 1, 5 , 1, 6 , 3, 3 , 3, 5 , 3, 6 ] 10. A C r A C [ 1, 3 , 2, 3 ] 6.
1. x 3 2. 3a 8 3.
x y
4. 100 x 5. x , x 1 6. 2a, 2a 2, 2a 4 con a Z
7. x y
8. x 2 y 2 9.
1 x 3
10. x y 11. a b 12. 5 x 10 13.
a b 6
3 2x 4 4
15. 2 y 10 y 21 y 1 16. xyz 4 4
2 49
18. A x 2
20. x x 3 x 5 P
19. P 2 3a a 2 4a 8a
EJERCICIO 20 1. 5x
10. 2n
19. a 2 b ab 2
2. 13a 2 b
11 11. a 3b 60 12. 0
20. a 3b 2 c 2a 2 bc 2
3. 10 xy 2
21. 7 x 2 10 y 2 8
21. x 0.15 x 0.85 x 22. 50 2 x 23. x ,80 x 24. 2 x 1, 2 x 3, 2 x 5 con x Z
4. 0
1 13. 0.05b b 20
22. 8m 2 4mn 5n 2
5. 10a 2 b
14. 2ab 3 c
23. 2 x 2a 1 5 x 3a 2
26. x 10
6. 8a
15. 3m x 2
24. 9a m 5 7 x m 2
27. x 3
7. x
16. 3x 3 y
15 25. a 2 3ab 4
8. 8ab
17. b
26.
9. a 2
18. 11m 8n
27.
17 m 1 17 m 2 x b 6 20
1 x 3y 2
EJERCICIO 21 1. 1 2. 5 3. 3 4. 1 5. 14 7 6. 12 7. 2 8. 6 9. 24
14. 2 x 2 x 2 2 x 4 3 2 x
17. a b
CAPÍTULO 2
2
10.
1 36
11.
49 144
12. 31 13.
65 4
14. 24 15.
105 8
16.
7 3
17. 2 11 18. 12 23 19. 4 20.
9 64
21.
5 12
22.
285 16
23.
1 156
24. 432 25.
33 2
25. A x 3x 3
x 2 28. x , 2 x ,180n 3x 29. 0.30 x 30. 2 x 4 2 1 31. x 3 x 1 10 3 x
32. 2 x 3 x 1 7 EJERCICIO 23
1. Un número aumentado en tres unidades. 2. El doble de un número disminuido en once unidades. 3. El triple del cuadrado de un número. 4. Las cinco sextas partes de un número cualquiera. 5. El recíproco de un número. 6. El cuadrado de la suma de dos cantidades diferentes. 7. La suma de los cubos de dos números. 8. El cociente de un número entre su consecutivo. 9. El quíntuplo de un número equivale a treinta unidades. 10. El triple de un número disminuido en dos unidades equivale a veinticinco.
1463
ÁLGEBRA
11. Las tres cuartas partes de un número aumentado en dos unidades equivalen a dicho número. 12. Una sexta parte de la diferencia de dos cantidades aumentada en tres unidades equivale a la suma de dichos números. 13. El cociente de dos números equivale a un quinto de su diferencia. 14. La diferencia de los cuadrados de dos cantidades. 15. La diferencia del cuadrado de un número con el doble del mismo. 16. El cuadrado de la semisuma de dos cantidades. 17. La raíz cuadrada del cociente de la suma de los números entre la diferencia de ellos. 18. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos.
EJERCICIO 24 1. 10 x 5 y z 2. 3m n 2
EJERCICIO 25 1. 3a 2 2a 5 2. x 3 5 x 2 10 x 11 3. 5a 5 4a 4 7a 3 2a 2 9a 1 4. 15 x 4 y 17 x 2 y 3 5 xy 4 5. a 5 b 4a 4 b 2 2a 3b 3 5ab 5 1 6. x a 2 13x a 1 x a 12 x a 1 7. 10a 2m 1 6a 2m 5a m 1 a m 3 8. x 3 9.
3. 3a b
9 2 16 5 x x 4 3 3
2 4 3 4 m n m 3 n 2 m 2 n 3 2mn 4 3 5 3 5 4 14 3 4 1 x x y x 2 y2 y4 2 5 15 3
4. 7 p 2q 7r
10.
5. 5 x 2 10 x 2
11. 3x 7 y 5
6. 2a 3 9a 2 5
12. 2a 2
7. 2 x 4 x 3 2 x 2 x
13. 18 x 3 18 x 2 5 x 1
8. x 2 2 x
14. 2a 4 2a 2 a 5
9. 5 y 3 3 y 2 3 y 1
15. 4 x 7 y 5 6 x 6 y 4 12 x 3 y 2
10. 2 z 3 7 z 2 7 z 1
16. 4m x 1 2m x 2 m x 5 3m x 6 4m x 9
11. 9 x 2 3xy 11 y 2
17. 15a n 10 4a n 9 5a n 2 3a n 1 8a n 5a n 3
12. x 5 x 4 x 3 6 x 2 3x 2
18.
1 7 5 m n p 2 10 6
19.
5 3 5 2 1 5 3 x x y xy 2 y 6 4 2 12
13. 23x 3 y x 2 y 2 10 xy 3 14. 4 x 4 xy 3 4 y 4 15. 4a7 3a 6 6a 4 a 2 7a 16.
1 2 1 x 3xy y 2 6 3
1 13 7 2 17. a 2 ab b 3 12 24 18.
5 3 1 2 1 x x y xy 2 2 y 3 3 3 8
1 5 17 y 19. x 3 x 2 x 3 2 6 20. x 5
21.
13 4 3 5 3 29 5 x y x 3 y 2 x 2 y 3 xy 4 y 5 10 6 4 18
1 4 1 3 1 2 1 1 x x x x 6 4 3 4 4
22. 3a 3 x 2a 2 x a x
20.
17 5 23 4 2 15 3 3 1 2 4 a b a b a b a b 2 4 4 2
EJERCICIO 26 2. 11a 3b 2c
8. 2 x 20 y
3. 23x 3 y
9. 5 x 2 y 18 z
4. 23m 14n
10. 5 x 5 y 8 z
5. 12a 2b
11. 2a
6. 18 x 7 y
12.
1. 15 x 2
2 1 y 1 1 2 y 1 1 3 y x x x 3 12 3
14 17 x y 15 15
7. x 2 y 2 z 2
2. 24 x 8 y 9 z 2 9
3. 14a bc
25.
9 b 10
EJERCICIO 27
23. x 2a x 2a 2 7 1 7 24. b 2 x b x b 8 6 3
7. 19 x 2 4 x 12 y
1. 8x y
4.
8
3 xyz 5 10
5. 50m 8 p 4 6. 3c11 m10 p 2
1464
8. 4a 4 bc 9. m 5 n 2 p 7 8 13 3 a b c 6 12 3 2 4 11. x y z 35 12. 27m7 p 3 10.
SOLUCIÃ&#x201C;N A LOS EJERCICIOS
13. 0.1m 8 np 5
22. 56 x 9 y 8 z 2
7. 9 x 2 3xy 2 y 2
14. 0.048abcxyz
23. 30xyz
8. n 4 3n 2 28
15. 10a m 2 b n 3 c 2
24. 48 x11 y 8
16. 42m 17. 36 x 18. 6 x 19.
8 25. a12 b 5 c 4 3
3x 2 4 x 5
n
1 26. a 9 b 4 c 4 2
3m 5 2n 5
y
5a 2 9a 5
27. 40a 6 x 4 b 3 x 3 c x 2
y
1 5 x 2 2 x 1 x 4 a b c 4
28.
1 4 a 2 7a 1 x y 12
20. 2 x a 1 y
29. 24 x 9a 2 y 6a 1
21. 30a 6 b 3 c
30. 20a 8 x 2 b 6 m 2 x 3 n 5 x 3
9.
1 2 7 x x 4 2 3
10.
10 2 16 3 x xy y 2 9 3 2
11.
4 2 31 3 x xy y 2 15 30 4
12. x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 13. x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 14. m 3 n 3 15. m 3 n 3 16. 15 x 3 22 x 2 y 13xy 2 14 y 3
EJERCICIO 28
17. 27a 3 51a 2 b 40ab 2 28b 3
1. 8a 5 b 14a 4 b 2 5
4
2
18. 4a 4 2a 3 6a 2 11a 4
2. 15m 9m 18m 9m 4
3
2
19. 15 x 5 20 x 4 9 x 3 12 x 2 18 x 24
3. 3x y 7 x y 2 x y 3
2 2
4. 6a b 21a b 24ab 8 4
7 5
3
20. x 4 3x 3 3x 1
6 7
5. 24a b 28a b 16a b
21.
6. 35 x 7 y 4 z 2 15 x 6 y 3 z 20 x 2 y 2 z 2 7. 40m 4 np 3 24m 5 p 4 48m 3 p 3
22. 10 x 3
8. 12a 4 c 5 21a 3bc 4 6ac 5 9. 15m x 7 n 2 x 1 9m x 2 n 2 x 4 6m x 2 n 2 x 1 10. 14 x a 3 12 x a 1 16 x a 18 x a 1 4 x a 2 11. 9a
3 x 2 3 x 1
12. 25 x
b
5m
y
3n 1
21a
3 x 1 3 x 2
10 x
5m 1 3n 2
b
12a
y
2 3 27 2 193 2 7 3 a a b ab b 15 10 18 6
2 x 1 2 x 2
20 x
b
5m 2 3n 3
y
23. x 3
23 2 21 2 1 3 x y xy y 6 20 15
13 2 63 2 1 3 x y xy y 30 40 2
24. m x m x 1 n mn a 1 n a 25. b m 3 b m 26. x 2m 5 2 x 2m 4 3x 2m 3 4 x 2m 2 2 x 2m 1
13. 12a x 5 b y 2 c m 5 12a x 4 b y 3 c 7 8a x b y 1 c 6
27. x 2a 3 4 x 2a 2 x 2a 1 2 x 2a
1 1 2 14. a 3b 2 a 2 b 3 ab 4 3 2 5
28. 6 x 4 31x 3 43x 2 6 x 8
15. x 5 y 8 x 4 y 2 16.
4 3 3 x y 9
8 7 2 14 32 3 6 1 3 a b c a5b 4 c a b c ab c 25 5 25 20
17. 4a 6m 4 b 2m c 4
35 m 6 m 4 a c 2
18. 3x 2m 3 x 2m 2
3 x 2m 1 2
19.
28 m 1 3n 1 16 m 3n 3 a b c a b 3 5
20.
16 3 x 3 3a 4 14 m n m 3 x 2 n 3a 3 m 3 x n 5 15 5
EJERCICIO 29 2
29. 18 x 4 25 x 2 14 x 9 30. 4 x 5 y 6 x 4 y 2 2 x 2 y 4 12 xy 5 31. m 2 2mp n 2 p 2 32. 2m 2 5mn mp 3n 2 np 10 p 2 33. a 2 b 2 2bc c 2 34. x 6 2 x 5 x 4 4 x 3 4 x 2 35. 3x 4 11x 3 20 x 2 7 x 5 36. x 2m 4 2 x 2m 3 x 2m 2 x 2m 37. 2 x 2m 3 7 x 2m 2 7 x 2m 1 x 2m x 2m 1 38. a 6 2a 4 b 2 4a 2 b 4 7ab 5 2b 6 39. m a 2 2m a 8m a 1 3m a 2
1. x 5 x 14
40. 30 x 5a 1 34 x 5a 31x 5a 1 23x 5a 2 3x 5a 3
2. m 2 m 72
41. m 6 2m 5 2m 4 3m 3 2m 2 m 1
2
3. x 5 x 6 4. 3x 2 19 x 28
42.
1 5 1 4 55 3 17 2 55 3 x x x x x 9 4 72 12 48 2
5. 6 x 2 11x 10
43. a 2 x 3 2a 2 x 2 2a 2 x 1 4a 2 x a 2 x 1 a 2 x 2
6. 25 x 2 16 y 2
44. a 2 x 6 a 2 x 5 5a 2 x 4 4a 2 x 3 a 2 x 2 5a 2 x 1 5a 2 x
1465
ÁLGEBRA
EJERCICIO 30
EJERCICIO 32
1. 3a 4 b 5
13. 3a x 2 b x 3 c x 3
2. 6 x 4
10 14. x 5m 5 y 9n 5 z 2m 2 3 15. 1 7 2 16. ac 20
5 3
3. 2a b
2 4
4. 4 p q
1. x 2
28. 4 x 2 6 xy 9 y 2
2. x 1
29. x 4 2 x 2 y 2 4 y 4
3. x 3 y
30. a 3 a 2 a
4. x 3
31. x 4
5. x 6
32. 2 x 2 xy 3 y 2
6. x 6
33. 3x 2 x 2
7. m 4n
34. 3x 2 x 1
8. x 10 y
35. 2 x 2 3x 1
9. n 2 6
36. 2 x 2 3x 5
21. 9n p
10. m 3 4
37. 4a 2 6a 7
1 22. c 3 d 5 x 2
11. x 4 2
38. 6 x 2 3x 4
12. x 6 7
39. 7 x 2 x 4
13. 3x 7
40. 5 x 2 9 x 3
14. 4m 3
41. 4 x 2 3x 1
15. 5a 7
42. 5a 3 3a 2 b 6ab 2 2b 3
16. 2a 3b
43. 4 x 5 6 x 4 7 x 3 8 x 2 3x 2
17. 7m 3
44.
18. 3a 4b
45. 4 x
19. 7m 3n
1 46. 4m n 3
20. 3x 2 y
47.
21. 3m 2 5n 2
48. x a 2 x a 1 x a
22. 3m 2 5
49. a m 1 b y 1
23. 5m 3 6
50. m a 2m a 1 m a 2
24. 5m 2 3m 2
51. m x 2 3m x 1 2m x
25. 3x 2 7 x 6
52. m x 2 2m x 1 m x
26. 2a 7
53. 5m 2 x 2 m 2 x 1 3m 2 x 54. x m 4 x m 3 2 x m 2 x m 1
3 a 4
5. 3a 8 b
17.
6. 5a 6 b 6
18. 4 xy 5
1 7. x 4 y 2 3
19.
7 m 1 n 2 a b 6
2 8. a 2 b 6 3
20.
1 4 5 x y 9
2 9. x 2 z 3 10.
4
1 3 xy z 4
11. 2 x 7a 6 y 3b 3
23. 2a 3b 2 9 24. a 4m 1b 2n 2 8
12. 5a n 6 b 2n 7
EJERCICIO 31 1. x 2 2. 2 x 1 3. 5 x 2 y 4. 2 x 2 x 1 5. x 2 3x 4 5 6. 2 x 4 x 2 3x 2 7. 9m 3 n 4 5m 2 n 4 1 8. 4a 6 b 2 6a 5 b
1 3 a 8
9. 4 x 7 y 5 7 x 5 y 2 1 1 10. a 5 2 11.
1 2 5 1 3 1 2 a b ab b 30 24 6
1 2 12. a7 b 5 2a 5 b 4 a 3b 3 9 9 5 13. x 6 y 4 x 7 y 2 5 x 3 4 2 14.
5 4 4 10 2 2 5 7 x y x y xy 36 9 18
27. x 2 xy y 2
15.
1 8 5 4 6 4 1 3 3 2 2 x y x y x y xy 5 15 20 5
EJERCICIO 33
16. 2 12a x b y c z 16a 2 x b 2 y c 2 z 17.
1 a 3 12 x y 2 x 4 y1 a 6
18. 4a 3m 2 b 3m 3a 2m 7 b 2m 6 2a m 1b m 1 19. 2a 4m 6 b n 10 5a 5m 4 b n 1
4 3m 2 5 2n a b 5
20. 9 x 2a y b z 3 2 x 2a 1 y b 1 z c 2 4 x 2a 2 y b 3 z c 3
5 1 a b 3 2 1 y 5
1 2 a 4 3
1. 6t 2 t 6
7. 4x y
2. x 2 2 x 4 400
8. 6t 4 t 3 7t 2 2
3. 5 x 2 6 xy y 2
9. 40 x 2 36 x 8
4. 15 y 2 14 y 3
10. 9 x 2 1
5. 20 x 2 7 xy 6 y 2
11. 15 x 2 4 x 3
6. 12w 3 8w 2 13w 3
12. 20 x 2 3x 9
1466
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO 3 EJERCICIO 34 1. x2 + 16x + 64 2. m2 – 20m + 100 3. a2 – 6a + 9 4. y2 + 2y + 1 5. y2+ 10y + 25 6. p2 – 12p + 36 7. 1 – 2b + b2 8. x2 – 10x + 25 9. 4 + 4n + n2 10. 16 – 8m + m2 11. y2 + 18y + 81 12. x2 – 24x + 144 13. p2 + 30p + 225 14. 4a2 – 4a + 1 25 2 5 1 15. 16 x 6 x 9 16. 9a2x2 – 6ax + 1 17. m2n2 + 16amn + 64a2 18. 49a2 – 42ab + 9b2 19. 4x2 + 12xy + 9y2 20. x2 + 0.4x + 0.04 21. 16x6 + 40x3y + 25y2 22. 81a6 – 18a5b + a4b2 23. 36m2n8 + 36m6n4p + 9m10p2 24. a10 – 2a5b5 + b10 3 9 2 2 25. 1 – xy + xy 2 16 1 2 x – xy3 + 4y6 16 4 1 1 27. 9 x 2 3xy 16 y 2 26.
28. 9x4 + 24x3y7 + 16x2y14 29. 25a2b2 – 30abxy5 + 9x2y10 30. m18 + 24m9y4 + 144y8 31. 9x4 – 54x2y6 + 81y12 32. a2x – 2axby + b2y 33. 9x8a – 10 + 12x4a – 5y2a + 1 + 4y4a + 2 34. m6a + 12 – 8m3a + 6n3b + 16n6b 1 35. 9a2x + 3a4xb4y + a6xb8y 4 16 4m – 2 12 2m – 1 9 36. a – a b + b2 25 5 4 37. 0.36m4x – 0.6m2xn4 + 0.25n8 38. 36x6m – 4 + 60x3m – 2 y 4mz3 + 25y8mz6 39. 0.09x4a – 0.48x2ayb – 1 + 0.64y2b – 2 40.
25 6a 4 36 2 6a x 4 x 3a 2 y1 3a y 25 9
41.
x16 2 y 3x 8 y y 8 x 9 y16 2 x 4
x 8a b 4 x x 4 a y a 1 b 8 x y 2a 2 25 10 16 2 2 2 43. x + 4y + 9z + 4xy + 6xz + 12yz 44. 9x2 + 4y2 – 12xy + 6x – 4y + 1 45. a2 + 36b2 + 25c2 + 12ab – 10ac – 60bc 42.
46. a4 + 10a3 + 33a2 + 40a + 16 47. a4 + 6a3 + 5a2 – 12a + 4 48. x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 49. x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 4 50. 4a2 – 12ab + 9b2 + 4a – 6b + 1 51. 16m2 + 25n2 + p2 + 40mn + 8mp + 10np 52. 9x4 + 4y4 + 1 + 12x2y2 – 6x2 – 4y2 1 1 1 2 53. a2 + b2 + c2 + ac + ab + bc 4 9 3 3 54.
1 2 1 1 1 1 x + y2 + – xy + x– y 36 16 3 12 2
4 9 1 12 4 6 + + + – – xy xz yz x2 y2 z2 56. a2x + b2y + c2z – 2axby + 2axcz – 2bycz 57. a2x + 2 – 4a2x + 1 + 2a2x + 4a2x – 1 + a2x – 2
55.
EJERCICIO 35 1. x2 – 9 2. a2 – 1 3. b2 – 4 4. k2 – 64 5. 25 – y2 6. 81 – a2 7. m2 – n2 8. x2y2 – z2 9. 9x2 – 25y2 10. 16m2 – 81n2 11. 4b2 – 9c2 12. 36x10 – 1 13. 9m6 – 64 14. 25x8y2 – 16z2 15. 81a2b8 – c14 16. 49a8b6 – c 2d 10 9 2 1 17. m – 25 4 18.
49 6 9 x – 36 4
19.
1 2 2 12 x y –z 9
1 100 21. 9a2x – 8– b6x 22. 64y4a – 6 – 16x8a 23. a2 + 2ab + b2 – c2 24. a2 – b2 + 2bc – c2 25. m2 – n2 – 2np – p2 26. x2 + 2xy + y2 – 9 27. 16x2 – 9y2 + 6yz – z2 28. x4 + x2y2 + y4 29. m8 – m4 – 2m3 – m2 30. 4x2 + 20xy + 25y2 – 9z2 31. x2 + 4xy + 4y2 – 1 1 1 1 4 2 – n 32. m2 – m + 4 4 16 9 20. 9x4 –
33.
4 4 37 2 2 4 4 x + xy + y 25 315 49
34.
1 2m + 2 1 2m 1 2m – 1 1 2m – 2 x – x + x – x 9 36 6 4
1467
ÁLGEBRA
35. a2 + 2ab + b2 – c2 – 2cd – d2 36. x2 + 2xz + z2 – y2 + 2y – 1 37. m2 – 10m + 25 – 4n2 + 12np – 9p2 38. x2 – 2xy + y2 – z2 + 8z – 16 39. 4x2 + 12xy + 9y2 – 16z2 + 56z – 49 40. x2 – 2xy + y2 – 9z2 – 30z – 25
19. x 3
EJERCICIO 36 2
8
21. x – 6x – 72 22. x10 + x5 – 2 23. a6 – 7a3 + 10 24. x4m – 2 + 2x2m – 1 – 35 25. a4x6 + 3a2x3b4 + 2b8 26. 9x2m – 9xmyn – 28y2n
7. x2 – 9x + 8
27. x 2
8. a2 – 6a – 27
28.
1 2 1 1 m m 9 30 5
9. x2 – 3x – 10
29.
9 2 11 5 y y 16 32 48
8 3 1 2 1 1 x x x 27 3 8 64
21.
27 3 36 2 16 64 3 x x y xy 2 y 125 25 5 27
22.
1 3 9 2 27 2 27 3 a – a b+ ab – b 8 16 32 64
1 12 1 8 x + x y + x4y2 + y3 27 3 24. 8x6a – 9 – 36x4a – 6y4a + 1 + 54x2a – 3y8a + 2 – 27y12a + 3 23.
EJERCICIO 38 1. x4 + x2 – 2
11. x4 – 41x2 + 400 16 16 8 8 10 1 20 12. x – xy + y 2. m – 65m + 64 81 225 625 4 3 2 8 4 4 8 3. 81x – 162x – 99x + 180x + 100 13. 256x – 32x y + y 4. 625x4 – 1 800x2 + 1 296 14. m4 – m2 – 2m – 1 15. x4 – y4 5. m6 – 12m4 + 48m2 – 64 4 2 6. x – 72x + 1 296 16. m6 – 12m4 + 48m2 – 64 17. x8 – 2x4y4 + y8 7. n8 – 36n4 + 84n2 – 49 8. x16 – 2x8y4 + y8 18. x4 – 10x2 + 9 9. 16m4 – 4m3 – 200m2 – 148m – 48 19. m8 – 11m4 – 80 20. n12 – 48n8 + 768n4 – 4 096 10. 6 561 – 1 296x12
1 1 x 2 9
4
11 15 xy 8 32
10. m2 + 5m – 24
30. x 2 y 2
11. 4x2 – 4x – 24
31.
12. 9m2 + 6m – 24
36 4 1 2 2 1 4 x x y y 25 10 12 2 2 33. a + 2ab + b + 7a + 7b + 12 34. a2 – 4ab + 4b2 + 6a – 12b + 5 35. x2 – 2xy + y2 – 4xz + 4yz – 21z2 36. 4x2 + 4xy + y2 + 2x + y – 2 37. m4 + 2m2n2 + n4 + 4m2 + 4n2 – 45 38. a2– b2 + 3c2 – 4ac – 2bc 39. x2 – 6y2 – 4z2 + xy – 3xz + 11yz 40. a2 + c2 – 25b2 + 2ac
13. 36x2 – 6x – 12 14. 16x2 – 28x + 10 15. 2 – 9x + 9x2 16. 25x2 + 50x + 24 17. 4 – 2x – 42x2 18. 25 – 35x – 18x2 19. x4 – 4x2 – 60 20. m6 – 12m3 + 32
20.
4
1. x – 3x – 40 2. m2 + 3m – 28 3. x2 – 12x + 20 4. x2 – 11x + 30 5. x2 + 10x + 24 6. n2 + n – 12
3 2 3 1 x x 2 4 8
9 2 9 2 y xy x 2 49 70 5
2
32.
EJERCICIO 37 1. x3 – 3x2 + 3x – 1 2. m3 + 18m2 + 108m + 216 3. x3 – 6x2 + 12x – 8 4. a3 + 30a2 + 300a + 1 000 5. n3 – 21n2 + 147n – 343 6. x3 + 9x2 + 27x + 27 7. 1 – 3x + 3x2 – x3 8. 1 000 – 300m + 30m2 – m3 9. 8x3 +12x2 +6x + 1 10. 27a3 – 108a2 +144a – 64 11. 8x3 + 36x2+ 54x + 27 12. 1 – 12m + 48m2 – 64m3 13. 27x3 – 108x2y + 144xy2 – 64y3 14. 125m6 + 150m4n5 + 60m2n10 + 8n15 15. 27x9y3 – 54x6y2z4 + 36x3yz8 – 8z12 16. 64x6 + 96x5y + 48x4y2 + 8x3y3 17. 27m12 – 108m11n + 144m10n2 – 64 m9n3 1 1 18. x 3 x 2 x 3 27
CAPÍTULO 4 EJERCICIO 39 1. a(a + 1) 2. a3b(b – 2) 3. a2(a2 + a – 1) 4. 6x4(3x + 5) 5. 12x2(4 – x – 2x2) 6. 5b2(5 + 7b2 – 9b3) 7. 11a(x – 11ax + 3a2) 8. 3ab(3a4 – 4ab2 + 5b – 6a2b3) 9. 3(3x2 + 2x + 1) 10. 4x2(x2 – 2x + 3) 11. 6x(x – y – 1) 12. 14x2(y2 – 2x + 4x2) 13. 17a(2x2 + 3ay – 4y2)
14. 55m2(n3x + 2n3x2 – 4y3) 15. 5x2(5x5 – 2x3 + 3x – 1) 16. 3a(3a – 4b + 5a2b2 – 8b3) 17. 12m2n(1 + 2mn – 3m2 + 4m3n3) 18. a2b(3 + 6ab – 5a2b2 + 8a3b3 + 4a4b4) 19. 8x2y(2xy – x2 – 3 – 5y2) 20. 50abc(2ab2 – 3bc + b2c2 – 4c) 21. 31a2x(3axy – 2x2y2 – 4) 22. 2x(3x – 1)2(x + 3) 23. 3(x + 1)(2 – x) 24. x(x + 2)(x – 1) 25. 4x2(2x – 5)(2x – 3) 26. (2x – 1)(3 –2x)
EJERCICIO 40 1. (m + n)(m + x) 2. (x2 + 1)(3x – 1) 3. (x + y)(a – b) 4. (y – 3a)(2y2 – 1) 5. (a – 2b)(m – 3n) 6. (a2 – 3b)(4x – 5y) 7. (m2 – 3n)(z2 +p2) 8. (5m + n2)(mn + p2) 9. (3a – 2b)(y4 + 1) 10. (2m + 3n)(x4 + 5)
1468
11. (b – c)(y2 + m2) 12. (x + 3)(x2 – 5) 13. (b – 3m)( 3z – y) 14. (a2 + 1)(a + 1) 15. (1 – 3a2)(2a + 1) 16. (3x – 7)(x2 + 1) 17. (1 – 4a)(b – 1) 18. (3m + 2)(6m2 – 5) 19. (xz + my)(xy – mz) 20. (p2t + m2n)(pt 2 + mn2)
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 41
EJERCICIO 43 1. (x + 2)(x + 1)
¤ 1³ ¤ 1³ ¤ 1³ 16. ¥ x 2 ´ ¥ x ´ ¥ x ´ ¦ 4µ ¦ 2µ ¦ 2µ
1. (x – 1)(x + 1)
¤ 4³ ¤ 4³ 17. ¥ 7 x ´ ¥ 7 x ´ ¦ 5µ ¦ 5µ
2. (x + 7)(x – 7)
6. (x2 + 8)(x2 – 8)
10. (2a2 – 3bc)(2a2 + 3bc)
36. (y + 25)(y – 22)
15. (x – 9)(x + 2)
45. (8 – 3x)(3x + 2)
24. (x + y – 4)(x – y + 2)
16. (x – 10y)(x – 8y)
46. (2x + 9)(1 – 2x)
25. (2x + y + 6)(2x – y – 4)
17. (a – 10b)(a + 5b)
47. (7 – 8x)(8x + 11) 48. (13 – 5x)(5x + 11) 49. x a 9 x a 4
3a
9. (2 – 5x)(5x + 2)
35. (n – 18)(n – 16)
6. (x + 4)(x + 3)
43. (x + 8)(5 – x)
x 3
3y
2a 4
a
3x 2 y
8. (6x – 1)(6x + 1)
34. (m2n2 + 12) (m2n2 – 11)
5. (x + 6)(x + 1)
44. (7 – x)(x + 6)
2b
3y
a
7. 4(5 – 2x)(5 + 2x)
4. (y – 8)(y – 7)
13. (a – 18)(a + 2)
3a
2a 4
5. (a2 + b2)(a – b)(a + b)
33. (x2y2 – 11)(x2y2 + 9)
14. (y + 6)(y – 5)
x 3
4. (4x – 3)(4x + 3)
32. (a – b + 8)(a – b – 3)
3. (n – 4)(n – 3)
x y 19. a 3b a 3b 20. m 5 m 5 21. 1 x 1 x 22. m n m n 23. 4 x 7 y 4 x 7 y
18. x 3a y 2b
3. (9 – x)(x + 9)
4x y
3x 2 y
3a
b
4x y
b
7. (a + 6)(a + 4)
37. (c – 44)(c + 22)
8. (b – 5)(b – 2)
38. (a + 21)(a + 12)
9. (m – 5)(m – 4) 10. (y + 3)(y + 1) 11. (x – 4)(x – 1)
41. (x + 8)(3 – x) 42. (4 – x)(x + 3)
11. (x + 6)(x – 6)
26. (x – 4y – 1)(x + 4y – 1)
12. (4a2b3+c3)(4a2b3–c3)
27. (3x – 1)(9x – 7)
19. (x + 8y)(x – 7y)
¤ 1³ ¤ 1³ 13. ¥ x ´ ¥ x ´ ¦ 2µ ¦ 2µ
28. (3x + 2y)(5x + 6y)
20. (m2 + 4)(m – 1)(m + 1)
¤ 2³ ¤ 2³ 14. ¥ x ´ ¥ x ´ ¦ 9µ ¦ 9µ
29. 4(7x – 9)(13x – 6)
21. (y – 2)(y + 2)(y2 – 2)
¤ 4³ ¤ 4³ 15. ¥ x ´ ¥ x ´ ¦ 7µ ¦ 7µ
30. 3x2(3x – 2)(5x + 6)
3
22. (n + 4)(n – 4)(n – 2)(n + 2) 23. (a– 6)(a + 6)(a – 1)(a + 1)
2
1. (a + 4)
13. (10a – 3b)
2. (m – 5)2
14. (a4 + 6bc)2
2
2
6
28. (3a – b)2
5. (x + 6)2
17. (20a5 + 1)2
29. (b – m)2
9. (2a – 5b)
2
10. (3a + b)2
11. (2a – 3b)2
12. a2(12x2a – 1)2
¤p ³ 20. ¥ 1´ ¦3 µ
31.
¤ y2 ³ 21. ¥ x 2 ´ 2µ ¦ ¤5 1³ 22. ¥ b 2 ´ ¦6 5µ
x 2y
30.
2
ax 2
¤ 3 ³ 32. ¥ a 2 5´ ¥¦ ´µ 2
¤ 1 ³ 33. ¥ x 6 3´ ¥¦ ´µ
2
¤ n2 ³ 23. ¥ 4m 3 ´ 4µ ¦
24. [3a + 3x – 2]2
2
2
¤ 1 ³ 35. ¥ m 3 2´ ¥¦ ´µ 36.
3
2
2
2
m 3
2
¤ 1 ³ 34. ¥ 4 x 4 1´ ¥¦ ´µ 2
a 2
a
a 2
56. (5x + y + 7)(5x + y – 6)
27. 4n
8. (4a + 3b)2
a
26. (5y + 7)(5y + 6)
2
2
4a
26. (5a – b)2
16. (7x3 – 5ay2)2
¤y ³ 19. ¥ z ´ ¦2 µ
3a
54. (x – 7)(x – 3)
15. (9a + 11)
7. (11c – 6)2
3a
55. 2(x – 9)(2x + 1)
4. (x – 3)2
18. (x4 + 9)2
2x
25. (2m – n + 3)
3. (n – 4)
6. (3a – 5)2
2x
24. (x2 – 10)(x2 + 9) 2
2
50. b 9 b 8 51. y 64 y 1 52. x 2 1 x 1 x 1 x 53. 9 x x 5
25. (ab + 4)(ab – 3)
EJERCICIO 42 2
39. (x + 33)(x + 11) 40. (t – 54)(t – 45)
12. (n + 4)(n + 2)
18. (m – 10n)(m + 3n)
3
31. (y2 + 12x)(y2 – 5x)
2. (m – 6)(m – 5)
2
27. (y3 – 7)(y3 + 2)
57. 6a(6a – 5)
28. (m – 7n)(m + 3n)
58. (x + 3y + 11)(2 – x – 3y)
29. (5 – b)(1 + b)
59. 4(4x + 7)(1 – x)
30. (z5 + 5)(z5 – 4)
60. (x + 3y)(4y – x)
EJERCICIO 44 1. (5m – 2)(m + 3)
16. (3y + b)(5y – 2b)
2. (3a + 1)(a – 2)
17. (n – 3m)(6n + 5m)
3. (3y + 2)(2y + 1)
18. (3x + 5)(6 – x)
4. (2x – 1)(x + 2)
19. (4b2 + 5)(3 – 2b2)
5. (4n + 3)(n + 3)
20. (5x – 3y)(6x + 7y)
6. (4x + 1)(5x – 1)
21. (2a4 + 5)(5a4 + 2)
7. (7a + 5)(a – 7)
22. (2a – 15b)(3a + b)
8. (y + 2)(2y + 1)
23. (3x2 – 2)(–2x2 – 3)
9. (4x + 1)(5x + 2)
24. (3x5 – 10)(10x5 + 3)
10. (3m + 2)(5m – 6)
25. (2m – n)(3m – 4n)
11. (2z + 5)(10z – 3)
26. (2ax – 7y)(3ax + 5y)
12. (b + 10)(2b + 9)
27. (3a – 2b)(8a + 7b)
13. (2y2 + 3)(3y2 – 2)
28. (xy + 2)(4xy – 5)
14. (2m2 – 7)(7m2 + 2)
29. (a2b – 3c)(5a2b + 2c)
15. (3ab – 5)(2ab + 5)
30. (m + 10n)(2m – 11n)
1469
2a
ÁLGEBRA
13. (a2 + 5b4)(a4 – 5a2b4 + 25b8) 14. (2x2 + 9)(4x4 – 18x2 + 81) 15. (3m2 + 7n3)(9m4 – 21m2n3 + 49n6)
EJERCICIO 45 ¤ 1³ ¤ 1³ 1. ¥ x ´ ¥ 3x ´ ¦ 2µ ¦ 4µ
1³¤ 2 1 1 2³ ¤ 1 16. ¥ x 9 y 9 ´ ¥ x 9 x 9 y 9 y 9 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ
¤ 2³ ¤ 1³ 2. ¥ x ´ ¥ 2 x ´ ¦ 5µ ¦ 3µ
1³¤ 1 1 1 1³ ¤ 1 17. ¥ a 4 2b 4 ´ ¥ a 2 2a 4 b 4 4b 2 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ
¤ 3³ ¤ 1³ 3. ¥ 3x ´ ¥ 2 x ´ ¦ 2µ ¦ 4µ ¤ 2³ ¤ 1³ 4. ¥ m ´ ¥ 5m ´ ¦ 3µ ¦ 2µ
3³¤ 1 3 ¤ 1 ³ 18. ¥ x 2 5 y 2 ´ ¥ x 5 x 2 y 2 25 y 3 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ
¤ 1³ ¤ 1³ 5. ¥ m ´ ¥ 4m ´ ¦ 3µ ¦ 5µ
19. (x a+1 – y 2a)(x2a+2 + x a+1 y 2a + y 4a) 20. (3y – x)(7x2 + 3xy + 3y2) 21. (x + y)(x2 – 4xy + 7y2) 22. (–2n)(27m2 + 18mn + 4n2) 23. – (a + 2b)(7a2 + 19ab + 13b2)
¤ a 1³ ¤ 3³ 6. ¥ ´ ¥ a ´ ¦ 6 9µ ¦ 4µ ¤ 1 ³ ¤ 2x 1 ³ 7. ¥ x y ´ ¥ y ¦ 2 µ ¦ 3 4 µ´ 8.
1 ¤ 5³ ¤ 5³ x ´ ¥ 3x ´ 25 ¦¥ 3µ ¦ 4µ
9.
¤ 1 4 ³ x 3y ¥ x y´ ¦ 24 3 µ
24.
1³¤ 1 1³ ¤ 1 13. ¥ x 2 3 y 2 ´ ¥ 2 x 2 y 2 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ
¤ 1 ³¤ 1 ³ 14. ¥ 2 x 3 5´ ¥ 3x 3 8´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ
17.
¥¦
x y 2 5 x y 4
1 8y2
³ ´ ´µ ¥¦
¤ 2 ¥ 4x 3
EJERCICIO 48
¤ 1 ³¤ 1 ³ 15. ¥ x 3 2´ ¥ 3x 3 1´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ
¤ 2 ¥ 3x 3
1. (x + 4y)(x2 – 4xy +16y2) 2. (a – 2)(a6 + 2a5 + 4a4 +8a3 + 16a2 + 32a + 64) 3. (3 – 2x)(81 + 54x +36x2 + 24x3 + 16x4) 4. (x + 1)(x6 – x5 + x4 –x3 +x2 – x + 1) 5. (m – n)(m4 + m3n + m2n2 + mn3 + n4) 6. (x – ab)(x6 + x5ab + x4a2b2 + x3a3b3 +x2a4b4 +xa5b5 + a6b6) 7. (1 – a)(1 + a + a2 + a3 + a4) 8. (xy + 5)(x4y4 – 5x3y3 +25x2y2 – 125xy + 625) 9. (x – 1)(x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) 10. (x + 2)(x8 – 2x7 + 4x6 – 8x5 + 16x4 – 32x3 + 64x2 – 128x + 256)
x 5 2 x 3 11. 3 x 2 4 x 1 12. 5 x 4 3 x 7
EJERCICIO 47
10.
16.
1 5 x y 7 x 2 5 xy 19 y 2 216
1 5y2
³ ´ ´µ
2³¤ 2 2³ ¤ 2 18. ¥ 2 x 3 3 y 3 ´ ¥ 4 x 3 5 y 3 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ
EJERCICIO 46 1. (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) 2. (x + 3)(x2 – 3x + 9) 3. (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) 4. (3a – b)(9a2 + 3ab + b2) 5. (2a + 3b2)(4a2 – 6ab2 + 9b4) 6. (4a – 9)(16a2 + 36a + 81) 7. (8 – 3a3)(64 + 24a3 + 9a6) 8. (x2 – 2y4)(x4 + 2x2y4 + 4y8) 9. (1 – 6m)(1 + 6m + 36m2) 10. (a – 5)(a2 + 5a + 25) 11. (3m + 4n3)(9m2 – 12mn3 + 16n6) 12. (7x – 8y2)(49x2 + 56xy2 + 64y4)
1. (m + 2n + 1)(m – 2n + 1) 2. (y + z – 3)(y – z – 3) 3. (x – y + 5)(x + y – 5) 4. (m2 – n3 – 3)(m2 + n3 + 3) 5. (7m2 – 5m + 3n)(7m2 + 5m – 3n) 6. (m + a – x – 3)(m + a + x + 3) 7. (1 – a – 3n)(1 + a + 3n) 8. (m – n + 1)(m + n + 3) 9. (1 – y + b)(1 + y – b) 10. (5p + m + 1)(5p – m – 1) 11. (m – n + 2)(m + n + 10) 12. (x + y + 4a + 3b5)(x + y – 4a – 3b5) 13. (10 – 3y + m – ap)(10 – 3y – m + ap) 14. (a + 5b + m + 3n)(a + 5b – m – 3n) 15. (2m – 7n – 3a – 5b)(2m – 7n + 3a + 5b)
EJERCICIO 49 1. (x – 2)(x – 1) 2. (x – 5)(x + 4) 3. (m – 5)(m – 2) 4. (x – 8)(x + 6) 5. (a – 10)(a + 4) 6. (n + 9)(n – 6) 7. (3x + 4)(x + 2) 8. (3m + 2)(2m + 1)
1470
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9. (3a – 4)(a + 1) 10. (3x + 4)(2x – 3) 11. (n2 + n + 1)(n2 – n + 1) 12. (a2 – 2a – 1)(a2 + 2a – 1) 13. (m4 – 2m2n2 + 4n4)(m4 + 2m2n2 + 4n4) 14. (x2 + 5x – 10)(x2 – 5x – 10) 15. (8a2 – 6a + 7)(8a2 + 6a + 7) 16. (a2b2 – ab + 11)(a2b2 + ab + 11) 17. (6m2 – 5mn – 7n2)(6m2 + 5mn – 7n2) 18. (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) 19. (a2 – ab – 3b2)(a2 + ab – 3b2) 20. (2m4 + 5m2n2 – 7n4)(2m4 – 5m2n2 – 7n4)
14. (x – 3)(x – 2)(x – 1)(x + 1)2 15. (a – 6)(a + 2)(a + 5)(a2 – a + 3) 16. (x – 3)(x – 2)(x + 1)(x + 2)(2x – 1) 17. (x – 3)(x – 2)(x – 1)(x2 + 2x + 4) 18. (x – 2)(x – 1)(x + 3)(2x – 1)(3x + 5) 19. (n – 3)(n + 3)(n – 2)(n + 2)(n – 1)(n + 1) 20. (x – 5)(x – 1)(x + 1 )(2x + 7)(x2 + 1)
EJERCICIO 50
MCD 1. 7x2y3z2 2. 24m2y2 3. 2xy 4. 13abc 5. 15mnx 6. 11xa yb 7. 6a2(x – 1)2 8. 9(a – b)(x + y) 9. 6 10. 19a(1 + b) 11. x + 1 12. m – 1 13. m + n 14. x – y 15. x – 2 16. 3a – 1 17. m – 4 18. a(a – 1) 19. 2b + 1 20. y – 3
1. x(x – 7)(x + 4) 2. 3(a – 2)(a + 1) 3. 3m(m – 1)(m + 1) 4. (y2 + 1)(y – 2)(y + 2) 5. (m – 1)2 (m + 1) 6. a(2x + 1)(3x – 2) 7. x(x2 + 1)(x – 1) 8. 2a(2x + 1)(2x – 1) 9. a(a2 + 2)(a – 1)(a + 1) 10. (2 + m)(2 – m)(4 – 2m + m2)(4 + 2m + m2) 11. (x – 4)(x – 3)(x + 4)(x + 3) 12. (a – b)(a2 – ab + b2)(a + b)2 13. a(a4 + b4)(a2 + b2)(a + b)(a – b) 14. a(x + 1)3 15. (a3 + 2)(a2 + 3a + 9)(a – 3) 16. (a + 1)(a – 1)(a2 – a + 1) 17. 4m2(y – 1)(y2 + y + 1) 18. 3mn(p – 2)(p + 3) 19. (4 + a)(4 – a)(16 + a2) 20. (a – b)(a4 + b4)(a2 + b2)(a + b) 21. 2(2x + 1)(2x – 1)(x2 + 1) 22. 5m(xy + 2)(y – 1)(y + 1) 23. (a + 3)(a – 3)(a2 + 3a + 9)(a2 – 3a + 9) 24. x(x – y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) 25. (a – 1)2 (a – b)(a + b) 26. 4a(a2 – a + 1)(a2 + a + 1) 27. (m – 1)(m + 2)(m – 2) 28. y(y + 2)(y + 6)(y – 2)(y – 6) 29. m(m2 + 1)(m – 1)(m + 1) 30. –m(3m – y)2
EJERCICIO 51 2
1. (b – 1) (b + 1) 2. (w – 1)(w + 1)(w + 2) 3. (x – 3)(x – 2)(x + 1) 4. (x – 4)(x + 2)(x + 3) 5. (x – 1)(2x – 1)(2x + 3) 6. (m + 2)(m2 + 1) 7. (y + 1)(3y + 2)(2y – 3) 8. (a – 3)(a – 1)(a + 1)(a + 3) 9. (x – 4)(x + 5)(3x + 1) 10. (m + 5)(m + 4)(m2 – 3m + 7) 11. (n – 2)2 (n + 1)2 12. (x – 2)2 (x + 1)(x – 1) 13. (x – 1)2 (x + 2)(x – 3)
CAPÍTULO 5 EJERCICIO 52 mcm 210x2y5z4 1 440m4y5 40x3y3z2 156 a2b2c2 2 100m4nx + 2 132xa + 2 yb + 2 360 a5(x – 1)4 135(a – b)2(x + y)2 360(2x + 1)2(x – 7)(x + 8)2 228 a4(1+ b)3 xy(x + 1) (m – 1)(m + 1)(m2 + m + 1) m2n(m + n) (x – y)2(x + y) 3xy(x – 2)(x + 2)(x + 1) a(3a – 1)2(9a2 + 3a+1) m(m – 4)(m + 3)(m + 2)(m – 5) 12a2(a – 1) (2b + 1)(6b + 1)(b – 3) (y – 3)(y + 2)(y – 1)(2y + 1)(2y +3)
EJERCICIO 53
x 2y x
1.
2a 2b 3ab
11.
2.
2a 2 b a 2b
12.
3.
a 3 2a
13.
4.
2m 2 6m 8 5 3m
14.
5.
6.
m 2n n m
2 x 2
7.
x 2y x y
5x y 3x 4 y x 3y
b m n
m n x 2 2x 4 x 4
21.
y 2 3a 2
22.
3x w z
23.
w 2 y x
24.
p 1 2 p
15.
x 2 xy y 2 x y
25. – 1
16.
y 2 3xy 9 x 2 y 2x
26.
x 1 x 3
17.
x 1 x 2
27.
x 1 x 4 y 2 y 2
8.
x 13 x 6
18.
x y x 2y
28.
9.
n 2 n 1
19.
1 x y
29.
2x 3 y 3x y
20.
a d 2ab
10.
1471
4 y
2 a a 4 30. y y 1
a 3
ÁLGEBRA
EJERCICIO 54 1.
4x 3 4x
3n 1 2n
3.
2
a 6 2. a
5.
19m 9 4. 4n
4 n
x 1 2x
7.
8. 5 15.
EJERCICIO 55 1.
2.
7 20
14.
7x 9 6x
15.
2
9 x 5 12 x 3 2
4.
3x 7 x 8
4 x 2 7 x 18
6.
h
16x
2h
19.
x h 1 x 1 4 xh 2h 2 ³ ¤ 3´ x 2 3 x h µ ¦¥
8x
18.
x h 2 x 2
2
4
3x
23.
x2 1
x 11. x 2 12.
13.
24.
5x 1
25.
x 1 x 1 2
7 x 2 20 x 3
x2 9 x 3
26.
x2 2
8 2 2
7ab x 2.
3 y
6.
3.
y2 8bx
7.
4.
16ax 3b 2
5.
2 3
2 x 2 x 5 x 34
b 4 xy
b b 3
8. 1
b 6
n 4 n 4
20.
x 3 a 1
a2b 4 x4 3 2
2 x 3
x 4 x
13.
1 2x 1
14.
2
4 x y
12.
1 3
3 x2 1
15. 16. 17.
x2
18.
8.
x 1 x 1
19.
x 11 x 2 7x x 2 2 x 35 x 2 8x 1 a 3 5x 1 2 x 2 3x b a b x 2 6x 8 x 2 6x 9
2
9.
11.
x 6x 5 x 2 x 12 x 2 11x 30 3x 2 14 x 8 2x 1 2x 5
20.
21. 22.
n n2 2 a 2 ab a b x2 1 x3 2
EJERCICIO 58
3m m 2 mn n 2
1.
1 x 7
2 x 2 27 xy 5 y 2
x 5y x 2y x y
2.
5a
x 6
10.
7 2
11.
5 2x
12.
x 3 x 5
a 1
a 1 a 1
4.
t 1 t
6.
7.
a2 a 1
3.
rs r 2 s2
9.
m 1 4
2x 1
x 9 x 9
10.
x x 3
7.
5. 5.
3y
6.
EJERCICIO 56 1.
1 3
x 3 x 2 x 4
18 a b
18.
4x 2
4. 6 x 3 2 x 3 1
2
4 22. 2x 5
x 4 x 8 x 3
x 9. x 3
4
x 2 3x 40
4 21. x 4
10.
9x 2
2 xh h 8. 2 ³ 2 ¤ ¥¦ x h 1´µ x 1
2
1 2
2
3
20.
x
2 3
3 5 x2
2
7.
2
1 2
2 x 3 24 x
17.
12 x 2
5.
2
x 2 3x 2 x 2 9 x 18
x
14 x
3x
17.
3.
16.
18 x 2
2.
1 2
2
3.
1.
3
x 1
4x 3 3x 4
¤ x 5³ 19. 2 ¥ ¦ x 3 ´µ
x 6 4x 1
EJERCICIO 57
5 x 2 12 x 3 x 2
16.
9. 1 14.
3y 5 6. 2y
x 6 x 5
13.
2
8.
6x 2 9 2x 2 x 3 x 3 x 10
2x 3 2 x 2 x 3 x 5 2 x 3 2 10. x 2 2 x 1 2 9.
2 x 4 3 x 3 x
6x 2 7x 2
11.
12.
3x 2 5 x
x 1 x 3
x 2 25
EJERCICIO 59 1.
x x 1
3.
y 2y 3
2.
n 1 2n 1
4.
m 3 m 5
1472
2 x 2 x 25
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
5. y 2 y 1
11. ab b 2
b a 6. b a
12. a 2b
7. x
x 2
13.
1
3
2 2 x 3 2
2 x 1 8.
9.
10.
n 3
14.
8. y = 2
15. x
2
5
17. x
10. w = 19
15.
11. x =
1 5
18. x = 0
2
12. x
1 2
19. x
2
4
3x 1 3 3x 1 3
1
16.
1 5x 2 3x3
5x 1 2
13. x
2
1. x = 18
CAPÍTULO 6
2. y = 10
16. x =
3. z = – 1
17. x
13 29. x = 21
1 2
30. z =
1 19
9. x = 8
4 5
3. x
EJERCICIO 60 15. w = – 14
7 3
2 3
20. x
155 8
17. z
1 23
EJERCICIO 62
4 3
2. x
1. x = 3
20 7
3 2
1 9
4 3 16. x = – 1
9. y = 1
x 10 x
x
a 4b a 3b
14. x
3
n 2 4n
y y x
7. y = – 5
10. x 9 4
10 3
18. x
25. x = 1
3 7
26. x = 35
11. x = – 8
19. x
5 4
27. x
8 5
7 11
28. z
4. x = – 6
12. x
27 11
20. x
9 2
13. x
25 13
21. x
14. x
1 3
22. x
14 31
30. x
15. z
6 5
23. x
7 12
31. z
16. x
46 51
24. y = 2
5. x 6. x
5 8
9 11
29. x
28 3
1 9 1 2
4. x = – 2
1 2 18. y = – 2
32. x 3
5. x = 4
19. x = 6
33. x = – 2
6. y = 3
11 20. x = 10
2 34. x 3
8 3
21. y = – 3
35. w 1
1. x = 7, x = –9
8. m = 1
4 4 15. x = , x = 5 11
22. x = 14
36. z
7 20
2. y = – 1, y = 4
4 9. x = , x = 0 7
16. x =
7. x
8. x
4 5
9. w = – 2 10. z
11 7
23. x =
31. x 4
11 23
24. z = 3 9 13
11. x = 5
25. y =
12. x = 2
26. x =
1 3
13. y = – 3
27. z =
23 17
14. z = – 8
28. y =
17 21
2. x
21 11
3. x
9 2
8 5
8. x = 6
32. y = 6
4 ,m=–4 3
37. No tiene solución
3. m =
38. Todos los reales
4. x = 3, x =
39. Todos los reales 40. No tiene solución
23 8
5. x
41 32
6. w
3 7
3 2 2 3
10. x = 7, x = 1
17. x = 4, x =
5 7 11. x = , x = 3 3
18. x =
1 1 ,x= 2 4
5. y = 0, y = 4
12. x = 18, x = – 2
19. x =
2 ,x=2 5
6. m = – 3, m = – 2
1 9 13. x = , x = 5 7
20. x =
59 53 ,x= 8 8
14. x = – 4, x = 5
21. x = – 9, x = 3
13 5
5 3 ,x= 2 2
EJERCICIO 64
4. x
28 3
EJERCICIO 63
7. x =
EJERCICIO 61 1. x = 3
7. x
1. x = a a 1 2. y 2 3. x = b – a b 1 4. y a 1 5. x
1473
mn n m
6. x = m + n 7. x = b – a 8. y = m 9. z = 2m 10. z = 0
ÁLGEBRA
EJERCICIO 65 1. 103,104,105 2. 234 y 217 3. 90,92, 94 4. 13, 15 17 5. 68 y 32 6. 28 y 70 7. 18 y 12 8. 12 y 8 9. 80 10. 12 11. 7 y 3 12. 6 y 5 13. 8 14. 24 y 12 15. 30 y 10 16. 20, 15 y 10 17. 55 y 5
EJERCICIO 68 18. 15 y 8 19. 14 y 6 20. 32 y 24 21. 35 22. 64 23. 15 24. 45 25. 72 26. 38 27. 54 28. 24 29. 97 30. 96 31. 124 32. 264 33. 436
EJERCICIO 66 1. Andrés: 35 años, Carlos: 31 años, Rodolfo: 24 años 2. 24 años 3. Luz: 11 años, María: 14 años, Tania: 17 años 4. Dentro de 6 años 5. Carlos: 30 años, Mauricio: 10 años 6. Bárbara: 8 años, Patricia 16 años 7. 7 años 8. Omar: 16 años, Alejandra: 36 años 9. 8 años 10. 20 años 11. Guillermo: 48 años, Patricia: 36 años 12. Joaquín: 10 años, Julián: 20 años, Camilo: 30 años 13. Antonio: 25 años, Ivan: 15 años 14. 18 años 15. Juan Carlos: 15 años, Daniel 20 años
EJERCICIO 67 1. 48 litros 2. 40 litros 3. 40 gramos 4. 180 litros 5. 10 litros 6. 0.6 litros 7. 6 onzas 8. 10 litros 9. 25 ml al 4%, 50 ml al 1% 10. 50 ml al 5%, 50 ml al 2% 11. 10 litros al 30%, 20 litros al 3% 12. 60 onzas al 30%, 90 onzas al 80% 13. 1 000 litros al 56%, 1 400 litros al 80% 14. 92% y 62%
1. 180 monedas 2. 7 de $500, 5 de $1 000, 4 de $200 3. 20 de $5, 10 de $10 4. 100 de 50¢, 300 de $1 5. 6 monedas 6. 8 de $200, 7 de $100, 6 de $50 7. 12 de $10, 36 de $5, 46 de $2 8. 30 monedas 9. 6 de $5, 12 de $2 10. 60 monedas 11. 8 billetes
EJERCICIO 69 1. $600 2. chamarra: $800 pantalón: $400 blusa: $120 3. $3 600 4. 185 000, 80 000, 167 000 5. $200 6. escritorio: $2 500 computadora: $12 600 7. 10 problemas correctos 8. $5 200 9. $360 10. 20 horas extras 11. 20 kg de $9.30 10 kg de $12 12. 4 de adulto y 2 de niño 13. 8 000 de $60 y 4 000 de $80 14. 4 kg de $100 8 kg de $70 8 kg de $105
EJERCICIO 70 1. 1 hora 12 minutos 2. 2 horas 24 minutos 3. 16 horas 4. 2 horas 40 minutos 5. 1
11 horas 13
6. 3 horas 7. 4 horas 8. 25 9. 7
5 minutos 7
11 horas 12
10. 16 horas 30 minutos
1474
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO 7
EJERCICIO 71 1. 36 segundos 2. 25 segundos 3. 10 minutos 4. 12:18 pm 5. 108 metros 6. 16 segundos 7. 1.5 km 8. 14:34 pm 9. 8:37 am 10. 20:36 pm
EJERCICIO 74 1.
Y B
X A
EJERCICIO 72 1. 62° 2. 45° 3. ancho: 12 cm, largo: 36 cm 4. ancho: 24 metros, largo: 58 metros 5. ancho: 4 metros, largo: 36 metros 6. 6, 7 y 10 metros 7. 8 cm 8. 10 y 4 cm 15 9. radio: , largo: 11.25 cm P 10. 6 metros 11. ancho: 9 metros, largo: 18 metros 12. ancho: 6 metros, largo: 23 metros 13. radio: 15 metros 14. ancho: 3 unidades, largo: 8 unidades 15. base: 6 unidades, altura: 4 unidades 64 3P 16. h 8 17. 12 unidades 18. ancho: 60 cm, largo: 160 cm
2.
Y
A
X
B
3.
Y
B
A
EJERCICIO 73 u a n 1
1. n
Pv r t
11. d
2.
P 2W 2
12. r n 1
3. m
y b x
13. P0
4. r =
a s
s
7. b
A P 2A B h
8. x 2
C
P e
kt
15. m
Fr 2 GM
16. i
M 1 C
t
17. m1
y2 y1 mx1
18. x
m
9. h x o r 2 y k
10. F
u a 4.
Y
14. V0 V f 2 2ad
9 5. F C 32 5 6. r
X
2
B 2 C 2 4 A2 r 2 4A
m2 tgA
B
1 m 2 tgA
X
b o b 2 4 a ( y c ) 2a
19. p `
20. t
A
pf f - p
v o 2da v 2 a
C
1475
ÁLGEBRA
5.
4. Y
Y A
x=
3 2
D B X
X
C
EJERCICIO 75
5.
Y
1. m = 1 2. m = – 12 8 3. m = 9 4. m =
22 27
y = 2x + 5
5 5. m = 14
X
EJERCICIO 76 1. 6.
Y
Y y = 4x
X
X
y=–2
2.
Y 7.
Y
y=
y=
1 x 2
X
X
3. Y
x=4
8.
Y
X
X y=
1476
1 x 2
5 2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
4. Y
Y
b=0
b=3 3 x 4
y=
b=–3
3
X X
b=2 b=–2
10.
5.
Y
y=
1 x 3
b=3
Y
b=0
3
b=–3 X
X
b=1 b=–1
EJERCICIO 77 6.
1.
Y
Y
b=0
m=0
X X
m=–2
m=2
EJERCICIO 78
2. m=–2
Y
b=–3
b=3
m=–1
m=1
m=2
m=–1
m=1
X m=0
4. a) G =
7 t 3.5 3 b) P = 24.5 kg c) t = 10 años 6 meses 1681 19 3. C T 30 3
9 I – 1 800 20 c) R = $4 000 5. a) C = F = – 40o b) U =
2. a) P =
b) C = 160o y F = 320o
CAPÍTULO 8 3. m=–
1 m=– 3
4 3
Y
m=
EJERCICIO 79
4 3
1. 2, 3 , 7, 0 son solución
m=
m=0
1 3
¤ 1 3³ 2. ¥ , ´ es solución ¦ 2 4µ
3. 3, 4 , 3, 12 son solución X
11 I + 1 800 20
1. S = 40t
¤ 1 2³ 4. ¥ , ´ es solución ¦ 5 3µ ¤ 1 3³ 5. ¥ , ´ es solución ¦ 2 10 µ
1477
ÁLGEBRA
EJERCICIO 80
6.
Y
1.
Y
2x + 7y = 0
x+y–3=0 X
X 7.
2.
Y
Y
– 3x + 5y – 10 = 0
x–y+2=0
X
X 8.
Y 3.
8x = 2y – 4
Y
3x – 2y + 6 = 0 X
X
9.
Y
4.
Y
X
4x + 3y – 12 = 0 2 x 3
X
5.
1 y 4 2
10. Y
Y
3 x 5
1 y 2 10
X X
3x – 4y = 0
1478
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 81
1. 4, 2
6. Conjunto infinito de soluciones (rectas coincidentes)
Y Y
5x + 3y = 2 x–y=6 x+y=2
X X
10x + 6y = 4
2. Conjunto infinito de soluciones (rectas coincidentes)
7. Conjunto vacío (rectas paralelas) Y
Y 6x – 9y = 18
2x + y = 5
6x + 3y = – 9
X X
2x – 3y = 6
3. Conjunto vacío (rectas paralelas)
8. 2, 3
Y
Y
3x – 15y = – 15
2x + 3y = 5
X x – 5y = 10
4. 1, 2
X
5x + 4y = 2
Y
EJERCICIO 82 5x – 3y = – 11 x + 2y = 3
X
5. 0,1
Y 4x + y = 1
3x – 2y = – 2
X
ª x 3 1. « ¬ y 1
ª m 1 7. « ¬ n 4
ª 1 x 3 2. « y 1 ¬ 2
ª x 1 8. « ¬ y 2
ª x 2 3. « ¬ y 5
ª 2 u 3 9. « v 1 ¬ 4
ª x 2 4. « ¬ y 3
10. Conjunto infinito de soluciones
ª x 2 5. « ¬ y 4
11. No hay solución
ª a 3 6. « ¬ b 2
12. No hay solución
1479
ÁLGEBRA
EJERCICIO 83
EJERCICIO 87
ª x 4 1. « ¬ y 2
ª 3 p 2 5. « q 4 ¬ 3
ª m 3 2. « ¬ n 4
ª x 8 6. « ¬ y 2
ª r 1 3. « ¬ t 1
ª p 4 7. « ¬ q 0
ª 1 x 4. « 3 y 3 ¬
ª x 12 8. « ¬ y 9
ª p 1 5. « ¬ q 1
ª 3 m 2 2. « n 1 ¬ 2
ª x 4 6. « ¬ y 0
ª a 2 3. « ¬ b 1
ª a 1 7. « ¬ b 3
ª x 3 4. « ¬ y 4
ª 2 m 3 8. « n 1 ¬ 5
ª x 6 9. « ¬ y 5
ª a 3 2. « ¬ b 4
ª x 1 10. « ¬ y 2
ª x 2 18. « ¬ y 5
ª m 2 3. « ¬ n 2
ª x 4 11. « ¬ y 1
ª 1 x 2 19. « y 1 ¬ 4
ª x 1 4. « ¬ y 2
ª p 5 12. « ¬ q 1
ª 1 x 10 20. « y 1 5 ¬
ª m 3 5. « ¬ n 5
ª x 2 13. « ¬ y 3
ª x b 21. « ¬ y a
10. Conjunto infinito de soluciones
ª x 3 6. « ¬ y 2
ª x 3 14. « ¬ y 7
2 ª x a 22. « 2 ¬ y b
11. No hay solución
ª x 5 7. « ¬ y 4
ª a 1 15. « ¬ b 2
ª x a b 23. « ¬ y a b
12. No hay solución
ª 2 x 5 8. « y 1 ¬ 2
ª 1 m 3 16. « n 1 ¬ 2
ª x a 24. « ¬ y b
10. No hay solución 11. Conjunto infinito de soluciones 12. No hay solución
EJERCICIO 84 ª x 3 1. « ¬ y 4
ª 5 u 6 9. « v 2 ¬ 3
EJERCICIO 85
EJERCICIO 88
1. 23
9 5. 4
2. 62
6.
3. 0
7. 2ab a 2
4. 39
8. n 2 3mn
7 9. 9
73 30
ª m 2 2. « ¬ n 3 ª a 2 3. « ¬ b 5
ª 180 1. « ¬ 45
ª Primera parte=350 12. « ¬ Segunda parte=200
10.
a b a
ª 140n 2. « ¬ 40n
ª 14 13. « ¬ 70
11.
x 2 x 5
ª 80 3. « ¬ 50
ª 7 14. « ¬ 45
ª1 4. « 8 1 ¬ 6
ª Alejandra tiene=$120 15. « ¬ Beatriz tiene=$50
ª $80 por adulto 5. « ¬$50 por niño
16.
6. 5 monedas de $10
ª 25 gallinas 17. « ¬ 19 borregos
ª Lados iguales 19 cm 7. « ¬ Base 10 cm
ª Gallinas=$30 18. « ¬ Borregos=$300
EJERCICIO 86 ª x 3 1. « ¬ y 6
ª 1 x 3 17. « y 1 ¬ 2
ª x 1 1. « ¬ y 2
9. Conjunto infinito de soluciones
ª a 2 7. « ¬ b 0 ª 9 m 5 8. « n 1 ¬ 3 9. Conjunto infinito de soluciones
Lancha:10 km/h Corriente:1 km/h
ª x 7 4. « ¬ y 1
10. No hay solución
ª Agenda $750 8. « ¬ Traductor $550
ª Álgebra L.=$120 19. « ¬ Geometría A.=$90
ª p 2 5. « ¬ q 3
11. No hay solución
ª Hermano=15años 9. « ¬ Antonio=5años
ª 12.5 lt de la de 30% 20. « ¬ 37.5 lt de la de 6%
ª 2 x 3 6. « y 7 ¬ 2
12. Conjunto infinito de soluciones
ª 73 10. « ¬ 65 ª Carlos tenía $300 11. « ¬ Gabriel tenía $200
1480
ª Veracruz=0.75 kg 21. « ¬ Chiapas=0.25 kg
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 89 ª x 7 1. « y 3 z 1 ¬
ª x 8 7. « y 6 z 4 ¬
ª d 6 2. « e 2 f 3 ¬
ª a 5 8. « b 2 c 3 ¬
ª x 3 3. « y 3 1 z 3 ¬
ª m 7 9. « n 3 r 1 ¬
ª 2 x 3 1 4. « y 5 z 1 ¬
ª x 4 10. « y 3 z 2 ¬
ª m 3 5. « n 2 r 1 ¬
ª x 3 11. « y 4 z 5 ¬
ª 1 a 4 1 6. « b 3 1 c 2 ¬
ª 1 a 3 1 12. « b 2 c 1 ¬
ª Paleta =$2 1. « Helado=$4 Dulce=$1 ¬
ª Paresde calcetas=$50 3. « Pantalón =$550 Playera =$120 0 ¬
ª Camisa =$300 2. « Pantalón =$500 Playera =$400 ¬
ª Centenas=8 Decenas=6 4. « Unidades=2 Número=862 ¬
2 3 1. x 1 x 1 7 5 2. 3x 7 2 x 3 1 1 3. 5x 4 5x 4
3 2 4 x x 3
10.
1 5 2x 7 x 2
11.
1 3 3x 2 3x 2
12.
2 1 3 x x 2 x 3
13.
2 1 1 x 2 x 1 x 4
14.
1 2 3 x 3 x 2 x 2
15.
5 4 1 x 2x 1 x 3
16.
2 3 4 x x 1 x 2
17.
1 1 5 2 x 3 3x 2 x
18.
3 1 2 x 1 x 3 x 2
19.
2 6 3 x 1 2x 1 x 2
20.
21.
22.
EJERCICIO 90
EJERCICIO 91
9.
2
2
1 1 x 1 x 1
2
x 1
3
3
x 3 2
1.
x 1 3 x x2 3
2.
x 2 1 x 1 3x 2 1
3.
x 1 1 x 2 x2 1
5. 6.
2 x2 5
1 x2 7
1 2x 3 x 1 x2 x 1 x 1 x2 5
7x x2 3
x 3 x 1 1 x x2 2 x2 3
3 1 x 7 x 4
8.
5 1 x 3 x 2 2x 1
6.
8 6 2x 1 2x 1
9.
7.
1 1 x 3 x 2
10.
8.
3 2 2 x 5 3x 1
11.
2 1 x 2 x 5
5.
1481
x 3 2x 2 7
1 1 x 3 x 3
EJERCICIO 92
4.
2
x 1
7.
4.
3
1 1 x x 1 1
2
5x 1 x2 5
x 2 x 2 5x 3 3x 1 x 2 4x 5
8 x
1 2x 4
2 x 1
2
1 x 3
ÁLGEBRA
12.
13.
14.
x 1
1 x
x2 3
x
3
2 15. x 1
17.
18.
19.
2x 1
1
1 2
x 1
x 2 3x 4 2 x2 1 x4
1 x
2
4.
1 x2 2
5.
1
x 1
2
2
1 x
x
2
2
2
1
6. c
15.
7. 6x2 y5
16.
x7 y2 x10 z 5
1 x2 1
22.
y6
14.
y4
21. (x – 2y)2
a3b 2 c
2
2x
20. x 2 y 2
64 x 3
13.
4z 4
6
y12
12.
x 1
1
1
2
x 2 3x 4
2
c4
a3 b 3
23.
1 y x
24.
y y 1
25.
a2b 4
b 3 a3
y6 x 4 x 4 y6
12
8. 16ab2
2
x2 2
2
3 x2 x 1
9ab 8
17.
2
3x 1
5 x 17
20.
2
1
3. x 4 y 2
5
1
1
x
2
7
11. x 3 y
2. x 4
2
19. 16y20
10. 1
3
2
x
1. x9 y8 z6 y
x2 x 1
2
EJERCICIO 94
1 x2 3
x 1 x 1 2
16.
x2 x 1 x 3
2
y12
9.
1
26. x + y
18. m3 n7
10 14
27.
4x z
x 2 xy y 2 xy
x2 1
14 34 x
16
EJERCICIO 95
4
9 x 1 x 1
9 x2 x 1
1. 27 – 54x + 36x2 – 8x3 2. 1 + 4x + 6x2 +4x3 + x4 3. x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
CAPÍTULO 9
4. 1
5. x6 – 6x5 + 15x4 – 20x3 + 15x2 – 6x + 1
EJERCICIO 93 1. 27x6
13. a8
2. 16x2y2
14.
16 16 a 625
15.
3.
6 9
4. – 216x y 5. – 32a
30
49 4 6. m 16 7.
32a
5
b5 4 4
16. 17.
6. 16 – 32x + 24x2 – 8x3 + x4
3 25. a b2 1 26. b12
9 m6 3a 2 b
27.
7. x10 + 5x8y2 + 10x6y4 + 10x4y6 + 5x2y8 + y10
1 z
17a 4 b
29. 108a
x 18. y
30.
1 10 19. m 243 4
9
12.
4
y
9
12 x 4
31.
x9
9. –15y3
21. – 9
33. a 2 b 2
22. 2
34. 72a13
5
24.
13.
2
32. 1
12. –mn
1 2x x 2 x 3 x 4 81 27 6 6 16
11.
3
23.
9.
28. (x + 2y) 6
n3
11. x
x 5 5x 4 5x 3 5x 2 5x 1 32 16 4 2 2
10. x9 + 15x6y3 + 75x3y6 + 125y9
m5
20. 16x
10. xy
8.
3
8. 16a x 7
3x 3x 2 x 3 2 4 8
1 x2
1 8x 3 1 x4
1
3
4
x5
1
x6
16 x 4
x6
2 3
20 x7
1
…
x10
16 x 5
10
3 3x
1 x8 3
1
3
14. 3x
5 32 x 6 35
9 3x
15 128 x 7
…
…
x8 1
5 3
5
81 3x
8 3
10
11
3
243 3x
1 4
15. x 3
x3 1
1 x4
16.
36 x 2
1482
1 3 x4
8x 3 8 32 80 … 2 5 8 3 9 x 3 81x 3 243x 3 3 7 2x 4
21 11 8x 4
77 15 16 x 4
1155 19
128 x 4
…
…
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 96 1. 127 575x5 35 4 2. x 8 3. – 439 040x3y3 22
4.
14 3
EJERCICIO 99
729 8 x
3
5. – 253 125 000x3 1792 6. x9 1 7. x5 729 8. 5 512 x
1. 2
3
2
EJERCICIO 98
11. x
2
4
13. x 7 y 7
3. y 3 4. 5.
11 b2
14. x 2 y 2
15. x 2 y
6. 5 x
7. 2 x
1 2
16.
2
9. 2 xy
9 a5
1 3
3 4
2 9
13.
3
4
5
2x y 4
y
14. m n
5
15. 3 a 3 b 3
7. 7 y 2 5
7
8. 3 a 3
2
16. 7 m 1 n 2
b8
3
EJERCICIO 100 11. 3m2n3 12. 2x4 13. 2x3y5 14. 2m3n 5 15. y 2n
1. 27 2. 2 3. 3 4. 14 5. 4 9 4 7. 6 8. – 8
17. 2(1 + x) 18. x y
9. – 4
19.
10. 2xy2
20.
16. 5m2 – xn 4y – 3
6.
3x 3x , 2 2 x 2y xy
19.
1 m2
20.
2 13 7 a3m 3 n4
2. 3xy 3 3 y
12. 2 x 2 yz 3 xy 2
3
21.
22.
3. 8mnz 2 m
3 34
13. 6m n
8mn 2
n p
xy
3
3 2
x3 y
2ab
3
2
34 5 4 3
24.
24 5 3 x2
2a 2 cd
4. 3mn 5 m 2
14. a 2 2a
5. xyz 2
x2 y
15. 5a ab 4
25. 3m m 2n
x
4 3 16. mn 3 20mp 2 3
26. 4 x 2 5 y 3
6. 5 xy 5 2
4
2z 3
23.
4 3
3 b7
18.
11. 6mn 2 3m 3 n 2
15d
11 5
7 3 m4 n5
5
1. x x
3
2 4
5
x
3
7. 15a 2 b 2b
17. xy y
3
27. 3ab a 4 2ab
2 3 8. 15 p q q
18.
24 x x
28. m n m n
19.
3x y
29. 3 x 2 y 2
20.
2ab 2 m
9. 6 xy 3xz 4
10. x 2 y
3
4
9 2
7
1 2
1³ ¤ 1 17. ¥ x 2 y 2 ´ ¥¦ ´µ
5 6
8. 3 y
7
EJERCICIO 101
1 y4 8
12. x 6 y 6
2. x 7
2 a5
4
3
12. x
6. x 3 y
CAPÍTULO 10
1.
3 y 11
11. x12 – 12x11 + 66x10 – 220x9 + 495x8 – 792x7 + 924x6 – 792x5 + 495x4 – 220x3 + 66x2 – 12x + 1 32 40 20 5 5 1 12. x 5 x 4 x 3 x 2 8 x 32
y
11. a b
5. 4 2 xy 2
1. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1 2. 2 187 – 10 206y + 20 412y2 – 22 680y3 + 15 120y4 – 6 048y5 + 1344y6 – 128y7 3. x8 + 8x7 + 28x6 + 56x5 + 70x4 + 56x3 + 28x2 + 8x + 1 4. x6 – 6x5 + 15x4 – 20x3 + 15x2 – 6x + 1 5. 3 125m5 – 6 250m4n + 5 000m3n2 – 2 000m2n3 + 400mn4 – 32n5 6. a8 + 16a7b + 112a6b2 + 448a5b3 + 1120a4b4 + 1792a3b5 + 1792a2b6 + 1024ab7 + 256b8 7. x12 + 30x10y + 375x8y2 + 2 500x6y3 + 9 375x4y4 + 18 750x2y5 + 15 625y6 21 7 1 x 7 7 x 5 21x 3 35 x 35 8. 128 64 32 16 8 x 4 x 3 2 x 5 x 7 9. x3 + 3x2y – 6x2 + 3xy2 – 12xy + 12x + y3 – 6y2 +12y – 8 x10 5 x 7 5 y 7 y10 10. 10 x 4 y 10 xy 4 5 2 y y x2 x5
4
10. m 2 n
3. m 2 4.
35 2 z 4 5
7
2. 54
EJERCICIO 97
5 m2
9.
10. 10bc 5a 3b 3
1483
x
3
2a 3m 2
1
30. 3
2
2 m
x 5
2
y2
2
1
; 3
2 m 2
ÁLGEBRA
EJERCICIO 102 1. 45
EJERCICIO 104 11.
1 3
12. 3
2. 175
4a 4a 2 5b
1. 3 2
16.
2. 5 6
17.
2 3
3
13. 4
3. 128
27 y 7 128 x
4.
25 8
14. 3ax 2
5. 5
32 81
15. 4 x
2
6. x 3
16. 4a 3b 4a 2 b 2 ab 3
3
7. 8 x 5 4
8. m13 n 5
9.
4
9 a b
17.
x 1
18.
19. 3
10. 50a 5 b 6 c 3
4. 27 10
19. 5 25
5. xy 2
20.
3
21. 19 8 3
2 7. x 3 15
22. 95
8. 18a 2 b 2b
23. 2m 3n 2m 4n 2
9. 2 xy 3 3xy
24. x y
4
25. x y
a 4
11. 2a 2
x 2x 4
20. 2a 3 x
12. 8ab 2 6b
27. 1 x
13. 6a a
28. 3 x y
3
14. 8 x x
3
3 3
15. 6a b
29. x y 2b
x y
30. 1
EJERCICIO 105
3
21. 11x 3x 2 4
3. 0
22. 14 x
4. 8 7 5
23. 3ay x
5. 3 3 7 2
11 13 24. ab 2b ab 3b 6 4
5 1 6. 13 10 4 2
17 25. a 2 b c 12
5 6 8
26.
3
2
29. x 2 y 4 y 3x
11. 4 7
30. 2ab 2c 16ac 3b
13. 17 3
32. 10ab
14. 8 5 7 2
33.
4
y 3y
3
4x
1 1 a 5a b 3ab 3 3 xy
39 8mn 2 2
a
14.
3 2 10 x 16 xy 4 2
10. x x 5
15.
9. a
12
6
8. 9m 2 x 2
6
xy
9.
3n 6 4m
2 3 4
3
13.
6
x15
2. xy 2
5a 2 b 3 6a b
3ab 2
3. 3a 3b 2 c
10.
4. 4 y x
11.
5. 3x 2 y 3 y 2
12.
6. 6ab
13.
2
16. 2 10 5 17. 47 5 50 11
36. 6 a 2 37. x x 2
8. 2 x 5 y 5
13 2 xy y
12
x 4 y3 z 2
EJERCICIO 106
1 2a 2 3 5a 35. a 3b ab 9 b 3 3
4 5 5
16
6
11. y y 12.
6
1. n m
19 3 5 34. x y xy 20 12
15. 2 3
7. x 72 x
4
28. xy 2 xy x 2 y 3x
31. 2 x
2. x x
5. 3x 2 y x 3
54 10. xy 3
12. 27 2
6. a 4ab 3
6
9. x
2
6
4. xy 108 x 3 y 2
27. 10 x y 7 x 2 2 y
3
4
1. 18
3.
23 2 4 a b 2ab 24
8. 4 m
19. 9 7a 2
3
20. 8a b
2. 6 3
18. 2 2
x y
26. x 2 y
a 3
x 2 4x 4
EJERCICIO 103
7.
8 2 x 2 x 3
6. xy xy 2
4
1. 5 5
3
18. 6 4 6
10. a
2
x 5 y9
2x am 2
3
x 1
2a x
3. 2 9
3
3
3a 5x
3
2
7.
38. 10 xy x 3 y
1484
2a
5b 4
14.
16.
2 p4 3m 3 n 2 2n 2 p2
17.
3 18 13 y 2x
5z 2 3
18.
5 2 y z 2
2u 3 v 2 5
19.
3zw 2
4a 2 3b
3
2
15.
2
3x 3 2 y4
20.
5n 4m 2
y4 x 4 2
3
n2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 107 1.
1 6
6 4 y
2. 3
3.
9 8a
6. 2 6
7. a
2 y2 3
6
8. a 108ab
9.
a2 32a b
5. 15
12.
a
6
b
4. 8 3
9
10.
4
13.
1 6
14.
CAPÍTULO 11
4x
11. 6
y4
n2 n
x
n2 n
6
EJERCICIO 110
x 1
x 1
1
15.
4
12
3 3
8.
2.
2 5 5
9.
3
13 2 2 3a b b 1 4x
300 6
2
15.
2 4 25a 3b 2 5ab
4. 3 x
11.
1 1 2 3 11
5. 2 x 3xy
2 12. 3 2 7
3
1 4 3 3 8x y xy
13.
7.
35 16a 4 2
14. 3 2
1 4 6 10
3 3 3 2 xy ¤¥ x 2 xy y 2 ³´ µ ¦
18.
x y
3 3 19. ¤¥ 1 x x 2 ³´ µ ¦ 3
3. 4.
4
6
2
5 2 1
13.
5 2 6 14.
x5 1 3
1 4
3 1 3
9.
5
x 2x 2 10.
x 2 y 3x
x 3
x 3
x 3 xy 2 y
4. 11i
8. 3 6i
12.
5 3i 2
16.
4 2 2i 5
1 5 3i 2i 2 2 9. 11 – i 10. 7 11. 0 8.
5. 6 6i
12. 0
6. 0
13. 5 i
7. 4 2i 3 3i
14.
4
23 x 12
xi
EJERCICIO 112 1. – 1 2. – i 3. –3i 4. – 1
6. i 7. – i 8. 3i – 2 9. 4i
11. 3i – 2 12. 0 13. – 1 14. Si n es par: 0 Si n es impar: – i 15. 0
10. 1
2
5x 6 y
x 5 18.
19.
1 3
2. 12 3i
7. – 60
12. 2 4
3. 4 3i
8. 6 3 6
13.
9 i 10
18. i n
4. – 2
9. 4i
14.
6 5
19. 2i
15. 0
20. – i
3 5 i 2 4
1 3
20.
10. 3
a 2 2 ab 4 b 2
1. 2, 3
5. 5, 2
2. – 1 + 5i
6.
1 4
17.
1 6 i 2 7
9. 3 ¤ 2³ 10. ¥ 5, ´ ¦ 11 µ 5 8i 2
3. 0, 7
7. – 2i
11.
¤2 5³ 4. ¥ , ´ ¦3 4µ
¤ 1 ³ 8. ¥ , 0´ ¦ 3 µ
12. 1, 1
1. (10, 1)
4. (5, –6)
¤ 4 1³ 7. ¥ , ´ ¦ 5 2µ
2. (1, 0)
¤ 31 1 ³ 5. ¥ , ´ ¦ 20 3 µ
8.
3. (– 2, –5)
6. 0,1
1
y 2 ¤¥¦ 3 y 2 3 2 y 3 4 ³´µ
16. 0
EJERCICIO 114
3
3
11.
EJERCICIO 115
3
x2 3 x 9
2 5
6.
x 5
17.
18 5
1. – 9
1
16.
2 4x 2
2 1 5i 3 2
5.
x y
2 6x 8.
15.
1
15.
3 x3 7.
1
12.
2 y x 2 y2 6.
7
2
5.
7. 5 2i
3
3
7 2 7
8 x
3. 7i
EJERCICIO 113
3 2.
14. 2 4 7i
2 11. 3i 7
5. i
11.
10
10. 9 2i
20. 9a 2 3ab b 2
EJERCICIO 109 3
6. 2 2i
2. 3 + i 3. – 9i 4. 11i
17. 1 x 1 x
5x 5x 1 5x
6.
1.
2. 6i
1. 9i
16. 3a 2b
6 xy
10.
3.
9. 5 5i
EJERCICIO 111
a b 5
EJERCICIO 108 1.
5. 25i
xy
x x
13. 3 6i
1. 4i
1485
9.
2
2, 5 3,
ÁLGEBRA
7 i 2
10. 7 – i
15. 11
11. 6 12. 0
16. 4 – 10i 17. 1
13. – 1 + 11i
18.
20. 16 – 4i
EJERCICIO 118 Imaginarios
21. 2 + 3i 22. 4 + 5i
z
1 19 i 2 6 19. 4 – 3i
14. 3i
z1
z4
EJERCICIO 116
w1 w3
13 7. i 6
1. –17 + 6i
8. 2
2. 5 + i
2 i 2
14.
5. – 3 + 4i
11.
14 4i 3
17. – 5 + 13i
6. 1 2 6i
12. i
18. – 3 + 4i
19. a bi a bi = a 2 b 2 i 2 = a 2 b 2
2 Im z 2
= Re z
w
z2
EJERCICIO 119 1. 13
16. – 5i
31. 3 + 2i
2. 41
1 17. i 2
32. 2 – 4i
3. 41 4. 3
18. (2, –1) 19. (0, 3)
33. 1 + 8i 34. 2 – 9i
5. 5
20.
6. 85
21. – 2 – 6i
36. 11
3 7. 2
22. (– 1, 1)
37. – 4 + 6i
8. 5
11 23. 2 i 4
38. 7 – 6i
9. 2
¤ 1 1³ 24. ¥ , ´ ¦ 2 3µ
39. 1
n
n 1 i n = 1 i 2 = 1 1 n
= §© Re z1 Re z 2 ¶¸
21. w 2n = 1 i
n
n
2n = §¨© 1 i 2 ¶·¸ = 2i n si n es par,
entonces n = 2k con k ∈Z, sustituyendo: k
2i n = 2i 2k = 4i 2 = 4 k = 1 4 k k 4 k
= 1
n 2
2 2k
= 1
n 2
2, 0 n
= 1
22. w 2n = 1 i
n
2n = §¨© 1 i 2 ¶·¸ = 2i n = 0, 2 n
z5
z3
39 1 i 400 5
15. 32 – 126i 16. 4
20. 1 i
Reales w2
9. 6 + 18i 10. – 2 + 10i
z6
13. – 8 – 6i
3. 6 + 4i 4. 1 – 3i
v
10.
79 3
11.
2 13 3
3 2 i 7 5
35. 4
25 a 30. No se incluye la solución
40.
5 i 6
41.
17 7i 13
13. 5 – 4i
2 i 5 43. 1
14. – 5
44.
5 12
15. 1 – i
45.
i 4
12. 11
42.
EJERCICIO 117 i 2 1. 5 2.
5 12i 13
1 8i 8. 5 9.
2 3i 2
3. – 3 – i
13 9i 10. 5
1 2 6i 4. 5
2 11i 11. 25
5.
4 2i 2
6. 1 + i 7.
3 i 2
12. 13.
129 107i 10 4 2 4i 3
2 i 3
CAPÍTULO 12 EJERCICIO 120 1. x1 4, x 2 1
6. z1 15, z 2 2
2. x1 9, x 2 3
7. x1 6, x 2 4
3. x1 6, x 2 5
8. x1 20, x 2 12
4. y1 3 i , y2 3 i
9. x1 1 2i , x 2 1 2i
5. w1 5, w2 8
14. – i
1486
10. x1 1, x 2
2 3
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
1 11. x1 , x 2 2 2
3 16. w1 a, w2 5a 7
3 1 12. w1 , w2 2 5
17. x1 5b, x 2 2b
13. x1 3, x 2 14. x1
2 3
5 6 18. x1 , x 2 b b
1 1 1 1 i, x i 2 3 2 2 3
19. y1
1 15. x1 b, x 2 b 4
20. y1
b 2b ,y a 2 a
a 10 a, y2 7 2
EJERCICIO 121 11. x1 =
1. x1 = 3, x2 = 5
1 1 2i , x2 = 2i 2 2
1 3 1 3 i , x2 = i 3 2 3 2 13. w1 = 0, w2 = 5
2. x1 = 3, x2 = – 2
12. x1 =
3. x1 = – 4, x2 = – 2
5 14. z1 = 0, z2 = 2
4. x1 = 5, x2 = – 3 5 5 , x2 = 2 2
15. y1 = 0, y2 =
a 3
5 1 6. x1 = , x2 = 2 3
16. x1 = 0, x2 =
b a
3 7. y1 = , y2 = 1 5
17. x1 = – 5, x2 = 5
8. x1 = 3 – 7 , x2 = 3 + 7
1 1 18. x1 = , x2 = 2 2
9. x1 = – 1 – 6 , x2 = – 1 + 6
b b 19. x1 = i , x2 = i a a
5. x1 =
4 4 20. w1 = , w2 = a a
10. x1 = 2 – i, x2 = 2 + i
EJERCICIO 122 1. Reales y diferentes 2. Complejas 3. Complejas 4. Reales e iguales 5. Reales y diferentes 6. Complejas 7. Reales y diferentes 8. Complejas 9. Reales y diferentes 10. Reales e iguales 11. Complejas 12. Reales e iguales
ª 1 x1 7 10. « x 5 ¬ 2 2
ª 5 x1 b 2 16. « x 2b ¬ 2 3
ªx 2 7 22. « 1 ¬ x 2 5 7
ª 2 x1 5 11. « x 1 ¬ 2 4
ª ab x 17. « 1 2 x 2ab ¬ 2
ª 1 y1 2 23. « y 1 ¬ 2 15
ª 7 z 12. « 1 5 z 2 ¬ 2
ª 1 x1 a 18. « x 3 ¬ 2 a
ª 2 x1 3 24. « x 1 ¬ 2 4
ª 1 w1 2 13. « w 6 ¬ 2 5
ª 3b x1 a 19. « x 2b ¬ 2 a
ª 1 w1 3 25. « w 2 ¬ 2 5
ª 3 x1 2 14. « x 2 ¬ 2 7
ª z 2 3 20. « 1 ¬ z 2 3
ª x1 5 15. « 3 x2 2 ¬
ª x 3 3 21. « 1 ¬ x 2 5 3
EJERCICIO 124 ª x 0 1. « 1 ¬ x 2 6
ª x1 0 6. « 5 x2 7 ¬
ª x 0 2. « 1 ¬ x 2 2
ª x1 0 7. « 1 x2 2 ¬
ª x 0 3. « 1 ¬ x 2 5
ª x 0 8. « 1 ¬ x 2 4
ª x1 0 4. « 2 x2 3 ¬
ª x 0 9. « 1 ¬ x 2 8
ª x 0 5. « 1 ¬ x 2 1
EJERCICIO 125 ª x 2 1. « 1 ¬ x 2 2
ª a x1 4 6. « x a ¬ 2 4
ª 2 x1 3 11. « x 2 ¬ 2 3
ª x 1 2. « 1 ¬ x 2 1
ª 6 z1 5 7. « z 6 ¬ 2 5
ª x 1 12. « 1 ¬ x 2 1
ª w 10 3. « 1 ¬ w2 10
ª y 6 8. « 1 ¬ y2 6
ª y 4i 13. « 1 ¬ y2 4i
ª x 8 4. « 1 ¬ x 2 8
ªw 7 9. « 1 ¬ w2 7
ª w 5i 14. « 1 ¬ w2 5i
EJERCICIO 123 ª x 9 4. « 1 ¬ x 2 10
ª x1 1 7. « 2 x2 3 ¬
ª x 8 2. « 1 ¬ x 2 3
ª w 1 5. « 1 ¬ w2 4
ª y1 4 8. « 1 y2 2 ¬
ª y 4 3. « 1 ¬ y2 5
ª 5 y 6. « 1 3 y 2 ¬ 2
ª 2 x 9. « 1 3 x 3 ¬ 2
ª x 1 1. « 1 ¬ x 2 6
ª x 0 10. « 1 ¬ x 2 2
ª y 3 5. « 1 ¬ y2 3
1487
ª x 3 10. « 1 ¬ x 2 3
ª x i 15. « 1 ¬ x 2 i
ÁLGEBRA
EJERCICIO 126 1. 27 y 15
ª Alejandro 8 años 12. « ¬ Alfredo 4 años
ª x x 2 1 7. « 1 ¬ x1 x 2 12
ª x1 x 2 3 9. « 14 x1 x 2 9 ¬
2. 30 y 12
13. 7
3. 3, 5 y 7
ªárboles 15 14. « ¬filas 13
ª x1 x 2 7a 10. « 2 ¬ x1 x 2 12a
4. 12, 14 y 16
15. r = 4 cm
ª 1 x1 x 2 2 8. « x x 1 ¬ 1 2 2
1 5. y 5 5
ªlargo=17 cm 16. « ¬ancho=16 cm
6. 5 y 20
17. 39 años
ªlargo 200 m 7. « ¬ base 125 m
19. 7.5 segundos ª primera llave=8 h 20. « ¬segunda llave=24 h
9. 3, 4 y 5 10. 96 m3
21. $20 22. 8, 6 y 10 unidades
ªaltura 18 m 11. « ¬ base 54 m
EJERCICIO 127
x1 1, x 2 3
¤ 1 25 ³ 2. V ¥ , ´ ¦ 2 2 µ
x1 7 2, x2 7 2 5. V 1, 4 x1 1 2i , x 2 1 2i 6. V 1, 0 x1 1, x 2 1 7. V 2, 9 x1 2 3i , x 2 2 3i 8. V 5, 0 x1 5, x 2 5 9. V 0, 9 x1 3i , x 2 3i
3. x 2 16 0
8. 20 x 2 19 x 3 0
4. x 5 x 4 0
9. x 2 2bx 3b 2 0
5. x 2 8 x 15 0
10. x 2 7ax 10a 2 0
EJERCICIO 131 1 256 14. x 1
1. x 49
7. x 3
13. x
2. x 8
8. x 7
13 3. x 2 4. x 5
10. x 1
16. x 2, 7
5. x 5
11. x 4
17. x 1,1
6. x 2
12. x 1
18. x 9
9. x 1
15. x 3
¤1 ³ ¤ 1 ³ 8. ¥ , 0´ , ¥ , 0´ ¦3 µ ¦ 3 µ
9. 2, 4 2 , 2, 4 2 , 2, 4 2 , 2, 4 2
10. (7, – 7), ( – 7, 7), 2 7 , 7 , 2 7 , 7 x1 0, x 2 3
11. (4, 2), ( – 4, – 2), (5, 1), ( – 5, – 1)
EJERCICIO 128
12. 5,1 , 5, 1 , 3, 2 3 ,
1. 50 y 50
6. 19 cm y 19 cm
2. – 10 y 10
7. 500 ejemplares
3. 20 y 20
8. 20 pelotas
4. 55 y 55
9. 35 cajas
5. 72 pies
ª56.5 cm 10. « ¬43.5 cm
3, 2 3
13. (1, 1),( – 1, – 1), ( – 2, 0), (2, 0) 14. (3, 2), ( – 3, – 2), (4i, i ), ( – 4i, – i ) ¤ 30 2 30 ³ ¤ 30 2 30 ³ 15. ¥ , , ´ ,¥ ´ , 2, 3 , 2, 3 5 5 5 5 µ ¦ µ ¦
16. (3, 6), ( – 3, – 6) ¤ ³ ¤ 2 ³ 2 17. 2,1 , 2, 1 , ¥ , 2´ ,¥ , 2´ ¦ 2 µ ¦ 2 µ
EJERCICIO 129 ª x1 x 2 0 1. « 9 x1 x 2 4 ¬ ª x1 x 2 0 2. « ¬ x1 x 2 25
7. 2 x 2 5 x 2 0
1. (0, 0), (4, 4) 2. (0, 3), (3, 0) 3. (3, – 3), ( – 3, 3) 4. (2, 4), ( – 2, – 4) 5. ( – 3, – 5), (5, 3) 6. (3, 2), ( – 3, – 1) 7. (4, 3), (4, – 3), ( – 4, 3), ( – 4, – 3)
x1 4, x 2 5
4. V 2, 7
¤ 3 9³ 10. V ¥ , ´ ¦ 2 2µ
2. x 7 x 0
EJERCICIO 132
x1 2, x 2 3
¤ 1 81 ³ 3. V ¥ , ¦ 2 4 ´µ
6. x 2 4 x 29 0
2
ªaltura 10 m 8. « ¬ base 30 m
1. x 2 9 0 2
18. 5 segundos
ªlargo 250 m « ¬ base 100 m
1. V 2, 2
EJERCICIO 130
ª x x 2 1 3. « 1 ¬ x1 x 2 0
ª x x 2 5 5. « 1 ¬ x1 x 2 6
ª 8 x x2 4. « 1 3 x x 0 ¬ 1 2
ª x x 2 4 6. « 1 ¬ x1 x 2 3
18. ( – 2, 1), (2, – 1) ¤ 5 17 17 ³ ¤ 5 17 17 ³ 19. 1. 0 1, 0 , ¥ , , ´ ,¥ ´ 17 17 17 17 ¦ µ ¦ µ
20. ( – 1, – 4), (2, – 7), (1, 4), ( – 2, 7)
1488
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO 13 EJERCICIO 133
1. 3, c
¤ 18 ³ 21. ¥ ,c ´ ¦ 5 µ
3. c, 4
23. 2, 3
¤ 3 7³ 24. ¥ , ´ ¦ 2 2µ
4. c, 1 ¶¸
26. §© 9, 1
¤ 3 ³ 7. ¥ , c ´ ¦ 2 µ
27. 3, 3
9. c,10 ¶¸ 10. c,5 ¶¸
31. 1000, 100
11. 4, 2 1, c
6. §© 3, 2
13. c, 6 1, 4 ¶¸
5. 3, 0 3, c 6. c, 2 4, c
[ ]
4. c, 4
2. §© 2, c 2
EJERCICIO 137
1. c, 7 ¶¸ §© 7, c
¤ 1 19 ¶ 35. ¥ , · ¦ 2 2 ¸
§ 10 32 ¶ 36. ¨ , · © 3 3 ¸
37. 14, 2
¤1 ³ 11. ¥ , c ´ ¦ 3 µ
2. 7, 7
§1 5¶ 10. ¨ , · ©2 6¸
3. c,1 9, c
12. c, 2 ¶¸ §© 0, c
§ 9 ¶ 4. ¨ , 3 · © 5 ¸
5. c, 3 5, c
¤ 1³ 14. ¥ c, ´ ¦ 2µ
¤ 4 ³ 15. ¥ , 0 ´ 0, 4 ¦ 3 µ
19. c, 6 ¶¸
§ 9 19 ¶ 39. ¨ , · ©2 2 ¸
7. §© 9,10 ¶¸
¤ 1¶ 16. ¥ c, · ¦ 2¸
³ § 19 20. ¨ , c ´ µ © 28
¤ 14 8 ³ 40. ¥ , ¦ 9 3 ´µ
8. c, 4 20, c
3. c, 5 ¶¸ §© 5, c
4. c, 6 6, c § 1¶ 5. ¨ 0, · © 3¸
¤ 1 ³ 9. ¥ , 3 ´ ¦ 2 µ
§ 1 3¶ 10. ¨ , · © 3 2¸
17. c, 0 4, c
2.
1.
Y
Y
y=6
11. c, 4 1, c
6. c, 0 5, c
EJERCICIO 138
8. c, 4 5, c 7. c, 0 4, c
2. §© 4, 4 ¶¸
9. §© 2,18 ¶¸
EJERCICIO 134 1. 3, 3
13. F
6. F
5. c,3
38. §© 2, 4 ¶¸
18. §© 6, c
§3 ³ 12. c, 2 ¨ , 4 ´ ©2 µ
¤ 21 11 ³ 34. ¥ , ´ ¦ 2 2 µ
3. c, 2 1,1
¤ 1 ³ 14. ¥ c, ¦ 23 ´µ
17. §© 21, c
10. c, 2 2, 4 ¶¸
1. §© 2, 1 ¶¸ §© 2, 4 ¶¸
33. §© 16, 8
EJERCICIO 136
¤ 4 ³ 13. ¥ , c ´ ¦ 5 µ
16. 6, c
§2 3¶ 32. ¨ , · ©5 5¸
7. c, 1 ¶¸ 3, c
¤ 8 ¶ 12. ¥ c, · ¦ 53 ¸
15. 2, c
§ 1³ 9. ¨ 9, ´ 4, c 3µ ©
30. §© 4, 1
¤ 5 ³ 11. ¥ , c ´ ¦ 3 µ
¤ 5³ 2. ¥ c, ´ ¦ 2µ
29. 2, 4
8. 1, 3 11, c
4. c, 2 2, c
28. §© 23, 10
8. c, 2
¶ · §© 3, c ¸
¤ 3 ³ 1. ¥ , c ´ ¦ 4 µ
¤ 5³ 3. ¥ 2, ´ ¦ 2µ
25. §© 3, 1 ¶¸
³ § 8 6. ¨ , c ´ µ © 7
¤ 1 14. ¥ c, ¦ 2
EJERCICIO 135
22. c,13 ¶¸
2. c,3
5. c, 7
¤ 2 ³ 13. ¥ ,1 ´ ¦ 3 µ
X
³ §3 12. c, 1 ¶¸ ¨ , c ´ µ 4 ©
1489
y=–5
X
ÁLGEBRA
3.
EJERCICIO 139
8.
Y
Y
1.
x=4
6.
Y
Y
x=3
y = 3x – 10
y=4 X
X
y=2
X
X
2x – 3y = 9
4.
9.
Y
Y 2.
7.
Y
Y
y=3
2x + y = 1 X
X
x=4
2x – y = 3
X
y=–3
X x–y=2
5.
10.
Y
x=4
Y
3.
8.
Y
Y 2 x 2
3x – 2y = 0 y=1 X
X
X
X x – 3y = 0
11.
6.
4.
Y
Y
9.
Y x+y=1
0
x 3
Y
x=y
1c y c 4 X
X
x + 2y = 0
X
X x+y=1
x=–3
7.
5.
12.
10.
Y
Y
Y x=–3 x 2 X
y 3
Y
x+y=3
y=1–x
1
X
X
x–y=1
1490
y=x–4
X
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO 14
11.
EJERCICIO 140
13. log17 a 2
2. 16 = x 4
14. log 5 625 4
3. 81 = 3 4
15. log 64 4
1 6 2 36
16. log N
1 3
1 2 16
¤ 4³ 17. log 2 ¥ ´ 2 ¦ 9µ
4
5. 9
3
6. 343 = 7 x
18. log 2 x 3 4
1 2
13.
1 1 log x log y 3 2
14.
3 1 2 1 log a log b log c log d 2 2 3 3
15.
1 log 2 x y 4 log 2 x y 2
19. ln 25 x 2
1 4 81
9. y =
3. y = 3
1 32
10. N = 8
1 5
11. w = 3
5. x = 4
4 12. x = 9
4. b =
6. a = 343
13. b = 2
7. x = 81
n2
6
x 3 y2
30. ln
18. y =
1 4
31. ln
5
m2
24. log 2 3 4 x
2
9. ln x 2 ln y 3 4 ln z
4
2x14 y3 1
25. log b
1 12
3y x
1
10 x 6 35. log
3. x = 9, x =
8. x = 25
1491
2
x 1
x
x 1 3 2
2
9. x = 17, x =7 10. x = 27 5
4. x = 17 5. x = 6, x = –6 6. x = 13 7. x = 40
10. log5 3 + 3 log5 x + 6 log5 (1–2x) – log5 2 – y log5 x – log5(x2 – y2)
10 x
¤ 9m 2 p ³ 36. ln ¥ ´ ¦ 7 xy 3 µ
x yz
1
x 1 3 x 1 2 34. log
x 1 8 x 2 3
2. x = –20
8. log 1 7 2 log 1 x
x 2 3 x 1 2
19. x = –3
1. x = 1
3
x y 3
33. log 2
EJERCICIO 143
7. 3 log x y log x z
e 2 x x y
x 2 5
3 2. log 6 3 2
6. 8 2 ln 3 4 ln x
1
x7
32. log
27. log 2
5. 3 log 3 x 2 log 3 y log 3 z
1
x 8 y3
2
23. log n 4
26. log
7 1 3. log e x 3 3 4. log 5 log x 2 log y
4 m2 1
5ey
2 5
17. x = –6
15. x = 3 16. a =
z4
1. 4 log a 7
2
14. x = 2
EJERCICIO 142
29. log
22. ln 8e 4 x 2. x = 4
28. log 4
m3
21. log 7 8. m = 8
1
20. log
EJERCICIO 141 1. x = 5
21. log x z w
24. log 3 x 2 441 2
2 x 2 7 ln x 1 ln x 1 3 3 5 30
9. 625 = w 4
12. 256 = (2x – 1)8
18.
23. log 5 125 3x
1 log x 3 2 log x z 3
20. log x 2 8 3
11. 243 = (3x)5
1 1 1 log x 3 log y 5 2 log x 6 log y 2 2 2 4
8. x – 1 = 32
22. log 3
17.
19. log 2 256 x
10. 128 = (x – 1)7
16. 2 log x
3
7. 6 a
5 log z 2
12. 2 log x y
1. 8 = 2 3
4.
1 log 4 3 log 4 x 2 log 4 y 2
9 2
11. x = 8, x
22 9
12. x = –1 13. x = 0, x = –35 14. x = 6 15. x = 3 7 16. x = 12, x = 11
ÁLGEBRA
e 1 e 1
17. x = 5
21. x =
18. x = 6
22. x = 4e
19. x = 7
23. x = 4
20. x = 4
24. x =
25. x =
CAPÍTULO 15
ee 3
2 ee 1 26. x = e
EJERCICIO 146 1 1 1 1 , , , 2 3 4 5 2. 9.9, 9.99, 9.999, 9.9999, 9.99999 1. 1,
2 e 1
EJERCICIO 144
2. x =
4. 19. x =
1. x = 4 3 log 2 log 3
5 10 17 26 , , , 4 9 16 25
3. 2,
e 1
1 2
1 2 2 8 , , , ,2 4 5 3 7 3 5 7 3 , , , 2 6 24 40
5. 1,
20. x = 6 , x = 6
6. – 1, 4, – 9, 16, – 25 7. 0, 0, 2, 6, 12
3. x = 0
21. x = 3, x = –1
1 4. x = 2
22. x = 2
5. x = 1.20557
3 23. x = 2
10. 1,
6. x = 2
24. x = –1, x = –2
11. 2, 5, 11, 23, 47
7. x = 3
25. x = – 1
8. x = 2
26. x = 2
9. x = –1
27. x =
10. x = 3 11. x =
12. x = –1.72683 7 3
29. x =
log 2 2 log 2 log 3
2 log 7 log 5 2 log 7 log 5
30. x = 0 31. y = ln 11 – ln 13
7 14. x = 3
32. x = 2, x = 1
15. x = –4
33. x ln 3 2
2 16. x = 5 17. x = 18. x =
4 3 8 5 , , , 3 2 5 3
12.
1 1 1 , 1, , 1, 2 2 2
13.
1 4 7 10 2 , , , , 3 3 3 3 3
14. 27, – 9, 3, – 1,
1 3
15. – 1, – 1, – 2, – 6, – 24 16. – 2, 4, 16, 256, 65 536 1 , 3 24 3 18. 3, 1, – 1, 1, – 1 17. 4, 2, 1,
1
EJERCICIO 147 1. 48 2. 165
8. 21 9. n2
617 140 4. 126 3.
34. x = 0
5 3
35. x ln 1 e
5 2
36. x ln 5
EJERCICIO 145 1. pH = 4.7212 2. pH = 3.2218 3. 1 × 10 –9 4. 4.3010 5. 0.9 segundos 6. 3 500 micrómetros 7. 59.46% 8. 6.4321 años
1 2 3 4 5 , , , , 2 3 4 5 6
9. 1, 2, 3, 4, 5
28. x = 0, x = 2
2 log 2 3 log 5 2 log 5
13. x =
8.
10.
2 11. c = 3
5. 7 1
12. c = 1
6. 18
13. c = 3
7.
n n 1
11 2
14. c = 2,
20 13
EJERCICIO 148 9. 1 38.62 años 10. 18 321 habitantes 11. 3.5 horas 12. 29.15 años 13. T = 64.762°C 14. T = 94.84°C 15. t = 133.9 min
1. Sí es
7. a8 = 23
13. a12 = – 5
19. n = 9
2. No es
7 8. a11 = 2
14. a18 = 454
20. r = –
3. Sí es
9. a15 =
15. a13 = – 27
21. a11 = – 28
103 12
4. No es
10. a10 = 55
5. Sí es
11. a16 =
6. Sí es
12. a7 = 48
1492
27 4
16. a17 =
11 4
1 4
22. a1 = – 15
17. a1 = 7
23. n = 10
18. r = – 2
24. a1 = 7
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
25. a1 =
17 6
27. r =
1 4
29. a7 = 8n – 5
28. a5 =
26. n = 10
15 4
30. a4 =
20n 7 6
EJERCICIO 149 1. S8 = 176 2. S9 = 9 3. S8 = 31
6. S12 = 450 7. S11 = 0 8. S = 40 600
4. S9 = 648
9. S =
n n 1
2 10. S = n(n + 1)
5. S13 = – 78
23. n = 5
27. a4 =
20. a2 = 4
24. n = 8
28. a11= 2 6
14. a1 = – 9 15. a1 = 2, an = 100
21. r =
1 3
25. n = 9
22. r =
3 4
26. a1 =
1 4
EJERCICIO 154 3 1 1. 9, , ,– 1 2 4 9, 3, 1, – 1
EJERCICIO 150
2. 4 096 células 3. 3, 5, 7 4. 6 células
1. 365 lugares 2. 518 ladrillos 3. $1 375 4. 9 rollos 5. 18 filas
5. 30 388 bacterias 6. at = 25 000(1.05) 3t 7. $339 814.7 8. 67 392 bebés 9. 4 cm2
EJERCICIO 155 364 27
11. Sn =
2059 486
12. Sn =
1. S6 =
EJERCICIO 151 1 1 1 1. 27 , 34, 40 , 47, 53 2 2 2
2. S7 =
1 1 1 1 2. 6 , 8, 9 , 11, 12 , 14, 15 2 2 2 2
3. S9 = – 855
r2 1 2n 1 2n
13. n = 8
4. S10 =
989527 2187
14. r =
1 1 1 1 1 1 1 4. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 2 2 2 2 2 2 2
5. S15 =
32767 8
15. a1 = 27
5. – 2.5, – 2, – 1.5, – 1, – 0.5, 0
6. S18 = 524 286
16. an =
5 4 11 6. , , 6 3 6
7. S12 = 1 092 + 364 3
17. a1 = – 2
7. Promedio = 8.24
8. S10 = 31 – 31 2
18. r =
9. S12 =
1. 8 años 2. 9.8 de calificación 3. Promedio = 9 4. Promedio =
n 21 n n 1
1 2
1 64
3 2
19. n = 7
10. S9 = 511 2 x 2
EJERCICIO 156
a1 an
1. 5 461 triángulos 2. 127 personas 3. 65 761.7 ton. 4. 34 316.76 partos 5. 1.01 % por año, 110.4 millones
2
5. 7 hileras y constan de 80, 76, 72, 68, 64, 60, 56 tejas 6. 8 hileras de 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82 y 86 tejas
EJERCICIO 153 1. Sí es
7. a6 = – 81
2. Sí es
8. a9 =
3. No es
9. a5 = – 80
128 2187
5 128
4. No es
10. a7 =
5. No es
11. a10 =
6. Sí es
1 12. a8 = 16
1 2187
13. a12 =
32 243
14. a9 = m24 15. a10 = n14 16. a7 =
n3 n 1
17. a13= 227 x 16 18. a9 = a1r
EJERCICIO 157 6. r =
3 5
9 4
7. r =
1 3
3. S = 9
8. S =
4 cm2 3
1. S = – 4 2. S =
4. S =
27 4
5. S =
23 8
16
1493
a1 r 2n 1
1 2 1 2 3. 1, 1 , 1 , 2, 2 , 2 3 3 3 3
EJERCICIO 152
m4 23
2
11. S = n 12. n = 12 13. n = 10
1
19. a1 = 2
9. S = 2 048 cm2
x 9
ÁLGEBRA
EJERCICIO 158 1. 1, 2, 4, 8, 16
10. 1, 2 , 2, 2 2
4 4 2. 4, , 3 9
11. 3 6
3. – 6, –12, – 24, – 48
12. 4 2
4. 6, 24, 96, 384, 1 536
13. 5 5
5. 6, 6 3 , 18
14. 12
2 8 32 128 6. , , , 3 9 27 81 7. – 64, – 32, – 16, – 8, – 4, – 2
16. 8 2
x 1 3 , x 1 4 , x 1 5
17. 3 3
8.
3
9
3
15. 36 3
27
4 9. a, 2, a
18.
§3 9 3¶ §1 §0 0 0 ¶ 3 5¶ 4. A B ¨ · , A B ¨ · , A A ¨ · ©1 4 8 ¸ ©7 8 6 ¸ ©0 0 0 ¸ § 5 §4 6 2 ¶ 6 16 ¶ 4 A 3B ¨ · , 2A 0B ¨ · 2¸ © 25 30 17 ¸ ©8 12 § 3 ¨ ¨ 5 ¨ 1 5. A B ¨ ¨ 3 ¨ 23 ¨ © 3
§ 23 ¨ §0 0 0 ¶ ¨ 5 ¨ · A A ¨0 0 0 · , 4 A 3B ¨ 1 ¨ ¨0 0 0 · ¨ 26 © ¸ ¨©
2 8
EJERCICIO 159 1. $25 937.4
11. $17 483 ª 2.5% trimestral 12. « ¬ 10% anual 13. 14.86% 14. 7% 15. 11.1 años 16. 9 955 habitantes 17. 3 años 18. $655 446.5 19. 3% 20. $12 244.5
2. $64 390.28 3. $49 783.2 4. $43 346.6 5. $13 324.4 6. $18 824.8 7. $1 292.2 8. $8 723.2 9. $8 682.5 10. $188 542
§ 7 1¶ · ¨ 8· ¨ 5 · ¨ 1 2 10 · , A B ¨ · ¨ 3 ¨ 19 3· 1 · ¨ 2¸ © 3 16 3
1. $55 700.19 2. $3 652.26 3. 25% 4. 8%
5. $156 738.56 6. 20% 7. 10 años de vida útil
CAPÍTULO 16 EJERCICIO 161 1. a = 2, b = – 1 2. x = – 2, y = 4, z = 0
3. q = 2, r = 1, t = 1, 4. x = 7, y = 1, z = – 2
EJERCICIO 162 § 6 2¶ §0 0 ¶ §0 0 ¶ 1. A B ¨ · , A B ¨ · , A A ¨ · © 0 4¸ ©0 0 ¸ ©0 0 ¸ § 3 1 ¶ § 6 2¶ 4 A 3B ¨ · , 2A 0B ¨ · © 0 2¸ © 0 4¸ 2. A B §© 4 7 4 ¶¸ , A B §©8 7 2 ¶¸ , A A §©0 0 0 ¶¸ 4 A 3B §© 26 21 5 ¶¸ , 2 A 0 B §© 4 0 2 ¶¸ § 2 2¶ ¨ · 3. A B ¨ 3 6 · , A B ¨ 3 · 4 © ¸
§ 6 12 ¶ §0 0 ¶ ¨ · ¨ · 6 · , A A ¨0 0 · ¨ 1 ¨ 1 10 · ¨0 0 · © ¸ © ¸
§ 20 43 ¶ ¨ · 4 A 3B ¨ 2 18 · , 2 A 0 B ¨ 5 33· © ¸
§ 4 14 ¶ ¨ · ¨2 0 · ¨ 4 6 · © ¸
8 3 5
1¶ · 8· · 6· · 3· · 2¸
1¶ · 2· 27 16 · · 8 9· 5 2 ·¸ 19
§4 1¶ 10 · ¨ 4· ¨5 2A 0B ¨ 0 6 4 · · ¨ ¨14 2 0 · ·¸ ¨© 5
[ a 7, b 2, c 2, d 5, v 3, w 4 7. [ n 3, w 10, x 3, y 6 8. [ v 4, w 2, x 3, y 7, z 2 6.
EJERCICIO 163 § 5 1. AB §© 2 ¶¸ , BA ¨ © 5
EJERCICIO 160
14 3
7¶ · 7 ¸
2. AB §© 5 5 ¶¸ § 5 4 ¶ ¨ · 3. BA ¨ 5 0· ¨ 6 1 ·¸ © § 7 7 4¶ 4. AB ¨ · © 5 5 8 ¸ § 8 8 ¶ § 4 2 ¶ 5. AB ¨ · , BA ¨ · © 2 4 ¸ © 8 8¸ § 12 7 ¶ §1 3¶ 6. AB ¨ · , BA ¨ · © 5 2 ¸ © 8 13¸ §4 § 1 25 ¶ ¨ 7. AB ¨ · , BA ¨1 © 1 7 ¸ ¨7 ©
2 0¶ §74 98 ¶ · 1 3· , A BC ¨ · © 20 26 ¸ 5 3 ·¸
§ 11 3 ¶ § 1 5¶ §17 3 ¶ ¨ ¨ ¨ · · · 8. AB ¨ 4 2 · , A B 2C ¨ 4 0 · , A BC ¨ 8 2 · ¨ 2 0· ¨ 2 2 · ¨2 · 0 © © © ¸ ¸ ¸
EJERCICIO 164 1. detA = 22 2. detB = 8 3. detC = – 50 4. detD = 43 5. detE = 122
1494
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO 17
EJERCICIO 165 §1 ¨ 1 ¨ 7 1. A ¨1 ¨ ©7
¶ · 1 §2 ·= ¨ · 14 © 2 · ¸
4¶ · 3 ¸
0¶ 1 § 2 · 1· ¨ 2© 5 2 ·¸
0¶ · 1¸
2 7 3 14
§ 1 2. B 1 ¨¨ 5 ©¨ 2
EJERCICIO 167 1. (x – 1) y (x – 5) 2. (x + 1) y (2x + 3) 3. (x + 2)(3x – 2) y (x – 2) 4. (x + 1) y (x + 3i ) 5. (x + 2i ) y (x – 2i ) 6. (x),(x + 1 – i ) y (x + 2 + 3i ) 7. Residuo –72 9 8. Residuo 2
§2 1¶ 3. C 1 ¨ · ©3 2¸
4. D
1
§ 6 ¨ 7 ¨ ¨ 12 ¨ © 7
2 7 3 7
§ 5 ¨ ¨ 6 ¨ 1 5. E 1 ¨ ¨ 6 ¨ 1 ¨ 2 ©
1 6 1 6 1 2
§ 1 ¨ ¨ 8 ¨ 1 6. F 1 ¨ ¨ 4 ¨ 5 ¨ © 24
3 4 1 2 7 12
§ 5 ¨ ¨ 17 1 ¨ 1 7. G ¨ ¨ 17 ¨ 1 ¨ © 17 § 1 ¨ ¨ 5 ¨ 1 8. H 1 ¨ ¨ 5 ¨ 1 ¨ © 5
¶ · 1§ 6 · ¨ · 7 © 12 · ¸
1¶ · 2· § 5 1 3 ¶ 1 · 1¨ · 3· · ¨ 1 1 2 · 6¨ · 3 3 3 © ¸ 1· · 2¸
2 17 11 34 3 17
§ 43 ¨ ¨ 6 ¨ 1 ¨ 9. J 1 ¨ 6 ¨ 67 ¨ ¨ 6 ¨ 16 6 ¨ © 3
273 2 10. Residuo 12 11. Residuo 264 12. Residuo –240 13. k = 2 14. k = 3, k = –6 46 15. k = 6, k = 3 9. Residuo
2¶ · 3¸
1 10 3 5 3 5
49 6 1 6 79 6 19 3
1 8 1 4 1 8
3 10 9 5 4 5
¶ · · § 2 1 · 1 ¨ 6 · ¨ 2 · 10 ¨ 2 6 © · · ¸
19 6 1 6 31 6 7 3
167 73
1 3 18. Todos son raíces 19. Todos son raíces 20. Ninguno es raíz 11 21. x = –1, x = 2
17. k = 4, k =
¶ · · § 10 4 6¶ · 1 ¨ · · ¨ 2 11 8 · · 34 ¨ 2 · 6 8 © ¸ · · ¸
3 17 4 17 4 17
16. k = 4, k =
¶ · · § 3 18 3 ¶ · 1 ¨ · 6 12 6· · ¨ · 24 ¨ 5 14 3 · © ¸ · · ¸
3 ¶ · 18 · 8 ·¸
1¶ · 6· § 43 1¶ 49 19 1· ¨ · · 1 1 1 1 1 6· ¨ · ¨ 1 · 6 67 79 31 1 · ¨ · · 6· ¨© 32 38 14 2 ¸· 1· · 3¸
EJERCICIO 166 ª x 5 1. « ¬ y 2
ª a 11 3. « ¬ b 10
ª x 5 5. « y 2 z 1 ¬
ª m 4 2. « ¬ n 2
ª a 4 4. « b 3 c 2 ¬
ª x 1 6. « y 1 z 2 ¬
22. x = 2 + i, x =
3 5
1 5 ,x= 2 3 24. x = 2 i, x = –2 i 3 25. x = 4, x = 5 26. f (x) = x3 + 4x2 – 5x 27. f (x) = x3 + 4x2 – 9x – 36 28. f (x) = 3x3 – x2 + 48x – 16 29. f (x) = 8x3 + 2x2 – 43x – 30 30. f (x) = x4 – 5x3 – 13x2 + 133x – 260 31. f (x) = 6x4 – 5x3 + 7x2 – 5x + 1 32. f (x) = 3x3 + 5x2 + 4x – 2 33. f (x) = x3 – x2 – x + 1 34. f (x) = x4 – x3 – x2 – x – 2 35. f (x) = x4 – 6x2 + 8x – 3 36. f (x) = x4 – 4x3 + 16x – 16 37. f (x) = x5 + 2x4 – x – 2 38. x = –1, x = 1, x = 5 39. x = 5, x = 4, x = 3 1 2 40. x = 1 , x = , x = 4 5 3 23. x =
5 , x = – 2 + i, x = –2 – i 2 42. x = 2, x = –3, x = 7, x = 0 43. x = – 4 i, x = 4 i, x = –2, x = 3 2 5 44. x = , x = , x = –1 + i, x = –1 – i 3 2 41. x =
45. x = – i, x = i, x = – 4, x = –3, x =
1495
1 2