Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM ENP UNAM
FUNCIONES UNIDAD I EJERCICIOS ABIERTOS 1) ¿Cuáles son las condiciones que hacen que una relación sea función? 2) ¿Qué diferencia existe entre una imagen y el rango de una función? 3) En términos de variables, ¿cómo se define una función? • Explicar con detalle: 4) ¿Qué es una función inyectiva? 5) ¿Cómo se define una función suprayectiva? 6) ¿Qué condiciones definen a una función biyectiva? • En caso de serlo, determinar el tipo de función que representan las siguientes relaciones: 7)
8) *
* *
*
* *
* *
*
*
* A
*
B
A
9) * * *
*
* *
* A
Dadas las funciones respectivo dominio:
f (x ) + g (x )
B
B
*
*
*
*
*
*
*
*
A
• Explicar y dar dos ejemplos de cada una de las siguientes funciones: 11) Constante. Constante 12) Identidad. Identidad 13) Algebraica. Algebraica 15) Lineal. Lineal 16) Cuadrática. Cuadrática 17) Racional. Racional 19) De proporcionalidad inversa. inversa. 20) Trascendente. Trascendente 22) Par. Par 23) Impar. Impar
24)
*
10) *
•
*
B
14) Polinomial. Polinomial 18) Irracional. Irracional 21) Periódica. Periódica
f (x ) = 3x 3 2 y g (x ) = 4 x − 8 , realizar la operación pedida y establecer su 25)
f (x ) − g (x )
26)
28) ¿Qué es la composición de funciones?
1
f (x ) ⋅ g (x )
27)
f (x ) g (x )
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
•
Dadas las funciones
f (x ) = 2 x y g (x ) =
5 , realizar la composición de funciones pedida 6− x
y establecer su respectivo dominio: 29) •
f (x ) o g (x )
Dadas las funciones f ( x ) =
30)
2− x
y
g (x ) =
g (x ) o f (x )
1 , realizar la composición de funciones 3− x
pedida y establecer su respectivo dominio:
g (x ) o f (x ) 33) En un triángulo, la altura h triplica a la base b . Expresar el área A de un triángulo en función
31)
f (x ) o g (x )
32)
de su altura. 34) Un ranchero desea cercar su terreno rectangular junto a un río. El ranchero tiene 200 metros de malla y no se necesita cercar el lado del río. Expresar el área A del terreno como función de x , que es la longitud paralela al río. 35) Expresar el volumen V de un paralelepípedo en función de su profundidad, sabiendo que el largo x es el doble de su profundidad y y su altura z mide la cuarta parte de lo largo. 36) Explicar el significado de las funciones expresada en forma explícita e implícita. • Transformar las siguientes funciones implícitas en explícitas:
3xy − 8 y − 9 x − y = 0 3 − 5x 39) − 7 = 2x2 1− 6 y2 37)
38)
− 8xy 2 − 7 y 2 − 9 x − 12 = −5
40) ¿Qué son las ecuaciones expresadas en forma paramétrica? 41) ¿Todas las ecuaciones paramétricas representan funciones? • Dadas las siguientes funciones expresadas en forma paramétrica, obtener su forma explícita:
x = 3 5t 3 − 9 43) y = (7 − t 4 ) 2 + 2
x = 4t 2 − 6 42) y = −3t 4 + 7 2 x = −3 5t 44) 2 y = t − 12t + 37
45) ¿Qué es la función inversa de una función? 46) ¿Todas las funciones tienen función inversa? • Obtener la función inversa de las siguientes funciones:
f ( x) = 7 x − 13 5 − 6x 49) f ( x ) = 18 + 9 x
f ( x) = 3x 2 + 10
47)
48)
50) f ( x ) = 4 − 11 7 x
51) f ( x) = 11 −
• 52)
Graficar las siguientes funciones estableciendo su dominio y rango:
−2 x3 3 55) f ( x ) = 2 x −9
f ( x ) = x 2 − 3x − 4
54) f ( x ) =
−3 4x − 7
53) f ( x) =
x 2 − 16
56) ¿Qué es una función definida por intervalos?
2
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
•
Explicar el comportamiento de las siguientes funciones, establecer su dominio y graficarlas:
57) f ( x ) =
− 3 x − 6
x≤2 x>2
58) f ( x ) =
− 2 x 2 x
x <1 x ≥1
2 59) f ( x ) = 0.5 x 3.5
−2≤ x < 4 4≤ x<7 7 ≤ x ≤ 11
cos x 60) f ( x ) = − 1
0≤ x≤π
3
x>
π 2
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM ENP UNAM
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN UNIDAD II EJERCICIOS ABIERTOS 1) ¿Cuál es la diferencia entre entorno y entorno reducido? 2) Obtener el entorno del punto a = 4 y con la semiamplitud δ = 0.23 . 3) Obtener el entorno reducido del punto a = −5 y con la semiamplitud δ = 0.67 . 4) Exponer el concepto formal de límite y trazar una gráfica al respecto. • A través de la definición, definición, calcular formalmente los siguientes límites (δ ( en función de ε): 5) lim (3 x ) x→ →7
7)
( lim (− 8 x
lim 4 x 2 − 2 x − 10
6)
x →5
3
x → −4
)
)
+ 6 x2 − x − 1
2 x→1 5 x x2 − 9 9) lim x →3 x − 3 8) lim
10) Si se tiene: lim− f ( x ) = 4 y lim+ f ( x ) = 6 , ¿es posible de que lim f ( x ) exista? •
x→ →2
x→2
x→2
Para la función f cuya gráfica se muestra, obtener el valor de la cantidad pedida, si existe. En caso en no existir, explicar por qué. y
2
1
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
11)
f (4)
15) f (− 1)
12) lim− f ( x )
13) lim+ f ( x )
14) lim f ( x )
16) lim− f ( x )
17) lim+ f ( x )
18) lim f ( x )
x→4
x → −1
x →4
x → −1
1
x→4
x → −1
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
19) Explicar las propiedades de los límites. • Aplicando las propiedades de los límites calcular: 20) lim (17 ) x→2
22)
(
)
lim − 4 x + 5 x − 6 x − 11
x → −3
3
2
21) lim x x→6
23)
x2 − 2x + 4 x → −7 x2 + 3 x2 + x − 2 lim 2 x →1 x − 3 x + 2 x2 + 4x + 4 lim 2 x→2 x − 6 x + 8 x 2 − 11x + 30 lim 2 x → 6 x − 13 x + 42 4+ x −2 lim x →0 x
24) lim
25)
26)
27)
28) 30) 32) •
29) 31) 33)
2x − x2 lim 3 x x →0 x − 3 2x − 4 lim 2 x→2 x + x − 6 (2 x + 16 )2 lim 2 x → −8 x + 7 x − 8 x2 − x lim 3 x →1 x − 1 x −5 lim 2 x →5 x − 25 2x − 2 − 4 lim x →9 x −3
Para las siguientes funciones determinar los límites infinitos (a través de sus límites laterales):
34) f ( x ) =
3 x
36) f ( x ) =
4x x −9
35) f ( x ) =
1 x −1 − 2 x 2 − 5x + 1 37) f ( x ) = x 2 − 3 x − 21
2
•
Calcular los siguientes límites trigonométricos: 38) lim sen x x→
π
39) lim (− 4 cos x ) x→
4
3π 2
sen7 x x 3x 43) lim x → 0 4 sen3 x
41) lim
40) lim csc x x →π
x →0
8 − 8 cos 2 x x→0 x2 tan 9 x 44) lim x →0 6x 42) lim
45) lim x cot 9 x x →0
Calcular los siguientes límites que tienden a infinito: 46)
(
lim 3x 2 − 5 x − 7
x →∞
)
47) lim csc 2 x x →∞
20 x − 13x + 3 48) lim x → ∞ 5 x 2 − 10 x + 22 5 x3 − 4 x 2 − 1 50) lim x → ∞ 10 x 4 − 11x 3 − 7 x 2 − 4
8 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 − x + 4 49) lim x→∞ 4 x 2 − 15 x − 7
2
51) Dada una función racional, ¿cómo se puede saber el resultado de un límite cuando tiende a infinito? • De acuerdo a lo anterior, determinar los siguientes límites:
− 7 x2 + 5x + 1 52) lim 2 x →∞ x − 9 x3 − 4
8 x − 11x 3 − x5 53) lim x → ∞ 12 − 6 x 3 + 13 x
2
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
22 x 3 − 28 x 4 − 8 x x → ∞ 10 − 7 x 4 − 3 x − 4 x 3
54) lim •
Encontrar los siguientes límites exponenciales:
55)
lim 3x
56)
x →∞
1 57) lim x →∞ 4 x 59) lim 7
x
lim 5 x
x → −∞
1 58) lim x→−∞ 2
x
x→0
•
Hallar los siguientes límites logarítmicos:
60) 62)
lim log 2 x
61) lim log10 x
lim log0.5 x
63) lim log 0.25 x
x →0+
x→∞
x →0 +
x→∞
64) Definir formalmente el concepto de continuidad en un punto. 65) ¿Cuándo es continua una función en un intervalo? 66) ¿Qué significa que una discontinuidad sea evitable? • Determinar si las siguientes funciones son continuas en el punto dado: 67)
f ( x ) = −3x + 4
en
68) f ( x ) =
x=2
5 x − 10
x − 8 x + 12 en x = 2 x−2 x 2 − 36 71) f ( x ) = en x = 6 x−6
70) f ( x ) =
x 2 + 3 x − 11 73) f ( x) = 2 en x = 5 x + 16 x + 64 4x + 9 75) f ( x ) = 2 en x = −7 x + 3 x − 28
x 2 − 16 74) f ( x ) = 2x − 8
69) f ( x ) =
2
77) Determinar el valor de
x + 3 f (x ) = cx + 6
c
•
1 x+3
en
x = −3
f (x ) = cos x
en
x =π
76) f ( x) =
en
x3 − 1 x +1
en
x =1
x>2
c
tales que la función sea continua en todos los números reales:
1< x < 3 x−2 ≥1
Analizar la continuidad de las siguientes funciones:
5 x 2 − 24 2 x 2 − 98 4 x3 − 2 x 2 − 5x − 6 81) f ( x ) = x 3 − 13 x 2 + 42 x 83) f ( x ) = x
2 x 2 − 4 f (x ) = 8 + 2 x
x=4
x≤2
6 x − 2 x − 24 5 x 2 − 25 82) f ( x ) = 3x − 24
79) f ( x ) =
84)
x = 1.5
tal que la función sea continua en todos los números reales:
78) Encontrar los valores de b y
x + 1 f (x ) = 2 x + bx + c
72)
en
80) f ( x ) =
0≤ x<3 x>3
3
2
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM ENP UNAM
LA DERIVADA UNIDAD III EJERCICIOS ABIERTOS 1) Explicar detalladamente el concepto de derivada. derivada 2) Interpretar geométricamente el concepto de derivada. derivada • Derivar mediante la regla de los 4 pasos, las siguientes funciones:
y = 4x 2 3 5) y = 7x 3)
4)
y = −8 x + 15
6)
y = 3x 2 − 5 x − 1
7) y = 6 x 8) Explicar cuando una función es derivable. derivable 9) ¿Una función derivable es continua? 10) ¿Una función continua es derivable? 11) En general, ¿cómo se puede saber si una función es derivable? 12) Dibujar dos funciones: una que sea derivable y otra que no lo sea. sea 13) Determinar los puntos en que la función f ( x ) = x − 3 es derivable.. 14) ¿Qué es la regla de la cadena? • Aplicando las fórmulas de derivación, obtener la derivada de las siguientes funciones: 15)
y =8
17) y
= 8x 2 − 12x + 41
19) y =
6 4x3
( 23) y = (5 x
21) y = 4 x − 9 x
25) y = 27) y = 29)
y = 3x + 7 1 18) y = 2 x 1 20) y = 3x 16)
3
− 3x 3 − 8x 2 − 9 x − 4
4
3
6x 4 1
4
3
(
)
7x
7
28)
7 x 2 − 11x − 5 8x 3 − 9 x 4 x 33) y = 5 31) y =
37) y =
3
24) y = 26) y =
)(
)(
)
22) y = 3 x − 7 x + 11
)
y = 7 x 6 + 1 ⋅ 2x 4 − 5 ⋅ 7 x 3 + 4x
2 35) y = x
(
2 3
)
2
5x 3
(
(6x )4
)(
1 6 ⋅ 10 x 11x 3 − 3 x 2 32) y = 3x 4 − 7 5 34) y = x 30) y =
36) y = 38) y =
1
)
y = 4 x 4 − 6 x − 3 ⋅ 5x 3 − 8x 2 − 10
7
3
2x ⋅ 4 5x
5
6x 2 − 9x − 4
x −1 x2
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
1− x 1+ x d3y • Obtener de las siguientes funciones: dx 3 5 4 3 2 40) y = x − 2 x + 3x − 9 x − 8 x − 10 39) y =
41) y =
43) Obtener •
42) y =
2x
d6y de la siguiente función: y = sen 4 x dx 6
Derivar las siguientes funciones implícitas aplicando el método expuesto y corroborarlo con el método de derivadas parciales:
y 3 − 2 xy − 7 x 3 − 2 x 5 y 4 − 11 = 0 2 3 3 46) − 7 xy + 8 x − 9 x − 11x y − 2 = 0 44)
•
1 3x
9 xy 2 − 15x 2 y − 19xy + 18 = 0 3 3 5 4 47) y − 2 xy − 7 x − 2 x y − 11 = 0
45)
Derivar las siguientes funciones expresadas de forma paramétrica:
y = 5t 49) 1 x= t y = 6 ln 4t
y = 5t − 3
48) x = −2t 2 − 6t − 1 50)
y = 5tan3t x = 5e −4t
•
Obtener la segunda derivada de las siguiente función expresada en forma paramétrica:
51)
x = 5 cos 6t −1
x = 6t 2 − 7t − 14 52) y = 4t 4 − 9t •
53)
Obtener la derivada de la función inversa de:
f (x ) = 4 x + 3
54)
f (x ) = x 2 + 9
55) f ( x ) = 7 x − 8 56) f ( x ) = ( x − 1) • Derivar las siguientes funciones trigonométricas:
3
57)
y = 9sen 7 x
58)
y = −12 sec11x 2 61) y = 12 tan (6 x − 9 x ) 1 63) y = cos x 3
59)
(
y = 7 cot − 15x 3 − 8x
60)
y = −3 cos (5 x − 1)
62)
y = csc − 3x 5 − 7 x 3
)
65) y = −12 csc 8 x 67)
y = 13 tan (11x − 1)
( ) 64) y = sen (11x − 17 x − 6) 66) y = −4 sec (8 x − 16x ) 68)
y = cos3 2 x
69)
y = 4 tan5 9 x 2 − 4 x − 1
70)
y = sen 3x ⋅ cot 5 x
71)
y = csc6 11x 2
72) y = 4 x − 7 x
(
73) y =
x sen 8 x
2
3
)
74) y =
2
(
2
2
9x tan 4 x
)
2
2
⋅ sec 6 x
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
cos 10 x cot 4 x −2 77) y = tan 3 x 75) y =
76)
x − y cos x − 3xy − 4 y = 0
78) y =
1 sec 2 x
79)
y = 5x ⋅ sec10x 4
•
Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas.
80) y =
y = 4 sen −1 5x −1 3 83) y = −9 csc 7 x −1 4 85) y = tan 10x
sen 6 x
y = 7 cos−1 2 x 2 −1 2 84) y = 14 cot 8 x −1 5 86) y = −11sec 4 x
81)
82)
(
−1 2 y = −19 csc−1 6 x 88) y = −4 sec 7 x − 8x − 2 x 2 90) y = 89) y = −1 tan x cos −1 x −1 4 −1 91) y = 12 tan 10x − 3x 92) y = x ⋅ sen x −1 93) y = sen x ⋅ sen x dy 94) ¿Será cierto que = 1 si y = sen−1 (sen x ) ? dx
87)
(
•
)
Derivar las siguientes funciones logarítmicas:
95) y = log 6 7 x
96) y = log 9 (5 x − 2 )
3
4
97) y = log 5 (3 x − 1)
7
y = ln 5x 2
99)
(
98)
)
101)
y = 4ln sen−13x
103)
y = ln (5x − 1) ⋅ 8x − 2
105) y = •
(
4
)
1 ln x
y = ln 2 x
(
)
100)
y = ln 11x 4
102)
y = log 2 (cos 5 x)
x3 104) y = log 3 1− x 106)
y = 4 x ⋅ ln 2 x
Derivar las siguientes funciones exponenciales:
y = 42x sen x 109) y = 2 log 3 cos 4 x 111) y = 8 ln 5 x
107)
113)
y = e6 x
115) y = −12e 117)
110)
x3
y = e 5 x ⋅ 53 x
112) y =
5e 4 x
114) y = 2e 5 x3
y = x ⋅ ex
119) y = e • Derivar las siguientes funciones: sen 2 x
121) y =
108) y = 8
12e 5 x 4 tan 3 x
−9 x 2
y = e0 7x 118) y = 5e ⋅ cos 9 x (5 x −7 x +1) 120) y = 17 e 116)
2
122)
3
y = 2 ln x 4
2
)
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
123) y = ln e
126) y =
1 e7x
y = x4 ⋅ 4x
128) y =
3
130) y =
ex e−x
4e 7 x
7 x 3 − 10 x 2 129) y = ln 8x − 3 131) y = ln sen 4 x
y = 8tan−1e6 x x 135) y = −3 x e 133)
x5
3
125) y = 127)
124) y = 9
x3
6
132)
y = x 0e0
134) y = 3
4
ln 5 x 2
e 2x
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM ENP UNAM
APLICACIONES DE LA DERIVADA UNIDAD IV EJERCICIOS ABIERTOS •
Hallar la ecuación de la rectas tangente y de la recta normal de las siguientes funciones en los puntos dados:
P(2,−2) P(3,32)
1) f (x x) = 4 x − 5 x − 8 2
2) f (x x) = 3x − 6 x + 4 x − 7 3
2
3) f (x x) = 16 x
P(1,4) P(0,2)
4
4) x y − 5 x − 7 y − 9 x y + 28 = 0 • Determinar el ángulo que forman los siguientes pares de curvas: 2
3
2
5) f (x x) = 2 x
5
4
y
g ( x) = 4 x − 6
6) x − 2 x + y = 0
y
7) y = 4 x
y
x 2 + y 2 = 10 2x 2 = y g ( x) = 7 x 2 − 5
2
2
2
2
8) f (x x) = 2 x − 5 y • Obtener los puntos críticos, los máximos y mínimos de las siguientes funciones. Además, determinar los intervalos en que es creciente, dónde es decreciente, identificar sus puntos de inflexión y expresar en dónde es cóncava y en dónde convexa. De acuerdo a lo anterior, trazar traz la gráfica correspondiente. 3
9) f (x x) = 9 + 6 x − 3x
2
en el intervalo −2 ≤ x ≤ 4
10) f ( x ) = 2 x + 4 x − 8 x − 16 en el intervalo 3
2
−4 ≤ x ≤ 3
f (x ) = x 4 − 9 x 2 + 5 en el intervalo −3 ≤ x ≤ 3 1 4 3 2 12) f ( x ) = x − x − 3 x + 8 x − 1 en el intervalo −3.5 ≤ x ≤ 5.5 4 11)
13) Exponer en qué consiste el teorema de Rolle. 14) Explicar con detalle el teorema del valor medio del Cálculo Diferencial. 15) Un proyectil de 3 kg sigue una trayectoria de acuerdo a la función f (t ) = 2t − 4t + 5t − 7 . 3
2
Encontrar la distancia, velocidad y aceleración en t = 3.5 s. 16) La trayectoria del refresco en un popote espiral de 40 cm de largo y 8 mm de diámetro está dada por la función: x( t ) = t − 8t + 9t + 4 . ¿Con qué presión, en Pascales, llega el refresco a la boca después de haber tomado un trago de 25 gramos en 3 segundos? 3
2
17) Obtener el calor específico de un material de 4 kg
Q(T ) =
cuya función viene dada por
3 [J ] para T = 305 ° K . 2T 2
18) Si la cantidad de carga eléctrica que pasa por un conductor se expresa con:
(
q (t ) = ln 5t 3 − 8t 2
) [Coulombs] , hallar la corriente que circula para t = 8 s. 4
1
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
2
19) Determinar la iluminación producida por una fuente en una superficie de 5 m , si el flujo luminoso se comporta de acuerdo a L( A ) = −
4000 [lúmenes]. A
C se forma de una molécula del reactivo A y una molécula del reactivo a 2 kt B . Si la concentración de la nueva molécula es [C ] = (donde k es una constante y las akt + 1 moles concentraciones iniciales de A y B tienen el valor [ A] = [B ] = a ), encontrar la velocidad litro instantánea de reacción para t = 2 s. 4 2 21) Una colonia de conejos crece a razón de C (t ) = 0.25t + 2.6t − 1.5t + 12.06 ( t en meses). 20) Una molécula de un producto
Hallar: a) el número aproximado de conejos a los 15 días; b) obtener la rapidez de crecimiento para
t = 3 meses .
[
]
22) Un aprendiz toma un curso intensivo para poder fabricar artesanías. Si R (t ) = e artículos representa su función de rendimiento para dominar la técnica, determinar la razón de mejora de su aprendizaje para t = 30 días . 0.1 x
x juguetes es: C ( x) = 2000 + 3 x + 0.01x 2 + 0.0002 x 3 . Obtener el costo marginal para x = 100 juguetes y compararlo con el costo de fabricación del 101 − ésimo juguete. cm 2 24) Una bola de nieve se funde de modo que su área superficial disminuye a razón de 1 , min encontrar la razón a la cual disminuye el diámetro cuando éste mide 10 cm . 23) La función de costo para producir
m3 . Hallar la 25) Se bombea agua a un pozo cilíndrico vertical de 2 metros de radio a razón de 7 min variación de la altura del nivel del agua respecto al tiempo.
cm 2 cm 26) La altura de un triángulo crece 1 y su área 2 , ¿con qué razón cambia la base del min min 2 triángulo cuando la altura es de 10 cm y el área de 100 cm ? 27) Se descarga cemento de una tolva a razón de 1.8
m3 de forma tal que se forma una pila min
cónica cuyo diámetro en la base es siempre igual a la altura. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pila cuando ésta tiene 1.5 m metros de alto? 28) Dos automóviles empiezan a moverse de un mismo punto. Uno viaja hacia el sur a 120 otro hacia el oeste a 50
km y hr
km . ¿Con qué razón aumenta la distancia entre los automóviles dos horas hr
más tarde? 29) Obtener dos números cuya suma sea 120 y cuyo producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. 30) Hallar dos números positivos cuyo producto sea 25 y su suma sea mínima. 2
31) Si se cuenta con 1200 cm de cartón para hacer una caja de base cuadrada y la parte superior abierta, encontrar el volumen máximo posible de la caja.
2
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
32) Se ha solicitado a un carpintero que construya una caja abierta con base cuadrada. Los lados de la caja costarán $3.00 por metro cuadrado y la base costará $4.00 por metro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede construirse por $48.00? 33) Determinar el punto de la recta y = 2 x − 3 más cercano al origen. • Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L’Hopital:
x 4 − 256 x → 4 x 2 − 16 10 x 2 − 7 x − 3 35) lim x→∞ x2 + 5 34) lim
cos x − 1 cos 2 x − 1 ln x 37) lim x→∞ x xe x 38) lim x →0 1 − e x 5 x + 2 ln x 39) lim x→∞ x + 3 ln x 36) lim x →0
e 2 x − e −2 x x →0 sen x
40) lim 41)
lim x 2e x x →0
42) lim x csc x x →0
cos 2 x − cos x x →0 sen 2 x
43) lim
44) Definir formalmente el concepto de diferencial. ¿Es igual ∆x a una gráfica en la que se exponga lo anterior. 45) Exponer las cuatro propiedades de la diferencial. 46) Explicar por qué la derivada es un cociente de diferenciales. • Diferenciar las siguientes funciones:
48)
( f ( x) = (5 x
) − 6 x − 4 )(4 x
49)
f ( x) = 5 6 x 3
47) f ( x) = 2 x + 4 x − 6 2
3
5
3
− 9x 2 − 5x − 7
)
4x − 6x 2 5x 4 − 7 x 2 − 9 2 3 2 2 51) 3 x y − 4 x y + 6 y − 5 x − 11 = 0 3 52) f ( x ) = −7 sen 4 x −1 2 53) f ( x ) = 3 csc 5 x 50) y =
54) f ( x ) = 6 ln 4 x
3
f ( x) = 5e 2 x 3 56) f ( x ) = 9 log 6 (3 − 11x ) 2
55)
57) y = 2 cos 3 x 5
2
3
dx ? ¿Es igual ∆y a dy ? Hacer
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
58)
f ( x) = 7 5 x
6
5 x2 5 60) Calcular d y de y = −3 cos 4 x
59) Calcular d y de y = − 3
•
Para las siguientes funciones, calcular ∆x, dx, ∆y , dy y el % e dados los puntos
61) f ( x ) = 4 x + 5 x − 6 2
62) f ( x) = 2 x + 5 x − 3 x + 1 3
63) f ( x ) =
1 x2
3
x1 = 3, x2 = 3.15 x1 = 4, x2 = 4.002 x1 = 2,
x2 = 2.3
•
Usando diferenciales, calcular de forma aproximada lo siguiente:
64)
50 123 4 258 4.06 3 4.025 5 9.12 log10 1,005 ln 2.8 cos 61º tan 49 º sen 33º
65) 66) 67) 68) 69) 70) 71) 72) 73) 74)
x1 y x2 :
3
75) Un móvil se mueve según la función s = 6t − 4t − 12 , donde s representa la distancia recorrida medida en metros y t el tiempo medido en segundos. Determinar el desplazamiento que 2
experimenta el móvil en el tiempo comprendido entre
4
1 9 segundos y 9 + segundos. 4
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM UNAM
LA INTEGRAL UNIDAD V EJERCICIOS ABIERTOS 1) Definir con palabras propias el concepto de sucesión. 2) Dar cinco ejemplos de sucesiones. • Expresar los primeros seis términos de las siguientes sucesiones:
3 4n − 1 2n 4) an = 5 + 2n 3) a n =
5)
an =
•
{ (− 1) (2n − 1)} n
Obtener el término general de las siguientes sucesiones:
8 , ⋅⋅⋅ 2 4 6 8 10 13 19 24 31 7) { a n } = 7, , , , , ⋅⋅⋅ 4 9 16 25 8) { a n } = { − 1, 0, 3, 8, 15,24, ⋅ ⋅ ⋅ } 6)
{ an } = 4 , 5 , 6 , 7 ,
9) ¿Qué es una progresión aritmética? Establecer tres ejemplos. 10) ¿Qué es una progresión geométrica? Ofrecer tres ejemplos. • Definir y dar un ejemplo de cada uno de los siguientes tipos de sucesiones: 11) Sucesión infinita. infinita 12) Sucesión finita. finita 13) Sucesión convergente. convergente 14) Sucesión divergente. divergente 15) Sucesión creciente. creciente 16) Sucesión decreciente. decreciente 17) Sucesión monótona. monótona 18) Sucesión acotada. acotada 19 ¿Qué es el límite de una sucesión? • Calcular los límites de las siguientes sucesiones: 20)
{ an } = 4, 8 , 12 , 16 , 20 , ⋅ ⋅ ⋅
22)
{ an } = − 15 , − 30 , − 45 , − 60 , − 75 , ⋅ ⋅ ⋅
3 5 7 9 21) { a n } = { 4, − 8, 16, − 32, 64, ⋅ ⋅ ⋅ }
5
8
11
14
17
23) ¿Qué es una serie? ¿Cuál es la diferencia con respecto a una sucesión? 24) ¿Qué es una serie infinita? Y ¿Qué es una serie finita? • Determinar la suma aproximada de las siguientes sucesiones:
26)
sn
1
1
1
1
1
1
∑ a = 4 + 16 + 64 + 256 + 1024 + ⋅ ⋅ ⋅ + 4 + ⋅ ⋅ = ∑ a = (− 13) + (− 9) + (− 5) + (− 1) + 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23
25) s n =
n
n
n
1
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
27) ¿Cuál es la diferencia de una serie convergente, una divergente y una oscilante? 28) ¿Qué sucede si los términos de una serie se acercan a cero? 29) Explicar por qué una serie de incrementos constantes siempre es divergente. 30) ¿Cuándo converge una serie geométrica? • Determinar la naturaleza de las siguientes series:
8
∑2
31) s n =
5n
∑n+3 = ∑ (9 − 7n )
32) s n = 33)
n
sn
3 34) s n = ∑ − 4 − 5
n
35) Explicar el concepto de partición. 36) ¿Cómo se define la suma de Riemann? 37) Formalmente, ¿qué es la integral definida? • Resolver las siguientes integrales definidas mediante su definición formal: 5
38)
∫ 3x
2
dx
(con partición de 10 celdas)
1 3
39)
∫ 4x
5
dx
(con partición de 9 celdas)
−2
40) ¿Cuál es la interpretación geométrica de la integral definida? 41) Enunciar las propiedades de la integral definida. 42) ¿Qué es la integral indefinida? 43) Expresar las 27 fórmulas fundamentales de integración. • Usando las fórmulas fundamentales, calcular las siguientes integrales: 44)
∫ 5dx
47)
∫ (5 x
50)
∫
10
53)
∫
5
56)
∫ (4 x
59)
∫ (3 − x )
62)
∫x
65)
∫
4
)
− 8 x 3 − 2 x 2 + 7 x − 9 dx
x 6 dx 9 x dx 3
)(
)
6
− 5 x 12 x 2 − 5 dx x dx
1 − x 2 dx x +1
x + 2x − 4 2
∫ 4 xdx
48)
∫x
51)
x5 + 9x 7 − 8 dx ∫ x3
54)
2 3
3
45)
dx
57)
6
∫
(3 − 2 x )3 dx x
∫ (x
60)
∫
63)
∫
dx
3
7x6 7
)
−3
5
x2 4
x3 + 6 x2
x3 + 2 dx 66) ∫ x−9 3
2
46)
∫ 12 x
49)
∫
5
52)
∫
− 13 dx x
55)
dx
58)
dx
61)
dx
dx
x dx
7x6
∫ (x
7
∫ (x
2
∫
2
)
−3
5
x + 50 + 100
∫
)
3
(4 + x )3 dx 3
x
dx 7x + 3 dx 67) ∫ 3x + 4 64)
dx dx
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
− 5x
17 x
∫ x + 8 dx 71) ∫ sen 6 xdx 74) ∫ 16(13 x + 3) cos (13 x + 6 x )dx 11 77) ∫ tan xdx 7 80) ∫ 19 x sec 7 x tan 7 x dx 83) ∫ 9 w sec 3w dw 86) ∫ 3x e dx 89) ∫ 7 dx
∫ 1 − 6 x dx 72) ∫ cos 15 xdx 75) ∫ tan 4 xdx 78) ∫ 13 x csc 5 x dx 81) ∫ 9 x csc 8 x cot 8 x dx 84) ∫ e dx 87) ∫ e sec 2 xdx 90) ∫ 9 8 x dx
e2x dx 92) ∫ 2 x e +3
x4 93) ∫ dx 9x5 − 6 13x 3 96) ∫ 8 dx x + 25 dx
68)
2
2
5
6
4
6
5
5 7 x6
6x
95)
∫x
98)
∫x
x 4 − 144 dx 4
7x dx − 81
∫
104)
∫
107)
∫
− 11 p 64 − p sen dx 2
dp
2
4
2
2
5
3
3
5x
tan 2 x
12 x 3
99)
x 12 + 256 dx
101) 11x 5
69)
∫
2
2
x −9 x 3 dx 2
102)
∫x
105)
∫x
4
10
x − 400 3 − x9 7 dx 20 x − 1156 8
x +1
∫ x + 2 x − 9 dx 73) ∫ − 4 x sen 9 x dx 76) ∫ 5 x sec 7 x dx 79) ∫ csc 11x dx 82) ∫ − 7 cot 13 x dx 85) ∫ 9 x e dx 88) ∫ e cos 3 xdx 91) ∫ 0dx 70)
2
7
8
2
2
2
2 8 x3
2 sen 3 x
cos 9 x
94)
∫ sen 9 x dx
97)
3∫ x 4 x10 − 36 dx dx
100)
∫ 49 − x
103)
∫
106)
∫
m 2 − 16
109)
2 ∫ x (− 1) dx x3
110) Explicar la regla de Barrow. 111) ¿Cómo se define formalmente la integral indefinida? 112) Establecer con detalle el teorema fundamental del cálculo. 113) La integración y la diferenciación son procesos...? 114) Explicar el teorema del valor medio del cálculo integral. • Utilizando el método de integración por partes, resolver las siguientes integrales:
∫ x cos x dx 116) ∫ 5 x tan 3 x dx 117) ∫ cos x dx 118) ∫ sen x cos x dx 119) ∫ x e dx 115)
2
4
5x
3
dm
7 x 4 + x 2 dx
cos 2 x − 25
2 ∫ cos 5 x dx
2
− 7m
¿Se pueden resolver las siguientes dos integrales? 108)
2
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
•
Resolver las siguientes integrales trigonométricas:
∫ sen x dx 121) ∫ sec 8 x dx 122) ∫ 7 cos x dx 123) ∫ sen 9 x cos 5 x dx 124) ∫ 4 cos x cos 6 x dx 125) − ∫ sen 5 x sen 7 x dx 7
120)
4
5
126) ¿Cuál es la diferencia entre una fracción propia y una impropia? Calcular las siguientes integrales utilizando el método de descomposición en fracciones racionales:
•
dx − 25 x+3 128) ∫ 3 dx x + 5x 2 + 4 x 4x + 6 129) ∫ 3 dx x + x 2 − 16 x + 20 x3 + x 2 + x + 5 130) ∫ dx x4 + 4x2 + 3 6 x 5 − 3x 4 − 2 x 3 + 7 x − 5 127)
∫x
131)
∫
2
(x
2
+4
)
2
dx
132) ¿Qué es una integral impropia?, ¿cómo se clasifican? • Calcular las siguientes integrales impropias: 4
133)
dx
∫x
x 2 − 16
0 7
134)
1
∫ x − 5 dx
2 ∞
135)
∫ 0
dx 25 − x 2
0
136)
∫e
−∞ ∞
137)
x
dx dx
∫ 49 + 9 x
2
−∞
4
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM ENP UNAM
APLICACIONES DE LA INTEGRAL UNIDAD VI V EJERCICIOS ABIERTOS •
Hallar el área bajo la curva limitada por las siguientes condiciones:
x = 5 , x = 7 y el eje x y = 2 x − 9 , las rectas x = 8 , x = 11 y el eje x y = −4 x 2 + 1 , las rectas x = 2 , x = 5 y el eje x x = 6 y 2 − 5 y + 13 , las rectas y = 1 , y = 3 y el eje y y 2 = 6 x y la recta y = 4 x − 10
1) y = 5 x + 6 x , las rectas 2
2) 3) 4) 5) •
Calcular el volumen del sólido sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje dado las siguientes funciones con los límites marcados:
x = 1 , x = 3 y el eje x 2 7) y = 9 x , las rectas x = −2 , x = 2 y el eje x 8) y = sen x , las rectas x = 0 , x = π y el eje x 2 9) y = 16x , las rectas y = −3 , y = 15 y el eje y 10) y = 9 x − 3 , las rectas y = 1.5 , y = 3.6 y el eje y 6) y = x , las rectas 3
11) Si se tiene un área, ¿qué se obtiene si se integra? 12) Si se integra dos veces el perímetro de una circunferencia, ¿será cierto que se obtiene el volumen de una esfera? 13) ¿Qué es una ecuación diferencial? 14)
Comprobar
que
y = 5 e 2 x − 8 e 5 x es
una
d2y dy +7 + 10 y = 0 2 dx dx •
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
dy − 12 y = 0 dx d2y dy 16) − 5 + 6y = 0 2 dx dx 17) 7 ( y − 8) dx − 4( x + 3) dy = 0 15) 2
1
solución
de
la
ecuación
diferencial