CIL REPASO MANUAL MATE 6 III IV

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PROGRESIONES UNIDAD I EJERCICIOS ABIERTOS 1) ¿Qué es una sucesión?

2) ¿Cuál es la diferencia entre una sucesión finita y una infinita?

3) ¿Cuál es la diferencia entre una sucesión convergente y una divergente?

4) ¿Cuál es la diferencia entre una sucesión creciente y una decreciente?

5) ¿Qué es una serie?

6) Hallar el sexto término de PA = 3, 7 , 11, L

{

}

PA = { 11, 8, 5, L }  1 1  8) Hallar el doceavo término de PA =  , L  10 5  7) Hallar el octavo término de

34 y la razón 3 . Hallar el primer término.

10) Hallar la razón de la progresión PA = { − 4,L , 16 }, donde 16 es el onceavo término.

11) ¿Cuántos Cuántos términos tiene la progresión PA = { 8, 10, L , 36 }?

12)) Hallar la suma de los 10 1 primeros términos de PA = { 22, 23, 24, L } 1 3  13) Obtener Obtener la suma de los 20 primeros términos de PA =  , , 1, L  2 4  14) Encontrar Encontrar la suma de los 30 primeros términos de PA = { 11, 1, − 9, L } 15) Interpolar 6 medios aritméticos entre 3 y 38 16) Interpolar 8 medios aritméticos entre 30 y − 15 17) ¿Cuántos términos hay que sumar a la PA = { 4, 8, 12, L } para obtener como resultado 220?

220 9) El décimo término de una progresión aritmética es

18) La suma de los términos de una progresión aritmética limitada es 169 y su término central es 13. Hallar el número de términos.

19) La suma de x números naturales consecutivos tomados a partir de 35 es 1820. Calcular x .

20) Calcular la suma de los 50 primeros números pares.

21) ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 es preciso tomar para que su suma sea igual a 1482?

22) Obtener la suma de todos los números naturales impares de dos cifras.

23) La suma de tres números en progresión aritmética es 24 y su producto 240. Hallar esos números.

24) ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica?

25) Hallar el onceavo término de PG = 4, 8,16, L 26) Hallar el séptimo término de

{ } PG = { 27, 9, 3, L }  

2 2 2  , , − ,L  5 15 45  1 28) La razón de una progresión geométrica es y el séptimo término es 1 . Hallar el primer 2 27) Hallar el quinto término de PG =  −

término.

29) Hallar la razón de

PG = { − 3, L , − 196,608 } de nueve términos.

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PG = { 2, 10, L , 6,250 } 31) Hallar la suma de los 8 primeros términos de PG = { 3, 6 , 12, L } 32) Obtener la suma de los 11 primeros términos de PG = { 1, 3, 9, L } 5   33) Encontrar la suma de los 7 primeros términos de PG =  15 , 5, , L  3   34) Interpolar 3 medios geométricos entre 8 y 128 1 35) Interpolar 9 medios geométricos entre 64 y 16 30) Cuántos términos tiene la progresión

•

Hallar la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas:

PG = { 8, 4, 2, L } 2   37) PG =  6 , 2 , , L  3   3 3   38) PG =  3, − , ,L  5 25   36)

39) Un niño ahorra cada mes 5 pesos más que el mes anterior. Si después de cinco años sus ahorros suman 9,330 pesos, determinar lo que ahorró el último mes.

40) El número de bacterias de un cultivo aumenta 25% cada hora. Si al principio había 300,000 bacterias, ¿cuántas bacterias habrá en 7 horas?

41) Una máquina costó 9,000 pesos. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 15% del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor después de cinco años?

42) Una ciudad tiene 600,000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es del 2.3% anual. ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 4 años?

43) Una máquina costó inicialmente 10,480 pesos. Al cabo de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse por la mitad, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó la máquina al quinto propietario?

44) Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los cinco términos.

45) Dado un cuadrado de 16 centímetros de lado, se unen dos a dos los puntos medios de sus lados en que se obtiene un nuevo cuadrado, en el que se vuelve a efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Hallar la suma de las infinitas áreas así obtenidas.

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FUNCIÓN UNIDAD II EJERCICIOS ABIERTOS 1) ¿Cuáles son las condiciones que hacen que una relación sea función?

2) ¿Qué diferencia existe entre una imagen y el rango de una función?

3) En términos de variables, ¿cómo se define una función?

• Explicar con detalle: 4) ¿Qué es una función inyectiva?

5) ¿Cómo se define una función suprayectiva?

6) ¿Qué condiciones definen a una función biyectiva?

• En caso de serlo, determinar el tipo de función que que representan las siguientes relaciones: 7)

8) *

* *

*

* *

* *

*

*

* A

*

B

A

9) * * *

*

* *

* A

Dadas las funciones respectivo dominio:

f (x ) + g (x )

B

B

*

*

*

*

*

*

*

*

A

• Explicar y dar dos ejemplos de cada una de las siguientes funciones: 11) Constante.

Constante 12) Identidad.

Identidad 13) Algebraica.

Algebraica 15) Lineal.

Lineal 16) Cuadrática.

Cuadrática 17) Racional.

Racional 19) De proporcionalidad inversa. inversa.

20) Trascendente.

Trascendente 22) Par. 23) Impar.

Impar

24)

*

10) *

•

*

B

14) Polinomial.

Polinomial 18) Irracional.

Irracional 21) Periódica.

Periódica

f ( x ) = 3x 3 2 y g ( x ) = 4 x − 8 , realizar la operación pedida y establecer su 25)

f (x ) − g (x )

26)

28) ¿Qué es la composición de funciones?

1

f (x ) ⋅ g (x )

27)

f (x ) g (x )

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•

Dadas las funciones

f (x ) = 2 x y g (x ) =

5 , realizar la composición de funciones pedida 6− x

y establecer su respectivo dominio: 29) •

f (x ) o g (x )

Dadas las funciones f ( x ) =

30)

2− x

y

g (x ) =

g (x ) o f (x )

1 , realizar la composición de funciones 3− x

pedida y establecer su respectivo dominio:

g (x ) o f (x ) 33) En un triángulo, la altura h triplica a la base b . Expresar el área A de un triángulo en función 31)

f (x ) o g (x )

32)

de su altura.

34) Un ranchero desea cercar su terreno rectangular junto a un río. El ranchero tiene 200 metros de malla y no se necesita cercar el lado del río. Expresar el área A del terreno como función de x , que es la longitud paralela al río.

35) Expresar el volumen V de un paralelepípedo en función de su profundidad, sabiendo que el largo x es el doble de su profundidad y y su altura z mide la cuarta parte de lo largo.

36) Explicar el significado de las funciones expresada en forma explícita e implícita • Transformar las siguientes funciones implícitas en explícitas: 37) 3 xy − 8 y − 9 x − y = 0 39)

38)

− 8 xy 2 − 7 y 2 − 9 x − 12 = −5

3 − 5x − 7 = 2x2 1− 6 y2

40) ¿Qué son las ecuaciones expresadas en forma paramétrica?

41) ¿Todas las ecuaciones paramétricas representan funciones?

• Dadas las siguientes funciones expresadas en forma paramétrica, obtener su forma explícita:

x = 4t 2 − 6   y = −3t 4 + 7 2  x = −3  44) 5t  2 y = t − 12t + 37 

42)

43)

  y = (7 − t 4 ) 2 + 2

x = 3 5t 3 − 9

45) ¿Qué es la función inversa de una función?

46) ¿Todas las funciones tienen función inversa?

• Obtener la función inversa de las siguientes funciones: 47) f ( x ) = 7 x − 13 49) f ( x ) =

48)

5 − 6x 18 + 9 x 51) f ( x ) = 11 −

50) f ( x ) = 4 − 11 7 x

•

f ( x) = 3 x 2 + 10

Graficar las siguientes funciones estableciendo su dominio y rango:

52)

f (x ) = x 2 − 3x − 4

54)

f ( x) = x 2 − 16

−3 4x − 7

−2 x3 3 55) f ( x ) = 2 x −9

53) f ( x ) =

56) ¿Qué es una función definida por intervalos?

2

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•

57)

Explicar el comportamiento de las siguientes funciones, establecer su dominio y graficarlas:

− 3 x f (x ) =  − 6

2  59) f ( x ) = 0.5 x 3.5 

x≤2 x>2

58)

−2≤ x < 4 4≤ x<7 7 ≤ x ≤ 11

cos x  60) f ( x ) =  − 1

3

− 2 x f (x ) =  2 x

x <1 x ≥1

0≤ x≤π x>

π 2

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LA DERIVADA UNIDAD III EJERCICIOS ABIERTOS 1) ¿Cuál es la diferencia entre entorno y entorno reducido?

2) Obtener el entorno del punto a = 4 y con la semiamplitud δ = 0.23 .

3) Obtener el entorno reducido del punto a = −5 y con la semiamplitud δ = 0.67 .

4) Exponer el concepto formal de límite y trazar una gráfica al respecto.

• A través de la definición, calcular formalmente los los siguientes límites (δ ( en función de ε): 5) lim (3 x ) x →7

6) 7)

( lim (− 8 x

lim 4 x 2 − 2 x − 10 x →5

3

x → −4

)

)

+ 6x2 − x − 1

2 x→1 5 x x2 − 9 9) lim x →3 x − 3 8) lim

10) Si se tiene: lim− f ( x ) = 4 y lim+ f ( x ) = 6 , ¿es posible de que lim f ( x ) exista? x→2

•

x →2

x→2

Para la función f cuya gráfica se muestra, obtener el valor de la cantidad pedida, si existe. En caso en no existir, explicar por qué. y

2

1

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

-2

11)

f (4)

15) f (− 1)

12) lim− f ( x )

13) lim+ f ( x )

14) lim f ( x )

16) lim− f ( x )

17) lim+ f ( x )

18) lim f ( x )

x →4

x → −1

x →4

x → −1

1

x→4

x → −1

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19) Explicar las propiedades de los límites.

• Aplicando las propiedades de los límites calcular: 20) lim (17 ) x→2

22)

(

)

lim − 4 x + 5 x − 6 x − 11

x → −3

3

2

21) lim x x→6

23)

x2 − 2x + 4 x → −7 x2 + 3 x2 + x − 2 lim 2 x →1 x − 3 x + 2 x2 + 4x + 4 lim 2 x→2 x − 6 x + 8 x 2 − 11x + 30 lim 2 x → 6 x − 13 x + 42 4+ x −2 lim x →0 x

24) lim

25)

26)

27)

28) 30) 32) •

29) 31) 33)

2x − x2 lim 3 x → 0 x − 3x 2x − 4 lim 2 x→2 x + x − 6 (2 x + 16)2 lim 2 x → −8 x + 7 x − 8 x2 − x lim 3 x →1 x − 1 x −5 lim 2 x →5 x − 25 2x − 2 − 4 lim x →9 x −3

Para las siguientes funciones determinar los límites infinitos (a través de sus límites laterales):

34) f ( x ) =

3 x

36) f ( x ) =

4x x −9

35) f ( x ) =

1 x −1 − 2 x 2 − 5x + 1 37) f ( x ) = x 2 − 3 x − 21

2

•

Calcular los siguientes límites trigonométricos: 38) lim sen x x→

π

39) lim (− 4 cos x ) x→

4

3π 2

sen7 x x →0 x 3x 43) lim x → 0 4 sen3 x

41) lim

40) lim csc x x →π

8 − 8 cos 2 x x→0 x2 tan 9 x 44) lim x →0 6x 42) lim

45) lim x cot 9 x x→0

Calcular los siguientes límites que tienden a infinito: 46)

(

lim 3x 2 − 5 x − 7

x →∞

)

47) lim csc 2 x x →∞

20 x − 13 x + 3 x → ∞ 5 x 2 − 10 x + 22 5 x3 − 4 x 2 − 1 50) lim x → ∞ 10 x 4 − 11x 3 − 7 x 2 − 4

8 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 − x + 4 x→∞ 4 x 2 − 15 x − 7

2

48) lim

49) lim

51) Dada una función racional, ¿cómo se puede saber el resultado de un límite cuando tiende a infinito?

• De acuerdo a lo anterior, determinar los siguientes límites:

8 x − 11x 3 − x 5 x→∞ 12 − 6 x 3 + 13x

− 7 x2 + 5x + 1 x →∞ x 2 − 9 x3 − 4

52) lim

53) lim

2

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22 x 3 − 28 x 4 − 8 x x → ∞ 10 − 7 x 4 − 3 x − 4 x 3

54) lim •

Encontrar los siguientes límites exponenciales:

55)

lim 3x

56)

x →∞

1 57) lim   x →∞ 4   x 59) lim7

x

lim 5 x

x → −∞

1 58) lim   x→−∞ 2  

x

x →0

•

Hallar los siguientes límites logarítmicos:

60) 62)

lim log2 x

61) lim log10 x

lim log0.5 x

63) lim log 0.25 x

x →0 +

x→∞

x →0 +

x→∞

64) Definir formalmente el concepto de continuidad en un punto.

65) ¿Cuándo es continua una función en un intervalo?

66) ¿Qué significa que una discontinuidad sea evitable?

• Determinar si las siguientes funciones son continuas en el punto dado: 67)

f ( x ) = −3x + 4

en

x=2

68)

f ( x ) = 5 x − 10

en

x = 1.5

x − 8 x + 12 en x = 2 x−2 x 2 − 36 71) f ( x ) = en x = 6 x−6

70) f ( x ) =

x 2 + 3 x − 11 en x = 5 x 2 + 16 x + 64 4x + 9 75) f ( x ) = 2 en x = −7 x + 3 x − 28

x 2 − 16 en x = 4 2x − 8 x3 − 1 76) f ( x ) = en x = 1 x +1

69) f ( x ) =

2

72)

73) f ( x) =

77) Determinar el valor de

x + 3 f (x ) =  cx + 6

c

1 x+3

en

x = −3

f (x ) = cos x

en

x =π

74) f ( x ) =

tal que la función sea continua en todos los números reales:

x≤2

x>2 78) Encontrar los valores de b y c tales que la función sea continua en todos los números reales: 1< x < 3 x + 1 f (x ) =  2 x−2 ≥1  x + bx + c •

Analizar la continuidad de las siguientes funciones:

5 x 2 − 24 79) f ( x ) = 2 x 2 − 98 4 x3 − 2 x 2 − 5x − 6 81) f ( x ) = x 3 − 13 x 2 + 42 x 83) f ( x) = x

2 x 2 − 4 ( ) = f x 84)  8 + 2 x

6 x − 2 x − 24 5 x 2 − 25 82) f ( x ) = 3x − 24

80) f ( x ) =

0≤ x<3 x>3

85) Explicar detalladamente el concepto de derivada.

3

2

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86) Interpretar geométricamente el concepto de derivada.

• Derivar mediante la regla de los 4 pasos, las siguientes funciones: 87) y = 4x

2

88) y = −8 x + 15 89) y = 7x

3

90) y = 3 x − 5 x − 1 2

91) y = 6 x 92) Explicar cuando una función es derivable.

93) ¿Una función derivable es continua?

94) ¿Una función continua es derivable?

95) En general, ¿cómo se puede saber si una función es derivable?

96) Dibujar dos funciones: una que sea derivable y otra que no lo sea.

97) Determinar los puntos en que la función

f ( x ) = x − 3 es derivable.

98) ¿Qué es la regla de la cadena?

• Aplicando las fórmulas de derivación, obtener la derivada de las siguientes funciones: 99) y = 8 100) y = 3 x + 7

1 x2 1 104) y = 3x

101) y = 8 x − 12 x + 41

102) y =

2

103) y =

6 4x3

( 107) y = (5 x

105) y = 4 x − 9 x 3

4

)

(

2 3

− 3x 3 − 8 x 2 − 9 x − 4

)

7

108) y =

y = 3 6x 4 1 111) y = 4 7x3

110) y =

109)

(

)(

4

)(

3

)

7 x 2 − 11x − 5 8x 3 − 9 x 4 x 117) y = 5 3 2 119) y =   x 115) y =

121) y =

3

2

5

5x 3

(6x )4

(

4

)(

112) y = 4 x − 6 x − 3 ⋅ 5 x − 8 x − 10

113) y = 7 x + 1 ⋅ 2 x − 5 ⋅ 7 x + 4 x 6

)

106) y = 3 x − 7 x + 11

2x ⋅ 4 5x

1 6 ⋅ 10 x 11x 3 − 3 x 2 116) y = 3x 4 − 7 5 118) y = x

114) y =

120)

y = 6x 2 − 9x − 4

122) y =

1− x 1+ x d3y • Obtener de las siguientes funciones: dx 3 5 4 3 2 124) y = x − 2 x + 3 x − 9 x − 8 x − 10 123) y =

4

7

x −1 x2

3

2

)

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125) y =

1 3x

d6y de la siguiente función: y = sen 4 x dx 6

127) Obtener •

126) y =

2x

Derivar las siguientes funciones implícitas aplicando el método expuesto y corroborarlo con el método de derivadas parciales:

128) y − 2 xy − 7 x − 2 x y − 11 = 0 3

3

5

4

129) 9 xy − 15 x y − 19 xy + 18 = 0 2

2

130) − 7 xy + 8 x − 9 x − 11x y − 2 = 0 131) y − 2 xy − 7 x − 2 x y − 11 = 0 • Derivar las siguientes funciones expresadas de forma paramétrica: 2

3

3

 132)  2 x = −2t − 6t − 1

•

5

4

y = 5tan3t   x = 5e −4t 

135)

  x = 5 cos 6t  −1

Obtener la segunda derivada de las siguiente función expresada en forma paramétrica:

136) •

3

y = 5t   133) 1  x=  t  y = 6 ln 4t

y = 5t − 3

134)

3

x = 6t 2 − 7t − 14   y = 4t 4 − 9t

Obtener la derivada de la función inversa de:

137)

f (x ) = 4 x + 3

138) f ( x ) = x + 9 2

139) f ( x ) = 7 x − 8 140) f ( x ) = ( x − 1) • Derivar las siguientes funciones trigonométricas:

3

(

142) y = 7 cot − 15 x − 8 x

141) y = 9sen 7 x 143) y = −12 sec 11x

(

y = −3 cos (5 x − 1) 5 3 146) y = csc (− 3 x − 7 x )

3

145) y = 12 tan 6 x − 9 x 2

1 x 149) y = −12 csc 8 x 151) y = 13 tan (11x − 1) 5

(9 x

155) y = csc 11x 6

2

)

(

x sen 8 x cos 10 x 159) y = cot 4 x −2 161) y = tan 3 x 163) y = 5 x ⋅ sec 10 x

2

(

150) y = −4 sec 8 x − 16 x 3

2

152) y = cos 2 x 3

)

154) y = sen 3 x ⋅ cot 5 x

(

156) y = 4 x − 7 x 158) y =

157) y =

) )

148) y = sen 11x − 17 x − 6

− 4x − 1

2

)

144)

147) y = cos

153) y = 4 tan

3

2

)

2

⋅ sec 6 x

9x2 tan 4 x

160) x − y cos x − 3 xy − 4 y = 0 162) y = 4

164)

5

1 sec 2 x

y = sen 6 x

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•

Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas. −1

165) y = 4 sen

167) y = −9 csc

166) y = 7 cos

5x

−1

7x3 168) −1 4 169) y = tan 10 x 170) −1 171) y = −19 csc 6 x 172) 2 173) y = 174) tan −1 x −1 4 175) y = 12 tan 10 x − 3 x 176) −1 177) y = sen x ⋅ sen x dy 178) Será cierto que = 1 si y = sen −1 (sen x ) dx

(

•

)

Derivar las siguientes funciones logarítmicas:

179) y = log 6 7 x 181)

4

180)

y = log5 (3x − 1)

(

) 187) y = ln (5 x − 1) ⋅ (8 x

•

y = log 9 (5 x − 2)

3

(

−1

185) y = 4ln sen 3 x

189) y =

(

184) y = ln 11x

2

186) 4

−2

)

1 ln x

2x 2

y = 14 cot −1 8 x 2 y = −11sec −1 4 x 5 y = −4 sec −1 7 x 2 − 8 x − 2 x y= cos −1 x y = x ⋅ sen −1 x

182) y = ln 2 x

7

183) y = ln 5 x

−1

4

)

y = log 2 (cos 5 x)

188) y = log 3

x3 1− x

190) y = 4 x ⋅ ln 2 x

Derivar las siguientes funciones exponenciales:

191) y = 4 193) y = 2 195) y =

y = 8x 5x 3x 194) y = e ⋅ 5 3

2x

192)

sen x

log 3 cos 4 x 8 ln 5 x

197) y = e

6x

y = −12e 5 x x 201) y = x ⋅ e

3

199)

203) y = e • Derivar las siguientes funciones: sen 2 x

205) y = 207)

12e 5 x 4 tan 3 x

y = ln e x

209) y =

3

4

y = 5e 4 x

198)

y = 2e −9 x

200) y = e

⋅ cos 9 x (5 x 2 −7 x +1)2 204) y = 17 e 7x

206) y = 2 ln x

x

4

y = 9x 1 210) y = 7 x e 2 212) y = 3 ln 5 x 5

3

2

0

202) y = 5e

208)

4e 7 x

211) y = x ⋅ 4

196)

6

)

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 7 x 3 − 10 x 2   213) y = ln   8x − 3  215) y = ln sen 4 x

6

214) y =

216) y = x e 0

−1 6 x

217) y = 8tan e 219) y = •

ex e−x

218) y = 3

0

e 2x

x e

−3 x

Hallar la ecuación de la rectas tangente y de la recta normal de las siguientes funciones en los puntos dados:

P(2,−2) P(3,32)

220) f ( x ) = 4 x − 5 x − 8 2

221) f ( x ) = 3 x − 6 x + 4 x − 7 3

2

222) f ( x) = 16 x

P(1,4) P(0,2)

4

223) x y − 5 x − 7 y − 9 x y + 28 = 0 • Determinar el ángulo que forman los siguientes pares de curvas: 2

3

224) f ( x) = 2 x

2

5

4

y

g ( x) = 4 x − 6

225) x − 2 x + y = 0

y

226) y = 4 x

y

x 2 + y 2 = 10 2x 2 = y g ( x) = 7 x 2 − 5

2

2

2

2

227) f ( x ) = 2 x − 5 3

y

228) Una bola de nieve se funde de modo que su área superficial disminuye a razón de 1

cm 2 , min

encontrar la razón a la cual disminuye el diámetro cuando éste mide 10 cm .

229) Se bombea agua a un pozo cilíndrico vertical de 2 metros de radio a razón de 7

m3 . Hallar min

la variación de la altura del nivel del agua respecto al tiempo.

cm 2 cm 230) La altura de un triángulo crece 1 y su área 2 , ¿con qué razón cambia la base del min min 2 triángulo cuando la altura es de 10 cm y el área de 100 cm ?

231) Se descarga cemento de una tolva a razón de 1.8

m3 de forma tal que se forma una pila min

cónica cuyo diámetro en la base es siempre igual a la altura. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pila cuando ésta tiene 1.5 m metros de alto?

232) Dos automóviles empiezan a moverse de un mismo punto. Uno viaja hacia el sur a 120 otro hacia el oeste a 50

km y hr

km . ¿Con qué razón aumenta la distancia entre los automóviles dos horas hr

más tarde?

Obtener los puntos críticos, los máximos y mínimos de las siguientes funciones. Además, determinar los intervalos en que es creciente, dónde es decreciente, identificar sus puntos de inflexión y expresar en dónde es cóncava y en dónde convexa. De acuerdo a lo anterior, trazar la gráfica correspondiente.

•

233) f ( x ) = 9 + 6 x − 3 x

2

en el intervalo −2 ≤ x ≤ 4

7

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234) f ( x ) = 2 x + 4 x − 8 x − 16 en el intervalo 3

2

−4 ≤ x ≤ 3

f (x ) = x 4 − 9 x 2 + 5 en el intervalo −3 ≤ x ≤ 3 1 4 3 2 236) f ( x ) = x − x − 3 x + 8 x − 1 en el intervalo −3.5 ≤ x ≤ 5.5 4 235)

237) Obtener dos números cuya suma sea 120 y cuyo producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

238) Hallar dos números positivos cuyo producto sea 25 y su suma sea mínima.

2

239) Si se cuenta con 1200 cm de cartón para hacer una caja de base cuadrada y la parte superior abierta, encontrar el volumen máximo posible de la caja.

240) Se ha solicitado a un carpintero que construya una caja abierta con base cuadrada. Los lados de la caja costarán $3.00 por metro cuadrado y la base costará $4.00 por metro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede construirse por $48.00?

241) Determinar el punto de la recta y = 2 x − 3 más cercano al origen.

8

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LA INTEGRAL UNIDAD IV EJERCICIOS ABIERTOS 1) Explicar el concepto de partición.

2) ¿Cómo se define la suma de Riemann?

3) Formalmente, ¿qué es la integral definida?

• Resolver las siguientes integrales definidas mediante su definición formal: 5

4)

∫ 3x

2

dx

(con partición de 10 celdas)

1 3

5)

∫ 4x

5

dx

(con partición de 9 celdas)

−2

6) ¿Cuál es la interpretación geométrica de la integral definida?

7) Enunciar las propiedades de la integral definida.

8) ¿Qué es la integral indefinida?

9) Expresar las 27 fórmulas fundamentales de integración. integración.

• Usando las fórmulas fundamentales, calcular las siguientes integrales: 10)

∫ 5dx

13)

∫ (5 x

16)

4

)

− 8 x 3 − 2 x 2 + 7 x − 9 dx

11)

∫ 4 xdx

14)

∫x

x5 + 9x 7 − 8 dx ∫ x3

∫

10

x 6 dx

17)

19)

∫

5

9 x dx

20)

22)

∫ (4 x

25)

∫ (3 − x )

28)

∫x

31)

∫

40)

∫ 16(13x + 3) cos(13x

3

)( 6

2 3

3

)

− 5 x 12 x − 5 dx 2

x dx

1 − x 2 dx x +1

x + 2x − 4 − 5x 34) ∫ 2 dx x +8 37) ∫ sen 6 xdx 2

dx

2

+ 6 x )dx

23)

6

∫

dx

3

(3 − 2 x )3 dx x

∫ (x

7x6 7

)

−3

5

x2

26)

∫

4

29)

∫

3

41)

∫ tan 4 xdx

x3 + 6 x2

1

∫ 12 x

15)

∫

5

18)

∫

− 13 dx x

21)

2

dx

x dx

7x6

∫ (x

7

∫ (x

2

5

dx

x + 50

24)

dx

27)

dx

30)

∫

42)

∫ 5 x sec

∫

)

−3

dx

x +2 dx 32) ∫ x−9 17 x 35) ∫ dx 1 − 6x 2 38) ∫ cos 15 xdx 3

12)

+ 100

)

3

dx

(4 + x )3 dx 3

x

dx 7x + 3 dx 33) ∫ 3x + 4 x +1 36) ∫ 2 dx x + 2x − 9 7 8 39) ∫ − 4 x sen 9 x dx 2

7 x 2 dx

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11

∫ tan 7 xdx 46) ∫ 19 x sec 7 x tan 7 x 49) ∫ 9 w sec 3w dw 52) ∫ 3x e dx 55) ∫ 7 dx 43)

5

6

4

6

5

5 7 x6

6x

58)

e2x ∫ e 2 x + 3 dx

61)

∫x

64)

∫x

67)

∫ 11x

70)

∫

73)

∫

7x dx − 81

x12 + 256 dx

5

− 11 p

64 − p sen dx 2

4

dx

2

2

5

3

3

5x

tan 2 x

2

12 x 3

2

x4 ∫ 9 x 5 − 6 dx 13x 3 62) ∫ 8 dx x + 25 dx 59)

x 4 − 144 dx 4

∫ 13 x csc 5 x dx 47) ∫ 9 x csc 8 x cot 8 x dx 50) ∫ e dx 53) ∫ e sec 2 xdx 56) ∫ 9 8 x dx 44)

dp

65)

∫

68)

∫x

71)

∫x

x2 − 9 x 3 dx

x 8 − 400 3 − x9 7 dx 20 x − 1156

4

10

∫ csc11x dx 48) ∫ − 7 cot 13 x dx 51) ∫ 9 x e dx 54) ∫ e cos 3 xdx 57) ∫ 0dx 2

45)

2

2 8 x3

2 sen 3 x

cos 9 x

60)

∫ sen 9 x dx

63)

3∫ x 4 x10 − 36 dx

66)

∫ 49 − x

69)

∫

72)

∫

dx

− 7m m 2 − 16

cos 2 x − 25

∫ cos 5 x

2

dx

75)

∫ x (− 1)

x3

2

dx

76) Explicar la regla de Barrow.

77) ¿Cómo se define formalmente la integral indefinida?

78) Establecer con detalle el teorema fundamental del cálculo.

79) La integración y la diferenciación son procesos...?

80) Explicar el teorema del valor medio del cálculo integral.

• Utilizando el método de integración por partes, resolver las siguientes integrales:

∫ x cos x dx 82) ∫ 5 x tan 3 x dx 83) ∫ cos x dx 84) ∫ sen x cos x dx 85) ∫ x e dx 81)

2

4

•

5x

Resolver las siguientes integrales trigonométricas:

∫ sen x dx 87) ∫ sec 8 x dx 88) ∫ 7 cos x dx 86)

7

4

5

2

dm

7 x 4 + x 2 dx

¿Se pueden resolver las siguientes dos integrales?

74)

2

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∫ sen 9 x cos 5 x dx 90) ∫ 4 cos x cos 6 x dx 91) − ∫ sen 5 x sen 7 x dx 89)

92) ¿Cuál es la diferencia entre una fracción propia y una impropia?

• Calcular las siguientes integrales utilizando el método de descomposición en fracciones racionales:

dx − 25 x+3 94) ∫ 3 dx x + 5x 2 + 4 x 4x + 6 95) ∫ 3 dx x + x 2 − 16 x + 20 x3 + x 2 + x + 5 dx 96) ∫ x4 + 4x2 + 3 6 x 5 − 3x 4 − 2 x 3 + 7 x − 5 93)

∫x

97)

∫

2

(x

2

+4

)

2

dx

98) ¿Qué es una integral impropia?, ¿cómo se clasifican?

Calcular las siguientes integrales impropias:

•

4

99)

∫x 0

7

100)

dx x 2 − 16 1

∫ x − 5 dx

2 ∞

101)

dx

∫

25 − x 2

0 0

102)

∫e

−∞ ∞

103)

x

dx dx

∫ 49 + 9 x

2

−∞

104) Investigar cinco aplicaciones diferentes de la integral.

• Hallar el área bajo la curva limitada por las siguientes condiciones:

x = 5 , x = 7 y el eje x y = 2 x − 9 , las rectas x = 8 , x = 11 y el eje x y = −4 x 2 + 1 , las rectas x = 2 , x = 5 y el eje x x = 6 y 2 − 5 y + 13 , las rectas y = 1 , y = 3 y el eje y y 2 = 6 x y la recta y = 4 x − 10

105) y = 5 x + 6 x , las rectas 2

106) 107) 108)

109) • Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje dado las siguientes funciones con los límites marcados:

x = 1 , x = 3 y el eje x 111) y = 9 x , las rectas x = −2 , x = 2 y el eje x 110) y = x , las rectas 3

2

3

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x = 0 , x = π y el eje x 113) y = 16x , las rectas y = −3 , y = 15 y el eje y 114) y = 9 x − 3 , las rectas y = 1.5 , y = 3.6 y el eje y

112) y = sen x , las rectas 2

115) Si se tiene un área, ¿qué se obtiene si se integra?

116) Si se integra dos veces el perímetro de una circunferencia, ¿será cierto que se obtiene le volumen de una esfera?

117) ¿Qué es una ecuación diferencial?

118)

Comprobar

que

y = 5 e 2 x − 8 e 5 x es

una

d2y dy +7 + 10 y = 0 2 dx dx •

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

dy − 12 y = 0 dx d2y dy 120) − 5 + 6y = 0 2 dx dx 121) 7 ( y − 8) dx − 4( x + 3) dy = 0

119) 2

4

solución

de

la

ecuación

diferencial

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MATRICES Y DETERMINANTES UNIDAD V EJERCICIOS ABIERTOS 1) Definir el concepto de matriz. matriz 2) ¿Qué es el orden de una matriz?

3) ¿Cuál es la diferencia entre un vector renglón y un vector columna?

4) ¿Qué es una matriz es cuadrada?

5) ¿Cuándo son iguales dos matrices?

6) ¿Qué es la transpuesta de una matriz, cómo se representa?

7) Dadas las siguientes matrices, obtener su orden:

 2 − 9i A= 0 + 4i

6 − 9 N = 4 8

 6 −5 0 3 5 − 7i  7 8  ; M =   11 − 2 1 − 3 + 8i   − 1 − 6 − 3 − 5 1  − 9 4    1 0 12 ;E =  0 3;  5 −2 7    1 7  9 13

1 7  9 4 ; C = [4 − 6 3 1] ; F =   ; − 3 5    8  − 8  0 − 1 8 − 3 7 5 − 6 7  6i − 2  J= ; P=  − 4 − 7 0 5  4 8i     2 −1 − 2 4 

 4 − 6 9 − 6 3 − 5 2  0 11 − 1 7  8 + 4i   2 − 6i   ; W = 9 − 4 − 6 L= ;T =    − 3 − 2 0 4 − 8 + 7i − 3 − 5i    7 − 1 8     10 − 1 − 8 9  •

De las matrices anteriores, obtener:

8) W

T

12) P + A 16)

tr (P )

9) E

T

10) N

T

13) L − A

14) L − P

17) P

18)

5⋅ E

20) ¿Cuándo se puede efectuar el producto de dos matrices?

• De las matrices anteriores, obtener: 21) N ⋅ E 22) C ⋅ F 23) A ⋅ L • Crear lo siguiente: 25) La matriz cero de cuarto orden.

26) La matriz identidad de quinto orden.

27) Una matriz diagonal de sexto orden.

28) Una matriz triangular superior de cuarto orden.

29) Una matriz triangular inferior de quinto orden.

30) Una matriz simétrica de tercer orden.

31) Una matriz antisimétrica de segundo orden.

1

J +T 15) tr (M ) 1 19) ⋅ C 2 11)

24) P ⋅ L

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32) Una matriz hermitiana de tercer orden.

33) Una matriz antihermitiana de segundo orden.

34) Definir el concepto de determinante de una matriz.

• Aplicando la regla de Sarrus, calcular determinantes de las siguientes matrices:

 9 5   − 4 2

3 − 6i  4 − 9i  1 + 8i − 2 − 11i 

35) B = 

36) D = 

 − 4 2 − 3  8 − 2 37) G = 10   − 1 − 4 7 

6 − 3i   2i  4i 9i  38) H = 2 − 4i   10i − 4 − 7i 8 

39) Explicar las siete propiedades de los determinantes.

40) ¿Cómo se define el menor de un elemento aij ?

41) ¿Cómo se define el cofactor de un elemento aij ?

•

Determinar los menores y los cofactores de todos los elementos de las siguientes matrices:

7 − 2  42) U =   4 − 5

3 − 1 5  − 6 − 7 43) V = 3   2 − 10 1 

44) ¿Cómo se calcula un determinante por medio de cofactores?

45) Calcular el siguiente determinante aplicando cofactores:

5 1 2 1 − 1 3 10 2 −3 2 −5 1

0 0

4 6

46) ¿Cómo se obtiene una matriz adjunta?

Obtener las matrices adjuntas de:

•

2 − 3 47) Y =   1 4 

4 − 5 3  1 3  48) Z = 2  − 2 − 6 − 1

49) ¿Qué es una matriz inversa, cuáles son sus propiedades?

50) ¿Qué es una matriz singular?

• Dadas las matrices previamente definidas, obtener mediante el método de la adjunta: 51) B

−1

−1

52) D −1 53) G −1

54) H • Dadas las matrices anteriormente definidas, encontrar a través del método transformaciones elementales: 55) Y 56) Z

−1 −1

2

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57) ¿Cómo se puede representar matricialmente un sistema de ecuaciones?

• Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando matrices:

3 x + 8 y = −13  58)  − 4 x + 5 y = −14 •

Obtener la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de eliminación de Gauss:

5 x − 7 y = −43  60)  − 6 x − 9 y = −18 •

2 x + y − 3 z = −7  59) x − 3 y − 2 z = 6  3 x − 2 y − z = 7  5 x − 3 y + 2 z = 37   61) 8 x + y + 4 z = 6  9 x − 5 y + 7 z = −82

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer:

3 x − 4 y = 15  62)  − 5 x − 2 y = 1

2x + 4 y + z = 4   63) 6 x − 2 y − z = 26  3 x + 15 y − z = −3

3