Cil mate simp calculo diferencial

Cรกlculo diferencial

sim p l i fic a

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Ma te

Ma te

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ca emáti M at

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U

imp

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

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U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

U

imp

s da

a aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial. ss ica át

ca emáti M at

ss ica át

Reseña

Ma tem

U Matemáti c as

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ticas simplificada s temá U Ma tem

tica temá

ca

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Ma

Ma

L

s cada

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1

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HISTÓRICA

as tic

sim

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s U Matemáti cada cas plifi

Y FUNCIONES

U

s as tic

sim RELACIONES pli

U

UM a t e má

Para el desarrollo de este proceso se contaba con el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas y la búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron las exigencias de la mecánica newtoniana y la astronomía.

UM

atem

áticas simplificadas

Matem ática das U a c fi s si pli

CAPÍTULO

s U Matemáti cada cas plifi

s da

má

Ma tem

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U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal fue el establecimiento de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales, y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial. El cálculo diferencial surgió casi simultáneamente en dos formas diferentes: en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma del cálculo de diferenciales de G. W. Leibniz. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Relación Regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.

Ejemplo Relación

A

B

x1

y1

x2

y2

x3 x4

y3 y4

Esta relación se representa con el siguiente conjunto de pares ordenados R {(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)…}

Función El concepto de función es uno de los más importantes en el mundo de las matemáticas. Las funciones no sólo representan fórmulas, o lugares geométricos, también se utilizan como modelos matemáticos que resuelven problemas de la vida real. A continuación se dan algunas definiciones de función: Ú Es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundo conjunto (contradominio). Ú Sean A y B dos conjuntos y f una regla que a cada x 0 A asigna un único elemento f (x) del conjunto B, se dice que f es una función que va del conjunto A al B, y se representa de la siguiente forma: f: A 3 B, donde al conjunto A se le llama dominio y al B contradominio, que también se representa por medio de un diagrama de flechas:

f

A x1

B f (x1)

x2

f (x2)

x3

f (x3)

x4

f (x4)

Ú Una función es una colección de pares ordenados con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c) pertenecen a una colección, entonces se cumple que b c; es decir, en una función no puede haber dos pares con el mismo primer elemento.

1110

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:

1.

3.

A

B

2 3 4 5

4 9 16 25

A

B

2.

4.

A

B

2 4 5

9 8 3 2

A

1

2 4

B

10

8

2 3

5

Solución El primer y el tercer diagramas corresponden a una función ya que a cada elemento del conjunto A se le asigna un solo elemento del conjunto B. En el segundo diagrama al menos a un elemento del conjunto A se le asignan dos elementos del conjunto B, mientras que en el cuarto diagrama el elemento 8 se asocia con tres elementos del conjunto B, por tanto, se concluye que estos conjuntos representan una relación.

2

Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o a una relación: A {( 2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)} B {(3, 2), (3, 6), (5, 7), (5, 8)} C {(2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)} M {(2, 4), (6, 2), (7, 3), (4, 12), (2, 6)} Solución Los conjuntos A y C son funciones ya que el primer elemento de cada par ordenado no se repite. En el conjunto B el 3 y el 5 aparecen dos veces como primer elemento del par ordenado mientras que en el conjunto M al 2 se le están asignando el 4 y el 6 como segundo elemento, por tanto, B y M son relaciones. Las funciones y relaciones pueden tener una representación gráfica en el plano cartesiano. Para distinguir si se trata de una función o una relación basta con trazar una recta paralela al eje “Y” sobre la gráfica; si ésta interseca en dos o más puntos es una relación, si sólo interseca un punto será una función.

1111

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

3

SIMPLIFICADAS

Determina si las siguientes gráficas representan una relación o una función.

Y

1.

2.

Y

X X Solución Se traza una recta vertical en ambas gráficas y se observa que en la primera interseca en dos puntos a la gráfica, por tanto, representa una relación y en la segunda, la recta vertical interseca en un punto a la gráfica, por consiguiente representa una función.

1.

2.

Y

Y

Recta vertical

X Recta vertical

X

EJERCICIO 1 Identifica si los siguientes conjuntos representan funciones o relaciones. 1. {(0, 3), (2, 3), ( 1, 3)…}

4. {(2, 5), ( 4 , 2), (3, 3)…}

2. {( 3, 5), (3, 5), ( 3, 2)…}

5. {(a, 2a), ( 2a, 3a), (4a, a)…}

3. {(4, 7), ( 4,

ª¤ 3 ³ ¤ 6 ³ ¤ 5³ ¹ 6. «¥ , 1´ , ¥ , 1´ , ¥ 1, ´ zº µ ¦ 2µ » ¦ µ ¦ 2 4 ¬

3 ), ( 2 , 5)…}

Identifica qué representa cada gráfica (función o relación):

7.

8.

12.

13.

9.

10.

14.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1112

11.

15.

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Notación Una función se denota o escribe como y f(x), donde: x: variable independiente. y: variable dependiente. f: función, regla de asignación o correspondencia.

Clasificación Las funciones se clasifican en: algebraicas y trascendentes ª Algebraicas ­ ª Trigonométriccas ­ ­Inversas trigonométricas Función « Trascendentes « ­ Exponenciales ­ ­ ­ ¬Logaarítmicas ¬

Ejemplos Algebraicas f(x) x 3 4x

f (x)

y 3x 2 5x 6

g(x)

3

x 4

y UxU

x 1

g (x) U x 2 U 1

Trascendentes f (x) e 4x

f(x) cos x f (x) sen(x

P ) 2

y e

x

s (t) ln(2t 4)

2

g (x) log(x 1)

Las funciones algebraicas y trascendentes pueden ser: Ú Explícitas Es cuando la función está en términos de una variable, por ejemplo: y x2

f (x)

y x3 1

g(x)

x 3 x 5

y sen 3x

x x 1

f(x) cos

1 x 2

s (t ) e t

y log x

g(x) 2x 3

f(x) ln(3x)

Ú Implícitas Es cuando ambas variables forman parte de la ecuación, por ejemplo: x 2 8y 16 0

x 3 y 2 3x 0

sen x cos y 1

ey x 3

Las funciones que se estudiarán en este libro siempre tomarán valores de números reales tanto para la variable independiente como para la dependiente.

Valor de una función El valor real f (x) de una función es aquel que toma y cuando se asigna a x un determinado valor real.

1113

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén f( 3) para f(x) 3x 2 5x 2 Solución Para obtener f ( 3) se sustituye x 3 en la función y se realizan las operaciones indicadas, f ( 3) 3( 3)2 5( 3) 2 27 15 2 40 Por tanto f ( 3) 40, es decir y 40 cuando x 3 o lo que es lo mismo, la curva pasa por el punto ( 3, 40) en el plano cartesiano.

2

Si f(x)

3x 1 ¤ 3³ , encuentra f ¥ ´ ¦ 4µ 5 x

Solución Se sustituye x

3 en la función y se realizan las operaciones: 4 ¤ 3³ 5 3¥ ´ 1 9 1 5 ¦ 4µ ¤ 3³ 5 3 ¤ 3³ 4 , por tanto, cuando x , f ¥ ´ f¥ ´ 4 ¦ µ 3 3 17 17 ¦ 4µ 4 17 4 5 5 4 4 4

3

Si s(t )

t 5 , determina s(4), s(a 5)

Solución s(4)

4 5 1 , la función no está definida para t 4, s (a 5)

4

1 no tiene solución real

a 5 5 a

P³ ¤ ¤ P³ Si f (x) sen ¥ x ´ , determina f ¥ ´ ¦ ¦ 3µ 4µ Solución Se sustituye x

P , en f (x) y se utiliza la identidad sen (A B) sen A cos B sen B cos A 3 P P P P ¤ P³ ¤ P P³ f ¥ ´ sen ¥ ´ sen cos sen cos ¦ 3µ ¦ 3 4µ 3 4 4 3 ¤ 3³ ¤ 2 ³ ¤ 2 ³ ¤ 1³ 6 2 6 2 ¥ ´ ¥ 2 ´ ¥ 2 ´ ¥¦ 2 ´µ 4 4 2 4 ¦ µ¦ µ ¦ µ

5

Determina

f (a b ) f (a ) si f (x) b

x

Solución Se obtiene que

f(a b)

a b y f (a)

a

Se sustituyen los valores obtenidos: f (a b ) f (a ) b

1114

a b a b

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

Un resultado equivalente se obtiene al racionalizar el numerador:

2

a b a a b a a b a b a b a b a b a

Finalmente, el resultado de

6

Si y

2

a b a b

f (a b ) f (a ) b

b b

a b a

1 a b a

1 a b a

x , encuentra el valor de y cuando x 2 x 2

Solución Al evaluar la función en x 2, se obtiene: y

2 2 2 2 0

La función no está definida para x 2, ya que la división entre cero no está determinada.

7

f (x) ¤ 1³ Si f(x) x 2 1, demuestra que f ¥ ´ 2 ¦ xµ x Demostración Se sustituye

1 en la función: x 2 1 x 2 1 1 x2 x2 1 ¤ 1³ ¤ 1³ f ¥ ´ ¥ ´ 1 2 1 2 2 ¦ xµ ¦ xµ x x x2 x

Pero x 2 1 f (x) f (x) ¤ 1³ Por tanto, f ¥ ´ 2 ¦ xµ x

EJERCICIO 2 Evalúa las siguientes funciones: ¤ 1³ 1. Si f (x) 2x 2 3, obtén f ¥ ´ , f(3), f (0) ¦ 2µ 2. Si f (x) x 2 5x 6, determina f (a), f (a b) 3. Si f (x) 3x 2 4x 2, determina f (x h), 4. Si f (x)

f ( x h) f ( x ) h

2 x 1 ¤ 1³ ¤ 1³ , determina f ¥ ´ , f ¥ ´ , f(x h) f (x) ¦ 2µ ¦ 3µ 2 x 1

5. Si f (x)

x 2 16 , determina f(5), f(4), f(6), f(3)

6. Si f (x)

x 2 3 , determina f (x h),

f ( x h) f ( x ) h

1115

1

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

7. Si f (x)

8. Si f (x)

9. Si f (x)

1 f ( x b) f ( x ) , determina x 1 b 1 x , determina

f ( x h) f ( x ) h

x 5 , determina f (1), f (0), f(x 5) x 2

10. Si f (x) 3x 2

2 3 ¤ 1³ , determina f( 1), f ¥ ´ ¦ xµ x2 x

11. Si f (x) x 2 3x, demuestra que f (3x) f (x 1) 4(x 1)(2x 1) 12. Si f (x)

1 x ¤ 1³ , demuestra que f ¥ ´ f(x) ¦ xµ 1 x

13. Si f (x)

1 x 1 , demuestra que f ( x) 1 x f (x)

14. Si f (x) tan x, demuestra que f (x) f(x 3P) P³ ¤ 15. Si f (x) cos 2x, demuestra que f ¥ x ´ f(x) ¦ 2µ 16. Demuestra que para f (x)

17. Si h(x)

18. Si f (s)

x 2 4 , r(x)

x 2 ,

f ( x h) f ( x ) 1 h f ( x h) f ( x )

1³ 1³ ¤ ¤ x 2 4 , demuestra que h ¥ n ´ r ¥ n ´ 2n ¦ ¦ nµ nµ

s 1 f ( m ) f (n ) m n , demuestra que s 1 1 ; f ( m )=; f (n )= 1 mn

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Dominio, contradominio y rango de una función Dada una función f : A 3 B, se dice que el conjunto A es el dominio (Df ) y B el contradominio (Cf ) o codominio de f . En términos del plano cartesiano, el dominio corresponde al conjunto formado por los valores posibles para X mientras que el contradominio corresponde a los valores posibles para Y. Ú Rango (Rf ) Valores del contradominio para los cuales y f(x), siendo f(x) la imagen de x.

Df

Cf Rf

f

1116

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Ejemplos

EJEMPLOS

1

ÂżCuĂĄl es el dominio de la funciĂłn f (x) 3x 2 5x 6? SoluciĂłn La funciĂłn es polinomial, x puede tomar cualquier valor, por tanto, el dominio son todos los nĂşmeros reales, es decir x 0 R o dicho de otra forma x 0 ( @, @).

2

Determina el dominio de la funciĂłn f(x)

x 3 x 5

SoluciĂłn La funciĂłn es racional y el denominador debe ser distinto de cero, ya que la divisiĂłn entre cero no estĂĄ definida, por tanto, se busca el valor para el cual x 5 0 obteniendo x 5, entonces el dominio es: Df {x 0 R U x : 5} o bien x 0 ( @, 5) X ( 5, @).

3

ÂżCuĂĄl es el dominio de la funciĂłn f (x)

x ? x2 5x 6

SoluciĂłn Al factorizar el denominador se obtiene: f(x) x 6

4

x , el denominador se hace cero para ( x 6 )( x 1)

o x 1, Df {x 0 R U x : 1, x : 6} o bien

Determina el dominio de la funciĂłn f(x)

{x 0 ( @, 1) X ( 1, 6) X (6, @)

x 5

SoluciĂłn El radicando debe ser mayor o igual a cero (ya que no hay valor real para raĂ­ces cuadradas de nĂşmeros negativos) es decir x 5 0, de donde x 5, por tanto Df {x 0 R U x 5} o bien x 0 [5, @)

5

Encuentra el dominio de la funciĂłn f(x)

x 2 16

SoluciĂłn Se plantea la desigualdad x 2 16 0, al resolverla se obtiene que el dominio es el conjunto Df {x 0 R U x 4 o x 4} o bien x 0 ( @, 4] X [4, @)

6

Determina el dominio de la función f (x) log(2x 3) Solución Para determinar el dominio de esta función se debe tomar en cuenta que logb N a, para N 0, por tanto, se plantea la desigualdad y se resuelve: 3 2x 3 0 3 2x 3 3 x 2 3š ª ¤3 ³ Entonces, el dominio es el conjunto Df  x 0 R U x º , o bien, x 0 ¼ , @ ´ Œ2 ¾ 2  

1117

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

7

SIMPLIFICADAS

Encuentra el rango de la función f (x)

6 x 1 1 3x

Solución Se despeja x: y

6x 1 1 3x

3

y(1 3x) 6x 1 3

3xy – 6x 1 y 3

3x (y 2) 1 y

3

y 3xy 6x 1 x

1 y 3 y 2

El denominador se hace cero cuando y 2, por tanto el rango es el conjunto: Rf {y 0 R U y : 2} o bien, y 0 ( @, 2) X (2, @)

8

Determina el rango de la función y

9 x2

Solución y 0, porque la raíz es positiva o cero, se despeja x: y

9 x2

3

y2 9 x2

3 x2 9 y2

3 x

9 y2

Se plantea la desigualdad 9 y 2 0, al resolverla se obtiene que y 0 [ 3, 3], pero y 0, por tanto, el rango es el conjunto Rf {y 0 R U 0 y 3}, o bien, y 0 [0, 3]

EJERCICIO 3 Determina el dominio de las siguientes funciones: 1. f(x) x 2 4

10. f (x)

x 3 2 x 2 10 x

2. f(x) 3x 3 2

11. f (x)

1 x3 x

3. f(x)

x x 3

12. f(x)

x 1

4. f(x)

x 4 5 x

13. f (x)

x 6

5. f(x)

3 x 2 16

14. f (x)

2 x

6. f(x)

x 3 x2 5x

15. f(x)

12 3x

7. f(x)

1 x 7 x 10

16. f(x)

x 2 25

8. f(x)

x 1 25 x 2

17. f(x)

x2 5x 6

9. f(x)

x x 1

18. f(x)

36 x 2

2

2

1118

CAPÍTULO CÁLCULO

19. f(x)

DIFERENCIAL U

9 x2

25. f(x)

x 4 x 3 1 x 2x 3

20. f(x)

3

x 1

26. f (x)

21. f(x)

4

x 5

27. f (x) log(3x 6)

22. f(x)

x 1 x 2

28. f(x) ln(5 2x)

23. f(x)

x 3 x

¤ 1³ 29. f(x) log ¥ ´ ¦ xµ

24. f(x)

x 3

Relaciones y funciones

30. f(x) log(3 2x x 2)

x3 8

Determina el rango de las siguientes funciones: x2 1

31. f (x) x 2 1

37. y

32. f(x) x 2 4

38. y 2 x

33. f(x) 9 x 2

39. y

34. f(x) 3x x 2

40. y

35. f(x)

10 x 1 3 5x

41. y

36. f(x)

2x 3 4 x 1

42. y U x 4U

4 x2 1 x 2 1 x 1 x 3

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Algunos tipos de funciones Función constante f (x) k con k 0 R representa una recta paralela al eje “X” sobre k. Dominio: Df R o bien x 0 ( @, @)

Rango: Rf {k}

Y

f(x) = k

k

X

1119

1

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplo Obtén la gráfica de f (x) 4 Solución Se traza una recta paralela al eje X sobre y 4 Df R

Rf {4}

Y f(x) = 4

X

Función lineal Esta función tiene la forma f (x) mx b y representa una recta en el plano cartesiano, en donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. Dominio: Df R o bien x 0 ( @, @),

Rango: Rf R o bien y 0 ( @, @)

Y

Y m>0

m<0

X

X

Para graficar una función lineal se lleva a cabo lo siguiente: II. Se localiza la ordenada al origen, es decir, el punto (0, b). II. A partir de este punto, se localiza otro, tomando la pendiente como el incremento o decremento vertical sobre el incremento horizontal.

1120

CAPร TULO Cร LCULO

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Grafica la funciรณn y

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

2 x 4 3

Soluciรณn La pendiente y la ordenada al origen de la funciรณn: y

m

2 3

2 x 4 3

2 incremento vertical , b 4, representa el punto (0, 4) 3 incremento horizontal

Grรกfica de la funciรณn

Y 2

(0, 4) 3

X

0

2

Traza la grรกfica de la funciรณn y

4 x 2 5

Soluciรณn La pendiente y la ordenada al origen de la funciรณn: y

m

4 4 5 5

4 x 2 5

4 decremento vertical , b 2, representa el punto (0, 2) 5 incremento horizontal

Grรกfica de la funciรณn

Y

5

(0, 2) 4 0

1121

X

1

1

CAPĂ?TULO MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

FunciĂłn identidad Es la funciĂłn lineal f (x) mx b, con m 1 y b 0, es decir: f(x) x Dominio: Df R o bien x 0 ( @, @)

Rango: Rf R o bien y 0 ( @, @)

Y

45°

X

FunciĂłn cuadrĂĄtica Es de la forma f (x) ax 2 bx c y representa una parĂĄbola cĂłncava hacia arriba o hacia abajo Si a 0

Si a 0

Y

Y

k

k

V(h, k)

V(h, k) h

X

h

X

V(h, k): son las coordenadas del vĂŠrtice. Dominio: Df R o bien x 0 ( @, @) 2

Dominio: Df R o bien x 0 ( @, @) ¤ 4 ac b 2 œ Rango: y 0 ¼ @, 4 a ¡¸ Œ

³ § 4 ac b Rango: y 0 ¨ , @´ 4 a ¾ Š

Para obtener las coordenadas (h, k) del vĂŠrtice se aplican las siguientes fĂłrmulas: h

b 4 ac b 2 ,k 2a 4a

Ejemplo ObtĂŠn el dominio, rango y la grĂĄfica de la funciĂłn f(x) x 2 4x 5. SoluciĂłn Se identifican los valores de los coeficientes de cada tĂŠrmino: a 1, b 4 y c 5 a 0, la parĂĄbola es cĂłncava hacia arriba Se calculan los valores de h y k: h

b ( 4 ) 4 ac b 2 4 (1)(5 ) ( 4 )2 2; k 1 2a 2(1) 4a 4 (1)

1122

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

El vértice es el punto V(2, 1) y el dominio y rango son: § 4 ac b 2 ³ y0 ¨ , @ ´ [1, @) µ © 4a

Df R o bien x 0 ( @, @)

Para graficar, se tabula y se asignan valores de x menores y mayores que 2

x

0

1

2

3

4

y

5

2

1

2

5

Y f (x) = x2 – 4x + 5

X

La función f(x ) x n Con “n” entero positivo tiene como: Dominio x 0 ( @, @) es decir el conjunto de los reales R y Rango:

[

y 0[ 0, @ ) si n es par y 0 ( @, @ ) si n es impar

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén la gráfica de las funciones f (x) x 2 y g (x) x 4 Solución Se tabula con valores arbitrarios de x:

Y

x

2

1

0

1

2

f(x) x 2

4

1

0

1

4

f(x) = x2 X

Al graficar se obtiene:

Y

x g(x) x 4

3 2

81 16

1

0

1

3 2

1

0

1

81 16

g(x) = x4 X

1123

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Obtén la gráfica de las funciones f (x) x 3 y g(x) x 5 Solución Se tabula para valores arbitrarios de x :

Y

f(x) = x3 x

2

1

0

1

2

f(x) x 3

8

1

0

1

8

X

Y

g(x) = x5 x g(x) x 5

3 2

243 32

1

0

1

3 2

1

0

1

243 32

X

Función racional Se expresa como el cociente de dos funciones polinomiales. F (x)

P( x ) , con Q (x) : 0 Q( x )

Definición de asíntota Si la distancia d entre una recta o curva L y el punto móvil Q(x, y) de la función tiende a cero, entonces la recta o curva recibe el nombre de asíntota. Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas. Cuando la gráfica de la función f (x) se acerca a la curva o recta L(x) y la distancia d entre un punto de f (x) y la curva o recta L (x) tiende a cero (es decir la gráfica no toca a L(x)), entonces L(x) recibe el nombre de asíntota.

1124

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Ejemplos Y

Asíntota vertical

Asíntota vertical

d L

L d Q(x, y)

y = f(x)

O

X

Asíntota oblicua y = mx + b

y = f(x)

Asíntota horizontal

Q(x, y) y=b

Y

O

X

x=a

x=a Asíntota vertical Y y = f(x)

Asíntota oblicua

d Ld d Q(x, y)

O

X

En este capítulo sólo se estudiarán las asíntotas horizontales y verticales. Ú Asíntotas verticales Una función de la forma F (x)

P( x ) , tiene asíntotas verticales si existen valores x1, x2, x3, … , xn tal que se Q( x )

cumple lo siguiente: Q(x1) Q(x2) … Q(xn) 0 Ú Asíntotas horizontales R( y ) Se despeja la variable independiente x, si se obtiene una función de la forma G ( y ) , tal que para los S( y) valores de y1, y2, y3, …, yn se cumpla que: S (y 1) S(y2) … S (yn ) 0

1125

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén la gráfica de la función f (x)

1 x

Solución El dominio de la función está dado por el conjunto Df {x 0 R U x : 0}, teniendo una asíntota en x 0, es decir el eje vertical del plano. Al despejar x se obtiene x

1 y

De la cual se deduce que el rango está dado por Rf {y 0 R U y : 0} y su asíntota horizontal es y 0, es decir el eje horizontal del plano. Si tabulas para valores de x diferentes de cero obtienes:

x

3

2

1

1 2

1 3

0

1 3

1 2

1

2

3

f (x)

1 3

1 2

1

2

3

no existe

3

2

1

1 2

1 3

Se grafican las asíntotas y se localizan los puntos en el plano, se unen y se observa cómo la curva se acerca a las asíntotas sin tocarlas, haciendo la distancia entre la curva y las rectas cada vez más pequeña.

Y

X

2

Determina el dominio, el rango y la gráfica de la función y

2x 3 x 2

Solución El denominador debe ser diferente de cero, x 2 : 0, entonces x : 2 Por tanto, el dominio está dado por: Df {x 0 R U x : 2} o x 0 ( @, 2) X ( 2, @) y la asíntota vertical es x 2 Al despejar x se obtiene el rango y la asíntota horizontal: y

2x 3 2y 3 , entonces x donde 2 y : 0 3 x 2 2 y

Por tanto, el Rf {y 0 R U y : 2} y la asíntota horizontal es y 2

1126

y:2

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Gráfica: Se trazan las asíntotas y mediante una tabulación se obtienen los pares ordenados, los cuales forman la siguiente curva:

Y

y=2 X

x=–2

Función raíz cuadrada La función está dada por: f (x)

g( x ) , con g (x) 0

Ejemplos

EJEMPLOS

1

x 2

Obtén la gráfica de la función f (x) Solución

Para determinar el dominio se resuelve la desigualdad: x 2 0 donde x 2, entonces el dominio es el conjunto: {x 0 R U x 2} o x 0 [ 2, @) El rango se obtiene despejando x y

x 2

y2 x 2

3

x y2 2

3

La función es una raíz positiva, o cero, es decir y 0 [0, @) y el despeje da como resultado una expresión polinomial donde y 0 R, por tanto el rango está definido para y 0 [0, @) Al tabular dando algunos valores en el intervalo x 0 [ 2, @) se obtiene:

x

2

1

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

1

2

3

2

5

6

7

La gráfica que se obtiene es:

Y y = f (x)

X

–2

1127

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Determina la gráfica de la función: f (x)

x2 x 2

Solución Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad x 2 x 2 0, obteniendo que x 0 ( @, 1] X [2, @) 2

1 4 y 9 donde y 0 ( @, @), f (x) es una raíz positiva, o cero, por tanto el rango 2 es: y 0 ( @, @) Y [0, @) [0, @) Al despejar x se obtiene, x

Y f(x) =

2

–1

3

Grafica la función y

x2 − x − 2

X

x 1 x 1

Solución Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad

x 1 0, obteniendo que: x 1

x 0 ( @, 1) X [1, @) Al despejar x para obtener el rango: y

x 1 x 1

3

y2

x 1 x 1

3 y 2(x 1) x 1 3 y 2x y 2 x 1 y 2x x 1 y 2 x (y 2 1) 1 y 2

x

1 y 2 , donde y : 1. y2 1

La función es una raíz positiva, por tanto, y 0 [0, @), entonces el rango corresponde a: y 0 [0, 1) X (1, @) La función tiene una asíntota vertical en x 1 y dos horizontales en y 1, y 1, al graficar se obtiene:

Y x 1 y x 1

1

Nota: Observe que gráficamente y 1 no es asíntota.

1128

X

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

FunciĂłn valor absoluto La funciĂłn es f (x) U g(x) U, donde x 0 Dg y f (x) 0.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

ObtĂŠn la grĂĄfica de f (x) U x 3U. SoluciĂłn

[

a si a 0 Se parte de la definiciĂłn de valor absoluto, en la que U a U a si a 0 , se obtienen las siguientes igualdades: y x 3, y x 3, las cuales son dos rectas donde el dominio son los nĂşmeros reales y el rango estĂĄ dado por y 0 [0, @) La grĂĄfica que se obtiene es:

Y y=x+3

y =– x– 3

3

–3

2

ObtĂŠn la grĂĄfica de f (x)

X

2 . x

SoluciĂłn 2 , estĂĄ definido para x : 0, por tanto el dominio es el conjunto Df {x 0 R U x : 0} o bien x x 0 ( @, 0) X (0, @) Para el rango se despeja x de las igualdades que se obtienen al aplicar la definiciĂłn de valor absoluto. y

2 2 3 x , donde y : 0, x y

y

2 2 3 x , donde y : 0 x y

2 TambiĂŠn se toma el hecho de que f(x) 0, ya que 0, por tanto el rango es el conjunto Rf {y 0 R U y 0} x o bien y 0 (0, @). La asĂ­ntota horizontal es y 0, mientras que la vertical es la recta x 0. Luego la grĂĄfica que se obtiene es:

Y

X

1129

CAPĂ?TULO

1

MATEMĂ TICAS

3

SIMPLIFICADAS

ObtĂŠn la grĂĄfica de f (x) U x 2 4U. SoluciĂłn y x 2 4 es una funciĂłn cuadrĂĄtica con dominio x 0 R y rango y 0 [ 4, @), teniendo como grĂĄfica:

Y

–2

X

2

f(x) 0, luego el rango de la funciĂłn es: y 0 [0, @), por tanto, al hacer positiva la parte donde x 2 4 es negativa se obtiene la siguiente grĂĄfica:

Y

–2

4

ObtĂŠn el dominio, el rango y la grĂĄfica de f(x)

X

2

x 1 x 2

SoluciĂłn Dominio: Para y

x 1 , x : 2, por tanto el dominio de la funciĂłn estĂĄ dado por: x 2 x 0 ( @, 2) X ( 2, @)

Rango: f(x) 0, por tanto, el rango estĂĄ dado por y 0 [0, @], pero al despejar “xâ€? se obtiene x y : 1, por tanto y 0 [0, 1) X (1, @) GrĂĄfica 1

Y y=x+2 y=x–1

1

–2

(∞ ,− 2 )

( − 2 ,1]

1130

[1, ∞ )

X

1 2y , entonces y 1

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

En la gráfica 1 se muestran los intervalos que se analizarán para construir la gráfica que se propone. i)

En el intervalo ( @, 2) las rectas y x 1, y x 2, toman valores negativos, es decir f(x)

x 1 ( x 1) x 1 x 2 ( x 2 ) x 2

La porción de gráfica en el intervalo ( @, 2) es:

Y

–2

1

X

ii) En el intervalo ( 2, 1] y x 1 toma valores negativos y x 2 los toma positivos es decir: f (x)

x 1 ( x 1) 1 x x 2 ( x 2 ) x 2

La porción de gráfica es:

Y

–2

1

X

iii) En el intervalo [ 1, @) y x 1, y x 2 toma valores positivos es decir f(x)

x 1 ( x 1) x 1 x 2 ( x 2 ) x 2

1131

1

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Tiene la misma gráfica que en el caso i) La porción de gráfica es:

Y

1

–2

X

Finalmente, la gráfica es la unión de las porciones de gráfica en cada intervalo.

Y

1 1

–2

X

–1

Nota: En la gráfica aparece un hueco en y 1 ya que el rango es y 0 [0, 1) X (1, @)

Función mayor entero Tiene la forma: f (x) [x] con la propiedad de que [x] n para todo n x n 1, con n 0 Z.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén la gráfica de: f (x) [x] Dominio: Df {x U x 0 R} Rango: Rf {y U y 0 Z} Se toma un subconjunto del dominio por ejemplo x 0 [ 2, 3] se tiene que: ª 2 ­ 1 ­­0 f (x) [x] «1 ­ ­2 ­¬ 3

1132

si si si si si si

2 x 1 1 x 0 0 x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 4

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Gráfica:

Y 3 2 1 –2 –1

3 X

0 1 2 –1 –2

También recibe el nombre de función escalón.

2

§2 ¶ Traza la gráfica de f (x) ¨ x · ©3 ¸ Solución El dominio y el rango de la función se definen: Df {x U x 0 R} y Rf {y U y 0 Z} Se elige el subconjunto del dominio x 0 [ 2, 2] entonces:

Longitud del escalón 2 1

2 x 1 3

3 2

2

3 x 0 2

1

3 x

2 x 0 3

f(x)

0

2 x 1 3

0 x

3 2

0

1

2 x 2 3

3 x 3 2

1

Y 2 1 –3 –2 –1

0 1 –1 –2 –3

1133

2

3

X

Relaciones y funciones

1

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 4 Obtén la gráfica de las siguientes funciones:

1. f(x) 4

22. y 2 5

16 x 2

23. f (x)

x 2 x 12

3. f(x) P

24. f (x)

4 x2 9

4. f(x) 3x 5

25. f(x)

900 100 x 2 9

26. f (x)

x 2 x 2

27. f (x)

1 x 2

7. f(x) x 2 4x 3

28. f (x)

x 4 x 3

8. f(x) 2x 2 12x 13

29. f (x)

1 x x 2

9. f(x) 4 x 2

30. f (x) U x U

2. f(x)

5. f(x)

1 x 1 2

6. f(x)

10. y

3 x 2 4

3 x

31. f (x) U x 2U

1 x x 12. f (x) x 2

32. f (x) U x 4U

11. f (x)

13. y

33. f (x) U x 2 1 U

x 2 x 4

34. f (x) U x 2 4x 3 U

14. f(x)

x 2 3 x

35. f (x) U 2 x 2 U

15. f (x)

x2 5x 6 x2 4

36. f(x)

1 x 2

16. f(x)

1 x 2x 3

37. f(x)

2 3 x

17. f(x)

x2 2 x2 9

38. f (x)

x 3 x 3

18. f(x)

x

39. f (x)

x 3 x 1

19. y

2

§1 ¶ 40. f (x) ¨ x · ©2 ¸

x 4

§5 ¶ 41. f (x) ¨ x · ©3 ¸

20. y 9 x 21. y

x 2 36

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1134

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

FunciĂłn caracterĂ­stica Son funciones que estĂĄn seccionadas por intervalos y en cada intervalo se presenta una funciĂłn distinta. Para graficarla basta con dibujar la grĂĄfica de cada una de las funciones en el intervalo dado.

Ejemplo ObtÊn la gråfica de: ª x 2 1 si 2 x 2 ­ si 2 x 4 f(x)  3 ­ 3x 9 si x 4 Solución Se tabula cada una de las funciones en el intervalo dado, se localizan los puntos y se grafican, observa que hay puntos que no estån incluidos, para esos valores se coloca un círculo abierto.

Y

3

–2

2

4

X

EJERCICIO 5 ObtĂŠn la grĂĄfica de las siguientes funciones:

[

­ª 2 x si x 2 5. f (x)  ­ x 2 si x 2

1 si x 3 2. f(x) 0 si x 3

[

si x 2 ª5 ­ 6. f (x)  x 2 1 si 2 x 2 ­2 x 1 si x 2

ÂŞ x 2 si x 0 3. f(x) ÂŤ 2 si x 0 ÂŹx

7. f(x)

x si 0 x 2 1. f(x) x 4 si 2 x 4

ª2 x si x 1 ­ si 1 x 2 4. f(x)  3 ­ x 1 si x 2

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente

1135

[

x 4 a si a 0 Recuerda que U aU a si a 0 x 4

1

CAPĂ?TULO MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

GrĂĄďŹ ca de una funciĂłn a partir de otra conocida Algunas funciones se grafican a partir de que se conoce la grĂĄfica de otra, a travĂŠs de desplazamientos, alargamientos o reflexiones de esta Ăşltima.

Desplazamientos Sea f (x) una funciĂłn, c 0 y b 0, si: a) b) c) d) e) f) g) h)

y y y y y y y y

f (x) c entonces se desplaza la grĂĄfica de f(x), c unidades hacia arriba. f (x) c entonces se desplaza la grĂĄfica de f(x), c unidades hacia abajo. f (x c) entonces se desplaza la grĂĄfica de f(x), c unidades hacia la izquierda. f (x c) entonces se desplaza la grĂĄfica de f(x), c unidades a la derecha. f (x c) b entonces se desplaza la grĂĄfica de f(x), c unidades hacia la izquierda y b unidades hacia arriba. f (x c) b entonces se desplaza la grĂĄfica de f(x), c unidades hacia la izquierda y b unidades hacia abajo. f (x c) b entonces se desplaza la grĂĄfica de f (x), c unidades hacia la derecha y b unidades hacia arriba. f (x c) b entonces se desplaza la grĂĄfica de f(x), c unidades hacia la derecha y b unidades hacia abajo. Y

Y

Y

c

a

a

X

X

f(x)

f(x) + c

Y

a

Y

b

a

c

f(x – c)

X

c

f(x + c)

Alargamientos Sea f (x) una funciĂłn, c 1, si: a) y c f(x), se alarga verticalmente la grĂĄfica de f(x), c veces. 1 1 f (x), se comprime verticalmente la grĂĄfica de f(x), en c c

c) y f (cx), se comprime horizontalmente la gråfica de f(x), c veces. ¤1 d) y f ¼ Œc

X

f(x) – c

Y

b) y

a

c

1 ³ x ´ , se alarga horizontalmente la gråfica de f(x), en ¾ c

1136

X

a

c

f(x – c) + b

X

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

Reflexiones verticales y horizontales Sea f (x) una función si: 1. y f (x), se refleja la gráfica de f (x) con respecto al eje X. 2. y f ( x), se refleja la gráfica de f(x) con respecto al eje Y. Y

Y

y = cf(x)

X

Y

y=

1 c

f (x )

X

X

y = – c f (x)

Se tomarán como base las siguientes funciones para graficar otras de la misma forma: Y

Y

f(x) = x 2

Y

f(x) = x 3

f(x) = x

X

X

Y

X

Y

X

X

f(x) =

1 x

f(x) = | x |

1137

1

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Con base en la función f (x) x 2, obtén la gráfica de: y x 2 2, y x 2 2, y (x 2)2, y (x 2)2, y 2x 2, y

1 2 x , y x 2, y x 2 2x 3 2

Solución

f(x) = x2

y = x2 + 2

y = x2 – 2

Y

Y

Y

X

X

X Se desplaza la gráfica f(x) dos unidades hacia arriba

y = (x − 2 )2

= x2

Se desplaza la gráfica f(x) dos unidades hacia abajo

y = (x + 2 )2

y = 2x2

Y

Y

Y

X Se desplaza f(x) = hacia la derecha

y=

x

2

= x2

X

dos unidades

1 2 x 2

Se desplaza f(x) = hacia la izquierda

x

2

dos unidades

y = – x2

Se alarga f(x) dos veces

=x

verticalmente

y = x2 – 2x – 3 = (x – 1)2 – 4

Y

Y

X 2

Y

X

X

X

Se comprime f(x) verticalmente

= x2 a la mitad

Se refleja f(x) eje X

= x2 con respecto al

1138

2

Se desplaza f(x) = x hacia la derecha una unidad y baja cuatro unidades

CAPÍTULO CÁLCULO

2

Determina la gráfica de y

x 3 2, a partir de la gráfica de y

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

x.

Solución La gráfica de y

x es: Y

0

Para obtener la gráfica de y y 2 unidades hacia arriba

X

x 3 2, se toma la gráfica de y

x , ésta se desplaza 3 unidades a la derecha

Y

2

X

3

EJERCICIO 6 Utiliza desplazamientos, alargamientos o reflexiones para obtener la gráfica de las siguientes funciones:

1. y x 2 4

8. y (x 1)3 2

2. y (x 3)2

9. y

3. y 1 x 2

10. y

x 2 2

4. y x 2 6x 10

11. y

x 3 2

5. y 3x 2 12x 11

12. y x 3

6. y x 3

13. y U x 3 U 2

7. y x 3 1

14. y 3 U x 4U

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1139

1 3 x 2 2

1

CAPĂ?TULO MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

Funciones creciente y decreciente Una funciĂłn es creciente en un intervalo I, si para cualquier x1, x2 0 I, f(x1) f(x2) donde x1 x2 Una funciĂłn es decreciente en un intervalo I, si para cualquier x1, x2 0 I, f(x1) f(x2) donde x1 x2

Ejemplos Las grĂĄficas de las funciones f (x) x 2 y g(x) x 3 son:

Y

Y

X X

La funciĂłn f(x) x 2, es decreciente en el intervalo de ( @, 0) y creciente en el intervalo (0, @), mientras que g(x) x 3 es creciente para toda x de su dominio.

EJERCICIO 7 Con las funciones conocidas determina el intervalo donde crecen o decrecen:

1. f(x) 2. f(x)

6. f (x) x 3

x x4

7. f (x) 9 x 2

3. f(x) x

8. f(x) U x 3U 2

4. f (x) Ux U

9. f (x)

5. f(x)

x 2

9 x2

10. f (x) 6

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva FunciĂłn inyectiva (uno a uno) Si x1, x2 0 Df y x1 : x2, f es una funciĂłn inyectiva si y solo si f (x1) : f (x2), o dicho de otra forma, f (x1) : f (x2) si y solo si x1 : x2. Se determina si la funciĂłn es inyectiva al trazar una recta paralela al eje X sobre la grĂĄfica y si toca un solo punto es inyectiva. TambiĂŠn se puede decir que una funciĂłn inyectiva es aquella que siempre es creciente o siempre decreciente.

1140

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina si la función f (x) x 3 1, es inyectiva. Solución Sean x1 : x2, se tiene que (x1)3 1 : (x2)3 1, ya que no hay números distintos cuyos cubos sean iguales, con este resultado podemos afirmar que la función es inyectiva; por otro lado, si se observa que la gráfica es creciente, por tanto, es inyectiva. Otra forma de saber si la función es inyectiva es trazar cualquier recta paralela al eje X, y ésta debe tocar un solo punto de la gráfica. Y

f(x) = x3 + 1

X

2

Determina si la función f (x) 2x x 2 es inyectiva. Solución No es inyectiva, ya que para x1 1 y x2 3 se obtiene que f (x1) f(x2) 3, lo que contradice la definición. Luego, si se traza una recta paralela al eje X, se observa que ésta toca dos puntos de la gráfica; por otro lado, no es una función que sea creciente ni decreciente siempre.

Y

X

f(x) = 2x – x2

1141

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Función suprayectiva Una función f : A 3 B es suprayectiva o sobreyectiva si para cada b 0 B existe a 0 A tal que f(a) b; es decir, para todo elemento de B siempre hay uno de A al cual fue asignado. Otra forma de reconocer una función suprayectiva es si su contradominio es igual a su rango. Al menos que se indique lo contrario el contradominio de las funciones dadas serán los números reales.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina si la función f (x) x 2 1 es suprayectiva. Solución El contradominio de la función es el intervalo ( @, @) y su rango el intervalo [1, @), por tanto, la función no es suprayectiva.

Y f(x) = x2 – 1

X

2

Determina si la función f (x) x 3 1 es suprayectiva Solución El contradominio de la función es el intervalo ( @, @) y su rango el intervalo ( @, @), por tanto, la función es suprayectiva.

Y f(x) = x3 + 1

X

1142

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Función biyectiva Una función “f ” es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina si la función f (x) 3x 1 es biyectiva. Solución Es una función siempre creciente, por tanto, es inyectiva. El contradominio de la función es ( @, @) y su rango ( @, @) entonces es suprayectiva. La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, es biyectiva.

Y

X

2

Determina si la función f (x)

1 x es biyectiva.

Solución Gráfica

Y f(x) = 1 − x

X

Si al trazar una recta paralela al eje X interseca a la curva en un punto es inyectiva; no es suprayectiva, ya que su contradominio son los reales y su rango es el intervalo [0, @). Es inyectiva pero no suprayectiva, entonces no es biyectiva.

3

Determina si la función f : ( @, 1] 3 [0, @), tal que f(x)

1 x es biyectiva.

Solución La gráfica es la misma de la función del ejemplo anterior, por tanto, la función es inyectiva. En este caso se especifica el contradominio como el intervalo [0, @) el cual es igual al rango, entonces, es suprayectiva. Es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva.

1143

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

4

SIMPLIFICADAS

Determina si la función f: ( @, 0] 3 [0, @), tal que f(x) x 2 es biyectiva. Solución De la gráfica se observa que la función es inyectiva, ya que la recta horizontal sólo toca un punto. Por otro lado, el contradominio es el intervalo [0, @) el cual es igual al rango, por tanto, es suprayectiva. Por último, es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva.

EJERCICIO 8 Indica cuál de las siguientes funciones es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

1. f(x) x

6. f(x) x 2 7x 10

2. f (x) 3

7. f(x) 2x 3

3. f (x)

x2

8. f (x)

4. f(x) x 3

9. f : R 3 [ 1, @), tal que f(x) x 2 1

5. f(x) x 2, x 0 [0, @)

10. f : [0, @) 3 [0, @), tal que f (x) U xU

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Operaciones con funciones Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dg respectivamente Ú f(x) g(x) ( f g)(x), con dominio: Df Y Dg Ú f (x) g (x) ( f g)(x), con dominio: Df Y Dg Ú f (x) g(x) ( f g)(x), con dominio: Df Y Dg Ú

x 3

¤ f³ f (x) ¥ ´ (x), con dominio: {x 0 Df Y Dg U g(x) : 0} ¦ gµ g( x )

1144

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Sean las funciones f (x) x 2 7x 10, y g(x) x 5 Determina a) f (x) g(x) b) f(x) g(x) c) f(x) g(x) f (x) d) g( x ) Solución Se obtienen los dominios de f y g para efectuar las operaciones. Df : ( @, @), Dg : ( @, @) a) f (x) g (x) (x 2 7x 10) (x 5) x 2 6x 5, con Df Y Dg ( @, @) b) f(x) g(x) (x 2 7x 10) (x 5) x 2 8x 15, con Df Y Dg ( @, @) c) f (x) g(x) (x 2 7x 10)(x 5) x 3 7x 2 10x 5x 2 35x 50 x 3 12x 2 45x 50, con Df Y Dg ( @, @) d)

2

f (x) x 2 7 x 10 ( x 5 )( x 2 ) x 2 con, {x 0 Df Y Dg U x : 5} g( x ) x 5 x 5

Sean las funciones f (x)

9 x 2 y g(x) x determina: f(x) g (x), f(x) g (x), f(x) g (x) y

f (x) g( x )

Solución Se obtienen los dominios de las funciones: Df : [ 3, 3], Dg : ( @, @) y se realizan las operaciones. f(x) g(x)

9 x 2 x, con dominio: Df Y Dg [ 3, 3] Y ( @, @) [ 3, 3]

f (x) g (x)

9 x 2 x, con dominio: Df Y Dg [ 3, 3] Y ( @, @) [ 3, 3]

f (x) g(x) f (x) g( x )

3

9 x 2 x x 9 x 2 , con dominio: Df Y Dg [ 3, 3] Y ( @, @) [ 3, 3]

9 x2 , con dominio: {x 0 [ 3, 3]Ux : 0} o bien x 0 [ 3, 0) Y (0, 3] x

Sean f {(2, 3), (3, 1), (4, 5), (5, 9)} y g {(1, 2), (2, 5), (3, 8), (7, 10)}, determina f g Solución Los dominios son Df {2, 3, 4, 5} y Dg {1, 2, 3, 7}, entonces Df tuyen los valores del dominio de la suma.

g

f(2) g (2) 3 5 8 f (3) g (3) 1 8 7 Por tanto, f (x) g(x) {(2, 8), (3, 7)}

1145

{2, 3}, para calcular f(x) g(x) se susti-

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 9 Para las siguientes funciones determina: f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) y

f (x) g( x )

1. f(x) 5, g(x) 2 2. f (x) 2x 5, g(x) 2x 5 3. f(x) x 2 4x 5, g(x) x 2 3x 2 4. f(x) 5. f (x)

2 x 1 x 2 , g(x) 2 3 x 3 , g(x)

6. f(x) x

x , g(x)

x 4 x

7. f (x) sen2 x, g(x) cos2 x 8. f {( 1, 2), (0, 3), (1, 4), (3, 6), (5, 7)}, g {( 3, 6), ( 2, 8), ( 1, 10), (2, 12), (3, 14), (5, 16), (6, 18)} 9. f {( 2, 5), ( 1, 3), (0, 1), (1, 1), (2, 3)}, g {( 5, 8), ( 4, 7), ( 3, 6), ( 2, 5), ( 1, 4), (0, 3)} 1³ ª¤ ¤ 1³ ¤ 1³ ¹ 10. f «¥ 2, ´ , ( 1, 1), (1, 1), ¥ 2, ´ , ¥ 3, ´ º , g ¦ 2 µ ¦ 3µ » ¦ µ 2 ¬

ª ¤ 1³ ¹ «( 1, 2 ), (1, 0 ), ¥¦ 2, ´µ º 2 » ¬

Dadas las funciones: f(x) x 3, g(x) x 2 5x 6, r (x) x 2, s (x) x 2 3x 10 Determina: 11. f (x) r(x)

16. g (x) s (x)

12. f(x) s(x)

17. f (x) r (x)

13. g (x) s (x)

18.

f (x) r( x)

14.

g( x ) r( x)

19.

g( x ) s( x )

15.

s( x ) r( x)

20.

g( x ) s ( x ) f ( x) r( x)

Dadas las funciones: f(x)

x 1 1 1 x , g(x) y h (x) , determina: x 2 x 3 x

21. f (x) g(x)

24. f (x) h (x)

f (x) g( x )

25. g (x) h (x)

22.

23. f(x) g (x)

26.

1146

f (x) h (x) g( x )

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

27.

h( x ) g(x) f (x)

32. f (x) h (x) g (x)

28.

h(2 ) f (1) g( 3)

33.

f ( x ) h( x ) g( x )

34.

1 g( x ) h( x )

35.

1 1 h( x )

29. f(x 1)

1 h( x 1)

30. h(x) g(x) 31.

Relaciones y funciones

1

h( x ) g( x ) g( x ) f ( x )

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Función composición (Función de funciones) Sean f y g funciones cualesquiera que definen una nueva función, la cual recibe el nombre de función composición de f con g y se denota con: ( f g)(x) f( g(x)) y es la función cuyo dominio son los elementos del dominio de g, tal que g(x) pertenece al dominio de f ; es decir, Df g: {x U x 0 Dg y g(x) 0 Df }

f o g

g

A

f

B

1147

C

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Si f {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)} y g {(3, 1), ( 1, 3), ( 5, 5), ( 9, 2)}, determina f g. Solución Se determinan los pares ordenados de la función g, de tal manera que el segundo término sea el primer término de los pares ordenados de la función f. Los primeros términos, de cada par ordenado encontrado, forman el dominio de la función composición. Los pares ordenados de g que cumplen con la condición son: (3, 1), ( 1, 3), ( 5, 5) Por tanto, el dominio de la función composición es: Dfog : { 5, 1, 3} El dominio se evalúa de la siguiente manera: Por definición f g f ( g (x)), entonces el conjunto solución son todas las parejas ordenadas de la forma: (x, f ( g(x))) f( g( 5)) f (5) 6 f (g( 1)) f(3) 4 f (g (3)) f (1) 2 Finalmente el conjunto es: f g {( 5, 6), ( 1, 4), (3, 2)}

2

Determina f g; g f ; f f ; g g, para f(x) x 3, g(x)

x . x 1

¤ x ³ x x 3( x 1) 4x 3 f g f (g(x)) f ¥ 3 x 1 x 1 x 1 ¦ x 1 µ´ g f g( f (x)) g(x 3)

x 3 x 3 ( x 3) 1 x 2

f f f ( f (x)) f (x 3) (x 3) 3 x 6 ¤ x ³ g g g(g (x)) g ¥ ¦ x 1 ´µ

x x x ( x 1) x 1 x 1 x ( x 1) x x 1 ( x 1) 1 x 1 x 1

Para determinar f g h se aplica primero h, después g y, por último, f

1148

CAPÍTULO CÁLCULO

3

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

Si f (x) x 2, g(x) 2x 1 y h(x) x 4, determina f g h. Solución ( f g h)(x) f (g(h(x))) f(g(x 4)) f(2(x 4) 1) f (2x 8 1) f(2x 9) (2x 9)2 4x 2 36x 81

4

( x 4 )2 5 , determina f, g y h tal que F f g h

Si F(x) Solución

F(x) ( x 4 )2 5 , la función dice suma 4, eleva al cuadrado, resta 5 y obtén la raíz. Entonces se tiene que: h(x) x 4

g(x) x 2 5

f(x)

De tal forma que ( f g h)(x) f (g(h(x))) f(g(x 4)) f((x 4)2 5)

x ( x 4 )2 5

EJERCICIO 10 Determina f g, g f , f f y g g para las siguientes funciones: 1. f(x) 3x 2 5x 2 2. f(x)

x

3. f(x) 4 4. f(x)

g(x) x 2

y

g(x) 2

y

x2 5

y

5. f(x) x 2 2x 1 6. f(x)

x 1 x 3

y

7. f(x) log(x 2) 8. f (x)

y g(x) 2x 3

x2 1 x2 1

g(x) y

x2 5

g(x)

g(x)

x 1

1 x

y g(x) x 2 y

g(x)

x 1 x 1

9. f(x) {(2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)} 10. f (x) {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}

y g(x) {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} y g(x) {( 2, 1), ( 1, 2), (0, 3), (1, 4)}

11. f(x) {(0, 1), (1, 3), ( 1, 1), ( 2, 3)}

y g(x) {(3, 0), ( 2, 2), (1, 1)}

Encuentra f de manera que ( f g)(x) F(x) 12. g(x)

3 x 1 x

y

F(x)

1 x 3 x x 1

13. g(x) x 1

y F(x)

14. g(x) x 3

F(x) mx 3 b

y

1149

1

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

15. g(x) 16. g(x)

x2 1

y

y

F(x)

1 x

F(x) x 2 1 1 2x x

Determina f g h 17. f (x) x 2, g(x) 3x

h(x) 3x 1

y

18. f(x) x 3, g(x) 1 x 19. f(x)

x , g(x) 2x 5

20. f (x) x 2, g(x) sen x 21. f (x)

y

1 1 , g(x) 2 x x

h(x) 4x 2 y h(x) x 2

y

h(x) x 2

y

h(x) cos x

22. f (x) log x, g(x) 10 x y

h(x) sen x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Funciones par e impar Ú Se dice que una función f es par si: f( x) f(x). Ú Se dice que una función f es impar si: f ( x) f(x)

Ejemplos

EJEMPLOS

1

f(x) x 2 4 es función par, ya que f( x) ( x)2 4 x 2 4 f(x).

2

f(x) 3x 3 4x es función impar ya que: f( x) 3( x)3 4( x) 3x 3 4x (3x 3 4x) f (x)

3

f (x) x 3 x 2 5x 2 no es par ni impar, ya que: f ( x) ( x)3 ( x)2 5( x) 2 x 3 x 2 5x 2 (x 3 x 2 5x 2) f( x) : f (x)

y f ( x) : f (x)

Observaciones: Si f y g son funciones pares y h y r funciones impares, entonces se cumple: I. f g es par II. f h es impar III. h · r es par

1150

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

EJERCICIO 11 Indica si f es par, impar o ninguna. 1. f(x) x 2 x

9. f(x) (x 1)2 x 3

2. f(x) x 4 6x 2 8

10. f(x) x 3 2x

3. f (x) x 3

11. f (x) x 4 2x 2

4. f(x) x 2 2x 4

12. f (x)

5. f(x) (x 2)3

13. f (x) 3x 5 2x

6. f (x)

x 1 x 1

7. f(x)

x2 9

8. f(x)

9 x2

14. f(x) 15. f(x)

x2 1 x2 1

x2 x4 x3 2x x3

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Función inversa Sea f una función inyectiva con dominio A y contradominio B; la función g que satisface f (g(x)) x, se llama función inversa de f y se denota f 1(x) con dominio B y contradominio A.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina la función inversa de f (x) x 3 3. Solución f (x) x 3 3 Al emplear la definición f( f 1(x)) x

( f 1(x))3 3 x

Y

( f 1(x))3 x 3

f 1(x)

3

x 3

f (x) = x3 – 3

f –1(x) =

3

x+3

X y=x

Observa que f 1(x) es un reflejo de f(x) sobre la función identidad y x. Comprobación: f( f 1(x)) f

3

x 3

3

x 3

3

3 x 3 3 x

Otra forma de obtener la función inversa es resolver la ecuación para x dejándola en términos de y, se intercambia x por f 1(x), y por x.

1151

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Determina la función inversa de f (x) 3x 12 Solución f(x) 3x 12 3 y 3x 12 3 y 12 3x 3 Se intercambia y por x, x por f 1(x): f 1(x)

y 4 x 3

x 4 3

Comprobación: ¤x ³ ¤x ³ f ( f 1(x)) f ¥ 4 ´ 3 ¥ 4 ´ 12 x 12 12 x µ ¦3 µ ¦3

3

Determina la función inversa de f (x) x 2 Solución La función no es inyectiva, por tanto, no tiene inversa.

Propiedades Si f es una función con inversa f 1, entonces Ú Ú Ú Ú

El dominio de f 1 es el rango de f y el rango de f 1 es el dominio de f. ( f f 1)(x) x, ( f 1 f )(x) x f 1 es invertible y su inversa es f . Si f es una función real entonces la gráfica de f 1 es el reflejo de f sobre la función y x

EJERCICIO 12 Determina la función inversa (si es posible) para las siguientes funciones:

9. f(x) (2x 5)2

1. f(x) x

4 x 2 , x 0 [0, 2]

2. f(x) 2x 5

10. f(x)

3. f (x) x 2 9, x 0 [0, @)

11. f (x)

3

4. f(x) x 2 3x 2

12. f (x)

1 2x 3

5. f(x) x 3

13. f (x)

6. f(x) x 5

14. f (x)

7. f(x) x 4, x 0 [0, @)

15. f (x)

8. f(x)

3 x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1152

x 9

x 2 1 , x 0 [1, @) x 1 x 1 x x 1

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Funciones trascendentes Función exponencial Es una función de la forma f (x) a x, con dominio Df : x 0 ( @, @) y rango y 0 (0, @) (si a 1, entonces el rango es {1}) y básicamente existen tres tipos: Y

Y

Y

X

X

f(x) = ax, a > 1

X

f(x) = ax, 0 < a < 1

f(x) = 1x

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén las gráficas de f (x) 2 x y g(x) 2 x : Solución Se hace una tabulación para cada gráfica y se obtiene: x

3

2

1

0

1

2

3

f(x) 2 x

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

x

3

2

1

0

1

2

3

g(x) 2 x

8

4

2

1

1 2

1 4

1 8

Y

Y

f(x) = 2 x

X

g(x) = 2 –x

Una de las funciones exponenciales más comunes es: f(x) e x, con e 2.71828

Y

X

1153

X

CAPĂ?TULO

1

MATEMĂ TICAS

2

SIMPLIFICADAS

ObtĂŠn las grĂĄficas de y e x, y e x 2, y

2 x e , y e x, y e x 3

SoluciĂłn Mediante reflexiones, desplazamientos y alargamientos de una funciĂłn se obtienen las siguientes grĂĄficas:

Y

Y

Y

X

X

X y = e–x

y = ex + 2

y=

2 x e 3

Y

Y

X

X

y = – ex

y = – e– x

La funciĂłn exponencial f(x) a x es inyectiva (ya que es creciente), por tanto, debe tener inversa, la cual es el logaritmo con base a. Un logaritmo se define como el exponente al que se eleva un nĂşmero llamado base, para obtener cierto nĂşmero, de tal forma que aplicado a la funciĂłn exponencial queda: y a x entonces loga y x, y 0, por tanto f 1(x) loga x De lo anterior, se define la funciĂłn logarĂ­tmica como: g(x) loga x

Dominio: x 0 (0, @), Rango: x 0 ( @, @)

GrĂĄfica: Y

(1,0)

X

1154

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Pasa por el punto (1, 0), porque loga 1 0 ya que a0 1, es creciente y tiene una asĂ­ntota vertical en x 0 Por ejemplo, las grĂĄficas de las funciones: f(x) log3 x y g(x) log x son:

Y

f(x) = log3 x g(x) = log x X

Por otro lado ln x loge x, por tanto, si f(x) e x entonces f 1(x) ln x

Y

f(x) = e

x

y=x

–1

f (x) = ln x

X

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina la grĂĄfica de y log(2x 5). SoluciĂłn Se determina el dominio; recuerda que logb N a, entonces N 0: 2x 5 0 3 x Se traza una asĂ­ntota en x

5 ¤5 ³ 3 x 0 ¼ , @´ Œ2 ¾ 2

5 y se desplaza la grĂĄfica y log10 x 2

Y

X

1155

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Determina la gráfica de y log(x 3) 2. Solución Se desplaza la gráfica de y log x dos unidades hacia arriba y tres a la izquierda

Y

X

Funciones trigonométricas Para la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas se utilizarán por convención valores en radianes para x.

Y

Y

y = sen x

y = cos x

π

−π

2π

X

−

π 2

3π

X

2

Dominio: x ∈ (− ∞ , ∞ ) Rango: y ∈ [−1,1]

Dominio: x ∈ (− ∞ , ∞ ) Rango: y ∈ [−1,1]

Y

Y

y = cot x

y = tan x −π

π 2

0

π

− 2π

X

(2n − 1)π , n ∈ Z ⎫ ⎧ Dominio: ⎨ x ∈ R x ≠ ⎬ 2 ⎩ ⎭ Rango: y ∈ (−∞ , ∞ )

1156

π

2π

X

Dominio: {x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z }

Rango: y ∈ (−∞, ∞ )

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Las relaciones y csc x, y sec x

Y

Y y = csc x

−

3π 2

π 2

2π

y = sec x

−π

X

Dominio: {x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z }

π

2π

X

1 ⎧ ⎫ Dominio: ⎨ x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z ⎬ 2 ⎩ ⎭ Rango: y ∈ (− ∞ , − 1] ∪ [1, ∞ )

Rango: y ∈ (− ∞ , − 1]∪ [1, ∞ )

Ejemplo Determina la gráfica de y 2 sen x 2 Solución La función f (x) sen x se alarga 2 unidades verticalmente y se desplaza dos unidades hacia arriba, obteniendo la siguiente gráfica:

Y

−

π

π

2

2

3π 2

X

EJERCICIO 13 Obtén la gráfica de cada una de las siguientes funciones:

1. f(x) 3 x

8. f (x) 1 log x

2. y 3 x

9. f (x) 2 ln(x 1)

3. y 3 x 3

10. f (x) 3 cos x 2

4. f(x) e x 1

11. f(x) 2 sen x 1

5. f (x) 1 e x

12. f(x) tan x

6. f (x) e x 2

13. f(x) 2 sec x 1

7. f (x) ln(x 2)

P³ ¤ 14. f(x) sen ¥ x ´ ¦ 2µ

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1157

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Las funciones como modelos matemáticos Como se afirmó al principio del capítulo, las funciones representan modelos para resolver problemas de la vida real.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

La altura de un recipiente cilíndrico es el doble que el radio de su base, expresa el volumen del cilindro en función de su altura. Solución El volumen de un cilindro es: V Pr 2h Puesto que la altura es el doble del radio de la base, entonces: h 2r 3 r

h 2

h en el volumen se obtiene: 2 2 h2 ¤ h³ h P V Pr 2h P ¥ ´ ¦ 2µ 4

h = 2r

Al sustituir r

h

Ph 3 4

Por consiguiente

r V(h)

2

Ph 4

3

El perímetro de un rectángulo es de 26 unidades, expresa el área del rectángulo en función de su largo. Solución Se establecen las dimensiones del rectángulo: x: largo, y: ancho El perímetro es 2x 2y 26 3 x y 13

x

y 13 x El área del rectángulo es A xy

y

y

Al sustituir y 13 x, se obtiene: A x (13 x) 13x x 2

x

Por consiguiente, A(x) 13x x 2

1158

CAPÍTULO CÁLCULO

3

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Una persona tiene una pared de piedra en un costado de un terreno. Dispone de 1 600 m de material para cercar y desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como uno de sus lados. Expresa el área del corral en términos del ancho de éste. Solución Sean x y y las dimensiones del corral donde, x: ancho del corral, y: largo del corral Entonces, 2x y 1 600 3 y 1 600 2x el área del rectángulo está dada por: A xy

x

Al sustituir y 1 600 2x, se obtiene:

y

A(x) x (1 600 2x) 1 600x 2x 2

4

m , a 30 m del punto del despegue se encuentra s una casa. Si t es el tiempo en segundos, expresa la distancia que existe entre la casa y el globo en función del tiempo.

Un globo asciende desde un punto con velocidad constante de 1.5

Solución d Sea v , entonces d vt, donde, d es la distancia, v la velocidad, t el tiempo. t Al transcurrir t segundos el globo sube 1.5 t en metros; entonces se aplica el teorema de Pitágoras para obtener: 2

¤3 ³ d 2 (1.5 t )2 (30)2 3 d 2 ¥ t ´ (30)2 ¦2 µ d2

9 2 t 900 4 9t 2 3 600 4

d d

3 2 t 400 2

Por tanto: d(t)

3 2 t 400 2

d 1.5t

30 m

1159

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 14 1. El área de la base de un cilindro es de 40 P m2. Expresa el volumen en función de la altura. 2. Fluye agua por un tanque cónico de 10 m de radio y 25 m de altura. Cuando el nivel del agua está a una altura de h y radio r, expresa el volumen del agua en función de la altura. 3. Si el ancho de un rectángulo es la quinta parte de su largo, determina el perímetro en función de su área. 4. Dada una circunferencia de radio r, precisa el área de la circunferencia en función de su diámetro d. 5. Se inscribe un cubo de arista x en una esfera de radio r. Expresa el volumen de la esfera en función de la arista del cubo. 6. Al graficar la recta, cuya ecuación es 3x 2y 6 0, y trazar una línea vertical paralela al eje Y en cualquier punto sobre el eje X se genera un triángulo rectángulo. Expresa el área de dicho triángulo en función de la abscisa x. 7. Se desea construir un tanque de gas en forma de cilindro circular recto de 2.5 m de altura y a cada extremo del cilindro van unidas dos semiesferas de radio r. Expresa el volumen del tanque en función de r. 8. Se inscribe un triángulo equilátero de lado x en una circunferencia de radio r. Expresa el área de la circunferencia en función del lado x. 9. Se inscribe un rectángulo en una elipse cuya ecuación es 9x 2 16y 2 144 0. Precisa el área del rectángulo en función de la abscisa x. 10. Un cartel de base x y altura y tiene un área de 540 cm2 con márgenes de 2 cm a los lados y 1.5 cm en las partes superior e inferior. Expresa el área impresa en función de la base del cartel. 11. Desde cierto puente de la Ciudad de México un peatón observa un automóvil que viaja a 18 m/s en una avenida perpendicular al puente peatonal. Si t es el tiempo en segundos, determina la distancia entre el peatón y el automóvil en función del tiempo, si la altura del puente es de 4.5 m. 12. Una lancha es remolcada con un cable hacia un muelle. El cable es enrollado a razón de 0.5 m/s y la lancha se encuentra a 2 m por debajo del nivel del muelle. Si t es el tiempo en segundos, expresa la distancia que le falta recorrer a la lancha hacia el muelle en función del tiempo.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1160

sim p l i fic a

UM

mp li fi ca

Ma te

Ma te

s simplificad as U

s simplificad as U

ca emáti M at

s da

U

imp

imp

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

ca

U

ss ica át

s da

E

l número e llega por primera vez a las matemáticas de forma muy discreta. Sucedió en 1618 cuando, en un apéndice al trabajo de Napier sobre logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números. ss ica át

U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

ca

Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo base diez de e sin mencionar a e específicamente en su trabajo.

atem

ca emáti M at

U Matemáti c as

El número e Ma tem

Reseña

s cada

s simplificada sU

ticas simplificada s temá U Ma tem

tica temá

áticas simplificadas

sim

plifi

Ma

Ma

HISTÓRICA

as tic

sim

das U Matemátic as lifica sim pli fic a

U

Matem ática das U a c fi s si pli

2

LÍMITES

sim pli fic a U

imp

CAPÍTULO s da

m

ss ca á ti

Ma tem

s da

m

im ss ca á ti

s U Matemáti cada cas plifi

as U

s da

U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

UM a t e má

En 1647 Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular, pero no encontró la conexión con los logaritmos, en 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx 1 y el logaritmo. La notación e aparece por primera vez en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respecto a e en los años siguientes pero no fue sino hasta 1748 cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e. Demostró que: e 1

1 1 1 1 1 … lím ¤¥1 ³´ xl@ ¦ nµ 1! 2! 3! 4!

n

Euler dio una aproximación de e con 18 decimales, e 2.718281828459045235 Leonhard Euler (1707-1783)

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Definición intuitiva de límite Si al aproximar x lo suficientemente cerca de un número a (sin ser a) tanto del lado izquierdo como del derecho, f (x) se aproxima a un número L, entonces el límite cuando x tiende al número a es L. Esto lo escribimos: lím f (x) L xl a

Donde la notación x 3 a se lee “x tiende a a”, para decir que: “tiende a a por la izquierda” se utiliza x 3 a , para decir que: “x tiende a a por la derecha” utilizamos x 3 a , de tal forma que: Si lím f(x) lím f (x) L entonces lím f (x) L xl a

xl a

xl a

Es decir, si los límites laterales existen y tienden a un mismo número L entonces el límite cuando tiende al número a es L. Para que el límite exista no se necesita que la función esté definida para el número a, basta que esté definida para valores muy cercanos.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el límite cuando x tiende a 3 de la función f(x)

x2 9 x 3

Solución La función no está definida para x 3, sin embargo, podemos evaluar la función en valores muy cercanos por la izquierda y por la derecha. Por otro lado graficaremos la función utilizando la simplificación: f (x)

( x 3)( x 3) x 3 x 3

es decir, graficamos la recta f (x) x 3 con la restricción x : 3 donde se formará un hueco.

x

f (x)

2.9

5.9

2.99

5.99

2.999

5.999

2.9999

5.9999

3.0001

6.0001

3.001

6.001

3.01

6.01

3.1

6.1

2

Se observa que para valores de x muy cercanos a 3 por la izquierda (2.9, 2.99, 2.999, 2.9999), f (x) tiende a 6, lo mismo pasa para valores cercanos por la derecha (3.0001, 3.001, 3.01, 3.1), es decir: lím f (x) 6

xl3

por tanto lím f (x) 6 xl3

1162

y

lím f (x) 6

xl3

CAPĂ?TULO CĂ LCULO DIFERENCIAL U LĂ­mites

2

2

[

3x 14 si x 2 Si f (x) x 2 si x 2 determina lĂ­m f (x) xl 2 SoluciĂłn Graficamos la funciĂłn y evaluamos en valores muy cercanos a 2. x

f (x)

2.1

7.7

2.01

7.97

2.001

7.997

1.999

3.999

1.99

3.99

1.9

3.9

2 2 2

AquĂ­ tenemos que: lĂ­m f(x) 8

y

xl 2

lĂ­m f (x) 4

xl2

entonces lĂ­m f (x) : lĂ­m f (x) por tanto lĂ­m f (x) no existe xl 2

3

xl2

xl 2

Determina lĂ­m Ul0

sen U U

SoluciĂłn Evaluamos con valores muy cercanos a 0 por la izquierda y por la derecha. Observe que la funciĂłn no estĂĄ definida en U 0 y que los valores serĂĄn tomados como radianes. U

f (U)

0.005

0.999995833

0.004

0.99999733

0.003

0.9999985

0.001

0.999999833

0.001

0.999999833

0.003

0.9999985

0.004

0.99999733

0.005

0.999995833

Tenemos: lĂ­m Ul0

entonces lĂ­m Ul 0

sen U 1 U

y

2

lĂ­m

Ul0

sen U 1 U

sen U sen U sen U lĂ­m 1 por tanto lĂ­m 1 Ul0 Ul 0 U U U

1163

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

4

Para la función f (x) mostrada en la figura determina: a) lím f (x) y b) lím f (x) xl1

xl3

Solución a) Calculamos los límites por la izquierda y derecha lím f (x) 4 y lím f (x) 4

xl1

xl1

los límites laterales son iguales por tanto lím f (x) 4 xl1

b) lím f (x) 4 y lím f (x) 3 xl3

xl3

los límites laterales son diferentes, por tanto lím f (x) no existe xl3

1164

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

EJERCICIO 15 Utilizando una tabla con valores muy cercanos al valor que tiende el límite, calcula:

1. lím ( x 2 3x 1) x l2

2. lím

x 3 x2 9

3. lím

x2 5x 6 x 2

4. lím

1 cos x x

5. lím

tan x sen x

x l3

xl2

x l0

x l0

La gráfica de una función f (x) es la siguiente:

2 2 2 2 2 2 2

De acuerdo con ella determina:

6. lím f ( x ) xl 5

7. lím f ( x ) xl 3

8. lím f ( x ) xl1

9. lím f ( x ) x l2

10. lím f ( x ) x l4

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1165

2

CAPĂ?TULO

2

MATEMĂ TICAS SIMPLIFICADAS

DeďŹ niciĂłn formal de lĂ­mite A continuaciĂłn se presenta la definiciĂłn formal de lĂ­mite, la cual tambiĂŠn es conocida como definiciĂłn E-D (epsilĂłn-delta). El lĂ­m f (x) L, si para todo E 0 existe un D 0, tal que: xl a

Si 0 U x a U D, entonces U f (x) L U E Dicho de otra forma, lĂ­m f (x) L, si para cualquier nĂşmero xl a positivo elegido E, por pequeĂąo que sea, existe un nĂşmero positivo D tal que, siempre que 0 U x a U D entonces U f(x) L U E

Y

y = f (x)

L+E E L E L–E D

D

a–D x=a a+D

X

La definiciĂłn nos dice que para lĂ­m f (x) L existe un nĂşmero D 0 lo suficientemente pequeĂąo para un nĂşmero xl a E 0 dado, tal que todo x en el intervalo (a D, a D) con excepciĂłn posiblemente del mismo a, tendrĂĄ su imagen f(x) en el intervalo (L E, L E). Observa que para un D1 D para el mismo E, la imagen de un valor x en el intervalo (a D1, a D1) estarĂĄ dentro del intervalo (L E, L E) lo cual sĂłlo cambia si tomamos un valor de epsilĂłn distinto.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Demuestra que lĂ­m (2x 1) 5 xl3

SoluciĂłn Para un E 0, se quiere encontrar un D 0 tal que siempre que 0 Ux 3U D entonces: U(2x 1) 5U E de donde U(2x 1) 5U U2x 6U U2(x 3)U U2U Ux 3U 2Ux 3U E entonces Ux 3U

E E E , por lo que basta escoger D para que 0 U x aU

2 2 2

ComprobaciĂłn Para 0 U x 3U

E tenemos que 2 Ux 3U

E 2

2Ux 3U E U2(x 3)U E U2x 6U E U(2x 1) 5U E

1166

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Demuestra que xlím l 1

x2 5x 6 7 x 1

Solución Si 0 Ux ( 1)U D entonces

x2 5x 6 ( 7 ) E x 1

de donde x2 5x 6 x2 5x 6 7x 7 x2 2 x 1 7 x 1 x 1 x 1

( x 1)2 Ux 1U Ux ( 1)U E x 1

por tanto se escoge D E

3

Si lím (2 3x) 1 y E 0.06, determina el valor de D. xl1

Solución Se aplica la definición y se obtiene: Si 0 Ux 1U < D, entonces U(2 3x) ( 1)U E, donde U3 3xU E U3U U1 xU E U1 xU

Pero U1 xU Ux 1U, por tanto, Ux 1U

E U3U

E y el valor de D está determinado por: 3 D

E 0.06 0.02 3 3

EJERCICIO 16 Demuestra los siguientes límites:

1. lím ( 3x 4 ) 10

6. lím1 (2 x 1) 0

xl 2

xl

2

2. lím 2 x 5 3

7. lím (1 3x ) 7

3. lím (5 x ) 8

8. lím

¤3 ³ 4. lím ¥ x 1 ´ 1 xl0 ¦4 µ

9. lím (2 a 3x ) 8 a

x l1

x l 2

x l 3

5. lím x l1

x l7

x 2 49 14 x 7

xl 2 a

x2 5x 4 3 x 1

11 ¤1 ³ 10. lím ¥ 3x ´ xl2 2 ¦2 µ

1167

2

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Obtén el valor de D o E en los siguientes ejercicios:

11. Si lím ( 3x 2 ) 5 y E 0.03, encuentra el valor de D xl 1

12. Si lím2 (5 x 1) 1 y E 0.4, determina el valor de D xl

5

13. Si lím (2 x 7 ) 7 y E 0.05, obtén el valor de D xl0

14. Si lím1 ( 3 2 x ) 2 y E 0.8, ¿cuál es el valor de D? xl

2

15. Si lím ( 3x 7 ) 1 y D 0.06, determina el valor de E xl 2

16. Si lím (2 7 x ) 5 y D 0.0014, obtén el valor de E x l1

17. Si lím1 (5 x 2 ) 3 y D 0.05, encuentra el valor de E xl

5

18. Si lím4 (2 x 1) xl

3

11 y D 0.001, ¿cuál es el valor de E? 3

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Teoremas Si f(x) y g(x) son funciones, c una constante y n número real, entonces: 1. lím c c xl a

2. lím x a xl a

3. lím c f (x) c lím f (x) xl a

xl a

4. lím [ f (x) g(x)] lím f (x) lím g(x) xl a

xl a

xl a

5. lím [ f (x) g(x)] lím f (x) lím g(x) xl a

6. lím xl a

xl a

xl a

lím f ( x ) f (x) xl a con lím g(x) : 0 xl a g( x ) lím g( x ) xl a

7. lím [ f (x)]n § lím f ( x ) ¶ ¨© xla ·¸ xl a

n

1168

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Límites por evaluación El límite se obtiene al aplicar los teoremas anteriores y evaluar el valor al cual tiende la variable en la función propuesta, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Utiliza los teoremas anteriores y comprueba que el lím ( x 2 3x 4 ) 6 xl2

Solución Se aplican los respectivos teoremas, se evalúa el valor de x 2, y se demuestra que:

2

lím ( x 2 3x 4 ) = lím x 2 lím 3x lím 4 = lím x 3 lím x lím 4 (2)2 3(2) 4 6 xl2

2

Si f (x)

xl 2

xl 2

xl 2

xl 2

xl 2

xl 2

3 2x , determina el valor de lím1 f (x) 3 2x xl 2

Solución Se aplican los teoremas y se sustituye el valor de x para obtener el valor buscado: ¤ 1³ lím1 3 2 x lím1 3 lím1 2 x lím1 3 2 lím1 x 3 2¥ ´ xl xl xl xl xl ¦ 2µ 3 2x 3 1 2 1 2 2 2 2 2 lím1 1 lím1 3 2 x lím1 3 lím1 2 x lím1 3 2 lím1 x 3 1 4 2 ¤ ³ xl 3 2 x 2 3 2¥ ´ xl xl xl xl xl ¦ 2µ 2 2 2 2 2 Estos teoremas nos permiten hacer una sustitución de la variable independiente por el valor al que tiende el límite.

3

Si f (x)

4 , encuentra el valor de lím f (x) xl2 x2 4

Solución Se sustituye el valor de la variable independiente y se obtiene el límite: lím f (x) lím xl 2

xl2

4 4 4 4 ( 2 )2 4 4 4 0 x2 4

El límite no existe, ya que la división entre cero no está definida.

4

Obtén el lím xl3

9 x2 2 x 1

Solución Se sustituye x 3 y se realizan las operaciones: lím xl3

9 x2 9 ( 3)2 9 9 0 0 2 x 1 2( 3) 1 6 1 7

1169

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 17 Determina el valor de los siguientes límites:

1. lím ( 7 2 x )

12. lím z l 1

2. lím 4 x 2 2 x 6

13. lím x l1

3. lím (6 3x )

14. lím1

x l2

xl3

xl 4

zl

2

4z 3 2z 1 x2 3 4 x 5

3z 1 2z 5

4. lím 8 t 3

x2 9 15. lím x l3 3 x 1

5. lím 7 z 2 14 z 7

16. lím yl1

2 y2 3 y 1

6. lím x 2 8 4 x 8

17. límP

sen x 1 2

t l 2

z l2

xl4

xl

2

cos 2 x 2

¤3 ³ 7. lím (6 3x ) ¥ x 1 ´ xl 3 ¦5 µ

18. límP

1³ ¤ 1³ ¤ 8. lím1 ¥ x 2 ´ ¥ x ´ 9µ ¦ 3µ xl ¦

19. lím

( x 1)2 x 2 x 1

4³ ¤ 2 1 ³¤ 9. lím ¥ ´ ¥ r 2 ´ rl4 rµ ¦ r 2 µ¦

20. lím

x2 h2 x h

21. límP

tan x sen 2 x

xl

4

xl0

3

xlh

10. lím 4 y 2 2 y yl2

xl

6

2

11. lím ( 3 y ) y 9 yl 5

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Límites indeterminados Son aquellos cuyo resultado es de la forma

0 . 0

Ejemplos Se sustituye el valor de la variable independiente en cada caso y se realizan las respectivas operaciones, para obtener: 1.

( 3)2 9 9 9 0 x2 9 xl3 2 x 6 2( 3) 6 6 6 0

lím

2. lím

1 1 0 0 x 1 2 1 2 1 0 (1) 2(1) 1 x2 2x 1

3. lím

3(0 )2 5(0 )4 0 3y 2 5 y 4 2 4 2(0 )2 3(0 )4 0 2 y 3y

x l1

yl0

4.

lím x l2

x2 5 3 x 2

( 2 )2 5 3 2 2

9 3 0 0 0

1170

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

0 , por consiguiente es necesario eliminar la indeterminación. 0 Una indeterminación se elimina al factorizar o racionalizar (de ser posible) la función, para después simplificarla y obtener el límite. Casos de factorización: Se observa que los resultados son de la forma

a) Factor común

ax n bx n 1 x n 1 (ax b )

b) Diferencia de cuadrados

a 2 b 2 (a b )(a b )

c) Trinomio cuadrado perfecto

a 2 2 ab b 2 (a b )2

d) Trinomio de la forma

x 2 (a b ) x ab ( x a )( x b )

e) Suma o diferencia de cubos

a 3 b 3 (a b )(a 2 ab b 2 )

f ) Factorización de

g) Factorización de

h) Factorización de

3

3

5

a 3b

3

a 3b

3

a 5 b

5

a 3b

a 3b

a b 2

1

1

a 3 a 3b 3 b

2

3

a b 2

1

1

a a 3b 3 b 3

2

3

a b

a 5 b

4

3

1

2

2

1

3

a a b a 5b 5 a 5b 5 b i) Factorización de

n

a n b

n

5

5

5

4

5

a b

a n b a

n 1 n

a

n 2 n

1 n

b a

n 3 n

2

1

b n . . . a nb

n 2 n

b

n 1 n

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén el lím x l0

3x 2 5 x 4 2x 6x4 7x8 2

Solución Al sustituir x con 0 en la función, el límite se indetermina: lím x l0

0 3x 2 5 x 4 3(0 )2 5(0 )4 4 8 0 2x 6x 7x 2 ( 0 )2 6 ( 0 ) 4 7 ( 0 )8 2

Para eliminar la indeterminación se factorizan el numerador y el denominador con la aplicación del factor común: x 2 (3 5 x 2 ) 3x 2 5 x 4 2 4 8 x (2 6 x 2 7 x 6 ) 2x 6x 7x 2

Al simplificar la expresión se obtiene: 3 5x2 2 6x2 7x6 Luego el límite es: lím x l0

3 3x 2 5 x 4 3 5x2 3 5 ( 0 )2 lím 4 8 2 6 x l0 2 6 x 7 x 2 2x 6x 7x 2 6 ( 0 )2 7 ( 0 )6 2

Por tanto, lím x l0

3x 2 5 x 4 3 2x 6x4 7x8 2 2

1171

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2

4 x2 xl 2 x 2

Determina el lím Solución

Se sustituye el valor de x 2 en la expresión: 4 ( 2 )2 4 4 0 4 x2 xl 2 x 2 2 2 2 2 0 lím

Se factoriza el numerador con la aplicación de la diferencia de cuadrados: 4 x 2 (2 x )(2 x ) Se simplifica y sustituye para obtener, lím

x l 2

4 x2 (2 x )(2 x ) lím lím (2 x ) 2 ( 2) 4 x l 2 x l 2 x 2 x 2

Por consiguiente: 4 x2 4 x l 2 x 2 lím

3

Calcula el valor del lím yl1

y2 2 y 1 y2 4 y 3

Solución Al sustituir y 1 se verifica que existe la indeterminación: lím yl1

1 2 1 0 y2 2 y 1 (1)2 2(1) 1 2 1 4 3 0 y 4y 3 (1)2 4 (1) 3

Al factorizar el numerador (trinomio cuadrado perfecto) y el denominador (trinomio de la forma x 2 (a b)x ab), se obtiene: lím yl1

1 1 0 y 1 y2 2 y 1 ( y 1)2 lím lím 0 2 y l 1 y l1 1 3 2 y 3 y 4y 3 ( y 3)( y 1)

Finalmente, el resultado es: lím yl1

4

Determina el lím x l2

y2 2 y 1 0 y2 4 y 3

x3 8 2 x 3x 2 2

Solución Al sustituir x 2 se observa que existe la indeterminación: lím x l2

8 8 0 x3 8 (2 )3 8 8 6 2 0 2 x 3x 2 2(2 )2 3(2 ) 2 2

Se factoriza la diferencia de cubos y el trinomio de la forma ax 2 bx c. x 3 8 ( x 2 )( x 2 2 x 4 ),

1172

2 x 2 3x 2 ( x 2 )(2 x 1)

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Se simplifica, se sustituye y se obtiene el valor del límite: ( 2 )2 2 ( 2 ) 4 12 x2 2x 4 x3 8 ( x 2 )( x 2 2 x 4 ) lím lím xl 2 2 x 3x 2 xl 2 xl 2 2(2 ) 1 5 2 x 1 ( x 2 )(2 x 1)

lím

2

Por tanto: lím x l2

5

Calcula el valor del lím x l2

12 x3 8 5 2 x 3x 2 2

x2 4 3 x 7

Solución Se sustituye x 2 en la función: lím x l2

( 2 )2 4 4 4 0 x2 4 3 3 0 3 2 7 3 x 7

Se racionaliza el denominador de la función, multiplicando por 3 x 7 , que es el conjugado de la expresión 3 x 7 :

(x 2 4) 3 x 7 3 x 7 x2 4 2 3 x 7 3 x 7 ( 3)2 x 7

(x2 4) 3 x 7 9 ( x 7)

(x

2

4) 3 x 7 2 x

Se factoriza x 2 4:

(x2 4) 3 x 7 2 x

( x 2)( x 2) 3 2 x

x 7

(2 x)( x 2) 3

x 7

2 x

Se simplifica la expresión,

(2 x )( x 2 ) 3 x 7 2 x

( x 2 ) 3 x 7

Se calcula el valor del límite: lím x l2

x2 4 lím §© ( x 2 ) 3 x 7 ¶¸ (2 2 ) 3 2 7 4 3 3 24 xl 2 3 x 7

Por consiguiente, el resultado es: x2 4 24 x l2 3 x 7

lím

1173

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

6

3

Determina lím xl2

x 32 x 2 3

Solución

lím xl 2

x 32 1 lím xl 2 x 2 x 2 lím xl2

lím xl2

3

Por tanto lím xl2

3

x 32

x 2 1 x 2 x2 3 x 13 2 13 22 3 1 2

1

1

x 3 x 32 3 2

2

3

1 2

1

1

2 2 2 3 2 3

3

2

3

1 2

2

2 2 3 2 3

2

3

1 3 2

2

3

1 3 3 22 1 334

x 32 1 3 x 2 3 4

EJERCICIO 18 Determina el valor de los siguientes límites:

1. lím

3x 2 x 2 5x 6x3

8. lím

y h h2 y2

2. lím

2h 3 5h2 h h4 h2

9. lím

x2 2x 4 x2

3. lím

4y 5 5y 3 y4 y2

10. lím

a2 w2 a w

4. lím

ax 2 bx 3 cx 2 dx 3

11. lím

z 2 5 z 14 z 7

5. lím

5 x n 3x n 1 4 x n 2 2 x n 6 x n 2

12. lím

x2 6x 9 x 2 7 x 12

6. lím

z 1 z2 1

13. lím

h 1 h 4h 3

7. lím2

9x2 4 3x 2

14. lím

x l0

hl0

yl 0

xl0

x l0

z l1

xl

3

yl h

x l2

wl a

z l7

x l 3

h l1

x l 5

1174

2

x 2 25 x 2 x 15 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

v2 6v 8 2v2 8v

15. lím vl 4

33. lím x l1

x 3 2 1 3x 2 x2 9 5

2

x 8 x 15 x 2 7 x 12

16. lím xl3

34. lím

x 5 3

x l4

2

a w2 a2

4h 4h 3 2h 1

35. lím

3x 2 3x 2 11x 6

36. lím

y n p y p

9w2 9w 4 3w 2 7 w 4

37. lím

4 2v v2 2 v

20. lím

2 y 2 15 y 18 3y 2 17 y 6

38. lím

x3 7x 6 x x2 4 x 4

21. lím

2 x 2 13x 15 x 2 x 20

39. lím

x 3 x2 x 1 x2 4 x 3

22. lím1

9 x2 1 6 x2 5 x 1

40. lím

x 4 2 x 3 11x 2 12 x 36 x3 2x2 x 2

23. lím

y 1 y3 1

41. lím

x3 x2 4 x 4 x 3 6 x 2 5 x 12

24. lím1

8h 3 1 1 2h

42. lím

y 3 6 y 2 12 y 8 y 4 4 y 3 16 y 16

27 x 3 8 9x2 4

43. lím

17. lím1 hl

2

18. lím2 xl

3

19. lím4 w l

3

yl6

x l5

x l

3

yl 1

hl

2

25. lím2 xl

3

26. lím

w l 2

27. lím1 xl

4

w l0

n yl p

vl0

x l2

xl 1

x l2

xl1

yl2

x l1

w2 5w 6 w3 8

xla

64 x 3 1 4 x3 x2

xl

y 2 y 3 1

47. lím

30. lím

w w 3 3

48. lím

31. lím1

4 x2 3 2 2 x 1

49. lím

x 5 x 5

50. lím

2

32. lím x l5

3

9x2 4 2 3x 2

4

y3 8 2 y y 2

4

x h 4 x

3

29. lím

xl

x 3a x2 a2

45. lím2 46. lím

w l0

3x 5 2 x 1

3

44. lím

x 3 2 x 1

yl 2

3

3

28. lím xl1

b w2 b2

yl2

x h x

h l0

x 7 3 4 x 19 x 2

x l2

x l2

x l 1

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1175

3

x 6 2

3

x 1 1

5

2 x 3 1 x5 1

2

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Límites cuando x tiende al infinito Sea una función f definida en el intervalo (a, @). Si se tiene que: lím f ( x ) L x lc

entonces significa que los valores de f(x) se aproximan a L tanto como se quiera para una x lo suficientemente grande, sabemos que @ no es un número, sin embargo, se acostumbra decir “el límite de f(x), cuando x tiende al infinito, es L ”. Cuando en una función x 3 @, se busca la base de mayor exponente y ésta divide a cada uno de los términos de la función, después, para obtener el valor del límite, se aplica el siguiente límite: lím

xl @

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra el lím

x l@

c 0 , con c constante xn

2 x 2 3x 4 6 x2 2 x 1

Solución La base del término con mayor exponente es x 2, por consiguiente, todos los términos del numerador y del denominador se dividen entre esta base: 2 x 2 3x 4 2 2 2 2 x 3x 4 x lím 2 lím x 2 x x l@ 6 x 2 x 1 x l@ 6 x 2x 1 x2 x2 x2 2

Se simplifica y aplica el teorema para obtener el límite, 3 4 3 4 2 2 lím 2 lím lím 2 2 0 0 2 1 xl @ xl @ x xl @ x x x lím x l@ 2 1 2 1 6 0 0 6 3 6 2 lím 6 lím lím 2 xl @ xl @ x xl@ x x x Por consiguiente, lím

x l@

2

Determina el lím

xl@

1 2 x 2 3x 4 2 3 6 x 2 x 1

9 x 2 5 2 x 3

Solución La base del término con mayor exponente es x, por tanto, se dividen los términos entre esta base y se simplifica la expresión para obtener el valor del límite. 9x2 5 5 9x2 5 9 2 2 9x 5 x x x lím lím lím lím x l@ 2 x 3 x l@ x l@ xl@ 2x 3 3 3 2 2 x x x 2

9 0 9 3 2 0 2 2

1176

5 x2 3 lím 2 lím xl @ xl @ x lím 9 lím xl @

xl @

CAPĂ?TULO CĂ LCULO DIFERENCIAL U LĂ­mites

3

Determina el resultado de lĂ­m

x l@

3x 2 x3 2

SoluciĂłn Se dividen todos los tĂŠrminos entre x 3, se simplifica y se obtiene el valor del lĂ­mite. 3x 2 3 2 3 2 3 3 lĂ­m 2 lĂ­m 3 3 2 3x 2 0 0 0 xl @ x xl @ x x x x x 0 lĂ­m 3 lĂ­m 3 lĂ­m x l@ x 2 x l@ x x l@ 2 2 2 1 0 1 1 3 lĂ­m 1 lĂ­m 3 3 3 xl @ x xl @ x x x Finalmente: lĂ­m

xl@

3x 2 0 x3 2

Si observamos la grĂĄfica de la funciĂłn exponencial f(x) e x, tenemos que cuando x 3 @, f(x) tiende a cero.

5

2

2

2 entonces lĂ­m f ( x ) lĂ­m e x 0 x l c

x l c

esto cumple tambiĂŠn cuando tenemos la funciĂłn g(x) a x para a 0, es decir lĂ­m a x 0 para a 0

xl c

Por otro lado, si tenemos f (x) e x, tenemos que cuando x 3 @, f(x) se aproxima a cero. 5 2

2

2 2

x

entonces lĂ­m e 0 x lc

TambiĂŠn se cumple lĂ­m a x 0 para a 0 x lc

1177

2

CAPĂ?TULO

2

MATEMĂ TICAS SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 19 ObtĂŠn los siguientes lĂ­mites:

1. lĂ­m

x l@

7x 8 4x 3

h l@

2 y 2 3y 5 yl@ y 2 5 y 2

2. lĂ­m

3. lĂ­m

w l@

4. lĂ­m

hl@

11. lĂ­m

xl @

3w 2 5 w 2 5w 3 4 w2 1 4

x l@

3

6. lĂ­m

x l@

2

9. lĂ­m

( 3x 2 )( 3x 1) (2 x 7 )( x 2 )

18 x 2 3x 2 2x2 5

14. lĂ­m

2 x 2 x 2 x 2 x

x3 2x2 3 2 x 1

15. lĂ­m

xl @

xl @

x2 5x 3 x 4 2 x2 1

xl @

16. lĂ­m

am x m ... a1 x a0 bn x n ... a1 x b0

17. lĂ­m

ax n bx m con n m cx n dx m

x l@

2 x 1 3x 2 x 2 4

vl@ 3

x 4

13. lĂ­m

2 3y 4 y3 7. lĂ­m yl@ 5 9 y4 2 3 y

x l@

x 2

xl @

3

8. lĂ­m

11x 6 4 6x

12. lĂ­m

5h 2h 3 3h 3 2 h 2 h

5. lĂ­m

h2 4 h2 4 h

10. lĂ­m

x l@

v2 1

n

18. lĂ­m

3

x l@

v 3

ax n 1 x

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente AsĂ­ntotas horizontales Sea la funciĂłn y f (x), si la curva tiene una asĂ­ntota horizontal en y c, entonces la ecuaciĂłn de la asĂ­ntota es: y lĂ­m f ( x ) o y lĂ­m f ( x ) x l@

x l @

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la ecuaciĂłn de la asĂ­ntota horizontal de f(x)

3x 1 2x 3

SoluciĂłn Al aplicar y lĂ­m f ( x ) , se obtiene: x l@

3x 1 1 3 3x 1 x x 3 y lĂ­m lĂ­m lĂ­m x l@ 2 x 3 x l@ 2 x 3 x l@ 3 2 2 x x Por tanto, la curva tiene una asĂ­ntota horizontal en y

1178

3 o 2y 3 0 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Determina la ecuación de la asíntota horizontal de y

x x2 1

Solución Se aplica y lím f (x), entonces la asíntota horizontal tiene por ecuación: xl@

y lím

x l@

x 1 0 x x2 x lím lím 0 x l@ x 2 x l@ 1 1 1 x2 1 1 x2 x2 x2

El resultado y 0 indica que la asíntota horizontal es el eje X.

3

Obtén la ecuación de la asíntota horizontal de f(x)

x2 1 x 3

Solución Se aplica la definición y lím f (x) y se obtiene: xl@

1 x2 1 1 2 2 x 1 1 x x y lím lím lím xlc x 3 xlc x 3 xlc 1 3 0 2 x2 x x 2

El límite no existe ya que la división entre cero no está definida. El resultado indica que la curva no tiene asíntotas horizontales.

EJERCICIO 20 Encuentra las ecuaciones de las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:

1. y

2x 3 4x 5

6. y

ax b cx d

2. f(x)

1 x

7. f (x)

3. f (x)

x2 4 5

8. xy 2x 1 0

4. y

5. f (x)

x2 3 x

2 x 2

9. f (x) 2x 5

2 x 3 3x 2 3x 1 x3 1

10. f(x)

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1179

ax n a1 x n 1 ... an bx n b1 x n 1 ... bn

2

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Asíntotas oblicuas Se le denomina asíntota oblicua a aquella recta cuyo ángulo de inclinación U es diferente de 0 y 90 .

Caso I

Q( x ) donde el grado de Q (x) es un grado mayor que el grado P( x ) de P(x) y P(x) no es factor de Q(x), entonces f (x) tiene una asíntota oblicua en la recta y ax b siendo R( x ) f(x) ax b si se cumple alguna de las siguientes condiciones: P( x )

Sea una función racional de la forma f (x)

lím ; f ( x ) (ax b )= 0 o lím ; f ( x ) (ax b )= 0

xl @

xl @

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de la función f (x)

x2 2 x 1

Solución La función no tiene asíntotas horizontales, pero sí posee una asíntota vertical en x 1 El grado del numerador es un grado mayor que el grado del denominador y éste no es factor del numerador, entonces: 3 f (x) x 1 x 1 Para obtener la asíntota oblicua se aplica cualquiera de las dos condiciones: lím ; f ( x ) (ax b )= lím ; f ( x ) ( x 1)=

xl @

xl @

3 Pero f (x) (x 1) , por tanto: x 1 3 3 ¤ 3 ³ x x lím lím lím xl @ ¥ xl @ x 1 xl @ x 1 ¦ x 1 ´µ x x x

0 0 1 0

La función tiene una asíntota oblicua en la recta y x 1

Y

y = f (x)

x=–1

X

y=x–1

1180

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Obtén las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de la función f (x)

2

x3 1 x2 1

Solución La función carece de asíntotas verticales y horizontales, para obtener las asíntotas oblicuas la función se representa de la siguiente forma: 1 x f(x) x 2 x 1 Para comprobar que y x es la ecuación de la asíntota oblicua, se aplica la definición: § x3 1 ¶ ¤ 1 x ³ lím ; f ( x ) (ax b )= lím ; f ( x ) x = lím ¨ 2 x · lím ¥ 2 ´ xl @ xl @ xl @ x 1 xl @ ¦ x 1 µ © ¸ Se obtiene el límite: ¤ ¥ ¤ 1 x ³ lím ¥ ´ xlím ¥ xl @ ¦ x 2 1 µ l @ ¥ ¦

1 x ³ 1³ ¤ 1 2´ x2 x lím ¥ x 2 x´ 0 0 0 x2 1 ´´ xl @ ¥ 1 1 ´ 1 0 ¥¦ ´ 2 x2 µ x2 x µ

Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en y x

Y y= x

X

y = f (x)

Q( x ) donde el grado de Q (x) es un grado P( x ) mayor que el de P (x) y P (x) no es factor de Q (x), entonces f (x) tiene una asíntota oblicua en la recta y ax b, cuyos valores de a y b están dados por: Analicemos otro método; sea una función racional de la forma f (x)

a lím

xlc

f (x) y b lím ; f ( x ) ax = xlc x

1181

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Ejemplo Obtén las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de f (x)

x2 x 3 x

Solución La función tiene una asíntota vertical en x 0 y no tiene asíntota horizontal, para obtener la ecuación de la asíntota oblicua se aplican los límites anteriores: ¤ x2 x 3³ ¥¦ ´µ ¤ x2 x 3³ x f (x) 1 3³ ¤ a lím lím lím ¥ ¥ 1 2 ´µ 1 ´µ lím xl @ xl @ xl @ ¦ xl @ ¦ x x x2 x x § x2 x 3 ¶ § x2 x 3 x2 ¶ 3³ ¤ x · lím ¨ ¥ 1 ´µ 1 · lím x l @ x x x © ¸ © ¸ xl @ ¦

b lím ; f ( x ) x = lím ¨ xl @

xl @

Se sustituyen a y b en la ecuación y ax b, por tanto, la asíntota es: y x 1 Gráfica

Y y = x +1 y = f (x)

X

x=0

Caso II

Q( x ) donde el grado de Q (x) es mayor que uno y mayor al grado de P(x), la función tiene P( x ) una asíntota oblicua no lineal. Sea una función f(x)

Ejemplo Determina las ecuaciones de las asíntotas de la función f(x)

x 4 1 x2

Solución Esta función tiene una asíntota vertical en x 0 Se realiza el cociente y el resultado es: f (x) x2

1 x2

Entonces: ¤ 1³ lím ¥ 2 ´ 0 xl @ ¦ x µ

1182

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Por consiguiente, la función tiene una asíntota cuya ecuación es y x 2

Y

y = f(x)

y = x2 X

x=0

EJERCICIO 21 De las siguientes funciones determina las ecuaciones de las asíntotas y traza sus gráficas:

1. f ( x )

x2 x 1 x 2

4.

f (x)

x2 2 x 2

7.

f (x)

2. f ( x )

1 x2 x 3

5.

f (x)

x4 x3 1

8.

f (x)

4 x2 4 x 5 2x 1

6.

x5 x 1

9.

3. f ( x )

f (x)

x 3 3x 2 1 x 1

( x 3 3x 2 )

4

f (x)

1 3

x5 1 x2 1

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Límites laterales Límite por la derecha Sea f(x) una función definida en el intervalo abierto (xo, b), el límite de f(x) cuando x se aproxima a xo por la derecha es L y se representa: lím f (x) L x l xo

Lo anterior denota que f (x) se aproxima a L cuando x tiende a aproximarse con valores mayores que xo

Límite por la izquierda Sea una función definida en el intervalo abierto (a, xo), el límite de f (x) cuando x se aproxima a xo, por la izquierda es L y se representa: lím f (x) L

xl xo

Lo anterior denota que f (x) se aproxima a L cuando x tiende a aproximarse con valores menores que xo

Teorema El límite cuando x 3 xo de una función f (x), existe y es igual a L, si y solo si los límites laterales son iguales a L, es decir lím f (x) L

x l xo

1183

lím f (x) lím f (x) L

xl xo

x l xo

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

ª2 x 3 si x 2 Determina el lím f (x) si f (x) « 2 xl2 ¬5 x si x 2 Solución Se calculan los límites laterales: lím f (x) lím (2x 3) 2(2) 3 1

xl2

xl2

lím f (x) lím (5 x 2) 5 (2)2 5 4 1

xl2

xl2

lím f (x) lím f (x) 1

xl2

xl2

Por consiguiente el lím f (x) 1 xl2

Y

x=2

f (x) = 2x –3

2

X

f (x) = 5–x2

­ª 9 x 2 si x 0 Calcula el lím f (x) si f (x) « xl0 ¬­2 x 1 si x 0 Solución Se obtienen los límites laterales: lím f (x) lím 9 x 2 9 (0 )2 3

xl0

xl0

lím f (x) lím (2 x 1) 2(0 ) 1 1

xl0

xl0

Dado que, lím f(x) : lím f (x), entonces el lím f (x) no existe. xl0

xl0

xl0

La existencia de un límite lateral no implica la existencia del otro (ejemplo anterior). Cuando f(x) está definida de un solo lado, entonces el lím f (x) es igual al límite lateral de dicho lado. x l xo

1184

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

3

¿Cuál es el lím f (x) si f (x) xl2

2

4 x2 ?

Solución Esta función está definida en el intervalo 2 x 2, por tanto, los valores de x tienden únicamente a 2 por la izquierda, entonces el valor del límite es: lím f (x) lím f (x) lím 4 x 2 xl2

xl2

xl2

4 ( 2 )2 0

lím f (x) 0 xl2

Y

f (x) = 4 − x 2

–2

2

X

EJERCICIO 22 Para las siguientes funciones, determina el valor de los límites indicados:

ªx2 si x 3 1. Si f (x) « ¬2 x 5 si x 3

a) lím f (x), b) lím f (x), c) lím f (x) xl3

xl3

xl3

a) lím g( x ) , b) lím g( x ) , c) lím g( x ) ,

ª x 1 si x 2 ­ 2 2. Si g (x) « x 5 si 2 x 1 ­¬ 6 si x 1

xl 2

xl 2

xl 2

d) lím g( x ) , e) lím g( x ) , f) lím g( x ) xl1

ª ­ x 3 si x 1 ­­ 1 3. Si h(x) « 1 si 1 x 3 ­ x2 ­ x 11 si 3 x ­¬ 3

xl1

xl1

a) lím h( x ) , b) lím h( x ) , c) lím h( x ) , xl1

xl1

xl1

d) lím h( x ) , e) lím h( x ) , f) lím h( x ) xl 3

ª 2x si 1 x 2 ­ 4. Si f (x) « x 1 ­x2 si 2 x 4 ¬

xl 3

xl3

a) lím f ( x ) , b) lím f ( x ) , c) lím f ( x ) , xl 1

xl 2

xl 2

d) lím f ( x ) , e) lím f ( x ) xl2

xl 4

2

ªx 4 ­ x 2 si x 2 ­ si 2 x 4 5. Si f (x) «2 x ­ x 5 si x 4 ­ ¬

a) lím f ( x ) , b) lím f ( x ) , c) lím f ( x ) , xl 2

xl 2

xl2

d) lím f ( x ) , e) lím f ( x ) , f) lím f ( x ) xl 4

1185

xl 4

xl4

2

CAPĂ?TULO MATEMĂ TICAS SIMPLIFICADAS

ª x 2 3x 10 si x 2 ­­ x 2 6. Si f (x)  ­ 3 2 2 x si x 2 ­ x 5

lĂ­m f (x)

xl 2

P ÂŞ si U

­sen U 2 7. Si h (U)  P ­ cos 2 U si U 2 

lĂ­mP h (U)

ÂŞ 3e x si x 0 8. Si g (x) ÂŤ 3 7 log( x 1 ) si x 0 ÂŹ

lĂ­m g (x)

ª 4 3 sen x si x P ­­ 3 cos x 5 si x P 9. Si w (x)  ­1 log ¤¼ sen x ³´ Œ ­ 2¾

lĂ­m w (x)

Ul

2

xl0

xlP

­ªsen x cos x si x 0 10. Si f (x)  2 si x 0 ­ 4 x

lĂ­m f (x) xl0

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente LĂ­mites de funciones trigonomĂŠtricas A continuaciĂłn se muestra la tabla de valores de las funciones trigonomĂŠtricas de los ĂĄngulos notables, asĂ­ como los P 3P ĂĄngulos de 0, , P, y 2P 2 2

0

P 6

P 4

Seno

0

1 2

2

Coseno

1

Tangente

0

Ă ngulos en radianes

Cotangente

Secante

Cosecante

No existe

1

No existe

3 2 3 3 3 2 3 3 2

2

P 3 3 2

P 2

P

3P 2

2P

1

0

1

0

2

1 2

0

1

0

1

1

3

No existe

0

No existe

0

0

No existe

0

No existe

No existe

1

No existe

1

1

No existe

1

No existe

2

1

2

2

1186

3 3 2 2 3 3

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra el valor del límP sen 2x xl

4

Solución Se sustituye el valor de x

P en la función: 4 P ¤ P³ límP sen 2x sen 2 ¥ ´ sen 1 ¦ µ 4 2 xl 4

Por consiguiente, el valor del límite es 1.

2

¿Cuál es el valor del lím xl0

sen 2 x 3 cos 2 x ? 1 x

Solución Al sustituir x 0, se obtiene: lím xl0

Por tanto, lím xl0

3

sen 2 x 3 cos 2 x sen 2(0) 3 cos 2(0 ) sen 0 3 cos 0 0 3(1) 3 1 x 1 0 1 1

sen 2 x 3 cos 2 x 3 1 x

x tan cos 2 x 2 Obtén límP sen x 1 xl 2

Solución P ¤ P³ P x tan 2 cos 2 ¥ ´ tan cos P 1 ( 1) 2 tan cos 2 x ¦ 2µ 2 4 2 1 límP P 1 1 1 1 2 sen x 1 xl sen 1 2 2 Por consiguiente, el valor del límite es 1.

EJERCICIO 23 Calcula los siguientes límites:

1. 2.

¤ cos 3x ³ lím ¥ xl 0 ¦ x 3 ´ µ

6. lím

límP (sen U cos U )

7. límP

Ql

3.

hl

6

A ¤ ³ lím ¥ 2 sen cos A ´ Al P ¦ µ 2

8.

4. 5.

P³ P³ ¤ ¤ límP sen ¥ x ´ cos ¥ x ´ ¦ µ ¦ 4 4µ xl

3

tan h sen 2 h 1

lím3P xl

4

sen x cos x sen x cos x

sec 2 w wlP 1 sen 2 w

2

tan w 1 lím 2 wl0 tan w 1

4 cos x sen x cos x

xl0

9. lím

sen B cos B tan B 3 Bl 3

10. límP

2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1187

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Límites trigonométricos indeterminados Para evitar la indeterminación en un límite de funciones trigonométricas, se transforma la función utilizando identidades trigonométricas, en ocasiones con esto es suficiente, también se puede simplificar hasta obtener una expresión de la siguiente forma: sen x 1 cos x cos x 1 , o x x x y utilizar los siguientes teoremas: lím vl0

sen v 1; v

lím vl 0

1 cos v cos v 1 0 lím vl 0 v v

A continuación se da una lista de las identidades que se pueden utilizar. Identidades trigonométricas fundamentales

Funciones del ángulo doble

tan A

sen A cos A

sen 2A 2 sen A cos A

cot A

cos A sen A

cos 2A cos2 A sen2 A 64748 64748 64748

sen A

1 csc A

cos 2A 2 sen2 A 1

csc A

1 sen A

cos 2A 1 2 cos2 A

cos A

1 sec A

tan 2A

sec A

1 cos A

tan A

1 cot A

sen(A B) sen A cos B sen B cos A

cot A

1 tan A

cos(A B) cos A cos B sen A sen B

sen A csc A 1

cos A sec A 1

tan A cot A 1

sen2

A

cos2

64748

2

2 tan A 1 tan2 A

Funciones de suma o diferencia de ángulos

Transformaciones de sumas o restas de funciones trigonométricas a producto

sen2 A 1 cos2 A

A 1

sen A sen B 2 sen ;

A B A B < cos ; < 2 2

1 tan2 A sec2 A

sen A sen B 2 cos ;

A B A B < sen ; < 2 2

1 cot2 A csc2 A

cos A cos B 2 cos ;

A B A B < cos ; < 2 2

cos2 A 1 sen2 A

cos A cos B 2 sen ;

1188

A B A B < sen ; < 2 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el límP Ul

4

1 tan U sen U cos U

Solución Se sustituye U

P , resultando: 4 P 1 tan 1 tan U 1 1 0 4 límP P P 0 2 2 Ul sen U cos U sen cos 4 4 4 2 2

Para eliminar la indeterminación, se aplican las identidades trigonométricas con el fin de obtener una expresión equivalente que no se indetermine: sen U cos U sen U 1 1 1 tan U cos U sen U cos U cos U sen U cos U cos U cos U sen U sen U cos U cos U(cos U sen U ) Se calcula el valor del límite: ¤ 2 1 tan U 1 ³ 1 1 límP ¥ 2 ´ P U sen cos cos U U µ 2 2 Ul Ul ¦ cos 4 4 4 2 límP

Por consiguiente, límP Ul

2

Calcula el lím wl0

4

1 tan U 2 sen U cos U

cos w cos 2 w sen 2 w

Solución Al evaluar el límite: lím wl0

1 1 0 cos w cos 2 w cos 0 cos 2(0 ) ( 0 )2 0 sen 2 w sen 2 (0 )

Se indetermina la función, por consiguiente, se transforma mediante identidades trigonométricas, como se ilustra: cos w cos 2 w cos w (cos 2 w sen 2 w ) cos w cos 2 w sen 2 w lím lím 2 2 wl0 wl0 wl0 sen w sen w sen 2 w

lím

§ cos w (1 cos w ) ¶ § cos w (1 cos w ) sen 2 w ¶ § cos w (1 cos w ) sen 2 w ¶ lím ¨ lím ¨ 1· ¨ · · lím 2 2 2 2 wl 0 wl 0 wl 0 sen sen sen w w w 1 cos w © © ¸ ¸ © ¸

§ cos w (1 cos w ) ¶ § cos w ¶ lím ¨ 1· 1· lím ¨ wl 0 (1 cos w )(1 cos w ) wl 0 1 cos w © ¸ © ¸

Se aplica el límite: § cos w ¶ cos 0 1 1 3 lím ¨ 1· 1 1 1 wl 0 1 cos w 1 cos 0 1 1 2 2 © ¸ Finalmente, el valor del límite es

3 2

1189

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

3

Obtén el lím xl0

2 sen 3x x

Solución Para que lím xl0

sen v 2 sen 3x adopte la forma lím , se multiplica por 3 tanto el numerador como el denominador vl0 x v lím xl 0

Por tanto, lím xl0

4

sen 3x 2 sen 3x 3 6 sen 3x lím 6 lím 6(1) 6 xl0 xl 0 3x x 3 3x

2 sen 3x 6 x

¿Cuál es el valor del lím yl0

cos ay cos by ? y2

Solución Se sustituye y 0 en la función: lím yl0

cos ay cos by cos a(0 ) cos b(0 ) 1 1 0 y2 ( 0 )2 0 0

Se transforma la diferencia de cosenos en producto, (a b ) y (a b ) y ¤ ay by ³ ¤ ay by ³ cos ay cos by 2 sen ¥ sen ¥ 2 sen sen ¦ 2 ´µ ¦ 2 ´µ 2 2 Entonces: 2 sen cos ay cos by lím 2 yl0 yl0 y

lím

(a b ) y (a b ) y sen 2 2 y2

(a b ) y (a b ) y ¶ § sen · ¨ sen 2 2 2 lím ¨ · yl 0 y y ¨ · ¸ ©

sen

2 lím yl 0

sen

(a b ) y (a b ) y sen 2 2 lím yl 0 y y (a b ) y (a b ) (a b ) y (a b ) sen 2 2 2 lím 2 ( a b ) yl 0 (a b ) y y 2 2

2 lím

(a b ) y (a b ) y sen sen 2(a b ) (a b ) 2 2 lím lím yl 0 (a b ) y 2 2 yl 0 ( a b ) y 2 2

2(a b ) (a b ) (1) (1) 2 2

2(a 2 b 2 ) b2 a2 = 2 4

yl 0

Por tanto, lím yl0

cos ay cos by b2 a2 2 2 y

1190

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

5

Determina el valor de lím xl0

1 ( x 1)cos x 4x

Solución Se evalúa la función para x 0 lím xl0

1 ( x 1)cos x 1 (0 1)cos(0 ) 1 ( 1)(1) 1 1 0 4x 4 (0 ) 4 (0 ) 0 0

Se transforma la expresión de la siguiente forma 1 ( x 1)cos x 1 x cos x cos x 1 cos x x cos x 4x 4x 4x 1 § 1 cos x x cos x ¶ ¨ 4© x x ·¸ 1 § 1 cos x ¶ ¨ cos x · 4© x ¸ entonces lím xl0

1 ( x 1)cos x 1 § 1 cos x ¶ lím ¨ cos x · xl 0 4 © 4x x ¸

1§ 1 cos x ¶ lím lím cos x · xl 0 4 ¨© xl0 x ¸

1 ; 0 1= 4

1 (1) 4

1 4

Por tanto lím xl0

1 ( x 1)cos x 1 4x 4

1191

2

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 24 Determina el valor de los siguientes límites:

1. lím

w2 cos w 1

11. lím

x 2 (a 2 b 2 ) cos ax cos bx

2. lím

sen 3U tan 4 U

12. lím

(sen x )m (sen 2 x )m

3. lím

cos x 1 sen 2 x

¤P ³ 13. límP ¥ U ´ tan U µ Ul ¦ 2

4. lím

2 sen A tan 2A A

¤ 1 1 ³ 14. lím ¥ wl 0 ¦ tan w sen w ´µ

5. lím

1 sec v v 2 sec v

15. lím

x3 2 tan x sen 2 x

6. límP

sen 2 U tan 3 U

16. lím

cos x 1 3x 3 csc 2 x

wl0

Ul0

xl0

Al 0

vl0

Ul

2

xl0

xl0

2

xl0

xl0

7. lím

(cos x 1)2 tan x

17. lím

8. límP

cos 2 w cos w sen w

18. lím

sec 2 w 1 w sec 2 w

tan x 1 sen x 1 sen x

19. lím

cos mx cos nx 2x2

tan( 3 A ) tan( 3 A ) Al0 sen( 3 A ) sen( 3 A )

20. lím

3 xl0

wl

9. lím xl0

4

sen 2 3x xl0 x2

wl0

xl0

cos 4 x cos 2 2 x xl0 x

10. lím

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1192

sim p l i fic a

mp li fi ca

Ma te

Ma te

s simplificad as U

s simplificad as U

ca emáti M at

s da

U

imp

ca

U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

atem

áticas simplificadas

U

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

s da

imp

En el cálculo infinitesimal se siguieron las líneas que le eran posibles con el sustento conceptual, como la existencia de funciones continuas.

UM

ca emáti M at

n el siglo XIX la matemática se apoyaba en la geometría y el álgebra para buscar sustento a sus afirmaciones.

ss ica át

ss ica át

Reseña

U Matemáti c as

Ma tem

ca

sim

s cada

s simplificada sU

ticas simplificada s temá U Ma tem

tica temá

E

3

plifi

Ma

Ma

HISTÓRICA

as tic

sim

das U Matemátic as lifica sim pli fic a

U

Matem ática das U a c fi s si pli

CONTINUIDAD

sim pli fic a

U

imp

CAPÍTULO s da

m

ss ca á ti

Ma tem

s da

m

im ss ca á ti

s U Matemáti cada cas plifi

as U

s da

U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

UM a t e má

Es cuando Weierstrass publica en 1872, gracias a su discípulo Paul Du Bois Reymond, su teorema sobre la existencia de funciones continuas que en algunos puntos no tenían derivada; las consecuencias de este teorema fueron de gran interés, en su época se decía que una función era continua si su gráfica se podía trazar sin despegar el lápiz del papel, aún en nuestra época esto da una idea informal de la continuidad de una función. Pero el resultado de Weierstrass mostró que se podía hablar de la continuidad en un lenguaje totalmente analítico, sin necesidad de recurrir a imágenes geométricas. Este lenguaje proporcionó la advertencia sobre lo peligroso que resultaba confiar demasiado en las conclusiones extraídas de un dibujo. Karl Weierstrass (1815-1897)

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Continuidad puntual Una función f (x) es continua en el punto xo 0 R si cumple con las siguientes condiciones: 1. f(xo ) está definida. 2. lím f (x) existe. x l xo

3. lím f (x) f (xo ). x l xo

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Verifica si f (x) x 2 1 es continua en xo 2 Solución Se deben verificar las tres condiciones: 1. f(2) (2)2 1 3, por tanto f (x) está definida para xo 2 2. Se calcula el valor de cada límite lateral: lím f (x) lím (x 2 1) (2)2 1 3

xl2

xl2

lím f (x) lím (x 2 1) (2)2 1 3

xl2

xl2

Entonces, lím f (x) sí existe y lím f(x) 3 xl2

xl2

3. Como lím f(x) 3 y f (2) 3, entonces lím f (x) f(2), por consiguiente, f(x) es continua en xo 2 xl2

xl2

Y

f (xo)

xo = 2

1194

X

CAPÍTULO CÁLCULO

2

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

[

2 x 3 si x 1 Determina si la función f (x) x si x 1 es continua en xo 1 Solución Se verifican las condiciones:

Y

1. f(1) (1) f(1) 1, la función está definida en xo 1 2. Se determinan los límites laterales: x=1

lím f(x) lím (2x 3) 2(1) 3 1

xl1

xl1

X

lím f(x) lím ( x) (1) 1

xl1

xl1

Por tanto, lím f(x) 1 xl1

f (x) = – x

f(x) = 2x – 3

3. Probar que el lím f (x) f (1) xl1

lím f (x) f (1) 1 xl1

Finalmente, es continua en xo 1

3

ªx2 si x 1 ­ Determina si la función f (x) «2 x 3 si 1 x 3 es continua en x 1 y x 3 ­¬ 3 si 3 x Solución Se verifican las condiciones para los puntos x 1 y x 3: 1. f (1) (1)2 1, la función está definida en xo 1 2. lím f(x) lím (2x 3) 2(1) 3 1; xl1

xl1

lím f(x) lím x2 (1)2 1

xl1

xl1

Debido a que el lím f(x) : lím f (x), entonces lím f (x) no existe. xl1

xl1

xl1

Por tanto, f (x) no es continua en xo 1

f(x) = x2

Se verifica la continuidad en xo 3

Y

1. f (3) 2(3) 3 3, la función está definida en xo 3 2. lím f(x) lím 3 3; lím f(x) lím (2x 3) 2(3) 3 3 xl3

xl3

xl3

f(x) = 3

xl3

Se concluye que, lím f(x) lím f(x)

xl3

xl3

Entonces, lím f(x) 3

f(x) = 2x – 3

xl3

3.

lím f(x) 3 y f (x) 3 entonces, lím f (x) f(3) xl3

xl3

Por consiguiente, f (x) es continua en xo 3

1195

X

CAPĂ?TULO

3

MATEMĂ TICAS

4

SIMPLIFICADAS

P ª ­sen x si x 2 P Es continua g(x)  P en xo 2 ­cos x si x 2  Solución Si se verifican los pasos se obtiene: P ¤ P³ 1. g ¼ ´ no estå definida, por tanto, la función no es continua en xo Œ 2¾ 2

Discontinuidad evitable o removible Sea f(x) una funciĂłn racional no continua en x x0, si mediante una simplificaciĂłn algebraica, f(x) se vuelve continua en x xo , entonces recibe el nombre de discontinuidad evitable o removible.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Verifica si es continua la funciĂłn f (x)

1 6x2 7x 2 en x 2 2x 1

SoluciĂłn 1. Se evalĂşa la funciĂłn en x

1 2 2

¤ 1³ ¤ 1³ 7 ¤ 1³ 3 7 6¼ ´ 7¼ ´ 2 6¼ ´ 2 2 Œ 2¾ Œ 4¾ 2 Œ 2¾ 0 ¤ 1³ 2 2 f¼ ´ Œ 2¾ 1 1 1 1 0 ¤ 1³ 2 ¼ ´ 1 Œ 2¾ 1 , lo cual implica que es discontinua en este punto; 2 sin embargo, se elimina la indeterminación mediante una simplificación algebraica. La función se indetermina o no estå definida para el valor de x

f (x)

6x2 7x 2 ( 3x 2 )(2 x 1) 1 3x 2; si x : 2 x 1 2 x 1 2

Esta simplificaciĂłn indica que la grĂĄfica es una lĂ­nea recta con discontinuidad evitable o removible en x

Y f (x) =

x=

6x 2 − 7x + 2 2x − 1

1 2

X

1196

1 2

CAPÍTULO CÁLCULO

2

Determina si la función f (x) =

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

x2 2x 3 es continua en x 3 y traza su gráfica. x2 5x 6

1. Se evalúa la función en x 3, f(3)

( 3)2 2( 3) 3 9 6 3 0 ( 3)2 5( 3) 6 9 15 6 0

La función no está definida en x 3, sin embargo, mediante una simplificación se puede eliminar la discontinuidad, f (x)

x2 2x 3 ( x 3)( x 1) x 1 , si x : 3 x2 5x 6 ( x 3)( x 2 ) x 2

La gráfica de esta función es una hipérbola con discontinuidad evitable o removible en x 3

Y

3

X

x=2

3

Determina el valor de k para que la función sea continua: f(x)

[

3x k , x 1 2 kx 3, x 1

Solución Se obtienen los límites laterales: lím f (x) lím (3x k) 3(1) k 3 k

xl1

xl1

lím f (x) lím (2kx 3) 2k(1) 3 2k 3

xl1

xl1

Para que el límite exista: lím f (x) lím f (x)

xl1

xl1

entonces:

3 k 2k 3 k 2k 3 3 3k 6 6 k 3 k 2

1197

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

por tanto, para que la función sea continua k 2, es decir la función se debe escribir: f (x)

[

3x 2, 4 x 3,

x 1 x 1

Comprobación Probemos que la función es continua en x 1 i) f(1) 4(1) 3 4 3 1 ii) lím f (x) lím (3x 2) 3(1) 2 3 2 1 xl1

xl1

lím f (x) lím (4x 3) 4(1) 3 4 3 1

xl1

xl1

lím f (x) lím f(x) 1

xl1 1

xl1

por tanto lím f(x) existe y lím f (x) 1 xl1

xl1

iii) f (1) lím f(x) 1 xl1

Por tanto f (x) es continua en x 1.

4

Determina los valores de a y b para que la función sea continua ªax 3 ­ f (x) « x 2 1 ­¬bx 1

x 2 2 x 3 x 3

Solución Se obtienen los límites laterales en x 2 lím f (x) lím (ax 3) a( 2) 3 2a 3

xl 2

xl 2

lím f (x) lím (x 2 1) ( 2)2 1 4 1 3

xl 2

xl 2

Para que el límite exista se debe cumplir: lím f (x) lím f (x)

xl 2

xl 2

Entonces:

2a 3 3 2a 3 3 2a 6 6 a 2 a 3

Por tanto a 3 Se obtienen los límites laterales en x 3 lím f (x) lím (bx 1) b(3) 1 3b 1

xl3

xl3

lím f (x) lím (x 2 1) (3)2 1 9 1 8

xl3

xl3

lím f (x) lím f (x)

xl3

xl3

1198

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

entonces 3b 1 8 3b 8 1 3b 7 b Por lo tanto b

7 3

7 3

EJERCICIO 25 Verifica si las funciones propuestas son continuas en los puntos indicados:

1. f(x) 2x 2 x, en x 0 2. f(x)

x 2 4 , en x 2

3. f(x)

3x 1 3 , en x 2x 3 2

4. f(x)

4 , en x 3 x 1

5. f (x)

x2 4 , en x 2 x 2

6. f(x)

1 , en x 2P sen x

ÂŞ x 2 1 si x 2 7. f (x) ÂŤ , en x 2 ÂŹ2 x 1 si x 2 si x 1 ÂŞ3 8. g(x) ÂŤ 2 , en x 1 ÂŹ x 4 si x 1

[

3x 2 si x 0 9. h(x) 2 x 3 si x 0 , en x 0 si x 2 ªx ­ 10. f(x)  x 2 2 si 2 x 2 , en x 2 y x 2 ­ 3x 4 si x 2 ª2 si x 1 ­x ­ 11. q(x)  3x 5 si 1 x 2 , en x 1 y x 2 ­ 2x si x 2 ­  P³ ª ¤ ­sen ¼Œ x 2 ´¾ si x P ­ 3 3 ­ si P x P , en x P y x P 12. h(x) cos x 2 2 ­ ­ tan ¤ x P ³ si x 3 P ´ ­ ¼Œ 2 2¾

1199

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

3

CAPĂ?TULO MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

si x 3 ªx ­ si 3 x 3 , en x 3 y x 3 13. f(x)  x 2 2 ­log( x 7 )7 si x 3  14. g(x)

x2 5x 6 , en x 3 x2 9

15. h(x)

x2 1 , en x 1 x 3 1

16. g(x)

x3 8 , en x 2 x2 4

17. f(x)

x 8 , en x 8 x 2 x 72

18. w(x)

6 x2 x 1 1 , en x 4 x2 4 x 1 2

Determina el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas:

[

2 x k si x 2 19. f(x) 3kx 1 si x 2 ÂŞ k 2 x si x 0 20. f(x) ÂŤ ÂŹ2 k 3x si x 0 ÂŞ x k si x 3 21. g(x) ÂŤ ÂŹ kx 1 si x 3 ObtĂŠn el valor de las constantes para que las siguientes funciones sean continuas:

ªax 3 si x 4 ­ 22. f(x)  x 2 4 si 4 x 1 ­bx 4 si x 1 ªax b si x 0 ­ 23. f(x)  3xb 2 si 0 x 3 ­2 a x si x 3 ªax 2 si x 1 ­ 24. f (x) a bx si 1 x 4 ­ax 2b si x 4

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente

1200

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

Continuidad de una función en un intervalo Continuidad por la derecha Una función f (x) es continua a la derecha de xo si y solo si para x 0 R se cumplen las siguientes condiciones: 1. f(xo) existe 2. lím f(x) existe x l x0

3. lím f(x) f (x0) x l x0

Continuidad por la izquierda Una función f (x) es continua a la izquierda de xo si y solo si para x 0 R: 1. f(xo) existe 2. lím f(x) existe x l xo

3. lím f(x) f (xo) x l xo

Continuidad de una función en un intervalo abierto Se dice que f (x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si y solo si es continua en todos los puntos del intervalo.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Demuestra que f (x)

9 x 2 es continua en el intervalo ( 3, 3)

Solución La función f(x) 9 x 2 está definida en todos los puntos del intervalo ( 3, 3), como se ilustra en la gráfica, por consiguiente, f (x) es continua en dicho intervalo.

Y

3

–3

3

1201

X

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

¿ f(x)

1 es continua en el intervalo ( 2, 3)? x

Solución f(x) no está definida en x 0; entonces no es continua en este punto, por tanto, no es continua en el intervalo ( 2, 3)

Y

–2 X

3

x=0

Continuidad en un intervalo cerrado Una función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y además lím f (x) f(a) y lím f (x) f(b)

xl a

xlb

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Demuestra que f (x) x 2 2x es continua en el intervalo cerrado [ 1, 2] Demostración La función f(x) es polinomial, lo cual implica que está definida en el intervalo abierto ( 1, 2), por tanto, es continua en el intervalo, ahora se prueba la continuidad en los extremos del intervalo. Para x 1

Y

a) f( 1) ( 1)2 2( 1) 3 b) lím f (x) lím (x 2 2x) 3 xl 1

c)

xl 1

lím f (x) f ( 1)

xl 1

Para x 2 a) f(2) (2)2 2(2) 0 b) lím f(x) lím xl2

xl2

(x 2

–1

2

X

2x) 0

c) lím f(x) f (2) xl2

f(x) es continua en el intervalo abierto ( 1, 2) y es continua a la derecha de 1 y a la izquierda de 2, entonces f (x) es continua en el intervalo cerrado [ 1, 2]

1202

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

2

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

ÂŞx2 si x 0 ÂżLa funciĂłn f (x) ÂŤ es continua en el intervalo [ 2, 3]? 2 x 1 si x 0 ÂŹ SoluciĂłn Del intervalo ( 2, 3) la funciĂłn f (x) no es continua en x 0, ya que:

Y

lĂ­m f (x) 0, lĂ­m f (x) 1

xl0

xl0

lĂ­m f (x) : lĂ­m f (x)

xl0

xl0

Por tanto, lĂ­m f(x) no existe. xl0

Si f (x) no es continua en el intervalo abierto ( 2, 3)

–2

3

X

Entonces, no es continua en el intervalo cerrado [ 2, 3]

3

ÂŞ1 x 2 si x 0 es continua en el intervalo [ 3, 3]? ÂżLa funciĂłn f (x) ÂŤ ÂŹ1 x si x 0 SoluciĂłn

Y

Se prueba la continuidad de la funciĂłn en x 0 1. f (0) 1 (0)2 1 2. lĂ­m f(x) 1 (0) 1; lĂ­m f(x) 1 (0)2 1 xl0

xl0

3. f (0) lĂ­m f (x) 1

–3

xl0

3

X

La funciĂłn es continua en el intervalo ( 3, 3) Ahora se prueba la continuidad en los extremos: Para x 3 1. f( 3) 1 ( 3)2 1 9 8 2.

lĂ­m f (x) 1 (3)2 1 9 8

xl 3

3. f( 3) lĂ­m f(x) xl 3

Para x 3 1. f(3) 1 3 1 3 4 2.

lĂ­m f (x) 1 3 1 3 4

xl 3

3. f(3) lĂ­m f (x) xl 3

La funciĂłn es continua en ( 3, 3) y ademĂĄs es continua a la derecha de 3 y a la izquierda de 3, por tanto, es continua en el intervalo [ 3, 3]

1203

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Continuidad en un intervalo semiabierto Para intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b) se tiene que: 1. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto (a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b), y lím f (x) f (b) xlb

2. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto [a, b) si es continua en el intervalo abierto (a, b), y lím f (x) f (a) xl a

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Demuestra que f (x)

2 es continua en el intervalo semiabierto (3, 6] x 3

Demostración El dominio de la función se define Df {x 0 R U x : 3}, por tanto f(x) es continua en el intervalo abierto (3, 6) Se verifica la continuidad por la izquierda en 6 a) f (6)

2 2 6 3 3

2 ¤ 2 ³ b) lím f(x) lím ¥ ´ 3 xl6 xl 6 ¦ x 3 µ c) lím f(x) f (6) xl6

Entonces, f (x) es continua en el intervalo semiabierto (3, 6]

Y

3

1204

6

X

CAPÍTULO CÁLCULO

2

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

si x 2 ª3 ¿La función f (x) « 2 es continua en el intervalo semiabierto ( 1, 3]? x 1 si 2 x 3 ¬ Solución Se verifica la continuidad en x 2 1. f(2) (2)2 – 1 = 3 2. lím f(x) 3; lím f(x) 3, xl2

xl2

Por tanto, lím f (x) 3 xl2

3. f(2) lím f (x), la función es continua en ( 1, 3) xl2

Se prueba la continuidad por la izquierda en x 3 1. f (3) no está definida, por tanto, la función no es continua en el intervalo ( 1, 3]

Y

–1

3

2 3

X

si 2 x 0 ª x Verifica la continuidad de la función f(x) « 2 en [ 2, 4) ¬ x 4 x si 0 x 4 Solución Se verifica la continuidad en x 0

Y

1. f(0) (0) 0 2. lím ( x) 0, lím ( x 2 4x) 0 xl0

xl0

3. Por tanto, lím f(x) f (0) xl0

La función es continua en el intervalo ( 2, 4) Se prueba la continuidad por la derecha para x 2 1. f ( 2) ( 2) 2 2.

–2

lím ( x) ( 2) 2

xl–2

3. f( 2) lím ( x) xl–2

Por tanto, la función f (x) es continua en el intervalo [ 2, 4)

1205

4

X

CAPĂ?TULO

3

MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 26 Verifica si son continuas las siguientes funciones en los intervalos indicados:

1. f(x) 3x 2 en [0, 3)

6. f(x)

x 3 en [ 3, 1]

2

ÂŞ2 x x 2 si x 1 7. f (x) ÂŤ en [ 2, 4] ÂŹ 4 x 3 si x 1

3. f (x)

x 2 4 en [ 3, 3]

ª1 ­ si x 0 8. f (x)  x en [ 3, 4] ­2 x 1 si x 0

4. f(x)

1 ¤ 1 1œ 3 en ¼ , ¡ Œ 3 3¸ x

2. f (x)

2x en ( 1, 3) x 4

si x 2 ªx 9. f(x)  en (0, 3) 2 x 1 si x 2  ªx2 si x 1 ­ 10. f(x)  2 x 3 si 1 x 3 en ( 2, 5) ­ 3 si x 3

5. f(x) x 2 x 3 en [ 2, 0]

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente Teorema del valor intermedio Sea f (x) una funciĂłn continua en el intervalo [a, b], y k un nĂşmero comprendido entre f(a) y f (b), entonces existe un c 0 [a, b] tal que f (c) k.

Y

f(b) f(c) = k f(a)

a

c

b

X

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Si f(x) 3x 2 es una funciĂłn definida en el intervalo [ 2, 3], obtĂŠn el valor de c que cumpla con el teorema del valor intermedio cuando k 1 SoluciĂłn Al aplicar el teorema se obtiene: f (c) k 3 3c 2 1 3 3c 3 3 c 1 Por consiguiente, c 1 cuando k 1

1206

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

2

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

Dada la funciĂłn g(x) x 2 3x 2, definida en el intervalo [1, 4], determina el valor de k que cumpla con el teorema del valor intermedio cuando c 3 SoluciĂłn Se aplica el teorema: f (c) k 3 c 2 3c 2 k Pero, c 3 y al sustituir se obtiene el valor de k (3)2 3(3) 2 k 3 k 2 entonces, k 2

Y

1

c=3 4

X

k = –2

EJERCICIO 27 Aplica el teorema del valor intermedio y encuentra el valor de c en los siguientes ejercicios:

1. f(x) 3x 5; [ 2, 4] con k 1 2. f (x) 3. f(x)

x 2 4 ; [ 3, 3] con k 2 3x 2 ; [0, 5] con k 2 x 1

ª x 2 2 si x 1 4. f (x)  ; [ 2, 4] con k 0  2 x 1 si x 1 ­ª 5 x si x 5 5. f(x)  2 ; [0, 8] con k 0 ­ x 25 si x 5 Aplica el teorema del valor intermedio y determina el valor de k en los siguientes ejercicios:

6. f(x) 3x 3 2x 2; [ 2, 0], 7. f (x) 8. f (x)

2

x 9 ; [ 6, 0], x ; [1, 5], 2 x 1

9. f(x) cos x; [0, 2P], 10. f (x) log(3 x); [1, 12],

c 1 c 4 c 2 P 4 c 7 c

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente 1207

mp li fi ca

Ma te

Ma te

s simplificad as U

s simplificad as U

ca emáti M at

ca emáti M at

s da

U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

U

ca

Reseña

U

imp

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

s da

ss ica át

imp

ca

sim

ss ica át

n un periodo de menos de dos años, cuando Newton tenía menos de 25 años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física y astronomía.

sim p l i fic a

as tic

Ma tem

UM a t e má

Mientras Newton estaba en casa (debido a una peste que cerró la Universidad de Cambridge) estableció las bases del cálculo diferencial e integral. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba basado en su crucial visión de que la integración de una función era el procedimiento inverso de su derivación.

UM

atem

áticas simplificadas

Matem ática das U a c fi s si pli

s simplificada sU

U Matemáti c as

tica temá

ticas simplificada s temá U Ma tem

Ma

E

s cada

Ma

U

HISTÓRICA

4

plifi

das U Matemátic as lifica sim pli fic a

DERIVADA

sim

LA

sim pli fic a U

imp

CAPÍTULO s da

m

ss ca á ti

Ma tem

s da

m

im ss ca á ti

s U Matemáti cada cas plifi

as U

s da

U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

Al considerar a la derivación como la operación básica, Newton produjo sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas, en apariencia no relacionados, como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671, pero Newton no pudo publicarlo y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al inglés en 1736. Sir Isaac Newton (1643-1727)

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Definición Sea f (x) una función, se define a su derivada f (x), como: f (x) lím

$xl0

f ( x $x ) f ( x ) $x

Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por: y , f (x),

dy o Dx y dx

Interpretación geométrica El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto. Donde: $x: incremento en x $y: incremento en y

y = f (x)

Y

L

Q (x + Δ x, f(x + Δ x))

f (x + Δ x)

f(x + Δ x) – f(x) Lt f (x) P(x, f(x)) x + Δx

x

X

Δx En la gráfica se observa que la pendiente de la recta L es: mt

$y f ( x $x ) f ( x ) $x $x

Si $x tiende a cero, la recta L coincide con Lt , entonces la pendiente de Lt será el límite de mt . lím mt lím

$xl0

$xl0

$y f ( x $x ) f ( x ) lím $xl0 $x $x

Por definición, la derivada es: dy f ( x $x ) f ( x ) lím $xl0 dx $x

1210

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

Regla de los cuatro pasos Sea una función y f (x), entonces: 1. y $y f ( x $x ) 2. $y f ( x $x ) f ( x ) 3.

$y f ( x $x ) f ( x ) $x $x

4.

$y dy f ( x $x ) f ( x ) lím lím $x dx $xl0 $x $xl0

(razón de cambio) (derivada de la función)

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la derivada de la función f(x) 5x 6 Solución Se aplica la regla de los cuatro pasos y se obtiene: 1. y $y 5( x $x ) 6 2. $y (5 x 5 $x 6 ) (5 x 6 ) 3.

$y (5 x 5 $x 6 ) (5 x 6 ) 5 x 5 $x 6 5 x 6 5$x 5 $x $x $x $x

4.

dy $y lím lím 5 5 $ x l0 $xl0 dx $x

(derivada de la función)

Este resultado se obtiene también cuando se utiliza la definición, como sigue: lím

$xl0

[ 5( x $x ) 6 ] (5 x 6 ) 5 x 5 $x 6 5 x 6 5 $x lím lím lím (5 ) 5 $xl0 $xl0 $x $xl0 $x $x

Por tanto, la derivada de la función f(x) 5x 6 es: f (x) 5

2

Aplica la definición y determina la derivada de y 7x 2 5x 9 Solución dy [ 7( x $x )2 5( x $x ) 9 ] ( 7 x 2 5 x 9 ) lím $ x l0 dx $x dy 7( x 2 2 x ($x ) ($x )2 ) 5 x 5 $x 9 7 x 2 5 x 9 lím $xl0 $x dx dy 7 x 2 14 x$x 7 $x 2 5 x 5 $x 9 7 x 2 5 x 9 lím $ x l0 dx $x dy 14 x$x 7 $x 2 5 $x lím lím (14 x 7 $x 5 ) 14x 5 $xl0 $xl0 dx $x Por consiguiente, la derivada es: dy 14x 5 dx

1211

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

3

Encuentra la derivada de la función f (x)

2 x 1 , aplica la definición. x 5

Solución dy lím $xl 0 dx

2( x $x ) 1 2 x 1 x $x 5 x 5 $x

dy lím $xl 0 dx

2 x 2 $x 1 2 x 1 x $x 5 x 5 $x

dy lím $xl0 dx

( x 5 )(2 x 2 $x 1) (2 x 1)( x $x 5 ) ( x $x 5 )( x 5 ) $x

al simplificar,

dy 11$x 11 lím lím $xl0 $x ( x $x 5 )( x 5 ) $xl0 ( x $x 5 )( x 5 ) dx

se resuelve el límite

dy 11 f (x) ( x 5 )2 dx

4

¿Cuál es la derivada de la función y

x 2 ?

Solución dy lím $xl 0 dx

x $x 2 x 2 $x

dy lím $xl 0 dx

x $x 2 x 2 x $x 2 x 2 $x x $x 2 x 2

2

se racionaliza la expresión

x $x 2 x 2 dy lím $xl 0 dx $x x $x 2 x 2 dy lím $xl 0 dx $x

2

$x

x $x 2 x 2

lím

$xl 0

x $x 2 x 2 $x

lím

$xl0

x $x 2 x 2

1 x $x 2 x 2

De tal manera que, al resolver el límite se obtiene: dy 1 f (x) dx 2 x 2

1212

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

EJERCICIO 28 Deriva las siguientes funciones, utiliza la definición.

1. y 3x 2

11. f (x)

3 x2

2. y 2a bx

12. f (x)

x2 1 x2 1

3. y x 2

13. f (x)

x 2

4. f (x) 3x 2 5x

14. f (x)

x2 4

5. y ax 2 bx c

15. y

6. y x 3

16. y

7. y x 3 x 2

17. y

8. y

4 x 2 16 x 2

18. y

9. y

2x x 1

19. y

10. y (x 1)(x 2 x 1)

2 x 1

3

2 x 3

3

x 2 x 1 x 1 x 3

n

20. y

x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Fórmulas para determinar la derivada de una función algebraica La forma directa de obtener la derivada de una función algebraica es la aplicación de las siguientes fórmulas: 1.

d c 0 dx

7.

d dx

2.

d x 1 dx

8.

d 1 dv v dx 2 v dx

3.

d dv cv c dx dx

9.

d dv du (uv ) u v dx dx dx

n

v

1 dv n n v n 1 dx

dv du d ¤ u ³ v dx u dx 10. ¥ ´ dx ¦ v µ v2

d u v w du dv dw 4. dx dx dx dx 5.

d (xn ) nx n 1 dx

11.

d ¤ c³ c dv ¥ ´ 2 dx ¦ v µ v dx

6.

d n dv v nv n 1 dx dx

12.

d ¤ v ³ 1 dv ¥ ´ dx ¦ c µ c dx

1213

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

¿Cuál es la derivada de la función y x 3 2x 2 4x 5? Solución Al aplicar las fórmulas respectivas se obtiene: dy d 3 d 3 d d d ( x 2 x 2 4 x 5) ( x ) (2 x 2 ) ( 4 x ) (5 ) dx dx dx dx dx dx

d 3 d d d ( x ) 2 ( x 2 ) 4 ( x ) (5 ) dx dx dx dx

3x 2 2(2x) 4(1) 3x 2 4x 4

2

Deriva la función y

3

x2

Solución m

Aplicamos el hecho de que

n

a m a n y posteriormente a n

dy d dx dx

3

2 3

x dxd ¤¥¦ x ³´µ 23 x 2

3

Calcula la derivada de la función s

2 1 3

1 an

2 13 x 3

2 3x

1 3

2 3

3

x

1 t

5

Solución 1 1 ds d ¤ 1 ³ d ¤ 15 ³ 1 1 1 1 6 ¥ 5 ´ ¥t ´ t 5 t 5 6 5 6 ¦ µ dt dt 5 5 dt ¦ µ t 5 t 5 5t pero

4

5

t6

5

t 5 t t 5 t , por tanto

Obtén la derivada de la función y

ds 1 5 dt 5t t

4 x

Solución 4 dy d ¤ 4 ³ d d ¥ ´ ( 4 x 1 ) 4 ( x 1 ) 4 ( 1x 1 1 ) 4 x 2 2 x dx dx ¦ x µ dx dx

5

Determina la derivada de la función y 2 3 x

7 x

Solución 1 ³ dy d ¤ 13 d ¤ 13 ³ d ¤ 1 ³ d ¤ 1³ d ¤ 1 ³ 2x 7x 2 ´ 2 x ´ ¥ 7x 2 ´ 2 ¥ x 3 ´ 7 ¥ x 2 ´ ¥ ¥ dx dx ¦ dx ¦ dx ¦ µ dx ¦ µ µ dx ¦ µ µ

¤ 1 1 1 ³ ¤ 1 1 1 ³ 2 2 7 3 2 ¥ x 3 ´ 7 ¥ x 2 ´ x 3 x 2 3 2 ¦3 µ ¦ 2 µ

1214

2 3

3 x

2

7 2x x

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

6

¿Cuál es la derivada de la función y ( 3x 2 x ) 7 ? Solución Se aplica la fórmula

d (v n ) dv y se obtiene: nv n 1 dx dx

¤ d 3x 2 dx ³ dy d ´ 7( 3x 2 x ) 6 (6 x 1) 7( 3x 2 x ) 6 ( 3x 2 x ) 7( 3x 2 x ) 6 ¥ dx µ dx dx ¦ dx ( 42 x 7 )( 3x 2 x ) 6

7

Encuentra la derivada de la función s

3

8 4t t 3

Solución 1 1 2 1 d ds d 1 1 (8 4 t t 3 ) 3 (8 4 t t 3 ) 3 (8 4 t t 3 ) (8 4 t t 3 ) 3 ( 4 3t 2 ) dt dt dt 3 3

4 3t 2

2

3(8 4 t t 3 ) 3

8

Deriva la función y

4 3t 2 3 3 (8 4 t t 3 ) 2

5

x x

3

Solución § dy d ¨ dx dx ¨ ©

¶ · d § 5 dx ©¨ x x ·¸ 5

3

x x

3

¶ 5 d ¸· dx

§ 5 ¨ 3 © 15

x x

x x

4

4

15

x x

3

x x

15

4

d dx

¶ x x · ¸

d ³ ¤ d ¥ x x´ ¦ dx dx µ

¤ 1 ³ 1´ ¥¦ µ 2 x ¤ 1 2 x ³ ¥ 2 x ´ ¦ µ

2

4

x x x

15 1 2 x

1215

x x

4

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

9

Calcula la derivada de la función y x x 1 Solución Se aplica la fórmula

d dv du (uv ) u v dx dx dx

d dy d x x 1 x dx dx dx

x 1 x 1

¤ dx 1 ³ x x 1 x¥ ´ x 1 dx 2 x 1 ¦ 2 x 1 µ

Por consiguiente,

10

x 2( x 1) x 2x 2 3x 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1

3x 2 dy dx 2 x 1

Obtén la derivada de la función f (x)

x2 5 1 3x 2

Solución du dv d ¤ u ³ v dx u dx y se obtiene: Se aplica la fórmula ¥ ´ dx ¦ v µ v2 f (x)

28 x (1 3x 2 )(2 x ) ( x 2 5 )( 6 x ) 2 x 6 x 3 6 x 3 30 x 2 2 (1 3x ) (1 3x 2 ) 2 (1 3x 2 ) 2

EJERCICIO 29 Deriva las siguientes funciones:

1. y 10

12. f(x) 4x 3

2. y 5

13. s (t)

3. f (x) a 2

14. y x 2

4. s (t ) b 2

15. f (x) x 3

5. y 6x

16. y 6 x 2

1 4 t 5

9

4

3

6. y

2

3 x 4

17. f(x) x 5 1

7. f (x) ax

18. f (x) 4 x 4

8. s (t ) b 2t

19. f (x)

9. f (x) 5x 2

20. s (t )

x 4

t

10. y ax b

21. f (x) 5 5 x

11. f (x) x 5

22. f(x)

1216

x5 7

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

23. f (x)

x4 9

3 5 1 4 3 44. f (x) 2 x 2 x 2 x 2 2 3

24. s(t )

t3 a

45. f(x) 8 x 9 3 x 2 4 2 x 3

25. f (x)

5 x4

46. f (x) ax n bx n 1

26. f (x)

2 x6

47. f (x)

27. f (x)

x 2

x2 5x 8 3 7 5

48. f (x) a n x b 3 x

3

1 3 2 4 x5 x 2 3

28. s(t )

t 5

49. y

29. f (x)

4 x

50. f (x)

5 t

51. f (x)

7 5 3 2 x x

4 x

52. f (x)

3 5 2x x2 x

32. f (x) 7 x 3 3x 2 3x 12

53. f (x)

3x 2 5 x 8 3 x

33. f (x) x 4 5x 3 8x 2 x 6

54. y

34. f (x) 5 x 2 4 x 4 mn 2

55. y ( 3x 4 )5

35. f (x) 3ax 4 4ax 3 5bx 2 7cx

56. y (2 4 x )3

30. s(t )

4

31. f (x)

3

2 4

x

5

1 3 1 x x

3 ³ ¤ x 1 ¥ x ´ ¦ xµ

36. f (x)

x 3 3x 2 4 x 1 6 5 9 5

57. y ( 3x 6 2 x 4 )4

37. s(t )

t5 t4 t3 t2 t 2 6 5 4 7 9 3

1 ¤ 3 ³ 58. y ¥ 4 x 2 2 x 2 ´ ¦ µ

x2

38. f (x)

2

a b2

x c a b

5 3x 2

59. y

39. s(t )

4 5 9 t2 t 5

60. y

40. f (x)

5 6 7 3 1 x4 x3 x2 x 5

1³ ¤ 61. y ¥ x ´ ¦ xµ

41. s(t)

t3 2 6 3 5 t2 t 5

62. y

3

42. f (x)

43. f (x)

3 x 3 5 x

3

x3 2 1

2 2x2 6x 3

¤x ³ 63. y ¥ 6 x ´ ¦3 µ

x 4 3x 3 6 x 2 3x 2 x

64. f(x)

1217

4

x4 2

3

3

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

65. f (x) ( x 2 5 x 3)3

83. f (t)

b 2 a t2 a r2 3

(2 x 3)2

84. f(r )

4x 3

85. f(t )

6t 3 5t 8

86. f (z)

6 3z 5 6z

¤2 1 ³2 69. y ¥ 2 ´ ¦x x µ

87. f(x)

ax b ax b

z2 4

88. f (x)

2 3x 3 x

89. f (t )

1 2t 1 2t

66. y

3

67. y

¤1 ³ 68. f (x) ¥ x 2 ´ ¦3 µ

3

r2 4

1

70. f (z)

71. y

3

x 6 3x

2

1 ³ ¤ 72. y ¥ 4 x 2 x ´ (9 x 8 ) ¦ 2 µ

¤ w 3³ 90. f(w) ¥ ¦ w 2 ´µ

3³ ¤ 73. y (5 x 3) ¥ 4 x ´ ¦ xµ

91. f(U)

6(2 U 3 ) 3 2U

74. y x 3 ( 3x 1)

92. f(s)

s2 2 s2 6s

75. f (x) x 2 x 1

93. f(x)

5x2 2 b2 x2

94. f(t )

(9t 6 )3 (27 3t )2

77. y x 2 x 1

95. f (x)

4 xb 2a 6 x

78. f (x) ( 3x 2 5 )4 (2 x 2 1)3

96. f(x) 2 x 4 x 2

79. f (U) (U 2 1)3 (U 3 2 )2

97. y

4 3t t 1

98. y

76. y

x (2 x 1)3 3

80. s

¤2 3³ 81. s (t ) t 3 ¥ 2 ´ ¦t t µ 82. f (x)

2 4

x a4 x3 3

x2 3

2

99. y (2 x 3)

6 2 4x

100. y

1218

x x 1 x 1

x 2 3x

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

101. y

x2 9 x 3

104. y

102. y

3

x 3 1 x 3 1

105. y

103. y

m

xn 1

m

x 1

x 2 x 1 4 5x

106. y 2 x

n

x 1

xn n

3

2 x 3 1 2 x 3 1

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Regla de la cadena Sea y g(u), u f (x), entonces la derivada de y (g f )(x) g ( f (x)), se define: dy d d dy du (g ° f )(x) g( f ( x )) dx dx dx du dx

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra

dy si y u 2 9; u x 2 1 dx

Solución Por definición

dy dy du dy du , entonces 2u y 2 x , por tanto: dx du dx du dx dy dy du (2u )(2 x ) 4 ux 4(x 2 1)x 4x (x 2 1) dx du dx

2

Obtén

v 1 d ( y u v), si y u 3, u ,v v 1 dx

x2 1

Solución Cuando hay más de dos funciones, la derivada es: dy dy du dv dx du dv dx Luego: dy du 2 dv x 2 3u 2, y du dv (v 1)2 dx x 1 Por consiguiente, el resultado es: § 2 ¶§ x ¶ 6u 2 x d · ¨ 2 ( y u v) §© 3u 2 ¶¸ ¨ 2 · dx (v 1)2 x 2 1 © (v 1) ¸ ¨© x 1 ·¸

1219

6

2

x2 1 1 x

x 2 1 1

4

x 2 1

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

3

Deriva la función y 3 x 3 2 x 2 8 , utilizando la regla de la cadena. Solución Al tomar u x 3 2 x 2 8 , entonces y 3 u , luego: dy 1 du 3 3 u 2

y

du 3x 2 4 x dx

Al utilizar la regla de la cadena, se obtiene como resultado: dy dy du § 1 ¨ dx du dx © 3 3 u 2

¶ 3x 2 4 x 3x 2 4 x 2 · §© 3x 4 x ¶¸ 3 2 3 u 3 3 ( x 3 2 x 2 8 )2 ¸

EJERCICIO 30

dy , para las siguientes funciones: dx 1 1. y u 2 u, u x

Determina

2. y

u 1 ,u u 1

3. y

2u 3 3u , u x 2 1

x 3 1 x 3 1

7. y

8. y

x

u 1 v 2 ,u ,v u 1 v 2

9. y

u 1 , u

4. y

3 2 ,u x 1 u3 u2

10. y

5. y

u , u x 3 6x 2 8x u 2 1

11. y u 2 1, u

6. y

1 ,u u

x2 1

v2 ,v v2 1

x

v 1 , v (x 2 3)2 v 1 v ,v

x 1 x 1

(2 x 1)5 (2 x 1)3

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Derivadas de funciones trascendentes Se clasifican en funciones trigonométricas directas e inversas, logarítmicas y exponenciales, por ejemplo: y sen 3 x

y tan(e x ln x)

y ln 2 x 1

y 3 x x2

y e cos x

y arc sen(x 2)

Ú Trigonométricas d dv sen v cos v dx dx

d dv cot v csc 2 v dx dx

d dv cos v sen v dx dx

d dv sec v sec v tan v dx dx

d dv tan v sec 2 v dx dx

d dv csc v csc v cot v dx dx

1220

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

4

Ú Inversas trigonométricas d 1 dv arcsen v 2 dx 1 v dx

d 1 dv arc cot v 2 dx 1 v dx

d 1 dv arc cos v 2 dx dx 1 v

d 1 dv arc sec v 2 dx dx v v 1

d 1 dv arc tan v dx 1 v 2 dx

d 1 dv arc csc v dx v v 2 1 dx

Ú Logarítmicas log b e dv d log b v dx v dx

d 1 dv ln v dx v dx Ú Exponenciales d v dv e ev dx dx

d v dv a a v ln a dx dx

d v du dv ln u u v u v u v 1 dx dx dx

Derivadas de funciones trigonométricas

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina la derivada de las siguientes funciones: y sen 5x 2, y tan 6x, y csc 4x 3 Solución Se aplican las fórmulas

d dv d dv d dv , , a cada una de sen v cos v tan v sec 2 v csc v csc v cot v dx dx dx dx dx dx

las funciones: dy d ¤ d ³ sen 5 x 2 cos 5 x 2 ¥ 5 x 2 ´ cos 5x 2(10x) 10x cos 5x 2 ¦ dx µ dx dx dy d ¤ d ³ tan 6 x sec 2 6 x ¥ 6 x ´ sec 2 6 x (6 ) 6 sec 2 6x ¦ dx µ dx dx dy d ¤ d ³ csc 4 x 3 csc 4 x 3 cot 4 x 3 ¥ 4 x 3 ´ csc 4 x 3 cot 4 x 3 (12 x 2 ) 12 x 2 csc 4 x 3 cot 4 x 3 ¦ dx µ dx dx

2

Deriva la función y 4 cos(x 2 1) Solución Se aplica la fórmula

d dv , con v x 2 1 cos v sen v dx dx

§ d ( x 2 1) ¶ dy d d cos( x 2 1) 2 4 ¨ sen(x 2 1) 4 cos( x 2 1) 4 · 4 sen(x 1) 2 x dx dx dx dx © ¸ por tanto,

dy 8x sen(x 2 1) dx

1221

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

3

sen x cos x sen x cos x

Encuentra la derivada de la función y Solución

Primero se aplica la fórmula del cociente de funciones: du dv d ¤ u ³ v dx u dx ¥ ´ dx ¦ v µ v2 (sen x cos x ) dy dx

d (sen x cos x ) d (sen x cos x ) (sen x cos x ) dx dx (sen x cos x )2

Se derivan las funciones con las fórmulas para la función seno y coseno:

dy dx

§ d sen x d cos x ¶ § d sen x d cos (sen x cos x ) ¨ (sen x cos x ) ¨ · dx dx dx © ¸ © dx 2 (sen x cos x )

x¶ ·¸

dy (sen x cos x )(cos x sen x ) (sen x cos x )(cos x sen x ) (sen x cos x )2 (cos x sen x )2 2 dx (sen x cos x ) (sen x cos x )2 dy sen 2 x 2 sen x cos x cos 2 x cos 2 x 2 sen x cos x sen 2 x 2(sen 2 x cos 2 x ) dx (sen x cos x )2 (sen x cos x )2 Se aplica la identidad trigonométrica sen2 x cos2 x 1 y se obtiene como resultado: dy 2 (sen x cos x )2 dx

4

Determina la derivada de la función r tan 3

U U

Solución Se expresa tan 3

U U §© tan

3 d n dv U U ¶¸ y se aplica la fórmula v nv n 1 dx dx

3

d § tan U U ¶¸ d tan 3 U U dr © 3 §© tan dU dU dU Se deriva la tangente con la fórmula dr 3 tan 2 dU dr 3 tan 2 dU

U U sec 2

U U sec 2

¤ 3 6 U ³ dr 2 ¥ ´ tan dU ¦ 2 U µ

2

U U ¶¸

d tan

U U

dU

d dv y se simplifican los resultados: tan v sec 2 v dx dx d

U U

U U

dU

¤ 1 ³ U U ¥ 1´ 3 tan 2 ¦2 U µ

U U sec 2

U U

1222

U U sec 2

¤ 1 2 U ³ U U ¥ ´ ¦ 2 U µ

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

5

Deriva la función s cos 2t sen 4t Solución Se aplica la fórmula para derivar un producto

d dv du (uv ) u v dx dx dx

d sen 4 t d cos 2t ds d (cos 2t sen 4 t ) cos 2t sen 4 t dt dt dt dt Se deriva el seno y coseno con sus respectivas fórmulas y se obtiene el resultado: d (4t ) ¶ d (2t ) ¶ ds § § cos 2t ¨ cos 4 t cos 2t ; 4 cos 4 t = sen 4 t ; 2 sen 2t = sen 4 t ¨ sen 2t dt ·¸ dt ·¸ dt © © ds 4 cos 2t cos 4t 2 sen 2t sen 4t dt

6

¿Cuál es la derivada de la función y

1 ? sen x

Solución du dv d ¤ u ³ v dx u dx Se aplica la fórmula ¥ ´ dx ¦ v µ v2

dy d dx dx

1 sen x

sen x

d sen x d (1) 1 dx dx 2 sen x

Se realizan las respectivas derivadas: d sen x cos x 1 1 d (1) d sen x (cos x ) 0 y dx dx 2 sen x dx 2 sen x 2 sen x Se sustituyen y se obtiene como resultado:

dy dx

¤ cos x ³ cos x sen x (0 ) 1¥ ´ ¦ 2 sen x µ cos x 2 sen x sen x sen x 2 sen x sen x 1

EJERCICIO 31 Deriva las siguientes funciones trigonométricas:

1. y sen 8x

5. f (x) cot 4x 3

2. f (x) cos 3x 2

6. f (x) csc 9x

3. f (x) tan x 3

7. f (x) cos ax

4. s (t ) sec 6t

8. s (t ) tan bt 2

1223

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

9. f (x) 6 sec x 2 10. f (x)

31. f (x) tan4 3x 2

1 x csc 2 4

32. f (x)

sen 4 x

11. f (x) a cos 3x

33. f(x)

sec 5 x 2

12. f (x) cot(3x 5)

34. f(x)

13. f (x) 2 sen

x 2

3

3 tan x 2

35. f(x) x sen x

P³ ¤ 14. f (x) cos ¥ 5 x ´ ¦ 2µ

36. f(x) x 2 cos x 2

15. s (t ) tan(at P)

37. f(x)

sen 3x x

16. f (x) sen x cos x

38. f(t )

cos 5t 2 t2

17. s (t ) sen t

39. y sen(ax 2)

18. f (x) cot 3 x

40. y a cos (3x)

19. f (x) sen

1 x

41. y tan x

20. s (t ) cos

1 t3

42. y

1 sec 3x 2 6

21. f (x) sec

1 x

43. y

1 2x csc 2 3

22. f (x) tan 3x 3x

¤ 1³ 44. y x 2 3x sen ¥ ´ ¦ xµ

23. f (x) ax cot ax

45. y 3 cot (1 x 2 )

24. f (x) sen(x 1)2

46. y

25. s (t ) cos(3t 2 2)3

47. y sen2(2 bx)

26. f (x) 4 cot x 1

48. y tan4(2x 1)3

¤ x 1³ 27. f (x) tan ¥ ¦ x 1 ´µ

49. y

¤ ax b ³ 28. f (x) sec ¥ ¦ ax b ´µ

50. y

29. f (x) sen2 5x

51. y x cos3 4x

30. f (x) cos3 bx

52. y

1224

¤ x 1³ 2 sen ¥ 3 ¦ x 1 ´µ

sec 2x

3

3 tan x 2

x2 sen ax

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

53. y x csc 2 x

x (1 sen x )(1 sen x ) cos x

64. y

54. y

cos mx sen nx

65. y 2 sen x cos x

55. y

1 1 sen x

66. y

csc x tan x cos x

67. y

1 cos x 2

56. y x cos x sen x 57. y

tan x 1 tan x 1

68. y cos2(3x 1) sen2(3x 1)

58. y x 2 sen 2x 4x cos 2x sen 2x

69. y

1 sen 2 x x2

59. y cos(2x 1) tan(1 2x)

70. y

(1 tan x )2 sec x

60. y x 2 sec(P x)

71. y

1 sen 3 x sen x 1 3

¤ 3x sen x ³ 61. y ¥ ¦ 3x 1 ´µ 62. y cos

63. y

3

72. y 2 cos x 2x sen x x 2 cos x

x 1 x 1

73. y

3 1 1 x sen 4 x sen 8 x 8 8 64

1 tan 2 x x sec x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Derivadas de funciones inversas trigonométricas

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Deriva la función y arc sen x 2 Solución Se aplica la fórmula

d (arcsen v ) dx

1 1 v

dy d (arcsen x 2 ) dx dx

2

dv dx 1 2 2

1 (x )

Por consiguiente, la derivada de la función es y

d (x 2 ) dx

2x 1 x4

1225

1 1 x4

(2 x )

2x 1 x4

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2

¿Cuál es la derivada de la función y arc tan

x 1 ?

Solución 1 d dv arc tan v v2 1 dx dx

Se aplica la fórmula

dy d arc tan dx dx

x 1

1

2

d

x 1 1

x 1 dx

1

1 2 x x 1 1

dy dx 2 x § ¨©

2

1

2 x 1 1¶ ·¸

dy 1 dx 2 x §© x 2 x 2 ¶¸

3

Obtén la derivada de la función r U 2 arc sec U Solución § dU ¶ dr d dU2 1 · arc sec U(2 U ) U2 U2 ¨ arc sec U arc sec U 2 dU dU dU ¨© U U 1 d U ·¸

4

Determina la derivada de la función y

U U2 1

2 U arc sec U

arc sen x x

Solución ¤ 1 dx ³ d dx x¥ ´ arcsen x 2 x arcsen x arcsen x ¦ 1 x dx µ dy dx dx x2 x2 dx x dy dx

1 x2

arcsen x x

2

x x

2

1 x

2

1 arcsen x arcsen x 2 2 x x2 x 1 x

EJERCICIO 32 Determina la derivada de las siguientes funciones:

1. y arc sen 5x

5. f (x) arc sec x 2

2. f (x) arc cos 4x 2

6. f (x) arc csc 3x 2

3. f (x) arc tan 3x

7. f(x) arc cos

x b

4. y arc cot x 3

8. f(x) arc sen

x 4

1226

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

9. f (x) arc tan

x a

10. f (x) 2 arc sec

27. f (r) arc sen(r 2) 28. y

x

1 ¤ 2 x 1³ arc tan ¥ ¦ 2 µ´ 4

11. y arc sen(3 x 2)

¤ x 2³ 29. y 4 arc sen ¥ 4 x x2 ¦ 2 ´µ

12. y arc cos 1 x 2

¤ 2 ³ ( x 6) 4 x x 2 30. y 6 arc csc ¥ 2 ¦ x 2 ´µ

13. y x 2 arc tan x

31. y

14. y x arcsen x 1 x 2

32. s (t) 3 9 t 2 2 arc sen

¤ 16 x 2 ³ x 16 x 2 15. y 8 arc cot ¥ ´ x 2 ¦ µ

33. 6y 25 arc sen

¤ x ³ 16. y x arc csc( x 1 ) arc tan ¥ ´ 2 ¦ 1 x µ

34. w 2 U 2 2 arc tan

¤ x 2 1³ x 17. y ¥ arc tan x 2 ¦ 2 ´µ

35. y

18. W arc csc U 2 1

x 5 x³ ¤ 36. y arc tan ¥ 2 tan ´ ¦ 3 6 2µ

x 1 1 2 x x 2 arc sen (x 1) 2 2

3x 3x 25 9 x 2 5

x 1 1 4 x 2 arc sen 2 x 2 4

x³ ¤ 37. y arc sen ¥ cos ´ ¦ 3µ

20. y

¤ x2 2 ³ x3 arc sen x ¥ 1 x2 3 ¦ 9 ´µ

38. y x arc cot(tan x)

b 2 r 2 b arcsen

r b

39. y

arc sec (2 x ) 4 x 2 1

22. y x arc tan x

x³ ¤ 40. y arc sec ¥ 2 sec ´ ¦ 2µ

¤ x ³ 23. y arc tan (2 x ) arc sen ¥ ´ 2 ¦ 1 x µ

¤ 2x 4 ³ 41. y 4 arc sen ¥ ¦ 3x 2 ´µ

24. y arc sen

42. s t 2 arc cos(1 t) 2t

x

¤ 1³ 25. y x arc cos ¥ ´ ¦ xµ

43. y arc cos(a x)

26. y arc sen(4ax 4x 2)

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1227

U 2 2

2 x³ ¤1 arc tan ¥ tan ´ ¦3 3 2µ

19. y

21. f (r)

t 3

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales A continuación se enlistan las propiedades de los logaritmos, las cuales, al aplicarlas, simplifican la función al momento de obtener su derivada. 1 1. log a AB log a A log a B 4. log a n A log a A n A log a A log a B 5. log n a A (log a A )n 2. log a B 3. log a A n n log a A Las propiedades anteriores también se aplican a los logaritmos naturales.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la derivada de la función y ln x 2 Solución Al aplicar la fórmula

d ln v 1 dv , se obtiene: dx v dx dy d ln x 2 1 dx 2 1 2 2 2 (2 x ) x dx x dx dx x

Por consiguiente, la derivada de la función es

2

dy 2 dx x

¿Cuál es la derivada de y ln2(x 2 x)? Solución Se expresa la función como: ln2(x 2 x) [ln(x 2 x)]2 y se aplica

d n ¤ d ³ v nv n 1 ¥ v´ ¦ dx µ dx

d ln (x 2 x ) 1 d(x2 x) dy d 2 ln (x 2 x ) 2 [ln (x 2 x )] 2 2 ln (x 2 x ) dx x x dx dx dx 1 dy 2 ln (x 2 x ) 2 (2 x 1) x x dx 2 x 1 dy 2 ln (x 2 x ) 2 x x dx dy 2 (2 x 1) ln ( x 2 x ) 4x 2 2 ln (x 2 x ) dx x2 x x x

1228

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

3

Obtén la derivada de y x 2 ln(mx)2 Solución Se utiliza la fórmula del producto

duv dv du u v dx dx dx

d d 2 dy d 2 x ( x ln( mx )2 ) x 2 ln (mx )2 ln (mx )2 dx dx dx dx dy 1 d x2 ( mx )2 ln( mx )2 (2 x ) dx ( mx )2 dx dy 1 x2 2( mx )m 2 x ln( mx )2 2x 2x ln(mx)2 dx ( mx )2 Utilizando loga An n loga A, se obtiene: dy 2x 2x (2 ln(mx)) 2x 4x ln(mx) 2x[1 2 ln(mx)] dx

4

Determina la derivada de la función y ln(sen x) Solución Se deriva la función y mediante identidades trigonométricas se obtiene: dy d 1 d 1 cos x cot x ln (sen x ) (sen x ) cos x dx dx sen x dx sen x sen x

5

¤ 1 sen x ³ Deriva y ln ¥ ¦ 1 sen x ´µ Solución Al aplicar las propiedades de los logaritmos se obtiene: y ln(1 sen x) ln(1 sen x) Se deriva la función: y

¤ ³ d ¤ ³ d d d 1 1 ln (1 sen x ) ln (1 sen x ) ¥ 1 sen x ¥ 1 sen x ´ dx dx ¦ 1 sen x µ dx ¦ 1 sen x ´µ dx

¤ ³ ¤ ³ 1 1 cos x cos x y ¥ (cos x ) ¥ ( cos x ) 1 sen x 1 sen x ¦ 1 sen x ´µ ¦ 1 sen x ´µ

6

y

cos x (1 sen x ) cos x (1 sen x ) cos x cos x sen x cos x cos x sen x (1 sen x )(1 sen x ) (1 sen x )(1 sen x )

y

¤ 1 ³ 2 cos x 2 2 cos x 2¥ 2 sec x 1 sen 2 x cos x ¦ cos x ´µ cos 2 x

¿Cuál es la derivada de la función y e 2x 1? Solución Se aplica la fórmula

dv d d v dy y se obtiene: e2 x 1 (2 x 1) e 2x 1 2 2e 2x 1 e ev dx dx dx dx

pero y e 2x 1 por tanto

dy 2e 2x 1 2y dx

1229

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

7

Determina la derivada de la función y 3 ecos x Solución

1

1

La función se puede expresar como y 3(ecos x ) 2 3e 2

cos x

, se deriva:

1 1 1 cos x cos x ¤ 1 cos x d ¤1 3 dy d ¤ 12 cos x ³ ³ ³ 3e 3e 2 ¥ cos x ´ 3e 2 ¥ ( sen x )´ sen x e 2 ¥ ´ ¦ µ ¦ µ dx 2 2 2 dx dx ¦ µ

3 dy sen x ecos x 2 dx

8

Obtén la derivada de y x 3 e

x

Solución Se utiliza la fórmula del producto dy d 3 x e dx dx

dy x3 e dx

x

dy 1 x2 e dx 2

9

x

x

x

3

d x e e dx

1 3x 2 e 2 x

x 6

duv dv du u v dx dx dx

x

x

d 3 x x3 e dx

x

d x e dx

1 2 x x e x 3x 2 e 2

x

( 3x 2 )

x

¿Cuál es la derivada de y 5x

2

5x 7?

Solución Se aplica la fórmula

d v dv a a v ln a dx dx 2 dy d x 2 5 x 7 d (5 ) 5 x 5 x 7 ln 5 ( x 2 5 x 7) dx dx dx

5x

2

5 x 7

ln 5 (2 x 5 )

(2 x 5 ) 5 x

10

Encuentra la derivada de la función y (sen x)e

2

5 x 7

ln 5

x

Solución Se aplica la fórmula

du dv d v ln u u v u v u v 1 dx dx dx

x x d d dy e x (sen x )e 1 (sen x ) ln(sen x ) (sen x ) e (e x ) dx dx dx x x dy e x (sen x )e (sen x ) 1 (cos x ) ln(sen x ) (sen x )e (e x ) dx x ¤ cos x ³ x dy e x (sen x )e ¥ ln(sen x ) (sen x )e (e x ) ex (sen x)ex cot x e x (sen x)e x ln(sen x) ¦ sen x ´µ dx x dy e x (sen x )e [cot x ln (sen x )] dx

1230

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

EJERCICIO 33 Obtén la derivada de las siguientes funciones: 1. y ln x 3

25. y ln 3 x 3 8

2. f (x) ln 4x 2

26. y ln 2 ( x )

3. f (x) ln(3x 2 5x 2)

27. y ln[(6x 4)(3x 2 2)]

4. f (x) ln

28. y log 3

x

1 2x 1 2x

5. f (x) log x 6

29. y log (5bx 3 3 x )

6. f (x) log 5x 3

30. y x ln(e x cos x)

7. f (x) log3 x

31. y ln(sen2 x)

8. f (x) log4 3 x

32. y x ln x

9. f (x) ln4 x

33. y ln(sec2 2x cos3 2x)

10. f(x) ln3 5x

34. y

11. y x 2 ln x

35. y ln(sec x tan x)

12. y x ln 13. y

x2

36. y ln 1 sen 2 x

ln x x

14. f (x)

ln x

37. y ln(x sen x)

ln x 2 x

38. y x3 ln x2

15. y ln b ax

39. y ln tan x

16. f (x) ln x 2 3x 2 1

40. y log x

17. f (x) ln ax ax 2 b

41. y 2x

¤ 3x 5 ³ 18. y ln ¥ ¦ 2 x 1 ´µ

42. f(x) b

19. y ln

2

cx b cx b

5x

x

43. y 3ln x

20. y ln sen x

44. y 5x sen x

21. y ln cos 5x

45. y x 2ln x

22. y ln(x 2 4)

46. y x 5x

23. y ln 3x 4

47. y e x

¤ 2 x 3³ 24. y ln ¥ ¦ 2 x 3 ´µ

48. y e 3x

2

2

1231

2x 1

3

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

49. y e

3 x 2 1

70. y e arc tan x

50. y e x tan x

71. y ln

xe2 x

51. y

2x ³ b ¤ 2bx e e b ´ ¥ 2¦ µ

72. y xe ln x

52. y

e2 x e 2 x e2 x e 2 x

73. y

ex x 1

74. y

xe x ln x 2

2

53. f (x) e 4x

54. f (x) e 5x

75. y

ln x 1 ln x 1

55. f (x) e 3x 1

76. y

esen x 1 esen x 1

2

x

77. y ln(ln sen2 ax)

56. f (x) e 5

e x sen x

57. f(t)

3

et

78. y eln

58. f (x)

4

ex

79. y x 2 e sen x

1

ln sen x x x

59. f (x) e x

2

80. y

60. f (x) e

x

81. y ln 3ax 2

2

x2 4

U

82. y

62. f (x) e cos 2x

83. y

63. y e x sen x

84. y x arc tan x ln 1 x 2

64. f (x) 53x

85. y

65. f (x) 72x

86. y x arc sec x ln x x 2 1

61. f (U) e sen

x 2 9 3 ln x x 2 9

1 1 sec 2 x tan 2 x ln(sec 2 x tan 2 x ) 4 4

x 2 x 4 2 ln x x 2 4 2

2

1 ¤ 2 x 3³ ln 12 ¥¦ 2 x 3 ´µ

66. f (x) 5x

87. y

67. y x 2x

88. y x arc cot x ln 1 x 2

68. y x cos x

x 89. y x arc csc 2 ln x x 2 4 2

69. y

x

x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1232

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

4

Derivadas de funciones implícitas Una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y, por ejemplo: 3x 3 y 5x x 2;

sen x cos(x y);

e x y x;

ln(x y)

x y

En una función implícita se derivan término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la derivada.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

¿Cuál es la derivada

dy de la función implícita 3x 2 6xy y 2 2x y? dx

Solución Se derivan ambos miembros de la igualdad: d d ( 3x 2 6 xy y 2 ) (2 x y ) dx dx d 3x 2 d 6 xy dy 2 d 2 x dy dx dx dx dx dx 3

dx 2 dxy dy 2 dx dy 6 2 dx dx dx dx dx

dx ³ dy dy ¤ dy 3(2 x ) 6 ¥ x y ´ 2 y 2(1) ¦ dx µ dx dx dx 6x 6x Se agrupan los términos que contienen

dy dy dy 6y 2y 2 dx dx dx

dy , y se despeja: dx 6 x

dy dy dy 2y 2 6y 6x dx dx dx

dy ( 6 x 2 y 1) 2 6 y 6 x dx dy 2 6 x 6 y dx 1 6 x 2 y Por lo regular, el resultado de la derivada de una función implícita se expresa en términos tanto de x como de y. dy Es común que en algunos casos la expresión se represente como y . dx

1233

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2

Determina la derivada y de la función

x y x y

Solución Al derivar ambos miembros de la igualdad se obtiene:

d d x y ( x y) dx dx

Se despeja y de la igualdad

d ( x y ) dx dy dx dx dx 2 x y

3

dx dy dx dx 1 dy dx 2 x y

3

1 y 1 y , y el resultado es: 2 x y

1 y 2 x y 2y x y

3

y 2y x y 2 x y 1

y 1 2 x y 2 x y 1 y

3

2 x y 1 1 2 x y

Obtén la derivada y de la función y e x y Solución Se derivan ambos miembros de la igualdad: dy d x y e dx dx

y e x y

3

d ( x y) dx

3

y e x y (1 y )

3

y (1 e x y) e x y

Se despeja y de la igualdad: y e x y y e x y

3

y y e x y e x y

Donde: y

4

e x y 1 e x y

o

y

y 1 y

Encuentra la derivada y de la función implícita sen(x y) x Solución d dx sen(x y ) dx dx

3

cos(x y)(1 y ) 1

3

cos(x y) y cos(x y) 1 y cos(x y) 1 cos(x y)

Donde, la derivada y

1 cos (x y ) 1 cos( x y ) sec(x y) 1 cos (x y ) cos( x y ) cos( x y )

1234

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

5

Obtén la derivada

dy de la función implícita x ln y ln x dx

Solución d d ( x ln y ) (ln x ) dx dx

3

dx d ln y d ln x dx dx dx

3

3

1

1 1 y y x

Se despeja la derivada de la igualdad:

6

1 1 y 1 y x

1 1 x y y x

3

y

xy y x

Determina la derivada respecto a x de la función cos(x y) sen(x y) Solución d d cos (x y ) sen(x y ) dx dx sen(x y )

d d ( x y ) cos( x y ) ( x y ) dx dx

sen(x y) (1 y ) cos(x y) (1 y ) sen(x y) y sen(x y) cos(x y) y cos(x y) Se despeja la derivada: y cos(x y) y sen(x y) cos(x y) sen(x y) y [cos(x y) sen(x y)] cos(x y) sen(x y) y

7

cos (x y ) sen(x y ) cos (x y ) sen(x y )

x y 2a

Encuentra la derivada de la siguiente función implícita Solución d d ( x y ) (2 a ) dx dx

3

1 2 x

1 2 y

y 0

3

y

2 y 2 x

y

y x

EJERCICIO 34 Deriva las siguientes funciones implícitas respecto a x: 1. x 2 y 2 4

5. 3x 2 2xy 6y 2 1

2. 2xy 1

6. (x 1)2 (y 1)2 5

3. y 2 8x 0

7.

x y x x y

4. x 2 2y 2 5x 2y 1 0

8.

x 2 y2 1 a2 b2

1235

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

9.

3

30. xe y y 0

xy 2

10. y 3 2 xy 2 x 3 y 5 x 2 y 2 y

31. eln y xy 2

11. 3x 3 2 x 2 y 5 xy y 3x

32. sen(e x y ) e x y x

12. y x y x

33. e x cos y 3x

13.

x y xy

14. x 15.

34. sen(x a) cos(y b) ab

2 x 3y 2 x 3y

35. y cos x sen y 36. sen2(4x) cos2(4y) 8

x y 2x

16. y ln x y

37. e cos x e sen y sen y

17. x 2y 2 e ln(xy)

38. sen(xy ) 2 x 3

18. ln(sen(e y )) x

39. sen x cos y 3 0

y

19.

e 3 ex 1

20. ln

40. ecos y cos x

y 1 x2 1

41.

21. x y ln (x y ) 2

22.

42. x arc tan y y 0

2

ex ey 1 x 2 y2

23. 3x

2

1 sen x x 1 sen y

2 y

43. y ln [sen(x y )] 44. 2 y x 3 0

1

24. x y 2 25. y arc tan

45. esen y xy 2 y 0 x y

46. x y y x 0

26. y ln x x ln y 2 0

47. 2 sen(x y ) y cos (x y )

27. y 2 ln ( ln x )y

48.

28. ln(1 e y ) e x

49. y arc cot x x 2 0

29. ln x ln y x 0

50. y arc cos (e x ) cos y

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1236

y x 2 tan xy

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

4

Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior se obtienen al derivar una función y f(x), tantas veces como lo indique el orden requerido. dy La derivada de una función se llama primera derivada y se denota con y dx La derivada de la derivada se llama segunda derivada y se denota con y

d2y dx 2

El proceso de hallar derivadas, una tras otra, se llama derivadas sucesivas. La enésima derivada de una función se denota con y ( n )

dny f (n ) ( x) dx n

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la segunda derivada

d2y de la función y cos3 x dx 2

Solución Se obtiene la primera derivada de la función: dy d cos 3 x 3 cos2 x sen x dx dx Finalmente, se deriva el resultado anterior para obtener la segunda derivada: d2y d ( 3 cos 2 x sen x ) 3 cos3 x 6 sen2 x cos x dx 2 dx

2

Determina

d 3y de la función y ln x dx 3

Solución Se obtiene la primera derivada: dy d (ln x ) 1 dx dx x Se encuentran la segunda y tercera derivadas: 1 d2y d ¤ 1³ ¥¦ ´µ 2 2 x dx dx x Finalmente, el resultado es:

3

Encuentra

3

d 3y d ¤ 1³ 2 ¥¦ 2 ´µ 3 3 x dx dx x

d 3y 2 3 x dx 3

d4y de la función f (x) x 3 2x 2 x dx 4

Solución Se deriva sucesivamente la función, hasta llegar a la cuarta derivada: f (x) x 3 2x 2 x

f (x) 3x 2 4x 1 f (x) 6 f 4(x) 0

1237

f (x) 6x 4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

4

¿Cuál es el resultado de

d2y de x 2 3xy y 1? dx 2

Solución Se obtiene la primera derivada implícita:

d 2 d ( x 3xy y ) (1 ) dx dx

3

¤ dy ³ dy 2 x 3 ¥ x y´ 0 ¦ dx µ dx 2 x 3x

d2y d ¤ 3y 2 x ³ La segunda derivada es: dx 2 dx ¥¦ 1 3x ´µ

3

dy dy 3y 0 dx dx dy (1 3x ) 3y 2x dx dy 3y 2 x dx 1 3x

d2y dx 2

¤ dy ³ (1 3x ) ¥ 3 2 ´ ( 3y 2 x )( 3) ¦ dx µ (1 3x )2

d2y dx 2

§ ¤ 3y 2 x ³ ¶ (1 3x ) ¨ 3 ¥ ´µ 2 · ( 3y 2 x )( 3) 1 3 x ¦ © ¸ (1 3x )2

d2y 3( 3y 2 x ) 2(1 3x ) ( 3y 2 x )( 3) dx 2 (1 3x )2 d2y 9y 6x 2 6x 9y 6x dx 2 (1 3x )2 d2y 18 y 6 x 2 dx 2 (1 3x )2

5

Determina

d2y de x 2 xy y 2 2 dx 2

Solución Se obtiene la primera derivada: d 2 d ( x xy y 2 ) (2 ) dx dx 2x x

dy ³ ¤ dy 2x ¥ x y´ 2y 0 ¦ dx µ dx

3

dy dy y 2y 0 dx dx

3

d2y d ¤ y 2x ³ Se obtiene la segunda derivada: dx 2 dx ¥¦ 2 y x ´µ

dy (2y x) y 2x dx

3

3

3

y 2x dy 2y x dx

d2y dx 2

¤ dy ³ ¤ dy ³ (2 y x ) ¥ 2 ´ ( y 2 x ) ¥ 2 1´ ¦ dx µ ¦ dx µ (2 y x)2

d2y dx 2

¤ 3x ³ ¤ 3y ³ (2 y x ) ¥ ( y 2 x ) ¥ ¦ 2 y x ´µ ¦ 2 y x ´µ 2 (2 y x )

al simplificar se obtiene:

6( x 2 xy y 2 ) d2y dx 2 (2 y x )3

pero x2 xy y2 2

6(2 ) 12 d2y dx 2 (2 y x )3 (2 y x )3

1238

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

EJERCICIO 35 Realiza lo que se te indica: 1. Determina

d4y , si f (x) x 4 2x 3 4x 2 5x 2 dx 4

d 3y , si y 4x 2 6x 2 dx 3 4 x 1 d2y 3. Determina , si y 2 5x 3 dx

2. Obtén

4. Determina 5. Obtén

ax b d2y , si y ax b dx 2

d 3y , si y (ax b)4 dx 3

6. Determina

d4y , si y sen x cos x dx 4

d2y , si y ln(sen x) dx 2 3 d 3y 8. Obtén , si y ( x 1)2 dx 3 7. Determina

d2y , si y tan e x dx 2

9. Encuentra 10. ¿Cuál es la 11. Obtén

d2y , si y dx 2

12. Determina 13. Obtén

d2y , si x 3xy 2y 0? dx 2

d2y , si x 2 y 2 16 dx 2

d4y , si y x ln x dx 4

14. Calcula la

d2y , si sen x cos y 0 dx 2

15. Si y x 2 sen x, obtén 16. Si y

9 x2

d 3y dx 3

x 1 d 3y d n y , obtén ; x 1 dx 3 dx n

17. Encuentra y de xy y 1 0 18. Si y ln(cos x), determina 19. Si f (x)

d 3y dx 3

1 d2y , obtén 1 sen x dx 2

20. Determina y y y de x 2 xy y 2 2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1239

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Derivadas de ecuaciones polares Sea R f (U) una función en coordenadas polares. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P(r, U) es: dy dy R sen U R cos U dU m dx dx R cos U R sen U dU

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina

dy , para la ecuación polar R 4 cos 3U dx

Solución Por el teorema: § d ( 4 cos 3 U ) ¶ ·¸ sen U [ 4 cos 3 U ] cos U 12 sen 3U sen U 4 cos 3U cos U 3 sen 3 U sen U cos 3 U cos U dy ¨© dU dx § d ( 4 cos 3 U ) ¶ 12 sen 3U cos U 4 cos 3U sen U 3 sen 3 U cos U cos 3 U sen U cos U [ 4 cos 3 U ] sen U ¨© · dU ¸

2

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva R 1 sen U en U

P 4

Solución Al utilizar el teorema: §d ¶ ¨© d U (1 sen U ) ·¸ sen U (1 sen U )cos U dy cos U sen U cos U cos U sen U d dx cos 2 U sen 2 U sen U § ¶ ¨© d U (1 sen U ) ·¸ cos U (1 sen U )sen U

Se evalúa R en U

2 cos U sen U cos U cos 2 U sen 2 U sen U

sen 2 U cos U cos 2 U sen U

P 4 ¤ P³ ¤ P³ sen 2 ¥ ´ cos ¥ ´ 1 ¦ 4µ ¦ 4µ m ¤ P³ ¤ P³ 0 cos 2 ¥ ´ sen ¥ ´ ¦ 4µ ¦ 4µ

1240

1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

4

EJERCICIO 36 Determina la derivada de las siguientes ecuaciones polares: a 1 cos U

1. R 2 sen U 3 cos U

6. R

2. R 4 csc U

7. R e aU

3. R a sen 5U

8. R 4 sec 2

4. R

9. R 3 2 cos U

sen 2U

5. R 1 cos U

U 2

10. R 4 U

En las siguientes ecuaciones polares, encuentra la pendiente en el punto indicado: 11. R 2 cos U, U

P 8

12. R sen U cos U, U 13. R tan U, U 14. R

P 3

P 4

2 ,U P a sen U

15. R 2 cos 2U , U

P 2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Derivada de ecuaciones paramétricas La curva y f (x) se define por las ecuaciones paramétricas x h (t ) y y g (t ); entonces, la pendiente de la recta tangente en un punto P (x, y) es: d dy g(t ) dy dt dt , con dx : 0 m d dx dx dt h(t ) dt dt

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Calcula

1 dy para la función cuyas ecuaciones paramétricas son x t 2 3t, y t 1 dx

Solución Se determinan las derivadas respecto a t : 1 dx dy 2t 3; (t 1)2 dt dt Por el teorema: 1 dy 1 dy 1)2 ( t dt dx 2t 3 (2t 3)(t 1)2 dx dt

1241

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2

Determina la pendiente de la recta tangente en el punto (x, y) a la curva, si sus ecuaciones paramétricas son x t 2, 1 y t 2 1 en el intervalo 3 t 3, para el punto correspondiente a t 2 8 Solución Para aplicar el teorema se obtienen las derivadas:

dy dx y dt dt

dy d §1 2 1 2t t ¶ (t ) 1· (2t ) dt dt ¨© 8 8 8 4 ¸

dx d (t 2 ) 1 dt dt

Al sustituir los resultados, se obtiene: dy t dy t dt 4 dx 1 dx 4 dt Se evalúa la derivada en t 2, para obtener el valor de la pendiente: m

2 1 4 2

EJERCICIO 37 Deriva las siguientes funciones paramétricas: ªx t 1. « , 2 ¬y t 4

t0R

ª x 3t 3 5 ­ 2. « t 2 , y 4 ¬­

1 t 3

­ª x t 2 t , 3. « ­¬ y t

t0R

ª x b sec U 4. « , ¬ y a tan U

0 U

1 ª ­x 5. « , t ­¬ y t t 1

t0R

ª x 5 sen U cos U , 6. « ¬ y sen U 4 cos U

0 U P

t ª ­x t 2 1 ­ 7. « , 2 ­ y t 1 ­¬ t 1

t0R

1242

P 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

U ª ­ x cos 8. « 2 , ­¬ y sen 2 U

ª x 5t 2 ­ 9. « 4 , ­ y t2 ¬

3 t 3

10.

[

x 3 2 tan U , y 4 csc U

P P U

2 2

0 U 2P

En las siguientes ecuaciones paramétricas obtén el valor de la pendiente en el punto indicado: ª x 1 sen t 11. « ¬ y 1 cos t

0 t 2P,

t

ª x mt 2 b 12. « ¬ y nt a

m t n,

t 2mn

ª x b(2 3t ) 13. « 2 ¬ y at

3a t 2b,

t

0 t P,

t P

ª x 2 cot 2 U 15. « ­¬ y 4 cot U

0 U 2P,

U

ª x 5t 2 16. « 2 ¬y t t

3 t 3,

t 1

14.

[

x 3t cos t y sen t

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1243

P 3

b 2a

P 4

4

sim p l i fic a

mp li fi ca

Ma te

Ma te

s simplificad as U

s simplificad as U

ca emáti M at

s da

U

imp

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

ca

U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

U

imp

s da

’Hôpital escribió el primer libro de cálculo en 1696, en el cual eran obvias las influencias de sus profesores Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz. ss ica át

ca emáti M at

ss ica át

Reseña

Ma tem

ca

sim

s simplificada sU

U Matemáti c as

tica temá

s cada

Ma

ticas simplificada s temá U Ma tem

U

L

5

plifi

sim pli fic a

HISTÓRICA

as tic

sim

im

fic a

DE LA DERIVADA Ma

s as tic

sim APLICACIONES pli

U

má

CAPÍTULO

s U Matemáti cada cas plifi s U Matemáti cada cas plifi

Ma tem

s da

m

im ss ca á ti

as U

s da

L’Hôpital sirvió como oficial de caballería, pero tuvo que retirarse a causa de ser corto de vista. Desde ese tiempo dirigió su atención hacia las matemáticas. L’Hôpital aprendió cálculo de su maestro Johann Bernoulli en 1691.

s da

UM

atem

áticas simplificadas

Matem ática das U a c fi s si pli

U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

UM a t e má

L’Hôpital era un excelente matemático, en 1692 su fama está basada en su libro Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes. En este libro publicó la regla que ahora se conoce como regla de L’Hôpital, para encontrar el límite de una función racional cuyo numerador y denominador tienden a cero. Guillaume François Antoine marqués de L`Hôpital (1661-1704)

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Rectas tangente y normal a una curva Analicemos primero algunas definiciones:

Tangente Recta que toca a una curva en un punto.

Normal Recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia. T: recta tangente N: recta normal AP1 : longitud de la tangente P1 B : longitud de la normal AQ : longitud de la subtangente QB : longitud de la subnormal

Y

y = f(x)

T

N

P1(x1, y1) U U O

A

Q

B

Ú Longitud de la subtangente. En el triángulo AQP1 la tan U jar AQ se obtiene, AQ

X

PQ dy 1 , pero PQ y1 y tan U m , al despe1 dx AQ

PQ 1 , por consiguiente: tan U AQ

y1 dy dx

Ú Longitud de la subnormal. En el triángulo BQP1 la tan U

QB dy , pero QP1 y1 y tan U m , por tanto, dx QP1

al despejar QB se obtiene, QB QP1 tan U, por consiguiente: QB y1

dy dx

Ú Longitud de la tangente. Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta tangente con el eje X. En el triángulo AQP1 por el teorema de Pitágoras: ( AP1 )2 ( AQ )2 (QP1 )2

1246

CAPÍTULO CÁLCULO

Pero, AQ

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

y1 y QP1 y1, por consiguiente: dy dx 2

AP1

2

¤ ³ 2 ( y1 )2 ¤ ( y1 )2 ¥ y ´ ¤ dy ³ ³ 2 ¥ 1 ´ (y1)2 ´ 2 ¥1 ¥ 2 ( y1) dy ¦ dx µ ´µ ¤ dy ³ ¦ ¤ dy ³ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ dx ¦¥ dx µ´ dx 2

Al despejar AP1 se obtiene, AP1

y1 ¤ dy ³ 1 ¥ ´ , por tanto, dy ¦ dx µ dx AP1

y1 1 y 2 y

Ú Longitud de la normal. Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta normal con el eje X. En el triángulo BQP1 por el teorema de Pitágoras: ( BP1 )2 ( BQ )2 (QP1 )2 Pero BQ y1

dy y QP1 y1 dx 2 2 ¤ dy ³ ¤ ¤ dy ³ ³ ( BP1 )2 ¥ y1 ´ ( y1)2 (y1)2 ¥ 1 ¥ ´ ´ ¦ ¦ dx µ µ dx µ ¦

2

¤ dy ³ Al despejar BP1 , se obtiene, BP1 y1 1 ¥ ´ , por consiguiente: ¦ dx µ BP1 y1 1 y 2

Ecuación de la recta tangente La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P1(x1, y1) con pendiente m y y1

dy está dada por: dx

dy (x x1) dx

Ecuación de la recta normal La ecuación de la recta normal a una curva en el punto P1(x1, y1) con pendiente m

y y1

1247

1 (x x1) dy dx

1 está determinada por: dy dx

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva x 2 xy y x 4 en el punto (1, 2)? Solución Se derivan ambos miembros de la ecuación: d ( x 2 xy y ) d ( x 4 ) dx dx Se despeja

3

¤ dy ³ dy 2 x ¥ x y´ 1 ¦ dx µ dx

3

2x x

dy dy y 1 dx dx

dy dx 1 2x y dy 1 2 x y , por def inición mT 1 x dx 1 x

Al sustituir las coordenadas del punto de tangencia en la pendiente, se obtiene: m

2

1 2(1) ( 2 ) 1 1 1 2

¤ P 1³ ¤P ³ Determina la pendiente de la recta tangente a la curva D sen ¥ U ´ , en el punto ¥ , ´ ¦2 µ ¦ 3 2µ Solución Al derivar la ecuación de la curva: ¤P ³ d ¥ U´ µ dD ¤P ³ ¦2 ¤P ³ ¤P ³ cos ¥ U ´ cos ¥ U ´ ( 1) cos ¥ U ´ ¦2 µ ¦2 µ ¦2 µ dU dU ¤P ³ se obtiene que: mT cos ¥ U ´ ¦2 µ Se sustituye el punto en la pendiente: 3 ¤ P P³ ¤ P³ m cos ¥ ´ cos ¥ ´ ¦2 ¦ 6µ 3µ 2

3

Encuentra la longitud de la subtangente, la subnormal, la tangente y la normal a la curva f(x) x 2 6x 4 en el punto P(1, 1). Solución Se deriva la función y se evalúa en el punto para encontrar la pendiente de la recta tangente en ese punto. f (x) 2x 6 Si x 1, entonces, f (1) 2(1) 6 2 6 4

1248

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Por tanto, subtangente:

tangente:

4

y1 1 dy 4 dx

y1 ¤ dy ³ 1 ¥ ´ dy ¦ dx µ dx

2

subnormal: y1

dy (1)(4) 4 dx

¤ dy ³ normal: y1 1 ¥ ´ ¦ dx µ

1 17 4

2

17

¤ 1³ Determina la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva xy y 1 0 en el punto ¥ 3, ´ ¦ 4µ Solución y y , por definición mT Al derivar la función se obtiene y x 1 x 1 1 1 ¤ 1³ Se evalúa en el punto ¥ 3, ´ , m T 4 ¦ 4µ 16 3 1 Ecuación de la tangente: 1 dy ¤ 1³ , se sustituye en y y1 (x x1) Se obtiene con P ¥ 3, ´ y m T ¦ 4µ 16 dx 1 1 y ( x 3) 4 16

3

16y 4 x 3

3

x 16y 7 0

Ecuación de la normal: 1 1 ¤ 1³ 16, se sustituye en y y1 (x x1) Se obtiene con P ¥ 3, ´ y mN dy dy ¦ 4µ dx dx y

1 16(x 3) 3 4

4y 1 64x 192

3 64x 4y 191 0

Las ecuaciones de las rectas tangente y normal son: x 16y 7 0 y 64x 4y 191 0

EJERCICIO 38 Calcula la longitud de la subtangente, la subnormal, la tangente y la normal de las curvas dadas en el punto indicado. 1. f (x) x 2 en x 3 2. f (x) x 2 3x 2 en x 2 3. y x 2 5x 6 en el punto ( 1, 12) 4. f (x) x 3 2x 2 3 en el punto (2, 7) 5. y

x 1 en el punto (2, 3) x 1

6. f (x)

x en el punto ( 9, 3)

7. f (x)

x 3 en el punto (1, 2)

8. y

1 en x 2 x

1249

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

9. f(x) x 2 4 x en x 3 ¤ 2³ 10. x 2 y y 2 0 en el punto ¥ 2, ´ ¦ 3µ Determina la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva en el punto indicado: 11. y x 2 5 en el punto ( 2, 9 ) 12. y x 2 x 1 en el punto (0, 1) ¤1 ³ 13. y 4 x 2 4 x 1 en el punto ¥ , 0 ´ ¦2 µ 14. y x 3 x 2 en el punto (2, 4 ) 15. y x 4 3x 3 2 x 2 5 x 9 en el punto ( 1, 4 ) 16. f (x)

9 x 2 en el punto

17. f(x)

x 1 en el punto ( 3, 2 ) x 1

18. f(x)

2 en el punto (0, 2 ) x 1

5, 2

¤P ³ 19. y sen x en el punto ¥ , 1´ ¦2 µ ¤ P 1³ 20. y cos x en el punto ¥ , ´ ¦ 3 2µ ¤P ³ 21. y tan x 2 en el punto ¥ , 3´ ¦4 µ 22. x 2 y 2 12 0 en el punto ( 4, 2 ) 23. xy 1 en el punto (1, 1) 24. x 3 2 xy 4 0 en el punto de abscisa x 1 25. x 2 y 2 4 y 1 0 en el punto de abscisa x 2 26.

x y x 1 en el punto de abscisa x 3

27. f (x) ln x en el punto de abscisa x e 28. xy x 2 0 en el punto de abscisa x

1 2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1250

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Ángulo entre dos curvas Sea P (xo, yo) el punto de intersección entre las curvas f (x) y g(x), entonces el ángulo U entre las curvas se obtiene con: tan U

f ( xo ) g ( xo ) 1 f ( xo ) g ( xo )

Donde f (xo ) es la pendiente de la recta L 2 y g (xo ) es la pendiente de la recta L 1

Y

L2

y = f(x)

U

P(xo, yo)

y = g(x)

O

L1

X

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el ángulo agudo f ormado por las curvas f (x) 4 x 2 y g(x) x 2 en el punto de intersección, cuya abscisa es x 2 Solución Se obtienen las derivadas de las funciones: f (x) 4 x 2 f (x) 2x Se evalúa la abscisa x

g(x) x 2 g (x) 2x

2 en las pendientes (derivadas) f ( 2 ) 2 2

g ( 2 ) 2 2

Se aplica la fórmula, entonces; tan U

2 g 2 2 2 2 2 1 f 2 g 2 1 2 2 2 2 f

Al despejar U ¤4 2³ U arc tan ¥ ´ ¦ 7 µ Por tanto: U 38 56 32

1251

4 2 4 2 1 8 7

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Solución Paso I: Se obtienen las pendientes de las curvas al derivar las ecuaciones y evaluar los puntos dados: De la curva x 2 y 2 4, y

x x 3 y de la curva x 2 y 2 6x 8 0, y y y

En el punto 1, 3 , las pendientes son:

1 2 y respectivamente. 3 3

En el punto 1, 3 , las pendientes son:

1 2 y respectivamente. 3 3

Paso II: Se obtiene el ángulo al sustituir el valor de las pendientes en la fórmula.

Para el punto 1, 3 : 2 1 1 1 3 3 3 3 3 tan U 2 5 ¤ 2 ³¤ 1 ³ 5 3 1 1 ¥ 3 3 ¦ 3 ´µ ¥¦ 3 ´µ Por consiguiente: U 19 6

Para el punto 1, 3

2 ¤ 1 ³ 1 1 ¥ ´ 3 ¦ 3µ 3 3 3 tan U 2 5 2 1 ¤ ³¤ ³ 5 3 1 1 ¥ ´ ¥ ´ 3 3 ¦ 3µ ¦ 3µ

Finalmente: U 160 54

3

¿Cuál es la medida de los ángulos formados por las curvas x 2 y 2 4, x 2 y 2 6x 8 0 en los puntos 1, 3 , 1, 3 ?

Encuentra la medida del ángulo agudo formado por las curvas x 2 y 2 8 0 y y 2 2x 0 Solución Se obtienen las intersecciones de las curvas mediante un sistema de ecuaciones: x 2 y 2 8 0; y 2 2x

x 2 2x 8 0

3

(x 4)(x 2) 0 x 4, x 2 Luego, si x 2 entonces y 2 que resultan en los puntos (2, 2) y (2, 2) Se obtienen las derivadas de cada una de las ecuaciones: x2 y2 8 0

y 2 2x 0

2x 2y y 0

2y y 2 0 1 y y

x y y

1252

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Se realiza la evaluación en los puntos (2, 2) y (2, 2) Para el punto (2, 2) 3 y1

2 1 1; y2 2 2

Luego: 1 1 3 ( 1) 1 2 2 2 tan U 3; donde U arc tan(3) 71 33 1 1 1 1 ( 1) 1 2 2 2 Para el punto (2, 2)

3

y2

2 1 1; y1 2 2

Luego, ¤ 1³ 3 1 1 ¥ ´ 1 ¦ 2µ 2 2 3; donde U arc tan(3) 71 33 tan U 1 1 ¤ 1³ 1 1 (1) ¥ ´ ¦ 2µ 2 2

Y

(2, 2) U =71° 33’

x2 + y2 – 8 = 0

X U =71° 33’ (2, –2) y2 – 2x = 0

EJERCICIO 39 Determina la medida del ángulo agudo y obtuso que forman las curvas dadas en el punto indicado: 1. y x 2 1 ; y x 1 en el punto (0, 1) 2. y

4 2 x ; y 25 x 2 en el punto ( 3, 4 ) 9

3. y 13 x 2 ; y 18 ( x 5 )2 en el punto ( 2, 3)

4. x 2 y 2 2 0 ; y 2 x 0 en el punto 2, 2

3³ ¤ 5. 3x 2 5 y 0 ; 2 x 5 y 1 0 en el punto ¥ 1, ´ ¦ 5µ 6. xy 1 ; y

x 1 ¤ 1³ en el punto ¥ 2, ´ ¦ 2µ x

7. x 2 y 2 5 0 ; y 2 4 x 0 en el punto de abscisa 1 8. Determina la medida del ángulo obtuso que forma x 2 3y 2 13 0 y y 2 4 x 0

1253

5

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Calcula la medida del ángulo agudo que forman las curvas dadas: 9. 3x 2 4 y 2 12 0 ; 4 y 2 9 x 0 10. xy x 2 0 ; xy 1 0 11. x 2 y ; y 2( x 2 )2 12. y x 2 x ; y x 2 5 x 13. y 2 x 1 ; y 2 2 x 4 0

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Curvatura Radio de curvatura En geometría plana la longitud de un segmento circular está dada por la fórmula: s r U

3 r

s U

s θ r

En la figura se observa que s cambia cuando U cambia. En una curva cualquiera, al tomar un segmento muy pequeño formado por dos puntos de la curva y al relacionar la fórmula anterior se tiene que:

Δθ ≠ Δ θ' Δs

Δθ

Δθ ' Δs

De la fórmula anterior se define $r como: $r

$s $U

Luego, si la longitud $s es cada vez más pequeña, es decir, tiende a cero, el radio de curvatura se define como el siguiente límite: r lím

$s l 0

$s ds $U d U

3 r

C

dθ

θ + dθ

r

ds P

1254

Q

θ

ds dU

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

En la figura se tienen dos puntos, P y Q, de la curva, muy próximos entre sí, en cada punto se traza una recta tangente y su normal. Al punto de intersección entre las normales se le llama centro de curvatura y a la distancia del centro a cualquiera de los puntos P y Q se le llama radio de curvatura. La expresión

1 dU recibe el nombre de curvatura. r ds

Para determinar la fórmula que permita calcular el radio de curvatura se tiene la siguiente figura. Y

f(x)

y + dy

Q ds P

y

θ

R

x

x + dx

X

En la función f (x) se tienen los puntos P y Q infinitamente muy próximos, de manera que la longitud del segmento circular ds sea igual a la longitud del segmento PQ; entonces, de la representación geométrica de la derivada se tiene que: dy dy tan U 3 U arc tan dx dx Del triángulo PQR y el teorema de Pitágoras se obtiene: § (dy )2 ¶ ¤ dy ³ ds (dx )2 (dy )2 ¨1 (dx )2 1 ¥ ´ 2 · ¦ dx µ (dx ) ¸ ©

2

dx

Luego, ds r d U 3 r

ds dU

2 2 2 § ¤ dy ³ 2 ¶ ¤ dy ³ ¤ dy ³ ¤ dy ³ ¨1 ¥¦ ´µ · 1 ¥¦ ´µ 1 ¥ ´ dx 1 ¥ ´ dx dx ·¸ dx ¦ dx µ ¦ dx µ ds ¨ r 3 r 3 r 3 r © 2 2 dy d y d y dU d arc tan dx dx dx 2 dx 2 2 dy ¤ ³ 1 ¥ ´ ¦ dx µ

Finalmente, la fórmula para determinar el radio de curvatura es:

r

§ ¤ dy ³ 2 ¶ ¨1 ¥¦ ´µ · dx ·¸ ¨© d2y dx 2

3

o r

La longitud del radio de curvatura es una cantidad positiva.

1255

§©1 ( y )2 ¶¸ y

3

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Círculo de curvatura Es una curva dada en un punto de tangencia a la circunferencia, que tiene de centro el centro de curvatura y de radio el radio de curvatura y que pasa por un punto de tangencia, también se le conoce como circunferencia osculatriz o círculo osculador. f(x) C r Q

Centro de curvatura Para determinar la fórmula que permita calcular el centro de curvatura se tiene la siguiente figura.

Y

Q

r C

X Donde: C (A, B): centro de curvatura Q(x, y): punto de la curva r: radio de curvatura Se obtiene la ecuación de la recta normal de la recta tangente en el punto Q. 1 B y (A x ) y Se obtiene la ecuación de la circunferencia de centro el punto C (A, B), radio r y que pasa por el punto Q(x, y). (x A)2 (y B)2 r 2 Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen las coordenadas del centro de curvatura. 2 ¤ dy § ¤ dy ³ 2 ¶ ³ ¤ ¤ dy ³ ³ ¥ ¨1 ¦¥ µ´ · ´ 1 ¥ ´ ¥ dx ¨ dx ·¸ ´ ¦ dx µ ´ ´ A x ¥ © 2 , B y ¥ ´ ¥ d y d2y ´ ¥ ´ ¥ ´µ ¥¦ dx 2 dx 2 ´µ ¥¦

¤ y §1 ( y )2 ¶¸ ³ ¤ 1 ( y )2 ³ A x ¥ © ´ , B y ¥ y ´ ¦ µ y ¦ µ

1256

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el radio de curvatura y la curvatura de la curva x 2 y 2 25 en el punto (3, 4) Solución Se obtienen la primera y la segunda derivadas de la función dada. d2y x 2 y2 2 dx y3

dy x dx y El punto se evalúa en cada derivada.

dy 3 x ; dx 4 y d2y 32 4 2 25 x 2 y2 2 3 dx 43 64 y Los valores que se obtienen se sustituyen en la fórmula de radio de curvatura.

r

§©1 ( y )2 ¶¸ y

3

3 r

§ ¤ 3³ 2 ¶ ¨1 ¥¦ ´µ · 4 ·¸ ¨© 25 64

Por tanto, el radio de curvatura es: r 5 Luego, el valor de la curvatura se obtiene con la expresión: dU 1 ds r F inalmente, el valor de la curvatura es: dU 1 ds 5

1257

3

125 3 r 64 25 64

3 r 5

5

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Determina el radio y el centro de curvatura de curva y 2 8x, en el punto ( 2, 4) Solución Se obtienen la primera y la segunda derivadas de la curva y se evalúa el punto. dy 4 4 1 dx y 4 d2y 16 16 1 3 3 y (4 ) dx 2 4 Los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula del radio de curvatura.

r

§©1 ( 1)2 ¶¸ 1 4

3

3 r

2 2 3 r 8 2 1 4

Por tanto, el radio de curvatura es: r 8 2 Luego, el punto ( 2, 4) y los valores de las derivadas, se sustituyen en las fórmulas que determinan las coordenadas del centro de curvatura. ¤ ³ 2 ¤ y §©1 ( y )2 ¶¸ ³ ¥ 1 §©1 ( 1) ¶¸ ´ A x ¥ ´ 3 A 2 ¥ ´ 3 A 2 8 10 1 y ¦ µ ¥¦ ´µ 4 ¤ ³ 2 ¤ 1 ( y )2 ³ ¥ 1 ( 1) ´ B y ¥ 3 B 3 B 4 8 4 4 ¥ 1 ´ ¦ y ´µ ¥¦ ´µ 4 Por tanto, las coordenadas del centro de curvatura son el punto ( 10, 4)

Radio de curvatura en coordenadas paramétricas Dadas las ecuaciones de una curva en coordenadas paramétricas. x f(t), y g (t) Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene: § ¤ dx ³ 2 ¤ dy ³ 2 ¶ ¨ ¥ ´ ¥ ´ · ¦ dt µ · ¨ ¦ dt µ ¸ r © dx d 2 y dy d 2 x dt dt 2 dt dt 2

1258

3

§ ( x )2 ( y )2 ¶ ¸ 3 r © x y y x

3

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Ejemplos

EJEMPLOS

3

Determina el radio de curvatura de la elipse x 2 cos t, y 3 sen t en el punto correspondiente a t

P 2

Solución Se obtienen la primera y la segunda derivadas de cada ecuación y se evalúa t

P en cada una de ellas. 2

¤ P³ x 2 cos t 3 x 2 sen t 3 x 2 sen ¥ ´ 2(1) 2 ¦ 2µ ¤ P³ x 2 cos t 3 x 2 cos ¥ ´ 2(0 ) 0 ¦ 2µ ¤ P³ y 3 sen t 3 y 3 cos t 3 y 3 cos ¥ ´ 3(0 ) 0 ¦ 2µ ¤ P³ y 3 sen t 3 y 3 sen ¥ ´ 3(1) 3 ¦ 2µ Los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula del radio de curvatura: § ( x )2 ( y )2 ¶ ¸ r © x y y x

3

3

§ ( 2 )2 ( 0 )2 ¶ ¸ 3 r 8 8 4 3 r © 6 6 3 (2 )( 3) (0 )(0 )

Por consiguiente, el radio de curvatura de la elipse en el punto correspondiente a t r

P es: 2

4 3

Radio de curvatura en coordenadas polares Dada la curva con ecuación de la forma: R f (U ) Se tiene que: x R cos U , y R sen U Si se sustituye R f (U ) en estas últimas ecuaciones, se obtiene: x f (U ) cos U , y f (U ) sen U Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene: 3

2 § dR ¶ ¨ R ¤¥ ³´ · ¦ dU µ · ¨© ¸ r 2 d2R ¤ dR ³ 2 R 2¥ ´ R 2 ¦ dU µ dU

1259

3

§ R ( R )2 ¶ ¸ 3 r 2© R 2( R )2 RR

5

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

4

Determina el radio de curvatura de la curva R cos 2U, en el punto correspondiente a U P Solución Se determinan la primera y la segunda derivadas de la función dada y se evalúa U R cos 2 U 3 R cos 2(P) 3 R 1 R 2 sen 2 U 3 R 2 sen 2(P) 3 R 0 R 4 cos 2 P 3 R 4 cos 2(P) 3 R 4 Los valores se sustituyen en la fórmula y se simplifican las operaciones. 3

3 § 1 ( 0 )2 ¶ § 1¶ ¸ © ¸ 1 1 r 2 © 5 5 (1) 2(0 )2 (1)( 4 ) 1 0 4

Por tanto, el valor del radio de curvatura es: r

1 5

EJERCICIO 40 Determina el radio de curvatura y la curvatura de las curvas en el punto dado: 1. x 2 y 2 3

(1, 2)

2. xy y 4 0

(3, 1)

3.

x2

4y 0

(2, 1)

x3

(1, 1)

x cos t y sen t

t P

ªx 1 t 6. « 2 ¬y t

t 2

7. R cos U

U

P 2

U 2

U

P 3

4. y 5.

[

8. R sen

Determina el centro de curvatura de las curvas en el punto dado: 9. x 2 4y 0 10.

x2

4y 2

(2, 1)

8 0

( 2, 1)

11. y sen x

¤P ³ ¥¦ , 1´µ 2

12. y e x 0

(0, 1)

13. y x 1

(3, 2)

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1260

P 4

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

MĂĄximos y mĂ­nimos de una funciĂłn DeďŹ niciĂłn 1. Se dice que una funciĂłn f (x) tiene un mĂĄximo local M en x xo , si f (xo ) f(x) para toda x en un intervalo (a, b) tal que xo , pertenezca a dicho intervalo. 2. Se dice que una funciĂłn f(x) tiene un mĂ­nimo local m en x xo , si f (xo ) f (x) para toda x en un intervalo (a, b) tal que xo , pertenezca a dicho intervalo.

Y

Y M

f(xo) f(x)

f(xo)

P

P

f(x) ( a

) b

xo

m ( a

X

f(x) ≤ f(xo)

xo f(xo) ≤ f(x)

) b

X

Si f (x) tiene un mĂĄximo o mĂ­nimo local en xo , entonces la pendiente de la recta tangente (derivada) en dicho punto es igual a cero.

Y M

f’(x) = 0

m

f(x)

f’(x) = 0 X

Donde: M punto mĂĄximo m punto mĂ­nimo

Criterio de la primera derivada para encontrar puntos mĂĄximos y mĂ­nimos a) Si f (x) 0, para toda x 0 (a, xo ) y f (x) 0, para toda x 0 (xo , b) (es decir, la derivada cambia de valores positivos a negativos), entonces en f (xo ) existe un valor mĂĄximo local. b) Si f (x) 0 para toda x 0 (a, xo ) y f (x) 0, para toda x 0 (xo , b) (es decir, la derivada cambia de valores negativos a positivos), entonces en f (xo ) existe un valor mĂ­nimo local. c) Si para toda x 0 (a, b) y f (x) tiene el mismo signo, entonces f(x) no tiene valor mĂĄximo ni mĂ­nimo local.

1261

CAPĂ?TULO

5

MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina los puntos mĂĄximos y mĂ­nimos para la funciĂłn f (x) 3x 2 12x 15, utiliza el criterio de la primera derivada. SoluciĂłn Paso I Se obtiene la derivada de la funciĂłn: f (x) 6x 12 Paso II La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuaciĂłn: f (x) 6x 12;

6x 12 0

donde

x 2

Este resultado recibe el nombre de valor o punto crĂ­tico. Paso III Se da un valor menor y uno mayor prĂłximo al valor crĂ­tico y se evalĂşan en la derivada. Para x 2 se toman los valores 1 y 3 f (1) 6(1) 12 6 0

f (3) 6(3) 12 6 0

y

El cambio de signo es de negativo a positivo, entonces la funciĂłn tiene un valor mĂ­nimo en x 2. Paso IV El valor crĂ­tico se evalĂşa en la funciĂłn: f(2) 3(2)2 12(2) 15 f (2) 3 Por consiguiente, el punto mĂ­nimo es (2, 3)

2

ObtĂŠn los puntos mĂĄximos y mĂ­nimos para la funciĂłn f(x) 2 x 3 3x 2 12 x 15 SoluciĂłn Paso I Se obtiene la derivada de la funciĂłn: f (x) 6 x 2 6 x 12 Paso II La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuaciĂłn: f (x) 6 x 2 6 x 12

3

6 x 2 6 x 12 0 x2 x 2 0 ( x 2 )( x 1) 0

Los valores crĂ­ticos son: x1 2, x2 1

1262

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Paso III Se dan valores menores y mayores prĂłximos a los valores crĂ­ticos y se evalĂşan en la derivada. Para x 1, se toman los valores x

3 1 yx 2 2

2

21 ¤ 3³ ¤ 3 ³ ¤ 3 ³ f ¼ ´ 6 ¼ ´ 6 ¼ ´ 12 0 Œ 2¾ Œ 2 ¾ Œ 2 ¾ 2

2

15 ¤ 1³ ¤ 1 ³ ¤ 1 ³ y f ¼ ´ 6 ¼ ´ 6 ¼ ´ 12

0 ÂŚ 2Âľ ÂŚ 2 Âľ ÂŚ 2 Âľ 2

La derivada cambia de signo positivo a negativo, entonces la funciĂłn tiene un valor mĂĄximo en x 1 Para x 2 se toman los valores x

3 5 yx 2 2

2

15 ¤ 3³ ¤ 3³ ¤ 3³ f ¼ ´ 6 ¼ ´ 6 ¼ ´ 12

0 ÂŚ 2Âľ ÂŚ 2Âľ ÂŚ 2Âľ 2

2

21 ¤ 5³ ¤ 5³ ¤ 5³ y f ¼ ´ 6 ¼ ´ 6 ¼ ´ 12 0 Œ 2¾ Œ 2¾ Œ 2¾ 2

La derivada cambia de signo negativo a positivo, entonces la funciĂłn tiene un valor mĂ­nimo en x 2 Paso IV Los valores crĂ­ticos se evalĂşan en la funciĂłn: Para x 1, f ( 1) 2( 1)3 3( 1)2 12( 1) 15 22 Para x 2, f (2) 2(2 )3 3(2 )2 12(2 ) 15 5 Por tanto, el punto mĂĄximo es ( 1, 22) y el punto mĂ­nimo es (2, 5)

Intervalos donde crece o decrece una funciĂłn DeďŹ niciĂłn 1. Una funciĂłn es creciente en el intervalo (a, b), si f (x) 0 para toda x 0 (a, b) 2. Una funciĂłn es decreciente en el intervalo (a, b), si f (x) 0 para toda x 0 (a, b)

Y

Y f (x)

f ’(x)>0 f (x)

a

x

a

b X

x

f ’(x)< 0 b

X

ObservaciĂłn 1. Existen funciones siempre crecientes, pero su derivada se anula para algĂşn valor de x.

Ejemplo La funciĂłn f (x) 1 (x 2)3 es siempre creciente, pero su derivada es cero para x 2 f (x) 3(x 2)2

3 f (2) 3(2 2)2 3(0) 0

ObservaciĂłn 2. Existen funciones siempre decrecientes, pero su derivada se anula para algĂşn valor de x.

1263

CAPĂ?TULO

5

MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

La funciĂłn f (x) 1 (x 2)3 es siempre decreciente, pero su derivada es cero para x 2 f (x) 3(x 2)2 3 f (2) 3(2 2)2 3(0) 0

2

Indica los intervalos donde la funciĂłn f (x)

1 3 1 2 x x 6 x es creciente y decreciente. 3 2

SoluciĂłn a) Intervalo donde f (x) es creciente. Paso I Se obtiene la derivada de la funciĂłn: f (x) x 2 x 6 Paso II Por def iniciĂłn f (x) 0 x2 x 6 0 Al resolver la desigualdad se obtienen los intervalos: ( @, 2) X (3, @) Donde la f unciĂłn es creciente. b) Intervalo donde f (x) es decreciente. Paso I Se obtiene la derivada de la funciĂłn: f (x) x 2 x 6 Paso II Por definiciĂłn f (x) 0 x2 x 6 0 Al resolver la desigualdad se obtiene el intervalo: ( 2, 3) Donde la f unciĂłn es decreciente. GrĂĄf ica:

Y f’(x)< 0

f’(x) > 0

x=3 x = –2

X

f’(x) > 0 f’(x) < 0

1264

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

EJERCICIO 41 Encuentra los mĂĄximos, los mĂ­nimos y los intervalos para los que la funciĂłn es creciente o decreciente. 1. f ( x ) x 2 6 x 5

9. f ( x )

x3 x2 6x 4 3 2 x4 4 3 3 2 x x 1 4 3 2

2. f ( x ) 3x 2 5 x 4

10. f ( x )

3. f ( x ) x 3 3x

11. y

4. f ( x ) x 3 6 x 2

12. f ( x )

x 3 x 3

5. f ( x ) 4 x 3 3x 2 6 x

13. f ( x )

2x x2 4

6. f ( x ) 4 x 3 x 2 4 x 3

14. y

7. f ( x ) 2 x 3 3x 2 12 x 5

15. f ( x )

8. f ( x )

3 x2 2x

x2 1 4 x2 x2 x 3

x3 x 2 3x 1 3

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente Criterio de la segunda derivada para encontrar puntos mĂĄximos y mĂ­nimos a) Dada y f (x) con f (xo ) 0, si f (xo ) 0, entonces el punto (xo , f(xo )) representa un punto mĂ­nimo. b) Dada y f (x) con f (xo ) 0, si f (xo ) 0, entonces el punto (xo , f (xo )) representa un punto mĂĄximo.

Ejemplo Determina con el criterio de la segunda derivada los puntos mĂĄximos y mĂ­nimos de la funciĂłn f(x) x 3 3x 2 24x 10 SoluciĂłn Paso I Se obtiene la derivada de la funciĂłn: f (x) 3x 2 6x 24 Paso II Se iguala la derivada a cero y se resuelve la ecuaciĂłn: 3x 2 6x 24 0 x 2 2x 8 0 (x 4)(x 2) 0 Los valores crĂ­ticos son: x 4

1265

y x 2

5

5

CAPĂ?TULO MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

Paso III Se obtiene la segunda derivada y se evalĂşa con los valores crĂ­ticos: f (x) 6x 6 Para x 2 f ( 2) 6( 2) 6 18 0 Por tanto, la funciĂłn tiene un valor mĂĄximo en x 2 Para x 4 f (4) 6(4) 6 18 0 Por tanto, la funciĂłn tiene un valor mĂ­nimo en x 4 Paso IV Los valores crĂ­ticos se evalĂşan en la funciĂłn: Para x 2 f ( 2) ( 2)3 3( 2)2 24( 2) 10 18 Para x 4 f (4) (4)3 3(4)2 24(4) 10 90 Entonces, la funciĂłn tiene un punto mĂĄximo en ( 2, 18) y un punto mĂ­nimo en (4, 90)

Concavidad y punto de inexión de una función La función f (x) es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función estån por debajo de la curva. La función f (x) es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función estån por arriba de la curva.

Y

f (x) = 0 f (x)

f’(x) > 0

CĂłncava hacia arriba de (x0, @)

f’(x) < 0 f�(x) = 0

f (xo) f’(x) < 0

f’(x) > 0 f (x) = 0

CĂłncava hacia abajo de ( @, x0)

O

x = xo

X

Donde (xo , f (xo )) es el punto de inflexiĂłn. Prueba de concavidad: 1. Una funciĂłn es cĂłncava hacia arriba en un intervalo (a, b) si para todo x 0 (a, b), f (x) 0 2. Una funciĂłn es cĂłncava hacia abajo en un intervalo (a, b) si para todo x 0 (a, b), f (x) 0 3. Una funciĂłn tiene un punto de inflexiĂłn en (xo , f(xo )) si f (xo ) 0

Ejemplo Determina las coordenadas del punto de inflexiĂłn y los intervalos de concavidad para la funciĂłn: f (x) 2 x 3 9 x 2 60 x

1266

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

SoluciĂłn Punto de inflexiĂłn Paso I Se obtiene la segunda derivada: f (x) 6 x 2 18 x 60

3 f (x) 12 x 18

Paso II La segunda derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuaciĂłn: 12 x 18 0

3 x

3 2

Paso III 3 Se evalĂşa la funciĂłn con x : 2 3

2

207 ¤ 3³ ¤ 3³ ¤ 3³ ¤ 3³ f ¼ ´ 2 ¼ ´ 9 ¼ ´ 60 ¼ ´ Œ 2¾ Œ 2¾ Œ 2¾ Œ 2¾ 2 ¤ 3 207 ³ Por consiguiente, las coordenadas del punto de inflexión son ¼ , Œ 2 2 ´¾

Intervalos de concavidad Intervalo donde la funciĂłn es cĂłncava hacia arriba. Por def iniciĂłn f (x) 0, entonces: 12 x 18 0

Al resolver la desigualdad se obtiene que x

3 , por tanto, el intervalo donde la funciĂłn es cĂłncava hacia arriba 2

3 es: ¤¼ @, ³´ Œ 2¾ Intervalo donde la función es cóncava hacia abajo. Por def inición f (x) 0 12 x 18 0

Al resolver la desigualdad se obtiene que x

3 , entonces, el intervalo donde la funciĂłn es cĂłncava hacia abajo 2

3 es: ¤¼ , @ ³´ Œ2 ¾

1267

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 42 Dadas las siguientes funciones, determina: a) b) c) d) e)

Puntos máximos y mínimos. Intervalos donde la función crece y decrece. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexión. Gráfica.

1. f (x) x 2 6 x 10

7. f(x) 2 x 3 3x 2 12 x 6

2. f(x) x 2 4 x 6

8. f(x) (x 2 1)2

3. f (x) x 3 3x 2 9 x 1

9. f(x)

x 2 36

4. f (x) 2 x 3 3x 2 36 x 24

10. f (x) x 3(x 2)

5. f (x) x 4 4x 3

11. f(x) sen(2x) en [0, P]

6. f (x) x 2

1 x2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Optimización Los métodos para obtener puntos máximos y mínimos de una función son una herramienta que se emplea para solucionar problemas prácticos donde se va a optimizar una variable. Hay una gran variedad de problemas, por lo que resulta difícil dar reglas específicas para resolverlos. No obstante se dan algunas sugerencias: Ú Ú Ú Ú

Leer cuidadosamente el problema y pensar en los hechos que se presentan y las variables desconocidas. Hacer un diagrama o dibujo geométrico que incluya los datos. Relacionar los datos con las variables desconocidas, hallando la función a maximizar o minimizar. Encontrar los valores críticos y determinar cuál corresponde a un máximo o a un mínimo.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra dos números positivos cuya suma sea 20 y el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro, sea un valor máximo. Solución Sean x y y los números buscados, entonces: La suma de los números es 20: x y 20 El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro, es máximo: P x 2y 3 Se despeja y de la primera igualdad y se sustituye en el producto: x y 20

3

y 20 x

Por tanto: P x 2y 3 x 2(20 x)3 será la función a maximizar. Se obtiene la derivada: P (x) x(20 x)2 (40 5x) La derivada se iguala con cero: P (x) 0, x(20 x)2(40 5x) 0 Al resolver esta última ecuación se obtienen los valores críticos: x 0, x 20, x 8 Se obtiene la segunda derivada: P (x) 20x 3 720x 2 7 200x 16 000

1268

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Se analizan los valores crĂ­ticos: Para x 0, P (0) 16 000 0, entonces en x 0 existe un valor mĂ­nimo Para x 20, P (20) 0, entonces en x 20 no existe valor mĂĄximo ni mĂ­nimo Para x 8, P (8) 5 760 0, entonces en x 8 existe un valor mĂĄximo Por tanto, uno de los valores es x 8 y al sustituir en y 20 x, se obtiene y 12, entonces los nĂşmeros que se buscan son: x 8, y 12

2

De las cuatro esquinas de una lĂĄmina cuadrada de lado m, se suprimen cuadrados iguales de lado x. Se doblan los bordes de la lĂĄmina recortada para formar una caja sin tapa. Determina la longitud de x, para que el volumen de la caja sea mĂĄximo. SoluciĂłn

x x m

m–x

m–x

x m–x

m–x

El volumen de la caja en tĂŠrminos de la variable x estĂĄ dado por la funciĂłn: V (x) (m 2x)(m 2x)(x)

V (x) (m 2x)2(x) V (x) (x)(m 2x)2 V (x) (x)(m 2 4mx 4x 2) V (x) m 2x 4mx 2 4x 3 f unciĂłn a maximizar.

Se encuentra la derivada respecto a la variable x de la funciĂłn: V (x) m 2 8mx 12x 2 Se iguala a cero la derivada: V (x) 0; m 2 8mx 12x 2 0 Al resolver se obtienen los valores crĂ­ticos: m y 2 Se obtiene la segunda derivada y se evalĂşan los valores de x: x

x

m 6

¤ m³ ¤ m³ V ¼ ´ 8m 24 ¼ ´ 8m 12m 4m 0 mínimo Œ 2¾ Œ 2¾ ¤ m³ ¤ m³ V ¼ ´ 8m 24 ¼ ´ 8m 4m 4m 0 måximo Œ 6¾ Œ 6¾ Por consiguiente, el valor de x para que la caja tenga un volumen måximo es: m x 6

1269

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

3

SIMPLIFICADAS

Determina el ángulo que deben formar los lados iguales de un triángulo isósceles para que su área sea máxima. Solución Se construye una figura con los datos:

A

UU

m

→

m

m

m

y F x

Sea x la base y y la altura, entonces su área es A

1 xy 2

Se toma la mitad del triángulo:

U m

y

x 2

Se aplican identidades trigonométricas en el triángulo para el ángulo U x x 2 sen U donde, x 2 m sen U m 2m

cos U

y m

donde, y m cos U

Al sustituir los valores de x y y se obtiene: A( U )

1 2 m sen U (m cos U) 2

3

1 A(U ) m 2 ; 2 sen U cos U = 2

1 Pero 2 sen U cos U sen 2 U, entonces A m 2 sen 2 U, ésta es la función a maximizar. 2 Se obtiene la derivada y se iguala a cero: A (U) m2 cos 2U 3 m 0; entonces cos 2 U

A (U) 0 3

m2 cos 2U 0

0 0, despejando el ángulo: m2 cos 2 U 0

2 U cos 1 (0 ) 1 U cos 1 (0 ) 2 1 ¤ P³ U ¥ ´ 2¦ 2µ U

1270

P 4

CAPÍTULO CÁLCULO

Se obtiene la segunda derivada y se evalúa en U A (U) 2m 2 sen 2U

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

P 4 3

¤ P³ ¤ P³ A ¥ ´ 2 m 2 sen 2 ¥ ´ ¦ 4µ ¦ 4µ ¤ P³ ¤ P³ A ¥ ´ 2 m 2 sen ¥ ´ ¦ 4µ ¦ 2µ ¤ P³ A ¥ ´ 2 m 2 (1) ¦ 4µ ¤ P³ A ¥ ´ 2 m 2 0 ¦ 4µ

El área es máxima para U

4

P y el ángulo que deben formar los lados iguales es de 90 4

Calcula el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de H cm de altura y R cm de radio en su base, de manera que los ejes del cilindro y el cono coincidan. Solución Observa la figura.

H–h H h

h

r r

R–r R

R

De acuerdo con ella se hace un corte transversal y se obtiene el triángulo que se muestra; por construcción se tienen triángulos semejantes que cumplen con la siguiente proporción: R H R r h El volumen del cilindro es: V Pr 2h Despejando h de la proporción y sustituyéndola en la fórmula del volumen se obtiene: h

HR Hr H H r R R

3

H ¤ V Pr 2 h Pr 2 ¥ H ¦ R

La cual es la función a maximizar.

1271

PHr ³ r ´ PHr 2 µ R

3

CAPĂ?TULO

5

MATEMĂ TICAS

SIMPLIFICADAS

Se deriva la funciĂłn: V (r) 2PHr

3PHr 2 R

La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuaciĂłn para r : V (r) 0,

2 PHr

3PHr 2 0 R

Si R : 0, entonces 2PHRr 3PHr 2 0 3 PHr(2R 3r) 0 3 r (2R 3r ) 0 Valores crĂ­ticos: 2 r 0, r R 3 Se analizan los valores crĂ­ticos en la segunda derivada: V (r) 2 PH

Para r 0 ; V (0) 2 PH

6 PH r R

6 PH (0 ) 2PH 0, entonces, el volumen es mĂ­nimo. R

2 6 PH ¤ 2 ³ ¤2 ³ Para r R ; V ¼ R´ 2 PH ¼ R´ 2PH 0, entonces, el volumen es måximo. Œ3 ¾ 3 R Œ3 ¾ Entonces, las dimensiones del cilindro de volumen måximo inscrito en el cono son: 2 H H¤2 ³ 1 r R y h H r H ¼ R´ H 3 R RŒ3 ¾ 3

5

Determina las dimensiones del cono circular recto de ĂĄrea mĂĄxima, que puede inscribirse en una esf era de radio R 5u SoluciĂłn Figura

h s

5 r

y r

El ĂĄrea del cono de radio r, altura h y generatriz s, estĂĄ dada por: A Prs De la figura se toma el triĂĄngulo rectĂĄngulo

s

h=5+y r

1272

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Mediante el teorema de PitĂĄgoras se obtiene: s ( 5 y )2 r 2

s 2 (5 y)2 r 2 De la figura se toma el triĂĄngulo rectĂĄngulo,

5

y r

Por el teorema de PitĂĄgoras: 52 r 2 y2

3

r 2 25 y 2

Este resultado se sustituye en: s (5 y )2 r 2 s (5 y )2 (25 y 2 ) y a su vez en A Prs A P r

(5 y )2 25 y 2

Maximizar A equivale a maximizar A2, y el problema se reduce a tÊrminos simples, es decir: A 2 P 2 r 2 §Š(5 y )2 25 y 2 œ¸ , pero r 2 25 y 2, entonces: A 2 P 2 (25 y 2 ) §Š(5 y )2 25 y 2 œ¸

3

A 2 P 2 (25 y 2 ) §Š 25 10 y y 2 25 y 2 œ¸ A 2 P 2 (25 y 2 )(50 10 y ) A 2 P 2 (25 y 2 )(10 )(5 y ) A 2 10 P 2 (125 25 y 5 y 2 y 3 )

Si A 2 f ( y ), entonces, f ( y ) 10 P 2 (125 25 y 5 y 2 y 3 ) es la f unciĂłn a maximizar. Paso I Se obtiene la derivada de la funciĂłn: f (y) 10P2(25 10y 3y 2) Paso II La derivada se iguala a cero y se determinan los valores crĂ­ticos: f (y) 0 3

10P2(25 10y 3y2) 0 3

y 5, y

5 3

Paso III Se evalĂşan los valores crĂ­ticos en la segunda derivada para determinar los mĂĄximos o mĂ­nimos de la funciĂłn: f (y) 10P2( 10 6y) Para y 5 f ( 5) 10P2( 10 6( 5)) 200P2 0, mĂ­nimo.

1273

5

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Para y

5 , 3 ¤ 5³ f ¥ ´ 10P2 ¦ 3µ

¤ ¤ 5³³ 2 ¥¦ 10 6 ¥¦ 3 ´µ ´µ 200P 0, máximo.

5 el área del cono es máxima, sustituyendo en las fórmulas: r 2 25 y 2 y h 5 y, se obtie3 nen las dimensiones del radio y la altura del cono inscrito en la esfera: Entonces, para y

r 2 25 y 2

h 5 y

¤ 5³ r 25 ¥ ´ ¦ 3µ r 25

2

h 5

25 200 10 2 u 9 9 3

h

5 3

20 u 3

Finalmente, el radio y la altura miden respectivamente: r

10 2u 3

h

20 u 3

EJERCICIO 43 Resuelve los siguientes problemas: 1. Encuentra dos números cuya suma sea 40 y su producto sea máximo. 2. Encuentra dos números cuya diferencia sea 50 y su producto mínimo. 3. Con una lámina cuadrada de aluminio de 12 pulgadas por lado, se quiere construir una caja sin tapa, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los bordes. ¿Cuánto deben medir por lado los cuadrados recortados para obtener un volumen máximo?, ¿Cuánto mide dicho volumen? 4. Calcula el volumen máximo de un cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 72 cm de altura y 24 cm de radio en su base, de manera que los ejes del cilindro y el cono coincidan? 5. En la construcción de un recipiente cilíndrico de hojalata se emplean 100 pulg2, esta cantidad incluye las tapas. ¿Cuál es el mayor volumen que podría tener la lata? 6. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener un cono de volumen máximo cuya área lateral es de 10 Pu 2? 7. Un cartel tiene una superficie de 150 cm2 con márgenes de 3 cm en las partes superior e inferior y 2 cm a los lados. Calcula el área máxima impresa en el cartel. 8. Considera un triángulo rectángulo con sus catetos sobre los ejes de coordenadas y la hipotenusa pasa por el punto (4, 3). Determina el área mínima que puede encerrar tal triángulo. 9. ¿Qué número positivo minimiza la suma entre él y su recíproco? 10. Determina las dimensiones del triángulo isósceles de superficie máxima que podría inscribirse en un círculo de radio r. 11. ¿Cuáles son los dos puntos sobre la curva y x 3 cuyas abscisas difieren en dos unidades, de tal forma que la recta que los une tiene una pendiente mínima? 12. ¿Cuál es el área máxima posible de un rectángulo, cuya base coincide con el eje X y sus vértices superiores están en la curva y 4 x 2? 13. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un semicírculo de radio igual a 2 unidades. 14. La resistencia de una viga rectangular varía según sus dimensiones. Si la resistencia es proporcional al cuadrado del ancho de la viga por la altura, ¿cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que podrá cortarse de un tronco cilíndrico con radio de 3 pies?

1274

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

15. ¿Cuál es la distancia mínima que existe entre el punto (5, 1) y la parábola y x 2? 16. La suma de dos números es 16. Encuentra los números si la suma de sus cubos es un valor mínimo. 17. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor perímetro que se puede inscribir en un semicírculo con radio de 5 unidades? 18. Se inscribe un rectángulo en un triángulo isósceles, cuyos lados tienen longitudes 5, 5 y 6. Uno de los lados del rectángulo está sobre la base del triángulo (lado desigual), ¿cuál es el área mayor que puede abarcar el rectángulo? 19. Se desea inscribir un cono dentro de otro. El cono exterior tiene una altura de 6 cm y un radio de 4 cm. El cono interior se inscribe de modo que su cúspide reposa sobre la base del cono exterior. La base del cono interior es paralela a la base del cono exterior. Los ejes de los conos son colineales. ¿Cuál deberá ser la altura del cono interior, a fin de que contenga el mayor volumen posible? 20. Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles con un perímetro de 6 unidades que tenga área máxima. 21. Determina dos números reales positivos, cuya suma sea 40 y su producto sea máximo. 22. Encuentra las dimensiones del cono recto circular de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio 6 unidades. 23. Obtén las coordenadas del punto de la recta 3x y 5 0 más cercano al origen. 24. ¿Cuál es el área del rectángulo mayor que se puede inscribir en un triángulo rectángulo de lados 5, 12 y 13 cm? 25. Calcula el área del rectángulo mayor que se puede inscribir en la elipse, cuya ecuación es

x 2 y2 1 a2 b2

26. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y forma con el primer cuadrante un triángulo de área mínima. 27. ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro circular recto de máxima área lateral que puede inscribirse en una esfera de radio de ocho pulgadas? 28. Para la hipérbola equilátera x 2 y 2 a 2, considera el punto (0, k) sobre su eje conjugado y determina el punto más cercano a éste. 29. Determina dos números positivos cuyo producto es 16 y tienen suma mínima. 30. En la construcción de una casa se van a emplear ventanas en forma de rectángulos curvados por semicírculos. Si el perímetro total de cada ventana es P, ¿cuáles son las dimensiones más convenientes para que las ventanas proporcionen máxima iluminación? 31. Una persona tiene una pared de piedra en el costado de un terreno. Dispone de 1 600 m de material para cercar y desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como uno de sus lados, ¿qué dimensiones debe tener el corral para tener la mayor área posible? 32. Un alambre de 100 cm de largo se va a partir en dos trozos, una de las partes se va a doblar para formar una circunferencia, y la otra un triángulo equilátero. ¿Cómo se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas del círculo y del triángulo sea máxima? 33. Se desea construir un cono con una generatriz de 10 cm. ¿Cuál es el mayor volumen posible para dicho cono? 34. Encuentra las dimensiones del rectángulo inscrito en un círculo con radio de 25 cm que proporcione el área máxima. 35. Para construir un recipiente cilíndrico de hojalata se emplearán 150 pulg2, esta cantidad incluye las tapas. ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro para que contenga el volumen máximo? 36. Un anuncio de 20 metros de altura está colocado sobre una base que se encuentra 5 metros sobre el nivel de los ojos de una persona, ¿qué tan alejada debe estar la persona para que su ángulo de visión sea máximo? 37. Un silo consta de un cilindro con una parte superior semiesférica. Determina la longitud del radio del silo con un volumen V, que tiene la menor área de superficie, incluye la tapa inferior. 38. ¿Cuáles son los puntos sobre la curva y x 2 4, que están más cerca del punto ( 2, 1)?

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1275

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Movimiento rectilíneo uniforme Si un punto se mueve sobre una recta una distancia s, en un tiempo t con velocidad uniforme v, entonces: v

s , de aquí s v t t

Sean (s1, t1) y (s2, t2) dos pares de valores de s y t, tal que: s1 vt1 y s2 vt2 Entonces: s2 s1 v (t 2 t 1) Donde: v

s2 s1 velocidad uniforme t 2 t1

El concepto de velocidad media es más general que el de velocidad uniforme para cualquier tipo de movimiento rectilíneo. La distancia dirigida s, de un punto P, desde un origen en un tiempo t, está dada por: s s (t ) Entonces, a la función s {(t, s) U s s(t)} se le denomina “función de posición” del punto P y la velocidad media de P durante el intervalo [t1, t2] se define como: s2 s1 s( t 2 ) s (t1 ) t 2 t1 t 2 t1 Si t2 t1 h, entonces t2 t1 h con h : 0, luego s (t2) s (t1 h) y la velocidad media de P durante el intervalo [t1, t2] [t1, t1 h] es: s(t1 h ) s (t1 ) h Se obtiene el límite: lím hl0

s(t1 h ) s(t1 ) h

Este límite se llama velocidad instantánea, rapidez o simplemente velocidad de P en el tiempo t. Un físico interpretaría esto como el valor límite de las velocidades medias, medidas sobre las porciones de tiempo cada vez menores alrededor de t. Al generalizar: Si la función de posición de un punto P es: s {(t, s) U s s (t )} La velocidad de P en el tiempo t será: v (t ) s (t )

ds(t ) dt

La cual se denomina función velocidad del punto P. Puesto que s s (t ), v v (t ) y v (t)

ds(t ) ds(t ) , entonces v dt dt

1276

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Aceleración media v {(t, v) U v v (t )} la razón [t1, t1 h] Si existe lím hl0

v(t1 h ) v(t1 ) , se llama velocidad media de P, durante el intervalo [t1, t2] h

v(t1 h ) v(t1 ) , entonces se le denomina aceleración de P en el tiempo t1 y se denota mediante h

a (t1), entonces: a(t1)

dv(t1 ) v (t1) s (t1) dt t1

Por tanto: a

dv d2s 2 dt dt

Ejemplo Una partícula se mueve conforme a la expresión s (t ) 2t 2 3t 3, donde s se expresa en metros y t en segundos. Determina: a) b) c) d) e)

Su posición inicial. Su velocidad al inicio de su movimiento. La velocidad que alcanza al transcurrir 3 segundos. La velocidad final a los 5 segundos. Su aceleración.

Solución a) Su posición inicial se determina cuando t 0, entonces, s (0) 2(0)2 3(0) 3 3 m b) La velocidad al inicio de su movimiento se obtiene mediante la primera derivada evaluada en t 0 s (t ) 2t 2 3t 3

3

v (t ) 4t 3 v(0) 4(0) 3 3

m s

c) La velocidad cuando t 3 segundos v(t ) 4t 3

3

v(3) 4(3) 3 9

m s

3

v(5) 4(5) 3 17

m s

d) La velocidad cuando t 5 segundos v (t ) 4t 3

e) Su aceleración se obtiene mediante la segunda derivada: s(t) 2t 2 3t 3

3

s (t ) 4t 3

1277

3

a s (t ) 4

m s2

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 44 Resuelve los siguientes problemas: 1. La posición de una partícula se expresa mediante la función s(t) 2t3 5t2 10t, con s en metros y t en segundos. 3 ¿Cuál es su rapidez para t 1, , 0 segundos? 2 2. La distancia recorrida por un automóvil sobre una carretera en el instante t está dada por s(t) 9t 4 120t 3 432t 2, ¿en qué intervalos su velocidad media es positiva? 3. La trayectoria de una partícula en movimiento rectilíneo está dada por la función: s (t ) t 3 9t 2 24t 2 Encuentra: a) s y a cuando v 0 b) s y v cuando a 0 c) Cuando s aumenta d) Cuando v aumenta 4. Un proyectil es lanzado con una trayectoria que obedece a la función s(t) 3t 2 54t. a) Calcula en qué tiempo hace contacto con su objetivo que se encuentra sobre la superficie terrestre y la velocidad que lleva en ese instante. b) En qué instante logra su altura máxima y cuál es el valor de esta. 5. Un proyectil es lanzado en dirección a una torre de 36 m de altura. El proyectil sigue la trayectoria de acuerdo con la función s t 2 12t, después de siete segundos. Indica la velocidad y la altura en la que hace contacto el proyectil con la torre.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Razón de cambio dx . Si dos dt o más cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación. Pasos para resolver problemas de razón de cambio:

Si una cantidad x está en función del tiempo t, la razón de cambio de x con respecto a t está dada por

Ú Se traza un dibujo que contemple todas las variables y constantes que intervengan en el problema. Ú Se elabora un modelo matemático que relacione las variables. Ú Se deriva el modelo matemático respecto al tiempo, se despeja la incógnita a conocer y se sustituyen los datos dados.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Un cubo de hielo de 10 cm3 de volumen, comienza a derretirse a razón de 6

cm 3 , ¿cuál es la razón de cambio de la s

superficie del cubo en ese instante? Solución Se construye un cubo de arista x cuyo volumen es V 10 cm3 y la razón con la que se derrite es dV cm 3 6 dt s

x

(El signo indica que el volumen del cubo está decreciendo.)

x x

1278

CAPÍTULO CÁLCULO

Aplicaciones de la derivada

5

dx dV 3x 2 dt dt

Se deriva el volumen V x 3 respecto al tiempo:

6 3x 2 La razón con que disminuye la arista es:

DIFERENCIAL U

dx dx se despeja dt dt

6 dx 3x 2 dt

2 dx 2 x dt

El área total del cubo es A 6x 2 y la razón con que cambia el área es: dx dA 12x dt dt Pero

2 dx 2 , entonces: x dt dx 24 dA ¤ 2³ 12x 12 x ¥ 2 ´ ¦ µ dt x x dt

Si el volumen es de 10 cm3 x 3, entonces x

3

10 , por tanto:

24 cm 2 dA 3 dt 10 s El área disminuye a razón de

2

24 cm 2 10 s

3

m3 , la altura del cono es siempre igual al min radio de su base. ¿Con qué rapidez aumenta su altura cuando el montón tiene tres metros de altura?

Se está vaciando arena sobre un montón de forma cónica a razón de 30

Solución

Arena

h

r 1 1 dV m3 Pr 2h, pero r h, entonces V Ph 3 y 30 min 3 3 dt Al derivar el volumen respecto del tiempo:

El volumen del cono es V

dh dV dh 1 dV Ph 2 donde dt Ph 2 dt dt dt Al sustituir

dV m3 30 y h 3m dt min dh 1 30 10 ( 30 ) P( 3)2 dt 9P 3P

Por consiguiente, la altura aumenta a razón de

10 m 3P min

1279

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

3

SIMPLIFICADAS

Un automóvil se dirige al norte de una ciudad a razón de 60 la ciudad a razón de 80

km , al mismo tiempo un camión se dirige al este de h

km . ¿Cuál es la razón con la que varía la distancia entre los vehículos cuando el automóvil h

y el camión se encuentran a 30 y 40 km, respectivamente, de su punto de partida? Solución Se realiza el dibujo con las características establecidas:

z

y x

Donde, x 40 km, y 30 km;

km dx km dy 60 ; 80 h h dt dt

¤ dz ³ Se debe encontrar con qué rapidez se separan los vehículos ¥ ´ ¦ dt µ La figura representa un triángulo rectángulo, por tanto, se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la relación: z2 x2 y2 Se deriva la expresión respecto al tiempo: dz 2 dx 2 dy 2 dt dt dt

3

2z

dz dx dy 2x 2y dt dt dt

(simplificando)

dz x dx y dy dt z dt z dt Luego, en el momento en que x 40 km; y 30 km z

x 2 y2

( 30 )2 ( 40 )2

900 1600

2 500 50 km

Entonces, dz 40 km ¤ km ³ 30 km ¤ km ³ ¥ 80 ´ ¥ 60 ´ dt 50 km ¦ h µ 50 km ¦ h µ km dz ( 40 )(80 ) ( 30 )(60 ) 3200 1800 5 000 100 h dt 50 50 50

1280

CAPÍTULO CÁLCULO

4

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Una persona sostiene un extremo de una cuerda de 150 cm de largo y en el otro extremo cuelga un bloque. La cuerda pasa por una polea que está a 40 cm de altura directamente sobre la mano de la persona, si ésta se aleja de la polea a cm razón de 10 . ¿Con qué rapidez se eleva el bloque cuando está a 6 cm de la polea? s Solución

z

y

40 cm x La persona se aleja de la polea a 10

cm cm dx entonces, 10 s s dt

En la figura, por el teorema de Pitágoras, se tiene: y 2 x 2 (40)2

3

y 2 x 2 1 600

donde,

y 150 z

Luego, la medida de la cuerda está dada por: y z 150 Este resultado se sustituye en y 2 x 2 1 600 y 2 x 2 1 600 3

(150 z)2 x 2 1 600

Se deriva respecto al tiempo: d d (150 z )2 ( x 2 1600 ) dt dt

3

dx ¤ dz ³ 2( z 150 ) ¥ ´ 2x ¦ dt µ dt dz 2x dx dt 2( z 150 ) dt dz x dx dt z 150 dt

Cuando z 6 cm x 2 1 600 (150 z)2 3 x 2 1 600 (150 6)2 x 2 1 600 (144)2 x 2 20 736 1 600 x 2 19 136; x

19 136

Por tanto, la razón con la que se eleva el bloque es de: 19 136 19 136 5(8 ) 299 5 299 cm dz x dx (10 ) (10 ) 6 150 144 72 9 s dt ( z 150 ) dt

1281

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

5

SIMPLIFICADAS

Un hombre de 1.70 m de altura se aleja de un poste de alumbrado a razón de 3 m/s, la lámpara del poste está a 10 m de altura. Determina la razón de cambio a la cual se mueve el extremo de la sombra del hombre. Solución

10 m 1.70 m z x

De acuerdo con la figura

m dz dx 3 y la incógnita es s dt dt

Por triángulos semejantes:

10 m 1.70 m x–z x Se obtiene: 10 x 1.70 x z

3

10(x z) 1.70x 10x 10z 1.70x 10x 1.70x 10z 8.30x 10z

Se deriva la expresión, resultando: 8.30 Luego,

dx dz 10 dt dt

3

dx 10 dz dt 8.30 dt

m dz 3 , entonces, s dt m dx 10 30 3.61 ( 3) s dt 8.30 8.30

Finalmente, la razón con que se mueve el extremo de la sombra es de 3.61 m/s.

1282

CAPÍTULO CÁLCULO

6

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

La distancia que existe entre las bases de un campo de béisbol es de 28 m. Si la pelota se batea por la línea en direcm ción a la tercera base con una velocidad de 32 . ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre la pelota y la primera s base cuando se encuentra a la mitad del camino hacia la tercera base? Solución

1a. base

3a. base z x = 14 m

28 m

En la figura se observa que: z 2 x 2 (28)2 En la cual, al derivar se obtiene: 2z

dz dx 2x dt dt

3

dz 2 x dx dt 2 z dt

dz x dx dt z dt

3

Luego, cuando x se encuentra a la mitad del recorrido, la distancia de z es: z 2 (14)2 (28)2 196 784 3 Al sustituir z 14 5 , x 14 y

z

980 14

5m

m dx dz x dx 32 en , se obtiene: s dt dt z dt

dz x dx 5 ¤ 14 ³ ¤ 1 ³ ¥ ( 32 ) ¥ ( 32 ) ( 32 ) ¦ 14 5 µ´ ¦ 5 µ´ dt z dt 5 Por consiguiente, la pelota se aleja de la primera base a razón de

1283

32 m 5 5 s

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

7

SIMPLIFICADAS

Un aviso rectangular que mide 30 m de ancho da vueltas sobre un eje vertical que pasa por el centro del rectángulo a razón de 10 rpm. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como un rectángulo de ancho variable. ¿Con qué rapidez cambia el ancho aparente del aviso cuando éste tiene 12 m de ancho, según lo ve el observador, y su ancho está aumentando? Solución

30 m

U

Observador

y

U

aviso

Sea y el ancho aparente del aviso, también se sabe que gira a 10 rpm, que es lo mismo que 20P rad/min, entonces se tiene que encontrar la relación que existe entre y y U. De la figura:

Aviso 30 m y

U Se obtiene: sen U

y 30

3

y 30 sen U

Derivando la expresión anterior: dU dy 30 cos U dt dt Luego, cuando y 12 m, entonces: sen U

y 12 2 30 30 5

§ P¶ Como el ancho del aviso está aumentando, U 0 ¨ 0, · , por tanto: © 2¸ ¤ 2³ U sen 1 ¥ ´ 23.5 ¦ 5µ m dy dU 30 cos U 30 cos(23.5n)(20 P) 30(0.9170 )(20 P) 550.2 P min dt dt

1284

CAPÍTULO CÁLCULO

8

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Una escalera de 8 m de longitud está apoyada sobre un piso horizontal y contra una pared. Si el extremo inferior de 3m la escalera se aleja del muro a razón de . ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior en el instante en que 2 s su altura sobre el suelo es de 3 m? Solución Sea y la altura generada por la escalera sobre la pared, x la distancia generada por el extremo inferior y la pared, entonces,

8m y

x Por el teorema de Pitágoras: (8)2 x 2 y 2

3

64 x 2 y 2

Se deriva la expresión: d 64 dx 2 dy 2 dt dt dt Se despeja

3

0 2x

dx dy 2y dt dt

dy dt 2 x dx x dx dy 2 y dt y dt dt

Cuando y 3, el valor de x está determinado por: (8)2 x 2 (3)2

64 x 2 9 64 9 x 2 x

55

Por tanto, dy x dx dt y dt

dy 55 ¤ 3 m ³ ¥ ´ dt 3 ¦2 s µ 55 m dy 2 dt s

El signo menos indica que la altura sobre la pared está decreciendo.

1285

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 45 3 2

1. Si la altura de un determinado árbol es de 10 2 r cm, donde r es el radio de la parte transversal del tronco 1 cm del árbol. Si el radio aumenta a razón de , ¿con qué rapidez cambia la altura cuando su radio es de 5 cm? 6 año 2. Un náufrago es remolcado hacia un barco con un cable. La proa de donde se jala el cable se encuentra a 7 m del m nivel del mar y el cable es jalado a razón de 12 . ¿Con qué rapidez se está moviendo el náufrago hacia el min barco cuando se encuentra a 20 m de la base del barco? m m cruza un puente sobre un río, 20 segundos antes de que un bote que viaja a 40 s s pase por debajo del puente. Vistos desde arriba, el río y el puente forman un ángulo recto. ¿Con qué rapidez se están separando el automóvil y el bote 20 segundos después de que el bote pasa por debajo del puente?

3. Un automóvil que viaja a 80

4. Un globo de forma esférica, se infla a razón de 0.16 aumentando a razón de 0.20

m3 . ¿Cuál es el volumen del globo cuando su radio está min

m ? min

5. Una escalera de 13 m de largo está apoyada sobre una pared. Encuentra la rapidez con que baja el extremo superior m de la escalera, cuando su extremo inferior dista 5 m del muro y se separa a razón de 5 s cm 6. Al caer una piedra a un estanque de aguas tranquilas forma una onda circular, cuyo radio aumenta a razón de 1 . s ¿Con qué rapidez aumenta el área encerrada por la onda cuando el radio es de 5 cm? 7. Un tanque cilíndrico de 7 m de radio y 10 m de altura se llena de agua. Se hace un agujero en el fondo del tanque, en m3 ese momento el agua sale a razón de 3 . ¿A qué rapidez está cambiando la altura del líquido en el tanque? min 8. Un satélite se mueve en una órbita elíptica alrededor de un planeta. La ecuación de su órbita plana es de km 9x 2 16y 2 144. Si la rapidez del satélite en una dirección x es de 15 , cuando la coordenada x es h 36 km . ¿Cuál es la rapidez en la dirección y en ese instante? de 137 km 9. Los automóviles A y B salen del mismo punto. El automóvil A viaja hacia el este a razón de 80 y el autoh km móvil B viaja hacia el norte a 60 . A qué razón está cambiando la distancia entre los dos a las 14:00 horas, h si: a) A y B salen a las 12:00 a.m. b) A sale a las 12 del día y B sale a la 13:00 horas. m3 10. Se está vaciando un depósito cónico de 1.5 m de radio y 5 m de altura, a razón de 0.16 . ¿Cómo está bajando min el nivel cuando la profundidad del agua es de 2 m? 11. En un crucero un camión sale a las 10:00 horas y viaja hacia el oeste a 60 km/h. Un automóvil sale a las 13:00 horas del mismo lugar y viaja hacia el norte a 80 km/h. ¿A qué razón se están separando a las 15:00 horas? m 12. Un globo asciende sobre un punto a razón de 6 ; un observador está situado a 300 m del punto de despegue s del globo. Cuando el globo está a 400 m de altura, ¿con qué rapidez está cambiando la distancia entre el globo y el observador? pies 3 13. Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 7 . Si la presión se mantiene constante. ¿Con qué rapidez cammin bia el radio cuando éste es de 1 pie?

1286

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

cm 2 . Calcula la rapidez de cambio de la longitud de min sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 100 cm2.

14. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 6

15. Un punto se mueve sobre la parábola semicúbica y 2 x 3 de tal manera que su ordenada aumenta siete unidades por segundo. Cuando y 1, ¿con qué rapidez cambia su abscisa? 16. Una persona está de pie en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 2 m por encm cima del amarre de la lancha. Si la persona jala la cuerda a razón de 70 . ¿Con qué rapidez se aproxima la s lancha al muelle cuando se encuentra a 5 m de él? m alejándose de un faro que se encuentra a 8 me17. Un hombre de 1.80 m de estatura camina en línea recta a 1.5 s tros de altura sobre el suelo. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra?, ¿Cuál es la rapidez con la que cambia la longitud de su sombra?

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Aplicaciones a la economía Sea x el número total de unidades producidas por una empresa y m el precio de venta por unidad, el ingreso se obtiene con la función: I ( x ) mx Si el precio de venta depende linealmente del número de unidades producidas, m ax b, la función de ingreso se expresa como: I ( x ) mx

3

I ( x ) (ax b ) x

3

I ( x ) ax 2 bx

Sea C (x) el costo de producir x unidades, la utilidad de la empresa se expresa: U (x) I (x) C(x) Y el costo medio por unidad está dado por la expresión: Q( x )

C(x) x

Otra forma de expresar la función de costo puede ser: C costos variables costos fijos Por ejemplo, si se tiene la función C (x) 4x 2 6x 850, los costos fijos son el término independiente de la función, es decir, 850, al ser x el número de unidades, entonces x 0 por consiguiente, el costo fijo de producción es C (0) 850.

Ejemplo Las funciones de ingreso y costo son I ( x ) 2 x 2 340 x y C ( x ) 3x 2 600. Determina la utilidad máxima y el costo mínimo en pesos. Solución La utilidad U ( x ) I ( x ) C ( x ), x 0

1287

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

U ( x ) ( 2 x 2 340 x ) ( 3x 2 600 ) U ( x ) 2 x 2 340 x 3x 2 600 U ( x ) 5 x 2 340 x 600 Se obtiene la derivada de la función de la utilidad: U (x) 10x 340 Se obtiene el valor crítico haciendo U (x) 0

10x 340 0

10x 340 x

340 34 10

Se evalúa x 34 en la segunda derivada para verificar si existe un valor máximo. U (x) 10 U (34) 10 0 Entonces para x 34 existe un valor máximo. Por consiguiente, se necesita producir 34 unidades para obtener una utilidad máxima, la cual es de: U( 34 ) 5( 34 )2 340( 34 ) 600 5180 Por tanto, la utilidad máxima es de $5 180.00 Por otro lado el costo medio está dado por: Q( x )

C(x) x

Q( x )

3x 2 600 x

Q ( x ) 3x

600 x

Se obtiene la derivada de la función de costo medio Q (x) 3

600 x2

Se obtiene el valor crítico haciendo Q (x) 0 3

600 0 x2

3x 2 600 0 x 200 x 10 2

1288

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Se verifica que sea el valor mĂ­nimo, esto se obtiene evaluando el valor crĂ­tico en la segunda derivada Q (x)

Q 10 2

1200

10 2

3

1200 x3 1200

(200 ) 10 2

3 0 5 2

Entonces, para x 10 2 14, hay un valor mĂ­nimo. Para determinar el costo medio mĂ­nimo de forma aproximada se sustituye el valor crĂ­tico en la funciĂłn de costo medio: Q( x ) 3(14 )

600 14

Q( x ) 42 42.86 Q( x ) 84.86 Por tanto, el costo mĂ­nimo aproximado es de $84.86

Costo marginal Si C (x) es la funciĂłn de costo total que tiene una empresa por producir x unidades de algĂşn artĂ­culo y la empresa incrementa el nĂşmero de unidades de x0 a x1 (x0 x1), el costo se incrementa C(x1) C (x0), la razĂłn de cambio del costo es: $C C ( x1 ) C ( x0 ) C ( x0 $x ) C ( x0 ) $x x1 x0 $x C ( x0 $x ) C ( x0 ) es la derivada de la funciĂłn de costo total y recibe el nombre $x de costo marginal C (x) y representa el incremento del costo al incrementar la producciĂłn. Para $x 1 y x0 suficientemente grande (tan grande que $x sea pequeĂąo respecto a x0) se tiene que: En economĂ­a, la expresiĂłn lĂ­m

$xl0

C (x0) C (x0 1) C (x0) Luego, el costo de producir x0 1 unidades es aproximadamente el mismo de producir x0 unidades.

1289

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Una empresa estima que el costo (en pesos) por producir x artículos es de: C ( x ) 0.02 x 2 3x 12 000 Determina el costo marginal en un nivel de producción de 600 artículos y el costo real de producir el 601ésimo artículo. Solución Se obtiene la función del costo marginal: C (x) 0.04 x 3 El costo marginal aproximado para 600 artículos es: C (600) 0.04 (600 ) 3 27 Por tanto, el costo marginal aproximado por artículo es de $27.00 El costo real de producción del 601ésimo artículo es: C (601) C(600) [ 0.02(601)2 3(601) 12 000 ] [ 0.02(600 )2 3(600 ) 12 000 ] C (601) C (600) 21 027.02 21 000 C (601) C(600) 27.02 Se observa que 27 27.02, es decir C (600) C (600 1) C (600), lo cual se había indicado antes. El costo por unidad está dado por la función de costo promedio Q( x )

C(x) . Si se toma una función caracterísx

tica de costo promedio ésta podría ser:

Y

C(x) X Dicha función tiene un punto crítico, si se localiza este punto se tendrá el costo mínimo. Al derivar Q(x) se obtiene: xC ( x ) C ( x ) Q ( x ) x2 Se iguala con cero Q (x), para obtener el valor C (x) xC ( x ) C ( x ) 0 x2 xC ( x ) C ( x ) 0 xC ( x ) C ( x ) C ( x ) Pero Q( x )

C(x) , entonces, C ( x ) Q( x ) x

1290

C(x) x

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Es decir, cuando el costo promedio es mĂ­nimo se tiene que es igual al costo marginal. Lo anterior conlleva al hecho de que si el costo marginal es menor que el costo promedio, entonces se debe producir mĂĄs para disminuir el costo promedio y viceversa, si el costo marginal es mayor que el costo promedio se tendrĂĄ que producir menos para que el costo promedio baje.

2

El costo (en pesos) estimado para producir x artĂ­culos estĂĄ dado por la funciĂłn: C (x) 0.002x 2 2x 3 000 Determina el costo promedio y el costo marginal de producir 1 200 artĂ­culos y calcula el nivel de producciĂłn para el cual el costo promedio es el mĂĄs bajo y cuĂĄl es dicho costo. SoluciĂłn El costo promedio estĂĄ dado por la fĂłrmula Q( x ) Q( x )

C(x) , entonces: x

C ( x ) 0.002 x 2 2 x 3 000 x x

3

Q( x ) 0.002 x 2

3 000 x

Se evalĂşa x 1 200 Q(1 200 ) 0.002(1 200 ) 2

3 000 1 200

Por tanto, el costo promedio de producir 1 200 artĂ­culos es de $6.90 Para obtener el costo marginal se determina C (x) y se evalĂşa x 1 200 C (x) 0.004x 2 C (1 200) 0.004(1 200) 2 6.8 Por tanto, el costo marginal de producir 1 200 artĂ­culos es de $6.80 El costo promedio se minimiza cuando es igual al costo marginal. C ( x ) Q( x )

3

0.004 x 2 0.002 x 2 3

0.002 x

3 000 x

3 000 x

3

0.004 x 0.002 x

3 000 x

0.002 x 2 300

3

x2 x

3 000 0.002 3 000 1 225 0.002

Para mostrar que x 1 225, se obtiene un mĂ­nimo, se determina Q (x) y se evalĂşa: Q( x ) 0.002 x 2

3 000 x

3 Q (x) 0.002

3 000 x2

6 000 x3 3 000 Q (1225) 0 (1 225 )3 Q (x)

Por tanto, para x 1 225 hay un mĂ­nimo. El costo promedio se obtiene evaluando x 1 225 en Q(x). Q( x ) 0.002 x 2

3 000 x

Q(1 225 ) 0.002(1 225 ) 2

Finalmente, el costo promedio mĂ­nimo por artĂ­culo es de $6.89 ≈ $7.00

1291

3 000 6.89 1 225

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

De la misma forma existen funciones marginales para el ingreso y la utilidad, en los dos casos es la derivada de cada función. Ingreso marginal I (x) Utilidad marginal U (x)

Ejemplo Una empresa estima su ingreso y costo (en pesos) con las funciones I (x) 2x 2 340x y C (x) 3x 2 6 000, respectivamente. Determina el ingreso obtenido al producir la vigésima primera unidad y aproxima dicho valor con el ingreso marginal. Solución Se evalúan x 20 y x 21 en la función de ingresos: I(20) 2(20)2 340(20) 6 000 I (21) 2(21)2 340(21) 6 258 El valor de la vigésima primera unidad es: I (21) I(20) 6 258 6 000 258 Si se obtiene con el concepto ingreso marginal, se deriva I(x) y se evalúa x 20 I (x) 4x 340 I (20) 4(20) 340 260 En el comparativo se observa que el ingreso marginal da un valor muy aproximado a 258 que es el ingreso real de la vigésima unidad.

EJERCICIO 46 1. Dadas las funciones de ingreso y costo, I (x) y C (x) respectivamente, determina el ingreso máximo, la utilidad máxima y el costo medio mínimo: a) I (x) x 2 300x y C(x) x 2 40x 80 b) I(x) x (400 4x) y C (x) x 2 20x 12 Resuelve los siguientes problemas: 2. El costo estimado para producir x artículos está dado por la función: C (x) 0.004x 2 5x 6 000 Determina el costo promedio y el costo marginal de producir 2 000 artículos y calcula el nivel de producción para el cual el costo promedio es el más bajo y cuál es dicho costo. 3. Una empresa estima su ingreso y costo con las funciones I(x) 4x2 400x y C(x) 2x 2 300 respectivamente. Determina el ingreso obtenido al producir la trigésima primera unidad y aproxima dicho valor con el ingreso marginal. 4. Una empresa de telas estima que el costo para producir x metros de tela es C(x) 0.001x 3 0.2x 2 24x 2 400 y que al vender x metros cobraría p(x) 58 0.00042x por metro. Determina el nivel de producción para obtener una utilidad máxima. Ingreso sugerido: I (x) p (x) x 5. Un estadio de futbol tiene una capacidad para 60 000 espectadores. El promedio de asistencia fue de 32 000 espectadores, teniendo los boletos un costo de $60.00 por persona, la gerencia decide bajar el precio por boleto a $40.00, teniendo un promedio de 48 000 espectadores. Determina la función lineal de demanda p (x) y calcula el precio por boleto para minimizar el ingreso.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1292

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Regla de L Hôpital Sean f y g dos funciones derivables con g ( x ) 0 cerca de a (incluso en a) Si lím f ( x ) lím g( x ) 0 xla

xla

o lím f ( x ) @ xla

y para lím xla

y

lím g( x ) @ xla

0 @ f (x) , tenemos una forma indeterminada del tipo , 0 @ g( x )

Entonces lím xl a

f (x) f ( x ) lím g( x ) xla g ( x )

A esto le llamamos regla de L’Hôpital, la cual nos dice que el límite de un cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de las derivadas de dichas funciones. Esta regla es válida para los límites laterales (x 3 a o x 3 a ) y los límites al infinito (x 3 @ o x 3 @) Ú Indeterminación

0 0

Ejemplo x2 9 xl3 x 3

Obtén lím

Solución Al evaluar se obtiene la indeterminación

0 y utilizando la regla se obtiene: 0 d 2 ( x 9) 2( 3) x2 9 2x dx lím 6 lím lím xl3 x 3 xl 3 xl 3 1 d 1 ( x 3) dx

x 2 9 32 9 0 lím xl3 x 3 3 3 0 Ú Indeterminación

@ @

Ejemplo ¿Cuál es el valor de lím

xl@

3x ? e x 1

Solución Al evaluar se obtiene

@ , se aplica la regla y se obtiene: @ lím

xl @

3x 3 3 lím 0 e x 1 xl @ e x 1 @

Ú Indeterminación 0 @ Si lím f ( x ) 0 y lím g( x ) @ , para lím f ( x ) g( x ) tenemos una indeterminación del tipo 0 @. Entonces podemos xl a

xla

xla

utilizar la regla de L’Hôpital transformando el producto de la siguiente forma f ( x ) g( x )

f (x) g( x ) o f ( x ) g( x ) 1 1 g( x ) f (x)

1293

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplo Determina lím x 2 ln x xl0

Solución Al evaluar se obtiene lím x 2 ln x lím x 2 lím ln x 0 ( @ )

xl 0

xl 0

xl 0

Para resolver el límite, se escribe x 2 ln x

ln x 1 x2

de tal forma que: d 1 d ¤ 1 ln x ; ¥ dx x dx ¦ x 2

2 ³ ´ 3 x µ

Entonces: ¤ ³ ¤ 1 ³ ¤ x3 ³ ¤ x2 ³ ¥ ln x ´ ¥ ´ lím x ln x lím ¥ lím ¥ x ´ lím ¥ ´ lím ¥ ´ 0 ´ 2 1 xl 0 xl 0 xl 0 xl 0 ¦ xl 0 ¦ 2µ 2x µ ¥¦ 2 ´µ ¥¦ 3 ´µ x x 2

Ejemplo ¤ 1³ Obtén la solución de lím ¥ ´ tan x xl 0 ¦ x µ Solución ¤ 1³ ¤ 1³ lím ¥ ´ tan x ¥ ´ tan 0 @ 0 xl 0 ¦ x µ ¦ 0µ Al aplicar la regla: tan x sec 2 x sec 2 0 1 ¤ 1³ lím ¥ ´ tan x lím 1 lím xl 0 ¦ x µ xl 0 x l 0 x 1 1 1 Ú Indeterminación: @ @ Cuando se obtienen diferencias indeterminadas del tipo @ @ para lím ( f (x) g (x)), siendo lím f (x) @ y xl a

xl a

lím g(x) @, se utiliza la regla de L’Hôpital transformando (si es posible) la diferencia a un cociente. xl a

Ejemplo 1³ ¤ Calcula el resultado del lím ¥ ctg x ´ xl0 ¦ xµ Solución 1³ ¤ lím ¥ ctg x ´ @ @ xl0 ¦ xµ Se aplica la regla y se calcula el límite: ¤ x sen x cos x cos x ³ ¤ x sen x ³ 0 sen 0 0 lím ¥ ´µ lím xl0 ¦ xl 0 ¥ x cos x sen x ¦ x cos x sen x ´µ 0 cos 0 sen 0 0

1294

CAPÍTULO CÁLCULO

Se observa que el resultado es

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

0 , por consiguiente, se utiliza de nuevo la regla: 0 ¤ x cos x sen x ³ lím ¥ xl0 ¦ 2 cos x x sen x ´ µ

Al evaluar nuevamente se obtiene: ¤ x cos x sen x ³ 0 cos 0 sen 0 0 1¶ § lím ¥ 0 , entonces, lím ¨ ctg x · 0 xl0 ¦ 2 cos x x sen x ´ x l0 x¸ 2 cos 0 0 sen 0 2 µ © Ú Indeterminaciones del tipo 0 , @ y 1@ Para lím ; f ( x )= xla

g( x )

se pueden obtener las siguientes formas indeterminadas:

Ú Si lím f ( x ) 0 y lím g( x ) 0 entonces se obtiene una indeterminación del tipo 0 xla

xla

Ú Si lím f ( x ) @ y lím g( x ) 0 entonces se obtiene una indeterminación del tipo @ xla

xla

Ú Si lím f ( x ) 1 y lím g( x ) @ se obtiene una indeterminación del tipo 1@ xla

xla

Para estos casos se puede aplicar el logaritmo natural en y [ f(x)] g(x) y aplicar la propiedad ln bn n ln b, es decir: y [ f (x)] g(x) entonces:

Sea

ln y ln ; f ( x )=

g( x )

ln y g( x ) ln f ( x ) De tal forma que esta transformación nos lleva a un producto indeterminado g(x) ln f (x) el cual es del tipo 0 @ Por otro lado también se puede utilizar la transformación: ; f ( x )=

g( x )

e g ( x )ln f ( x )

Ejemplo Obtén el resultado de lím (cot x )x x l0

Solución Al resolver directamente lím (cot x )x 0 0

x l0

se obtiene la indeterminación 0 sea y (cot x)x, aplicando el logaritmo natural en ambos lados se obtiene ln y ln(cot x)x Aplicamos la propiedad ln b n n ln b y se tiene: ln y x ln cot x Calculamos el límite para ln y y se transforma el producto lím ln y lím x ln cot x lím

x l 0

xl0

1295

xl0

ln cot x 1 x

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Se aplica la regla de L´Hôpital 1 ³ ¤ 1 ³ ¤ 2 (tan x ) ¥ 2 ´ ¥¦ ´ ( csc x ) ¦ sen x µ ln cot x cot x µ lím lím lím 1 1 1 xl 0 xl 0 xl 0 2 2 x x x 1 1 ³ ¤ sen x ³ ¤ ¥¦ ´µ ¥¦ 2 ´µ sen cos x x cos x sen x lím lím 1 1 xl 0 xl0 2 2 x x lím xl0

Se obtiene la indeterminación

x2 0 sen x cos x 0

0 1 , entonces se utiliza la identidad sen 2 x sen x cos x y se aplica L’Hôpital 0 2

lím

xl 0

x2 x2 2x2 lím lím sen x cos x xl0 1 sen 2 x xl0 sen 2 x 2

lím xl0

4x 4 (0 ) 0 0 0 2 cos 2 x 2 cos 2(0 ) 2 cos 0 2

por tanto lím ln y 0 xl0

Pero queremos el límite de y, entonces partiendo de la propiedad e ln b b se escribe y e ln y Entonces lím (cot x )x lím y lím eln y e0 1

x l 0

xl0

xl0

Por tanto lím (cot x )x 1 x l0

Ejemplo ¿Cuál es el resultado de lím (1 cos x )tan x ? xl0

Solución Sea y (1 cos x )tan x , aplicando logaritmo natural en ambos lados se obtiene: ln y ln(1 cos x )tan x ln y (tan x ) ln(1 cos x ) ln y

1 ln(1 cos x ) cot x

ln y

ln(1 cos x ) cot x

1296

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Aplicando el límite y luego la regla de L’Hôpital ³ ¤ 1 ´ (sen x ) ¥ 1 cos x ln (1 cos x ) µ lím ln y lím lím ¦ xl0 xl0 xl0 cot x csc 2 x

sen x sen 2 x sen x 1 cos x lím lím xl 0 1 xl 0 1 cos x 2 sen x

§ (1 cos 2 x ) sen x ¶ lím ¨ · xl 0 1 cos x © ¸

§ (1 cos x ) (1 cos x ) sen x ¶ lím ¨ · xl 0 1 cos x © ¸

lím [ (1 cos x )sen x ] (1 cos(0 ))sen(0 )

(1 1)(0 ) (2 )(0 ) 0

xl0

Por tanto lím ln y 0 pero se quiere el límite de y, entonces sea y e ln y, entonces x l0

lím (1 cos x )tan x lím y lím eln y e0 1

xl 0

por tanto lím (1 cos x ) x l0

tan x

xl 0

xl 0

1

Ejemplo 1

Determina lím (1 2 x ) x xl0

Solución Al sustituir directamente se obtiene: 1

lím (1 2 x ) x 1@

x l0 1 x

sea y (1 2 x ) , al aplicar logaritmo natural 1

ln y ln (1 2 x ) x 1 ln y ln (1 2 x ) x ln y

ln (1 2 x ) x

Se obtiene el límite de ln y y se aplica L’Hôpital: 2 § ln(1 2 x ) 2 2 2 ¶ 1 2x lím ln y lím lím lím ¨ 2 · xl 0 xl 0 xl 0 xl 0 x x 1 2 ( 0 ) 1 1 1 2 © ¸ Por tanto lím ln y 2 xl0

1297

5

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Para calcular el límite de y hacemos y e ln y, entonces lím y lím eln y e 2

xl 0

xl 0

1 e2

Por tanto 1

lím (1 2 x ) x

xl0

1 e2

EJERCICIO 47 Obtén los siguientes límites: 1. lím xl5

x 3 125 x 2 25

11. lím

xl@

2 x ln x 2 x ln x

e x e x xl0 x

12. lím

ln( 3 x ) xl2 x 2

x³ x ¤ 13. lím ¥ 1 sen ´ xl0 ¦ 2µ

4. lím

4x 2x xl0 3x

¤ 1 1 ³ 14. lím ¥ xl0 ¦ 3 x sen 3x ´µ

5. lím (tan x )x

1³ ¤ 15. lím ¥ 1 ´ xl@ ¦ xµ

e x sen 2 x 1 xl0 ln(1 2 x )

2. lím

1

3. lím

xl0

6. lím xl0

x

¤ tan x x ³ 16. lím ¥ ´µ xl0 ¦ x3

ln (cos 3x ) 2x2 1

P³ ¤ 17. límP ¥ x ´ tan x ¦ 2µ xl

7. lím (sec x ) x xl0

2

8. lím ( x csc 3x )

¤ 1 ³ ¤ 3x 2 ³ 18. lím ¥ ´ ln ¥ xl0 ¦ x µ ¦ x 2 ´µ

9. límP (cos x sen x ) tan x

19. lím

xl0

xl

xl1

2

10. lím

xlc

ln(2 x 1) ln( x 2 ) x

ln x x 1

20. lím (sec x tan x ) xl

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1298

P 2

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Teorema de Rolle Definición Sea f (x) una función que satisface las siguientes condiciones: 1. Es continua en el intervalo [a, b]. 2. Es derivable en el intervalo (a, b). 3. f(a) f (b) 0 4. Entonces existe c 0 (a, b) tal que f (c) 0

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Verifica el teorema de Rolle para la función f ( x ) x 2 x 6 en el intervalo [ 2, 3] y determina el valor de c en dicho intervalo. Solución 1. f (x) es una función polinomial, por tanto, es continua en todos los números reales, en particular en el intervalo [ 2, 3] 2. La derivada de f (x) es f (x) 2x 1; f (x) es definida en los números reales, en particular está definida en el intervalo ( 2, 3) y es continua. 3. f ( 2 ) ( 2 )2 ( 2 ) 6 4 2 6 0 ; f ( 3) ( 3)2 ( 3) 6 9 3 6 0 4. Por tanto, f (x) satisface el teorema de Rolle. Para obtener el valor de c se emplea: f (c) 0

3

2c 1 0

Se resuelve la última ecuación y se obtiene: c

1 1 y 0( 2, 3) 2 2

1299

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Verifica si la función f ( x ) x 3 5 x 2 2 x 8 satisface el teorema de Rolle en los intervalos [ 1, 2], [2, 5] y encuentra los respectivos valores de c en estos intervalos. Solución 1. f (x) es una función polinomial, por tanto, es continua en toda la recta real y en consecuencia es continua en los intervalos propuestos. 2. La derivada de f (x) es f (x) 3x 2 10x 2; esta función es continua en los intervalos ( 1, 2) y (2, 5) por ser una función polinomial. 3. Para el intervalo [ 1, 2] f( 1) ( 1)3 5 ( 1)2 2 ( 1) 8 1 5 2 8 0 f(2) (2)3 5(2)2 2(2) 8 8 20 4 8 0 f ( 1) f (2) El teorema de Rolle se cumple para este intervalo. Para el intervalo [2, 5] f(2) 0 f(5) (5)3 5(5)2 2(5) 8 125 125 10 8 18 f(2) : f (5) En este intervalo no se satisface el teorema de Rolle. 4. Se buscan los valores posibles de c en el intervalo [ 1, 2]: f (c) 0

3 3c 2 10c 2 0

Se resuelve la ecuación cuadrática para obtener los valores de c, c

( 10 ) ( 10 )2 4 ( 3)(2 ) 2( 3)

10 100 24 6

10 76 6

10 8.717 6

c 3.119 c 0.213

EJERCICIO 48 Verifica el teorema de Rolle en los intervalos indicados y halla los posibles valores de c para las siguientes funciones: 1. f(x) x 2 4 ;

[ 2, 2 ]

2. f (x) 2 x 2 3x ;

§ 3¶ ¨© 0, 2 ·¸

3. f(x) x 2 5 x 6 ;

[ 2, 3]

1300

CAPĂ?TULO CĂ LCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

4. f(x) 2 x 2 3x 2 ;

1œ § 1 œ § ¨Š 3, 2 ¡¸ y ¨Š 2 , 2 ¡¸

5. f (x) x 3 9 x ;

[ 3, 0 ] y [ 0, 2 ]

6. f (x) x 3 5 x 2 4 x 20 ;

[ 2, 2 ]

7. f (x) x 3 13x 12 ;

[ 4,1] y [1, 3]

8. f (x) 9. f (x)

x 2 25 ;

[ 5, 0 ] , [ 5, 5 ] y [ 0, 5 ]

x2 4 ; x 4 1

[ 2, 0 ] , [ 2, 2 ] y [ 0, 2 ]

10. f (x) cos x;

P 3P œ [ P, P] y § , ¨Š 2 2 ¡¸

ª4 x2 ; 11. g(x)  ­8 5 x

si

1

x 1 ; x 1

8œ § ¨Š 2, 3 ¡¸

1

12. h(x) x 2 2 x 4 ;

[ 0,16 ]

Ăš VeriďŹ ca tus resultados en la secciĂłn de soluciones correspondiente Teorema del valor medio Dada una funciĂłn f (x) tal que: 1. f(x) es continua en el intervalo [a, b] 2. f(x) es diferenciable en el intervalo (a, b) 3. Entonces existe un nĂşmero c 0 (a, b) tal que f (c)

f (b ) f (a ) b a

Y

f(b) f’(c) f(a)

a

1301

c

b

X

5

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Verifica que la función f (x) x 2 4 satisfaga el teorema del valor medio en el intervalo [ 1, 3] y encuentra el valor de c. Solución 1. f (x) es continua en [ 1, 3], ya que está definida en todos los puntos de este intervalo. 2. Como f (x) es una función polinomial, entonces es continua y diferenciable en el intervalo ( 1, 3), f (x) 2x 3. Para buscar a c se sustituye en la fórmula: f (c)

f (b ) f (a ) b a

f (c)

f ( 3) f ( 1) 3 ( 1)

2c c

5 ( 3) 4 8 1 8

Por tanto, el valor de c es igual a 1.

2

Verifica si la función f ( x ) x 3 x 2 2 x satisface el teorema del valor medio en el intervalo [0, 2] y calcula el valor de c. Solución 1. f (x) es una función polinomial, entonces f(x) es continua en todos los puntos del intervalo [0, 2] 2. Al ser f (x) continua en el intervalo [0, 2] entonces es derivable en el intervalo (0, 2) y f (x) 3x 2 2x 2, aplicando el teorema del valor medio se obtiene el valor de c. f (c)

f (2 ) f (0 ) 2 0

3

3c 2 2 c 2

8 0 2

3c 2 2 c 2 4 3c 2 2 c 6 0 Al resolver la ecuación para c: c

[

2 2 2 4 ( 3)( 6 ) 2 76 c 1.12 c 1.78 6 2( 3)

El valor de c que pertenece al intervalo (0, 2) es c 1.12

1302

CAPÍTULO CÁLCULO

3

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Verifica si la función f (x) x 2 5x 4, satisface el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3] y determina el valor de c. Solución 1. La función es continua en el intervalo [1, 3], ya que está definida en todos los puntos del intervalo. 2. La función es polinomial y continua en el intervalo [1, 3] entonces, es diferenciable en ese intervalo f (x) 2x 5 f (b ) f (a ) 3. Para encontrar c se aplica la fórmula: f (c) b a 2c 5

f ( 3) f (1) ; 3 1

28 10 3 1

2c 5

2c 5 9 2c 4 c 2

EJERCICIO 49 Verifica el teorema del valor medio para las siguientes funciones en los intervalos indicados y determina el valor adecuado de c. 1. f(x) x 2 3x 2 ;

[0, 3]

6. f (x) x 3 5 x ;

2. f(x) 4 x 2 ;

[ 1, 2]

7. f (x) sen

3. f(x)

1 ; x

[1, 3]

8. f (x)

4. f(x)

x 1 ; x 2

[ 2, 1]

9. f(x) e x;

5. f(x)

x 1 ;

3

x ; 2

1 ; x 1

10. f (x) ln(2x 1);

[0, 8]

[ 2, 1] [ P, P] [0, 7] [0, 1] [0, 4]

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Diferenciales Se define la diferencial de una función f en un punto x, como el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente y se denota por las expresiones d f(x) o dy, es decir: df (x) f (x)dx o dy

1303

dy dx ; para toda dx : 0 dx

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén la diferencial de la función y x 2 5x 6 Solución Se obtiene la derivada y se multiplica por dx: dy

d 2 (x 5x 6) · dx dx

dy (2x 5)dx Por tanto, la diferencial es: dy (2x 5)dx

2

Determina la diferencial de la función y

x2 5

Solución Se deriva la función: 2 1 1 2 1 d ( x 5 ) x dy d x 5 1 2 1 ( x 5) 2 ( x 2 5 ) 2 (2 x ) 2 dx dx dx 2 2 x 5

Por consiguiente, d y

3

x x2 5

dx

Obtén la diferencial de la función f (U) 2 sen U cos U Solución Se deriva la función: df (U ) d cos U d sen U ¶ d 2 sen U cos U § 2 ¨sen U cos U dU dU d U ·¸ dU © 2[sen U( sen U ) cos U(cos U )] 2[cos 2 U sen 2 U ] Pero cos 2 U sen 2 U cos 2U, entonces: df (U ) 2 cos 2 U dU Entonces df (U ) 2 cos 2 U d U

1304

CAPÍTULO CÁLCULO

4

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Obtén la diferencial de la función y arc sen(1 x 2) Solución Se deriva la función: dy d arc sen(1 x 2) dx dx

1 1 (1 x ) 1

1 (1 2 x 2 x 4 )

2x2 x4 2 x x 2 x2

Por consiguiente, dy

2 2 x2

( 2x)

2 x

d (1 x 2) dx

2 2

2 2 x2

dx

EJERCICIO 50 Determina la diferencial de las siguientes funciones: x2 x 1

1. y ax

11. g(x)

2. y ax 2 bx c

12. y

x 2 x 3

3. f(x) x 3 2x 2 5

13. y

ax 2 b ax 2 b

4. s

t 3t

2

14. f (x) x cos 2x

5. h(t) (5 3t 2)6

15. f(t) tan3 2t

6. y (x 2 2) 3

16. y (1 sec x)2

1 3

17. g(x)

1 sen x 1 sen x

8. y x x 2 2

18. s (t)

cost t

9. f(x) (x 1)3(x 3)4

19. f(x)

sec x 1 sec x 1

¤ 7. y ¥ 2 ¦

10. h(s)

3³ ´ xµ

2s 1 2s 3

20. y log(x 2 5)

1305

5

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

21. y ln x 2 3 x 1 x 2

22. y ln

23. y e

26. f(x) x 2 ln x 27. f (x) arc cos 2x

x3

28. y arc tan

3

24. y 2 x 5 25. h(t )

2 x

29. y arc sec x

et e e t

30. y arc csc(3x 3)

t

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Aplicaciones de la diferencial Sea y f(x) una función, si se da a x un incremento $x, la variable y recibe un incremento $y, que se considera un valor muy próximo a dy, entonces el valor aproximado de f(x $x) es: f(x $x) y $y y f (x)dx y dy A esta expresión se le llama aproximación lineal y sirve para aproximar valores de funciones.

Aproximación lineal

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el valor aproximado de

25.020

Solución Se asocia a la operación la siguiente función: y

x

Se busca un valor x próximo a 25.020, cuya raíz cuadrada sea exacta, en este caso x 25, y veinte milésimas restantes se toman como la diferencial de la variable x. dx 0.020

1 50

Se obtiene su diferencial: dy

1 dx 2 x

dy

1 ¤ 1³ 1 ¥¦ ´µ 50 500 2 25

dy

1 500

Los valores se evalúan en la fórmula: f(x $x) y dy 25.020 25 0.02 5 Por consiguiente,

25.020 5.002

1306

1 500

2501 5.002 500

25 5; las

CAPÍTULO CÁLCULO

2

Determina el valor aproximado de

3

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

70

Solución Se asocia a la operación la siguiente función: y

3

x

Se busca un valor x próximo a 70, cuya raíz cúbica sea exacta, en este caso x 64, y las seis unidades restantes son tomadas como la diferencial de la variable x, es decir, dx 6 Se obtiene la diferencial: 1 dy 2 dx 3 3 x

1

dy 3

3

64

2

(6 )

1 8

Los valores se evalúan en la fórmula: f(x $x) y dy 3

Por tanto,

3

3

64

70 3 (64 6 ) 4

1 33 8 8

33 4.125 8

Obtén el valor aproximado de cos 40 Solución La función asociada a la operación es: y cos x Se busca un valor x próximo a 40 , en este caso x 30

P 3 P , y cos 30 y los 10 restantes 6 2 18

es el valor de la diferencial de x. dx

P 18

Se obtiene su diferencial: dy sen x dx dy ( sen 30 )( dy

P 1 P ) ( )( ) 18 2 18

P 36

Los valores se evalúan en la fórmula: f (x $x) y dy cos 40 cos(30 10 ) Finalmente, cos 40

3 P 18 3 P 0.778758941 2 36 36

18 3 P 36

1307

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Aproximación del aumento o disminución de funciones Ejemplo Al enfriar una placa cuadrada metálica de 8 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? Solución Se determina cuánto disminuyó el lado de la placa, para ello se obtiene el 0.03% de 8. (8)(0.0003) 0.0024 Si x lado de la placa, entonces dx 0.0024 cm, el signo menos indica que decrece el lado. Luego: El área de la placa es: A x2 La disminución en el área es: dA 2x dx dA 2(8 cm)( 0.0024 cm) 0.0384 cm2 Por último, se determina qué porcentaje representa 0.0384 del área total de la placa, es decir: A x 2 (8 cm)2 64 cm2 Porcentaje de la disminución de su área

(0.0384 cm 2 )(100%) 0.06% 64 cm 2

Por lo tanto, el área disminuye 0.06%

Estimación de errores de magnitudes Ejemplo Se calculó la longitud del lado de un cuadrado y éste mide 2.5 cm, con un error de 0.02 cm. Determina el máximo error que se comete al medir el área del cuadrado. Solución El área se determina con la fórmula A x 2, se obtiene la diferencial dA 2x dx, al sustituir se obtiene dA 2(2.5 cm)(0.02 cm) 0.1 cm2; dA representa el máximo error cometido en la medición del área. Ú Error relativo y error porcentual. error relativo

dv dv ; error porcentual 100 v v

Ejemplo Se calculó el radio de una esfera y éste mide 4.5 cm con un error máximo de 0.035 cm. Calcula el error relativo y porcentual que se obtiene al medir el volumen. Solución Del problema se obtiene: r 4.5 cm La fórmula del volumen es v

3

dr 0.035 cm

4 3 Pr y su diferencial es dv 4Pr 2dr 3

1308

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Entonces, el error máximo cometido al medir el volumen es: dv 4Pr 2dr 4 P( 4.5 cm )2 (0.035 cm ) dv 2.835P cm3 Luego, el volumen de la esfera con radio 4.5 cm es: v

4 P( 4.5 cm )3 121.5 P cm 3 3

Por tanto, el error relativo es: dv 2.835 P cm 3 v 121.5 P cm 3

3

dv 100(0.023) v

3

dv 0.023 v

Y el error porcentual: 100

100

dv 2. 3% v

EJERCICIO 51 Calcula el valor más aproximado de las siguientes operaciones: 3

130 2 tan 63º

86

6.

2.

3

35

7. 123.5 2

3.

4

20

8. sen 53 cos 44

1.

3

9. sen4 29

4. sen 38 5.

6 cos 50 º

10. cot 75

11. Una placa circular de radio 3.8 cm, se introduce en un horno, aumentando su radio en 0.012 cm. ¿Cuál es el aumento en la superficie de la placa? 12. La longitud de las aristas de un cubo es de 5.9 cm cada una, se midieron con un error máximo de 0.032 cm. Determina el máximo error que se cometió al medir su superficie y volumen. 13. Se calculó el diámetro de la base de un cilindro circular y éste midió 7.2 cm, con un error máximo de 0.05 cm. Calcula el error máximo que se cometió al medir el volumen si la altura es constante e igual a 10 cm. 14. Se midió un lado de un cuadrado y se cometió un error máximo de 0.012 cm. Calcula la longitud de uno de sus lados si el error máximo que se cometió al medir su área es de 0.192 cm2. 15. Calcula el error relativo y porcentual que se comete al medir el volumen y la superficie de una esfera, si su radio mide 12 cm y el error máximo que se cometió al medirlo es de 0.015 cm. 16. El error relativo que se comete al medir el área de un cuadrado es de 0.18, si el error que se comete al medir la longitud de uno de sus lados es de 0.01 cm. Encuentra la longitud de cada uno de los lados del cuadrado. 17. El error relativo al medir el volumen de una esfera es de 0.02. Calcula el error máximo cometido al medir su diámetro, si éste mide 3 cm. 18. Calcula el error relativo y porcentual que se comete al medir el área lateral de un cilindro de base circular, si al medir el diámetro de la base se obtiene 4.5 cm con un error máximo de 0.004 cm y la altura es de 5.6 cm.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1309