Soluciรณn a los ejercicios de cรกlculo diferencial
CĂ LCULO DIFERENCIAL
CAPĂ?TULO 1
8. ( @, 5 ) ( 5, 5 ) (5, @ ) { x 0 R x 5, x 5} 9. ( @, @ ) { x 0 R}
EJERCICIO 1 1. FunciĂłn
6. RelaciĂłn
11. FunciĂłn
10. ( @, 5 ) ( 5, 0 ) (0, @ ) { x 0 R x 5, x 0}
2. RelaciĂłn
7. FunciĂłn
12. RelaciĂłn
11. ( @, 1) ( 1, 0 ) (0, 1) (1, @ ) { x 0 R x 1, x 0, x 1}
3. FunciĂłn
8. RelaciĂłn
13. FunciĂłn
12. [ 1, @ ) { x 1}
4. RelaciĂłn
9. FunciĂłn
14. FunciĂłn
5. FunciĂłn
10. RelaciĂłn
15. RelaciĂłn
13. [ 6, @ ) { x 6} 14. ( @, 2 ] { x 2}
EJERCICIO 2
15. ( @, 4 ] { x 4}
5 ¤ 1³ 1. f ¼ ´ f(3) 15, f(0) 3 Œ 2¾ 2 2. f (a)
a2
16. ( @, 5 ] † [ 5, @ ) { x Œ R x 5 o x 5} 17. ( @, 1] [ 6, @ ) { x 0 R x 1 o x 6}
5a 6,
f (a b) a 2 2ab b 2 5a 5b 6
18. [ 6, 6 ] { x 0 R 6 x 6}
f (x h) 3x 2 6hx 3h 2 4x 4h 2 3.
19. ( @, @ ) { x 0 R}
f ( x h) f ( x ) 6x 3h 4 h
20. ( @, @ ) { x 0 R} 21. [ 5, @ ) { x 0 R x 5}
1 ¤ 1³ ¤ 1³ 4. f ¼ ´ , f ¼ ´ No existe Œ 3¾ Œ 2¾ 5
22. (2, @ ) { x 0R x 2}
4h f (x h) f (x) (2 x 2 h 1)(2 x 1)
23. ( @, 3) { x 0 R x 3} 24. ( @, 2 ) ( 2, @ ) { x 0 R x 2}
5. f (5) 3, f (4) 0, f(6)
20 2 5 ,
25. ( @, 4 ] ( 3, @ ) { x 0 R x 4 o x 3}
f (3) No estĂĄ definida 6. f (x h)
f ( x h) f ( x ) h
2x h
27. ( 2, @ ) { x 0 R x 2}
( x h )2 3 x 2 3
7.
f ( x b) f ( x ) 1 b ( x b 1)( x 1)
8.
1 f ( x h) f ( x ) h 1 ( x h) 1 x
9. f (1)
3š § 3³ ª 26. ¨1, ´  x 0 R 1 x º 2 Š 2¾ 
x 2 2 xh h 2 3
5³ 5š ¤ ª 28. ¼ @, ´  x 0 R x º Œ 2¾ 2  29. (0, @ ) { x 0 R x 0} 30. ( 1, 3) { x 0 R 1 x 3} 31. [1, @ ) { y 0 R y 1} 32. [ 4, @ ) { y 0 R y 4}
x 4 5 , f (0) , f(x 5) x 7 3 2
33. ( @, 9 ] { y 0 R y 9}
3 ¤ 1Âł 10. f ( 1) 2, f ÂĽ ´ 2 2 x 2 3x ÂŚ xÂľ x Las demostraciones de los ejercicios 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18, se dejan al estudiante. EJERCICIO 3 1. ( @, @ ) { x 0 R} 2. ( @, @ ) { x ÂŒ R} 3. ( @, 3) ( 3, @ ) { x ; R x 3} 4. ( @, 5 ) (5, @ ) { x 0 R x 5}
9œ ª 9š ¤ 34. ¼ @, ¡  y 0 R y º Œ 4¸  4 35. ( @, 2 ) ( 2, @ ) { y 0 R y 2} 1³ ¤ 1 ³ ª 1š ¤ 36. ¼ @, ´ ¼ , @ ´  y 0 R y º Œ 2¾ Œ 2 ¾  2 37. [1, @ ) { y 0 R y 1} 38. ( @, 0 ] { y 0 R y 0} 39. [ 0, 2 ] { y 0 R 0 y 2}
5. ( @, 4 ) ( 4, 4 ) ( 4, @ ) { x 0 R x 4, x w 4}
40. (0, 1] { y 0 R 0 y 1}
6. ( @, 0 ) (0, 5 ) (5, @ ) { x 0R x 0, x 5}
41. [ 0, 1) (1, @ ) { x 0 R 0 y 1 o y 1}
7. ( @, 2 ) (2, 5 ) (5, @ ) { x 0 R x 2, x 5}
42. [ 0, @ ) { y 0 R y 0}
1554
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS EJERCICIO 4
5. Y
1. Y
f(x) =
y=4
1 2
x–1
X
X
6. Y
2. Y
f(x) =
f(x) = 2
2 5
X
3 4
x 12
X
7. Y
3. Y f(x) = x2 – 4x + 3
f(x) = p
X
X
8.
4.
Y
Y
f(x) = –2x2 + 12x – 13
f(x) = 3x + 5
X X
1555
CÁLCULO DIFERENCIAL
9.
13. Y
Y
f(x) =
f(x) = 4 – x2
x22 x14
X
X
14. Y
10. Y
f(x) = f(x) =
3 x
x 12 32x
X X
15. Y
11. Y f(x) =
1 f(x) = – x
x 21 5 x 1 6 x2 2 4
X X
16.
12.
Y
Y
f(x) =
f(x) =
x x22
1 x 2 12 x 23
X
X
1556
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
17.
21. Y
Y
f(x) =
x2 1 2
f(x) =
x 2 2 36
x22 9
X X
22. Y
18. Y f(x) =
2x
16 2 x 2
f(x) =
X
X
23.
19.
Y
Y
f(x) = f(x) =
x 2 1 x 2 12
x24
X X
24.
20. Y
Y
f(x) =
f(x) = –
4x2 2 9
92 x X
X
1557
CÁLCULO DIFERENCIAL
25.
29. Y
f(x) =
Y
900 2 100 x 2 9
f(x) =
12 x x12
X X
26. Y
30. Y f(x) =
x22
f(x) = x
x12
X X
27. Y
31. Y f(x) =
1 x12 f(x) = x 2 2 X X
28. Y
f(x) =
32.
Y
x14 x23
X
X f(x) = x 1 4
1558
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
33.
37. Y
Y
f(x) =
2 32x
f(x) = x 2 2 1
X
X
38. Y
34. Y
f(x) = x 2 2 4 x 1 3
f(x) =
x 13 x 23
X X
39. Y
35. Y f(x) = 2 2 x 2
f(x) =
x 23 x 11
X X
40. 36.
Y f(x) =
Y
f(x) =
1 x22
C 21 xD
X
X
1559
CÁLCULO DIFERENCIAL
41.
4. Y
Y
X
X
EJERCICIO 5
5. Y
1. Y
X X
6. Y
2. Y
X
X
7.
3. Y
X
1560
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS EJERCICIO 6
5. Y
1. Y y 5x2 2 4
y 5 3 x 2 1 12 x 1 11
X X
6. Y
2. Y y 5 2x 3
y 5 (x 1 3) 2
X
X
7. Y
3. Y
y 5 x31 1
y 5 1 2 x2
X X
8. Y
4. Y y 5 (x 2 1)3 1 2
y 5 x 2 2 6 x 1 10
X
X
1561
CĂ LCULO DIFERENCIAL
9.
14. Y
Y
y5
1 2
y532 x14
x3 2 2
X
X
EJERCICIO 7
10.
1. Crece: (0, @)
Y
2. Decrece: ( @, 0) y5 x22 12
Crece: (0, @) 3. Crece: ( @, @) 4. Decrece: ( @, 0) Crece: (0, @) 5. Crece: (2, @) X
6. Decrece: ( @, 3) 7. Decrece: (0, @) Crece: ( @, 0)
11. Y
8. Decrece: ( @, 3) Crece: (3, @) y5 x23 22
9. Decrece: (0, 3) Crece: ( 3, 0) X
10. No crece ni decrece, permanece constante EJERCICIO 8
12. Y
y52 x13
1. Biyectiva
6. Ninguna
2. Ninguna
7. Biyectiva
3. Ninguna
8. Inyectiva
4. Biyectiva 5. Inyectiva X
EJERCICIO 9 1. f(x) g(x) 3 f(x) g(x) 7
13.
f(x) g(x) 10
Y
f (x) 5 g( x ) 2
y 5 x 23 2 2
2. f(x) g (x) 4x f(x) g(x) 10 X
f(x) g(x) 4x 2 25 f (x) 2 x 5 g( x ) 2 x 5
1562
9. Suprayectiva 10. Biyectiva
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
3. f (x) g (x) 2x 2 x 3
10. Df Y Dg { 1, 1, 2} f g {( 1, 1), (1, 1), (2, 1)}
f (x) g(x) 7(x 1) f (x) g (x)
x4
x3
15x 2
f g {( 1, 3), (1, 1), (2, 0)}
23x 10
f (x) x 5 g( x ) x 2
ª ¤ 1³¹ f g «( 1, 2 ), (1, 0 ), ¥ 2, ´ º ¦ 4µ» ¬
4. f (x) g (x)
8x 1 6
f (x) g (x)
4x 7 6
f ª¤ 1³ ¹ «¥ 1, ´ , (2, 1) º g ¬¦ 2µ » 11. f(x) r(x) 2x 5 12. f(x) s(x) x 2 4x 13
2 x 2 3x 2 f (x) g (x) 6
13. g(x) s(x) x 4 2x 3 19x 2 68x 60
f (x) 6 x 3 g( x ) 2 x 4 5. f (x) g (x)
x 3 x 4
f (x) g (x)
x 3 x 4
f (x) g (x)
2
14.
g( x ) x 3 r(x)
15.
s( x ) x 5 r(x)
16. g (x) s(x) 8(x 2) x x 12
17. f(x) r(x) x 2 5x 6 18.
f (x) x 3 r(x) x 2
19.
g( x ) x 3 s( x ) x 5
20.
g( x ) s ( x ) 2x 3 f (x) r(x)
2
x x 12 x 3 f (x) g( x ) x 4 x 4 6. f (x) g (x) x 2 x f (x) g (x) x f(x) g (x) x x x f (x) x 1 g( x )
x2 2 x( x 2)
21. f(x) g(x)
7. f(x) g (x) sen2 x cos2 x 1
22.
f (x) g(x) sen2 x cos2 x cos 2x f (x) g(x) sen2 x cos2 x
1 sen2 2x 4
f ( x ) sen 2 x tan2 x g( x ) cos2 x 8. Df Y Dg { 1, 3, 5}
f (x) x2 x g( x ) x 2
23. f(x) g(x)
x 1 x 2 2x
24. f(x) h (x)
5 5x ( x 2 )( x 3)
25. g(x) h(x)
x 1 x 2 3x
f g {( 1, 12), (3, 20), (5, 23)} f g {( 1, 8), (3, 8), (5, 9)} f g {( 1, 20), (3, 84), (5, 112)} f ª¤ «¥ 1, g ¬¦
1 ³ ¤ 3³ ¤ 7 ³ ¹ ´ , ¥ 3, ´ , ¥ 5, ´ º 5 µ ¦ 7 µ ¦ 16 µ »
9. Df Y Dg { 2, 1, 0} f g {( 2, 0), ( 1, 1), (0, 2)}
26.
x 3 3x 2 4x 2 f (x) h( x ) ( x 2 )( x 3) g( x )
27.
h( x ) x2 x 3 g( x ) f (x) x ( x 3)
28.
h(2 ) f (1) 3 g( 3)
f g {( 2, 10), ( 1, 7), (0, 4)} f g {( 2, 25), ( 1, 12), (0, 3)} f ª «( 2, 1), g ¬
3³ ¤ ¥¦ 1, ´µ , 4
1³ ¹ ¤ ¥¦ 0, ´µ º 3 »
29. f(x 1)
x 2 1 h( x 1) x 3
30. h(x) g(x)
1563
x2 2x 3 x ( x 3)
Cร LCULO DIFERENCIAL
31.
h( x ) g( x ) x 4 2 x 3 x 6 g( x ) f ( x ) x ( x 1)( x 3)
32. f (x) h(x) g (x)
33.
12. f(x) 13. f(x)
x 3 3x 2 2 x 6 x ( x 2 )( x 3)
x
14. f(x) mx b 15. f(x) x 2
f ( x ) h( x ) x ( x 1)(2 x 1) g( x ) ( x 2 )( x 3)
16. f(x)
x ( x 3) 1 2 34. g( x ) h( x ) x 3 35.
1 x
x 2
17. f g h 81x 2 54x 9 18. f g h 1 12x 2 48x 4 64x 6
3 x 1 2 1 h( x )
19. f g h
2x 9
20. f g h sen2(x 2) EJERCICIO 10
21. f g h sec2 x
1. ( f g)(x) 12x 2 46x 40, (g f )(x) 6x 2 10x 7, ( f f )(x)
27x 4
90x 3
24x 2
85x 20,
(g g)(x) 4x 9 2. ( f g)(x) x, (g f )(x) x, ( f f )(x)
4
x , (g g)(x) x 4
3. ( f g)(x) 4, ( g f )(x) 2, ( f f )(x) 4, (g g)(x) 2 4. ( f g)(x) x, (g f )(x) x, ( f f )(x) x 2 10
(g g)(x)
5. ( f g)(x) x 2 ( f f )(x) 6. ( f g)(x)
x 2 10
(x 2
2)2,
(g g)(x)
2
x 2x x 1 1
1 x x 3 , (g f )(x) x 1 1 3x
( f f )(x)
EJERCICIO 11 1. Ninguna
6. Ninguna
11. Par
2. Par
7. Par
12. Par
3. Impar
8. Par
13. Impar
4. Ninguna
9. Ninguna
14. Par
5. Ninguna
x 1 , (g f )(x)
2x
22. f g h sen x
1 , (g g)(x) x 2x 1
10. Impar
EJERCICIO 12 1. f 1(x) x 2. f 1(x)
x 5 2
3. f 1(x)
x 9
4. No tiene inversa
7. ( f g)(x) log(x 4), (g f )(x) log(x 2) 2
5. f 1(x)
3
x
( f f )(x) log[log(x 2) 2], (g g)(x) x 4
6. f 1(x)
5
x
7. f 1(x)
4
x
8. ( f g)(x)
1 , (g f )(x) x
x 2 x 4 1
( f f )(x)
1 2 no estรก definida x
(g g)(x)
x x2 1
9. ( f g)(x) {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8)} ( g f )(x) No estรก definida, ( f f )(x) {(2, 8)}
8. f 1(x) 3 x 2 9. No tiene inversa 10. f 1(x)
11. f 1(x) x 3 9 12. f 1(x)
(g g)(x) {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} 10. ( f g)(x) {( 2, 1), ( 1, 4), (0, 9), (1, 16)}
13. f 1(x)
(g f )(x) (1, 4), ( f f )(x) {(1, 1), (2, 16)} ( g g)(x) {( 2, 4)}
( g g)(x) {( 2, 2)}
1 3x 2x x 2 1
14. f 1(x)
1 x 1 x
15. f 1(x)
x2 x 1
11. ( f g)(x) {(3, 1), ( 2, 3), (1, 1)} (g f )(x) {(0, 1), (1, 0)}, ( f f )(x) {(0, 3), ( 1, 1)}
4 x2
1564
2
15. Par
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS EJERCICIO 13
5. Y
1. Y
f (x) 5 3x
X f (x) 5 1 2 ex
X
2.
6.
Y
Y
f (x) 5 e2x 1 2
y 5 32x
X
3.
X
Y
7. Y
y 5 3x 2 3
f (x) 5 ln(x 2 2)
X
X
4.
8.
Y
Y
f (x) 5 ex 1 1
X f (x) 5 1 1 log x
X
1565
CÁLCULO DIFERENCIAL
9.
13. Y
f (x) 5 22 sec x 1 1
Y
f (x) 5 2 1 ln(x 1 1) 3 2p
X
p
X
10. Y f (x) 5 3 cos x 2 2
14. Y f (x) 5 sen x 1
p 2
X
X
EJERCICIO 14 1. V(h) 40h
11. Y f (x) 5 22 sen x 1 1
2. V(h)
4 Ph 3 75
3. P(A)
12 5 A 5
4. A(d)
Pd 2 4
5. V(x)
3 Px 3 2
X
12. Y
6. A(x)
3 (x 2)2 4
7. V(x)
Pr 2 (8r 15) 6
8. A(x)
Px 2 3
f (x) 5 2tan x
X
9. A(x) 3x 16 x 2 ¤ 540 ³ 3´ 10. A(x) (x 4) ¥ ¦ x µ 11. d(t)
9 16t 2 1 2
12. d(t)
1 2 t 16 2
1566
SOLUCIĂ“N A LOS EJERCICIOS
CAPĂ?TULO 2
21.
7 9
36.
EJERCICIO 15 1. 1 1 2. 0.16666 6 3. 1
6. 4
22. 6
23.
8. No existe 9. 2
5. 1
10. 3
11. D 0.01
15. E 0.18
12. D 0.08
16. E 0.0098
13. D 0.025
17. E 0.25
14. D 0.4
18. E 0.002
8.
2. 24
9. 15
4 27
15. 0
40. 0
10. 2 3
17. 1
4. 0
11. 32
18.
5. 7
12. 1
19. 1
6. 64
13. 1
7. 3
14.
5 8
21.
11. 9
2. No existe
12. 0
3. 0
13.
14.
2 5. 3 1 6. 2
1 2
5 4
1 15. 4 16. 2
42.
1 4
1 4
43.
1 4
2 4
44.
30. No existe
45.
1 3
46.
1 8
31.
1 2
4 3 3
3 20
1
29. 2
6a 3 a2
1
32. 2 5
47.
1 6
48.
1 54
33.
4
2 x
34.
24 5
49.
1 4
35.
b a
50.
2 25
EJERCICIO 19 1.
7 4
11.
11 6
2. 2
12. 1
3. 0
13.
9 2
4. No existe
14. 1
5. 3
15. 1
6. 7. 4
41.
27. 48
20. h
EJERCICIO 18
a c
1 12
16. No existe
3. 18
4.
1 2
5 12
25. 3
28.
1. 3
38.
39. 2
26.
EJERCICIO 17
1 3
24. 3
EJERCICIO 16
3 5
37.
7. No existe
4. 0
1.
1 n • n p n 1
17. 4
1 2
16.
am si m n bn 0 si m n
8.
1 2h
18.
1 2
19. 15
9. 10. 2a
20.
3 7
9 19
1 7. 3
No existe si m n
8. 0 9. 1
17.
10. 0
18.
1567
a c n
a
CĂ LCULO DIFERENCIAL EJERCICIO 20 1. y
3. Y
1 2
y = 2x – 1
y = f(x)
2. y 0 3. No tiene asĂntota horizontal 4. y 1, y 1 5. y 2 6. y
a c
1
x=
X 1 As. Vertical: x = 2 As. Oblicua: y = 2x – 1
2
7. y 0 8. y 2 4.
9. No tiene asĂntota horizontal
Y
a 10. y b
y=x–2
EJERCICIO 21 1.
X
x=–2
Y
y = f(x) As. Vertical: x = – 2 y=x–1
As. Oblicua: y = x – 2
x=–2 X
5. Y y = f(x)
As. Vertical: x = – 2 y=x
x=–1
As. Oblicua: y = x – 1
2.
1
X
As. Vertical: x = – 1 As. Oblicua: y = x
6. Y
y = f(x)
x=–1
y=x
X As. Vertical: x = 1 x=–1 As. Oblicua: y = x x=1
1568
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
6. 7
7. Y
7. 1 8. 3
2
y=x –3x
9. 2 10. No existe el límite EJERCICIO 23 1 X
1.
1 3
6. 2
2.
1 3 2
7. 4 3
As. Vertical: x = 0 As. Oblicua: y = x2 – 3x x=0
3. 2
8. 0
4. 1
9. 1
1 5. 2
8. Y
10. No existe
EJERCICIO 24 y = f(x)
1. 2
11. 2
3 2. 4
12.
1 X
3.
1 2
13. 1
4. 0 As. Oblicua: y = x – 1
5.
y=x–1
9. Y
y = f(x) y = x3 + x
14. 0 1 2
15.
16. 0
7. 0
17. 9
8.
2
18. 0 19.
10. sec3(3) X
EJERCICIO 25 1. Es continua en x 0 2. No es continua en x 2 3. No es continua en x
EJERCICIO 22
3 2
1. a) 11, b) 9, c) No existe
4. Es continua en x 3
2. a) 1, b) 1, c) 1, d) 6, e) 4, f ) No existe
5. Continuidad removible en x 2
3. a) 0, b) 2, c) No existe, d)
2 2 2 , e) , f ) 3 3 3
6. No es continua en x 2P 7. Es continua en x 2
4. a) 1, b) 4, c) 4, d ) 4, e) 16
8. No es continua en x 1
5. a) 4, b) 4, c) 4, d ) 8, e) 3, f ) No existe
9. No es continua en x 0
1569
n2 m2 4
20. 0
CAPÍTULO 3
As. Vertical: x = 1
x=1
1 2
6. 0
9. 1
As. Oblicua: y = x3 + x
1 2m
CÁLCULO DIFERENCIAL
10. No es continua en x 2; es continua en x 2 11. Es continua en x 1; no es continua en x 2
11. f (x)
3 P 2 13. No es continua en x 3; es continua en x 3
12. f (x)
14. Continuidad removible en x 3
13. f (x)
12. Es continua en x P y x
15. Continuidad removible en x 1 16. Continuidad removible en x 2
17. y
1 2 x 2
18. y
x
14. f (x)
1 2
15. y
19. k 1 20. k 0 o k 2 21. k 1 o k
16. y
4x ( x 2 1)2
x2 4
17. Continuidad removible en x 8 18. No es continua en x
6 x3
2 3 3 (2 x 1)2
1 x x 1
3
x2
3
2 3( x 1) 3 x 1 2
19. y
1 2
20. y
1 n n xn 1
EJERCICIO 29
2 9
1
1. y 0
16. y 9 x 2
22. a
9 , b 7 4
2. y 0
17. f (x)
23. a
17 , b 2 2
3. f (x) 0
18. f (x)
4. s (t) 0
19. f (x)
5. y 6
20. s (t)
24. a 4, b 2
2 5 5 x3 1 4
6. sí 7. sí
3. sí
8. no
4. no
9. no
5. sí
6. y
3 4
21. f (x)
10. sí
6. 5
2. 0
7. 5
3. 4
8.
4. 2 ,
1 2
5. 5
2 5
9.
2 2
1 5
x4
22. f (x)
5x4 7
8. s (t ) b2
23. f (x)
4 x3 9
9. f (x) 5 2
24. s (t)
3t 2 a
10. y a b
25. f (x)
20 x5
11. f (x) 5x 4
26. f (x)
12 x7
12. f (x) 12x 2
27. f (x)
4 3 t 5
28. s (t )
10. 1
CAPÍTULO 4 EJERCICIO 28 1. y 3
6. y 3x 2
2. y b
7. y 3x 2 2x
3. y 2x
8. y 4
4. f (x) 6x 5
2 9. y ( x 1)2
5. y 2ax b
1 44 t3
7. f (x) a EJERCICIO 27 1. 2
x3
1 2 x
EJERCICIO 26 1. sí 2. no
10. y 3x 2
13. s (t )
14. y
9 27 x 2
15. f (x)
1570
4 13 x 3
3
( x 1) ( x 3) 2
1 4 x 1 15 3 t 2
29. f (x)
2 x x
30. s (t)
5 4t 4 t
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
31. f (x)
4 3x 3 x
54. y
3 x2
32. f (x) 21x 2 6x 3
55. y 15(3x 4)4
33. f (x) 4x 3 15x 2 16x 1
56. y 12(2 4x)2
34. f (x) 10x 4
57. y (72x 5 32x 3)(3x 6 2x 4)3
35. f (x) 12ax 3 12ax 2 10bx 7c
58. y 12 x (2x 1)2(6x 1)
36. f (x) 37. s (t )
x2 6x 4 2 5 9
59. y
5t 4 4 t 3 3t 2 2t 1 6 5 4 7 9
60. y
3x 5 3x 2 x2 3
2x
1 2 2 a a b
38. f (x)
39. s (t )
61. y
8 5 t3 t2 62. y
20 18 14 3 40. f (x) 5 4 3 2 x x x x
1
15 3 x 2
1
2 x2
49. y
2 5 x 3 7 a n n xn 1 1
3
3
50. f (x)
x
b 33 x2
54x 12
5 2x 2 4 x
( x 2 )3
4 3 3 2x 3 1
67. y
3
( 4 x 3) 4 ¤1 ³ 68. f (x) ¥ x 2 ´ ¦3 µ 1³ ¤2 69. y ¥ 2 ´ ¦x x µ 70. f (z)
1 2
z
3
( x 6 3 x )2
72. y 108x 2 55x 4 73. y 40x 12
6 5 2 x3 x2
53. f (x) 5 3 x 2
10 8 3 3 x 3x 3 x
1³ ¤ 1 3´ ¦¥ x 2 x µ
z2 4
51. f (x) 14x 15x 2 52. f (x)
2
2x5 1
71. y 1 3 2x x
4
65. f (x) (6x 15)(x 2 5x 3)2
5 2 4 x x2 x
46. f (x) anx n 1 b(n 1)x n 2
2
x3 4
4 6 3 6 x 45. f (x) x x
48. f (x)
4x 6 3 2x2 6x
x3x
66. y
47. f (x)
1 x2 ( x 2 1)2
64. f (x)
43. f (x) 3x 2 6x 6 44. f (x) 3 x
( x 2 )2
9 ³¤x ¤ ³ 63. y ¥ 1 ´ ¥ 6 x ´µ ¦ xµ¦3
3t 2 4 6 3 2 41. s (t) 5 t t 42. f (x)
3
74. y 12x 3 3x 2 75. f (x)
1571
3x 1 2x 1
9 x2
CÁLCULO DIFERENCIAL
76. y 77. y
1 (2 x 1)2 8 x 1 3
98. y
80. s
7 x 4 27 x 2 4
3( x 2 3) 3
78. f (x) 12x (3x 2 5)3(2x 2 1)2(7x 2 3) 79. f (U) (6U4 12U)(U2 1)2(2U3 U 2)
3
(x 4 a4 )2
5x2 4 x 2 x 1
4 x 3
97. y
99. y
8 x 2 24 x 9 2 x 2 3x
8 9t 2 4 3t
101. y 6 82. f (x) (1 2 x )2
84. f (r)
3
2( x 1) 2
9 ¤2 3³ 81. s (t ) (2t 3) ¥ 2 ´ 4 2 ¦t t µ t
83. f (t)
x 2
100. y
3x 3 2 x 3 2 x 2
102. y
bt 2
a a t
2
2
( x 6 1) 3 ( x 3 1) 3
2
103. y
r 3 5r 3
nx n 1 (1 x n ) x 2 n 1
(r 2 4 ) 2
86. f (z)
m
21 (5 6z )2
87. f (x)
n
104. y
63 85. f (t) ( 5 t 8 )2
105. y
89. f (t )
x x
xn 1
2
3
2( 4 5 x ) 2 2 x 1
2 ab (ax b )2 1
m
xn m
20 x 2 19 x 8
8x6 8x3 2
106. y 3
88. f (x)
m
1 2 3x
2
1 2t
1 4t 2
( 4 x 6 1)2 (2 x 3 1)2
EJERCICIO 30 1.
1 2u dy dx x2
90. f (w)
10(w 3) (w 2 )3
2.
dy 1 2 dx 2 x u 1(1 u )
91. f (U)
24U 3 54U 2 24 ( 3 2U )2
3.
x (6u 2 3) dy dx 2u 3 3u
92. f (s)
6 s 2 4 s 12 ( s 2 6 s )2
4.
dy 4 9 3 4 dx u u
5.
dy (8 12 x 3x 2 )(u 2 1) dx (u 2 1)2
6.
5u 3 3u dy dx u3 u
7.
dy dx
8.
dy 8x dx (u 1)2 (v 2 )2 x 2 1
93. f (x)
10b 2 x 5 x 3 2
3 2 2
2(b x ) 94. f (t)
(693 27t )(9t 6 )2 (27 3t )3
95. f (x)
96. f (x)
2 ab ( a 3 x )2 8 4 x2 4 x2
1572
3x 2 u ( x 3 1)2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
dy v dx 2 x u 1(v 2 1)2
27. f (x)
¤ x 1³ 2 sec 2 ¥ ( x 1)2 ¦ x 1 ´µ
10.
dy 2 x ( x 2 3) dx (v 1) v 2 1 u 3
28. f (x)
¤ ax b ³ ¤ ax b ³ 2 ab sec ¥ tan ¥ (ax b )2 ¦ ax b µ´ ¦ ax b µ´
11.
dy 2u dx v ( x 1)2
9.
29. f (x) 10 sen 5x cos 5x 5 sen 10x 30. f (x) 3b cos2 bx sen bx 31. f (x) 24x tan3 3x 2 sec2 3x 2
EJERCICIO 31
2 cos 4 x
32. f (x)
1. y 8 cos 8x 2. f (x) 6x sen
sen 4 x
3x 2
3. f (x) 3x 2 sec2 x 3
33. f (x) 5x tan 5x 2
4. s (t) 6 sec 6t tan 6t
3
6. f (x) 9 csc 9x cot 9x 8. s (t) 2bt
bt 2
36. f (x) 2x cos x 2 2x 3 sen x 2
9. f (x) 12x sec x 2 tan x 2 10. f (x)
1 x x csc cot 8 4 4
11. f (x) 3a sen 3x
3x cos 3x sen 3x x2
37. f (x)
38. f (x)
12. f (x) 3 csc2(3x 5) 13. f (x) cos
9 tan 2 x 2
35. f (x) x cos x sen x
7. f (x) a sen ax sec2
sec 5 x 2
2 x sec 2 x 2
34. f (x)
5. f (x) 12x 2 csc2 4x 3
2 sen 4x cot 4x
10t 2 sen 5t 2 2 cos 5t 2 t3
39. y 2ax cos(ax 2)
x 2
40. y 3a sen(3x)
P³ ¤ 14. f (x) 5 sen ¥ 5 x ´ ¦ 2µ
41. y
15. s (t) a sec2(at P)
42. y x sec 3x 2 tan 3x 2
sec 2 x 2 x
16. f (x) cos x sen x 43. y 17. s (t)
1 cos t 2 t
18. f (x)
19. f (x) 20. s (t)
1 2x 2x csc cot 3 3 3
44. y 2x 3
1 3 3 x2
csc 2 3 x
1 ¤ 1³ cos ¥ ´ ¦ xµ x2
45. y 6x csc2(1 x 2)
1 1 cos x2 x
46. y
3 1 sen 3 t4 t
¤ x 1³ 4 cos ¥ 3( x 1)2 ¦ x 1 ´µ
47. y 2b sen 4bx 48. y 24(2x 1)2 tan3(2x 1)3 sec2(2x 1)3
sec 21. f (x)
1
1
tan x x 2x x
22. f (x) 3 sec2 3x 3 3 tan2 3x 23. f (x) a a csc2 ax a cot2 ax 24. f (x) 2(x 1)cos(x
1)2
25. f (x) 18t (3t 2 2)2 sen(3t 2 2)3 26. f (x)
sen 2 x
49. y
2 csc 2 x 1 x 1
50. y
cos 3 2 x 2 x sec 2 x 2 3
9 tan 2 x 2
51. y cos 4x (cos2 4x 6x sen 8x) 52. y x csc ax(2 ax cot ax) 53. y (1 x cot 2x) csc 2x
1573
CÁLCULO DIFERENCIAL
54. y
m sen nx sen mx n cos nx cos mx sen 2 nx
6. f (x)
55. y
cos x (1 sen x )2
7. f (x)
2 x 9x4 1 1 b2 x 2
56. y x sen x 57. y
16 x 2
(tan 2 x 1)3
58. y (2x 2 6) cos 2x 10x sen 2x 59. y 2 cos(2x 1) 60. y x sec(P x) [2 x tan(P x)] 61. y
1
8. f (x)
sec 2 x (tan x 1)
81x 2sen 2 x[ 3x 2 cos x x cos x sen x ] ( 3x 1)4
9. f (x)
a a2 x 2
10. f (x)
1 x x 1 2x
11. y
8 6 x 2 x 4
x 1 x 1
12. y
¤ sec x ³ 63. y ¥ (x sen x cos x) ¦ x ´µ
13. y
64. y x sen x cos x
14. y arc sen x
62. y
1 ( x 1) x 2 1
sen
2
1 1 x2 x2 2x arc tan x x 1 2
65. y 2 cos 2x 66. y 2 sec2 x tan x 67. y
1 x sen 2 2
68. y 6 sen(6x 2) x sen x 2 cos x 69. y x3
x2
15. y
16 x 2
1 x ¤ 1³ 16. y arc csc ¥ ´ ¦ xµ 1 x 17. y x arc tan x 18. W
70. y (sen x cos x)(tan2 x tan x 2)
U (1 U 2 ) U 2 2 1 4 x2
71. y cos3 x
19. y
72. y x 2 sen x
20. y x 2 arc sen x
73. y
sen4
2x
EJERCICIO 32 1. y
2. f (x)
5
22. y
x2 x 1
23. y
3 6x2 (1 4 x 2 )(1 x 2 )
1 25 x 2 8 x 1 16 x 4
3. f (x)
3 1 9x2
24. y
4. y
3x 2 1 x6
25. y
5. f (x)
b r b r
21. f (r)
2 x x4 1
26. y
1574
2
1 2 x x2 1
¤ 1³ arc cos ¥ ´ ¦ xµ x 1 2
4a 8x 1 ( 4 ax 4 x 2 )2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
1
27. f (r)
28. y
r 2 4 r 3
1 4 x2 4 x 5 x 2
29. y
4x x
1 2x
5. f (x)
6 log e x
6. f (x)
3 log e x
7. f (x)
log 3 e x
8. f (x)
log 4 e 3x
9. f (x)
4 ln 3 x x
10. f (x)
3 ln 2 5 x x
2
x2
30. y
4. f (x)
4 x x2 2x x2
31. y 32. s (t)
2 3t 9 t2 25 9 x 2
33. y
11. y x(1 ln x 2)
34. w
U 5 (U 4 ) U 2
35. y
1 5 4 cos x
13. y
36. y
cos x 5 3 cos x
14. f (x)
2 ln x 2 x2
1 3
15. y
a a 2(b ax ) 2(ax b )
38. y arc cot(tan x) x
16. f (x)
9x2 2 x ( 3x 2 1)
17. f (x)
2 ax 2 b x (ax 2 b )
37. y
39. y
¤ 1 4 x arc sec 2 x ³ 1 ¥ ´ ( 4 x 1) ¦ x 4 x2 1 µ 2
7 8 cos x cos2 x 14 2 cos x
40. y
41. y
64
12. y 2(1 ln x)
18. y
13 ( 3x 5 )(2 x 1) bc c2 x 2 b2
19. f (x)
2
( 3x 2 ) 5 x 28 x 12
20. y cot x
t2
42. s
2t arc cos(1 t) 2
2t t 2
43. y
1 1 (a x )
21. y 5 tan 5x 22. y
2x x2 4
23. y
3 2 ( 3x 4 )
24. y
12 4 x2 9
2
EJERCICIO 33 1. y
1 ln x x2
3 x
2. f (x)
2 x
25. y
x2 x 8
3. f (x)
6x 5 3x 2 5 x 2
26. y
ln x 2x
1575
3
CĂ LCULO DIFERENCIAL
27 x 2 12 x 6 ( 3x 2 )( 3x 2 2 )
53. f (x) 4e 4x
27. y 28. y
2 log 3 e 4 x2 1
55. f (x) 3e 3x 1
29. y
30 bx
54. f (x) 10xe 5x 2
2
56. f (x)
1 5x e 5
57. f (x)
13 t e 3
58. f (x)
14 x e 4
x 3 log e
10 bx 3 x 6 x
30. y tan x 31. y 2 cot x 32. y 1 ln x
1
59. f (x)
33. y 2 tan 2x 34. y
1 2x ln x
60. f (x)
35. y sec x
2 x2 e x3
e x 2 x
61. f (U) sen 2U e sen2U
1 sen 2 x 36. y cos 2 x
62. f(x) 2 sen 2x e cos 2x 63. y (sen x cos x)e x ex sen x
x tan x 37. y x tan x
64. f (x) (3 ln 5)53x 65. f (x) (2 ln 7)72x
38. y 2x 2(1 ln x 3)
66. f (x) (2x ln 5)5x2
3 sec 2 x 3 sec x csc x 39. y 2 x tan x 2 x
67. y 2x 2x (1 ln x) 68. y x cos x 1(cos x x ln x sen x )
log e 40. y 2x
x
69. y
x (1 ln x) x2
70. y
y earc tan x 1 x2 1 x2
71. y
1 2x 2x
41. y 2x2 5x ln 2 (2x 5) x
42. f (x)
b ln b 2 x ln x
43. y
3 ln 3 x
72. y 3e ln x 2 3x 2
44. y (x cos x sen x) 5 x sen x ln 5
73. y
xe x ( x 1)2
74. y
e x ( x ln x ln x 1) 2 ln 2 x
45. y 2ln x(1 ln 2) 46. y 5x (ln 5x 1) 2
47. y 2xe x 2xy 48. y (6x 2)e 3x 49. y
3xe
2
2x 1
2
3 x 1 2
3x 1
(6x 2)y
75. y
3xy 3x 2 1
76. y
50. y (x sec2 x tan x)y 2x
51. y e b e 52. y
2x b
8 (e e 2 x )2 2x
1 x (ln x 1) ln 2 x 1
77. y 78. y
1576
esen x cos x (1 esen x ) e2 sen x 1 2a cot ax ey eln
e x sen x
(1 cot x ) y(1 cot x ) 2 2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
79. y xe sen x (x cos x 2) 13. y
80. y cot x 81. y
3x 2 8 x( x 2 4 ) x 3
82. y
x2 9
83. y sec3 2x
14. y
16. y
x2 4
88. y arc cot x
18. y
y x
tan e y ey
19. y 3e x y 20. y
2 xy x2 1
EJERCICIO 34
21. y
1 x y 1 y x
x y
22. y
y x
x (1 e x ) 2 y(e y 1)
23. y x
89. y arc csc
1. y 2. y 3. y
x 2
4 y
y x
y x (2 y 1)
17. y
86. y arc sec x 1 87. y 4 x2 9
2 4 x 3y 3x 3
15. y 1 4 x
84. y arc tan x 85. y
2y x y 1 1 2x x y
2
24. y
y x ln x
4. y
2x 5 4y 2
25. y
y x 2 y2 x
5. y
3x y x 6y
26. y
y ¤ x ln y y ³ x ¥¦ y ln x x ´µ
6. y
x 1 1 y
27. y
1 x ln x
7. y
( x y )2 2 y 2x
28. y
e x (1 e y ) (e y 1) ln(1 e y ) ey
8. y
b2 x a2 y
29. y
y(x ln y) x ln x
y x
30. y
ey ex 1 x e y 1 y
31. y
y2 y 1 x e xy
32. y
1 1 e x y [cos(e x y ) 1]
33. y
e x cos y cos y 3 1¤ 1 1 ³ ¥ x e x cos ysen y x ¦ tan y x sen y ´µ
9. y 10. y
11. y
12. y
2 y 2 3x 2 y 10 xy 2 3y 4 xy x 3 10 x 2 y 1 2
4 xy 9 x 2 5 y 3 5x 2x2 1 2 x y y 2 x 3y
1577
ln y
CÁLCULO DIFERENCIAL
34. y
35. y
36. y
d4 y 24 dx 4
sen x sen x (csc y cot y) cos y 1 sen y
2.
d3y 0 dx 3
sen( 4 x ) cos(2 x ) sen(8 x ) sen(2 y) cos(2 y) sen(8 y)
3.
d2 y 170 dx 2 (5 x 3)3
4.
d2 y 4 ab 2 (ax b )2 dx 2
5.
d3y 24a 3(ax b) dx 3
6.
d4 y sen x cos x dx 4
41. y
sen x ecos x cos y(1 esen y )
2 y cos( xy) 2 sec( xy) y x cos( xy) x
39. y
40. y
cos x sen y
7. y csc2 x
sen x sen y ecos y
8. y
cos x sen y 1 x cos y
9. y e x sec2 e x (2e x tan e x 1) e x sec2 e x(2e x y 1)
¤ y2 1 ³ 42. y ¥ 2 arc tan y ¦ y 1 x ´µ cot ( x y) 43. y 1 cot ( x y) 44. y
y esen y cos y x 2
y ¤ x ln y y ³ y 2 ¤ 1 ln x ³ 2¥ x ¦¥ y ln x x µ´ x ¦ 1 ln y µ´
sen( x y) cos( x y) 47. y 1 sen( x y) cos( x y) tan 2 ( xy) y 2 sec 2 ( xy) 48. y tan( xy) xy sec 2 ( xy)
49. y
50. y
x2 y 1 ( x 1)arc cot x 2
18 y 6 d2 y ( 2 3 x )2 dx 2
11.
d2 y dx 2
9 3
(9 x 2 ) 2
12.
d2 y x 2 y2 16 3 y y3 dx 2
13.
d4 y 2 3 x dx 4
14.
¤ d2 y cos2 x cos y ³ sen x sen 2 y cos2 x cos y csc y ¥ senx sen 2 y ´µ sen 3 y dx 2 ¦
15.
d3y x 2 cos x 6x sen x 6 cos x dx 3
16.
2 n ! ( 1)n 1 d3y 12 dn y ; 4 3 n ( x 1)n 1 dx dx ( x 1)
17. y
2y ( x 1)2
18.
d 3y 2 sec2 x tan x dx 3
19.
d2y 2 cos2 x sen x 2 sen x 2 dx (1 sen x )3 (1 sen x )2 (1 sen x )2
y ex 1 e2 x (sen y arc cos(e x ))
72 ( x 1)5
10.
1 1 2 y ln 2 ln 2 x ln 8
45. y
46. y
EJERCICIO 35 1.
37. y
38. y
cos( x a ) sen( y b )
20. y
1578
12 108 x ; y ( x 2 y )3 ( x 2 y )5
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS EJERCICIO 36 dy 2 sen 2 U 3 cos 2 U 1. 2 cos 2 U 3 sen 2 U dx 2.
dy 0 dx
11.
3
14.
12.
1 4 m2
15. 1
1 3
16.
13.
3.
dy 5 sen U cos 5 U sen 5 U cos U 5 cos U cos 5 U sen 5 U sen U dx
4.
dy cos 2 U sen U sen 2 U cos U cos 2 U cos U sen 2 U sen U dx
5.
dy cos 2 U cos U ¤ 3U ³ cot ¥ ´ ¦ 2µ sen 2 U sen U dx
6.
dy csc U cot U dx
7.
dy a sen U cos U a cos U sen U dx
EJERCICIO 38 1. Sub-tangente 1 Sub-normal 1 Tangente
Sub-normal 84 Tangente
3. Sub-tangente
12 7
Sub-normal 84 Tangente
60 2 7
Normal 60 2 3 4. Sub-tangente
13. 3
7 4
Sub-normal 28
14. a 1 4
Tangente
7 17 4
Normal 7 17
EJERCICIO 37
5. Sub-tangente
dy cos U 4 sen U 6. 5 cos U sen U dx
dy 4t t 1. dx
2
dy 1 dx 36t 2
7.
dy (t 1) (1 2t t ) (t 2 1) dx
dy a csc U 4. b dx
dy 4 9. 4 5t dx 3
2t 3t dy dx 2 t 1
Tangente
3 5 2
Normal 3 5 dy U 8. csc (4 8 cos2 U) 2 dx
2
3 2
Sub-normal 6 2
2 t2 t dy 3. dx 2t 1
5.
60 2 7
Normal 60 2
11. 1
2.
12 7
2. Sub-tangente
dy sen U 2 U cos U cos U 2 U sen U dx
15.
2
Normal 2
dy 3 cos U 2 cos 2 U 9. 2 sen 2 U 3 sen U dx
12. 2
10.
1 10
CAPÍTULO 5
U sen U tan cos U dy 2 8. U dx cos U tan sen U 2
10.
1 3
6. Sub-tangente 18 Sub-normal
1 2
Tangente 3 37
dy 1 cos U cot2 U 2 dx
Normal
1579
37 2
CĂ LCULO DIFERENCIAL
19. T: y 1 0
7. Sub-tangente 8 Sub-normal
N: 2 x P 0
1 2
Normal
20. T: 3 3x 6 y 3 3P 0
N: 12 x 6 3y 3 3 4 P 0
Tangente 2 17
21. T: 4 x 2 y (6 P) 0
17 2
N: 4 x 8 y (24 P) 0 22. T: 2 x y 6 0
8. Sub-tangente 2 1 Sub-normal 8 Tangente Normal
N: x y 0
17 2
3 2
Sub-normal 6 3 5 Tangente 2 Normal 3 5 3 10. Sub-tangente 4 16 Sub-normal 27 145 12
2 145 27
11. T: 4x y 1 0 N: x 4y 38 0 12. T: x y 1 0 N: x y 1 0 13. T : y 0 N : 2x 1 0 14. T: 8x y 12 0 N: x 8y 34 0 15. T: 4x y 8 0 N : x 4y 15 0 16. T:
N: 2 x 6 y 7 0 N: 2y 1 0
9. Sub-tangente
Normal
24. T: 6 x 2 y 9 0 25. T: x 2 0
17 8
Tangente
N: x 2 y 8 0 23. T: x y 2 0
5x 2y 9 0
N : 2x 5y 0 17. T: x 2 y 7 0 N : 2x y 4 0 18. T: 2 x y 2 0 N : x 2y 4 0
26. T: 7 x y 8 0 N: x 7 y 94 0 27. T: x ey 0 N: ex y 1 e2 0 28. T: 8x y 7 0 N: 2x 16y 47 0 EJERCICIO 39 1. Agudo 26 33 , obtuso 153 27 2. Agudo 73 42 , obtuso 106 18 3. Agudo 78 41 , obtuso 101 19 4. Agudo 35 15 , obtuso 144 44 5. Agudo 28 23 , obtuso 151 36 6. Agudo 28 4 , obtuso 151 55 7. Agudo 71 33 , obtuso 104 28 8. 125 32 9. U 63 26 10. U 18 26 11. U 6 54 , 57 25 12. U 33 41 13. U 54 44 EJERCICIO 40 1. r
5 5 dU 3 5 , 3 ds 25
2. r
17 17 d U 8 17 , 8 ds 289
3. r 4 2 , 4. r
5 10 d U 3 10 , 3 ds 50
5. r 1,
1580
dU 2 ds 8
dU 1 ds
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
6. r
1 2 Creciente en ¤¥ @, ³´ ¤¥ , @ ³´ ¦ 2µ ¦ 3 µ
17 17 d U 2 17 , 2 ds 289
1 2 Decreciente en ¤¥ , ³´ ¦ 2 3µ
1 dU 7. r , 2 2 ds 8. r
11 d U 4 11 , 4 ds 11
7. Punto máximo (2, 15) Punto mínimo ( 1, 12)
9. C( 2, 5)
Creciente en ( 1, 2)
¤ 3 3³ 10. C ¥ , ´ ¦ 4 2µ
Decreciente en ( @, 1) X (2, @) 8³ ¤ 8. Punto máximo ¥ 1, ´ ¦ 3µ
¤P ³ 11. C ¥ , 0 ´ ¦2 µ
Punto mínimo (3, 8)
12. C( 2, 3)
Creciente en ( @, 1) X (3, @)
¤ 23 ³ 13. C ¥ , 32 ´ ¦ 2 µ
Decreciente en ( 1, 3) 34 ³ ¤ 9. Punto máximo ¥ 2, ´ ¦ 3µ
EJERCICIO 41
19 ³ ¤ Punto mínimo ¥ 3, ´ ¦ 2µ
1. Punto mínimo (3, 4) Creciente en (3, @)
Creciente en ( @, 2) X (3, @)
Decreciente en ( @, 3)
Decreciente en ( 2, 3)
5 23 2. Punto máximo ¤¥ , ³´ ¦ 6 12 µ
¤ 17 ³ 10. Punto máximo ¥ 1, ´ ¦ 12 µ 5³ ¤ Punto mínimo (0, 1) ¥ 3, ´ ¦ 4µ
5 Creciente en ¤¥ @, ³´ ¦ 6µ
Creciente en (0, 1) X (3, @)
5 Decreciente en ¤¥ , @ ³´ ¦6 µ 3. Punto máximo ( 1, 2)
Decreciente en ( @, 0) X (1, 3) 11. Punto máximo (1, 3) Creciente ( @, 0 ) (0, 1)
Punto mínimo (1, 2)
Decreciente (1, 2 ) (2, @ )
Creciente en ( @, 1) X (1, @) Decreciente en ( 1, 1)
12. No tiene máximos y mínimos Decreciente en ( @, 3) ( 3, @ )
4. Punto máximo (0, 0) Punto mínimo (4, 32) Creciente en ( @, 0) X (4, @)
¤ 1³ 13. Punto máximo ¥ 2, ´ ¦ 2µ
Decreciente en (0, 4)
1³ ¤ Punto mínimo ¥ 2, ´ ¦ 2µ
5. Punto máximo ( 1, 5)
Creciente en ( 2, 2)
1 7 Punto mínimo ¤¥ , ³´ ¦2 4µ 1 Creciente en ( @, 1) ¤¥ , @ ³´ ¦2 µ ¤ Decreciente en ¥ 1, ¦
Decreciente en ( @, 2 ) (2, @ ) 1³ ¤ 14. Punto mínimo ¥ 0, ´ ¦ 4µ Creciente en (0, 2 ) (2, @ )
1³ ´ 2µ
1 17 6. Punto máximo ¤¥ , ³´ ¦ 2 4µ
Decreciente en ( @, 2 ) ( 2, 0 ) 15. Punto máximo ( 6, 12 ) Punto mínimo (0, 0) Creciente en ( @, 6 ) (0, @ )
2 29 Punto mínimo ¤¥ , ³´ ¦ 3 27 µ
Decreciente en ( 6, 3) ( 3, 0 )
1581
CÁLCULO DIFERENCIAL EJERCICIO 42
4. (–2, 68) Y
1. Y
f(x) =x2 – 6x + 10 f(x)=2x3 – 3x2 – 36x + 24
X
(3, 1) x=3
X (3, – 57)
Punto mínimo (3, 1) Crece (3, @)
Punto máximo ( 2, 68)
Decrece ( ∞, 3)
Punto mínimo (3, 57)
Concavidad hacia arriba ( @, @)
Crece ( @, 2) X (3, @) Decrece ( 2, 3)
2. Y
1³ ¤ Concavidad hacia abajo ¥¦ @, ´µ 2
(2, 10)
¤1 ³ Concavidad hacia arriba ¥¦ , @ ´µ 2
2
f(x)= – x + 4x + 6
¤ 1 11 ³ Punto de inflexión ¥¦ , ´µ 2 2 X
x=2
5. Y
Punto máximo (2, 10)
f(x) = x4 – 4x3
Crece ( @, 2) Decrece (2, @) Concavidad hacia abajo ( @, @) 3. Y 3 f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 1
– 25
(– 1, 6)
(3, –27)
Punto mínimo (3, 27) 2
Puntos de inflexión (0, 0), (2, 16)
X
Crece (3, @) Decrece ( @, 0) X (0, 3) Concavidad hacia abajo (0, 2) Concavidad hacia arriba ( @, 0) X (2, @)
(3, – 26)
Punto máximo ( 1, 6), Punto mínimo (3, 26) Crece ( @, 1) X (3, @) Decrece ( 1, 3) Concavidad hacia abajo ( @, 1) Concavidad hacia arriba (1, @) Punto de inflexión (1, 10)
1582
X
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
6. Y f(x) = x2 +
¤ 1 1 ³ Concavidad hacia abajo ¥ , ´ ¦ 3 3µ
1 x2
1 ³ ¤ 1 ¤ ³ Concavidad hacia arriba ¥ @, ´ ¥ , @´ ¦ 3µ ¦ 3 µ 1 4 1 4³ Punto de inflexión ¤¥ , ³´ , ¤¥ , ´ ¦ 3 9µ ¦ 3 9µ 9. Y
(–1, 2) (1, 2) –1
1
X f(x) =
x 2 1 36
(0, 6)
Puntos mínimos ( 1, 2), (1, 2) Crece ( 1, 0) X (1, @) 1
Decrece ( @, 1) X (0, 1)
1
Concavidad hacia arriba ( @, 0) X (0, @) 7.
X
Punto mínimo (0, 6)
Y
Crece (0, @)
(–1, 13)
Decrece ( @, 0) Concavidad hacia arriba ( @, @) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 6
10. Y
–1
1
f(x) = x3(x + 2)
X
(2, – 14)
Punto máximo ( 1, 13) Punto mínimo (2, 14) Crece ( @, 1) X (2, @) Decrece ( 1, 2)
–1
1 Concavidad hacia abajo ¤¥ @, ³´ ¦ 2µ
1
X
1 1 1 Concavidad hacia arriba ¤¥ , @ ³´ , Punto de inflexión ¤¥ , ³´ ¦2 µ ¦2 2µ 8.
27 ³ ¤ 3 Punto mínimo ¥ , ´ ¦ 2 16 µ
Y f(x) = (x2 – 1)2
Puntos de inflexión (0, 0), ( 1, 1) 3 Crece ¤¥ , 0 ³´ X (0, @) ¦ 2 µ
1
1
–1
3 Decrece ¤¥ @, ³´ ¦ 2µ
X
Concavidad hacia abajo ( 1, 0) Concavidad hacia arriba ( @, 1) X (0, @)
Punto máximo (0, 1) Puntos mínimos ( 1, 0), (1, 0) Crece ( 1, 0) X (1, @) Decrece ( @, 1) X (0, 1)
1583
CĂ LCULO DIFERENCIAL
11. Y 1
O
p 4
3p 4
p 2
X
p
–1
¤ 3P Âł , 1´ Punto mĂnimo ÂĽ ÂŚ 4 Âľ
¤ 3 1³ 23. P ¼ , ´ Œ 2 2¾
31. 400 m, 800 m
24. A 15u 2
32.
100 3P 900 cm, cm 9 3P 9 3P
25. A 2ab u 2
33.
2 000 3P cm3 27
26. 4x 3y 24 0
34. 25 2 cm 25 2 cm
27. Radio 4 2
35. r
altura 8 2 pulgadas
¤P ³ Punto måximo ¼ , 1´ Œ4 ¾ ¤P ³ Punto de inflexión ¼ , 0 ´ Œ2 ¾ ¤ P 3P ³ Decrece ¼ , Œ 4 4 ´¾
k³ ¤1 28. ¼ 4 a2 k 2 , ´ Œ2 2¾
36. 5 5 m
29. NĂşmeros 4 y 4
37. r
30.
¤ P ³ ¤ 3P ³ , P´ Crece ¼ 0, ´ ¼ Œ 4¾ Œ 4 ¾
1. 6
12. A
1. 20 y 20 2. 25 y 25
32 3 2 u 9
4. V 6144P cm3 500 6 P 3 in 9P
altura
100 3
14. 2 6 y 2 3 ft
17. 2 5 y
4. a) t 18 s, v 54
5. v 2 5 unidades
18. A 6u 2
8. A 24u 2
19. h 2 cm
9. NĂşmero 1
20. Cada lado mide 2u
altura
d) “v� crece cuando 0 t 2 o t 4
21. 20 y 20
22. 4 2 y 8
m , s 35 m s
EJERCICIO 45 1.
5 10 cm 2
5.
2.
3 m 449 5 min
6. 10P
3.
360 m 17 s
7.
3 m 49P min
4.
4 5 3 m 75 P
8.
405 km 8 14 h
3 r 2
11. (1, 1), ( 1, 1)
m s
b) t 9 s, s 243 m
7. A 54 cm2
3r
c) “s� crece cuando 0 t 2 o t 4
15. d 2 5
400 3
10. Base
a 6 si t 2, a 6 si t 4 b) s 20, v 3 si t 3
2
16. 8 y 8
4
m 17 m m , , 10 s 2 s s
3. a) s 22 si t 2, s 18 si t 4
13. Base 2 2
3. 2 pulgadas por lado y el volumen de 128 ln3
h
38. P (2, 0),
2. 0 t 4 y 6 t
EJERCICIO 43
4
3V 5P
EJERCICIO 44
¤ P³ Concavidad hacia abajo ¼ 0, ´ Œ 2¾
6. r
2P P ; 4 P 4 P
3
¤ 6 2 3³ P ¼ , 6 ´ 2 2¾ Œ
¤P ³ Concavidad hacia arriba ¼ , P´ Œ2 ¾
5. V
5 10 in in P P
1584
25 m 12 s cm 2 s
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
a) 100
4
km h
14.
27 cm 5 min
820 km 73 h
b)
4 m 10. 9P min
14 u 15. 3 s
11. 90.58 km/h
16.
12. 4.8
13.
m s
8. c 0
11. No es continua en x 1
9. c 0
12. c 1
EJERCICIO 49 1. c
3 2
6. c 1
m s
2. c
1 2
7. c 1.7613
.4342
3. c
m s
EJERCICIO 46
4. c 0
9. c 0.5413
5. c 3
10. c 1.3204
b) I $9 424.00, U $7 208.00, Q $26.93
1. dy adx
Q $16.00 por artículo
2. dy (2ax b)dx 3. df(x) (3x 2 4x)dx
2. Costo promedio mínimo $14.80 por artículo Se deben producir 1 225 artículos para un costo mínimo 3. Ingreso real: I (31) I (30) $156.00 Ingreso aproximado: $160.00
¤ 1 1 ³ dt 4. ds ¥ ¦ 2 t 3 3 t 2 µ´ 5. dh (t) 36t(5 3t 2)5 dt
4. 59 metros 1 x 800 $50.00 por boleto
5. p(x) 100
15 2
8.
2. 2
1 ln 2 3
9 4
7. dy
1 3¤ x ³ dx x 2 ¥¦ 2 x 3 µ´
15. e
8. dy
2( x 2 1) x2 2
dx
9. df(x) (7x 5)(x 1)2(x 3)3 dx
10. 0
17. 1
11. 1
18. 1
10. dh(s)
8 ds (2 s 3)2
19. 1
11. dg(x)
2 x dx ( x 2 1)2
13. e
7. 1
6x ( x 2 2 )5
16. @
12.
5. 1
6.
1 3
9. e
3. 1
6. dy
2
EJERCICIO 47
4.
8. c 2.1750
3
EJERCICIO 50
1. a) I $15 275.00, U $8 370.00, Q $47.90
1.
10. c P
7 m 29 50 s
17. 1.95
7 pies 4P min
13 3
7. c
1 2 1 2
20. 0
12. dy
x 8 3
dx
2( x 3) 2
14. 0 13. dy
EJERCICIO 48 1. c 0
4. c
3 4
2 abx (ax 2 b ) a 2 x 4 b 2
dx
14. df(x) (1 2 sen 2x)dx 15. df(t ) 6 tan2 2t sec2 2t dt
2. c
3 4
5. c 3
3. c
5 2
6. c 0.36
16. dy 2 tan x(sec x sec2 x)dx 17. dg(x)
1585
2 cos x dx (1 sen x )2
CĂ LCULO DIFERENCIAL
18. ds(t )
19. d f(x)
t sen t 2 cos t dt 2t 2 cos t sec x 1 dx dx sec x 1 1 cos x
20. dy
2x log e dx x2 5
21. dy
x dx x2 3
22. dy
23. dy
3 dx 2x 2 x 32x 4 3 xe 2
x3
EJERCICIO 51 1.
167 9.277 18
2.
89 3.296 27
3.
17 2.125 8
4.
45 2 3P 0.620 90
5.
108 3P 3.151 36
6.
76 30 3 2 P 8.949 15
7.
5489 1372.25 4
dx
24. dy 2x 3 5(3x 2 ln 2) dx 2 25. dh(t ) t dt (e e t )2 26. d f (x) x(ln x 2 1) dx 27. d f(x)
2 1 4x
2
dx
180 8.
3 2 P 7 2 360
9.
45 3P 0.054 720
10.
9 3P 0.228 9 3
0.8549
11. dA 0.286 cm2 2 28. dy 2 dx x 4
12. dA 2.265 cm2, dV 3.341 cm3 13. dV 1.8P cm3
29. dy
1 dx 2x x 1
14. Lado 8 cm 15. Error relativo
30. dy
3 x 9x 6 1
dx
dA 0.00249, A
Error porcentual 0.249% Error relativo
dV 0.00374, V
Error porcentual 0.374% 16. Lado
1 cm 9
17. dF 0.02 cm 18. Error relativo
dA 0.00088, A
Error porcentual 0.088%
1586