Solución a los ejercicios de geometría y trigonometría
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
CAPÍTULO 2 19. a) COB = 30º, BOA = 60º
EJERCICIO 1
b) AOB = 45º, BOC = 30º, COD = 15º
1. 40.1708º
5. 9.1525º
9. 18º 15’ 18”
2. 61.7058º
6. 98.3791º
10. 29º 24’ 39”
3. 1.03416º
7. 40º 19’ 12”
11. 19º 59’ 24”
e) AOB = 30º, BOC = 90º, COD = 60º
4. 73.6777º
8. 61º 14’ 24”
12. 44º 00’ 36”
f) AOB = COD = 45º, BOC = 55º, DOE = 35º
c) AOB = 50º, DOB = 130º d) AOB = 65º, BOC = 45º, COD = 70º
g) AOB (convexo) = 134º, AOB (cóncavo) = 226º
EJERCICIO 2
h) AOB (convexo) = 50º, AOB (cóncavo) = 310º 1.
7 P rad = 3.665 rads 6
8.
11 P rad = 5.759 rads 6
2.
5 P rad = 5.236 rads 3
9.
2 P rad = 2.094 rads 3
3.
5 P rad = 3.927 rads 4
10.
3 P rad = 2.356 rads 4
4.
5 P rad = 7.854 rads 2
11.
4523 P rad = 0.789 rad 18000
5.
2 P rad = 1.256 rads 5
12.
1283 P rad = 2.239 rads 1800
6.
5 P rad = 1.745 rads 9
13.
2711 P rad = 2.628 rads 3240
EJERCICIO 6 48 R rad
1. 135º
5. 22º 30’
9.
2. 115º.
6. 115°
10. 3:40 h
3. S = 25º, C = 30º
7. 292° 30’
4. O63º 18’S, S26º 42’O
8. 12:30 h
CAPÍTULO 3 EJERCICIO 7 1. x = 60º, a = 60º, b = 120º 2. x = 46.5º, a = b = e = 46.5º, c = d = f = 133.5º 3. x = 40º, a = b = e = 80º, c = d = f = 100º 4. a = c = 137º, b = 43º
1 P rad = 0.523 rad 7. 6
33601 14. P rad = 7.330 rads 14400
5. a = c = d = g = 47º, b = e = f = 133º 6. x = 25º
EJERCICIO 3
7. x = 26º, a = 128º, b = 52º
1. 120º
5. 1260º
9. 90º
13. 360º
2. 330º
6. 20º
10. 270º
3. 135º
7. 468º
11. 9º 38’ 34”
10. x = 40º, y = 110º
4. 240º
8. 15º
12. 64º 10’ 37”
11. x = 80º, y = 60º
8. 10 = 4 = 7 = 70º, 1 = 13 = 16 = 110º
14. 28º 38’ 52”
9. x = 115º, y = 65º
12. R = 120º
EJERCICIO 4 1. 55º 46’ 50”
6. 75º 44’ 22”
11. 4º 33’ 11”
2. 40º 13’ 15”
7. 246º 34’ 15”
12. 15º 41’ 18”
3. 49º 19’ 33”
8. 875º 11’40”
13. 3º 21’ 41”
4. 59º 19’ 45”
9. 383º 51’ 21”
14. 13º 15’ 18”
5. 108º 7’ 48”
13. a = c = e = f = 126º, b = d = 54º 14. n = z = 50º, m = s = y = r = 130º 15. x = q = p = k = 35º, y = r = s = 145º 16. q = z = y = 60º, r = w = p = 120º 17. a), b), d) y f)
10. 227º 3’ 18”
EJERCICIO 5 1. Suplementarios
6. Complementarios
2. Complementarios
7. Suplementarios
3. Conjugados
8. Complementarios
4. Conjugados
9. Conjugados
5. Conjugados
10. Suplementarios
11. 10º
13. 80º
15. 18º
17. 36º
12. 57º
14. 30º
16. 20º
18. 120º
CAPÍTULO 4 EJERCICIO 8 1. 105°, 110°
5. 118º, 38º y 24º; 68º, 70º y 42º
2. 10°, 80°
6. S = 54º y D = 72º
3. 80°, 80°, 20°
7. A = 35º, B = 95º, C = 50º
4. 55°, 41°
8. ABC = 69º, BCA = 73º, BAC = 38º, ACD = 107º, CDA = 35º, CAD = 38º
1498
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 9
EJERCICIO 17
1. Teorema II (LAL) x = 85° y = 12 2. Teorema III (ALA) x = 13 y = 19.8 3. Teorema I (LLL) x = 32° y = 62° EJERCICIO 10
1. 100 73 m
6.
2. 2 5 m
7. 5 cm
3. 40 cm
8. 8 3 cm
4. 5 3 cm
1 a 8. No se incluye la solución por ser demostraciones.
1. a = 36º, b = 8º 4. x = 25, y = 14 2. x = 15, y = 45 5. a = 12º, b = 25º
12. 2
3. x = 15º, y = 20º
CAPÍTULO 5 4. x = 7, x = 0 5. x = ± 4 2 6. x = 2
7. x = ± 6y 8. x = ± 5 9. x = ± 4
10. x = 3
EJERCICIO 18 1. A = C = 140°, B = 40° 2. DCA = 40°, CAD = 60°, DAB = DCB = 100°, D = B = 80° 3. ADC = B = 110°, A = C = 70°
EJERCICIO 13
4. x = 30°, z = 120°, y = 60° 5. x = 127°, y = 53° 6. x = 120°, y = 55°, z = 125°
1. a’= 3, c’= 5 2. a = 30, b’ = 16 3. Lados 12 y 22; x = 11, y = 36 4. Lados 8 y 4; x = 7, y = 5
7. x = 60°, y = 120°, z = 60° 8. x = 15°, y = 70°, z = 110°
5. Lados 8 y 6; u = 3, t = 10 6. Lados 10 y 9; x = 5, y = 3
EJERCICIO 19 1 a 6. No se incluye la solución por ser demostraciones.
EJERCICIO 14 1. x = 10
12 4. x = 5
9 2 3. x = 6
25 3 6. x = 16
7. x = 4
10. x = 30
27 22 9. x = 10
5. x =
2. x =
8. x =
EJERCICIO 20 1. x = 4 cm
4. NPO = 24º
2. 4 y 8 u
5. x = 20º, y = 68º
8. AB = a, IJ = b
3. 41 u
6. AB = 11 cm
9. AE = 5
EJERCICIO 15 1. 68 m
3. 160 m
2. 481.6 m
4. 15 m
EJERCICIO 21
b) 120 m
1. c = 25
8. b = 5 2
15. Acutángulo
2. c =
9. c = 3 5 m
16. Rectángulo
3. c = 4 5
10. b = 5 m
17. Rectángulo
4. c = 7 2
11. c =
18. Obtusángulo
5. b = 16
12. a = 5 7 dm
19. Rectángulo
6. a = 2 7
13. Obtusángulo
20. Acutángulo
7. c = 8
14. Rectángulo
21. Rectángulo
421 cm
22. a) 2 15 , b) 5 13 , c) 2 10 , d) 6 21 e) f)
91 218 169 30 , g) 218 60
7. MN = 20 u
CAPÍTULO 6
5. a) 28 m
EJERCICIO 16
41
10. 5 2 cm
2 2 2 2 m2 n2 4m n 4n m , 2 y 2 15 15 5
EJERCICIO 12 1. x = 3 2. x = 7.2 3. x = ± 9
9. 9 2 km
5. 4 2 m 2 2 m m, 11. 3 3
EJERCICIO 11
91 m
40 , 3
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
1499
d=8 Icoságono d=7 Dodecágono Nonágono a) 170, b) 54, c) 27, d) 9, e) 90, f)14, g) 104, h) 135, i) 44 Heptágono Hexadecágono Heptadecágono Nonadecágono Heptágono Undecágono Pentágono Tridecágono Dodecágono Octágono Icoságono
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 22
2.
1. a) 120°, b) 135°, c) 150°, d) 162°, e) 160°, f) 171° 25’42” 2. a) 540°, b) 1 440°, c) 2 340°, d) 1 080°, e) 1 980°, f) 6 300° 3. Nonágono (nueve lados) 4. Heptágono (siete lados) 5. Hexadecágono (16 lados) 6. Undecágono (11 lados) 7. Hexágono (seis lados) 8. Hexadecágono (16 lados) 9. Nonágono (nueve lados)
3.
10. Dodecágono (12 lados) 11. Octágono (ocho lados) 12. Triángulo 13. Hexágono (seis lados) 14. Pentadecágono (15 lados) 15. Nonágono (nueve lados) 16. Pentágono (cinco lados)
4.
17. 54°, 129.6°, 129.6°, 108° y 118.8° 18. 110°, 100°, 115°, 135° y 80° 19. 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 210° y 240° 20. A = 70°, B = 65°, C = 10°, D = 110° y E = 105° 21. A = 54°, B = 64°, C = 116°, D = 64°, E = 17° y F = 45°
CAPÍTULO 7 EJERCICIO 23 1.
5.
1500
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
6.
7. 8.
1501
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 24
6.
T
S
Di
re
ctr
Direct riz
Q
1.
Q
iz
S 2.
T
A 7.
B
A B
triz
ec Dir 3.
C
R
C Directriz
A A R
Directriz B
4.
8.
B
A
B
rec
triz
C
A
Directriz
Di
A D
5.
R B R
S C
rec
tri
z
A
D
Di
S
1502
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
12..
D
B
E C
B
A
C
C
F
A
B
Directriz
D F
D
E
F
A
Directr
iz
G
E
10
R D E
Q
P
O
R
S
C F
B
P
Q
T
S
O
A
Dire
ctriz
G
T EJERCICIO 25 11.
P
1.
C B
P
O
A D
F
2.
R 210˚
E
0
C B
R
A
3.
0
D
–90° W
rec
E
Di
F
tri
z
W
1503
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
7.
4.
S –300˚0
R
R
–110˚
A
O 8.
A 5.
S
T
W
B A –150
O
A
T B
100° O
W
6.
9.
B
B P
225º O
C
A
Q
Q
A
45°
45°
C
O P 10.
C
B C
D
A
B D A
1504
O
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
C
11.
D B D E
E A
O –270˚ C A B
12.
A F
.
B
C E
D
240˚ O
B
C
D
A
F
E
1505
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
6. P
EJERCICIO 26
A
1.
A
Q
A
Q
P 2.
Q B
Q P
B
A
7.
A
Q 3.
B
A
P
P
A
B
Q
C
B 4.
C
P
A
B
8.
P
B Q
P
A B A B
5. R
X
C
R
Q S
S
C
A
Y
1506
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
C X
B D
A E
B A C
Y E
D B 10
C
D
A Q E
F
E P D F C
A B
1507
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 27
6.
1.
W O W
A D B C
2. P
O C
O B
P
D A 7.
3.
A
O
A
B
C
A
O 4.
B
A
C
B
8.
A O A B B 5.
P
D
C
Q
O
A
A D
O
Q
C B
P
1508
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
B
C
A D
O
E
E
D A
C
10.
B
B
C D
A
E
F O
F
E
A
D C
1509
B
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 32
CAPÍTULO 8
1. a) TS = 24 cm, b) BC = 13 cm, c) P = 44 cm, A = 14 11 cm2
EJERCICIO 28
)
ABC = 30°, AOC = 60°, BOC = 104°, AD = 116° a = 75°, b = 50°, c = 55°, d = 55°, e = 50°, f = 75° ABC = 27.5° = 27°30’ ABC = 85°, DBA = 95° A = 105°, B = 95°, C = 75°, D = 85° a) A = 30°, b) A = 40° a = 60°, b = 15°, c = 25°, d = 30°, e = 50° a) A = 15°, b) A = 40°, c) A = 30°, d) a = 35° e) c = 120°, f )c – a = 140°, g) a = 70°, h) a = 40° 9. u = 120°, x = 60°, y = 30°, w = 60°, z = 90° 10. a = 90°, b = 90°, c = 90°, d = 90°, e = 25°, f = 25°, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
g = 65°, h = 65°, i = 40°
1. a) 10.8, b) 7.8, c) 9.4
2. a) 10.09, b) 16.2, c) 17.29
8. 2u
2. Tangentes exteriores
9. 2 3 u
7.
8. As = 100P dm2
11.
10. 5 cm
5. Tangentes interiores 6. Tangentes exteriores
13.
15.
b) A= 256 3 dm2 17. As = 36R cm2 1 18. As = R cm2 8
EJERCICIO 31
19. As = 2 cm2,
15. A = 400 cm2 16. $ 2.6/m2 17. $ 725.5 18. Altura = 36 m, base = 27 m
P = 2(1 + R)cm 5 R cm2 2 P = (6 + 4R)cm
20. As =
19. Altura = 10 m 6. P = 65.4 m, A = 37.375 m2 20. 80 círculos, 1280R cm2
8. P = 10 m, A = 6 m2 9. A = 150 m2 10. A = (x2 – 3x +2)m2 11. A = 63 dm2 12. A = 17.5 dm2 13. A = 900R
cm2
14. A = 81R cm2
As = 256 4 P cm2
16. a) A = 3 3 dm2
5 R 2
CAPÍTULO 9
7. P = 36 cm, A = 81 cm2
14. As = 128 P 2 mm2
7. 3r
P = 24.9 m, A = 29.4 m2 P = 38.6 m, A = 82.5 m2 P = 52.5 m, A = 118.12 m2 P = 40.0 m, A = 110 m2
As = 4 10 P dm2 As = 196 4 P cm2 As = 1 152 P 2 mm2
9. As = 64 4 P mm2
13. As = 32 6 P mm2
7 1 11. C1C3 = R , C1C2 = R 18 6 12. r
2. 3. 4. 5.
As = 25 4 P cm2
6. A = 25 2 3 π dm2
P = 96R mm
1. Exteriores
1. P = 8.4 m, A = 4.25 m2
4. A = 3P r 2
12.
EJERCICIO 30
4. Secantes
3. A = 2r 2 4 P
10.
EJERCICIO 29
3. Interiores
2. A = 84 cm2
CAPÍTULO 10
21. a) 12 14 u2, b) 2 255 u2, 15 15 u2 c) 4 22. x = 9, A = 98 m2 23. a) 2R cm2, b)
1 R cm2, 6
9 32 R cm2, d) R cm2 4 3 24. a) (R – 2)cm2 c)
3 3 3 )cm2 b) (R – 2 2 c) 16(R – 2)cm2
EJERCICIO 33 1. AT = 4 3 cm2, VT =
2 2 cm3 3
2. AT = 3 3 cm2 , VT =
6 cm3 4
3. AT = 72 cm2, VT = 24 3 cm3 4. AT = 150 cm2, VT = 125 cm3 5. AT = 72 3 cm2, VT = 72 2 cm3
1510
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
180 25 3 cm2 2 81 3 15. VT = cm 2
6. AT = 6 3 cm2, VT = 6 cm3
14. AT =
7. AT = ¤¥ 60 25 10 5 ³´ cm2, VT = (350 + 150 5 )cm3 µ ¦ 8. AT = ¤¥ 12 25 10 5 ³´ cm2, VT = (30 + 14 5 )cm3 µ ¦
16. AL = 16 1 2 cm2
¤ 15 3 5 15 ³ 3 9. AT = 15 3 cm2, VT = ¥ ´ cm 4 ¦ µ
17. VT =
¤ 1875 2 625 10 ³ 3 10. AT = 250 3 dm2, VT = ¥ ´ dm 6 ¦ µ 11. AT = 9 3 cm2
19. VT =
27 6 cm3 4
12. VT = 13. h =
18. VT =
20. VT =
2 m, AT = 6 4
m2
2. AL =
VT =
3 5
4
3 3 cm2, AT = 4
2 cm3 12
3 cm2, VT =
75 At
6. AL = 32R cm2, AT = 64R cm2, VT = 64R cm3
VT = 147R
2
2. AL = 72 cm2, AT (72 8 3 )cm , VT 24 3cm
9. AL =
5. AL = 16 2 8 cm2, AT = 24 2 8 cm2, VT = 16 cm3
VT =
6. AL = 16 cm2, AT = 24 cm2, VT = 8 cm3
8. AL = 400 cm2, AT = 400 2 2 cm2, VT = 1000 1 2 cm3
5 15 3 5 3 3 R cm2 R cm2, AT = 4 4
9. AL = 1200 cm2, AT = 300 4 5 cm2, VT = 3000 3 cm3
11. VT = 12 cm3 12. VT = 8 cm3 13. VT = 12 46 cm3 14. VT =
560 cm3 3
15. AB = 24 3 cm2 16. VT = 24R cm3
1511
25 3 R cm3 6
10. AL= 3R cm2, AT = 4R cm2, VT =
7. AL = 64 3 cm2, AT = 64 3 24 cm2, VT = 96 cm3
32 R cm3 VT = 3
195 75 3 975 3 cm3 cm2, VT = 2 8
cm3
8. AL = 4 17 R cm2, AT = 4 4 17 R cm2,
3
3. AL = 16 cm2, AT = 18 cm2, VT = 4 cm3
10. AL = 16 3 cm2
7. AL = 7 150 R cm2, AT = 7 150 49 R cm2,
1. AL = 50 cm2, AT = 62 cm2, VT = 30 cm3
4. AL = 97.5 cm2, AT =
35 3 cm3 3
5. AL = 30R cm2, AT = 48R cm2, VT = 45R cm3
3
EJERCICIO 34
21 3 13. VT = cm 4
4. AL = 38.4 cm2, AT = 64 cm2, VT = 81.92 cm3
180
12. AL = 48 cm2
2
15 2 5 10 cm3 6
11. VT = 27u3
27 2 cm3 4
3. AL = 12 7 cm2, AT = 12 7 7 3 cm2,
4 3 cm 3
8
3
18. VT = 36 cm3 19. VT =
AL 3
1. AL= 3 55 cm2, AT = 9 3 55 cm2, VT = 12 cm3
16. h = 6 2 cm, AT = 72 3 cm2 17. VT =
36
EJERCICIO 35
14. VT = 2 2 cm3 15. L =
3
20. AL = 3 3 3Vt
4 3 cm 3
3
6 At
2 2 R cm3 3
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
17. AL = 70R cm2
b)
18. VT = 12R cm3 19. AT = 48R cm2 3 1 2 20. AT = 3 18 1 5 P VT 2
EJERCICIO 36 1. A = 64R cm2, V = 2. V = 180 5 R
256 R cm3 3
sen M =
10 149 149
cos M =
7 149 149
tan M =
ctg M =
7 10
sec M =
149 7
csc M =
sen N =
7 149 149
cos N =
10 149 149
tan N =
ctg N =
10 7
sec N =
149 10
csc N =
sen A =
2 3
cos A =
5 3
tan A =
2 5 5
ctg A =
5 2
sec A =
3 5 5
csc A =
3 2
cm3
149 10 7 10 149 7
c)
3. V = 6R cm3 4. V = 270R cm3 5. A = 60R cm2 cm2
6. A = 96R
10 7
7. V =
28 R cm3 3
sen B =
5 3
cos B =
2 3
tan B =
5 2
8. V =
52 R cm3 3
ctg B =
2 5 5
sec B =
3 2
csc B =
3 5 5
sen M =
2 2
cos M =
2 2
sec M =
2
cos N =
2 2
sec N =
2
9. V = 339R cm3, d)
A = 72R cm2 211 10. V = R cm3 216
ctg M = 1
200 11. A = R cm2 3
2 2
sen N =
12. n = 120º ctg N = 1 13. V = 72 3 R cm3
2
tan N = 1 csc N =
2
a)
243 R cm3 2
CAPÍTULO 11
sen S =
2 6 5
cos S =
ctg S =
6 12
sec S =5
sen C =
1 5
cos C =
EJERCICIO 37
ctg C = 2 6
Inciso 1) a) 2 14 9
cos A =
ctg A =
5 14 28
sen B =
ctg B =
sen A =
csc M =
Inciso 2)
9 14. r = cm, A = 9R cm2 2 V=
tan M = 1
5 9
tan A =
sec A =
9 5
csc A =
5 9
cos B =
2 14 9
2 14 5
sec B =
9 14 28
2 14 5
1 5
tan S = 2 6 csc S =
5 6 12
2 6 5
tan C =
6 12
sec C =
5 6 12
csc C = 5
b) sen A =
3 13 13
cos A =
2 13 13
tan A =
9 14 28
ctg A =
2 3
sec A =
13 2
csc A =
tan B =
5 14 28
sen B =
2 13 13
cos B =
3 13 13
tan B =
csc B =
9 5
ctg B =
3 2
sec B =
13 3
csc B =
1512
3 2 13 3 2 3 13 2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 38
c) 1 sen N = 2
3 cos N = 2
3 tan N = 3
ctg N =
3
sec N =
2 3 3
csc N = 2
sen M =
3 2
cos M =
1 2
tan M =
3
ctg M =
3 3
sec M = 2
csc M =
2 3 3
1.
33 6
cos S =
3 6
tan S =
5 13
cos C =
ctg C =
12 5
sec C =
sen C =
4 65 65
cos C =
7 65 65 65 7
11
ctg S =
11 11
sec S = 2 3
csc S =
2 33 11
sen C =
3 6
cos C =
33 6
tan C =
11 11
ctg C =
11
sec C =
2 33 11
sen D =
6 4
cos D =
10 4
tan D =
ctg D =
15 3
sec D =
2 10 5
csc D =
2 6 3
sen C =
10 4
6 cos C = 4
tan C =
15 3
ctg C =
15 5
sec C =
sen A =
4 29 29
cos A =
377 29
ctg A =
13 4
sen B =
ctg B =
5 12
tan C =
13 12
csc C =
13 5
2.
d) sen S =
12 13
sen C =
tan C =
4 7
ctg C =
7 4
sec C =
sen D =
3 13 13
cos D =
2 13 13
tan D =
ctg D =
2 3
sec D =
13 2
csc D =
cos Y =
2 2
tan Y = – 1
sec Y =
2
csc Y = 2
65 4
csc C =
3.
csc C = 2 3
3 2 13 3
e) 4.
2 6 3
15 5
2 2
sen Y =
ctg Y = – 1 5.
csc C =
2 10 5
tan A =
4 13 13
sec A =
377 13
csc A =
29 4
sen C =
77 11
377 29
cos B =
4 29 29
tan B =
13 4
ctg C =
2 7 7
4 13 13
sec B =
29 4
csc B =
377 13
f) ctg C =
2 5 5
2 3
cos C =
5 3
5 2
sec C =
3 5 5
csc C =
cos C =
2 11 11
tan C =
7 2
sec C =
11 2
csc C =
77 7
sen C =
tan C =
3 2
6.
1513
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
c) cos 80° = sen 10°
7. sen D =
2 22 13 9 22 44
ctg D =
9 13
tan D =
13 9
csc D =
cos D =
sec D =
2 22 9
13 22 44
8.
d) csc 60° = sec 30° e) sec 2° = csc 88° f) –sen 60° 37’ 25” = –cos 29° 22’ 35” g) –ctg 45° = –tan 45° h) tan 74° 46’ 24” = ctg 15° 13’ 36”
65 65
sen Y =
ctg Y = – 8
cos Y =
8 65 65 65 8
sec Y =
tan Y =
1 8
csc Y = 65
i) –cos 84° 35’ = –sen 5° 25’ j) sec 39° 11’ 48” = csc 50° 48’ 12” k) csc 53° = sec 37° l) –ctg 48° = –tan 42°
9.
m) cos 38° 54’ = sen 51° 6’ 5 sen F = 13
12 cos F = 13
5 tan F = 12
n) –sen 28° 35’ 24” = –cos 61° 24’ 36” Inciso 2)
12 5
ctg F =
sec F =
13 12
csc F =
13 5
10. 6 3
sen D = ctg D =
2 2
3 3
cos D =
sec D = 3
tan D =
2
csc D = –
6 2
11. sen C =
3 2
ctg C =
3 3
cos C =
1 2
sec C = 2
tan C = 3 csc C =
2 3 3
12. sen C =
3 2
3 ctg C = 3
cos C =
1 2
sec C = 2
tan C = 3 2 3 csc C = 3
a) –sen 160°
f) –csc 90°
b) –ctg 140°
g) cos 225° 15’ 46”
c) sec 240°
h) –ctg 176° 45’ 23”
d) cos 280°
i) sec 108° 32’
e) –tan 345°
j) –sen 228°15’
Inciso 3) a)
–sen 20°
g) –sen 55°
b)
–ctg 20°
h) –tan 76° 34’ 42”
c)
cos 80°
i) cos 68° 45’ 24”
d)
tan 45°
j) ctg 20°
e)
–csc 81° 27’ 48”
k) –sec 40°
f)
–sec 50°
l) –csc 31° 26’ 19”
Inciso 4) a) 0.3090
f) 1.0187
b) 0.9657
g) 0.9261
c) 1.1034
h) 3.8208
EJERCICIO 39
d) 0.1219
i) 1.0170
Inciso 1) a) – sen 30° = –cos 60°
e) 0.7536
j) 0.4975
b) –tan 15° = –ctg 75°
1514
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO 12 EJERCICIO 40 Grados
Radianes
sen
cos
tan
csc
sec
ctg
0°
0
0
1
0
No existe
1
No existe
30º
P 6
1 2
3 2
3 3
2
2 3 3
45°
P 4
2 2
2 2
1
2
60°
P 3
3 2
1 2
3
90°
P 2
1
0
120°
2P 3
3 2
135°
3P 4
2 2
150°
5P 6
1 2
180°
R
0
210°
7P 6
–
1 2
–
225°
5P 4
–
2 2
–
240°
4P 3
–
3 2
270°
3P 2
300°
5P 3
–
315°
7P 4
–
330°
11P 6
360°
2R
–1
–
3
2
1
2 3 3
2
3 3
No existe
1
No existe
0
1 2
– 3
2 3 3
–2
–
2 2
–1
–
3 2
–
–
–1
–
2
–
0
No existe
3 2
3 3
–2
2 2
1
– 2
1 2
3
0
No existe
3 2
1 2
– 3
2 2
2 2
–1
1 2
3 2
0
1
–
3 3 0
–
–
–
3 3 –1
– 2
2
3 3
–
2 3 3
– 3
–1
No existe
2 3 3
3
– 2
1
2 3 3
–2
3 3
–1
No existe
0
2 3 3
2
– 2
2
–
3 3 –1
–2
2 3 3
– 3
No existe
1
No existe
1515
GEOMETRĂ?A Y TRIGONOMETRĂ?A
1.
3 2
5.
3 16
2.
3 2
6.
1 8
3.
9. 1
10.
13. –1 3 4
P 2 P P AsĂntotas verticales: ‌, , ,‌ 4 4 Desplazamiento de fase: no existe
10. Periodo:
14. 0
11. Periodo: R
3 2
7. 9
4. 0
8.
11. 2 2
12. 1
16 a 20. No se incluye la soluciĂłn por ser demostraciones.
CAPĂ?TULO 13 41 1. Amplitud: 2, Periodo: 2 P 3
EJERCICIO
P 3 AsĂntotas verticales:‌, P , ,‌ 4 4
15. 2
P Desplazamiento de fase: a la izq. 4 P 12. Periodo: 3 P 5P AsĂntotas verticales: ‌, , ,‌ 18 18 P a la der. Desplazamiento de fase: 9 13. Periodo: 2R AsĂntotas verticales:‌, R, 3R,‌
P 5 Desplazamiento de fase: , P 6 6 2. Amplitud: 2, Periodo:
3. Amplitud:
14. Periodo: 4R
1 P 2
Desplazamiento de fase: 0,
Desplazamiento de fase: 2R a la der.
AsĂntotas verticales: ‌,0, 4R,‌ 1 P 2
Desplazamiento de fase: 2R a la der. 15. Periodo: R
4 , Periodo: 3R 3
9 3 Desplazamiento de fase: P , P 4 4
1 3 AsĂntotas verticales:‌, P , P ,‌ 2 2 Desplazamiento de fase: R a la der. 16. Y
4. Amplitud: 5, Periodo: 8R 1
Desplazamiento de fase: 2R, 6R
1
5. Amplitud: 4
2 −
Periodo: 2R 3P 11 , P Desplazamiento de fase: 4 4 6. Amplitud: 3
7p
−
4 −
5p 4
−
3p
−
4
3p
−
2
p
p
3p
5p
4
4
4
4
p
p
2
2
p
7p 4 3p
X
2
1
−
2
Periodo: R −1
Desplazamiento de fase: 0, R 3 7. Amplitud: 2 2 Periodo: P 5 3P P Desplazamiento de fase: , 10 10 1 8. Amplitud: 3 Periodo: 8R 4P 20P Desplazamiento de fase: , 3 3 9. Amplitud: 1
17. Y 1 5p − 4 −
3p 2
p − 4
−p −
3p 4
−
p 2
p 2
0
−1
Periodo: 6R Desplazamiento de fase: 0, 6R
1516
p 4
3p 4 p
5p 4
3p X 2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
18.
22. Y 2p
3
−
7p
−
6 −
11p
−
12
7p
p
13p
12
12
12
2p
−
3
0
p 6
3p 2
p
7p
5p
4p
3
12
6
3
X p
−3
p 2 –1 1
19. Y
−
p 2
1 − − 6p
−
p 3p − 2 2
− 3p
9p 2
−p
9p 2
−p
p p 3p 2 2
6p
3p
−
X
3p 2
−1 –2p
23. Y
20.
3p
Y
2 p
−
5p
−
2
3p
−
2
p
1
2
2
3p
5p
2
2
0
p
X
2
–1
−1 0
−
5p 4
−
3p
−
4
p
p
3p
5p
4
4
4
4
1
X −
p 2
−p
21.
−
Y − 2p
3p 2 −
5p 2
−
−p
p
24.
1
−1
Y
p
2 p
3p
5p
2
2
2
4p
X 3p 2
p 2 −1 0
1 − p 2
− 3p 2
1517
X
3p 2
GEOMETRĂ?A Y TRIGONOMETRĂ?A
25.
11.
Y 3
–
1 2
16.
1 tan B 1 tan B
2 sen x cos x 2
17.
1 2
1
13. sen D
18. – sec 2Y
1 cot x 14. tan x
19. – tan C
0
6
p
p
5p
7p
6
2
6
6
X
2
15.
Y
p 2
p 2
p
X
−1 −2
2 3
2.
2 3
−3 −4
27.
1.
6 2 4
7.
3 2
8.
9.
2 6
10.
2 3 2
2 1 3
4.
2 1 3
5.
2 3
6.
3.
2 sen Q cos Q 2
20.
3cos A sen A EJERCICIO 44
0
Y 3 2 3p 8
1 0 −1
7p 8
p 8
11. sen (C + D) =
5p 8
Y
0
p
2p 3
4p X 3
tan (C D) = 2 3
3 2 10 , cos A B 93 5 2 2 9
CAPĂ?TULO 14
tan A B 3 2 2 5 , ctg A B
EJERCICIO 42 1 a 32. No se incluye la soluciĂłn por ser demostraciones.
sec A B
EJERCICIO 43 3 2
2.
6 2 4
3.
6 2 4
13. Funciones del ĂĄngulo (C + D) sen A B
1.
6.
7.
6 2 , 4
2 6 , cos(C D) = 4
12. sen (C D) =
p 3
2 5 3 2 , 2
15 2 6 , csc A B 3
1 30 2
Funciones del ångulo (C – D)
2 2
3 3 2 10 , cos A B 9 9
sen A B
5 2 2
3 tan A B 2 5 3 2 , ctg A B
4. – 1
1 18
1
−1
X
tan (C + D) =
p 3
6 2
13 18 13 , cos (C + D) = , 65 65
28.
−
3sen x cos x
12.
p
p − 8
2
26. −
3sen Q cos Q
8. 2
2 5 3 2 2
sec A B 15 2 6 , csc A B 3
9. 1
1 30 2
14 a 34. No se incluye la soluciĂłn por ser demostraciones. 5. 2
10. 1
1518
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 45
Funciones trigonométricas del ángulo 2C
1.
sen
cos
tan
P = 8
2 2 2
ctg
P = 8
2 2 2
sec
P = 8
3 2 2
csc
P = 8 P = 8
4 2 2
P = 8
4 2 2 3 P 8
3 cos P = 8
2 2 2
3 sec P = 8
3 P = 8
3 2 2
2 2 2
5 P = 8
cos
5 2 2 P =– 8 2
5 tan P = – 3 2 2 8
2 2 2
7 2 2 cos P = – 8 2 tan
7 P = – 3 2 2 8
ctg
B 2 = 2 3
cos
B 2 13 = 2 13
sec
B 13 = 2 2
tan
3 B = 2 2
csc
B = 2
ctg
5 P = – 3 2 2 8
sec
5 P =– 4 2 2 8
5 csc P = 8
sen 2D =
ctg 2D =
119 120 169 119
cos 2D =
119 169
sec 2D =
tan 2D =
120 119
csc 2D =
Funciones trigonométricas del ángulo
4 2 2
7 sec P = – 4 2 2 8
169 120
W 2
sen
W 3 = 4 2
ctg
39 W = 3 2
cos
13 W = 4 2
sec
4 13 W = 13 2
tan
39 W = 13 2
csc
W 4 3 = 3 2
Funciones trigonométricas del ángulo 2Y 4 2 2
2. Funciones trigonométricas del ángulo
120 169
4.
7 ctg P = – 3 2 2 8
7 P = 8
13 3
Funciones trigonométricas del ángulo 2D
csc
csc
B 2
B 3 13 = 13 2
7 Funciones trigonométricas del ángulo P 8 7 sen P = 8
8 15 15
sen
4 2 2
3 P = 4 2 2 8 5 Funciones trigonométricas del ángulo P 8 sen
8 7
csc 2C =
Funciones trigonométricas del ángulo
ctg
3 2 2
sec 2C = 15 7
7 15 15
ctg 2C =
3.
2 2 2
tan
7 8
tan 2C =
3 P = 8
3 P = 8
cos 2C =
3 2 2
Funciones trigonométricas del ángulo
sen
15 8
sen 2C =
P 8
Funciones trigonométricas del ángulo
A 2
A sen = 2
8 2 15 4
A ctg = 2
cos
A = 2
8 2 15 4
sec
A = 2 8 2 15 2
tan
A = 2
31 8 15
csc
A = 2 8 2 15 2
sen 2Y =
5 39 32
ctg 2Y =
cos 2Y =
7 32
sec 2Y =
32 7
5 39 7
csc 2Y =
32 39 195
31 8 15 tan 2Y =
1519
7 39 195
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
5.
8.
A Funciones trigonométricas del ángulo 2 A sen = 2 cos
98 28 7 14
A = 2
98 28 7 14
Funciones trigonométricas del ángulo C
A ctg = 2
33 12 7 3
A = 2
42 12 7 3
A csc = 2
42 12 7 3
sec
sen C =
2 5 5
cos C =
5 5
tan C = 2
sec C =
5
1 2
csc C =
5 2
ctg C =
9. Funciones trigonométricas del ángulo
A tan = 2
33 12 7 3
B 2
sen
B 3 = 3 2
tan
B 2 = 2 2
sec
B 6 = 2 2
cos
B 6 = 3 2
ctg
B = 2
csc
B = 2
Funciones trigonométricas del ángulo 2C sen 2C =
4 3 7
2
sec 2C = 7
tan 2C = 4 3
csc 2C =
sen D =
2 2 3
tan D = 2 2
cos D =
1 3
ctg D =
7 3 12
6.
sec D = 3
2 4
csc D =
10. Funciones trigonométricas del ángulo C sen C =
2 3
cos C =
5 3
Funciones trigonométricas del ángulo Y tan C =
2 5 5
cos Y = Funciones trigonométricas del ángulo
cos
578 136 17 34
B 2
B csc = 2
cos D =
tan D =
1 4
sec Y = 3 4
5 4
csc Y =
5 3
Funciones trigonométricas del ángulo 2Y sen 2Y =
cos 2Y = 34 8 17
24 25
7 25
tan 2Y =
Funciones trigonométricas del ángulo D sen D =
4 3
ctg Y =
4 5
tan Y =
B ctg = 33 8 17 2
578 136 17 B B = sec = 34 8 17 34 2 2
B tan = 33 8 17 2
3 5
sen Y =
7.
B sen = 2
3
Funciones trigonométricas del ángulo D
1 7
cos 2C =
3 12
ctg 2C =
24 7
ctg 2Y =
sec 2Y =
7 24
25 7
csc 2Y =
25 24
Funciones trigonométricas del ángulo 4Y
17 17
ctg D = 4
4 17 17
sec D =
17 4
csc D = 17
sen 4Y =
336 625
ctg 4Y =
cos 4Y =
527 625
sec 4Y =
625 527
csc 4Y =
625 336
tan 4Y =
336 527
527 336
11 a 25. No se incluye la solución por ser demostraciones.
1520
3 2 4
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 46
EJERCICIO 47
1.
1 §sen 2A sen 2B ¶ ¸ 2©
2.
1 §sen 105n sen 15n ¶ ¸ 2©
1 3. §©cos 2 y cos 2B ¶¸ 2 4.
¤ 1 ³¶ 1§ ¤2 ³ ¨cos ¥ P ´ cos ¥ P ´· 2© ¦3 µ ¦ 6 µ¸
1 § sen 120n sen 45n ¶ 5. ¸ 2©
6. –
1 §cos 45n cos 30n ¶ ¸ 2©
7.
1 §sen 2 x sen 2A ¶ ¸ 2©
8.
¤ 1 ³¶ 1§ ¨cos P cos ¥ P ´· 2© ¦ 6 µ¸
9.
10.
1 § sen 45n sen 30n ¶ ¸ 2©
¤ 5 ³¶ 1 § ¤ 11 ³ ¨cos ¥ P ´ cos ¥ P ´· 2© ¦ 6 µ ¦ 3 µ¸
11. 2 §©cos 4A cos 2A ¶¸ 12.
5 §sen 8A sen 4A ¶ ¸ 2©
13.
1 § sen 90n sen 4n ¶ ¸ 2©
14.
¶ 1§ 1 1 cos 2A 5B cos 2A 5B · ¸ 2 ¨© 3 3
15.
¤ 17 ³¶ 3 § ¤ 19 ³ ¨sen ¥ A ´ sen ¥ A ´· 2© ¦ 2 µ ¦ 2 µ¸
2
16. cos
17.
18.
P P cos 2 6
sen3A senA sen3A senA 2 senP sen
P 2
cos2A cos2x 19. cos2A cos2x 20.
1 a 14. No se incluye la solución por ser demostraciones. EJERCICIO 48 1. 2 §©sen 120n cos 45n ¶¸ § ¤5 ³ ¤ 9 ³¶ 2. 2 ¨cos ¥ B ´ cos ¥ B ´· 2 µ ¦ 2 µ¸ © ¦ 3. 2 §©sen 180n cos 60n ¶¸ 4. 2 §©sen 4Q sen Q ¶¸ 5. 2 §©cos 45n cos 7n31 ' ¶¸ § ¤1 ³ ¤ 1 ³¶ 6. 2 ¨cos ¥ π ´ sen ¥ π ´· ¦ 4 µ¸ © ¦3 µ § ¤1 ³ ¤ 1 ³¶ 7. 2 ¨cos ¥ π ´ cos ¥ π ´· 4 ¦ µ ¦ 36 µ¸ © 8. 2 §©cos 30n sen 5n ¶¸ § ¤ 5 ³ ¤1 ³¶ 9. 2 ¨sen ¥ π ´ sen ¥ π ´ · ¦3 µ¸ © ¦ 12 µ § ¤ 1 ³¶ 10. 2 ¨cos B cos ¥ P ´· ¦ 6 µ¸ © § ¤ 7 ³ ¤ 1 ³¶ 11. 2 ¨sen ¥ P ´ cos ¥ P ´· 24 µ ¦ 24 µ¸ © ¦ § ¤3 ³ ¤1 ³¶ 12. 2 ¨sen ¥ A B ´ cos ¥ A B ´· 4 4 µ ¦ µ¸ © ¦ § ¤ P ³¶ 13. 2 ¨sen A sen ¥ ´· ¦ 4 µ¸ © § ¤ P ³¶ 14. 2 ¨sen B cos ¥ ´· ¦ 8 µ¸ © § ¤3 ³ ¤ P ³¶ 15. 2 ¨sen ¥ P ´ cos ¥ A ´· 4 8 µ¸ µ ¦ © ¦ § ¤A ³ ¤ B ³¶ 16. 2 ¨sen ¥ ´ sen ¥ ´· 2 ¦ 2 µ¸ © ¦ µ
1 §sen 4A sen 2B ¶ ¸ 2©
1521
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 49 1 a 12. No se incluye la solución por ser demostraciones.
21. 0,
2 5 P , P , R, 2R 3 3
22.
P 5 , P 4 4
1 3 5 P, P, P 2 4 4
23.
P , 36° 52’ 11” 2
3 1 2 P, P, P 2 3 3
24.
7 23 P , P 12 12
1 5 P, P 3 3
25.
1 5 P, P 4 4
7 11 1 5 P, P, P, P 6 6 3 3
26.
1 5 5. P , P 6 6
7 1 P, P 6 6
27.
1 5 6. P , P 3 3
7 11 P , P 12 12
28.
7 11 1 5 P, P, P, P 6 6 6 6
29.
1 4 P, P 3 3
30.
1 5 P , R, P 3 3
EJERCICIO 50 1.
2.
3.
4.
7. 0, R, 2R 8. 0, R, 2R,
7 11 P, P 6 6
9. 0, 2R, 152° 44’, 207° 15’ 1 7 3 5 10. P , P , P , P 4 4 4 4 1 1 5 11. P , P , P 2 4 4 7 11 12. P, P 6 6
CAPÍTULO 15 EJERCICIO 51 1. c 145 , A 44° 54b, C 45° 6b 2. a 2.11, c 3.39, C 58°
1 5 P, P 4 4
3. c 5.23, b 7.24, A 43° 40b
14.
1 2 4 5 P, P, P, P 3 3 3 3
5. c 13, b 13 2 , C 45°
15.
1 7 P, P 6 6
16.
1 1 5 P, P, P 2 6 6
17.
1 5 P, P 4 4
13.
4. b 52.55, A 38° 11b 40r, C 51° 48b 20r
6. a 13.28, c 18.28, A 36°
18. 0, R, 2R,
19.
7. a 12.51, A 33° 46b 46r, C 56° 13b 14r
2 4 P, P 3 3
1 5 P, P 3 3
20. 0,
1 2 4 5 P , P , P , P , R, 2R 3 3 3 3
8. a 25.71, c 22.9, C 41° 48b 9. a 82.68, b 100.36, A 55° 28b 10. c 7.87, A 66° 39b 17r, C 23° 20b 43r 11. b 22.36, c 18.86, C 57° 33b 12. c 13 , A 29° 1b 1r, C 60° 58b 59r 13. a 15.27, c 17.19, A 41° 37b 14. b 7.9, A 71° 33b 54r, C 18° 26b 5r 15. a 6.28, b 14.44, C 64° 11b 16. A 26° 33b 54r, C 63° 26b 6r
1522
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
17. a 5, b 13, c 12, A 22° 37b 11r, C 67° 22b 48r
17. a = 46.05, B = 34° 5’ 24”, C = 110° 54’ 36”
18. a = 4, b = 5, c = 3, A 53° 7b 49r, C 36° 52b 11r
18. c = 15.65, A = 41° 52’ 18”, B = 82° 7’ 42”
19. A C 45°
EJERCICIO 54
20. A 19° 28b 16r, C 70° 31b 44r
1. AB 369.95 m
7. 322.92 km
EJERCICIO 52
2. 1.76 cm
8. 307.4 m
1. 288.4 m
3. 30.34 km
9. 29.07 km
2. 4.2 m
4. 19.4 km
10. 180.37 m
5. 8.03 m
11. 29.7 cm
6. 4.7 cm
12 a 13. No se incluye la solución por ser demostraciones.
3. 38° 44b 4r, 1.65m 4.
10
2 1 m
5. 54° 8 6. 52.07 m 7. 11.25 m
CAPÍTULO 17
8. a) 53.6 m , b) 59.1 m, c) 22.6 m EJERCICIO 55
9. 53° 7b, 3 m
1. z =
10. 21° 47 , 14 dm 11. L
πR § πr 1 ¤ R r ³ ¶ 1 ¤ R r ³ 2 l2 R r cos ¥ ¨180 cos ¥ · 90 © ¦ l ´µ ¦ l ´µ ¸ 90
17cis345º 37 ' 49 "
2. z = 2cis 30º
2
3. z = 2 2 cis 135º 4. z = 5cis 0º
12. sí
5. z = 3cis 270º
CAPÍTULO 16 EJERCICIO 53
5 cis 53º 7’ 48” 6 7. z = cis 315º
6. z =
1. a = 20.9, c = 14.7, A = 79º 1’
8. z = cis 150º
2. b = 52.4, a = 47.7, B = 79º 16’
9. z1 · z2 =
26 cis 75º
3. b = 21.03, a = 46.9, C = 67º 44’
10. z2 · z4 =
26 cis 165º
4. b = 86.21, c = 66.87, B = 76º 39’
11. z1 · z3 = 2 2 cis 105º
5. a =23.35, c = 25.23, A = 67º 6. b = 17.09, c = 22.3, C = 99º 7. c = 9.43, B = 57° 58’ 51”, C = 90° 1’ 8” 8. a = 19.8, A = 118° 23’ 35”, B = 26° 21’ 24”
12. z1 · z2 · z3 = 2 26 cis 135º 13. z1 · z3 · z4 = 4cis 240º 14.
9. c = 15.11, A = 40° 5’ 50”, C = 83° 19’ 9” 10. b = 11.4, A = 46° 14’ 25”, B = 66° 24’ 34”
z2 26 cis 255° z4 2
16.
z1 2 cis 345° z3 2
13. A = 52° 17’ 24”, B = 44° 33’ 55”, C = 83° 8’ 41” 14. A = 48° 20’ 58”, B = 36° 42’ 37”, C = 94° 56’ 23” 15. c = 15.3, A = 46° 39’ 8”, B = 65° 20’ 52”
= cis 270º
15.
11. A = 31° 48’ 52”, B = 34° 12’ 58”, C = 113° 58’ 10” 12. A = 27° 25’ 16”, B = 44° 1’ 54”, C = 108° 32’ 50”
z1 z4
17.
18.
16. b = 37.07, A = 47° 7’ 45”, C = 56° 52’ 15”
1523
z1 z2 z3 z2 z1 z4
=
26 cis 15º 2
=
13 cis 210º 2
GEOMETRร A Y TRIGONOMETRร A
19.
z 2 ย z3 = 13 cis 270ยบ z1 ย z4
25. z1 = 2cis 20ยบ, z2 = 2cis 80ยบ, z3 = 2cis 140ยบ, z4 = 2cis 200ยบ z5 = 2cis 260ยบ, z6 = 2cis 320ยบ
z z z 20. 1 2 3 2 13 cis 0ยฐ z4 21. z2 = 9cis 240ยบ
27. (z ยท z1)2 = 36cis 120ยบ
22. z4 = 81cis 100ยบ
28. z1 = 2cis 30ยบ, z2 = 2cis 150ยบ, z3 = 2cis 270ยบ
23. z3 = 125cis 45ยบ
29. 28cis 100ยบ
24. z1 = 4cis 30ยบ, z2 = 4cis 210ยบ
30. z1 = 4cis 10ยบ, z2 = 4cis 130ยบ, z3 = 4cis 250ยบ
26. z1 = cis 60ยบ, z2 = cis 180ยบ, z3 = cis 300ยบ
1524
Solución a los ejercicios de geometría analítica
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
3.
CAPÍTULO 1 EJERCICIO 1 1. 3u
9. 5a
2. 4u
10.
3. 5 3u 4. 5. 6. 7. 8.
16.
13 a 12
17.
uuur 11. AB = 7u
5 u 2
18.
uuur 5 12. DC = u 4 uuur 5 13. AD = u 2 uuur 14. BA = −7u
5 u 4 1u 13 u 24 17 u 5
19. 20.
A
A B X
X
C 5.
6.
uuur 13 15. CB = u 4
6. r =
3 a 5
10. x
1 4
7. r =
7 3
11. x
7 2
9. x
4 5. r = 35
1. 10u 2.
5 2
7 9 14 3
6.
5u 7.
3. 5 2u
5 12. x 2
3. r = 1 8. r =
EJERCICIO 5
27 4
1 1. r = 3
4. r =
Y B C
uuur 5 DA = − u 2 uuur 9 DB = u 2 uuur 15 CA = − u 4 uuur 13 BC = − u 4 uuur 5 CD = − u 4
EJERCICIO 2
2. r =
4. Y
4. 4 2u
13. x
17 20
14. x
23 40
181 u 6
11. 28.72u
5 u 4
8.
5 u 4
9.
17 u 2
5. 8u
10. 1u
12. 15.64u 13. 25.10u 14. 12u
15. Es triángulo isósceles, debido a que dAC = dBC. 16. Perímetro = 40.96 u; Área = 133.517 u2
EJERCICIO 3
17. Ordenada (y = 11, y = 1), puntos (– 4, 11) y (– 4,1) 5 5. 12
1. 1 2.
11 2
5 8. a 24
7 24
9.
7 4
3 3 2
10.
3 2
6.
¤ 84 126 ³ 18. P(4, 6) y P ¥ , 13 ´µ ¦ 13 19. sí 20. no
7.
7 12
1. r 2. r
CAPÍTULO 2 EJERCICIO 4
3. r
1.
2.
1 2 4 3
1 2
4. r = – 2 1 5. r 10
B A A
X
22. no
EJERCICIO 6
3. – 5 4.
21. sí
B
X
2 6. r 7 7. P(6, – 5)
1526
8. P(5, 0)
15. P(3, 7)
¤ 2 19 ³ 9. P ¥ , ´ ¦5 5 µ
16. r = 2
¤ 4 4³ 10. P ¥ , ´ ¦ 9 3µ ¤ 9³ 11. P ¥ 4, ´ 2µ ¦ 12. P(–a, 3b) 13. r
5 2
¤ 19 37 ³ 14. P ¥ , ´ ¦ 5 5µ
17. P(2, 1) ¤ 11 ³ 18. P ¥ 5, ´ 2µ ¦ ¤ 11 2 ³ 19. P2 ¥ , ´ ¦ 3 3µ ¤ 2 7³ 20. P ¥ , ´ ¦ 5 5µ
SOLUCIÓN
x1 x 2 y y ; y 1 2 2 2 22. Los puntos de trisección son:
21. Son colineales
24. Son colineales 2 22. No son colineales 25. x = 3 26. x = 4 23. Son colineales
21. r = 1; x
¤ x 2 x 2 y1 2 y2 ³ , A¥ 1 3 3 ´µ ¦
2. Los lados opuestos son paralelos y de igual pendiente mBC m AD
¤5 ³ ¤8 ³ ¤7 ³ 1. Pm ¥ , 2´ ; Pt : ¥ , 3´ y ¥ ,1´ ¦2 µ ¦3 µ ¦3 µ
2 y mCD m AB 3 5
3. Las rectas son paralelas
¤ 3 11 ³ 2. Pm ¥ , ´ ; Pt : (1, 5) y (2, 6) ¦2 2µ
m AB mCD
m AB m AC
¤ 11 ³ 4. Pm ¥ 8, ´ ; Pt : (7, – 6) y (9, – 5) 2µ ¦
6. x = 5
7. P2(– 5, – 5)
7. mAB = mCD = –2; mBC m AD
8. (– 1, 1), (7, 9) y (– 3, 5)
EJERCICIO 11 1. A = 57° 5’ 41”
EJERCICIO 8 7. 31u2
2. 15u2
5. 6u2
8. 17u2
3. 28.5u2
6. a2u2
9. 19u2
2. 26° 33’ 54”, 116° 33’ 54”
10. 50.5u2
36° 52’ 11” 3. 63° 26’ 5”, 63° 26’ 5” y 53° 7’ 48” 4. Un ángulo de 90°
CAPÍTULO 3
los restantes de 45° 7. No existe 8.
1 8
9.
4 3
5. 6. 0
17 5 5 72
14. 35° 15’
7. 130° 14’ 10”; 49° 45’ 50”
15. 90°
8. 117° 16’ 36”
16. 0° o 180° 9. m1
17. Son colineales 10.
2 3
5. 63° 26’ 5” y 26° 33’ 54”
13. 30°
6. A = 131° 49’ 12”
7 2. 5
b a
mAB = mCD = 4, mBC m AD
¤ 11 1 ³ ¤ 7 ³ ¤ 19 ³ 6. Pm ¥ , ´ ; Pt : ¥ , 0 ´ y ¥ , 1´ ¦ 24 2 µ ¦ 18 µ ¦ 36 µ
4. 10u2
1 2 1 2
5. En un cuadrado los lados opuestos son paralelos y los lados adyacentes son perpendiculares.
¤ 5 3³ ¤ 4 4 ³ ¤ 7 5³ 5. Pm ¥ , ´ ; Pt : ¥ , ´ y ¥ , ´ ¦ 12 2 µ ¦ 9 3 µ ¦ 18 3 µ
1. 3u2
5 3
4. En un triángulo rectángulo los catetos son perpendiculares.
¤ 7 17 ³ ¤ 17 25 ³ 3. Pm (4, 7); Pt : ¥ , ´ y ¥ , ´ ¦3 3 µ ¦ 3 3 µ
4.
28. y = – 6
1. Son perpendiculares
EJERCICIO 7
3.
27. y 3 3
EJERCICIO 10
¤ 2x x 2 y y ³ B¥ 1 2 , 1 2 ´ 3 3 µ ¦
EJERCICIO 9 2 1. 5
A LOS EJERCICIOS
18. Son colineales
2 3
2 3 3
10. x = 8
11. 45°
19. Son colineales
12. 135°
20. No son colineales
11. m1
1 , m2 = 7 7
12. 2 3 ; 2 3
1527
2 7
1 y m AC mBD 1 4
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
CAPÍTULO 4
4. Intersecciones con los ejes: (0, 0) Simetría: No existe Extensión: {x R | x ≠ – 3} ; {y R | y ≠ 4} Asíntotas: Horizontal: y = 4, Vertical: x = – 3 Gráfica
EJERCICIO 12 1. Intersecciones con los ejes: (– 2, 0) Simetría: No existe Extensión: {x R | x ≠ 0} ; {y R | y ≠ 3} Asíntotas: Horizontal: y = 3, Vertical: x = 0 Gráfica Y
Y
y=4
x=0
X y=3
X x=−3
5. Intersecciones con los ejes: (0, 2) Simetría: No existe
2. Intersecciones con los ejes: (0, – 2)
ª 3¹ Extensión: « x R | x w º ; {y R | y ≠ 0} 2» ¬ 3 Asíntotas: Horizontal: y = 0, Vertical: x = 2 Gráfica
Simetría: No existe Extensión: {x R | x ≠ – 2} ; {y R | y ≠ 0} Asíntotas: Horizontal: y = 0, Vertical: x = – 2 Gráfica Y
Y
3 x= 2
y=0
y=0
X
X
x=–2
6. Intersecciones con los ejes: (0, 0)
3. Intersecciones con los ejes: (0, 0)
Simetría: Sólo con el eje Y Extensión: {x R } ; {y R | y s 0} Asíntotas: No existen Gráfica
Simetría: No existe Extensión: {x R | x ≠ – 2} ; {y R | y ≠ 5} Asíntotas: Horizontal: y = 5, Vertical: x = – 2 Gráfica Y
Y
y=5
X
X
x=−2
1528
SOLUCIÓN
7. Intersecciones con los ejes: Eje X n (– 4, 0), (4, 0)
10. Intersecciones con los ejes: Eje X n (– 4, 0), (4, 0)
Eje Y n (0, 2), (0, –2)
Simetría: Es simétrica con los ejes y con el origen Extensión: {x R | x c – 4 o x s – 4}; {y R} Asíntotas: No hay horizontales o verticales Gráfica
Simetría: Es simétrica con ambos ejes y con el origen Extensión: {x R | – 4 c x c 4} {y R | – 2 c y c 2} Asíntotas: No existen Gráfica
Y
Y X X
¤ 17 ³ 11. Intersecciones con los ejes: ¥ , 0´ ¦8 µ Simetría: No existe Extensión: {x R | x s 2}; {y R} Asíntotas: No existen Gráfica
8. Intersecciones con los ejes: (0, – 5) Simetría: No existe Extensión: {x R} ; {y R | y c – 4} Asíntotas: No existen Gráfica
A LOS EJERCICIOS
Y
Y X X
12. Intersecciones con los ejes: (0, 0) y (6, 0) Simetría: Sólo con el eje X Extensión: {x R | 0 c x c 6} {y R | –3 c y c 3} Asíntotas: No existen Gráfica
9. Intersecciones con los ejes: (0, 0) Simetría: Sólo respecto al origen Extensión: {x R} ; {y R} Asíntotas: No existen Gráfica
Y Y
X X
1529
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
EJERCICIO 13 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
y–x=2 xy = 1 x – 2y = 0 x2 + y2 = 25 7x – 3y + 4 = 0 x2 + y2 – 8x + 6y = 0 x2 + 10y + 25 = 0 2x + y + 5 = 0 x2 + y2 + 6x + 4y – 51 = 0 x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0 21x2 – 12xy +16y2 + 60x + 60y – 600 = 0 9x2 + 25y2 – 225 = 0 28y2 – 36x2 – 63 = 0; 36x2 – 28y2 + 63 = 0 16x2+ 7y2 – 112 = 0 7x2 – 9y2 – 28x + 90y – 260 = 0
4.
y = 2x
5.
y 1 1 x y x ; 1 8 2 4 1 2
6.
y
7.
x y 3 y x 2 ; 1 10 5 2 3
8.
x y 1 5 1 y x ; 6 3 10 5 3
9.
y
3 x y x 3 ; + =1 4 4 −3
x y 6 1 x 12 ; 10 12 5
10. y x ctg w p csc w ;
CAPÍTULO 5 EJERCICIO 14 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
11.
x y 1 p sec w p csc w 12.
Y
Y
y = 2x − 3
0
X
y = − 3x + 1
2x + y – 4 = 0 6x + 5y – 82 = 0 2x – 3y + 8 = 0 4x – 7y + 10 = 0 7x – 5y – 26 = 0 3x + 2y + 22 = 0 4x – 6y – 5 = 0 10x – 3y – 4 = 0 2x – 3y – 7 = 0 2x + 11y + 5 = 0 5x – 16y – 31 =0
2x + 5y – 14 = 0 2x – y + 3 = 0 2y – 1 = 0 2x + 2y + 1 = 0 3x – 5y + 11 = 0 4x – 3y + 6 = 0 x–3=0 8x – 4y – 7 = 0 3x + 2y – 2 = 0 3x + 5y – 12 = 0 3x + 2y – 5 = 0
19. 20. 21. 22.
3x y 3 3 0 x+y–4=0 x–3=0 x+4=0 3x – 2y – 12 = 0 x + 4y + 2 = 0 2x + y = 0 3x – 4y + 11 = 0 5x + 2y – 25 = 0 y=0
27. (8, 6), (– 2, – 8), (– 6, – 2) 28. (–3, 0), (3, 2), (4, –2) 29. (–3, 2), (–1, –2) (7, 0), (5, 4) 30. 120x – y = 0 31. 3t – 2v + 4 = 0 32. x + 40y – 600 = 0 33. 120x – y + 1 200 = 0 34. 9TC – 5TF + 160 = 0
23. 24. 25. 26.
1
X
0
−3
13.
14.
Y
Y
y=
2 x 3
1 0
X
0
X
3 y=− x+1 4
15.
16.
Y
Y 5 3
x + 3y − 5 = 0
X
0
X
0
−2 4x − y − 2 = 0
EJERCICIO 15 17. x y 1. y = – x + 4; 1 4 4
Y
18. x−y=0
Y 3 x + 3y − 6 = 0 2 2
2 x y x 1 ; 1 5 5 1 2 1 8 x y 1 3. y = x ; 3 3 8 8 3
0
2. y =
X
1530
0
X
SOLUCIÓN
34. a) C = 30x + 6 000
19. x + y + 5 = 0
3.
6 Y
b) $1 000.00 c) no d) 120 platillos
20. y = 2x + 4 21. y = – 3x + 11 1 13 22. y = x 6 6 23. y = 5x + 5
4 2
x y 1 35. 5 5
−8
−6
−4
−2
X
0 0
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
24. 5x – 3y + 20 = 0 25. 4x + y – 15 = 0
36.
26. x – y + 1 = 0
x y 37. 1 4 4 3 5
27. 6x + 4y + 5 = 0 28. 3x – 2y – 6 = 0 29. 161° 33’ 54’’
38.
30. 36° 1’ 38’’ 102° 20’ 20’’ 41° 38’
39.
31. (20, 13) 32. a) y = 50x + 30 000 b) $70 000.00
−2
x y 1 8 4
x y 1 7 7 4 2
−4
4.
6 Y 4 2
x y 1 6 3 5 2
−8
−6
−4
−2
0
X 0
−2
33. a) 4m/s2 b) 31m/s
−4
EJERCICIO 16 1.
5.
Y
4
6 Y 4
2
−8
−6
−4
2
X
0
−2
0
2
4
6
8 −8
−2
−6
−4
−2
X
0 0 −2
−4 −4 −6
2.
6.
6 Y
−8
−6
−4
−2
6 Y
4
4
2
2
X
0 0
2
4
X
0 −8
6
−6
−4
−2
0
−2
−2
−4
−4
1531
A LOS EJERCICIOS
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
7.
EJERCICIO 17
6 Y
2
−8
−6
−4
−2
2
0
4
6
X
0 2
0
4
X 0
2
4
Y
3x
7 y 0 10 10 10 18. S = 60°, S’= 120° 17.
3x + 4y + 12 = 0
14 5
2.
9 5
16.
11 29 29
4.
17.
49 13
27 2 8 19. 3x – 4y – 10 = 0
7 2 2
3x – 4y + 20 = 0
32 17 17
20. y = 17 y=
10. 5u2 X 0
2
4
6
7 5 12. K1 = 2 11. r
−4
K2 = 13.
7 10
18.
9 10 9. 5
0
−2
x 3y 2 0 2 2 2x 5y 12 16. 0 29 29 29 15.
8. 10
2
−2
14. x 3 y 8 3 0
6. 1
4
−4
0
15.
7.
−6
10
23 53 53
5.
−4
−8
7
13. x + y + 6 = 0
1.
6
−2
6
3x y 8 0
3. 5 2
0
10.
3 x y 10 0
EJERCICIO 18
2
−2
10
11. x 3 0 12.
0
34 3y
2
0
10. x 3 y 2 0
19. 3x – 4y – 12 = 0
4
−4
3y
5
0
9. x 3 y 6 0
6 Y
−6
2
8. x + y – 2 = 0
−4
−8
y
13
6
−2
9.
13
5
5x 2 y 1 0 3 3 3
7.
2
−2
10
6.
4
−4
x
3y
12 x 5 y 5. 1 0 13 13
6 Y
−6
34
4.
2
5x
3.
x
X
0
−4
−8
13
2.
−2
8.
2x
1.
4
1 2
2 13 13
17
21.
7 5 5
22.
11 5 15
7 4
7 4
23. x – y – 3 3 2 = 0 x – y – 3 3 2 = 0 24. 2x – y – 1 = 0 2x + y – 7 = 0
6 14. 5
1532
SOLUCIÓN
15. x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0
EJERCICIO 19 1. 2x – y + 3 = 0
16. x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0
2. 4x – 6y + 13 = 0
17. x2 + y2 + 6x + 8y – 144 = 0
3. x + 3y – 9 = 0
18. x2 + y2 – 2x – 4y – 59 = 0
4. y + 6 = 0
19. 2x2 + 2y2 + 15x – 11y – 51 = 0
5. 2x – 6y – 11 = 0; 6x + 2y –1 = 0
20. 17x2 + 17y2 – 88x + 58y – 544 = 0
6. 99x – 27y + 50 = 0; 21x + 77y – 80 = 0
21. 9x2 + 9y2 – 43x + 9y – 140 = 0
7. y – 2 = 0; 7x – y – 5 = 0; x + y – 3 = 0; (1, 2)
22. x2 + y2 – 4x + 4y – 2 = 0
8. 2x + y – 6 = 0; x – 6y – 10 = 0; 3x – 5y – 16 = 0;
23. x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 24. 3x2 + 3y2 + 8x + 10y – 43 = 0
¤ 46 14 ³ ¥¦ 13 , 13 ´µ
25. 3x2 + 3y2 – x + 7y – 10 = 0 26. x2 + y2 – 6x + 4y – 5 = 0
9. 2x + y – 3 = 0; 3x – 5y + 16 = 0; x – 6y + 19 = 0;
27. x2 + y2 + 4x – 2y – 29 = 0
¤ 1 41³ ¥¦ 13 , 13 ´µ
EJERCICIO 21
10. 11x + 4y – 27 = 0; 7x – y – 16 = 0; 4x + 5y – 11 = 0;
1. C(– 1, – 1), r = 2 2. C(3, – 4), r = 5
¤ 7 1³ ¥¦ 3 , 3 ´µ 11.
3. Punto, C(– 3, – 1), r = 0
5
4. Imaginaria con C(2, – 1) y r =
6. C(0, 4), r = 3
5 34 x 3 5 2 34 y 4 5 7 34 0 37 6 5 x
5
5. C(– 7, 4) , r = 5
5 2 37 y 7 37 23 5 0
7. C(– 2, 0), r = 1
37 6 34 x 3 37 34 y 4 37 23 34 0
(1.5965, 2.2438)
¤ 5 3³ 8. C ¥ , ´ , r = ¦ 2 2µ
7
¤ 1 3³ 1 9. C ¥ , ´ , r = 2 ¦ 2 2µ
12. 55x + 47y – 144 = 0
CAPÍTULO 6 EJERCICIO 20 1. x2 + y2 – 16 = 0 2. 4x2 + 4y2 – 3 = 0 3. x2 + y2 – 2x + 6y + 6 = 0
¤1 ³ 4 10. C ¥ , 3´ , r = 5 ¦5 µ ¤ 3 1³ 5 11. C ¥ , ´ , r = 12 ¦ 4 6µ ¤ 2 1³ 12. C ¥ , ´ , r = 3 ¦ 3 2µ 13. x – 3y + 8 = 0
4. 3x2 + 3y2 + 3x + 4y = 0
79x + 3y – 568 = 0
5. x2 + y2 – 13 = 0
14. x2 + y2 – 8x – 4y + 10 = 0
6. x2 + y2 – 2x – 6y – 31 = 0
15. x2 + y2 – 8x – 8y + 19 = 0
7.
x2
+
y2
x2 + y2 + 4y – 9 = 0
– 2x + 6y – 35 = 0
10. x2 + y2 + 8x – 4y + 4 = 0
16. x2 + y2 + 10x – 4 = 0 19 17. k = 5, k = 17 18. (–5, 3) y (1, 9)
11. x2 + y2 – 10x + 10y + 25 = 0
19. (2, 2)
12. 3x2 + 3y2 + 13x – 65 = 0
20. No existe intersección
13. 4x2 + 4y2 + 41y + 66 = 0
21. (3, 5) y (4, 4)
14. x2 + y2 + 4y = 0
22. (4, – 1) y (6, – 3)
8. x2 + y2 + 2x + 10y + 25 = 0 9. x2 + y2 – 10x + 4y = 0
1533
9
A LOS EJERCICIOS
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
EJERCICIO 22 1.
5.
8 Y
Y 6
6 4
4 2
2 X
0
−6
−4
X
0
−2
2
0
4
6
−6
−4
−2
0
2
4
2
4
6
8
8 −2
−2 −4
6.
2.
Y
6
Y 2
−10
−8
−6
−4
4
X
0
−2
0
2
2
4
−2
X
0 −6
−4
0
−2
−4
−2
−6
−4
6
8
−8
7. 3.
Y
Y
6
10
5 5 4
X
0 −15
−10
0
−5
15
10
5
3
−5
2
−10
−6
−5
−4
−3
−2
8. 4.
8
8
6
6
4
4
2
2 0 −4
−2
1
0
Y
Y
−6
1
−1
2
4
6
X
0
X 0
−8
8
−6
−4
−2
0 −2
−2
1534
2
4
6
SOLUCIÓN
9.
CAPÍTULO 8
6 Y
4
EJERCICIO 25 1. y2 + 8x = 0
2
2. x2 + 4y = 0 X
0 −4
0
−2
2
4
6
8
10
3. y2 – 12x + 2y + 1 = 0 4. x2 – 16y = 0 5. x2 – 4x + 4y – 16 = 0
−2
6. y2 + 12x – 4y + 52 = 0
−4
7. x2 – 2xy + y2 + 8x – 4y + 2 = 0 8. 9x2 – 12xy + 4y2 – 48x + 32y + 64 = 0
10.
EJERCICIO 26
Y
1. Foco: F(– 1, 0), Directriz: x – 1 = 0, LR = 4, Eje: y = 0
5
X
0 −15
−10
−5
0
5
10
Y
15
L
−5
−10
F 11. (x – 1)2 + (y – 1)2 = p2
13. (x + 2)2 + (y – 3)2 = p2
12. (x + 1)2 + (y + 3)2 = p2
14. (x – 1)2 + (y – 0)2 = p2
V R
X x−1=0
2. Foco: F(0, 3), Directriz: y + 3 = 0, LR = 12, Eje: x = 0 Y
CAPÍTULO 7 EJERCICIO 23
F
1. (2, 2)
10. y’2 – 12x’ = 0
2. (9, 1)
11. 9x’2 + 16y’2 – 144 = 0
3. (– 1, 4)
12. 4x’2 + 5y’2 – 20 = 0 13.
9x’2
+
5. (– 8, 7)
14.
x’2
2y’2
6. y’2 – 8x’ = 0
15. 4x’2 – 9y’2 – 36 = 0
7. x’2 – 4y’ = 0
16. y’ = x’3
8. x’2 + y’2 – 9 = 0
17. y’2 = x’3 – 1
4. (– 10, – 4)
–
4y’2
y
– 72 = 0
y+3=0
–2=0
3. Foco: F(5, 0), Directriz: x + 5 = 0, LR = 20, Eje: y = 0 x+5=0
9. x’2 + y’2 – 25 = 0
1. x’2 – 8y’ = 0
5. 9x’2 + 4y’2 – 36 = 0
2. y’2 – 16x’ = 0
6. 16x’2 + 16y’2 – 9 = 0
3.
+
y’2
–8=0
4. x’2 + y’2 – 4 = 0
Y
V
EJERCICIO 24
x’2
X
F X
7. 25x’2 – 16y’2 + 400 = 0 8. y’3 – x’ = 0
1535
A LOS EJERCICIOS
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
4. Foco: F(0, 4), Directriz: y 4 0, LR 16, Eje: x 0 Y
¤ 3³ 9. Foco: F ¥ 0, ´ , Directriz: 4y 3 0, LR 3, ¦ 4µ Eje: x 0 Y
F L X
V
−1
1 F
R
V
1
y+4=0 5. Foco: F(– 4, 0), Directriz: x – 4 0, LR 16, Eje: y 0 Y x+4=0
X 4y + 3 = 0
−1
8 ¤ 2³ 10. Foco: ¥ 0, ´ , Directriz: 3y – 2 0, LR , 3 3µ ¦ Eje: x 0 Y
F
V
3y − 2 = 0 V
X −1
6. Foco: F(0, – 2), Directriz: y – 2 0, LR 8, Eje: x 0 Y
¤5 ³ 11. Foco: F ¥ , 0´ , Directriz: 4x 5 0, LR 5, ¦4 µ Eje: y 0 Y L
4x + 5 = 0
V X
1 −1 V −1
R
F
¤ 3³ 7. Foco: F ¥ 0, ´ , Directriz: 2y – 3 0, LR 6, 2µ ¦ Eje: x 0 Y 2y−3=0
X
−1
4x − 1 = 0
V
F R −1
Y V
X
L
R
8. Foco: F(2, 0), Directriz: x 2 0, LR 8, Eje: y 0 x+2=0
F
¤ 1 ³ 12. Foco: ¥ , 0´ , Directriz: 4x – 1 0, LR 1, ¦ 4 µ Eje: y 0 Y 1
F
1
R
V L
R
F
y−2=0
L
X
1
L
F X
1536
1 X
SOLUCIÓN
¤ 1³ 13. Foco: F ¥ 0, ´ , Directriz: 4y 1 0, LR 1 ¦ 4µ Eje: x 0 Y 1
¤ 21 ³ 5 14. V(1, 0), F ¥ , 0´ , LR , D: 16x – 11 0, E: y 0 ¦ 16 µ 4 15. y2 20x – 8y – 24 0 16. x2 – 6x 16y 25 0 17. y2 – 8x – 4y 28 0
F
−1 L
V
R
18. x2 10x – 12y 49 0
1
X 4y + 1 = 0
−1
19. y2 – 2x 8y 20 0 20. 3x2 18x – 28y – 29 0 21. y2 24x – 12y – 60 0
14. y2 20x 0
25. x2 – y 0
22. x2 – 8x – 16y 32 0
15. x2 – 24y 0
26. y2 18x 0
23. y2 8y – 20x 36 0
16. y2 – 8x 0
27. x2 4y 0
24. x2 28y – 28 0
17. x2 4y 0
28. 3y2 – 16x 0
25. y2 14x – 4y 25 0
18. y2 2x 0
29. 3x2 16y 0
26. x2 – 14x – 10y 54 0
19. 3x2 28y 0
30. 3 13 unidades
27. x2 – 2x – 8y – 23 0
20. x2 – 8y 0
31. 5 2 unidades
28. x2 6x – 24y 129 0
21. y2 24x 0
32. 2x2 – y 0, y2 – 4x 0
x2 6x 24y – 111 0
22. x2 10y 0
33. y2 3x 0, y2 – 3x 0
29. y2 24x – 4y – 116 0
23. y2 6x 0
34. y2 – 12x 0
30. x2 – 6x 24y – 87 0
24. 3y2 – 16x 0
35. x2 – 8y 0
31. (4, 8), (7, – 4)
EJERCICIO 27 V: Vértice, F: Foco, LR: Lado recto, D: Directriz 1. V(1, 5), F(4, 5), LR 12, D: x 2 0, Eje: y 5 2. V(6, – 2), F(6, – 6), LR 16, D: y – 2 0, Eje: x 6 3. V(– 2, – 4), F(– 7, – 4), LR 20, D: x – 3 0, Eje: y – 4 4. V(–1, 5), F(–1, 4), LR 4, D: y – 6 0, Eje: x –1
EJERCICIO 28 1. y2 – x 2y 1 0
5. x2 – 4x – y 3 0
2. y2 – 4x 0
6. x2 – y 1 0
3.
3y2
–x 7 0
4. y2 – x – 4 0
7. 2x2 3x – y 1 0 8. x2 6x – 2y 5 0
EJERCICIO 29
5. V(– 2, 0), F(0, 0), LR 8, D: x 4 0, Eje: y 0
1. 8 m
6. x – 4y 24 0
6. V(0, 2), F(0, 8), LR 24, D: y 4 0, Eje: x 0
2. 62.5 cm
7. 2x – y – 9 0
¤ 7³ 7. V(– 4, 2), F ¥ 4, ´ , LR 6, D: 2y – 1 0, Eje: x – 4 2µ ¦
3. 18.75 cm
8. x – 2y 2 0
¤4 ³ ¤ 41 ³ 8. V ¥ , 3´ , F ¥ , 3´ , LR 5, D: 20x 9 0, Eje: y – 3 µ ¦ 20 ¦5 µ
4. 27.71 cm 5. x – y – 2 0
¤3 ³ ¤3 ³ 3 9. V ¥ , 2´ , F ¥ , 3´ , LR 4, D: y – 1 0, x 2 ¦2 µ ¦2 µ 3 ¤ 1 ³ ¤ 19 1 ³ 13 1 10. V ¥ 2, ´ , F ¥ , ´ , LR , D: x , Eje: y 2 4µ ¦ 8 4µ 8 ¦ 4 ¤ 1 3³ ¤ 1 1³ 1 11. V ¥ , ´ , F ¥ , ´ , LR 4, D: 2y 5 0, Eje: x 2 ¦ 2 2µ ¦ 2 2µ ¤ 10 ³ 4 12. V(3, –1), F ¥ , 1´ , LR , D: 3x – 8 0, Eje: y –1 3 ¦ 3 µ ¤ 1 ³ ¤ 3³ 13. V ¥ 0, ´ , F ¥ 0, ´ , LR 2, D: 4y 1 0, E: x 0 ¦ 4µ ¦ 4µ
A LOS EJERCICIOS
9. x – 3y – 3 0 10. 2x – 3y – 16 0
CAPÍTULO 9 EJERCICIO 30 1. 5x2 9y2 – 180 0 2. 5x2 9y2 – 45 0 3. 49x2 24y2 – 1176 0 4. 25x2 16y2 100x – 128y – 44 0 5. 9x2 25y2 – 18x 100y – 791 0
1537
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
EJERCICIO 31
7 3 11. V(q 4, 0), F(q 3, 0), B(0, o 7 ), LR , e , 2 4
1 1. V(q 2, 0), F(q1, 0), B(0, o 3 ), LR 3, e , 2
V1V2 8 , F1F2 6 , B1 B2 2 7
V1V2 4 , F1F2 2 y B1 B2 2 3 10 2 2. V(0, q 3), F(0, q 2), B(o 5 , 0 ), LR , e , 3 3
12. V(q1, 0), F(q
e
V1V2 6 , F1F2 4 y B1 B2 2 5 3. V(0, q2 3 ), F(0, q 7 ), B( o 5 , 0 ), LR
5 3 , 3
15 , 4
e
4 5 , 5
15 , V1V2 2 5 , F1F2 2 3 y B1 B2 2 2 5
14. V(0, q 2 2 ), F(0, q 6 ), B( o 2 , 0 ), LR 2 ,
e V1V2 16 , F1F2 4 15 y B1 B2 4 18 4 5. V(q 5, 0), F(q 4, 0), B(0, q 3), LR , e , 5 5
2 , V1V2 2 , F1F2 2 , B1 B2 2 2
13. V(0, q 5 ), F(0, q 3 ), B(o 2 , 0 ), LR
21 , V1V2 4 3 , F1F2 2 7 y B1 B2 2 5 e 6 4. V(q 8, 0), F(q2 15 , 0), B(0, q 2), LR 1, e
2 2 , 0), B(0, o ), LR 1, 2 2
3 , V1V2 4 2 , F1F2 2 6 y B1 B2 2 2 2
15. V(q 3, 0), F(q 6 , 0), B(0, o 3 ), LR 2, e
6 , 3
V1V2 6 , F1F2 2 6 y B1 B2 2 3 V1V2 10 , F1F2 8 y B1 B2 6 3 6. V(0, q 4), F(0, q2 3 ), B(q 2, 0), LR 2, e , 2
16. V(0, q2 3 ), F(0, q 2 2 ), B(q 2, 0), LR e
V1V2 8 , F1F2 4 3 y B1 B2 4 7. V(0, q
5 5 5 20 5 5 ), F(0, q ), B( o , 0 ), LR , e , 2 6 9 3 3
8. V(0, q1), F(0, q
6 , V1V2 4 3 , F1F2 4 2 y B1 B2 4 3
EJERCICIO 32 1. 5x2 9y2 – 180 0 2. 7x2 9y2 – 63 0
5 5 10 V1V2 5 , F1F2 y B1 B2 3 3
3. x2 5y2 – 5 0
3 1 3 1 ), B(o , 0 ), LR , e , 2 2 2 2
4. 49x2 24y2 – 1176 0 5. 3x2 y2 – 3 0 6. 16x2 25y2 – 400 0
V1V2 2 , F1F2 3 , B1 B2 1 9. V(0, q 3 ), F(0, q1), B(o 2 , 0 ), LR e
7. 7x2 16y2 – 112 0 4 3 , 3
3 , V1V2 2 3 , F1F2 2 y B1 B2 2 2 3
1 7 3 1 10. V(0, q ), F(0, q ), B(o , 0), LR , 3 12 8 4 e
7 2 7 1 , V1V2 , F1F2 y B1 B2 4 3 6 2
8. 4x2 13y2 – 52 0 9. 9x2 14y2 – 126 0 10. 3x2 2y2 – 12 0 11. 5x2 y2 – 5 0 12. 65x2 16y2 – 1040 0 13. 9x2 5y2 – 45 0 14. 9x2 25y2 – 225 0 15. 16x2 7y2 – 448 0
1538
4 3 , 3
SOLUCIÓN
16. 12x2 16y2 – 3 0
A LOS EJERCICIOS
¤ 5 15 ³ ¤ 5 9³ ¤ 5 3³ 7. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´ , V2 ¥ , ´ , ¦ 2 4µ ¦ 2 4µ ¦ 2 4µ
17. 8x2 9y2 – 72 0; 9x2 8y2 – 72 0 18. 9x2 4y2 – 36 0
¤ 5 3 ¤ 5 3 ¤ 1 3³ ³ ³ F1 ¥ , 5 ´ , F2 ¥ , 5 ´ , B1 ¥ , ´ , µ µ ¦ 2 4 ¦ 2 4 ¦ 2 4µ
19. x2 4y2 – 16 0 20. 9x2 13y2 – 117 0
¤ 9 3³ 8 5 , V1V2 6 , B2 ¥ , ´ , LR , e ¦ 2 4µ 3 3
21. x2 4y2 – 9 0 22. x2 2y2 – 2 0; 2x2 y2 – 2 0
F1F2 2 5 , B1 B2 4 EJERCICIO 33 1. C(2, 1), V1(2, 5), V2(2, – 3), F1(2, 1 7 ), F2(2, 1 7 )
8. C(1, 2), V1(4, 2), V2(– 2, 2), F1(1 5 , 2), F2(1 5 , 2),
9 7 , V1V2 8 , B1(5, 1), B2(–1, 1), LR , e 2 4
8 5 B1(1, 4), B2(1, 0), LR , e , V1V2 6 , 3 3
F1F2 2 7 , B1 B2 6
F1F2 2 5 , B1 B2 4
¤ 2 3 3 ³ ¤2 ³ ¤8 ³ ¤ 4 ³ ,1´ , 2. C ¥ ,1´ , V1 ¥ ,1´ , V2 ¥ ,1´ , F1 ¥ 3 ¦3 µ ¦3 µ ¦ 3 µ ¦ µ
¤ 7 3³ ¤ ¤ 8 3³ 3³ 9. C ¥ , ´ , V1 ¥ 2, ´ , V2 ¥ , ´ , 4µ ¦ 3 4µ ¦ ¦ 3 4µ
¤ 2 3 3 ³ ¤2 ³ ¤2 ³ 3 ,1´ , B1 ¥ , 2´ , B2 ¥ , 0´ , LR 1, e , F2 ¥ ¦3 µ ¦3 µ 3 2 ¦ µ
¤ 28 7 3 ³ ¤ 28 7 3 ³ ¤ 7 ³ , ´ , F2 ¥ , ´ , B1 ¥ ,1´ , F1 ¥ 12 4µ 12 4µ ¦ 3 µ ¦ ¦
V1V2 4 , F1F2 2 3 , B1 B2 2
¤ 7 1³ 3 7 2 , V1V2 , B2 ¥ , ´ , LR , e ¦ 3 2µ 8 4 3
3. C(– 5, 1), V1(– 2, 1), V2(– 8, 1), F1( 5 6 , 1), F1F2
7 1 , B1 B2 6 2
F2( 5 6 , 1), B1(– 5, 1 3 ), B2(– 5, 1 3 ), 6 , V1V2 6 , F1F2 2 6 , B1 B2 2 3 LR 2, e 3
¤ 5 7 2 3 ³ ¤ 5 7³ 10. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´, 2 ¦ 3 2µ ¦ 3 µ ¤ 5 7 2 3 ³ ¤ 5 5³ ¤ 5 9³ V2 ¥ , ´ , F1 ¥ , ´ , F2 ¥ , ´ , 2 ¦ 3 2µ ¦ 3 2µ ¦ 3 µ
4. C(0, 2), V1(0, 7), V2(0, – 3), F1(0, 5), F2(0, –1), B1(4, 2), B2(– 4, 2), LR
32 3 , e , V1V2 10 , F1F2 6 , B1 B2 8 5 5
¤ 5 3 2 7 ³ ¤ 5 3 2 7 ³ , ´ , B2 ¥ , ´ , B1 ¥ 3 2 3 2µ ¦ µ ¦
5. C(5, – 2), V1(9, – 2), V2(1, – 2), F1(5 15 , – 2),
LR
1 F2(5 15 , – 2), B1(5, –1), B2(5, – 3), LR , 2 e
B1 B2 2 2
15 , V1V2 8 , F1F2 2 15 , B1 B2 2 4
11. C(– 3, 2) V1(0, 2), V2(– 6, 2) F1(–1, 2), F2(– 5, 2), B1(– 3, 2 5 ), B2(– 3, 2 5 ), LR
6. C(2, 3), V1(2, 9), V2(2, – 3), F1(2, 3 3 3 ), F2(2, 3 3 3 ), B1(5, 3), B2(–1, 3), LR 3, e
4 3 3 , e , V1V2 2 3 , F1F2 2 , 3 3
V1V2 6 , F1F2 4 , B1 B2 2 5
3 , 2
V1V2 12 , F1F2 6 3 , B1 B2 6
1539
10 2 , e , 3 3
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
¤ 1 4³ ¤ 11 4 ³ ¤ 5 4³ 12. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´ , V2 ¥ , ´ , ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ
¤ ¤ 1 ³ ¤ 3 ³ 5 ³ , 2´ , 17. C(–1, 2), V1 ¥ , 2´ , V2 ¥ , 2´ , F1 ¥ 1 6 µ ¦ 2 µ ¦ 2 µ ¦ ¤ ¤ ¤ 5³ 7³ 5 ³ 4 , 2´ , B1 ¥ 1, ´ , B2 ¥ 1, ´ , LR , F2 ¥ 1 3 3 6 9 µ µ ¦ ¦ ¦ µ
¤ 5 2 5 4 ³ ¤ 5 2 5 4 ³ , ´ , F2 ¥ , ´, F1 ¥ 2 3µ 2 3µ ¦ ¦
5 5 2 , V1V2 1 , F1F2 , B1 B2 3 3 3
e
¤ 5 10 ³ ¤ 5 2³ 8 5 B1 ¥ , ´ , B2 ¥ , ´ , LR , e , ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ 3 3
EJERCICIO 34 V1V2 6 , F1F2 2 5 , B1 B2 4 1. ¤ 9 12 ³ ¤ 1 12 ³ ¤ 11 12 ³ 13. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´ , V2 ¥ , ´ ¦2 5 µ ¦ 2 5µ ¦ 2 5µ
x 7 2 y 2 2 1 16
x2
4
4y2
– 14x 16y 49 0
2
¤ 1 2 21 12 ³ ¤ 1 2 21 12 ³ , ´ , F2 ¥ , ´, F1 ¥ 2 5µ 2 5µ ¦ ¦
2.
x 3 y 3 2 1 25
9x2 ¤ 1 22 ³ ¤ 1 2³ 8 21 , B1 ¥ , ´ , B2 ¥ , ´ , LR , e ¦ 2 5µ ¦ 2 5µ 5 5
¤ ³ ¤ ¤ 3 1³ 3³ 1 , 1´ , B1 ¥ 0, ´ , B2 ¥ 0, ´ , LR , F2 ¥ 2µ 2µ ¦ ¦ 2 ¦ 2 µ e
3.
4.
5.
16
9
16y2
– 72x 0
x 3 y 4 2 1 25
4
25y2
– 24x – 200y 336 0
2
x 6 y 5 2 1 100
9x2
36
25y2
1 e , V1V2 4 , F1F2 2 , B1 B2 2 3 2
– 108x – 250y 49 0
y 2 x 5 9 2
7.
2 1
9x2 5y2 20y – 25 0 8.
¤ 3 1³ ¤ 3 1 ¤ 3 1 ³ ³ F1 ¥ , 7 ´ , F2 ¥ , 7 ´ , B1 ¥ , ´ , µ µ ¦ 2 3µ ¦ 2 3 ¦ 2 3
F1F2 2 7 , B1 B2 6
x 4 2 y 2 1
4x2
B1 2 3 , 0 , B2 2 3 , 0 , LR 3,
¤ 9 1³ 9 7 , V1V2 8 , B2 ¥ , ´ , LR , e 2 4 ¦ 2 3µ
16
2
15. C(– 2, 0), V1(– 2, 2), V2(– 2, – 2), F1(– 2, 1), F2(– 2, –1),
¤ 3 1³ ¤ 3 13 ³ ¤ 3 11³ 16. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´ , V2 ¥ , ´ , ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ
7
9x2
3 , V1V2 2 , F1F2 3 , B1 B2 1 2
x 2 y 1 2 1 16x2 7y2 64x 14y – 41 0
6.
– 54x – 150y 81 0
2
V1V2 10 , F1F2 2 21 , B1 B2 4 ¤ 3 ³ , 1´ , 14. C(0, –1), V1(1, –1), V2(–1, –1), F1 ¥ 2 ¦ µ
9
25y2
x 3 2 y 2 2 1 4
9x2
36
y2
– 54x 4y 49 0
2
9.
x 4 y 1 2 1 9
25x2
25
9y2
200x – 18y 184 0
2
10.
x 7 y 5 2 1 36
4
x2 9y2 14x – 90y 238 0
1540
SOLUCIÓN
11.
CAPÍTULO 10
x 6 2 y 2 2 1 25
A LOS EJERCICIOS
16
EJERCICIO 38
16x2 25y2 192x 100y 276 0 2
1. 5x2 – 4y2 – 20 0
2
¤ ¤ 8³ 11³ ¥¦ x 3 ´µ ¥¦ y 2 ´µ 1 12. 36 16
2.
16x2
–
9y2
– 144 0
3. 13y2 – 36x2 – 468 0 4.
156y2
–
100x2
5. 3x2 – 4y2 – 12 0 6. 7x2 – 9y2 – 70x 72y – 32 0 7. 9y2 – 16x2 – 96x – 36y – 252 0
– 975 0
144x2 324y2 – 768x 3 564y 5 641 0 13.
EJERCICIO 39
x 5 2 y 7 2 1 9
1. V(q 9, 0), F( o3 10 , 0), B(0, q 3), V1V2 18 ,
1
10 F1F2 6 10 , B1 B2 6 , LR 2, e . 3 1 Asíntotas: y o x 3 2. V(q1, 0), F( o 5 , 0), B(0, q 2), V1V2 2 ,
x2 9y2 – 10x – 126y 457 0 14.
x 4 2 y 2 1 16
7
7x2 16y2 56x 0 15.
x 1
2
25
y 2
F1F2 2 5 , B1 B2 4 , LR 8, e
2
Asíntotas: y q 2x
1
9
3. V(0, o2 2 ), F(0, o 13 ), B( o 5 , 0), V1V2 4 2 ,
9x2 25y2 18x – 100y – 116 0 16.
x 3
2
64
y 6
F1F2 2 13 , B1 B2 2 5 , LR
2
48
1
F1F2 2 5a , B1 B2 2a , LR a, e
11
Asíntotas: y q 2x
11x2 36y2 110x – 216y 203 0 18.
8 5 3 5 F1F2 6 , B1 B2 4 , LR ,e . 5 5 2 x Asíntotas: y o 5 6. V(q 3, 0), F(q 5, 0), B(0, q 4), V1V2 6 , F1F2 10 , 32 5 4 B1 B2 8 , LR , e . Asíntotas: y o x 3 3 3 7. V(0, q1), F(0, o 5 ), B(q 2, 0), V1V2 2 ,
12
3x2 y2 – 12x – 2y 1 0 EJERCICIO 35 1. Conjunto vacío
6. Conjunto vacío
2. Punto
7. Un punto
3. Elipse
8. Un punto
4. Elipse
9. Conjunto vacío
5. Elipse
F1F2 2 5 , B1 B2 4 , LR 8; e 5 . 1 Asíntotas: y o x 2 8. V(q 5, 0), F( o 105 , 0), B(0, o4 5 ), V1V2 10,
10. Elipse
EJERCICIO 36 1. 3x2 8y2 18x 8y – 21 0
6. x2 4y2 – 16 0
2. 9x2 4y2 – 36x – 16y 16 0
7. 3x2 y2 – 3 0
3.
4x2
y2
– 32x – 4y 64 0
4. x2 9y2 – 18y 0 5.
4x2
25y2
– 16x – 84 0
F1F2 2 105 , B1 B2 8 5 , LR 32; e
9. 9x2 4y2 18x 24y 9 0 10. 25x2 4y2 – 100x 8y 4 0
4. 11.8578 años
4 5 x 5 9. V(0, q 4), F(0, o2 13 ), B(q 6, 0), V1V2 8, 13 F1F2 4 13 , B1 B2 12 , LR 18; e . 2 2 Asíntotas: y o x 3 10. V(0, q 2), F(0, o2 2 ), B(q 2, 0), V1V2 4 ,
3y 6 0
2. 0.72298 UA
5. 3x –
3. 1.8739 años
6. 3x 5y – 44 0
105 . 5
Asíntotas: y o
8. 9x2 25y2 – 225 0
EJERCICIO 37 1. 30.0588 UA
5 . 2
5. V( o 5 , 0), F(q 3, 0), B(0, q 2), V1V2 2 5 ,
x 2 2 y 1 2 1 4
26 . 4
2 10 x 5 4. V(0, q 2a), F(0, o 5a), B(q a, 0), V1V2 4 a ,
x 5 2 y 3 2 1 36
5 2 ,e 2
Asíntotas: y o
3x2 4y2 – 18x – 48y – 21 0 17.
5.
F1F2 4 2 , B1 B2 4 , LR 4; e Asíntotas: y q x
1541
2.
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
11. V(0, o 5 ), F(0, o 11 ), B( o 6 , 0), V1V2 2 5 , F1F2 2 11 , B1 B2 2 6 , LR
5. C(–1, – 3), V(–1, – 3 q 3), F( 1, 3 o 13 ),
12 5 , 5
B(–1 q 2, – 3), V1V2 6 , F1F2 2 13 , B1 B2 4 , 8 13 3 . Asíntotas: y 3 o x 1 LR , e 3 3 2
55 30 . Asíntotas: y o x 5 6
e
6. C(– 2, 1), V(– 2 q 4, 1), F(– 2 q 5, 1), B(– 2, 1 q 3), 12. V( o 5 , 0), F( o 17 , 0), B(0, o2 3 ), V1V2 2 5 , 9 5 V1V2 8 , F1F2 10 , B1 B2 6 , LR , e . 2 4
24 5 F1F2 2 17 , B1 B2 4 3 , LR , 5
Asíntotas: y 1 o
85 2 15 . Asíntotas: y o x 5 5
e
1. 7y2 – 9x2 – 63 0
11. 5y2 – 6x2 – 30 0
2. 9x2 – 16y2 – 144 0
12. 3x2 – 4y2 – 12 0
3. 3x2 – 2y2 12 0
13. x2 – 2y2 – 12 0
4. x2 – 2y2 – 8 0
14. 5y2 – 6x2 – 30 0
5. 4x2 – y2 – 4 0
15. 9y2 – 16x2 – 256 0
7. 4x2 – 9y2 – 36 0 8.
25y2
–
16x2
– 400 0
9. x2 – 4y2 – 36 0 10.
x2
–
3y2
– 12 0
¤1 ³ B ¥ ,1 o 2´ V1V2 6 , F1F2 2 13 , B1 B2 4 , ¦2 µ 2¤ 1³ 8 13 . Asíntotas: y 1 o ¥ x ´ LR , e 3¦ 2µ 3 3 8. C(– 3, 0), V(– 3, 0 q 2), F( 3, 0 o 5 ), B(– 3 q 1, 0),
16x2 – 9y2 – 144 0
V1V2 4 , F1F2 2 5 , B1 B2 2 , LR 1, e
16. x2 – 9y2 – 9 0 18. 9x2 – 4y2 – 36 0 19. 4x2 – 9y2 – 36 0
¤ 1 1³ ¤1 1 ³ ¤1 1 ³ 9. C ¥ , ´ , V ¥ , o 2´ , F ¥ , o 2 2 ´ , ¦ 2 2µ ¦2 2 µ ¦2 2 µ ¤1 1³ B ¥ o 2, ´ , V1V2 4 , F1F2 4 2 , B1 B2 4 , 2µ ¦2
1. C(– 3, 4), V(– 3 q 5, 4), F( 3 o 34 , 4), B(– 3, 4 q 3), V1V2 10 , F1F2 2 34 , B1 B2 6 , LR 34 3 . Asíntotas: y 4 o x 3 5 5
LR 4, e 2 . Asíntotas: y
18 , 5
B(0, – 2 q 6), V1V2 6 , F1F2 6 5 , B1 B2 12 ,
V1V2 4 , F1F2 2 5 , B1 B2 2 , LR 1,
LR 24, e
5 . Asíntotas: y q 2(x 1) e 2
5 . Asíntotas: y 2 q 2x
11. C(3, – 2), V(3 q 1, – 2), F 3 o 2 , 2 ,
3. C(0, – 2), V(0 q 3, – 2), F(0 o 13 , – 2), B(0, – 2 q 2),
B(3, – 2 q 1), V1V2 2 , F1F2 2 2 , B1 B2 2 ,
8 V1V2 6 , F1F2 2 13 , B1 B2 4 , LR , 3
LR 2, e 2 . Asíntotas: y 2 q (x – 3)
13 2 . Asíntotas: y 2 o x 3 3
12. C(2, – 2), V(2, – 2 q 3), F 2, 2 o 10 ,
4. C(1, 2), V(1, 2 o 2 ), F(1, 2 o 10 ), B(1 o 2 2 , 2 ),
B(2 q 1, – 2), V1V2 6 , F1F2 2 10 , B1 B2 2 ,
V1V2 2 2 , F1F2 2 10 , B1 B2 4 2 , LR 8 2 , e 5 . Asíntotas: y 2 o
1 1 o ¤¥ x ³´ ¦ 2 2µ
10. C(0, – 2), V(0 q 3, – 2), F 0 o 3 5 , 2 ,
2. C(–1, 0), V(–1, 0 q 2), F(–1, 0 o 5 ), B(–1 q 1, 0),
e
5 . 2
Asíntotas: y q 2(x 3)
17. 5x2 – 6y2 – 30 0
EJERCICIO 41
e
³ ¤1 ³ ¤1 ³ ¤1 7. C ¥ ,1´ , V ¥ o 3,1´ , F ¥ o 13 ,1´ , µ ¦2 µ ¦2 µ ¦2
EJERCICIO 40
6. 5x2 – 2y2 – 40 0
3 x 2 4
2 10 . Asíntotas: y 2 q 3(x – 2) LR , e 3 3
1 x 1 2
1542
SOLUCIÓN
¤ 1 1³ ¤ 1 1³ ¤ 1 1³ 13. C ¥ , ´ , V ¥ o 3, ´ , F ¥ o 13 , ´ , 3µ ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ ¦ 2
18. C(– 7, –1), V( 7 o 2 , –1), F(– 7 q 2, –1), B(– 7, 1 o 2 ), V1V2 2 2 , F1F2 4 ,
¤1 1 ³ B ¥ , o 2´ , V1V2 6 , F1F2 2 13 , ¦2 3 µ
B1 B2 2 2 , LR 2 2 , e 2 . Asíntotas: y 1 q1(x 7)
8 13 B1 B2 4 , LR , e . 3 3 Asíntotas: y
19. C(– 7, –1), V(– 7 q 1, –1), F( 7 o 3 , –1),
1 2¤ 1³ o ¥x ´ 3 3¦ 2µ
B(– 7, 1 o 2 ), V1V2 2 , F1F2 2 3 ,
B1 B2 2 2 , LR 4, e 3 .
14. C(4, 3), V 4 o 2 2 ,3 , F 4 o 2 3 ,3 , B(4, 3 q 2), V1V2 4 2 , F1F2 4 3 , B1 B2 4 , LR 2 2 , e Asíntotas: y 3 o
A LOS EJERCICIOS
Asíntotas: y 1 o 2 x 7
20. C(–1, 5), V( 1 o 3 , 5), F( 1 o 7 , 5),
6 . 2
2 x 4 2
B(–1, 5 q 2), V1V2 2 3 , F1F2 2 7 , B1 B2 4 , LR
8 21 3 , e . 3 3
Asíntotas: y 5 o
15. C(–1, – 3), V(–1, 3 o 6 ), F(–1, 3 o 11),
2 3 x 1 3
EJERCICIO 42 B( 1 o 5 , – 3), V1V2 2 6 , F1F2 2 11 ,
1. 16x2 – 9y2 18y – 153 0 2. 11y2 – 25x2 22y – 200x – 664 0
B1 B2 2 5 , LR
5 66 6 , e . 3 6
Asíntotas: y 3 o
30 x 1 5
16. C(– 4, –1), V(– 4 q 2, –1), F( 4 o 7 , –1), B(– 4, 1 o 3 ), V1V2 4 , F1F2 2 7 , B1 B2 2 3 , LR 3, e Asíntotas: y 1 o
4. 5y2 – 4x2 – 30y 8x 21 0 5. 9x2 – 16y2 – 54x 64y – 127 0 6. 5x2 – 4y2 60x 24y 124 0 7. 3x2 – y2 – 12x 6y – 9 0 8. 9x2 – 7y2 18x 42y 9 0 9. x2 – 2y2 – 8x 12y – 10 0 10. 6x2 – 5y2 24x – 30y 9 0 11. 3x2 – 4y2 24x – 8y 32 0
7 . 2
3 x 4 2
3. 9x2 – 16y2 – 36x – 64y – 172 0
12. 9x2 – 16y2 – 18x 96y – 279 0 13. 4y2 – 5x2 – 8y – 10x – 21 0
14. 9x2 – 4y2 36x 8y – 4 0
17. C(2, 5), V( 2 o 2 3 , 5), F(2 o 3 2 , 5),
EJERCICIO 43 1. k 5
B(2, 5 o 6 ), V1V2 4 3 , F1F2 6 2 , B1 B2 2 6 , LR 2 3 , e Asíntotas: y 5 o
2 x 2 2
6 . 2
5. k 1
9. k 0
2. k – 2
6. k 1
10. k – 7
3. k 77 1 4. k 6
7. k 64
11. k – 32
8. k – 35
EJERCICIO 44 1. 5x – 4y 16 0 2. 5x
34 y 25 0
3. 5x – 4y 26 0
1543
4. 2x – 5y – 30 0 5. x 4y – 9 0
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
CAPÍTULO 11 EJERCICIO 45 1.
y’2
EJERCICIO 50 1. 5x2 + 9y2 + 48x – 54y – 63 = 0 2. 4x2 + 3y2 – 8x – 12y + 4 = 0
– 2 x=0
3. y2 + 14x – 6y – 12 = 0
2. 3x’2 + 4y’2 – 12 = 0
4. 16x2 – 9y2 + 200y – 400 = 0
3. x’2 – y’2 + 4 = 0
5. x2 – 16xy + y2 – 36x + 18y + 45 = 0
4. x’2 + y’ = 0
6. 3x2 + 4xy – 18x – 2y – 4 = 0
5. x’2 + 2y’2 + 4x’ + 4y’ – 3 = 0
7. 144x2 + 432xy + 324y2 + 984x – 1 332y – 1 127 = 0 8. 2xy + a2 = 0
EJERCICIO 46
9. 7y2 – 24xy – 6y + 144x – 225 = 0
1. x’2 – y’2 – 1 = 0 2.
y’2
10. x2 + 4y2 – 6 3 ax + 11a2 = 0
– 8x’ = 0
3. x’2 + 4y’2 – 4 x’ – 8y’ + 4 = 0
EJERCICIO 51 25 1. x = o 3
4. x’2 – 3 y’ = 0 5.
x’2
–
y’2
–2=0
6. 4x’2 + 9y’2 + 8 2 x’ – 28 = 0
2. y = o
7. 3x’2 + y’2 – 2 2 x’ – 10 2 y’ + 10 = 0 3. x = o
8. 6x’2 + y’2 – 6 5 x’ + 8 5 y’= 0 9. 2y’2 – 5 2 x’ + 15 2 y’= 0
4. x = o
10. 3x’2 – y’2 – 24 2 x + 104 = 0 EJERCICIO 47 1.
y”2
– 4x” = 0
5. y = o 6.
y”2
+ 6x” = 0
2. 4x”2 + y”2 – 4 = 0
7. x”2 – y”2 + 9 = 0
3. 4x”2 + 9y”2 – 36 = 0
8. x”2 – 12y” = 0
4. 4x”2 – 9y”2 – 36 = 0
9. 4x”2 + y”2 – 4 = 0
5. x”2 + 8y” = 0
1. Parábola
6. Parábola
2. Elipse
7. Elipse
3. Hipérbola
8. Elipse
4. Parábola
9. Parábola 10. Hipérbola
EJERCICIO 49 1. x – y + 3 = 0;
5 4 29 16 5
7. P(– 1, – 1)
3. x – y + 1 = 0
8. 3x + 4y – 2 = 0
4. x + y + 3 = 0;
9. x + 3y – 2 = 0; x – 2y + 2 = 0 10. 2x + 3y – 5 = 0
34
8. x = – 3 o 9. x = o 10. y = 1 o
9 5 25 41
2 2 16 7
EJERCICIO 52 1. 3x + 4y – 25 = 0
6. x – 4y + 17 = 0
2. 9x + 4y – 31 = 0
7. 3x – 5y + 18 = 0
3. 5x – 4y – 21 = 0
8. y – 2 = 0
4. 6x – 5y + 31 = 0
9. x – y – 7 = 0 10. 16x + 25y + 41 = 0
EJERCICIO 53 1. 3x – 2y + 13 = 0; 3x – 2y – 13 = 0 2. 2x – 3y + 3 5 = 0; 2x – 3y – 3 5 = 0 3. x – 6y + 14 = 0 4. x + 2y + 1 = 0
EJERCICIO 54 1. x – y + 2 = 0; x + 2y + 8 = 0
2. 3x + y + 1 = 0
4x – y + 7 = 0
9
25
7. y = 2 o
5. x + 4y – 3 = 0, x + 4y + 9 = 0 6. x + 5y – 2 = 0
x + 2y = 0
5. 3x – 2y = 0;
7
5. 12x – 5y – 38 = 0
EJERCICIO 48
5. Elipse
16
6. y = o
2. y = 0, 2x + y + 8 = 0 3.
3x 3 y 6 0 ;
3x 3 y 6 0
4. 3x – 5y + 18 = 0; 5x + 3y – 38 = 0 5. 2x – y + 1 = 0; x + y – 4 = 0
x+y=0
1544
SOLUCIÓN
EJERCICIO 56
CAPÍTULO 12 EJERCICIO 55
1. A 3 2 , 3 2
2. R 2, 2 3
3. P 4, 4
9. N 5 2 , 5 2
¤3 3 ³ 3 11. T ¥ , ¦ 2 2 ´µ
5. B 5, 5 3 6. C 0, 4
¤ 15 15 ³ 10. S ¥ 3, ´ 2µ ¦ 2
4. A 4 3 , 4
¤ 7 7 ³ 8. M ¥ 2, 2 2 ´µ ¦ 2
12. A 1, 3
¤ 3 1³ 13. S ¥ , ´ ¦ 4 4µ
¤ 3 3³ 14. C ¥ , ´ ¦2 2 µ
¤5 5 ³ 3 7. Q ¥ , ¦ 2 2 ´µ
1. d AB 5 u
5. d IJ 89 40 3 u
2. dCD 3 5 u
6. A 36u
3. d EF 17 u
7. A 6u 2
4. dGH 2 7 u
8. A 32u 2
EJERCICIO 57 1. r sen S + 3 = 0
18. C (5, 323°7’48”) = (– 5, 143°7’48”) 19. B(15, 306°52’11”) = (– 15, 126°52’11”) 20. C(4, 0°) = (– 4, 180°) 21. W(6, 270°) = (– 6, 90°)
8. r + 4 cos S = 0
3. S = 60°
9. r – 2 sen S = 0
4. r =
6 2cos Q 3sen Q
10. r2 – 4 r cos S – 6 r sen S – 12 = 0
5. r =
2 sen Q cos Q
11. r =
6. r =
p cos Q w
12. r2 sen2 S – 12 r cos S – 36 = 0
24. D(– 1, 135°) = (1, 315°) 25. F(25, 16°15’36’’) = (– 25, 196°15’36’’) 26. Z(1, 150°) = (– 1, 330°)
8cos Q sen 2 Q
8cot Q csc Q
14. r2 cos2 S – 2r cos S – 4r sen S – 3 = 0 o6 15. r = 5cos 2Q 4
o20
16. r =
16 9sen 2Q
17. 9r2 cos2 S + 25r2 sen2 S – 72r sen S – 81 = 0 18. r
36sen Q 2 4 5sen Q
o3
19. r
cos 2Q o12
20. r
2 25cos Q 9
22. M(5, 306°52’11’’) = (– 5, 126°52’11’’) 23. Q(13, 157°22’48’’) = (– 13, 337°22’48’’)
7. r = ± 4
2. r cos S – 5 = 0
16. A(13, 67°22’48”) = (– 13, 247°22’48”) 17. P 2 13, 213n41’24” = 2 13, 33n41’24”
2
13. r = sen2 S
¤ 3 ³ 3 15. B ¥ 2 3, 2 3´ 8 ¦ 8 µ
A LOS EJERCICIOS
21. 9r2 cos2 S – 4r2 sen2 S + 8r sen S – 40 = 0 22. r = cos S ± 1 23. r = o
8 sen 2Q
24. r = o cos 2Q
27. Q( 34 , 329°2’10’’) = (– 34 , 149°2’10’’) 1 sen 2Q 2
28. L(3, 180°) = (– 3, 0°)
25. r =
¤ 17 ³ ¤ ³ 17 , 284n2’10 ”´ = ¥ 29. J ¥ , 104n2’10 ”´ 2 2 ¦ µ ¦ µ
26. r cos2 S (r sen S – 2) = 16sen S 27. r = 12 ctg S csc S
30. K (5, 90°) = (– 5, 270°) 28. r 29. r
1545
12 3sen Q 4cos Q o4 cos 2 Q 4 sen 2 Q
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
30. r2 cos2 S + 4r sen S – 8 = 0
21. 3x2 + 4y2 – 8x – 16 = 0
31. r = –3sen S ± 2
22.
x
2
y2
23.
5x2
4y2
o6
32. r
34.
(3 +
16 x 2 y 2
– 36x + 36 = 0
25. 4x3 – y2 = 0
33. r2 – 2r cos S = 8 sen2
2
24. x2 + 4y – 4 = 0
2
4 5sen Q
r2
–
26. x2 + y2 – 5x + 3y – 8 = 0
S) – 6r cos S – 9 = 0
27. x2 + 3x – 2y + 4 = 0 28. y2 – 12x = 0
35. r2 (4 – 9 cos2 S) – 8r sen S – 6 = 0 36. r2 cos2 S – 5r sen S + 15 = 0 37. r
39. r
40.
3 y+8=0
30. x +
31. x – 3 y = 0
2 4ctg Q 3sen Q
32.
o2 2
38. r
29. x2 – y2 = 1
x
2
y
2
2
3
x 3 xy
2
33. (x2 + y2)2 = 2x3 – 6xy2
2cos 2Q 3sen 2Q
34.
1 o 1 tan Q cos Q
x
2
y2
2 x
y
2 2 36. 2 x y
EJERCICIO 58
x 2 y 2 5 ¶ 40 x 2 y 2 ·¸
x 2 y2 –y=0 3
35. x tan
1 r2 sen2 S – r sen S – 3r cos S + 2 = 0 2
2
§¨©
2
3 2
3 2 2
1. y – 5 = 0
37.
2. x + 8 = 0
EJERCICIO 59
4 x
2
1 2
9x 0 y x y
9 x 2 y2
2
2
2
x 0
3. x2 + 2y2 – 4x = 0
1. Parábola horizontal
11. Hipérbola vertical
4. x2 + y2 – 4y = 0
2. Parábola horizontal
12. Parábola vertical
3. Parábola vertical
13. Hipérbola horizontal
4. Parábola vertical
14. Elipse horizontal
5. Elipse vertical
15. Parábola horizontal
6. Hipérbola vertical
16. Elipse horizontal
7. Elipse horizontal
17. Elipse horizontal
8. Elipse horizontal
18. Elipse vertical
9. Hipérbola horizontal
19. Parábola vertical
5.
9x2
6.
x
2
+
5y2
y
2
+ 20y – 25 = 0
3 2
2 xy 0
7. x2 + 2y2 – 256 = 0 8. y2 – 10x – 25 = 0 9. 4(x2 + y2) = (x2 + y2 + x)2 10. x4 + y4 – 15x2 – 16y2 + 2x2y2 – 2x3 – 2xy2 = 0 11. 16(x2 + y2) = (x2 + y2 + 4x)2 12. 2xy – 9 = 0
14.
1. r = 3 sen S
+ 8x – 16 = 0
15.
x
16.
2
3 2 y 2
x 2 y2
3 2
20. Elipse vertical
EJERCICIO 60
13. x2 – 6y – 9 = 0 y2
10. Hipérbola horizontal
4 x 2 – y2
90°
4 2
=y −6
17. 9x2 + 8y2 + 12y – 36 = 0
−4
−2
0
18. 3x2 + 4y2 – 4x – 4 = 0
–2
19. 3x2 – y2 + 12x + 9 = 0
–4
20. 3x2 + 4y2 + 2x – 1 = 0
1546
2
4
Eje polar 6
SOLUCIÓN
2. r =
6. r = sen 3S
3 1 sen Q
90° 1 90° 10
0.5
5 −1.5 −15
−10
−5
5
0
−1
−0.5
Eje polar 15
10
0
0.5
1
Eje polar 1.5
2
4
Eje polar 6
−0.5
−5
−1
−10
7. r = 4cos 3S 3. Elipse
4 90° 90° 2
6
4
−6
−4
−2
0
2
−6
−4
−2
−2
0
4
2
Eje polar 6
−4
8. r = 2 – 3cos S
−2
90° 4
4 4. 2 3cos Q
2 90°
−6
10
−2
−4
0
5
−15
−10
−5
4
2
Eje polar 6
−2
0
5
10
Eje polar 15
−5
−4
9. r = 3cos 3S
−10
90° 4
5. r =
2 sen Q cos Q
1
−3
−2
−1
0
1
2
Eje polar 3
90°
−10
10
−1
5
−2 Eje polar
−5
0
5
10
10. r2 = 16cos 2S
−5
90° 4
−10 2
−6
−4
−2
0
−2 −4
1547
2
4
Eje polar 6
A LOS EJERCICIOS
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
16. r2 = 25sen 2S
11. r = 2S
90°
90°
4
10
2
5
−10
−15
−5
0
5
Eje polar
Eje polar 15
10
−4
−6
−2
0
2
4
6
−2
−5 −4
−10
17. r = 4 – 2sec S
12. r = 3sen 2S
90° 4
90° 2
2 1
−3
−2
−1
0
Eje polar 3
2
1
−4
−6
−2
0
2
4
Eje polar 6
2
4
Eje polar 6
5
10
−2
−1
−4
−2
18. r = 3 + csc S
13. r = 3(1 + cos S)
90° 4
90° 4
2 2
−6
−4
−2
0
4
2
−4
−6
Eje polar 6
−2
0 −2
−2
−4
−4
19. r =
14. r = 2sen 4S
2P Q 90°
90°
−3
2
10
1
5
−2
2
0
Eje polar 3
−15
−10
Eje polar
0
−5
15
−5 −2
−10
15. r2 = – 4cos 2S
20. r = S (1 – cos S) 90°
90
2 4 1
−3
−2
−1
2 0
1
2
Eje polar 3
−6
−4
−2
0
−1 −2 −2
−4
1548
2
4
Eje polar 6
SOLUCIÓN
EJERCICIO 61
3. ( 2, 30°), (2, 150°)
1. r cos S – 5 = 0
4
2. r sen S + 7 = 0
3
3. r sen S – 5 = 0 2
4. r cos S + 1 = 0 5. r cos(S – 60º) = 5
3
6. r cos(S – 75º) = 4
2
1
−1
−2
−3
7. r cos(S – 150º) = 2
0
8. r cos(S – 135º) = 5
Eje polar 3
2
1
−1
EJERCICIO 62
4. (2, 30°), (2, 150°)
1. r2 – 6r cos(S – 30º) – 72 = 0 2. r2 – 10r cos(S – 120º) + 24 = 0
90° 3
3. r2 – 20r cos(S – 45º) + 84 = 0 2
4. r – 14sen S = 0
1
5. r – 6 = 0 EJERCICIO 63
−3
−2
−1
1. (1, 30°), 3 , 60n ,
3 ,30 0n , (– 1, 330°)
0
1
2
3
Eje polar
−1 −2
90° 4
5. (– 2 , 45°), ( 2 , 225°)
2 0.5 −6
−4
−2
0
2
4
Eje polar 6
−1.5
−0.5
−1
0.5
0
−2
1
Eje polar 1.5
−0.5 −1
−4
−1.5
2. (8, 210°), (8, 330°)
−2
90°
6. (1, 30°), (1, 330°), (1, 150°), (1, 210°)
10
90° 2
5
−15
−10
−5
0
5
10
Eje polar 15
1 Eje polar −3
–5
−2
−1
0 −1
–10
−2
1549
1
2
3
A LOS EJERCICIOS
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
¤5 ³ ¤5 ³ 11. ¥ , 60n´ , ¥ , 300n´ ¦2 µ ¦2 µ
¤ 2 ³ ¤ 2 ³ ,60n´ , ¥ 7. ¥ , 300n´ ¦ 3 µ ¦ µ 3
90° 4
90° 4
2 2 Eje polar −4
−6 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
2
0
4
6
Eje polar −2
−2 −4 −4
12. (1, 0°), (1, 180°), (1.8, 300°), (0.13, 60°)
8. (6, 0°)
90° 2
90° 4
1
2
−6
0
2
4
−1
−2
−3
Eje polar −2
−4
1
0
Eje polar 3
2
6 −1
−2 −2 −4
¤3 ³ ¤3 ³ 13. ¥ 2 2 , 45n´ , ¥ 2 2 , 225n´ ¦2 µ ¦2 µ
9. (4, 30°), (4, 150°)
90° 90°
4
6
2
4 Eje polar −2
−4
−6
0
2
6
4
2
–2
−6
−4
−2
0
–4
2
4
Eje polar 6
−2 −4
³ ¤3 ³ ¤3 10. ¥ , 30n´ , ¥ ,150n´ µ ¦2 µ ¦2
14. (3, 15°), (3, 75°), (3, 105°), (3, 165°), (3, 195°), (3, 255°), (3, 285°), (3, 345°) 90°
90°
4
2
2
1
Eje polar −3
−2
−1
0
1
2
3
−6
−4
−2
0
Eje polar –2
−1
–4 −2
1550
2 r=3 4
6
SOLUCIÓN
15. (2, 0°), (2, 180°), (3.7, 60°), (0.26, 300°)
A LOS EJERCICIOS
19. (4, 0°), (4, 180°), ( 4 2 3 , 60°), ( 4 2 3 , 300°)
90°
90° 10
4
2 5 −2
−4
−6
Eje polar 6
0 4
2
−15
−5
− 10
Eje polar 15
10
5
0
−2 −5 −4 −10
16. (2, 60°)
20. (1, 90°), (2.5, 210°), (2.5, 330°) 90° 2
90° 2 1
1
−3
−2
−1
−3
Eje polar 3
2
1
0
−2
−1
0
1
2
Eje polar 3
−1
−1
−2
−2
−3 −4
17. (3, 30°), (3, 150°), (3, 210°), (3, 330°) 90° 4
CAPÍTULO 13
2
−6
−4
−2
EJERCICIO 64 4
2
0
Eje polar 6
1. x – 4y = 0 2.
−2
x b y d a c
3. 2bx – ay – 2ab = 0
−4
4. 3x + 4y – 2 = 0 5. 2x – y – 2 = 0 18. (4, 90°), (4, 270°)
6. y2 – x + 4y + 3 = 0 7. x2 – 4x – y + 8 = 0
90°
8. 2x – y – 1 = 0
4
9. 2x3 – y + 20 = 0
2
10. y2 – x – 1 = 0 −8
−6
−4
2
2
0 −2
Eje polar 4
13. x3 – 2y – 2 = 0 14. 3x2 – 21xy + 18y2 – 25 = 0 15. 4x2 + y2 + x = 0 16. y2 – x2 – 4y = 0 17. x2 + y2 = 16 18. x2y + x2 – y – 4 = 0 19. xy = 1, xy = –1 20.
2
3 y 2 2 x 1
21. y
2
1 1 3x
22. y x 1
12. xy2 – 2xy + x – y = 0
23. xy = 1
−4
1551
2
3
11. y2 – 16x – 2y – 31 = 0
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
12. x2 + y2 – 6x – 6y + 17 = 0
EJERCICIO 65 2
1.
2
13. 4x2 + 9y2 – 16x + 18y – 11 = 0
x y 1 16 49
14. 4x2 + y2 – 32x – 6y + 69 = 0
x 2 y2 1 2. 4 16
15. x = (y – 1)(xy – x + 2 ) 16. (x – 1)2 – y2 = 4
3. x2 + y2 = 4 4.
y2 b
2
x2 a
2
17. 5x2 + 4xy + 8y2 – 36 = 0
1
18. x2 – 8xy + 17y2 – 2 = 0
5. xy 128
19. x – y + 5 = 0
6. x2 – y2 + 1 = 0
20. 9x2 – 4y2 + 16y – 52 = 0
7. 4x – y + 4 = 0
21. y2 – 2xy = 8
8. 2y2 + x – 1 = 0 9. x4 – 4x2 + y2 = 0 10. y = 3x – 4x3 11.
x 1 2 y 2 2 1 4
9
1552