Cil mate simp solucionario geometria

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Solución a los ejercicios de geometría y trigonometría


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

CAPÍTULO 2 19. a) COB = 30º, BOA = 60º

EJERCICIO 1

b) AOB = 45º, BOC = 30º, COD = 15º

1. 40.1708º

5. 9.1525º

9. 18º 15’ 18”

2. 61.7058º

6. 98.3791º

10. 29º 24’ 39”

3. 1.03416º

7. 40º 19’ 12”

11. 19º 59’ 24”

e) AOB = 30º, BOC = 90º, COD = 60º

4. 73.6777º

8. 61º 14’ 24”

12. 44º 00’ 36”

f) AOB = COD = 45º, BOC = 55º, DOE = 35º

c) AOB = 50º, DOB = 130º d) AOB = 65º, BOC = 45º, COD = 70º

g) AOB (convexo) = 134º, AOB (cóncavo) = 226º

EJERCICIO 2

h) AOB (convexo) = 50º, AOB (cóncavo) = 310º 1.

7 P rad = 3.665 rads 6

8.

11 P rad = 5.759 rads 6

2.

5 P rad = 5.236 rads 3

9.

2 P rad = 2.094 rads 3

3.

5 P rad = 3.927 rads 4

10.

3 P rad = 2.356 rads 4

4.

5 P rad = 7.854 rads 2

11.

4523 P rad = 0.789 rad 18000

5.

2 P rad = 1.256 rads 5

12.

1283 P rad = 2.239 rads 1800

6.

5 P rad = 1.745 rads 9

13.

2711 P rad = 2.628 rads 3240

EJERCICIO 6 48 R rad

1. 135º

5. 22º 30’

9.

2. 115º.

6. 115°

10. 3:40 h

3. S = 25º, C = 30º

7. 292° 30’

4. O63º 18’S, S26º 42’O

8. 12:30 h

CAPÍTULO 3 EJERCICIO 7 1. x = 60º, a = 60º, b = 120º 2. x = 46.5º, a = b = e = 46.5º, c = d = f = 133.5º 3. x = 40º, a = b = e = 80º, c = d = f = 100º 4. a = c = 137º, b = 43º

1 P rad = 0.523 rad 7. 6

33601 14. P rad = 7.330 rads 14400

5. a = c = d = g = 47º, b = e = f = 133º 6. x = 25º

EJERCICIO 3

7. x = 26º, a = 128º, b = 52º

1. 120º

5. 1260º

9. 90º

13. 360º

2. 330º

6. 20º

10. 270º

3. 135º

7. 468º

11. 9º 38’ 34”

10. x = 40º, y = 110º

4. 240º

8. 15º

12. 64º 10’ 37”

11. x = 80º, y = 60º

8. 10 = 4 = 7 = 70º, 1 = 13 = 16 = 110º

14. 28º 38’ 52”

9. x = 115º, y = 65º

12. R = 120º

EJERCICIO 4 1. 55º 46’ 50”

6. 75º 44’ 22”

11. 4º 33’ 11”

2. 40º 13’ 15”

7. 246º 34’ 15”

12. 15º 41’ 18”

3. 49º 19’ 33”

8. 875º 11’40”

13. 3º 21’ 41”

4. 59º 19’ 45”

9. 383º 51’ 21”

14. 13º 15’ 18”

5. 108º 7’ 48”

13. a = c = e = f = 126º, b = d = 54º 14. n = z = 50º, m = s = y = r = 130º 15. x = q = p = k = 35º, y = r = s = 145º 16. q = z = y = 60º, r = w = p = 120º 17. a), b), d) y f)

10. 227º 3’ 18”

EJERCICIO 5 1. Suplementarios

6. Complementarios

2. Complementarios

7. Suplementarios

3. Conjugados

8. Complementarios

4. Conjugados

9. Conjugados

5. Conjugados

10. Suplementarios

11. 10º

13. 80º

15. 18º

17. 36º

12. 57º

14. 30º

16. 20º

18. 120º

CAPÍTULO 4 EJERCICIO 8 1. 105°, 110°

5. 118º, 38º y 24º; 68º, 70º y 42º

2. 10°, 80°

6. S = 54º y D = 72º

3. 80°, 80°, 20°

7. A = 35º, B = 95º, C = 50º

4. 55°, 41°

8. ABC = 69º, BCA = 73º, BAC = 38º, ACD = 107º, CDA = 35º, CAD = 38º

1498


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 9

EJERCICIO 17

1. Teorema II (LAL) x = 85° y = 12 2. Teorema III (ALA) x = 13 y = 19.8 3. Teorema I (LLL) x = 32° y = 62° EJERCICIO 10

1. 100 73 m

6.

2. 2 5 m

7. 5 cm

3. 40 cm

8. 8 3 cm

4. 5 3 cm

1 a 8. No se incluye la solución por ser demostraciones.

1. a = 36º, b = 8º 4. x = 25, y = 14 2. x = 15, y = 45 5. a = 12º, b = 25º

12. 2

3. x = 15º, y = 20º

CAPÍTULO 5 4. x = 7, x = 0 5. x = ± 4 2 6. x = 2

7. x = ± 6y 8. x = ± 5 9. x = ± 4

10. x = 3

EJERCICIO 18 1. A = C = 140°, B = 40° 2. DCA = 40°, CAD = 60°, DAB = DCB = 100°, D = B = 80° 3. ADC = B = 110°, A = C = 70°

EJERCICIO 13

4. x = 30°, z = 120°, y = 60° 5. x = 127°, y = 53° 6. x = 120°, y = 55°, z = 125°

1. a’= 3, c’= 5 2. a = 30, b’ = 16 3. Lados 12 y 22; x = 11, y = 36 4. Lados 8 y 4; x = 7, y = 5

7. x = 60°, y = 120°, z = 60° 8. x = 15°, y = 70°, z = 110°

5. Lados 8 y 6; u = 3, t = 10 6. Lados 10 y 9; x = 5, y = 3

EJERCICIO 19 1 a 6. No se incluye la solución por ser demostraciones.

EJERCICIO 14 1. x = 10

12 4. x = 5

9 2 3. x = 6

25 3 6. x = 16

7. x = 4

10. x = 30

27 22 9. x = 10

5. x =

2. x =

8. x =

EJERCICIO 20 1. x = 4 cm

4. NPO = 24º

2. 4 y 8 u

5. x = 20º, y = 68º

8. AB = a, IJ = b

3. 41 u

6. AB = 11 cm

9. AE = 5

EJERCICIO 15 1. 68 m

3. 160 m

2. 481.6 m

4. 15 m

EJERCICIO 21

b) 120 m

1. c = 25

8. b = 5 2

15. Acutángulo

2. c =

9. c = 3 5 m

16. Rectángulo

3. c = 4 5

10. b = 5 m

17. Rectángulo

4. c = 7 2

11. c =

18. Obtusángulo

5. b = 16

12. a = 5 7 dm

19. Rectángulo

6. a = 2 7

13. Obtusángulo

20. Acutángulo

7. c = 8

14. Rectángulo

21. Rectángulo

421 cm

22. a) 2 15 , b) 5 13 , c) 2 10 , d) 6 21 e) f)

91 218 169 30 , g) 218 60

7. MN = 20 u

CAPÍTULO 6

5. a) 28 m

EJERCICIO 16

41

10. 5 2 cm

2 2 2 2 m2 n2 4m n 4n m , 2 y 2 15 15 5

EJERCICIO 12 1. x = 3 2. x = 7.2 3. x = ± 9

9. 9 2 km

5. 4 2 m 2 2 m m, 11. 3 3

EJERCICIO 11

91 m

40 , 3

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

1499

d=8 Icoságono d=7 Dodecágono Nonágono a) 170, b) 54, c) 27, d) 9, e) 90, f)14, g) 104, h) 135, i) 44 Heptágono Hexadecágono Heptadecágono Nonadecágono Heptágono Undecágono Pentágono Tridecágono Dodecágono Octágono Icoságono


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 22

2.

1. a) 120°, b) 135°, c) 150°, d) 162°, e) 160°, f) 171° 25’42” 2. a) 540°, b) 1 440°, c) 2 340°, d) 1 080°, e) 1 980°, f) 6 300° 3. Nonágono (nueve lados) 4. Heptágono (siete lados) 5. Hexadecágono (16 lados) 6. Undecágono (11 lados) 7. Hexágono (seis lados) 8. Hexadecágono (16 lados) 9. Nonágono (nueve lados)

3.

10. Dodecágono (12 lados) 11. Octágono (ocho lados) 12. Triángulo 13. Hexágono (seis lados) 14. Pentadecágono (15 lados) 15. Nonágono (nueve lados) 16. Pentágono (cinco lados)

4.

17. 54°, 129.6°, 129.6°, 108° y 118.8° 18. 110°, 100°, 115°, 135° y 80° 19. 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 210° y 240° 20. A = 70°, B = 65°, C = 10°, D = 110° y E = 105° 21. A = 54°, B = 64°, C = 116°, D = 64°, E = 17° y F = 45°

CAPÍTULO 7 EJERCICIO 23 1.

5.

1500


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

6.

7. 8.

1501


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 24

6.

T

S

Di

re

ctr

Direct riz

Q

1.

Q

iz

S 2.

T

A 7.

B

A B

triz

ec Dir 3.

C

R

C Directriz

A A R

Directriz B

4.

8.

B

A

B

rec

triz

C

A

Directriz

Di

A D

5.

R B R

S C

rec

tri

z

A

D

Di

S

1502


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

9.

12..

D

B

E C

B

A

C

C

F

A

B

Directriz

D F

D

E

F

A

Directr

iz

G

E

10

R D E

Q

P

O

R

S

C F

B

P

Q

T

S

O

A

Dire

ctriz

G

T EJERCICIO 25 11.

P

1.

C B

P

O

A D

F

2.

R 210˚

E

0

C B

R

A

3.

0

D

–90° W

rec

E

Di

F

tri

z

W

1503


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

7.

4.

S –300˚0

R

R

–110˚

A

O 8.

A 5.

S

T

W

B A –150

O

A

T B

100° O

W

6.

9.

B

B P

225º O

C

A

Q

Q

A

45°

45°

C

O P 10.

C

B C

D

A

B D A

1504

O


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

C

11.

D B D E

E A

O –270˚ C A B

12.

A F

.

B

C E

D

240˚ O

B

C

D

A

F

E

1505


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

6. P

EJERCICIO 26

A

1.

A

Q

A

Q

P 2.

Q B

Q P

B

A

7.

A

Q 3.

B

A

P

P

A

B

Q

C

B 4.

C

P

A

B

8.

P

B Q

P

A B A B

5. R

X

C

R

Q S

S

C

A

Y

1506


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

9.

C X

B D

A E

B A C

Y E

D B 10

C

D

A Q E

F

E P D F C

A B

1507


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 27

6.

1.

W O W

A D B C

2. P

O C

O B

P

D A 7.

3.

A

O

A

B

C

A

O 4.

B

A

C

B

8.

A O A B B 5.

P

D

C

Q

O

A

A D

O

Q

C B

P

1508


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

9.

B

C

A D

O

E

E

D A

C

10.

B

B

C D

A

E

F O

F

E

A

D C

1509

B


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 32

CAPÍTULO 8

1. a) TS = 24 cm, b) BC = 13 cm, c) P = 44 cm, A = 14 11 cm2

EJERCICIO 28

)

ABC = 30°, AOC = 60°, BOC = 104°, AD = 116° a = 75°, b = 50°, c = 55°, d = 55°, e = 50°, f = 75° ABC = 27.5° = 27°30’ ABC = 85°, DBA = 95° A = 105°, B = 95°, C = 75°, D = 85° a) A = 30°, b) A = 40° a = 60°, b = 15°, c = 25°, d = 30°, e = 50° a) A = 15°, b) A = 40°, c) A = 30°, d) a = 35° e) c = 120°, f )c – a = 140°, g) a = 70°, h) a = 40° 9. u = 120°, x = 60°, y = 30°, w = 60°, z = 90° 10. a = 90°, b = 90°, c = 90°, d = 90°, e = 25°, f = 25°, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

g = 65°, h = 65°, i = 40°

1. a) 10.8, b) 7.8, c) 9.4

2. a) 10.09, b) 16.2, c) 17.29

8. 2u

2. Tangentes exteriores

9. 2 3 u

7.

8. As = 100P dm2

11.

10. 5 cm

5. Tangentes interiores 6. Tangentes exteriores

13.

15.

b) A= 256 3 dm2 17. As = 36R cm2 1 18. As = R cm2 8

EJERCICIO 31

19. As = 2 cm2,

15. A = 400 cm2 16. $ 2.6/m2 17. $ 725.5 18. Altura = 36 m, base = 27 m

P = 2(1 + R)cm 5 R cm2 2 P = (6 + 4R)cm

20. As =

19. Altura = 10 m 6. P = 65.4 m, A = 37.375 m2 20. 80 círculos, 1280R cm2

8. P = 10 m, A = 6 m2 9. A = 150 m2 10. A = (x2 – 3x +2)m2 11. A = 63 dm2 12. A = 17.5 dm2 13. A = 900R

cm2

14. A = 81R cm2

As = 256 4 P cm2

16. a) A = 3 3 dm2

5 R 2

CAPÍTULO 9

7. P = 36 cm, A = 81 cm2

14. As = 128 P 2 mm2

7. 3r

P = 24.9 m, A = 29.4 m2 P = 38.6 m, A = 82.5 m2 P = 52.5 m, A = 118.12 m2 P = 40.0 m, A = 110 m2

As = 4 10 P dm2 As = 196 4 P cm2 As = 1 152 P 2 mm2

9. As = 64 4 P mm2

13. As = 32 6 P mm2

7 1 11. C1C3 = R , C1C2 = R 18 6 12. r

2. 3. 4. 5.

As = 25 4 P cm2

6. A = 25 2 3 π dm2

P = 96R mm

1. Exteriores

1. P = 8.4 m, A = 4.25 m2

4. A = 3P r 2

12.

EJERCICIO 30

4. Secantes

3. A = 2r 2 4 P

10.

EJERCICIO 29

3. Interiores

2. A = 84 cm2

CAPÍTULO 10

21. a) 12 14 u2, b) 2 255 u2, 15 15 u2 c) 4 22. x = 9, A = 98 m2 23. a) 2R cm2, b)

1 R cm2, 6

9 32 R cm2, d) R cm2 4 3 24. a) (R – 2)cm2 c)

3 3 3 )cm2 b) (R – 2 2 c) 16(R – 2)cm2

EJERCICIO 33 1. AT = 4 3 cm2, VT =

2 2 cm3 3

2. AT = 3 3 cm2 , VT =

6 cm3 4

3. AT = 72 cm2, VT = 24 3 cm3 4. AT = 150 cm2, VT = 125 cm3 5. AT = 72 3 cm2, VT = 72 2 cm3

1510


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

180 25 3 cm2 2 81 3 15. VT = cm 2

6. AT = 6 3 cm2, VT = 6 cm3

14. AT =

7. AT = ¤¥ 60 25 10 5 ³´ cm2, VT = (350 + 150 5 )cm3 µ ¦ 8. AT = ¤¥ 12 25 10 5 ³´ cm2, VT = (30 + 14 5 )cm3 µ ¦

16. AL = 16 1 2 cm2

¤ 15 3 5 15 ³ 3 9. AT = 15 3 cm2, VT = ¥ ´ cm 4 ¦ µ

17. VT =

¤ 1875 2 625 10 ³ 3 10. AT = 250 3 dm2, VT = ¥ ´ dm 6 ¦ µ 11. AT = 9 3 cm2

19. VT =

27 6 cm3 4

12. VT = 13. h =

18. VT =

20. VT =

2 m, AT = 6 4

m2

2. AL =

VT =

3 5

4

3 3 cm2, AT = 4

2 cm3 12

3 cm2, VT =

75 At

6. AL = 32R cm2, AT = 64R cm2, VT = 64R cm3

VT = 147R

2

2. AL = 72 cm2, AT (72 8 3 )cm , VT 24 3cm

9. AL =

5. AL = 16 2 8 cm2, AT = 24 2 8 cm2, VT = 16 cm3

VT =

6. AL = 16 cm2, AT = 24 cm2, VT = 8 cm3

8. AL = 400 cm2, AT = 400 2 2 cm2, VT = 1000 1 2 cm3

5 15 3 5 3 3 R cm2 R cm2, AT = 4 4

9. AL = 1200 cm2, AT = 300 4 5 cm2, VT = 3000 3 cm3

11. VT = 12 cm3 12. VT = 8 cm3 13. VT = 12 46 cm3 14. VT =

560 cm3 3

15. AB = 24 3 cm2 16. VT = 24R cm3

1511

25 3 R cm3 6

10. AL= 3R cm2, AT = 4R cm2, VT =

7. AL = 64 3 cm2, AT = 64 3 24 cm2, VT = 96 cm3

32 R cm3 VT = 3

195 75 3 975 3 cm3 cm2, VT = 2 8

cm3

8. AL = 4 17 R cm2, AT = 4 4 17 R cm2,

3

3. AL = 16 cm2, AT = 18 cm2, VT = 4 cm3

10. AL = 16 3 cm2

7. AL = 7 150 R cm2, AT = 7 150 49 R cm2,

1. AL = 50 cm2, AT = 62 cm2, VT = 30 cm3

4. AL = 97.5 cm2, AT =

35 3 cm3 3

5. AL = 30R cm2, AT = 48R cm2, VT = 45R cm3

3

EJERCICIO 34

21 3 13. VT = cm 4

4. AL = 38.4 cm2, AT = 64 cm2, VT = 81.92 cm3

180

12. AL = 48 cm2

2

15 2 5 10 cm3 6

11. VT = 27u3

27 2 cm3 4

3. AL = 12 7 cm2, AT = 12 7 7 3 cm2,

4 3 cm 3

8

3

18. VT = 36 cm3 19. VT =

AL 3

1. AL= 3 55 cm2, AT = 9 3 55 cm2, VT = 12 cm3

16. h = 6 2 cm, AT = 72 3 cm2 17. VT =

36

EJERCICIO 35

14. VT = 2 2 cm3 15. L =

3

20. AL = 3 3 3Vt

4 3 cm 3

3

6 At

2 2 R cm3 3


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

17. AL = 70R cm2

b)

18. VT = 12R cm3 19. AT = 48R cm2 3 1 2 20. AT = 3 18 1 5 P VT 2

EJERCICIO 36 1. A = 64R cm2, V = 2. V = 180 5 R

256 R cm3 3

sen M =

10 149 149

cos M =

7 149 149

tan M =

ctg M =

7 10

sec M =

149 7

csc M =

sen N =

7 149 149

cos N =

10 149 149

tan N =

ctg N =

10 7

sec N =

149 10

csc N =

sen A =

2 3

cos A =

5 3

tan A =

2 5 5

ctg A =

5 2

sec A =

3 5 5

csc A =

3 2

cm3

149 10 7 10 149 7

c)

3. V = 6R cm3 4. V = 270R cm3 5. A = 60R cm2 cm2

6. A = 96R

10 7

7. V =

28 R cm3 3

sen B =

5 3

cos B =

2 3

tan B =

5 2

8. V =

52 R cm3 3

ctg B =

2 5 5

sec B =

3 2

csc B =

3 5 5

sen M =

2 2

cos M =

2 2

sec M =

2

cos N =

2 2

sec N =

2

9. V = 339R cm3, d)

A = 72R cm2 211 10. V = R cm3 216

ctg M = 1

200 11. A = R cm2 3

2 2

sen N =

12. n = 120º ctg N = 1 13. V = 72 3 R cm3

2

tan N = 1 csc N =

2

a)

243 R cm3 2

CAPÍTULO 11

sen S =

2 6 5

cos S =

ctg S =

6 12

sec S =5

sen C =

1 5

cos C =

EJERCICIO 37

ctg C = 2 6

Inciso 1) a) 2 14 9

cos A =

ctg A =

5 14 28

sen B =

ctg B =

sen A =

csc M =

Inciso 2)

9 14. r = cm, A = 9R cm2 2 V=

tan M = 1

5 9

tan A =

sec A =

9 5

csc A =

5 9

cos B =

2 14 9

2 14 5

sec B =

9 14 28

2 14 5

1 5

tan S = 2 6 csc S =

5 6 12

2 6 5

tan C =

6 12

sec C =

5 6 12

csc C = 5

b) sen A =

3 13 13

cos A =

2 13 13

tan A =

9 14 28

ctg A =

2 3

sec A =

13 2

csc A =

tan B =

5 14 28

sen B =

2 13 13

cos B =

3 13 13

tan B =

csc B =

9 5

ctg B =

3 2

sec B =

13 3

csc B =

1512

3 2 13 3 2 3 13 2


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 38

c) 1 sen N = 2

3 cos N = 2

3 tan N = 3

ctg N =

3

sec N =

2 3 3

csc N = 2

sen M =

3 2

cos M =

1 2

tan M =

3

ctg M =

3 3

sec M = 2

csc M =

2 3 3

1.

33 6

cos S =

3 6

tan S =

5 13

cos C =

ctg C =

12 5

sec C =

sen C =

4 65 65

cos C =

7 65 65 65 7

11

ctg S =

11 11

sec S = 2 3

csc S =

2 33 11

sen C =

3 6

cos C =

33 6

tan C =

11 11

ctg C =

11

sec C =

2 33 11

sen D =

6 4

cos D =

10 4

tan D =

ctg D =

15 3

sec D =

2 10 5

csc D =

2 6 3

sen C =

10 4

6 cos C = 4

tan C =

15 3

ctg C =

15 5

sec C =

sen A =

4 29 29

cos A =

377 29

ctg A =

13 4

sen B =

ctg B =

5 12

tan C =

13 12

csc C =

13 5

2.

d) sen S =

12 13

sen C =

tan C =

4 7

ctg C =

7 4

sec C =

sen D =

3 13 13

cos D =

2 13 13

tan D =

ctg D =

2 3

sec D =

13 2

csc D =

cos Y =

2 2

tan Y = – 1

sec Y =

2

csc Y = 2

65 4

csc C =

3.

csc C = 2 3

3 2 13 3

e) 4.

2 6 3

15 5

2 2

sen Y =

ctg Y = – 1 5.

csc C =

2 10 5

tan A =

4 13 13

sec A =

377 13

csc A =

29 4

sen C =

77 11

377 29

cos B =

4 29 29

tan B =

13 4

ctg C =

2 7 7

4 13 13

sec B =

29 4

csc B =

377 13

f) ctg C =

2 5 5

2 3

cos C =

5 3

5 2

sec C =

3 5 5

csc C =

cos C =

2 11 11

tan C =

7 2

sec C =

11 2

csc C =

77 7

sen C =

tan C =

3 2

6.

1513


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

c) cos 80° = sen 10°

7. sen D =

2 22 13 9 22 44

ctg D =

9 13

tan D =

13 9

csc D =

cos D =

sec D =

2 22 9

13 22 44

8.

d) csc 60° = sec 30° e) sec 2° = csc 88° f) –sen 60° 37’ 25” = –cos 29° 22’ 35” g) –ctg 45° = –tan 45° h) tan 74° 46’ 24” = ctg 15° 13’ 36”

65 65

sen Y =

ctg Y = – 8

cos Y =

8 65 65 65 8

sec Y =

tan Y =

1 8

csc Y = 65

i) –cos 84° 35’ = –sen 5° 25’ j) sec 39° 11’ 48” = csc 50° 48’ 12” k) csc 53° = sec 37° l) –ctg 48° = –tan 42°

9.

m) cos 38° 54’ = sen 51° 6’ 5 sen F = 13

12 cos F = 13

5 tan F = 12

n) –sen 28° 35’ 24” = –cos 61° 24’ 36” Inciso 2)

12 5

ctg F =

sec F =

13 12

csc F =

13 5

10. 6 3

sen D = ctg D =

2 2

3 3

cos D =

sec D = 3

tan D =

2

csc D = –

6 2

11. sen C =

3 2

ctg C =

3 3

cos C =

1 2

sec C = 2

tan C = 3 csc C =

2 3 3

12. sen C =

3 2

3 ctg C = 3

cos C =

1 2

sec C = 2

tan C = 3 2 3 csc C = 3

a) –sen 160°

f) –csc 90°

b) –ctg 140°

g) cos 225° 15’ 46”

c) sec 240°

h) –ctg 176° 45’ 23”

d) cos 280°

i) sec 108° 32’

e) –tan 345°

j) –sen 228°15’

Inciso 3) a)

–sen 20°

g) –sen 55°

b)

–ctg 20°

h) –tan 76° 34’ 42”

c)

cos 80°

i) cos 68° 45’ 24”

d)

tan 45°

j) ctg 20°

e)

–csc 81° 27’ 48”

k) –sec 40°

f)

–sec 50°

l) –csc 31° 26’ 19”

Inciso 4) a) 0.3090

f) 1.0187

b) 0.9657

g) 0.9261

c) 1.1034

h) 3.8208

EJERCICIO 39

d) 0.1219

i) 1.0170

Inciso 1) a) – sen 30° = –cos 60°

e) 0.7536

j) 0.4975

b) –tan 15° = –ctg 75°

1514


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

CAPÍTULO 12 EJERCICIO 40 Grados

Radianes

sen

cos

tan

csc

sec

ctg

0

0

1

0

No existe

1

No existe

30º

P 6

1 2

3 2

3 3

2

2 3 3

45°

P 4

2 2

2 2

1

2

60°

P 3

3 2

1 2

3

90°

P 2

1

0

120°

2P 3

3 2

135°

3P 4

2 2

150°

5P 6

1 2

180°

R

0

210°

7P 6

1 2

225°

5P 4

2 2

240°

4P 3

3 2

270°

3P 2

300°

5P 3

315°

7P 4

330°

11P 6

360°

2R

–1

3

2

1

2 3 3

2

3 3

No existe

1

No existe

0

1 2

– 3

2 3 3

–2

2 2

–1

3 2

–1

2

0

No existe

3 2

3 3

–2

2 2

1

– 2

1 2

3

0

No existe

3 2

1 2

– 3

2 2

2 2

–1

1 2

3 2

0

1

3 3 0

3 3 –1

– 2

2

3 3

2 3 3

– 3

–1

No existe

2 3 3

3

– 2

1

2 3 3

–2

3 3

–1

No existe

0

2 3 3

2

– 2

2

3 3 –1

–2

2 3 3

– 3

No existe

1

No existe

1515


GEOMETRĂ?A Y TRIGONOMETRĂ?A

1.

3 2

5.

3 16

2.

3 2

6.

1 8

3.

9. 1

10.

13. –1 3 4

P 2 P P Asíntotas verticales: ‌, , ,‌ 4 4 Desplazamiento de fase: no existe

10. Periodo:

14. 0

11. Periodo: R

3 2

7. 9

4. 0

8.

11. 2 2

12. 1

16 a 20. No se incluye la soluciĂłn por ser demostraciones.

CAPĂ?TULO 13 41 1. Amplitud: 2, Periodo: 2 P 3

EJERCICIO

P 3 Asíntotas verticales:‌, P , ,‌ 4 4

15. 2

P Desplazamiento de fase: a la izq. 4 P 12. Periodo: 3 P 5P Asíntotas verticales: ‌, , ,‌ 18 18 P a la der. Desplazamiento de fase: 9 13. Periodo: 2R Asíntotas verticales:‌, R, 3R,‌

P 5 Desplazamiento de fase: , P 6 6 2. Amplitud: 2, Periodo:

3. Amplitud:

14. Periodo: 4R

1 P 2

Desplazamiento de fase: 0,

Desplazamiento de fase: 2R a la der.

Asíntotas verticales: ‌,0, 4R,‌ 1 P 2

Desplazamiento de fase: 2R a la der. 15. Periodo: R

4 , Periodo: 3R 3

9 3 Desplazamiento de fase: P , P 4 4

1 3 Asíntotas verticales:‌, P , P ,‌ 2 2 Desplazamiento de fase: R a la der. 16. Y

4. Amplitud: 5, Periodo: 8R 1

Desplazamiento de fase: 2R, 6R

1

5. Amplitud: 4

2 −

Periodo: 2R 3P 11 , P Desplazamiento de fase: 4 4 6. Amplitud: 3

7p

−

4 −

5p 4

−

3p

−

4

3p

−

2

p

p

3p

5p

4

4

4

4

p

p

2

2

p

7p 4 3p

X

2

1

−

2

Periodo: R −1

Desplazamiento de fase: 0, R 3 7. Amplitud: 2 2 Periodo: P 5 3P P Desplazamiento de fase: , 10 10 1 8. Amplitud: 3 Periodo: 8R 4P 20P Desplazamiento de fase: , 3 3 9. Amplitud: 1

17. Y 1 5p − 4 −

3p 2

p − 4

−p −

3p 4

−

p 2

p 2

0

−1

Periodo: 6R Desplazamiento de fase: 0, 6R

1516

p 4

3p 4 p

5p 4

3p X 2


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

18.

22. Y 2p

3

7p

6 −

11p

12

7p

p

13p

12

12

12

2p

3

0

p 6

3p 2

p

7p

5p

4p

3

12

6

3

X p

−3

p 2 –1 1

19. Y

p 2

1 − − 6p

p 3p − 2 2

− 3p

9p 2

−p

9p 2

−p

p p 3p 2 2

6p

3p

X

3p 2

−1 –2p

23. Y

20.

3p

Y

2 p

5p

2

3p

2

p

1

2

2

3p

5p

2

2

0

p

X

2

–1

−1 0

5p 4

3p

4

p

p

3p

5p

4

4

4

4

1

X −

p 2

−p

21.

Y − 2p

3p 2 −

5p 2

−p

p

24.

1

−1

Y

p

2 p

3p

5p

2

2

2

4p

X 3p 2

p 2 −1 0

1 − p 2

− 3p 2

1517

X

3p 2


GEOMETRĂ?A Y TRIGONOMETRĂ?A

25.

11.

Y 3

–

1 2

16.

1 tan B 1 tan B

2 sen x cos x 2

17.

1 2

1

13. sen D

18. – sec 2Y

1 cot x 14. tan x

19. – tan C

0

6

p

p

5p

7p

6

2

6

6

X

2

15.

Y

p 2

p 2

p

X

−1 −2

2 3

2.

2 3

−3 −4

27.

1.

6 2 4

7.

3 2

8.

9.

2 6

10.

2 3 2

2 1 3

4.

2 1 3

5.

2 3

6.

3.

2 sen Q cos Q 2

20.

3cos A sen A EJERCICIO 44

0

Y 3 2 3p 8

1 0 −1

7p 8

p 8

11. sen (C + D) =

5p 8

Y

0

p

2p 3

4p X 3

tan (C D) = 2 3

3 2 10 , cos A B 93 5 2 2 9

CAPĂ?TULO 14

tan A B 3 2 2 5 , ctg A B

EJERCICIO 42 1 a 32. No se incluye la soluciĂłn por ser demostraciones.

sec A B

EJERCICIO 43 3 2

2.

6 2 4

3.

6 2 4

13. Funciones del ĂĄngulo (C + D) sen A B

1.

6.

7.

6 2 , 4

2 6 , cos(C D) = 4

12. sen (C D) =

p 3

2 5 3 2 , 2

15 2 6 , csc A B 3

1 30 2

Funciones del ångulo (C – D)

2 2

3 3 2 10 , cos A B 9 9

sen A B

5 2 2

3 tan A B 2 5 3 2 , ctg A B

4. – 1

1 18

1

−1

X

tan (C + D) =

p 3

6 2

13 18 13 , cos (C + D) = , 65 65

28.

−

3sen x cos x

12.

p

p − 8

2

26. −

3sen Q cos Q

8. 2

2 5 3 2 2

sec A B 15 2 6 , csc A B 3

9. 1

1 30 2

14 a 34. No se incluye la soluciĂłn por ser demostraciones. 5. 2

10. 1

1518


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 45

Funciones trigonométricas del ángulo 2C

1.

sen

cos

tan

P = 8

2 2 2

ctg

P = 8

2 2 2

sec

P = 8

3 2 2

csc

P = 8 P = 8

4 2 2

P = 8

4 2 2 3 P 8

3 cos P = 8

2 2 2

3 sec P = 8

3 P = 8

3 2 2

2 2 2

5 P = 8

cos

5 2 2 P =– 8 2

5 tan P = – 3 2 2 8

2 2 2

7 2 2 cos P = – 8 2 tan

7 P = – 3 2 2 8

ctg

B 2 = 2 3

cos

B 2 13 = 2 13

sec

B 13 = 2 2

tan

3 B = 2 2

csc

B = 2

ctg

5 P = – 3 2 2 8

sec

5 P =– 4 2 2 8

5 csc P = 8

sen 2D =

ctg 2D =

119 120 169 119

cos 2D =

119 169

sec 2D =

tan 2D =

120 119

csc 2D =

Funciones trigonométricas del ángulo

4 2 2

7 sec P = – 4 2 2 8

169 120

W 2

sen

W 3 = 4 2

ctg

39 W = 3 2

cos

13 W = 4 2

sec

4 13 W = 13 2

tan

39 W = 13 2

csc

W 4 3 = 3 2

Funciones trigonométricas del ángulo 2Y 4 2 2

2. Funciones trigonométricas del ángulo

120 169

4.

7 ctg P = – 3 2 2 8

7 P = 8

13 3

Funciones trigonométricas del ángulo 2D

csc

csc

B 2

B 3 13 = 13 2

7 Funciones trigonométricas del ángulo P 8 7 sen P = 8

8 15 15

sen

4 2 2

3 P = 4 2 2 8 5 Funciones trigonométricas del ángulo P 8 sen

8 7

csc 2C =

Funciones trigonométricas del ángulo

ctg

3 2 2

sec 2C = 15 7

7 15 15

ctg 2C =

3.

2 2 2

tan

7 8

tan 2C =

3 P = 8

3 P = 8

cos 2C =

3 2 2

Funciones trigonométricas del ángulo

sen

15 8

sen 2C =

P 8

Funciones trigonométricas del ángulo

A 2

A sen = 2

8 2 15 4

A ctg = 2

cos

A = 2

8 2 15 4

sec

A = 2 8 2 15 2

tan

A = 2

31 8 15

csc

A = 2 8 2 15 2

sen 2Y =

5 39 32

ctg 2Y =

cos 2Y =

7 32

sec 2Y =

32 7

5 39 7

csc 2Y =

32 39 195

31 8 15 tan 2Y =

1519

7 39 195


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

5.

8.

A Funciones trigonométricas del ángulo 2 A sen = 2 cos

98 28 7 14

A = 2

98 28 7 14

Funciones trigonométricas del ángulo C

A ctg = 2

33 12 7 3

A = 2

42 12 7 3

A csc = 2

42 12 7 3

sec

sen C =

2 5 5

cos C =

5 5

tan C = 2

sec C =

5

1 2

csc C =

5 2

ctg C =

9. Funciones trigonométricas del ángulo

A tan = 2

33 12 7 3

B 2

sen

B 3 = 3 2

tan

B 2 = 2 2

sec

B 6 = 2 2

cos

B 6 = 3 2

ctg

B = 2

csc

B = 2

Funciones trigonométricas del ángulo 2C sen 2C =

4 3 7

2

sec 2C = 7

tan 2C = 4 3

csc 2C =

sen D =

2 2 3

tan D = 2 2

cos D =

1 3

ctg D =

7 3 12

6.

sec D = 3

2 4

csc D =

10. Funciones trigonométricas del ángulo C sen C =

2 3

cos C =

5 3

Funciones trigonométricas del ángulo Y tan C =

2 5 5

cos Y = Funciones trigonométricas del ángulo

cos

578 136 17 34

B 2

B csc = 2

cos D =

tan D =

1 4

sec Y = 3 4

5 4

csc Y =

5 3

Funciones trigonométricas del ángulo 2Y sen 2Y =

cos 2Y = 34 8 17

24 25

7 25

tan 2Y =

Funciones trigonométricas del ángulo D sen D =

4 3

ctg Y =

4 5

tan Y =

B ctg = 33 8 17 2

578 136 17 B B = sec = 34 8 17 34 2 2

B tan = 33 8 17 2

3 5

sen Y =

7.

B sen = 2

3

Funciones trigonométricas del ángulo D

1 7

cos 2C =

3 12

ctg 2C =

24 7

ctg 2Y =

sec 2Y =

7 24

25 7

csc 2Y =

25 24

Funciones trigonométricas del ángulo 4Y

17 17

ctg D = 4

4 17 17

sec D =

17 4

csc D = 17

sen 4Y =

336 625

ctg 4Y =

cos 4Y =

527 625

sec 4Y =

625 527

csc 4Y =

625 336

tan 4Y =

336 527

527 336

11 a 25. No se incluye la solución por ser demostraciones.

1520

3 2 4


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 46

EJERCICIO 47

1.

1 §sen 2A sen 2B ¶ ¸ 2©

2.

1 §sen 105n sen 15n ¶ ¸ 2©

1 3. §©cos 2 y cos 2B ¶¸ 2 4.

¤ 1 ³¶ 1§ ¤2 ³ ¨cos ¥ P ´ cos ¥ P ´· 2© ¦3 µ ¦ 6 µ¸

1 § sen 120n sen 45n ¶ 5. ¸ 2©

6. –

1 §cos 45n cos 30n ¶ ¸ 2©

7.

1 §sen 2 x sen 2A ¶ ¸ 2©

8.

¤ 1 ³¶ 1§ ¨cos P cos ¥ P ´· 2© ¦ 6 µ¸

9.

10.

1 § sen 45n sen 30n ¶ ¸ 2©

¤ 5 ³¶ 1 § ¤ 11 ³ ¨cos ¥ P ´ cos ¥ P ´· 2© ¦ 6 µ ¦ 3 µ¸

11. 2 §©cos 4A cos 2A ¶¸ 12.

5 §sen 8A sen 4A ¶ ¸ 2©

13.

1 § sen 90n sen 4n ¶ ¸ 2©

14.

¶ 1§ 1 1 cos 2A 5B cos 2A 5B · ¸ 2 ¨© 3 3

15.

¤ 17 ³¶ 3 § ¤ 19 ³ ¨sen ¥ A ´ sen ¥ A ´· 2© ¦ 2 µ ¦ 2 µ¸

2

16. cos

17.

18.

P P cos 2 6

sen3A senA sen3A senA 2 senP sen

P 2

cos2A cos2x 19. cos2A cos2x 20.

1 a 14. No se incluye la solución por ser demostraciones. EJERCICIO 48 1. 2 §©sen 120n cos 45n ¶¸ § ¤5 ³ ¤ 9 ³¶ 2. 2 ¨cos ¥ B ´ cos ¥ B ´· 2 µ ¦ 2 µ¸ © ¦ 3. 2 §©sen 180n cos 60n ¶¸ 4. 2 §©sen 4Q sen Q ¶¸ 5. 2 §©cos 45n cos 7n31 ' ¶¸ § ¤1 ³ ¤ 1 ³¶ 6. 2 ¨cos ¥ π ´ sen ¥ π ´· ¦ 4 µ¸ © ¦3 µ § ¤1 ³ ¤ 1 ³¶ 7. 2 ¨cos ¥ π ´ cos ¥ π ´· 4 ¦ µ ¦ 36 µ¸ © 8. 2 §©cos 30n sen 5n ¶¸ § ¤ 5 ³ ¤1 ³¶ 9. 2 ¨sen ¥ π ´ sen ¥ π ´ · ¦3 µ¸ © ¦ 12 µ § ¤ 1 ³¶ 10. 2 ¨cos B cos ¥ P ´· ¦ 6 µ¸ © § ¤ 7 ³ ¤ 1 ³¶ 11. 2 ¨sen ¥ P ´ cos ¥ P ´· 24 µ ¦ 24 µ¸ © ¦ § ¤3 ³ ¤1 ³¶ 12. 2 ¨sen ¥ A B ´ cos ¥ A B ´· 4 4 µ ¦ µ¸ © ¦ § ¤ P ³¶ 13. 2 ¨sen A sen ¥ ´· ¦ 4 µ¸ © § ¤ P ³¶ 14. 2 ¨sen B cos ¥ ´· ¦ 8 µ¸ © § ¤3 ³ ¤ P ³¶ 15. 2 ¨sen ¥ P ´ cos ¥ A ´· 4 8 µ¸ µ ¦ © ¦ § ¤A ³ ¤ B ³¶ 16. 2 ¨sen ¥ ´ sen ¥ ´· 2 ¦ 2 µ¸ © ¦ µ

1 §sen 4A sen 2B ¶ ¸ 2©

1521


GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 49 1 a 12. No se incluye la solución por ser demostraciones.

21. 0,

2 5 P , P , R, 2R 3 3

22.

P 5 , P 4 4

1 3 5 P, P, P 2 4 4

23.

P , 36° 52’ 11” 2

3 1 2 P, P, P 2 3 3

24.

7 23 P , P 12 12

1 5 P, P 3 3

25.

1 5 P, P 4 4

7 11 1 5 P, P, P, P 6 6 3 3

26.

1 5 5. P , P 6 6

7 1 P, P 6 6

27.

1 5 6. P , P 3 3

7 11 P , P 12 12

28.

7 11 1 5 P, P, P, P 6 6 6 6

29.

1 4 P, P 3 3

30.

1 5 P , R, P 3 3

EJERCICIO 50 1.

2.

3.

4.

7. 0, R, 2R 8. 0, R, 2R,

7 11 P, P 6 6

9. 0, 2R, 152° 44’, 207° 15’ 1 7 3 5 10. P , P , P , P 4 4 4 4 1 1 5 11. P , P , P 2 4 4 7 11 12. P, P 6 6

CAPÍTULO 15 EJERCICIO 51 1. c 145 , A 44° 54b, C 45° 6b 2. a 2.11, c 3.39, C 58°

1 5 P, P 4 4

3. c 5.23, b 7.24, A 43° 40b

14.

1 2 4 5 P, P, P, P 3 3 3 3

5. c 13, b 13 2 , C 45°

15.

1 7 P, P 6 6

16.

1 1 5 P, P, P 2 6 6

17.

1 5 P, P 4 4

13.

4. b 52.55, A 38° 11b 40r, C 51° 48b 20r

6. a 13.28, c 18.28, A 36°

18. 0, R, 2R,

19.

7. a 12.51, A 33° 46b 46r, C 56° 13b 14r

2 4 P, P 3 3

1 5 P, P 3 3

20. 0,

1 2 4 5 P , P , P , P , R, 2R 3 3 3 3

8. a 25.71, c 22.9, C 41° 48b 9. a 82.68, b 100.36, A 55° 28b 10. c 7.87, A 66° 39b 17r, C 23° 20b 43r 11. b 22.36, c 18.86, C 57° 33b 12. c 13 , A 29° 1b 1r, C 60° 58b 59r 13. a 15.27, c 17.19, A 41° 37b 14. b 7.9, A 71° 33b 54r, C 18° 26b 5r 15. a 6.28, b 14.44, C 64° 11b 16. A 26° 33b 54r, C 63° 26b 6r

1522


SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

17. a 5, b 13, c 12, A 22° 37b 11r, C 67° 22b 48r

17. a = 46.05, B = 34° 5’ 24”, C = 110° 54’ 36”

18. a = 4, b = 5, c = 3, A 53° 7b 49r, C 36° 52b 11r

18. c = 15.65, A = 41° 52’ 18”, B = 82° 7’ 42”

19. A C 45°

EJERCICIO 54

20. A 19° 28b 16r, C 70° 31b 44r

1. AB 369.95 m

7. 322.92 km

EJERCICIO 52

2. 1.76 cm

8. 307.4 m

1. 288.4 m

3. 30.34 km

9. 29.07 km

2. 4.2 m

4. 19.4 km

10. 180.37 m

5. 8.03 m

11. 29.7 cm

6. 4.7 cm

12 a 13. No se incluye la solución por ser demostraciones.

3. 38° 44b 4r, 1.65m 4.

10

2 1 m

5. 54° 8 6. 52.07 m 7. 11.25 m

CAPÍTULO 17

8. a) 53.6 m , b) 59.1 m, c) 22.6 m EJERCICIO 55

9. 53° 7b, 3 m

1. z =

10. 21° 47 , 14 dm 11. L

πR § πr 1 ¤ R r ³ ¶ 1 ¤ R r ³ 2 l2 R r cos ¥ ¨180 cos ¥ · 90 © ¦ l ´µ ¦ l ´µ ¸ 90

17cis345º 37 ' 49 "

2. z = 2cis 30º

2

3. z = 2 2 cis 135º 4. z = 5cis 0º

12. sí

5. z = 3cis 270º

CAPÍTULO 16 EJERCICIO 53

5 cis 53º 7’ 48” 6 7. z = cis 315º

6. z =

1. a = 20.9, c = 14.7, A = 79º 1’

8. z = cis 150º

2. b = 52.4, a = 47.7, B = 79º 16’

9. z1 · z2 =

26 cis 75º

3. b = 21.03, a = 46.9, C = 67º 44’

10. z2 · z4 =

26 cis 165º

4. b = 86.21, c = 66.87, B = 76º 39’

11. z1 · z3 = 2 2 cis 105º

5. a =23.35, c = 25.23, A = 67º 6. b = 17.09, c = 22.3, C = 99º 7. c = 9.43, B = 57° 58’ 51”, C = 90° 1’ 8” 8. a = 19.8, A = 118° 23’ 35”, B = 26° 21’ 24”

12. z1 · z2 · z3 = 2 26 cis 135º 13. z1 · z3 · z4 = 4cis 240º 14.

9. c = 15.11, A = 40° 5’ 50”, C = 83° 19’ 9” 10. b = 11.4, A = 46° 14’ 25”, B = 66° 24’ 34”

z2 26 cis 255° z4 2

16.

z1 2 cis 345° z3 2

13. A = 52° 17’ 24”, B = 44° 33’ 55”, C = 83° 8’ 41” 14. A = 48° 20’ 58”, B = 36° 42’ 37”, C = 94° 56’ 23” 15. c = 15.3, A = 46° 39’ 8”, B = 65° 20’ 52”

= cis 270º

15.

11. A = 31° 48’ 52”, B = 34° 12’ 58”, C = 113° 58’ 10” 12. A = 27° 25’ 16”, B = 44° 1’ 54”, C = 108° 32’ 50”

z1 z4

17.

18.

16. b = 37.07, A = 47° 7’ 45”, C = 56° 52’ 15”

1523

z1 z2 z3 z2 z1 z4

=

26 cis 15º 2

=

13 cis 210º 2


GEOMETRร A Y TRIGONOMETRร A

19.

z 2 ย z3 = 13 cis 270ยบ z1 ย z4

25. z1 = 2cis 20ยบ, z2 = 2cis 80ยบ, z3 = 2cis 140ยบ, z4 = 2cis 200ยบ z5 = 2cis 260ยบ, z6 = 2cis 320ยบ

z z z 20. 1 2 3 2 13 cis 0ยฐ z4 21. z2 = 9cis 240ยบ

27. (z ยท z1)2 = 36cis 120ยบ

22. z4 = 81cis 100ยบ

28. z1 = 2cis 30ยบ, z2 = 2cis 150ยบ, z3 = 2cis 270ยบ

23. z3 = 125cis 45ยบ

29. 28cis 100ยบ

24. z1 = 4cis 30ยบ, z2 = 4cis 210ยบ

30. z1 = 4cis 10ยบ, z2 = 4cis 130ยบ, z3 = 4cis 250ยบ

26. z1 = cis 60ยบ, z2 = cis 180ยบ, z3 = cis 300ยบ

1524


Solución a los ejercicios de geometría analítica


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

3.

CAPÍTULO 1 EJERCICIO 1 1. 3u

9. 5a

2. 4u

10.

3. 5 3u 4. 5. 6. 7. 8.

16.

13 a 12

17.

uuur 11. AB = 7u

5 u 2

18.

uuur 5 12. DC = u 4 uuur 5 13. AD = u 2 uuur 14. BA = −7u

5 u 4 1u 13 u 24 17 u 5

19. 20.

A

A B X

X

C 5.

6.

uuur 13 15. CB = u 4

6. r =

3 a 5

10. x

1 4

7. r =

7 3

11. x

7 2

9. x

4 5. r = 35

1. 10u 2.

5 2

7 9 14 3

6.

5u 7.

3. 5 2u

5 12. x 2

3. r = 1 8. r =

EJERCICIO 5

27 4

1 1. r = 3

4. r =

Y B C

uuur 5 DA = − u 2 uuur 9 DB = u 2 uuur 15 CA = − u 4 uuur 13 BC = − u 4 uuur 5 CD = − u 4

EJERCICIO 2

2. r =

4. Y

4. 4 2u

13. x

17 20

14. x

23 40

181 u 6

11. 28.72u

5 u 4

8.

5 u 4

9.

17 u 2

5. 8u

10. 1u

12. 15.64u 13. 25.10u 14. 12u

15. Es triángulo isósceles, debido a que dAC = dBC. 16. Perímetro = 40.96 u; Área = 133.517 u2

EJERCICIO 3

17. Ordenada (y = 11, y = 1), puntos (– 4, 11) y (– 4,1) 5 5. 12

1. 1 2.

11 2

5 8. a 24

7 24

9.

7 4

3 3 2

10.

3 2

6.

¤ 84 126 ³ 18. P(4, 6) y P ¥ , 13 ´µ ¦ 13 19. sí 20. no

7.

7 12

1. r 2. r

CAPÍTULO 2 EJERCICIO 4

3. r

1.

2.

1 2 4 3

1 2

4. r = – 2 1 5. r 10

B A A

X

22. no

EJERCICIO 6

3. – 5 4.

21. sí

B

X

2 6. r 7 7. P(6, – 5)

1526

8. P(5, 0)

15. P(3, 7)

¤ 2 19 ³ 9. P ¥ , ´ ¦5 5 µ

16. r = 2

¤ 4 4³ 10. P ¥ , ´ ¦ 9 3µ ¤ 9³ 11. P ¥ 4, ´ 2µ ¦ 12. P(–a, 3b) 13. r

5 2

¤ 19 37 ³ 14. P ¥ , ´ ¦ 5 5µ

17. P(2, 1) ¤ 11 ³ 18. P ¥ 5, ´ 2µ ¦ ¤ 11 2 ³ 19. P2 ¥ , ´ ¦ 3 3µ ¤ 2 7³ 20. P ¥ , ´ ¦ 5 5µ


SOLUCIÓN

x1 x 2 y y ; y 1 2 2 2 22. Los puntos de trisección son:

21. Son colineales

24. Son colineales 2 22. No son colineales 25. x = 3 26. x = 4 23. Son colineales

21. r = 1; x

¤ x 2 x 2 y1 2 y2 ³ , A¥ 1 3 3 ´µ ¦

2. Los lados opuestos son paralelos y de igual pendiente mBC m AD

¤5 ³ ¤8 ³ ¤7 ³ 1. Pm ¥ , 2´ ; Pt : ¥ , 3´ y ¥ ,1´ ¦2 µ ¦3 µ ¦3 µ

2 y mCD m AB 3 5

3. Las rectas son paralelas

¤ 3 11 ³ 2. Pm ¥ , ´ ; Pt : (1, 5) y (2, 6) ¦2 2µ

m AB mCD

m AB m AC

¤ 11 ³ 4. Pm ¥ 8, ´ ; Pt : (7, – 6) y (9, – 5) 2µ ¦

6. x = 5

7. P2(– 5, – 5)

7. mAB = mCD = –2; mBC m AD

8. (– 1, 1), (7, 9) y (– 3, 5)

EJERCICIO 11 1. A = 57° 5’ 41”

EJERCICIO 8 7. 31u2

2. 15u2

5. 6u2

8. 17u2

3. 28.5u2

6. a2u2

9. 19u2

2. 26° 33’ 54”, 116° 33’ 54”

10. 50.5u2

36° 52’ 11” 3. 63° 26’ 5”, 63° 26’ 5” y 53° 7’ 48” 4. Un ángulo de 90°

CAPÍTULO 3

los restantes de 45° 7. No existe 8.

1 8

9.

4 3

5. 6. 0

17 5 5 72

14. 35° 15’

7. 130° 14’ 10”; 49° 45’ 50”

15. 90°

8. 117° 16’ 36”

16. 0° o 180° 9. m1

17. Son colineales 10.

2 3

5. 63° 26’ 5” y 26° 33’ 54”

13. 30°

6. A = 131° 49’ 12”

7 2. 5

b a

mAB = mCD = 4, mBC m AD

¤ 11 1 ³ ¤ 7 ³ ¤ 19 ³ 6. Pm ¥ , ´ ; Pt : ¥ , 0 ´ y ¥ , 1´ ¦ 24 2 µ ¦ 18 µ ¦ 36 µ

4. 10u2

1 2 1 2

5. En un cuadrado los lados opuestos son paralelos y los lados adyacentes son perpendiculares.

¤ 5 3³ ¤ 4 4 ³ ¤ 7 5³ 5. Pm ¥ , ´ ; Pt : ¥ , ´ y ¥ , ´ ¦ 12 2 µ ¦ 9 3 µ ¦ 18 3 µ

1. 3u2

5 3

4. En un triángulo rectángulo los catetos son perpendiculares.

¤ 7 17 ³ ¤ 17 25 ³ 3. Pm (4, 7); Pt : ¥ , ´ y ¥ , ´ ¦3 3 µ ¦ 3 3 µ

4.

28. y = – 6

1. Son perpendiculares

EJERCICIO 7

3.

27. y 3 3

EJERCICIO 10

¤ 2x x 2 y y ³ B¥ 1 2 , 1 2 ´ 3 3 µ ¦

EJERCICIO 9 2 1. 5

A LOS EJERCICIOS

18. Son colineales

2 3

2 3 3

10. x = 8

11. 45°

19. Son colineales

12. 135°

20. No son colineales

11. m1

1 , m2 = 7 7

12. 2 3 ; 2 3

1527

2 7

1 y m AC mBD 1 4


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

CAPÍTULO 4

4. Intersecciones con los ejes: (0, 0) Simetría: No existe Extensión: {x R | x ≠ – 3} ; {y R | y ≠ 4} Asíntotas: Horizontal: y = 4, Vertical: x = – 3 Gráfica

EJERCICIO 12 1. Intersecciones con los ejes: (– 2, 0) Simetría: No existe Extensión: {x R | x ≠ 0} ; {y R | y ≠ 3} Asíntotas: Horizontal: y = 3, Vertical: x = 0 Gráfica Y

Y

y=4

x=0

X y=3

X x=−3

5. Intersecciones con los ejes: (0, 2) Simetría: No existe

2. Intersecciones con los ejes: (0, – 2)

ª 3¹ Extensión: « x R | x w º ; {y R | y ≠ 0} 2» ¬ 3 Asíntotas: Horizontal: y = 0, Vertical: x = 2 Gráfica

Simetría: No existe Extensión: {x R | x ≠ – 2} ; {y R | y ≠ 0} Asíntotas: Horizontal: y = 0, Vertical: x = – 2 Gráfica Y

Y

3 x= 2

y=0

y=0

X

X

x=–2

6. Intersecciones con los ejes: (0, 0)

3. Intersecciones con los ejes: (0, 0)

Simetría: Sólo con el eje Y Extensión: {x R } ; {y R | y s 0} Asíntotas: No existen Gráfica

Simetría: No existe Extensión: {x R | x ≠ – 2} ; {y R | y ≠ 5} Asíntotas: Horizontal: y = 5, Vertical: x = – 2 Gráfica Y

Y

y=5

X

X

x=−2

1528


SOLUCIÓN

7. Intersecciones con los ejes: Eje X n (– 4, 0), (4, 0)

10. Intersecciones con los ejes: Eje X n (– 4, 0), (4, 0)

Eje Y n (0, 2), (0, –2)

Simetría: Es simétrica con los ejes y con el origen Extensión: {x R | x c – 4 o x s – 4}; {y R} Asíntotas: No hay horizontales o verticales Gráfica

Simetría: Es simétrica con ambos ejes y con el origen Extensión: {x R | – 4 c x c 4} {y R | – 2 c y c 2} Asíntotas: No existen Gráfica

Y

Y X X

¤ 17 ³ 11. Intersecciones con los ejes: ¥ , 0´ ¦8 µ Simetría: No existe Extensión: {x R | x s 2}; {y R} Asíntotas: No existen Gráfica

8. Intersecciones con los ejes: (0, – 5) Simetría: No existe Extensión: {x R} ; {y R | y c – 4} Asíntotas: No existen Gráfica

A LOS EJERCICIOS

Y

Y X X

12. Intersecciones con los ejes: (0, 0) y (6, 0) Simetría: Sólo con el eje X Extensión: {x R | 0 c x c 6} {y R | –3 c y c 3} Asíntotas: No existen Gráfica

9. Intersecciones con los ejes: (0, 0) Simetría: Sólo respecto al origen Extensión: {x R} ; {y R} Asíntotas: No existen Gráfica

Y Y

X X

1529


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

EJERCICIO 13 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

y–x=2 xy = 1 x – 2y = 0 x2 + y2 = 25 7x – 3y + 4 = 0 x2 + y2 – 8x + 6y = 0 x2 + 10y + 25 = 0 2x + y + 5 = 0 x2 + y2 + 6x + 4y – 51 = 0 x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0 21x2 – 12xy +16y2 + 60x + 60y – 600 = 0 9x2 + 25y2 – 225 = 0 28y2 – 36x2 – 63 = 0; 36x2 – 28y2 + 63 = 0 16x2+ 7y2 – 112 = 0 7x2 – 9y2 – 28x + 90y – 260 = 0

4.

y = 2x

5.

y 1 1 x y x ; 1 8 2 4 1 2

6.

y

7.

x y 3 y x 2 ; 1 10 5 2 3

8.

x y 1 5 1 y x ; 6 3 10 5 3

9.

y

3 x y x 3 ; + =1 4 4 −3

x y 6 1 x 12 ; 10 12 5

10. y x ctg w p csc w ;

CAPÍTULO 5 EJERCICIO 14 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

11.

x y 1 p sec w p csc w 12.

Y

Y

y = 2x − 3

0

X

y = − 3x + 1

2x + y – 4 = 0 6x + 5y – 82 = 0 2x – 3y + 8 = 0 4x – 7y + 10 = 0 7x – 5y – 26 = 0 3x + 2y + 22 = 0 4x – 6y – 5 = 0 10x – 3y – 4 = 0 2x – 3y – 7 = 0 2x + 11y + 5 = 0 5x – 16y – 31 =0

2x + 5y – 14 = 0 2x – y + 3 = 0 2y – 1 = 0 2x + 2y + 1 = 0 3x – 5y + 11 = 0 4x – 3y + 6 = 0 x–3=0 8x – 4y – 7 = 0 3x + 2y – 2 = 0 3x + 5y – 12 = 0 3x + 2y – 5 = 0

19. 20. 21. 22.

3x y 3 3 0 x+y–4=0 x–3=0 x+4=0 3x – 2y – 12 = 0 x + 4y + 2 = 0 2x + y = 0 3x – 4y + 11 = 0 5x + 2y – 25 = 0 y=0

27. (8, 6), (– 2, – 8), (– 6, – 2) 28. (–3, 0), (3, 2), (4, –2) 29. (–3, 2), (–1, –2) (7, 0), (5, 4) 30. 120x – y = 0 31. 3t – 2v + 4 = 0 32. x + 40y – 600 = 0 33. 120x – y + 1 200 = 0 34. 9TC – 5TF + 160 = 0

23. 24. 25. 26.

1

X

0

−3

13.

14.

Y

Y

y=

2 x 3

1 0

X

0

X

3 y=− x+1 4

15.

16.

Y

Y 5 3

x + 3y − 5 = 0

X

0

X

0

−2 4x − y − 2 = 0

EJERCICIO 15 17. x y 1. y = – x + 4; 1 4 4

Y

18. x−y=0

Y 3 x + 3y − 6 = 0 2 2

2 x y x 1 ; 1 5 5 1 2 1 8 x y 1 3. y = x ; 3 3 8 8 3

0

2. y =

X

1530

0

X


SOLUCIÓN

34. a) C = 30x + 6 000

19. x + y + 5 = 0

3.

6 Y

b) $1 000.00 c) no d) 120 platillos

20. y = 2x + 4 21. y = – 3x + 11 1 13 22. y = x 6 6 23. y = 5x + 5

4 2

x y 1 35. 5 5

−8

−6

−4

−2

X

0 0

2

4

6

2

4

6

2

4

6

2

4

6

24. 5x – 3y + 20 = 0 25. 4x + y – 15 = 0

36.

26. x – y + 1 = 0

x y 37. 1 4 4 3 5

27. 6x + 4y + 5 = 0 28. 3x – 2y – 6 = 0 29. 161° 33’ 54’’

38.

30. 36° 1’ 38’’ 102° 20’ 20’’ 41° 38’

39.

31. (20, 13) 32. a) y = 50x + 30 000 b) $70 000.00

−2

x y 1 8 4

x y 1 7 7 4 2

−4

4.

6 Y 4 2

x y 1 6 3 5 2

−8

−6

−4

−2

0

X 0

−2

33. a) 4m/s2 b) 31m/s

−4

EJERCICIO 16 1.

5.

Y

4

6 Y 4

2

−8

−6

−4

2

X

0

−2

0

2

4

6

8 −8

−2

−6

−4

−2

X

0 0 −2

−4 −4 −6

2.

6.

6 Y

−8

−6

−4

−2

6 Y

4

4

2

2

X

0 0

2

4

X

0 −8

6

−6

−4

−2

0

−2

−2

−4

−4

1531

A LOS EJERCICIOS


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

7.

EJERCICIO 17

6 Y

2

−8

−6

−4

−2

2

0

4

6

X

0 2

0

4

X 0

2

4

Y

3x

7 y 0 10 10 10 18. S = 60°, S’= 120° 17.

3x + 4y + 12 = 0

14 5

2.

9 5

16.

11 29 29

4.

17.

49 13

27 2 8 19. 3x – 4y – 10 = 0

7 2 2

3x – 4y + 20 = 0

32 17 17

20. y = 17 y=

10. 5u2 X 0

2

4

6

7 5 12. K1 = 2 11. r

−4

K2 = 13.

7 10

18.

9 10 9. 5

0

−2

x 3y 2 0 2 2 2x 5y 12 16. 0 29 29 29 15.

8. 10

2

−2

14. x 3 y 8 3 0

6. 1

4

−4

0

15.

7.

−6

10

23 53 53

5.

−4

−8

7

13. x + y + 6 = 0

1.

6

−2

6

3x y 8 0

3. 5 2

0

10.

3 x y 10 0

EJERCICIO 18

2

−2

10

11. x 3 0 12.

0

34 3y

2

0

10. x 3 y 2 0

19. 3x – 4y – 12 = 0

4

−4

3y

5

0

9. x 3 y 6 0

6 Y

−6

2

8. x + y – 2 = 0

−4

−8

y

13

6

−2

9.

13

5

5x 2 y 1 0 3 3 3

7.

2

−2

10

6.

4

−4

x

3y

12 x 5 y 5. 1 0 13 13

6 Y

−6

34

4.

2

5x

3.

x

X

0

−4

−8

13

2.

−2

8.

2x

1.

4

1 2

2 13 13

17

21.

7 5 5

22.

11 5 15

7 4

7 4

23. x – y – 3 3 2 = 0 x – y – 3 3 2 = 0 24. 2x – y – 1 = 0 2x + y – 7 = 0

6 14. 5

1532


SOLUCIÓN

15. x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0

EJERCICIO 19 1. 2x – y + 3 = 0

16. x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0

2. 4x – 6y + 13 = 0

17. x2 + y2 + 6x + 8y – 144 = 0

3. x + 3y – 9 = 0

18. x2 + y2 – 2x – 4y – 59 = 0

4. y + 6 = 0

19. 2x2 + 2y2 + 15x – 11y – 51 = 0

5. 2x – 6y – 11 = 0; 6x + 2y –1 = 0

20. 17x2 + 17y2 – 88x + 58y – 544 = 0

6. 99x – 27y + 50 = 0; 21x + 77y – 80 = 0

21. 9x2 + 9y2 – 43x + 9y – 140 = 0

7. y – 2 = 0; 7x – y – 5 = 0; x + y – 3 = 0; (1, 2)

22. x2 + y2 – 4x + 4y – 2 = 0

8. 2x + y – 6 = 0; x – 6y – 10 = 0; 3x – 5y – 16 = 0;

23. x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 24. 3x2 + 3y2 + 8x + 10y – 43 = 0

¤ 46 14 ³ ¥¦ 13 , 13 ´µ

25. 3x2 + 3y2 – x + 7y – 10 = 0 26. x2 + y2 – 6x + 4y – 5 = 0

9. 2x + y – 3 = 0; 3x – 5y + 16 = 0; x – 6y + 19 = 0;

27. x2 + y2 + 4x – 2y – 29 = 0

¤ 1 41³ ¥¦ 13 , 13 ´µ

EJERCICIO 21

10. 11x + 4y – 27 = 0; 7x – y – 16 = 0; 4x + 5y – 11 = 0;

1. C(– 1, – 1), r = 2 2. C(3, – 4), r = 5

¤ 7 1³ ¥¦ 3 , 3 ´µ 11.

3. Punto, C(– 3, – 1), r = 0

5

4. Imaginaria con C(2, – 1) y r =

6. C(0, 4), r = 3

5 34 x 3 5 2 34 y 4 5 7 34 0 37 6 5 x

5

5. C(– 7, 4) , r = 5

5 2 37 y 7 37 23 5 0

7. C(– 2, 0), r = 1

37 6 34 x 3 37 34 y 4 37 23 34 0

(1.5965, 2.2438)

¤ 5 3³ 8. C ¥ , ´ , r = ¦ 2 2µ

7

¤ 1 3³ 1 9. C ¥ , ´ , r = 2 ¦ 2 2µ

12. 55x + 47y – 144 = 0

CAPÍTULO 6 EJERCICIO 20 1. x2 + y2 – 16 = 0 2. 4x2 + 4y2 – 3 = 0 3. x2 + y2 – 2x + 6y + 6 = 0

¤1 ³ 4 10. C ¥ , 3´ , r = 5 ¦5 µ ¤ 3 1³ 5 11. C ¥ , ´ , r = 12 ¦ 4 6µ ¤ 2 1³ 12. C ¥ , ´ , r = 3 ¦ 3 2µ 13. x – 3y + 8 = 0

4. 3x2 + 3y2 + 3x + 4y = 0

79x + 3y – 568 = 0

5. x2 + y2 – 13 = 0

14. x2 + y2 – 8x – 4y + 10 = 0

6. x2 + y2 – 2x – 6y – 31 = 0

15. x2 + y2 – 8x – 8y + 19 = 0

7.

x2

+

y2

x2 + y2 + 4y – 9 = 0

– 2x + 6y – 35 = 0

10. x2 + y2 + 8x – 4y + 4 = 0

16. x2 + y2 + 10x – 4 = 0 19 17. k = 5, k = 17 18. (–5, 3) y (1, 9)

11. x2 + y2 – 10x + 10y + 25 = 0

19. (2, 2)

12. 3x2 + 3y2 + 13x – 65 = 0

20. No existe intersección

13. 4x2 + 4y2 + 41y + 66 = 0

21. (3, 5) y (4, 4)

14. x2 + y2 + 4y = 0

22. (4, – 1) y (6, – 3)

8. x2 + y2 + 2x + 10y + 25 = 0 9. x2 + y2 – 10x + 4y = 0

1533

9

A LOS EJERCICIOS


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

EJERCICIO 22 1.

5.

8 Y

Y 6

6 4

4 2

2 X

0

−6

−4

X

0

−2

2

0

4

6

−6

−4

−2

0

2

4

2

4

6

8

8 −2

−2 −4

6.

2.

Y

6

Y 2

−10

−8

−6

−4

4

X

0

−2

0

2

2

4

−2

X

0 −6

−4

0

−2

−4

−2

−6

−4

6

8

−8

7. 3.

Y

Y

6

10

5 5 4

X

0 −15

−10

0

−5

15

10

5

3

−5

2

−10

−6

−5

−4

−3

−2

8. 4.

8

8

6

6

4

4

2

2 0 −4

−2

1

0

Y

Y

−6

1

−1

2

4

6

X

0

X 0

−8

8

−6

−4

−2

0 −2

−2

1534

2

4

6


SOLUCIÓN

9.

CAPÍTULO 8

6 Y

4

EJERCICIO 25 1. y2 + 8x = 0

2

2. x2 + 4y = 0 X

0 −4

0

−2

2

4

6

8

10

3. y2 – 12x + 2y + 1 = 0 4. x2 – 16y = 0 5. x2 – 4x + 4y – 16 = 0

−2

6. y2 + 12x – 4y + 52 = 0

−4

7. x2 – 2xy + y2 + 8x – 4y + 2 = 0 8. 9x2 – 12xy + 4y2 – 48x + 32y + 64 = 0

10.

EJERCICIO 26

Y

1. Foco: F(– 1, 0), Directriz: x – 1 = 0, LR = 4, Eje: y = 0

5

X

0 −15

−10

−5

0

5

10

Y

15

L

−5

−10

F 11. (x – 1)2 + (y – 1)2 = p2

13. (x + 2)2 + (y – 3)2 = p2

12. (x + 1)2 + (y + 3)2 = p2

14. (x – 1)2 + (y – 0)2 = p2

V R

X x−1=0

2. Foco: F(0, 3), Directriz: y + 3 = 0, LR = 12, Eje: x = 0 Y

CAPÍTULO 7 EJERCICIO 23

F

1. (2, 2)

10. y’2 – 12x’ = 0

2. (9, 1)

11. 9x’2 + 16y’2 – 144 = 0

3. (– 1, 4)

12. 4x’2 + 5y’2 – 20 = 0 13.

9x’2

+

5. (– 8, 7)

14.

x’2

2y’2

6. y’2 – 8x’ = 0

15. 4x’2 – 9y’2 – 36 = 0

7. x’2 – 4y’ = 0

16. y’ = x’3

8. x’2 + y’2 – 9 = 0

17. y’2 = x’3 – 1

4. (– 10, – 4)

4y’2

y

– 72 = 0

y+3=0

–2=0

3. Foco: F(5, 0), Directriz: x + 5 = 0, LR = 20, Eje: y = 0 x+5=0

9. x’2 + y’2 – 25 = 0

1. x’2 – 8y’ = 0

5. 9x’2 + 4y’2 – 36 = 0

2. y’2 – 16x’ = 0

6. 16x’2 + 16y’2 – 9 = 0

3.

+

y’2

–8=0

4. x’2 + y’2 – 4 = 0

Y

V

EJERCICIO 24

x’2

X

F X

7. 25x’2 – 16y’2 + 400 = 0 8. y’3 – x’ = 0

1535

A LOS EJERCICIOS


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

4. Foco: F(0, 4), Directriz: y 4 0, LR 16, Eje: x 0 Y

¤ 3³ 9. Foco: F ¥ 0, ´ , Directriz: 4y 3 0, LR 3, ¦ 4µ Eje: x 0 Y

F L X

V

−1

1 F

R

V

1

y+4=0 5. Foco: F(– 4, 0), Directriz: x – 4 0, LR 16, Eje: y 0 Y x+4=0

X 4y + 3 = 0

−1

8 ¤ 2³ 10. Foco: ¥ 0, ´ , Directriz: 3y – 2 0, LR , 3 3µ ¦ Eje: x 0 Y

F

V

3y − 2 = 0 V

X −1

6. Foco: F(0, – 2), Directriz: y – 2 0, LR 8, Eje: x 0 Y

¤5 ³ 11. Foco: F ¥ , 0´ , Directriz: 4x 5 0, LR 5, ¦4 µ Eje: y 0 Y L

4x + 5 = 0

V X

1 −1 V −1

R

F

¤ 3³ 7. Foco: F ¥ 0, ´ , Directriz: 2y – 3 0, LR 6, 2µ ¦ Eje: x 0 Y 2y−3=0

X

−1

4x − 1 = 0

V

F R −1

Y V

X

L

R

8. Foco: F(2, 0), Directriz: x 2 0, LR 8, Eje: y 0 x+2=0

F

¤ 1 ³ 12. Foco: ¥ , 0´ , Directriz: 4x – 1 0, LR 1, ¦ 4 µ Eje: y 0 Y 1

F

1

R

V L

R

F

y−2=0

L

X

1

L

F X

1536

1 X


SOLUCIÓN

¤ 1³ 13. Foco: F ¥ 0, ´ , Directriz: 4y 1 0, LR 1 ¦ 4µ Eje: x 0 Y 1

¤ 21 ³ 5 14. V(1, 0), F ¥ , 0´ , LR , D: 16x – 11 0, E: y 0 ¦ 16 µ 4 15. y2 20x – 8y – 24 0 16. x2 – 6x 16y 25 0 17. y2 – 8x – 4y 28 0

F

−1 L

V

R

18. x2 10x – 12y 49 0

1

X 4y + 1 = 0

−1

19. y2 – 2x 8y 20 0 20. 3x2 18x – 28y – 29 0 21. y2 24x – 12y – 60 0

14. y2 20x 0

25. x2 – y 0

22. x2 – 8x – 16y 32 0

15. x2 – 24y 0

26. y2 18x 0

23. y2 8y – 20x 36 0

16. y2 – 8x 0

27. x2 4y 0

24. x2 28y – 28 0

17. x2 4y 0

28. 3y2 – 16x 0

25. y2 14x – 4y 25 0

18. y2 2x 0

29. 3x2 16y 0

26. x2 – 14x – 10y 54 0

19. 3x2 28y 0

30. 3 13 unidades

27. x2 – 2x – 8y – 23 0

20. x2 – 8y 0

31. 5 2 unidades

28. x2 6x – 24y 129 0

21. y2 24x 0

32. 2x2 – y 0, y2 – 4x 0

x2 6x 24y – 111 0

22. x2 10y 0

33. y2 3x 0, y2 – 3x 0

29. y2 24x – 4y – 116 0

23. y2 6x 0

34. y2 – 12x 0

30. x2 – 6x 24y – 87 0

24. 3y2 – 16x 0

35. x2 – 8y 0

31. (4, 8), (7, – 4)

EJERCICIO 27 V: Vértice, F: Foco, LR: Lado recto, D: Directriz 1. V(1, 5), F(4, 5), LR 12, D: x 2 0, Eje: y 5 2. V(6, – 2), F(6, – 6), LR 16, D: y – 2 0, Eje: x 6 3. V(– 2, – 4), F(– 7, – 4), LR 20, D: x – 3 0, Eje: y – 4 4. V(–1, 5), F(–1, 4), LR 4, D: y – 6 0, Eje: x –1

EJERCICIO 28 1. y2 – x 2y 1 0

5. x2 – 4x – y 3 0

2. y2 – 4x 0

6. x2 – y 1 0

3.

3y2

–x 7 0

4. y2 – x – 4 0

7. 2x2 3x – y 1 0 8. x2 6x – 2y 5 0

EJERCICIO 29

5. V(– 2, 0), F(0, 0), LR 8, D: x 4 0, Eje: y 0

1. 8 m

6. x – 4y 24 0

6. V(0, 2), F(0, 8), LR 24, D: y 4 0, Eje: x 0

2. 62.5 cm

7. 2x – y – 9 0

¤ 7³ 7. V(– 4, 2), F ¥ 4, ´ , LR 6, D: 2y – 1 0, Eje: x – 4 2µ ¦

3. 18.75 cm

8. x – 2y 2 0

¤4 ³ ¤ 41 ³ 8. V ¥ , 3´ , F ¥ , 3´ , LR 5, D: 20x 9 0, Eje: y – 3 µ ¦ 20 ¦5 µ

4. 27.71 cm 5. x – y – 2 0

¤3 ³ ¤3 ³ 3 9. V ¥ , 2´ , F ¥ , 3´ , LR 4, D: y – 1 0, x 2 ¦2 µ ¦2 µ 3 ¤ 1 ³ ¤ 19 1 ³ 13 1 10. V ¥ 2, ´ , F ¥ , ´ , LR , D: x , Eje: y 2 4µ ¦ 8 4µ 8 ¦ 4 ¤ 1 3³ ¤ 1 1³ 1 11. V ¥ , ´ , F ¥ , ´ , LR 4, D: 2y 5 0, Eje: x 2 ¦ 2 2µ ¦ 2 2µ ¤ 10 ³ 4 12. V(3, –1), F ¥ , 1´ , LR , D: 3x – 8 0, Eje: y –1 3 ¦ 3 µ ¤ 1 ³ ¤ 3³ 13. V ¥ 0, ´ , F ¥ 0, ´ , LR 2, D: 4y 1 0, E: x 0 ¦ 4µ ¦ 4µ

A LOS EJERCICIOS

9. x – 3y – 3 0 10. 2x – 3y – 16 0

CAPÍTULO 9 EJERCICIO 30 1. 5x2 9y2 – 180 0 2. 5x2 9y2 – 45 0 3. 49x2 24y2 – 1176 0 4. 25x2 16y2 100x – 128y – 44 0 5. 9x2 25y2 – 18x 100y – 791 0

1537


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

EJERCICIO 31

7 3 11. V(q 4, 0), F(q 3, 0), B(0, o 7 ), LR , e , 2 4

1 1. V(q 2, 0), F(q1, 0), B(0, o 3 ), LR 3, e , 2

V1V2 8 , F1F2 6 , B1 B2 2 7

V1V2 4 , F1F2 2 y B1 B2 2 3 10 2 2. V(0, q 3), F(0, q 2), B(o 5 , 0 ), LR , e , 3 3

12. V(q1, 0), F(q

e

V1V2 6 , F1F2 4 y B1 B2 2 5 3. V(0, q2 3 ), F(0, q 7 ), B( o 5 , 0 ), LR

5 3 , 3

15 , 4

e

4 5 , 5

15 , V1V2 2 5 , F1F2 2 3 y B1 B2 2 2 5

14. V(0, q 2 2 ), F(0, q 6 ), B( o 2 , 0 ), LR 2 ,

e V1V2 16 , F1F2 4 15 y B1 B2 4 18 4 5. V(q 5, 0), F(q 4, 0), B(0, q 3), LR , e , 5 5

2 , V1V2 2 , F1F2 2 , B1 B2 2 2

13. V(0, q 5 ), F(0, q 3 ), B(o 2 , 0 ), LR

21 , V1V2 4 3 , F1F2 2 7 y B1 B2 2 5 e 6 4. V(q 8, 0), F(q2 15 , 0), B(0, q 2), LR 1, e

2 2 , 0), B(0, o ), LR 1, 2 2

3 , V1V2 4 2 , F1F2 2 6 y B1 B2 2 2 2

15. V(q 3, 0), F(q 6 , 0), B(0, o 3 ), LR 2, e

6 , 3

V1V2 6 , F1F2 2 6 y B1 B2 2 3 V1V2 10 , F1F2 8 y B1 B2 6 3 6. V(0, q 4), F(0, q2 3 ), B(q 2, 0), LR 2, e , 2

16. V(0, q2 3 ), F(0, q 2 2 ), B(q 2, 0), LR e

V1V2 8 , F1F2 4 3 y B1 B2 4 7. V(0, q

5 5 5 20 5 5 ), F(0, q ), B( o , 0 ), LR , e , 2 6 9 3 3

8. V(0, q1), F(0, q

6 , V1V2 4 3 , F1F2 4 2 y B1 B2 4 3

EJERCICIO 32 1. 5x2 9y2 – 180 0 2. 7x2 9y2 – 63 0

5 5 10 V1V2 5 , F1F2 y B1 B2 3 3

3. x2 5y2 – 5 0

3 1 3 1 ), B(o , 0 ), LR , e , 2 2 2 2

4. 49x2 24y2 – 1176 0 5. 3x2 y2 – 3 0 6. 16x2 25y2 – 400 0

V1V2 2 , F1F2 3 , B1 B2 1 9. V(0, q 3 ), F(0, q1), B(o 2 , 0 ), LR e

7. 7x2 16y2 – 112 0 4 3 , 3

3 , V1V2 2 3 , F1F2 2 y B1 B2 2 2 3

1 7 3 1 10. V(0, q ), F(0, q ), B(o , 0), LR , 3 12 8 4 e

7 2 7 1 , V1V2 , F1F2 y B1 B2 4 3 6 2

8. 4x2 13y2 – 52 0 9. 9x2 14y2 – 126 0 10. 3x2 2y2 – 12 0 11. 5x2 y2 – 5 0 12. 65x2 16y2 – 1040 0 13. 9x2 5y2 – 45 0 14. 9x2 25y2 – 225 0 15. 16x2 7y2 – 448 0

1538

4 3 , 3


SOLUCIÓN

16. 12x2 16y2 – 3 0

A LOS EJERCICIOS

¤ 5 15 ³ ¤ 5 9³ ¤ 5 3³ 7. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´ , V2 ¥ , ´ , ¦ 2 4µ ¦ 2 4µ ¦ 2 4µ

17. 8x2 9y2 – 72 0; 9x2 8y2 – 72 0 18. 9x2 4y2 – 36 0

¤ 5 3 ¤ 5 3 ¤ 1 3³ ³ ³ F1 ¥ , 5 ´ , F2 ¥ , 5 ´ , B1 ¥ , ´ , µ µ ¦ 2 4 ¦ 2 4 ¦ 2 4µ

19. x2 4y2 – 16 0 20. 9x2 13y2 – 117 0

¤ 9 3³ 8 5 , V1V2 6 , B2 ¥ , ´ , LR , e ¦ 2 4µ 3 3

21. x2 4y2 – 9 0 22. x2 2y2 – 2 0; 2x2 y2 – 2 0

F1F2 2 5 , B1 B2 4 EJERCICIO 33 1. C(2, 1), V1(2, 5), V2(2, – 3), F1(2, 1 7 ), F2(2, 1 7 )

8. C(1, 2), V1(4, 2), V2(– 2, 2), F1(1 5 , 2), F2(1 5 , 2),

9 7 , V1V2 8 , B1(5, 1), B2(–1, 1), LR , e 2 4

8 5 B1(1, 4), B2(1, 0), LR , e , V1V2 6 , 3 3

F1F2 2 7 , B1 B2 6

F1F2 2 5 , B1 B2 4

¤ 2 3 3 ³ ¤2 ³ ¤8 ³ ¤ 4 ³ ,1´ , 2. C ¥ ,1´ , V1 ¥ ,1´ , V2 ¥ ,1´ , F1 ¥ 3 ¦3 µ ¦3 µ ¦ 3 µ ¦ µ

¤ 7 3³ ¤ ¤ 8 3³ 3³ 9. C ¥ , ´ , V1 ¥ 2, ´ , V2 ¥ , ´ , 4µ ¦ 3 4µ ¦ ¦ 3 4µ

¤ 2 3 3 ³ ¤2 ³ ¤2 ³ 3 ,1´ , B1 ¥ , 2´ , B2 ¥ , 0´ , LR 1, e , F2 ¥ ¦3 µ ¦3 µ 3 2 ¦ µ

¤ 28 7 3 ³ ¤ 28 7 3 ³ ¤ 7 ³ , ´ , F2 ¥ , ´ , B1 ¥ ,1´ , F1 ¥ 12 4µ 12 4µ ¦ 3 µ ¦ ¦

V1V2 4 , F1F2 2 3 , B1 B2 2

¤ 7 1³ 3 7 2 , V1V2 , B2 ¥ , ´ , LR , e ¦ 3 2µ 8 4 3

3. C(– 5, 1), V1(– 2, 1), V2(– 8, 1), F1( 5 6 , 1), F1F2

7 1 , B1 B2 6 2

F2( 5 6 , 1), B1(– 5, 1 3 ), B2(– 5, 1 3 ), 6 , V1V2 6 , F1F2 2 6 , B1 B2 2 3 LR 2, e 3

¤ 5 7 2 3 ³ ¤ 5 7³ 10. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´, 2 ¦ 3 2µ ¦ 3 µ ¤ 5 7 2 3 ³ ¤ 5 5³ ¤ 5 9³ V2 ¥ , ´ , F1 ¥ , ´ , F2 ¥ , ´ , 2 ¦ 3 2µ ¦ 3 2µ ¦ 3 µ

4. C(0, 2), V1(0, 7), V2(0, – 3), F1(0, 5), F2(0, –1), B1(4, 2), B2(– 4, 2), LR

32 3 , e , V1V2 10 , F1F2 6 , B1 B2 8 5 5

¤ 5 3 2 7 ³ ¤ 5 3 2 7 ³ , ´ , B2 ¥ , ´ , B1 ¥ 3 2 3 2µ ¦ µ ¦

5. C(5, – 2), V1(9, – 2), V2(1, – 2), F1(5 15 , – 2),

LR

1 F2(5 15 , – 2), B1(5, –1), B2(5, – 3), LR , 2 e

B1 B2 2 2

15 , V1V2 8 , F1F2 2 15 , B1 B2 2 4

11. C(– 3, 2) V1(0, 2), V2(– 6, 2) F1(–1, 2), F2(– 5, 2), B1(– 3, 2 5 ), B2(– 3, 2 5 ), LR

6. C(2, 3), V1(2, 9), V2(2, – 3), F1(2, 3 3 3 ), F2(2, 3 3 3 ), B1(5, 3), B2(–1, 3), LR 3, e

4 3 3 , e , V1V2 2 3 , F1F2 2 , 3 3

V1V2 6 , F1F2 4 , B1 B2 2 5

3 , 2

V1V2 12 , F1F2 6 3 , B1 B2 6

1539

10 2 , e , 3 3


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

¤ 1 4³ ¤ 11 4 ³ ¤ 5 4³ 12. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´ , V2 ¥ , ´ , ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ

¤ ¤ 1 ³ ¤ 3 ³ 5 ³ , 2´ , 17. C(–1, 2), V1 ¥ , 2´ , V2 ¥ , 2´ , F1 ¥ 1 6 µ ¦ 2 µ ¦ 2 µ ¦ ¤ ¤ ¤ 5³ 7³ 5 ³ 4 , 2´ , B1 ¥ 1, ´ , B2 ¥ 1, ´ , LR , F2 ¥ 1 3 3 6 9 µ µ ¦ ¦ ¦ µ

¤ 5 2 5 4 ³ ¤ 5 2 5 4 ³ , ´ , F2 ¥ , ´, F1 ¥ 2 3µ 2 3µ ¦ ¦

5 5 2 , V1V2 1 , F1F2 , B1 B2 3 3 3

e

¤ 5 10 ³ ¤ 5 2³ 8 5 B1 ¥ , ´ , B2 ¥ , ´ , LR , e , ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ 3 3

EJERCICIO 34 V1V2 6 , F1F2 2 5 , B1 B2 4 1. ¤ 9 12 ³ ¤ 1 12 ³ ¤ 11 12 ³ 13. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´ , V2 ¥ , ´ ¦2 5 µ ¦ 2 5µ ¦ 2 5µ

x 7 2 y 2 2 1 16

x2

4

4y2

– 14x 16y 49 0

2

¤ 1 2 21 12 ³ ¤ 1 2 21 12 ³ , ´ , F2 ¥ , ´, F1 ¥ 2 5µ 2 5µ ¦ ¦

2.

x 3 y 3 2 1 25

9x2 ¤ 1 22 ³ ¤ 1 2³ 8 21 , B1 ¥ , ´ , B2 ¥ , ´ , LR , e ¦ 2 5µ ¦ 2 5µ 5 5

¤ ³ ¤ ¤ 3 1³ 3³ 1 , 1´ , B1 ¥ 0, ´ , B2 ¥ 0, ´ , LR , F2 ¥ 2µ 2µ ¦ ¦ 2 ¦ 2 µ e

3.

4.

5.

16

9

16y2

– 72x 0

x 3 y 4 2 1 25

4

25y2

– 24x – 200y 336 0

2

x 6 y 5 2 1 100

9x2

36

25y2

1 e , V1V2 4 , F1F2 2 , B1 B2 2 3 2

– 108x – 250y 49 0

y 2 x 5 9 2

7.

2 1

9x2 5y2 20y – 25 0 8.

¤ 3 1³ ¤ 3 1 ¤ 3 1 ³ ³ F1 ¥ , 7 ´ , F2 ¥ , 7 ´ , B1 ¥ , ´ , µ µ ¦ 2 3µ ¦ 2 3 ¦ 2 3

F1F2 2 7 , B1 B2 6

x 4 2 y 2 1

4x2

B1 2 3 , 0 , B2 2 3 , 0 , LR 3,

¤ 9 1³ 9 7 , V1V2 8 , B2 ¥ , ´ , LR , e 2 4 ¦ 2 3µ

16

2

15. C(– 2, 0), V1(– 2, 2), V2(– 2, – 2), F1(– 2, 1), F2(– 2, –1),

¤ 3 1³ ¤ 3 13 ³ ¤ 3 11³ 16. C ¥ , ´ , V1 ¥ , ´ , V2 ¥ , ´ , ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ

7

9x2

3 , V1V2 2 , F1F2 3 , B1 B2 1 2

x 2 y 1 2 1 16x2 7y2 64x 14y – 41 0

6.

– 54x – 150y 81 0

2

V1V2 10 , F1F2 2 21 , B1 B2 4 ¤ 3 ³ , 1´ , 14. C(0, –1), V1(1, –1), V2(–1, –1), F1 ¥ 2 ¦ µ

9

25y2

x 3 2 y 2 2 1 4

9x2

36

y2

– 54x 4y 49 0

2

9.

x 4 y 1 2 1 9

25x2

25

9y2

200x – 18y 184 0

2

10.

x 7 y 5 2 1 36

4

x2 9y2 14x – 90y 238 0

1540


SOLUCIÓN

11.

CAPÍTULO 10

x 6 2 y 2 2 1 25

A LOS EJERCICIOS

16

EJERCICIO 38

16x2 25y2 192x 100y 276 0 2

1. 5x2 – 4y2 – 20 0

2

¤ ¤ 8³ 11³ ¥¦ x 3 ´µ ¥¦ y 2 ´µ 1 12. 36 16

2.

16x2

9y2

– 144 0

3. 13y2 – 36x2 – 468 0 4.

156y2

100x2

5. 3x2 – 4y2 – 12 0 6. 7x2 – 9y2 – 70x 72y – 32 0 7. 9y2 – 16x2 – 96x – 36y – 252 0

– 975 0

144x2 324y2 – 768x 3 564y 5 641 0 13.

EJERCICIO 39

x 5 2 y 7 2 1 9

1. V(q 9, 0), F( o3 10 , 0), B(0, q 3), V1V2 18 ,

1

10 F1F2 6 10 , B1 B2 6 , LR 2, e . 3 1 Asíntotas: y o x 3 2. V(q1, 0), F( o 5 , 0), B(0, q 2), V1V2 2 ,

x2 9y2 – 10x – 126y 457 0 14.

x 4 2 y 2 1 16

7

7x2 16y2 56x 0 15.

x 1

2

25

y 2

F1F2 2 5 , B1 B2 4 , LR 8, e

2

Asíntotas: y q 2x

1

9

3. V(0, o2 2 ), F(0, o 13 ), B( o 5 , 0), V1V2 4 2 ,

9x2 25y2 18x – 100y – 116 0 16.

x 3

2

64

y 6

F1F2 2 13 , B1 B2 2 5 , LR

2

48

1

F1F2 2 5a , B1 B2 2a , LR a, e

11

Asíntotas: y q 2x

11x2 36y2 110x – 216y 203 0 18.

8 5 3 5 F1F2 6 , B1 B2 4 , LR ,e . 5 5 2 x Asíntotas: y o 5 6. V(q 3, 0), F(q 5, 0), B(0, q 4), V1V2 6 , F1F2 10 , 32 5 4 B1 B2 8 , LR , e . Asíntotas: y o x 3 3 3 7. V(0, q1), F(0, o 5 ), B(q 2, 0), V1V2 2 ,

12

3x2 y2 – 12x – 2y 1 0 EJERCICIO 35 1. Conjunto vacío

6. Conjunto vacío

2. Punto

7. Un punto

3. Elipse

8. Un punto

4. Elipse

9. Conjunto vacío

5. Elipse

F1F2 2 5 , B1 B2 4 , LR 8; e 5 . 1 Asíntotas: y o x 2 8. V(q 5, 0), F( o 105 , 0), B(0, o4 5 ), V1V2 10,

10. Elipse

EJERCICIO 36 1. 3x2 8y2 18x 8y – 21 0

6. x2 4y2 – 16 0

2. 9x2 4y2 – 36x – 16y 16 0

7. 3x2 y2 – 3 0

3.

4x2

y2

– 32x – 4y 64 0

4. x2 9y2 – 18y 0 5.

4x2

25y2

– 16x – 84 0

F1F2 2 105 , B1 B2 8 5 , LR 32; e

9. 9x2 4y2 18x 24y 9 0 10. 25x2 4y2 – 100x 8y 4 0

4. 11.8578 años

4 5 x 5 9. V(0, q 4), F(0, o2 13 ), B(q 6, 0), V1V2 8, 13 F1F2 4 13 , B1 B2 12 , LR 18; e . 2 2 Asíntotas: y o x 3 10. V(0, q 2), F(0, o2 2 ), B(q 2, 0), V1V2 4 ,

3y 6 0

2. 0.72298 UA

5. 3x –

3. 1.8739 años

6. 3x 5y – 44 0

105 . 5

Asíntotas: y o

8. 9x2 25y2 – 225 0

EJERCICIO 37 1. 30.0588 UA

5 . 2

5. V( o 5 , 0), F(q 3, 0), B(0, q 2), V1V2 2 5 ,

x 2 2 y 1 2 1 4

26 . 4

2 10 x 5 4. V(0, q 2a), F(0, o 5a), B(q a, 0), V1V2 4 a ,

x 5 2 y 3 2 1 36

5 2 ,e 2

Asíntotas: y o

3x2 4y2 – 18x – 48y – 21 0 17.

5.

F1F2 4 2 , B1 B2 4 , LR 4; e Asíntotas: y q x

1541

2.


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

11. V(0, o 5 ), F(0, o 11 ), B( o 6 , 0), V1V2 2 5 , F1F2 2 11 , B1 B2 2 6 , LR

5. C(–1, – 3), V(–1, – 3 q 3), F( 1, 3 o 13 ),

12 5 , 5

B(–1 q 2, – 3), V1V2 6 , F1F2 2 13 , B1 B2 4 , 8 13 3 . Asíntotas: y 3 o x 1 LR , e 3 3 2

55 30 . Asíntotas: y o x 5 6

e

6. C(– 2, 1), V(– 2 q 4, 1), F(– 2 q 5, 1), B(– 2, 1 q 3), 12. V( o 5 , 0), F( o 17 , 0), B(0, o2 3 ), V1V2 2 5 , 9 5 V1V2 8 , F1F2 10 , B1 B2 6 , LR , e . 2 4

24 5 F1F2 2 17 , B1 B2 4 3 , LR , 5

Asíntotas: y 1 o

85 2 15 . Asíntotas: y o x 5 5

e

1. 7y2 – 9x2 – 63 0

11. 5y2 – 6x2 – 30 0

2. 9x2 – 16y2 – 144 0

12. 3x2 – 4y2 – 12 0

3. 3x2 – 2y2 12 0

13. x2 – 2y2 – 12 0

4. x2 – 2y2 – 8 0

14. 5y2 – 6x2 – 30 0

5. 4x2 – y2 – 4 0

15. 9y2 – 16x2 – 256 0

7. 4x2 – 9y2 – 36 0 8.

25y2

16x2

– 400 0

9. x2 – 4y2 – 36 0 10.

x2

3y2

– 12 0

¤1 ³ B ¥ ,1 o 2´ V1V2 6 , F1F2 2 13 , B1 B2 4 , ¦2 µ 2¤ 1³ 8 13 . Asíntotas: y 1 o ¥ x ´ LR , e 3¦ 2µ 3 3 8. C(– 3, 0), V(– 3, 0 q 2), F( 3, 0 o 5 ), B(– 3 q 1, 0),

16x2 – 9y2 – 144 0

V1V2 4 , F1F2 2 5 , B1 B2 2 , LR 1, e

16. x2 – 9y2 – 9 0 18. 9x2 – 4y2 – 36 0 19. 4x2 – 9y2 – 36 0

¤ 1 1³ ¤1 1 ³ ¤1 1 ³ 9. C ¥ , ´ , V ¥ , o 2´ , F ¥ , o 2 2 ´ , ¦ 2 2µ ¦2 2 µ ¦2 2 µ ¤1 1³ B ¥ o 2, ´ , V1V2 4 , F1F2 4 2 , B1 B2 4 , 2µ ¦2

1. C(– 3, 4), V(– 3 q 5, 4), F( 3 o 34 , 4), B(– 3, 4 q 3), V1V2 10 , F1F2 2 34 , B1 B2 6 , LR 34 3 . Asíntotas: y 4 o x 3 5 5

LR 4, e 2 . Asíntotas: y

18 , 5

B(0, – 2 q 6), V1V2 6 , F1F2 6 5 , B1 B2 12 ,

V1V2 4 , F1F2 2 5 , B1 B2 2 , LR 1,

LR 24, e

5 . Asíntotas: y q 2(x 1) e 2

5 . Asíntotas: y 2 q 2x

11. C(3, – 2), V(3 q 1, – 2), F 3 o 2 , 2 ,

3. C(0, – 2), V(0 q 3, – 2), F(0 o 13 , – 2), B(0, – 2 q 2),

B(3, – 2 q 1), V1V2 2 , F1F2 2 2 , B1 B2 2 ,

8 V1V2 6 , F1F2 2 13 , B1 B2 4 , LR , 3

LR 2, e 2 . Asíntotas: y 2 q (x – 3)

13 2 . Asíntotas: y 2 o x 3 3

12. C(2, – 2), V(2, – 2 q 3), F 2, 2 o 10 ,

4. C(1, 2), V(1, 2 o 2 ), F(1, 2 o 10 ), B(1 o 2 2 , 2 ),

B(2 q 1, – 2), V1V2 6 , F1F2 2 10 , B1 B2 2 ,

V1V2 2 2 , F1F2 2 10 , B1 B2 4 2 , LR 8 2 , e 5 . Asíntotas: y 2 o

1 1 o ¤¥ x ³´ ¦ 2 2µ

10. C(0, – 2), V(0 q 3, – 2), F 0 o 3 5 , 2 ,

2. C(–1, 0), V(–1, 0 q 2), F(–1, 0 o 5 ), B(–1 q 1, 0),

e

5 . 2

Asíntotas: y q 2(x 3)

17. 5x2 – 6y2 – 30 0

EJERCICIO 41

e

³ ¤1 ³ ¤1 ³ ¤1 7. C ¥ ,1´ , V ¥ o 3,1´ , F ¥ o 13 ,1´ , µ ¦2 µ ¦2 µ ¦2

EJERCICIO 40

6. 5x2 – 2y2 – 40 0

3 x 2 4

2 10 . Asíntotas: y 2 q 3(x – 2) LR , e 3 3

1 x 1 2

1542


SOLUCIÓN

¤ 1 1³ ¤ 1 1³ ¤ 1 1³ 13. C ¥ , ´ , V ¥ o 3, ´ , F ¥ o 13 , ´ , 3µ ¦ 2 3µ ¦ 2 3µ ¦ 2

18. C(– 7, –1), V( 7 o 2 , –1), F(– 7 q 2, –1), B(– 7, 1 o 2 ), V1V2 2 2 , F1F2 4 ,

¤1 1 ³ B ¥ , o 2´ , V1V2 6 , F1F2 2 13 , ¦2 3 µ

B1 B2 2 2 , LR 2 2 , e 2 . Asíntotas: y 1 q1(x 7)

8 13 B1 B2 4 , LR , e . 3 3 Asíntotas: y

19. C(– 7, –1), V(– 7 q 1, –1), F( 7 o 3 , –1),

1 2¤ 1³ o ¥x ´ 3 3¦ 2µ

B(– 7, 1 o 2 ), V1V2 2 , F1F2 2 3 ,

B1 B2 2 2 , LR 4, e 3 .

14. C(4, 3), V 4 o 2 2 ,3 , F 4 o 2 3 ,3 , B(4, 3 q 2), V1V2 4 2 , F1F2 4 3 , B1 B2 4 , LR 2 2 , e Asíntotas: y 3 o

A LOS EJERCICIOS

Asíntotas: y 1 o 2 x 7

20. C(–1, 5), V( 1 o 3 , 5), F( 1 o 7 , 5),

6 . 2

2 x 4 2

B(–1, 5 q 2), V1V2 2 3 , F1F2 2 7 , B1 B2 4 , LR

8 21 3 , e . 3 3

Asíntotas: y 5 o

15. C(–1, – 3), V(–1, 3 o 6 ), F(–1, 3 o 11),

2 3 x 1 3

EJERCICIO 42 B( 1 o 5 , – 3), V1V2 2 6 , F1F2 2 11 ,

1. 16x2 – 9y2 18y – 153 0 2. 11y2 – 25x2 22y – 200x – 664 0

B1 B2 2 5 , LR

5 66 6 , e . 3 6

Asíntotas: y 3 o

30 x 1 5

16. C(– 4, –1), V(– 4 q 2, –1), F( 4 o 7 , –1), B(– 4, 1 o 3 ), V1V2 4 , F1F2 2 7 , B1 B2 2 3 , LR 3, e Asíntotas: y 1 o

4. 5y2 – 4x2 – 30y 8x 21 0 5. 9x2 – 16y2 – 54x 64y – 127 0 6. 5x2 – 4y2 60x 24y 124 0 7. 3x2 – y2 – 12x 6y – 9 0 8. 9x2 – 7y2 18x 42y 9 0 9. x2 – 2y2 – 8x 12y – 10 0 10. 6x2 – 5y2 24x – 30y 9 0 11. 3x2 – 4y2 24x – 8y 32 0

7 . 2

3 x 4 2

3. 9x2 – 16y2 – 36x – 64y – 172 0

12. 9x2 – 16y2 – 18x 96y – 279 0 13. 4y2 – 5x2 – 8y – 10x – 21 0

14. 9x2 – 4y2 36x 8y – 4 0

17. C(2, 5), V( 2 o 2 3 , 5), F(2 o 3 2 , 5),

EJERCICIO 43 1. k 5

B(2, 5 o 6 ), V1V2 4 3 , F1F2 6 2 , B1 B2 2 6 , LR 2 3 , e Asíntotas: y 5 o

2 x 2 2

6 . 2

5. k 1

9. k 0

2. k – 2

6. k 1

10. k – 7

3. k 77 1 4. k 6

7. k 64

11. k – 32

8. k – 35

EJERCICIO 44 1. 5x – 4y 16 0 2. 5x

34 y 25 0

3. 5x – 4y 26 0

1543

4. 2x – 5y – 30 0 5. x 4y – 9 0


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

CAPÍTULO 11 EJERCICIO 45 1.

y’2

EJERCICIO 50 1. 5x2 + 9y2 + 48x – 54y – 63 = 0 2. 4x2 + 3y2 – 8x – 12y + 4 = 0

– 2 x=0

3. y2 + 14x – 6y – 12 = 0

2. 3x’2 + 4y’2 – 12 = 0

4. 16x2 – 9y2 + 200y – 400 = 0

3. x’2 – y’2 + 4 = 0

5. x2 – 16xy + y2 – 36x + 18y + 45 = 0

4. x’2 + y’ = 0

6. 3x2 + 4xy – 18x – 2y – 4 = 0

5. x’2 + 2y’2 + 4x’ + 4y’ – 3 = 0

7. 144x2 + 432xy + 324y2 + 984x – 1 332y – 1 127 = 0 8. 2xy + a2 = 0

EJERCICIO 46

9. 7y2 – 24xy – 6y + 144x – 225 = 0

1. x’2 – y’2 – 1 = 0 2.

y’2

10. x2 + 4y2 – 6 3 ax + 11a2 = 0

– 8x’ = 0

3. x’2 + 4y’2 – 4 x’ – 8y’ + 4 = 0

EJERCICIO 51 25 1. x = o 3

4. x’2 – 3 y’ = 0 5.

x’2

y’2

–2=0

6. 4x’2 + 9y’2 + 8 2 x’ – 28 = 0

2. y = o

7. 3x’2 + y’2 – 2 2 x’ – 10 2 y’ + 10 = 0 3. x = o

8. 6x’2 + y’2 – 6 5 x’ + 8 5 y’= 0 9. 2y’2 – 5 2 x’ + 15 2 y’= 0

4. x = o

10. 3x’2 – y’2 – 24 2 x + 104 = 0 EJERCICIO 47 1.

y”2

– 4x” = 0

5. y = o 6.

y”2

+ 6x” = 0

2. 4x”2 + y”2 – 4 = 0

7. x”2 – y”2 + 9 = 0

3. 4x”2 + 9y”2 – 36 = 0

8. x”2 – 12y” = 0

4. 4x”2 – 9y”2 – 36 = 0

9. 4x”2 + y”2 – 4 = 0

5. x”2 + 8y” = 0

1. Parábola

6. Parábola

2. Elipse

7. Elipse

3. Hipérbola

8. Elipse

4. Parábola

9. Parábola 10. Hipérbola

EJERCICIO 49 1. x – y + 3 = 0;

5 4 29 16 5

7. P(– 1, – 1)

3. x – y + 1 = 0

8. 3x + 4y – 2 = 0

4. x + y + 3 = 0;

9. x + 3y – 2 = 0; x – 2y + 2 = 0 10. 2x + 3y – 5 = 0

34

8. x = – 3 o 9. x = o 10. y = 1 o

9 5 25 41

2 2 16 7

EJERCICIO 52 1. 3x + 4y – 25 = 0

6. x – 4y + 17 = 0

2. 9x + 4y – 31 = 0

7. 3x – 5y + 18 = 0

3. 5x – 4y – 21 = 0

8. y – 2 = 0

4. 6x – 5y + 31 = 0

9. x – y – 7 = 0 10. 16x + 25y + 41 = 0

EJERCICIO 53 1. 3x – 2y + 13 = 0; 3x – 2y – 13 = 0 2. 2x – 3y + 3 5 = 0; 2x – 3y – 3 5 = 0 3. x – 6y + 14 = 0 4. x + 2y + 1 = 0

EJERCICIO 54 1. x – y + 2 = 0; x + 2y + 8 = 0

2. 3x + y + 1 = 0

4x – y + 7 = 0

9

25

7. y = 2 o

5. x + 4y – 3 = 0, x + 4y + 9 = 0 6. x + 5y – 2 = 0

x + 2y = 0

5. 3x – 2y = 0;

7

5. 12x – 5y – 38 = 0

EJERCICIO 48

5. Elipse

16

6. y = o

2. y = 0, 2x + y + 8 = 0 3.

3x 3 y 6 0 ;

3x 3 y 6 0

4. 3x – 5y + 18 = 0; 5x + 3y – 38 = 0 5. 2x – y + 1 = 0; x + y – 4 = 0

x+y=0

1544


SOLUCIÓN

EJERCICIO 56

CAPÍTULO 12 EJERCICIO 55

1. A 3 2 , 3 2

2. R 2, 2 3

3. P 4, 4

9. N 5 2 , 5 2

¤3 3 ³ 3 11. T ¥ , ¦ 2 2 ´µ

5. B 5, 5 3 6. C 0, 4

¤ 15 15 ³ 10. S ¥ 3, ´ 2µ ¦ 2

4. A 4 3 , 4

¤ 7 7 ³ 8. M ¥ 2, 2 2 ´µ ¦ 2

12. A 1, 3

¤ 3 1³ 13. S ¥ , ´ ¦ 4 4µ

¤ 3 3³ 14. C ¥ , ´ ¦2 2 µ

¤5 5 ³ 3 7. Q ¥ , ¦ 2 2 ´µ

1. d AB 5 u

5. d IJ 89 40 3 u

2. dCD 3 5 u

6. A 36u

3. d EF 17 u

7. A 6u 2

4. dGH 2 7 u

8. A 32u 2

EJERCICIO 57 1. r sen S + 3 = 0

18. C (5, 323°7’48”) = (– 5, 143°7’48”) 19. B(15, 306°52’11”) = (– 15, 126°52’11”) 20. C(4, 0°) = (– 4, 180°) 21. W(6, 270°) = (– 6, 90°)

8. r + 4 cos S = 0

3. S = 60°

9. r – 2 sen S = 0

4. r =

6 2cos Q 3sen Q

10. r2 – 4 r cos S – 6 r sen S – 12 = 0

5. r =

2 sen Q cos Q

11. r =

6. r =

p cos Q w

12. r2 sen2 S – 12 r cos S – 36 = 0

24. D(– 1, 135°) = (1, 315°) 25. F(25, 16°15’36’’) = (– 25, 196°15’36’’) 26. Z(1, 150°) = (– 1, 330°)

8cos Q sen 2 Q

8cot Q csc Q

14. r2 cos2 S – 2r cos S – 4r sen S – 3 = 0 o6 15. r = 5cos 2Q 4

o20

16. r =

16 9sen 2Q

17. 9r2 cos2 S + 25r2 sen2 S – 72r sen S – 81 = 0 18. r

36sen Q 2 4 5sen Q

o3

19. r

cos 2Q o12

20. r

2 25cos Q 9

22. M(5, 306°52’11’’) = (– 5, 126°52’11’’) 23. Q(13, 157°22’48’’) = (– 13, 337°22’48’’)

7. r = ± 4

2. r cos S – 5 = 0

16. A(13, 67°22’48”) = (– 13, 247°22’48”) 17. P 2 13, 213n41’24” = 2 13, 33n41’24”

2

13. r = sen2 S

¤ 3 ³ 3 15. B ¥ 2 3, 2 3´ 8 ¦ 8 µ

A LOS EJERCICIOS

21. 9r2 cos2 S – 4r2 sen2 S + 8r sen S – 40 = 0 22. r = cos S ± 1 23. r = o

8 sen 2Q

24. r = o cos 2Q

27. Q( 34 , 329°2’10’’) = (– 34 , 149°2’10’’) 1 sen 2Q 2

28. L(3, 180°) = (– 3, 0°)

25. r =

¤ 17 ³ ¤ ³ 17 , 284n2’10 ”´ = ¥ 29. J ¥ , 104n2’10 ”´ 2 2 ¦ µ ¦ µ

26. r cos2 S (r sen S – 2) = 16sen S 27. r = 12 ctg S csc S

30. K (5, 90°) = (– 5, 270°) 28. r 29. r

1545

12 3sen Q 4cos Q o4 cos 2 Q 4 sen 2 Q


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

30. r2 cos2 S + 4r sen S – 8 = 0

21. 3x2 + 4y2 – 8x – 16 = 0

31. r = –3sen S ± 2

22.

x

2

y2

23.

5x2

4y2

o6

32. r

34.

(3 +

16 x 2 y 2

– 36x + 36 = 0

25. 4x3 – y2 = 0

33. r2 – 2r cos S = 8 sen2

2

24. x2 + 4y – 4 = 0

2

4 5sen Q

r2

26. x2 + y2 – 5x + 3y – 8 = 0

S) – 6r cos S – 9 = 0

27. x2 + 3x – 2y + 4 = 0 28. y2 – 12x = 0

35. r2 (4 – 9 cos2 S) – 8r sen S – 6 = 0 36. r2 cos2 S – 5r sen S + 15 = 0 37. r

39. r

40.

3 y+8=0

30. x +

31. x – 3 y = 0

2 4ctg Q 3sen Q

32.

o2 2

38. r

29. x2 – y2 = 1

x

2

y

2

2

3

x 3 xy

2

33. (x2 + y2)2 = 2x3 – 6xy2

2cos 2Q 3sen 2Q

34.

1 o 1 tan Q cos Q

x

2

y2

2 x

y

2 2 36. 2 x y

EJERCICIO 58

x 2 y 2 5 ¶ 40 x 2 y 2 ·¸

x 2 y2 –y=0 3

35. x tan

1 r2 sen2 S – r sen S – 3r cos S + 2 = 0 2

2

§¨©

2

3 2

3 2 2

1. y – 5 = 0

37.

2. x + 8 = 0

EJERCICIO 59

4 x

2

1 2

9x 0 y x y

9 x 2 y2

2

2

2

x 0

3. x2 + 2y2 – 4x = 0

1. Parábola horizontal

11. Hipérbola vertical

4. x2 + y2 – 4y = 0

2. Parábola horizontal

12. Parábola vertical

3. Parábola vertical

13. Hipérbola horizontal

4. Parábola vertical

14. Elipse horizontal

5. Elipse vertical

15. Parábola horizontal

6. Hipérbola vertical

16. Elipse horizontal

7. Elipse horizontal

17. Elipse horizontal

8. Elipse horizontal

18. Elipse vertical

9. Hipérbola horizontal

19. Parábola vertical

5.

9x2

6.

x

2

+

5y2

y

2

+ 20y – 25 = 0

3 2

2 xy 0

7. x2 + 2y2 – 256 = 0 8. y2 – 10x – 25 = 0 9. 4(x2 + y2) = (x2 + y2 + x)2 10. x4 + y4 – 15x2 – 16y2 + 2x2y2 – 2x3 – 2xy2 = 0 11. 16(x2 + y2) = (x2 + y2 + 4x)2 12. 2xy – 9 = 0

14.

1. r = 3 sen S

+ 8x – 16 = 0

15.

x

16.

2

3 2 y 2

x 2 y2

3 2

20. Elipse vertical

EJERCICIO 60

13. x2 – 6y – 9 = 0 y2

10. Hipérbola horizontal

4 x 2 – y2

90°

4 2

=y −6

17. 9x2 + 8y2 + 12y – 36 = 0

−4

−2

0

18. 3x2 + 4y2 – 4x – 4 = 0

–2

19. 3x2 – y2 + 12x + 9 = 0

–4

20. 3x2 + 4y2 + 2x – 1 = 0

1546

2

4

Eje polar 6


SOLUCIÓN

2. r =

6. r = sen 3S

3 1 sen Q

90° 1 90° 10

0.5

5 −1.5 −15

−10

−5

5

0

−1

−0.5

Eje polar 15

10

0

0.5

1

Eje polar 1.5

2

4

Eje polar 6

−0.5

−5

−1

−10

7. r = 4cos 3S 3. Elipse

4 90° 90° 2

6

4

−6

−4

−2

0

2

−6

−4

−2

−2

0

4

2

Eje polar 6

−4

8. r = 2 – 3cos S

−2

90° 4

4 4. 2 3cos Q

2 90°

−6

10

−2

−4

0

5

−15

−10

−5

4

2

Eje polar 6

−2

0

5

10

Eje polar 15

−5

−4

9. r = 3cos 3S

−10

90° 4

5. r =

2 sen Q cos Q

1

−3

−2

−1

0

1

2

Eje polar 3

90°

−10

10

−1

5

−2 Eje polar

−5

0

5

10

10. r2 = 16cos 2S

−5

90° 4

−10 2

−6

−4

−2

0

−2 −4

1547

2

4

Eje polar 6

A LOS EJERCICIOS


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

16. r2 = 25sen 2S

11. r = 2S

90°

90°

4

10

2

5

−10

−15

−5

0

5

Eje polar

Eje polar 15

10

−4

−6

−2

0

2

4

6

−2

−5 −4

−10

17. r = 4 – 2sec S

12. r = 3sen 2S

90° 4

90° 2

2 1

−3

−2

−1

0

Eje polar 3

2

1

−4

−6

−2

0

2

4

Eje polar 6

2

4

Eje polar 6

5

10

−2

−1

−4

−2

18. r = 3 + csc S

13. r = 3(1 + cos S)

90° 4

90° 4

2 2

−6

−4

−2

0

4

2

−4

−6

Eje polar 6

−2

0 −2

−2

−4

−4

19. r =

14. r = 2sen 4S

2P Q 90°

90°

−3

2

10

1

5

−2

2

0

Eje polar 3

−15

−10

Eje polar

0

−5

15

−5 −2

−10

15. r2 = – 4cos 2S

20. r = S (1 – cos S) 90°

90

2 4 1

−3

−2

−1

2 0

1

2

Eje polar 3

−6

−4

−2

0

−1 −2 −2

−4

1548

2

4

Eje polar 6


SOLUCIÓN

EJERCICIO 61

3. ( 2, 30°), (2, 150°)

1. r cos S – 5 = 0

4

2. r sen S + 7 = 0

3

3. r sen S – 5 = 0 2

4. r cos S + 1 = 0 5. r cos(S – 60º) = 5

3

6. r cos(S – 75º) = 4

2

1

−1

−2

−3

7. r cos(S – 150º) = 2

0

8. r cos(S – 135º) = 5

Eje polar 3

2

1

−1

EJERCICIO 62

4. (2, 30°), (2, 150°)

1. r2 – 6r cos(S – 30º) – 72 = 0 2. r2 – 10r cos(S – 120º) + 24 = 0

90° 3

3. r2 – 20r cos(S – 45º) + 84 = 0 2

4. r – 14sen S = 0

1

5. r – 6 = 0 EJERCICIO 63

−3

−2

−1

1. (1, 30°), 3 , 60n ,

3 ,30 0n , (– 1, 330°)

0

1

2

3

Eje polar

−1 −2

90° 4

5. (– 2 , 45°), ( 2 , 225°)

2 0.5 −6

−4

−2

0

2

4

Eje polar 6

−1.5

−0.5

−1

0.5

0

−2

1

Eje polar 1.5

−0.5 −1

−4

−1.5

2. (8, 210°), (8, 330°)

−2

90°

6. (1, 30°), (1, 330°), (1, 150°), (1, 210°)

10

90° 2

5

−15

−10

−5

0

5

10

Eje polar 15

1 Eje polar −3

–5

−2

−1

0 −1

–10

−2

1549

1

2

3

A LOS EJERCICIOS


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

¤5 ³ ¤5 ³ 11. ¥ , 60n´ , ¥ , 300n´ ¦2 µ ¦2 µ

¤ 2 ³ ¤ 2 ³ ,60n´ , ¥ 7. ¥ , 300n´ ¦ 3 µ ¦ µ 3

90° 4

90° 4

2 2 Eje polar −4

−6 −6

−4

−2

0

2

4

6

−2

2

0

4

6

Eje polar −2

−2 −4 −4

12. (1, 0°), (1, 180°), (1.8, 300°), (0.13, 60°)

8. (6, 0°)

90° 2

90° 4

1

2

−6

0

2

4

−1

−2

−3

Eje polar −2

−4

1

0

Eje polar 3

2

6 −1

−2 −2 −4

¤3 ³ ¤3 ³ 13. ¥ 2 2 , 45n´ , ¥ 2 2 , 225n´ ¦2 µ ¦2 µ

9. (4, 30°), (4, 150°)

90° 90°

4

6

2

4 Eje polar −2

−4

−6

0

2

6

4

2

–2

−6

−4

−2

0

–4

2

4

Eje polar 6

−2 −4

³ ¤3 ³ ¤3 10. ¥ , 30n´ , ¥ ,150n´ µ ¦2 µ ¦2

14. (3, 15°), (3, 75°), (3, 105°), (3, 165°), (3, 195°), (3, 255°), (3, 285°), (3, 345°) 90°

90°

4

2

2

1

Eje polar −3

−2

−1

0

1

2

3

−6

−4

−2

0

Eje polar –2

−1

–4 −2

1550

2 r=3 4

6


SOLUCIÓN

15. (2, 0°), (2, 180°), (3.7, 60°), (0.26, 300°)

A LOS EJERCICIOS

19. (4, 0°), (4, 180°), ( 4 2 3 , 60°), ( 4 2 3 , 300°)

90°

90° 10

4

2 5 −2

−4

−6

Eje polar 6

0 4

2

−15

−5

− 10

Eje polar 15

10

5

0

−2 −5 −4 −10

16. (2, 60°)

20. (1, 90°), (2.5, 210°), (2.5, 330°) 90° 2

90° 2 1

1

−3

−2

−1

−3

Eje polar 3

2

1

0

−2

−1

0

1

2

Eje polar 3

−1

−1

−2

−2

−3 −4

17. (3, 30°), (3, 150°), (3, 210°), (3, 330°) 90° 4

CAPÍTULO 13

2

−6

−4

−2

EJERCICIO 64 4

2

0

Eje polar 6

1. x – 4y = 0 2.

−2

x b y d a c

3. 2bx – ay – 2ab = 0

−4

4. 3x + 4y – 2 = 0 5. 2x – y – 2 = 0 18. (4, 90°), (4, 270°)

6. y2 – x + 4y + 3 = 0 7. x2 – 4x – y + 8 = 0

90°

8. 2x – y – 1 = 0

4

9. 2x3 – y + 20 = 0

2

10. y2 – x – 1 = 0 −8

−6

−4

2

2

0 −2

Eje polar 4

13. x3 – 2y – 2 = 0 14. 3x2 – 21xy + 18y2 – 25 = 0 15. 4x2 + y2 + x = 0 16. y2 – x2 – 4y = 0 17. x2 + y2 = 16 18. x2y + x2 – y – 4 = 0 19. xy = 1, xy = –1 20.

2

3 y 2 2 x 1

21. y

2

1 1 3x

22. y x 1

12. xy2 – 2xy + x – y = 0

23. xy = 1

−4

1551

2

3

11. y2 – 16x – 2y – 31 = 0


GEOMETRÍA

ANALÍTICA

12. x2 + y2 – 6x – 6y + 17 = 0

EJERCICIO 65 2

1.

2

13. 4x2 + 9y2 – 16x + 18y – 11 = 0

x y 1 16 49

14. 4x2 + y2 – 32x – 6y + 69 = 0

x 2 y2 1 2. 4 16

15. x = (y – 1)(xy – x + 2 ) 16. (x – 1)2 – y2 = 4

3. x2 + y2 = 4 4.

y2 b

2

x2 a

2

17. 5x2 + 4xy + 8y2 – 36 = 0

1

18. x2 – 8xy + 17y2 – 2 = 0

5. xy 128

19. x – y + 5 = 0

6. x2 – y2 + 1 = 0

20. 9x2 – 4y2 + 16y – 52 = 0

7. 4x – y + 4 = 0

21. y2 – 2xy = 8

8. 2y2 + x – 1 = 0 9. x4 – 4x2 + y2 = 0 10. y = 3x – 4x3 11.

x 1 2 y 2 2 1 4

9

1552


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