Six sigma testes de hipóteses

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TESTES DE HIPÓTESES MATERIAL DE SUPORTE AO 6 - XVI EDIÇÃO DA PG LEAN MANAGEMENT

JOÃO PAULO PINTO – 2015 JUNHO 13

APRESENTAÇÃO DO CONCEITO  Considere-se uma máquina de encher pacotes de açúcar…  O peso de cada pacote deve ser ≈ 8g (isto é, µ = 8);  Será que a máquina está a funcionar correctamente? DEFINIÇÃO Uma hipótese estatística é uma afirmação acerca dos parâmetros de uma ou mais populações (testes paramétricos) ou acerca da distribuição da população (testes de ajustamento).

Vamos abordar os testes paramétricos… João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

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 De volta aos pacotes de açúcar…  Temos duas hipóteses:

 A máquina funciona correctamente

(µ = 8) 

H0 :µ = 8

Esta é chamada de hipótese nula (H0)

 A máquina não funciona correctamente

(µ ≠ 8) 

H1 :µ ≠ 8

Esta é chamada de hipótese alternativa (H0)

Para H0 temos ainda a considerar:  Hipótese simples: é especificado apenas um valor para o parâmetro;  Hipótese composta: é especificado mais de um valor para o parâmetro.  Por agora vamos considerar sempre H0 como hipótese simples… João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

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Para a hipótese alternativa H1 temos a considerar:  H1 :µ ≠ 8 hipótese alternativa bilateral  H1 :µ > 8 hipótese alternativa unilateral (superior)  H1 :µ < 8 hipótese alternativa unilateral (inferior)

DEFINIÇÃO Teste de hipóteses é um procedimento que conduz a uma decisão acerca das hipóteses (com base numa amostra aleatória). João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

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ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE AS HIPÓTESES 1. A hipótese nula (H0) representa o status quo ou crença atual em uma situação;

2. A hipótese alternativa (H1) é o oposto da hipótese nula e representa uma questão de investigação que se pretende estudar; 3. Se rejeitarmos H0, então temos a prova estatística de que H1 é verdadeira;

4. Se não rejeitarmos H0, então não foi possível provar a hipótese alternativa, H1. Falhar a demonstração de H1 não quer dizer que H0 esteja demonstrada; 5. A hipótese nula (H0) refere-se sempre a um valor especifico da população (ex. μ) e não uma estatística da amostra (como media da amostra, |X); 6. A declaração de H0 tem sempre um sinal de igual em relação ao valor especificado do parâmetro (por exemplo, H0: μ1 = μ2);

7. A declaração da hipótese alternativa nem sempre contém um sinal de igual em relação ao valor do parâmetro especificado (por exemplo, H1: μ1 ≠ μ2). João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

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 Voltando aos pacotes de açúcar…  Considere X uma variável aleatória que representa o peso de um pacote de açúcar, então temos: 

E(X) = µ

e

V(X) = σ2 (variância).

 Logo,

H0 :µ = 8

vs

H1 :µ ≠ 8

 Agora dispomos de uma amostra de 10 observações: X1 a X10;

 Então faz sentido decidir com base em X , aceitando H0 se X estiver próxima de 8 e rejeitando H0 se X estiver longe de 8…  Observemos a figura que se segue…

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL

REGIÃO DE ACEITAÇÃO

REGIÃO CRÍTICA

REGIÃO CRÍTICA

c = ponto de fronteira e µ = 8 Região crítica: X < 8 − c ou X > 8 + c

c Aceitar H1

c Aceitar H0

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Aceitar H1

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PROCEDIMENTO GERAL DO TESTE DE HIPÓTESES 1. Pelo contexto do problema identificar o parâmetro de interesse;

2. Especificar a hipótese nula, H0; 3. Especificar uma hipótese alternativa apropriada, H1; 4. Escolher o nível de significância α (é a probabilidade de rejeitar H0 sendo ela verdadeira); 5. Escolher uma estatística de teste adequada, ie Z0;

6. Fixar a região crítica do teste (µ +/- c); 7. Recolher uma amostra (de tamanho n) e calcular o valor observado da estatística de teste;

8. Decidir sobre a rejeição, ou não, de H0. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

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TESTE DE HIPĂ“TESES PARA MÉDIA E VARIĂ‚NCIA CONHECIDAS  Considere a população de X tal que:

V(X) = Ďƒ 2 (conhecido)

E(X) = Âľ (desconhecido)

Para valores de X1 a Xn e amostra de dimensão n  Teste de hipóteses:

H0:

Âľ = Âľ0

vs

H1:

¾ ≠¾0

Assim:

 Rejeita-se

H0 se

 E não se rejeita H0 se

đ?‘‹ < đ?œ‡0 − đ?‘? ∗

đ?œ‡0 − đ?‘? ∗

JoĂŁo Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 Š

đ?œŽ đ?‘›

đ?œŽ đ?‘›

ou

đ?‘‹ > đ?œ‡0 + đ?‘? ∗

≤ đ?‘‹ ≤ đ?œ‡0 + đ?‘? ∗

đ?œŽ đ?‘›

Eq. 01

đ?œŽ đ?‘›

Considere de novo a Dist Normal para perceber melhor‌ 9

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A estatĂ­stica do teste ĂŠ dado por:

Z0 = ď ł - desvio

padrĂŁo da amostra

đ?‘‹âˆ’đ?œ‡0 đ?œŽ/ đ?‘›

Eq. 02

ď Ą - nĂ­vel de significância,

probabilidade de rejeitar H0 Quanto maior ď Ą maior a exigĂŞncia do teste.

1-ď Ą

c – ponto de fronteira. Nota que c depende de ď Ą.

aka, Intervalo de Confiança

ď Ą/2 c

ď Ą/2 c

Considerando as equaçþes 01 e 02, a aceitação de H0 acontece se -c ≤ Z0 ≤ c JoĂŁo Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 Š

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EXERCÍCIO 1.  Voltando ao pacote de açúcar…  Recolhemos uma amostra de 20 pacotes, ver ao lado   Assuma um nível de significância de 5% (ie, o risco de rejeitar H0 sendo ela verdadeira);  Pretende-se saber se a máquina está afinada tendo como base esta amostra (n = 20) para H0: µ = 8 gramas A resposta é: Aceitar H0, ou seja para este nível de significância () podemos considerar que a máquina está afinada. E se aumentarmos o valor de  o que se pode esperar? O que significa um aumento desse parâmetro? João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

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# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Peso 9 7 8 7 8 7 9 6 9 8 8 9 8 8 10 8 10 9 8 11

11

(gra ma ) des 15

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Peso 9 7 8 7 8 7 9 6 9 8 8 9 8 8 10 8 10 9 8 11

Nível de Significância

5%

("alfa" ou NS)

Hipoteses a considerar: H0: Média do processo = 8 gramas H1: Média do processo diferente de 8 gramas

dados

8

µ0

Resolução Média da amostra Desvio da Amostra

8,35 1,18

Estatística do Teste, Z0

gramas gramas

Nota: neste caso usamos uma amostra de apenas 20 dados, o ideal seria n > 30 para garantir que a Distr Normal estaria presente… para n < 30 é necessário garantir que os dados estão normalmente distribuídos… Fazer o teste de Anderson-Darling

(X barra)

1,3241207

Com o valor de "alfa" (NS) obtém-se "c" (necessário obter a área da Distrib Normal): área da Distr Normal =1-1/2*NS área = 0,975 ou 97,50% Consultar agora a Distr Normal para obter "c" Ponto de Fronteira "c" = 1,96 Aceitação ou rejeição da Hipotese Nula (H0) - decisão tomada com base em "c" e "Zo": -1,96

< 1,3241207 Aceita Ho

(gra ma s ) João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

<

1,96

Aceita Ho

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EXERCÍCIO 2.  Suponha que a média de todas as notas do M1 da PG-LM (das 17 edições, mais de 500 formandos) é 12 valores com desvio padrão 6;  Na actual turma (30 formandos), a média deste módulo é 16;  Research question: Posso afirmar que a actual turma é significativamente diferente de todos os formandos da PG LM (a população)? Resolução

 H0: µ = 12 H1:  ≠ 12  Z0 = 3.65 Para  = 5% temos c = 1.96  Rejeitamos Ho ou seja esta turma é significativamente diferente… João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

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EXERCÍCIO 3.  Suponha que queremos saber se há diferença nos salários para os professores masculinos e femininos;

 Poderíamos obter duas amostras (homens e outra de mulheres), para determinar os respectivos níveis salariais médios (M1 e M2);  M1 e M2 são estimativas das medias da população, 1 e 2.  Formule as hipóteses nula e alternativa. Resposta: 

Ho: 1 = 2

H1: 1  2

 Suponha que a crença é que eles ganham mais que elas… Formule de novo as hipóteses… João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 ©

H1: 1 - 2 > 0

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EXERCÍCIO 4.  Um fabricante de lâminas de barbear afirma que suas lâminas dão em média 15 boas intervenções;  Foi feito um teste, pedindo a 10 homens escolhidos aleatoriamente para testar as lâminas de. O número médio de boas intervenções relatados é de 13 e o desvio padrão é 3.62;  O fabricante insiste que o verdadeiro número de acções (ou valor da população) é 15… (não seria de esperar outra coisa).  Formule as hipóteses nula e alternativa… Resposta:

 Ho:  = 15  Se quisermos desafiar o fabricante:

H1:  < 15

 Então se formos totalmente agnósticos:

H1:   15

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MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO

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