ETUDE TECHNIQUE
COMPORTEMENT THERMONUCLEAIRE DU BANIA 2.0
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1. Contexte Le Bania 2.0 est la nouvelle version d’un habitacle de petite taille d’inspiration russe, destiné à chauffer ses occupants jusqu’à ce que mort s’ensuive.
2. Objectif L’objectif de cette étude technique est de déterminer le comportement thermique instationnaire du Bania 2.0.
3. Modélisation : géométrie et matériaux Le Bania est assimilé à un parallélépipède de volume v = L*l*h avec :
L = 2.2 m L = 1.8 m H = 1.8 m
Les différentes cloisons du mur composite sont ramenées à une paroi équivalente dont la surface est égale à la surface totale des cloisons du Bania. La paroi équivalente est constituée de 3 couches :
Une couche de bois d’épaisseur 6 mm Une couche de laine de verre d’épaisseur 70 mm Une couche de bois d’épaisseur 6 mm
Les caractéristiques physiques des matériaux sont supposées être les suivantes :
Bois :
Conductivité thermique : 0,15 W/M/°K Chaleur massique : 1760 J/kg/°K Masse volumique : 740 kg/m3
Laine de verre :
Conductivité thermique : 0,04 W/M/°K Chaleur massique : 840 J/kg/°K Masse volumique : 20 kg/m3
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
Air :
Chaleur massique : 1007 J/kg/°K Masse volumique : 1,1774*300/(273+T°C) kg/m3
4. Flux thermiques L’enceinte du Bania est modÊlisÊe par une masse thermique ponctuelle Êchangeant par convection avec un mur composite. Le mur est modÊlisÊ par ÊlÊments finis, au sein desquels a lieu une triple conduction en sÊrie. L’air extÊrieur est maintenu à tempÊrature constante et Êchange par convection avec la paroi extÊrieure du mur composite. Le calcul des coefficients de convection naturelle se fait à l’aide de la corrÊlation expÊrimentale suivante :
ℎ = 1,42 ∗
∆đ?‘‡ đ??ż
0.25
Cette approche permet de s’affranchir de la rÊsolution des Êquations de la mÊcanique des fluides couplÊes à l’Êquation de l’Ênergie, tout en conservant un degrÊ correct de prÊcision. Le système { Bania + Paroi + ExtÊrieur } est modÊlisÊ comme suit :
Le problème se ramène donc à une Êtude conducto-convective de l’Êquation de la chaleur en monodimensionnel instationnaire.
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5. RĂŠsolution L’air du Bania est modĂŠlisĂŠ par une simple masse d’air ponctuelle. Pour le mur composite, l’Êquation de la chaleur est discrĂŠtisĂŠe spatialement par la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments finis (ĂŠlĂŠments linĂŠaires Ă deux nĹ“uds). La tempĂŠrature de l’air du Bania est rĂŠgie par l’Êquation diffĂŠrentielle suivante : đ?œ•đ?‘‡ = đ?‘„đ?‘–đ?‘› − đ?‘„đ?‘œđ?‘˘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘‡ đ?‘‡ − đ?‘‡đ?‘’đ?‘Ľđ?‘Ą đ?œŒđ?‘?đ?‘Ł = đ?‘ƒđ?‘˘đ?‘–đ?‘ đ?‘ đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘’ − đ?œ•đ?‘Ą đ?‘… đ?œŒđ?‘?đ?‘Ł
Avec : 1 �= ℎ� Cette Êquation diffÊrentielle est rÊsolue à chaque pas de temps par la mÊthode d’Euler :
đ?‘‡ đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą ≈ đ?‘‡ đ?‘Ą +
đ?œ•đ?‘‡(đ?‘Ą) ∗ ∆đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą
La valeur de la tempÊrature d’air du Bania ainsi obtenue est ensuite injectÊe dans le modèle ÊlÊments finis rÊgissant la tempÊrature du mur composite. Le maillage ÊlÊments finis du mur composite se compose de 3 ÊlÊments et 4 nœuds :
La matrice de conduction globale đ??ž se fait Ă partir de l’assemblage des matrices de conduction ĂŠlĂŠmentaires obtenues par intĂŠgration sur l’ÊlĂŠment :
đ?‘˜
ĂŠđ?‘™ĂŠđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’
=
đ?‘†đ?‘˜ 1 −1 đ?‘’ −1 1
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La matrice de capacitĂŠ globale đ??ś se fait Ă partir de l’assemblage des matrices de capacitĂŠ ĂŠlĂŠmentaires obtenues par intĂŠgration sur l’ÊlĂŠment :
đ?‘?
ĂŠđ?‘™ĂŠđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’
= đ?œŒđ?‘?đ?‘Ł
1/3 1/6 1/6 1/3
Les termes de convection, ajoutĂŠ au premier et au dernier termes de la matrice de conduction globale et du vecteur de chargement thermique, sont de la forme hST. L’intĂŠgration en temps du système matriciel inconditionnellement stable de Crank-Nicholson : đ?‘‡đ?‘›+1 = đ??žđ?‘›
−1
se
fait
Ă
l’aide
du
schĂŠma
đ?‘„đ?‘›
Avec : 1 1 đ??žđ?‘› = đ??žđ?‘› + đ??śđ?‘› 2 ∆đ?‘Ą Et : 1 1 đ?‘„đ?‘› = − đ??žđ?‘› + đ??śđ?‘› đ?‘‡đ?‘› + đ?‘„đ?‘› 2 ∆đ?‘Ą
6. RÊsultats Le graphique ci-dessous prÊsente le profil de tempÊrature en rÊgime stationnaire, depuis l’intÊrieur du Bania jusqu’à l’air extÊrieur :
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Le graphique ci-dessous présente les courbes de température en fonction du temps aux différents points du modèle :
7. Annexe Le programme de simulation est programmé en langage Matlab. Le code est donné cidessous : % PROGRAMME BANIA % Simulation du comportement thermique du Bania 2.0 % Calcul instationnaire % Mur composite éléments finis couplé à une masse d'air intérieur ponctuelle clc; % nettoyage écran clear; % reset variables L=2.2; % longueur l=1.8; % largeur H=1.8; % hauteur V=L*l*H; % volume du Bania 2.0 S=2.2*1.8*2+1.8*1.8*2+1.8*2.2; % surface extérieure totale du Bania 2.0 P=2000; % puissance du réacteur nucléaire Text=5; % température extérieure (constante) rho_bois=740; % masse volumique du bois rho_laine=20; % masse volumique de la laine de verre cp_air=1007; % capacité thermique de l'air cp_bois=1760; % capacité thermique du bois cp_laine=840; % capacité thermique de la laine de verre kond_bois=0.15; % conductivité thermique du bois
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kond_laine=0.04; % conductivité thermique de la laine de verre e_bois=6e-3; % épaisseur du bois e_laine=7e-2; % épaisseur de la laine de verre itermax=1500; % nombre de pas de temps de la simulation dt=10; % pas de temps k_bois=S*kond_bois/e_bois*[1 -1; -1 1]; % matrice de conductivité élémentaire du bois k_laine=S*kond_laine/e_laine*[1 -1; -1 1]; % matrice de conductivité élémentaire de la laine de verre c_bois=rho_bois*S*e_bois*cp_bois*[1/3 1/6; 1/6 1/3]; % matrice de capacité élémentaire du bois c_laine=rho_laine*S*e_laine*cp_laine*[1/3 1/6; 1/6 1/3]; % matrice de capacité élémentaire de la laine de verre K=[0 k_bois(1,2) 0 0 k_bois(2,1) k_bois(2,2)+k_laine(1,1) k_laine(1,2) 0 0 k_laine(2,1) k_laine(2,2)+k_bois(1,1) k_bois(1,2) 0 0 k_bois(2,1) 0 ]; % matrice de conductivité globale, sans les termes de bords, variables dans le temps C=[c_bois(1,1) c_bois(1,2) c_bois(2,1) c_bois(2,2)+k_laine(1,1) 0 c_laine(2,1) 0 0 % matrice de capacité globale
0 c_laine(1,2) c_laine(2,2)+c_bois(1,1) c_bois(2,1)
0 0 c_bois(1,2) c_bois(2,2)];
Tn=zeros(4,1); % vecteur solution mur composite Q=zeros(4,1); % vecteur de chargement thermique mur composite Tn(:,1)=Text; % condition initiale pour le mur composite Tb=Text; % condition initiale pour l'air intérieur time=0; % initialisation du temps results=zeros(6,itermax+1); % tableau de résultats results(1:6,1)=Text; % initialisation for t=1:itermax % boucle temporelle time=time+dt; % mise à jour du temps rho_air=1.1774*300/(273+Tb); % évaluation de la masse volumique de l'air, fonction de la température et donc du temps c_air=rho_air*cp_air*V; % évaluation de la masse thermique de l'air, fonction de la température et donc du temps h_int=1.42*((abs(Tb-Tn(1,1)))/l+1e-6)^0.25; % coefficient de convection entre l'air intérieur et la paroi h_ext=1.42*((abs(Text-Tn(4,1))+1e-6)/l)^0.25; % coefficient de convection entre la paroi et l'air extérieur R=1/(h_int*S); % résistance de convection entre l'air intérieur et la paroi dT=(P-(Tb-Text)/R)/c_air; % dérivée de la température intérieure Tb=Tb+dT*dt; % intégration temporelle de la température intérieure par la méthode d'Euler K(1,1)=h_int*S+k_bois(1,1); % calcul du terme de conducto-convection à l'interface air intérieur/paroi K(4,4)=h_ext*S+k_bois(2,2); % calcul du terme de conducto-convection à l'interface paroi/air extérieur Q(1,1)=h_int*S*Tb; % calcul du flux convectif intérieur, fonction de la température d'air intérieur Q(4,1)=h_ext*S*Text; % calcul du flux convectif extérieur
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newK=0.5*K+1/dt*C; % matrice d'intégration temporelle pour le mur composite, schéma de CrankNicholson newQ=(-0.5*K+1/dt*C)*Tn+Q; % vecteur d'intégration temporelle pour le mur composite, schéma de Crank-Nicholson Tn=newK\newQ; % résolution du système matriciel linéaire results(1,t+1)=Tb; % écriture des résultats results(2:5,t+1)=Tn; % écriture des résultats results(6,t+1)=Text; % écriture des résultats plot(results(:,t),'linewidth',2); % affichage du profil de température Bania -> Extérieur axis([1,6,Text,70]) % cadrage du graphique xlabel('Bania => ... => Extérieur') % noms des axes ylabel('TEMPERATURE (°C)') grauh=gcf; % animation du profil spatial en fonction du temps moovie=getframe(grauh); clf; end plot(results(1,:),'linewidth',2); % affichage des résultats nodaux xlabel('Temps (n*dt)') ylabel('TEMPERATURE (°C)') hold all plot(results(2,:),'linewidth',2); plot(results(3,:),'linewidth',2); plot(results(4,:),'linewidth',2); plot(results(5,:),'linewidth',2); plot(results(6,:),'linewidth',2);
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