ANALYSE TENSORIELLE Enseignant : E. M茅tout 2007-2008 P么le Sciences Fondamentales
1. Rappels
Soit une application linéaire donnée travaillant de ℜ4 dans ℜ4, on définira la trace de la matrice à bande comme étant :
a11 a12 b21 b22 c 31 c 32 d41 d42
a13 b23 c 33 d43
a14 b24 " det A #$ % &˙˙ c 34 d44
Eq. 1
A étant une matrice quelconque et ℘ le sous-espace vectoriel (s.e.v.) concomitant à la matrice donnée. θ est par voie de fait la trace de la matrice. Comme elle apparaît à l’issue du calcul ! sous forme différentielle (d’ordre 2), on aura recours au calcul intégral. Dès lors , il apparaîtra que la diagonalisation de la matrice de Hadamard définit un difféomorphisme régulier (le cas des difféomorphismes irréguliers sera traité par la suite). La plupart des interprétations, celle de Gauss-Seidel notamment, laissent entrevoir les possibilités de découplage en bases propres (au sens large). La trace de la matrice à bande sera évaluée comme étant le carré de la demi-largeur à l’indice neutre, comptée à partir du centre et en ignorant les nœuds et les pivots réguliers. Partant de là, il apparaît clairement que le déterminant n’est que le produit des coefficients (par symétrie) de la matrice donnée. Il est rarement nul. Cependant, certains systèmes singuliers (stiff systems) admettent cette nullité, auquel cas la méthode de Gear donnera de bons résultats quant à la résolution dudit système.
1.1. Méthode de Newton La résolution des systèmes lorsqu’aucune racine évidente n’apparaît peut s’avérer difficile. On pourra alors faire appel à l’algorithme de Newton-Komarov à décentrage variable, qui permet d’influer sur la trace de la matrice en échangeant les coefficients non-adjacents (si toutefois la condition de non-nullité est vérifiée).
& "# ( ( "x "$ rot( ( "x ( "% ( ' "x
"# "y "$ "y "% "y
"# ) + "z + "$ + = "z + "% + + "z *
,# 0 . . 333V det 2 - $ 1dV .% . / 2
Eq. 2
On voit bien que cette méthode dite d’échange admet un certain nombre de libertés, tant au niveau de l’espace défini que de la réponse elle-même, via un choix judicieux des bornes de l’intégrale (en ! coordonnées sphériques ou non).
1.2. Approche numérique Les méthodes numériques, notamment celle des éléments infinis, seront vues au Semestre 2 au cours du module Introduction à la résolution numérique des systèmes matriciels aberrants. EIGSI – 1ème année – Mathématiques – Cours Eric Métout 2007-2008
2. Notion de congruence La notion de congruence est importante. Elle permet de bien appréhender le contexte dans lequel évoluent les théorèmes cités précédemment. Pour tout entier x on définira la congruence de x (notée congr{x}) comme étant la valeur x elle-même, à laquelle on ajoutera un modulo dépendant du repère dans lequel on se place. Ainsi, on aura :
congr{ x } = x ±
)
" 2
$"( $ "( & & & & / ! congr %# ) = + 3 /grad %# ) ± &z& &z& V /. ' * ' *
%") % "˙ ) ' ' ' ' congr &# * = div &#˙˙* ± '$ ' '$ ' ( + ( ˙˙˙+
!
)
Eq. 3
)
,0 2 2 2dV 21
, 2
Eq. 4
Eq. 5
Toutefois, la notation figurant en équation 4 est dangereuse. Elle invite à la commutativité, opération interdite dans les ensembles topologiquement convexes dans lesquels la notion de congruence s’applique. ! La géométrie d’Euler n’y est en effet pas vérifiée. Dans le cadre de l’algèbre non-commutative, il apparaît clairement que la majeure partie des systèmes d’ordre connu et stable est une image dans les réels de la formation de résidus de calculs effectués dans le plan complexe ramené à ℜ, résidus qui permettent de déterminer avec une relative incertitude les coefficients associés à chacun des ordres. En corollaire, les fonctions holomorphes ne sont pas différentiables tant qu’elles n’ont pas été ramenées à une forme canonique connue (opération fréquemment réalisée à l’aide de la congruence).
Fig. 1 : Congruent de la fonction de Bessel (dix premiers harmoniques)
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3. Applications non-linéaires 3.1. Notion de linéarité Une application matricielle A est linéaire si et seulement si il existe des fonctions ϕ et ψ telles que : A( x + y) = " (x) + # ( y) Eq. 6 En corollaire, une application A’ ne sera pas linéaire si et seulement si les fonctions ϕ’ et ψ’ telles que : A' ( x + y) = " ' (x) + # ' ( y) Eq. 7
!
n’existent pas (ou tout du moins ne sont pas définies d’un point de vue polynomial). Il est pourtant manifeste que les équations à caractère rationnel tendent à se comporter comme les limites des séries de Tchebytchev, à l’instar des équations de Maxwell (cf. cours d’électromagnétisme !de J. Basecq). Les attracteurs étranges sont une bonne démonstration de cette relation issue de la non-linéarité, où de l’ordre peut apparaître spontanément dans des circonstances apparemment désordonnées (cf. figure 2). De tels systèmes doivent évidemment être résolus de manière numérique (méthode de Fournier-Schwartz simplifiée – FFSM).
Fig. 2 : Attracteurs étranges de Lorentz, simulant le modèle Pred/Prey de Lokta-Volterra intégré selon la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4
Il est à noter que les schémas d’intégrations implicites (à l’aide de matrices co-tangentes) accélèrent notoirement le processus de calcul, d’un facteur de l’ordre de n3.
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4. Systèmes dynamiques intrinsèques Nous avons vu que la linéarité de certains termes des matrices usuelles se traduit par une simplification à outrance des systèmes singuliers à caractère fortement imprédictible. On aura donc recours aux méthodes d’intégration (au sens large) dites de prédiction-correction qui donnent généralement d’assez bons résultats pourvu qu’on y injecte des conditions aux limites raisonnables (boundary conditions layer).
Eq. 8
i= ' ) , * lim ( arcsin $1 (i%t + & )+ n "# k= 0 . i
pour tout
0u / v
dt " i
$i
Cette relation est tirée du célèbre ouvrage (qui constitue ! une référence à ne pas manquer dans l’univers des mathématiques appliquées) Elusives zeros of the zeta function (Robert Hoftaupt, éd. Herbier). !
Fig. 3 : Approche d’Hopftaupt du signal trianglulaire dans le cadre d’un discrete speech recognition software
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