NÚMEROS Y OPERACIONES by CORPORACIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BOSCO

Ciencias

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

I BIMESTRE

MODELO PEDAGÓGICO EDUCAV El Modelo Pedagógico EDUCAV desde la planificación curricular basado en el Modelo T (funcional, operativo), tiene por finalidad (¿para qué?) el desarrollo de Capacidades-destrezas y Valoresactitudes en los estudiantes, a través de medios como los conocimientos (¿qué?) y estrategias aplicadas de la Neurociencia, Inteligencias Múltiples, Procesos Mentales y Arquitectura del Conocimiento (¿cómo?). El desarrollo real de las Capacidades-destrezas y de los Valores-actitudes, en el Modelo EDUCAV, se evidencia a través de la aplicación de un instrumento denominado «HOJA DE TRABAJO» en la cual el estudiante, con la guía del profesor desarrolla una destreza aplicando un conjunto de procesos mentales a través de actividades de aprendizaje.

MARCO TEÓRICO ·Aprendizaje: Conjunto de procesos mentales que suceden al interior de la estructura mental del aprendiz y que son influenciados por su desarrollo personal y socio-cultural, para la construcción y enriquecimiento permanente de su arquitectura de conocimiento. ·Enseñanza: Aplicación de estrategias que guían al estudiante en la construcción de su arquitectura del conocimiento fundamentado en los descubrimientos de la neurociencia, la teoría de las inteligencias múltiples y la pedagogía conceptual. ·Estrategias: Camino para desarrollar destrezas que desarrollan capacidades (herramientas mentales) y desarrollar actitudes que desarrollan valores (tonalidades afectivas), por medio de contenidos (formas de saber) y métodos – procedimientos (formas de hacer). ·Métodos: Conjunto de procedimientos, técnicas y actividades utilizados en la consecución de un propósito educativo ·Técnicas: Conjunto de actividades que permiten el desarrollo eficaz de un procedimiento ·Evaluación: Proceso de recojo de información para realizar un juicio de valor y contribuir en la toma de decisiones.

LINEAMIENTOS PARA LA DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR De acuerdo con e l artículo 33° de la Ley General de Educación N° 28044, el DCN debe diversificarse en las instancias regionales, locales e institucionales, en coherencia con las necesidades, demandas y características de los estudiantes y de la realidad social, cultural, lingüística, económica y geográfica de cada región del país. A nivel de Institución Educativa, la diversificación curricular responde al diagnóstico institucional y a los temas transversales seleccionados de tal manera que las capacidades, conocimientos y actitudes planteadas en el Programa Curricular Diversificado (PCD) por niveles, grados y áreas, respondan a la propia realidad y al contexto. El Proyecto Curricular Institucional (PCI), en cuanto Propuesta Pedagógica del PEI materializa esta diversificación con participación de docentes y directivos de la Institución Educativa, se adopta para tal fin el Modelo T para la Planificación Curricular Anual (PCA), la Planificación Curricular Bimestral (PCB) y Actividades como Estrategia de Aprendizaje (AEA).

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

INTRODUCCIÓN El currículum de Matemática tiene como propósito que los alumnos y alumnas adquieran los conocimientos básicos de la disciplina, a la vez que desarrollen el pensamiento lógico, la capacidad de deducción, la precisión, las capacidades para formular y resolver problemas y las habilidades necesarias para modelar situaciones o fenómenos. La construcción de la Matemática surge de la necesidad de responder y resolver desafíos provenientes de los más variados ámbitos del quehacer humano y de la Matemática misma; su construcción y desarrollo es una creación ligada a la historia y la cultura. Su aprendizaje enriquece la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategias para resolver problemas y contribuye al desarrollo de un pensamiento propio y autónomo. El modelamiento matemático de la realidad, mediante el uso apropiado de conceptos, relaciones entre ellos y procedimientos matemáticos, ayuda al estudiante a comprender situaciones y fenómenos, y le permite formular explicaciones y hacer predicciones de ellos, aumentando su capacidad para intervenir en esa realidad. El álgebra ocupa un lugar de privilegio en la enseñanza de la matemática actual, siendo reconocida y valorada, no solo por matemáticos sino también por especialistas de otras disciplinas científicas, como una poderosa herramienta que permite representar y manipular símbolos, constituyéndose así en un lenguaje formal con el cual se puede describir generalizaciones, modelar situaciones de diversos ámbitos y demostrar conjeturas. A lo anterior se suma su innegable aporte al desarrollo del pensamiento abstracto y el razonamiento lógico. El Razonamiento Matemático en el Mapa de Aritmética, se refiere tanto al trabajo con modelos simples de situaciones y fenómenos tanto de la cotidianidad como de la propia disciplina como al desarrollo de la capacidad de argumentación usando herramientas matemáticas. Es de esta forma como en los primeros niveles se aprecia un énfasis en la detección de regularidades y en la búsqueda de reglas que las generen, para dar paso posteriormente a la representación de situaciones por medio de ecuaciones o el uso de relaciones de proporcionalidad. Finalmente el razonamiento algebraico en los últimos niveles está marcado por la modelación de situaciones para resolver problemas diversos y argumentar la validez de proposiciones usando procedimientos y herramientas matemáticas. En este documento el término “modelamiento” se refiere al proceso mediante el cual un problema en particular es descrito utilizando lenguaje simbólico, posteriormente se resuelve empleando las herramientas propias de la disciplina y luego se entrega su respuesta en el contexto que originalmente se encontraba el problema. El describir un problema usando lenguaje simbólico, implica detectar en él, tanto aquellos elementos claves que permiten una adecuada representación como las relaciones existentes entre ellos; este proceso implica, por lo general, realizar supuestos que permitan describir de manera simple el problema en cuestión.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Al estudiante: Este organizador de NÚMEROS Y OPERACIONES para el primer grado de educación secundaria sirve para la práctica de destrezas incluye ejercicios y problemas del concepto de cada lección. Los ejercicios están formulados para ayudarte en tu estudio de las matemáticas, reforzando destrezas importantes que se necesitan para tener éxito en la vida. Desarrolla en tu cuaderno cada actividad de clase conservando el orden y limpieza con todos los ejercicios completados, te puede ayudar en el momento de estudiar para las pruebas y los exámenes.

Recomendaciones: Estudiar matemáticas puede ser una tarea no muy amena o divertida para muchas personas, sin embargo si le ponemos todo el empeño y empuje necesarios, vamos a ver muy buenos resultados en el corto y mediano plazo. Quiero compartir algunos consejos bien importantes que nos pueden ayudar en gran manera al momento de estudiar matemáticas.

1. Debe ser activo y practicar mucho. Recuerde siempre que el profesor o tutor es solamente una guía. Cualquier enseñanza por detallada y muy buena que sea no será suficiente si no pasa a la acción y deja de ser pasivo. Estudiar matemáticas no es acumular conceptos en nuestra mente, es poner a trabajar y practicar esos conceptos.

2. Hágase preguntas usted mismo. Analice y medite en estas preguntas. Este fenómeno que estoy estudiando tiene alguna relación directa con lo que ye he visto o he estudiado hasta ahora? Puedo encontrar alguna aplicación practica para este tema? Trate siempre de discutir e intercambiar ideas con otros estudiantes, esto le puede ayudar a aclarar dudas y afianzar conceptos.

3. Aclare sus ideas y conceptos.

4. Sea práctico y ordenado al resolver problemas. Los ejercicios no son para complicarle la vida, por el contrario son una gran ayuda para que pueda recordar y afianzar los conceptos aprendidos. Le permiten a sus profesores y tutores medir su progreso real. Siga un método para resolver sus ejercicios o problemas. Por ejemplo: Analice el problema detenidamente e identifique los conceptos involucrados. Haga gráficos y figuras que le ayuden a entender la situación planteada. Escriba siempre las ecuaciones matemáticas que necesita par resolver el problema. Resuelva las ecuaciones que previamente ha planteado para la solución. Verif ique l os res ulta dos obtenidos y que dimensionalmente estén correctos.

5. Lea mas información relacionada con los temas que studias.

Normalmente los problemas a la hora de resolver un ejercicio vienen de no tener clara la idea o concepto que se esta estudiando o analizando.

No se quede simplemente con lo que el profesor o tutor le den en clase o lo que el libro o texto guía le dan.

Aclare siempre sus ideas y asegúrese que entiende muy bien los conceptos que están involucrados con el tema tratado.

Siempre procure consultar otros libros y fuentes bibliográficas, pues esto le permitirá tener una visión mas amplia de los temas y comprenderá con mayor facilidad los fenómenos físicos que esta estudiando.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» PROCESOS MENTALES

DESTREZA

Identificar (otro verbo) Reconocer

DEFINICIÓN

Capacidad para ubicar en el tiempo, en el espacio o en algún medio físico elemen tos, partes , características, personajes, indicaciones u o tros aspectos.

PASOS A SEGUIR

CARACTERÍSTICAS DE CADA PASO

Recepción de la información.

Proceso mediante el cual se lleva la información a las estructuras mentales.

Caracterización

Proceso mediante el cual se señala características y referencias

Reconocimiento

Proceso mediante el cuál se contrasta las características reales del objeto de reconocimiento con las características existentes en las estructuras mentales.

FORMA DE EVIDENCIAR

El estudiante identifica cuando señala algo , hace marcas, subrraya, resalta expresiones, hace listas, registra lo que observa, etc.

PROCESOS MENTALES DESTREZA

Aplicar (otro verbo) Emplea Utiliza

DEFINICIÓN

PASOS A SEGUIR

CARACTERÍSTICAS DE CADA PASO

Capacidad que permite la puesta en práctica de principios o conocimientos en actividades concretas

Recepción de la información.

Proceso mediante el cual se lleva la información a las estructuras mentales.

Identificación del proceso, principio o concepto que se aplicará. Secuenciar proce sos y eligir estrategias.

Proceso mediante el cual se identifica y se comprende el proceso, principio o concepto que se pretende aplicar.

Ejecución de los procesos y estrategias.

Proceso mediante el cual se pone en práctica los procesos y estrategias establecidos.

FORMA DE EVIDENCIAR El estudiante aplica cuando pone en práctica un conocimiento, principio, fórmula o un proceso con el fin de obtener un determinado efecto, resultado o un rendimiento en alguien o algo.

Proceso mediante el cuál se establecen secuen cias, un orden y estrategias para los procedimientos que realizará.

PROCESOS MENTALES DESTREZA

Deducir (otro verbo) Emplea Utiliza

DEFINICIÓN

PASOS A SEGUIR

CARACTERÍSTICAS DE CADA PASO

Capacidad que permite la puesta en práctica de principios o conocimientos para encontrar nuevas leyes proposiciones

Recepción de la información.

Proceso mediante el cual se lleva la información a las estructuras mentales.

Identificación del proceso, principio o concepto primiti vo que se aplicará. Secuenciar proce sos y eligir estrategias.

Proceso mediante el cual se identifica y se comprende el proceso, principio o concepto que se pretende aplicar.

FORMA DE EVIDENCIAR El estudiante deduce cuando relaciona y aplica una definición o concepto primitivo para encontrar el comportamiento de una ley o proposición lógica.

Proceso mediante el cuál se establecen secuen cias, un orden y estrategias para los procedimientos que realizará.

Formular las leyes Proceso mediante el cual se expresa simbólicamente el carácter universal de las leyes o proposiciones matemáticas. lógicas PROCESOS MENTALES DESTREZA

DEFINICIÓN Capacidad que permite representar objetos mediante objetos, esquemas, diagramas etc.

Representa

PASOS A SEGUIR

CARACTERÍSTICAS DE CADA PASO

Observación del Proceso mediante el cual se observa con atenobjeto o situación ción el objeto o situación que se presentará. que se representará. Proceso mediante el cual se toma conciencia Descripción de la forma/situación de de la forma y de los elementos que conmforman el objeto o situación que se representará sus elementos. Generar un orden y secuenciación de la representación.

Proceso mediante el cuál se establece un orden y secuencia para realizar la representación.

FORMA DE EVIDENCIAR

El estudiante representa cuando dibuja un objeto, actúa en una obra teatral, elabora un plano, croquis ,diagrama o silueta.

Representación de Proceso mediante el cual se representa la forla forma o situación ma o situación externa o interna. externa e intarna.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» PROCESOS MENTALES DESTREZA

FORMA DE EVIDENCIAR

DEFINICIÓN

PASOS A SEGUIR

CARACTERÍSTICAS DE CADA PASO

Capacidad que permite encontrar la solución de un problema producto de un defectos o anomalia.

Comprensión de la dificultad que presenta el problema.

Proceso mediante el cual se reconoce la información necesaria para resolver el problema detectado.

Diseñar o concebir un plan para afrontar el problema

Proceso mediante el cual se conecta a alguna experiencia similar para establecer una relación lógica entre la información obtenida.

Resolver

Ejecutar el plan pa- Proceso mediante el cual se recoge e implera encontrar la solu- menta la mejor alternativa de solución. ción del problema. Evaluación de del proceso y el resultado obtenido.

El estudiante resuelve un problema cuando presenta la solución a de la dificultad detectada.

Proceso mediante el cual se validan los procesos y el resultado de la solución del problema. PROCESOS MENTALES

DESTREZA

Analizar

DEFINICIÓN

Capacidad que permite dividir el todo en partes con la finalidad de estudiar, explicar o justificar algo estableciendo relaciones entre ellas.

PASOS A SEGUIR

FORMA DE EVIDENCIAR

CARACTERÍSTICAS DE CADA PASO

Recepción de la información

Proceso mediante el cual se lleva la información a las estructuras mentales.

Obseravción selectiva.

Proceso mediante el cual se observa selectivamente la información identificando lo principal, secunadrio y complementario.

División del todo en partes

Proceso mediante el cuál se divide la información en partes, agrupando ideas o elementos.

Representación de las partes para explicar o justificar.

Proceso mediante el cual se explica o justifica algo estableciendo relaciones entre las partes o elementos del todo.

E l e stu di a nt e a n a liz a cuando identifica los hechos principales de un.acontecimiento histórico, establece relaciones entre ellos, determina sus causas, concecuencias y las explica en función de todo.

PROCESOS MENTALES DESTREZA

Formular o plantear

DEFINICIÓN

PASOS A SEGUIR

Recepción de Capacidad que permite la información establecer relaciones entre elementos para presentar resultados, nuevas contruc- Identificación ciones o solucionr proble- de eleemntos mas.

FORMA DE EVIDENCIAR

CARACTERÍSTICAS DE CADA PASO Proceso mediante el cual se lleva la información a las estructuras mentales.

El estudiante formula cuando e x p r e sa m e d i a n te s i g n o s matemáticos las relaciones entre Proceso mediante el cual se identifican los entre diferentes magnitudes que elementos que se deben relacionar para obtener permitirán obtener un resultado. resultados o generar nuevas construcciones

Interrelación de los elementos.

Proceso mediante el cuál se establecen las relaciones entre elementos

Presentación de las interrelaciones

Proceso mediante el cual se pone en práctica las relaciones entre los elementos obteniendose resultados o las nuevas construcciones.

PROCESOS MENTALES DESTREZA

Interpretar

DEFINICIÓN

Capacidad que permite o torga r se n tid o a la información n que se recibe (datos, mensajes, fenómenos etc. ) valiendose de lo explicito a lo im»plicito.

FORMA DE EVIDENCIAR

PASOS A SEGUIR

CARACTERÍSTICAS DE CADA PASO

Recepción de la información

Proceso mediante el cual se lleva la información al cerebro.

Proceso mediante el cual se encuentra nuestra de los elementos atención en lainformación presentada. de la información A ná lis is de l a información

Proceso mediante el cuá se ubica y comprende los datos que se pretende interpretar.

El estudiante interpreta cuando explica o aclara el sentido de algo, cuando otorga significado a los datos, cuando descubre mensajes ocultos, cuando soluciona una duda o se vuelce claro alguna ambiguedad

Proceso mediante el cual se dtermina la esencia de la información

Emisión de la interpretación. Proceso mediante el cual se emite la interpretación

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

PLANIFICACIÓN DEL I BIMESTRE DE NÚMEROS Y OPERACIONES Nivel: EDUCACIÓN SECUNDARIA

Grado: PRIMERO

ASESORÍA DE MATEMÁTICA TEMA TRANSVERSAL :

Sección: “A”, ”B”, ”C”,”D” Fecha: 02 de Marzo de 2016

Educación con valores y formación ética

CAPACIDADES - DESTREZAS

OBJETIVOS

Comprensión y uso de los números  Representar  Comparar  Relacionar  Seleccionar  Describir  Identificar Comprensión y uso de las operaciones  Elaborar  Aplicar  Resolver  Justificar  Evaluar

CONTENIDOS 1. Números naturales. • Valor posicional. • Operaciones con Números Naturales 2. Números enteros • Recta numérica. • Valor absoluto y Valor Relativo • Operaciones con Números Enteros. 3. Sistema de numeración. • Principios fundamentales – propiedades • Descomposición polinómica • Cambios de bases 4. Divisibilidad. • Números divisibles y no divisibles • Criterios de la divisibilidad 5. Números primos. • Números primos, simples y compuestos • Descomposición canónica • Estudio de los divisores 6. Números fraccionarios. • Fracciones Clasificación • Números mixtos • Operaciones con fracciones. 7. Números decimales. • Fracciones generatrices • Tabla de los nueves • Origen de los números decimales 8. Comparación de magnitudes. • Directamente proporcionales. • Inversamente proporcionales. 9. Regla de tres • Regla de tres compuesta. • Regla de tres compuesta. 10. Porcentajes • Variaciones porcentuales. • Aumentos y descuentos sucesivos. • Aplicaciones comerciales

VALORES – ACTITUDES

Respeto • Es amable y cortés en su trato con los demás. • Saluda a todos con cortesía. • Es tolerante con las ideas que difieren de las suyas. • Cuida su imagen personal. Responsabilidad • Es puntual en todas sus actividades • Asume sus obligaciones con autonomía, libertad y eficiencia. • Reconoce y asume las consecuencias de sus actos. • Demuestra compromiso y voluntad de cambio. Solidaridad • Muestra sensibilidad y empatía ante los problemas de los demás. • Busca el desarrollo colectivo.

MEDIOS

MÉTODOS DE APRENDIZAJE

Compara numerales naturales, enteros y racionales en diferentes bases con sus respectivas propiedades utilizando cuadros y listas. Interpretación de axiomas, postulados, teoremas y corolarios. Aplicación de definiciones, axiomas, teoremas y corolarios en ejercicios y/o de estrategias diversas para solucionar problemas. Representación de símbolos, expresiones matemáticas y/o diseño de figuras geométricas en base a información propuesta. Formulación de ideas, definiciones, conjeturas, proposiciones, ejercicios, ejemplos y contraejemplos de orden aritmético , algebraico o geométrico. Modelación sucesiva de expresiones matemáticas simbólicas a su forma estándar o simple. Verificación de estrategias, procesos cognitivos de razonamiento y de la solución de un problema algebraico o geométrico. Resolver problemas matemáticos presentados en forma literal, gráfica y/o mediante expresiones simbólicas. Traducción de definiciones, axiomas, teoremas y corolarios codificados en su forma simbólica o decodificados literalmente. Representación de símbolos, expresiones matemáticas y/o diseño de figuras geométricas en base a información propuesta. Formulación de ideas, definiciones, conjeturas, proposiciones, ejercicios, ejemplos y contraejemplos de orden aritmético, algebraico o geométrico. Modelación sucesiva de expresiones matemáticas simbólicas a su forma estándar o simple. Relaciona conceptos matemáticos mediante expresiones simbólicas, literales o resultados de la aplicación de las mismas. Resolver problemas matemáticos presentados en forma literal, gráfica y/o mediante expresiones simbólicas. Selecciona numerales que sean divisibles por una cantidad y varias cantidades, clasificándolas en números primos y compuestos.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números Naturales

Valor: Recopilación y procesamiento de los datos

Destreza:

Respeto

Actitud:

Representa

Saluda a todos con cortesía.

NÚMEROS NATURALES Saberes previos Un camión descarga aproximadamente 315 412 piedras, Rober y sus amigos se reunieron para colorear algunas de ellas.

El número 315 412 tiene seis cifras.

Valor posicional y lectura de números naturales La base de organización de las cifras de un número se basa en la formación de grupos de diez. Los números de seis cifras tienen: centenas de millar, decenas de millar, unidades de millar, centenas, decenas y unidades.

¿Cuántas cifras tiene el número? ___________ El número 315 412 es un número natural.

Todos los números naturales, menos el cero, tienen un número anterior y un número siguiente. 0 es el anterior de 1.

1 es el siguiente de 0.

1 es el anterior de 2.

2 es el siguiente de 1.

Los números naturales se utilizan para contar. Ellos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Los puntos suspensivos (…) indican que la lista sigue indefinidamente. Para escribir cualquier número natural se utilizan diez cifras: Primer grado de Secundaria

Este n úmero s e l ee: tre scien tos quince mil cuatrocientos doce. * Las cifras son los signos con los que escribimos cualquier número. * El valor de una cifra depende de su posición en el número.

Números y operaciones

I BIMESTRE

Uso de los números naturales: Los números naturales, son usados para dos

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» Partes de una adición * El valor de una cifra depende de su posición en el

propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal.

Adición de Números Naturales La adición es una operación de números naturales que permite solucionar situaciones en las que se realizan actividades como agregar, agrupar o comparar. Prop ieda des de la a dició n de Núm e ros Naturales La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y neutro 1.- ASOCIATIVA:

TRABAJAMOS

01. Halla las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta. En cada ejercicio a figuras iguales le corresponden cifras iguales.

74 + 69 143

859 + 935 1794

976+ 784 1760

948 + 665 1613

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

EN EL ORGANIZADOR

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5) 2.-Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a+b=b+a

02. Reconstruye la operación y halla el valor de:

952 564 872 2388 03. Calcular el valor de

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7+4=4+7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. 3.- Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a+0=a

Primer grado de Secundaria

98 7 2 04. Reemplaza los valores de cada letra para encontrar una solución que satisfaga la adición.

TRES + TRES TRES NU E V E

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 05. En el siguiente cuadrado deberás completar los espacios en blanco para que las sumas en las filas, columnas y diagonales se verifiquen.

UMM

130

28 12 18

109 107

31 29 37

9. Completa la tabla, indicando el orden de unidades y el valor de la cifra 7 en cada número. NÚMERO

106

81 132

06. Completa el cuadrado mágico utilizando los números del 1 al 9, de forma que las líneas horizontales, verticales y diagonales sumen lo mismo.

15 728

ORDEN

VALOR

Centenas 700

SE LEE

Quince mil setecientos veintiocho Setenta y cuatro mil ciento cincuenta y seis

1 967 87 003

Ochenta y siete mil tres

415

Cuarenta y cinco

TRABAJAMOS 07. Escribe dentro del paréntesis la letra que corresponde a la propiedad que se encuentra en la parte baja: ( ) 12 + 5 = 5 + 12 ( ) 29 + 0 = 29 ( ) 13 + (51 + 7) = (13 + 51) + 7

EN EL CUADERNO

01. Si: TOMA + DAME =7 507 donde: T > D y O = cero hallar: TODO 02. Si “A” representa a un número de cuatro cifras y “B” a un número de tres cifras; hallar:

( ) 21 + 9 = 30

a) El mayor valor que puede tomar “A + B”.

( ) 103 + 301 = 301 + 103

b) El mínimo valor que puede tomar “A + B” .

( ) 2478 + 0 = 2478 A. Propiedad de clausura B. Propiedad asociativa C. Propiedad del elemento neutro D. Propiedad conmutativa 08. Expresa con cifras los números y colócalos en orden. a) Tres millones cuatrocientos cinco mil ciento veinte.

E VALUACIÓN C OGNITIVA 01. Por un aeropuerto han pasado en 8 días los siguientes números de pasajeros. 24 789, 33 990, 17 462, 26 731, 30 175, 28 430, 31 305, 19 853 Ordena los números de pasajeros en orden creciente.

b) Cincuenta mil ochocientos treinta y nueve. c) Mil seis. d) Doscientos ocho mil quinientos setenta y siete. e) Diecisiete mil novecientos cincuenta y dos. f) Tres mil quinientos cincuenta y siete. g) Doce. h) Setecientos treinta y dos.

Primer grado de Secundaria

02. Calcular la suma de la mayor y menor cifra hallada en:

* * * 3 * + 2 3 9 * 8 * 1 5 9 9 9

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1.- ¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas?

ACTIVIDAD

DE EXTENSIÓN

Si “A” representa al menor número cuya suma de cifras sea igual a 20 y “B” representa al menor número de tres cifras diferentes, calcular “A + B”.

Juanito eligió tres dígitos distintos que sumados dan 13 y escribió todos los números de tres cifras que se pueden formar con ellos (sin repeticiones), luego sumó todos los números que obtuvo. ¿Cuál fue su resultado?

Calcular la suma de las dos últimas cifras del resultado en: 3 + 31 + 313 + 3131 + ... + 31313131

2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ?

3.- Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil?

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Sustracción de Números Naturales La sustracción es una operación de números naturales que permite solucionar situaciones en las que se realizan actividades como quitar, comparar o buscar diferencias.

MÉTODO PRÁCTICO Consiste en restar a las primeras cifras de nueve a la última cifra significativa de 10; si el número dado tiene ceros al final estos quedaran colocados al final del resultado. Así: • C. A.(5 3 7 8) = 4 622 • C.A.(4 6 1 0 0) = 53 900

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

PROPIEDAD “La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del Minuendo”.

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4. Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos). Propiedades de la sustracción: La sustracción no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Complemento Aritmético Se llama complemento aritmético (CA) de un número natural diferente de cero, a lo que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior. Ejemplos: CA (8) = 101 - 8 = 2

M+S+D=2M

Sustracciones Notables 1) Si:

a b − b a mn Entonces:

m+n=9

Ejemplos:

5 2− 2 5 2 7

TRABAJAMOS

6 1− 1 6 4 5

8 3− 3 8 4 5

EN EL ORGANIZADOR

01. En el huerto de María se han recogido 1 764 kg de naranjas menos de los que han recogido en el huerto de Juan. ¿Cuántos kilogramos de naranjas han recogido en el huerto de María?

CA (74) = 102 - 74 = 26 CA (3 090) = 104 - 3 090 = 6 910 En general: Sea el numeral "N" que tiene "K" cifras en base 10: CA(N) = 10K - N

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE 2.

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Esta mañana, Gustavo ha comprado 1 kg de lentejas, un cuarto de kg de uvas, medio kg de jamón, 3 kg de patatas y 2 kg y cuarto de salchichas. ¿Cuántos kilogramos pesa en total la compra que ha hecho Gustavo?

sucede con la diferencia, si aumenta o disminuye y en cuántas unidades:

a) Si el minuendo aumenta en 13 unidades, la diferencia .................................... b) Si el sustraendo aumenta en 9 unidades, la diferencia .................................. c) Si el minuendo disminuye 7 unidades, la diferencia ....................................... d) Si el sustraendo disminuye 3 unidades, la diferencia ....................................... e) Si el minuendo aumenta 6 unidades y el sustraendo disminuye 7 unidades, la diferencia .....................

3. Completa las siguientes sustracciones: a) Calcular

b) Calcular

95645209 4355

TRABAJAMOS

63722493 3879

EN EL CUADERNO

01. Calcule: a) CA (809) b) CA (4 875 905) c) CA (98 687 000) d) CA (1 004 877 953)

4. Reconstruye las siguientes sustracciones

8**5 6254 *39*

*23443* * 3**6

9 0 4 ... 3 ... 8 5 ... ... 4 ... 6 1

03. Hallar "a + b + c" si:

04.

5. ¿Cuál es la mayor cifra encontrada en cada sustracción:

02. La suma de los términos de una de una sustracción es 144, sabiendo que el minuendo es el sextuplo del sustraendo. Calcular la diferencia.

... ... 3 8 7 5 ... ... 1 7 2 9

abc − 3a8 = c76

Si: 6 x 4 y − y 2xy = ym70 , calcula el valor de: “x.+.y.+.m”.

05. Si

7 2m -m2 7 = p q 7

06. Si: abc

− cba = 6 mn

Determine

: m2 + n 3

La mayor cifra encontrada en a es ....... y en b es ..........

En las siguientes expresiones, respecto a las sustracciones, completa los espacios en blanco especificando lo que Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN COGNITIVA

EVALUACIÓN METACOGNITIVA

01. El doble de un número de 3 cifras excede al triple de su complemento aritmético en 380. Hallar el número.

1. ¿Qué aprendiste hoy? a) adición en N c) La sustracción en N

b) la resta c) Multiplicación

2. ¿Cómo aprendiste?

3. ¿Para que te sirve la sustracción?

4. ¿Cómo lo aplicarías en tu vida? 02. Calcular el C.A. del C.A. del mayor número de 3 cifras diferentes.

ACTIVIDAD

03. En una fiesta a la que acudieron 115 personas, se observó que al momento de bailar en parejas, se quedaron 17 varones sentados. ¿Cuántas damas asistieron a la fiesta?

Primer grado de Secundaria

EXTENSIÓN

La diferencia de dos números es 158. Si aumentamos 15 unidades al minuendo y disminuimos el sustraendo en 8 unidades, ¿cuál será la nueva diferencia?

Enrique quiere comprar un equipo de música que cuesta S/.850 y sólo tiene ahorrado S/.315. En el verano trabajó y ganó S/.750. Entre comida y diversión gastó S/.287. ¿Le alcanza el dinero para comprar el equipo?

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES La multiplicación se puede expresar como una adición de sumandos iguales. Los términos de la multiplicación son los factores y el producto. Saberes previos Una vaca consume aproximadamente 2 456 kg de alfalfa al año. ¿Cuántos kilogramos de alfalfa comerán 213 vacas?

1.-Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) 2.- Conmutativa Para averiguarlo se puede sumar. 2 456 +2 456 + 2 456 + 2 456 + … (213 veces)

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

Resulta más sencillo y rápido multiplicar 2 456 x 213.

a.b=b.a Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40 3.-Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a.1=a Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales.

Primer grado de Secundaria

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

2. Efectua las multiplicaciones. 80

Por ejemplo:

Los resultados coinciden, es decir,

8 15

a . (b + c) = a . b + a . c

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

10 000

En una finca se gastan 315 kg de alfalfa en un día. ¿Cuánto gastarán en 10, 100 y 1 000 días?

100 000

Para calcular el número de kilogramos de alfalfa que gastan en 10, 100 y 1 000 días,

3. Halla M x U x C, si:

se procede así:

Solución

número. 315 x 10 = 3 150

315 x 100 = 31 500

MU U x 8 = 4 C 6 4

MU U x 8 4C6 4

• Si se multiplica por 10,se aumenta un cero al

al número.

1 000

Multiplicación por 10, 100 y 1000

• Si se multiplica por 100,se aumenta dos ceros

100

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

•

M= U= C=

Respuesta: _____________________________ 4.

Halla las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta:

Si se multiplica por 1 000, se aumenta tres ceros al número.

7 0 3

4x 8

315 x 1 000 = 315 000 En 10 días gastarán 3 150 kg de alfalta; en 100, 31 500 kg y en 1 000, 315 000 kg.

x 7 8 4 7 2

Para multiplicar un número por 10, 100, 1 000…, se escribe ese número seguido de tantos ceros como hay en 10, 100, 1 000...

TRABAJAMOS

EN EL ORGANIZADOR

1. Completa. a) 415+415+415+415+415+415 = 415 x .....=.......

x 7 9 5 5 6

5. Halla la suma de los productos parciales que faltan en cada caso:

b) 50+50+50+50+50 = 50 x .....=.......

1 9 3 1 La suma es _________ Primer grado de Secundaria

0 4 La suma es _________ Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

6. Reconstruir la siguiente multiplicación e indicar la suma de cifras desconocidas.

* * * 1 * * * * * 6 1 * * 5 *

7 X * * 8

TRABAJAMOS 1.

EN EL

* * * 1 * * * * * 6 1 * * 5 *

7 X * *

Hallar: E = (b + c) – (a + d) Si en la multiplicación: abcd x 95, la diferencia de los productos parciales 10 es 15 372.

CUADERNO

Hallar (a+b+c+d) si: a b c d x 6 7 = . . . .0 4 2 4

Si la suma de los productos parciales de abcd x 42 es 19290.

EVALUACIÓN METACOGNITIVA

Calcular (a + b + c + d) 3.

Un librero encarga a dos vendedores 30 libros iguales a cada uno. Uno de ellos debe vender 2 por S/.20 y el otro 3 por S/.20. Creyendo hacer más sencillo su trabajo de venta deciden juntar todos los libros y vender a 5 por S/ .40. ¿Gana o pierde el librero? ¿Cuánto?

4. Se cargan 5 camiones con 9 cajas de 24 kg cada una y 11 cajas de 17 kg cada una. ¿Cuántos kilogramos se cargaron en total? 5. En un bosque de 37 hectáreas hay 1 215 árboles por hectárea. ¿Cuántos árboles tiene el bosque?

EVALUACIÓN COGNITIVA

1. ¿Qué aprendiste hoy? a) adición en N c) La sustracción en N

b) la resta c) División

2. ¿Cómo aprendiste?

3. ¿Para que te sirve la multiplicación?

4. ¿Cómo lo aplicarías en tu vida?

1. ¿Qué sucede cuando uno de los factores es uno? y ¿cuando uno de los factores es cero? ________________________________________ ________________________________________ 2.

Si: abc × m = 1092

abc × n = 2184 Hallar: abc × mn =

Primer grado de Secundaria

ACTIVIDAD

EXTENSIÓN

1. Una señora tiene tres hijas, cada hija tiene en el jardín tres rosales y cada rosal tiene tres ramas. Además cada rama tiene un ramillete de tres rosas y sobre cada rosa se posan 2 abejas. ¿Cuántas abejas hay en los rosales? 2. De un frasco de botones se utilizaron 6 botones para cada uno de los 27 sacos y sobraron 3 botones. ¿Cuántos botones había en el frasco?

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Los términos de una división son: dividendo, divisor, cociente y residuo. El residuo siempre debe ser menor que el divisor.

TÉRMINOS DE UNA DIVISIÓN 30 000 ÷ 1 000 = 30 Se eliminan los tres ceros finales. Para dividir un número terminado en ceros entre 10, 100, 1 000…, se eliminan en el número tantos ceros finales como ceros tenga el divisor.

TRABAJAMOS Propiedades de la División de Números Naturales

Propiedades de la división La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

10)

b. (36 + 54)

c. (146 + 254)

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Calcula las siguientes operaciones. a. (4 600

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.

EN EL ORGANIZADOR

(10 x10) = __________

10 = __________

100 = __________

d. (2 500

100) x (90

10) = __________

e. (5 000

100) - (70

10) = __________

f. (4 000

10) + (50

10) = __________

Calcula mentalmente. a. 3 450

b. 62 400 c. 8900

10 = __________

100 = __________

10 = __________

División para 10, 100 o 1000:

d. 13 000

1 000 = __________

a. Se divide 30 000 para 10.

e. 59 000

10 = __________

30 000 ÷ 10 = 3 000 Se elimina el cero final. b. Se divide 30 000 para 100. 30 000 ÷ 100 = 300 Se eliminan los dos ceros finales. c. Se divide 30 000 para 1 000. Primer grado de Secundaria

f. 213 000 g. 65 400

1 000 = __________

10 = __________

3. Indica la suma de cifras del dividendo.

7 00 2 0 0 3 06 0 0 5 35 0 0

0 1 1 7 0

6 Números y operaciones

I BIMESTRE 4.

Hallar la suma de cifras del dividendo, luego de reconstruir la siguiente división.

* * 9

3 08 0 5 1 03 023

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 9.

El dividendo y el cociente de una división son 597 y 22 respectivamente. Calcular la diferencia del divisor y el residuo.

EVALUACIÓN COGNITIVA 01. Hallar la suma de cifras del cociente de:

4 5. Calcula los términos que faltan en estas divisiones para obtener el cociente dado. 11. En una división le falta 15 unidades al residuo para ser máximo y sería mínimo al restarle 18 unidades. Hallar el dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso. 12. Al dividir abc entre bc se obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Calcular (a ⋅ b ⋅ c).

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1. ¿Qué aprendiste hoy? a) adición en N c) La sustracción en N

TRABAJAMOS

b) la resta c) División

2. ¿Cómo aprendiste?

EN EL CUADERNO

1. Efectúa las siguientes divisiones. a. 8 509

b. 16 229

21= __________

c. 996 589

25= __________

d. 785 589

72= __________

e. 997 529

981= __________

4. ¿Cómo lo aplicarías en tu vida?

En la comunidad de la selva Peruana doce personas pintarán un cerco. Si el cerco tiene 648 tablas, ¿podrán pintar el mismo número de tablas? ¿Cuántas tablas pintará cada uno? Un agricultor sembró 6 300 semillas de zanahoria en 100 filas. Si en cada fila sembró el mismo número de semillas, ¿cuántas semillas sembró en cada fila?

Si con cada 5 800 kg de papel reciclado se salvan 100 árboles, ¿con cuántos kilogramos de papel reciclado se salvarán un árbol?

En una pastelería se necesitan 120 kg de harina y 80 kg de mantequilla diariamente para elaborar pasteles. Si cada kilogramo de harina cuesta $ 2 y el kilogramo de mantequilla $ 2,40, ¿cuánto se gasta mensualmente?

3. ¿Para que te sirve la división?

9 = __________

Primer grado de Secundaria

ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN 1.

Se divide “N” entre un número de dos cifras obteniéndose como cociente 715 y como residuo máximo 98. Hallar “N”.

Identifica las patrtes de una división y hallar los casiileros en blanco

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 01 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

S E C C IO N

NRO DE O RD EN

FECH A

Jorge va al cine y ve tres películas seguidas. La primera duró 1 hora con 15 minutos, la segunda 1 hora con 45 minutos y la tercera 1 hora 30 minutos. ¿Qué tiempo estuvo Jorge viendo película en el cine?

Cinco amigos desean formar una empresa para lo cual necesitan un capital total de S/. 17 000. Si Jessica aporta S/. 1 780, Erica $6 200, Germán S/. 4 550 y Eduardo S/. 1 930, ¿cuánto dinero deberá poner Andrés para completar el monto presupuestado?

Rober quiere comprar un equipo de música que cuesta S/.850 y sólo tiene ahorrado S/.315. En el verano trabajó y ganó S/.750. Entre comida y diversión gastó S/.287. ¿Le alcanza el dinero para comprar el equipo?

Hallar la edad de un padre que tiene 15 años más que la suma de las edades de sus cuatro hijos, que tienen: el cuarto tres años, el tercero un año más que el cuarto, el segundo tres años más que el tercero; y el primero tanto como los otros tres juntos.

Indica el producto de cifras halladas.

Mi abuelita nació en el centenario de la Independencia del Perú, ¿cuántos años cumplirá este año 2015?

A un rollo de 500 metros de un alambre se le agregaron 275 metros más. Después se utilizaron 692 metros. ¿Cuántos metros de alambre quedó?

7 00 2 8 0 3 01 0 0 5 3 2 0

0 3 6 0

Paula compró un pantalón de S/.78 y una blusa de S/.49, ¿cuánto le dieron de vuelto, si pagó con un billete de S/.200?

Jorge vendió su departamento en S/. 45 890 y su auto en S/. 12 999. Si gastó S/. 13 789 en comprarse un terreno y S/. 5 890 en pasear por Europa, ¿cuánto dinero le queda?

10. En una fiesta a la que acudieron 115 personas, se observó que al momento de bailar en parejas, se quedaron 17 varones sentados. ¿Cuántas damas asistieron a la fiesta?

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números Enteros

NÚMEROS ENTEROS Introducción En la vida real hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes. Por ejemplo: si tienes 10 soles y debes 15 soles ¿De cuánto dispones?. Observa a la derecha distintas situaciones en las que se necesitan números enteros. Los números enteros son una ampliación de los naturales:

Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo «+» si está hacia la derecha y con un signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De ésta forma obtenemos dos conjuntos:

Z+→ Conjunto de números positivos. -∞

+∞

• Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +) • Los enteros negativos van precedidos del signo -. • El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.

0 +1 +2 +3 +4 +5

Z → Conjunto de números negativo. -∞

+∞ -5 -4 -3 -2 -1

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros.

Z = {..... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, .....}

El buzo está a 15 m de profundidad, se escribe -15 m

El globo está a 20 m de altura. Se escribe +15 m

La recta numérica Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica. Debemos trazar una recta y pintar el cero en el centro, dividir la recta en segmentos iguales, colocar los nº positivos a partir del cero a la derecha y los nº negativos a partir del cero a la izquierda.

EL VALOR ABSOLUTO Se llama valor absoluto de un número entero al número cardinal que resulta de prescindir su signo, también se le considera como la distancia del número dado al cero. El valor absoluto de un número se expresa encerrando este número entre dos barras. El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe:|+5| = 5. El valor absoluto de –6 es 6, y se escribe: | -6| = 6. El valor absoluto de

0 es 0, y se escribe: | 0 | = 0.

NOTA: Al valor absoluto también se le llama módulo.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

RELACIÓN DE ORDEN EN Z

de modo que: 2 < x < 4? Rpta : ________________

Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros.

a) Si:32 grados sobre cero son representados por +32º C. ¿Cómo se representa 5º bajo cero?

Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha.

Rpta : ______________________________________ b) Si: 20 puntos ganados se representa por +20 puntos. ¿Cómo se representa 9 puntos perdidos?

Analicemos los siguientes ejemplos:

Rpta : ______________________________________

• Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0. Así, tenemos que: -∞

+∞

Responde las siguientes preguntas:

c) Si Elena deposita S/. 5000 en su cuenta de ahorros, se representa por +5000 nuevos soles. ¿Cómo se representa un retiro de S/. 600? Rpta : ______________________________________ 6.

-7 -6 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 + 6 +7

Completa: a) |+4| = |–4| = ________ b) |–8| = |

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el +4 y el +7.

En símbolos queda:

-6 < -2 < +4 < +7.

Analizando los ejemplos anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos servirán para ordenar números enteros sin dibujar la recta numérica:

* Todo número entero positivo es mayor que 0. * Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

| =________

c) op(+7) =________ d) op(–15) =________ 7.

Si "x" es un número entero, que valores puede tomar "x". (donde "<" es el signo de "menor que") a) 2<x<+3

_______________________________________ b) 2<op(x)<6

_______________________________________ c) |x|<+4

* Todo número entero negativo es menor que 0. * Todo número entero negativo es menor que cualquier entero positivo.

d) 2<|x|<48.

_______________________________________

Ejemplos:

A) +7 >+2

_______________________________________

B)+87 > +54

D) –45 > –72 E)+51 > 0

C) –5 > –9 F) 0 > –6

8. Calcular: a) |-5| + |5| = ___________________ b) |-17| + |-29| = ________________ c) |op(+8)| + |+3| = _______________ d) |-53| - |-29| = _________________

TRABAJAMOS 1.

EN EL ORGANIZADOR

¿Cuál es el número entero que separa los números positivos de los negativos? Rpta : ________________

2. ¿Cuál es el número opuesto a –20? Rpta : ____________ 3. ¿Cuál es el opuesto de 30? Rpta : ________________ 4.

Si ‘‘x’’ es un número entero; ¿qué valor puede tomar ‘‘x’’

Primer grado de Secundaria

TRABAJAMOS

EN EL CUADERNO

01. Una persona nació en el año 17 antes de Cristo y se casó en el año 24 después de Cristo. ¿A qué edad se casó? 02. En el año 31 después de Cristo una persona cumplió 34 años. ¿En qué año nació? 03. Una persona nació en el año 2 antes de Cristo y se casó a los 25 años ¿En qué año se casó? 04. El termómetro marca ahora 7ºC después de haber subido 15ºC. ¿Cuál era la temperatura inicial?

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 05. Hace una hora el termómetro marcaba –2ºC y ahora marca 2ºC. LA temperatura ¿ha aumentado o ha disminuido? ¿Cuánto ha variado?

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1. ¿Qué aprendiste hoy?

06. Por la mañana un termómetro marcaba 9º bajo cero. La temperatura baja 12º C a lo largo de la mañana.¿Qué temperatura marca al mediodía? 07. El ascensor de un edifico está en el sótano 1 y sube 5 pisos hasta que se para. ¿A qué planta ha llegado?

2. ¿Cómo aprendiste?

E VALUACIÓN C OGNITIVA

3. ¿Para que te sirve los números enteros?

01. En el gráfico; las barras representan los movimientos (depósitos o retiros) de la cuenta de ahorros del Sr. Valladares en la segunda quincena de Marzo.

4. ¿Cómo lo aplicarías en tu vida?

+3600

ACTIVIDAD 1.

EXTENSIÓN

Ordenar los siguientes números de mayor a menor: a) -7; +3; 0; -8; +2; -1; -5 b) -7; +2; -1; -10; +4; -6; +12

-1800

La suma de 2 números enteros negativos es -38. Hallar el mayor sumando que cumple está condición.

_____ + ______ = -38 RESPONDER 1.

¿Cuál es el depósito o retiro de cada uno de los días señalados?

___________________________________________ 2.

¿Cuál es el mayor depósito? ¿en qué día se hizo?

___________________________________________ 3.

¿Cuál es el mayor retiro? ¿con saldo a favor o en contra?

___________________________________________ 4.

¿Cómo finaliza el mes? ¿con saldo a favor o en contra?

___________________________________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Operaciones de enteros ¿Qué significan las siguientes expresiones?

2. SUSTRACCIÓN DE ENTEROS (Z) Para calcular la diferencia de dos números enteros, se debe sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.

• +6 +3 = +9

a - b = a + (-b)

tienes 6 soles y te dan 3 soles => tienes 9 soles.

(+3) - (-8) = (+3) + (+8) = +11 Escritura Simplificada.

• -7 - 5 = -12

(+4) + (-8) = 4 - 8 = -4

debes 7 soles y gastas 5 soles => acumulas una deuda de 12 soles

(-16) + (+13) + (-3) + (+8) = -16 + 13 - 3 + 8 = 21 - 19

• -6 +8 = +2 tienes 8 soles pero debes 6 soles => tienes 2 soles. El dinero supera las deudas • -5 +3 = -2 debes 5 soles y tienes 3 soles => debes 2 soles. Las deudas superan el dinero.

Operaciones Combinadas de adición y sustracción. La adición y la sustracción en Z son consideradas c o m o una única operación llamada suma algebraica. Para resolver una suma algebraica debemos aplicar correctamente las reglas prácticas que rigen la supresión de signos de colección: 1°

Todo signo de colección precedido por un signo ‘‘+’’ puede ser suprimido, escribiendo luego los números contenidos en su interior, cada cual con su propio signo.

Ejemplo: 7 + (-5 - 9 + 3) = 7 - 5 - 9 + 3 14 + (-5 - 8) + (-2 + 5 + 1) = 14 - 5 - 8 - 2 +5 + 1 2°

1. ADICIÓN DE ENTEROS (Z) 1°

CASO :

+(-a ) = -a

Nota: Signos de colección usuales: ( ); [ ]; { }. (+14) - [(+18) - (+3) + (-15)] = 14 - [18 - 3 - 15]

Observación: +(+a) = +a

Todo signo de colección precedido por un signo ’’-’’ puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los números contenidos en su interior con su signo cambiado.

-(-a ) = +a -(+a) = -a

Primer grado de Secundaria

= 14 - 18 + 3 + 15 = 14

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

3. MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS (Z) a)Si multiplicamos dos números del mismo signo ; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo mas (+). Ejm:

b) 746 – 256 + 601 – 972 = ____________

(+2) (+7) = +14

Escribe en el cuadrado el número que hace verdadera la igualdad y el axioma utilizado. a) (–5) + 14 =

+ (–5)

(–4) (–5) = +20 b) [(–2) +

b)Si multiplicamos dos números de diferentes signos; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos (–).

c) 16 +

Ejm: (+3) (–4) = –12 (–6) (+5) = –30

(+) . (+) = (+)

(–) . (–) = (+)

(+) . (–) = (–)

(–) . (+) = (–)

4. DIVISIÓN DE ENTEROS (Z)

(+ ) ÷ (+)=(+)

(+) ÷ ( - )=( - )

( - ) ÷ ( + )=( - )

( - ) ÷ ( - )=(+)

Restar:

b) (+34) de (+9) = _____________ c) (+12) de (–17) = ____________ 5.

Efectuar: a) (+32) (–7) = _________________ b) (+27) (–13) = _________________

6. Hallar:

valores absolutos de los números es exacta. En la división de números enteros se cumple la siguiente "ley de signos"

= (–54)

a) (–23) de (–12) = ____________

Dados dos números enteros "a" y "b" decimos que la división es exacta, o que "a" es divisible por "b", si la división de los

]

d) (–54) +

Regla de Signos

Consideramos:

] + 5 = (–2) + [4 +

a) (+24) ÷ (+3)= ______

c) (+15) ÷ (-3)= ______

b) (-14) ÷ (-2)=

d) (-30) ÷ (+6)= ______

TRABAJAMOS 1.

_______

EN EL CUADERNO

Calcula y representa en una recta numérica: a) (+3) + (+5)

b) (–3) + (–5)

Nota: a. Al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero.

Si:A = (+8) + (–5) – (+7)

B = (–4) – (–6) – (+8) + (–17).

b. Nunca se puede dividir por el número "0".

Hallar: A + B

Ejemplo: •

•

5 = no se puede dividir.. 0 0 = 0, si se puede dividir.. 5

TRABAJAMOS 1.

B = + (–12) – [+3 – (+7) + (–2)] Calcular: A – B

Restar: A = 2 – [– 4 – (–3 – 5 - (–2) – 11)] + 7 De

EN EL ORGANIZADOR 5.

Calcular:

Si:A = – (–9) + (–3) – (–2) – (+13)

B = 12 + [ 5 + (7 – (+2) – 4)] – 8

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) 123 + 254 = _______

b) 2415 + 1324 = ___

a) 2 (4 + 5) – 4 + [–9 . 3 – 6 + 5]

c) (–27) + (–54)= ______

d) –234 – 342 = ____

b) –[–(–4 + 6) (–3) – (–2 – 5 + 3)] – 10 + 8 + 15

Calcular:

c) –{–2 – [3 + (6 + 2.4 – 5)]} – {–5 – [8 – (9 + 3 . 2 – 7)]}

a) 81 + 153 – 76 = _________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

E VALUACIÓN C OGNITIVA

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ?

01. Efectuar:

________________________________________

a) 300 – 3(5 – 2) + (6 + 1)(9 – 3) + 4(8 + 1)

________________________________________ 3.-Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil? ________________________________________

b) [(5 + 2)3 + (6 – 1)5] [(8 + 6)3 – (4 – 1)2]

________________________________________

ACTIVIDAD

EXTENSIÓN

02. A = {(-50) + (-100) - (-7)} - (+8 - 13) 1.

Si:M = -[-(-2+5) + (-3)(-1)] + (-2)(-3) N = -2+{-[(-3)(+2) - (-4)(+1)] + 7} Calcular: 2N + 3M

B = - (-19 + 3 - 7) - {+5 - (-7 - 4)} 2.

Calcular:

Calcular: A - B - [-A - (-A - B)]

15. Un buzo desciende 104 metros respecto a un punto ‘‘A’’ en la superficie del mar y luego asciende a 54 metros. ¿Cuál es la posición del buzo respecto al punto ‘‘A’’?

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1.-¿De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas? ________________________________________ ________________________________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 02 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

Encerrar en un círculo los números que son enteros.

S E C C IO N

NRO DE O RDEN

FECH A

Jorge compra un T.V. en S/. 700 y lo quiere vender ganando S/. 150. ¿En cuánto debe vender el T.V.?

Tulio apertura una cuenta de ahorro en el banco con S/. 500, deposita S/. 150, luego retira S/. 100; posteriormente retira S/. 250 por el cajero automático; finalmente hace un retiro en caja del banco por un monto de S/. 170. ¿Cuánto le queda en el banco?

Un buque factoría ha pescado una gran cantidad de atún y se dispone a congelarlo. En su cámara frigorífica la temperatura desciende a 4ºC cada 7 minutos. Si al principio la cámara está a 12ºC. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar -16ºC?

Un automovilista se desplaza por la Panamericana sur a una velocidad de 80 km/h, luego aumenta su velocidad en 30 km/h, posteriormente vuelve a aumentar su velocidad en 20 km/h; luego disminuye su velocidad en 40 km/h. ¿A qué velocidad se desplaza el automovilista?

a) -24; 0; 17 ; 31 ; -1 6 7 b) 15; -8; -9; 14 ; -3 7 2.

De dos números enteros negativos, en mayor aquel que tenga menor valor numérico. Completa: a) -15

-13

b) -32

-31

Indicar (V) o (F) según corresponda: a) El cero es un número natural. (

)

24 es un número entero. ( 3

)

b) −

c) El opuesto de +15 es -15. ( 4.

)

Liliana se pone a dieta, el primer mes bajo 900 gr.; el segundo mes bajo 200 gr. menos que el mes anterior, el tercer mes subió 250 gr. y el cuarto mes subió 300 gr. más que el mes anterior. ¿Cuántos gramos bajó Liliana al finalizar el cuarto mes?

La diferencia de 2 números es 28, si al minuendo y sustraendo le quitamos. ¿Cuál es la nueva diferencia?

Primer grado de Secundaria

10. Un submarino norteamericano, se encuentra en el Golfo Pérsico a 350 m bajo el nivel del mar, debido a fallas, tiene que descender 77 m. Más tarde decide subir 118 m. ¿A qué profundidad se encuentra el submarino?

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Númeración

NUMERACIÓN Es la parte de la aritmética que se encarga de la correcta expresión oral o literal de los números. -

Por ejemplo :

Cantidad: 4 3 2 8

Es todo aquello suceptible de aumento o disminución. -

Número: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad.

Numeral

Observación : También podemos encontrar el lugar que ocupa una cifra y se toma de izquierda a derecha.

Es la representación símbolica o figurativa del número. Ejemplo: -

4 3 2 8

, 5, V, Cinco

Cifra Son los símbolos o signos que convencionalmente se utilizan en la formación de los números. En nuestro caso usaremos los signos “arábicos”, los cuales son: 0,1,2,3,.....

DE LA BASE : Todo Sistema posicional de numeración tiene una base, que es un número natural mayor que la unidad, el cual indica la cantidad de unidades necesarias para pasar de un orden al orden inmediato superior. En forma sencilla, la base nos indica la forma como debemos agrupar.

c).

DE SUS CIFRAS : Las cifras son números naturales que siempre son menores que la base.

Es el conjunto de principios, reglas, símbolos y convencionalismos que se utilizan para expresar en forma correcta a las cantidades numéricas.

a).

DEL ORDEN : Toda cifra en un numeral, tiene orden, por convención, se enumera de derecha a izquierda.

4to. lugar 3er. lugar 2do. lugar 1er. lugar

b).

1.- SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

PRINCIPIOS

1er. orden (unidades) 2do. orden (decenas) 3er. orden (centenas) 4to. orden (millares)

En base "n" las cifras pertenecen al conjunto : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...... ; (n - 1)}

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Observación : Valor de sus cifras

243517 = 247 • 7 + 357 • 7 + 1

Va : Valor Absoluto

4545456 = 456 • 6 + 456 • 6 + 456

VR : Valor Relativo

abab =n ab nn + ab n

4 3 2 8

Va = 4 Va = 3 Va = 2 Va = 8

TRABAJAMOS

EN EL ORGANIZADOR

1. Escribir y contar en base 5

VR = 8 unidades VR = 2 decenas VR = 3 centenas VR = 4 millares

2. Completar los siguientes enunciados. 2.- OBSERVANDO ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal

Cifras a utilizar 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Los meses del año se agrupan en ____________ meses, que es lo mismo que usar el sistema ____________

Los días de la semana se agrupan en ________ , que equivale a usar el sistema ____________

Cuando compras plátanos los venden por manos lo que equivale a usar el sistema ___________

Escribir el valor relativo del dígito subrayado: 34271

⇒

________________

62192

⇒

________________

5314123

⇒

________________

4. Escribir el valor absoluto del dígito subrayado. * NUMERAL CAPICÚA : Aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos del numeral son iguales. Ejemplo : 121 ; 3553 ; 444 ; a ; aa ; aba ; abba ; abcba ; etc 3.- DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA. Ejemplos:

235

⇒ ________________

1231

⇒ ________________

457421

⇒

________________

5. Responder: A) Si la base es 6: La mayor cifra será:

415 = 4•102 + 1•10 + 5 7238 = 7•82 + 2•8 + 3 51427 = 5•73 + 72 + 4•7 + 2 En general:

_____________

La menor cifra será:_____________ El mayor número de 2 cifras es : _________ El menor número de 2 cifras es : _________ El mayor número de tres cifras diferentes es: ______ El menor número de tres cifras diferentes es:______

abcde n= an + bn + cn + dn + e

También se puede descomponer en bloque: 2

= 31435 315 x5 + 435

B) Contesta las siguientes preguntas:

Ø El número 28(3) está mal escrito porque _____________________________________________ _____________________________________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» Ø El número 387 (-4) está mal escrito porque _____________________________________________

2.Calcular el valor de «a», si: a1(8) = a 4 (7 )

_____________________________________________ Ø

El número 4(-8)(12) está mal escrito porque:

_____________________________________________ _____________________________________________

2 3. Hallar: a+b+c; si: abc (9) = 5 × 9 + 4 × 9 + 14

C) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números, si están bien escritos? I) ab2(8)

tiene: ________

II) (10) (11) 84(13)

tiene: ________

III) a( a + 1)c( 7 )

tiene: _________

A CTIVIDAD 1. Sabiendo que:

TRABAJAMOS

EN EL ORGANIZADOR

1.Descomponer polinómicamente los siguientes numerales. a)4217

b) 45668

c) a(a + 1)( a + 2)

d) 1001112

Calcular el valor de «a», si: a2(5) + 13(4) = 19

Hallar «x» si: 21(x) + 35(x) = 36

4. Si se sabe que:

E XTENSIÓN

ab3 4 = ba4 5 hallar "a + b"

Si los numerales están correctamente escritos:

2m3(p ) ; 54n( 7 ) ; 213 (m); 3p1(n)

Hallar las letras

desconocidas. 3. Analizando la correcta escritura de los numerales escribir los posibles valores que puede tomar «a». I) a86(9)

I ) a3(6)

II) a( a + 1)( a − 2) ( 4) II) a( a − 3)( a + 1)(6)

1aa(6) = 30a(4)

¿cuál es el valor de "a"? 5.

Si se cumple que: 3a(2b)6 = b0ba5 hallar "a + b"

Luego de descomponer polinómicamente:

(4a)(2a)(3a) se obtendrá:

E VALUACIÓN C OGNITIVA 1. Si Frank tiene ab años y dentro de "6a" años tendrá 66 años, hallar "a x b".

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

CAMBIO DE BASE 1)

De BASE(n ≠ 10) A BASE 10

TRABAJAMOS

(Por descomposición polinómica)

1. Relacionar ambas columnas adecuadamente:

Expresar 20415 a base 10

• 2041

2 × 5 3+ 4 × 5 + 1

250 + 20 + 1

271

De BASE 10 A BASE(m ≠ 10)

235

(

) 15

II)

157

(

) 13

II)

334

(

) 12

2. Colocar «V» o «F» según corresponda: I.

(Por divisiones sucesivas)

27 = 102(5)

II.

57 = 321(6)

•

III. 10 = 1010(2) (

)

IV.

)

Expresar 415 a base 6 415 6 69 1 3

6 11 6 5

∴ 415 = 15316

EN EL ORGANIZADOR

BASE(n ≠ 10)

BASE(m ≠ 10)

BASE 10

22 = 113(4)

•

(

)

a. 16(7)

15(8)

b. 23(5)

23(6)

c. 28(9)

121(4)

TRABAJAMOS

EN EL CUADERNO

1. Convierte: b.

c. 488 a base 12 d.

624 a base 7 678 a base 14

A base 10 4268 = 4 × 82 + 2 × 8 + 6 = 278

•

)

Colocar > ; < ó = según corresponda:

a. 425 a base 6 Expresar 4268 a base 6

(

A base 6

2. Convierte los siguientes números a la base 10. a. 288(9)

555(6)

c. 2123(11)

1020(8)

3. Utilizando casos especiales ,llevar a la base pedida. 278 6 46 2 4

6 7

a) Expresar 111011101112 en el sistema octanario.

b) Expresar 63578 en el sistema binario

∴ 4268 = 278 = 11426

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN COGNITIVA 1.

Cambiar a la base pedida. a) 765 a base 11

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 01. ¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas? _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________

b) 45812 a base 8

02. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ? _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ 03. Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil? _______________________________________

c) 10110112 a base a base 10

_______________________________________ _______________________________________ 04. Al resolver la práctica, ¿Qué pregunta fue la más fácil? _______________________________________ _______________________________________

3. Expresar el mayor # de 3 cifras de base 7 a base decimal

_______________________________________

ACTIVIDAD

EXTENSIÓN

1. Hallar el valor de «a»; si: 3a7 (9) = 286 .

2. Utilizando casos especiales cambiar a la base 8. 111011012

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 03 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

¿Cuánto suman los posibles valores de «a» en?

S E C C IO N

NRO DE O RDEN

FECH A

Expresar en base 4 los números 12 y 27

Convertir: 243(7) a base 5

Hallar "a", si: 3a4 (7 ) = 186

Hallar "x", si se cumple: 13 x 0 4 = 120

a ( a − 1)(2a)   2 (12)

Un número se escribe en el sistema binario como 101010. ¿En qué base se representara como 132?

Si el mayor orden que tiene un numeral es "centena de quintillón", ¿cuántas cifras tiene?

Si un número natural se representa con 28 cifras, qué nombre recibe el lugar que ocupa la primera cifra de la izquierda a) decena de cuatrillón b) centena de cuatrillón c) decena de quintillón d) unidad de quintillón e) unidad de millar de cuatrillón

Si el numeral:

10. Hallar "a", si se cumple: 2a2a 7 = 1000

(a - 1) (b + 1) (a + 5) (3 - a) es capicúa, hallar la cifra de tercer orden.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

DIVISIBILIDAD La divisibilidad es parte de la teoría de los números que estudia las condiciones que debe tener un número entero para que se divida en forma exacta entre otro número entero. NÚMEROS DIVISIBLES: Dos números enteros a y b son divisibles si:

a b 0

ii)

La unidad es divisor de todo entero, se le llama divisor universal.

iii)

El cero es múltiplo de todo entero positivo.

iv)

Todo número es múltiplo de la unidad

Un número negativo puede ser múltiplo de un módulo positivo.

vi)

un número entero y positivo es múltiplo de su mismo número.

c : entero

Por división entera b > 0, entonces b ∈ Z + (módulo); de la

TRABAJAMOS

división se obtiene:

EN EL ORGANIZADOR

a = b×c En la cual diremos que "a" es múltiplo de "b" y lo denotaremos: o

a=b

1. Escribir 4 pares de números divisibles.

________ ;

________

________ ;

________

También se utilizan las notaciones: a = mb

2. Escribir los 10 primeros múltiplos positivos de:

12 → ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___

a=b

Si a es divisible entre b, se puede decir que "b" divide a "a" esto se denota: b|a

16→ ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___

Ejemplo: 91 es divisible entre 13 porque

8 → ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___

91 13 0

También diremos 91 = 13 porque 91 = 13 × 7 . Nota: o

12 = 12K

0 ; 12 ; 24 ; ..... − 12 ; − 24 ; .....

Entero

Observaciones: i)

13 → ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

(

)

42 es divisible por 7

(

)

70 es divisor de 10

(

)

24 es múltiplo de 8

(

)

3+6 = 9

Los divisores de un número entero forman un conjunto finito. Los múltiplos de un número entero positivo un conjunto infinito.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

TRABAJAMOS

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EN EL CUADERNO

01. Determine la suma de los primeros ocho múltiplos positivos de 5.

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1.- ¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas?

02. Del 20 al 50, ¿cuántos son múltiplos de 9?

_____________________________________ _____________________________________

03. Del 1 al 300, ¿cuántos números son 4 ? 04. Del 1 al 1 500, ¿cuántos son múltiplos de 14?

2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ?

05. Del 1 al 500, ¿cuántos números no son múltiplos de 11?

_____________________________________ _____________________________________

06. ¿Cuántos números de dos cifras son múltiplos de 4?

3.- Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil?

07. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 7?

_____________________________________

EVALUACIÓN COGNITIVA

_____________________________________

1. Dar un ejemplo de cada una de las seis observaciones mencionadas de la parte teórica.

4. Al resolver la práctica, ¿Qué pregunta fue la más fácil? _____________________________________

a) _______________________

_____________________________________

b) _______________________

ACTIVIDAD

c) _______________________

d) _______________________

2. Del 1 al 500, ¿cuántos números no son 9 ?

EXTENSIÓN

En un barco viajaban 90 personas y ocurrió un accidente. De los sobrevivientes se sabe que los 2/13 son niños y los 3/5 son casados. ¿Cuántos sobrevivieron?

Si al cuadrado de un número de dos dígitos se le resta el cuadrado del número formado por los dos dígitos en orden invertido, el resultado es divisible por:

e) _______________________

f) _______________________

(Sustentar el por qué)

a) 7. b) El producto de los dígitos. o

3. Si el numeral 58101 x es 7 , hallar “x”.

c) La suma de los cuadrados de los dígitos. d) La diferencia de los dígitos. e) 13.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

NÚMEROS NO DIVISIBLES Sabemos que un número es divisible por otro cuando la división es entera y exacta. Pero cuando dicha división tiene residuo distinto de cero, diremos que el dividendo es múltiplo del divisor más el residuo. Es decir:

TRABAJAMOS 1.

; A = Bq + r

Y como sabemos existen dos clases de residuos, por defecto y exceso.

EN EL ORGANIZADOR

Escribir verdadero (V) o falso (F), según corresponda: o

(

) 25 = 7 + 3

(

) 32 = 9 + 5

(

) 90 = 7 - 1

(

) 87 = 10 + 7

2. Escribir por exceso:

Ejemplo:

POR DEFECTO 3 5 sobra

17 2

17 = 3 x 5 + 2

POR EXCESO 17 1

3 6 falta

•

9+ 6



• 11+ 3

º 17 = 3 - 1

•

Es decir, si A no es divisible por B entonces: 3. 

7 +

17 = 3 x 6 - 1

º 17 = 3 + 2



•



25 + 3

.............................

Escribir por defecto:



A = B + r = B − re



• 7− 3

Ejemplo: 



• 11− 5

38 = 6 + 2 = 6 − 4

47 = 8 + 7 = 8 − 1

•



23 − 15 

50 = 7+ 1 = 7− 6

• 14 − 2

.............................

RECUERDA: Un número se puede expresar en función de su módulo de 2 maneras por defecto o por exceso.

Primer grado de Secundaria

Indicar cuáles de los siguientes números son: 7 + 3 I. 87

III.

878

II. 714

IV.

753

Números y operaciones

I BIMESTRE

TRABAJAMOS

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EN EL CUADERNO

01. Si: •

•



•

7+ 3 =7− x



EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1.-¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas?

7 + 11 =7 − y

____________________________________________



5 − 16 =5 + z

Calcular :

x.y z

____________________________________________ 2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ?

02. Hallar "x", en: 240 = 13 + x 03. Hallar la suma de los valores de “a”, en:

____________________________________________

13a + 1 = 3

____________________________________________

04. ¿Cuántos números de dos cifras son divisibles por 11 más 1?

3.-Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil?

____________________________________________ o

05. Si: A = 5 + 3 y B = 5 + 2

____________________________________________

Hallar el residuo que dará al dividir "A + B" entre 5.

4. Al resolver la práctica, ¿Qué pregunta fue la más fácil?

____________________________________________

EVALUACIÓN COGNITIVA 1. En la expresión

____________________________________________

8 +8 ¿El residuo por defecto es 8?

Explicar el por qué.

____________________________________________

ACTIVIDAD

EXTENSIÓN o

Del 50 al 200, ¿cuántos números son 7 más 3?

Indicar verdadero (V) o falso (F)

____________________________________________ o

¿Cuántos números de dos cifras son 5 +3?



• 12 = 3 

____________________________________________ ____________________________________________ 3.

• 40= 7+ 5 

• 0=8

(

)

(

)

(

)

Del 1 al 100, ¿cuántos números son 8 -5?

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 04 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

Del 20 al 50, ¿cuántos son múltiplos de 8?

Del 1 al 200, ¿cuántos números son 4 ?

Del 1 al 1 500, ¿cuántos son múltiplos de 12?

NRO DE O RD EN

S E C C IO N

FECH A

En un paseo del colegio “San Juan Bosco”participaron menos de 400 alumnos; si los agrupamos de 7 en 7; 9 en 9 no sobra ningún alumno. ¿Cuál es el máximo número de alumnos?.

¿Cuántos números de dos cifras son divisibles entre 2, 3 y 5?

Halla el menor valor entero positivo de “n” para que se



cumpla: (7+ 3) + (7− 2) + n = 7+ 3



Si: A = 7+ 2; B = 7− 3 y C=7+4 Entonces : A+B+C será:

9. Escribir por exceso: 

•

7 +



•

9+ 7

•

11+ 8



............................. ............................. .............................

10. Escribir por defecto: 5.

Hallar el menor número entero positivo que sea divisible por 2; 5 y 7.

Primer grado de Secundaria



•

7− 3

•

11 − 4

•

23 − 18



............................. ............................. ............................. Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Comprensión y uso de las operaciones Asume sus obligaciones con autonomía, libertad y e? ciencia.

Representar

Principios de la Divisibilidad 1. Operaciones de Multiplicidad con un mismo módulo: 



2. Todo número es múltiplo de sus factores o divisores que posee.



Ejemplo:

n + n + n + .... + n = n Ejm:



 1  2 •6   3  6 

3+ 3+ 3+ 3 = 3

7+ 7 + 7 + 7 = 7 



 1  3 •15   5  15 

3. Si:



n− n = n Ejm.:



N= a 



N= mcm (a,b,c)

N= b



5− 5 = 5

N= c Ejemplo:



7− 7 = 7 



K(n) = n

K∈ Z

  mcm(2,3) = 6



7(5) = 5

= A

Entonces:



6 8

  = mcm(6,8) 24



3(11) = 11  K



(n) = n

K∈ Z

N= a + -r N= b + -r

Ejm

N= mcm(a; b) + r

5. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

 2

Si el producto de dos números es múltiplo de un módulo y uno de ellos no tiene ningún factor en común con dicho módulo, el otro número será múltiplo de dicho módulo.



(7) = 7 

Entonces:

Ejm.:  



(11) = 11 Observación 

n 

Si: 



•

7x = 5 → x = 5

•

8x = 11 → x = 11



= No se predice con exactitud

Primer grado de Secundaria



10x 6, 5x=3= →x 3 •= 



15x 20, 3x=4 = →x 4 •= Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

BINOMIO APLICADA A LA DIVISIBILIDAD

03. Hallar el menor valor positivo de “a” que cumpla:

Ejemplos:

1 001a + 298 = 9 o

(6 + 5)142 = 6 + 5142 o

(4 − 1) 76 = 4+1 o

(125 − 7) 273 =125 − 7273

IMPORTANTE 



(a+ x)(a+ y)(a+ z) =a+ x.y.z

Rpta.: ......................................... 8.

Hallar la suma de los valores que puede tomar "x", en: o

Ejemplo:

12x + 40 = 7

ECUACIONES DIOFANTICAS Se denomina así por el matemático griego Diofanto; en la cual sus constantes son números enteros y sus incógnitas representan también números enteros, estas pueden ser de dos o más incógnitas y de primer grado. En este caso particular estudiaremos la resolución las ecuaciones diofánticas lineal de dos incognitas donde:

Rpta.: .........................................

TRABAJAMOS

EN EL CUADERNO

A x + By = C 1.

TRABAJAMOS

EN EL ORGANIZADOR

01. Si a la izquierda de una cifra se escribe su doble, se obtiene un número que es simultáneamente múltiplo de:

Si: A = 7 + 3 o

B= 7 +2 Hallar el residuo de dividir "AB + A + B" entre 7. 2.

Si:M = 11 + 3 o

N = 11 + 4 Hallar el residuo de dividir "M + N + MN" entre 11. Rpta.: ......................................... 02. Sabiendo que “a” es una cifra, ¿cuántos valores puede tomar en la siguiente igualdad?

Al reducir la expresion E  º si E =  11+ 

13a + 1 = 3

  º   º  2   11+ 3   11+ 6      

Efectuar y reducir la expresión E 3

º º  º  si: E =  7 + 1  + 7 + 4  7 + 3     

Rpta.: ......................................... 50

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 5.

ACTIVIDAD

Calcular “a”, si se cumple:

EXTENSIÓN

1a + 2a + 3a + ... + 9a = 7 6.

Hallar la suma de los valores ab que cumplan:

Halla “a” (a < 10), si se cumple: o

275a + 448 = 9

45ab = 19 + 3

EVALUACIÓN COGNITIVA

Hallar “a”, si: o

1a + 2a + 3a + 4 a + 5a = 37 1.

Expresar verdadero (V) o falso (F), según sea el caso: o

EVALUACIÓN METACOGNITIVA

( ) 7 + 3 = 10 o

( ) 7 + 7 + 12 = 7 + 5 o

( ) (7 + 1) (7 + 2) =7 + 3

Hallar la suma de los valores que puede tomar "x", en:

1.-¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas?

12x + 40 = 7

_____________________________________ _____________________________________ 2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ? _____________________________________ _____________________________________ 3.-Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil? _____________________________________ _____________________________________

Hallar la suma de los valores que puede tomar "x", en: o

12x + 40 = 7

4. Al resolver la práctica, ¿Qué pregunta fue la más fácil? _____________________________________ _____________________________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD o

Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, nos permite determinar si un número es divisible por otro.

cifras forman un 25 o terminan en dos ceros. o

abcd = 25 ⇔ cd = 00; 25; 50 ó 75

Los principales criterios de divisibilidad son: •

•

DIVISIBILIDAD POR 2 Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es CERO o PAR. o

abcd = 2 ⇔ d = 0; 2; 4; 6 u 8 •

º º N = a b c d e f g = 7  g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a = 7 1231231

DIVISIBILIDAD POR 4 Un número es divisible por 4, cuando las dos últimas cifras del numeral forman un múltiplo de cuatro. o

•

Un número es divisible por 8, cuando las tres últimas cifras del numeral forman un múltiplo de ocho.

DIVISIBILIDAD POR 13

14 314 31

TRABAJAMOS

DIVISIBILIDAD POR 3 ó 9 Un número es divisible entre 3 ó 9, si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 ó 9 respectivamente. o

abcd = 3 ⇔ a + b + c + d = 3 abcd = 9 ⇔ a + b + c + d = 9 •

º º N = a b c d e f g = 13  g – 3f – 4e – d + 3c + 4b + a = 13

abcde = 8 ⇔ cde = 8 •

DIVISIBILIDAD POR 11

DIVISIBILIDAD POR 8

•

º º N = a b c d e = 11  a + c + e – (b + d) = 11

abcde = 4 ⇔ de = 4 •

DIVISIBILIDAD POR 7

DIVISIBILIDAD POR 5 Un número es divisible por 5, cuando su última cifra es 0 ó 5.

EN EL ORGANIZADOR

Completar en los espacios en blanco adecuadamente

* Si un número termina en cero o cifra par entonces será siempre divisible por _____ * Si un número termina en cero o cifra 5 entonces será siempre divisible por _____ * Si las dos últimas cifras de un número son ceros o múltiplos de 4 entonces el número es siempre divisible por _____________

abcd = 5 ⇔ d = 0 ó d = 5 •

DIVISIBILIDAD POR 25 Un número es divisible por 25, si sus dos últimas 52

Primer grado de Secundaria

* Si la suma de cifras de un número es múltiplo de 9 entonces el número es siempre divisible por ____________

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN COGNITIVA

2. Relacione ambas columnas: 

I. 4125

(

) 2

II. 81423

(

) 3

(



III. 26132

Si se tienen los números: I. 12 345



II. 43 927 III.78 900 991

) 5

¿cuál o cuáles son divisibles por 9? 3.

Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: * El número ab46 es divisible por 4

(

)

* El número abba es divisible por 11

(

)

* El número ab25 es divisible por 25

(

)

3a25 = 3

¿Cuántos valores puede tener n, si: 527n32 = 3 Rpta.: ............................................................

TRABAJAMOS

EN EL CUADERNO

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1.- ¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas?

Hallar la suma de valores a, si: b 53a 2 = 4

Hallar a, si 4a57 = 9

Si: 647m5 = 11

_______________________________________________

_______________________________________________ 2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ?

Hallar ( m 2 + 1 )

_______________________________________________

4. Calcular el resto de dividir: 24999876543 entre 9. 5.

_______________________________________________

Si 2n72 = 7 Hallar ( n + 3 )

Hallar la suma de valores que puede tomar "a", en:

3.- Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil?

_______________________________________________

Si 4b 38 = 13

_______________________________________________

Hallar b 3

7. Hallar la suma de los valores de “a”, en: o

13a + 1 = 3

ACTIVIDAD 1.

EXTENSIÓN

Hallar a.b º

Si: a ( a + 1) a = 9 7 y ( a + 1) b1 =

2. Calcular el resto de dividir: 249683942 entre 4.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 05 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

S E C C IO N



Si: 235a = 2



Si: 152a 2 = 3

FECH A

Determine el valor de x en 

9130057 X 0 = 9

Calcula la suma de valores de a

NRO DE O RD EN

Entre 100 y 320, ¿cuántos son múltiplos de 4?

Halla la suma de los valores de a

8. Hallar el valor de “x”, en la siguiente igualdad: 3.



Si: 67a2 = 4

41 x 32 = 11

Calcula la suma de valores de a

En una reunión hay 40 personas entre hombres y mujeres, de los hombres la quinta parte están bebiendo y la séptima parte están fumando. ¿Cuántas mujeres hay en la reunión?

4. Hallar los valores positivos de “a” menores que o

20, tales que: 75a + 18 = 4



10. Hallar "b - a", si: a3b4a = 55

Si: mnpq = 5 Halla el valor mayor de “q”

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 1.

Calcular la raíz cuadrada aproximada del número.

Probar la divisibilidad de cada uno de los números primos menores o iguales a la parte entera de la raíz hallada.

El número será primo si no existe divisor exacto entre

Números Primos

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Consideremos los números enteros positivos del 1 al 13 y analizaremos sus divisores y la cantidad de ellos; así NÚMERO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

sólo

B. Primos Absolutos: Son aquellos números, los cuales aceptan sólo dos divisores: La Unidad y el mismo número, comúnmente llamados Números Primos son: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ...}.

2 3 2 5 2 7 2 3 2 11 2 13

SUS

DVISORES

4 9 5

12 CANTIDAD

2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 ....

OBSERVACIONES:

OBVSERVACIONES: 1.

El número 1 es el único que tiene un solo divisor.

Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... tienen 2 divisores.

Los números 4, 6, 8, 9, 10, 12, ... tiene 3 ó más divisores

De este análisis podemos entonces clasif icar a los Números Enteros Positivos ( + ) por la cantidad de sus divisores en: 1. NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

NÚMEROS SIMPLES

Números Compuestos: Son aquellos números, los cuales aceptan más de dos divisores {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...} Todo número compuesto acepta por lo menos un divisor primo.

DE DIVISORES

divisor (el mismo 1).

A. LA UNIDAD B. PRIMOS ABSOLUTOS

NÚMEROS COMPUESTOS

Números Simples: Son aquellos números que aceptan uno o a lo más dos divisores y son:

Existen infinitos números primos.

El único número primo par es el 2.

Los únicos números consecutivos que son primos son los números 2 y 3.

CRITERIO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO: Ejemplos: Averiguar cuáles de los siguientes números son primos: i) 149

ii) 247

iii) 177

iv) 133

Para averiguar si un número es primo o no deberemos seguir los siguientes pasos:

A. La Unidad: Es el número 1 el cual acepta un Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

los números primos indicados, en caso contrario el número será compuesto.

Ejemplo 2:

149

NÚMERO

6, 15 y 27 no son números PESI

Así: i)

149 = 12 ,... posibles divisores primos

{2, 3, 5, 7, 11} 149

no es múltiplo de 2

149

no es múltiplo de 3

149

no es múltiplo de 5

149

no es múltiplo de 7

149

no es múltiplo de 11

15 :

21 :

Números Primos entre sí 2 a 2: Son aquellos números, los cuales tomados, 2 a 2 estos son siempre numeros PESI. Ejemplo: Los números 8, 9 y 13 son números PESI 2 a 2 porque: 8 y 9; 9 y 13; 8 y 13 son números PESI.

247 247 = 15 , ... posibles divisores primos

{2, 3, 5, 7,

(Tienen 2 divisores comunes)

∴ 149 es Número Primo

ii)

DIVISORES

11, 13}

247 ≠ 2 °

247 ≠ 3

OBSERVACIONES: 1.

Dos números consecutivos son siempre PESI.

Dos números impares consecutivos son siempre PESI.

Tres números impares consecutivos siempre son PESI dos a dos.

TRABAJAMOS

EN EL ORGANIZADOR

247 ≠ 5

1. Expresar y escribir 5 ejemplos de:

247 ≠ 7

Números simples.........................................

Números compuestos................................

247 ≠ 11

Números primos absolutos ...........................

247 ≠ 13 → 247=13´19

2. Escribir todos los números primos menores que 100.

∴ 247 no es Número Primo

CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS PRIMOS POR GRUPO DE NÚMEROS 1.

Números Primos entre sí (PESI): Son aquellos que tienen como único divisor común a la unidad. Son también llamados primos, relativos o coprimos.

Ejemplo 1:

6, 14 y 25 son números PESI

NÚMERO 6

Indicar verdadero o falso: • Todos los números primos son impares.......( )

DIVISORES

• El número 1 es compuesto............

14 :

25 :

( )

• Existen 4 números primos de una cifra....................................

( )

El 1 es el único divisor común

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 4.

11. Calcular la suma de los 5 primeros números compuestos impares.

Indicar verdadero o falso en los  : • El 2 es el único primo par ............

( )

Rpta.: .......................................................

• La cantidad de números primos es ilimitado ..( ) • Un número primo es aquel número que tiene sólo dos divisores, la unidad y el mismo.......................( )

A) 61

B) 53

¿Cuántas afirmaciones son verdaderas?

D) 57

E) 67

• Existen cuatro números compuestos de una sola cifra.......................... ( )

Rpta.: .......................................................

• La suma de dos números primos siempre es par.............( ) • No existe ningún número primo de dos cifras que tenga sus dígitos iguales........................................( )

2 11

13. Entre el 50 y 60. ¿Cuántos números primos existen?

Rpta.: .......................................................

15 31

Indique la suma de los números compuestos. Del siguiente conjunto: B

11 6

33 81

15. Hallar la suma de los números compuestos que hay entre 60 y 70. Rpta.: .......................................................

16. Indicar la suma del mayor y menor número primo de 2 cifras.

9 41 43

Indique la suma de los números primo. 8.

C) 19

14. ¿Cuántos números compuestos hay entre 30 y 40 y cuáles son?.

Del siguiente conjunto: A

12. ¿Cuál de los siguientes números es un número compuesto?

¿En qué cifra termina el producto de todos los números primos menores que 200?

Rpta.: .......................................................

Rpta.: ....................................................... 17. ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene por elementos a números primos?

A = {2,5,9,13}

B = {2,5,8,13} C = {5,7,11, 2,13}

A es la suma de los 5 primeros números primos. B es la suma de los 5 primeros números compuestos. Calcular (A+B).

Rpta.: .......................................................

10. Calcular la suma de los 5 primeros números primos impares. Rpta.: .......................................................

Rpta.: ....................................................... 18. ¿Cuál de los siguientes conjuntos tienen por elementos a números compuestos?

A = {4,7,6}

B = {9,15,3} C = {12,15,9} D = {10, 20,5} Rpta.: .......................................................

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

EVALUACIÓN COGNITIVA 1.

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 4. Al resolver la práctica, ¿Qué pregunta fue la más fácil?

¿Cuál de los conjuntos tiene por elementos a números primos entre sí?

_______________________________________

A = {15,7,9}

_______________________________________

B = {16, 20, 24} C = {8,15, 20} D = {9,11,14}

¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene la mayor cantidad de números compuestos?

= A

{x 2 − 1/ x ∈  ∧ −2 ≤ x ≤ 4}

= B

{ x 2 + 1 / x ∈  ∧ −3 ≤ x ≤ 3}

ACTIVIDAD 1.

EXTENSIÓN

Si: 6a y 6b son dos números primos absolutos diferentes. Calcular (a+b).

2. Sea: A = Suma de los cuatro menores números primos. B = Suma de los cinco menores números compuestos.

Hallar "A + B" 3.

Si x; y; z son números primos, hallar la suma de los cuadrados de dichos números. x+y=9

3. Escribir todos los divisores de 144.

y + z = 24

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1.-¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas? _______________________________________ _______________________________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DE UN NUMERAL Todo número entero mayor a 1 se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos.

Donde:

CD N = (α + 1) (β+1) (θ+1) Veamos:

Descomponer: 360 180 90 45 15 5

2 2 2 3 3 5

560 280 140 70 35 7 1

2 2 2 2 5 7

960 =  26 × 31 × 51 DC

360 =  23 × 3 2 × 5

D.C.

Calcular: Cantidad de divisores:

CD960= (6 + 1) (1+1) (1+1) = 28 Cantidad de divisores primos:

24 4 560 = 2 5 × 7 × D.C.

6 4 × 10 8 = (2 × 3)4 × (2 × 5)8

= 24 × 34 × 28 × 58 12

CD primos = 3 Cantidad de divisores simples:

CD simples = 3 + 1 = 4 OBSERVACIÓN: CDN=CD

+CD

Simples

Compuestos

=  2  ×  3 ×5  D.C.

Además

En general :

CDN=1+CD

N = a α × bβ × c θ

Para realizar el cálculo de la cantidad de divisores de un número se debe partir de: α N = a × bβ × c θ

Compuestos

Es decir: CDC = 28 − 3 − 1 = 24

a, b y c : números primos

1. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO:

+ CD

Donde: CD = CDN − CDP −1 C

Es una descomposición canónica, si:

a, b y q : número enteros positivos

Primos

SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Sea:

N = a a × b b × c g × ... × g la forma canónica del Número N; luego:

D.C.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

aα+1 − 1 bβ+1 − 1 c γ +1 − 1 xλ+1 − 1 SD N = × × ×...× a −1 b −1 c −1 x −1

Hallar el valor de x. Si 14 x tiene 25 divisores.

Hallar el valor de a. Si 21a tiene 49 divisores.

Hallar el valor de a. Si 30a tiene 64 divisores.

Hallar el valor de a. Si 9 × 12a tiene 88 divisores.

a a+1 Hallar el valor de a. Si 2 × 3 tiene 42 divisores.

Donde:

SDN

→ Suma de los divisores del número N

a, b, c, ..., x

→ Son números primos

a, b, g, ..., l

→ Son los exponentes que pertenecen a +

Ejemplos: Hallar la suma de los divisores de 12 12=22.3 10. ¿Cuántos divisores de 60 son múltiplos de 4?

SD12 =

2 +1

−1 3 −1 × = 7 × 4 = 28 2−1 3 −1

TRABAJAMOS 1.

1+ 1

EN EL CUADERNO

11. ¿Cuántos divisores de 80 son múltiplos de 5?

12. Hallar la suma de divisores de los siguientes números: a) 200

Descomponer canónicamente:

b) 600 c) 850

a) 120

b) 1250

c) 5675

2 4 d) 10 × 20

e) 40d

a b f) 10 × 15

Hallar la cantidad de divisores que tienen los siguientes números:

EVALUACIÓN COGNITIVA 1.

Cantidad de divisores del número 7920 es:

Determine el número de divisores simples que tiene 2500.

¿Cuántos divisores primos tiene 4200?

a) 200 b) 600 c) 850 3.

Hallar la cantidad de divisores primos que tienen los siguientes números. a) 250 b) 666 c) 990

Hallar la cantidad de divisores compuestos que tienen los siguientes números: a) 220 b) 350 c) 600

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 06 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b r e s

S E C C IO N

Calcular la suma de los 5 primeros números simples impares.

Calcular la suma de los 5 primeros números compuestos pares.

¿Cuál de los siguientes números es un número compuesto?

a) 220

A) 103

B) 57

D) 57

E) 69

b) 560

Hallar la cantidad de divisores que tienen los siguientes números: b) 1200

Hallar la cantidad de divisores primos que tienen los siguientes números. a) 300

C) 31

FECH A

Descomponer canónicamente:

a) 800

NRO DE O RD EN

b) 420

Rpta.: .......................................................

Entre el 50 y 70. ¿Cuántos números primos existen? 9.

Hallar la cantidad de divisores compuestos que tienen los siguientes números: a) 320

400

¿Cuántos números compuestos hay entre 30 y 50 y cuáles son?.

10. Hallar el valor de x. Si 14 x tiene 49 divisores.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» Por ejemplo:

Números Racionales

FRACCIÓN Una fracción es la expresión numérica que representa la división de un todo en partes iguales.

Hemos dividido la unidad en 6 partes iguales Todas las fracciones tienen dos términos: el numerador y el denominador, que se escriben separados por una raya que se llama línea de fracción. – El numerador es el número que se escribe sobre la raya e indica las partes que se toman de la unidad.

Del 11 hacia delante, el denominador toma el nombre del número seguido del sufijo - avo .

– El denominador es el número que se escribe debajo de la raya e indica las partes iguales en que se divide la unidad . NÚMEROS MIXTOS Todas las fracciones mayores que la unidad se pueden expresar en forma de número mixto. Un número mixto está formado por un número natural y una fracción. LECTURA DE FRACCIONES

Ejemplo:

Para leer fracciones se lee el número del numerador, seguido del número del denominador teniendo en cuenta el siguiente cuadro.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE Para expresar una fracción en forma de número mixto se divide el numerador de la fracción entre el denominador. El cociente será el número natural, el resto será el numerador CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES I.

POR LA COMPARACIÓN DE SUS TÉRMINOS

Fracción Propia: Cuando el numerador es menor que el denominador, por ejemplo:

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» OBSERVACIÓN Las fracciones equivalentes se originan a partir de una irreductible. Es deci Fracciones equivalentes: a

3 7 11 3 , , , 5 8 15 8 2.

Fracción Impropia: Cuando el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo:

8 13 7 , , 3 5 2

En general:

3 4

6 8

9 12

, 15 20

3K 4K

III.POR SU DENOMINADOR.1. Fracciones Ordinarios: Cuando el denominador no es potencia de 10. Por ejemplo:

IMPORTANTE

3 5 7 8 , , , 8 3 11 15

Las fracciones impropias originan a los números mixtos. Es decir:

8 2 =2 3 3

2. Fracciones Decimales: Cuando el denominador es potencia de 10. Por ejemplo:

13 3 =2 5 5

7 13 3 , , 10 100 1000

7 1 =3 2 2

II.

POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.

Irreductibles.-

IV.

EN GRUPOS:

HOMOGÉNEAS: Cuando presentan denominadores iguales. Por ejemplo:

Cuando sus términos son pesi, es decir MCD(N,D)=1.

3 7 11 1 , , , 4 4 4 4

Por ejemplo:

3 5 11 7 , , , 4 9 3 10 2.

Reductibles.Cuando sus términos no son pesi, es decir tienen factores comunes. Por ejemplo:

6 12 27 64 , , , 8 18 30 24

Primer grado de Secundaria

HETEROGÉNEAS: Cuando presentan por lo menos un denominador diferente. Por ejemplo:

1 3 5 7 , , , 2 4 7 11

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

TRABAJAMOS 1.

(

)

3 8

( )

9 0

( )

−1 100

13 6

( )

3π 2

Dadas las siguientes fracciones:

I. aaa 148

Indique las fracciones y no fraccionarios.

7 5

EN EL ORGANIZADOR

9 30

(

2 2

( ) I I I. a b + 1 ab

¿cuál(es) es irreductible?

) ( )

II. 22 a 00 a

Rpta.: .......................................... 8.

¿Qué fracción del rectángulo ABCD representa la parte sombreada?

( ) A

Escriba 5 fracciones equivalentes a:  1   6  = ...;   

;

5    6  = ...;   

;

 ;... 

Indique en cada caso ¿qué parte de la figura representa la parte sombreada?

¿Cuántas de las siguientes fracciones son impropias?

15 7 16 7 13 15 21 23 ; ; ; ; ; ; ; 7 8 9 13 4 17 19 9

Rpta.: .......................................

¿Cuántas de las siguientes fracciones son propias?

1 2 4 5 3 7 5 13 ; ; ; ; ; ; ; 2 3 5 4 2 5 9 12

Cifras de las siguientes fracciones son propias y reductibles:

13 21 15 21 41 47 ; ; ; ; ; 15 7 13 23 43 41

Rpta.: .........................................

Ordenar de mayor a menor:

TRABAJAMOS

EN EL CUADERNO

1. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 5/7 tienen su numerador de dos cifras? 2. ¿Cuántas fracciones con denominador 15 existen entre 3/5 y 4/5? 3. Guillermo gastó su dinero de la siguiente manera: la quinta parte en ropa; la tercera parte en alimentos; la octava parte en alquiler y la cuarta parte ha decidido ahorrarla en un banco. Si aún le queda en efectivo S/.88, determinar cuanto gastó Guillermo en alimentos y ropa.

5 1 5 7 ; ; ; 12 4 3 6

Rpta.: .........................................

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

EVALUACIÓN COGNITIVA 1.

¿Cuántas de las siguientes fracciones son irreductibles?

13 15 43 45 21 47 16 23 ; ; ; ; ; ; ; 25 18 7 19 12 13 15 9

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

ACTIVIDAD

EXTENSIÓN

¿Cuántas fracciones propias existen cuyo denominador sea 48?

Hallar una fracción tal que sumándole su cuadrado, este resultado obtenido sea igual a la fracción multiplicada por 17/11.

¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor de todas?

1 2 3 4 7 ; ; ; ; 3 5 7 9 9

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 1.-¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas? _______________________________________ _______________________________________

2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ? _______________________________________ _______________________________________ 3.-Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil? _______________________________________ _______________________________________ 4. Al resolver la práctica, ¿Qué pregunta fue la más fácil? _______________________________________ _______________________________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

OPERACIONES CON FRACCIONES :

ADICIÓN

•

POTENCIACIÓN

3 1 3 +1 4 += = 7 7 7 7 2 3 2 × 5 + 3 × 3 19 = + = 3 5 3×5 15

a  a   = n ;b ≠ 0 b b

Ejemplos 2

•

1 1 1 1 5 5 + 3 = (2 + 3) +  +  = 5 + = 5 3 2  3 2 6 6

3 9 3   = 2 = 8 64 8  

(− 5) = − 125 −5   = 3 27 3  3 

 a2   b3 

SUSTRACCIÓN :

•

11 2 11 − 2 9 − = = 13 13 13 13

•

1 2 1× 5 − 2× 2 1 = − = 2 5 2× 5 10

MULTIPLICACIÓN

•

4 7 4 × 7 28 ×= = 5 5 5 × 5 25

DIVISIÓN

•

3 5 3 7 21 ÷ = × = 4 7 4 5 20

•

6 6 1 6 ÷5 = × = 11 11 5 55

Primer grado de Secundaria

( ) ( )

2   = a  b3 

a = b

4 4

a8 b12

RADICACIÓN

2 5 2 × 5 10 ×= = 3 7 3 × 7 21

; a,b ∈ Ζ; b ≠ 0; n ≥ 2

Ejemplos 100 100 10 = = 121 121 11

− 125 = 27

− 125 3

−5 3

1 1 1 = = 196 196 14

Números y operaciones

I BIMESTRE

TRABAJAMOS

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EN EL ORGANIZADOR

3 5 2 1 E =  + − −  4 4 5 5

1. Efectuar los siguientes cálculos:

(1 + 12)(1 + 13)(1 + 14)(1 + 15) (1 − 12)(1 − 13)(1 − 14)(1 − 15)

4 5 ×− = 15 6

Resuelva:

3. =

Resuelva:

21 −15 −4 × × = 10 14 9

3 1 5 2 + + − 2 6 4 3

Si se cumple:

a 3 1 1 a = + − ; siendo una fracción irreductible. b b 5 4 2 35 9 39 1 ×− ×− ×− 13 7 15 3

4 5 ÷ = 3 2

Determine (a+b): 5.

2 3

 1 3

*   =

7 4

5 2

6 3 − 2+ 5 4 E= 8 5 + 2− − 5 4

*   =

 − 1  =  2 

* 

16 = 25

64 = 12 5

 − 1  =  5 

* 

− 27 = 8

−1 = 5 12

64 = 144 16 = 81

 7 3  8 3 −  −  4 2  5 4

P= 1 −

Rpta.: ......................................

1 3

1 3−

EN EL CUADERNO

1 2−

¿Cuánto es los

3 2

2 de 111? 3

EVALUACIÓN COGNITIVA 1.

Efectuar:

2 21 + 3 31

5 21 − 4 31 + 4 23 + 5 41 3 81 − 2 41

Realice la siguiente operación:

Rpta.: ...................................

b) 

7. Hallar el valor de P.

TRABAJAMOS

Simplificar:

Efectuar los siguientes cálculos:  8 2 7 2 a)  −   −  5 3 3 5

1 2 1 2

*   =

6. *

Efectuar los siguientes cálculos:

5 4 7 5 + + + 2 3 2 3

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 2. Efectuar: 1

3

1

4. Al resolver la práctica, ¿Qué pregunta fue la más fácil?

1

a)  2 + 3 + 4  −  3 + 4  = 







_______________________________________ _______________________________________

2  3  b)  3 + 5  − 1− 5  =    

ACTIVIDAD  1

1  5

1

c)  2 3 − 4  +  2 − 16  = 

 



EXTENSIÓN

Al preguntársele a un postulante qué parte del examen ha contestado, éste responde: he contestado los

Si : m= 2 +

1 1 2+ 3

y n= 3 +

de lo que no contesté. ¿Qué parte del examen ha contestado?

1 2+ 3 2.

EVALUACIÓN METACOGNITIVA

4 5

Cuánto le falta a los 5 6 de los 3 8 de 3 1 4 para ser igual a los 2 3 de la mitad de 8 13 ?

1.-¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas? _______________________________________ _______________________________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Problemas con fracciones 01. Calcula lo siguiente: a) Los 2/5 de los 10/3 de 1 200 b) Los 3/7 de los 4/5 de 840

11 En una bolsa hay 30 caramelos; de ellos, tres son de menta, 12 de limón y el resto de fresa. ¿Qué fracción del total son de fresa? 12.

Simplificar:

1 1 + 5 8 1 40

c) Los 5/12 de los 3/25 de 600 d) La mitad de la tercera parte de los 2/5 de 3 34 e) La quinta parte de los 10/9 de los 6/7 de 21/ 16

13.

 1  1 A=  −  ; B=  −   6  3

02. A los 3/5 de 100, agrégale los 4/7 de 84. 03. ¿Qué resulta de quitarle a los 4/5 de 75, la tercera parte de los 3/4 de 84?

14.

04. ¿Qué se obtiene de agregar 2/3 de 1/4 de 96 a los 4/3 de los 7/8 de 72? 05. Diga qué número es tal que sus 3/5 es 24.

15.

09. Víctor y Diego pueden hacer una obra en 4 días. Víctor trabajando solo lo haría en 6 días. ¿En qué tiempo podrá hacer toda la obra Diego solo?

3 4 ÷ 5 5

16.

Primer grado de Secundaria

   

    

 11   =  −  19 

Calcular “A + B”, si:

1 125 ; B=3 32 8

Calcular “a”, si: 5

10. Si en una caja hay 40 pelotitas, de las cuales 21 son rojas, 3 son azules, 7 son verdes y el resto blancas, ¿qué fracción del total son blancas?

2 7 ÷ 3 6

Escribir la expresión más simple equivalente a:

A= 17.

;

 2    11    −       19  

07. Paola hace todas sus tareas en 6 días y Jhordy hace las mismas tareas en 4 días. Si unieron fuerzas, ¿en cuánto tiempo terminarán sus tareas?

Calcular “C ÷ D”, si: C=

.06. Un albañil puede levantar una pared en 10 días. ¿Qué parte habrá hecho en un día?

08. Luis hace una obra en 12 días y Julio su hermano hace la misma obra en 9 días. Si unieron fuerzas, ¿en cuánto tiempo harán la obra?

Calcular “A+B”, si:

7 7 7 7 7         =  4 4 4 4 4

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 07 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

¿Cuántos octavos hay en 7 unidades?

¿De qué número es 45 los 9/13?

S E C C IO N

FECH A

Un obrero gastó 2/5 de su sueldo en pasajes y los 510 restantes en alimentación. ¿Cuál es el sueldo del obrero?

¿Cuántas fracciones equivalentes a 4/9 tienen su denominador de 2 cifras?

¿Cuál es la fracción equivalente a 4/7 tal que la suma de sus términos es 121?

Calcule E, si:

Disminuir 121 en sus 9/11?

Los 3/8 del costo de un televisor a colores es 420 dólares. ¿Cuál es el costo del artefacto?

NRO DE O RD EN

Los 4/9 de la propina de Miguel equivalen a 64 soles. ¿A cuánto equivale los 3/4 de la propina de Miguel?

2 5 16 + × +8 3 8 3

10. Calcular:

 2 1   −  F= 3 2  5    3  Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

NÚMERO DECIMAL

cantidad limitada de cifras

Es aquel número que resulta de la división entre el numerador y el denominador de una fracción.

5 1 ∗ 0,5 = = 10 2

Ejemplo: Sea la fracción

Número Decimal Exacto.- Cuando posee una 42 21 ∗ 0,42 = = 100 50

En general: Si un número tiene 3 decimales, entonces:

3 ; entonces: 8

0, abc =

8 30 0,375 24 60 56 40 40

Origen: Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando el denominador esté conformado por sólo factores 2, factores 5 o ambos. Obs.: El número de cifras decimales de un decimal exacto estará dado por el mayor exponente de 2 ó 5 que tenga el denomina-dor de la fracción irreductible.

Parte Entera Parte Decimal

luego:

3 0,375 = 8 Número Decimal Fracción

Ejemplos: De las fracciones anteriores notamos que son fracciones irreductibles y además generan:

Clasificación:

Dec. Exacto Número Decimal

Dec. Inexacto

Periódico Puro Periódico Mixto

De acuerdo a la cantidad de cifras de su parte decimal, los números decimales se pueden clasificar en:

Primer grado de Secundaria

abc 1000

7 = 7 = 0,28 25 5 2

11 = 11 = 1,375 (3 cifras decimales) 3 8 2

9 = 9 = 0,255 (3 cifras decimales) 40 5 ⋅ 23

(2 cifras decimales)

Número Decimal Inexacto.- Si la cantidad decimales de la parte decimal es ilimitada; puede ser de dos tipos:

a) Periodica Pura.- Cuando el periodo en la parte decimal se encuentra inmediatamente después de la coma decimal.

 6 2 ∗ 0,666........ = 0,6 = = 9 3

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

45 5 = ∗ 0,454545........ = 0,45 = 99 11

9 = 3

2 2

9 9 = 3 ⋅ 11 3

9 9 9 = 3 ⋅ 37 = 27 ⋅ 37

9 9 9 9 = 3 2 ⋅ 11 ⋅ 101

En general: Si un número tiene 3 cifras periódicas puras:

9 9 9 9 9 = 3 ⋅ 41 ⋅ 271 2

9 9 9 9 9 9 = 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 37

Entonces:

0, abc  = 3 cifras

abc 999 

3 nuevos

b) Periódica Mixta.- Cuando existe luego de la coma decimal un primer grupo de cifras no periodicas seguido de un segundo grupo de cifras periódicas.

Origen: Una fracción irreductible originará un decimal Periódico Puro cuando el denominador sea diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5.

 16 − 1 15 1 ∗ 0,1666.... = = 0,16 = = 90 90 6  245 − 24 221 ∗ 0,24555.... = 0,245 = = 900 900

Ejemplos

En general: Si un número decimal posee 1 cifra no periódica, seguida de 2 cifras periódicas, tenemos: *

2 = 0,666... = 0,6 3

10 = 0,9090... = 0,90 11

35 = 1,296296... = 1,296 27

El número de cifras del periodo está dado por la cantidad de cifras del menor número formado por cifras 9 que contengan exactamente al denominador de la fracción generatriz.

 = abc − a 0, abc 990 Origen: Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor necesariamente diferente:

Ejemplos:

7 7 = = 0,590590.... = 0,1590 44 22 × 11

95 = 95 = 0,64189189... = 0,64189 148 22 × 37

Ejemplos:  Al denominado r lo contiene "9" 2 = 0,6 (un nueve, entonces tiene una  cifra en el periodo ). 3 

10 = 0,90 11

 Al denominado r lo contiene "99"  (dos nueves), entonces el periodo  tiene dos cifras. 

Descomposición Canónica de los números de cifras 9 Para un fácil manejo del cálculo del número de cifras de un decimal periódico puro, es recomendable recordar la siguiente tabla:

Primer grado de Secundaria

La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto periódico mixto está dado por la regla para el número de cifras decimales de un decimal exacto, y el número de cifras del periodo está dado por la regla del número de cifras de un D.I. Periódico Puro.

95 = 95 = 0,64189 148 22 × 37

El denominador, el exponente del factor 2 que es "2" genera 2 cifras no periódicas y el factor 37 está contenido por 999 (tres "9") por lo que genera 3 cifras periódicas.

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

TRABAJAMOS 1.

2,5666... (

)

0,13222... (

4,1225

3,365333... (

)

3,437 (

)

113 80

(

)

13 ( 20

)

41 70

(

)

(

11 32

)

(

)

13 21

(

19 64

(

exacto

0,725

1 6

521 80

TRABAJAMOS

EN EL CUADERNO

01. Halle la fracción generatriz de los siguientes números decimales.

Marca con un aspa según creas conveniente. Número

5 13

29 40

)

Número racional

7 10

13 14

)

Decimal Decimal inexacto

Periódico Periódico mixto puro

11 21

)

9 ( 16

Exacto

1 30

)

0,125 (

Número decimal equivalente

3 8

)

Indique en cada caso qué tipo de decimal genera cada una de las siguientes fracciones irreductibles.

1 7

(

1,111222...(

4. Transforma la fracción a decimal y luego señala con un aspa en el recuadro correspondiente. Fracción

Indique en cada caso qué tipo de decimal es: 0,434343...(

EN EL ORGANIZADOR

Número

Periódico Periódico Irracional mixto puro

a) 0,32

b) 0,175

c) 2,75

d) 3,15

e) 1,2

f) 0,8

02. Halle la fracción generatriz de cada uno de los siguientes decimales periódicos puros.

5,2333... 7,52

a) 0,1

b) 3,2

c) 5,09

d) 17,36

e) 0,13

f) 3,15

58,58765 6,3218756... 3,14159... 7,6424242... 0,55555... 478,05 7,6185743... 6, 35563556...

Primer grado de Secundaria

03. De los siguientes decimales periódicos mixtos, halle su respectiva fracción generatriz. a) 0,23

b) 5,76

c) 8,634

d) 1,815

e) 0,125

f) 8,511

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN COGNITIVA 1.

ACTIVIDAD

Calcular:

Simplificar:

 0, 23 × 0, 23  0, 23

EXTENSIÓN

ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN

    M = 0,1 + 0, 2 + 0,3 + ... + 0,9

Calcular: A =

Halle

= E

EVALUACIÓN METACOGNITIVA

(

    0, 2 + 0,4 + 0,6 + 0,8      0,1 + 0, 3 + 0,5 + 0,7 + 0, 9 valor

0,91666  + 3,666 

)

donde:

¿Cuánto le falta a 0,3737... para ser igual a 1,313131... ?

1.-¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas? _______________________________________ _______________________________________

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Clasificación de los números decimales A. Número decimal exacto

Número decimal

B. Número decimal inexacto

A. Número decimal exacto Dada la fracción irreductible: a primos entre sí f= b La fracción "f" dará origen a un decimal exacto, cuando el denominador "b" tenga como divisores primos sólo a 2 y/o 5. Ejemplos: *

1 = 0,25 4 2

porque 1 ÷ 4 = 0,25

2 cifras decimales exactas

B.1 Decimal periódico puro B.2 Decimal periódico mixto

2 3 5 11 1 9

= 0,454545... = 0,45 = 0,1111... = 0,1

B.2. Decimal periódico mixto Dada la fracción irreductible: a primos entre sí f= b

7 = 0,28 25 5

período: 6; representación: 0,6

= 0,6666...

La fracción "f" dará origen a un decimal periódico mixto cuando el denominador "b", tenga como divisores primos a 2 y/o 5 y otros.

2 cifras decimales exactas

Ejemplos: B. Número decimal inexacto Le llamamos así, a aquél que tiene un número ilimitado de cifras decimales. Estos números decimales pueden ser, a su vez, de dos tipos: B.1. Decimal periódico puro Dada la fracción irreductible: f=

a b

primos entre sí

La fracción "f" dará origen a un decimal periódico puro cuando el denominador "b", no tenga como divisores primos a 2 y/o 5. Ejemplos:

Primer grado de Secundaria

5 6 17 45

= 0,83333...

= 0,37777...

TRABAJAMOS

parte no periódica: 8 período: 3 representación: 0,83 = 0,37

EN EL CUADERNO

01. Halla el valor de “a - b”, si:

19 25 02.Halle el valor de “a x b”, si:

0 ,a b =

0 , ab =

5 33

Números y operaciones

I BIMESTRE 03 Halle “a”, si:

9 2 a ,8a = − 2 3

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

ACTIVIDAD

01. . Hallar el valor de “a.b”, si:

04. Halle “a + b”, si: a,0b =

101 33

0, ab =

7 1 − 3 11

06.Halle “a + b + c”, si:

0, aba =

0,5m =

p 9

63 250

25.Hallar el valor de “ba ”, si:

0,ba

137 1, abc = 111

07.Calcular el valor de “p”, si se cumple que:

13 25

02.Hallar el valor de “a+b”, si:

05.Halle “ab”, si: a, ab =

EXTENSIÓN

4 11

26.Hallar “a - b”, si:

0,aba

65 111

08.Hallar “d”, si se sabe que: 0,2 c =

d 11

09.Calcule “a + b + c”, si: a, bca =

21 28 − 10 33

10. Hallar la fracción generatriz de “A” e indique la suma de cifras de su numerador:

A = 0,427

EVALUACIÓN COGNITIVA 01. . Hallar el valor de “a.b”, si: 0, ab =

13 25

02. . Hallar el valor de “a+b”, si: 0, aba =

63 250

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 08 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

a es la fracción generatriz de 0,225. Calcular: b

S E C C IO N

a+b.

FECH A

22 45

Calcular: a+b

Reducir:

  0,5 + 0, 3  E=  0, 2 + 0,1



Si: 0, ab =

NRO DE O RDEN

Calcular a sabiendo que:

Efectuar:

0,42 + 0,71 + 0, 31

El cociente de la división de 5,454545..... entre 1,545454....... está entre.

¿Cuánto le falta a 0,878787........ para ser igual a 1,212121......?

 9 2 a,8a= − 2 3

Calcular:

0, 40 + 0,54 + 0,75

10. Efectuar:

Si: 0, ab =

7 25

E= 0,275 × 0,8 ÷ 0,3 + 0,222..........−0,1666..........

Calcular a × b

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Comparación de Magnitudes PROCESOS MENTALES COMO ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE C ap ac idad:

De s trez a:

C o m p r en si ó n y u so d e l o s n ú m e r o s.

R ep r e se n ta r .

V alo r:

A c titud : E s pu n tua l e n tod a s sus a c t iv id a d e s .

R e s p o n s a b i li d a d .

MAGNITUD

Es todo aquello que experimenta cambios y puede ser medido. Ejemplo: La sombra de un árbol, la velocidad de un auto, los días trabajados, etc. MAGNITUDES PROPORCIONALES

Si dividimos el N° de cuadernos entre el costo se obtiene una cantidad constante.

N° cuadernos N 3 6 9 12 1 = = = = = = Costo C 12 24 36 48 4 constante

Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas la otra también varía.

Ejemplo 2:

Clases de magnitudes: *MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D.P.) Ejemplo 1: Un alumno llega a una librería pensando comprar seis cuadernos pero consultó por varias opciones y obtuvo los siguientes resultados: x3

÷2 N° Cuadernos Costo (S/.)

÷2

Construyendo la tabla

Las dos magnitudes son directamenteproporcionales. Al dividir los valores dla 2ª magnitud entre los de la 1ª seobtiene el mismo resultado:

Podemos observar: -

Si se triplica el N° de cuadernos (6 x 3 = 18) se triplica el costo (24 x 3 = 72).

Si se reduce a la mitad el número de cuadernos (6 ÷ 2 = 3) el costo también se reduce a la mitad (24 ÷ 2 = 12).

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

TRABAJAMOS

Definición: Dos magnitudes son directamente proporcionales (D.P.) si al aumentar o disminuir una de ellas, el valor de la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. También se cumple que el cociente entre sus valores correspondientes es una cantidad constante.

Razona si los siguientes pares de magnitudes son o no directamente proporcionales y los que no guardan relación de proporcionalidad. a.

Es decir, dadas las magnitudes “A” y “B”:

A D.P. B

→

El número de obreros y el tiempo que tardan en terminar una obra.

_____________________________________

A Constante = B

*MAGNITUDES PROPORCIONALES (I.P.)

EN EL ORGANIZADOR

INVERSAMENTE

El número de entradas al cine y el precio que debemos pagar.

_____________________________________

Ejemplo:

Un capataz contrata 15 obreros que pueden construir un muro en 10 días, luego de algunos razonamientos elabora la siguiente tabla:

Las distancias en un mapa y las distancias reales

e. La edad de una persona y su peso.

N° Obreros

N° Días

×3

_____________________________________

÷3

El peso de una persona y su estatura.

÷2

_____________________________________ f. La cantidad de lluvia caída en un año y el crecimiento de una planta.

_____________________________________ Podemos observar:

Si se duplica el N° de obreros (15×2 = 30) el número de días se reduce a la mitad (10÷2 = 5).

Si se reduce a la tercera parte el número de obreros (15÷3 = 5) el número de días se triplica (10×3 = 30).

El producto del número de obreros y número de días es constante. N° Obreros × N° Días = 5 × 30 = 15 × 10 = = 30 × 5 = 150 constante

Graficando y uniendo los puntos:

g. La cantidad de litros de agua que arroja una fuente y el tiempo transcurrido.

_____________________________________ h. El número de hojas que contiene un paquete de folios y su peso.

_____________________________________ i. La velocidad de un coche y el tiempo que dura un viaje

_____________________________________. j. La altura de una persona y el número de calzado que usa.

_____________________________________ k. El precio del kilo de naranjas y el número de kilos que me dan por 10 euros.

_____________________________________ Definición: Dos magnitudes son inversamente proporcionales (I.P.) si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye en el primer caso o aumenta en el segundo caso en la misma proporción. También se cumple que el producto entre sus valores correspondientes es una cantidad constante.

2. Dada la siguiente tabla de valores directamente proporcionales, complétala y calcula la constante de proporcionalidad.

Es decir, dadas las magnitudes “A” y “B”:

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 3 Busca: a) Tres pares de números cuya razón sea igual a 1/2

b) Tres parejas de números que estén en la relación de tres a uno.

∆ 45 = 32 80

R: .............

16 ∆ = 56 119

R: .............

e. c) Tres parejas de números que estén en razón de dos a cinco.

42 266 = ∆ 323

R: .............

EVALUACIÓN METACOGNITIVA 5.

Completa las siguientes tablas e indica, en cada caso, si los pares de valores son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o no guardan ninguna relación de proporcionalidad:

1.-¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas?

2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ?

3.-Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil?

ACTIVIDAD

EXTENSIÓN

1. Calcula mentalmente y contesta:

EVALUACIÓN COGNITIVA 6.

En las siguientes proporciones geométricas, hallar los términos que faltan: a.

5 40 = 12 ∆

R: .............

4 ∆ = 17 510

R: .............

Primer grado de Secundaria

a) Tres kilogramos de naranjas cuestan 2,4 soles. ¿Cuánto cuestan dos kilogramoss?

b) Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tardarán cuatro obreros?

c) 200 g de jamón cuestan 4 soles. ¿Cuánto costarán 150 gramos?

d) Un avión, en 3 horas, recorre 1 500 km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas?

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

e) Un camión cargado, a 60 km/h, recorre cierta distancia en 9 horas. ¿Cuánto tiempo invertirá en el viaje de vuelta, descargado, a 90 km/h?

Regla de Tres PROCESOS MENTALES COMO ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE C ap ac idad:

De s trez a:

C o m p r e n si ó n y u so d e l o s n ú m e r o s.

R ep r ese n ta r .

V alo r:

A ctitud: A s um e s us obliga cio n e s co n a uto n om ía , libe r ta d y e ficie n cia .

R e spon sabilidad.

Hoja de Trabajo REGLA DE TRES Es un método especial de resolución para problemas de magnitudes proporcionales donde intervienen dos o más magnitudes.

Método práctico: x =

TRABAJAMOS

a.b c

EN EL CUADERNO

REGLA DE TRES SIMPLE En este caso intervienen sólo dos magnitudes proporcionales.

Dependiendo de las magnitudes que intervienen, la regla de tres simple puede ser: Directa o inversa. 1.

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Rpta.: .................................. 2.

"Cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P.)" Magnitud "A" a

Método práctico: x = 2.

D.P. Magnitud "B"

Un terreno se vende por partes, los 2/5 se vendieron en $ 30 000. ¿En cuánto se vendería 1/3 del terreno? Rpta.: ..................................

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

I.P.

Magnitud "B"

Primer grado de Secundaria

Se vendió los 5/9 de un terreno en $2500, ¿en cuánto se venderá la otra parte? Rpta.: ..................................

"Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (I.P.)"

El precio de 2 1 2 docenas de naranjas es S/.24. ¿Cuál será el precio de 18 naranjas? Rpta.: ..................................

b.c a

Magnitud "A"

Un grupo de 5 jardineros iban a podar un jardín en 6 horas. Sólo fueron 3 jardineros. ¿Qué tiempo emplearán en podar el jardín?

Un automóvil consume 3 3 4 galones de gasolina cada 120 km. ¿Cuántos galones consumirá para recorrer una distancia de 180 km? Rpta.: ..................................

Una secretaria escribe a máquina a razón de 180 palabras por minuto. ¿A qué hora terminará con un dictado de 5 400 palabras, si comenzó a las 9:52 a.m.?

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN METACOGNITIVA

Rpta.: .................................. 7.

Un grupo de amigos disponía de S/. 360 para gastar vacacionando durante 4 días. ¿Para cuántos días les alcanzarían S/.630?

1.-

Rpta.: .................................. 8.

¿ De que manera te organizaste para leer el tema y desarrollar las actividades propuestas?

Un grupo de gallinas tiene maíz para 18 días; después de 3 días, se sacrifica a la tercera parte. ¿Cuántos días durará el maíz para las restantes? Rpta.: ..................................

Un pintor emplea 45 minutos en pintar una pared cuadrada de 3 metros de lado. ¿Qué tiempo empleará en pintar otra pared de 4 metros de lado?

2.- ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿ Por qué ?

Rpta.: .................................. 10. Un ciclista recorre 75 m cada 3 segundos, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 1/4 de hora? Rpta.: ..................................

3.- Al resolver la práctica, ¿ Qué pregunta fue la más dificil?

11. Si 18 obreros pueden terminar una obra en 65 días, ¿cuántos obreros se requieren para terminarla en 26 días? Rpta.: .................................. 12. Un grupo de 9 peones pueden cavar una zanja en 4 días. ¿Cuántos peones más se deberían contratar, para cavar la zanja en sólo 3 días?

4. Al resolver la práctica, ¿Qué pregunta fue la más fácil?

Rpta.: .................................. 13. Por pintar todas las caras de un cubo, se cobró S/.15. ¿Cuánto se cobrará por pintar sólo dos de sus caras? Rpta.: ..................................

EVALUACIÓN COGNITIVA 1.- Con 20 obreros se podría terminar una obra en 10 días. Si trabajaran 5 obreros más, ¿cuántos días tardarían en terminar la misma obra?

Los 3/8 de una obra se pueden hacer en 15 días, ¿en cuántos días se terminará lo que falta de la obra?

Primer grado de Secundaria

ACTIVIDAD

EXTENSIÓN

Si 9 lapiceros cuestan S/.3, ¿cuánto costarán 45 lapiceros?

Una docena de peras cuesta S/.4, ¿cuánto costarán 3 decenas de peras?

Pablo es el doble de rápido que Víctor, pero la tercera parte de Rafael. Si Víctor y Rafael hacen una obra en 27 días, ¿en cuántos días harán la misma obra los tres juntos?

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 09 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

S E C C IO N

NRO DE O RD EN

FECH A

1. Escribir dos magnitudes directamente proporcionales. 6. De cada 120 alumnos se sabe que 35 viven en zona residencial. ¿Cuántos no viven en zona residencial de un total de 1 080 alumnos?

Escribir dos proporcionales.

magnitudes

inversamente 7.

Treinta pintores tardan 40 días en pintar una casa. Si duplicamos el número de pintores, ¿cuántos días tardarán en pintar otra casa de iguales 8. dimensiones a la primera?

Una expedición de 80 hombres tiene víveres para 30 días. Si se incrementan 20 hombres, ¿para cuántos días alcanzarán los víveres? 9.

Si 10 sastres en 10 horas pueden hacer 50 camisas, ¿cuántas camisas podrán hacer 15 sastres en 8 h?

Un grupo de obreros tenía que hacer un trabajo en 20 días, pero debido a que en 3 de ellos faltaron, los restantes tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron?

Con cierto número de máquinas se terminará un trabajo en 3 días. Si se adquieren 3 máquinas más, el trabajo se acabaría en un día menos, ¿cuántas máquinas habían inicialmente?

El costo de 17 cuadernos es de S/. 91. ¿Cuánto costarán 85 cuadernos?

10. Con 4 kg de uvas se obtienen dos botellas de vino, ¿cuántas botellas de vino se producirán con 12 kg de uvas?

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Comprensión y uso de los números Es puntual en todas sus actividades

Resuelve

REGLA DE TRES COMPUESTA

MÉTODO II

Es una regla de tres donde intervienen más de dos magnitudes proporcionales. Este procedimiento de cálculo nos permite hallar un valor, cuando se conocen un conjunto de valores correspondientes a varias magnitudes.

(

N º de obreros

)(

Re n dim iento

)

( )( h / d ) = cte N º de días

( Obra ) ( Dureza )

MÉTODO 1 1.

Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema.

Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud se ubiquen en una misma columna, además que deben estar expresados en las mismas unidades de medida.

TRABAJAMOS 1.

Tres alumnos pueden resolver 20 problemas en 5 horas. ¿Cuántas horas se demorarán 5 alumnas de igual rendimiento en resolver 40 problemas de la misma dificultad?

Si 20 máquinas pueden hacer 5 000 envases en 50 días, ¿en cuántos días 50 máquinas pueden hacer 10 000 envases?

Si tres gatos comen tres ratones en tres horas, ¿cuántos ratones comerán 9 gatos en dos horas?

Cinco sastres pueden hacer 10 ternos en 8 días, trabajando dos horas diarias. ¿En cuántos días 10 sastres podrán hacer 50 ternos, si trabajan 5 horas diarias?

Ocho hombres han cavado en 20 días una zanja de 50 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos?

Dieciséis señoras pueden confeccionar 40 camisas en 20 días, trabajando 9 horas diarias. ¿En cuántos días 40 señoras podrían confeccionar 50 camisas, si trabajan 6 horas diarias?

En 12 días, 8 obreros hicieron 2/3 de una obra. ¿En cuántos días más harán el resto de la obra?

La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás, verificando si son directa (D) o inversa (I).

4. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud, si son inversa (I) se copia igual y si son directas (D) se copia recíprocamente.

Si: tenemos las magnitudes

a b

I. P

c x

D.P

d e

I.P

entonces se cumple:

f g

xbg c af = e d cafe x= bgd

Primer grado de Secundaria

EN EL CUADERNO

Números y operaciones

I BIMESTRE 8.

Si con 6 máquinas se pueden hacer 250 pares de zapatos en dos días, trabajando 5 h/d; para hacer en la misma cantidad de días 1 000 zapatos trabajando 6 h/d, ¿cuántas máquinas se necesitarán?

Cinco balones de gas se utilizan para el funcionamiento de 8 cocinas durante 10 días. Si se tienen 10 cocinas, ¿para cuántos días alcanzarán 20 balones de gas?

10. Doce obreros pueden hacer una obra en 20 días. Si 6 de ellos aumentan su rendimiento en un 50%; ¿en cuántos días harán la obra?

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

ACTIVIDAD

EXTENSIÓN

Tres hombres, trabajando 8 h/d, han hecho 80 m de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 h/d, para hacer 60 m de la misma obra?

Una guarnición de 1 600 hombres tienen víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias por cada hombre. ¿Cuántos días durarán los víveres, si se refuerzan con 400 hombres y cada hombre toma 2 raciones diarias?

Dos hombres han cobrado S/. 350 por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 h/d y recibió S/. 150. ¿Cuántos días a razón de 6 h/d trabajó el segundo?

EVALUACIÓN COGNITIVA 1.

Si 20 obreros pueden hacer un cuarto de una obra en 10 días, ¿en cuántos días 50 obreros harán lo que falta de la obra, sabiendo que esta última parte tiene el doble de dificultad que la primera?

Si 4 máquinas pueden fabrican 200 envases de un litro en 5 h, ¿en cuántas horas 5 máquinas pueden fabricar 500 envases de dos litros?

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 10 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

S E C C IO N

Si 5 obreros pueden pintar una pared cuadrada de tres metros de lado en 4 h, ¿en cuántas horas 6. 10 obreros podrían pintar una pared cuadrada de 9 m de lado?

NRO DE O RDEN

FECH A

Una embarcación tenía 120 tripulantes; al naufragar perece el 30%. De los sobrevivientes el 25% son casados. ¿Cuántos de los sobrevivientes son solteros?

Un pantalón cuesta $60. Si se quiere ganar el 20% del costo, hallar el precio de venta.

Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30%, equivalen a un descuento único de:

Si el radio de un círculo se incrementa en un 30%, ¿en qué porcentaje se incrementa el área?

Si 10 obreros pueden hacer 2/5 de una obra en 20 días, ¿en cuántos días 30 obreros podrán hacer lo que falta de la obra?

Doce obreros se demoran 12 días de 8 horas diarias en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, ¿cuántos días de 6 horas diarias se demorarán 10 obreros doblemente hábiles en sembrar un campo cuadrado de 25 m de lado?

Hallar el 20% del 30% de 600.

10. ¿De qué número es 315 el 5% más?

Hallar el 10% del 20% de los 2/3 de 900.

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Porcentajes PROCESOS MENTALES COMO ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE C ap ac idad:

De s trez a:

C o m p r e n si ó n y u so d e l o s n ú m e r o s.

R ep r ese n ta r .

V alo r:

A ctitud: A s um e s us obliga cio n e s co n a uto n om ía , libe r ta d y e ficie n cia .

R e spon sabilidad.

Tanto por ciento Por ciento viene de latín per centum que significa por cada cien. Cuando decimos "once por ciento de los estudiantes están ausentes", queremos decir que: "once de cada cien estudiantes están ausentes" El siguiente diagrama indica cómo pudo haberse inventado el símbolo %, de por ciento. 11 : 100 → 11/100 → 11/00 → 11 0/0 → 11% • Porcentajes Notables

100 =1 100

⇒

(Es igual al total)

75% =

75 3 = 100 4

⇒

(Es igual a los

50% =

50 1 = 100 2

⇒

(Es igual a la mitad del total)

25% =

25 1 = 100 4

⇒

(Es igual a la cuarta parte del total)

20% =

20 1 = 100 5

⇒

(Es igual a la quinta parte del total)

100% =

Primer grado de Secundaria

3 del total) 4

Números y operaciones

I BIMESTRE

Cálculo de Porcentajes

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» 18%

360

100%

Luego:

100 . 360 18 1

1. Porcentaje de una cantidad

x = 2 000 El a% de N =

a .N 100

Respuesta: S/.360 es el 18% de S/.2 000 Recuerda...

Recuerda.... Las p alabras "de", "del" o "de los" matemáticamente singifican multiplicación y la palabra "es" significa igualdad.

En algunos casos para el cálculo de porcentajes es conveniente emplear una regla de tres simple directa. Donde el 100% es considerado la cantidad total.

4. Hallar el tanto por ciento:

Ejemplo:

¿Qué % de 1 500 es 375? 20 . 50 = 10 El 20% de 50 = 100

2. Cuando se tenga porcentaje de porcentaje Una forma práctica es convertir cada uno a fracción y luego se efectúa la multiplicación, así:

Resolución:

1500

100%

375

Luego:

375 . 100 1 500

PRACTICAMOS

Ejemplos: Calcular el 5% del 40% de 1800 5 40 × × 1 800 = 36 100 100

01. Representa los siguientes "tanto por ciento" como fracción: a) 35% =

b) 45% =

c) 80% =

d) 120% =

e) 5% =

f) 57%

3. Hallar la cantidad total a) ¿De qué cantidad es S/.360 el 18%? Resolución: Si el 18% de un número es 360, el 100% osea el número buscado será "x". Si:

02. Representa como "tanto por ciento" las siguientes fracciones:

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

= 25%

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

03.

4 5

17 25

3 4

3 20

7 10

Hallar los siguientes porcentajes:

a) El 8% de 10

EVALUACIÓN

METACOGNITIVA

01. ¿Qué tema aprendiste hoy?

b) El 15% de 100

______________________________________

c) El 17% de 400

______________________________________

d) El 23% de 4 500 04. Indicar el resultado de: a) El 20% del 50% de 100 b) El 15% del 60% de 4 800

02. ¿Cómo aprendiste? ______________________________________ ______________________________________ 03. ¿Para qué te sirve lo que aprendiste?

c) El 30% del 10% del 13% de 10 000

______________________________________

d) El 80% del 60% del 50% de 25

______________________________________

05. ¿De qué cantidad es $ 350 el 70%? _______________________________________ 06. ¿De qué cantidad es $ 819 su 18%?

EXTENSIÓN

_______________________________________ 01 ¿Qué porcentaje de 1 250 es 525?

EVALUACIÓN COGNITIVA

02. ¿Qué porcentaje de 440 es 1 100?

01. ¿ 920 es el 20% de qué cantidad?

02. ¿Qué porcentaje de 40 es el doble de 4?

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Porcentajes PROCESOS MENTALES COMO ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE C ap ac idad:

De s trez a:

C o m p r e n si ó n y u so d e l o s n ú m e r o s. V alo r:

R e spon sabilidad.

Problemas con Tanto por ciento

R ep r ese n ta r . A ctitud: A s um e s us obliga cio n e s co n a uto n om ía , libe r ta d y e ficie n cia .

_____________________________________

01. De las 10 flores que Paúl le regaló a Carla tres 06. De una granja se obtienen los siguientes datos: eran rosas, ¿qué porcentaje representan las rosas? _____________________________________ 02. En el almacén de una escuela se malograron ocho bolsas de leche de los 25 que había, ¿qué porcentaje de bolsas de leche se malogró? _____________________________________

N° de gallinas: 900 N° de pollos: 1 500 N° de gallos: 9 N° de pavos: 1 191

¿Qué porcentaje del total son las gallinas? 03. El 55% de estudiantes del colegio San Juan Bosco son mujeres. Si el colegio tiene una población to_____________________________________ tal de 1 200 alumnos, ¿cuántos de ellos son hombres? 07. En una granja hay 80 000 aves. Se sabe que el 50% son gallinas, el 35% patos y el resto pavos. ¿Cuán_____________________________________ tos pavos habían en total? 04. En una reunión el 42% de los asistentes son muje_____________________________________ res. Si el número de hombres es 87, ¿cuántas personas en total asistieron a la reunión? 08. Una familia tiene ingresos mensuales de S/. 3 200, se sabe que en alimentos gastan el 45% en educa_____________________________________ ción 20%, vivienda 10%, vestido 10%, salud 10% y ahorran solo el 5%. 05. En un colegio nocturno rindieron examen de matemática 250 alumnos de los cuales 55 fueron a) ¿Cuánto gastan en alimentos? desaprobados. Hallar el porcentaje de alumnos aprobados. b) Luego de un año, ¿cuánto podrán ahorrar?

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO» c) ¿Cuánto gastan mensualmente en educación? 09. Si una familia gasta solo en salud S/.600, además sabiendo que el 42% de su ingreso total lo destina para alimento, el 28% en vestido, el 20% en salud y el 10% en otros gastos. Responde:

02. De los 20 caramelos que Juan le invitó a Lucía, cuatro eran de limón. ¿Qué porcentaje representan los de limón?

a) En alimentos gasta: b) En vestido gasta: c) En otros gasta: d) El ingreso total es: 10. De un total de "x" estudiantes, se sabe que a 12 estudiantes les gusta las Matemáticas y además: • 20% del total de estudiantes prefieren Lenguaje • 15% del total de estudiantes prefieren Historia del Perú • 10% del total de estudiantes prefieren Historia Universal • 5% prefieren Geografía • 20% prefieren Matemática • 30% prefieren Inglés

EVALUACIÓN

METACOGNITIVA

01. ¿Qué tema aprendiste hoy? ______________________________________ ______________________________________ 02. ¿Cómo aprendiste? ______________________________________ ______________________________________ 03. ¿Para qué te sirve lo que aprendiste? ______________________________________ ______________________________________

Responde: a) ¿Cuántos estudiantes forman el salón? b) ¿A cuántos estudiantes les gusta Geografía?

EVALUACIÓN

COGNITIVA

01. En una carnicería se malogran siete bolsas de las 50 que habían, ¿qué porcentaje representa?

Primer grado de Secundaria

EXTENSIÓN 01. El 30 % de estudiantes de un colegio son varones. Si el colegio tiene un total de 3 000 alumnos, ¿cuántos de ellos son mujeres? 02. Luego de un aumento del 20 % el precio de un artículo es de S/. 3 600. ¿Cuál era el precio del artículo antes del aumento?

Números y operaciones

I BIMESTRE

100

Primer grado de Secundaria

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

Números y operaciones

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

EVALUACIÓN DE PROGRESO Nro 11 PRIMERO DE SECUNDARIA A P E L L ID O S y N o m b re s

01. ¿Qué porcentaje de 250 es 400?

02. ¿De qué número es 253 su 25 %?

S E C C IO N

NRO DE O RDEN

FECH A

06. El 10% de un número es igual al 4 % del 20 % de 300. Hallar el número.

07. Una familia tiene un ingreso mensual de S/. 3 000. Si el 30 % se va en el estudio de sus hijos y el 40 % en alimentos, ¿cuánto le queda para gastos auxiliares?

03. En una asamblea el 52 % de los asistentes son hombres. Si el número de mujeres es 96, ¿cuántas personas en total asistieron a la reunión? 08. ¿Cuánto es el 30 % del 50 % del 45 % de 240?

04. Hallar “A - B”, si: A = 20 % de 400

09. En una florería se malograron cinco flores de las 15 que habían, hallar el porcentaje de flores que se malogró aproximadamente.

B = 40 % de 40

05. Juan el día de su cumpleaños recibe S/. 300 de propina, gasta el 20 % en un polo de marca y luego el 20 % del resto, ¿cuánto dinero le queda?

10. Hallar “A + B”, si: A = 20 % de 75 B = 30 % de 20

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones

101

I BIMESTRE

COLEGIO PARTICULAR «SAN JUAN B OSCO»

BIBLIOGRAFÍA

Centeno, J. (1988), Números decimales, Nº 5, Colección Matemáticas: cultura y aprendizaje, Madrid, Síntesis. Berté, A., Matemática de la EGB al Polimodal, AZ (de la Biblioteca del docente). ESPINEL FEBLES, C.; RODRÍGUEZ LEÓN, C. Pensamiento algorítmico. Editorial Síntesis. Madrid. FERNÁNDEZ CANO, A.; RICO ROMERO, L. Prensa y matemáticas. Editorial Síntesis. Madrid. VIDAL COSTA, E. Área de conocimiento: Didáctica de las matemáticas. Editorial Síntesis. Madrid. 102

Primer grado de Secundaria

Números y operaciones